初中数学最新版《分式的乘方2》精品导学案(2022年版)

第十五章 分式

15.2 分式的运算

15.2.1 分式的乘除

第2课时 分式的乘方

学习目标

地进行分式的乘方运算.

2.能应用分式的乘除法法那么进行混合运算.

重点：能运用乘方法那么熟练地进行分式乘方运算.

难点：能分清乘方、乘除的运算顺序，进行分式的乘除、乘方混合运算.

一、知识链接

n表示的意思是 ；a表示 ，n表示 ．

2.计算：(23)3＝23×23×23＝2×2×23×3×3＝2333＝ ．

二、新知预习

1.由乘方的定义，类比分数乘方的方法可得到：

(ab)2＝ab·ab＝a·ab·b＝ ；…… (ab)n＝ab·ab·…·ab＝a·a·…·ab·b·…·b＝ ．

其中a表示分式的分子，b表示分式的分母，且b≠0.

2.也可类比： (ab)n=an bn ，那么

要点归纳：

分式的乘方法那么——分式乘方是 ．即：(ab)n＝anbn(n为正整数)；乘除 混合运算可以统一为 ；式与数有相同的混合运算顺序：先 ，再 ．

三、自学自测

1.判断以下各式正确与否：

(1)(3－a2)2＝9a4；(2)(－b2a)3＝b6a3；(3)(3b2a)3＝3b32a3；(4)(2xx＋y)2＝4x2x2＋y2

2.填空：22233()()abba=__________.

3.计算：(x2y)2÷(－y2x)3·(－yx)4

四、我的疑惑

_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________ 自主学习 教学备注

学生在课前完成自主学习局部

.nab

一、要点探究

探究点1：分式的乘除混合运算

想一想：有理数的乘、除混合运算顺序是怎样的？类比有理数的乘、除混合运算，你能归纳出分式的乘、除混合运算吗？

议一议：马小虎学习了分式的乘、除运算后，做了一道下面的家庭作业，李老师想请你帮他批改一下.请问下面的运算过程对吗？然后请你给他提出恰当的建议！

要点归纳：

①乘除运算属于同级运算，应按照先出现的先算的原那么，不能交换运算顺序；

②当除写成乘的形式时，灵活的应用乘法交换律和结合律可起到简化运算的作用；

③结果必须写成整式或最简分式的形式

试一试：计算ddccbba1112等于( )

2 B.2222dcba C.bcda2

典例精析

例1：计算：a－1a＋2·a2－4a2－2a＋1÷1a2－1.

方法总结:分式乘除混合运算要注意以下几点：(1)利用分式除法法那么把除法变成乘法；(2)进行约分，计算出结果．特别提醒：分式运算的最后结果是最简分式或整式．

探究点2：分式的乘方

想一想：类比分数的乘方运算，你能计算以下各式吗?

2ab ，3ab ，10ab .

要点归纳：

分式的乘方，就是把分子分母分别乘方，即(ab)n＝ .

典例精析

例2：以下运算结果不正确的选项是( )

A．(8a2bx26ab2x)2＝(4ax3b)2＝16a2x29b2 B．[－(x32y)2]3＝－(x32y)6＝－x1864y6

C．[y－x〔x－y〕2]3＝(1y－x)3＝1〔y－x〕3 D．(－xny2n)n＝x2ny3n

方法总结：分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负.

典例精析

例3：计算：

(1)(－x2y)2·(－y2x)3·(－1x)4；

(2)〔2－x〕〔4－x〕x2－16÷(x－24－3x)2·x2＋2x－8〔x－3〕〔3x－4〕.

方法总结：进行分式的乘除、乘方混合运算时，要严格按照运算顺序进行运算．先算乘方，再算乘除．注课堂探究 教学备注

配套PPT讲授

〔见幻灯片3〕

〔见幻灯片5-10〕

〔见幻灯片11-20〕

意结果一定要化成一个整式或最简分式的形式.

探究点3：分式的化简求值

例4：化简求值：(2xy2x＋y)3÷(xy3x2－y2)2·[12〔x－y〕]2，其中x＝－12，y＝23.

方法总结：按分式混合运算的顺序化简，再代入数值计算即可．

拓展应用

例5：通常购置同一品种的西瓜时，西瓜的质量越大，花费的钱越多，因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好．假设我们把西瓜都看成球形，并把西瓜瓤的密度看成是均匀的，西瓜的皮厚都是d，球的体积公式为V＝43πR3(其中R为球的半径)，求：

(1)西瓜瓤与整个西瓜的体积各是多少？

(2)西瓜瓤与整个西瓜的体积比是多少？

二、课堂小结

乘除混合运算 先将除法统一成乘法，再按从左至右的顺序计算，假设有括号要先算括号里面的. 教学备注

配套PPT讲授

〔见幻灯片24-27〕 教学备注

〔见幻灯片21-23〕

乘方、乘除

混合运算

先乘方、再乘除，含有多项式时，通常应先分解因式，能约分的要先约分，再计算.

分式化简求值的

方法 (1)先把所给式子化简成最简分式或整式的形式，再将字母的值代入化简后的式子；

(2)假设题目中给出自主取数值代入求值时，要注意所选取的数值一定要使原分式有意义，即所取数值要使所给式子的分母及除数________0.

1.计算：22()abab的结果为〔 〕.

A. b B. a C. 1 D.1b

2.

3.计算： 322213() ；xxy y÷- 223222 () .yxyxzyx·÷--

4.计算：222296344.1644xxxxxxxx

5.先化简22222412()21aaaaaaaa,然后选取一个你喜欢的数作为a的值代入计算.

第2课时 比例的性质

【教学目标】

1、〔理解〕 能熟记比例的根本性质．

2、〔掌握〕 能够运用比例的性质进行简单的计算和证明.

【教学重点】 比例的根本性质及其应用.

【教学过程】

一、 知识链接：

1、小学里已经学过了比例的有关知识，下面请同学们口答以下问题：

〔1〕如果a与b的比值和c与d的比值相等，应记为： 。

〔2〕2：3＝4：x，那么x= 。

2、上节课教学了两条线段的比，成比例线段

〔1〕比例线段及其相关概念

“成比例线段〞的概念：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做 。

〔2〕 “成比例线段〞和“线段的比〞这两个概念有什么区别？ 当堂检测

线段的比是指

条线段的比的关系，成比例线段是指

条线段之间的关系。

〔3〕注意：概念的有序性

线段的比有顺序性，a:b和b:a相等吗？请举例说明。

成比例线段也有顺序性，如dcba能说成是b、a、c、d成比例吗？请举例说明。

二、 预习交流：

（1） 比例的根本性质是：

。

请写出推理过程：

∵dcba，在两边同乘以bd得，ab  =cd

∴ =

（2）

合比性质:如果dcba，那么abb

请写出推理过程：

∵dcba，在两边同时加上1得，ab + =cd+ .

两边分别通分得： abcdbd

思考：请仿照上面的方法，证明“如果dcba，那么ddcbba〞．

（3） 等比性质：

猜测nmfedcba〔0nfdb〕，与nfdbmeca相等吗？能否证明你的猜测？〔引导学生从上述实例中找出证明方法〕

等比性质：如果nmdcba〔0ndb〕，那么ndbmca＝ba．

思考：等比性质中，为什么要0ndb这个条件？

三、 稳固练习：

，那么，该建筑的高是多少米？

2．假设:2(4):4xx那么x

3．假设2x0234xyz，那么2xyzx

四、 本课小结：

1．比例的根本性质：a:b=c:d  ；

2. 合比性质：如果dcba，那么 ；