【配套K12】2018年高考数学总复习第九章平面解析几何第6讲双曲线课时作业

2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何 9.6 双曲线教师用书文新人教版1．双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质巧设双曲线方程(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0)．(2)过已知两个点的双曲线方程可设为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0)．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × )(2)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线．( × )(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn＝0.( √ )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ )(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线)．( √ )1．(教材改编)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A. 5 B ．5 C. 2 D ．2答案 A解析 由题意得b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2.∴e 2＝c 2a2＝5，∴e ＝ 5.2．若方程x 22＋m －y 2m ＋1＝1表示双曲线，则m 的取值范围是( )A ．m >－1B ．m <－2C ．－2<m <－1D ．m >－1或m <－2答案 D解析 由题意知(2＋m )(m ＋1)>0，解得m >－1或m <－2，故选D.3．(2015·安徽)下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1B.x 24－y 2＝1C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝1答案 C解析 由双曲线性质知A 、B 项双曲线焦点在x 轴上，不合题意；C 、D 项双曲线焦点均在y 轴上，但D 项渐近线为y ＝±12x ，只有C 符合，故选C.4．(2016·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 23＝1的焦距是________．答案 210解析 由已知，a 2＝7，b 2＝3，则c 2＝7＋3＝10，故焦距为2c ＝210. 5．双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于________．答案255解析 双曲线的一个顶点坐标为(2,0)， 一条渐近线方程是y ＝12x ，即x －2y ＝0，则顶点到渐近线的距离d ＝|2－0|5＝255.题型一 双曲线的定义及标准方程 命题点1 利用定义求轨迹方程例1 已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________________． 答案 x 2－y 28＝1(x ≤－1)解析 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件， 得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |，|MC 2|－|BC 2|＝|MB |， 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|， 即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1、C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)， 其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．命题点2 利用待定系数法求双曲线方程 例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦距为26，且经过点M (0,12)；(3)经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7)． 解 (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)． 由题意知，2b ＝12，e ＝c a ＝54.∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)∵双曲线经过点M (0,12)，∴M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12. 又2c ＝26，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25. ∴双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1. (3)设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)．∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1. 命题点3 利用定义解决焦点三角形问题例3 已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左，右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos∠F 1PF 2＝________. 答案 34解析 ∵由双曲线的定义有|PF 1|－|PF 2| ＝|PF 2|＝2a ＝22， ∴|PF 1|＝2|PF 2|＝42，则cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝22＋22－422×42×22＝34. 引申探究1．本例中将条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“∠F 1PF 2＝60°”，则△F 1PF 2的面积是多少？ 解 不妨设点P 在双曲线的右支上， 则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得 cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝12，所以|PF 1|·|PF 2|＝8， 所以12F PF S ∆＝12|PF 1|·|PF 2|sin 60°＝2 3.2．本例中将条件“|PF 1|＝2|PF 2|”改为“PF 1→·PF 2→＝0”，则△F 1PF 2的面积是多少？ 解 不妨设点P 在双曲线的右支上，则|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝22， 由于PF 1→·PF 2→＝0，所以PF 1→⊥PF 2→，所以在△F 1PF 2中，有|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2， 即|PF 1|2＋|PF 2|2＝16，所以|PF 1|·|PF 2|＝4， 所以12F PF S ∆＝12|PF 1|·|PF 2|＝2.思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．(3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值，如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可．(1)已知F 1，F 2为双曲线x 25－y 24＝1的左，右焦点，P (3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则|AP |＋|AF 2|的最小值为( ) A.37＋4 B.37－4 C.37－2 5D.37＋2 5(2)(2015·课标全国Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________． 答案 (1)C (2)x 24－y 2＝1解析 (1)由题意知，|AP |＋|AF 2|＝|AP |＋|AF 1|－2a ， 要求|AP |＋|AF 2|的最小值，只需求|AP |＋|AF 1|的最小值， 当A ，P ，F 1三点共线时，取得最小值， 则|AP |＋|AF 1|＝|PF 1|＝37，∴|AP |＋|AF 2|的最小值为|AP |＋|AF 1|－2a ＝37－2 5. 故选C.(2)由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为x 24－y2＝1.题型二 双曲线的几何性质例4 (1)(2016·浙江)已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m ＞1)与双曲线C 2：x 2n2－y 2＝1(n ＞0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( ) A ．m ＞n 且e 1e 2＞1 B ．m ＞n 且e 1e 2＜1 C ．m ＜n 且e 1e 2＞1D ．m ＜n 且e 1e 2＜1(2)(2015·山东)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________． 答案 (1)A (2)32解析 (1)由题意可得m 2－1＝n 2＋1，即m 2＝n 2＋2，又∵m ＞0，n ＞0，故m ＞n .又∵e 21·e 22＝m 2－1m 2·n 2＋1n 2＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n 2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1n 4＋2n 2＞1，∴e 1·e 2＞1. (2)由题意，不妨设直线OA 的方程为y ＝b a x ，直线OB 的方程为y ＝－b ax .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x 2＝2py ，得x 2＝2p ·bax ，∴x ＝2pb a，y ＝2pb 2a2，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2pb a ，2pb 2a 2.设抛物线C 2的焦点为F ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，∴k AF ＝2pb2a 2－p22pba.∵△OAB 的垂心为F ，∴AF ⊥OB ，∴k AF ·k OB ＝－1， ∴2pb2a 2－p22pb a·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝－1，∴b 2a 2＝54.设C 1的离心率为e ，则e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋54＝94.∴e ＝32.思维升华 双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±b a满足关系式e 2＝1＋k 2.(2016·全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1的左，右焦点，点M 在E上，MF 1与x 轴垂直，sin∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2B.32 C.3 D ．2答案 A解析 离心率e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|，由正弦定理得e ＝|F 1F 2||MF 2|－|MF 1|＝sin ∠F 1MF 2sin∠MF 1F 2－sin∠MF 2F 1＝2231－13＝ 2.故选A. 题型三 直线与双曲线的综合问题例5 (2017·兰州月考)已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左，右焦点分别是C 1的左，右顶点，而C 2的左，右顶点分别是C 1的左，右焦点． (1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则a 2＝4－1＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1. 故C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2交于不同的两点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝－62k2＋－3k2＝－k2，∴k 2≠13且k 2<1.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1.又∵OA →·OB →>2，得x 1x 2＋y 1y 2>2， ∴3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0， 解得13<k 2<3，②由①②得13<k 2<1.故k 的取值范围为(－1，－33)∪(33，1)． 思维升华 (1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定． (2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验．若双曲线E ：x 2a2－y 2＝1(a >0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若|AB |＝63，点C 是双曲线上一点，且OC →＝m (OA →＋OB →)，求k ，m 的值．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧c a＝2，a 2＝c 2－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，c 2＝2，故双曲线E 的方程为x 2－y 2＝1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.(*) ∵直线与双曲线右支交于A ，B 两点，故⎩⎪⎨⎪⎧k >1，Δ＝k2－－k2－，即⎩⎨⎧k >1，－2<k <2，所以1<k < 2.故k 的取值范围是{k |1<k <2}． (2)由(*)式得x 1＋x 2＝2k k 2－1，x 1x 2＝2k 2－1， ∴|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2＋k2－k2k 2－2＝63，整理得28k 4－55k 2＋25＝0，∴k 2＝57或k 2＝54，又1<k <2，∴k ＝52， ∴x 1＋x 2＝45，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝8.设C (x 3，y 3)，由OC →＝m (OA →＋OB →)，得(x 3，y 3)＝m (x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(45m,8m )． ∵点C 是双曲线上一点． ∴80m 2－64m 2＝1，得m ＝±14.故k ＝52，m ＝±14.11．直线与圆锥曲线的交点典例 已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点？ 错解展示现场纠错解 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)， 若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意． 设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)， 即y ＝kx ＋1－k .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0(2－k 2≠0)．① ∴x 0＝x 1＋x 22＝k－k2－k2. 由题意，得k－k2－k2＝1，解得k ＝2. 当k ＝2时，方程①可化为2x 2－4x ＋3＝0. Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解．∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点． 纠错心得 (1)“点差法”解决直线与圆锥曲线的交点问题，要考虑变形的条件． (2)“判别式Δ≥0”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的通用方法．1．(2015·福建)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( ) A ．11 B ．9 C ．5 D ．3 答案 B解析 由双曲线定义||PF 2|－|PF 1||＝2a ，∵|PF 1|＝3，∴P 在左支上，∵a ＝3，∴|PF 2|－|PF 1|＝6，∴|PF 2|＝9，故选B.2．(2016·全国乙卷)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( ) A ．(－1,3) B ．(－1，3) C ．(0,3) D ．(0，3)答案 A解析 ∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1， ∴－1<n <3，故选A.3．(2016·佛山模拟)已知双曲线x 216－y 29＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与该双曲线的右支交于A ，B 两点，若|AB |＝5，则△ABF 1的周长为( ) A ．16 B ．20 C ．21 D ．26答案 D解析 由双曲线x 216－y 29＝1，知a ＝4.由双曲线定义|AF 1|－|AF 2|＝|BF 1|－|BF 2|＝2a ＝8， ∴|AF 1|＋|BF 1|＝|AF 2|＋|BF 2|＋16＝21， ∴△ABF 1的周长为|AF 1|＋|BF 1|＋|AB | ＝21＋5＝26. 故选D.4．(2016·庐江第二中学月考)已知椭圆x 2a 21＋y 2b 21＝1(a 1>b 1>0)的长轴长、短轴长、焦距成等比数列，离心率为e 1；双曲线x 2a 22－y 2b 22＝1(a 2>0，b 2>0)的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数列，离心率为e 2，则e 1e 2等于( ) A.22B ．1 C. 3 D ．2 答案 B解析 由b 21＝a 1c 1，得a 21－c 21＝a 1c 1，∴e 1＝c 1a 1＝5－12. 由b 22＝a 2c 2，得c 22－a 22＝a 2c 2，∴e 2＝c 2a 2＝5＋12. ∴e 1e 2＝5－12×5＋12＝1. 5．(2015·课标全国Ⅰ)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233答案 A解析 由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0)． ∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0， 即x 20－3＋y 20<0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线上， ∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20， ∴2＋2y 20－3＋y 20<0，∴－33<y 0<33.故选A. 6．(2016·银川模拟)已知双曲线x 29－y 2m＝1(m >0)的一个焦点在圆x 2＋y 2－4x －5＝0上，则双曲线的渐近线方程为( ) A ．y ＝±34xB ．y ＝±43xC ．y ＝±53x D ．y ＝±324x答案 B解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x 2＋y 2－4x －5＝0，得x 2－4x －5＝0，解得x ＝5或x ＝－1，又a ＝3，故c ＝5， 所以b ＝4，双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，故选B.7．(2016·北京)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________；b ＝________. 答案 1 2解析 由2x ＋y ＝0，得y ＝－2x ，所以b a＝2. 又c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝1，b ＝2.8．(2016·浙江)设双曲线x 2－y 23＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是________． 答案 (27，8) 解析 如图，由已知可得a ＝1，b ＝3，c ＝2，从而|F 1F 2|＝4，由对称性不妨设P 在右支上， 设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝m ＋2a ＝m ＋2， 由于△PF 1F 2为锐角三角形，结合实际意义需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2＜m 2＋42，42＜m ＋2＋m 2，解得－1＋7＜m ＜3，又|PF 1|＋|PF 2|＝2m ＋2， ∴27＜2m ＋2＜8.9．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为________． 答案 53解析 由定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a . 又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a .在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2.要求e 的最大值，即求cos∠F 1PF 2的最小值， ∴当cos∠F 1PF 2＝－1时，得e ＝53，即e 的最大值为53.10．设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O 且所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1、B 1和A 2、B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是____________． 答案 ⎝⎛⎦⎥⎤233，2 解析 由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x 轴(或y 轴)对称．又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围大于30°且小于等于60°，即t an 30°<b a ≤tan 60°，∴13<b 2a 2≤3.又e 2＝(c a )2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2，∴43<e 2≤4，∴233<e ≤2. 11．中心在原点，焦点在x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F 1，F 2，且|F 1F 2|＝213，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7. (1)求这两曲线方程；(2)若P 为这两曲线的一个交点，求cos∠F 1PF 2的值．解 (1)由已知c ＝13，设椭圆长半轴长，短半轴长分别为a ，b ， 双曲线实半轴长，虚半轴长分别为m ，n ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －m ＝4，7·13a ＝3·13m ，解得a ＝7，m ＝3.∴b ＝6，n ＝2. ∴椭圆方程为x 249＋y 236＝1，双曲线方程为x 29－y 24＝1.(2)不妨设F 1，F 2分别为左，右焦点，P 是第一象限的一个交点， 则|PF 1|＋|PF 2|＝14，|PF 1|－|PF 2|＝6， ∴|PF 1|＝10，|PF 2|＝4.又|F 1F 2|＝213， ∴cos∠F 1PF 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－|F 1F 2|22|PF 1|·|PF 2|＝102＋42－1322×10×4＝45. 12．(2016·江西丰城中学模拟)一条斜率为1的直线l 与离心率为3的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)交于P ，Q 两点，直线l 与y 轴交于R 点，且OP →·OQ →＝－3，PR →＝3RQ →，求直线和双曲线的方程．解 ∵e ＝3，∴b 2＝2a 2， ∴双曲线方程可化为2x 2－y 2＝2a 2. 设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，2x 2－y 2＝2a 2，得x 2－2mx －m 2－2a 2＝0，∴Δ＝4m 2＋4(m 2＋2a 2)>0， ∴直线l 一定与双曲线相交． 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2m ，x 1x 2＝－m 2－2a 2.∵PR →＝3RQ →，x R ＝x 1＋3x 24＝0，∴x 1＝－3x 2，∴x 2＝－m ，－3x 22＝－m 2－2a 2. 消去x 2，得m 2＝a 2.OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋m )(x 2＋m ) ＝2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4a 2＝－3， ∴m ＝±1，a 2＝1，b 2＝2.直线l 的方程为y ＝x ±1，双曲线的方程为x 2－y 22＝1.*13.已知双曲线C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝52，虚轴长为2. (1)求双曲线C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与双曲线C 相交于A ，B 两点(A ，B 均异于左，右顶点)，且以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D ，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．(1)解 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由已知，得c a ＝52，2b ＝2， 又a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝2，b ＝1， ∴双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.(2)证明 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24－y 2＝1，得(1－4k 2)x 2－8mkx －4(m 2＋1)＝0，有⎩⎪⎨⎪⎧1－4k 2≠0，Δ＝64m 2k 2＋－4k2m 2＋，x 1＋x 2＝8mk 1－4k 2，x 1x 2＝－m 2＋1－4k2，y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4k 21－4k2，以AB 为直径的圆过双曲线C 的左顶点D (－2,0)， ∴k AD k BD ＝－1，即y 1x 1＋2·y 2x 2＋2＝－1， ∴y 1y 2＋x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋4＝0，∴m 2－4k 21－4k 2＋－m 2＋1－4k2＋16mk1－4k2＋4＝0， ∴3m 2－16mk ＋20k 2＝0，解得m 1＝2k ，m 2＝10k 3.当m 1＝2k 时，l 的方程为y ＝k (x ＋2)， 直线过定点(－2,0)，与已知矛盾； 当m 2＝10k 3时，l 的方程为y ＝k (x ＋103)，直线过定点(－103，0)，经检验符合已知条件．∴直线l 过定点，定点坐标为(－103，0)．。

（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题9 平面解析几何 第61练 双曲线练习 文1．(2016·泰州一模)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 2－y 2＝1的实轴长为________．2．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，离心率等于32，则C 的方程是________________．3．(2016·南京模拟)设P 是双曲线x 2a 2－y 29＝1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －2y＝0，F 1、F 2分别是双曲线的左、右焦点，若PF 1＝3，则PF 2＝________.4．(2016·上饶二模)双曲线x 24－y 2＝1的右顶点到该双曲线的渐近线的距离为________．5．已知双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点分别为F 1，F 2，以线段F 1F 2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(4,3)，则此双曲线的方程为________________．6．(2016·湖北部分重点中学第一次联考)双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，已知线段F 1F 2被点(b,0)分成3∶1的两段，则此双曲线的离心率为________．7．设F 1，F 2是双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点，P 是双曲线上的一点，且3PF 1＝4PF 2，则△PF 1F 2的面积为________．8．(2016·苏、锡、常、镇四市二模)在平面直角坐标系xOy 中，已知方程x 24－m －y 22＋m ＝1表示双曲线，则实数m 的取值范围为________．9．(2016·南通一模)已知双曲线x 2－y 22＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点M 在双曲线上且MF 1→·MF 2→＝0，则点M 到x 轴的距离d ＝________.10．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(b ＞a ＞0)的右顶点A 作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B ，C ，若A ，B ，C 三点的横坐标成等比数列，则双曲线的离心率为________． 11．如果x 2k －2＋y 21－k＝－1表示焦点在y 轴上的双曲线，那么它的半焦距c 的取值范围是________．12．(2016·安徽江南十校联考)以椭圆x 29＋y 25＝1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C ，其左，右焦点分别是F 1，F 2，已知点M 的坐标为(2,1)，双曲线C 上的点P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)满足PF 1→·MF 1→|PF 1→|＝F 2F 1→·MF 1→|F 2F 1→|，则S △PMF 1－S △PMF 2＝________.13．(2016·扬州二模)圆x 2＋y 2＝4与y 轴交于点A ，B ，以A ，B 为焦点，坐标轴为对称轴的双曲线与圆在y 轴左边的交点分别为C ，D ，当梯形ABCD 的周长最大时，此双曲线的方程为________________．14．(2016·淮北一模)称离心率为e ＝5＋12的双曲线x 2a 2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)为黄金双曲线，如图是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0，c ＝a 2＋b 2)的图象，给出以下几个说法：①双曲线x 2－2y25＋1＝1是黄金双曲线； ②若b 2＝ac ，则该双曲线是黄金双曲线；③若F 1，F 2为左，右焦点，A 1，A 2为左，右顶点，B 1(0，b )，B 2(0，－b )，且∠F 1B 1A 2＝90°，则该双曲线是黄金双曲线；④若MN 经过右焦点F 2，且MN ⊥F 1F 2，∠MON ＝90°，则该双曲线是黄金双曲线． 其中正确命题的序号为________．答案精析1．2 2 2.x 24－y 25＝1 3.7 4.2555.y 29－x 216＝1解析 由题意可知c ＝32＋42＝5， ∴a 2＋b 2＝c 2＝25，①又点(4,3)在y ＝a b x 上，故a b ＝34，②由①②解得a ＝3，b ＝4， ∴双曲线的方程为y 29－x 216＝1. 6.233解析 由题意可得b ＋c c －b ＝3，c ＝2b ，则c 2＝4b 2＝4(c 2－a 2)，2a ＝3c ，离心率e ＝c a ＝233. 7．24解析 双曲线的实轴长为2，焦距为F 1F 2＝2×5＝10. 据题意和双曲线的定义知，2＝PF 1－PF 2＝43PF 2－PF 2＝13PF 2，∴PF 2＝6，PF 1＝8.∴PF 21＋PF 22＝F 1F 22，∴PF 1⊥PF 2， ∴S △PF 1F 2＝12PF 1·PF 2＝12×6×8＝24.8．(－2,4) 解析 方程x 24－m －y 22＋m＝1表示双曲线， 则⎩⎪⎨⎪⎧4－m ＞0，2＋m ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧4－m ＜0，2＋m ＜0，故－2＜m ＜4.9.233解析 根据题意可知S △F 1MF 2＝12|F 1F 2→|·d ＝12|MF 1→|·|MF 2→|，利用条件及双曲线定义得⎩⎪⎨⎪⎧||MF 1→|－|MF 2→||＝2，|MF 1→|2＋|MF 2→|2＝12，解方程组可得|MF 1→|·|MF 2→|＝4， 所以所求的距离d ＝423＝233.10.10解析 由题意可知，经过右顶点A 的直线方程为y ＝－x ＋a ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b ax ，y ＝－x ＋a ，解得x ＝a 2a ＋b.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－b a x ，y ＝－x ＋a ，解得x ＝a 2a －b.因为b ＞a ＞0，所以a 2a －b＜0，且a 2a ＋b＞0，又点B 的横坐标为等比中项，所以点B 的横坐标为a 2a －b，则a ·a 2a ＋b＝(a 2a －b )2，解得b ＝3a ，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝a 2＋b 2a＝10. 11．(1，＋∞)解析 将原方程化成标准方程为y 2k －1－x 2k －2＝1.由题意知k －1＞0且k －2＞0，解得k ＞2.又a 2＝k －1，b 2＝k －2，所以c 2＝a 2＋b 2＝2k －3＞1，所以c ＞1，故半焦距c 的取值范围是(1，＋∞)． 12．2解析 双曲线方程为x 24－y 25＝1，PF 1－PF 2＝4，由PF 1→·MF 1→|PF 1→|＝F 2F 1→·MF 1→|F 2F 1→|，可得F 1P →·F 1M→|MF 1→||F 1P →|＝F 1F 2→·F 1M→|MF 1→||F 1F 2→|，得F 1M 平分∠PF 1F 2.又结合平面几何知识可得， △F 1PF 2的内心在直线x ＝2上， 所以点M (2,1)就是△F 1PF 2的内心， 故S △PMF 1－S △PMF 2 ＝12(PF 1－PF 2)×1＝12×4×1＝2. 13.y 24－23－x 223＝1 解析 设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，C (x ′，y ′)(x ′＜0， y ′＞0)，BC ＝t (0＜t ＜22)．如图，连结AC ， ∵AB 为直径， ∴∠ACB ＝90°， 作CE ⊥AB 于E ， 则BC 2＝BE ·BA ， ∴t 2＝4(2－y ′)， 即y ′＝2－14t 2.∴梯形的周长l ＝4＋2t ＋2y ′ ＝－12t 2＋2t ＋8＝－12(t －2)2＋10，∴当t ＝2时，l 最大． 此时，BC ＝2，AC ＝23，又点C 在双曲线的上支上，且A ，B 为焦点， ∴AC －BC ＝2a ，即2a ＝23－2， ∴a ＝3－1， ∴b 2＝23，∴所求方程为y 24－23－x 223＝1.14．①②③④解析 ①双曲线x 2－2y25＋1＝1， a 2＝1，c 2＝1＋5＋12＝5＋32， ∴e ＝ca＝5＋32＝5＋12， ∴命题①正确；②若b 2＝ac ，c 2－a 2＝ac ，∴e ＝5＋12， ∴命题②正确；③B 1F 21＝b 2＋c 2，B 1A 2＝c ， 由∠F 1B 1A 2＝90°， 得b 2＋c 2＋c 2＝(a ＋c )2， 即b 2＝ac ，e ＝5＋12， ∴命题③正确； ④若MN 经过右焦点F 2， 且MN ⊥F 1F 2，∠MON ＝90°，则c ＝b 2a，即b 2＝ac ，e ＝5＋12， ∴命题④正确．综上，正确命题的序号为①②③④.。

基础巩固题组(建议用时：分钟)一、选择题.(·台州调研)设双曲线－＝(＞，＞)的虚轴长为，焦距为，则双曲线的渐近线方程为( )＝±＝±＝±＝±解析因为＝，所以＝，因为＝，所以＝，所以＝＝，所以双曲线的渐近线方程为＝±＝±，故选.答案.(·广东卷)已知双曲线：－＝的离心率＝，且其右焦点为(，)，则双曲线的方程为( )－＝－＝－＝－＝解析因为所求双曲线的右焦点为(，)且离心率为＝＝，所以＝，＝，＝－＝，所以所求双曲线方程为－＝，故选.答案.(·浙江卷)已知椭圆：＋＝(＞)与双曲线：－＝(＞)的焦点重合，，分别为，的离心率，则( )＞且＜＞且＞＜且＜＜且＞解析由题意可得：－＝＋，即＝＋，又∵＞，＞，故＞.又∵·＝·＝·＝＝＋＞，∴·＞.答案.已知，为双曲线：－＝的左、右焦点，点在上，＝，则∠＝( )解析由－＝，知＝＝，＝.由双曲线定义，－＝＝，又＝，∴＝，＝，在△中，＝＝，由余弦定理，得∠＝＝.答案.(·杭州调研)过双曲线－＝的右焦点且与轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于，两点，则＝( )解析由题意知，双曲线－＝的渐近线方程为＝±，将＝＝代入得＝±，即，两点的坐标分别为(，)，(，－)，所以＝.答案二、填空题.(·浙江卷)双曲线－＝的焦距是，渐近线方程是.解析由双曲线方程得＝，＝，∴＝，∴焦距为，渐近线方程为＝±.答案＝±.(·北京卷)双曲线－＝(＞，＞)的渐近线为正方形的边，所在的直线，点为该双曲线的焦点，若正方形的边长为，则＝.解析取为双曲线右焦点，如图所示.∵四边形为正方形且边长为，∴＝＝，又∠＝，∴＝＝，即＝.又＋＝＝，∴＝.答案.(·山东卷)已知双曲线：－＝(＞，＞).若矩形的四个顶点在上，，的中点为的两个焦点，且＝，则的离心率是.解析由已知得＝，＝，∴×＝×.又∵＝－，整理得：－－＝，两边同除以得－－＝，即－－＝，解得＝或＝－(舍去).答案三、解答题.(·宁波十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点，在坐标轴上，离心率为，且过点(，－).()求双曲线的方程；()若点(，)在双曲线上，求证：·＝.()解∵＝，∴可设双曲线的方程为－＝λ(λ≠).∵双曲线过点(，－)，∴－＝λ，即λ＝.∴双曲线的方程为－＝.()证明法一由()可知，＝＝，∴＝，∴(－，)，(，)，。

第6讲 双曲线最新考纲 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程及简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).知 识 梳 理1.双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2(|F 1F 2|＝2c ＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|且大于零)，则点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0： (1)若a <c 时，则集合P 为双曲线； (2)若a ＝c 时，则集合P 为两条射线； (3)若a >c 时，则集合P 为空集. 2.双曲线的标准方程和几何性质1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( )(2)平面内到点F 1(0，4)，F 2(0，－4)距离之差等于6的点的轨迹是双曲线.( )(3)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线.( )(4)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn＝0.( )(5)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( )解析 (1)因为||MF 1|－|MF 2||＝8＝|F 1F 2|，表示的轨迹为两条射线. (2)由双曲线的定义知，应为双曲线的一支，而非双曲线的全部.(3)当m ＞0，n ＞0时表示焦点在x 轴上的双曲线，而m ＜0，n ＜0时则表示焦点在y 轴上的双曲线.答案 (1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√2.(2016·全国Ⅰ卷)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( ) A.(－1，3) B.(－1，3) C.(0，3)D.(0，3)解析 ∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1，∴－1<n <3，故选A. 答案 A3.(2015·湖南卷)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( ) A.73B.54C.43D.53解析 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线方程为y ＝±b a x ，则点(3，－4)在直线y ＝－bax 上，即－4＝－3b a ，所以4a ＝3b ，即b a ＝43，所以e ＝1＋b 2a 2＝53.故选D.答案 D4.(2015·全国Ⅱ卷)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________.解析 根据渐近线方程为x ±2y ＝0，可设双曲线方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0).因为双曲线过点(4，3)，所以42－4×(3)2＝λ，即λ＝4.故双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.答案x 24－y 2＝15.(选修2－1P62A6改编)经过点A (3，－1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________.解析 设双曲线的方程为：x 2－y 2＝λ(λ≠0)，把点A (3，－1)代入，得λ＝8，故所求方程为x 28－y 28＝1. 答案x 28－y 28＝1 6.(2017·乐清调研)以椭圆x 24＋y 2＝1的焦点为顶点，长轴顶点为焦点的双曲线的渐近线方程是________，离心率为________.解析 由题意可知所求双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a ＝4－1＝3，c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－3＝1，故双曲线方程为x 23－y 2＝1，其渐近线方程为y ＝±33x ，离心率为e ＝233. 答案 y ＝±33x 233考点一 双曲线的定义及其应用【例1】 (1)(2017·杭州模拟)设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，过F 2的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以B 为直角顶点的等腰直角三角形，则e 2＝( ) A.1＋2 2 B.4－2 2 C.5－2 2D.3＋2 2(2)(2015·全国Ⅰ卷)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 左支上一点，A (0，66)，当△APF 周长最小时，该三角形的面积为________.解析 (1)如图所示，因为|AF 1|－|AF 2|＝2a ，|BF 1|－|BF 2|＝2a ，|BF 1|＝|AF 2|＋|BF 2|，所以|AF 2|＝2a ，|AF 1|＝4a . 所以|BF 1|＝22a ，所以|BF 2|＝22a －2a .因为|F 1F 2|2＝|BF 1|2＋|BF 2|2， 所以(2c )2＝(22a )2＋(22a －2a )2， 所以e 2＝5－2 2.(2)设左焦点为F 1，|PF |－|PF 1|＝2a ＝2，∴|PF |＝2＋|PF 1|，△APF 的周长为|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋|AP |＋2＋|PF 1|，△APF 周长最小即为|AP |＋|PF 1|最小，当A ，P ，F 1在一条直线时最小，过AF 1的直线方程为x －3＋y66＝1.与x 2－y 28＝1联立，解得P 点坐标为(－2，26)，此时S ＝S △AF 1F －S △F 1PF ＝12 6.答案 (1)C (2)12 6规律方法 “焦点三角形”中常用到的知识点及技巧(1)常用知识点：在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用. (2)技巧：经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立它与|PF 1||PF 2|的联系. 提醒 利用双曲线的定义解决问题，要注意三点①距离之差的绝对值.②2a ＜|F 1F 2|.③焦点所在坐标轴的位置.【训练1】 (1)如果双曲线x 24－y 212＝1上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的左焦点的距离是( ) A.4 B.12 C.4或12D.不确定(2)(2016·九江模拟)已知点P 为双曲线x 216－y 29＝1右支上一点，点F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，M 为△PF 1F 2的内心，若S △PMF 1＝S △PMF 2＋8，则△MF 1F 2的面积为( ) A.27B.10C.8D.6解析 (1)由双曲线方程，得a ＝2，c ＝4.设F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，根据双曲线的定义|PF 1|－|PF 2|＝±2a ，∴|PF 1|＝|PF 2|±2a ＝8±4，∴|PF 1|＝12或|PF 1|＝4. (2)设内切圆的半径为R ，a ＝4，b ＝3，c ＝5， 因为S △PMF 1＝S △PMF 2＋8， 所以12(|PF 1|－|PF 2|)R ＝8，即aR ＝8，所以R ＝2， 所以S △MF 1F 2＝12·2c ·R ＝10.答案 (1)C (2)B考点二 双曲线的标准方程及性质(多维探究) 命题角度一 与双曲线有关的范围问题【例2－1】 (2015·全国Ⅰ卷)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－36，36 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－223，223D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，233解析 因为F 1(－3，0)，F 2(3，0)，x 202－y 20＝1，所以MF 1→·MF 2→＝(－3－x 0，－y 0)·(3－x 0，－y 0)＝x 20＋y 20－3＜0，即3y 20－1＜0，解得－33＜y 0＜33. 答案 A命题角度二 与双曲线的离心率、渐近线相关的问题【例2－2】 (1)(2016·全国Ⅱ卷)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1的左、右焦点，点M 在E上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2B.32C. 3D.2(2)(2016·天津卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 2＝1 B.x 2－y 24＝1C.3x 220－3y25＝1D.3x 25－3y220＝1 解析 (1)设F 1(－c ，0)，将x ＝－c 代入双曲线方程，得c 2a 2－y 2b 2＝1，所以y 2b 2＝c 2a 2－1＝b 2a 2， 所以y ＝±b 2a .因为sin ∠MF 2F 1＝13，所以tan ∠MF 2F 1＝|MF 1||F 1F 2|＝b 2a 2c ＝b 22ac ＝c 2－a 22ac ＝c 2a －a 2c ＝e 2－12e ＝24，所以e 2－22e －1＝0，所以e＝2，故选A.(2)由题意得c ＝5，b a ＝12，则a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1.答案 (1)A (2)A规律方法 与双曲线有关的范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决. 【训练2】 (1)(2017·慈溪调研)设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤233，2B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫233，2 C.⎝⎛⎭⎪⎫233，＋∞D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫233，＋∞ (2)(2017·武汉模拟)已知双曲线x 2－y 23＝1的左顶点为A 1，右焦点为F 2，P 为双曲线右支上一点，则PA 1→·PF 2→的最小值为________.解析 (1)因为有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，所以直线A 1B 1和A 2B 2关于x 轴对称，并且直线A 1B 1和A 2B 2与x 轴的夹角为30°，双曲线的渐近线与x 轴的夹角大于30°且小于等于60°，否则不满足题意.可得b a ＞tan 30°，即b 2a 2＞13，c 2－a 2a 2＞13，所以e ＞233.同样的，当b a ≤tan 60°，即b 2a 2≤3时，c 2－a 2a 2≤3，即4a 2≥c 2，∴e 2≤4，∵e ＞1，所以1＜e ≤2.所以双曲线的离心率的范围是⎝⎛⎦⎥⎤233，2. (2)由题可知A 1(－1，0)，F 2(2，0).设P (x ，y )(x ≥1)，则PA 1→＝(－1－x ，－y )，PF 2→＝(2－x ，－y )，PA 1→·PF 2→＝(－1－x )(2－x )＋y 2＝x 2－x －2＋y 2＝x 2－x －2＋3(x 2－1)＝4x 2－x －5.因为x ≥1，函数f (x )＝4x 2－x －5的图象的对称轴为x ＝18，所以当x ＝1时，PA 1→·PF 2→取得最小值－2.答案 (1)A (2)－2 考点三 双曲线的综合问题【例3】 (1)已知椭圆x 2a 2＋y 29＝1(a ＞0)与双曲线x 24－y 23＝1有相同的焦点，则a 的值为( )A. 2B.10C.4D.34(2)(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，P 为双曲线x 2－y 2＝1右支上的一个动点.若点P 到直线x －y ＋1＝0的距离大于c 恒成立，则实数c 的最大值为________.解析 (1)因为椭圆x 2a 2＋y 29＝1(a ＞0)与双曲线x 24－y 23＝1有相同的焦点(±7，0)，则有a 2－9＝7，所以a ＝4.(2)设P (x ，y )(x ≥1)，因为直线x －y ＋1＝0平行于渐近线x －y ＝0，所以c 的最大值为直线x －y ＋1＝0与渐近线x －y ＝0之间的距离，由两平行线间的距离公式知，该距离为12＝22. 答案 (1)C (2)22规律方法 解决与双曲线有关综合问题的方法(1)解决双曲线与椭圆、圆、抛物线的综合问题时，要充分利用椭圆、圆、抛物线的几何性质得出变量间的关系，再结合双曲线的几何性质求解.(2)解决直线与双曲线的综合问题，通常是联立直线方程与双曲线方程，消元求解一元二次方程即可，但一定要注意数形结合，结合图形注意取舍.【训练3】 (2016·天津卷)已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b >0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( ) A.x 24－3y 24＝1 B.x 24－4y 23＝1 C.x 24－y 24＝1D.x 24－y 212＝1解析 由双曲线x 24－y 2b 2＝1(b >0)知其渐近线方程为y ＝±b2x ，又圆的方程为x 2＋y 2＝4，①不妨设渐近线与圆在第一象限的交点为B ，将y ＝b2x 代入方程①式，可得点B ⎝⎛⎭⎪⎫44＋b2，2b 4＋b 2.由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD 为矩形，其相邻两边长为84＋b2，4b4＋b 2，故8×4b4＋b 2＝2b ，得b 2＝12.故双曲线的方程为x 24－y 212＝1.答案 D[思想方法]1.与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为x 2a 2－y 2b2＝t (t ≠0).2.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的两条渐近线方程. [易错防范]1.双曲线方程中c 2＝a 2＋b 2，说明双曲线方程中c 最大，解决双曲线问题时不要忽视了这个结论，不要与椭圆中的知识相混淆.2.求双曲线离心率及其范围时，不要忽略了双曲线的离心率的取值范围是(1，＋∞)这个前提条件，否则很容易产生增解或扩大所求离心率的取值范围致错.3.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b2＝1 (a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±a bx .4.直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点.。

9．6 双曲线1．双曲线的定义(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的________等于常数2a(2a______|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的________，两焦点间的距离叫做双曲线的________．※(2)另一种定义方式(见人教A版教材选修2-1 P59例5)：平面内动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数e(e>1)的轨迹叫做双曲线．定点F叫做双曲线的一个焦点，定直线l叫做双曲线的一条准线，常数e叫做双曲线的________．(3)实轴和虚轴相等的双曲线叫做_________．“离心率e＝2”是“双曲线为等轴双曲线”的______条件，且等轴双曲线两条渐近线互相______．一般可设其方程为x2-y2＝λ(λ≠0)．2．双曲线的标准方程及几何性质自查自纠1．(1)绝对值＜焦点焦距(2)离心率(3)等轴双曲线充要垂直2．(2)x2a2-y2b2＝1(a＞0，b＞0)(5)A1(0，-a)，A2(0，a)(7)F1(-c，0)，F2(c，0) (9)e＝ca(e＞1)(10)y＝±bax(2015·广东)已知双曲线C：x2a2-y2b2＝1的离心率e＝54，且其右焦点为F2(5，0)，则双曲线C的方程为( )A.x24-y23＝1 B.x29-y216＝1C.x216-y29＝1 D.x23-y24＝1解：c＝5，e＝ca＝5a＝54，得a＝4，b2＝c2-a2＝52-42＝9，双曲线方程为x216-y29＝1.故选C.(2015·福建)若双曲线x29-y216＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|(( (解：设双曲线方程为x 2a 2-y 2b2＝1(a >0，在双曲线的右支上，如图，AB ＝BM 轴于H ，则∠MBH ＝60，3a )．将点M 的坐标代入双曲线a ＝b ，所以e ＝ca＝·南昌调研)已知F 1，F 2是双曲线的两个焦点，P 是C 上一点，若F 2最小内角的大小为的渐近线方程是( )0 B ．x ±0D ．2x ±解：由题意，不妨设|PF |>|PF |，则根据双曲线＝AE ＝1，则AD ＝BE ，双曲线实轴长为23，2a ′＝3-1，所以＝ 3.故填3. )过双曲线x 2-y 23＝轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于为坐标原点，动直线分别在第一、四象限试探究：是否存在总与直线E？若存在，求出双曲线程；若不存在，说明理由．因为双曲线E的渐近线分别为。

（浙江专用）高考数学大一轮复习第九章平面解析几何第6讲双曲线练习（含解析）[基础达标]1．若双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，则其渐近线方程为( ) A．y＝±2x B．y＝±2xC．y＝±12x D．y＝±22x 解析：选B.由条件e＝3，即ca＝3，得c2a2＝a2＋b2a2＝1＋b2a2＝3，所以ba＝2，所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x.故选B.2．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为y＝kx(k＞0)，离心率e＝5k，则双曲线方程为( )A．x2a2－y24a2＝1 B．x2a2－y25a2＝1 C．x24b2－y2b2＝1 D．x25b2－y2b2＝1解析：选C.由已知得，⎩⎪⎨⎪⎧b a＝k，ca＝5k，a2＋b2＝c2，所以a2＝4b2.3．(2019·杭州学军中学高三质检)双曲线M：x2－y2b2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，记|F1F2|＝2c，以坐标原点O为圆心，c为半径的圆与曲线M在第一象限的交点为P，若|PF1|＝c＋2，则点P的横坐标为( )A．3＋12B．3＋22 C．3＋32D．332解析：选A.由点P在双曲线的第一象限可得|PF1|－|PF2|＝2，则|PF2|＝|PF1|－2＝c，又|OP|＝c，∠F1PF2＝90°，由勾股定理可得(c＋2)2＋c2＝(2c)2，解得c＝1＋ 3.易知△POF2为等边三角形，则x P ＝c2＝3＋12，选项A 正确． 4．(2019·杭州中学高三月考)已知F 1、F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，若F 2关于渐近线的对称点恰落在以F 1为圆心，OF 1为半径的圆上，则双曲线C 的离心率为( )A ． 3B ．3C ． 2D ．2解析：选D.由题意，F 1(－c ，0)，F 2(c ，0)，一条渐近线方程为y ＝b ax ，则F 2到渐近线的距离为bcb 2＋a 2＝b . 设F 2关于渐近线的对称点为M ，F 2M 与渐近线交于A ，所以|MF 2|＝2b ，A 为F 2M 的中点，又O 是F 1F 2的中点，所以OA ∥F 1M ，所以∠F 1MF 2为直角，所以△MF 1F 2为直角三角形， 所以由勾股定理得4c 2＝c 2＋4b 2， 所以3c 2＝4(c 2－a 2)，所以c 2＝4a 2， 所以c ＝2a ，所以e ＝2. 故选D.5．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为( )解析：选D.法一：由题可知，双曲线的右焦点为F (2，0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2，3)，因为点A (1，3)，所以AP ∥x 轴，又PF ⊥x 轴，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝32.故选D.法二：由题可知，双曲线的右焦点为F (2，0)，当x ＝2时，代入双曲线C 的方程，得4－y 23＝1，解得y ＝±3，不妨取点P (2，3)，因为点A (1，3)，所以AP →＝(1，0)，PF →＝(0，－3)，所以AP →·PF →＝0，所以AP ⊥PF ，所以S △APF ＝12|PF |·|AP |＝12×3×1＝32.故选D.6．(2019·浙江高中学科基础测试)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)与抛物线y 2＝20x有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若|PF |＝17，则双曲线的离心率为( )A ． 5B ．53C ．54D ．52解析：选B.由题意知F (5，0)，不妨设P 点在x 轴的上方，由|PF |＝17知点P 的横坐标为17－5＝12，则其纵坐标为20×12＝415，设双曲线的另一个焦点为F 1(－5，0)，则|PF 1|＝（12＋5）2＋（415）2＝23，所以2a ＝|PF 1|－|PF |＝23－17＝6，所以a ＝3，所以e ＝c a ＝53，故选B.7．(2019·宁波市余姚中学高三期中)已知曲线x 22＋y 2k 2－k ＝1，当曲线表示焦点在y 轴上的椭圆时k 的取值范围是________；当曲线表示双曲线时k 的取值范围是________．解析：当曲线表示焦点在y 轴上的椭圆时，k 2－k ＞2， 所以k ＜－1或k ＞2；当曲线表示双曲线时，k 2－k ＜0， 所以0＜k ＜1.答案：k ＜－1或k ＞2 0＜k ＜18．(2019·金华十校联考)已知l 是双曲线C ：x 22－y 24＝1的一条渐近线，P 是l 上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若PF 1→·PF 2→＝0，则P 到x 轴的距离为________．解析：F 1(－6，0)，F 2(6，0)，不妨设l 的方程为y ＝2x ，则可设P (x 0，2x 0)，由PF 1→·PF 2→＝(－6－x 0，－2x 0)·(6－x 0，－2x 0)＝3x 20－6＝0，得x 0＝±2，故P 到x 轴的距离为2|x 0|＝2.答案：29．(2019·瑞安四校联考)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线与直线x ＝a 2c分别交于A ，B 两点，F 为该双曲线的右焦点．若60°<∠AFB <90°，则该双曲线的离心率的取值范围是________．解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线方程为y ＝±b a x ，x ＝a 2c 时，y ＝±abc ，不妨设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，ab c ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a2c，－ab c ，因为60°<∠AFB <90°，所以33<k FB <1，所以33<ab c c －a 2c<1，所以33<a b <1，所以13<a 2c 2－a2<1，所以1<e 2－1<3，所以2<e <2.答案：(2，2)10．设P 为双曲线x 2－y 212＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的左、右焦点，若△PF 1F 2的面积为12，则∠F 1PF 2＝________．解析：由题意可知，F 1(－13，0)，F 2(13，0)，|F 1F 2|＝213.设P (x 0，y 0)，则△PF 1F 2的面积为12×213|y 0|＝12.故y 20＝12213，将P 点坐标代入双曲线方程得x 20＝2513，不妨设点P ⎝⎛⎭⎪⎫51313，121313，则PF 1→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－181313，－121313，PF 2→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫81313，－121313，可得PF 1→·PF 2→＝0，即PF 1⊥PF 2，故∠F 1PF 2＝π2. 答案：π211．已知椭圆D ：x 250＋y 225＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．解：椭圆D 的两个焦点坐标为(－5，0)，(5，0)， 因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c ＝5.设双曲线G 的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，所以渐近线方程为bx ±ay ＝0且a 2＋b 2＝25， 又圆心M (0，5)到两条渐近线的距离为r ＝3. 所以|5a |b 2＋a 2＝3，得a ＝3，b ＝4，所以双曲线G 的方程为x 29－y 216＝1.12．已知双曲线y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程为2x ＋y ＝0，且顶点到渐近线的距离为255.(1)求此双曲线的方程；(2)设P 为双曲线上一点，A ，B 两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP →＝PB →，求△AOB 的面积．解：(1)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a b ＝2，|2×0＋a |5＝255，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，故双曲线的方程为y 24－x 2＝1.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，设A (m ，2m )，B (－n ，2n )，其中m >0，n >0，由AP →＝PB →得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m －n 2，m ＋n .将点P 的坐标代入y 24－x 2＝1，整理得mn ＝1. 设∠AOB ＝2θ，因为tan ⎝⎛⎭⎪⎫π2－θ＝2，则tan θ＝12，从而sin 2θ＝45.又|OA |＝5m ，|OB |＝5n ，所以S △AOB ＝12|OA ||OB |sin 2θ＝2mn ＝2.[能力提升]1．(2019·舟山市普陀三中高三期中)过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点A 作斜率为－1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B 、C .若AB →＝12BC →，则双曲线的离心率是( )A ． 2B ． 3C ． 5D ．10解析：选C.直线l ：y ＝－x ＋a 与渐近线l 1：bx －ay ＝0交于B ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a ＋b ，ab a ＋b ，l 与渐近线l 2：bx ＋ay ＝0交于C ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a －b ，－ab a －b ，A (a ，0)，所以AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－ab a ＋b ，ab a ＋b ，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2b a 2－b 2，－2a 2b a 2－b 2， 因为AB →＝12BC →，所以b ＝2a ， 所以c 2－a 2＝4a 2，所以e 2＝c 2a2＝5，所以e ＝5，故选C.2．(2019·宁波高考模拟)如图，F 1、F 2是椭圆C 1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点，若AF 1⊥BF 1，且∠AF 1O ＝π3，则C 1与C 2的离心率之和为( )A ．2 3B ．4C ．2 5D ．2 6解析：选A.F 1、F 2是椭圆C 1与双曲线C 2的公共焦点，A 、B 分别是C 1、C 2在第二、四象限的公共点，若AF 1⊥BF 1，且∠AF 1O ＝π3，可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12c ，32c ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12c ，－32c ，代入椭圆方程可得c 24a 2＋3c 24b 2＝1，可得e 24＋34e 2－4＝1，可得e 4－8e 2＋4＝0，解得e ＝3－1.代入双曲线方程可得：c 24a 2－3c 24b2＝1，可得：e 24－34－4e 2＝1，可得：e 4－8e 2＋4＝0，解得e ＝3＋1， 则C 1与C 2的离心率之和为2 3. 故选A.3．设双曲线x 2－y 23＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2.若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则|PF 1|＋|PF 2|的取值范围是__________．解析：由题意不妨设点P 在双曲线的右支上，现考虑两种极限情况：当PF 2⊥x 轴时，|PF 1|＋|PF 2|有最大值8；当∠P 为直角时，|PF 1|＋|PF 2|有最小值27.因为△F 1PF 2为锐角三角形，所以|PF 1|＋|PF 2|的取值范围为(27，8)．答案：(27，8)4．(2019·温州十五校联合体联考)过点M (0，1)且斜率为1的直线l 与双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两渐近线交于点A ，B ，且BM →＝2AM →，则直线l 的方程为____________；如果双曲线的焦距为210，则b 的值为________．解析：直线l 的方程为y ＝x ＋1，两渐近线的方程为y ＝±b ax .其交点坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －a ，b b －a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－a a ＋b ，b a ＋b .由BM →＝2AM →，得x B ＝2x A .若a b －a ＝－2a a ＋b ，得a ＝3b ，由a 2＋b 2＝10b 2＝10得b ＝1，若－aa ＋b ＝2ab －a，得a ＝－3b (舍去)．答案：y ＝x ＋1 15．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于3，过右焦点F 2的直线l 交双曲线于A ，B 两点，F 1为左焦点．(1)求双曲线的方程；(2)若△F 1AB 的面积等于62，求直线l 的方程．解：(1)依题意，b ＝3，c a ＝2⇒a ＝1，c ＝2，所以双曲线的方程为x 2－y 23＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由(1)知F 2(2，0)．易验证当直线l 斜率不存在时不满足题意，故可设直线l ：y ＝k (x －2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），x 2－y 23＝1，消元得(k 2－3)x 2－4k 2x ＋4k 2＋3＝0，k ≠±3，x 1＋x 2＝4k 2k 2－3，x 1x 2＝4k 2＋3k 2－3，y 1－y 2＝k (x 1－x 2)，△F 1AB 的面积S ＝c |y 1－y 2|＝2|k |·|x 1－x 2|＝2|k |·16k 4－4（k 2－3）（4k 2＋3）|k 2－3|＝12|k |·k 2＋1|k 2－3|＝6 2.得k 4＋8k 2－9＝0，则k ＝±1.所以直线l 的方程为y ＝x －2或y ＝－x ＋2.6．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线的方程为y ＝3x ，右焦点F 到直线x ＝a 2c 的距离为32.(1)求双曲线C 的方程；(2)斜率为1且在y 轴上的截距大于0的直线l 与双曲线C 相交于B 、D 两点，已知A (1，0)，若DF →·BF →＝1，证明：过A 、B 、D 三点的圆与x 轴相切．解：(1)依题意有b a ＝3，c －a 2c ＝32，因为a 2＋b 2＝c 2，所以c ＝2a ，所以a ＝1，c ＝2，所以b 2＝3，所以双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.(2)证明：设直线l 的方程为y ＝x ＋m (m >0)，B (x 1，x 1＋m )，D (x 2，x 2＋m )，BD 的中点为M ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 2－y 23＝1得2x 2－2mx －m 2－3＝0，所以x 1＋x 2＝m ，x 1x 2＝－m 2＋32，又因为DF →·BF →＝1，即(2－x 1)(2－x 2)＋(x 1＋m )(x 2＋m )＝1，所以m ＝0(舍)或m ＝2，。

2018版高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.6 双曲线真题演练集训 理 新人教A 版1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]已知方程x 2m ＋n －y 23m －n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)答案：A解析：由题意，得(m 2＋n )(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，即m 2＝1，所以－1<n <3.2．[2016·天津卷]已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b ＞0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1B.x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 答案：D解析：根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y ＝±b 2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b 2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b 2，y A ＝2b4＋b 2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b 4＋b 2＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1，故选D.3．[2016·新课标全国卷Ⅱ]已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1的左，右焦点，点M 在E上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2B.32C. 3 D ．2答案：A解析：设F 1(－c,0)，将x ＝－c 代入双曲线方程，得c 2a 2－y 2b 2＝1，所以y 2b 2＝c 2a 2－1＝b 2a2，所以y ＝±b 2a.因为sin ∠MF 2F 1＝13，所以tan ∠MF 2F 1＝|MF 1||F 1F 2|＝b 2a2c＝b 22ac ＝c 2－a 22ac ＝c 2a －a 2c ＝e 2－12e ＝24， 所以e 2－22e －1＝0，所以e ＝ 2.故选A. 4．[2016·浙江卷]已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1答案：A解析：由于m 2－1＝c 2，n 2＋1＝c 2，则m 2－n 2＝2，故m >n ，又(e 1e 2)2＝m 2－1m 2·n 2＋1n2＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n 2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1n 4＋2n 2>1，所以e 1e 2>1.故选A. 5．[2016·北京卷]双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a ＝________. 答案：2解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，由已知可得两条渐近线方程互相垂直，由双曲线的对称性可得ba＝1.又正方形OABC 的边长为2，所以c ＝22，所以a 2＋b 2＝c 2＝(22)2，解得a ＝2.6．[2016·山东卷]已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．答案：2解析： 如图，由题意不妨设|AB |＝3，则|BC |＝2.设AB ，CD 的中点分别为M ，N ，则在Rt △BMN 中，|MN |＝2c ＝2， 故|BN |＝|BM |2＋|MN |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝52. 由双曲线的定义可得2a ＝|BN |－|BM |＝52－32＝1，而2c ＝|MN |＝2，所以双曲线的离心率e ＝2c2a＝2.课外拓展阅读 求双曲线离心率的易错点[典例] [2016·天津模拟]已知双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn >0)的一条渐近线方程为y ＝±43x ，则该双曲线的离心率为________．[易错分析] (1)未考虑m ，n 的取值，易漏掉焦点在另一坐标轴上的情况； (2)易将ba弄错，从而导致失分． [解析] 当m >0，n >0时， 则有n m ＝43，所以n m ＝169， e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝1＋169＝53；当m <0，n <0时， 则有m n ＝43，所以m n ＝169， e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋916＝54， 综上可知，该双曲线的离心率为53或54.[答案] 53或54温馨提醒(1)对于方程x 2m －y 2n＝1表示的曲线一定要视m ，n 的不同取值进行讨论，m ，n 的取值不同表示的曲线就不同．(2)对于双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn >0)的焦点位置不同，则ba的值就不一样，一定要注意区分．。

第六节双曲线A组基础题组1.(2016安徽安庆二模)双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=2x,则双曲线C的离心率是( )A. B. C.2 D.2.若实数k满足0<k<5,则曲线--=1与曲线--=1的( )A.实半轴长相等B.虚半轴长相等C.离心率相等D.焦距相等3.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则C的渐近线方程为( )A.y=±xB.y=±xC.y=±xD.y=±x4.(2016天津,4,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的焦距为2,且双曲线的一条渐近线与直线2x+y=0垂直,则双曲线的方程为( )A.-y2=1B.x2-=1C.-=1D.-=15.(2016课标全国Ⅱ,11,5分)已知F1,F2是双曲线E:-=1的左,右焦点,点M在E上,MF1与x轴垂直,sin∠MF2F1=,则E的离心率为( )A. B. C. D.26.设双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点是F,左,右顶点分别是A1,A2,过F作A1A2的垂线与双曲线交于B,C 两点.若A1B⊥A2C,则该双曲线的渐近线的斜率为( )A.±B.±C.±1D.±7.(2016北京,12,5分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(,0),则a= ;b= .8.设F1、F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点,A是双曲线上在第一象限内的点,若|AF2|=2且∠F1AF2=45°,延长AF2交双曲线右支于点B,则△F1AB的面积等于.9.中心在原点,焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1,F2,且|F1F2|=2,椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4,离心率之比为3∶7.(1)求椭圆和双曲线的方程;(2)若P为该椭圆与双曲线的一个交点,求cos∠F1PF2的值.10.已知双曲线的中心在原点,左、右焦点F1、F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-).(1)求双曲线的方程;(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:·=0;(3)在(2)的条件下,求△F1MF2的面积.B组提升题组11.(2016课标全国Ⅰ,5,5分)已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n-的取值范围是( )A.(-1,3)B.(-1,)C.(0,3)D.(0,)12.(2016江南十校联考(一))已知l是双曲线C:-=1的一条渐近线,P是l上的一点,F1,F2分别是C的左,右焦点,若·=0,则点P到x轴的距离为( )A. B. C.2 D.13.已知双曲线-=1与直线y=2x有交点,则双曲线离心率的取值范围为( )A.(1,)B.(1,]C.(,+∞)D.[,+∞)14.(2015课标Ⅰ,16,5分)已知F是双曲线C:x2-=1的右焦点,P是C的左支上一点,A(0,6).当△APF 周长最小时,该三角形的面积为.15.(2016浙江,13,4分)设双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1、F2.若点P在双曲线上,且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是.16.设A,B分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的左,右顶点,双曲线的实轴长为4,焦点到渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程;(2)已知直线y=x-2与双曲线的右支交于M,N两点,且在双曲线的右支上存在点D,使+=t,求t 的值及点D的坐标.答案全解全析A组基础题组1.A 由双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=2x,可得=2,∴e===.故选A.2.D 若0<k<5,则5-k>0,16-k>0,故方程--=1表示焦点在x轴上的双曲线,且实半轴的长为4,虚半轴的长为-,焦距2c=2-,离心率e=-;方程--=1表示焦点在x轴上的双曲线,实半轴的长为-,虚半轴的长为,焦距2c=2-,离心率e=--.可知两曲线的焦距相等.故选D.3.C 由双曲线的离心率e==可知=,而双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±x,故选C.4.A 由题意可得解得a=2,b=1,所以双曲线的方程为-y2=1,故选A.5.A 解法一:由MF1⊥x轴,可得M-或M--,∴|MF1|=.由sin∠MF2F1=,可得cos∠MF2F1=-=,又tan∠MF2F1==,∴=,∴b2=ac,∵c2=a2+b2⇒b2=c2-a2,∴c2-a2-ac=0⇒e2-e-1=0,∴e=(舍负).故选A.解法二:由MF1⊥x轴,得M-或M--,∴|MF1|=,由双曲线的定义可得|MF2|=2a+|MF1|=2a+, 又sin∠MF2F1===⇒a2=b2⇒a=b,∴e==.故选A.6.C 不妨令B在x轴上方,因为BC过右焦点F(c,0),且垂直于A1A2,即x轴,所以可求得B,C两点的坐标分别为,-,又A1,A2的坐标分别为(-a,0),(a,0),所以=,=--,因为A1B⊥A2C,所以·=0,即(c+a)(c-a)-·=0,即c2-a2-=0,所以b2-=0,故=1,即=1,又双曲线的渐近线的斜率为±,故该双曲线的渐近线的斜率为±1.故选C.7.答案1;2解析由题可知双曲线焦点在x轴上,故渐近线方程为y=±x,又一条渐近线为2x+y=0,即y=-2x,∴=2,即b=2a.又∵该双曲线的一个焦点为(,0),∴c=.由a2+b2=c2可得a2+(2a)2=5,解得a=1,b=2.8.答案 4解析由题意可得|AF2|=2,|AF1|=4,则|AB|=|AF2|+|BF2|=2+|BF2|=|BF1|.又∠F1AF2=45°,所以△ABF1是以AF1为斜边的等腰直角三角形,所以其面积为×4×2=4.9.解析(1)设椭圆的方程为+=1,双曲线的方程为-=1,则-··解得a=7,m=3,∴b=6,n=2.∴椭圆的方程为+=1,双曲线的方程为-=1.(2)不妨令F1、F2分别为左、右焦点,P是第一象限的一个交点,则|PF1|+|PF2|=14, |PF1|-|PF2|=6,所以|PF1|=10,|PF2|=4,又|F1F2|=2,∴cos∠F1PF2=-=-=.10.解析(1)∵e=,∴可设双曲线的方程为x2-y2=λ(λ≠0).∵双曲线过点(4,-),∴16-10=λ,即λ=6,∴双曲线的方程为x2-y2=6.(2)证法一:由(1)可知,双曲线中a=b=,∴c=2,∴F1(-2,0),F2(2,0),,∴=,=-∴·==-.-∵点M(3,m)在双曲线上,∴9-m2=6,m2=3,故·=-1,∴MF1⊥MF2,即·=0.证法二:由证法一知=(-3-2=(2-3,-m),∴·=(3+2)×(3-2)+m2=-3+m2,∵点M在双曲线上,∴9-m2=6,即m2-3=0,∴·=0.(3)△F1MF2的底|F1F2|=4,由(2)知m=±.∴△F1MF2的高h=|m|=,∴△=6.B组提升题组11.A ∵原方程表示双曲线,且焦距为4,∴-①-②或----由①得m2=1,n∈(-1,3).②无解.故选A.12.C 由题意知F1(-,0),F2(,0),不妨取l的方程为y=x,设点P(x0,x0),由·=(--x0,-x0)·(-x0,-x0)=3-6=0,得x0=±,故点P到x轴的距离为|x0|=2,故选C.13.C 双曲线的一条渐近线方程为y=x,由题意得>2,∴e==> = .14.答案 12解析 由已知得双曲线的右焦点F(3,0).设双曲线的左焦点为F',则F'(-3,0).由双曲线的定义及已知得|PF|=2a+|PF'|=2+|PF'|.△APF 的周长最小,即|PA|+|PF|最小.|PA|+|PF|=|PA|+2+|PF'|≥|AF'|+2=17,即当A 、P 、F'三点共线时,△APF 的周长最小.设P 点坐标为(x 0,y 0),y 0>0,由--得+6 y 0-96=0,所以y 0=2 或y 0=-8 (舍去). 所以当△APF 的周长最小时,该三角形的面积S= ×6×6 -×6×2 =12 .15.答案 (2 ,8)解析 △PF 1F 2为锐角三角形,不妨设P 在第一象限,P 点在P 1与P 2之间运动(如图).当P 在P 1点处时,∠F 1P 1F 2=90°, △ = |F 1F 2|·| |=|P 1F 1|·|P 1F 2|. 由|P 1F 1|2+|P 1F 2|2=|F 1F 2|2,|P 1F 1|-|P 1F 2|=2, 得|P 1F 1|·|P 1F 2|=6, 此时|PF 1|+|PF 2|=2 当P 在P 2点处时,∠P 2F 2F 1=90°, ∴ =2,易知 =3,此时|PF 1|+|PF 2|=2|PF 2|+2=8,∴当△PF 1F 2为锐角三角形时,|PF 1|+|PF 2|∈(2 ,8). 16.解析 (1)由题意知a=2 ,∴一条渐近线方程为y= x,即bx-2 y=0,∴= ,∴b 2=3,∴双曲线的方程为 -=1. (2)设M(x 1,y 1),N(x 2,y 2),D(x 0,y 0), ∵ + =t ,∴x 1+x 2=tx 0,y 1+y 2=ty 0, 将直线方程代入双曲线方程得x 2-16 x+84=0,则x 1+x 2=16 ,所以y 1+y 2=12,∵点D 在双曲线的右支上, ∴-解得∴t=4,点D的坐标为(4。

双曲线课时作业1．双曲线x 236－m 2－y 2m2＝1(0<m <3)的焦距为()A ．6B ．12C ．36D ．236－2m 2答案 B解析 c 2＝36－m 2＋m 2＝36，∴c ＝6.双曲线的焦距为12. 2．双曲线8kx 2－ky 2＝8的一个焦点是(0,3)，则k 的值是() A ．1 B ．－1 C ．653D ．－63答案 B解析 ∵双曲线8kx 2－ky 2＝8，焦点在y 轴上，∴双曲线的标准方程为y 2－8k －x 2－1k＝1，又c ＝3，∴－8k －1k＝9，解得k ＝－1.3．(2019·某某永州模拟)焦点是(0，±2)，且与双曲线x 23－y 23＝1有相同的渐近线的双曲线的方程是()A ．x 2－y 23＝1B ．y 2－x 23＝1C ．x 2－y 2＝2 D ．y 2－x 2＝2答案 D解析 由已知，双曲线焦点在y 轴上，且为等轴双曲线，故选D ．4．(2019·某某凌源联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的顶点(a,0)到渐近线y＝b a x 的距离为b2，则双曲线C 的离心率是() A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 A解析 因为顶点(a,0)到渐近线y ＝bax 的距离d ＝ab a 2＋b2＝b 2，所以a c ＝12，所以e ＝ca ＝2.故选A ．5．(2019·某某滕州月考)已知双曲线x 225－y 29＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，若双曲线的左支上有一点M 到右焦点F 2的距离为18，N 是MF 2的中点，O 为坐标原点，则|NO |等于()A ．23B ．1C ．2D ．4答案 D解析 由双曲线x 225－y 29＝1，知a ＝5，由双曲线定义，得|MF 2|－|MF 1|＝2a ＝10，得|MF 1|＝8，所以|NO |＝12|MF 1|＝4.6．虚轴长为2，离心率e ＝3的双曲线的两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交双曲线的一支于A ，B 两点，且|AB |＝8，则△ABF 2的周长为()A ．3B ．16＋ 2C ．12＋ 2D ．24答案 B解析 由于2b ＝2，e ＝c a＝3，∴b ＝1，c ＝3a ， ∴9a 2＝a 2＋1，∴a ＝24. 由双曲线的定义知，|AF 2|－|AF 1|＝2a ＝22，① |BF 2|－|BF 1|＝22，② 由①＋②，得|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝2， 又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝8， ∴|AF 2|＋|BF 2|＝8＋2，则△ABF 2的周长为16＋2，故选B ．7．(2019·全国卷Ⅲ)已知F 是双曲线C ：x 24－y 25＝1的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点．若|OP |＝|OF |，则△OPF 的面积为()A ．32B ．52C ．72D ．92答案 B解析 由F 是双曲线x 24－y 25＝1的一个焦点，知|OF |＝3，所以|OP |＝|OF |＝3.不妨设点P在第一象限，P (x 0，y 0)，x 0>0，y 0>0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋y 20＝3，x 204－y 205＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＝569，y 20＝259，所以P ⎝⎛⎭⎪⎫2143，53，所以S △OPF ＝12|OF |·y 0＝12×3×53＝52.故选B ．8．过双曲线x 2a 2－y 23＝1(a >0)的右焦点F 作直线l 与双曲线交于A ，B 两点，使得|AB |＝6，若这样的直线有且只有两条，则a 的取值X 围是()A ．(0,1]∪(3，＋∞)B ．(0,1)∪(3，＋∞)C ．(0,1)D ．(3，＋∞)答案 B解析 若A ，B 在同一支上，则有|AB |min ＝2b 2a ＝6a；若A ，B 不在同一支上，则|AB |min ＝2a .依题意， 得6a 与2a 不可能同时等于6，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a >6，6a <6或⎩⎪⎨⎪⎧2a <6，6a>6，解得a >3或0<a <1，故选B ．9．已知点P 在曲线C 1：x 216－y 29＝1上，点Q 在曲线C 2：(x －5)2＋y 2＝1上，点R 在曲线C 3：(x ＋5)2＋y 2＝1上，则|PQ |－|PR |的最大值是()A ．6B ．8C ．10D ．12答案 C解析 由题意可知点C 3，C 2分别是双曲线C 1：x 216－y 29＝1的左、右焦点，点P 在双曲线的左支上，则|PC 2|－|PC 3|＝8.|PQ |max ＝|PC 2|＋1，|PR |min ＝|PC 3|－1，所以|PQ |－|PR |的最大值为(|PC 2|＋1)－(|PC 3|－1)＝|PC 2|－|PC 3|＋2＝8＋2＝10.故选C ．10．(2019·某某豫南、豫北联考)已知直线y ＝x ＋1与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)交于A ，B 两点，且线段AB 的中点M 的横坐标为1，则该双曲线的离心率为()A ． 2B ． 3C ．2D ． 5答案 B解析 由题意得M (1,2)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，分别代入双曲线方程，两式相减并整理得y 21－y 22x 21－x 22＝b 2a2＝k AB ·k OM ＝2.∴b 2＝2a 2，即c 2－a 2＝2a 2，∴e ＝ 3.故选B ．11．(2020·某某某某联考)已知双曲线x 24－y 22＝1的右焦点F ，P 为双曲线左支上一点，点A (0，2)，则△APF 的周长的最小值为()A ．4＋ 2B ．4(1＋2)C ．2(2＋6)D ．6＋3 2答案 B解析 双曲线x 24－y 22＝1的右焦点为F (6，0)，设其左焦点为F ′.△APF 的周长l ＝|AF |＋|AP |＋|PF |＝|AF |＋|AP |＋2a ＋|PF ′|，要使△APF 周长最小，只需|AP |＋|PF ′|最小．如图，当A ，P ，F ′三点共线时l 取到最小值，且l min ＝2|AF |＋2a ＝4(1＋2)．故选B ．12．(2018·全国卷Ⅲ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，O 是坐标原点．过F 2作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P .若|PF 1|＝6|OP |，则C 的离心率为()A ． 5B ．2C ． 3D ． 2答案 C解析 由题可知|PF 2|＝b ，|OF 2|＝c ，∴|PO |＝a . 在Rt △POF 2中，cos ∠PF 2O ＝|PF 2||OF 2|＝bc， ∵在△PF 1F 2中，cos ∠PF 2O ＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－|PF 1|22|PF 2||F 1F 2|＝bc，∴b 2＋4c 2－(6a )22b ·2c ＝b c⇒c 2＝3a 2，∴e ＝ 3.故选C ．13．已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________．答案x 24－y 2＝1解析 根据渐近线方程为x ±2y ＝0，可设双曲线方程为x 2－4y 2＝λ(λ≠0)．因为双曲线过点(4，3)，所以42－4×(3)2＝λ，即λ＝4.故双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.14．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过点F 2作与x 轴垂直的直线与双曲线一个交点为P ，且∠PF 1F 2＝π6，则双曲线的渐近线方程为________．答案 y ＝±2x解析 根据已知可得，|PF 2|＝b 2a 且|PF 1|＝2b 2a ，故2b 2a －b 2a ＝2a ，所以b 2a 2＝2，ba＝2，双曲线的渐近线方程为y ＝±2x .15．(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若＝，·＝0，则C 的离心率为________．答案 2解析 解法一：由＝，得A 为F 1B 的中点．又O 为F 1F 2的中点，∴OA ∥BF 2. 又·＝0，∴∠F 1BF 2＝90°. ∴|OF 2|＝|OB |，∴∠OBF 2＝∠OF 2B ． 又∠F 1OA ＝∠BOF 2，∠F 1OA ＝∠OF 2B ， ∴∠BOF 2＝∠OF 2B ＝∠OBF 2， ∴△OBF 2为等边三角形．如图1所示，∵点B 在直线y ＝－bax 上，∴－b a ＝－3，∴离心率e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝2.解法二：∵·＝0，∴∠F 1BF 2＝90°.在Rt △F 1BF 2中，O 为F 1F 2的中点，∴|OF 2|＝|OB |＝c . 如图2，作BH ⊥x 轴于H ，由l 1为双曲线的渐近线，可得|BH ||OH |＝b a ，且|BH |2＋|OH |2＝|OB |2＝c 2，∴|BH |＝b ，|OH |＝a ，∴B (a ，－b )，F 2(c,0)． 又＝，∴A 为F 1B 的中点． ∴OA ∥F 2B ，∴b a ＝bc －a，∴c ＝2a ，∴离心率e ＝c a＝2.16．(2020·某某摸底)已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，且|F 1F 2|＝2b2a，P 为双曲线C 右支上一点，I 为△PF 1F 2的内心，若S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2成立，则双曲线的离心率为________，λ的值为________．答案5＋125－12解析 由F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，且|F 1F 2|＝2b2a，可得2c ＝2b 2a ＝2c 2－2a 2a ，化简得e 2－e －1＝0.∴e >1，∴e ＝1＋52.设△PF 1F 2的内切圆半径为r ，由双曲线的定义得|PF 1|－|PF 2|＝2a ，|F 1F 2|＝2c ，S △IPF 1＝12|PF 1|·r ，S △IPF 2＝12|PF 2|·r ，S △IF 1F 2＝12·2c ·r ＝cr ，由S △IPF 1＝S △IPF 2＋λS △IF 1F 2得，12|PF 1|·r ＝12·|PF 2|·r＋λcr ，故λ＝|PF 1|－|PF 2|2c ＝a c ＝11＋52＝5－12.17．(2019·某某崇明模拟)已知点F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2b2＝1的左、右焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，∠MF 1F 2＝30°.(1)求双曲线C 的方程；(2)过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P 1，P 2，求·的值．解 (1)设F 2，M 的坐标分别为(1＋b 2，0)，(1＋b 2，y 0)(y 0>0)，因为点M 在双曲线C 上，所以1＋b 2－y 20b2＝1，则y 0＝b 2，所以|MF 2|＝b 2.在Rt △MF 2F 1中，∠MF 1F 2＝30°，|MF 2|＝b 2， 所以|MF 1|＝2b 2.由双曲线的定义可知，|MF 1|－|MF 2|＝b 2＝2， 故双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1.(2)由条件可知，两条渐近线分别为l 1：2x －y ＝0，l 2：2x ＋y ＝0.设双曲线C 上的点P (x 0，y 0)，两条渐近线的夹角为θ，由题意知cos θ＝13.则点P 到两条渐近线的距离分别为 |PP 1|＝|2x 0－y 0|3，|PP 2|＝|2x 0＋y 0|3.因为P (x 0，y 0)在双曲线C ：x 2－y 22＝1上，所以2x 20－y 20＝2.所以·＝|2x 0－y 0|3·|2x 0＋y 0|3·cos θ＝|2x 20－y 20|3·13＝29.18．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y ＝x 且c ＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O 为圆心，c 为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A ，过A 作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．解 (1)∵双曲线的渐近线为y ＝±b ax ，∴a ＝b ， ∴c 2＝a 2＋b 2＝2a 2＝4，∴a 2＝b 2＝2， ∴双曲线方程为x 22－y 22＝1.(2)设点A 的坐标为(x 0，y 0)，∴直线AO 的斜率满足y 0x 0·(－3)＝－1， ∴x 0＝3y 0，①依题意，圆的方程为x 2＋y 2＝c 2，将①代入圆的方程，得3y 20＋y 20＝c 2，即y 0＝12c ，∴x 0＝32c ，∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32c ，c 2，将其代入双曲线方程，得34c 2a 2－14c 2b 2＝1，即34b 2c2－14a 2c 2＝a 2b 2.② 又a 2＋b 2＝c 2，∴将b 2＝c 2－a 2代入②式， 整理得34c 4－2a 2c 2＋a 4＝0，∴3⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 4－8⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋4＝0，∴(3e 2－2)(e 2－2)＝0. ∵e >1，∴e ＝2，∴双曲线的离心率为 2.19．(2019·某某模拟)已知点M (－2,0)，N (2,0)，动点P 满足条件|PM |－|PN |＝22，记动点P 的轨迹为W .(1)求W 的方程；(2)若A 和B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求·的最小值．解 (1)由|PM |－|PN |＝22知动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，半实轴长a ＝ 2.又焦距2c ＝4，所以半虚轴长b ＝c 2－a 2＝ 2. 所以W 的方程为x 22－y 22＝1(x ≥2)．(2)设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 当AB ⊥x 轴时，x 1＝x 2，y 1＝－y 2， 从而·＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 21－y 21＝2.当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠±1)，与W 的方程联立，消去y 得(1－k 2)x 2－2kmx －m 2－2＝0，则x 1＋x 2＝2km 1－k 2，x 1x 2＝m 2＋2k 2－1， 所以·＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝(1＋k 2)(m 2＋2)k 2－1＋2k 2m 21－k2＋m 2＝2k 2＋2k 2－1＝2＋4k 2－1. 又因为x 1x 2>0，所以k 2－1>0.所以·>2. 综上所述，当AB ⊥x 轴时，·取得最小值2.20．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)与双曲线C 交于不同的两点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线过点A (0，－1)，某某数m 的取值X 围．解 (1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由已知，得a ＝3，c ＝2.由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1. 故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0.∵直线与双曲线有两个不同的交点，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－3k 2≠0，Δ＝12(m 2＋1－3k 2)>0，可得m 2>3k 2－1且k 2≠13.①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 的中点为B (x 0，y 0)． 则x 1＋x 2＝6km 1－3k 2，x 0＝x 1＋x 22＝3km1－3k2，y 0＝kx 0＋m ＝m1－3k2.由题意，知AB ⊥MN ，∴k AB ＝m1－3k 2＋13km 1－3k2＝－1k(k ≠0，m ≠0)，整理得3k 2＝4m ＋1.②将②代入①，得m 2－4m >0，∴m <0或m >4. 又3k 2＝4m ＋1>0(k ≠0)，∴m >－14，又k 2≠13，∴m ≠0，∴m 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0∪(4，＋∞)．。

2018版高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.6 双曲线真题演练集训 理 新人教A 版1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)答案：A解析：由题意，得(m 2＋n )(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，即m 2＝1，所以－1<n <3.2．[2016·天津卷]已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b ＞0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1B.x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 答案：D解析：根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y ＝±b 2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b 2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b 2，y A ＝2b4＋b 2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b 4＋b 2＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1，故选D.3．[2016·新课标全国卷Ⅱ]已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1的左，右焦点，点M 在E上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2B.32C. 3 D ．2答案：A解析：设F 1(－c,0)，将x ＝－c 代入双曲线方程，得c 2a 2－y 2b 2＝1，所以y 2b 2＝c 2a 2－1＝b 2a2，所以y ＝±b 2a.因为sin ∠MF 2F 1＝13，所以tan ∠MF 2F 1＝|MF 1||F 1F 2|＝b 2a2c＝b 22ac ＝c 2－a 22ac ＝c 2a －a 2c ＝e 2－12e ＝24， 所以e 2－22e －1＝0，所以e ＝ 2.故选A. 4．[2016·浙江卷]已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1答案：A解析：由于m 2－1＝c 2，n 2＋1＝c 2，则m 2－n 2＝2，故m >n ，又(e 1e 2)2＝m 2－1m 2·n 2＋1n2＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n 2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1n 4＋2n 2>1，所以e 1e 2>1.故选A. 5．[2016·北京卷]双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a ＝________. 答案：2解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，由已知可得两条渐近线方程互相垂直，由双曲线的对称性可得ba＝1.又正方形OABC 的边长为2，所以c ＝22，所以a 2＋b 2＝c 2＝(22)2，解得a ＝2.6．[2016·山东卷]已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．答案：2解析： 如图，由题意不妨设|AB |＝3，则|BC |＝2.设AB ，CD 的中点分别为M ，N ，则在Rt △BMN 中，|MN |＝2c ＝2， 故|BN |＝|BM |2＋|MN |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝52. 由双曲线的定义可得2a ＝|BN |－|BM |＝52－32＝1，而2c ＝|MN |＝2，所以双曲线的离心率e ＝2c2a＝2.课外拓展阅读 求双曲线离心率的易错点[典例] [2016·天津模拟]已知双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn >0)的一条渐近线方程为y ＝±43x ，则该双曲线的离心率为________．[易错分析] (1)未考虑m ，n 的取值，易漏掉焦点在另一坐标轴上的情况； (2)易将ba弄错，从而导致失分． [解析] 当m >0，n >0时， 则有n m ＝43，所以n m ＝169， e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋169＝53；当m <0，n <0时， 则有m n ＝43，所以m n ＝169， e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋916＝54， 综上可知，该双曲线的离心率为53或54.[答案] 53或54温馨提醒(1)对于方程x 2m －y 2n＝1表示的曲线一定要视m ，n 的不同取值进行讨论，m ，n 的取值不同表示的曲线就不同．(2)对于双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn >0)的焦点位置不同，则ba的值就不一样，一定要注意区分．。

§9.6 双曲线考纲展示►1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它的简单几何性质．2．了解圆锥曲线的简单应用、了解双曲线的实际背景、了解双曲线在刻画现实世界或解决实际问题中的作用．3．理解数形结合的思想．考点1 双曲线的定义双曲线的定义平面内与两个定点F 1，F 2的________等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做________，两焦点间的距离叫做________．集合P ＝{M |||MF 1|－|MF 2||＝2a }，|F 1F 2|＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0. (1)当________时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当________时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当________时，P 点不存在．答案：距离的差的绝对值 双曲线的焦点 双曲线的焦距 (1)a <c (2)a ＝c (3)a >c(1)[教材习题改编]已知双曲线两个焦点分别为F 1(－5,0)，F 2(5,0)．双曲线上一点P 到F 1，F 2距离之差的绝对值等于6，则双曲线的标准方程为________．答案：x 29－y 216＝1解析：由已知可知，双曲线的焦点在x 轴上，且c ＝5，a ＝3，∴b ＝4，故所求方程为x 29－y 216＝1.(2)[教材习题改编]双曲线的方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为________． 答案：⎝⎛⎭⎪⎫62，0 解析：将双曲线方程化为标准方程为x 2－y 212＝1，∴a 2＝1，b 2＝12，∴c 2＝a 2＋b 2＝32，∴c ＝62，故右焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，0.双曲线的定义：关注定义中的条件．(1)动点P 到两定点A (0，－2)，B (0,2)的距离之差的绝对值等于4，则动点P 的轨迹是________．答案：两条射线解析：因为||PA |－|PB ||＝4＝|AB |，所以动点P 的轨迹是以A ，B 为端点，且没有交点的两条射线．(2)动点P 到点A (－4,0)的距离比到点B (4,0)的距离多6，则动点P 的轨迹是________． 答案：双曲线的右支，即x 29－y 27＝1(x ≥3)解析：依题意有|PA |－|PB |＝6<8＝|AB |，所以动点P 的轨迹是双曲线，但由|PA |－|PB |＝6知， 动点P 的轨迹是双曲线的右支，即x 29－y 27＝1(x ≥3)．[典题1] (1)已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．[答案] x 2－y 28＝1(x ≤－1)[解析] 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件， 得|MC 1|－|AC 1|＝|MA |， |MC 2|－|BC 2|＝|MB |， 因为|MA |＝|MB |，所以|MC 1|－|AC 1|＝|MC 2|－|BC 2|， 即|MC 2|－|MC 1|＝|BC 2|－|AC 1|＝2，所以点M 到两定点C 1，C 2的距离的差是常数且小于|C 1C 2|.根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)， 其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1)．(2)已知F 是双曲线x 24－y 212＝1的左焦点，A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|PA |的最小值为________．[答案] 9[解析] 如图所示，设双曲线的右焦点为E ，则E (4,0)．由双曲线的定义及标准方程得|PF |－|PE |＝4， 则|PF |＋|PA |＝4＋|PE |＋|PA |. 由图可得，当A ，P ，E 三点共线时， (|PE |＋|PA |)min ＝|AE |＝5， 从而|PF |＋|PA |的最小值为9.[点石成金] 双曲线定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；二是在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|，|PF 2|的联系．考点2 双曲线的标准方程与性质双曲线的标准方程和几何性质(1)[教材习题改编]若实数k满足0<k<9，则曲线x225－y29－k＝1与曲线x225－k－y29＝1的( )A．焦距相等B．实半轴长相等C．虚半轴长相等D．离心率相等答案：A解析：由0<k<9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x轴上，由25＋9－k＝25－k＋9，得两双曲线的焦距相等，故选A.(2)[教材习题改编]设双曲线x2a2－y29＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为________．答案：a解析：双曲线x 2a 2－y 29＝1的渐近线方程为3x ±ay ＝0，与已知方程比较可得a ＝2.双曲线的标准方程：关注实轴的位置．双曲线的渐近线方程为y ＝±3x ，虚轴长为23，则双曲线方程为________． 答案：x 2－y 23＝1或y 29－x 23＝1解析：当实轴在x 轴上时，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由已知可知b a＝3，b ＝3， 所以a 2＝1，即所求方程为x 2－y 23＝1.当实轴在y 轴上时，设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)．由已知可得b ＝3，a b＝3， 所以a 2＝9，即所求方程为y 29－x 23＝1.求双曲线的标准方程：待定系数法．对称轴为坐标轴，经过点P (3,2)，Q (－6,7)的双曲线是________． 答案：5x 233－y211＝1解析：由于不能确定双曲线的焦点在哪个轴上，故可设双曲线方程为Ax 2＋By 2＝1(AB ＜0)． ∵所求双曲线经过P (3,2)，Q (－6,7)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9A ＋4B ＝1，36A ＋49B ＝1，解得A ＝533，B ＝－111.故所求双曲线方程为5x 233－y211＝1.[考情聚焦] 双曲线的标准方程和几何性质是每年高考命题的热点，尤其是渐近线与离心率问题，考查的力度比较大．主要有以下几个命题角度： 角度一求双曲线的标准方程[典题2] (1)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( )A.x 24－y 212＝1 B.x 27－y 29＝1 C.x 28－y 28＝1 D.x 212－y 24＝1 [答案] A[解析] 由双曲线方程知右顶点为(a,0)， 设其中一条渐近线方程为y ＝b ax ， 可得点A 的坐标为(a ，b )．设右焦点为F (c,0)，由已知可知c ＝4，且|AF |＝4，即(c －a )2＋b 2＝16， 所以有(c －a )2＋b 2＝c 2，又c 2＝a 2＋b 2，则c ＝2a ，即a ＝c2＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝42－22＝12. 故双曲线的方程为x 24－y 212＝1，故选A.(2)[2017·辽宁沈阳四校联考]设双曲线与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为(15，4)，则此双曲线的标准方程是________．[答案]y 24－x 25＝1 [解析] 解法一：椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)，设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，根据定义知2a ＝|15－2＋－2－15－2＋＋2|＝4，故a ＝2.又b 2＝32－a 2＝5， 故所求双曲线的方程为y 24－x 25＝1.解法二：椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标是(0，±3)．设双曲线方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，则a 2＋b 2＝9，又点(15，4)在双曲线上，所以16a 2－15b2＝1，解得a 2＝4，b 2＝5.故所求双曲线的方程为y 24－x 25＝1.解法三：设双曲线的方程为x 227－λ＋y 236－λ＝1(27<λ<36)， 由于双曲线过点(15，4)，故1527－λ＋1636－λ＝1， 解得λ1＝32，λ2＝0(舍去)． 故所求双曲线方程为y 24－x 25＝1.[点石成金] 求双曲线标准方程的一般方法(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a ，b ，c 的方程，并求出a ，b ，c 的值．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a 的值，由定点位置确定c 的值． 角度二已知离心率求渐近线方程[典题3] 若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x [答案] B[解析] 在双曲线中离心率e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2 ＝3，可得b a＝2，故所求的双曲线的渐近线方程是y ＝±2x .角度三已知渐近线求离心率[典题4] [2017·苏北四市联考改编]已知双曲线的一条渐近线方程为2x －y ＝0，则该双曲线的离心率为________．[答案]5或52[解析] 根据双曲线的渐近线方程知b a ＝2或a b＝2.则e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝5或52. 角度四由离心率或渐近线方程求双曲线方程[典题5] 下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为y ＝±2x 的是( ) A ．x 2－y 24＝1B.x 24－y 2＝1 C.y 24－x 2＝1 D ．y 2－x 24＝1[答案] C[解析] 由双曲线焦点在y 轴上，排除选项A ，B ，选项C 中双曲线的渐近线方程为y ＝±2x ，故选C.角度五利用渐近线与已知直线位置关系求离心率范围[典题6] 已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1与直线y ＝2x 有交点，则双曲线离心率的取值范围为( )A ．(1，5)B ．(1， 5 ]C ．(5，＋∞)D ．[5，＋∞)[答案] C[解析] ∵双曲线的一条渐近线方程为y ＝b a x ，则由题意得b a＞2， ∴e ＝c a＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2 ＞1＋4＝ 5.即双曲线离心率的取值范围为(5，＋∞)．[点石成金] 解决有关渐近线与离心率关系问题的两个注意点(1)已知渐近线方程y ＝mx ，若焦点位置不明确要分|m |＝b a 或|m |＝a b讨论． (2)注意数形结合思想在求渐近线夹角、离心率范围中的应用．考点3 直线与双曲线的位置关系[典题7] 若双曲线E ：x 2a2－y 2＝1(a ＞0)的离心率等于2，直线y ＝kx －1与双曲线E 的右支交于A ，B 两点．(1)求k 的取值范围；(2)若|AB |＝63，点C 是双曲线上一点，且OC →＝m (OA →＋OB →)，求k ，m 的值．[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧c a＝2，a 2＝c 2－1，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，c 2＝2，故双曲线E 的方程为x 2－y 2＝1.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.①∵直线与双曲线右支交于A ，B 两点，∴⎩⎪⎨⎪⎧k >1，Δ＝k2－－k 2－，即⎩⎨⎧k >1，－2<k <2，∴1＜k ＜ 2.故k 的取值范围为(1，2)． (2)由①得x 1＋x 2＝2k k 2－1，x 1x 2＝2k 2－1， ∴|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2＋k2－k2k 2－2＝63，整理得28k 4－55k 2＋25＝0， ∴k 2＝57或k 2＝54.又1＜k ＜2，∴k ＝52， ∴x 1＋x 2＝45，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－2＝8.设C (x 3，y 3)，由OC →＝m (OA →＋OB →)，得(x 3，y 3)＝m (x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(45m,8m )． ∵点C 是双曲线上一点，∴80m 2－64m 2＝1，得m ＝±14.故k ＝52，m ＝±14. [点石成金] 研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程．当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定.已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，求双曲线E 的方程．解：设双曲线E 的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式作差，得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝－12b 2－15a 2＝4b25a2， 又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以将4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5. 所以双曲线E 的标准方程是x 24－y 25＝1.[方法技巧] 1.双曲线标准方程的求法(1)当已知双曲线的焦点不明确而又无法确定时，其标准方程可设为x 2m －y 2n＝1(mn >0)，这样可避免讨论和复杂的计算；也可设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，这种形式在解题时更简便；(2)当已知双曲线的渐近线方程bx ±ay ＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b 2x 2－a 2y 2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值；(3)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)，据其他条件确定λ的值．2．已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x 2a 2－y 2b 2＝0就是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线方程．3．双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．4．过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为2b2a.5．过双曲线焦点F 1的弦AB 与双曲线交在同支上，则AB 与另一个焦点F 2构成的△ABF 2的周长为4a ＋2|AB |.[易错防范] 1.在运用双曲线的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清是指整条双曲线还是双曲线的某一支．2．双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±b a x ，y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程是y ＝±a bx .3．直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．4．要牢记在双曲线中c 2＝a 2＋b 2，离心率e >1这两点是不同于椭圆的．真题演练集训1．[2016·新课标全国卷Ⅰ]已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)答案：A解析：由题意，得(m 2＋n )(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，即m 2＝1，所以－1<n <3.2．[2016·天津卷]已知双曲线x 24－y 2b2＝1(b ＞0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，D 四点，四边形ABCD 的面积为2b ，则双曲线的方程为( )A.x 24－3y 24＝1B.x 24－4y 23＝1C.x 24－y 24＝1 D.x 24－y 212＝1 答案：D解析：根据圆和双曲线的对称性，可知四边形ABCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为y ＝±b 2x ，圆的方程为x 2＋y 2＝4，不妨设交点A 在第一象限，由y ＝b 2x ，x 2＋y 2＝4得x A ＝44＋b 2，y A ＝2b4＋b 2，故四边形ABCD 的面积为4x A y A ＝32b 4＋b 2＝2b ，解得b 2＝12，故所求的双曲线方程为x 24－y 212＝1，故选D.3．[2016·新课标全国卷Ⅱ]已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1的左，右焦点，点M 在E上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2B.32C. 3 D ．2答案：A解析：设F 1(－c,0)，将x ＝－c 代入双曲线方程，得c 2a －y 2b ＝1，所以y 2b ＝c 2a －1＝b 2a ，所以y ＝±b 2a.因为sin ∠MF 2F 1＝13，所以tan ∠MF 2F 1＝|MF 1||F 1F 2|＝b 2a2c＝b 22ac ＝c 2－a 22ac ＝c 2a －a 2c ＝e 2－12e ＝24， 所以e 2－22e －1＝0，所以e ＝ 2.故选A. 4．[2016·浙江卷]已知椭圆C 1：x 2m 2＋y 2＝1(m >1)与双曲线C 2：x 2n 2－y 2＝1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则( )A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<1答案：A解析：由于m 2－1＝c 2，n 2＋1＝c 2，则m 2－n 2＝2，故m >n ，又(e 1e 2)2＝m 2－1m ·n 2＋1n＝n 2＋1n 2＋2·n 2＋1n 2＝n 4＋2n 2＋1n 4＋2n 2＝1＋1n 4＋2n 2>1，所以e 1e 2>1.故选A. 5．[2016·北京卷]双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，点B 为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a ＝________. 答案：2解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程为y ＝±bax ，由已知可得两条渐近线方程互相垂直，由双曲线的对称性可得ba＝1.又正方形OABC 的边长为2，所以c ＝22，所以a 2＋b 2＝c 2＝(22)2，解得a ＝2.6．[2016·山东卷]已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，若矩形ABCD 的四个顶点在E上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．答案：2解析： 如图，由题意不妨设|AB |＝3，则|BC |＝2.设AB ，CD 的中点分别为M ，N ，则在Rt △BMN 中，|MN |＝2c ＝2， 故|BN |＝|BM |2＋|MN |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋22＝52. 由双曲线的定义可得2a ＝|BN |－|BM |＝52－32＝1，而2c ＝|MN |＝2，所以双曲线的离心率e ＝2c2a＝2.课外拓展阅读 求双曲线离心率的易错点[典例] [2016·天津模拟]已知双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn >0)的一条渐近线方程为y ＝±43x ，则该双曲线的离心率为________．[易错分析] (1)未考虑m ，n 的取值，易漏掉焦点在另一坐标轴上的情况； (2)易将ba弄错，从而导致失分． [解析] 当m >0，n >0时， 则有n m ＝43，所以n m ＝169， e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝1＋169＝53；当m <0，n <0时， 则有m n ＝43，所以m n ＝169， e ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2＝1＋916＝54， 综上可知，该双曲线的离心率为53或54.[答案] 53或54温馨提醒(1)对于方程x 2m －y 2n＝1表示的曲线一定要视m ，n 的不同取值进行讨论，m ，n 的取值不同表示的曲线就不同．(2)对于双曲线x 2m －y 2n ＝1(mn >0)的焦点位置不同，则ba的值就不一样，一定要注意区分．提醒 完成课时跟踪检测(五十二)。

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理新人教版基础巩固题组(建议用时:40分钟)一、选择题1。

（2017·郑州模拟)设双曲线错误!－错误!＝1(a＞0,b＞0)的虚轴长为2，焦距为2错误!，则双曲线的渐近线方程为（）A.y＝±错误!x B。

y＝±错误!xC.y＝±2xD.y＝±2x解析因为2b＝2，所以b＝1,因为2c＝2错误!，所以c＝错误!，所以a＝错误!＝错误!，所以双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x＝±错误!x，故选B。

答案B2.（2015·广东卷）已知双曲线C:错误!－错误!＝1的离心率e＝错误!，且其右焦点为F2(5，0），则双曲线C的方程为( )A.错误!－错误!＝1B.错误!－错误!＝1C.错误!－错误!＝1D.错误!－错误!＝1解析因为所求双曲线的右焦点为F2（5，0)且离心率为e＝错误!＝错误!，所以c＝5，a＝4,b2＝c2－a2＝9，所以所求双曲线方程为错误!－错误!＝1,故选C.答案C3。

（2017·山西省四校联考）已知双曲线C：错误!－错误!＝1(a＞0，b＞0)，右焦点F到渐近线的距离为2，点F到原点的距离为3，则双曲线C的离心率e为( ）A。

错误! B.错误! C.错误!D。

错误!解析∵右焦点F到渐近线的距离为2，∴F（c,0）到y＝bax的距离为2，即错误!＝2，又b＞0，c＞0，a2＋b2＝c2，∴错误!＝b＝2,又∵点F到原点的距离为3，∴c＝3，∴a＝错误!＝错误!，∴离心率e＝错误!＝错误!＝错误!.答案B4。

第九章平面解析几何 9.6 双曲线教师用书理苏教版1.双曲线定义平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F1，F2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.集合P＝{M||MF1－MF2|＝2a}，F1F2＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.(1)当2a<F1F2时，P点的轨迹是双曲线；(2)当2a＝F1F2时，P点的轨迹是两条射线；(3)当2a>F1F2时，P点不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质【知识拓展】巧设双曲线方程(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0).(2)过已知两个点的双曲线方程可设为x 2m ＋y 2n＝1(mn <0).【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( × )(2)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线.( × )(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn＝0.( √ )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ )(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线).( √ )1.(教材改编)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为________. 答案5解析 由题意得b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2.∴e 2＝c 2a2＝5，∴e ＝ 5.2.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，AB ＝43，则C 的实轴长为________.答案 4解析 由题设C ：x 2a 2－y 2a2＝1.∵抛物线y 2＝16x 的准线为x ＝－4，联立x 2a 2－y 2a2＝1和x ＝－4，得A (－4，16－a 2)，B (－4，－16－a 2)，∴AB ＝216－a 2＝43， ∴a ＝2，∴2a ＝4.∴C 的实轴长为4.3.(2016·无锡一模)已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，那么双曲线的离心率为________. 答案103解析 根据题意，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则b a ＝13，所以ca＝1＋b a2＝103，即双曲线的离心率为103. 4.(2016·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 23＝1的焦距是________.答案 210解析 由已知，a 2＝7，b 2＝3，则c 2＝7＋3＝10，故焦距为2c ＝210. 5.双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于________.答案255解析 双曲线的一个顶点坐标为(2,0)， 一条渐近线方程是y ＝12x ，即x －2y ＝0，则顶点到渐近线的距离d ＝|2－0|5＝255.题型一 双曲线的定义及标准方程 命题点1 利用定义求轨迹方程例1 已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________________. 答案 x 2－y 28＝1(x ≤－1)解析 如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件， 得MC 1－AC 1＝MA ，MC 2－BC 2＝MB ，因为MA ＝MB ， 所以MC 1－AC 1＝MC 2－BC 2，即MC 2－MC 1＝BC 2－AC 1＝2，所以点M 到两定点C 1、C 2的距离的差是常数且小于C 1C 2＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)， 其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1).命题点2 利用待定系数法求双曲线方程 例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦距为26，且经过点M (0,12)；(3)经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7). 解 (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0). 由题意知，2b ＝12，e ＝c a ＝54.∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)∵双曲线经过点M (0,12)，∴M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12. 又2c ＝26，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25. ∴双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1.(3)设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0).∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.命题点3 利用定义解决焦点三角形问题例3 已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左，右焦点，点P 在C 上，PF 1＝2PF 2，则cos∠F 1PF 2＝________. 答案 34解析 ∵由双曲线的定义有PF 1－PF 2 ＝PF 2＝2a ＝22， ∴PF 1＝2PF 2＝42，则cos∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝22＋22－422×42×22＝34.引申探究1.本例中，若将条件“PF 1＝2PF 2”改为“∠F 1PF 2＝60°”，则△F 1PF 2的面积是多少？ 解 不妨设点P 在双曲线的右支上， 则PF 1－PF 2＝2a ＝22， 在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝12，所以PF 1·PF 2＝8， 所以12F PF S △＝12PF 1·PF 2·sin 60°＝2 3.2.本例中，若将条件“PF 1＝2PF 2”改为“PF 1→·PF 2→＝0”，则△F 1PF 2的面积是多少？ 解 不妨设点P 在双曲线的右支上， 则PF 1－PF 2＝2a ＝22，由于PF 1→·PF 2→＝0，所以PF 1→⊥PF 2→， 所以在△F 1PF 2中，有PF 21＋PF 22＝F 1F 22， 即PF 21＋PF 22＝16， 所以PF 1·PF 2＝4， 所以12F PF S △＝12PF 1·PF 2＝2.思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程.(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF 1－PF 2|＝2a ，运用平方的方法，建立与PF 1·PF 2的联系.(3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值，如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可.(1)已知F 1，F 2为双曲线x 25－y 24＝1的左，右焦点，P (3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则AP ＋AF 2的最小值为__________.(2)设F 1，F 2分别为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，双曲线上存在一点P 使得PF 1＋PF 2＝3b ，PF 1·PF 2＝94ab ，则该双曲线的离心率为________.答案 (1)37－2 5 (2)53解析 (1)由题意知，AP ＋AF 2＝AP ＋AF 1－2a ，要求AP ＋AF 2的最小值，只需求AP ＋AF 1的最小值，当A ，P ，F 1三点共线时，取得最小值， 则AP ＋AF 1＝PF 1＝[3－－2＋－2＝37，∴AP ＋AF 2的最小值为AP ＋AF 1－2a ＝37－2 5.(2)不妨设P 为双曲线右支上一点，PF 1＝r 1，PF 2＝r 2.根据双曲线的定义，得r 1－r 2＝2a ， 又r 1＋r 2＝3b ，故r 1＝3b ＋2a 2，r 2＝3b －2a2.又r 1·r 2＝94ab ，所以3b ＋2a 2·3b －2a 2＝94ab ，解得b a ＝43(负值舍去)，故e ＝ca ＝a 2＋b 2a 2＝b a2＋1432＋1＝53.题型二 双曲线的几何性质例4 (1)(2016·盐城三模)若圆x 2＋y 2＝r 2过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的右焦点F ，且圆与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为A ，B ，当四边形OAFB 为菱形时，双曲线的离心率为________.(2)(2015·山东)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________. 答案 (1)2 (2)32解析 (1)若四边形OAFB 为菱形，且点A 在圆x 2＋y 2＝r 2上，则点A 坐标为(c 2，32c )，此时r ＝c .又点A 在渐近线上，所以32c ＝b a ·c 2，即ba＝3，所以e ＝ 1＋ba2＝2.(2)由题意，不妨设直线OA 的方程为y ＝b a x ，直线OB 的方程为y ＝－b ax .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x 2＝2py ，得x 2＝2p ·bax ，∴x ＝2pb a，y ＝2pb 2a2，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2pb a ，2pb 2a 2.设抛物线C 2的焦点为F ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，∴k AF ＝2pb2a 2－p22pba.∵△OAB 的垂心为F ，∴AF ⊥OB ，∴k AF ·k OB ＝－1， 即2pb2a 2－p22pb a·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝－1，∴b 2a 2＝54.设C 1的离心率为e ，则e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋54＝94.∴e ＝32.思维升华 双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±b a满足关系式e 2＝1＋k 2.(2016·全国甲卷改编)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1的左，右焦点，点M在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为________.答案2解析 离心率e ＝F 1F 2MF 2－MF 1，由正弦定理得e ＝F 1F 2MF 2－MF 1＝sin∠F 1MF 2sin∠MF 1F 2－sin∠MF 2F 1＝2231－13＝ 2.题型三 直线与双曲线的综合问题例5 (2016·苏州模拟)已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左，右焦点分别是C 1的左，右顶点，而C 2的左，右顶点分别是C 1的左，右焦点. (1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围.解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，则a 2＝4－1＝3，c 2＝4， 再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1. 故C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2有两个不同的交点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝－62k2＋－3k2＝－k2，∴k 2≠13且k 2<1.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k 1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2.∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2 ＝3k 2＋73k 2－1. 又∵OA →·OB →>2，得x 1x 2＋y 1y 2>2， ∴3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0， 解得13<k 2<3，②由①②得13<k 2<1.故k 的取值范围为(－1，－33)∪(33，1).思维升华 (1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程.当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定. (2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 24－y 23＝1.设过点M (0,1)的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点．若AM →＝2MB →，则直线l 的斜率为________． 答案 ±12解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 214－y 213＝1，x 224－y 223＝1. 又AM →＝2MB →，AM →＝(－x 1,1－y 1)，MB →＝(x 2，y 2－1)．所以⎩⎪⎨⎪⎧－x 1＝2x 2，1－y 1＝2y 2－2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2x 2，y 1＝3－2y 2，代入双曲线方程联立解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝0，所以A (4,3)，B (－2,0)或A (－4,3)，B (2,0)，故k ＝3－04＋2＝12或k ＝3－0－4－2＝－12，即直线l 的斜率为±12.10.直线与圆锥曲线的交点典例 已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点？ 错解展示现场纠错解 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)， 若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意. 设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)， 即y ＝kx ＋1－k .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0(2－k 2≠0).①∴x 0＝x 1＋x 22＝k－k2－k2. 由题意，得k－k2－k2＝1，解得k ＝2. 当k ＝2时，方程①可化为2x 2－4x ＋3＝0. Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解.∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点. 纠错心得 (1)“点差法”解决直线与圆锥曲线的交点问题，要考虑变形的条件. (2)“判别式Δ≥0”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的通用方法.1.(2016·泰州联考)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为10，点P (2,1)在C 的一条渐近线上，则C 的方程为________________. 答案x 220－y 25＝1 解析 依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝25，1＝ba×2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝20，b 2＝5，∴双曲线C 的方程为x 220－y 25＝1.2.(2016·全国乙卷改编)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是________. 答案 (－1,3)解析 ∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1，∴－1<n <3.3.(2016·盐城模拟)已知双曲线x 216－y 29＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与该双曲线的右支交于A ，B 两点，若AB ＝5，则△ABF 1的周长为________. 答案 26解析 由双曲线x 216－y 29＝1，知a ＝4.由双曲线定义AF 1－AF 2＝BF 1－BF 2＝2a ＝8，∴AF 1＋BF 1＝AF 2＋BF 2＋16＝21，∴△ABF 1的周长为AF 1＋BF 1＋AB ＝21＋5＝26.4.(2016·北京)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________，b ＝________. 答案 1 2解析 由2x ＋y ＝0，得y ＝－2x ，所以b a＝2. 又c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝1，b ＝2.5.已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是____________. 答案 (1,2)解析 由题意易知点F 的坐标为(－c,0)，A (－c ，b 2a )，B (－c ，－b 2a)，E (a,0)，∵△ABE 是锐角三角形，∴EA →·EB →>0，即EA →·EB →＝(－c －a ，b 2a)·(－c －a ，－b 2a)>0，整理得3e 2＋2e >e 4，∴e (e 3－3e －3＋1)<0， ∴e (e ＋1)2(e －2)<0，解得e ∈(0,2)，又e >1，∴e ∈(1,2).6.(2016·浙江)设双曲线x 2－y 23＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则PF 1＋PF 2的取值范围是________. 答案 (27，8)解析 如图，由已知可得a ＝1，b ＝3，c ＝2，从而F 1F 2＝4，由对称性不妨设P 在右支上，设PF 2＝m ，则PF 1＝m ＋2a ＝m ＋2， 由于△PF 1F 2为锐角三角形，结合实际意义需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ＋2＜m 2＋42，42＜m ＋2＋m 2，解得－1＋7＜m ＜3，又PF 1＋PF 2＝2m ＋2， ∴27＜2m ＋2＜8.7.(2016·南京三模)设F 是双曲线的一个焦点，点P 在双曲线上，且线段PF 的中点恰为双曲线虚轴的一个端点，则双曲线的离心率为________. 答案5解析 不妨设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)，设F (－c,0)，线段PF 的中点为(0，b )，则P (c,2b ).由点P 在双曲线上，得c 2a2－4＝1，所以e ＝ 5.8.设双曲线x 24－y 25＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线上位于第一象限内的一点，且△PF 1F 2的面积为6，则点P 的坐标为____________. 答案 (655，2)解析 由双曲线x 24－y 25＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，所以F 1F 2＝6，设P (x ，y ) (x >0，y >0)，因为△PF 1F 2的面积为6，所以12F 1F 2·y ＝12×6×y ＝6，解得y ＝2，将y ＝2代入x 24－y25＝1得x＝655.所以P (655，2). 9.已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点，若在双曲线的右支上存在一点M ，使得(OM →＋OF 2→)·F 2M →＝0(其中O 为坐标原点)，且|MF 1→|＝3|MF 2→|，则双曲线的离心率为______. 答案3＋1解析 ∵F 2M →＝OM →－OF 2→，∴(OM →＋OF 2→)·F 2M →＝(OM →＋OF 2→)·(OM →－OF 2→)＝0， 即OM →2－OF 2→2＝0，∴|OF 2→|＝|OM →|＝c ，在△MF 1F 2中，边F 1F 2上的中线等于F 1F 2的一半，可得MF 1→⊥MF 2→. ∵|MF 1→|＝3|MF 2→|，∴可设|MF 2→|＝λ(λ>0)，|MF 1→|＝3λ，得(3λ)2＋λ2＝4c 2，解得λ＝c ， ∴|MF 1→|＝3c ，|MF 2→|＝c ，∴根据双曲线定义得2a ＝|MF 1→|－|MF 2→|＝(3－1)c ， ∴双曲线的离心率e ＝2c2a＝3＋1.10.(2015·课标全国Ⅰ改编)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是______________. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 解析 由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3， ∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0). ∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0，即x 20－3＋y 20<0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线上， ∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20， ∴2＋2y 20－3＋y 20<0，∴－33<y 0<33. 11.已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且PF 1＝4PF 2，则此双曲线的离心率e 的最大值为________.答案 53解析 由定义，知PF 1－PF 2＝2a . 又PF 1＝4PF 2，∴PF 1＝83a ，PF 2＝23a .在△PF 1F 2中，由余弦定理，得 cos∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2.要求e 的最大值，即求cos∠F 1PF 2的最小值，∴当cos∠F 1PF 2＝－1时，得e ＝53，即e 的最大值为53.12.(2015·课标全国Ⅰ)已知F 是双曲线C ：x 2－y 28＝1的右焦点，P 是C 的左支上一点，A (0,66).当△APF 的周长最小时，该三角形的面积为________.答案 12 6解析 设左焦点为F 1，PF －PF 1＝2a ＝2，∴PF ＝2＋PF 1，△APF 的周长为AF ＋AP ＋PF ＝AF ＋AP ＋2＋PF 1，△APF 周长最小即为AP ＋PF 1最小，当A 、P 、F 1三点在一条直线时最小，过AF 1的直线方程为x －3＋y66＝1，与x 2－y 28＝1联立，解得P 点坐标为(－2,26)，此时S △APF ＝S △AF 1F －S △F 1PF ＝12 6.13.(2016·江西丰城中学模拟)一条斜率为1的直线l 与离心率为3的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)交于P ，Q 两点，直线l 与y 轴交于R 点，且OP →·OQ →＝－3，PR →＝3RQ →，求直线和双曲线的方程.解 ∵e ＝3，∴b 2＝2a 2， ∴双曲线方程可化为2x 2－y 2＝2a 2. 设直线l 的方程为y ＝x ＋m .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，2x 2－y 2＝2a 2，得x 2－2mx －m 2－2a 2＝0，∴Δ＝4m 2＋4(m 2＋2a 2)>0， ∴直线l 一定与双曲线相交. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2m ，x 1x 2＝－m 2－2a 2.∵PR →＝3RQ →，x R ＝x 1＋3x 24＝0，∴x 1＝－3x 2，∴x 2＝－m ，－3x 22＝－m 2－2a 2. 消去x 2，得m 2＝a 2.OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(x 1＋m )(x 2＋m ) ＝2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋m 2＝m 2－4a 2＝－3， ∴m ＝±1，a 2＝1，b 2＝2.直线l 的方程为y ＝x ±1，双曲线的方程为x 2－y 22＝1.*14.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点是F 2(2,0)，且b ＝3a .(1)求双曲线C 的方程；(2)设经过焦点F 2的直线l 的一个法向量为(m,1)，当直线l 与双曲线C 的右支交于不同的两点A ，B 时，求实数m 的取值范围，并证明AB 中点M 在曲线3(x －1)2－y 2＝3上； (3)设(2)中直线l 与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，问是否存在实数m ，使得∠AOB 为锐角？若存在，请求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由. 解 (1)由已知，得c ＝2，c 2＝a 2＋b 2，b ＝3a ， ∴4＝a 2＋3a 2，∴a 2＝1，b 2＝3， ∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.(2)由题意，得直线l ：m (x －2)＋y ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－mx ＋2m ，x 2－y 23＝1，得(3－m 2)x 2＋4m 2x －4m 2－3＝0. 由Δ>0，得4m 4＋(3－m 2)(4m 2＋3)>0， 12m 2＋9－3m 2>0，即m 2＋1>0恒成立. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4m 2m 2－3，x 1x 2＝4m 2＋3m 2－3.又⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2>0，x 1·x 2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧4m2m 2－3>0，4m 2＋3m 2－3>0，∴m 2>3，∴m ∈(－∞，－3)∪(3，＋∞). ∵x 1＋x 22＝2m 2m 2－3，y 1＋y 22＝－2m 3m 2－3＋2m＝－6mm 2－3， ∴AB 的中点M (2m 2m 2－3，－6mm 2－3)，∵3(2m 2m 2－3－1)2－36m 2m 2－2 ＝3×m 2＋2m 2－2－36m 2m 2－2＝3×m 4＋6m 2＋9－12m 2m 2－2＝3，∴M 在曲线3(x －1)2－y 2＝3上. (3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，假设存在实数m ，使∠AOB 为锐角，则OA →·OB →>0， ∴x 1x 2＋y 1y 2>0.∵y 1y 2＝(－mx 1＋2m )(－mx 2＋2m ) ＝m 2x 1x 2－2m 2(x 1＋x 2)＋4m 2， ∴(1＋m 2)x 1x 2－2m 2(x 1＋x 2)＋4m 2>0， ∴(1＋m 2)(4m 2＋3)－8m 4＋4m 2(m 2－3)>0，即7m 2＋3－12m 2>0，∴m 2<35，与m 2>3矛盾，∴不存在实数m ，使得∠AOB 为锐角.。

9-61．若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1|＝3，则|PF 2|等于( )A ．11B ．9C ．5D ．3【解析】 由双曲线定义||PF 2|－|PF 1||＝2a ， ∵|PF 1|＝3，∴P 在左支上， ∵a ＝3，∴|PF 2|－|PF 1|＝6， ∴|PF 2|＝9，故选B. 【答案】 B2．(2018·郑州模拟)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±12xB ．y ＝±22x C ．y ＝±2xD ．y ＝±2x【解析】 因为2b ＝2，所以b ＝1.因为2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x ，故选B.【答案】 B3．(2018·银川模拟)已知双曲线x 29－y 2m ＝1(m >0)的一个焦点在圆x 2＋y 2－4x －5＝0上，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±34xB ．y ＝±43xC ．y ＝±53xD ．y ＝±324x【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x 2＋y 2－4x －5＝0，得x 2－4x －5＝0，解得x ＝5或x ＝－1，又a ＝3，故c ＝5， 所以b ＝4，双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，故选B. 【答案】 B4．(2017·全国Ⅱ卷)若双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线被圆(x －2)2＋y 2＝4所截得的弦长为2，则C 的离心率为( )A ．2 B. 3 C. 2D.233【解析】 设双曲线的一条渐近线方程为y ＝ba x ，圆的圆心为(2，0)，半径为2，由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为22－12＝ 3. 根据点到直线的距离公式得|2b |a 2＋b 2＝3，解得b 2＝3a 2， 所以C 的离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝ 1＋b 2a2＝2. 故选A. 【答案】 A5．(2017·全国Ⅰ卷)已知F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1，3)，则△APF 的面积为( )A.13B.12C.23D.32【解析】 因为F 是双曲线C ：x 2－y 23＝1的右焦点，所以F (2，0)．因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )． 因为P 是C 上一点，所以4－y 2P3＝1，解得y P ＝±3，所以P (2，±3)，|PF |＝3.又因为A (1，3)，所以点A 到直线PF 的距离为1， 所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32.故选D. 【答案】 D6．(2017·全国Ⅰ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右顶点为A ，以A 为圆心，b为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ，N 两点．若∠MAN ＝60°，则C 的离心率为________．【解析】 如图，由题意知点A (a ，0)，双曲线的一条渐近线l 的方程为y ＝ba x ，即bx －ay ＝0，∴点A 到l 的距离d ＝aba 2＋b 2. 又∠MAN ＝60°，MA ＝NA ＝b ，∴△MAN 为等边三角形， ∴d ＝32MA ＝32b ，即ab a 2＋b2＝32b ，∴a 2＝3b 2， ∴e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝233. 【答案】2337．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 23＝1的焦距是________．【解析】 由已知，得a 2＝7，b 2＝3，则c 2＝7＋3＝10，故焦距为2c ＝210. 【答案】 2108．已知双曲线的一个焦点F (0，5)，它的渐近线方程为y ＝±2x ，则该双曲线的标准方程为________．【解析】 设双曲线的标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝5，a b＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝5，a ＝2b ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，所以双曲线的标准方程为y 24－x 2＝1.【答案】 y 24－x 2＝19．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且|PF 1|＝4|PF 2|，则此双曲线的离心率e 的最大值为________．【解析】 由定义，知|PF 1|－|PF 2|＝2a . 又|PF 1|＝4|PF 2|，∴|PF 1|＝83a ，|PF 2|＝23a .在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2.要求e 的最大值，即求cos ∠F 1PF 2的最小值， ∴当cos ∠F 1PF 2＝－1时，得e ＝53，即e 的最大值为53.【答案】 5310．设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O 且所成的角为60° 的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1、B 1和A 2、B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是________．【解析】 由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x 轴(或y 轴)对称．又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围大于30° 且小于等于60° ，即tan 30° <b a ≤tan 60° ，∴13<b 2a 2≤3.又e 2＝⎝⎛⎭⎫c a 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2，∴43<e 2≤4， ∴233<e ≤2. 【答案】 ⎝⎛⎦⎤233，211．直线l ：y ＝3(x －2)和双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)交于A ，B 两点，且|AB |＝3，又l 关于直线l 1：y ＝bax 对称的直线l 2与x 轴平行．(1)求双曲线C 的离心率e ； (2)求双曲线C 的方程．【解析】 (1)设双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1过第一、三象限的渐近线l 1：x a －yb ＝0的倾斜角为α.因为l 和l 2关于l 1对称，记它们的交点为P ，l 与x 轴的交点为M . 而l 2与x 轴平行，记l 2与y 轴的交点为Q . 依题意有∠QPO ＝∠POM ＝∠OPM ＝α.又l ：y ＝3(x －2)的倾斜角为60° ，则2α＝60° ，α＝30° ， 所以tan 30° ＝b a ＝33.于是e 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2＝1＋13＝43，所以e ＝233.(2)由于b a ＝33，于是可设双曲线方程为x 23k 2－y 2k 2＝1(k ≠0)，即x 2－3y 2＝3k 2.将y ＝3(x －2)代入x 2－3y 2＝3k 2中， 得8x 2－36x ＋36＋3k 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝92，x 1x 2＝36＋3k 28，所以|AB |＝1＋3|x 1－x 2|＝2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2×362－4×8×（36＋3k 2）8＝9－6k 2＝3，解得k 2＝1.故所求双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.12．(2018·江南十校联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，离心率为2，且过点P (4，－10)．(1)求双曲线的方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→＝0. 【解析】 (1)∵e ＝2，∴可设双曲线的方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线的方程为x 2－y 2＝6.(2)证明 方法一 由(1)可知，a ＝b ＝6， ∴c ＝23，∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，方法二 由(1)可知，a ＝b ＝6，∴c ＝23， ∴F 1(－23，0)，F 2(23，0)，MF 1→＝(－23－3，－m )，MF 2→＝(23－3，－m )， ∴MF 1→·MF 2→＝(3＋23)×(3－23)＋m 2＝－3＋m 2. ∵点M (3，0)在双曲线上，∴9－m 2＝6，即m 2－3＝0，∴MF 1→·MF 2→＝0.。

考点2 双曲线的几何性质（2018·浙江卷）双曲线x 23－y 2＝1的焦点坐标是（ ）A ．（－√2，0），（√2，0）B ．（－2,0），（2,0）C ．（0，－√2），（0，√2）D ．（0，－2），（0,2） 【解析】∵双曲线方程为x 23－y 2＝1， ∴a 2＝3，b 2＝1，且双曲线的焦点在x 轴上，∴c ＝√x 2+x 2＝√3+1＝2，即得该双曲线的焦点坐标为（－2,0），（2,0）．故选B ．【答案】B（2018·江苏卷）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x 2x 2－x 2x 2＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点F （c,0）到一条渐近线的距离为√32c ，则其离心率的值为________．【解析】双曲线的渐近线方程为bx ±ay ＝0，焦点F （c,0）到渐近线的距离d ＝√2+x 2＝B ．∴b ＝√32c ， ∴a ＝√x 2−x 2＝12c ，∴e ＝x x ＝2. 【答案】2（2018·全国卷Ⅲ（文））已知双曲线C ：x 2x 2－x 2x 2＝1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√2，则点（4,0）到C 的渐近线的距离为（ ）A ．√2B ．2C ．3√22D ．2√2【解析】由题意，得e ＝x x ＝√2，c 2＝a 2＋b 2，得a 2＝b 2.又因为a ＞0，b ＞0，所以a ＝b ，渐近线方程为x ±y ＝0，所以点（4,0）到渐近线的距离为√2＝2√2.【答案】D（2018·全国Ⅱ卷（文））双曲线x 2x 2－x 2x 2＝1（a ＞0，b ＞0）的离心率为√3，则其渐近线方程为（ ） A ．y ＝±√2xB ．y ＝±√3xC ．y ＝±√22xD ．y ＝±√32x 【解析】双曲线x 2x 2－x 2x 2＝1的渐近线方程为bx ±ay ＝0. 又∵离心率x x ＝√x 2+x 2x ＝√3， ∴a 2＋b 2＝3a 2，∴b ＝√2a （a ＞0，b ＞0）． ∴渐近线方程为√2ax ±ay ＝0，即y ＝±√2x .【答案】A（2018·北京卷（文））若双曲线x 2x 2－x 24＝1（a ＞0）的离心率为√52，则a ＝________.【解析】由e ＝x x ＝√x 2+x 2x 2知，x 2+4x 2＝(√52)2＝54， ∴a 2＝16.又∵a ＞0，∴a ＝4.【答案】4。