【精品】采样定理

第1页，共4页 带通抽样定理 【1 】

现实中碰到的很多旌旗灯号是带通型旌旗灯号,这种旌旗灯号的带宽往往远小于旌旗灯号中间频率.若带通讯号的上截止频率为Hf,下截止频率为Lf,这时其实不须要抽样频率高于两倍上截止频率Hf,可按照带通抽样定理肯定抽样频率.

[定理3-2] 带通抽样定理：一个频带限制在),(HLff内的时光持续旌旗灯号)(tx,旌旗灯号带宽LHffB,令NBfMH/,这里N为不大于BfH/的最大正整数.假如抽样频率sf知足前提

mffmfLsH212,10Nm（3.1-9）

则可以由抽样序列无掉真的重建原始旌旗灯号)(tx.

对旌旗灯号)(tx以频率sf抽样后,得到的采样旌旗灯号)(snTx的频谱是)(tx的频谱经由周期延拓而成,延拓周期为sf,如图3-3所示.为了可以或许由抽样序列无掉真的重建原始旌旗灯号)(tx,必须选择适合的延拓周期（也就是选择采样频率）,使得位于),(HLff和),(LHff的频带分量不会和延拓分量消失混叠,如许运用带通滤波器就可以由采样序列重建原始旌旗灯号.

因为正负频率分量的对称性,我们仅斟酌),(HLff的频带分量不会消失混叠的前提.

在抽样旌旗灯号的频谱中,在),(HLff频带的双方,有着两个延拓频谱分量：),(sLsHmffmff和))1(,)1((sLsHfmffmf.为了防止混叠,延拓后的频带分量应知足

LsLfmff（3.1-10）

HsHffmf)1(（3.1-11）

分解式（3.1-10）和式（3.1-11）并整顿得到

mffmfLsH212（3.1-12）

这里m是大于等于零的一个正数.假如m取零,则上述前提化为

Hsff2（3.1-13） 第2页，共4页 这时现实上是把带通讯号看作低通讯号进行采样.

m取得越大,则相符式（3.1-12）的采样频率会越低.但是m有一个上限,因为mffLs2,而为了防止混叠,延拓周期要大于两倍的旌旗灯号带宽,即Bfs2.

奈奎斯特采样定理

1.奈奎斯特定理和采样

在着眼于软件无线电及其各种嵌入式的应用之前，我们先来回顾一个基本的定理，它应用于像软件无线电那样的数据采样系统。

请注意我们强调是带宽而不是频率。下面我们将展示这个定理的应用，以及

采样频率也叫采样率的正确理解。一个将采样形象化的小技巧

为了形象化的展示采样时发生了什么，假想你有一个透明的折叠式打印纸，

纸的水平边作为频率轴，将纸的折叠处对应二分之一采样率的整数倍，这样每一

片纸就代表了一个“奈奎斯特区”，如图1所示。奈奎斯特定理

如果采样频率不小于信号带宽的两倍，

任何信号都能够通过其离散采样来重建。采样基础知识

使用折叠纸的纵轴表示信号能量，画出待采样信号的频谱，如图2所示，将透明折叠纸合起来看一下采样带来的效果。我们透过合起来的纸看过去，就会看到采样所导致的频谱，每一片纸上也就

是每一个奈奎斯特区上的信号都合到了一起，不能再被区分开来，这个现象也称

作“混叠”。一旦采样时发生了混叠，采样结果将是损坏的不能恢复。“混叠”这个

词很恰当，高奈奎斯特区的信号采样后出现在一个不同的频率。2.基带采样一个基带信号的频谱起始于零频，终止于其最高频率。为了防止采样基带信

号时损坏数据，需要确保所有的信号频谱只落在第一个奈奎斯特区，如图4所示，

有两种方式来实现：一是使用低通滤波器来滤除高于fs/2的信号，二是提高采样

率使得所有信号频谱落入fs/2以内。注意fs/2也称作“折叠频率”。

3.带通信号采样让我们考虑一个带通信号，比如一个通信接收机的中频信号，它的中心频率

为70MHz，带宽为10MHz，那么这个信号的频谱在65～75MHz。如果我们按照

基带采样的规则，必须在信号最高频率的两倍以上进行采样，也就是采样率至少

为150MHz。但是，利用一种“欠采样”的技术，我们就可以使用更低的采样率。4.欠采样欠采样允许我们利用混叠，假设我们遵循奈奎斯特定理的严格要求。对于上

述中频信号，设想我们尝试40MHz的采样率，那么折叠纸的图像就是图5所示，

第22

卷第5

期

2019

年9

月西安文理学院学报（

自然科学版）

JournalofXi＇anUniversity（NaturalScienceEdition）Vol．22No．5

Sep．2019

文章编号：1008-5564（2019）05-0064-05

收稿日期：2019-02-26

作者简介：

刘密歌（1972—），

女，

陕西咸阳人，

西安文理学院信息工程学院副教授，

硕士，

主要从事信号与信息处理的

研究与教学．采样定理研究

刘密歌

（

西安文理学院信息工程学院，

西安710065）

摘要：

采样定理是数字信号处理的基础，

在信号的理论研究和工程实践中都有重要而广泛的应

用．

给出了采样定理的一个新的推导方法，

研究了重构信号与原信号之间的关系，

建立了相应的误差公

式．

同时，

进一步研究了不同采样频率下采样信号之间的关系，

得到了采样信号之间的转换公式．

关键词：

采样定理；

采样频率；

重构信号

中图分类号：TN911．7

文献标志码：A

ＲesearchonSamplingTheorem

LIUMi-ge

（SchoolofInformationEngineering，Xi＇anUniversity，Xi＇an710065，China）

Abstract：Samplingtheoremisthebasisofdigitalsignalprocessing．Ithasimportantandexten-

siveapplicationsintheoryresearchandengineeringpracticeofsignal．Inthispaper，anew

derivationmethodofsamplingtheoremisgiven．Therelationshipbetweenreconstructedsignal

andoriginalsignalisstudied，andthecorrespondingerrorformulaisestablished．Atthesame

3.1.3 带通抽样定理

实际中遇到的许多信号是带通型信号，这种信号的带宽往往远小于信号中心频率。若带通信号的上截止频率为，下截止频率为，这时并不需要抽样频率高于两倍上截止频率，可按照带通抽样定理确定抽样频率。

[定理3-2] 带通抽样定理：一个频带限制在内的时间连续信号，信号带宽，令，这里为不大于的最大正整数。如果抽样频率满足条件

， （3.1-9）

则可以由抽样序列无失真的重建原始信号。

对信号以频率抽样后，得到的采样信号的频谱是的频谱经过周期延拓而成，延拓周期为，如图3-3所示。为了能够由抽样序列无失真的重建原始信号，必须选择合适的延拓周期（也就是选择采样频率），使得位于和的频带分量不会和延拓分量出现混叠，这样使用带通滤波器就可以由采样序列重建原始信号。

由于正负频率分量的对称性，我们仅考虑的频带分量不会出现混叠的条件。

在抽样信号的频谱中，在频带的两边，有着两个延拓频谱分量：和。为了避免混叠，延拓后的频带分量应满足

（3.1-10）

（3.1-11）

综合式（3.1-10）和式（3.1-11）并整理得到

（3.1-12）

这里是大于等于零的一个正数。如果取零，则上述条件化为

（3.1-13）

这时实际上是把带通信号看作低通信号进行采样。

取得越大，则符合式（3.1-12）的采样频率会越低。但是有一个上限，因为，而为了避免混叠，延拓周期要大于两倍的信号带宽，即。

因此

（3.1-14）

由于为不大于的最大正整数，因此不大于的最大正整数为，故有

综上所述，要无失真的恢复原始信号，采样频率应满足

， （3.1-15） HfLfHf),(HLff)(txLHffBNBfMH/NBfH/sfmffmfLsH21210Nm)(tx)(txsf)(snTx)(txsf)(tx),(HLff),(LHff),(HLff),(HLff),(sLsHmffmff))1(,)1((sLsHfmffmfLsLfmffHsHffmf)1(mffmfLsH212mmHsff2mmmffLs2Bfs2BfBfffmLLsL222NBfH/BfL/1N10Nm)(txsfmffmfLsH21210Nm图3-3 带通采样信号的频谱