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构建创意平板折叠桌的数学模型引言随着科技的不断发展，平板电脑已经成为人们生活中不可或缺的一部分。
然而，平板电脑使用时需要一个支撑桌面，在有限的空间内使用时，传统的桌子常常占用太多的空间。
为了解决这个问题，我们尝试构建一个创意平板折叠桌，它可以根据使用需求进行折叠和展开。
在构建这样一个创意平板折叠桌之前，我们需要先建立一个数学模型，以确保桌子在各种折叠和展开状态下的稳定性和平衡性。
本文将就如何构建这样的数学模型展开讨论。
问题描述我们的目标是构建一个创意平板折叠桌，这个桌子具备以下特性： 1. 可以根据使用需求进行折叠和展开； 2. 在折叠和展开状态下都能保持稳定性和平衡性； 3.桌子的大小和形状可以根据需要进行调整。
解决方案步骤1：定义桌子的基本参数首先，我们需要定义桌子的基本参数，包括桌子的长度、宽度、高度和形状。
这些参数将会对后续的计算和模型建立起重要的作用。
步骤2：建立桌子的结构模型根据桌子的基本参数，我们可以建立桌子的结构模型。
这个模型可以是一个简化的几何形状，例如矩形或三角形，也可以是一个更加复杂的数学模型，考虑到桌子的折叠和展开特性。
步骤3：确定桌子的支撑结构在建立桌子的结构模型后，我们需要确定桌子的支撑结构，以保证桌子在折叠和展开状态下的稳定性和平衡性。
这个支撑结构可以包括桌腿、强化梁等部件，我们需要考虑它们的材料、数量和位置等因素。
步骤4：计算桌子的平衡点在确定了桌子的支撑结构后，我们需要计算桌子在折叠和展开状态下的平衡点。
平衡点是桌子上所有质量受力平衡时的位置，它对桌子的稳定性至关重要。
通过计算桌子在不同状态下的平衡点，我们可以调整桌子的支撑结构，以确保桌子在使用时不会翻倒或失去平衡。
步骤5：优化桌子的设计最后，我们可以通过使用优化算法来优化桌子的设计。
这个优化过程可以考虑桌子的不同参数和约束条件，以找到一个最佳的设计方案。
优化的目标可以是最大化桌面面积、最小化材料使用量或平衡性等。
B 题 创意平板折叠桌摘 要本文针对折叠桌的特点，将其抽象成简单的数学模型，按题目中的要求，应用立体几何图形和运筹学的方法建立数学模型并求解.对问题一，依据题目中的数据应用Ｍatlab 和Soli ｄW ｏrks 软件，对折叠桌的运动过程进行动态模拟和分析,然后将该折叠桌抽象成立体几何图形建立模型,应用几何图解法和向量法，对折叠桌的桌腿长和桌腿木条开槽的长度进行求解得到开槽长度为：对问题二，折叠桌放置在地面，不考虑木条的形变时，只有四个边缘桌腿受力,钢筋对各个桌腿的力为零.假设折叠桌与木地面有一定的摩擦力，对桌腿进行受力分析,桌腿只在两个端点处受力,是二力杆，根据木头间的摩擦因数即可得到桌腿发生自锁时桌腿与竖直方向的最大角度21.8。
给折叠桌一个稳定安全因数 1.2s n =，便可得到折叠桌的安全角度=18.44α.根据α大小，桌面高度和圆形桌面直径，可以得到各个桌腿长度。
加工程度考虑木条槽长的总长，因此得到优化目标为加工的木条槽长最短,当桌高7０ ｃm,桌面直径80 cm 时，解得木板长a =16７.４16ｃm 钢筋距边缘桌腿末端的距离为()11=31.1322aL x -+cm 针对问题三，我们在问题一的基础上将其模型进行一般化处理，从桌面边缘线的形状，大小出发,给出软件设计的模型。
在该模型设计的基础上，我们根据自己设定的参数，相应地应用Sol ｉdWorks 设计新型的平板折叠桌,其中有菱形桌面和椭圆型桌面,见图6~图１２。
关键字:立体几何图形 动态模拟 自锁 Sol ｉdW ｏrks一、问题的重述某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板（如图1－2所示）。
桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上,并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度(见图3)。
桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。
附件视频展示了折叠桌的动态变化过程。
【摘要】针对目前的课堂教学需求，如桌子高度可能会不合适且不易调节，以及放在桌面上的东西容易滚动滑动等等，并结合自身在上课时对于桌子的要求和希望改进的地方，做出了一个多功能书桌的设计，旨在能够以更多的功能以及更加完善的人机功效来提高学生的上课效率。
同时目前的硬件设施在功能日趋完备的同时，也更加注意到空间的充分利用，所以对于目前正在使用的桌子等硬件设施进行重新设计，以提升其对于空间的利用效率，利用机械原理使其能占用更少的空间而发挥更大的作用。
、本文主要讲述多功能书桌的各部件设计以及其设计原理，通过对于结构的分析和材料选择分析，制定相关的部件外形与内部结构，然后利用UG NX软件对各零件进行三维建模，完成整体的组装和完整的组装步骤。
【关键词】：多功能书桌创新三维建模组装目录引言 (1)一、多功能书桌的可行性分析 (2)（一）市场分析 (2)二、多功能书桌介绍 (5)（一）外形及主要部件介绍 (5)（二）多功能书桌设计图 (6)（三）桌子功能 (12)（四）技术分析 (13)三、多功能书桌的美化设计方向 (15)（一）细节美化 (15)（二）结构美化 (16)四、多功能课桌进一步改善的发展方向 (16)（一）新型功能的添加 (16)（二）材料方面的改善 (16)（三）应用范围的普及 (16)（四）结构方面的改进 (16)总结 (18)参考文献 (19)谢辞 (20)引言目前的教室中，绝大多数采用的还是传统的钢管、铁皮、铁皮、胶木板之类的材料用螺丝螺母结构组装的课桌，但是功能并不完善，常常发生桌面上的东西掉到地上的事，并且对于长期伏案工作的学生和有此类工作情形的人来说，目前的桌子并不能保证使用者以一个正确的姿势来工作，长此以往容易导致身体出现问题。
同时对于不同身材的使用者，目前使用的桌子也没有相应方便的调节机构，这就导致有的时候使用者会觉得桌子使用起来很别扭。
基于这种情况，我设计了一款多功能的桌子，相信它能让坐着学习工作变得更方便更有乐趣。
创意平板折叠桌的数学模型大纲本文主要研究的是创意平板折叠桌的设计加工问题，对设计加工参数进行解析和优化并为公司开发设计折叠桌软件供应数学模型，为解决这些问题建立不同样的数学模型并用 MATLAB进行模型求解。
针对问题一，本文建立了模型Ⅰ——动向变化及数学描述模型。
利用解析几何求出每根桌腿由平铺状态到完好张开过程中转过的角度来描述折叠桌动向变化过程，并在此基础上用 MATLAB解出设计加工参数 : 桌腿木条开槽长度 K i，三维空间桌脚边缘线。
针对问题二，本文建立模型Ⅱ ——设计加工参数模型。
采用多目标决策解析方法使产品到达坚固性好、加工方便、用材最少，所以开槽长度K 和长方形平板面积S 必定达到最小，对于任意给定的高度H 和圆形桌面直径 R 确定：①决策变量： a1〔桌面最外侧木条的半长〕， 1 〔最外侧桌腿的竖直偏角〕，p 〔最外侧折叠处到钢筋地址距离与最外侧桌腿的比值〕②目标函数 : K ( 开槽总长度 ) ， S 长方形木板面积用 MATLAB求解出多组方案并确定目标函数最小的最优方案，列出设计加工参数。
针对问题三，本文建立了模型Ⅲ——软件设计模型。
依照客户设定的高度、桌面边缘线形状大小为客户供应三种桌面形状：①圆形桌面，②圆弧和矩形组合桌面，③“8〞字形桌面。
对于圆形桌面可参照模型Ⅱ；对于组合桌面，可在模型Ⅱ的基础上经过增大最外侧桌面木条的长度a1来实现；对于“8〞字形桌面那么可将两个组合桌面的直线边进行对接，所以模型三的建立和求解即可在模型Ⅱ 的基础上改动来实现。
要点词：解析几何MATLAB 多目标决策解析EXLINK1.问题重述某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动能够平摊成一张平板。
桌腿由假设干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。
桌子外形由直纹曲面组成，造型雅观。
试建立数学模型谈论以下问题：1.给定长方形平板尺寸为120 cm × 50 cm × 3 cm ，每根木条宽2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心地址，折叠后桌子的高度为53 cm。
65511 数学论文构建创意平板折叠桌的数学模型一、模型假设折叠后的桌面为理想圆，光滑平整，且桌面上的木条间无间隙钢筋与开槽内壁之间无摩擦将木条抽象为线段，不计木条的厚度二、符号说明序号符号符号意义1r桌面半径2h桌子高度3N桌腿的根数4b每根木条的宽度5p铺平时木条的铰链到x轴的距离6q桌子长度的一半7α第一根木条与桌面间的夹角8y（r）第一根木条的铰链之间的距离的一半9y（t）不忽略y（r）时木条的铰链对应的纵坐标10legL（t）桌腿长度三、模型的建立与求解3.1几何分析模型考虑桌面折叠后最边缘的木条长度，建立空间直角坐标系，取每根木条的中心线作为取值点，y轴的取值范围为[-r+d/2，r-d/2]，取值间隔为d，桌面圆的参数方程为：y（t）=tx（t）=r2-t2腿长度为：legL（t）=q-x（t）图1XOZ平面图如图所示，B点为钢筋轴在XOZ平面投影的位置，A点为t0=-r+d/2时所对应的x轴函数值，即此时有：x（t0）=r2-（-r+d/2）2。
在ΔABD中，BD=ABsinα，即可得钢筋轴竖坐标z1（t）=-gsinα同理，由AD=ABcosα，得钢筋轴横坐标x1（t）=x（t0）+gcosα在ΔCBD中，tanβt=BDCD，故βt=arctan-z1（t）x1（t）-x（t）在ΔCEQ中，EQ=CEcosβt，QE=CEsinβt故桌脚边缘线的横坐标为x2（t）=x（t）+legL（t）cosβt桌脚边缘线的竖坐标为z2（t）=-legL（t）sinβt使用MATLABR2012b绘制折叠桌在折叠过程中的动态变化示意图，如下：图2折叠桌在折叠过程中的动态示意图3.2参数方程的建立3.2.1木条铰链参数方程设计的木条宽度不一样，那么折叠桌的桌腿数目也会随之改变。
将桌面近似为一个半径为r的圆。
那么将每根木条铰链处对应横坐标视为一个关于参数t的渐变连续的函数。
设N为桌腿的根数，b为每根木条的宽度，则有关系式：N=rb即，b=rN由勾股定理知，铰链的纵坐标满足关系式y（t）2+（i-1Nr）2=r2由此化简可得出铰链的参数方程为x（t）=ty（t）=r2-[（i-1）b]23.2.2桌角边缘线参数方程的建立上述几何模型中求的桌角边缘线参数方程，忽略了将平板折叠后，最长木条铰链间的距离。
B 题 创意平板折叠桌摘 要本文针对折叠桌的特点，将其抽象成简单的数学模型，按题目中的要求，应用立体几何图形和运筹学的方法建立数学模型并求解。
对问题一，依据题目中的数据应用Matlab 和SolidWorks 软件，对折叠桌的运动过程进行动态模拟和分析，然后将该折叠桌抽象成立体几何图形建立模型，应用几何图解法和向量法，对折叠桌的桌腿长和桌腿木条开槽的长度进行求解得到开槽长度为：对问题二，折叠桌放置在地面，不考虑木条的形变时，只有四个边缘桌腿受力，钢筋对各个桌腿的力为零。
假设折叠桌与木地面有一定的摩擦力，对桌腿进行受力分析，桌腿只在两个端点处受力，是二力杆，根据木头间的摩擦因数即可得到桌腿发生自锁时桌腿与竖直方向的最大角度21.8。
给折叠桌一个稳定安全因数 1.2s n =，便可得到折叠桌的安全角度=18.44α。
根据α大小，桌面高度和圆形桌面直径，可以得到各个桌腿长度。
加工程度考虑木条槽长的总长，因此得到优化目标为加工的木条槽长最短，当桌高70 cm ，桌面直径80 cm 时，解得木板长a =167.416cm 钢筋距边缘桌腿末端的距离为()11=31.1322aL x -+cm 针对问题三，我们在问题一的基础上将其模型进行一般化处理，从桌面边缘线的形状，大小出发，给出软件设计的模型。
在该模型设计的基础上，我们根据自己设定的参数，相应地应用SolidWorks 设计新型的平板折叠桌，其中有菱形桌面和椭圆型桌面，见图6～图12。
关键字：立体几何图形 动态模拟 自锁 SolidWorks一、问题的重述某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板（如图1-2所示）。
桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度（见图3）。
桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。
附件视频展示了折叠桌的动态变化过程。
创意平板折叠桌的数学模型摘要本文主要研究的是创意平板折叠桌的设计加工问题，对设计加工参数进行分析和优化并为公司开发设计折叠桌软件提供数学模型，为解决这些问题建立不同的数学模型并用MATLAB 进行模型求解。
针对问题一，本文建立了模型Ⅰ——动态变化及数学描述模型。
利用解析几何求出每根桌腿由平铺状态到完全展开过程中转过的角度来描述折叠桌动态变化过程，并在此基础上用MATLAB 解出设计加工参数:桌腿木条开槽长度i K ，三维空间桌脚边缘线。
针对问题二，本文建立模型Ⅱ——设计加工参数模型。
采用多目标决策分析方法使产品达到稳固性好、加工方便、用材最少，所以开槽长度K 和长方形平板面积S 必须达到最小，对于任意给定的高度H 和圆形桌面直径R 确定：①决策变量：1a （桌面最外侧木条的半长），1 （最外侧桌腿的竖直偏角），p （最外侧折叠处到钢筋位置距离与最外侧桌腿的比值） ②目标函数 :K (开槽总长度)，S 长方形木板面积用MATLAB 求解出多组方案并确定目标函数最小的最优方案，列出设计加工参数。
针对问题三，本文建立了模型Ⅲ——软件设计模型。
根据客户设定的高度、桌面边缘线形状大小为客户提供三种桌面形状：①圆形桌面，②圆弧和矩形组合桌面，③“8”字形桌面。
对于圆形桌面可参照模型Ⅱ；对于组合桌面，可在模型Ⅱ的基础上通过增大最外侧桌面木条的长度1a 来实现；对于“8”字形桌面则可将两个组合桌面的直线边进行对接，所以模型三的建立和求解便可在模型Ⅱ的基础上改动来实现。
关键词：解析几何 MATLAB 多目标决策分析 EXLINK1.问题重述某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。
桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。
桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。
试建立数学模型讨论下列问题：1. 给定长方形平板尺寸为120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。
数学模型的创意平板折叠桌优化设计研究随着的和进步，能够有效节省空间的创意平板折叠桌应运而生，它不仅可以满足人们对空间的需求,而且能够有效节省空间.那么,如何进行创意平板折叠桌数学模型的优化设计呢？XX数学模型的创意平板折叠桌优化设计研究篇一：XXXX本文针对创意平板折叠桌的设计问题，应用几何思想,通过建立桌面半径和长度、钢筋位置相应的数学模型，描述了折叠桌的动态变化过程。
同时，对折叠桌的设计加工参数等进行了数学描述。
最后通过Lingo和Maｔlab软件编程给出了最优加工参数。
折叠桌；非线性规划模型;几何思想；Lingo和Matlaｂ软件XX随着的不断进步,城市化进程的,高楼大厦密集,城市道路八达，但是与此同时，用地紧张、生存空间拥挤等问题也接踵而来,**行**业都开始广泛关注空间的有效利用,尽可能地节省空间。
空间对于人们的生活环境在功能性和实用性上有着举足轻重的作用,它是蕴含丰富、用之不竭的宝贵**。
当然，一块木板变成一张桌子,通过对折叠桌的动态变化过程的分析与研究（如图１所示），我们需要解决以下三个问题:问题1:建立模型描述此折叠桌的动态变化过程,在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述.问题2:对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数:平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。
问题3：根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数。
XX1模型准备XX1．1问题分析通过观察折叠桌的动态变化过程，我们发现折叠桌的变化是一个复杂的过程,由平板到立体折叠桌的过程中主要与折叠桌的条数、木条的长度、桌面距离地面的高度、**木条折叠的角度、开槽长度、**木条折叠角度变化的范围、钢筋位置等有关。
同时,又要考虑到加工过程所造成的误差，模型建立过程理想化部分对折叠过程中的影响,以及折叠桌轻巧方便、美观**、加工方便、用材最少、稳固性好、功能性强的特点.分析折叠桌结构可以发现:在折叠桌打开的过程中，随着最外侧的桌腿与地面夹角的不断变化,每根桌腿与地面之间的角度也都发生了改变，通过它们之间的变化关系,可以写出相关方程式并建立非线性规划数学模型对折叠桌的动态变化过程加以描述。
创意平板折叠桌的优化设计摘要本文主要讨论了平板折叠桌的动态变化过程及最优加工参数的设计问题。
在问题一中，本文将折叠桌的动态变化过程简化为杆件的定轴转动，先利用空间解析几何与平面几何的知识计算出各桌脚的长度及开槽深度，从而计算出各桌脚的位置与高度的函数关系来描述了折叠桌的动态变化过程，并使用MATLAB 画出三维动态图形，进一步直观地展示了其动态变化过程。
最后据构建的模型给出了最优加工参数，并用参数方程的形式描述了理想的桌脚边缘线，且与实际桌脚边缘的连线进行了对比。
在问题二中，本文从结构的稳固性、节省材料和加工方便几个角度出发，考虑了几何约束、运动约束、静力学平衡约束，而从建立了一个关于重心位置与材料用量的多目标优化模型（MOP）。
此模型为非线性规划模型，在求解时，本文利用MATLAB 采用图像法确定模型的可行域，而从得出木板尺寸与钢筋位置最佳选择。
对于题目中桌高70cm、桌面直径80cm 的情形，文中给出了最优加工参数，板长为170cm，钢筋位于最外侧木条上距桌面中心线53cm 处，各桌腿长度及其滑槽长度见文中表格。
在问题三中，首先根据客户给出的桌面边缘线和桌脚边缘线对应点之间的距离作为桌腿木条的长度，然后根据问题一中计算出的运动约束关系计算出实际桌脚边缘的坐标，计算出实际桌脚边缘线与客户提供的桌脚边缘线之间距离的平方和作为目标函数，得到使其取最小值的钢筋位置，验证问题二中约束条件，进而计算出其他设计参数。
最后，本文设计出了两种创意平板折叠桌，并给出了相应的加工参数及动态变化过程示意图。
关键词：MOP 非线性规划平板折叠桌一、问题重述某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。
桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。
桌子外形由直纹曲面构成，造型美观。
试建立数学模型讨论下列问题：1. 给定长方形平板尺寸为120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。
多目标规划下的平板折叠桌设计
作者：牛青炎
来源：《速读·上旬》2017年第07期
摘要：对于参数确定的创意平板折叠桌，桌腿边缘旋转过程满足相关的曲线方程，利用多目标规划在部分参数未知的情况下，以产品稳固性为目标函数、以加工方便、用材最少为紧约束条件，利用枚举法可寻得木板长宽、钢筋位置、木槽长度以及桌腿数目的最优解。
关键词：创意平板折叠桌；多目标规划；紧约束
1引言
由荷兰设计师所设计的能够实现自动折叠的平板桌为桌子格局的研究打开了一扇新的大门。
本文建立多目标规划的数学模型，定量分析折叠桌工作原理，通过确定桌腿木槽长度、钢筋位置、桌子高度、桌面桌脚边缘形状等设计参数来实现客户要求、和经济效益的最大化。
2任意形状的折叠桌设计方案
2.1研究思路
2.1.1给定折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，可以直接写出他们的函数表达式。
2.1.2所需木料面积的目标函数由桌面和桌脚边缘线的形状所约束，由此可以看出这也是一个最优化问题。
2.2平板材料的形状尺寸
3结论
对于折叠桌的具体加工参数的计算，在选择目标函数时，同时考虑了产品稳定性、加工简便、用料最少，将数学模型和物理原理有机结合在一起，建立出的模型与实际情况相符合。
如果进一步考虑任意桌面形状、木板形状、桌子高度与各种设计加工参数的关系，可得到满足要求的具体数值，能很好的推广到实际设计中，具有现实意义。
参考文献：
[1]赵洪斌.自锁式平板折叠网架折叠过程参数设计[J].哈尔滨工业大学学报，2007（39）：1205.
[2]任咏红，肖现涛，金丽，张立卫.基于一类非线性Lagrange函数的对偶问题[J].大连理工大学学报，2008：48.。
2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
矚慫润厲钐瘗睞枥庑赖。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
聞創沟燴鐺險爱氇谴净。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛章程和参赛规则的，如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛章程和参赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛章程和参赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
酽锕极額閉镇桧猪訣锥。
我们授权全国大学生数学建模竞赛组委会，可将我们的论文以任何形式进行公开展示（包括进行网上公示，在书籍、期刊和其他媒体进行正式或非正式发表等）。
彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：参赛队员(打印并签名) ：1.2.3.指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：（论文纸质版与电子版中的以上信息必须一致，只是电子版中无需签名。
以上内容请仔细核对，提交后将不再允许做任何修改。
如填写错误，论文可能被取消评奖资格。
）謀荞抟箧飆鐸怼类蒋薔。
日期：2014 年9 月15 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：基于多目标规划的创意平板折叠桌设计摘要有创意的平板折叠桌相对于传统的桌子来说更加美观、方便以及节省空间。
创意平板折叠桌摘要本文针对给出创意平板折叠桌的桌子高度和桌面直径，为得出最优设计加工参数以及最优选材等问题建立数学模型并求解。
针对问题一，定义圆的弦长方向与木板的长度方向平行，利用弦长公式计算出除最外围木条其余圆周内木条的长度，将所求的木条长度导入到Matlab软件中使用cubic方式拟合曲线，求出最外围木条的长度。
为描述动态变化过程，引用等效替代的思想，建立模型，用桌腿与桌子高度间的夹角变换客观明确的表现出折叠过程中的动态变化。
根据以上数据求出折叠桌的设计加工参数以及桌脚边缘线。
针对问题二，在不影响到外形美观度的基础上，先以用材最少为目标函数，用稳定性好和加工方便为约束条件，建立优化模型，使用Lingo软件编程求出部分参数最优解，根据求出的最优解系统计算汇总得出所求创意平板折叠桌的最优设计加工参数。
针对问题三，此问是要建立设计加工参数的通解，需要考虑不同的桌面形状，建立不同的模型，在输入数据时先判断属于哪个桌面形状，任意给出折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，利用建立的模型求解其设计加工参数，绘制动态变化过程示意图。
关键词：创意平板折叠桌；拟合；最优化模型；空间几何一、问题重述创意平板折叠桌在外型新颖、造型美观的基础上，还要全面考虑折叠桌制作的稳固性、加工时长以及用材量。
在已知桌高和桌面直径的条件下，建立数学模型，快速且精确的算出最优的设计加工参数。
就已知折叠桌桌高以及桌面直径的情况下，建立数学模型分析研究下面的问题：（1）根据所给的已知条件，建立数学模型，来描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数和桌脚边缘线的数学描述。
（2）在造型美观的前提下，考虑稳固性，加工方便，用材等影响因素，在已知桌高和桌面直径的情况下，建立数学模型，确定最优设计加工方案。
（3）根据任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近所期望的形状。
创意平板折叠桌问题的模型设计与优化一、摘要本文在充分考虑实际设计需求的基础上，讨论了某公司生产的创意平板折叠桌的动态变化过程和一定条件下最优加工参数的设计问题。
通过建立空间直角坐标系进行几何分析，构造非线性规划模型，并利用Matlab和Lingo软件编程求解，得出各种条件下的设计参数结果。
在问题一中，本文从桌子的稳固性出发，从物理学的角度，根据受力分析，寻找稳固性条件下的约束条件，构建非线性规划模型，并利用Lingo求得单侧20根桌腿情况下的开槽长度、桌腿边缘线等参数，在此基础上描述了折叠桌折叠运动的动态过程。
由于问题一采用了构建非线性规划的方法，因此在求解第二题的过程中，本文依然通过寻找约束条件和修改目标函数来优化模型，根据给出的桌面直径和桌子的高度，可以用Matlab求出各个需求的加工参数，所以此模型能够很好地满足设计者及生产者的需求。
根据题目中给定的桌面高度70cm和桌面直径80cm的条件，用Matlab编程求解得出从外侧第2根木条到第10根槽长分别为11.86 cm，18.94 cm，24.54 cm，28.98 cm，32.42 cm，34.93 cm，36.58 cm，37.40cm。
针对问题三，根据客户要求的折叠桌高度，桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，结合实际情况，发现现实生活中主要的桌面形状是分偶数边正多边形和椭圆形两种情况考虑，通过几何图形分析，分别建立非线性规划模型，根据题意寻找约束条件，优化模型，用Matlab编程求解。
关键词：非线性规划几何分析受力分析空间直角坐标系二、问题重述某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。
桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。
本文根据给定的各种数据研究以下几个问题：1. 给定长方形平板尺寸为120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽2.5 cm ，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm 。
作者： 郑路通 郭志鹏 牛星月 李亚琴 孙国伟
作者机构： 运城学院应用数学系,山西运城044000
出版物刊名： 运城学院学报
页码： 31-35页
年卷期： 2014年 第5期
主题词： 平板折叠桌 参数方程 桌脚边缘线 桌面边缘线
摘要：本文研究平板折叠桌的制作原理,通过数学模型来描述平板折叠桌的设计参数及动态变化过程。
利用空间位置关系和相似三角形,用桌面边缘线的参量与状态变量表示钢筋与木条接触点、木条高低两端的坐标,获得桌脚线在动态过程中的含参变量方程。
同时利用获得的坐标关系求出开槽长度。
并从材料价格、开槽费用及稳定性三方面,分析优化的折叠桌设计加工参数,从而提高折叠桌的稳定性,并使其加工方便且用材最少。
基于多因素优化分析的创意平板折叠桌
魏焕想;李梦莹;曲凯扬;王如梦;鲁亚茹;马二艳
【期刊名称】《福建电脑》
【年(卷),期】2015(000)006
【摘要】首先，综合考虑桌子的受力、结构的稳定性、用料的多少以及桌角边缘
线的美观程度等，最终选定桌腿中受力最大的两个根———正中与最外侧的桌腿，将其以轴心为顶点构造出正三角形的稳定结构，并计算出相应参数；其次，考虑到桌子的桌腿一般要延伸的桌面以外但不会超出太多的实际情况，所以，以正三角形稳定结构和桌腿恰好伸出到桌面边缘两种情况为两个边界，画出桌腿长度、轴心位置、桌面尺寸与两边界角度之间所有度数的函数关系，并确定出最佳尺寸和轴心位置。
【总页数】2页(P51-52)
【作者】魏焕想;李梦莹;曲凯扬;王如梦;鲁亚茹;马二艳
【作者单位】河南师范大学计算机与信息工程学院河南新乡 453007;河南师范大学计算机与信息工程学院河南新乡 453007;河南师范大学计算机与信息工程学院河南新乡 453007;河南师范大学计算机与信息工程学院河南新乡 453007;河南师范大学计算机与信息工程学院河南新乡 453007;河南师范大学计算机与信息工程学院河南新乡 453007
【正文语种】中文
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创意平板折叠桌动态变化过程的数学模型随着住宅空间的变小，越来越多折叠家具出现，因此许多设计公司制造出了各式各样的折叠家具以满足市场需求，折叠桌作为一种低碳、环保、节能、健康的使用家具，在不少家庭迅中速推广与普及。
本文用数学模型模拟出折叠桌的动态变化过程，对折叠桌的设计加工给出了具体的数学描述。
标签：平板折叠桌；开槽长度；直纹曲面；旋转运动一、模型分析本模型以某公司设计的圆形折叠桌为例进行讨论。
以桌子的中心为原点，设平板过中心的宽为x轴，长为y轴，建立三维坐标系。
在此坐标系之下，设桌子边界线上点为（x0，y0，z0），h为桌子的高度，k为桌子的最外侧桌腿的长度。
将长方形平板变形为立体桌子的动态过程中，过桌面边界线上每点M0（x0，y0，0）的直线上的点m（x0，y0，0），会以M0为圆心，y-y0为半径做圆周运动。
当桌腿随着铰链活动时，桌子的高度h处于动态变化中，桌脚边缘线也随着h的变化而成为空间动态曲线。
记桌脚边缘线方程为g（X，Y，Z）h= 0，（X，Y，Z）为此时桌脚边缘线上的点的坐标。
由长方形平板变形为立体桌子的过程可知，桌子外形由直纹曲面构成，而直纹曲面可由无穷多数量的线段连接直纹曲面相对侧边线和g（X，Y，Z）h=0的相应点所组成。
二、模型假设与符号说明1.模型的假设①假设两根木条之间缝隙可忽略；②不考虑材质，将桌面和平板抽象成理想的数学模型，只考虑与本问题相关的长度、高度以及厚度等数字特征。
2.符号说明三、模型的建立及求解1.模型的建立2.问题的求解（1）计算木条开槽的长度。
AB以A为圆心，半径AB长60cm垂直向上画弧至桌子所需的高度时，B点运动所至的位置记为B’，中点E运动所至的位置记为E’。
同理，CD以C为圆心，半径CD长60cm垂直向上画弧至桌子所需的高度时，D点运动所至的位置记为D’，中点F运动所至的位置记为F’。
此时，钢筋EF运动所至的位置为E’F’（参见图2）。
四、模型的优缺点及改进方向（1）在此模型中连续函数在离散化问题中不够精确。
承诺书我们仔细阅读了《全国大学生数学建模竞赛章程》和《全国大学生数学建模竞赛参赛规则》（以下简称为“竞赛章程和参赛规则”，可从全国大学生数学建模竞赛网站下载）。
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）日期：2014 年9 月15 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：基于多目标规划的创意平板折叠桌设计摘要有创意的平板折叠桌相对于传统的桌子来说更加美观、方便以及节省空间。
本文针对已经设计好的折叠圆桌建立模型描述折叠桌的动态变化过程，首先在此基础上确定出折叠圆桌的数学描述模型，然后通过改变敏感性参数优化该模型，最后根据优化后的参数构建新的折叠桌。
问题一是描述折叠桌在折叠过程中变化过程，首先建立适当的空间直角坐标系，分别找出桌面圆、钢筋直线、直纹面以及木条相对于竖直方向的倾斜角的数学表达式，然后建立了动态变化过程的数学模型。
最后设计算法通过matlab计算出桌腿木条的开槽长度，详见表1，并给出了桌脚边缘线的数学模型见公式(13)。
问题二是一个对客户任意给定折叠桌高度、直径，设计出同时满足产品稳固性好、加工方便以及用材最少三个目标的折叠桌的问题。
在固定钢筋的桌腿木条上，以最外侧桌腿木条长度y和钢筋到木条底端长度x为决策变量，以钢筋位置和折叠桌最外侧木条长度的变化范围为约束条件建立多目标规划模型，并采用分层序列法对目标按重要性进行排序求解。
假定平板宽度和木条厚度在第一问基础上不变的情况下，运用matlab变成求解得出平板的尺寸为173503cm cm cm⨯⨯，钢筋位置为距离平板边缘51cm处，每根木条开槽长度见表3。
问题三开发一种能根据客户任意指定的信息设计出尽量满足客户要求的折叠桌的问题，建立出了各种桌面边缘线以及桌脚边缘线的数学优化模型，详见公式(27)、(28)。
然后根据建立的模型设计出了桌面形状为椭圆、双曲线，桌脚边缘为圆弧的折叠桌。
动态变化过程的示意图见图8。
最后，我们对模型的优缺点进行评价，并针对某些缺点和假设条件提出进一步的改进思路，并将模型推广到其它生活用品以及蛋白质的折叠仿真等方面。
关键词：平板折叠桌；加工参数；直纹曲面；多目标规划一、问题重述1.1问题背景平板折叠边桌注重于表达木质品的优雅和设计师所想要强调的自动化与功能性[1]增大面积桌面设计为圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板，桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽一保证滑动的自由度，使用者只需提起木板的两侧便可以在重力的作用下达到自动升起的效果。
桌子外形由直纹曲面[2]构成，造型美观。
1.2问题提出某公司要生产平板折叠边桌，需要我们解决以下问题：1．给定尺寸为120503⨯⨯的长方形平板，每根木条宽2.5cm，连接桌腿木cm cm cm条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子高53cm。
建立模型描述此折叠折叠桌的动态变化过程以及给出折叠桌的设计加工参数（桌腿木条的开槽长度）和桌脚边缘线的数学表示。
2．折叠桌的设计要达到产品稳固性好、加工方便、用材最小三个目标。
对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，如平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。
然后基于以上的要求确定桌高70cm，桌面直径80cm是得最有设计加工参数。
3．公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状的尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。
需要我们给出软件设计的数学模型，然后用所建立的模型设计几个创意平板折叠桌，并且给出相应的设计加工参数，画出不少于8张动态变化过程的示意图。
二、问题分析2.1整体分析本题首先是对已经设计出的折叠桌进行分析其动态变化过程以及对应的加工参数和桌脚边缘线的形状，目的是分析清楚每个因素之间的相互关系。
然后在此基础上进行一定程度的深化，要对任意给定的高度和直径（不确定的高度和直径）的设计要求设计出满足不同对象（投资者、生产者、消费者）要求的圆形折叠桌，并确定材料和成品的最有设计加工参数。
最后要根据客户的任意要求开放性的进行设计出尽可能接近客户所期望的形状的折叠桌，会涉及到不同形状平板材料以及不同加工参数，因此需要确定一个可以适用于多种情况的数学模型。
三个问题层层递进，逐步将模型推广到与实际更加接近的情况，难度也随之增大。
2.2关键问题分析圆桌半径的确定——关键问题一圆桌的半径影响桌腿每根木条的长度以及倾斜角度，进而影响圆桌的高度，因此求出圆桌的准确半径至关重要。
圆桌半径取决于桌面上每根木条的长度，且每根长度是未知的，因此不能直接运用几何知识求解，可以采用图像处理软件找出半径。
桌腿上每根木条长度的计算——关键问题二桌腿木条的长度影响桌脚边缘的形状。
确定桌腿木条长度有两种方法。
一种是根据其与桌面上木条长度一半之和为定长的特点确定出桌腿上每根木条的长度，另外一种就是建立直角坐标系，确定出两端点的坐标，根据坐标求出两点之间的距离即是它的长度。
直纹面方程的确定——关键问题三直纹面[4]是由一簇直线生成，图中的直纹面同时在桌面圆和钢筋所在直线上运动，即直纹面始终满足桌面圆的方程和钢筋所在直线的方程。
因此直纹面就是由桌面圆和钢筋所在直线共同决定。
2.3具体问题的分析问题一的分析：折叠桌的动态变化过程即是在桌子折叠过程中形成直纹面的变化过程。
折叠过程中，桌腿每根木条与竖直方向形成的夹角发生改变，直纹面也因此改变。
但是，由于直纹面上每根木条同时在圆桌边缘和钢筋上运动，同时满足桌面边缘和钢筋所在的方程。
我们可以以此建立模型描述折叠桌的动态变化过程。
设计加工参数（开槽长度）与折叠桌的初始状态（平板）和折叠到最大程度时的状态有关，因此需要找出木条的倾斜范围。
桌脚边缘线既满足在直纹面上，又满足每根木条为直线，同时满足这两个条件的方程即是它的数学描述。
问题二的分析：钢筋的位置以及桌腿木条的张开程度影响产品的稳固性，要使产品的稳固性好，就要对分析钢筋的运动范围以及在运动范围内的最佳位置，木条的张开程度越大越稳固；木条的开槽长度影响加工的方便程度，开槽越短越方便；用料的多少受平板面积的影响，平板尺寸影响平板面积，当满足要求且面积最小时用料为最省。
最后再确定给出桌高和桌面直径后的最优加工参数。
问题三的分析：要设计一种软件能根据客户任意设定的要求进行设计，并且给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，因此所设计的软件应该具有通用性，在此基础上自己设计几个创意平板折叠桌并给出相应的加工参数，然后画出动态变化过程的示意图。
三、问题假设全文假设1.假设折叠桌腿在圆桌面的周围折叠处的部分忽略不计，不影响圆面的半径；2.假设计算过程中每根木条的厚度不计，即可以抽象成为一条直线；3.假设木板之间的缝隙很小，可以忽略不计。
问题一中的假设1.假设桌面形状为标准圆；2.假设可以忽略桌面厚度，即将桌面视为一张二维平面 问题二中的假设1.假设平板宽度就是桌面圆的直径；2.假设木条宽度和厚度与问题一一致； 问题三中的假设 假设木条宽度和厚度与问题一一致 四、符号说明 符号说明 r桌面圆的半径 θ每根木条与z 轴的夹角 h折叠桌高度 i y 第i 根木条在圆桌面上的长度 1i l 钢筋到桌面边缘区间各木条的长度w木板宽度注：由于图形的对称性，下面再讨论时只对一边的桌腿形成的直纹面进行讨论。
五、模型准备5.1确定圆桌的半径：问题一中将桌面看为一个标准圆，将每根木条与圆的交点作为像素点导入CAD 软件中，软件自动确定出圆的半径25.3r cm =。
问题二和问题三中以平板的宽度作为直径，将问题进行了简化。
5.2有宽容值的分层序列法有宽容值的分层序列法把多目标规划问题中的p 个目标按其重要程度排一个次序，假设()1f x 最重要，()2f x 次之，()3f x 再次之,,最后一个目标为()p f x ，选取一组适当的小正数1ε,,p ε，成为宽容值，于是得到有宽容值的分层序列法；()min i f x =p f *(){}12..|2,3,,i i i i i s t x R x f x f R i p ε--∈=≤*+⋂= 得最优解()p x 及最优值p f *，则在()p x x *=就是原多目标规划问题在有宽容值的分层序列意义下得最优解，12((),(),())T p F f x f x f x ****=为其最优值六、模型的建立与求解6.1 折叠桌动态变化过程、加工参数和桌脚边缘线的确定——问题一6.1.1建模原理和思想要描述折叠桌的动态变化过程即是要找出每根木条随倾斜角度变化而变化的运动轨迹，是一个空间的变化过程，需要在空间坐标系中进行分析，所以首先就需要建立适当的空间直角坐标系。
折叠桌的动态变化过程可以分文两个部分分别进行分析，即桌面圆和桌腿两个部分，桌面圆受半径的影响。
桌腿的变化又分为直纹面的运动、钢筋的运动和倾斜角的改变，因此我们分别从桌面圆、直纹面、钢筋和倾斜角四个方面来描述折叠桌的动态变化过程。
流程如下： 建立空间直角坐标系确定钢筋所在直线方程确定桌面圆方程直纹面的表达式确定木条倾斜角折叠桌动态变化过程计算开槽长度提取桌脚边缘线图表 1 问题一具体流程图 6.1.2建立折叠桌动态变化过程的描述模型第一步：建立空间直角坐标系由于折叠桌的动态变化过程是在三维空间中进行的，为了更加清晰地表达，因此要建立空间直角坐标系。
