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第4讲功能关系能量守恒定律学习目标 1.理解几种常见的功能关系，知道能量守恒定律。
2.掌握应用功能关系或能量守恒定律解决问题的方法。
3.应用能量的观点解决生活生产中的实际问题。
一、几种常见的功能关系及其表达式力做功能的变化定量关系合力的功动能变化W ＝E k2－E k1＝ΔE k 重力的功重力势能变化(1)重力做正功，重力势能减少(2)重力做负功，重力势能增加(3)W G ＝－ΔE p ＝E p1－E p2弹簧弹力的功弹性势能变化(1)弹力做正功，弹性势能减少(2)弹力做负功，弹性势能增加(3)W 弹＝－ΔE p ＝E p1－E p2只有重力、弹簧弹力做功机械能不变化机械能守恒，ΔE ＝0除重力和弹簧弹力之外的其他力做的功机械能变化(1)其他力做多少正功，物体的机械能就增加多少(2)其他力做多少负功，物体的机械能就减少多少(3)W 其他＝ΔE一对相互作用的滑动摩擦力的总功机械能减少内能增加(1)作用于系统的一对滑动摩擦力一定做负功，系统内能增加(2)摩擦生热Q ＝F f x 相对安培力做功电能变化(1)克服安培力做的功等于电能增加量(2)W 克安＝E 电二、能量守恒定律1.思考判断(1)力对物体做了多少功，物体就具有多少能。
(×)(2)能量在转移或转化过程中，其总量会不断减少。
(×)(3)在物体的机械能减少的过程中，动能有可能是增大的。
(√)(4)滑动摩擦力做功时，一定会引起机械能的转化。
(√)(5)除重力以外的其他力做的功等于物体动能的改变量。
(×)(6)克服与势能有关的力(重力、弹簧弹力、静电力)做的功等于对应势能的增加量。
(√)2.如图1所示，一固定斜面的倾角为30°，一质量为m的小物块自斜面底端以一定的初速度沿斜面向上做匀减速运动，加速度大小等于0.8g(g为重力加速度大小)，物块上升的最大高度为H，则此过程中()图1A.物块的重力势能减少了mgHB.物块的动能损失了1.6mgHC.物块的机械能损失了0.8mgHD.物块克服摩擦力做功0.8mgH答案B考点一功能关系的理解和应用1.功的正负与能量增减的对应关系(1)物体动能的增加与减少要看合外力对物体做正功还是做负功。
专题四 功能关系知识梳理一、功和功率 1、功〔1〕恒力的功：W=Fscosθ 〔2〕变力的功W=Pt 2、功率：tWP=Fvcos θ 〔1〕当v 为即时速度时，对应的P 为即时功率； 〔2〕当v 为平均速度时，对应的P 为平均功率 二、 动能定理1、 定义：合外力所做的总功等于物体动能的变化量.2、 表达式：三、 机械能守恒定律 1、条件：〔1〕对单个物体，只有重力或弹力做功．〔2〕对某一系统,物体间只有动能和重力势能及弹性势能相互转化,系统跟外界没有发生机械能的传递, 机械能也没有转变成其它形式的能(如没有内能产生)，那么系统的机械能守恒． 2、 表达式 四、 能量守恒定律专题测试一、选择题(每题4分，共44分)1.用水平力F 拉一物体，使物体在水平地面上由静止开始做匀加速直线运动，t 1时刻撤去拉力F ，物体做匀减速直线运动，到t 2时刻停止，其速度—时间图象如图1所示，且α>β，假设拉力F 做的功为W 1，平均功率为P 1；物体克服摩擦阻力F f 做的功为W 2，平均功率为P 2，那么以下选项正确的选项是 ( ) A ．W 1>W 2；F ＝2F f B ．W 1＝W 2；F>2F f C ．P 1>P 2；F>2F fD ．P 1＝P 2；F ＝2F f2.如图2所示，滑块A 、B 的质量均为m ，A 套在固定竖直杆上，A 、B 通过转轴用长度为L 的刚性轻杆连接，B 放在水平面上并靠着竖直杆，A 、B 均静止．由于微小的扰动，B 开始沿水平面向右运动．不计一切摩擦，滑块A 、B 视为质点．在A 下滑的过程中，以下说法中正确的选图1项是( )A ．A 、B 组成的系统机械能守恒 B ．在A 落地之前轻杆对B 一直做正功C ．A 运动到最低点时的速度的大小为2gLD ．当A 的机械能最小时，B 对水平面的压力大小为2mg3.如图3所示，足够长的传送带以恒定速率沿顺时针方向运转．现将一个物体轻轻放在传送带底端，物体第一阶段被加速到与传送带具有相同的速度，第二阶段匀速运动到传送带顶端．那么以下说法中正确的选项是( )A ．第一阶段和第二阶段摩擦力对物体都做正功B ．第一阶段摩擦力对物体做的功等于第一阶段物体动能的增加量C ．第二阶段摩擦力对物体做的功等于第二阶段物体机械能的增加量D ．两个阶段摩擦力对物体所做的功等于物体机械能的减少量4.如图4所示，均匀带正电的圆环水平放置，AB 为过圆心O 的竖直轴线．一带正电的微粒(可视为点电荷)，从圆心O 正上方某处由静止释放向下运动，不计空气阻力．在运动的整个过程中，以下说法中正确的选项是 ( ) A ．带电微粒的加速度可能一直增大 B ．带电微粒的电势能可能一直减小 C ．带电微粒的动能可能一直增大 D ．带电微粒的运动轨迹可能关于O 点对称5.如图5所示为测定运发动体能的装置，轻绳拴在腰间沿水平线跨过定滑轮(不计滑轮的质量与摩擦)，轻绳的另一端悬重为G 的物体．设人的重心相对地面不动，人用力向后蹬传送带，使水平传送带以速率v 逆时针转动．那么 ( ) A ．人对重物做功，功率为GvB ．人对传送带的摩擦力大小等于G ，方向水平向左C ．在时间t 内人对传送带做功消耗的能量为GvtD ．假设增大传送带的速度，人对传送带做功的功率不变6.如图6所示，有一光滑的半径可变的14圆形轨道处于竖直平面内，圆心O 点离地高度为H .现调节轨道半径，让一可视为质点的小球a 从与O 点等高的轨道最高点由静止沿轨道下落，使小球离开轨道后运动的水平位移S 最大，那么小球脱离轨道最低点时的速度大小应为( ) A. gHB. gH3C.2gH3D.4gH 37.一辆质量为m 的卡车在平直的公路上，以初速度v 0开始加速行驶，经过一段时间t ，卡图3图4 图5图6车前进的距离为s 时，恰好到达最大速度v m .在这段时间内，卡车发动机的输出功率恒为P ，卡车运动中受到的阻力大小恒为F ，那么这段时间内发动机对卡车做的功为( ) A ．Pt B ．FsC ．Fv m tD. 12mv m 2＋Fs －12mv02 8.如图7所示，处于真空中的匀强电场与水平方向成15°角，AB 直线与匀强电场E 垂直，在A 点以大小为v 0的初速度水平抛出一质量为m 、电荷量为＋q 的小球，经时间t ，小球下落一段距离过C 点(图中未画出)时速度大小仍为v 0，在小球由A 点运动到C 点的过程中，以下说法正确的选项是( )A ．电场力对小球做功为零B ．小球的电势能减小C ．小球的电势能增量大于mg 2t 2/2 D ．C 可能位于AB 直线的左侧9.如图8所示，一形状为抛物线的光滑曲面轨道置于竖直平面内，轨道的下半部处在一个垂直纸面向外的磁场中，磁场的上边界是y ＝a 的直线(图中虚线所示)，一个小金属环从抛物线上y ＝b (b >a )处以速度v 沿抛物线下滑．假设抛物线足够长，且不计空气阻力，那么金属环沿抛物线运动的整个过程中损失的机械能的总量ΔE 为 ( ) A ．假设磁场为匀强磁场，ΔE ＝mg (b －a )＋12mv 2B ．假设磁场为匀强磁场，ΔE ＝mg (b －a )C ．假设磁场为非匀强磁场，ΔE ＝12mv 2D ．假设磁场为非匀强磁场，ΔE ＝mgb ＋12mv 210.如图9所示，一粗糙的平行金属轨道平面与水平面成θ角，两轨道上端用一电阻R 相连，该装置处于匀强磁场中，磁场方向垂直轨道平面向上．质量为m 的金属杆ab 以初速度v 0从轨道底端向上滑行，滑行到某高度h 后又返回到底端．假设运动过程中金属杆始终保持与导轨垂直且接触良好，轨道与金属杆的电阻均忽略不计．那么以下说法正确的选项是( ) A ．金属杆ab 上滑过程与下滑过程通过电阻R 的电量一样多B ．金属杆ab 上滑过程中克服重力、安培力与摩擦力所做功之和等于12mv 2C ．金属杆ab 上滑过程与下滑过程因摩擦而产生的内能不一定相等D ．金属杆ab 在整个过程中损失的机械能等于装置产生的热量 11.如图10所示，空间存在水平向左的匀强电场和垂直纸面向里的水平匀强磁场．在该区域中，有一个竖直放置的光滑绝缘圆环，环上套有一个带正电的小球．O图7图8图9点为圆环的圆心，a、b、c、d为圆环上的四个点，a点为最高点，c点为最低点，bd沿水平方向．小球所受电场力与重力大小相等．现将小球从环的顶端a点由静止释放．以下判断正确的选项是( )A．小球能越过与O等高的d点并继续沿环向上运动B．当小球运动到c点时，洛伦兹力最大C．小球从a点到b点，重力势能减小，电势能增大D．小球从b点运动到c点，电势能增大，动能先增大后减小二、实验题(12、13题各6分，共12分)12.(6分)“探究功与物体速度变化的关系〞的实验如图11所示，当小车在一条橡皮筋作用下弹出时，橡皮筋对小车做的功记为W.当用2条、3条……完全相同的橡皮筋并在一起进行第2次、第3次……实验时，使每次实验中橡皮筋伸长的长度都保持一致．每次实验中小车获得的速度由打点计时器所打的纸带测出．图11(1)(2分)除了图中已有的实验器材外，还需要导线、开关、__________(填测量工具)和________电源(填“交流〞或“直流〞)．(2)(2分)假设木板水平放置，小车在两条橡皮筋作用下运动，当小车的速度最大时，关于橡皮筋所处的状态与小车所在的位置，以下说法正确的选项是________．A．橡皮筋处于原长状态B．橡皮筋仍处于伸长状态C．小车在两个铁钉的连线处D．小车已过两个铁钉的连线(3)(2分)在正确操作情况下，打在纸带上的点并不都是均匀的，如图12所示．为了测量小车获得的速度，应选用纸带的________局部进行测量(根据下面所示的纸带答复，并用字母表示)．图1213.(6分)用如图13所示的实验装置验证机械能守恒定律．重锤由静止开始落下，重锤上拖着的纸带通过打点计时器打出一系列的点，对纸带上的点进行测量，即可验证机械能守恒定律．(1)下面列举了该实验的几个操作步骤：A．按照图示装置安装好器材B．将打点计时器接到直流电源上C．先松开悬挂纸带的夹子，后接通电源打出一条纸带D．根据测量的结果计算重锤下落过程中减少的重力势能是否等于增加的动能图13 指出其中没有必要进行的或者操作不恰当的步骤，将其选项对应的字母填写在下面的空行内．________________________________________________________________________ (2)利用这个装置可以测量重锤下落的加速度的数值．如图14所示，根据打出的纸带，选取纸带上打出的连续五个点A 、B 、C 、D 、E ，测量出A 点距打下的第一个点O 距离为x 0，点A 、C 间的距离为x 1、点C 、E 间的距离为x 2，使用交流电的频率为f ，那么根据这些条件计算重锤下落的加速度的表达式为a ＝________，打C 点时重锤的速度v ＝________.图14三、解答题(14题11分，15题14分，16题18分，共44分)14.(上海卷第31题)．(12 分)如图，质量2m kg =的物体静止于水平地面的A 处，A 、B 间距L =20m 。
素能演练提升四(2)电磁学中的功能关系和能量守恒(时间:60分钟满分:100分)第Ⅰ卷(选择题共64分)一、本题共8小题,每小题8分,共64分.在每小题给出的四个选项中,第1~5题只有一个选项符合题目要求,第6~8题有多个选项符合题目要求,全部选对的得8分,选对但不全的得4分,有选错或不答的得0分.1.如图所示,竖直向上的匀强电场中,一竖直绝缘轻弹簧的下端固定在地面上,上端连接一带正电的小球,小球静止时位于N点,弹簧恰好处于原长状态.保持小球的电荷量不变,现将小球提高到M点由静止释放.则释放后小球从M运动到N过程中()A.小球的机械能与弹簧的弹性势能之和保持不变B.小球重力势能的减少量等于小球电势能的增加量C.弹簧弹性势能的减少量大于小球动能的增加量D.小球动能的增加量等于电场力和重力做功的代数和解析:由于有电场力做功,故小球的机械能与弹簧的弹性势能之和是改变的,故选项A错误;由题意,小球受到的电场力与重力等大反向,重力做正功,重力势能减少,电场力做负功,电势能增加,故重力势能减少量等于小球电势能的增加量,选项B正确;小球从M运动到N过程中,弹力做正功,重力和电场力做的总功为零,小球动能增加,所以弹簧弹性势能的减少量等于小球动能的增加量,选项C、D 错误.答案:B2.如图所示,带正电的小球穿在绝缘粗糙倾角为θ的直杆上,整个空间存在着竖直向上的匀强电场和垂直于杆斜向上的匀强磁场,小球沿杆向下滑动,在a点时动能为100 J,到c点时动能为零,b点恰为a、c的中点.则在此运动过程中()A.小球经b点时动能为50 JB.小球电势能增加量可能大于其重力势能减少量C.小球在ab段克服摩擦力所做的功与在bc段克服摩擦力所做的功相等D.小球电势能的增加量可能大于电场力做的功解析:根据题意,小球由a到c做减速运动,则其所受洛伦兹力减小,弹力减小,摩擦力减小,选项A、C错误;由于小球有初动能,所以电场力可能大于重力,则小球电势能增加量可能大于其重力势能减少量,但总是等于电场力做的功,故选项B正确,D错误.答案:B3.如图所示,绝缘弹簧的下端固定在斜面底端,弹簧与斜面平行且初始为自然长度,带电小球Q(可视为质点)固定在光滑斜面的M点,处于通过弹簧中心的直线ab上.现将小球P(也视为质点)从直线ab 上的N点由静止释放,设小球P与Q电性相同,则小球P从释放到运动至最低点的过程中,下列说法正确的是()A.小球P的速度先增大后减小B.小球P的速度最大时所受弹簧弹力与库仑力的合力为零C.小球P的动能、重力势能、电势能的总和增大D.小球P所受重力、弹簧弹力和库仑力做功的代数和等于电势能的变化量解析:小球P释放到刚接触弹簧的过程,库仑力做正功,速度增大;刚开始接触弹簧的过程,弹力从零开始增大,但仍小于库仑力,小球的速度仍增大;随着弹簧的压缩,小球的加速度减小,当加速度等于零或弹力与库仑力、重力沿斜面的分力的合力为零时,小球P的速度最大,选项A正确,B错误;根据能量守恒知,小球P的动能、重力势能、电势能的总和不变,选项C错误;库仑力做功等于电势能的变化量,选项D错误.答案:A4.(2015山东日照二模)某校科技小组的同学设计了一个传送带测速仪,测速原理如图所示.在传送带(绝缘橡胶)一端的下方固定有间距为L、长度为d的平行金属电极.电极间充满磁感应强度为B、方向垂直传送带平面(纸面)向里、有理想边界的匀强磁场,且电极之间接有理想电压表和电阻R.传送带背面固定有若干根间距为d的平行细金属条,其电阻均为r.传送带运行过程中始终仅有一根金属条处于磁场中且与电极良好接触.当传送带以一定的速度匀速运动时,电压表的示数为U.则下列说法中正确的是()A.传送带匀速运动的速率为B.电阻R产生焦耳热的功率为C.金属条经过磁场区域受到的安培力大小为D.每根金属条经过磁场区域的全过程中克服安培力做功为解析:设传送带匀速运动的速率为v,则感应电动势为E=BLv,感应电流为I=,故电压表的示数为U=IR=BLv,故传送带匀速运动的速率为v=,故选项A错误;电压表的示数U为电阻R两端的电压,故电阻R产生焦耳热的功率为P R=,故选项B错误;由于电阻R两端的电压为U,故回路中的电流为I=,故金属条经过磁场区域受到的安培力大小为F安=BIL=,故选项C错误;每根金属条经过磁场区域的全过程中克服安培力做功为W安=F安d=,故选项D正确.答案:D5.(2015·福建泉州模拟)如图所示,内壁光滑的绝缘直细管AC与水平面成30°角固定放置,在与细管同一竖直平面内的P处固定点电荷+Q,P、A连线水平,B是AC的中点,PB⊥AC,电荷量为-q的带电小球从管中A处由静止释放,刚释放时加速度大小为a(a<g),重力加速度为g,则在+Q产生的电场中()A.A处的电势高于B处的电势B.B处的电场强度大小是A处的2倍C.小球运动到C处时的加速度大小为g-aD.小球从A运动到C的过程中电势能先增大后减小解析:正点电荷的电场线起于正电荷,止于无穷远,由于沿着电场线方向电势逐渐降低,因此A处电势低于B处的电势,选项A错误;由点电荷电场强度的公式E=k,可得电场强度的大小与距离的二次方成反比,结合几何关系:PA=2PB,故B处的电场强度的大小是A处的4倍,选项B错误;在A处时小球受重力、电场力和支持力,由力的合成法则可知:重力与电场力沿细管方向的合力产生加速度a,即有mg sin 30°+F cos 30°=ma,在C处时小球仍受重力、电场力和支持力,且C处所受电场力大小与A处所受电场力大小相等,方向沿CP方向斜向上,故有mg sin 30°-F cos 30°=ma',联立解得a'=g-a,故选项C正确;带负电小球从A到C的过程中,先靠近场源电荷+Q,后远离场源电荷+Q,故电场力先对小球做正功,后对小球做负功,因此电势能先减少后增加,选项D错误.答案:C6.(2014山东潍坊一模)如图所示,在xOy坐标系中,x轴上关于y轴对称的A、C两点固定等量异种点电荷+Q、-Q,B、D两点分别位于第二、四象限,ABCD为平行四边形,边BC、AD分别与y轴交于E、F,以下说法正确的是()A.E、F两点电势相等B.B、D两点电场强度相同C.试探电荷+q从F点移到D点,电势能增加D.试探电荷+q从B点移到E点和从F点移到D点,电场力对+q做功相同解析:等量异种点电荷+Q、-Q连线的垂直平分线是一条等势线,所以y轴是一条等势线,E、F的电势相等,故A项正确;根据电场线的分布情况和对称性可知,B、D两点电场强度相同,故B项正确;根据顺着电场线电势降低可知,B点的电势高于D点的电势,而正电荷在电势高处电势能大,所以试探电荷+q从B点移到D点,电势能减少,故C项错误;由以上分析可知,B、E间的电势差等于F、D间的电势差,根据电场力做功公式W=qU得知+q从B点移到E点和从F点移到D点,电场力对+q做功相同,故D项正确.答案:ABD7.如图所示,界面MN与水平地面之间有足够大正交的匀强磁场B和匀强电场E,磁感线和电场线都处在水平方向且互相垂直.在MN上方有一个带正电的小球由静止开始下落,经电场和磁场到达水平地面.若不计空气阻力,小球在通过电场和磁场的过程中,下列说法中正确的是()A.小球做匀变速曲线运动B.小球的电势能减少C.洛伦兹力对小球做正功D.小球的动能增加量等于其电势能和重力势能减少量的总和解析:小球进入电场时,速度方向竖直向下,受到竖直向下的重力mg、水平向右的电场力qE和洛伦兹力qvB,合力方向与速度不共线,小球做曲线运动,而且合力与速度不能保持垂直,小球不能做匀速圆周运动,随着速度大小变化,洛伦兹力变化,加速度变化,不是匀变速曲线运动,选项A错.电场力做正功,电势能减少,选项B对.洛伦兹力不做功,选项C错.根据功能关系,减少的重力势能和电势能之和等于增加的动能,选项D对.答案:BD8.如图所示,光滑的水平轨道AB与半径为R的光滑的半圆形轨道BCD相切于B点,水平轨道AB部分存在水平向右的匀强电场E,半圆形轨道处于竖直平面内,B为最低点,D为最高点.一质量为m、带正电的小球从距B点x的位置在电场力的作用下由静止开始沿AB向右运动,并能恰好通过最高点D.则下列物理量的变化对应关系正确的是()A.其他条件不变,R越大,x越大B.其他条件不变,m越大,x越大C.其他条件不变,E越大,x越大D.其他条件不变,R越大,小球经过B点瞬间对轨道的压力越大解析:小球在BCD部分做圆周运动,在D点,由牛顿第二定律有mg=m,小球由B到D的过程中机械能守恒:=mg×2R+,联立解得v B=,R越大,小球经过B点时的速度越大,则x越大,选项A正确;小球由A 到B,由动能定理得qEx=,将v B=代入得qEx=mgR,知m越大,x越大,选项B正确;E越大,x越小,选项C错误;在B点有F N-mg=m,将v B=代入得F N=6mg,选项D错误.答案:AB第Ⅱ卷(非选择题共36分)二、本题共2小题,共36分.解答应写出必要的文字说明、方程式和重要演算步骤.只写出最后答案的不能得分.有数值计算的题,答案中必须明确写出数值和单位.9.(16分)如图,匀强电场中有一半径为r的光滑绝缘圆轨道,轨道平面与电场方向平行.a、b为轨道直径的两端,该直径与电场方向平行.一电荷量为q(q>0)的质点沿轨道内侧运动,经过a点和b点时对轨道压力的大小分别为F a和F b.不计重力,求电场强度的大小E、质点经过a点和b点时的动能.解析:质点所受电场力的大小为F电=qE①(1分)设质点质量为m,经过a点和b点时的速度大小分别为v a和v b,由牛顿第二定律有F电+F a=m②(2分)F b-F电=m③(2分)设质点经过a点和b点时的动能分别为E k a和E k b,有E k a=④(2分)E k b=⑤(2分)根据动能定理有E k b-E k a=2rF电⑥(1分)联立①②③④⑤⑥式得E=(F b-F a)⑦(2分)E k a=(F b+5F a)⑧(2分)E k b=(5F b+F a).⑨(2分)答案:E=(F b-F a)E k a=(F b+5F a)E k b=(5F b+F a)10.(20分)(2015四川德阳模拟)如图所示,四条水平虚线等间距地分布在同一竖直面上,间距为h,在Ⅰ、Ⅱ两区间分布着完全相同、方向水平向内的磁场,磁场大小按图乙所示变化(图中B0已知).现有一个长方形金属线框ABCD,质量为m,电阻为R,AB=CD=L,AD=BC=2h.用一轻质的细线把线框ABCD竖直悬挂着,AB边恰好在Ⅰ区的中央.t0(未知)时刻细线恰好松弛,之后剪断细线,当CD边到达M3N3时线框恰好匀速运动.(空气阻力不计,g取10 m/s2)(1)求t0的值;(2)求线框AB边到达M2N2时的速率v;(3)从剪断细线到整个线框通过两个磁场区的过程中产生的电能为多大?解析:(1)细线恰好松弛,对线框有B0IL=mg(1分)I=(1分)因感生产生的感应电动势E=·L·h(2分)得t0=.(2分)(2)当CD边到达M3N3时线框恰好匀速运动,速度为v'对线框有B0I'L=mg(1分)I'=(1分)因CD棒切割产生的感应电动势E'=B0Lv'(1分)v'=(1分)线框AB从到达M2N2一直运动到CD边到达M3N3的过程中,线框中无感应电动势产生,只受到重力作用.线框下落高度为3h,根据动能定理得mg·3h=mv'2-mv2(3分)线框AB边到达M2N2时的速率为v=.(2分)(3)线框静止开始下落到CD边刚离开M4N4的过程中线框中产生电能为E电,线框下落高度为4.5h,根据能量守恒得mg·h=E电+mv'2(3分)E电=mgh-.(2分)答案:(1)(2)(3)mgh-。
【高中物理】功能关系、能量守恒定律的知识点汇总，务必掌握！知识网络图一、功能关系1．功和能(1)功是能量转化的量度，即做了多少功，就有多少能量发生了转化。
(2)做功的过程一定伴随有能量的转化，而且能量的转化必须通过做功来实现。
2．力学中常用的四种功能对应关系(1)合外力做功等于物体动能的改变：即W(合)＝Ek2－Ek1＝ΔEk。
(动能定理)(2)重力做功等于物体重力势能的减少：即W(G)＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。
(3)弹簧弹力做功等于弹性势能的减少：即W(弹)＝Ep1－Ep2＝－ΔEp。
(4)除了重力和弹簧弹力之外的其他力所做的总功，等于物体机械能的改变，即W(其他力)＝E2－E1＝ΔE。
(功能原理)二、能量守恒定律1．内容能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只会从一种形式转化为其他形式，或者从一个物体转移到另一个物体，而在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变。
2.表达式ΔE减＝ΔE增。
三、功能关系的应用1.对功能关系的进一步理解(1)做功的过程是能量转化的过程。
不同形式的能量发生相互转化是通过做功来实现的。
(2)功是能量转化的量度，功和能的关系，一是体现到不同的力做功，对应不同形式的能转化，具有一一对应关系；二是做功的多少与能量转化的多少在数量上相等。
2．不同的力做功对应不同形式的能的改变四、能量守恒定律的应用1.对定律的理解(1)某种形式的能量减少，一定有另外形式的能量增加，且减少量和增加量相等。
(2)某个物体的能量减少，一定有别的物体的能量增加，且减少量和增加量相等。
2．应用定律的一般步骤(1)分清有多少种形式的能(如动能、势能、内能、电能等)在变化。
(2)分别列出减少的能量ΔE减和增加的能量ΔE增的表达式。
(3)列恒等式：ΔE减＝ΔE增。
五、相对滑动物体的能量分析静摩擦力与滑动摩擦力做功特点比较。
高考物理二轮复习专题内容06功能关系和能量守恒§知识网络§1.机械能守恒定律(1)守恒条件①只有重力或系统内弹簧弹力做功。
②虽受其他力，但其他力不做功或做的总功为零。
(2)三种表达式①守恒的观点：E k1＋E p1＝E k2＋E p2。
②转化的观点：ΔE p＝－ΔE k。
③转移的观点：E A增＝E B减。
2.几种常见的功能转化关系(1)合力的功影响动能，关系式为W合＝ΔE k。
(2)重力的功影响重力势能，关系式为W G＝－ΔE p。
(3)弹簧弹力的功影响弹性势能，关系式为W弹＝－ΔE p。
＝－ΔE p。
(4)电场力的功影响电势能，关系式为W电系，判定能的转化形式，确定能量之间转化多少。
(2)也可以根据能量之间的转化情况，确定是什么力做功，尤其可以方便计算变力做功的多少。
3.典例分析【答案】BC【解析】由功能关系除重力和弹簧弹力以外的力做功等于机械能的增加量，知E-h图象的切线斜率表示升降机对物体的支持力。
0～h1切线斜率逐渐变小，则支持力逐渐变小，但支持力肯定与运动方向相同，在此阶段一直做正功，故B选项正确。
0～h1过程，动能如何变化，要看合外力做的功，合外力一开始向上，随支持力减小是不是合外力一直向上则不确定，故A选项错误。
h1～h2过程，E-h切线斜率不变，故支持力不变，若支持力等于重力，则C选项正确，h1～h2物体随升降机向上运动重力做负功，重力势能增加，故D选项错误。
4.相关类型题目某同学将质量为m的一矿泉水瓶(可看成质点)竖直向上抛出，水瓶以54g的加速度匀减速上升，上升的最大高度为H。
水瓶往返过程受到的阻力大小不变，则()A．上升过程中水瓶的动能减少量为54mgHB．上升过程中水瓶的机械能减少了54mgHC．水瓶落回地面时动能大小为14mgHD．水瓶上升过程处于超重状态，下落过程处于失重状态【答案】A【解析】水瓶以a＝54g减速上升，设阻力为f，则有mg＋f＝ma，解得阻力f＝14mg，上升阶段动能的改变量等于合外力做功，W合＝－maH＝－54mgH，故A选项正确。
专题五功和能第2讲功能关系机械能守恒定律和能量守恒定律一、核心知识、方法回扣：1．机械能守恒定律:（1）内容：在只有重力（和弹簧的弹力）做功的情况下，物体的动能和势能发生相互转化，但机械能的总量保持不变．（2）机械能守恒的条件①对某一物体，若只有重力（或弹簧弹力）做功，其他力不做功（或其他力做功的代数和为零），则该物体机械能守恒．②对某一系统，物体间只有动能和重力势能及弹性势能的相互转化，系统和外界没有发生机械能的传递，机械能也没有转变为其他形式的能，则系统机械能守恒．（3）三种表达式:①守恒的观点:____ ____ _____。
②转化的观点:_____ _____。
③转移的观点:_____ ___。
2．几个重要的功能关系(1)重力的功等于的变化,即W G＝.(2)弹力的功等于的变化,即W弹＝.(3)合力的功等于的变化,即W＝.(4)重力之外(除弹簧弹力)的其他力的功等于的变化.W其他＝ΔE.(5)一对滑动摩擦力做的功等于的变化.Q＝F·s相对.3．静电力做功与无关.若电场为匀强电场,则W＝Fs cos α＝Eqs cos α；若是非匀强电场,则一般利用W＝来求.4．磁场力又可分为洛伦兹力和安培力.洛伦兹力在任何情况下对运动的电荷都；安培力可以做正功、负功,还可以不做功.5．电流做功的实质是电场对做功.即W＝UIt＝.6．导体棒在磁场中切割磁感线时,棒中感应电流受到的安培力对导体棒做功,使机械能转化为能.7．静电力做功等于的变化,即W AB＝－ΔE p.二、方法、规律：1．机械能守恒定律的应用(1)机械能是否守恒的判断①用做功来判断,看重力(或弹簧弹力)以外的其他力做功代数和是否.②用能量转化来判断,看是否有机械能转化为其他形式的能.③对一些“绳子突然绷紧”、“”等问题,机械能一般不守恒,除非题目中有特别说明及暗示.(2)应用机械能守恒定律解题的基本思路①选取研究对象——物体系.②根据研究对象所经历的物理过程,进行、分析,判断机械能是否守恒.③恰当地选取参考平面,确定研究对象在运动过程的始末状态时的机械能.④根据机械能守恒定律列方程,进行求解.2．功能关系在电学中应用的题目,一般过程复杂且涉及多种性质不同的力,因此,通过审题,抓住和运动过程分析是关键,然后根据不同的运动过程各力做功的特点来选择规律求解. 3．力学中的动能定理和能量守恒定律在处理电学中能量问题仍然是首选的方法.三、错题集：1、如图所示，桌面高地面高H，小球自离桌面高h处由静止落下，不计空气阻力，则小球触地的瞬间机械能为（设桌面为零势面）（）A．mgh B．mgH C．mg（H＋h） D．mg（H－h）2、以下过程中机械能守恒的是（）A.以8m/s2的加速度在空中下落的石块B.沿固定的光滑斜面自由下滑的滑块C.正在升空的火箭D.吊在轻质弹簧下端正在自由振动的小球3、如图所示,质量分别为2m和m的A、B两物体用不可伸长的轻绳绕过轻质定滑轮相连,开始两物体处于同一高度,绳处于绷紧状态,轻绳足够长,不计一切摩擦。
专题四功能关系的应用一、知识梳理1.静电力做功与无关.若电场为匀强电场，则W＝Fl cosα＝Eql cosα；若是非匀强电场，则一般利用W＝来求.2.磁场力又可分为洛伦兹力和安培力.洛伦兹力在任何情况下对运动的电荷都；安培力可以做正功、负功，还可以不做功.3.电流做功的实质是电场对做功.即W＝UIt＝.4.导体棒在磁场中切割磁感线时，棒中感应电流受到的安培力对导体棒做功，使机械能转化为能.5.静电力做的功等于的变化，即W AB＝－ΔE p.规律方法1.功能关系在电学中应用的题目，一般过程复杂且涉及多种性质不同的力，因此，通过审题，抓住和运动过程分析是关键，然后根据不同的运动过程中各力做功的特点来选择相应规律求解.2.动能定理和能量守恒定律在处理电学中能量问题时仍然是首选的方法.二、题型、技巧归纳高考题型1 几个重要的功能关系在电学中的应用【例1】(多选)如图1所示地面上方存在水平向右的匀强电场.现将一带电小球从距离地面O点高h处的A点以水平速度v0抛出，经过一段时间小球恰好垂直于地面击中地面上的B点，B到O的距离也为h.当地重力加速度为g，则下列说法正确的是( )图1A.从A到B的过程中小球的动能先减小后增大B.下落过程中小球机械能一直增加C.小球的加速度始终保持2g不变D.从A点到B点小球的的电势能增加了mgh高考预测1 如图2所示，直角三角形ABC由三段细直杆连接而成，AB杆竖直，AC杆粗糙且绝缘，其倾角为30°，长为2L，D为AC上一点，且BD垂直AC，在BC杆中点O处放置一正点电荷Q.一套在细杆上的带负电小球，以初速度v0由C点沿CA上滑，滑到D点速率恰好为零，之后沿AC杆滑回C 点.小球质量为m 、电荷量为q ，重力加速度为g .则( )图2A.小球上滑过程中先匀加速后匀减速B.小球下滑过程中电场力先做负功后做正功C.小球再次滑回C 点时的速率为v C ＝3gL －v 2D.小球下滑过程中动能、电势能、重力势能三者之和增大高考预测2 (多选)如图3所示，某一空间内充满竖直向下的匀强电场E ，在竖直平面内建立坐标系xOy ，在y <0的空间里有与场强E 垂直的匀强磁场B ，在y >0的空间内，将一质量为m 的带电液滴(可视为质点)自由释放，则此液滴沿y 轴的负方向以加速度a ＝2g (g 为重力加速度)做匀加速直线运动，当液滴运动到坐标原点时，瞬间被安置在原点的一个装置改变了带电性质(液滴所带电荷量和质量均不变)，随后液滴进入y <0的空间运动.液滴在以后的运动过程中( )图3A.重力势能一定先减小后增大B.机械能一定先增大后减小C.动能先不变后减小D.动能一直保持不变高考题型二 动能定理在电场中的应用【例2】如图4所示，两个带正电的点电荷M 和N ，带电量均为Q ，固定在光滑绝缘的水平面上，相距2L ，A 、O 、B 是MN 连线上的三点，且O 为中点，OA ＝OB ＝L2，一质量为m 、电量为q 的点电荷以初速度v 0从A 点出发沿MN 连线向N 运动，在运动过程中电荷受到大小恒定的阻力作用，但速度为零时，阻力也为零，当它运动到O 点时，动能为初动能的n 倍，到B 点速度刚好为零，然后返回往复运动，直至最后静止.已知静电力恒量为k ，取O 处电势为零.求：图4(1)A 点的场强大小； (2)阻力的大小； (3)A 点的电势；(4)电荷在电场中运动的总路程.高考预测3 如图5所示，在绝缘水平面上放有一带正电的滑块、质量为m，带电荷量为q，水平面上方虚线左侧空间有水平向右的匀强电场，场强为E，qE>μmg，虚线右侧的水平面光滑.一轻弹簧右端固定在墙上，处于原长时，左端恰好位于虚线位置，把滑块放到虚线左侧L处，并给滑块一个向左的初速度v0，已知滑块与绝缘水平面间的动摩擦因数为μ，求：图5(1)弹簧的最大弹性势能；(2)滑块在整个运动过程中产生的热量.规律总结1.电场力做功与重力做功的特点类似，都与路径无关.2.对于电场力做功或涉及电势差的计算，选用动能定理往往最简便快捷，但运用动能定理时要特别注意运动过程的选取.高考题型三电功能观点在电磁感应问题中的应用【例3】如图6所示，足够长光滑导轨倾斜放置，导轨平面与水平面夹角θ＝37°，导轨间距L＝0.4m，其下端连接一个定值电阻R＝2Ω，其它电阻不计.两导轨间存在垂直于导轨平面向下的匀强磁场，磁感应强度B＝0.5T.一质量为m＝0.02kg的导体棒ab垂直于导轨放置，现将导体棒由静止释放，取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8.图6(1)求导体棒下滑的最大速度；(2)求ab棒下滑过程中电阻R消耗的最大功率；(3)若导体棒从静止加速到v＝4m/s的过程中，通过R的电量q＝0.26C，求R产生的热量Q.高考预测4 (多选)在如图7所示的倾角为θ的光滑斜面上，存在着两个磁感应强度大小均为B的匀强磁场，区域Ⅰ的磁场方向垂直斜面向上，区域Ⅱ的磁场方向垂直斜面向下，磁场的宽度均为L，一个质量为m、电阻为R、边长也为L的正方形导线框，由静止开始沿斜面下滑，当ab边刚越过GH进入磁场Ⅰ区时，恰好以速度v1做匀速直线运动；当ab边下滑到JP与MN的中间位置时，线框又恰好以速度v2做匀速直线运动，从ab进入GH到MN与JP的中间位置的过程中，线框的动能变化量为ΔE k，重力对线框做功大小为W1，安培力对线框做功大小为W2，下列说法中正确的是( )图7A.在下滑过程中，由于重力做正功，所以有v2>v1B.从ab进入GH到MN与JP的中间位置的过程中，机械能守恒C.从ab进入GH到MN与JP的中间位置的过程中，有(W1－ΔE k)的机械能转化为电能D.从ab进入GH到MN到JP的中间位置的过程中，线框动能的变化量为ΔE k＝W1－W2高考预测5 如图8所示，单位长度电阻相等的直角三角形金属框abc放置在匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向平行于bc边水平向右.ab＝4L，bc＝3L，金属框总电阻为R.求：图8(1)若金属框绕bc边以角速度ω按图示方向匀速转动时，ab两点间的电势差U ab是多少？a、b 两点哪点电势高？(2)若金属框绕ab边以角速度ω匀速转动一周，ab边上产生的焦耳热是多少？规律总结1.电磁感应过程中产生的感应电流在磁场中必定受到安培力的作用，因此，要维持感应电流的存在，必须有“外力”克服安培力做功，将其他形式的能转化为电能.“外力”克服安培力做了多少功，就有多少其他形式的能转化为电能.2.当感应电流通过用电器时，电能又转化为其他形式的能.安培力做功的过程，或通过电阻发热的过程，是电能转化为其他形式能的过程.安培力做了多少功，就有多少电能转化为其他形式的能.3.若回路中电流恒定，可以利用电路结构及W＝UIt或Q＝I2Rt直接进行计算电能.4.若电流变化，则：(1)利用安培力做的功求解：电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功；(2)利用能量守恒求解：若只有电能与机械能的转化，则机械能的减少量等于产生的电能.高考题型4 应用动力学和功能观点处理电学综合问题【例4】如图9所示，水平地面QA与竖直面内的、半径R＝4m的光滑圆轨道ACDF相连，FC为竖直直径，DO水平，AO与CO夹角α＝60°.QA上方有一水平台面MN，MN正上方分布着垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度B＝4T.P是竖直线AP与DO的交点，PA的右侧、PO的下面、OC的左侧分布着竖直向下、场强为E的匀强电场.一个质量m＝2kg、电量q＝＋1C的小滑块(可视为质点)放在MN上，在水平推力F＝4N的作用下正以速度v1向右做匀速运动.已知滑块与平台MN的动摩擦因数μ＝0.5；重力加速度g＝10m/s2.图9(1)求小滑块在平台MN上的速度v1；(2)小滑块从N点飞出后，恰从A点无碰撞地(沿轨道切线)进入圆轨道AC，为了使小滑块不向内脱离AF间的圆弧轨道，求电场强度E的取值范围.高考预测6 如图10甲所示，长L＝1.5m、倾角为θ＝37°的光滑绝缘的斜面底端连接一粗糙绝缘的水平面，整个斜面处在一水平向左的匀强电场中，水平面部分没有电场.现将一质量m＝1.2kg、带电荷量q＝1×10－4C的带正电的小物体从斜面顶端由静止释放，当电场场强E取不同数值时，物体沿斜面下滑最后在水平地面上滑过的距离s不同.研究发现s与E之间的关系如图乙所示.忽略物体在斜面与水平面连接处的能量损失，取重力加速度g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，求：图10(1)物体与地面间的动摩擦因数μ；(2)当E＝3×104N/C时，物体运动的总时间.高考预测7 如图11所示，在水平方向的匀强电场中有一表面光滑、与水平面成45°角的绝缘直杆AC，其下端C距地面高度h＝0.8m.有一质量为500g的带电小环套在直杆上，正以某一速度沿杆匀速下滑，小环离杆后正好通过C端的正下方P点处.(g取10m/s2)求：图11(1)小环离开直杆后运动的加速度大小和方向.(2)小环在直杆上匀速运动速度的大小v0.(3)小环运动到P点的动能.参考答案一、知识梳理 1. 路径 qU 2. 不做功 3. 移动电荷 Uq . 4. 负 电 5. 电势能 规律方法 1. 受力分析 二、题型、技巧归纳 【例1】 答案 AD解析 由题意分析知，小球在水平方向匀减速，竖直方向匀加速，由于时间相等，两方向位移相同，故qE ＝mg ，合力大小为2mg ，斜向左下方45°，故小球的动能先减小后增大；电场力一直做负功，小球机械能一直减小，小球的加速度始终保持2g 不变，从A 点到B 点电场力做负功，大小为qEh ＝mgh ，故电势能增加了mgh .高考预测1 答案 C解析 小球上滑过程中受到重力、库仑力、杆的支持力以及摩擦力作用，由于库仑力和摩擦力是变力，则运动过程中加速度始终发生变化，故A 错误；根据几何关系可知，OD ＝OC ，则C 、D 两点电势相等，所以从C 到D 的过程中，电场力做功为零，在C 点时，小球受到的库仑力是引力，电场力做正功，后电场力做负功，故B 错误；从C 到D 的过程中，根据动能定理得：0－12mv 20＝－mgh －W f ，再从D 回到C 的过程中，根据动能定理得：12mv 2C －0＝mgh －W f ，根据几何关系可知，h ＝34L 解得：v C ＝3gL －v 20，故C 正确；小球下滑过程中由于摩擦力做负功，则小球动能、电势能、重力势能三者之和减小，故D 错误.高考预测2 答案 AD解析 带电液滴在电场与重力场作用下，由牛顿第二定律可得：qE ＋mg ＝ma ＝m ·2g ，故qE ＝mg当带电液滴进入磁场时，由于电场力与重力方向相反，处于平衡.而洛伦兹力提供向心力，带电液滴做匀速圆周运动.所以重力势能先减小后增大，故A 正确；由于电场力先做负功后做正功，所以电势能先增大后减小，那么机械能先减小后增大，故B 错误；由于做匀速圆周运动，则速度的大小不变，则动能不变，故C 错误，D 正确.【例2】 答案 (1)32kQ 9L 2 (2)mv 202L (3)mv 24q (2n －1) (4)(n ＋0.5)L解析 (1)由点电荷电场强度公式和电场叠加原理可得：E ＝kQL22－kQ 3L22＝32kQ 9L2； (2)由对称性知，φA ＝φB ，电荷从A 到B 的过程中，电场力做功为零，克服阻力做功为：W f ＝F f L ，由动能定理：－F f L ＝0－12mv 20，得：F f ＝mv 22L(3)设电荷从A 到O 点电场力做功为W F ，克服阻力做功为12W f ，由动能定理：W F －12W f ＝12nmv 20－12mv 2得：W F ＝mv 24(2n －1)由：W F ＝q (φA －φO )得：φA ＝W F q ＝mv 24q(2n －1)(4)电荷最后停在O 点，在全过程中电场力做功为W F ＝mv 204(2n －1)，电荷在电场中运动的总路程为s ，则阻力做功为－F f s .由动能定理：W F －F f s ＝0－12mv 02即：mv 204(2n －1)－12L mv 20s ＝－12mv 02解得：s ＝(n ＋0.5)L .高考预测3 答案 (1)(qE －μmg )L ＋m qE －μmg 2qE ＋μmg v 20 (2)qEL ＋12mv 02解析 (1)设滑块向左运动x 时减速到零，由能量守恒定律有： (qE ＋μmg )x ＝12mv 02解得：x ＝mv 202qE ＋μmg之后滑块向右加速运动，设第一次到达虚线时的动能为E k ，由能量守恒定律得：qE (x ＋L )＝E k ＋μmg (x ＋L )解得：E k ＝(qE －μmg )L ＋m qE －μmg 2qE ＋μmgv 2滑块从虚线处压缩弹簧至最短的过程，机械能守恒，动能全部转化为弹性势能，所以弹簧的最大弹性势能为：E pm ＝(qE －μmg )L ＋m qE －μmg 2qE ＋μmgv 2(2)滑块往返运动，最终停在虚线位置，整个过程电场力做正功，为W ＝qEL ，电势能减少量为qEL ，由能量守恒定律，整个过程产生的热量等于滑块机械能的减少量与电势能的减少量之和，即Q＝qEL ＋12mv 02【例3】 答案 (1)6m/s (2)0.72W (3)0.152J 解析 (1)E ＝BLvI ＝E R ＝BLv R F 安＝BIL ＝B 2L 2vR当安培力与重力沿导轨向下的分力相等时，速度最大，棒ab 做匀速运动，即mg sin θ＝B 2L 2v mRv m ＝mgR sin37°B 2L 2＝6m/s(2)由(1)可知v m ＝mgR sin37°B 2L 2代入P ＝BLv m2R得P ＝m 2g 2R sin 237°B 2L 2＝0.72W(3)q ＝It ＝ΔΦR ＝BLxRx ＝qRBL＝2.6m 由能量关系有Q ＝mgx sin37°－12mv 2＝0.152J.高考预测4 答案 CD解析 由平衡条件，第一次匀速运动时，mg sin θ＝B 2L 2v 1R，第二次匀速运动时，mg sin θ＝4B 2L 2v 2R，则v 2<v 1，选项A 错误；ab 进入磁场后，安培力做负功，机械能减少，选项B 错误；从ab进入GH 到MN 与JP 的中间位置的过程中，由动能定理得，W 1－W 2＝ΔE k ，选项D 正确；线框克服安培力做功为W 2，等于产生的电能，且W 2＝W 1－ΔE k ，选项C 正确.高考预测5 答案 (1)8BL 2ω a 端电势高 (2)12πB 2L 4ωR解析 (1)根据法拉第电磁感应定律得E ＝B ·4L ·vv ＝v a ＋v b 2＝4L2ω＝2L ω所以E ＝B ·4L ·2L ω＝8BL 2ω由于ab 和ac 切割磁感线有效长度相同，回路的总感应电动势为零，金属框中无电流，但a 、b 两端有电势差，根据右手定则可判断a 端电势高所以U ab ＝E ＝8BL 2ω(2)若以ab 边为轴匀速转动，ac 边切割磁感线，金属框将产生正弦交流电，设某时刻金属框平面与磁场夹角为θ，从下向上看如图所示，则电动势的瞬时值表达式为e ＝B ·4L ·3L2ωcos θ＝6BL 2ωcos θ最大值E m ＝6BL 2ω 有效值为E ＝E m2＝32BL 2ω金属框绕ab 边转动一周产生的总热量Q ＝E 2R T ＝E 2R ·2πω则ab 边上产生的热量Q ab ＝R ab R Q ＝12πB 2L 4ωR.【例4】 答案 (1)3m/s (2)E ≤2 N/C 或E ≥62N/C 解析 (1)F f ＝F ①F f ＝μF N ② F N ＝mg －Bqv 1③由①②③解得：v 1＝3m/s (2)在A 处：cos α＝v 1v A，v A ＝6m/s小滑块不脱离AF 的圆弧轨道，刚好滑到D 点时：v D ＝0 根据能量守恒得－mgR cos α＋qE 1(R －R cos α)＝0－12mv 2A解出：E 1＝2N/C小滑块不脱离AF 的圆弧轨道，刚好滑到F 点时：mg ＝m v 2FR－mg (R ＋R cos α)＋qE 2(R －R cos α)＝12mv 2F －12mv 2A解出：E 2＝62N/C综上：为了使滑块不向内脱离AF 间的圆弧轨道，电场强度E 的取值范围为E ≤2N/C 或E ≥62 N/C 高考预测6 答案 (1)0.2 (2)323s解析 (1)当E ＝0时，s ＝4.5m 由动能定理得mgL sin θ－μmgs ＝0 解得μ＝0.2(2)当E ＝3×104N/C 时，由牛顿第二定律得mg sin θ－qE cos θ＝ma 1 又L ＝12a 1t 21解得物体在斜面上的运动时间t 1＝32s 水平面上由牛顿第二定律知μmg ＝ma 2 由v ＝a 1t 1 又v ＝a 2t 2 可得t 2＝3s所以物体运动的总时间t ＝t 1＋t 2＝332s.高考预测7 答案 (1)14.1m/s 2与杆垂直斜向右下方 (2)2 m/s(3)5J 解析 (1)小环在直杆上的受力情况如图所示由平衡条件得：mg sin45°＝Eq cos45° 得mg ＝Eq ，离开直杆后，只受mg 、Eq 作用，则：2mg ＝ma 代入数据解得加速度大小：a ≈14.1m/s 2加速度方向与杆垂直斜向右下方(2)设小环在直杆上运动的速度为v 0，离杆后经t 秒到P 点，则竖直方向：h ＝v 0sin45°·t ＋12gt 2水平方向(取向左为正)：v 0cos45°·t －12gt 2＝0由以上两式代入数据解得：v 0＝2m/s(3)由动能定理得：E k P －12mv 20＝mgh 代入数据解得：E k P ＝5J.。
