中国石油大学(华东)概率论2011-2012期末考试卷问题详解及评分实用标准化

A卷2010—2011学年第一学期《高等数学（2-1）》期末试卷专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2011年1月4日1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共四道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废； 4. 本试卷正文共6页。

一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分） 1．已知,1)(0-='x f 则=---→)()2(lim000x x f x x f xx 1 .2．定积分=-++⎰-1122]13cos 3tan sin [dx x x x x 2π .3．函数xy xe -=的图形的拐点是 )2,2(2-e .4. 设,arcsin )(C x dx x xf +=⎰则=⎰dx x f )(1 C x +--232)1(31.5．曲线)0()1ln(>+=x x e x y 的渐近线方程为e x y 1+= .二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）1．设)(x f 为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数x x f x g )()(=( D ) .A. 在0=x 处左极限不存在;B. 在0=x 处右极限不存在;C. 有跳跃间断点0=x ;D. 有可去间断点0=x .2．设,)(,sin )(43sin 02x x x g dt t x f x+==⎰当0→x 时，)(x f 是)(x g 的( B ).A. 等价无穷小;B. 同阶但非等价无穷小;C. 高阶无穷小;D. 低阶无穷小. 3. 下列广义积分发散的是( A ).A.⎰+∞+021dx x x; B.⎰--11211dxx;C.⎰-b adx x b 32)(1; D.⎰∞+edx x x 2ln 1.4.方程x x y y cos =+''的待定特解的形式可设为=*y ( B ). A.x b ax cos )(+; B. x d cx x x b ax x sin )(cos )(+++;C. x b ax x cos )(+;D. x d cx x b ax sin )(cos )(+++.三．计算题（共8小题，每小题6分，共计48分）1． 求极限)2(1lim22n n n n n +++∞→ .解：若将区间[0,1]等分，则每个小区间长n x 1=∆，再将n n n 1112⋅=中的一个因子n 1分配到每一项，从而可以将所求极限转化为定积分的表达式。

《概率论与数理统计》2014年秋学期在线作业（一）试卷总分：100 测试时间：-- 试卷得分：100单选题包括本科在内的各科复习资料及详细解析，可以联系屏幕右上的“文档贡献者”一、单选题（共10 道试题，共100 分。

）得分：100V 1.题目及选项如下：A.B.C.D.满分：10 分得分：102.题目如下：A. 1/2B. 1/4C. 3/4D. 3/16满分：10 分得分：103.题目及选项如下：A.B.C.D.满分：10 分得分：104. 一批产品共有10个正品2个次品，从中任取两个，则两个都是次品的概率为( )。

A. 1/45B. 1/50C. 1/66D. 1/72满分：10 分得分：105.题目如下：A. 0.4B. 0.6C. 0.28D. 0.72满分：10 分得分：10题目及选项如下：A.B.C.D.满分：10 分得分：107.题目及选项如下：A.B.C.D.满分：10 分得分：108.题目如下：A. 3B. 1/3C. 2D. 1/2满分：10 分得分：109. 甲、乙两人独立的对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6 和0.5，现已知目标被命中，则它是乙射中的概率是（）。

A. 3/5B. 5/11C. 5/8D. 6/11满分：10 分得分：1010.题目及选项如下：A.B.C.D.满分：10 分得分：10《概率论与数理统计》2014年秋学期在线作业（二）试卷总分：100 测试时间：-- 试卷得分：100单选题一、单选题（共10 道试题，共100 分。

）得分：100V 1.题目如下：A. 1/2B. 1C. 2D. 4满分：10 分得分：102.题目如下：A. 保持不变B. 单调减少C. 单调增加D. 增减不定满分：10 分得分：103.题目及选项如下：A.B.C.D.满分：10 分得分：104.题目及选项如下：A.B.C.D.满分：10 分得分：105. 已知某种型号的雷管在一定刺激下发火率为1/5，今独立重复地作刺激试验，直到发火为止，则消耗的雷管数为3的概率为（）。

《概率论与数理统计》课程综合复习资料一、单选题1.设某人进行射击，每次击中的概率为1/3,今独立重复射击10次，则恰好击中3次的概率为()。

a∙ Φ3Φ7B. ⅛φ3×(∣)7C∙ c ioψ7×(∣)3d∙ ⅛3答案：B2.设X∣, X2, . X〃为来自总体X的一个样本，区为样本均值，EX未知，则总体方差OX的无偏估计量为()。

A.--∑(X∕-X)2“Ti=I1n _ o8. 1 X(X z-X)2 n i=∖1 «0C∙ -∑(X，•一EX)1 〃oD∙ --∑(X i-EX)2〃-答案：A3.设X” X2,…，X〃为来自总体N(〃，/)的一个样本，区为样本均值，已知，记S12=-∑(X z-X)2, 5^=1 X(X z-X)2,则服从自由度为〃-1的f分布统计量是()。

〃一IT n i=∖MT=Sl/3S2 / 4nS) ∕√n答案：D4.设总体X〜/HO),O为未知参数，X1, X2,. -, X“为*的一个样本,0(X1, X2,--,.X n), 0(X1, X2,∙∙∙, X ZJ)为两个统计量,包力为。

的置信度为的置信区间, 则应有()。

A.P{Θ <Θ} = aB.P{Θ<Θ} = ∖-aC.P[Θ<Θ<Θ] = aD.P[Θ<Θ<Θ} = ∖-a答案：D5.某人射击中靶的概率为3/5,如果射击直到中靶为止，则射击次数为3的概率()。

A. ⅛36,设X和Y均服从正态分布X〜N(μ工),Y ~ N(μ32),记P] = P{X <μ-2], p2=P{Y≥μ + 3}f则OoA.对任何实数〃都有p∣ >〃2B.对任何实数〃都有p∣ <〃2C.仅对〃的个别值有Pl =p2D.对任何实数〃都有p∣二〃2答案：D7.设A和B为任意两个事件，且Au3, P(B)>0,则必有()。

A.P(A)<P(A∖B)B.P(A)NP(AIB)C.P(A)>P(A∖B)D.P(A)≤P(A∖B)答案：D8.已知事件48相互独立，P(B) >0,则下列说法不正确的是()。

A卷2011—2012学年第二学期《高等数学（2-2）》期末试卷答案专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2012年月日注意事项：1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共四道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废； 4. 本试卷正文共6页。

一．填空题（共6小题，每小题3分，共计18分） 1．，，若与垂直，则=.2．设，则3．设由方程所确定，则4．设，而，其中，则______________.5．已知是长方形,,,则=2.6．设曲线为圆周,则=二．选择题（共4小题，每小题3分，共计12分） 1．下列级数中，绝对收敛的级数是（ C ）.(A)(B) (C) (D)2．设是正项级数，则下列结论中错误的是（D ）.(A) 若收敛，则也收敛 (B) 若收敛，则(C) 若收敛，则部分和有界 (D) 若收敛,则3．设曲线型构件的密度函数为,则构件对ｚ轴的转动惯量为 ( B ).(A)(B)(C)(D)4．设有直线L ：及平面，则直线L （B ）.(A) 平行于平面 (B) 与平面的夹角为 (C) 与平面垂直 (D) 与平面的夹角为)5,4,1(=a )2,1,1(=b b a λ+b a λ-λ7±)ln()1)(1(arctan y x y x xy z +--+==)1,1(|dz )(41dy dx +),(y x z 0=++xy ze yz xe =∂∂y z x ye y xe z +--()1(0)f x x x π=+≤≤01()cos ,2n n a s x a nx x ∞==+-∞<<+∞∑02()cos n a f x nxdx ππ=⎰()2s π-=12π+D a x b ≤≤01y ≤≤()1D yf x dxdy =⎰⎰⎰badx x f )(C222R y x =+ds x y x C ⎰+）—（3223R 2π∑∞=+-1)1()1(n nnn n ∑∞=--11)1(n n n ∑∞=-1)12(n nn∑∞=11n n∑∞=1n na∑∞=1n na∑∞=12n na∑∞=1n nalim =∞→n n a ∑∞=1n nan S ∑∞=1n na 1lim 1<=+∞→ρnn n a a Γ),,(z y x ρ⎰Γdsz y x ),,(ρdsz y x y x ⎰Γ+),,()(22ρ⎰Γdsz z y x 2),,(ρ⎰Γzdz z y x ),,(ρ⎩⎨⎧=+=-+08-205z x y x 03-2:=++∏z y x ∏∏6π∏∏3π三．解答题（共8小题，每小题8分，共计64分）1． 计算二重积分其中积分区域D 为区域.解： 作极坐标变换：，有------3分==------5分2．设为曲面在点(1,1,1)处指向外側的法向量，求 （1）函数在点(1,1,1)的梯度；（2）函数在点处沿方向的方向导数；解：=------1分------1分 ------1分 ------1分（1）函数在点(1,1,1)的梯度------2分(2)函数在点处沿方向的方向导数------2分.)(dxdy y x I D ⎰⎰-=}0,0),({222≥≥≤+=y x R y x y x D ，θθsin ,cos r y r x ===-=⎰⎰dxdy y x I D)(⎰⎰-20)sin cos (πθθθrdrr r d R⎰⎰-2020)sin (cos πθθθdrr d R0n 632:222=++∑z y x P z y x e u xy 2)ln(22+++=P z y x e u xy 2)ln(22+++=P n n ）（2,6,4141cos ,143cos ,142cos ===γβα1-e |2|1,1,12221,1,1+=++-=∂∂）（）（y x x x y e x u xy1e |211,1,122+=++=∂∂）（y x y x e y u x y1|1|1,1,11,1,1==∂∂）（）（z z u z y x e u xy 2)ln(22+++=P )1,1,1(++-=e e gradu z y x e u xy 2)ln(22+++=P n 1461131e -2141|n 1,1,1+=++++=∂∂e e u ））（（（）（3．计算三次积分的值.解：利用球面坐标系，积分化为--------4分----4分或利用柱面坐标系------4----4分4．设有幂级数，（1）求该幂级数的收敛半径 （２）求该幂级数的收敛域是 （３）求该幂级数的和解： (1) ==1收敛半径R=1 ------2分(2) 由于，收敛，所以收敛域为[-1,1]. ------2分(3)------3分由于级数在x=-1,x=1处收敛，且------1分12I dx dz=⎰222240cos sin I d d r drππθϕϕϕ=⋅⎰⎰222400cos sin 2d r dr ππϕϕϕ=⋅⋅⎰115π=122rI d rdr dzπθ=⎰⎰102r π=⎰115π=∑∞=++11)1(n n n n x nn n a a 1lim+∞→=ρ)2)(1()1(lim+++∞→n n n n n ∑∞=++-11)1()1(n n n n ∑∞=+1)1(1n n n ∑∞=++=11)1()(n n n n x x S ∑∞=++-=11))1(11n n x n n （∑∑∞=∞=+++-=1111)1(n n n n n x n x ∑∑∞=∞=++-=111)1(n n n n n x n x x ∑∑⎰⎰∞=∞=--=111n n xnxn dx x dx x x dxx dx xx x n n x n n ⎰∑⎰∑∞=∞=--=0111dx x x dx x x xx⎰⎰---=00111)1,1()1ln()1(-∈+--=x xx x =+---→x x x x )1ln()1(lim 11)1(1)1ln(lim 1=+---→x x x x ⎩⎨⎧=<≤-+--=∴1111)1ln()1()(x x xx x x S5．设∑ 为曲面 上侧为曲面正侧,计算解：法1：补辅助面，下侧为正侧， = ------1分------1分== ------1分=+ ------2分=+ =+------1分 =-----2分 法2：合一投影，=,222y x z --=⎰⎰∑+++=2222d d d d z yx y x z z y x I 0:1=∑z 2:),(22≤+∈y x D y x y x ⎰⎰∑+++=2222d d d d z y x yx z z y x I 2d d d d 2y x z z y x +⎰⎰∑=I ⎰⎰⎰⎰∑∑+∑-11⎰⎰⎰Ω+=z y x z d d d )21(21⎰⎰∑-12121⎰⎰⎰Ω+V z d )21(21⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ+V z dV d π232⎰πθ20d ⎰20d πϕ⎰203sin cos dr r ϕϕπ232drr d ⎰⎰2320sin cos 2πϕϕϕππ232=⋅⋅1212ππ232π+⎰⎰∑-10)(21=-⎰⎰∑dxdy z =I π232π+,222y x z --=∑：2:22≤+y x D xy ,,222y x x z x ---='2d d d d I 2y x z z y x +=⎰⎰∑dxdy y x x x ))2()z ((2122D --+'-=⎰⎰dxdy y x y x x ))2(2(2122222D --+--=⎰⎰π232π+6.设有函数，问(1) 函数在点是否连续？说明理由.(2) 求函数 对的偏导函数解：(1) 取 y=kx,则函数极限与k 有关，极限不存在，由函数连续性定义， 函数在(0,0)点不连续. ------3分(2) 时，------5分7.设有力场， 求变力沿曲线L ：从(1,0)到(0,1)的一段所做的功.解： 功 ,------2分，故积分路径无关 ------2分= ------4分8．求函数在由直线及 坐标轴所围成的有界闭域D 上的最大值、最小值.解：令 =0=0，得驻点（0,0），（1,2）-----3⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=000),(222222y x y x y x xy y x f ),(y x f )0,0(),(y x f x ),(y x f x '=→),(lim)0,0(),(y x f y x 222201)1(lim k kx k kx x +=+→)0,0(),(≠y x 2222222222)()()()2()(),(y x x y y y x x xy y x y y x f x +-=+-+='0)0(00lim )0,0()0,(lim )0,0(200=∆+∆-∆=∆-∆='→∆→∆x x x x f x f f x x x ⎪⎩⎪⎨⎧=≠+-='∴)0,0(),(0)0,0(),()()(),(22222y x y x y x x y y y x f x j x y i y y x F )12()1(),(2+++=21x y -=⎰+++=L dyx y dx y )12()1(w 2)12(,12+=+=x y Q y P x Q y y P ∂∂==∂∂2=w ⎰⎰+01132ydy dx 21-)4(),(2y x xy y x f --=6=+y x ---=')4(),(2y x y y x f x 2xy )24(2y x y --=)328(),(y x xy y x f y --='分在边界上，； 在边界上，在边界上，令=0，解得驻点 -----3分， .. 故，函数的极大值也是最大值是4，最小值是-64. ------2分四．证明题（本题6分）设且连续，试证， 其中积分区域D=证：因为积分区域D 关于直线对称，所以------1分于是------2分------3分)60(0≤≤=y x 0),(=y x f )60(0≤≤=x y 0),(=y x f 6=+y x 2)6(2)6,(x x x x f z --=-=)60(≤≤x )2)(6(6--=x x dx dz6,2==x x 64)4(22)4,2(|22-=⨯-===f z x 0)0,6(|6===f z x 4)2,1(=f 0)0,0(=f ,0)(>x f 21)()()(D=+⎰⎰dxdy y f x f x f {}21,21|),(≤≤≤≤y x y x x y =dxdyx f y f y f dxdy y f x f x f ⎰⎰⎰⎰+=+D D)()()()()()(）（dxdy x f y f y f dxdy y f x f x f dxdy y f x f x f ⎰⎰⎰⎰⎰⎰+++=+D D D)()()()()()(21)()()(dxdy x f y f y f y f x f x f ）（⎰⎰+++=D )()()()()()(2121121D==⎰⎰dxdy。

2012—2013学年第二学期 《大学物理（2-1）》期末考试A 卷答案一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）1、C2、D3、C4、D5、C6、D7、C8、B9、A 10、B二、简单计算与问答题（共6小题，每小题5分，共30分）1、答：在物体系重力势能减少达到受力平衡的过程中，重力势能的减小，不仅增加了弹性势能而且部分转化成物体的动能，根据机械能守恒定律有： 22002121v m ky mgy +=① 3分 而不是 20021ky mgy =y 0的正确求法应根据合力为零的条件00=-ky mg求得kmg y =0 ② 2分2、答：=+⨯+⨯=++==∑22222)2(3)3(4ml l m l m J J J rm J R Q P ii 50ml 2 5分3、解：飞船静止长度0l 为其固有长度，地球上测得其长度为运动长度，由长度收缩公式，则 2)(1020l cv l l =-= 3分 解得： c c v 866.023==2分4、答：以上叙述都是不正确的，正确的说法应该是：(1) f (v )d v 表示在v →v ＋d v 速率区间内的分子数占总分子数的百分比． 2分 (2) ⎰21d )(v v v v f 表示处在v 1→v 2速率区间内的分子数占总分子数的百分比． 1分(3)⎰∞d )(v v v f 表示在整个速率范围内分子速率的算术平均值．2分5、解：(1) 势能 221kx W P = 总能量 221kA E = 由题意，4/2122kA kx =， 21024.42-⨯±=±=Ax m 2分 (2) 周期 T = 2π/ω = 6 s从平衡位置运动到2A x ±=的最短时间 ∆t 为 T /8．∴ ∆t = 0.75 s ． 3分6、解：设I max ，I min 分别表示出射光的最大值和最小值，则 I max ＝I a / 2＋Ib 2分 I min ＝ I a/ 22分令 ()()n I I I I I a b a =+=2//2//min max所以 ()1/2/-=n I I b a 1分 三、计算题（共4小题，每小题10分，共40分） 1、（本题10分）解：各物体受力情况如图． 图2分 F －T ＝ma 1分 T '＝ma 1分 (T T '-)R ＝β221mR 1分 a ＝R β 1分由上述方程组解得：β ＝2F / (5mR )＝10 rad ·s -22分 T ＝3F / 5＝6.0 N 1分T '＝2F / 5＝4.0 N 1分 2、（本题10分）解：(1) 1－2 任意过程11112125)2()(RT T T C T T C E V V =-=-=∆ 11211221212121)(21RT RT RT V p V p A =-=-=3分 11111132125RT RT RT A E Q =+=+=∆ 2－3 绝热膨胀过程12123225)()(RT T T C T T C E V V -=-=-=∆ 12225RT E A =-=∆ 3分02=Qaa T ’3－1 等温压缩过程3=∆E1111131308.2)/8ln()/ln(RTVVRTVVRTA-=-=-=3分13308.2RTAQ-==(2) %7.30308.2111131=-=-==RTRQQQA T吸η1分3、（本题10分）解：(1)波的周期T = λ / u =( 40/20) s= 2 s．2分P处Q处质点振动周期与波的周期相等，故P处质点的振动曲线如图(a) 振动方程为：2分)21cos(20.0π-π=tyP(SI) 2分(2) Q处质点的振动曲线如图(b)，振动2分方程为)cos(20.0π+π=tyQ(SI)或)cos(20.0π-π=tyQ(SI) 2分4、（本题10分）解：(1) 由光栅衍射主极大公式得a +b =ϕλsink=2.4×10-6 m 3分(2) 若第三级不缺级，则由光栅公式得()λϕ3sin='+ba由于第三级缺级，则对应于最小可能的a，ϕ'方向应是单缝衍射第一级暗纹：两式比较，得λϕ='sinaa = (a + b)/3=0.8×10-6 m 3分(3) ()λϕkba=+sin，(主极大)λϕka'=sin，(单缝衍射极小) (k＇=1，2，3，......)因此k=3，6，9，........缺级．2分又因为k max=(a＋b) / λ=4, 所以实际呈现k=0，±1，±2级明纹．(k=±4在π / 2处看不到．) 2分-。

中国石油大学（北京）2011—2012学年第二学期《采油工程》期末考试试卷（闭卷考试）班级：姓名：学号：分数：(试题和试卷一同交回)一、填空题（共20分，未标注每小题1分）1、油井流入动态曲线是指在一定地层压力下，油井产量与井底流压的关系曲线。

2、持液率是描述气液两相管流的重要参数，存在滑脱时的当地持液率大于无滑脱持液率，即滑脱使得气液混合物密度增大，从而造成重力损失增加。

3、气举阀可分为油压操作阀和套压操作阀。

对于套压操作气举阀，油管效应系数越大，打开阀所需的套压越小，而关闭阀所需的套压不变。

4、游梁式抽油机的机械平衡方式分为游动平衡、曲柄平衡和复合平衡。

（2分）5、扭矩因素的物理含义是单位悬点载荷在曲柄轴上产生的扭矩，其量纲为长度（单位m）。

6、抽油机示功图表示悬点载荷与悬点位移之间的关系曲线。

7、无杆泵主要有ESP、HP、JP、PCP，它与有杆泵采油的主要区别是不需要抽油杆传递地面动力，而是用电缆或高压液体将地面能量传输到井下，带动井下机组把原油抽至地面。

8、水质指标必须与实际地层相适应，水质标准不同，则处理工艺不同。

一般的水质处理措施有沉淀、过滤、杀菌、除油、脱气和曝晒。

9、吸水剖面对注水井配注和调剖都十分重要，常用同位素载体法方法进行测定。

吸水剖面可形象地反映出注水井不同吸水层吸水能力的大小。

10、节点系统分析方法中，节点类型有普通节点和函数节点。

11、获得地应力的主要方法有矿场测量或水力压裂法、实验室分析（ASR或DSCR）、测井曲线解释和有限元模拟法等。

12、水基冻胶压裂液配方组成包括稠化剂、交联剂法、破胶剂、表面活性剂或粘土稳定剂、破乳剂或PH调节剂等化学剂。

(2分)13、支撑剂在裂缝中的沉降速度由自由沉降速度经浓度校正、壁面校正和剪切校正获得。

14、实验确定的酸－岩反应动力学参数包括_反应速度常数、反应级数、反应活化能等。

15、酸化按工艺不同分为酸洗、基质酸化、酸压三种。

16、砂岩深部酸化工艺主要包括氟硼酸酸化和地下自生HF酸化等。

A卷2010—2011学年第二学期《高等数学（2-2）》期末试卷专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2011年6月28日1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共四道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；4. 本试卷正文共5页。

一. 填空题(共4小题，每小题4分，共计16分)1．22(1,0)ln(),yz xe x y dz=++=设则dydx+32．设xyyxyxf sin),(+-=,则dxxxfdyy⎰⎰11),(=)1cos1(21-3．设函数21cos,0()1,0xxf x xx xπππ+⎧<<⎪=-⎨⎪+-≤≤⎩以2π为周期，()s x为的()f x的傅里叶级数的和函数，则(3)sπ-=212+π.4．设曲线C为圆周222Ryx=+,则曲线积分dsxyxC⎰+）—（322=3R2π二.选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）1.设直线L为32021030,x y zx y z++=⎧⎨--+=⎩平面π为4220x y z-+-=,则（ C ） .(A) L平行于平面π (B) L在平面π上(C) L垂直于平面π (D) L与π相交，但不垂直2．设有空间区域2222:x y z RΩ++≤，则Ω等于（ B ）.(A)432Rπ(B) 4Rπ (C)434Rπ(D) 42Rπ3．下列级数中，收敛的级数是（ C ）.(A) ∑∞=+-1)1()1(nnnnn(B)∑∞=+-+11)1(nnnn(C)nnen-∞=∑13(D)∑∞=+1)11ln(nn nn4. 设∑∞=1nna是正项级数，则下列结论中错误的是（ D ）（A）若∑∞=1nna收敛，则∑∞=12nna也收敛（B）若∑∞=1nna收敛，则11+∞=∑nnnaa也收敛（C）若∑∞=1nna收敛，则部分和nS有界（D）若∑∞=1nna收敛，则1lim1<=+∞→ρnnn aa三．计算题（共8小题，每小题8分，共计64分）1．设函数f 具有二阶连续偏导数，),(2y x y x f u +=，求y x u∂∂∂2.解：212f xyf x u+=∂∂ -------------------3)()(22222121211212f f x f f x xy xf y x u++++=∂∂∂ -------------------4221221131)2(22f f x xy yf x xf ++++= -------------------12．求函数y x xy z +-=23在曲线12+=x y 上点（1,2）处，沿着曲线在该点偏向x 轴正向的切线方向的方向导数.解：曲线⎩⎨⎧+==1:2x y x x L 在点(1,2)处的切向量)2,1(=，)2,1(510=T52c o s ,51c o s ==βα ---------------------313|)16(|,11|)13(|)2,1()2,1()2,1(2)2,1(=+=∂∂=-=∂∂xy y z y x z -----------3函数在点（1,2）沿)2,1(=T方向的方向导数为5375213511|)2,1(=⨯+=∂T---------------------------23．计算,)(2dxdy y x D⎰⎰+其中}4),({22≤+=y x y x D . 解dxdyxy dxdy y x dxdy y x y x y x D⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤+++=+4422222222)()(-------(3)2320+=⎰⎰dr r d πθ ---------------(3)= π8 --------------(2 )4. 设立体Ω由锥面z =及半球面1z =围成.已知Ω上任一点(),,x y z 处的密度与该点到x y o 平面的距离成正比（比例系数为0K >），试求立体Ω的质量.解：由题意知密度函数||),,(z k z y x =ρ法1：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ωϕπϕπθcos 20400r ： -----------1 质量M=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dxdydzz k dxdydz z y x ||),,(ρ --------1=kdrr r d d ϕϕϕθϕππsin cos 2cos 20400⎰⎰⎰---------4=67kπ ---------2法2：⎩⎨⎧--+≤≤+≥≤+Ω222222110,1:D y x z y x y y x ----------1⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ==dxdydzz k dxdydz z y x ||),,(M ρ ------1rdzz dr d k r r⎰⎰⎰-+=211100πθ -----4=67kπ -------2法3：67))1(1(||M 21212k dz z z dz z z dxdydz z k πππ=--+==⎰⎰⎰⎰⎰Ω5．计算曲线积分⎰+++-=C y x dyx y dx y x I 22)()(，其中C 是曲线122=+y x 沿逆时针方向一周.解：⎰++-=C dyx y dx y x I 1)()( ----------3d x d y yPx Q y x ⎰⎰≤+∂∂-∂∂=122)(----------3π2])1(1[122=--=⎰⎰≤+dxdy y x -------26. 计算第二类曲面积分⎰⎰∑++dxdy zx xydxdz xyzdydz 2，其中∑为球面1222=++z y x 的外侧．解：dxdydz x x yz dxdy zx xydxdz xyzdydz ⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑++=++)()(22dxdydz x yz ⎰⎰⎰Ω+=)(dxdydzx ⎰⎰⎰Ω+2d x d y d z z y x ⎰⎰⎰Ω+++=)(310222πϕϕθππ154sin 31104020==⎰⎰⎰dr r d d7．求幂级数nn x n ∑∞=+111的和函数。

概率论与数理统计》期末复习题一、填空题1. (公式见教材第10页P10) 设A,B为随机事件，已知P(A)=0.7,P(B)=0.5,P(A-B)=0.3,则P( B-A)= _______ 。

2. __________________________________________ (见教材P11-P12 )设有20个零件，其中16个是一等品，4个是二等品，今从中任取3个，则至少有一个是一等品的概率是.3. (见教材P44-P45)设X~N3, 4 ,且c 满足PX.C=PX 空C ，则C =O4. (见教材P96)设随机变量X服从二项分布，即X~B(n, p),且EX =3, p=1/7,则n= 厶5. (见教材P126 ) 设总体X服从正态分布N(2,9) , X,,X^ X9是来自总体的样本，—1 9X X i 则P(X_2)= _____________ 。

9 i 46. (见教材P6-7 )设A,B是随机事件，满足P(AB) = P(AB),P(A) = p,则P(B) = _.7. (见教材P7)代B事件，则AB -• AB =___________ 。

8. (见教材P100-P104 ) 设随机变量X,Y相互独立，且X ~ N(1,5),Y ~ N(1,16),Z =2X -Y -1则Y与Z的相关系数为__________9. (见教材P44-P45)随机变量X ~ N(2,4), ：(1) =0.8413, ：'(2) =0.9772，则P{—2 空X 乞6}=10. (见教材P96)设随机变量X 服从二项分布，即X ~ B(n,p),且EX =3, p=1/5，贝V n = _____ .y Q~X > 0 11（见教材P42） 连续型随机变量X 的概率密度为f （x ）=j 」'则0,x 兰 012. （见教材P11-P12 ）盒中有12只晶体管，其中有10只正品，2只次品.现从盒中任取3只，设3只中所含次品数为X ，则P X = 1二 ___________________ .2 213.（见教材P73-P74） 已知二维随机变量（X ，丫）~ N （」1, 一；匚1 ,匚2；訂，且X与Y 相互独立，则P = ______二、选择题1.（见教材P37-38）设离散型随机变量 X 的分布列为其分布函数为 F （x ）则F （3）= _______ .3. （见教材P133-136）矩估计是（A. 0B. 0.3C. 1D. 0.82.(见教材 P39-40) 设随机变量X 的概率密度为 x, f (x )= <2 -x,0,1 ：： x_ 2则X 落在区间0.4, 1.2内的概率为). (A) 0.64;(B) 0.6;(C) 0.5;(D) 0.42 .A.点估计B.极大似然估计C. 区间估计D.无偏估计4.（见教材P31）甲乙两人下棋，每局甲胜的概率为0.4 ,乙胜的概率为0.6 , 比赛可采用三局两胜制和五局三胜制，则采用_____________ 时,乙获胜的可能性更大？A.三局两胜制B.五局三胜制C.五局三胜制和三局两胜制都一样D.无法判断5.(见教材P69和P71和P100)下列结论正确的是()A. 与n相互独立,则与 n不相关B. 与n不独立,则与耳相关C. 与n不相关,则与 n相互独立D. 与n相关，则与耳相互独立6(见教材P33).每次试验的成功率为p(0 ::P :::1),则在3次重复试验中至少失败一次的概率为()。

2013 —2014学年第一学期《高等数学(2-1 )》期末考试A卷(工科类)参考答案及评分标准一.(共5小题，每小题3分，共计1 5分)判断下列命题是否正确？在题后的括号内打V'或“ ”，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明1•若f (x)在(a , )无界，则Jim f (x) . ( ) ----------- ( 1 分)例如：f (x) xsin x，在(1 , )无界，但lim xsinx . ---------------- ( 2 分)x2.若f (x)在x0点连续，则f (x)在x0点必可导• () ----------- ( 1分)例如：f (x) X ,在x 0点连续，但f (x) x在x 0不可导•------------------------------ ( 2分)3•若lim x n y n 0 ,则lim x n 0或lim y n 0. ( ) ----------- ( 1 分) n n n例如：X n：1, 0,1,0, y n： 0,1, 0,1,有lim X n y n 0，但lim x. , lim y.都不存在. -------------------------------------- (2 n n n分)4.若f (x0) 0，则f (x)在x 0点必取得极值• ( ) ---------------- ( 1分)3 3例如：f (x) x , f (0) 0，但f(x) x在x 0点没有极值• -------------------- ( 2分) 5.若f(x)在［a , b ］有界，则f(x)在［a , b ］必可积•( ) ------------- ( 1分)例如：D(x) ，在［0,1］有界，但D(x)在［0,1 ］不可积•( 2分) 0,当x为无理数•二.(共3小题，每小题7分，共计2 1分)1.指出函数f (x) x cot x的间断点，并判断其类型•1,当x为有理数，x k , k 0, 1, 2,1xcos xk 0,即x 0时，兀心）加曲x叫雋X0为函数f（x） x cotx的第一类可去间断点;1, 2, 时,iim f (x)x k iim xcotx k xcosxiim x k sin x(k 1, 2, ）为函数f(x) cotx 的第二类无穷间断点2 •求极限iimx xo(1x dt解iimx x(1t2) x dt iimxx(1t2)~2 xx ee t dt(3 分)iim x(1(2xx ex )ex2)iimx(1 分)2x x3 •设方程x y y x （x 0, y 0）确定二阶可导函数y y(x) 求竺dx解1 对x. y 仮两边取对数，得丄inyx 丄inx ,yyin xln x等式两边关于x求导, 得：(1 in y)dydx inind2y d dy dx2 dx dx 1-(1 in y) (1xinx)dydx(1 iny)2y(1 In y)2 x(1 In x)2xy(1 In y)3.-(1 分)三.（共3小题，每小题7分，共计2 1分）(2分)x f (x) dx x df(x)x f(x) f (x) dx22 In x In x C. ---------------------------------------3 .求定积分4 (x 3 sin x 4 cos 7 2x) dx .74(x 3 sin x 4 cos 7 2x) dx 4 x 3sin x 4dx 4 cos 72x dx ------1 .求不定积分sin xcos 3 x 1 sin 2 xdxsin xcos 3 x解 1 sin 2 xdx sin x(1 sin 2 x) 1 sin 2 xd (sin x)(令 sinxt(1学dt=t 22 •设 Inln(1 t 2)是函数 (ln 2x)f (x)dx 1 . 2 sin x 2ln(1 sin 2 x) C .(2 分)(2 分)(3 分)f （x ）的一个原函数,f (x) dx .2I nxf(x)，In 20 4 cos 7 2x dx -------------------------------------4----（2 分）2 4 cos 72x dx ---------------------------------------------（2 分）（ 令2x t）2 cos 7t dt ----------------------------------------------6!! 7!! .----- （1 分）四•（共2小题，每小题6分，共计1 2分）1 .已知一个长方形的长I 以2cm/s 的速度增加，宽 w 以3cm/s 的速度增加，则当长为12cm ，宽为5cm 时，它的对角线的增加率是多少？解：设长方形的对角线为 y ，则 y 2 I 2 W 2 ------------------------------------- （2分）两边关于t 求导，得2y —y 2l dt dy . dl 即 y I w dt dt分）dl d^v : 22-已知 2,3,1 12,w 5, y 122 52 13,代入（1 ）式，得dtdt对角线的增加率： 史 3 （ cm/s ）. ------------------------------------------------dtdl dw2w -,dt dtdwdt —（1）------ （2（1分）（2分）22•物体按规律X ct做直线运动，该物体所受阻力与速度平方成正比，比例系数为1，计算该物体由X 0移至X a时克服阻力所做的功.v(t) d x 2ctdtf(x) k4c2t2 4c2t24cx ,a24cxdx = 2cao五.(本题10分)已知f(x) 5arctanx，试讨论函数的单调区间，极值，凹凸性,拐点，渐近线解函数的定义域为( ).f (x) 1 笃x4，令f (x) 0得驻点x 2. ---------------------------------------------------------——(1 分)f (x) 豎三，令f (X) 0,得可能拐点的横坐标：x 0. -------- ( 1 分)(1 x )列表讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点：f(x)5arcta n xa 1limlim (1)1,xxxxb 1lim [f(X) ^x]lim (5 xx <2f (x)5 arcta n xa 2 limlim (1)1,x xxxb 2lim [f (x)a ?x]lim ( 5 arcta nx)-xx2渐近线为：y x —. ----------------------------------------------------- （ 2 2分）无穷远处的旋转体的体积解:-（4 分）七.（本题7分）叙述罗尔（Rolle ）中值定理，并用此定理证明:六•（共2小题，每小题 7分，共计14分）1•试求曲线yx.xe 2 (x 0)与x 轴所夹的平面图形绕 x 轴旋转所得到的伸展到对应齐次方程的通解为:C 1 eC ?e而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为 Ax B 代入原方程可得，A 故所要求的通解为yGe 4x C 2ex 11 2 811 8V ° y 2dx° xe xdx ---------------------------------------------(3 分)(x 1)e limx2.求微分方程ylim (x1)e5y 4y 3 2x 的通解•方程a1 cosx a2cos2x a n cos nx 0在(0,)内至少有一个实根，其中a「a2, a n为常数•罗尔(Rolle)中值定理：设f(x)在［a,b］上连续，在(a,b)内可导，f(a) f(b) (a,b) ，使f ( ) 0. --------------------------------------------- ( 3 分)a2 sin 2x a n sin nx令f (x) a-i sin x ，---------------------------2 n-----(2分)在［0,］上连续，在(0,)内可导，且f (x) a1 cosx a2cos2x a n cosnx f (0) f( ) 0,由罗尔中值定理，(0 ,),使得f ( ) a1 cos a2 cos2 a n cos n 0,即方程a i cosx a2 cos2x a n cos nx 0在(0,)内至少有一个实根• 一( 2各章所占分值如下:第一早函数与极限13 %第——-一早一元函数的导数与微分16 %第二早微分中值定理与导数的应用20 % 第四章不定积分14 % ，则得方程a1 cosx a2cos2x a n cos nx 0第五章定积分及其应用第六章常微分方程2014 —2015学年第一学期《高等数学（2-1 ）》期末考试A卷（工科类）参考答案及评分标准各章所占分值如下:第一章函数与极限第二章一元函数的导数与微分第三章微分中值定理与导数的应用第四章不定积分第五章定积分及其应用第六章常微分方程16 %；16 %；14%；--------------------------------------- (2 分)例：y 3 X 在(0,0)点处有切线X 0，但y 3 X 在X 0处不可导(2 分)3 .设函数f (x)在［a , b ］上连续且下凸，在(a , b )内二阶可导，贝Ux (a,b)有 f (x)0 •(.(共3小题，每小题4分，共计12分)判断下列命题是否正确 ' 题后的括号内打“ V”或“”，如果正确，请给出证明，如果不 正确请举一个反例进行说明 •11 .极限lim sin 不存在•( (2 分) 证设f(X)1 sin ，取 x n1,2,)lim x n 0,nlim y nn0,但limf (X n ) lim sin 1lim sin2n0 ,n nX n nlimf (y n )lim sin 1lim sin(2n-)1,nny nn2海涅疋理， 1不x 0X(2 分)2 .若曲线y f (X)在(X o , f (X o ))点处存在切线， 则f(X)在X o 点必可导.2n2由4x(2 分)例：f(x) x 4在［2,3］上连续且下凸，但 f (0) 0 .----------------------------------------- (2 分)(共3小题，每小题6分，共计18分) 1.求极限lim ( n 1) sin(n!) 解 sin(n!) 1, ------------------------------------------ 分) 1nim(n n 1)0,(31 lim ( n 1) sin(n !) 0 .n < n (3分)2•求极限limxx0(1 t )e xdtx 4 t xx4 tn (1 t4)e tx dt(1 t 4)e t dt解 lim4lim — 厂 ------------ — ---------------------------- (3xx xx e分)-(3 分)(3 分)arcta n xlimx(1 x 4)e x(4x 3 x 4)e x limx4x 3n~2~nn21 2n 、~22 ).n nn )n -2~n nn 2123 •求极限lim (n解 lim ( nlin 11222n 2三.（共3小题，每小题6分，共计18分）11 e‘1 •求函数f x -的间断点并判断其类型1 2e x解x 0 是f(x) 的间断点（3分）又lim f (x)11 e'1f(x)11 e'lim 1 ，lim lim 1 1，x 0 x 0 2 x 0 x 01 2e x 1 2e xx 0 是 f (x) 的跳跃间断点e x2 1设f(x) x0,f (x).0时, f (x)x2‘e 2x xx2(e x 1)2 xx22e xx2e 12~x(30时, f(0) lim f(x) f(0)x2e 12 xm2xe x22x(x)2e" 0,（3分）3 •设方程0.ln（Sint）确定y为x的函数，求cost t sintdx与(3分)(3 分)d 2y d dx 2 dx dy dx2 tsint dxd 丄.丄 dtsint tcostl 011 1 ldx x (t)（3分）22 .求不定积分xcos xdx .---(2 分)1 2 11-x —xsin 2x —sin 2x dx 44 4(2 分)1 cos2x dx ------------x21 x dx 1 x cos222丄 2 xxd (sin 2x) 一44 xcos 2 x dx分)dy dxy(t) x(t)t sin t四•（共3小题，每小题6分，共计18 分）21 .求不定积分 e x lnx dx .In xdxIn xe dx2e x x dx -----------------分）1 x 22 1 x2e d(x ) e C . --------------------------------------2 2(1(31 2 11-x —xsin 2x cos2x C 44 8(1 分)3 •设f （x ）在［1,1］上连续，求定积分1 {[ f (x) f ( x)]sinx .. 1 x2 } dx .(3 分)242(2分)五.（本题8分）设由曲线 y ln x 与直线x ey 0及x 轴所围平面图形为D（1）求D 的面积S ；（ 4分）（2）求D 绕直线x e 旋转所得旋转体的体积 V . （4分）{[f(x) f ( x)] sin x 1 x 2 } dx[f(x)f ( x)]sin x dx10 2■■■1x 2 dxx 2 dx（上半单位的面积）解曲线y In x与直线x ey 0的交点为（e , 1）， ------------------- （11 1e 2 0(1 y)2 dy 0(e 2 2ee y e 2y ) dye 2 0 3y)3(e 2 y 2ee y分） (1) S1o(e y ey)dy(2 分)[e yV V 21. ___________0(e ey)2dy(3 分)10(e e y )2dy -------------------------分）1 (2e 22e12e 3). -----------------(2本题满分12分六.（共2小题，每小题6分，共计12分）1.设有半径为R的半球形蓄水池中已盛满水（水I求将池中水全部抽出所做的功.解过球心的纵截面建立坐标系如图，则半圆方程为x2 y2 R2 . ------------------------------分）x [0,R], 取[x,x dx]所做功的微元：dW g （R2 x2）dx x （其中g为重力加速度）g （R2x x3）dx （3分）R 2 3故 W g 0（（R x x ）dx4-gR . ---------------------------------------------------------- （24分）2 •设有质量为m的降落伞以初速度v o开始降落，若空气的阻力与速度成正比（比例系数为k 0），求降落伞下降的速度与时间的函数关系.解设降落伞下降的速度为v（t），则根据牛顿第二运动定律，有dv m 一dtmg kv，其中g为重力加速度， ---------------------------------------（2分）口dv dt分离变量，得mg kv m本题满分12分dv dt两端积分mg kv m1 t-ln mg kvG ，In mg kvk 丄 — t kG ，(2ktmg kv Ce m(2分)（其中C ekC 1 ,小，mg kv 0)分） 七. 由已知v （0） V 0，代入上式，得 C mg kv °,mgkktmg 、am t T )e（本题6分）特征方程为: 求微分方程y 5y 6y6x 210x5r 6 0,特征根:r i2卫 3.对 应Ge 2x C 2e而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为 ------- （1 分）齐3xy iAx 2为 ： （3分）C ，Bx本题满分6分 本题 得 分y 1 2Ax B ,y 1 2A ,代入原方程得, 2A 5( 2Ax B) 6 (Ax 2 Bx C ) 6x 210x26 Ax (6B 10A)x 2A5B 26C 6x 10x 2,6A 比较同次幕的系数，得 6B 2A6,10A5B10, 6C 2 .2解之得，A 1, B 0, C 0. y i x .故所要求的通解为y C1e2x C2e3x x2 . ---------- （2分）本题满分8分本题6八.（本题8分）设L 是一条平面曲线，其上任意一点 （x,y ） （x 0）到解（1）过曲线L 上点（x , y ）处的切线方程为： Y y y （X x ），(2 分)令S （x ） 0 ,得S （x ）符合实际意义唯一驻点:（2）曲线L :1y2x 在点（x , y ）处的切线方程为： Y y y (X 1 211即 Y (— x )2x(Xx ），亦即Y2x X x - (0 x -)，44 2（2分）1 x 2x)，坐标原点的距离恒等于该点处的切线在（1 ）试求曲线L 的方程；轴上的截距，且L 经过点（丄，0）2（2）求L 位于第一象限的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围图形的面积最小由题意，得 2 2x yy xy ,即..1分）ydudx / 小、令U ，则 ------- 2,(x 0)x1 u 2x2y x义鱼，（x 0）——（2x dxdu空，（x 0）x1 2 uln （u .1 u 2） ln x InC , x （u y x 2 y 2 C ，由L 经过点（丄，0 ）2故曲线L 的方程为：y ；x 2y 2 1,即1 u 2) C 将u -代入并化简，得x入1 E 1 ，令 x ， y 0，得 C -，22切线与x 轴及y 轴的交点分别为:2x,0)，2(0,x)■所求面积S （x ）2xS(x)2 21 2 1 24x (x ) 2(x) 444^(x 2 4x£(3X 24(x 0)令X 0，得切线在y 轴上的截距：Y yxy ，(x 22x )dx ， ( x 0 )<3 1即x 为S（x）在（0 ,丄）内的最小值点，故所求切线方程为：6 2Y 2 —X —丄,即Y —X 1 -------------------------------------6 36 4 3 3（2分）2015 —2016学年第一学期《高等数学（2-1 ）》期末考试卷答案及评分标准（工科类）专业班级 _____________________________姓名 _________________________________学号 _________________________________开课系室基础数学系考试日期2016年1月11日注意事项：1 .请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2 .答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3 .本试卷共八道大题，满分 100分；试卷本请勿撕开，否则作废;4.本试卷正文共 8页。