全等三角形培优经典题
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全等三角形培优习题
1、已知正方形ABCD中，E为对角线BD上一点，过E点作EF⊥BD交BC于F，连接DF，G为DF中点，连接EG，CG．
（1）直接写出线段EG与CG的数量关系；
（2）将图1中△BEF绕B点逆时针旋转45o，如图2所示，取DF中点G，连接EG，CG．
你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（3）将图1中△BEF绕B点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？
2、数学课上，张老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点．90AEF，且EF交正方形外角DCG的平行线CF于点F，求证：AE=EF．
经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证AMEECF△≌△，所以AEEF．
在此基础上，同学们作了进一步的研究：
（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由；
（2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立．你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由．
A D
F
C G E B
图1 A D
F
C G E B
图2 A D F
C G E B
图3 F B A D
C E G
图1 F
B A D
C E G
图2 F
B A
C E
图3 D ABCDE1234ABCDE12ABCDEADE132
1．下列命题中正确的是（ ）
A．全等三角形的高相等 B．全等三角形的中线相等 C．全等三角形的角平分线相等 D．全等三角形对应角的平分线相等
2.下列说法正确的是 （ ）
A.周长相等的两个三角形全等 B.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等
C.面积相等的两个三角形全等 D.有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等
3. 如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，EC=AD，求证：AB=BE，BC=DB。
4 如图，∠1=∠2，∠C=∠D，AC、BD交于E点，求证：CE=DE
5如图13－4，AE=AC， AD=AB，
∠EAC=∠DAB，求证： ED＝CA．
6 如图，已知AB=AD，AC平分∠DAB，
求证：EDCEBC。
7.已知如图，E.F在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF,求证：AC与BD互相平分.
8.如图, 已知：AB⊥BC于B , EF⊥AC于G , DF⊥BC于D , BC=DF．猜想线段AC与EF的关系，并证明你的结论.
9如图ABD和ACE均为等边三角形，求证：DC=BE。 A C
B E
D
图13－4
FGEDCBAA
B E O F D
C DC.3421DAOEDCBA
10.如图∠ABC＝90°AB＝BC，D为AC上一点分别过A.C作BD的垂线，垂足分别为E.F,求证：EF＝CF－AE.
11.如图5，已知AB∥CD，AD∥BC，
E.F是BD上两点，且BF＝DE，
则图中共有 对全等三角形.
12.如图7，AB∥CD，AD∥BC，OE=OF,
图中全等三角形共有______对.
1. 填空题常见题型
13.两三角形有以下元素对应相等，不能判定全等的是（ ）
A. 两角和一边 B. 两边及夹角 C. 三个角 D. 三条边
14.如果两个三角形两边对应相等，且其中一边所对的角也相等，那么这两个三角形（ ）
A. 一定全等 B. 一定不全等 C. 不一定全等 D. 面积相等
15.如果两个三角形中两条边和其中一边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（ ）
A. 相等 B. 不相等 C. 互余或相等 D. 互补或相等
2. 常见题的解题方法与分析
16. 下列各图中，一定全等的是（ ） A. 各有一个角是45的两个等腰三角形 B. 两个等边三角形
C. 各有一个角是45，腰长都是3cm的两个等腰三角形 D. 腰和顶角对应相等的两个等腰三角形
17．已知如图，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，BD、CE交于点O，且AO平分∠BAC，
（1）图中有多少对全等的三角形？请你一
一列举出来（不要求说明理由）
（2）求证BE=CD （3）要得到BE=CD，你还有其他的思路吗？
18. 如图在ABC中，90C，AC=BC，AD平分CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB=6cm
则DEB的周长是（ ） A D
B C E F
图5 A
B C F D E A. 6cm B. 7cm C. 8cm D. 9 cm
19如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，AB与CD相等吗？请你说明理由.
20.已知：如图，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，与CD相交于点F，H是BC边的中点，连结DH与BE相交于点G。
(!)求证：BF=AC； (2)求证：CE=12BF；
21.如图,已知在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,BF=CD,CE=BD,那么∠EDF等于( )
A..90°－∠A B. 90°－21∠A C. 180°－∠A D. 45°－21∠A
22.(2007年绵阳市）如图，△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点．① AD平分∠BAC，② DE⊥AB，DF⊥AC，③ AD⊥EF．以此三个中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：①② ③，①③ ②，②③ ①．
（1）试判断上述三个命题是否正确（直接作答）；
（2）请证明你认为正确的命题．
23．如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠ADC＝∠BDE．
24、在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，CE⊥BD的延长线于E，∠1=∠2求证：BD＝2CE．
A B C
D
E F
图9
B C D E A
2 1
25.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝AC－BD，则∠B∶∠C的值为多少？
26．已知如图(1)，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是过A的一条直线，且B、C在AE的异侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，求证：(1)BD＝DE＋CE；(2)若直线AE绕A点旋转到(2)位置时(BD＜CE)，其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何?请予证明．(3)若直线AE绕A点旋转到图(3)位置时，(BD＞CE)，其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何?请直接写出结果，不须证明．(4)归纳(1)、(2)、(3)，请用简捷语言表述BD、DE、CE的关系．
27.如图，已知ABCDEF也是等边三角形．（1）除已知相等的边以外，请你猜想还有哪些相等线段，并证明你的猜想是正确的；（2）你所证明相等的线段，可以通过怎样的变化相互得到？
写出变化过程．
28.已知：如图5—132，点C在线段AB上，以AC和BC为边在AB的同侧作正三角形△ACM和△BCN，连结AN、BM，分别交CM、CN于点P、Q．求证：PQ∥AB． FEDCBAA
B C D
