二次函数创新题

九年级下册数学二次函数实践与探索（2）导学案及练习[本课知识重点]让学生进一步体验把实际问题转化为有关二次函数知识的过程．[创新思维]二次函数的有关知识在经济生活中的应用更为广阔，我们来看这样一个生活中常见的问题：某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形一边长为x 米，面积为S 平方米．请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用．你能解决它吗？类似的问题，我们都可以通过建立二次函数的数学模型来解决．[实践与探索]例1．某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000千克，购进价格为每千克30元。

物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。

市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60千克；单价每降低1元，日均多售出2千克。

在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。

设销售单价为x 元，日均获利为y 元。

（1）求y 关于x 的二次函数关系式，并注明x 的取值范围；（2）将（1）中所求出的二次函数配方成ab ac a b x a y 44)2(22-++=的形式，写出顶点坐标；在直角坐标系画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时日均获利最多，是多少？ 分析 若销售单价为x 元，则每千克降低（70-x ）元，日均多售出2（70-x ）千克，日均销售量为[60+2（70-x ）]千克，每千克获利为（x-30）元，从而可列出函数关系式。

解 （1）根据题意，得500)]70(260)[30(--+-=x x y650026022-+-=x x (30≤x ≤70)。

（2）y 650026022-+-=x x 1950)65(22+--=x 。

顶点坐标为（65，1950）。

二次函数草图略。

经观察可知，当单价定为65元时，日均获利最多，是1950元。

例2。

某公司生产的某种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x （十它们的关系如下表：（2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S （十万元）与广告费x （十万元）的函数关系式；（3）如果投入的年广告费为10～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？解 （1）设二次函数关系式为c bx ax y ++=2。

二次函数趣味题
1. 有一根长为20cm的铁丝，将它弯成一个矩形，若设矩形的一边长为x cm，则矩形的面积y(cm^2)与x的函数关系式为y = -x^2 + 10x。

那么，当x取何值时，矩形的面积最大？
2. 一只小球从高度为h的地方自由落下，每次弹跳的高度是前次高度的一半。

若第n次弹跳的高度是h/2^n，则小球从开始下落到第n次弹跳结束所经过的总路程s(m)与n的函数关系式为s = h(2^n + 2) - 2h/2^n。

那么，当h = 10m时，小球经过多少次弹跳后，其总路程会超过100m？
3. 一块矩形草坪的长和宽分别是10m和6m，如果它的长和宽都增加x m，那么草坪的面积y(m^2)与x的函数关系式为y = (10 + x)(6 + x) = x^2 + 16x + 60。

当x取何值时，草坪的面积会达到100m^2？
4. 一辆汽车以40km/h的速度匀速行驶，在行驶过程中发现前方有障碍物，于是立即刹车。

已知刹车后汽车的速度v(km/h)与时间t(s)的函数关系式为v = 40 - 8t。

那么，从开始刹车到汽车停下，汽车行驶了多少米？
5. 某公司推出一种新产品，其成本价为40元/件。

在试销过程中发现，每月销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的关系可以近似地看作一次函数y = -10x + 800。

设该公司每月获得利润为w(元)，当销售单价定为多少元/件时，每月可获得最大利润？最大利润是多少？。

二次函数的应用于创新业问题在现代社会中，创新被视为推动经济发展和社会进步的关键因素。

而二次函数作为数学中的一个重要概念，可被广泛应用于创新业问题的解决中。

本文将探讨二次函数在创新业中的应用，以及其对创新业问题的解决所带来的积极影响。

一、二次函数在创新业市场规模预测中的应用市场规模预测是创新业的重要环节，它可以帮助企业决策者了解市场需求，并为创新业项目的规模和投资提供依据。

二次函数可以通过拟合存量数据以及综合分析市场供需关系等因素，从而进行市场规模的预测。

例如，通过建立二次函数模型，可以预测未来一段时间内某个新产品的销售量。

这使企业能够更好地制定市场策略，提高竞争力。

二、二次函数在创新业中的成本效益分析中的应用成本效益分析是创新业决策过程中不可或缺的一环。

二次函数可以用来建立成本与收益之间的关系模型，帮助企业进行成本效益分析。

例如，通过建立二次函数模型，可以分析出新产品投入不同资源和成本后的收益变化情况，从而为企业决策者提供参考依据。

这有助于降低创新业的风险，并提高项目成功率。

三、二次函数在创新业中的最优化问题中的应用创新业中常常面临各种最优化问题，如资源配置最优化、利润最大化等。

二次函数可通过求解二次方程的最值问题，帮助企业找到最优解。

例如，在资源配置最优化问题中，通过建立二次函数模型，可以确定不同资源分配方案对企业效益的影响，从而找到最佳资源配置方案。

这有助于提高企业资源利用效率和创新能力。

四、二次函数在创新业中产品设计与改进中的应用产品的设计与改进是创新业中不可或缺的一环。

二次函数可以用于分析产品特征与用户满意度之间的关系，帮助企业进行产品设计与改进。

例如，通过建立二次函数模型，可以分析不同产品特征参数对用户满意度的影响，从而指导产品设计与改进。

这有助于提高产品竞争力，满足用户需求。

综上所述，二次函数作为一种数学工具，在创新业中发挥着重要作用。

它可以通过市场规模预测、成本效益分析、最优化问题求解以及产品设计与改进等方面的应用，为创新业问题的解决提供科学依据和决策支持。

5 用二次函数解决问题一等奖创新教案二次函数的应用——拱桥问题教材分析：本节内容为苏科版九年级下册第6章第4节内容，在此之前学生已经学习了二次函数概念、性质和图象，已经掌握了二次函数的一般知识，具备实际运用的能力。

作为在无锡生活的同学，一定对无锡拱桥印象深刻，本节内容就是建立在身边熟悉的生活经验的基础上，研究课本中关于拱桥问题，进而巩固二次函数相关知识。

二次函数为苏科版九年级下知识，本节内容适合刚学完二次函数性质与图象的同学，用于预习新知本节内容也可以作为中考复习同学,巩固二次函数相关知识，巩固数学方法解决实际问题的一般步骤。

学情分析：本节课的授课对象是九年级的学生，在此之前，学生已掌握了求二次函数解析式的方法并理解图像上的点和图像的关系，并且学习了一元一次方程、一元一次不等式、一元二次方程、一次函数的应用，以及初步的二次函数的应用，经历了多次从实际问题抽象出数学知识再运用相关知识解决实际问题的过程。

因此他们有解决简单实际问题的基础知识和基本能力。

但是，由于函数知识的抽象性，多数学生在学习时应用函数的意识并不强；同时，他们从实际问题中抽象出数学问题的能力以及已有的数学知识去解决的能力也是比较弱的。

教学目标：①知识与能力目标:体会二次函数拱桥问题模型，了解数学的实际应用价值，掌握用数学解决实际问题的一般方法及步骤。

②过程与方法目标:通过引导学生对实际问题的思考，培养学生善于发现实际问题，提高学生利用数学解决实际问题的兴趣。

③情感、态度、价值观目标:本节内容建立在学生家乡桥的基础上，培养学生热爱家乡的情感，同时激发学生勇于思考，善于创新，培养积极主动利用数学解决实际问题的态度。

4、重难点分析: 重点:理解二次函数解决实际问题的-般方法并能灵活运用。

难点灵活运用二次函数解决实际问题。

教学过程：一、问题导入1、你已经学习了二次函数的什么知识？生：二次函数的表达式，图像和性质，谈谈你对二次函数的认识，想想我们还需要研究什么问题？生：二次函数的实际应用【设计意图】回忆二次函数的相关知识点，为本节课学生能更快的求二次函数的解析式以及用二次函数来解决问题做铺垫。

二次函数的实际应用六大压轴题型归纳总结【题型1 利用二次函数解决几何图形问题】【例1】（2020春•萧山区月考）如图窗户边框的上部分是由4个全等扇形组成的半圆，下部分是矩形，现在制作一个窗户边框的材料总长度为6米．（π取3）（1）若设扇形半径为x，请用含x的代数式表示出AB．并求出x的取值范围．（2）当x为何值时，窗户透光面积最大，最大面积为多少？（窗框厚度不予考虑）【解题思路】（1）根据2AB+7半径+弧长＝6列出代数式即可；（2）设面积为S，列出关于x的二次函数求得最大值即可．【解答过程】解：（1）根据题意得：2AB+7x+πx＝2AB+10x＝6，整理得：AB＝3﹣5x；根据3﹣5x＞0，所以x的取值范围是：0＜x＜3 5；（2）设面积为S，则S＝2x（3﹣5x）+32x2=−172x2+6x=−172（x−617）2+1817，当x=617时，S最大=1817．【变式1-1】（2020•安徽模拟）如图，某住宅小区有一块矩形场地ABCD，AB＝16m，BC＝12m，开发商准备对这块地进行绿化，分别设计了①②③④⑤五块地，其中①③两块形状大小相同的正方形地用来种花，②④两块形状大小相同的矩形地用来种植草坪，⑤为矩形地用来养殖观赏鱼．（1）设矩形观赏鱼用地LJHF的面积为ym2，AG长为xm，求y与x之间的函数关系式；（2）求矩形观赏鱼用地LJHF面积的最大值．【解题思路】（1）根据矩形的性质得到CD＝AB＝16，AD＝BC＝12，根据正方形AEFG和正方形JKCI 形状大小相同，矩形GHID和矩形EBKL形状大小相同，得到DG＝12﹣x，FL＝x﹣（12﹣x）＝2x﹣12，BE＝16﹣x，LI＝（16﹣x）﹣x＝16﹣2x，根据矩形的面积公式即可得到结论；（2）根据二次函数的性质即可得到结论．【解答过程】解：（1）在矩形ABCD中，CD＝AB＝16，AD＝BC＝12，∵正方形AEFG和正方形JKCI形状大小相同，矩形GHID和矩形EBKL形状形状大小相同，AG＝x，∴DG＝12﹣x，FL＝x﹣（12﹣x）＝2x﹣12，BE＝16﹣x，LI＝（16﹣x）﹣x＝16﹣2x，∵S矩形LJHF＝FL•LJ，∴y＝（2x﹣12）（16﹣2x）＝﹣4x2+56x﹣192；（2）由（1）得，y＝﹣4x2+56x﹣192＝﹣4（x﹣7）2+4，∵FL＝2x﹣12＞0，LJ＝16﹣2x＞0，∴6＜x＜8，∵a＝﹣4＜0，∴当x＝7时，y的最大值＝4；故矩形观赏鱼用地LJHF面积的最大值为4m2．【变式1-2】（2020•富顺县三模）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝xm，花园的面积为Sm2．（1）若花园的面积为192m2，求x的值；（2）写出花园面积S与x的函数关系式．x为何值时，花园面积S有最大值？最大值为多少？（3）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是a（14≤a≤22）和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），设花园面积S的最大值为y，直接写出y与a的关系式．【解题思路】（1）根据题意得出长×宽＝192，进而得出答案；（2）由题意可得出：S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，再利用二次函数增减性求得最值；（3）根据题意确定x的取值范围，利用二次函数增减性计算即可．【解答过程】解：（1）依题意得S＝x（28﹣x），当S＝192时，有S＝x（28﹣x）＝192，即x2﹣28x+192＝0，解得：x1＝12，x2＝16，答：花园的面积为192m2，x的值为12m或16m；（2）由题意可得出：S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，答：x为14m时，花园面积S有最大值，最大值为196m2；（3）依题意得：{28−x≥ax≥6，解得：6≤x≤28﹣a，S＝x（28﹣x）＝﹣x2+28x＝﹣（x﹣14）2+196，∵a＝﹣1＜0，当x≤14，y随x的增大而增大，又6≤x≤28﹣a，∴当x＝28﹣a时，函数有最大值，是y＝﹣（28﹣a﹣14）2+196＝﹣（14﹣a）2+196．【变式1-3】（2020•温州模拟）某植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为a米的墙，现准备用20米的篱笆围两间矩形花圃，中间用篱笆隔开．小俊设计了如图甲和乙的两种方案： 方案甲中AD 的长不超过墙长；方案乙中AD 的长大于墙长． （1）若a ＝6．①按图甲的方案，要围成面积为25平方米的花圃，则AD 的长是多少米？ ②按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是多少？（2）若0＜a ＜6.5，哪种方案能围成面积最大的矩形花圃？请说明理由．【解题思路】（1）①设AB 的长是x 米，根据矩形的面积公式列出方程； ②列出面积关于x 的函数关系式，再根据函数的性质解答；（2）设AB ＝x ，能围成的矩形花圃的面积为S ，根据题意列出S 关于x 的函数关系，再通过求最值方法解答．【解答过程】解：（1）①设AB 的长是x 米，则AD ＝20﹣3x ， 根据题意得，x （20﹣3x ）＝25， 解得：x 1＝5，x 2=53， 当x =53时，AD ＝15＞6， ∴x ＝5， ∴AD ＝5，答：AD 的长是5米；②设BC 的长是x 米，矩形花圃的最大面积是y 平方米，则AB =13[20﹣x ﹣（x ﹣6）]=263−23x ， 根据题意得，y ＝x （263−23x ）=−23x 2+263x =−23(x −132)2+1696（x ＞6）， ∴当x =132时，y 有最大值为1696．答：按图乙的方案，能围成的矩形花圃的最大面积是1696平方米；（2）设BC ＝x ，能围成的矩形花圃的面积为S ，按图甲的方案，S ＝x ×20−x 3=−13x 2+203x =−13(x −10)2+1003， ∴在x ＝a ＜10时，S 的值随x 的增大而增大，∴当x ＝a 的最大值n 时，S 的值最大，为S =−13(n −10)2+1003；按图乙方案，S =13[20﹣x ﹣（x ﹣a ）]x =−23(x −a+204)2+(a+20)224，∴当x =a+204时，S 的值最大为S =(a+20)224，此时a 取最大值n 时，S 的值最大为S =(n+20)224； ∵(n+20)224−[−13（n ﹣10）2+1003]=9n 2−120n+40024＞0， ∴(n+20)224＞−13(n −10)2+1003，故第二种方案能围成面积最大的矩形花圃．【题型2 利用二次函数解决销售利润问题】【例2】2020年1月，全国爆发新型冠状病毒肺炎，2月某工厂购进某防护材料若干千克，成本为每千克30元，物价部门规定其销售单价不低于成本价但不高于成本价2倍，经试销，销售量y （千克）与销售单价x （元）的关系如图所示．（1）求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）若在销售过程中每天还要支付其他费用450元，当销售单价为多少元时，当天该工厂日利润最大，最大日利润为多少元？【解题思路】（1）直接利用待定系数法求出一次函数关系式；（2）利用销量×每件利润＝总利润，进而结合二次函数增减性得出答案． 【解答过程】解：（1）设y 与x 的函数关系式为：y ＝kx +b （k ≠0），根据图象可得方程组{30k +b =14050k +b =100，解得：{k =−2b =200，∴y 与x 的函数关系式为：y ＝﹣2x +200，x 的取值范围是：30≤x ≤60； （2）设日利润为w ，则可以列出函数关系式为： w ＝（﹣2x +200）（x ﹣30）﹣450 ＝﹣2x 2+260x ﹣6450， 当x =−b2a=65， 又∵30≤x ≤60，∴当x ＝60时，w 取得最大值，w ＝1950，答：当销售单价为60元时，当天该工厂日利润最大，最大日利润为1950元．【变式2-1】某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品的日销售量y （个）与销售单价x （元）之间满足一次函数关系关于销售单价，日销售量，日销售利润的几组对应值如表： 销售单价x （元） 85 95 105 115 日销售量y （个） 175 125 75 m 日销售利润w （元）87518751875875（注：日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价））（1）求y 关于x 的函数解析式（不要求写出x 的取值范围）及m 的值； （2）根据以上信息，填空：该产品的成本单价是 元，当销售单价x ＝ 元时，日销售利润w 最大，最大值是 元； （3）公司计划开展科技创新，以降低该产品的成本，预计在今后的销售中，日销售量与销售单价仍存在（1）中的关系．若想实现销售单价为90元时，日销售利润不低于3750元的销售目标，该产品的成本单价应不超过多少元？【解题思路】（1）根据题意和表格中的数据可以求得y 关于x 的函数解析式； （2）根据题意可以列出相应的方程，从而可以求得生产成本和w 的最大值； （3）根据题意可以列出相应的不等式，从而可以取得科技创新后的成本． 【解答过程】解；（1）设y 关于x 的函数解析式为y ＝kx +b ， {85k +b =17595k +b =125，得{k =−5b =600，即y关于x的函数解析式是y＝﹣5x+600，当x＝115时，y＝﹣5×115+600＝25，即m的值是25；（2）设成本为a元/个，当x＝85时，875＝175×（85﹣a），得a＝80，w＝（﹣5x+600）（x﹣80）＝﹣5x2+1000x﹣48000＝﹣5（x﹣100）2+2000，∴当x＝100时，w取得最大值，此时w＝2000，故答案为：80，100，2000；（3）设科技创新后成本为b元，当x＝90时，（﹣5×90+600）（90﹣b）≥3750，解得，b≤65，答：该产品的成本单价应不超过65元．【变式2-2】（2020•安徽二模）某市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w万元．（毛利润＝销售额﹣生产费用）（1）请直接写出y与x以及z与x之间的函数关系式；（2）求w与x之间的函数关系式；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？（3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多可获得多少万元的毛利润？【解题思路】（1）利用待定系数法可求出y与x以及z与x之间的函数关系式；（2）根据（1）的表达式及毛利润＝销售额﹣生产费用，可得出w与x之间的函数关系式，再利用配方法求函数最值即可；（3）首先求出x的取值范围，再利用二次函数增减性得出答案即可．【解答过程】解：（1）图①可得函数经过点（100，1000），设抛物线的解析式为y＝ax2（a≠0），将点（100，1000）代入得：1000＝10000a，解得：a=1 10，故y与x之间的关系式为y=110x2．图②可得：函数经过点（0，30）、（100，20），设z＝kx+b，则{100k+b=20 b=30，解得：{k=−110 b=30，故z与x之间的关系式为z=−110x+30；（2）W＝zx﹣y=−110x2+30x−110x2=−15x2+30x=−15（x2﹣150x）=−15（x﹣75）2+1125，∵−15＜0，∴当x＝75时，W有最大值1125，∴年产量为75万件时毛利润最大，最大毛利润为1125万元；（3）令y＝360，得110x2＝360，解得：x＝±60（负值舍去），由图象可知，当0＜y≤360时，0＜x≤60，由W=−15（x﹣75）2+1125的性质可知，当0＜x≤60时，W随x的增大而增大，故当x＝60时，W有最大值1080，答：今年最多可获得毛利润1080万元．【变式2-3】（2020•邢台二模）一家经营打印耗材的门店经销各种打印耗材，其中某一品牌硒鼓的进价为a 元/个，售价为x元/个（a≤x≤48）．下面是门店在销售一段时间后销售情况的反馈：①若每个硒鼓按定价30元的8折出售，可获20%的利润；②如果硒鼓按30元/个的价格出售，每月可售出500个，在此基础上，售价每增加5元，月销售量就减少50个．（1）求a的值，并写出该品牌硒鼓每月的销售量y（个）与售价x（元/个）之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）求该耗材店销售这种硒鼓每月获得的利润W（元）与售价x（元/个）之间的函数关系式，并求每月获得的最大利润；（3）在新冠肺炎流行期间，这种硒鼓的进价降低为n元/个，售价为x元/个（n≤x≤48）．耗材店在2月份仍然按照销售量与售价关系不变的方式销售，并决定将当月销售这种硒鼓获得的利润全部捐赠给火神山医院，支援武汉抗击新冠肺炎．若要使这个月销售这种硒鼓获得的利润G（元）随售价x（元/个）的增大而增大，请直接写出n的取值范围．【解题思路】（1）根据实际售价﹣进价＝进价×利润率建立关于a的方程，解之可得a的值；用原销售量﹣因价格上涨而减少的销售量可得答案．（2）根据“总利润＝每个硒鼓利润×销售量”列出关于x的函数，配方成顶点式，再利用二次函数的性质求解可得；（3）根据以上相等关系，并结合新进价列出关于x的二次函数，找到其对称轴，利用二次函数的增减性求解可得．【解答过程】解：（1）30×0.8﹣a＝20%a，解得a＝20．y＝500﹣10（x﹣30），即y＝﹣10x+800（20≤x≤48）．（2）根据题意，得W＝（x﹣20）（﹣10x+800）＝﹣10（x﹣50）2+9000．∵﹣10＜0，销售单价不能超过48元/个，即当20≤x≤48时，W随x的增大而增大，∴当x＝48时，W有最大值，最大值为8960．答：当售价为48元/个时，每月获得的利润最大，最大利润为8960元．（3）根据题意，得G＝（x﹣n）（﹣10x+800）＝﹣10x2+（800+10n）x﹣800n，对称轴x=80+n 2．∵a＝﹣10＜0，∵当n ≤x ≤48时，该商品利润G 随x 的增大而增大， ∴80+n 2≥48，解得n ≥16． ∵进价是降低的，∴n 的取值范围是16≤n ＜20．【题型3 利用二次函数解决抛物线形轨迹问题】【例3】（2020秋•渑池县期末）如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O 点打出一球向球洞A 点飞去，球的路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球移动的水平距离为9米时，球达到最大高度12米．已知山坡OA 与水平方向OC 的夹角为30o ，O 、A 两点相距8√3米． （1）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；（2）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O 点直接打入球洞A 点，并说明理由．【解题思路】（1）分析题意可知，抛物线的顶点坐标为（9，12），经过原点（0，0），设顶点式可求抛物线的解析式；（2）OA 与水平方向OC 的夹角为30°，OA ＝8√3米，解直角三角形可求点A 的坐标，把点A 的横坐标x ＝12代入抛物线解析式，看函数值与点A 的纵坐标是否相符． 【解答过程】解：（1）∵顶点B 的坐标是（9，12）， ∴设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣9）2+12， ∵点O 的坐标是（0，0）∴把点O 的坐标代入得：0＝a （0﹣9）2+12， 解得a =−427，∴抛物线的解析式为y =−427（x ﹣9）2+12 即y =−427x 2+83x ；（2）在Rt△AOC中，∵∠AOC＝30°，OA＝8√3，∴AC＝OA•sin30°＝8√3×12=4√3，OC＝OA•cos30°＝8√3×√32=12．∴点A的坐标为（12，4√3），∵当x＝12时，y=323≠4√3，∴小明这一杆不能把高尔夫球从O点直接打入球洞A点．【变式3-1】如图，运动员甲在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m 时，达到最大高度3.5米，然后准确落入篮圈．已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．（1）建立如图所示的直角坐标系，求抛物线的解析式．（2）该运动员身高1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米处出手，问：球出手时，他跳离地面的高度是多少？（3）运动员乙跳离地面时，最高能摸到3.3m，问：在（2）的条件下，运动员乙在运动员甲与篮板之间的什么范围内能在空中截住球？【解题思路】（1）设抛物线的表达式为y＝ax2+3.5，依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值．（2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，则可得h+2.05＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5．（3）当y＝3.3m，进而代入函数解析式，求出x的值，即可得出答案．【解答过程】解：（1）∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，∴抛物线的顶点坐标为（0，3.5），∴设抛物线的表达式为y＝ax2+3.5．由图知图象过以下点：（1.5，3.05）．∴2.25a+3.5＝3.05，解得：a＝﹣0.2，∴抛物线的表达式为y＝﹣0.2x2+3.5．（2）设球出手时，他跳离地面的高度为hm，因为（1）中求得y＝﹣0.2x2+3.5，则球出手时，球的高度为h+1.8+0.25＝（h+2.05）m，∴h+2.05＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5，∴h＝0.2（m）．答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2m．（3）由题意可得出：y＝3.3，则3.3＝﹣0.2x2+3.5解得：x1＝1，x2＝﹣1，∴2.5﹣1＝1.5（m），1.5﹣1＝0.5（m）∴乙在距离甲1.5米以内或离篮板0.5米以内能在空中截住球．【变式3-2】（2021•嘉善县一模）已知，足球球门高2.44米，宽7.32米（如图1）在射门训练中，一球员接传球后射门，击球点A距离地面0.4米，即AB＝0.4米，球的运动路线是抛物线的一部分，当球的水平移动距离BC为6米时，球恰好到达最高点D，即CD＝4.4米．以直线BC为x轴，以直线AB为y轴建立平面直角坐标系（如图2）．（1）求该抛物线的表达式；（2）若足球恰好击中球门横梁，求该足球运动的水平距离；（3）若要使球直接落在球门内，则该球员应后退m米后接球射门，击球点为A'（如图3），请直接写出m的取值范围．【解题思路】（1）根据条件可以得到抛物线的顶点坐标是（6，4.4），利用待定系数法即可求得函数的解析式；（2）求出当y＝2.44时，x的值，取正；（3）先求出y＝0时，x的值，取正，减去恰好击中球门横梁时，足球的水平距离．【解答过程】解：（1）抛物线的顶点坐标是（6，4.4），设抛物线的解析式是：y＝a（x﹣6）2+4.4，把（0，0.4）代入得36a+4.4＝0.4，解得a=−1 9，则抛物线是y=−19（x﹣6）2+4.4；（2）∵球门高为2.44米，即y＝2.44，则有2.44=−19（x﹣6）2+4.4，解得：x1＝10.2，x2＝1.8，从题干图2中，发现球门在CD右边，∴x＝10.2，即足球运动的水平距离是10.2米；（3）不后退时，刚好击中横梁，∴往后退，则球可以进入球门，而当球落地时，球刚好在门口，是一个临界值，当y＝0时，有0=−19（x﹣6）2+4.4，解得：x1＝6+35√110，x2＝6−35√110，取正值，x＝6+35√110，∴后退的距离需小于6+35√110−10.2＝（35√110−4.2）米故0＜m＜35√110−4.2．【变式3-3】（2020•绍兴）如图1，排球场长为18m，宽为9m，网高为2.24m，队员站在底线O点处发球，球从点O的正上方1.9m的C点发出，运动路线是抛物线的一部分，当球运动到最高点A时，高度为2.88m，即BA＝2.88m，这时水平距离OB＝7m，以直线OB为x轴，直线OC为y轴，建立平面直角坐标系，如图2．（1）若球向正前方运动（即x轴垂直于底线），求球运动的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系式（不必写出x取值范围）．并判断这次发球能否过网？是否出界？说明理由．（2）若球过网后的落点是对方场地①号位内的点P（如图1，点P距底线1m，边线0.5m），问发球点O在底线上的哪个位置？（参考数据：√2取1.4）【解题思路】（1）求出抛物线表达式；再确定x＝9和x＝18时，对应函数的值即可求解；（2）当y＝0时，y=−150（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），求出PQ＝6√2=8.4，即可求解．【解答过程】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣7）2+2.88，将x＝0，y＝1.9代入上式并解得：a=−1 50，故抛物线的表达式为：y=−150（x﹣7）2+2.88；当x＝9时，y=−150（x﹣7）2+2.88＝2.8＞2.24，当x＝18时，y=−150（x﹣7）2+2.88＝0.46＞0，故这次发球过网，但是出界了；（2）如图，分别过点O，P作边线的平行线交于点Q，在Rt△OPQ中，OQ＝18﹣1＝17，当y＝0时，−150（x﹣7）2+2.88＝0，解得：x＝19或﹣5（舍去﹣5），∴OP＝19，而OQ＝17，故PQ＝6√2=8.4，∵9﹣8.4﹣0.5＝0.1，∴发球点O在底线上且距右边线0.1米处．【题型4 利用二次函数解决车过隧道问题】【例4】（2020秋•海淀区校级月考）小宇遇到了这样一个问题：如图是一个单向隧道的断面，隧道顶MCN是一条抛物线的一部分，经测量，隧道顶的跨度MN为4m，最高处到地面的距离CO为4m，两侧墙高AM和BN均为3m，今有宽2.4m的卡车在隧道中间行驶，如果卡车载物后的最高点E到隧道顶面对应的点D的距离应不小于0.6m，那么卡车载物后的限高应是多少米？（精确到0.1m）为解决这个问题，小宇以AB中点O为原点，建立了如图所示的平面直角坐标系，根据上述信息，设抛物线的表达式为y＝ax2+c．（1）写出M、C、N、F四个点的坐标；（2）求出抛物的表达式；（3）利用求出的表达式，帮助小宇解决这个问题．【解题思路】（1）根据题中信息直接写出M、C、N、F四个点的坐标即可；（2）将点M、C点的坐标代入抛物线的表达式为y＝ax2+c，利用待定系数法求解即；（3）在y=−14x2+4中，令x＝1.2，求得相应的y值，从而可得点D的坐标，结合卡车载物后的最高点E到隧道顶面对应的点D的距离应不小于0.6m，可得卡车载物最高点距地面的距离，然后精确到0.1m，即可得出答案．【解答过程】解：（1）由题意得：M（﹣2，3）、C（0，4）、N（2，3）、F（1.2，0）；（2）将M（﹣2，3）、C（0，4）代入y＝ax2+c，得：{4a+c=3c=4，解得：{a=−14 c=4，∴抛物的表达式为y =−14x 2+4；（3）在y =−14x 2+4中，令x ＝1.2，得：y =−14×1.22+4＝3.64，∴点D 的坐标为（1.2，3.64），即点D 与地面的距离为3.64m ，∵卡车载物后的最高点E 到隧道顶面对应的点D 的距离应不小于0.6m ，∴点E 离地面的距离不超过3.04m ，∴卡车载物后的限高应是3.0m ．【变式4-1】（2021•海城市模拟）如图，隧道的横截面由抛物线形和矩形OABC 构成．矩形一边OA 的长是12m ，另一边OC 的长是1m ．抛物线上的最高点D 到地面OA 的距离为7m ．以OA 所在直线为x 轴，以OC 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．（1）求该抛物线所对应的函数表达式．（2）在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度为5m ，求两排灯之间的水平距离．（3）隧道内车辆双向通行，规定车辆必须在中心线两侧行驶，并保持车辆顶部与隧道有不少于13m 的空隙．现有一辆货运汽车，在隧道内距离道路边缘2m 处行驶，求这辆货运汽车载物后的最大高度．【解题思路】（1）设抛物线所对应的函数表达式为y ＝a （x ﹣6）2+7，将点C （0，1）代入所设解析式求出a 的值即可得出函数解析式；（2）将y ＝5代入解析式求出x 的值，将所求x 的值相减可得答案；（3）求出x ＝2时y 的值，再减去13可得答案． 【解答过程】解：（1）由题意设抛物线所对应的函数表达式为y ＝a （x ﹣6）2+7，将点C （0，1）代入上式，36a +7＝1，解得a =−16，∴该抛物线所对应的函数表达式为y =−16(x −6)2+7．（2）把y＝5代入y=−16(x−6)2+7中，−16(x−6)2+7=5，解得x1=6+2√3，x2=6−2√3，6+2√3−(6−2√3)=4√3，所以两排灯之间的水平距离为4√3m；（3）把x＝2代入y=−16(x−6)2+7中，y=−16(2−6)2+7=133，13 3−13=4，所以这辆货运汽车载物后的最大高度为4m．【变式4-2】（2020•武汉模拟）某坦克部队需要经过一个拱桥（如图所示），拱桥的轮廓是抛物线形，拱高OC＝6m，跨度AB＝20m，有5根支柱：AG、MN、CD、EF、BH，相邻两支柱的距离均为5m．（1）以AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，支柱CD所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式；（2）若支柱每米造价为2万元，求5根支柱的总造价；（3）拱桥下面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道是坦克的行进方向，现每辆坦克长4m，宽2m，高3m，行驶速度为24km/h，坦克允许并排行驶，坦克前后左右距离忽略不计，试问120辆该型号坦克从刚开始进入到全部通过这座长1000m的拱桥隧道所需最短时间为多少分钟？【解题思路】（1）根据题目可知A，B，C的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解．（2）把x＝5代入可求出支柱的长度，然后算出总造价即可．（3）先求出坦克方队的长，然后算出速度，从而求得通过隧道的时间即可．【解答过程】【解】（1）设y＝ax2+c，把C（0，6）、B（10，0）代入，得a=−350，c＝6．∴y=−350x2+6．（2）当x＝5时，y=−350×52+6=92，∴EF＝10−92=112，CD＝10﹣6＝4，支柱的总造价为2（2×112+2×10+4）＝70（万元）． （3）∵坦克的高为3米，令y ＝3时，−350x 2+6＝3，解得：x ＝±5√2，∵7＜5√2＜8，坦克宽为2米，∴可以并排3辆坦克行驶，此时坦克方阵的长为120÷3×4＝160（米），坦克的行驶速度为24km /h ＝400米/分，∴通过隧道的最短时间为1000+160400=2.9（分）．【变式4-3】（2020秋•海州区校级期末）施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为8米，宽度OM 为16米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系（如图1所示）．（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（2）隧道下的公路是双向行车道（正中间是一条宽1米的隔离带），其中的一条行车道能否行驶宽3.5米、高5.8米的特种车辆？请通过计算说明；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB ，使A ．D 点在抛物线上．B 、C 点在地面OM 线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．【解题思路】（1）抛物线的顶点坐标为（8，8），则其表达式为：y ＝a （x ﹣8）2+8，将点O （0，0）代入上式，即可求解；（2）双向行车道，正中间是一条宽1米的隔离带，则每个车道宽为7.5米，车沿着隔离带边沿行驶时，车最左侧边沿的x ＝7.5﹣3.5＝4，即可求解；（3）点A 、D 关于函数对称轴对称，则设AD ＝2m ，则AB ＝y =−18（x ﹣8）2+8＝8−18m 2，w ＝AB +AD +DC ＝2m +2AB =−14m 2+2m +16，即可求解．【解答过程】解：（1）抛物线的顶点坐标为（8，8），则其表达式为：y ＝a （x ﹣8）2+8，将点O （0，0）代入上式得：0＝64a +8，解得：a =−18，故函数的表达式为：y =−18（x ﹣8）2+8，即y =−18x 2+2x （0≤x ≤16）；（2）双向行车道，正中间是一条宽1米的隔离带，则每个车道宽为7.5米，车沿着隔离带边沿行驶时，车最左侧边沿的x ＝7.5﹣3.5＝4，当x ＝4时，y ＝6，即允许的最大高度为6米，5.8＜6，故该车辆能通行；（3）设点B （m ，0），则点A （m ，−18m 2+2m ），由抛物线的表达式知，其对称轴为x ＝8，则BC ＝2（8﹣m ）＝16﹣2m ＝AD ，则AB =−18m 2+2m ，则设：w ＝AB +AD +DC ＝2m +2AB =−14m 2+2m +16，∵−14＜0，故w 有最大值，当m ＝4时，w 的最大值为20，故AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是20．【题型5 利用二次函数解决拱桥形问题】【例5】（2020秋•渝水区校级月考）某河上有抛物线形拱桥，当水面离拱顶5m 时，水面宽8m ．一木船宽4m ，高2m ，载货后，木船露出水面的部分为34m ．以拱顶O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，A 、B 为抛物线与水面的交点．（1）B 点的坐标为 ；（2）求抛物线解析式；（3）当水面离拱顶1.8米时，木船能否通过拱桥？【解题思路】（1）当水面距拱顶5m 时，水面宽8m ，则B （4，﹣5）；（2）设抛物线的解析式为y ＝ax 2，将点B 的坐标代入上式即可求解；（3）将x ＝2代入上式，得y =−516x 2=−54，则54+34=2，而1.8＜2，即可求解．【解答过程】解：（1）当水面距拱顶5m 时，水面宽8m ，则点B （4，﹣5），故答案为（4，﹣5）；（2）设抛物线的解析式为y ＝ax 2，将点B 的坐标代入上式得﹣5＝a ×42，解得a =−516，∴该抛物线的解析式为y =−516x 2； （3）将x ＝2代入上式，得y =−516x 2=−54， ∵54+34=2，而1.8＜2，当水面离拱顶1.8米时，木船不能通过拱桥．【变式5-1】（2020秋•泗阳县期末）河上有一座抛物线形的石拱桥，水面宽6m 时，水面离桥拱顶部3m ．（1）如图建立平面直角坐标系，试求抛物线的解析式；（2）一艘装满货物的小船，露出水面部分的高为0.5m ，宽为4m ．现因暴雨河水水位上升了1m ，这艘小船能从这座石拱桥下通过吗？请说明理由．【解题思路】（1）根据题意可以知道A 、B 的坐标，在利用点C 得坐标从而求出抛物线的解析式．（2）代入x ＝2求出y 的值，用其减去1求出可通过船的做最高高度，与0.5比较大小从而得出答案．【解答过程】解：（1）设抛物线的解析式为y ＝a （x ﹣x 1）（x ﹣x 2）．A （﹣3，0），B （3，0），C （0，3）．y ＝a （x +3）（x ﹣3）．在将点C （0，3）带入y ＝a （x +3）（x ﹣3）中的得a =−13，所以抛物线的解析式为y =−13x 2+3，（2）小船可以通过，理由：当x ＝2时，y =−13×22+3=53，∵53−1=23＞0.5，∴暴雨后这艘船能从这座拱桥下通过．【变式5-2】（2021•衢州）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB 与桥长CD 均为24m ，在距离D 点6米的E 处，测得桥面到桥拱的距离EF 为1.5m ，以桥拱顶点O 为原点，桥面为x 轴建立平面直角坐标系．（1）求桥拱顶部O 离水面的距离．（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m 的支柱CG ，OH ，DI ，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m ．①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求彩带长度的最小值．【解题思路】根据题意设出适当的二次函数表达式，利用待定系数法求出表达式，再结合图形进行求解即可；【解答过程】解：（1）根据题意可知点F 的坐标为（6，﹣1.5），可设拱桥侧面所在二次函数表达式为：y 1═a 1x 2．将F （6，﹣1.5）代入y 1═a 1x 2有：﹣1.5═36a 1，求得a 1═−124，∴y 1═−124x 2，当x ═12时，y 1═−124×122═﹣6，∴桥拱顶部离水面高度为6m ．（2）①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），可设其表达式为y 2═a 2（x ﹣6）2+1， 将H （0，4）代入其表达式有：4═a 2（0﹣6）2+1，求得a 2═112， ∴右边钢缆所在抛物线表达式为：y 2═112（x ﹣6）2+1，左边钢缆所在抛物线表达式为：y 3═112（x +6）2+1 ②设彩带的长度为Lm ，则L ═y 2﹣y 1═112（x ﹣6）2+1﹣（−124x 2）═18x 2−x +4═18(x −4)2+2， ∴当x ═4时，L 最小值═2，答：彩带长度的最小值是2m ．【变式5-3】（2021•贵阳）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片．如图①，甲秀楼的桥拱截面OBA 可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA ＝8m ，桥拱顶点B 到水面的距离是4m ．（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；（2）一只宽为1.2m 的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O 点0.4m 时，桥下水位刚好在OA 处，有一名身高1.68m 的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）．（3）如图③，桥拱所在的函数图象是抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0），该抛物线在x 轴下方部分与桥拱OBA 在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移m （m ＞0）个单位长度，平移后的函数图象在8≤x ≤9时，y 的值随x 值的增大而减小，结合函数图象，求m 的取值范围．【解题思路】（1）根据题意结合图象可以求出函数的顶点B （4，4），先设抛物线的顶点式y ＝a （x ﹣4）2+4，再根据图象过原点，求出a 的值即可；（2）先求出工人矩原点的距离，再把距离代入函数解析式求出y 的值，然后和1.68比较即可；（3）根据倒影与桥对称，先求出倒影的解析式，再平移m 各单位，根据二次函数的性质求出m 的取值范围．【解答过程】解：（1）如图②，由题意得：水面宽OA 是8m ，桥拱顶点B 到水面的距离是4m ，。

【大高考】2017版高考数学一轮总复习 第2章 函数的概念与基本初等函数 第3节 二次函数与幂函数模拟创新题 理一、选择题1.(2016·某某某某模拟)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋4在区间[0，m ](m >0)上的最大值为4，最小值为3，则实数m 的取值X 围是( ) A.[1，2]B.(0，1]C.(0，2]D.[1，＋∞)解析 f (0)＝4；f (1)＝3，结合二次函数图象可得1≤m ≤2.故选A. 答案 A2.(2015·某某某某模拟)设函数y ＝x 13与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 解析 构造函数f (x )＝x 13－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，从而转化为函数的零点的问题，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13<0，所以在⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12存在零点，故选B.答案 B3.(2016·某某某某一中月考)若a <0，则下列不等式成立的是( )A.2a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12a>(0.2)aB.(0.2)a>⎝ ⎛⎭⎪⎫12a>2a C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a>(0.2)a>2a D.2a >(0.2)a>⎝ ⎛⎭⎪⎫12a解析 若a <0，则幂函数y ＝x a在(0，＋∞)上是减函数，所以(0.2)a>⎝ ⎛⎭⎪⎫12a>0.所以(0.2)a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12a>2a . 答案 B 二、填空题4.(2016·某某某某联考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式a ·f (－2x )>0的解集是________.解析 依题意得方程x2＋ax ＋b ＝0的两根是－2和3，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3＝－a ，－2×3＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－6.所以f (x )＝x 2－x －6，不等式a ·f (－2x )>0，即为－(4x 2＋2x －6)>0.所以2x 2＋x －3<0，解得－32<x <1.所求解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－32<x <1.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－32<x <1三、解答题5.(2014·某某模拟)指出函数f (x )＝x 2＋4x ＋5x 2＋4x ＋4的单调区间，并比较f (－π)与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22的大小.解 f (x )＝x 2＋4x ＋5x 2＋4x ＋4＝1＋1（x ＋2）2＝1＋(x ＋2)－2，其图象可由幂函数y ＝x －2向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，所以该函数在(－2，＋∞)上是减函数，在(－∞，－2)上是增函数，且其图象关于直线x ＝－2对称(如图).又∵－2－(－π)＝π－2＜－22－(－2)＝2－22， ∴f (－π)＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22.创新导向题二次函数图象的应用6.已知“0<t <m (m >0)”是“函数f (x )＝－x 2－tx ＋3t 在区间(0，2)上只有一个零点”的充分不必要条件，则m 的取值X 围是( ) A.(0，2)B.(0，2]C.(0，4)D.(0，4]解析 由f (x )在区间(0，2)上只有一个零点得f (0)·f (2)<0，解得0<t <4，由题意得(0，m )(0，4)，所以0<m <4，故选C.答案 C专项提升测试 模拟精选题一、选择题7.(2016·某某滨州模拟)定义在R 上的函数f (x )，当x ∈(－1，1]时，f (x )＝x 2－x ，且对任意的x 满足f (x －2)＝af (x )(常数a >0)，则函数f (x )在区间(5，7]上的最小值是( ) A.－14a 3B.14a 3 C.14a3 D.－14a3解析 f (x －2)＝af (x )⇒f (x －4)＝af (x －2)＝a 2f (x )⇒f (x －6)＝af (x －4)＝a 3f (x )，x ∈(5，7]⇒x －6∈(－1，1]，则f (x )＝1a 3f (x －6)＝1a 3[(x －6)2－(x －6)]＝1a 3⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －6）－122－14a 3，当x －6＝12时，f (x )有最小值为－14a3. 答案 D8.(2015·某某某某模拟)已知幂函数f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫18，24，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)(x 1<x 2)是函数图象上的任意不同两点，给出以下结论： ①x 1f (x 1)>x 2f (x 2)；②x 1f (x 2)<x 2f (x 1)；③f （x 1）x 1>f （x 2）x 2；④f （x 1）x 1<f （x 2）x 2. 其中正确结论的序号是( ) A.①②B.①③C.②④D.②③解析 设幂函数为y ＝x n，则有⎝ ⎛⎭⎪⎫18n ＝2－3n ＝24＝2－32，得n ＝12，则幂函数为y ＝x ，由其图象知图象上的点与原点连线的直线的斜率随x 增大而减小，即f （x 2）x 2<f （x 1）x 1，x 1f (x 2)<x 2f (x 1)，所以②③正确，选D.答案 D 二、填空题9.(2016·某某天门模拟)已知幂函数y ＝xm 2－2m －3(m ∈N *)的图象与x 轴，y 轴无交点，且关于原点对称，则m 的值为________. 解析 由题意m 2－2m －3<0，解得－1<m <3，∵m ∈N *，∴m ＝1，2，幂函数图象关于原点对称，则函数为奇函数，当m ＝1时，y ＝x －4为偶函数；当m ＝2时，y ＝x －3满足条件，即m ＝2. 答案 2 三、解答题10.(2015·某某七校模拟)已知函数f (x )＝x 2＋(x －1)·|x －a |. (1)若a ＝－1，解方程f (x )＝1；(2)若函数f (x ) 在R 上单调递增，某某数a 的取值X 围；(3)若a <1且不等式f (x )≥2x －3对一切实数x ∈R 恒成立，求a 的取值X 围.解 (1)当a ＝－1时，有f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－1，x ≥－1，1，x <－1.当x ≥－1时，2x 2－1＝1， 解得：x ＝1或x ＝－1， 当x <－1时，f (x )＝1恒成立. ∴方程的解集为：{x |x ≤－1或x ＝1}.(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－（a ＋1）x ＋a ，x ≥a ，（a ＋1）x －a ，x <a .若f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋14≤a a ＋1>0，解得：a ≥13，即实数a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞.(3)设g (x )＝f (x )－(2x －3)，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2－（a ＋3）x ＋a ＋3，x ≥a ，（a －1）x －a ＋3，x <a .即不等式g (x )≥0对一切实数x ∈R 恒成立.∵a <1，∴当x <a 时，g (x )单调递减，其值域为：(a 2－2a ＋3，＋∞). ∵a 2－2a ＋3＝(a －1)2＋2≥2，∴g (x )≥0恒成立.当x ≥a 时，∵a <1，∴a <a ＋34，∴g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋34＝a ＋3－（a ＋3）28≥0，得－3≤a ≤5.∵a <1，∴－3≤a <1，综上：a 的取值X 围是[－3，1).创新导向题利用二次函数单调性求参数取值X 围11.已知函数f (x )＝－2x 2＋|x |＋1，若f (log 2m )>f (3)，则实数m 的取值X 围是________. 解析 f (3)＝－2×32＋3＋1＝－14，若f (log 2m )>f (3)，则－3<log 2m <3， 所以18<m <8.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫18，8 幂函数的解析式及求值12.已知幂函数y ＝f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22，则lg f (2)＋lg f (5)＝________.解析 设f (x )＝x α，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝22，解得α＝12，故f (x )＝x 12，所以lg f (2)＋lg f (5)＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫212×512＝lg 1012＝12. 答案 12。

26.1二次函数(A 卷)(100分 60分钟)一、选择题:(每题4分,共28分)1.若函数2221()m m y m m x --=+是二次函数,那么m 的值是A.2B.-1或3C.3D.1-±2.满足函数y=x 2-4x-4的一个点是( ) A.(4,4) B.(3,-1); C.(-2,-8) D. 1171,24⎛⎫- ⎪⎝⎭3.无论m 为何实数,二次函数y=x 2-(2-m)x+m 的图象总是过定点( )A.(1,3)B.(1,0);C.(-1,3)D.(-1,0)4.在函数y=1x -中,自变量x 的取值范围是( )A.x≠1B.x>0;C.x>0且x≠1D.x≥0且x≠1 5.在直角坐标系中,坐标轴上到点P(-3,-4)的距离等于5的点共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.在函数y=29x x +-中,自变量x 的取值范围是( )A.x>-2且x≠-3;B.x>-2且x≠3;C.x≥-2且x≠±3;D.x≥-2且x≠3 7.下列函数中,是二次函数的是( ) A.y=8x 2+1 B.y=8x+1; C.y=8xD.y=28x二、填空题:(每题5分,共45分)y=-x+2x>1y=x 2-1≤x ≤1y=x+2x<-1输入x 值(1) (2) (3)8.形如_______________的函数叫做二次函数.9.如图1所示,某校小农场要盖一排三间长方形的羊圈,打算一面利用一堵旧墙, 其余各面用木棍围成栅栏,该校计划用木棍围出总长为24m 的栅栏. 设每间羊圈的B ACDx B 长为xm.(1)请你用含x 的关系式来表示围成三间羊圈所利用的旧墙的总长度L=_______,三间羊圈的总面积S=____________;(2)S 可以看成x 的_________,这里自变量x 的取值范围是_________; (3)请计算,当羊圈的长分别为2m 、3m 、4m 和5m 时,羊圈的总面积分别为_____、_____、______、______,在这些数中,x 取_____m 时,面积S 最大.10.如图2所示,长方体的底面是边长为xcm 的正方形,高为6cm,请你用含x 的代数式表示这个长方体的侧面展开图的面积S=________,长方体的体积为V=__________,各边长的和L=__________,在上面的三个函数中,_______是关于x 的二次函数.11.根据如图3所示的程序计算函数值. (1)当输入的x 的值为23时,输出的结果为________;(2)当输入的数为________时,输出的值为-4.12.如图4所示,要用总长为20m 的铁栏杆,一面靠墙, 围成一个矩形的花圃, 若设AB 的长为xm,则矩形的面积y=_______________.13.某商店将每件进价为8元的某种商品每件10元出售,一天可销出约100件. 该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润.经过市场调查,发现这种商品单价每降低0.1元,其销售量可增加10件,将这 种商品的售价降低x 元时, 则销售利润y=_________. 14.函数710x x -+中,自变量x 的取值范围是___________.15.y=(m 2-2m-3)x 2+(m-1)x+m 2是关于x 的二次函数要满足的条件是_______.16.如图5所示,有一根长60cm 的铁丝,用它围成一个矩形,写出矩形面积S(cm 2)与它的一边长x(cm)之间的函数关系式____________. 三、解答题:(27分)17.(12分)心理学家发现,在一定的时间范围内,学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x(单位:分钟)之间满足函数关系y=-0.1x 2+2.6x+43(0≤x≤30),y 的值越大,表示接受能力越强.(1)若用10分钟提出概念,学生的接受能力y 的值是多少?(2)如果改用8分钟或15分钟来提出这一概念,那么与用10分钟相比,学生的接受能力是增强了还是减弱了?通过计算来回答.18.(15分)已知正方形的周长是Ccm,面积是Scm 2.(1)求S 与C 之间的函数关系式;(2)当S=1cm 2时,求正方形的边长;(3)当C 取什么值时,S≥4cm 2?BRACD PGl26.1 二次函数(B 卷)(100分 90分钟)一、学科内综合题:(每题6分,共18分)1.如图所示,在直角梯形ABCD 中,∠A=∠D=90°,截取AE=BF=DG=x.已知AB=6,CD=3,AD=4.求四边形CGEF 的面积S 关于x 的函数表达式和x 的取值范围.x x BF ACD E x G2.如图所示,在△ABC 中是AC 上与A 、C 不重合的一个动点,过P 、B 、C 的⊙O 交AB 于D.设PA=x,PC 2+PD 2=y,求y 与x 的函数关系式,并确定x 的取值范围.3.如图所示,有一边长为5cm 的正方形ABCD 和等腰三角形PQR,PQ= PR= 3cm, QR=8cm,点B 、C 、Q 、R 在同一条直线L 上,当C 、Q 两点重合时,等腰三角形PQR 以1cm/ 秒的速度沿直线L 按箭头所示的方向开始匀速运动,t 秒后正方形ABCD 与等腰△PQR重合部分的面积为Scm 2.解答下列问题:(1)当t=3时,求S 的值;(2)当t=5时,求S 的值;(3)当5≤t≤8时,求S 与t 之间的函数关系式.BRA CD PQ lB HRAC D PQ G l二、学科间综合题:(7分)4.一个人的血压与其年龄及性别有关,对女性来说,正常的收缩压p(毫米汞柱) 与年龄x(岁)大致满足关系式p=0.01x 2+0.05x+107;对男性来说,正常的收缩压p( 毫米汞柱)与年龄x(岁)大致满足关系式p=0.006x 2-0.02x+120.(1)利用公式计算你的收缩压;(2)如果一个女性的收缩压为120毫米汞柱,那么她的年龄大概是多少岁?(1毫米汞柱=133.3224帕)(3)如果一个男性的收缩压为130毫米汞柱,那么他的年龄大概是多少岁?三、应用题:(每题9分,共36分)5.如图所示,在矩形ABCD中,AB=6厘米,BC=12厘米,点P在线段AB上,P从点A 开始沿AB边以1厘米/秒的速度向点B移动.点E为线段BC的中点,点Q从E点开始,沿EC以1厘米/秒的速度向点C移动.如果P、Q同时分别从A、E出发,写出出发时间t与△BPQ的面积S的函数关系式,求出t的取值范围.QA6.某化工材料经销公司购进了一批化工原料共7000千克, 购进价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元.市场调查发现,单价定为70元时,日均销售60千克;单价每降低1元,每天多售出2千克. 在销售过程中,每天还要支出其他费用500元(天数不足一天时,按一天计算).设销售单价为x元,日均获利为y元.请你求出y关于x的二次函数关系式,并注明x的取值范围.7.某商场以每件30元的价格购进一种商品,试销中发现,这种商品每天的销售量m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数关系m=162-3x. 请写出商场卖这种商品每天的销售利润y(元)与每件销售价x(元)之间的函数关系式.8.某公司试销一种成本单价为500元/件的新产品, 规定试销时的销售单价不低于成本单价,又不高于800元/件.试销时,发现销售量y(件)与销售价x(元/件)的关系可近似看作一次函数y=kx+b(k≠0),如图所示.(1)根据图象,求一次函数y=kx+b的表达式;(2)设公司获得的毛利润(毛利润=销售总价-成本总价)为S元, 试用销售单价表示毛利润S./件)四、创新题:(每题10分,共20分) (一)教材中的变型题9.(教材P4第3题变题)已知二次函数y=ax 2+(km+c),当x=3时,y=15;当x=-2时,y=5,试求y 与x 之间的函数关系式.(二)多变题10.如图所示,在边长为4的正方形EFCD 上截去一角,成为五边形ABCDE, 其中AF=2,BF=1,在AB 上取一点P,设P 到DE 的距离PM=x,P 到CD 的距离PN=y,试写出矩形PMDN 的面积S 与x 之间的函数关系式.FEB ACD PN五、中考题:(19分)11.(2002,昆明,8分)某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌, 广告设计费为每平方米1000元,设矩形一边长为x 米,面积为S 平方米.(1)求出S 与x 之间的函数关系式,并确定自变量x 的取值范围.(2)为使广告牌美观、大方,要求做成黄金矩形,请你按要求设计,并计算出可获得的设计费是多少?(精确到元)12.(2004,黄冈,11分)心理学家研究发现,一般情况下, 学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化,讲课开始时,学生的注意力逐步增强, 中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的状态,随后学生的注意力开始分散.经过实验分析可知, 学生的注意力y 随时间t 的变化规律有如下关系式:224100(0100)240(1020)7380(2040)t y t y t t t ⎧-++<≤⎪=<≤⎨⎪-+<≤⎩(1)讲课开始后第5分钟时与讲课开始后第25分钟时比较, 何时学生的注意力更集中?(2)讲课开始后多少分钟,学生的注意力最集中?能持续多少分钟?(3)一道数学难题,需要讲解24分钟,为了效果较好,要求学生的注意力最低达到180,那么经过适当安排,老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目?26.1 二次函数(C 卷)(30分 45分钟)一、实践题:(10分)1.某高科技发展公司投资500万元,成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品,并投入资金1500万元进行批量生产.已知生产每件产品的成本为40元, 在销售过程中发现,当销售单价定为100元时,年销售时为20万件;销售单价每增加10元, 年销售量将减少1万件.设第一年销售单价为x 元,销售量为y 万件,获利(年获利=年销售额-生产成本-投资)为z 万元.(1)试写出y 与x 之间的函数关系式;(不必写出x 的取值范围) (2)试写出z 与x 之间的函数关系式;(不必写出x 的取值范围)(3)计算销售单价为160元时的获利,并说明同样的获利,销售单价还可以定为多少元?相应的销售量分别为多少万件?二、竞赛题:(每题10分,共20分)2.已知:如图所示,BD 为⊙O 的直径,且BD=8, DM 是圆周的14,A 为 DM 上任意一点, 取AC=AB,交BD 的延长线于C,连结OA,并作AE⊥BD 于E,设AB=x,CD=y.(1)写出y 关于x 的函数关系式; (2)当x 为何值时,CA 是⊙O 的切线?(3)当CA 与⊙O 相切时,求tan∠OAE 的值.EBM ACD O3.如图所示,△ABC 中,BC=4,∠B=45°,AB=,M 、N 分别是AB 、AC 上的点,MN∥BC.设MN=x,△MNC 的面积为S.(1)求出S 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围.(2)是否存在平行于BC 的线段MN,使△MNC 的面积等于2?若存在,请求出MN 的长; 若不存在,请说明理由.二次函数A 卷答案:一、1.C 2.D 3.C 4.D 5.C 6.D 7.A二、8.y=ax 2+bx+c(a 、b 、c 为常数,a≠0)9.(1)-4x+24;-4x 2+24x (2)二次函数;0<x<6(3)32m 2;36m 2;32m 2;20m 2;310.24x;6x 2;8x+24;V=6x 211.(1)49(2)6或-612.y=-2x 2+20x(0<x<10)13.y=-100x 2+100x+200(0≤x≤2) 14.x>3且x≠5 15.m≠-1且m≠316.S=-x 2+30x(0<x<30)三、17.解:(1)当x=10时,y=-0.1x 2+2.6x+43=-0.1³102+2.6³10+43=59.(2)当x=8时,y=0.1x 2+2.6x+43=-0.1³82+2.6³8+43=57.4, ∴用8分钟与用10分钟相比,学生的接受能力减弱了;当x=15时,y=-0.1x 2+2.6x+43=-0.1³152+2.6³15+43=59.5. ∴用15分钟与用10分钟相比,学生的接受能力增强了.18.解:(1)S=221416C C ⎛⎫= ⎪⎝⎭(2)当S=1时,由 2116S C =,得1=2116C ,∴C=4或C=-4(舍去).∴C=4,∴正方形边长为1cm. (3)∵S=2116C ,∴欲使S≥4,需2116C ≥4,∴C 2≥64.∴C≥8或C≤-8(舍去), ∴C≥8.B 卷答案: 一、1.解:S=S 梯形ABCD -S △EGD -S △EFA -S △BCF =12³(3+6)³4-12x(4-x)-12x(6-x)-12³4x=x 2-7x+18∵30 40 60 xxxx>⎧⎪->⎪⎨->⎪⎪->⎩∴0<x<3,故S=x2-7x+18(0<x<3).2.解:∵AB=∴AB2)2 =48,AC2=62=36,BC2)2=12.∴AB2=AC2+BC2.∴△ABC为直角三角形,且∠A=30°.连结PB,则PB为⊙O的直径.∴PD⊥AB.∵在Rt△APD中,∠A=30°,PA=x,∴PD=12x,∴y=PC2+PD2=(6-x)2+22x⎛⎫⎪⎝⎭=254x-12x+36(0<x<6).3.解:(1)作PE⊥QR于E,∵PQ=PR,∴QE=RE=12QR=12当t=3时,QC=3,设PQ 与DC相交于点G.∵PE∥DC,∴△QCG∽△QEP,∴234QEPSS∆⎛⎫= ⎪⎝⎭,∵S△QEP=12³4³3=6,∴S=2327648⎛⎫⨯=⎪⎝⎭(cm2)(2)当t=5时,CR=3.设PR与DC交于G,由△RCG∽△REP可求出S△RCG=278,∴S=S△PBR-S△RCG=12-278=698(cm2)(3)当5≤t≤8时,如答图所示,QB=t-5,RC=8-t. 设PQ 交AB 于点H,由△QBH ∽△QEP,得S △QBH =23(5)8t -.设PR 交CD 于G,由△PCG∽△REP,得S △RCG =38(8-t)2.∴S=12-23(5)8t --23(8)8t -=2339171448t t -+-即关系式为S=2339171448t t -+-.二、4.解:(1)根据解答者的性别、年龄实事求是地代入即可.(2)把p=120代入p=0.01x 2+0.05x+107,得120=0.01x 2+0.05x+107.解得x 1≈-39(舍去),x 2=34. 故该女性的年龄大约为34岁.(3)把p=130代入p=0.006x 2-0.02x+120,得130=0.006x 2-0.02x+120. 解得x 1≈-39(舍去),x 2=43. 故该男性的年龄大约为43岁. 三、5.解:∵PB=6-t,BE+EQ=6+t, ∴S=12PB ²BQ=12PB ²(BE+EQ)= 12(6-t)(6+t)=-12t 2+18.∴S=-12t 2+18(0≤t≤6).6.解:若销售单价为x 元,则每千克降低(70-x)元,日均多销售出2(70-x)千克,日均销售量为[60+2(70-x)]千克,每千克获利(x-30)元.依题意,得 y=(x-30)[60+2(70-x)]-500 =-2x2+260x-6500(30≤x≤70). 即y=-2x2+260x-6500(30≤x≤70).7.解:由题意,得每件商品的销售利润为(x-30)元,那么m 件的销售利润为y=m(x-30).又∵m=162-3x,∴y=(x -30)(162-3x),即y=-3x 2+252x-4860.∵x -30≥0,∴x≥30.又∴m≥0,∴162-3x≥0,即x≤54. ∴30≤x≤54.∴所求关系式为y=-3x 2+252x-4860(30≤x≤54).8.解:(1)由图象可知,当x=600时,y=400;当x=700时,y=300,代入y=kx+b中,得400600 300700k bk b=+⎧⎨=+⎩解得k=-1,b=1000∴y=-x+1000(500≤x≤800)(2)销售总价=销售单价³销售量=xy,成本总价=成本单价³销售量=500y,代入毛利润公式,得S=xy-500y=x(-x+1000)-500(-x+1000)=-x2+1500x-500000.∴S=-x2+1500x-500000(500≤x≤800)四、(一)9.解:把x=3,y=15;x=-2,y=5分别代入y=ax2+(xm+c),得9()15 4()5a km ca km c++=⎧⎨++=⎩解得a=2,km+c=-3, ∴y=2x2-3.(二)10.解:如答图,S矩形PNDM=xy,且2≤x≤4.延长NP交EF于G,显然PG∥BF.故PG AGBF AF=,即4212y x--=,∴y=-12x+5,∴S=xy=-12x2+5x,即S=-12x2+5x(2≤x≤4).五、11.解:(1)由矩形的一边长为x米,得另一边长为1222x-⎛⎫⎪⎝⎭米,即(6-x)米,∴S=x(6-x)=-x2+6x,即S=-x2+6x,其中0<x<6.(2)设此黄金矩形的长为x米,宽为y米,则由题意,得2()6x y x yx y⎧=+⎨+=⎩,解得39xy⎧=⎪⎨=-⎪⎩即当把矩形的长设计为3-米时,矩形将成为黄金矩形,此时S=xy=(3-)(9-2)-;可获得的设计费为2)³1000≈8498(元).12.解:(1)当t=5时,y=195,当t=25时,y=205.∴讲课开始后第25分钟时学生的注意力比讲课开始后第5分钟时更集中.(2)当0<t≤10时,y=-t 2+24t+100=-(t-12)2+244,该图的对称轴为t=12, 在对称轴左侧,y 随x 的增大而增大,所以,当t=10时,y 有最大值240.当10<t≤20时,y=240.当20<t≤40时,y=-7t+380,y 随x 的增大而减小,故此时y<240.所以,当t=20时,y 有最大值240.所以,讲课开始后10分钟时,学生的注意力最集中,能持续10分钟.(3)当0<t≤10,令y=-t 2+24t+100=180,∴t=4.当20<t≤40时,令=-7t+380=180,∴t=28.57.所以,老师可以经过适当安排,能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目.二次函数C 卷答案:一、1.解:(1)y=20-10010x -³1=-0.1x+30.(2)z=y ²x-40y-500-1500=(30-0.1x)x-40(30-0.1x)-2000=30x-0.1x 2-1200+4x-2000=-0.1x 2+34x-3200.(3)当x=160时,z=-0.1x 2+34x-3200=-0.1³1602+34³160-3200=-320.把z=- 320代入z=-0.1x 2+34x-3200,得-320=-0.1x 2+34x-3200,x 2-340x+28800=0,∴(x -160) (x-180)=0.∴x=160或x=180.当x=160时,y=-0.1x+30=-0.1³160+30=14(万件);当x=180时,y=-0.1x+30=-0.1³180+30=12(万件).二、2.解:(1)∵OA=OB,AB=AC,∴△AOB 和△ABC 是等腰三角形.∴∠B=∠BAO=∠C.∴△AOB∽△BAC. ∴ABO B BCAB =, 即 48x y x =+, ∴y=2184x -∵A 为 MD 上任意一点,BM≤AB≤BD,而==∴∴y=2184x - ((2)若OA⊥CA,则AC 为⊙O 的切线,即当OC 2=OA 2+AC 2时,OA⊥CA,∴(4+y)2=42+ x 2,即y 2+8y=x 2.由y=14x 2-8和y 2+8y=x 2两式可得y=4,∴x=,即当时,CA 是⊙O 的切线.(3)由(2)得,CA 是⊙O 的切线,此时y=4,而OE=BE-OB=12==∴tan∠OAE=3O E AE ==.3.解:(1)过点A 作AD⊥BC 于D,则有³sin450=32=. 设△MNC 的MN 边上的高为h,∵MN∥BC,∴343x h -=. ∴h=1234x -, ∴S=12MN ²h=21123332482x x x x -=-+ , 即S=23382x x -+ (0<x<4).(2)若存在这样的线段MN,使S △MNC =2,则方程 23382x x -+=2必有实根, 即3x 2-12x+16=0 必有实根.但△=(-12)2-4³3³16=-48<0,说明此方程无实根,所以不存在这样的线段MN.。

二次函数实际问题之拱桥问题拱桥是一种常见而美丽的建筑形式，它不仅具备实用功能，还能展示人类的工程智慧和美感。

在数学中，我们可以通过二次函数来研究拱桥的形状和特性。

在本文中，我将探讨二次函数在拱桥问题中的应用，并深入分析拱桥的建设、维护和设计过程。

1. 什么是二次函数？二次函数是一种常见的函数形式，它的一般表达式为f(x) = ax^2 +bx + c，其中a、b、c为常数。

二次函数的图像呈现出拱形或倒U形，其特点是在抛物线的顶点处有极值，也就是最高点或最低点。

这个性质使得二次函数在拱桥的研究中十分有用。

2. 拱桥问题的背景拱桥是一种由石头、混凝土等材料构成的桥梁，它通常被用于跨越河流、道路等障碍物。

拱桥在建筑和土木工程领域中扮演着重要的角色，因为它具备良好的承重能力和抗压性能。

为了确保拱桥的稳定和安全，工程师需要对其结构进行精确的设计和分析。

3. 拱桥的建设和维护拱桥的建设需要考虑许多因素，包括地理条件、基础设施、荷载等。

为了使拱桥具备足够的承重能力，工程师需要合理地确定拱的形状和高度。

在这个过程中，二次函数可以帮助我们建立与拱桥形状相关的方程。

通过研究这个方程，我们可以了解拱桥的强度和稳定性，并做出相应的调整和改进。

4. 二次函数在拱桥设计中的应用在拱桥设计中，二次函数可以帮助我们确定拱桥的最高点、最低点和抛物线的形状。

通过调整二次函数的参数，工程师可以得到不同形状和高度的拱桥。

二次函数还可以帮助我们计算拱桥的支持点位置、曲率和承重能力。

通过分析二次函数的图像和方程，我们可以预测拱桥在不同荷载下的行为，并为拱桥的设计提供指导。

5. 个人观点和理解作为一个写手，我对拱桥问题有着浓厚的兴趣。

通过研究二次函数在拱桥设计中的应用，我深刻意识到数学在工程中的重要性。

二次函数不仅能描述拱桥的形状和特性，还可以帮助我们预测和优化拱桥的结构。

在今后的工作中，我希望能继续深入研究拱桥问题，并与工程师们合作，为建设更安全、美观的拱桥贡献自己的力量。

二次函数创新应用题（数海遨游20231023）1．2023年5月8日，C919商业首航完成——中国民商业运营国产大飞机正式起步．12时31分航班抵达北京首都机场，穿过隆重的“水门礼”（寓意“接风洗尘”、是国际民航中高级别的礼仪）．如图①，在一次“水门礼”的预演中，两辆消防车面向飞机喷射水柱，喷射的两条水柱近似看作形状相同的地物线的一部分．如图②，当两辆消防车喷水口A、B的水平距离为80米时，两条水柱在物线的顶点H处相遇，此时相遇点H 距地面20米，喷水口A、B距地面均为4米．若两辆消防车同时后退10米，两条水柱的形状及喷水口A'、B'到地面的距离均保持不变，则此时两条水柱相遇点H'距地面__________米．2．一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．(1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）．(2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．的范围内可以接到沙包，求符合条件的点的距离更近，请通过计算判断乒乓球到球台的竖直高度记为y （单位：cm ），乒乓球运行的水平距离记为x （单位：cm ）．测得如下数据：xOy ()(2)①当乒乓球到达最高点时，与球台之间的距离是__________cm ，当乒乓球落在对面球台上时，到起始点的水平距离是__________cm ；②求满足条件的抛物线解析式；(3)技术分析：如果只上下调整击球高度OA ，乒乓球的运行轨迹形状不变，那么为了确保乒乓球既能过网，又能落在对面球台上，需要计算出OA 的取值范围，以利于有针对性的训练．如图②．乒乓球台长cm cm 水平距离x /cm 0105090竖直高度y /cm 28.753345496．【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm ，开始放水后每隔10min 观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：流水时间t /min010203040水面高度h /cm （观察值）302928.12725.8任务1分别计算表中每隔10min 水面高度观察值的变化量．【建立模型】小组讨论发现：“0=t ，30h =”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h 与流水时间t 的关系．任务2利用0=t 时，30h =；10t =时，29h =这两组数据求水面高度h 与流水时间t 的函数解析式．【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t 为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h 的观察值之差的平方和．．．．．．，记为w ；w 越小，偏差越小．任务3（1）计算任务2得到的函数解析式的w 值．（2）请确定经过()0,30的一次函数解析式，使得w 的值最小．【设计刻度】得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．任务4请你简要写出时间刻度的设计方案．7.如图，水池中心点O 处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O 在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m 时，水柱落点距O 点2.5m ；喷头高4m 时，水柱落点距O 点3m ．那么喷头高m 时，水柱落点距O 点4m ．。

二次函数创新题型展播二次函数的命题，除常规题外，还出现了形式新颖的创新题，现采撷几例列举归类如下.一.开放探究型例1 有一个二次函数图象，三位学生分别说出了它的一些特点:甲:对称轴是直线x=4;乙:与x 轴的两个交点的横坐标都为整数;丙:与y 轴交点的纵坐标也是整数.且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.请你写出满足上述特点的一个二次函数的解析式____________.评注:本题答案不唯一，但必须同时满足甲、乙、丙生说出的三个特征，解题时抓住对称轴确定抛物线与x 轴的两个交点是关键.二.阅读理解型例2 (1) 阅读以下材料并完成后面的问题：将直线32-=x y 向右平移3个单位，再向上平移1个单位，求平移后的直线的解析式.(2)将二次函数322++-=x x y 的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的抛物线的解析式（平移后抛物线的形状不变）.评注：阅读理解一般有三种题型：①通过阅读理解，改正解题中的错误；②通过阅读理解，揭示数学思想方法；③通过阅读材料，解相关问题.本题属于第③类问题，解决这类问题的关键是弄清解题思路和方法，比较求解问题与材料的异同点，根据材料中提供的方法确定解题方案.三.方案决策型例3 某工厂的某件产品按质量分成10个档次，生产第一档次（即最低档档次）的产品一天生产76件，每件利润10元，每提高一个档次，利润每件增加2元.⑴当每件利润为16元时，此产品质量在第几档次？⑵由于生产工序不同，此产品每提高一个档次，一天生产量减少4件，若生产第x 档的产品一天的利润为y 元（其中x 为整数，且1≤x≤10），求出y 关于x 的函数解析式；⑶若生产某档次产品一天的总利润为1080元，该工厂生产的产是第几档的产品？⑷为了获得最大的利润，厂长决定每天都生产第10档次的产品，厂长的这一决定是否正确？你是怎样看待这个问题的？分析：⑴设产品质量为第x 档次，则每提高一个档次利润增加2(x －1)元，由每件利润为16元，可列方程求解；⑵每件利润变为[10＋2(x －1)]元，生产的件数为[76－4(x －1)]件，于是y=[10＋2(x －1)][76－4(x －1)]化简后，即得y 与x 之间的关系式；⑶是一个已知函数值y ，求自变量x 的值的问题，需解一元二次方程；⑷利用二次函数的性质，求出x为何值时获得最大利润，就能判断厂长的决策的正确与否.评注：本题综合运用方程和二次函数的知识来解决经营类型中的决策问题，其中利用方程的知识求得的解，要注意解的合理性；题目的第⑷问是对决策的正确与否进行探究，通过运用二次函数的性质说明了厂长的决定是错误的.本题设置新颖，让学生在解题中体会数学的作用，这正是新课标所要凸现的学习理念.牛刀小试:1.根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）的一个解x的范围是（）.Ａ. 6<x<6.17 Ｂ. 6.17<x<6.18Ｃ. 6.18<x<6.19 Ｄ. 6.19<x<6.202.请选择一组你喜欢的a、b、c的值，使二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象同时满足下列条件：①开口向下；②当x<2，y随x的增大而增大，当x>2时，y随x的增大而减小，这样的二次函数解析式是 .参考答案:1. C 2. 由题意知x=2是它的对称轴，a值为负数，可设顶点或方程y=a （x-2）2+k，其中a<0，k为全体实数，不妨设a=-1，k=1，∴ y=-（x-2）2+1，展开后得y=-x2+4x-3.从而求出解析式.。

二次函数创新试题解题方法一、与几何图形结合类。

题1。

已知二次函数y = x^2+bx + c的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C(0,-3)，对称轴是直线x = 1。

求二次函数的表达式；若点P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，过点P作x轴的平行线交对称轴于点M，交y轴于点N，当四边形OPMN为平行四边形时，求点P的坐标。

解析。

对于二次函数y=ax^2+bx + c，对称轴公式为x =-(b)/(2a)。

已知对称轴x = 1，a = 1，则-(b)/(2×1)=1，解得b=- 2。

又因为函数图象过点C(0,-3)，把x = 0，y=-3代入y=x^2-2x + c得c=-3。

所以二次函数表达式为y=x^2-2x - 3。

设点P的横坐标为m(m>1)，则P(m,m^2-2m - 3)。

因为PN∥ x轴，对称轴为x = 1，所以M(1,m^2-2m - 3)，N(0,m^2-2m - 3)。

因为四边形OPMN为平行四边形，所以PN=OM。

PN=m，OM = 1，所以m = 1（舍去）或m=3。

当m = 3时，y=3^2-2×3-3=0，所以P(3,0)。

题2。

二次函数y=-x^2+bx + c的图象与x轴交于A(-1,0)，B(3,0)两点。

求二次函数的表达式；设点P是抛物线上在第一象限内的一个动点，求使ABP面积最大时的点P的坐标。

解析。

因为二次函数y=-x^2+bx + c的图象与x轴交于A(-1,0)，B(3,0)两点。

将A、B两点代入函数可得-1 - b + c=0 -9 + 3b + c=0两式相减得：-9+3b + c-(-1 - b + c)=0-9 + 3b + c + 1 + b - c=04b-8 = 0，解得b = 2把b = 2代入-1 - b + c=0得-1-2 + c=0，解得c = 3所以二次函数表达式为y=-x^2+2x + 3。

第1课时实际问题与二次函数(1)知能演练提升一、能力提升1.生产季节性产品的企业,当它的产品无利润时就会及时停产.现有一生产季节性产品的企业,其一年中每月获得的利润y和月份n之间的函数解析式为y=-n2+14n-24,则该企业一年中应停产的月份是()A.1月、2月、3月B.2月、3月、4月C.1月、2月、12月D.1月、11月、12月2.如图,在正方形ABCD中,AB=8 cm,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别从B,C两点同时出发,以1 cm/s的速度沿BC,CD运动,到点C,D时停止运动.设运动时间为t(单位:s),△OEF的面积为S(单位:cm2),则S与t的函数关系可用图象表示为()3.某果园有100棵橘子树,平均每一棵树结600个橘子.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橘子.设果园增种x棵橘子树,果园橘子总个数为y,则果园里增种棵橘子树,橘子总个数最多.4.某电商销售一款夏季时装,进价40元/件,售价110元/件,每天销售20件,每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元(a>0).未来30天,这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动,即从第1天起每天的单价均比前一天降1元.通过市场调研发现,该时装单价每降1元,每天销量增加4件.在这30天内,要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t(t为正整数)的增大而增大,a的取值范围应为.5.“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中,因此,越来越多的人喜欢骑自行车出行.某自行车店在销售某型号自行车时,以高出进价的50%标价.已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同.(1)求该型号自行车的进价和标价分别是多少元?(2)若该型号自行车的进价不变,按(1)中的标价出售,则该店平均每月可售出51辆;若每辆自行车每降价20元,则每月可多售出3辆,求该型号自行车降价多少元时,每月获利最大?最大利润是多少?6.某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用周长为30 m的篱笆围成.已知墙长为18 m(如图所示),设这个苗圃园垂直于墙的一边长为x m.(1)若苗圃园的面积为72 m2,求x.(2)若平行于墙的一边长不小于8 m,这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗?如果有,求出最大值和最小值;如果没有,请说明理由.(3)当这个苗圃园的面积不小于100 m2时,直接写出x的取值范围.7.某农户种植的农产品在某月(按30天计)的第x天(x为正整数)的销售价格p(单位:元/千克)关于x的函数解析式为p={25x+4(0<x≤20),-15x+12(20<x≤30),销售量y(单位:千克)与x之间的关系如图所示.(1)求y与x之间的函数解析式,并写出x的取值范围;(2)当月第几天,该农产品的销售额最大,最大销售额是多少?(销售额=销售量×销售价格)★8.受干旱的影响,5月份,某市某蔬菜价格呈上升趋势,其前四周每周的平均销售价格变化如下表:周数x 1 2 3 4价格y(元/千克) 2 2.2 2.4 2.6进入6月,由于本地蔬菜的上市,此种蔬菜的平均销售价格y(单位:元/千克)从6月第1周的2.8元/千克下降至第2周的2.4元/千克,且y与周数x的变化情况满足二次函数y=-120x2+bx+c.(1)请观察题中的表格,用所学过的一次函数或二次函数的有关知识直接写出5月份y与x的函数解析式,并求出6月份y与x的函数解析式.(2)若5月份此种蔬菜的进价m(单位:元/千克)与周数x之间的关系式为m=14x+1.2,6月份此种蔬菜的进价m(单位:元/千克)与周数x之间的关系式为m=-15x+2.试问5月份与6月份分别在哪一周销售此种蔬菜1千克的利润最大?最大利润分别是多少?二、创新应用★9.某电子厂商投产一种新型电子产品,每件制造成本为18元,试销过程中发现,每月销售量y(单位:万件)与销售单价x(单位:元)之间的关系可以近似地看作一次函数y=-2x+100.(利润=售价-制造成本)(1)写出每月的利润z(单位:万元)与销售单价x(单位:元)之间的函数解析式.(2)当销售单价为多少元时,厂商每月能获得350万元的利润?当销售单价为多少元时,厂商每月能获得最大利润?最大利润是多少?(3)根据相关部门规定,这种电子产品的销售单价不能高于32元,如果厂商要获得每月不低于350万元的利润,那么制造出这种产品每月的最低制造成本需要多少万元?知能演练·提升一、能力提升1.C ∵y=-n 2+14n-24=-(n-2)(n-12), ∴当y=0时,n=2或n=12. 又该函数的图象开口向下, ∴1月,y<0;2月、12月,y=0.∴该企业一年中应停产的月份是1月、2月、12月.故选C . 2.B 设△OEF 中EF 边上的高为h , 则易知h=12EF ,于是S △OEF =12h ·EF=14EF 2=14(EC 2+FC 2)=14[(8-t )2+t 2]=12t 2-4t+16(0≤t ≤8). 故选B . 3.104.0<a<6 根据题意,设每天缴纳电商平台推广费用后的利润为W 元, 则每件获得的利润为(110-40-a-t )=(70-a-t )元,而件数为(20+4t ),因此W=(70-t-a )(4t+20)=-4t 2+(260-4a )t+1 400-20a , 其图象的对称轴为直线t=260-4a8,因为W 随t 的增大而增大,所以260-4a8>29.5, 所以a<6,故答案为0<a<6.5.解 (1)设进价为x 元,则标价是1.5x 元, 由题意,得1.5x×0.9×8-8x=(1.5x-100)×7-7x , 解得x=1 000,1.5×1 000=1 500. ∴进价为1 000元,标价为1 500元.(2)设该型号自行车降价a 元,利润为w 元,由题意,得w=(51+a20×3)(1 500-1 000-a )=-320(a-80)2+26 460.∵-320<0,∴当a=80时,w 最大=26 460.∴该型号自行车降价80元出售每月获利最大,最大利润是26 460元.6.解 (1)苗圃园与墙平行的一边长为(30-2x )m . 依题意可列方程x (30-2x )=72,即x 2-15x+36=0. 解得x 1=3,x 2=12.当x=3时,30-2x=30-6=24>18,故舍去x=3.x=12. (2)依题意,得8≤30-2x ≤18,解得6≤x ≤11.面积S=x (30-2x )=-2(x -152)2+2252(6≤x ≤11). ①当x=152时,S 有最大值,S 最大=2252(m 2); ②当x=11时,S 有最小值,S 最小=11×(30-22)=88(m 2).(3)令x (30-2x )=100,得x 2-15x+50=0. 解得x 1=5,x 2=10.又30-2x ≤18,x ≥6,故x 的取值范围是6≤x ≤10.7.解 (1)当0<x ≤20时,设y 与x 的函数解析式为y=ax+b , 则{b =80,20a +b =40,解得{a =-2,b =80.即当0<x ≤20时,y 与x 的函数解析式为y=-2x+80,当20<x ≤30时,设y 与x 的函数解析式为y=mx+n ,则{20m +n =40,30m +n =80, 解得{m =4,n =-40.即当20<x ≤30时,y 与x 的函数解析式为y=4x-40.综上可得,y 与x 的函数解析式为y={-2x +80(0<x ≤20),4x -40(20<x ≤30).(2)设当月第x 天的销售额为w 元,当0<x ≤20时,w=25x+4(-2x+80)=-45(x-15)2+500,则当x=15时,w 取得最大值,此时w=500.当20<x ≤30时,w=-15x+12(4x-40)=-45(x-35)2+500,则当x=30时,w 取得最大值,此时w=480.综上可得,当x=15时,w 取得最大值,此时w=500.即当月第15天,该农产品的销售额最大,最大销售额是500元.8.解 (1)通过观察可见5月份价格y 与周数x 符合一次函数解析式, 即y=0.2x+1.8.将(1,2.8),(2,2.4)代入y=-120x 2+bx+c , 可得{2.8=-120+b +c ,2.4=-15+2b+c ,解之,得{b =-14,c =3.1,即y=-120x 2-14x+3.1.(2)设5月份第x 周销售此种蔬菜1千克的利润为W 1元,6月份第x 周销售此种蔬菜1千克的利润为W 2元,W 1=(0.2x+1.8)-(14x +1.2)=-0.05x+0.6, 因为-0.05<0,所以W 1随x 的增大而减小.所以当x=1时,W 1最大=-0.05+0.6=0.55.W 2=(-0.05x 2-0.25x+3.1)-(-15x +2)=-0.05x 2-0.05x+1.1.因为其图象的对称轴为直线x=--0.052×(-0.05)=-0.5,且-0.05<0,所以当x>-0.5时,y 随x 的增大而减小. 所以当x=1时,W 2最大=1.所以5月份销售此种蔬菜1千克的利润在第1周最大,最大利润为0.55元;6月份销售此种蔬菜1千克的利润在第1周最大,最大利润为1元. 二、创新应用9.解 (1)z=(x-18)y=(x-18)·(-2x+100)=-2x 2+136x-1 800, 所以z 与x 之间的函数解析式为z=-2x 2+136x-1 800.(2)由z=350,得350=-2x 2+136x-1 800,解这个方程得x 1=25,x 2=43.所以销售单价定为25元或43元.将z=-2x 2+136x-1 800配方,得z=-2(x-34)2+512,因此,当销售单价为34元时,厂商每月能获得最大利润,最大利润是512万元.(3)结合(2)及函数z=-2x2+136x-1 800的图象(如图)可知,当25≤x≤43时,z≥350.又由这种电子产品的销售单价不能高于32元,得25≤x≤32.根据一次函数的性质,得y=-2x+100中y随x的增大而减小,所以当x=32时,每月制造成本最低.最低成本是18×(-2×32+100)=648(万元),即所求每月最低制造成本为648万元.。

二次函数创新题及新定义问题二次函数与新定义问题在二次函数与新定义问题中，重点是将题中给出的定义“翻译”成学过的知识，再结合二次函数的性质综合进行处理，其难点就在于“翻译定义”的过程，对学生的理解能力和初中知识的运用能力要求较高.典例1.若两个二次函数图象的顶点，开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1，和y2=x2+bx+c，其中y1的图象经过点A （1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求当0≤x≤3时，y2的取值范围．【答案】解：（1）设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y=a（x﹣h）2+k，当a=2，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=2（x﹣3）2+4．∵2＞0，∴该二次函数图象的开口向上．当a=3，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=3（x﹣3）2+4．∵3＞0，∴该二次函数图象的开口向上．∵两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4顶点相同，开口都向上，∴两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4是“同簇二次函数”．∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4．（2）∵y1的图象经过点A（1，1），∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1．整理得：m2﹣2m+1=0，解得：m1=m2=1．∴y1=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1，∴y1+y2=2x2﹣4x+3+x2+bx+c=3x2+（b﹣4）x+（c+3），∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”，∴y1+y2=3（x﹣1）2+1=3x2﹣6x+4，∴函数y2的表达式为：y2=x2﹣2x+1．∴y2=x2﹣2x+1=（x﹣1）2，∴函数y2的图象的对称轴为x=1．∵1＞0，∴函数y2的图象开口向上．当0≤x≤3时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2的取值范围为0≤y2≤4．【精准解析】（1）只需任选一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表示两个为“同簇二次函数”的函数表达式即可．（2）由y 1的图象经过点A （1，1）可以求出m 的值，然后根据y 1+y 2与y 1为“同簇二次函数”就可以求出函数y 2的表达式，然后将函数y 2的表达式转化为顶点式，再利用二次函数的性质就可以解决问题．练习1.设二次函数y 1，y 2的图象的顶点分别为（a ，b ）、（c ，d ），当a=﹣c ，b=2d ，且开口方向相同时，则称y 1是y 2的“反倍顶二次函数”．（1）请写出二次函数y=x 2+x+1的一个“反倍顶二次函数”；（2）已知关于x 的二次函数y 1=x 2+nx 和二次函数y 2=nx 2+x ，函数y 1+y 2恰是y 1﹣y 2的“反倍【答案】解：（1）∵y=x 2+x+1，∴y=，∴二次函数y=x 2+x+1的顶点坐标为（﹣，），∴二次函数y=x 2+x+1的一个“反倍顶二次函数”的顶点坐标为（，），∴反倍顶二次函数的解析式为y=x 2﹣x+；（2）y 1+y 2=x 2+nx+nx 2+x=（n+1）x 2+（n+1）x ，y 1+y 2=（n+1）（x 2+x+）﹣，顶点坐标为（﹣，﹣），y 1﹣y 2=x 2+nx ﹣nx 2﹣x=（1﹣n ）x 2+（n ﹣1）x ，y 1﹣y 2=（1﹣n ）（x 2﹣x+）﹣，顶点坐标为（，﹣），由于函数y 1+y 2恰是y 1﹣y 2的“反倍顶二次函数”，则﹣2×=﹣，解得n=．1．小爱同学学习二次函数后，对函数2(||1)y x =--进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：（1）观察探究：①写出该函数的一条性质：函数图象关于y 轴对称；②方程2(||1)1x --=-的解为：；③若方程2(||1)x a --=有四个实数根，则a 的取值范围是．（2）延伸思考：将函数2(||1)y x =--的图象经过怎样的平移可得到函数21(|2|1)3y x =---+的图象？写出平移过程，并直接写出当123y <时，自变量x 的取值范围．【分析】（1）根据图象即可求得；（2）根据“上加下减”的平移规律，画出函数21(|2|1)3y x =---+的图象，根据图象即可得到结论．【解答】解：（1）观察探究：①该函数的一条性质为：函数图象关于y 轴对称；②方程2(||1)1x --=-的解为：2x =-或0x =或2x =；③若方程2(||1)x a --=有四个实数根，则a 的取值范围是10a -<<．故答案为函数图象关于y 轴对称；2x =-或0x =或2x =；10a -<<．（2）将函数2(||1)y x =--的图象向右平移2个单位，向上平移3个单位可得到函数21(|2|1)3y x =---+的图象，当123y <时，自变量x 的取值范围是04x <<且2x ≠．2．（2021•长沙）我们不妨约定：在平面直角坐标系中，若某函数图象上至少存在不同的两点关于y 轴对称，则把该函数称之为“T 函数”，其图象上关于y 轴对称的不同两点叫做一对“T 点”．根据该约定，完成下列各题．（1）若点(1,)A r 与点(,4)B s 是关于x 的“T 函数”()24(0)0,0,x y x tx x t t ⎧-<⎪=⎨⎪≠⎩是常数的图象上的一对“T 点”，则r =，s =，t =（将正确答案填在相应的横线上）；（2）关于x 的函数(y kx p k =+，p 是常数）是“T 函数”吗？如果是，指出它有多少对“T 点”如果不是，请说明理由；（3）若关于x 的“T 函数”2(0y ax bx c a =++>，且a ，b ，c 是常数）经过坐标原点O ，且与直线:(0l y mx n m =+≠，0n >，且m ，n 是常数）交于1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 两点，当1x ，2x 满足112(1)1x x --+=时，直线l 是否总经过某一定点？若经过某一定点，求出该定点的坐标；否则，请说明理由．【分析】（1）由A ，B 关于y 轴对称求出r ，s ，由“T 函数”的定义求出t ；（2）分0k =和0k ≠两种情况考虑即可；（3）先根据过原点得出0c =，再由“T 函数”得出b 的值，确定二次函数解析式后，和直线联立求出交点的横坐标，写出l 的解析式，确定经过的定点即可．【解答】解：（1）A ，B 关于y 轴对称，1s ∴=-，4r =，A ∴的坐标为(1,4)，把(1,4)A 代入是关于x 的“T 函数”中，得：4t =，故答案为4r =，1s =-，4t =；（2）当0k =时，有y p =，此时存在关于y 轴对称得点，y kx p ∴=+是“T 函数”，且有无数对“T ”点，当0k ≠时，不存在关于y 轴对称的点，y kx p ∴=+不是“T 函数”；（3）2y ax bx c =++ 过原点，0c ∴=，2y ax bx c =++ 是“T 函数”，0b ∴=，2y ax ∴=，联立直线l 和抛物线得：2y ax y mx n ⎧=⎨=+⎩，即：20ax mx n --=，12m x x a +=，12n x x a-=，又 112(1)1x x --+=，化简得：1212x x x x +=，∴m n a a-=，即m n =-，y mx n mx m ∴=+=-，当1x =时，0y =，∴直线l 必过定点(1,0)．3．（2021•杭州）在直角坐标系中，设函数21(y ax bx a =++，b 是常数，0)a ≠．（1）若该函数的图象经过(1,0)和(2,1)两点，求函数的表达式，并写出函数图象的顶点坐标；（2）写出一组a ，b 的值，使函数21y ax bx =++的图象与x 轴有两个不同的交点，并说明理由．（3）已知1a b ==，当x p =，(q p ，q 是实数，)p q ≠时，该函数对应的函数值分别为P ，Q ．若2p q +=，求证：6P Q +>．【分析】（1）考查使用待定系数法求二次函数解析式，属于基础题，将两点坐标代入，解二元一次方程组即可；（2）写出一组a ，b ，使得240b ac ->即可；（3）已知1a b ==，则21y x x =++．容易得到2211P Q p p q q +=+++++，利用2p q +=，即2p q =-代入对代数式P Q +进行化简，并配方得出22(1)66P Q q +=-+．最后注意利用p q ≠条件判断1q ≠，得证．【解答】解：（1）由题意，得104211a b a b ++=⎧⎨++=⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩，所以，该函数表达式为221y x x =-+．并且该函数图象的顶点坐标为(1,0)．（2）例如1a =，3b =，此时231y x x =++，2450b ac -=> ，∴函数231y x x =++的图象与x 轴有两个不同的交点．（3）由题意，得21P p p =++，21Q q q =++，所以2211P Q p p q q +=+++++224p q =++22(2)4q q =-++22(1)66q =-+，由条件p q ≠，知1q ≠．所以6P Q +>，得证．4．（2021•衡阳）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“雁点”．例如(1,1)，(2021,2021)⋯都是“雁点”．（1）求函数4y x=图象上的“雁点”坐标；（2）若抛物线25y ax x c =++上有且只有一个“雁点”E ，该抛物线与x 轴交于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧）．当1a >时．①求c 的取值范围；②求EMN ∠的度数；（3）如图，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），P 是抛物线223y x x =-++上一点，连接BP ，以点P 为直角顶点，构造等腰Rt BPC ∆，是否存在点P ，使点C 恰好为“雁点”？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由题意得：4x x=，解得2x =±，即可求解；（2）①抛物线25y ax x c =++上有且只有一个“雁点”E ，则25ax x c x ++=，则△1640ac =-=，即4ac =，而1a >，04c <<；由M 、N 的存在，则△2540ac =->，而1a >，则254c <，即可求解；②求出点M 的坐标为4(a -，0)、点E 的坐标为2(a -，2a-，即可求解；（3）分两种情形：点C 在PB 的下方或上方，分别根据全等三角形解决问题．【解答】解：（1）由题意得：4x x=，解得2x =±，当2x =±时，42y x ==±，故“雁点”坐标为(2,2)或(2,2)--；（2）① “雁点”的横坐标与纵坐标相等，故“雁点”的函数表达式为y x =，抛物线25y ax x c =++上有且只有一个“雁点”E ，则25ax x c x ++=，则△1640ac =-=，即4ac =，1a > ，故04c <<；M 、N 的存在，则△2540ac =->，而1a >，则254c <，综上，04c <<；②4ac = ，则250ax x c ++=为2450ax x a ++=，解得4x a =-或1a -，即点M 的坐标为4(a-，0)，由25ax x c x ++=，4ac =，解得2x a =-，即点E 的坐标为2(a -，2)a-，过点E 作EH x ⊥轴于点H ，则2HE a =，242(E M MH x x HE a a a=-=---==，故EMN ∠的度数为45︒；（3）存在，理由：当点C 在PB 的下方时，由题意知，点C 在直线y x =上，故设点C 的坐标为(,)t t ，过点P 作x 轴的平行线交过点C 与y 轴的平行线于点M ，交过点B 与y 轴的平行线于点N ，设点P 的坐标为2(,23)m m m -++，则223BN m m =-++，3PN m =-，PM m t =-，223CM m m t =-++-，90NPB MPC ∠+∠=︒ ，90MCP CPM ∠+∠=︒，NPB PCM ∴∠=∠，90CMP PNB ∠=∠=︒ ，PC PB =，()CMP PNB AAS ∴∆≅∆，PM BN ∴=，CM PN =，即2|23|m t m m -=-++，223|3|m m t m -++-=-，解得1012m =1012-，当点C 在PB 的上方时，过点P 作PK OB ⊥于K ，CH KP ⊥交KP 的延长线于H ．同法可证，CHP PKB ∆≅∆，可得CH PK =，HP BK =，t m n -=，3t n m -=-，223n m m =-++32m ∴=，154n =，3(2P ∴，15)4，故点P 的坐标为210(2-，32或10(12+，3)2或3(2，15)4．5．（2021•江西）二次函数22y x mx =-的图象交x 轴于原点O 及点A ．感知特例（1）当1m =时，如图1，抛物线2:2L y x x =-上的点B ，O ，C ，A ，D 分别关于点A 中心对称的点为B '，O '，C '，A '，D '，如表：⋯(1,3)B -(0,0)O (1,1)C -(A 2，)(3,3)D ⋯⋯(5,3)B '-(4,0)O '(3,1)C '(2,0)A '(1,3)D '-⋯①补全表格；②在图1中描出表中对称后的点，再用平滑的曲线依次连接各点，得到的图象记为L '．形成概念我们发现形如（1）中的图象L '上的点和抛物线L 上的点关于点A 中心对称，则称L '是L 的“孔像抛物线”．例如，当2m =-时，图2中的抛物线L '是抛物线L 的“孔像抛物线”．探究问题（2）①当1m =-时，若抛物线L 与它的“孔像抛物线”L '的函数值都随着x 的增大而减小，则x 的取值范围为；②在同一平面直角坐标系中，当m 取不同值时，通过画图发现存在一条抛物线与二次函数22y x mx =-的所有“孔像抛物线”L '都有唯一交点，这条抛物线的解析式可能是（填“2y ax bx c =++”或“2y ax bx =+”或“2y ax c =+”或“2y ax =”，其中0)abc ≠；③若二次函数22y x mx =-及它的“孔像抛物线”与直线y m =有且只有三个交点，求m 的值．【分析】（1）①根据中点公式即可求得答案；②根据题意先描点，再用平滑的曲线从左到右依次连接即可；（2）①当1m =-时，抛物线22:2(1)1L y x x x =+=+-，当1x -时，L 的函数值随着x 的增大而减小，抛物线22:68(3)1L y x x x '=---=-++，当3x -时，L '的函数值随着x 的增大而减小，找出公共部分即可；②设符合条件的抛物线M 解析式为2y a x b x c ='+'+'，令22268a x b x c x mx m '+'+'=-+-，整理得22(1)(6)(8)0a x b m x c m '++'-+'+=，分下面两种情形：)i 当1a '=-时，)ii 当1a '≠-时，分别讨论计算即可；③观察图1和图2，可知直线y m =与抛物线22y x mx =-及“孔像抛物线”L '有且只有三个交点，即直线y m =经过抛物线L 的顶点或经过抛物线L '的顶点或经过公共点A ，分别建立方程求解即可．【解答】解：（1）①(1,3)B - 、(5,3)B '-关于点A 中心对称，∴点A 为BB '的中点，设点(,)A m n ，1522m -+∴==，3302n -==，故答案为：(2,0)；②所画图象如图1所示，（2）①当1m =-时，抛物线22:2(1)1L y x x x =+=+-，对称轴为直线1x =-，开口向上，当1x -时，L 的函数值随着x 的增大而减小，抛物线22:68(3)1L y x x x '=---=-++，对称轴为直线3x =-，开口向下，当3x -时，L '的函数值随着x 的增大而减小，∴当31x --时，抛物线L 与它的“孔像抛物线”L '的函数值都随着x 的增大而减小，故答案为：31x --；② 抛物线22y x mx =-的“孔像抛物线”是2268y x mx m =-+-，∴设符合条件的抛物线M 解析式为2y a x b x c ='+'+'，令22268a x b x c x mx m '+'+'=-+-，整理得22(1)(6)(8)0a x b m x c m '++'-+'+=，抛物线M 与抛物线L '有唯一交点，∴分下面两种情形：)i 当1a '=-时，无论b '为何值，都会存在对应的m 使得60b m '-=，此时方程无解或有无数解，不符合题意，舍去；)ii 当1a '≠-时，△22(6)4(1)(8)0b m a c m ='--'+'+=，即22212364(1)84(1)0b b m m a m c a '-'+-'+⋅-''+=，整理得22[3632(1)]124(1)0a m b m b c a -'+-'+'-''+=，当m 取不同值时，两抛物线都有唯一交点，∴当m 取任意实数，上述等式都成立，即：上述等式成立与m 取值无关，∴23632(1)01204(1)0a b b c a -'+=⎧⎪-'=⎨⎪'-''+=⎩，解得18a '=，0b '=，0c '=，则218y x =，故答案为：2y ax =；③抛物线222:2()L y x mx x m m =-=--，顶点坐标为2(,)M m m -，其“孔像抛物线”L '为：22(3)y x m m =--+，顶点坐标为2(3,)N m m ，抛物线L 与其“孔像抛物线”L '有一个公共点(2,0)A m ，∴二次函数22y x mx =-及它的“孔像抛物线”与直线y m =有且只有三个交点时，有三种情况：①直线y m =经过2(,)M m m -，2m m ∴=-，解得：1m =-或0m =（舍去），②直线y m =经过2(3,)N m m ，2m m ∴=，解得：1m =或0m =（舍去），③直线y m =经过(2,0)A m ，0m ∴=，但当0m =时，2y x =与2y x =-只有一个交点，不符合题意，舍去，综上所述，1m =±．6．（2021•云南）已知抛物线22y x bx c =-++经过点(0,2)-，当4x <-时，y 随x 的增大而增大，当4x >-时，y 随x 的增大而减小．设r 是抛物线22y x bx c =-++与x 轴的交点（交点也称公共点）的横坐标，97539521601r r r r r m r r +-++-=+-．（1）求b 、c 的值；（2）求证：4222160r r r -+=；（3）以下结论：1m <，1m =，1m >，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论．【分析】（1）当4x <-时，y 随x 的增大而增大，当4x >-时，y 随x 的增大而减小，可得对称轴为直线4x =-，且抛物线22y x bx c =-++经过点(0,2)-，列出方程组即可得答案；（2）由r 是抛物线22162y x x =---与x 轴的交点的横坐标，可得2810r r ++=，218r r +=-，两边平方得222(1)(8)r r +=-，4222164r r r ++=，即可得结果4222160r r r -+=；（3）1m >正确，可用比差法证明，由（2）可得426210r r -+=，即753620r r r -+=，而975395952111601601r r r r r r m r r r r +-++--=-=+-+-，再由2810r r ++=，判断0r <，956010r r +-<，故950601r r r >+-，从而1m >．【解答】（1）解：22y x bx c =-++ 经过点(0,2)-，当4x <-时，y 随x 的增大而增大，当4x >-时，y 随x 的增大而减小，即对称轴为直线4x =-，∴244c b =-⎧⎪⎨-=-⎪⎩-，解得162b c =-⎧⎨=-⎩；（2）证明：由题意，抛物线的解析式为22162y x x =---，r 是抛物线22162y x x =---与x 轴的交点的横坐标，221620r r ∴++=，2810r r ∴++=，218r r∴+=-222(1)(8)r r ∴+=-，4222164r r r ∴++=，4222160r r r ∴-+=；（3）1m >正确，理由如下：由（2）知：4222160r r r -+=；426210r r ∴-+=，753620r r r ∴-+=，而9753952111601r r r r r m r r +-++--=-+-9753959521(601)601r r r r r r r r r +-++--+-=+-7539562601r r r r r r -++=+-95601r r r =+-，由（2）知：2810r r ++=，281r r ∴=--，210r --< ，80r ∴<，即0r <，956010r r ∴+-<，∴950601r r r >+-，即10m ->，1m ∴>．7．（2021•南通）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”．例如，点(1,1)是函数1122y x =+的图象的“等值点”．（1）分别判断函数2y x =+，2y x x =-的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，说明理由；（2）设函数3(0)y x x=>，y x b =-+的图象的“等值点”分别为点A ，B ，过点B 作BC x ⊥轴，垂足为C ．当ABC ∆的面积为3时，求b 的值；（3）若函数22()y x x m =-的图象记为1W ，将其沿直线x m =翻折后的图象记为2W ．当1W ，2W 两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，直接写出m 的取值范围．【分析】（1）根据“等值点”的定义建立方程求解即可得出答案；（2）先根据“等值点”的定义求出函数3(0)y x x=>的图象上有两个“等值点”A ，同理求出1(2B b ，1)2b ，根据ABC ∆的面积为3可得111|||3222b b ⨯⨯=，求解即可；（3）先求出函数22y x =-的图象上有两个“等值点”(1,1)--或(2,2)，再利用翻折的性质分类讨论即可．【解答】解：（1）在2y x =+中，令2x x =+，得02=不成立，∴函数2y x =+的图象上不存在“等值点”；在2y x x =-中，令2x x x -=，解得：10x =，22x =，∴函数2y x x =-的图象上有两个“等值点”(0,0)或(2,2)；（2）在函数3(0)y x x =>中，令3x x=，解得：x =A ∴，在函数y x b =-+中，令x x b =-+，解得：12x b =，1(2B b ∴，1)2b ，BC x ⊥ 轴，1(2C b ∴，0)，1||2BC b ∴=，ABC ∆ 的面积为3，∴111|||3222b b ⨯⨯=，当0b <时，2240b --=，解得b =-当0b <时，2240b -+=，△2(4124840=--⨯⨯=-<，∴方程2240b -+=没有实数根，当b 时，2240b --=，解得：b =综上所述，b 的值为-；（3）令22x x =-，解得：11x =-，22x =，∴函数22y x =-的图象上有两个“等值点”(1,1)--或(2,2)，①当1m <-时，1W ，2W 两部分组成的图象上必有2个“等值点”(1,1)--或(2,2)，21:2()W y x x m =-，22:(2)2()W y x m x m =--<，令2(2)2x x m =--，整理得：22(41)420x m x m -++-=，2W 的图象上不存在“等值点”，∴△0<，22(41)4(42)0m m ∴+--<，98m ∴<-，②当1m =-时，有3个“等值点”(2,2)--、(1,1)--、(2,2)，③当12m -<<时，1W ，2W 两部分组成的图象上恰有2个“等值点”，④当2m =时，1W ，2W 两部分组成的图象上恰有1个“等值点”(2,2)，⑤当2m >时，1W ，2W 两部分组成的图象上没有“等值点”，综上所述，当1W ，2W 两部分组成的图象上恰有2个“等值点”时，98m <-或12m -<<．8．（2021•大连）已知函数2211()22()x x m x m y x mx m x m ⎧-++<⎪=⎨⎪-+⎩，记该函数图象为G ．（1）当2m =时，①已知(4,)M n 在该函数图象上，求n 的值；②当02x 时，求函数G 的最大值．（2）当0m >时，作直线12x m =与x 轴交于点P ，与函数G 交于点Q ，若45POQ ∠=︒时，求m 的值；（3）当3m 时，设图象与x 轴交于点A ，与y 轴交与点B ，过点B 作BC BA ⊥交直线x m =于点C ，设点A 的横坐标为a ，C 点的纵坐标为c ，若3a c =-，求m 的值．【分析】（1）先把2m =代入函数y 中，①把(4,)M n 代入222y x x =-+中，可得n 的值；②将02x 分为两部分确定y 的最大值，当02x <时，将211222y x x =-++配方可得最值，再将2x =代入222y x x =-+中，可得2y =，对比可得函数G 的最大值；（2）分两种情况：Q 在x 轴的上方和下方；证明POQ ∆是等腰直角三角形，得OP PQ =，列方程可得结论；（3）分两种情况：①03m ，如图2，过点C 作CD y ⊥轴于D ，证明()ABO BCD ASA ∆≅∆，得OA BD =，列方程可得结论；②3m <，如图3，同理可得结论．【解答】解：（1）当2m =时，22112(2)2222(2)x x x y x x x ⎧-++<⎪=⎨⎪-+⎩，①(4,)M n 在该函数图象上，2424210n ∴=-⨯+=；②当02x <时，22111112(222228y x x x =-++=--+，102-< ，∴当12x =时，y 有最大值是128，当2x =时，222222y =-⨯+=，1228< ，∴当02x 时，函数G 的最大值是128；（2）分两种情况：①如图1，当Q 在x 轴上方时，由题意得：12OP m =，45POQ ∠=︒ ，90OPQ ∠=︒，POQ ∴∆是等腰直角三角形，OP PQ ∴=，∴211111()22222m m m m =-⋅+⋅+，解得：10m =，26m =，0m > ，6m ∴=；②当Q 在x 轴下方时，同理得：211111()22222m m m m =⋅-⋅-解得：10m =，214m =，0m > ，14m ∴=；综上，m 的值是6或14；（3）分两种情况：①如图2，当03m 时，过点C 作CD y ⊥轴于D ，当0x =时，y m =，OB m ∴=，CD m = ，CD OB ∴=，AB BC ⊥ ，90ABC ABO CBD ∴∠=∠+∠=︒，90CBD BCD ∠+∠=︒ ，ABO BCD ∴∠=∠，90AOB CDB ∠=∠=︒ ，()ABO BCD ASA ∴∆≅∆，OA BD ∴=，当x m <时，0y =，即211022x x m -++=，220x x m --=，解得：112x =，212x +=，1812OA ∴=，且138m -， 点A 的横坐标为a ，C 点的纵坐标为c ，若3a c =-，13OD c a ∴==-，13BD m OD m a ∴=-=+，OA BD = ，∴13m =+，解得：10m =（此时，A ，B ，C 三点重合，舍），2209m =；②当0m <时，如图3，过点C 作CD y ⊥轴于D ，同理得：OA BD =，当x m 时，0y =，则20x mx m -+=，解得：1x =，2m =)，2m OA a +∴==，∴13c m a m =-=--，解得：10m=，216 21m=-；综上，m的值是209或1621-．。