高中数学必修五知识点大全

知识点串讲

必修五 第一章：解三角形

1．1．1正弦定理

1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

sinsinabABsincC

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

2、已知ABC中,A060，3a,求sinsinsinabcABC

证明出sinsinabABsincCsinsinsinabcABC

解:设sinsinabAB(>o)sinckkC

则有sinakA，sinbkB，sinckC

从而sinsinsinabcABC=sinsinsinsinsinsinkAkBkCABC=k

又sinaA032sin60k，所以sinsinsinabcABC=2

评述：在ABC中，等式sinsinabABsincC0sinsinsinabckkABC

恒成立。

3、已知ABC中,sin:sin:sin1:2:3ABC，求::abc

（答案：1:2:3）

1.1.2余弦定理

1、余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即 2222cosabcbcA

2222cosbacacB

2222coscababC

从余弦定理，又可得到以下推论：

222cos2bcaAbc

222cos2acbBac

222cos2bacCba

2、在ABC中，已知23a,62c，060B，求b及A ⑴解：∵2222cosbacacB

=22(23)(62)223(62)cos045

=212(62)43(31)

=8

∴22.b

求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理:

⑵解法一：∵cos222222(22)(62)(23)1,22222(62)bcaAbc

∴060.A

解法二：∵sin023sinsin45,22aABb

又∵62＞2.41.43.8,

23＜21.83.6,

∴a＜c,即00＜A＜090,

∴060.A

评述：解法二应注意确定A的取值范围。

3、在ABC中,若222abcbc,求角A（答案：A=1200)

1．1．3解三角形的进一步讨论

1、在ABC中，已知,,abA，讨论三角形解的情况 分析：先由sinsinbABa可进一步求出B;

则0180()CAB 从而sinaCcA

1．当A为钝角或直角时，必须ab才能有且只有一解；否则无解。

2．当A为锐角时,

如果a≥b，那么只有一解；

如果ab，那么可以分下面三种情况来讨论：

（1）若sinabA，则有两解；

（2）若sinabA，则只有一解;

（3)若sinabA，则无解。

（以上解答过程详见课本第910页） 评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且

sinbAab时，有两解；其它情况时则只有一解或无解.

2、(1)在ABC中,已知80a，100b,045A,试判断此三角形的解的情况。

（2）在ABC中，若1a，12c，040C，则符合题意的b的值有_____个。

（3）在ABC中，axcm，2bcm，045B，如果利用正弦定理解三角形有两解，求x的取值范围.

(答案：（1）有两解;（2）0；（3)222x）

3、在ABC中，已知7a,5b,3c，判断ABC的类型.

解：222753,即222abc，

∴ABC是钝角三角形。

4、(1）在ABC中,已知sin:sin:sin1:2:3ABC，判断ABC的类型。

（2）已知ABC满足条件coscosaAbB，判断ABC的类型。

（答案：（1）ABC是钝角三角形；（2)ABC是等腰或直角三角形）

5、在ABC中，060A，1b，面积为32,求sinsinsinabcABC的值

sinsinabABsincCsinsinsinabcABC

解：由13sin22SbcA得2c,

则2222cosabcbcA=3，即3a，

从而sinsinsinabcABC2sinaA

1。2解三角形应用举例

1、两灯塔A、B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东30,灯塔B在观察站C南偏东60，则A、B之间的距离为多少？

解略：2a km

2、 某人在M汽车站的北偏西20的方向上的A处，观察到点C处有一辆汽车沿公路向M站行驶。公路的走向是M站的北偏东40。开始时，汽车到A的距离为31千米，汽车前进20千米后,到A的距离缩短了10千米。问汽车还需行驶多远,才能到达M汽车站?

解：由题设，画出示意图,设汽车前进20千米后到达B处。在ABC中,AC=31，BC=20，AB=21,由余弦定理得

cosC=BCACABBCAC2222=3123，

则sin2C =1— cos2C =231432，

sinC =31312,

所以 sinMAC = sin（120-C）= sin120cosC

— cos120sinC =62335

在MAC中，由正弦定理得

MC =AMCMACACsinsin=233162335=35

从而有MB= MC-BC=15

答：汽车还需要行驶15千米才能到达M汽车站。

3、S=21absinC，,S=21bcsinA， S=21acsinB

4、在ABC中,求证:

（1）;sinsinsin222222CBAcba （2)2a+2b+2c=2（bccosA+cacosB+abcosC）

证明：(1）根据正弦定理，可设 Aasin =

Bbsin =

Ccsin = k

显然 k0，所以

左边=CkBkAkcba222222222sinsinsin

=CBA222sinsinsin=右边

(2)根据余弦定理的推论,

右边=2(bcbcacb2222+cacabac2222+ababcba2222)

=(b2+c2— a2）+（c2+a2—b2）+（a2+b2-c2)

=a2+b2+c2=左边

变式练习1：已知在ABC中，B=30,b=6，c=63,求a及ABC的面积S

提示：解有关已知两边和其中一边对角的问题，注重分情况讨论解的个数。

答案：a=6，S=93;a=12，S=183

5、如图，在四边形ABCD中，ADB=BCD=75，ACB=BDC=45，DC=3，求:

（1） AB的长

（2） 四边形ABCD的面积

略解（1)因为BCD=75，ACB=45，所以

ACD=30 ,又因为BDC=45,所以

DAC=180—（75+ 45+ 30）=30,

所以 AD=DC=3

在BCD中，CBD=180-（75+ 45)=60，所以 75sinBD= 60sinDC ，BD = 60sin75sin3= 226

在ABD中，AB2=AD2+ BD2—2ADBDcos75= 5，

所以得 AB=5

（3） SABD=21 ADBDsin75=4323

同理, SBCD= 433

所以四边形ABCD的面积S=4336

第二章：数列

2．1数列的概念与简单表示法

1、概括数列的概念：按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.

辩析数列的概念：“1，2，3，4，5”与“5，4，3，2，1”是同一个数列吗？与“1，3，2，4，5"呢？给出首项与第n 项的定义及数列的记法：｛an｝

2、数列的分类： 有穷数列与无穷数列;递增数列与递减数列，常数列。

3、数列的表示方法：项公式列表和图象等方法表示数列

4、 = 2 an—1 + 1（n∈N,n>1)，（※） 式称为递推公式。递推公式也是数列的一种表示方法。

2．2 等差数列

1、数列：一般地，如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。

这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示。

2、个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做a与b的等差中项。

3、等差数列中，若m+n=p+q则qpnmaaaa

4、通项公式：以1a为首项，d为公差的等差数列}{na的通项公式为：dnaan)1(1 5、迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式：

（迭加法）： }{na是等差数列,所以 ,1daann

,21daann

,32daann

……

,12daa

两边分别相加得 ,)1(1dnaan

所以 dnaan)1(1

（迭代法)：}{na是等差数列，则有 daann1

ddan2

dan22

ddan23

dan33

……

dna)1(1

所以 dnaan)1(1

6、 ⑴求等差数列8，5，2,…的第20项.

⑵—401是不是等差数列-5，-9，—13,…的项？如果是,是第几项?

解：⑴由1a=8，d=5-8=-3，n=20，得49)3()121(820a

⑵由1a=-5，d=-9—（—5）=-4,得这个数列的通项公式为,14)1(45nnan由题意知,本题是要回答是否存在正整数n，使得—401=—4n—1成立.

解这个关于n的方程，得n=100，即—401是这个数列的第100项。

7、某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4km（不含4千米）计费10元.如果某人乘坐该市的出租车去往14km处的目的地,且一路畅通，等候时间为0,需要支付多少车费？

解：根据题意,当该市出租车的行程大于或等于4km时，每增加1km，乘客需要支付1.2元。所以，我们可以建立一个等差数列}{na来计算车费。