Mathematica Programming
一，mathematica structure
由内核（Kernel），前端（FrontEnd），以及各种程序包（Packages）组成。
程序包主要分三类：标准程序包（standard）,专业程序包（Math-Source）,用户程序包（User）.
内核与前端与程序包之间通过 Mathlink 交流协议传递数据。
Mathlink 也可以用于FrontEnd 与其他程序如C，Fortran之间的连接。
Mathmatica 的核心语言是 "列表—>表达式->模式->变换规则和定义"。
二，mathematica language。
列表
1，产生列表：Table，Range，Array，SparseArray(结合Band)。
2，提取列表元素：Part(结合All,;;),Extract；Take,Drop；First,Last；Rest,Most。
3，修改列表：Insert，Delete；Prepend，Append；PrependTo, AppendTo（添加并修改，执行较慢）；
Riffle （洗牌）。
4，列表排序：Sort，Ordering；Max,Min；Permutations；Reverse,RotateLeft,RotateRight。
5，列表检测和搜索：Count，Position；Cases，Select；MemberQ，FreeQ。
6，列表维度转换：Partition，Split；Tuples,Outter；Flatten,Transpose；
7，列表信息：Length，Dimensions,Depth。
8，集合操作函数：Union（区分Join），InterSection，Compliment，SubSets，DeleteDuplicates。
表达式
1，表达式（Expression）是基本结构，无论是一个数据对象，一个图像，一个Notebook都具有表达式结构。
表达式的结构：头部（head）+元素（Elements）
FullForm给出表达式在Kernel中的完整存储形式。TreeForm给出完整形式的树形图。
Head[a+b+c]=Plus FullForm[a+b+c]=Plus[a,b,c]
2，表达式类型：Atoms 表达式 和 Nonatomic 表达式
Atoms 表达式没有Part,其FullForm 就是它本身。
Nonatomic 表达式有Part，其Part 0是其head。
Atoms 只有三种: Symbols,numbers,strings. 诸如分数，复数都是 Atoms。
常用的表操作函数可对Nonatomic 表达式使用： Length, Part ,Append, Insert, Prepend。
3，表达式的输入方式：标准格式f[x,y],前缀格式f@x，中缀格式x～ｆ～ｙ，后缀格式ｘ//f。
符号定义：
1，直接赋值和延迟赋值: Set（=） 和 SetDelayed（:=）有着重要的差别。
Set定义改写规则时，其右边被立刻计算一次并输出，然后将计算后的表达式加入到改写规则序列。
SetDelayed定义改写规则时，其右边具有Hold属性保留不被计算没有输出，然后将原来的表达式加入到改写规则序列。
一般定义函数使用延迟赋值，每次调用延迟改写规则重新计算右边。
2，上值和下值: 标号circle[r]提供了对象命名途径, UpValue提供了实现一些面向对象编程功能
的一种途径 circle/: Area[circle[r_]]=Pi*r^2。
此外，UpValue 也是声明数据类型的一种有效方法。 如声明 NumberQ[u]^=True。则u可与 a_/;NumberQ 匹配。
值集DownValues和UpValues可以对改写规则库中的规则匹配顺序
重新定义排序。
3，符号信息：Information(简写为？)以及Definitions。如？x*模糊查找以x开头的符号的信息。
？Global`*能够像Matlab的Workspace那样给出当前内存中用户定义的所有的变量。
Names["Matrix*"]给出所有以Matrix开头的符号列表。NameQ检测是否为使用过的符号。
4, 符号清除：Clear清除符号定义，但不清除符号的Attributes等信息，
ClearAll同时清除Attributes等信息。Remove将从内存中完全移除符号。例：Remove["Global`*"]。
三，Functional programming
1,函数可重载，可设置属性SetAttributes。
常见的属性有 Flat，Orderless, Protected, OneIdentify, Listable.
Listable 是非常重要的属性，可使得函数能够自动Map到表中的各个函数。
从而实现向量化的编程方式，与循环相比，能大大节约时间。
2，函数操作符（High-order Function 高阶函数）
Map（一个算子作用到多个对象，输出列表），Through(多个算子作用到一个对象)，Scan（类似Map，但不输出）
Apply（应用,替换头部），Thread(按列作串，广义Transpose)，MapThread(按列作串，算子和对象分开写)
Inner(广义内积)，Outer（广义外积），Composition（算子复合），Identity(单位算子)，
InverseFunction（算子的逆），Operate(将算子作用到表达式头部)。
例：Thread[{x,y,z}->{1,2,3}]输出{x->1,y->2,z->3}
Through[(Identity+(D[#,x]&))[f[x]]]输出 f[x]+f'[x] 这一点对算符计算很有用。
3，模块化函数
括号函数。如：f[x_]:=(expr1; expr2; ...; exprn), 返回最后一个表达式的值。
使用局部变量名 Module[{局部变量声明},表达式序列]
使用局部变量值 Block[{局部变量值设定，常见为系统参数如$RescursionLimit},表达式序列]
使用局部常数 With[{局部常数设定，常见为将一些已定义变量声明为常数},表达式序列]
4，函数默认参数值
有两种默认参数方法：自定义默认参数和使用系统默认参数。
例：j[x_, y_: 1, z_: 2] := jp[x, y, z]；自定义默认参数。
一些 Mathematica 常用函数的变量具有系统设定的默认值，
此时不能明确给出 x_:v 中的默认值，而是可用 x_. 来使用其系统设定的默认值。
x_+y_. y 的默认值为 0
x_ y_. y 的默认值为 1
x_^y_. y 的默认值为 1
例：lin[a_. + b_. x_, x_] := p[a, b]； 模式 a_. + b_. x_与任何x的线性函数匹配。
四，Procedural programming
顺序结构: 程序的自然结构
分支结构: If,Which,Switch
循环结构：While,For,Do,FixedPoint,Nest(函数多层嵌套)，Fold(二元多层嵌套)
转向结构（常见于循环与分支结构中）：Break，Continue，Return，（Goto[标志]，Label[标志]）
五，Rule-Based Programming
1,模式(Patterns)：带有
“_”的表达式表示它是一个模式。
如 name_ , name__ ，name___ , name_h,(h指的某种表达式开头)，x:_^_ (对复合模式命名为x), __ , ___ 都是模式。
一个空格代表任意一个表达式；两个空格代表任意一个或多个表达式；三个空格代表一个，多个，或零个表达式。
如 MatchQ[3.14,_Real]=True ； Cases[{3,3.14,17,4+5I},_Integer]={3,17}；
重复模式Repeated（..或...） 如 a_ ... 用省略号代表0个或多个 a_组成的表达式序列模式。
2，模式的匹配
head 匹配 如 MatchQ[3.14,_Real]=True
判据匹配 如 MatchQ[{1,2,3},_?ListQ]=True
head 与判据双重匹配 如 MatchQ[{1,2,3},_List?(Length[#]>2&)]=True
添加条件匹配 如 MatchQ[x^2,_^y_/;EvenQ[y]]
或匹配 如 MatchQ[3.14,_Real|_Complex]=True
3，基于模式匹配的替换规则 与 表达式变换
Replace[expr,rules,levelspec] 应用规则到 expr 中由 levelspec 指定的部分。
ReplaceAll（expr\.rules）应用一个规则或规则列表尽可能转换一个表达式 expr 的每个子部分。
ReplaceRepeated(expr\\.rules)重复执行替换直至 expr 不再改变。
a b c d/. x_ y_->x+y 输出 a+b c d
a b c d//.x_ y_->x+y 输出 a+b+c+d
排序 maximaR[x_List]:=x//.{a___ ,b_ ,c___ ,d_ ,e___}/;d<=b :>{a,b,c,e}
压缩编码 runEncodez[lis_]:=Map[{#,1}& ,lis]//{x___,{y_ ,i_},{y_ ,j_},z___}:->{x,{y,i+j},z}
六，Recursion 递归算法编程
mathematica 天然就能识别利用递推法定义的function.
学会 thinking recursively，培养递推的思想方法非常重要。
递归范例
求表的长度 length[{}]:=0 ; length[lis_]:= length[Rest[lis]]+1 ;
压缩编码 runEncodeT[{}]:=0;
runEncodeT[{x_}]:={{x,1}}
runEncodeT[{x_,res__}]:=runEndodeT[{res}/.{{y_,k_},s___}->If[x==y,{{x,k+1},s},{{x,1},{y,k},s}]]
七，Numerics 数值编程
1，数据类型：四种类型 integer ,rational ,real ,complex
像Pi，I，E 这样的系统常数是特殊的数值类型，其Head 是Symbol，但是具有Numeric Attribute
2, 数的精度（Precision）和准确度(Accuracy)
Precision 包含整数位与小数位，而Accuracy 只包含小数位，有时候会取负数。
$MachinePrecision 为计算机64位字长存储的数据的精度，其中1位是符号位，11位为指数位，53位为尾数位，
其精度约为53lg2=16
3，准确数（Exact Numbers） 和 近似数（approximate numbers）.
机器精度(MachinePrecision)和扩展精度（Extended-Precision）.
整数，分数，复数为准确数，其精度为正无穷，但存储精度是有限位数。
实数为近似数。
对所有数机器默认以机器精度（约16位）进行存储。
当使用N[Pi,30],或 2^100这样的算式时候，超出了机器的存储精度范围。
此时mathematica 使用内部算法的Extended-Precison Integers 和 High Precison 来处理超大整数和高精度
实数。
对不同精度的数做运算时，将得到较低精度的数值结果。
4 数值计算
SparseArray 可构造稀疏矩阵节约存储空间和运算时间。
Array的数据类型一致时，mathematica内部Packed arrays 算法会对大容量 array 先编译再统一处理节约计算成本。
一些数值计算函数 NIntegrate FindRoot NDSolve
可以通过 WorkingPrecision,PrecisionGoal 等Options设定工作精度。
EvaluateMonitor 选项可以输出计算中间结果。
通过MaxRecursion和MinRecursion,MaxStepSize可以控制迭代次数以及步长等。
八，Graphics programming 图像编程
1，图像结构
所有的图像都是由基本的图形单元如Point，Line，Circle，Text等组成。
图像在mathematica的内部存储结构（FullForm或InputForm）由三大块组成：
基本图形单元（Primitives）,绘图指令（Directives),绘图选项（Options）组成。
Short[InputForm[Plot[Sin[x],{x,0,2Pi}]],10]可以查看一个Graphic的内部结构
示例 Graphics[{ PointSize[0.02], Point[{2,2}]}, Axes->True]
绘图指令对{}范围有效 基本图形单元 绘图选项对整个图有效
2，常用的图形单元，指令和选项
图形单元： Point， Line, Circle, Text
指令： Dashing ，PointSize , RGBColor ,Thickness, Hue
选项 Epilog->{} （收尾，可将图形元素如文本添加到Plot命令中）
AspectRatio->Automatic(设置长宽比例)
Ticks->{}(设置坐标刻度)
九，Frontend Programming 前端编程
Notebook 是一种表达式，可在mathematica中以“流”的方式操作，可打开新的Notebook,写入Text,Input，并计算之。
GridBox[data]//DisplayForm 可以生成表格形式
ButtonBox，Button可以生成具有复制和计算功能的按钮，HyperLink可以生成超链接。
十，Writing Packages 程序包编程
1，Context 变量的上下文。每个symbol 第一次出现的地方就是这个symbol的上下文。
启动程序时的当前上下文叫 Global`( ` 叫做反引号)。内部函数 Sin 等具有上下文 System`
Context[f] 查看 f 的上下文
$Context 查看当前工作上下文
$ContextPath 为系统搜索变量的一系列上下文地址
当程序中声明一个符号f时，mathematica从$ContextPath中依次找含有f 的上下文。
排在前面的优先表示，排在后面的被屏蔽。若遍历$ContextPath都没有找到，则在$ContextPath的最后一个上下文也就是
$Context中创建该新的symbol f.
通过 Begin["ContextA`"]可以使得这个完整表达式结束后，当前工作上下文变成 ContextA`
通过 End[]来使得当前上下文返回原来值。
通过Begin[]和End[]后$ContextPath 不会改变。
2，Package 一般结构
第一步：BeginPackage["IPM3`RandomWalks`"]
设置了$Context，并且将其加入到 $ContextPath中
，这一点与Begin[],End[]不同
第二步：引入其它packages
如 Needs["Graphics`ArgColors`"]引入的packages 不会加入到$ContextPath.
第三步：Usage Statements 作用声明
如 RandomWalk::"usage"="RandomWalk generates……"
第四步：Warning messages
第五步：Options 给出相关公共函数的 Options
第六步： Begin Private context
如：Begin["Private`"]给出子上下文，且子上下文不加入到$ContextPath中去，此为私有部分。
第七步：The Function Definitions ，这是最核心部分
第八步：End Private context, 此时$Context回到了RandomWalks`,
私有部分无法直接接触，但可以通过公共部分的声明进行调用。
第九步： EndPackage 回到BeginPackage之前的 Context
3，Package 的调用
Get[Calculas`VectorAnalysis`]在任何时候直接装载运行程序包
Needs["Calculas`VectorAnalysis`"]当该程序包不在$Packages时候装载运行程序包。
DeclarePackage["VectorAnalysis`", {"Div", "Grad", "Curl","namei"...}]
指明当名为 namei 的符号使用时自动调入一个包.
<
程序包调用的四种方法：
（1）打开package 并Evaluate之，即可调用。
（2）将package中的m文件复制到$Path的默认搜索地址。
（3）Get[my_package.m,Path->{指定目录地址}]
（4）修改$Path 的范围，$Path=Join[$Path,{指定目录地址}]
例：New File m文件，写入Plot[Sin[x],{x,-Pi,Pi}],名称为Script.m，
保存至 D/:Mathematica9.0/Addon/Package/Aplication,
然后在Notebook中调用<
4，文件的创建，读取，写入数据
创建文件 Save["filename","Context`"]
读取文件 Get 或 <<
写入数据 "expr">>>filename
创建流写入数据 str=OpenWrite[] 创建流
Write[str,a^2,1+b^2] 写入数据
Close[str] 关闭流
找到文件地址 FindFile["test.gif"]
导出文件内容 Import["test.gif"]
将数据导入到文件中 Export["test.gif",Plot[Sin[x],{x,0,Pi}]]
Appendix A How expressions are evaluated?
1,若表达式是一个 number 或 string,直接保留下来输出。
2，若表达式是一个symbol，将在global rule base 中寻找相应的改写规则，若找到，应用并改写，否则将其保留。
3，若表达式不是 number ,string 和symbol，也就是Nonatomic expression。它的各部分按如下顺序计算
a,expression 的head被计算
b,expression 的 各个part 依次被计算，除非head 具有hold属性
，它的某些part不被计算。
4，expression的head和各个part 被计算后，包含改写后的head和改写后的 part 的新的expression 将作为整体被计算，
只要是 global rule base 中存在相应的改写规则。
5，重复1,2,3,4，不断对新的expression 进行改写，直到没有可以应用的改写规则。
规则应用顺序优先级：user-defined rules 优先于 built-in rules；更为具体的改写规则优先于一般的改写规则。
如f[0]:=... 比f[x_]:=...更为具体。
Appendix B Debugging 程序调试
1，Tracing Evaluation 。利用 Trace，TracePrint 对表达式计算过程跟踪，输出中间结果。
2，Print variables。 此法非常有用且有效。如 F[n_]:=(Print[n];F[n-2]+F[n-1])/;n>1
3, Reap and Sow 播种和收割一些中间变量值。
4，常见错误
Part超出长度范围
函数定义忘记了对自变量使用pattern,少了blank
函数的参数不匹配
递归和迭代超出了可容许的最大递归和迭代深度。
5，程序运行效率比较
向量化的编程方式（使用List）≈ Functional Programming ＞ （最快）
面向过程的编程方式（Procedual Programming）≈递归算法（Recursion）＞ （一般）
应用替换规则的编程方式(RuleBased Programming) （最慢）
Appendix C 一些功能强大的函数
FindFit 可以拟合各类复杂的非线性函数
EquationTrekker 微分方程迹线器 可以研究微分方程相图
TagSetDelayed 可以定义抽象函数 如 mod/:mod[a_,p_]+mod[b_,p_]:=mod[Mod[a+b,p],p];
Function 灵活运用函数可以使得程序大大简化,用#0代表纯函数本身可用于递归如 If[#1==1,1,#1 #0[#1-1]]&。
##代表所有的参数，##2代表从第二个往后的所有的参数。如Table[i*j,##]&@@{{i,1,3},{j,1,4}}
Boole 可以将逻辑结果True 和 False 转换为1和0。
FindInstance 求方程的特解，可以求一些整数解和满足特定条件的解。
FreeQ 可以测试表达式是否含有某种模式,通常测试所有层，类似的MemberQ测试第一层。在定义微分积分中可以应用。
Tally 计数器，可以从表达式中得到某种模式出现的次数。
StringExpression (~~)比StringJoin 更为强大，<>只对明确的字符串连接，而~~可以作逻辑运算，
如StringMathQ[***,("AMEX:"|"NYSE:"|"NASDAQ:")~~__]
Appendix D 一些快捷键
F1 查找帮助
Shift+F1 打开新的查找帮助
F2 补全函数
F12 全屏
Ctrl+/ 分数线
Ctrl+2 二次根号
Ctrl+ 6 上标或幂次方
Ctrl+ _ 下标
Ctrl+z 撤销上次操作
Shift+方向键 选择
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Esc+dd+Esc 微分符号 d
Esc+
int+Esc 积分符号∫
Esc+intt+Esc 积分符号∫和微分符号
Esc+dintt+Esc 定积分符号和微分符号
Esc+pd+Esc 偏导数符号
Esc+sumt+Esc 定求和
Esc+prodt+Esc 定求积
Esc+co+Esc 复数共轭Conjugate *
Esc+hb+Esc 普朗克常数 hbar