高中数学解题技巧之立体几何问题

高中数学【立体几何】解答题技巧

立体几何解答题的基本模式是论证推理与计算相结合，以某个几何体为依托，分步设问，逐层加深，解决这类题目的原则是建模、建系.建模——将问题转化为平行模型、垂直模型及平面化模型；建系——依托于题中的垂直条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.

(12分)如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE＝AD.△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO＝66DO.

(1)证明：PA⊥平面PBC；

(2)求平面PCB与平面PCE的夹角的余弦值.

(1)证明 设DO＝a，由题设可得PO＝66a，AO＝33a，

AB＝AC＝BC＝a，PA＝PB＝PC＝22a.2分

因此PA2＋PB2＝AB2，从而PA⊥PB.3分

又PA2＋PC2＝AC2，故PA⊥PC. 又PB，PC⊂平面PBC，PB∩PC＝P，

所以PA⊥平面PBC.5分

(2)解 以O为坐标原点，OE→的方向为y轴正方向，OD→的方向为z轴正方向，|OE→|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.

由题设可得E(0，1，0)，A(0，－1，0)，

C－32，12，0，P0，0，22.

7分

所以EC→＝－32，－12，0，EP→＝0，－1，22.8分

设m＝(x，y，z)是平面PCE的法向量，则

m·EP→＝0，m·EC→＝0，即－y＋22z＝0，－32x－12y＝0.

不妨取y＝1，得m＝－33，1，2.10分

由(1)知AP→＝0，1，22是平面PCB的一个法向量.

记n＝AP→，则cos〈n，m〉＝n·m|n|·|m|＝255.

所以平面PCB与平面PCE的夹角的余弦值为255.12分

❶得步骤分：对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点一定要写全.如第(1)问缺少PA＝PB＝PC＝22a，遗漏PA⊥PB导致扣分，第(2)问建立空间直角坐标系O-xyz.

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刍议高中数学中的立体几何解题技巧

作者：张雨桐

来源：《科技风》2017年第04期

摘 要：在高中数学知识体系中立体几何是较为重要的内容之一，也是学习难点，在学习过程中不断探究立体几何的解题技巧对于深入学习立体知识产生着相应的积极影响。所以作为高中学生，我们要想在学习过程中取得良好的学习成绩，就应该加强对立体几何解题技巧的重视，在学习和实践中不断总结经验，学习技巧，促使自身解题效率和效果得到显著的提升。

关键词：高中；数学；立体几何；解题技巧

长时间以来，在我们的学习过程中，高中数学立体几何一直都是数学学习过程中的难点，并且由于立体几何的学习对学生立体感要求相对较高，所以我们在学习过程中不仅要掌握相关理论知识，还需要注意对自身立体感的培养，唯有如此关于立体几何的学习才能够取得良好的学习成效，整体学习效果也能够得到进一步凸显。

一、建立空间观念，提升自身空间想象力

对于高中阶段的我们来说，从认识和了解平面图形到认识立体图形实质上实现了一次飞跃，但是这次飞跃需要一个过程。为了保证顺利“飞跃”，一些同学可能会选择自制空间几何模型并且结合相关数学题目进行反复观察，另一些学生也可能会选择针对书面上的一些立体图形进行观察和揣摩，并判断立体几何中不同线、面、角之间的关系，探索不同辅助线的做法，进而辅助自己完成立体空间观念的确立。换言之，学生在学习立体几何相关知识的过程中应该注意结合自身实际情况选择相应的方法，进而在学习和研究中逐步建立相应的空间观念，提升空间想象力，为立体几何题目的解决奠定坚实的基础。

在具体操作方面，为了有效强化自身空间感，我们在学习立体几何的过程中可以选择构建一些简单的模型帮助想象和联想。例如可以先制作简单的正方体和长方体，然后观察自己制作的正方体和长方体，寻找和发现正方体和长方体中涉及到的线与线之间、线与面之间以及面与面之间的关系，然后结合具体的立体几何题目进行拓展延伸，提升自身解题能力[ 1 ]。

高中数学立体几何体积和表面积计算技巧

在高中数学中，立体几何是一个重要的内容，其中计算几何体的体积和表面积是必不可少的技巧。本文将介绍一些常见的计算技巧，并通过具体的题目来说明这些技巧的应用。

一、立体几何体的体积计算技巧

1. 直接计算法

对于常见的几何体，如长方体、正方体、圆柱体、圆锥体和球体，可以直接使用相应的公式进行计算。

举例来说，如果要计算一个长方体的体积，可以使用公式 V = lwh，其中 l、w

和 h 分别表示长方体的长、宽和高。如果已知长方体的长为 6 cm，宽为 4 cm，高为 3 cm，则可以直接代入公式计算得到体积 V = 6 × 4 × 3 = 72 cm³。

2. 分割法

对于复杂的几何体，可以通过将其分割成若干简单的几何体来计算体积。这种方法常用于计算不规则体的体积。

举例来说，如果要计算一个由三棱锥和一个正方体组成的复合体的体积，可以先计算三棱锥的体积，再计算正方体的体积，最后将两者相加。

3. 单位体积法

对于一些特殊的几何体，可以利用单位体积的性质来计算体积。这种方法常用于计算球台、球冠等几何体的体积。

举例来说，如果要计算一个球台的体积，可以先计算整个球的体积，再减去球冠的体积。具体计算步骤如下：

步骤一：计算整个球的体积，使用公式 V = (4/3)πr³，其中 r 表示球的半径。 步骤二：计算球冠的体积，使用公式 V = (1/3)πh²(3r - h)，其中 h 表示球台的高度。

步骤三：将步骤一的结果减去步骤二的结果，即可得到球台的体积。

二、立体几何体的表面积计算技巧

1. 直接计算法

对于常见的几何体，可以直接使用相应的公式进行表面积的计算。

举例来说，如果要计算一个长方体的表面积，可以使用公式 S = 2lw + 2lh +

2wh，其中 l、w 和 h 分别表示长方体的长、宽和高。如果已知长方体的长为 6 cm，宽为 4 cm，高为 3 cm，则可以直接代入公式计算得到表面积 S = 2(6×4) + 2(6×3) +

高中立体几何辅助线技巧

高中立体几何辅助线技巧

立体几何是数学中的一个重要分支，它研究的是空间中的三维图形。在高中数学学习过程中，立体几何是一个非常重要的部分，而辅助线技巧则是解决立体几何问题的关键。本文将为大家介绍一些高中立体几何辅助线技巧。

一、平行四边形法

平行四边形法是解决平面内两直线或两平面之间的夹角问题时经常使用的方法。具体步骤如下：

1. 画出两个相交直线或平面。

2. 在其中一个直线或平面上任选一点，连一条与另一个直线或平面相交于该点的直线。

3. 在另一个直线或平面上找到与上述直线相交于同一点的另一条直线。

4. 连接这两条相交于同一点的直线所构成的平行四边形对角线。

5. 平行四边形对角线所在的直线就是原来两个相交直线或平面之间夹角所在的位置。

二、垂足法

垂足法主要用于求解空间内点到某个面或某条直线距离最短的问题。具体步骤如下：

1. 画出一个点和一个面或一条直线。

2. 连接该点到面或直线上的垂线。

3. 在垂线上找到垂足点。

4. 连接该点和垂足点，这条连线就是点到面或直线的最短距离。

三、平面几何基本定理法

平面几何基本定理法主要用于解决空间内平行关系和相交关系的问题。具体步骤如下：

1. 画出两个平行或相交的直线或平面。

2. 根据平面几何基本定理，选择适当的辅助线，将图形分割成几个简单的部分。

3. 利用简单部分之间的关系，求出所需结果。

四、向量法

向量法主要用于解决空间内向量运算相关问题。具体步骤如下：

1. 画出所需向量及其所在位置。

2. 根据向量运算公式，选择适当的辅助向量，并进行计算得到所需结果。

五、截距法

截距法主要用于求解空间内某个图形与坐标轴之间的交点坐标。具体步骤如下：

1. 画出所需图形及其所在位置。

2. 根据图形与坐标轴的交点坐标关系，选择适当的辅助线，并进行计算得到所需结果。

综上所述，以上五种高中立体几何辅助线技巧在解决立体几何问题时非常实用。在学习过程中，我们应该灵活运用这些技巧，提高解决问题的效率和准确性。