2018-2019学年高一数学人教B版必修4课件：2.2.1 平面向量基本定理

2．1.1 向量的概念

1.了解平面向量的实际背景． 2.理解平面向量的概念，两个向量相等的含义． 3.掌握向量的几何表示．

1．向量的定义及表示方法

(1)向量：具有大小和方向的量．

(2)向量的表示方法

2．与向量有关的概念

(1)零向量：长度等于零的向量，记作0.

(2)向量共线或平行

基线：通过有向线段AB→的直线，叫做向量AB→的基线．如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行．共线向量的方向相同或相反．向量a平行于b，记作a∥b．

(3)相等向量：两个向量a和b同向且等长，即a和b相等，记作a＝b.

(4)向量的长度(模)

如果AB→＝a，那么AB→的长度表示向量a的大小，也叫做a的长(或模)，记作|a|.

3．用向量表示点的位置

任给一定点O和向量a(如图)，过点O作有向线段OA→＝a，则点A相对于点O的位置被向量a所唯一确定，这时向量OA→常叫做点A相对于点O的位置向量．

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)向量的模是一个正实数．( )

(2)向量就是有向线段．( )

(3)向量AB→与向量BA→是相等向量．( )

(4)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行．( )

(5)零向量是最小的向量．( )

答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)×

2．已知向量a如图所示，下列说法不正确的是(

)

A．也可以用MN→表示

B．方向是由M指向N

C．起点是M

D．终点是M

答案：D

3.如图，在⊙O中，向量OB→、OC→、AO→是(

)

A．有相同起点的向量

B．共线向量

C．模相等的向量

D．相等的向量

答案：C

4．若A地位于B地正西方向5 km处，C地位于A地正北方向5 km处，则C地相对于B地的位移是________．

解析：如图所示C地相对于B地的位移是西北方向52 km.

答案：西北方向52 km

向量的概念[学生用书P34] 下列关于向量的说法正确的个数是( )

平面向量及其应用单元复习

一 知识结构图

内

容 考点 关注点

平面向量 向量的线性运算 运算法则

向量的数量积、模、夹角 夹角范围

向量的坐标运算 公式运用

向量的平行与垂直问题 平行、方向与数量积正负的关系

利用正弦定理、余弦定理解三角形 选择合适的定理及三角形

二.学法指导

1.向量线性运算的基本原则和求解策略

(1)基本原则：

向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍是一个向量．因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面．

(2)求解策略：向量是一个有“形”的几何量，因此在进行向量线性运算时，一定要结合图形，这是研究平面向量的重要方法与技巧．

2. 向量数量积的求解策略

(1)利用数量积的定义、运算律求解．

在数量积运算律中，有两个形似实数的完全平方公式在解题中的应用较为广泛，即(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2，(a－b)2＝a2－2a·b＋b2，上述两公式以及(a＋b)·(a－b)＝a2－b2这一类似于实数平方差的公式在解题过程中可以直接应用．

(2)借助零向量．

即借助“围成一个封闭图形且首尾相接的向量的和为零向量”，再合理地进行向量的移项以及平方等变形，求解数量积．

(3)借助平行向量与垂直向量．

即借助向量的拆分，将待求的数量积转化为有垂直向量关系或平行向量关系的向量数量积，借助a⊥b，则a·b＝0等解决问题．

(4)建立坐标系，利用坐标运算求解数量积．

3.解三角形的一般方法

(1)已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b.

(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角．

(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况．

专题02 平面向量的基本定理、坐标运算及数量积

一、考情分析

二、题型分析

(一) 平面向量的基本定理与坐标表示

知识点1 平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．

例1．（1）.（2019·四川雅安中学高一月考）以下四组向量能作为基底的是（ ）

A． B．

C． D． 12(1,2),(2,4)ee12(3,1),(1,3)ee12(2,1),(2,1)ee121(,0),(3,0)2ee【答案】B

【解析】对于，与共线，不能作为基底；

对于，与不共线，能作为基底；

对于，与共线，不能作为基底；

对于，与共线，不能作为基底，故选B.

（2）.（2019·江西高一期末）设是平面内的一组基底,则下面四组向量中,能作为基底的是（ ）

A．与 B．与

C．与 D．与

【答案】C

【解析】

由是平面内的一组基底，所以和不共线，

对应选项A：，所以这2个向量共线，不能作为基底；

对应选项B：，所以这2个向量共线，不能作为基底；

对应选项D：，所以这2个向量共线，不能作为基底；

对应选项C：与不共线，能作为基底.

故选：C． A114220,e2eB1331180,e2eC121120,e2eD110030,2e2e12,ee21ee12ee1223ee1246ee12ee12ee121128ee1214ee12,ee1e2e21ee12ee1223ee121462ee121128ee121124ee12ee12ee（3）.（2020·内蒙古高三月考）在正方形中，点为内切圆的圆心，若，则的值为（ ）

1 专题01 平面向量的概念

一、单选题

1．下列说法正确的是

A．单位向量都相等 B．若ab，则ab

C．若ab＝，则//ab D．若ab，则ab

【试题来源】山西省忻州市第一中学北校2019-2020学年高一下学期3月月考

【答案】D

【分析】根据向量的概念，向量的两个要素：大小和方向性，即可判断各选项．

【解析】对于A，单位向量的大小都相等，但方向不一定相同，所以单位向量不一定都相等，所以A错误；

对于B，两个向量不相等，可以大小相等，方向不同，因而当ab时可能ab＝，所以B错误；

对于C，两个向量的模相等，但方向可以不同，因而当ab＝时a和b不一定平行，所以C错误；

对于D，若两个向量的模不相等，则两个向量一定不相同，所以若ab，则ab成立，所以D正确．

综上可知，D为正确选项，故选D

【名师点睛】本题考查了向量的概念，向量的两个要素：大小和方向性，属于基础题．

2．给出下列四个说法：①若||0a，则0a；②若||||ab，则ab或ab；③若//ab，则||||ab；④若//ab，//bc，则//ac．其中错误的说法有

A．1 B．2

C．3 D．4

【试题来源】安徽省六安市第一中学2019-2020学年高一上学期期末（文）

【答案】D

【解析】①只有零向量的模是0，因此应有0a，不是0，错； 2 ②模相等的向量方向不确定，不一定相同或相反，错；

③两向量平行，只要方向相同或相反或有一个为零向量，模不作要求，错；

④当0b时，,ac不一定共线，错．故选D．

【名师点睛】本题考查向量的概念，掌握向量的定义是解题关键．

3．下列关于向量的命题正确的是

A．若||||ab，则ab B．若||||ab，则//ab

C．若ab，bc，则ac D．若//ab，//bc，则//ac

【试题来源】2020-2021学年高一数学十分钟同步课堂专练（人教A版必修4）