数学软件 Mathematica课件

!p
Not运算
P&&q
And运算
P||q
Or运算
Xor[e]
Exclusive or运算
基本代数运算（太多，不介绍）
方程求解
• Solve是Mathematica的通用求解命令，它 不但能求出精确的数值解或代数解，还可 求出复数解。
• 基本格式： • Solve[eqn,x] 解方程eqn，其中x为变量 • Solve[{eqn1,eqn2,…},{x,y, …}] 解方程组
• 如果你的计算机的内存足够大,Mathemateic 可以表示任意长度的精确实数，而不受所用的计 算机字长的影响。整数与整数的计算结果仍是精 确的整数或是 有理数。例如：2的100次方是一 个31位的整数
数值运算
• 精确运算
• Mathematica进行计算时总是首先判别是否能
进行精确运算，若能，则进行精确运算。一般
• 一个表达式只有准确无误，方能得出正确结果。
• 如果输入了不合语法规则的表达式，系统会显示 出错信息，并且不给出计算结果。
• 学会看系统出错信息能帮助我们较快找出错误， 提高工作效率。
• 完成各种计算后，点击File->Exit退出，如果文件 未存盘，系统提示用户存盘，文件名以“.nb”作 为后缀，称为Notebook文件。以后想使用本次保 存的结果时可以通过File->Open菜单读入，也可 以直接双击它，系统自动调用Mathematica将它 打开.
• 近似计算示例1
• 近似计算示例2
• 例 已知 ysin(πx)3x21,求 x1时的函数值。
4
• 例 解代数方程x3-2x-1=0.
• 解 在Mathematica中解方程的函数为Solve[]和 FindRoot[]，输入

最初，Mathematica的影响主要限于数学、物理学和工 程学领域。
随着时间的变化，Mathematica在许多重要领域得到了 广泛的应用，如金融、生物学等。
现在，它已经被应用于科学的各个领域。
1.0 Mathematica的历史
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许多世界顶尖科学家都是它的忠实支持者。它在许多重 要的发现中扮演着关键的角色，并是数以千计的科技文章 的基石。
在工程中，Mathematica已经成为开发和制造的标准。 世界上许多重要的新产品在它们的设计某一阶段或其它阶 段都依靠了Mathematica的帮助。
在商业上，Mathematica在复杂的金融模型中扮演了重 要的角色，广泛地应用于规划和分析。
同时，Mathematica也被广泛应用于计算机科学和软件 发展：它的语言元件被广泛地用于研究原型和界面环境。
1.0 Mathematica的历史
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当 Mathematica1.0 版 发 布 时 ， 《 纽 约 时 代 报 》 写 道 ： “这个软件的重要性不可忽视”；《商业周刊》将 Mathematica 评 比 为 当 年 十 大 最 重 要 产 品 。 在 科 技 界 ， Mathematica被形容为智能和实践的革命。
1.1 Mathenmtica系统简单操作
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1.1.2 工作窗口操作
工作窗口是用户输入、输出、显示各种信息，以及运行 各种程序的场地，用户的全部操作都将在这里进行，人们 将这种类型的窗口称之为Notebook。
下面举例说明在工作窗口中怎样进行操作。 【例1-1】已知a=2，b=3.7，试求c=a+b的值。 在Untitled-1工作窗口中直接键入：
Mathematica 1.2 (1989) Mathematica 2.1 (1992) Mathematica 3.0 (1996) Mathematica 4.1 (2000) Mathematica 5.0 (2003) Mathematica 5.2 (2005) Mathematica 6.0.3 (2008)

或 clear[x,y,……]
9.1.4 常用函数
1、系统常用的数学函数
幂函数 Sqrt（平方根） 指数函数 Exp（以e为底的指数） 对数函数 Log 三角函数 Sin，Cos，Tan，Cot，Sec， Csc 反三角函数 ArcSin，ArcCos，ArcTan，ArcCot 绝对值函数 Abs 求和函数 Sum 取整数函数 IntegerPart 求模函数 Mod[m,n]——求m除n所得余数
格式：Nest[f，x，n] 6、定义临时变量
格式：Module[{x，y，……}，表达式1； 表达式2；……]
使用中的几个问题
1、简便输入 %—表示上次计算的结果 %% —表示上上次计算的结果 %n—表示第n次计算的结果
2、运行程序— Shift+Enter或小键盘 上的Enter
3、保存文件 用菜单进行：save as …… 4、分号“；”的应用 （1）在几个语句中间，表示各语句间 并列关系，用于一行多句输入
格式4： Table[表达式，{x，n1，n2，n3}] — 生成的表中元素x的取值从n1到n2，步长为n3 例6：生成{10，20，30，……，150} 例7：生成{e， e4 ， e7 ， e10 ， e13}
格式5： Table[f[m，n]，{m ，m1 ，m2，m3}， {n，n1，n2，n3}] —生成二层表 例8：生成{{2，3，4，5，6}，{3，4，5，6， 7}，……{6，7，8，9，10}}
例9：生成{{1，2}，{2，3}，{3，4}，{4，5}， {5，6}}
例10：生成{{1，Sin[1]}，{2， Sin[2]}，……， {5， Sin[5]}}
4、迭代（递推）生成 格式：NestList[函数名f，初值x，迭代次数n] 例1：f[x_]: = 1/(1+x) NestList[f，x，4] 例2： NestList[Sin，x，4]

2.3.3 随机数函数
随机数函数
名称
Random[ ] Random[Real,xmax] Random[Real,{xmin,xmax}] Random[Complex] Random[Complex,{zmin,zmax}] Random[type,range,n] Random[Integer] Random[Integer,imin,imax] SeedRandom[ ] SeedRandom[s]
复变量的数值函数
名称 x+yI Re[z] Im[z] Conjugate[z] Abs[z] Arg[z] 意义 定义复数x+yI 定义复数 求复数z的实部 求复数 的实部 求复数z的虚部 求复数 的虚部 求复数z的共轭 求复数 的共轭 求复数z的模 求复数 的模 求复数z的幅角主值 求复数 的幅角主值
关于机器精度的函数
名称 $MachinePrecision MachineNumberQ[x] 意义 获得计算机系统的机器精度 判断x是否为机器精度数 判断 是否为机器精度数 是—True；否—False ；
2.2 变量
2.2.1 变量及其定义
在变量名中不能包含空格和标点符号 在Mathematica中，对于一次使用后不想保 中 留的变量，建议使用Clear[]函数立即清除 留的变量，建议使用 函数立即清除
离散数学中常用，可以组合利用上面介绍的组合函数， 离散数学中常用，可以组合利用上面介绍的组合函数， 产生各种各样的组合表
2.3.6 初等超越函数
初等超越函数
名称
Exp[x] Log[x] Log[b,x] Sin[z],Cos[z],Tan[z],Csc[z],Sec[z],Cot[z] ArcSin[z], ArcCos[z], ArcTan[z], ArcCsc[z], ArcSec[z], ArcCot[z] Sinh[z],Cosh[z],Tanh[z],Csch[z],Sech[z],Coth[z] ArcSinh[z], ArcCosh[z], ArcTanh[z], ArcCsch[z], ArcSech[z], ArcCoth[z]

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如果输入完整的命令:？Plot,系统将给出较 完整的语法解释。
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如果需要更详细的内容，可以在Notebook 窗口输入：？？Plot，会得到全面的信息 。
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1.5 Mathematica的选项板

按“File”菜单，再将光标移到“Palettes”, 再单击“BasicCalculations”出现一个基本 计算式选择窗口。Mathematica的命令分七 大类完全排列在其中。单击项目前的“ ” 会打开命令项，拾取命令项，会在工作窗 内显示该命令。
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Edit为编辑命令菜单。常用的命令有Cut剪 切、Copy 拷贝、Paste 粘贴、Select All 全选、以及Undo 取消等。 Cell为“细胞”菜单，“细胞”是指工作窗 输入的一组命令及其输出的一组结果，在右 边用“]”标识。该菜单主要是设置细胞的风 格。
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1.2.1 工具条


工具条上有9个菜单项。点击菜单项会弹出下 拉式菜单。我们重点讲解各菜单项的几种常用 的命令。 File菜单是文件管理菜单，主要解决新建文件， 打开或关闭，保存等功能。在它的第三个区里 有一个选项板”Palettes”，当鼠标指向它时， 会弹出下一级的子菜单。（详见后面的选项板）
Sinh[x] Cosh[x] Tanh[x]
arcsinx arccosx arctanx arccotx arcsecx arccscx arcsinhx arccoshx arctanhx

用Mathematica画函数的图象 Mathematica画函数的图象
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命令格式：
xmin, Plot f x , x , xmin , xmax , 可选项
其中f[x]代表一个函数表达式，x 其中f[x]代表一个函数表达式，x表示函数的 自变量，xmin，xmax分别表示所要做的图 自变量，xmin，xmax分别表示所要做的图 形中x 形中x取值的下、上限。可选项是对图形参 数的设定，如果不写可选项 D 8 @8@ < D < 8< < 8 D
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z = x 2 + y 2 的图形。 例 画出
Plot3D[x^2+y^2,{x,-2,2},{y,-2,2}]
8 6 4 2 0 -2 -1 0 1 2 -2 -1 2 1 0
Plot3D[x^2+y^2,{x,-2,2},{y,-2,2},ViewPoint->{4,0,0}]
1
8D @@ @D @D< < 8 D
3 , x, - 2 * Pi, 2 * Pi
0.5 -4 -2 -0.5 2 4 6 -1
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8D D 8 D @@ @ < <
-6
3.2 参数方程作图
命令格式 例 画函数
ParametricPlot x t , Y t , t, tmin, tmax
2 2
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用Mathematica解方程 Mathematica解方程
Solve[ f[x]= =0,x]
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Automatic
$ DisplayFuncti on False
坐标轴经过的点的坐标
如何显示图形，Identity表 示只生成但不显示图形 图形周围是否加边框
FrameLa bel
GridLines PlotLabel
None
None None
在图框周围加标志，由x轴 开始顺时针方向
是否画坐标网格线 是否给整个图形加标记
PlotColor
PlotRange Ticks
True
Automatic Automatic
是否显示彩色图形
图形中纵坐标的范围，All 包括所有的点 规定轴上刻度的位置，可 用{Xt,Yt}形式规定刻度
（1） AspectRatio参数 AspectRatio参数用来改变图形显示的横坐标和纵坐 标的比例，即图形的宽和高的比例，它的缺省值是黄 金分割的倒数，即0.618：1。当需要显示图形的真实比 例时，应指定该参数的值为Automatic,如图5-3和图5-4 所示。 In[3]:=Plot[Cos[x^2],{x,0,6},AspectRatio->Automatic] Out[3]=-GraphicsIn[4]:=Plot[Cos[x^2],{x,0,6}] Out[4]= -Graphics1 0.5
1 0.5 -1 -0.5 0.5
1
-0.5
Out[8]=-Graphics-
-1
认识到第二类参数是非常重要的，即因为Mathematica 只能采样函数中的有限点，所以作图的时候很可能就漏 掉了一些特征点。为了增加曲线的真实性，用户可以改 变上表中PlotPoints参数的值来实现。 Mathematica画曲线实际上是一个区间内取多个点的值， 然后将这些点用直线连接起来。如果两条相邻直线之间 的扭转角大于参数MaxBend的设置值，则Mathematica 会在这个区间内再进行采样，直到相邻直线之间的扭转 角满足条件为止。 但遇到无穷振荡的时候，无论怎么细分，上面的条件是 永远不会满足的。为了避免不必要的计算，参数 PlotDivision 规定了细分函数的最大因子。当两个 初始点之间的细分大于这个值时，Mathematica不再进 行细分，保证了系统不会因为陷入无限度细分而使整个 系统崩溃。

(1).绘制参数方程
的图形
ParametricPlot[{Sin[3t]Cos[t],Sin[3t]Sin[t]},{t,0,2Pi}]
(2)．下面将一个圆与上面参数绘在同一个坐标下，并保证图形 的形状正确。
ParametricPlot[{{Sin[3t]Cos[t],Sin[3t]Sin[t]},{Sin[t],Cos[t]}},{t,0,2Pi}, AspectRatio->Automatic]
Circle[{x,y},r,{theta1,thata2}]
圆弧
Circle[{x,y},{rx,ry},{theta1,the 椭圆弧 ta2}] Disk[{x,y},r] 填充圆
(1).绘出一个有颜色和大小的点，且在图形四周插入文本 Graphics[{Text[“Left”,{-1,0},{1,0}],Text[“Right”,{1,0},{1,0}],Text[“Above”,{0,1},{0,-1}],Text[“Below”,{0,1},{0,-1}],{PointSize[0.3],Point[{0,0}]}},PlotRange->All] Show[g1]
• Mathematica用于绘数字集合的图形的命令 与前而介绍的绘函数图形的命令是相似的。 如下: 绘出在x的值为1，2…时 ListPlot[{y1,y2,…..}] y1,y2,…的图形 ListPlot[{{x1,y1},{x2 绘出离散点（xi,yi） ,y2},…..}]
ListPlot[List,PlotJoi 把离散点连成曲线 ned->True]
St=Table[Rectangle[{x,0},{x+0.08,Sin[x]}],{x,0,2Pi,0.15}] Show[Graphics[St],Axes->True]

Thickness[t] 曲线粗细描述函数，自变量t旳取值范围为闭区间[0， 1]，t旳取值描述曲线粗细所占整个图形百分比，一般取值不大于0.1。 二维图形旳粗细默认值为Thickness[0.004]，三维图形旳粗细默认值为 Thickness[0.001]。
GrayLevel[t] 曲线灰度描述函数，自变量t旳取值范围为闭区间[0， 1]，t取0值为白色，t取1值为黑色。
• 举例：
n=4; r=5Cos[nt]+2Sin[5nt]; tu2=ParametricPlot[{rCos[t],rSin[t]},{t,0,2Pi},PlotStyle->{RGBColor[0,0,1],
Thickness[0.01]},AspectRatio->1];
6 4 2
-6 -4 -2 -2 -4 -6
例:AxesLabel-> None, 表达显示旳图形坐标轴没有标识；
AxesLabel->{"time" , "speed"}, 表达平面图形旳横坐标轴标识 显示为time 纵坐标轴标识显示为speed;
AxesLabel->{“时间”,“速度”,“高度”}, 表达空间图形旳 横坐标轴标识设置为时间, 纵坐标轴标识设置为速度, 竖坐标轴 标识设置为高度。
1.5 1
0.5
-2 -1 0 1
2 1 0 -1
2 -2
返回
• 例3：
n=5; r=5Cos[nt]+Sin[5nt]; tu1=Parametricplot[{rCos[t],rSin[t]},{t,0,2pi},AspectRatio->1,
Axes->False,PlotStyle->{RGBColor[1,0,0],Thickness[0.01]}];