习题-不等式及其解法

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专题七 不等式

7.1 不等式及其解法

基础篇 固本夯基

考点一 不等式的概念与性质

1.(2022届四川绵阳诊断,2)若0

A.ln a>ln b B.b2

C.1𝑎<1𝑏 D.(12)𝑎>(12)𝑏

答案 D

2.(2022届安徽芜湖模拟,10)已知a,b为实数且a>b>0,则下列所给4个不等式中一定成立的是( )

①1𝑎-1<1𝑏-1;②2 022a-2 021>2 022b-2 021;③a+b+2>2√𝑎+2√𝑏;④1𝑎+1𝑏>4𝑎+𝑏.

A.②④ B.①③

C.②③④ D.①②③④

答案 C

3.(2022届新疆模拟,3)十六世纪中叶,英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用,后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号,并逐渐被数学界接受,不等号的引入对不等式的发展影响深远.若a>b>0,则下列结论错误．．的是( )

A.1𝑎<1𝑏 B.log2(a-b)>0

C.𝑎12>𝑏12 D.3a>3b

答案 B

4.(2021河南焦作二模,6)已知1𝑎>1𝑏>0,则下列不等式①𝑏𝑎>1;②|a|>|b|;③a3>b3;④(12)𝑎>(12)𝑏,其中正确的是( )

A.①② B.③④

C.②③ D.①④

答案 D

5.(2021河北唐山模拟,5)已知x>0,y>0,M=𝑥2𝑥+2𝑦,N=4(𝑥-𝑦)5,则M和N的大小关系为( )

A.M>N B.M

C.M=N D.以上都有可能

答案 A

6.(2021安徽宣城二模,6)设m=log45,n=log315,则( )

A.m+n<0

C.m+n

答案 D 第 2 页 共 5 页

7.(2017北京,13,5分)能够说明“设a,b,c是任意实数.若a>b>c,则a+b>c”是假命题的一组整数a,b,c的值依次为 .

答案 -1,-2,-3(答案不唯一)

考点二 不等式的解法

1.(2022届江西上饶月考,9)关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中恰有两个整数,则实数a的取值范围是( )

A.[-2,-1)∪(3,4] B.(-2,-1)∪(3,4)

C.(3,4] D.(3,4)

答案 A

2.(2021东北三省模拟,7)关于x的不等式ax-b>0的解集是(-1,+∞),则关于x的不等式(bx+a)(x-3)>0的解集是( )

A.(-∞,-1)∪(3,+∞)

B.(-1,3)

C.(1,3)

D.(-∞,1)∪(3,+∞)

答案 C

3.(2021新疆第二次适应性检测,3)若关于x的不等式cos𝑥-2𝑥2-mx-n>0的解集为(-2,3),则mn=( )

A.5 B.-5 C.6 D.-6

答案 C

4.(2020陕西汉中二模,12)对于实数x,规定[x]表示不大于x的最大整数,那么使得不等式4[x]2-36[x]+45<0成立的x的取值范围是( )

A.(32,152) B.[2,8]

C.[2,8) D.[2,7]

答案 C

5.(2021河南六市二模,9)已知定义域为R的函数f(x)在[2,+∞)上单调递减,且f(4-x)+f(x)=0,则使得不等式f(x2+x)+f(x+1)<0成立的实数x的取值范围是( )

A.{x|-3

B.{x|x<-1或x>3}

C.{x|x<-3或x>1}

D.{x|x≠-1}

答案 C

6.(2021安徽安庆一中月考,11)若a<0,则不等式a(x+1)·(𝑥+1𝑎)>0的解集是( )

A.{𝑥|-1<𝑥<-1𝑎} B.{𝑥|-1𝑎

C.{𝑥|𝑥<-1𝑎或x>-1} D.{𝑥|𝑥<-1或𝑥>-1𝑎}

答案 A 第 3 页 共 5 页

7.(2021北京东城一模,6)已知函数f(x)={2𝑥-1,0

A.(0,1] B.(0,2] C.[1,4] D.[1,6]

答案 C

8.(2022届上海二模,7)不等式2𝑥-𝑎𝑥+𝑎>0的解集为M,且2∉M,则实数a的取值范围是 .

答案 (-∞,-2]∪[4,+∞)

综合篇 知能转换

考法 含一元二次不等式恒成立问题的常见解法

1.(2022届四川乐山期中,7)不等式x2+ax+4<0的解集为空集,则a的取值范围是( )

A.[-4,4]

B.(-4,4)

C.(-∞,-4)∪[4,+∞)

D.(-∞,-4)∪(4,+∞)

答案 A

2.(2022届湖南联考,9)已知函数f(x)=-x2+ax+b2-b+1(a,b∈R),对任意实数x都有f(1+x)=f(1-x)成立,当x∈[-1,1]时,f(x)>0恒成立,则b的取值范围是( )

A.(-1,0)

B.(2,+∞)

C.(-∞,-1)∪(2,+∞)

D.(-∞,-1)

答案 C

3.(2021安徽名校期末,4)已知使不等式x2+(a+1)x+a≤0成立的任意一个x,都满足不等式3x-1≤0,则实数a的取值范围为( )

A.(-13,+∞) B.[-13,+∞)

C.(-∞,-13) D.(-∞,-13]

答案 B

4.(2020安徽舒城模拟,7)若不等式x2+px>4x+p-3在0≤p≤4时恒成立,则x的取值范围是( )

A.[-1,3]

B.(-∞,-1]

C.[3,+∞)

D.(-∞,-1)∪(3,+∞)

答案 D 第 4 页 共 5 页

5.(2021西安中学二模,16)函数f(x)={ln(2-𝑥),𝑥≤1,-𝑥2+1,x>1,若|f(x)|-ax+a≥0恒成立,则实数a的取值范围是 .

答案 [0,2]

6.(2021河南新乡一模,16)定义在R上的函数f(x)满足f(-x)+f(x)=0,当x≥0时, f(x)=x2.若不等式14f(ax2)+f(3-x)≥0对任意x∈R恒成立,则实数a的最小值为 .

答案 16

应用篇 知行合一

应用 不等式在实际问题中的应用

1.(2022届安徽六校联考,7实际生活)现有一台不等臂的天平,它有左、右两个托盘,若同一个物体放在左、右托盘各测一次所得的质量分别是a,b(单位:g),则下列关于物体的真实质量m(g)的表述正确的是( )

A.m<√𝑎𝑏 B.m>𝑎+𝑏2

C.m<𝑎+𝑏2 D.m>√𝑎𝑏

答案 C

2.(2021吉林白山联考(三),10实际生活)光线通过一块玻璃,强度要损失10%,若光线强度要减弱到原来的15以下,则要通过这样的玻璃的块数至少为(lg 3≈0.477,lg 2≈0.3)( )

A.14 B.15 C.16 D.18

答案 C

3.(2021陕西汉中二模,4实际生活)在流行病学中,基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数.当基本传染数高于1时,每个感染者平均会感染一个以上的人,从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增长,当基本传染数持续低于1时,疫情才可能逐渐消散.广泛接种疫苗可以减少疾病的基本传染数.假设某种传染病的基本传染数为R0,1个感染者在每个传染期会接触到N个新人,这N个人中有V个人接种过疫苗(𝑉𝑁称为接种率),那么1个感染者新的传染人数为𝑅0𝑁(N-V).已知新冠病毒在某地的基本传染数R0=5,为了使1个感染者新的传染人数不超过1,该地疫苗的接种率至少为( )

A.50% B.60% C.70% D.80%

答案 D 第 5 页 共 5 页

4.(2019课标Ⅰ,4,5分美育教育)古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是√5-12√5-12≈0.618,称为黄金分割比例,著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是√5-12.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm,头顶至脖子下端的长度为26 cm,则其身高可能是( )

A.165 cm B.175 cm

C.185 cm D.190 cm

答案 B

5.(2021呼和浩特一模,15实际生活)若a克不饱和糖水中含有b克糖,则糖的质量分数为𝑏𝑎,这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加m克糖,生活经验告诉我们糖水会变甜,从而可抽象出不等式𝑏+𝑚𝑎+𝑚>𝑏𝑎(a>b>0,m>0),数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出log32 log1510(用“<”或“>”填空);并写出上述结论所对应的一个糖水不等式 .

答案 <;ln2+ln5ln3+ln5>ln2ln3(第二空答案不唯一)

6.(2019北京,14,5分实际生活)李明自主创业,在网上经营一家水果店,销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃,价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量,李明对这四种水果进行促销:一次购买水果的总价达到120元,顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后,李明会得到支付款的80%.

①当x=10时,顾客一次购买草莓和西瓜各1盒,需要支付 元;

②在促销活动中,为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为 .

答案 ①130 ②15