公共基础教材

第一章数据结构与算法1.1 算法★算法：是指解题方案的准确而完整的描述。

算法不等于程序，也不等计算机方法，程序的编制不可能优于算法的设计。

算法的基本特征：是一组严谨地定义运算顺序的规则，每一个规则都是有效的，是明确的，此顺序将在有限的次数下终止。

★特征包括：（1）可行性；（2）确定性，算法中每一步骤都必须有明确定义，不充许有模棱两可的解释，不允许有多义性；（3）有穷性，算法必须能在有限的时间内做完，即能在执行有限个步骤后终止，包括合理的执行时间的含义；（4）拥有足够的情报。

算法的基本要素：一是对数据对象的运算和操作；二是算法的控制结构。

指令系统：一个计算机系统能执行的所有指令的集合。

基本运算和操作包括：算术运算、逻辑运算、关系运算、数据传输。

★算法的控制结构：顺序结构、选择结构、循环结构。

算法基本设计方法：列举法、归纳法、递推、递归、减斗递推技术、回溯法。

★算法复杂度：算法时间复杂度和算法空间复杂度。

算法时间复杂度是指执行算法所需要的计算工作量或基本运算次数。

算法空间复杂度是指执行这个算法所需要的内存空间。

1.2 数据结构的基本基本概念数据结构研究的三个方面：（1）数据集合中各数据元素之间所固有的逻辑关系，即数据的逻辑结构；（2）在对数据进行处理时，各数据元素在计算机中的存储关系，即数据的存储结构；（3）对各种数据结构进行的运算。

数据结构是指相互有关联的数据元素的集合。

★数据的逻辑结构包含：（1）表示数据元素的信息；（2）表示各数据元素之间的前后件关系。

所以我们通常所说的数据结构指的就是数据的逻辑机构。

根据数据结构中组织数据方式的不同又分线性结构和非线性结构。

★线性结构条件：（1）有且只有一个根结点；（2）每一个结点最多有一个前件，也最多有一个后件。

非线性结构：不满足线性结构条件的数据结构。

★数据的存储结构有顺序、链接、索引等。

1.3线性表及其顺序存储结构线性表由一组数据元素构成，数据元素的位置只取决于自己的序号，元素之间的相对位置是线性的。

在复杂线性表中，由若干项数据元素组成的数据元素称为记录，而由多个记录构成的线性表又称为文件。

★非空线性表的结构特征：（1）且只有一个根结点a1，它无前件；（2）有且只有一个终端结点an，它无后件；（3）除根结点与终端结点外，其他所有结点有且只有一个前件，也有且只有一个后件。

结点个数n 称为线性表的长度，当n=0时，称为空表。

★线性表的顺序存储结构具有以下两个基本特点：（1）线性表中所有元素的所占的存储空间是连续的；（2）线性表中各数据元素在存储空间中是按逻辑顺序依次存放的。

ai的存储地址为：ADR(ai)=ADR(a1)+(i-1)k,，ADR(a1)为第一个元素的地址，k代表每个元素占的字节数。

★顺序表的运算：插入、删除。

对于长度为n的线性表，如果采用顺序存储，插入一个元素，最坏情况下需要移动n个元素的位置；在等概率的情况下，平均需要移动n/2个元素的位置。

对于长度为n 的线性表，如果采用顺序存储，删除一个元素，最坏情况下需要移动n-1个元素的位置；在等概率的情况下，平均需要移动（n-1）/2个元素的位置。

1.4栈和队列★栈是限定在一端进行插入与删除的线性表，允许插入与删除的一端称为栈顶，不允许插入与删除的另一端称为栈底。

栈按照“先进后出”（FILO）或“后进先出”（LIFO）组织数据，栈具有记忆作用。

用top表示栈顶元素位置，用bottom表示栈底。

栈中计算元素个数的方法：|bottom-top|+1栈的基本运算：（1）插入元素称为入栈运算；（2）删除元素称为退栈运算；（3）读栈顶元素是将栈顶元素赋给一个指定的变量，此时指针无变化。

★队列是指允许在一端（队尾）进入插入，而在另一端（队头）进行删除的线性表。

Rear指针指向队尾，front指针指向队头元素的前一个位置。

队列是“先进后出”（FIFO）或“后进后出”（LILO）的线性表。

队列中计算元素个数的方法：rear-front循环队列：在队列中，在队尾可以不断的插入元素，在队头可以不断的删除元素；在运算过程中，会出现队尾已经插入满溢二不能插入元素，而队头还有很多空余空间可以插入的情况，这时可以考虑将元素插入队头。

形象的把队头当成了队尾，我们可以在逻辑上认为队头和队尾连接在了一起形成一个封闭的环状结构，我们称之为循环队列。

这个封闭的结构就会有固定的容量。

循环队列中计算元素个数的方法分三种情况：★当rear>front时，元素的个数为rear-front当rear<front时，元素的个数为rear-front+容量当rear=front时，元素的个数为0或容量个数，表示队空或队满。

队列运算包括（1）入队运算：从队尾插入一个元素；（2）退队运算：从队头删除一个元素。

1.5线性链表数据结构中的每一个结点对应于一个存储单元，这种存储单元称为存储结点，简称结点。

★线性链表的结点由两部分组成：（1）用于存储数据元素值，称为数据域；（2）用于存放指针，称为指针域，用于指向前一个或后一个结点。

★在链式存储结构中，存储数据结构的存储空间可以不连续，各数据结点的存储顺序与数据元素之间的逻辑关系可以不一致，而数据元素之间的逻辑关系是由指针域来确定的。

根据指针域指向方向的不同，线性链表有单向链表，双向链表，循环链表等。

链式存储方式即可用于表示线性结构，也可用于表示非线性结构。

线性链表，HEAD称为头指针，HEAD=NULL（或0）称为空表，如果是两指针：左指针（Llink）指向前件结点，右指针（Rlink）指向后件结点。

线性链表的基本运算：查找、插入、删除。

1.6树与二叉树树是一种简单的非线性结构，所有元素之间具有明显的层次特性。

在树结构中，每一个结点只有一个前件，称为父结点，没有前件的结点只有一个，称为树的根结点，简称树的根。

每一个结点可以有多个后件，称为该结点的子结点。

没有后件的结点称为叶子结点。

★在树结构中，一个结点所拥有的后件的个数称为该结点的度，所有结点中最大的度称为树的度。

树的最大层次称为树的深度。

二叉树的特点：（1）非空二叉树只有一个根结点；（2）每一个结点最多有两棵子树，且分别称为该结点的左子树与右子树。

二叉树中结点的度只可能有度为0、1、2三种状态。

★二叉树的基本性质：（1）在二叉树的第k层上，最多有2k-1(k≥1)个结点；（2）深度为m的二叉树最多有2m-1个结点；（3）度为0的结点（即叶子结点）总是比度为2的结点多一个；（4）具有n个结点的二叉树，其深度至少为[log2n]+1,其中[log2n]表示取log2n的整数部分；（5）具有n个结点的完全二叉树的深度为[log2n]+1；（6）设完全二叉树共有n个结点。

如果从根结点开始，按层序（每一层从左到右）用自然数1，2，….n 给结点进行编号（k=1,2….n），有以下结论：①若k=1，则该结点为根结点，它没有父结点；若k>1，则该结点的父结点编号为INT(k/2)；②若2k≤n，则编号为k的结点的左子结点编号为2k；否则该结点无左子结点（也无右子结点）；③若2k+1≤n，则编号为k的结点的右子结点编号为2k+1；否则该结点无右子结点。

★满二叉树是指除最后一层外，每一层上的所有结点有两个子结点，则k层上有2k-1个结点深度为m 的满二叉树有2m-1个结点。

★完全二叉树是指除最后一层外，每一层上的结点数均达到最大值，在最后一层上从右边开始依次缺少若干结点。

在完全二叉树中，总结点数是偶数时度为1的结点只有1个，而且叶子结点数占一半；总结点数是奇数时度为1的结点没有，而且叶子结点数是总结点数加1的一半。

二叉树存储结构采用链式存储结构，对于满二叉树与完全二叉树可以按层序进行顺序存储。

★二叉树的遍历：（1）前序遍历（DLR），首先访问根结点，然后遍历左子树，最后遍历右子树；（2）中序遍历（LDR），首先遍历左子树，然后访问根结点，最后遍历右子树；（3）后序遍历（LRD）首先遍历左子树，然后访问遍历右子树，最后访问根结点。

例如下图：根据遍历规则，前序遍历的结果为FCADBEGHP，中序遍历为ACBDFEHGP，后序遍历为ABDCHPGEF。

1．7查找技术★顺序查找的使用情况：（1）线性表为无序表；（2）表采用链式存储结构。

★二分法查找只适用于顺序存储的有序表，对于长度为n的有序线性表，采用二分法查找，最坏情况只需比较log2n次。

1．8排序技术排序是指将一个无序序列整理成按值非递减顺序排列的有序序列。

★交换类排序法：（1）冒泡排序法，最坏情况下需要比较的次数为n(n-1)/2；（2）快速排序法，最坏情况下需要比较的次数为n(n-1)/2。

★插入类排序法：（1）简单插入排序法，最坏情况需要n(n-1)/2次比较；（2）希尔排序法，最坏情况需要O(n1.5)次比较。

★选择类排序法：（1）简单选择排序法,最坏情况需要n(n-1)/2次比较；（2）堆排序法，最坏情况需要O(nlog2n)次比较。

本章习题1、算法的空间复杂度是指（）。

A.算法在执行过程中所需要的计算机存储空间B.算法所处理的数据量C.算法程序中的语句或指令条数D.算法在执行过程中所需要的临时工作单元数2、算法的时间复杂度是指A)算法的执行时间B)算法所处理的数据量C)算法程序中的语句或指令条数D)算法在执行过程中所需要的基本运算次数3、下列叙述中正确的是A 算法就是程序B 设计算法时只需要考虑数据结构的设计C 设计算法时只需用考虑结果的可靠性D 以上三种说法都不对4、数据的存储结构是指A) 存储在外存中的数据B) 数据所占的存储空间量C) 数据在计算机中的顺序存储方式D) 数据的逻辑结构在计算机中的表示5、下列对于线性链表的描述中正确的是A) 存储空间不一定是连续，且各元素的存储顺序是任意的B) 存储空间不一定是连续，且前件元素一定存储在后件元素的前面C) 存储空间必须连续，且前件元素一定存储在后件元素的前面D) 存储空间必须连续，且各元素的存储顺序是任意的6、下列叙述中正确的是A）数据的逻辑结构与存储结构必定是一一对应的B）由于计算机存储空间是向量式的存储结构，因此，数据的存储结构一定是线性结构C）程序设计语言中的数组一般是顺序存储结构，因此，利用数组只能处理线性结构D）以上三种说法都不对7、下列叙述中正确的是（）。

A）顺序存储结构的存储一定是连续的，链式存储结构的存储空间不一定是连续的B）顺序存储结构只针对线性结构，链式存储结构只针对非线性结构C）顺序存储结构能存储有序表，链式存储结构不能存储有序表D）链式存储结构比顺序存储结构节省存储空间8、下列叙述中正确的是A) 线性表的链式存储结构与顺序存储结构所需要的存储空间是相同的B) 线性表的链式存储结构所需要的存储空间一般要多于顺序存储结构C) 线性表的链式存储结构所需要的存储空间一般要少于顺序存储结构D) 上述三种说法都不对9、下列关于线性链表的叙述中，正确的是A 各数据结点的存储空间可以不连续，但它们的存储结构与逻辑顺序必须一致B 各数据结点的存储顺序与逻辑顺序可以不一致，但它们的存储空间必须连续C 进行插入与删除时，不需要移动表中的元素。