《多边形的内角和》教案、导学案、同步练习

《11.3.2 多边形的内角和》教学设计

教学目标 知识与技能 1.掌握多边形的内角和的计算方法，并能用内角和知识解决一些较简单的问题；

过程与方法 通过多边形内角和计算公式的推导，培养学生探索与归纳能力

情感态度价值观 通过学生间交流、探索，进一步激发学生的学习热情，求知欲望，养成良好的数学思维品质

教学重点 多边形的内角和以及外角和

教学难点 如何把多边形转化成三角形，用分割多边形法推导多边形的内角和与外角和

教学准备 学生：量角器、直尺（三角尺）；教师：教具（全等四边形四个）。

教学过程（师生活动） 设计理念

创设情境引入新课 1. (1)你知道三角形的内角和是多少度吗？

【三角形的内角和等于180°】

(2)长方形的内角和等于 ，正方形的内角和等于

2、你知道任意一个四边形的内角和是多少吗？通过今天的学习我们就能明白其中的一些道理，引出课题． 利用学生的好奇心设疑，激发学生的求知欲望，使他们能自觉地参与到下面多边形内角和探索的活动中去

新课教学 1. 探索四边形的内角和

学生叙述对四边形内角和的认识．

（如：通过测量相加求内角和，通过画四边形对角线分成两个三角形来计算内角和等）．

建议：①对于学生提出的不同方法加以及时肯定；②对于通过“分割转化”来求内角和的方法加以强调，并提出是数学学习中的一种常用方法；

③可以启示学生用其他方法证明四边形内

鼓励学生寻找多种分割形角和为360度

A

D

B C

【分成2个三角形180°×2=360°】

【分割成4个三角形180°×4-360°=360°】

【分割成3个三角形180°×3-180°=360°】

小结：借助辅助线把四边形分割成几个三角形，利用三角形内角和求得四边形内角和

2. 你知道五边形的内角和是多少度吗？

A E

B

D

C

A E

O 式，深入领会转化的本质——将四边形转化为三角形问题来解决。

通过增加图形的复杂性，让学生再一次经历转化的过程，加深对转化思想方法的理解，在探索过程中进一步体现新课标“以人为本”的思想，发展学生的语言表达能力

B D

C

A E

B

D

P

C

3、探索多边形内角和问题

提出阶梯式问题：

（1）你能用刚才类似的方法计算出六边形的内角和吗？

（2）十边形、ｎ边形呢？

结论：多边形内角和等于(n-2)·180°

知识应用

合作探究 例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？

已知：四边形ABCD的∠A＋∠C＝180°．求：∠B与∠D的关系．

分析：本题要求∠B与∠D的关系，由于已知∠A＋∠C＝180°，所以可以从四边形的内角和入手，就可得到完满的答案．

例2 如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形

A BCD的外角和等于多少？

已知：∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF的外角．

求：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值．

分析：关于外角问题我们马上就会联想到平角，这样我们就得到六边形的6个外角加上它相邻的内角的总和为6×180°．由于六边形的内角和为（6—2）×180°=720°．

这样就可求得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°．

多边形的外角和等于360°．

所以我们说多边形的外角和与它的边数无关．

对此，我们也可以象以下这种，理解为什么多边形的外角和等于360°．

如下图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形各边走过各顶点，再回到A点，然后转向出发时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所得的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°． 1234A

BCDEF56

巩固练习 教材24页练习1、2、3. 巩固新知识；

小结与作业

课堂小结 学生回顾本节课所学内容（包括数学思想方法）

本课作业 1.必做题：

2．选做题：

《11.3.2 多边形的内角和》教案

总课题 多边形及其内角和 总课时数 第 7 课时

课 题 多边形的内角和 主 备 人 课型 新授

教学

目标 1、了解多边形的内角、外角等概念；

2、能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算．

教学

重点 多边形的内角和与多边形的外角和公式

教学

难点 多边形的内角和定理的推导

教学

过程 教 学 内 容

一、复习导入

我们已经证明了三角形的内角和为180°，在小学我们用量角器量过四边形的内角的度数，知道四边形内角的和为360°，现在你能利用三角形的内角和定理证明吗？

二、多边形的内角和

〔投影1〕如图，从四边形的一个顶点出发可以引几条对角线？它们将四边形分成几个三角形？那么四边形的内角和等于多少度？

可以引一条对角线；它将四边形分成两个三角形；因此，四边形的内角和=△ABD的内角和+△BDC的内角和=2×180°=360°。

类似地，你能知道五边形、六边形…… n边形的内角和是多少度吗？

〔投影2〕观察下面的图形，填空：

五边形 六边形

从五边形一个顶点出发可以引 对角线，它们将五边形分成 三角形，五边形的内角和等于 ；

从六边形一个顶点出发可以引 对角线，它们将六边形分成 三角形，六边形的内角和等于 ；

〔投影3〕从n边形一个顶点出发，可以引 对角线，它们将n边形分成 三角形，n边形的内角和等于 。

n边形的内角和等于（n一2）·180°．

从上面的讨论我们知道，求n边形的内角和可以将n边形分成若干个三角形来求。现在以五边形为例，你还有其它的分法吗？

分法一 〔投影3〕如图1，在五边形ABCDE内任取一点O，连结OA、OB、OC、OD、OE，则得五个三角形。

∴五边形的内角和为5×180°一2×180°＝（5—2）×180°=540°。 A

B C D

图1 图2

分法二 〔投影4〕如图2，在边AB上取一点O，连OE、OD、OC，则可以（5－1）个三角形。

∴五边形的内角和为（5—1）×180°一180°＝（5—2）×180°

如果把五边形换成n边形，用同样的方法可以得到n边形内角和＝（n一2）×180°．

三、例题

〔投影6〕例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？

如图，已知四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°，求∠B与∠D的关系．

分析：∠A、∠B、∠C、∠D有什么关系？

解：∵∠A+∠B+∠C+∠D=（4－2）×180°=360°

又∠A＋∠C＝180°

∴∠B＋∠D= 360°－（∠A＋∠C）=180°

这就是说，如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补．

〔投影7〕例2 如图，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和．六边形的外角和等于多少？

如图，已知∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF的外角，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值．

分析：多边形的一个外角同与它相邻的内角有什么关系？六边12345A

BCDEO1234A

BCDEOA BCD

形的内角和是多少度？

解：∵∠1+∠BAF=180° ∠2+∠ABC=180° ∠3+∠BAD=180°

∠4+∠CDE=180° ∠5+∠DEF=180° ∠6+∠EFA=180°

∴∠1+∠BAF+∠2+∠ABC+∠3+∠BAD+∠4+∠CDE+∠5+∠DEF+∠6+∠EFA=6×180°

又∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=4×180°

∴∠BAF+∠ABC+∠BAD+∠CDE+∠DEF+∠EFA=6×180°-4×180°=360°

这就是说，六边形形的外角和为360°。

如果把六边形换成n边形可以得到同样的结果：

n边形的外角和等于360°。

对此，我们也可以这样来理解。〔投影8〕如图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形各边走过各顶点，再回到A点，然后转向出发时的方向，在行程中所转的各个角的和就是多边形的外角和，由于走了一周，所得的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°．

四、课堂练习

教材P24练习。

五、课堂小结

n边形的内角和是多少度？

n边形的外角和是多少度？

作业： 1234A

BCDEF56A BCD第十一章 三角形

11.3 多边形及其内角和

《11.3.2 多边形的内角和》导学案

学习目标：1.能通过不同的方法探索多边形的内角和与外角和公式.

2.会应用多边形的内角和与外角和公式进行有关计算.

重点：多边形的内角和与外角和公式.

难点：多边形的内角和公式的推导.

一、知识链接

1.三角形的内角和是多少？

2.正方形，长方形的内角和是多少？

一、要点探究

探究点1：多边形的内角和

问题：（1）从四边形的一个顶点出发可以引_____条对角线,它们将四边形分成____个三角形,那么四边形的内角和等于_______度.你能用以前学过的知识证明一下你的结论吗？

已知：四边形ABCD.

求证：四边形ABCD的内角和为180°.

证法1：如图，连接AC,

所以四边形被分为两个三角形，