同济大讲义学微积分第三版课件第三章第六节
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同济版 高等数学(上册) 第三章课件5
第三章 一元函数积分学及其应用
Advanced mathematics
第三章
一元函数积分学及其应用
高等数学
人民邮电出版社
1
第三章
内容导航
第三章 一元函数积分学及其应用
第一节 不定积分的概念与性质 第二节 不定积分的换元法与分部法
第三节 有理函数的不定积分
第四节 定积分的概念与性质 第五节 微积分基本定理 第六节 定积分的换元法和分部法 第七节 定积分的几何应用和物理应用 第八节 反常积分
（3）部分量 U 的近似值可表示为 f x x . 即 U f x x .
那么就可考虑用定积分来表示这个量 U
17
一、平面图形的面积
通常写出这个量 U 的积分表达式的步骤为：
第三章 一元函数积分学及其应用
（1）根据问题的具体情况，选取一个变量（比如 x ）作为积分变量，并确 定它的变化区间（比如 a, b ） ；
A(8,4) x y 4
y2 S y 4 dy 2 2
4
y2 1 3 ( 4y y ) 2 6
4 2
18 .
O -2
4 B (2, -2)
x
上述两种解法中，显然第二种解法较为简便，在 求平面图形的面积时，应注意对公式的适当选择.
图3-27
根据定积分的几何意义，可以求出下面几种类型的平面图形的面积. （1）由曲线 y f ( x) ，直线 x a , x b 及 x 轴所围成的平面图形的面积.
① 若 f ( x) 0 ，则其面积为： S f ( x)dx (见图 3-19);
a
b
② 若 f ( x) 0 ，则其面积为： S f ( x)dx (见图 3-20);
Advanced mathematics
第三章
一元函数积分学及其应用
高等数学
人民邮电出版社
1
第三章
内容导航
第三章 一元函数积分学及其应用
第一节 不定积分的概念与性质 第二节 不定积分的换元法与分部法
第三节 有理函数的不定积分
第四节 定积分的概念与性质 第五节 微积分基本定理 第六节 定积分的换元法和分部法 第七节 定积分的几何应用和物理应用 第八节 反常积分
（3）部分量 U 的近似值可表示为 f x x . 即 U f x x .
那么就可考虑用定积分来表示这个量 U
17
一、平面图形的面积
通常写出这个量 U 的积分表达式的步骤为：
第三章 一元函数积分学及其应用
（1）根据问题的具体情况，选取一个变量（比如 x ）作为积分变量，并确 定它的变化区间（比如 a, b ） ；
A(8,4) x y 4
y2 S y 4 dy 2 2
4
y2 1 3 ( 4y y ) 2 6
4 2
18 .
O -2
4 B (2, -2)
x
上述两种解法中，显然第二种解法较为简便，在 求平面图形的面积时，应注意对公式的适当选择.
图3-27
根据定积分的几何意义，可以求出下面几种类型的平面图形的面积. （1）由曲线 y f ( x) ，直线 x a , x b 及 x 轴所围成的平面图形的面积.
① 若 f ( x) 0 ，则其面积为： S f ( x)dx (见图 3-19);
a
b
② 若 f ( x) 0 ，则其面积为： S f ( x)dx (见图 3-20);
教学课件微积分第三版
称函数值f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值,
点x0为函数f(x)在区间I上的最大值点;若恒有
f(x0)≤f(x),则称函数值f(x0)为函数f(x)在区
间I上的最小值,点x0为函数f(x)在区间I上的最
小值点.
第一章 函数与极限
1.2 几何与经济方面函数关系式
1.几何方面函数关系式
(1)矩形面积S等于长x与宽u的积,即
又已知生产xkg产品的总成本为
1
C=C(x)=9x2+6x+100
所以每日产品全部销售后获得的总利润
1
1
L=L(x)=R(x)-C(x)= − 3 2 + 46x - 9 2 + 6x + 100
4
=- x2+40x-100(元)
9
1
由于产量x>0;又由于销售价格p>0,即46-3x>0,得到0<x<138,因而函数定
1.5 未定式极限
2.第二种基本情况
已知函数R(x)与S(x)中至少有一个含二次根式,当x→x0(有限值)时,
() 0
若R(x)→0且S(x)→0,则无理分式极限 lim
为 型未定式极限.
→0 () 0
解法:分子R(x)、分母S(x)同乘以它们的有理化因式,并注意到在
x→x0的过程中,恒有x-x0≠0,因而约去使得分子、分母同趋于零的
义域为0<x<138.
第一章 函数与极限
1.3 极限的概念与基本运算法则
定义1.8 已知数列
y1,y2,y3,y4,…,yn,…
当n→∞时,若一般项yn无限接近于常数A,则称当n→∞时数列yn的极
限为A,记作
点x0为函数f(x)在区间I上的最大值点;若恒有
f(x0)≤f(x),则称函数值f(x0)为函数f(x)在区
间I上的最小值,点x0为函数f(x)在区间I上的最
小值点.
第一章 函数与极限
1.2 几何与经济方面函数关系式
1.几何方面函数关系式
(1)矩形面积S等于长x与宽u的积,即
又已知生产xkg产品的总成本为
1
C=C(x)=9x2+6x+100
所以每日产品全部销售后获得的总利润
1
1
L=L(x)=R(x)-C(x)= − 3 2 + 46x - 9 2 + 6x + 100
4
=- x2+40x-100(元)
9
1
由于产量x>0;又由于销售价格p>0,即46-3x>0,得到0<x<138,因而函数定
1.5 未定式极限
2.第二种基本情况
已知函数R(x)与S(x)中至少有一个含二次根式,当x→x0(有限值)时,
() 0
若R(x)→0且S(x)→0,则无理分式极限 lim
为 型未定式极限.
→0 () 0
解法:分子R(x)、分母S(x)同乘以它们的有理化因式,并注意到在
x→x0的过程中,恒有x-x0≠0,因而约去使得分子、分母同趋于零的
义域为0<x<138.
第一章 函数与极限
1.3 极限的概念与基本运算法则
定义1.8 已知数列
y1,y2,y3,y4,…,yn,…
当n→∞时,若一般项yn无限接近于常数A,则称当n→∞时数列yn的极
限为A,记作
同济版 高等数学(上册) 第三章课件1
f x dx F x C .
式, x 称为积分变量, F x 是 f x 的一个原函数.
不定积分的概念
其中 , 符号 称为 积分号 , 称 f x 为 被积函数 , f x dx 称为 被积表达
6
二、不定积分
第三章 一元函数积分学及其应用
由定义知, 求函数 f ( x) 的不定积分, 就是求 f ( x) 的全体原函数.在 f ( x )dx 中, 积分号 表示对函数 f ( x) 施行求原函数的运算, 故求
x4 dx ; 例6 求不定积分: (6) 2 1 x
分子部分加一项减一项后, 分解被积表达式
4 x4 x 2 1 x 2 1 1 x 1 1 1 2 d x = d x dx dx x 1 1 x2 2 1 x2 2 1 x 1 x x3 x arctanx C . = 3
9
二、不定积分
1 例3 求 dx ( x 1dx ). x 1 解 当 x 0 时, (ln x) ; x
第三章 一元函数积分学及其应用
1 1 (1) . 当 x 0 时, 即 x 0 时, [ln( x)] x x 1 1 故 ln x 为 在 (0, ) 上的一个原函数 , ln( x) 为 在 (, 0) 上的一个原函 x x 数. 故当 x 0 时, ln x 为 1 的一个原函数, 从而 x 1 x dx ln x C ( x 0) .
不定积分的运算实质上就是求导(求微分)函数积分学及其应用
按照定义, 一个函数的原函数或不定积分都有相应的定义区间. 为了简便起 见, 如无特别的说明, 今后就不再注明.
《高等数学》同济六版教学课件★第3章微分中值定理与导数的应用2
(或 x )
f ( x) b lim x [ k ]0 x x x
f ( x) b lim [ k ]0 x x x
b lim [ f ( x) k x]
x (或 x )
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例2. 求曲线
3
的渐近线.
y
3 O 1
y x2
例3. 描绘
解: 1) 定义域为
的图形.
无对称性及周期性. y
2) y x 2 2 x , y 2 x 2 ,
令 y 0 , 令 y 0 ,
3)
1 O 1
2 3
x ( , 0) y y y x 1 3 y 2 2 3
0 0
(0 ,1)
1
0
4 3
(极大) (拐点)
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x y y y
0 0
1 2π
(0 , 1)
1
0
1 2πe
(1, ) 源自(极大)(拐点)
4) 求渐近线
y
1 2π
lim y 0
x
y
1 e 2π
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6）绘图
x ( , 1) 1 (1,1)
y
铅直渐近线 斜渐近线 特殊点
1
无 定 义
(1, 3) 3
(3 , )
2
(极大)
0
(极小)
x 1 1 5 y x 4 4
y
2 1
( x 3) 2 y 4( x 1)
O1 2 3 5 5 y1 x 4 4
第六节 函数图形的描绘
一、 曲线的渐近线 二、 函数图形的描绘
f ( x) b lim x [ k ]0 x x x
f ( x) b lim [ k ]0 x x x
b lim [ f ( x) k x]
x (或 x )
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例2. 求曲线
3
的渐近线.
y
3 O 1
y x2
例3. 描绘
解: 1) 定义域为
的图形.
无对称性及周期性. y
2) y x 2 2 x , y 2 x 2 ,
令 y 0 , 令 y 0 ,
3)
1 O 1
2 3
x ( , 0) y y y x 1 3 y 2 2 3
0 0
(0 ,1)
1
0
4 3
(极大) (拐点)
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x y y y
0 0
1 2π
(0 , 1)
1
0
1 2πe
(1, ) 源自(极大)(拐点)
4) 求渐近线
y
1 2π
lim y 0
x
y
1 e 2π
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6）绘图
x ( , 1) 1 (1,1)
y
铅直渐近线 斜渐近线 特殊点
1
无 定 义
(1, 3) 3
(3 , )
2
(极大)
0
(极小)
x 1 1 5 y x 4 4
y
2 1
( x 3) 2 y 4( x 1)
O1 2 3 5 5 y1 x 4 4
第六节 函数图形的描绘
一、 曲线的渐近线 二、 函数图形的描绘
同济高等数学(第六版)第三章PPT D3 3泰勒公式
Rn ( x) f ( x) pn ( x)
( 在 x0 与 x 之间)
( n1) ( n1) pn ( x) 0 , Rn ( x) f ( n1) ( x)
Rn ( x)
f ( n1) ( ) (n 1) !
( x x0 ) n1 ( 在 x0 与 x 之间)
若每项四舍五入到小数点后 6 位,则 各项舍入误差之和不超过 7 0.5 10 , 总误差限为 7 0.5 106 10 6 5 106 这时得到的近似值不能保证误差不超过 10 6. 因此计算时中间结果应比精度要求多取一位 .
6
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例2. 用近似公式
3 6 10 Rn (1) (n 1) ! 由计算可知当 n = 9 时上式成立 , 因此 1 1 e 11 2.718282 2! 9!
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说明: 注意舍入误差对计算结果的影响.
1 1 本例 e 1 1 2! 9!
f ( x0 )( x x0 ) 2
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2. 余项估计
令 Rn ( x) f ( x) pn ( x) (称为余项) , 则有
Rn ( x) ( x x0 ) n1 (1 ) Rn Rn ( x) Rn ( x0 ) (1 在 x0 与 x 之间) n n1 (n 1)(1 x0 ) ( x x0 ) 0 (1 ) Rn ( 2 ) Rn Rn ( x0 ) ( 2 在 x0 与 n (n 1)(1 x0 ) 0 (n 1)n( 2 x0 ) n1 1 之间)
(n) ( n 1) R ( x ) R ( ) n 0 n ( 在 x0 与 xn 之间) (n 1) 2( n x0 ) 0 (n 1) !
微积分(第三版)课件：多元函数微积分
轴的直准线 C 上.所以 的坐
z
标满足曲线 C 的方程 f (x , y)= 0 .
由于方程 f (x , y)= 0 不含 z，所以
y
点 M(x, y, z)也满足方程 f (x, y)= 0 . x
而不在柱面上的点作平行于 z 轴的直线与 xoy 坐
标面的交点必不在曲线 C 上, 也就是说不在柱面上的
其中每个有序数组 的坐标，n个实数
称为 中的一个点，也称该点 就是这个点的坐标的分量.
n维空间中任意两点 为
与
间的距离定义
第二节 多元函数
一、二元函数 二、二元函数的极限与连续 三、多元函数
第二节 多元函数
导言：多元函数是多元函数微积分学研究的 对象，同一元函数类似对于多元函数也有极限、 连续等基本概念.这些内容作为一元函数在多元 函数中的推广，它与一元函数相关内容类似且 密切相关，在这部分内容的学习中应注意与一 元函数的对比.在研究方法上把握一般与特殊之 间辩证关系.
点的坐标不满足方程 f (x , y)= 0.
（2）以yOz 坐标面上曲线 C : g ( y , z ) = 0 为准线,
母线平行于x 轴的柱面方程为
（3）以zOx 坐标面上曲线 C : h ( x , z ) = 0 为准线,
母线平行于y 轴的柱面方程为
z
z
y
y
x
在空间直角坐标系Oxyz下，含两个变量的方程为柱 面方程，并且方程中缺少哪个变量，该柱面的母线就 平行于哪一个坐标轴 .
区域：连通的开集称为开区域，简称区域.区域及 其它的边界所成的集合称为闭区域.
有界与无界区域：对于平面点集E，如果存在一个 以原点为圆心的圆盘D ，使 ，则称E为有界区域， 否则称E为无界区域.
同济高等数学(第六版)第三章PPT D3_2洛必达法则
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2)
x 0 x100
lim
1
1 x2
e
1 解: 令t 2 , 则 x
原式 = lim t
t 50 t
e
t 50 lim t t e
(用洛必达法则)
lim
50 t 49 e
t
t
(继续用洛必达法则)
lim
50 ! e
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x 例4. 求 lim x (n 0 , 0) . x e (2) n 不为正整数的情形.
存在正整数 k , 使当 x > 1 时,
n
x k x n x k 1
从而
由(1)
x n x k 1 xk x x x e e e k k 1 x x lim x lim x 0 x e x e xn lim x 0 x e
1 2t 2 1 t 1 原式 lim t 0 t2
lim
t 0
洛
(1 2 t )
1 2
(1 t ) 2t
1 2
洛
lim
t 0
(1 2t )
3 2
1 (1 t ) 2 2
3 2
1 4
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作业 P138 1 (6)，(7)，(9)，(12)，(13)，(16),
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洛必达法则
推论1. 定理 1 中 x a 换为下列过程之一:
x a ,
f ( x) 推论 2. 若 lim F ( x) 理1条件, 则
x ,
2)
x 0 x100
lim
1
1 x2
e
1 解: 令t 2 , 则 x
原式 = lim t
t 50 t
e
t 50 lim t t e
(用洛必达法则)
lim
50 t 49 e
t
t
(继续用洛必达法则)
lim
50 ! e
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x 例4. 求 lim x (n 0 , 0) . x e (2) n 不为正整数的情形.
存在正整数 k , 使当 x > 1 时,
n
x k x n x k 1
从而
由(1)
x n x k 1 xk x x x e e e k k 1 x x lim x lim x 0 x e x e xn lim x 0 x e
1 2t 2 1 t 1 原式 lim t 0 t2
lim
t 0
洛
(1 2 t )
1 2
(1 t ) 2t
1 2
洛
lim
t 0
(1 2t )
3 2
1 (1 t ) 2 2
3 2
1 4
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作业 P138 1 (6)，(7)，(9)，(12)，(13)，(16),
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洛必达法则
推论1. 定理 1 中 x a 换为下列过程之一:
x a ,
f ( x) 推论 2. 若 lim F ( x) 理1条件, 则
x ,
同济大学微积分课件 PPT
1,1 1,.
以下例中函数的定义域均为实数集。
例3 符号函数 ysgnx,
1 x 0,
ysgnx来自0x 0,y
1 x 0.
ysgnx
O
x
4 321
例 取整函数 y x.
y
x -4 -3 -2 -1O -1 1 2 3 4 5
-2 -3 -4
2. 函数的几种特性
有界性 设函数 y f x 的定义域为 D , 数集 X D,
a
b
x
半开半闭区间: a,bxaxb;
a
b
x
(a,b]xaxb;
a
b
x
无穷区间:
( , ) x x .
x
[a , ) xax
a
x
(a , ) xax
a
x
注意：无穷端不能写成闭的记号
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
邻域：
设a , 是实数，且 0, 则定义点 a 的 邻域为集合：
如果M 0,x X , 都有 f x M, 就称 f
在 X 上有界, 否则称为无界函数.
y
y
M
M
O
有界
x
M
O
x
M 无界
例 y sin x 在 , 上是有界函数，
y
tan
x
在
2
, 2
上无界.
y
y y tanx
y sin x
1
O
x
O
x
2
2
1
例 试说明函数 f x 1 sin 1 在 x 0 的任何空心邻
X Z,
T
x
T2[T1(x)]
以下例中函数的定义域均为实数集。
例3 符号函数 ysgnx,
1 x 0,
ysgnx来自0x 0,y
1 x 0.
ysgnx
O
x
4 321
例 取整函数 y x.
y
x -4 -3 -2 -1O -1 1 2 3 4 5
-2 -3 -4
2. 函数的几种特性
有界性 设函数 y f x 的定义域为 D , 数集 X D,
a
b
x
半开半闭区间: a,bxaxb;
a
b
x
(a,b]xaxb;
a
b
x
无穷区间:
( , ) x x .
x
[a , ) xax
a
x
(a , ) xax
a
x
注意：无穷端不能写成闭的记号
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
邻域：
设a , 是实数，且 0, 则定义点 a 的 邻域为集合：
如果M 0,x X , 都有 f x M, 就称 f
在 X 上有界, 否则称为无界函数.
y
y
M
M
O
有界
x
M
O
x
M 无界
例 y sin x 在 , 上是有界函数，
y
tan
x
在
2
, 2
上无界.
y
y y tanx
y sin x
1
O
x
O
x
2
2
1
例 试说明函数 f x 1 sin 1 在 x 0 的任何空心邻
X Z,
T
x
T2[T1(x)]
同济微积分课件
5 y 4 y 2 y 126 x 5 0, ⑶ 20 y y
将 x 0, y 0, y
1 2
代入⑶得，
y 0 0.
例11 计算由摆线的参数方程
x a t sin t , y a 1 cos t
解 当 t 1时，曲线上相应的点的坐标为 1, 2 ，曲线
在该点的切线斜率为
k
故切线方程为 即
dy dx
t 1
1 2t 1
t 1
3,
y 2 3( x 1),
y 3 x 1.
法线方程为 即
y2
1 3
x 1 ,
7
y x . 3 3
1
三、相关变化率
了这种对应关系. 这类关系的特点是：对自变量
x的
每一个取值，都可以通过表达式确定一个唯一的因变量
y 的值. 用这种方式表达的函数称为显函数.
但某种情况下，这种对应关系是 通过一个方程
F ( x, y ) 0 来确定的. 通过方程可以确定 x 和 y 的对应
关系，但这个关系不能象显函数那样用一个显式方程来 表示. 例如方程
设 x x (t ) 与 y y (t ) 都是可导函数，且变量 x 与 y dy dx 之间存在某种联系，从而变化率 与 之间也存在 dt dt 一定关系，这两个相互依赖的变化率称为相关变化率.
例6 一梯子长10 m，上端靠着墙，下端着地，梯子顺 墙下滑．当梯子下端离墙 6 m 时， 沿着地面以2 m / s 的 速度离墙，问这时梯子上端下滑的速度是多少？
但在某些情况下，并不能把隐函数转化成显函数．例
如由
y 5 3 x 2 y 2 5 x 4 12 ,
同济第三版-高数-(8.6) 第六节 微分法在几何上的应用
设：M0 ↔ t 0 , M ↔ t 0 + t，则当 M →M0 时，
t → 0， x, y , z → 0 . 改写割线方程：
x x0 y y0 z z0 . x y z t t t y z . x 由于 lim t 0 , lim t 0 , lim t0 t 0 t t 0 t t 0 t
M0
a , a , 2 2
a 2
t0 . 2
T M0 x t , yt , z t
由参数方程易求得 在点 M0 处的切向量为
t
0
a a t 1 cos t , sin t , a sin 2 2 2 t 2 a sin t, a cos t, a cos t 2 2 2 2 t 2
故对割线方程取极限有
x x0 y y0 z z0 , y z lim x lim lim t 0 t t 0 t t 0 t
则割线方程转化为切线方程 y y0 x x 0 L: z z0 . t0 t0 t0
a , 0, 2 a 2 a 2 , 0, 1 . 2 2 2 求得曲线 在点 M0 处的切线及法平面方程为 z a x a y a 2 , 2 2 L M0 : 0 1 2
M0 :
2 xza 0 .
化空间曲线方程为参数式一般是比较困难的，常
曲线 在点 M0 处的切线及法平面方程分别为
y y0 x x 0 L: z z0 1 x0 x0 y y0 x x 0 L: z z0 1 dy dz d x x x d x x x
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x 0
0
lim
x tet2dt
x0
0
xex2
0
2 xet2dt
lim 0
2ex2 lim
2.
x0 x
x0 1
三、牛顿—莱布尼茨公式
定理2 如果函数 f Ca,b, 函数F x 是 f x 的一个
原函数, 则
b
a
f
xdx
FbFa.
⑵
证 因F x 与x x f xdx都是 f x 的原函数, a
值得提出的是: 该问题是否具有一般意义, 即: 若函
数 f x 存在原函数F x , 那么函数 f x 在区间 a , b 上 的定积分是否可以表达为它的原函数在区间 a , b 上的
增量, 即:
abfxdxFbFa,
在第三目中我们将详细讨论这个问题. 首先我们讨论积分上限函数及其导数.
x
x
f
t dt
x f x x f x .
注意到, 当xx,xa就是定理1的形式.
例2 设 Fx x2sint2dt,求F x . x
解 由求导公式得
Fx2xsinx4 1 sinx.
2x
例3
求由
yetdt
x
costdt0确定的隐函数
y
对x
0
0
的导数.
解 方程两边对 x 求导, 则有
则
x F x Ca x b , ⑶
在上式中, 令 x a, 则有
aFaC,
又由于 aaafxdx0,可得CFa,代入⑶
式, 则有
axfxdxFxFa,
在上式中令 x b , 则有
abfxdxFbFa.
定理2建立了定积分与原函数之间的关系, 同时又为定 积分的计算提供了方法.
上面定理中的⑵又经常写成
k 1
k 1
令 m 1kaxnxk0, 则有
a bfxd xli m 0kn 1fk xkF bF a.
又由于 f x 可积, 由定积分的定义, 得
精品jing
同济大学微积分第三版课件第三章第六节
本节要点
本节通过积分上限函数, 证明了连续函数的原函数的 存在性, 更进一步地得到微积分基本公式——牛顿—莱 伯尼茨式
abfxdxFbFa,
其中Fx为 f x的一个原函数.
一、问题的提出
在上一节中, 我们看到: 物体在时间间隔 T1,T2 内经 过的路程为速度函数在区间 T1,T2 上的定积分
例如 fxx,x0,1, 则
x1x2 x0,1,
2
在下图中, 红色三角形面积 y
即为函数 f x x 在 0 , x 中
y=x
中的定积分, 可见它是变元 x
的函数, 面积函数为
sx 1 x2.
2
x
O
x1
x
定理1 如果函数 f Ca,b, 则积分上限函数
x
x
a
f
tdt
在 a , b 上可导, 并且其导函数为
用微分中值定理, 得
F x k F x k 1 F k x k x k 1 f k x k x k 1 ,
其中 k x k 1 ,x k,k 1 ,2 , ,n ,记 xk xk xk1,
则有
n
n
fk x k F x k F x k 1 F b F a ,
x
a
f
xdxFxba.
值得注意的是: 定理2的条件可降低为:
定理 设 f Ra,b, 并在 a , b 上存在原函数F x ,
则
a bfxd x F x b aF b F a .
证 在 a , b 插入n 1 个分点，
a x 0 x 1 x 2 x n b ,
从而把区间 a , b 分成n 个小区间, 在区间 xi1, xi 上使
二、积分上限函数及其导数
设函数 fx C a ,b , x a ,b ,则 f x 在部分区间
a , x 上可积, 由此积分 y
x
a
f
t
d t
定义了区间 a , b 上的函数,
记为 x , 即
y f x
x
O ax
xa xftdt axb.
bx
这个函数称为积分上限函数或为变上限函数.
限函数
x
x
a
f
tdt
是 f x 的一个原函数.
例1 设Fx xet2dt, 求 F x . 0
解 由求导公式, 得
Fxex2,Fx2xex2.
定理1的更一般形式是：
定理 设函数 f t 在某区间 I 上连续, 函数x及x
是 a , b 上的可导函数, 且 a,bI,a,bI,则
T2 v t d t , T1
但是, 这段路程又可视为位置函数 s t 在区间 T1,T2 上
的增量sT2sT1, 即
TT12vtdtsT2sT1,
又st vt, 即位移函数是速度函数的原函数, 所以上
述关系表示为速度函数 v t 在区间 T1,T2 上的定积分等 于v t 的原函数s t 在区间 T1,T2 上的增量.
x 0 是函数的极小值点. 又f 0 0, 故当 x 0 时 函数有极小值 f 0 0.
例5 求 lim
x et2d t 2
0
.
x 0 x t e t 2 d t 0
解 原式是0 型. 由罗必达法则, 原式为 0
x e t2 d t 2
2 x et2dt ex2
l i m
xddxax f tdt f x a x b.
证 若 x a,b, 取 x 的增量 x 并 y y f x
使得 xxa,b, 则
xx xxftdt, x a o a x xx b x
由此得到函数的增量
x x x
xxftdtxftdt
a
a
xx f tdt. x
由积分中值定理, 得
eyycosx0,
即
y cos x . ey
例4 当 x 为何值时, 函数f x xtet2dt有极值？ 0
解 为求极值, 先求函数 f x 的驻点. 因
fx x e x 2,fx 0 x 0 .
显然有: x 0 f x 0 ; x 0 f x 0 ,所以
f x,
其中 介于 x 与 x x之间, 故 f , 又由于
f x 为连续函数, 故
x
所以,
limffx,
x0
limlimffx.
x x 0
x 0
此说明函数 x 可导, 且有x f x.
若 x a或 b, 则以上的极限分别改为 x0或
x0就得到 fa与 fb.
定理1证明了连续函数的原函数的存在性. 并且积分上
0
lim
x tet2dt
x0
0
xex2
0
2 xet2dt
lim 0
2ex2 lim
2.
x0 x
x0 1
三、牛顿—莱布尼茨公式
定理2 如果函数 f Ca,b, 函数F x 是 f x 的一个
原函数, 则
b
a
f
xdx
FbFa.
⑵
证 因F x 与x x f xdx都是 f x 的原函数, a
值得提出的是: 该问题是否具有一般意义, 即: 若函
数 f x 存在原函数F x , 那么函数 f x 在区间 a , b 上 的定积分是否可以表达为它的原函数在区间 a , b 上的
增量, 即:
abfxdxFbFa,
在第三目中我们将详细讨论这个问题. 首先我们讨论积分上限函数及其导数.
x
x
f
t dt
x f x x f x .
注意到, 当xx,xa就是定理1的形式.
例2 设 Fx x2sint2dt,求F x . x
解 由求导公式得
Fx2xsinx4 1 sinx.
2x
例3
求由
yetdt
x
costdt0确定的隐函数
y
对x
0
0
的导数.
解 方程两边对 x 求导, 则有
则
x F x Ca x b , ⑶
在上式中, 令 x a, 则有
aFaC,
又由于 aaafxdx0,可得CFa,代入⑶
式, 则有
axfxdxFxFa,
在上式中令 x b , 则有
abfxdxFbFa.
定理2建立了定积分与原函数之间的关系, 同时又为定 积分的计算提供了方法.
上面定理中的⑵又经常写成
k 1
k 1
令 m 1kaxnxk0, 则有
a bfxd xli m 0kn 1fk xkF bF a.
又由于 f x 可积, 由定积分的定义, 得
精品jing
同济大学微积分第三版课件第三章第六节
本节要点
本节通过积分上限函数, 证明了连续函数的原函数的 存在性, 更进一步地得到微积分基本公式——牛顿—莱 伯尼茨式
abfxdxFbFa,
其中Fx为 f x的一个原函数.
一、问题的提出
在上一节中, 我们看到: 物体在时间间隔 T1,T2 内经 过的路程为速度函数在区间 T1,T2 上的定积分
例如 fxx,x0,1, 则
x1x2 x0,1,
2
在下图中, 红色三角形面积 y
即为函数 f x x 在 0 , x 中
y=x
中的定积分, 可见它是变元 x
的函数, 面积函数为
sx 1 x2.
2
x
O
x1
x
定理1 如果函数 f Ca,b, 则积分上限函数
x
x
a
f
tdt
在 a , b 上可导, 并且其导函数为
用微分中值定理, 得
F x k F x k 1 F k x k x k 1 f k x k x k 1 ,
其中 k x k 1 ,x k,k 1 ,2 , ,n ,记 xk xk xk1,
则有
n
n
fk x k F x k F x k 1 F b F a ,
x
a
f
xdxFxba.
值得注意的是: 定理2的条件可降低为:
定理 设 f Ra,b, 并在 a , b 上存在原函数F x ,
则
a bfxd x F x b aF b F a .
证 在 a , b 插入n 1 个分点，
a x 0 x 1 x 2 x n b ,
从而把区间 a , b 分成n 个小区间, 在区间 xi1, xi 上使
二、积分上限函数及其导数
设函数 fx C a ,b , x a ,b ,则 f x 在部分区间
a , x 上可积, 由此积分 y
x
a
f
t
d t
定义了区间 a , b 上的函数,
记为 x , 即
y f x
x
O ax
xa xftdt axb.
bx
这个函数称为积分上限函数或为变上限函数.
限函数
x
x
a
f
tdt
是 f x 的一个原函数.
例1 设Fx xet2dt, 求 F x . 0
解 由求导公式, 得
Fxex2,Fx2xex2.
定理1的更一般形式是：
定理 设函数 f t 在某区间 I 上连续, 函数x及x
是 a , b 上的可导函数, 且 a,bI,a,bI,则
T2 v t d t , T1
但是, 这段路程又可视为位置函数 s t 在区间 T1,T2 上
的增量sT2sT1, 即
TT12vtdtsT2sT1,
又st vt, 即位移函数是速度函数的原函数, 所以上
述关系表示为速度函数 v t 在区间 T1,T2 上的定积分等 于v t 的原函数s t 在区间 T1,T2 上的增量.
x 0 是函数的极小值点. 又f 0 0, 故当 x 0 时 函数有极小值 f 0 0.
例5 求 lim
x et2d t 2
0
.
x 0 x t e t 2 d t 0
解 原式是0 型. 由罗必达法则, 原式为 0
x e t2 d t 2
2 x et2dt ex2
l i m
xddxax f tdt f x a x b.
证 若 x a,b, 取 x 的增量 x 并 y y f x
使得 xxa,b, 则
xx xxftdt, x a o a x xx b x
由此得到函数的增量
x x x
xxftdtxftdt
a
a
xx f tdt. x
由积分中值定理, 得
eyycosx0,
即
y cos x . ey
例4 当 x 为何值时, 函数f x xtet2dt有极值？ 0
解 为求极值, 先求函数 f x 的驻点. 因
fx x e x 2,fx 0 x 0 .
显然有: x 0 f x 0 ; x 0 f x 0 ,所以
f x,
其中 介于 x 与 x x之间, 故 f , 又由于
f x 为连续函数, 故
x
所以,
limffx,
x0
limlimffx.
x x 0
x 0
此说明函数 x 可导, 且有x f x.
若 x a或 b, 则以上的极限分别改为 x0或
x0就得到 fa与 fb.
定理1证明了连续函数的原函数的存在性. 并且积分上