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高等数学教案(同济)第二章

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第一讲

I 授课题目:

§2.1 导数概念

II 教学目的与要求:

1. 理解导数的概念，理解导数的几何意义；

2. 会用导数描述一些物理量；

3. 会用导数的定义求函数的导数并会判断函数的可导性。

III 教学重点与难点:

重点：导数的概念

难点：用导数的定义判断函数的可导性

IV 讲授内容:

微分学是微积分的重要组成部分，它的基概念是导数与微分。主要讨论导数和微分的概念以及它们的计算方法。先讨论导数的概念，而导数的概念的形成与直线运动的速度，切线问题有密切的关系。

一、直线运动的速度，切线问题

1．直线运动的速度

先建立坐标系：

设某点沿直线运动，在直线上引入原点和单位点（即表示实数1的点），使直线成为数轴。此外，再取定一个时刻作为测量时间的零点，设动点于时刻t在直线上的位置的坐标为s（简称位置），运动完全由位置函数所确定。

位置函数：

)(tfs （1）

从时刻0t到t一个时间间隔，有平均速度为：

0000)()(tttftfttss （2）

时间间隔较短，比值在实践中可用来说明动点在时刻0t的速度，但动点在时刻0t的速度的精确概念还得让0tt，即：

00)()(lim0tttftfvtt （3）

极限值叫做动点在时刻0t的（瞬时）速度，给出了求瞬时速度的方法。

2． 切线斜率问题

建立直角坐标系，函数的图形为曲线，分析切线的定义，就得曲线上任一点的切线的斜率为：

00)()(lim0xxxfxfkxx （4）

割线斜率的极限就是切线的斜率

二、导数的定义

1.函数在一点处的导数与导函数

讨论知，非匀速直线运动的速度和切线的斜率都归为一数学形式：

00)()(lim0xxxfxfxx （5）

此处的0xx和)()(0xfxf的分别是函数)(xfy的自变量的增量x和函数的增量y

式（5）写成：

0000()()limlimxxfxxfxyxx （6）

由它们在数量关系上的共性，就得出函数的导数的概念。

2.导数的定义

定义1 设函数)(xfy在点0x的某个邻域内有定义，当自变量x在0x处取得增量x（点xx0仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量y；如果y与x之比当0x时的极限存在，则称函数)(xfy在点0x处可导，并称这个极限为函数)(xfy在点0x处的导数 ，记为)(0xf，

即

000)(,,)()(limlim)(00000xxxxxxxxdxxdfdxdyyxxfxxfxyxf记 （7）

函数)(xfy在点0x处可导有时也说成)(xfy在点0x具有导数或导数存在。

导数的定义也可取不同的形式，常见的有： α φT

x o N

M y

图2-1 hxfhxfxfh)()(lim)(0000 （8）

000)()(lim)(0xxxfxfxfxx （9）

在实际中，需要讨论有不同意义的变量的变化“快慢”问题，在数学上就是所谓函数的变化率问题。导数概念就是函数变化率这一概念的精确描述。

3. 函数在一点处不可导的定义

定义2 如果式（7）的极限不存在，就说函数在点处不可导，如果，当0x时，比值xy 时，就说函数)(xfy在点0x处的导数为无穷大（此时函数不可导）。

4.导函数的定义

定义3 如果函数)(xfy在开区间I内的每点处都可导，就称函数)(xfy在开区间I内可导。对任意Ix都对应着)(xfy的一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函数，这个函数叫做函数)(xfy的导函数，记作：

dxxdfdxdyxfy)(,),(, （10）

式（7）、式（8）得

hxfhxfxfh)()(lim)(0 （11）

导函数)(xf简称导数，而)(0xf是)(xf在0x处的导数或导数)(xf在点0xx处的值。

5.求函数的导数举例

例1 求函数)()(Nnxxfn在ax处的导数

解

1121)(limlim)()(lim)(nnnnaxnnaxaxnaaaxxaxaxaxafxfaf

将a换成x得1)(nnxxf即 1)(nnnxx

幂函数)(为常数uxyu的导数公式

1)(uuuxx

例2 求函数xxfsin)(的导数

解

xhhhxhhxhhxhxhxfhxfxfhhhhcos22sin)2cos(lim2sin)2cos(21limsin)sin(lim)()(lim)(0000

正弦函数的导数是余弦函数。

例3 求函数xxf)(在0x处的导数

解 00()(0)||(0)limlim0xxfxfxfxx

0000||||limlim1,limlim1xxxxxxxxxxxx

所以0||limxxx不存在

即函数xxf)(在0x处不可导

6.单侧导数

根据函数)(xf在点0x处的导数)(0xf的定义，导数是一个极限，

hxfhxfxfh)()(lim)(0000

而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等。函数在点处的左、右极限得左、右导数的定义

左导数的定义 hxfhxfxfh)()(lim)(0000'

右导数的定义

hxfhxfxfh)()(lim)(0000

函数在点处可导的充分必要条件是左导数和右导数都存在且相等。

函数)(xf在开区间),(ba的内可导，及)(af的)(bf都存在，就说)(xf在闭区间],[ba上可导。

三、导数的几何意义

切线问题的讨论知，函数)(xfy在点0x处的导数)(0xf在几何上表示曲线)(xfy在点))(,(00xfxM处的切线的斜率，即：

hxfhxfkxfh)()(lim)(0000

注：1.如果0()fx，则曲线)(xfy在点))(,(00xfxM处有垂直于x轴的切线0xx；

2.如果0()0fx，则曲线)(xfy在点))(,(00xfxM处有平行于x轴的切线

0()yfx。

曲线在点处的切线方程为

))((000xxxfyy

曲线在点处的法线方程为

)()(1000xxxfyy

例4 求等边双曲线xy1在点)2,21(处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程。

解 根据导数的几何意义，得切线的斜率为 41212211xxxyk

切线方程为

.044),21(42yxxy

法线的斜率为 41112kk

法线方程为

.01582),21(412yxxy

V 小结与提问：

小结：1.给出了函数在一点处的导数的定义以及函数的导函数的定义；

2.函数在一点处的左右导数的定义；

3.给出函数的导数的几何意义.

提问：怎么样用导数的定义求函数在一点的导数？

VI 课外作业：

P85-P86 1，5，7 （3）（6），11

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高等数学上 函数 教案 初等函数

高等数学上 函数 教案 初等函数

《函数》教案设计

授课人 XXX 学号 XXX 指导老师 XXX

课题名称 高等数学 授课对象 大一新生 时间安排 45min

教材分析

本节课选用的教材为：同济大学数学系编写、高等教育出版社出版的《高等数学（第七版）》。该教材是“十二五”普通高等教育本科国家级规划教材。分上、下两册出版，共十二章，上册包括函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分及其应用、微分方程等内容。本教材也是考研数学科目的通用教材。本节课内容主要参考该教材第一章第一节“映射与函数”中的函数部分。

学情分析

课程授课对象是刚刚进入大学生活的大一学生，学生经过中学数学的学习，对初等数学有了一定的基础。高等数学作为基础课程，是很多专业课程的基础。学好高等数学，可以帮助学生加强专业课的学习和理解。本课程属于大多数工科及理科专业的基础必修课程，只有学好基础课程，有了扎实的基础和学习数学培养的逻辑思维能力，才能更好的学习专业课程。

通过上节课集合、区间、邻域等预备知识的学习，映射概念的学习，学生已经对高等数学有了一定的认识，对映射有了一定的理解。本节课将在映射的基础上，进一步学习函数，用映射来研究函数，可加深学生对函数概念、函数的性质和运算的理解，因此本节课的学习十分重要。

教学目标 知识与技能目标 1. 学习函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式；

2. 了解函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性等性质；

3. 理解复合函数、反函数的概念；

4. 掌握基本初等函数的性质及其图形。

过程与方法目标 1. 培养学生依据已有经验，自主构建数学知识，理解数学知识的过程，让学生了解知识的来源、规律、特点，这样有利于现象，了解本源，从而更好地掌握知识并培养相应的技能； 2. 让学生掌握获取相关知识、培养相关技能的过程与方法，通过关注学习的过程、手段、途径等手段来掌握学习策略，从而达到“会学”的目的。

同济大学版高等数学课后习题答案第2章

同济大学版高等数学课后习题答案第2章

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习题21

1 设物体绕定轴旋转 在时间间隔 [0 t]内转过的角度为 从而转角 是 t 的

函数 (t) 如果旋转是匀速的 那么称 为该物体旋转的角速度 如果旋转

t

是非匀速的 应怎样确定该物体在时刻 t0 的角速度？

解 在时间间隔 [t0 t0 t] 内的平均角速度 为

(t0 t ) (t0 ) t t

故 t0 时刻的角速度为

l i m l i m l i m (t0 t) (t0) (t )

t 0 t 0 t t 0 t 0

2 当物体的温度高于周围介质的温度时 物体就不断冷却 若物体的温度 T

与时间 t 的函数关系为 T T(t) 应怎样确定该物体在时刻 t 的冷却速度？

解 物体在时间间隔 [t0 t0 t]内 温度的改变量为

T T(t t) T(t)

平均冷却速度为 T T (t t) T(t) t t

故物体在时刻 t 的冷却速度为

lim T lim T (t t ) T (t ) T (t)

t 0 t t 0 t

3 设某工厂生产 x 单位产品所花费的成本是 f(x)元 此函数 f(x)称为成本函数

成本函数 f(x)的导数 f (x)在经济学中称为边际成本 试说明边际成本 f (x)的实际意

义

解 f(x x) f(x)表示当产量由 x 改变到 x x 时成本的改变量

f (x x) f (x) 表示当产量由 x 改变到 x x 时单位产量的成本

x

f (x) lim

0f (x x) f ( x) 表示当产量为 x 时单位产量的成本

x x

4 设 f(x) 10x2 试按定义 求 f ( 1)

解 f ( 1) lim f ( 1 x) f ( 1) 10( 1 x)2 10( 1)2

高等数学(同济大学版)-课程讲解-1.2数列的极限

高等数学(同济大学版)-课程讲解-1.2数列的极限

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-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 课 时 授 课 计 划

课次序号： 02

一、课 题：§1.2 数列的极限

二、课 型：新授课

三、目的要求：1.理解数列极限的概念；

2.了解收敛数列的性质.

四、教学重点：数列极限的定义.

教学难点：数列极限精确定义的理解与运用.

五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．

六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导委员会编，

高等教育出版社；

2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业大学出版社．

七、作业：习题1–2 3（2）（4），5

八、授课记录：

九、授课效果分析： 授课日期

班 次

第二节 数列的极限

复习

1. 函数的概念与特性，复合函数与反函数的概念，基本初等函数与初等函数；

2. 数列的有关知识.

极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产生的．例如，我国古代数学家刘徽（公元3世纪）利用圆内接正多边形来推算圆面积的方法——割圆术，就是极限思想在几何学上的应用．

设有一圆，首先作内接正六边形，把它的面积记为1A；再作内接正十二边形，其面积记为2A；再作内接正二十四边形，其面积记为3A；循此下去，每次边数加倍，一般地把内接正126n边形的面积记为()nAnN．这样，就得到一系列内接正多边形的面积：

，，，，，，nAAAA321

它们构成一列有次序的数．当n越大，内接正多边形与圆的差别就越小，从而以nA作为圆面积的近似值也越精确．但是无论n取得如何大，只要n取定了，nA终究只是多边形的面积，而还不是圆的面积．因此，设想n无限增大（记为n，读作n趋于无穷大），即内接正多边形的边数无限增加，在这个过程中，内接正多边形无限接近于圆，同时nA也无限接近于某一确定的数值，这个确定的数值就理解为圆的面积．这个确定的数值在数学上称为上面这列有次序的数（所谓数列），，，，，，nAAAA321当n时的极限．在圆面积问题中我们看到，正是这个数列的极限才精确地表达了圆的面积．

高等数学 同济二版上册课后答案

高等数学 同济二版上册课后答案

第一章1-4节

1、计算下列极限

7）2382lim222xxxxx

分析：本题分子分母同时趋近于0，根据表达式的形式，考虑利用约分将趋于0的项约去。

解：原式6)1(lim)4(lim14lim)2)(1()2)(4(lim2222xxxxxxxxxxxx

9）)sin(sinsinlimaxaxax

分析：本题分子分母同时趋于0，但不能约分，利用复合函数求极限，通过变量替换进行求解

解一：令0,,,uaxuaxaxu时则。

auuaauuuaauuaauauauauauauuuuucos)2cos42sinsin(coslim]2cos2sin2)2sin21(sin[coslim]sin)1(cossin[coslimsinsinsincoscossinlimsinsin)sin(lim020000原式

解二：利用三角函数的和差化积，以及等价替换

aaxaxaxaxaxaxaxaxcos22cos2lim)sin(2sin2cos2lim原式

11）6)1(lim)4(lim14lim4lim020202230ttttttttttttttt(应该为4)

13）31)312(lim2lim)312)(4()4(2lim)312)(4(9)12(lim4312lim44444xxxxxxxxxxxxxx

本题利用了分子有理化

2、计算下列极限

1）nnnarctanlim

解：因为2arctan01n，n，n而时，无穷小与有界函数之积仍然为无穷小，所以 原式nnnarctan1lim=0

2）0sin1lim1sinlimnnnnnnnn

3）1arctan11arctan11limarctanarctanlimxxxxxxxxxx