高考数学压轴专题(易错题)备战高考《平面解析几何》全集汇编附答案解析

新数学《平面解析几何》试卷含答案

一、选择题

1．点为椭圆的一个焦点，若椭圆上存在点使（为坐标原点）为正三角形，则椭圆的离心率为（ ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

为正三角形，点在椭圆上，代入椭圆方程，计算得到.

【详解】

由题意，可设椭圆的焦点坐标为，

因为为正三角形，则点在椭圆上，

代入得，即，

得，解得，

故选B．

【点睛】

本题考查了椭圆离心率的计算，意在考查学生的计算能力.

2．若双曲线上存在四点，使得以这四点为顶点的四边形是菱形，则该双曲线的离心率的取值范围是( )

A．(1,2) B．(1,3) C．(2,) D．(3,)

【答案】C

【解析】

【分析】

根据题意，双曲线与直线yx相交且有四个交点，由此得1ba．结合双曲线的基本量的平方关系和离心率的定义，化简整理即得该双曲线的离心率的取值范围．

【详解】

解：不妨设该双曲线方程为22221(0,0)xyabab，

由双曲线的对称性质可知，该四边形为正方形，

所以直线yx与双曲线有交点， 所以其渐近线与x轴的夹角大于45，即1ba．

离心率21()2bea．

所以该双曲线的离心率的取值范围是(2，)．

故选：C．

【点睛】

本题考查双曲线的离心率取值范围以及双曲线的标准方程和简单几何性质等知识，属于基础题．

3．已知直线(3)(0)ykxk与抛物线2:4Cyx相交于A，B两点，F为C的焦点.若5FAFB，则k等于（ ）

A．23 B．12 C．23 D．22

【答案】B

【解析】

【分析】

由2(3)4ykxyx，得22226490kxkxk，22464360kk，得213k，129xx①，再利用抛物线的定义根据5FAFB，得到1254xx②，从而求得21x，代入抛物线方程得到(1,2)B，再代入直线方程求解.

【详解】

设11,Axy，22,Bxy，易知1 0x，20x，10y，20y，

由2(3)4ykxyx，得22226490kxkxk，22464360kk，

所以213k，129xx①.

因为1112pFAxx，2212pFBxx，且5FAFB，

所以1254xx②.

由①②及20x得21x，

所以(1,2)B，代入(3)ykx，

得12k.

故选：B 【点睛】

本题考查抛物线的定义，几何性质和直线与抛物线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

4．已知直线:21110lkxkykR与圆221225xy交于A，B两点，则弦长AB的取值范围是（ ）

A．4,10 B．3,5 C．8,10 D．6,10

【答案】D

【解析】

【分析】

由直线21110kxky，得出直线恒过定点1,2P，再结合直线与圆的位置关系，即可求解.

【详解】

由直线:21110lkxkykR，可得210kxyxy，

又由2010xyxy，解得12xy，即直线恒过定点1,2P，圆心1,2C，

当CPl时弦长最短，此时2222ABCPr，解得min6AB，

再由l经过圆心时弦长最长为直径210r，

所以弦长AB的取值范围是6,10.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查了直线系方程的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练利用直线的方程，得出直线恒过定点，再结合直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.

5．已知抛物线y2＝4x上的点P到抛物线的准线的距离为d1，到直线3x－4y＋9＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是（ ）

A．125 B．65 C．2 D．55

【答案】A

【解析】

试题分析：根据抛物线的定义可知抛物线24yx上的点P到抛物线的焦点距离1PFd,所以122ddMFd,其最小值为1,0F到直线3490xy的距离，由点到直线的距离公式可知122minmin223912534ddMFd，故选A.

考点：抛物线定义的应用.

6．如图，12,FF是双曲线221:13yCx与椭圆2C的公共焦点，点A是1C，2C在第一象限的公共点，若112FAFF，则2C的离心率是（ ）

A．13 B．15 C．23 D．25

【答案】C

【解析】

由221:13yCx知2c，1124FAFF

∵122FAFA

∴22FA

∵由椭圆得定义知1226aFAFA

∴23,3caea

故选C

7．若点O和点F分别为椭圆22143xy的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则OPFPg的最大值为（ ）

A．4 B．5 C．6 D．7

【答案】C

【解析】

【分析】

设,Pxy，由数量积的运算及点P在椭圆上，可把OPFPuuuruuur表示成为x的二次函数，根据二次函数性质可求出其最大值.

【详解】

设,Pxy，1,0,0,0FO，则 ,,+1,OPxyFPxyuuuruuur，则

22OPFPxxyuuuruuur，

因为点P为椭圆上，所以有：22143xy即22334yx，

所以222223132244xxyxxxFPxOPuuuruuur

又因为22x，

所以当2x时，OPFPuuuruuur的最大值为6

故选：C

【点睛】

本题考查了数量积的坐标运算，求二次函数的最大值，属于一般题.

8．已知0mn，则方程是221mxny与20mxny在同一坐标系内的图形可能是

( ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

方程20mxny即2myxn，表示抛物线，方程2210mxnymn表示椭圆或双曲线，当m和n同号时，抛物线开口向左，方程2210mxnymn表示椭圆，无符合条件的选项，当m和n异号时，抛物线2myxn开口向右，方程221mxny表示双曲线，故选A.

9．已知直线21ykxk与直线122yx的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是（ ）

A．12k B．16k或12k C．62k D．1162k

【答案】D 【解析】

【分析】

联立21122ykxkyx，可解得交点坐标(,)xy，由于直线21ykxk与直线122yx的交点位于第一象限，可得00xy，解得即可．

【详解】

解：联立21122ykxkyx，解得24216121kxkkyk，

Q直线21ykxk与直线122yx的交点位于第一象限，

2402161021kkkk，解得：1162k．

故选：D．

【点睛】

本题考查两直线的交点和分式不等式的解法，以及点所在象限的特征．

10．设P为椭圆C：22xy173上一动点，1F，2F分别为左、右焦点，延长1FP至点Q，使得2PQPF，则动点Q的轨迹方程为( )

A．22(x2)y28 B．22(x2)y7 C．22(x2)y28 D．22(x2)y7

【答案】C

【解析】

【分析】

推导出12PFPF2a27，2PQPF，从而11PFPQFQ27，进而得到Q的轨迹为圆，由此能求出动点Q的轨迹方程．

【详解】

PQ为椭圆C：22xy173上一动点，1F，2F分别为左、右焦点，

延长1FP至点Q，使得2PQPF，

12PFPF2a27，2PQPF， 11PFPQFQ27，

Q的轨迹是以1F2,0为圆心，27为半径的圆，

动点Q的轨迹方程为22(x2)y28．

故选：C．

【点睛】

本题考查动点的轨迹方程的求法，考查椭圆的定义、圆的标准方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．

11．已知抛物线2:4Cyx，过其焦点F的直线l交抛物线C于,AB两点，若3AFFBuuuruur，则AOFV的面积（O为坐标原点）为（ ）

A．33 B．3 C．433 D．23

【答案】B

【解析】

【分析】

首先过A作111AAAB，过B作111BBAB（11AB为准线），1BMAA，易得30ABMo，60AFHo.根据直线AF：3(1)yx与抛物线联立得到12103xx，根据焦点弦性质得到163AB，结合已知即可得到sin6023AHAFo，再计算AOFSV即可.

【详解】

如图所示：

过A作111AAAB，过B作111BBAB（11AB为准线），1BMAA.

因为3AFBFuuuruuur，设BFk，则3AFk，11BBAMk.