数学试卷 第1页（共26页） 数学试卷 第2页（共26页）绝密★启用前内蒙古包头市2016年初中升学考试数 学本试卷满分120分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题 共36分)一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若2(3)a +的值与4互为相反数,则a 的值为( ) A .1-B .72-C .5-D .122.下列计算结果正确的是( )A.2B2 C .236(2)6a a -=-D .22(1)1a a +=+ 3.不等式123x x --≤1的解集是( ) A .4x ≤B .4x ≥C .x ≤-1D .x ≥-14.一组数据2,3,5,4,4,6的中位数和平均数分别是( ) A .4.5和4 B .4和4 C .4和4.8D .5和45.120的圆心角对的弧长是6π,则此弧所在圆的半径是( ) A .3B .4C .9D .186.同时抛掷三枚质地均匀的硬币,至少有两枚硬币正面向上的概率是( )A .38B .58C .23D .127.若关于x 的方程21(1)02x m x +++=的一个实数根的倒数恰是它本身,则m 的值是( )A .52-B .12 C .52-或12D .1 8.化简221111()()ab a b a b+÷-,其结果是( ) A .22a b a b-B .22a b b a- C .1a b- D .1b a- 9.如图,点O 在ABC △内,且到三边的距离相等,若120BOC ∠=,则tan A 的值为( ) ABCD.210.已知下列命题： ①若b a ＞,则22b a ＞；②若a ＞1,则0(1)1a -=； ③两个全等的三角形的面积相等；④四条边相等的四边形是菱形.其中原命题与逆命题均为真命题的个数是( ) A .4个B .3个C .2个D .1个11.如图,直线243y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B ,点C ,D 分别为线段AB 、OB 的中点,点P 为OA 上一动点,PC PD +值最小时点P 的坐标为( )A .(30)-,B .(60)-,C .3(0)2-,D .5(0)2-,12.如图,在四边形ABCD 中,AD BC ∥,90ABC ∠=,E 是AB 上一点,且DE CE ⊥.若1AD =,2BC =,3CD =,则CE 与DE 的数量关系正确的是( )A.CE毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第3页（共26页） 数学试卷 第4页（共26页）B.CE C .3CE DE = D .2CE DE =第Ⅱ卷(非选择题 共84分)二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.请把答案填在题中的横线上) 13.据统计,2015年,我国发明专利申请受理量达1 102000件,连续5年居世界首位.将1 102000用科学记数法表示为 .14.若2310x y --=,则546x y -+的值为 .15.计算：21)= . 16.一组数据：1,2,4,5,这组数据的方差为 . 17.如图,在矩形ABCD 中,对角线AC 与BD 相交于点O ,过点A 作AE BD ⊥,垂足为点E .若2EAC CAD ∠=∠,则BAE ∠= 度.18.如图,已知AB 是O 的直径,点C 在O 上,过点C 的切线与AB 的延长线交于点P ,连接AC .若30A ∠=,3PC =,则BP 的长为 .19.如图,在平面直角坐标系中,点A 在第二象限内,点B 在x 轴上,30AOB ∠=,AB BO =,反比例函数(0)ky x x =＜的图象经过点A .若ABO S =△,则k 的值为 .20.如图,已知ABC △是等边三角形,点D 、E 分别在边BC 、AC 上,且CD CE =,连接DE 并延长至点F ,使EF AE =,连接AF ,CF ,连接BE 并延长交CF 于点G .下列结论：①ABE ACF △≌△；②BC DF =；③ABC ACF S S S =+△△△DCF ； ④若2BD DC =,则2GF EG =.其中正确的结论是 (填写所有正确结论的序号).三、解答题(本大题共6小题,共60分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)21.(本小题满分8分)一个不透明的袋子中装有红、白两种颜色的小球,这些球除颜色外都相同,其中红球有1个,若从中随机摸出一个球,这个球是白球的概率为23. (1)求袋子中白球的个数；(请通过列式或列方程解答)(2)随机摸出一个球后,放回并搅匀,再随机摸出一个球,求两次都摸到相同颜色的小球的概率.(请结合树状图或列表解答)22.(本小题满分8分)如图,已知四边形ABCD 中,90ABC ∠=,90ADC ∠=,6AB =,4CD =,BC 的延长线与AD 的延长线交于点E . (1)若60A ∠=,求BC 的长； (2)若4sin 5A =,求AD 的长. (注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)23.(本小题满分10分)一幅长20cm 、宽12cm 的图案,如图,其中有一横两竖的彩条,横、竖彩条的宽度比数学试卷 第5页（共26页） 数学试卷 第6页（共26页）为3:2.设竖彩条的宽度为x cm ,图案中三条彩条所占面积为2 cm y . (1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)若图案中三条彩条所占面积是图案面积的25,求横、竖彩条的宽度.24.(本小题满分10分)如图,在Rt ABC △中,90ABC ∠=,AB CB =,以AB 为直径的O 交AC 于点D ,点E 是AB 边上一点(点E 不与点A 、B 重合),DE 的延长线交O 于点G ,DF DG ⊥,且交BC 于点F . (1)求证：AE BF =；(2)连接GB ,EF ,求证：GB EF ∥； (3)若1AE =,2EB =,求DG 的长.25.(本小题满分12分)如图,已知一个直角三角形纸片ACB ,其中90ACB ∠=,4AC =,3BC =,E 、F 分别是AC 、AB 边上的点,连接EF .图1图2图3(1)如图1,若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠,折叠后点A 落在AB 边上的点D 处,且使3ECBF S S =△EDF 四边形,求AE 的长；(2)如图2,若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠,折叠后点A 落在BC 边上的点M 处,且使MF CA ∥.①试判断四边形AEMF 的形状,并证明你的结论；②求EF 的长；(3)如图3,若FE 的延长线与BC 的延长线交于点N ,1CN =,47CE =,求AF BF的值.26.(本小题满分12分)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线22(0)y ax bx a =+-≠与x 轴交于A (1,0),B(3,0)两点,与y 轴交于点C ,其顶点为点D ,点E 的坐标为(01)-，,该抛物线与BE 交于另一点F ,连接BC .(1)求该抛物线的解析式,并用配方法把解析式化为2()y a x h k =-+的形式；(2)若点H (1y ，)在BC 上,连接FH ,求FHB △的面积； (3)一动点M 从点D 出发,以每秒1个单位的速度沿平行与y 轴方向向上运动,连接OM ,BM ,设运动时间为t 秒(0)t ＞,在点M 的运动过程中,当t 为何值时,90OMB ∠=？(4)在x 轴上方的抛物线上,是否存在点P ,使得PBF ∠被BA 平分？若存在,请直接写出点P 的坐标；若不存在,请说明理由.毕业学校_____________ 姓名________________ 考生号________________ ________________ _____________-------------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无----------------数学试卷 第7页（共26页） 数学试卷 第8页（共26页）内蒙古包头市2016年初中升学考试数学答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】C【解析】先根据相反数的意义列出方程，解方程即可．∵23a +（）的值与4互为相反数，∴2340a ++=（） ∴5a =﹣ 故选C【考点】解一元一次方程，相反数． 2．【答案】B【解析】A、2+不是同类二次根式，所以不能合并，所以A 错误；B，所以B 正确；C 、2366286a a a =-≠-（-），所以C 错误；D 、2221211a a a a +=++≠+（），所以D 错误. 故选B【提示】依次根据合并同类二次根式，二次根式的除法，积的乘方，完全平方公式的运算．【考点】二次根式的乘除法，幂的乘方与积的乘方，完全平方公式． 3．【答案】A【解析】解：去分母，得：3216x x --≤（） ， 去括号，得：3226x x -+≤ ， 移项、合并，得：x ≤4， 故选：A ．【提示】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项可得． 【考点】解一元一次不等式． 4．【答案】B【解析】解：这组数据按从小到大的顺序排列为：2，3，4，4，5，6，故中位数为：4424+÷=（） 平均数为：23445664+++++÷=（）． 故选：B ．【提示】根据中位数和平均数的定义结合选项选出正确答案即可．【考点】中位数，平均数． 5．【答案】C【解析】解：根据弧长的公式n r1=180π ， 得到：120n r6=180ππ， 解得 9r =． 故选C ．【提示】根据弧长的计算公式n r1=180π，将n 及l 的值代入即可得出半径r 的值． 【考点】弧长的计算． 6．【答案】D【解析】解：由题意可得，所有的可能性为：∴至少有两枚硬币正面向上的概率是：4182=，故选D ． 【提示】根据题意，通过列树状图的方法可以写出所有可能性，从而可以得到至少有两枚硬币正面向上的概率． 【考点】列表法或树状图法求概率． 7．【答案】C【解析】解：由根与系数的关系可得：121x x m +=-+（），121•2x x =， 又知个实数根的倒数恰是它本身，则该实根为1或1﹣，若是1时，即()211x m +=-+，而212x =，解得52m =-；若是1﹣时，则12m =．故选：C ． 【提示】由根与系数的关系可得：121x x m +=-+（），121•2x x =，又知个实数根的倒数恰是它本身，则该实根为1或1﹣，然后把 1±分别代入两根之和的形式中就可以求出m 的值．【考点】一元二次方程的解． 8．【答案】B【解析】解：原式()()2222a b a b a b ab ab a b a b b a+∙∙=-+--故选B.数学试卷 第9页（共26页） 数学试卷 第10页（共26页）【提示】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加减法则计算，约分即可得到结果． 【考点】分式的混合运算． 9．【答案】A【解析】解：∵点O 到△ABC 三边的距离相等， ∴BO ABC CO ACB ∠∠平分，平分， ∴()()180180218012060A ABC ACB OBC OCB ∠=︒-∠+∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，∴tan tan60A =︒ 故选A ．【提示】由条件可知BO 、CO 平分∠ABC 和∠ACB ，利用三角形内角和可求得∠A ，再由特殊角的三角函数的定义求得结论．【考点】角平分线的性质，特殊角的三角函数值． 10．【答案】D【解析】解：当01a b ==-， 时，22a b <，所以命题22a b a b >>；，则为假命题，其逆命题为若22a b a b >>；，则，此逆命题也是假命题，如21a b =-=-，；若1a >，则011a -=（），此命题为真命题，它的逆命题为：若0111a a -=>（），则，此逆命题为假命题，因为011a -=（），则1a ≠；两个全等的三角形的面积相等，此命题为真命题，它的逆命题为面积相等的三角形全等，此逆命题为假命题； 四条边相等的四边形是菱形，这个命题为真命题，它的逆命题为菱形的四条边相等，此逆命题为真命题． 故选D ．【提示】交换原命题的题设和结论得到四个命题的逆命题，然后利用反例、零指数幂的意义、全等三角形的判定与性质和菱形的判定与性质判断各命题的真假． 【考点】命题与定理． 11．【答案】C【解析】解：作点D 关于x 轴的对称点D ′，连接CD′交x 轴于点P ，此时PC +PD 值最小，如图所示．令243y x =+中0x =，则4y = ∴点B 的坐标为04（，）；令243y x =+中y=0，则2043x =+，解得：6x =﹣， ∴点A 的坐标为60（﹣，）．∵点C 、D 分别为线段AB 、OB 的中点，∴()()320,2C D 点-，，点． ∵点D′和点D 关于x 轴对称， ∴点D′的坐标为()0,2-． 设直线CD′的解析式为y kx b =+， ∵直线CD 过点C (-3,2)，D′(0，-2)，∴有232k b b =-+⎧⎨=-⎩，解得432k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩ ∴直线CD′的解析式为423y x =--令y =0，则4023x =--，解得32x =-∴点P 的坐标为3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭故选C ．【提示】根据一次函数解析式求出点A 、B 的坐标，再由中点坐标公式求出点C 、D 的坐标，根据对称的性质找出点D ′的坐标，结合点C 、D ′的坐标求出直线CD ′的解析式，令y=0即可求出x 的值，从而得出点P 的坐标．【考点】一次函数图象上点的坐标特征，最短路线问题． 12．【答案】B【解析】解：过点D 作DH ⊥BC ，121AD BC CH ==∴=，，，数学试卷 第11页（共26页）数学试卷 第12页（共26页）=， 90909090AD BC ABC A DE CE AED BEC AED ADE ADE BEC ADE BEC ∠=︒∴∠=︒⊥∴∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠∴，，，，，，，∽，∴AD AE DEBE BC CE==设BE x =，则AE x =即1x =解得x =∴AD DE BE CE ==∴CE = 故选B ．【提示】过点D 作DH ⊥BC ，利用勾股定理可得AB 的长，利用相似三角形的判定定理可得△ADE ∽△BEC ，设BE =x ，由相似三角形的性质可解得x ，易得CE ，DE 的关系． 【考点】相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质．第Ⅱ卷二、填空题13．【答案】1.102×106 【解析】解：将1102000用科学记数法表示为1.102×106，故答案为：1.102×106． 【提示】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．【考点】科学记数法—表示较大的数． 14．【答案】3 【解析】21023154652235213x y x y x y x y --=∴-=∴-+=--=⨯=，，（）-．【提示】首先利用已知得出231x y -=，再将原式变形进而求出答案．【考点】代数式求值． 15．【答案】-4【解析】解：原式()631=-+4=-4=-．故答案为：-4．【提示】首先化简二次根式，进而利用完全平方公式计算，求出答案．【考点】二次根式的混合运算． 16．【答案】2.5【解析】解：平均数为124534x +++== ()()()()2222213234351110324.45S ⎡-+-+-+-=⎤∴=⨯=⎣⎦.【提示】先求出这4个数的平均数，然后利用方差公式求解即可．【考点】平均数，方差． 17．【答案】22.5【解析】解：∵四边形ABCD 是矩形，229045AC BD OA OC OB OD OA OB OC OAC ODA OAB OBA AOE OAC OCA OAC EAC CAD EAO AOE AE BD AEO AOE ∴===∴==∴∠=∠∠=∠∴∠=∠+∠=∠∠=∠∴∠=∠⊥∴∠=︒∴∠=︒，，，，，，，，，，，，OAB OBA ∴∠=∠=1804567.52-= ，22.5BAE OAB OAE ∴∠=∠-∠=︒． 故答案为22.5°．【提示】首先证明△AEO 是等腰直角三角形，求出∠OAB ，∠OAE 即可． 【考点】矩形的性质． 18．【解析】解：数学试卷 第13页（共26页） 数学试卷 第14页（共26页）30306090303OA OC A OCA A COB A ACO PC O PCO P PC =∠=︒∴∠=∠=︒∴∠=∠+∠=︒∴∠=︒∠=︒=，，，，是切线，，，，∴OC =PC2PC OC ==，∴PB PO OB ==﹣，【提示】在Rt △POC 中，根据303P PC ∠=︒=，，求出OC 、OP 即可解决问题． 【考点】切线的性质． 19．【答案】-【解析】解：过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，如图所示．∵30AOB AD OD ∠=︒⊥， ，AD tan AOB OD ∴=∠= ∴设点A的坐标为3a （-）．1•22ABO S OB AD OB a==∴=．290,Rt ADB ADB AD AB OB a∆∠=︒==在中，，，2222243,BD AB AD a BD a ∴==-=﹣3OD OB BD a =+=，即23a a =+，解得：1a =或1a =-（舍去）．∴点A的坐标为(3-，3k ∴=--故答案为：-【提示】过点A 作AD ⊥x 轴于点D，由30AD AOB OD ∠=︒=可得出A 的坐标为3a a （-，），根据ABOSa表示出线段OB 的长，再由勾股定理可用含a 的代数式表示出线段BD 的长，由此即可得出关于a 的无理方程，解方程即可得出结论．【考点】反比例函数系数k 的几何意义． 20．【答案】①②③④【解析】解：①正确．∵△ABC 是等边三角形，60AB AC BC BAC ACB DE DC ∴==∠=∠=︒=，，，∴△DEC 是等边三角形，60ED EC DC DEC AEF EF AE ∴==∠=∠=︒=，，，∴△AEF 是等边三角形， 60AF AE EAF ∴=∠=︒，， 在△ABE 和△ACF 中，AB AC BAE CAF AE AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ABE ACF ∆∆≌，故①正确． ②正确．60ABC FDC AB DF EAF ACB AB AF ∠=∠∴∠=∠=︒∴，，，，∴四边形ABDF 是平行四边形， ∴DF AB BC ==，故②正确． ③正确．ABE AFC ABE ACF BE CF S S ∆∆∆∆∴==≌，，，在△BCE 和△FDC 中， BC DF CE CD BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩ABC ABEBCEACFBCEABCACFBCE FDC BCE FDC S SSSSSSS S ∴∴=+=+==+∴=≌，，故③正确．④正确．∵△BCE ≌△FDC ，DBE EFG BED FEG BDE FGE ∴∠=∠∠=∠∴∆∆，，∽，数学试卷 第15页（共26页）数学试卷 第16页（共26页）222BD DC DC DE FG EGFG E BD DE FG EG FG BD EG D G E==∴=∴∴∴===，，． 故④正确．【提示】①正确．根据两角夹边对应相等的两个三角形全等即可判断．②正确．只要证明四边形ABDF 是平行四边形即可． ③正确．只要证明BCE FDC ∆∆≌．④正确．只要证明BDE FGE ∆∆∽，由此即可证明． 【考点】全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质． 三、解答题 21．【答案】（1）2 （2）59【解析】解：（1）设袋子中白球有x 个，根据题意得：213x x =+， 解得：2x =，经检验，2x =是原分式方程的解， ∴袋子中白球有2个； （2）画树状图得：∵共有9种等可能的结果，两次都摸到相同颜色的小球的有5种情况，∴两次都摸到相同颜色的小球的概率为：59． 【提示】（1）首先设袋子中白球有x 个，利用概率公式求即可得方程：213x x =+，解此方程即可求得答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到相同颜色的小球的情况，再利用概率公式即可求得答案．【考点】列表法与树状图法，概率公式． 22．【答案】（1）8BC = （2）143【解析】解：（1）60906BEA ABE AB tanA AB∠=︒∠=︒==，，，3060?6E BE tan ∴∠=︒=︒=，又904CDCDE CD sinE CE∠=︒==，，，30E ∠=︒，4812CE ∴==，8BC BE CE ∴==﹣；（2）906ABE AB ∠=︒=，，45BEsinA AE==， ∴设4BE x =，则5AE x =，得3AB x =，36x ∴=，得2x =， 810BE AE ∴==，，64tan 8AB CD E BE DE DE ∴====， 解得，163DE =，16141033AD AE DE ∴===--，即AD 的长是143．【提示】（1）要求BC 的长，只要求出BE 和CE 的长即可，由题意可以得到BE CE 和的长，本题得以解决；（2）要求AD 的长，只要求出AE 和DE 的长即可，根据题意可以得到AE DE 、的长，本题得以解决． 【考点】解直角三角形．23．【答案】（1）2354y x x =+﹣； （2）横彩条的宽度为3cm ，竖彩条的宽度为2cm【解析】解：（1）根据题意可知，横彩条的宽度为32x cm ，∴23320212235422y x xx x x x =⨯+⨯⨯=+﹣﹣， 即y 与x 之间的函数关系式为2354y x x =+﹣； （2）根据题意，得：2235420125x x +=⨯⨯﹣， 整理，得2:18320x x +=﹣， 解得：12216xx ==，（舍），332x ∴=， 答：横彩条的宽度为3cm ，竖彩条的宽度为2cm ．数学试卷 第17页（共26页） 数学试卷 第18页（共26页）【提示】（1）由横、竖彩条的宽度比为3：2知横彩条的宽度为32x cm ，根据：三条彩条面积=横彩条面积+2条竖彩条面积﹣横竖彩条重叠矩形的面积，可列函数关系式； （2）根据：三条彩条所占面积是图案面积的25，可列出关于x 的一元二次方程，整理后求解可得．【考点】一元二次方程的应用，根据实际问题列二次函数关系式．24．【答案】（1）证明：连接BD ， 9045Rt ABC ABC AB BC A C ∠=︒=∴∠=∠=︒中，，，，∵AB 为圆O 的直径，9045909090ADB BD AC AD DC BD AC CBD C A FBD DF DG FDG FDB BDG EDA BDG EDA FDB ∴∠=︒⊥∴===∠=∠=︒∴∠=∠⊥∴∠=︒∴∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠，即，，，，，，，，，在△AED 和△BFD 中， A FBD AD BDEDA FDB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△AED ≌△BFD （ASA ）， ∴AE=BF ；（2）证明：连接EF ，BG ，904545AED BFD DE DF EDF EDF DEF G A G DEF GB EF ∴=∠=︒∴∴∠=︒∠=∠=︒∴∠=∠∴≌，，，是等腰直角三角形，，，，；（3）解：1AE BF AE ==，，1BF ∴=.在Rt EBF 中，90EBF ∠=︒，∴根据勾股定理得：222EF EB BF =+，21EB BF ==，，EF ∴=DEF 为等腰直角三角形，90EDF ∠=︒，DEcos DEF EF∴∠=，5EF =，DE ∴==， G A GEB AED GEB AED ∠=∠∠=∠∴，，∽，GE EBED ∴=，即GE ED AE EB =2GE =，即GE =， 则GD GE ED =+=．【提示】（1）连接BD ，由三角形ABC 为等腰直角三角形，求出A ∠与C ∠的度数，根据AB 为圆的直径，利用圆周角定理得到∠ADB 为直角，即BD 垂直于AC ，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到12AD DC BD AC ===，进而确定出A FBD ∠=∠，再利用同角的余角相等得到一对角相等，利用ASA 得到三角形AED 与三角形BFD 全等，利用全等三角形对应边相等即可得证； （2）连接EF ，BG ，由三角形AED 与三角形BFD 全等，得到ED FD =，进而得到三角形DEF 为等腰直角三角形，利用圆周角定理及等腰直角三角形性质得到一对同位角相等，利用同位角相等两直线平行即可得证；（3）由全等三角形对应边相等得到1AE BF ==，在直角三角形BEF 中，利用勾股定理求出EF 的长，利用锐角三角形函数定义求出DE 的长，利用两对角相等的三角形相似得到三角形AED 与三角形GEB 相似，由相似得比例，求出GE 的长，由GE ED +求出GD 的长即可． 【考点】圆的综合题． 25．【答案】（1）52（2）①四边形AEMF 是菱形 ②EF = （3）32【解析】解：（1）如图①，∵△ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，数学试卷 第19页（共26页）数学试卷 第20页（共26页）34AEF DEF ECBF EDF ABC AEF EF AB AEF DEF S S S S S S ∴⊥∴=∴=四边形，≌，≌，，，在Rt △ABC 中，9043ACB AC BC ∠=︒==，，，5AB ∴=，EAF BAC Rt AEF Rt ABC ∠=∠∴，∽，2AEF ABC S AE S AB ∆∆⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，即2154AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 52AE ∴=；（2）①四边形AEMF 为菱形．理由如下：如图②，∵△ACB 的一角沿EF 折叠，折叠后点A 落在AB 边上的点D 处，AE EM AF MF AFE MFE MF AC AEF MFE AEF AFE AE AF AE EM MF AF ∴==∠=∠∴∠=∠∴∠=∠∴=∴===，，，，，，，，∴四边形AEMF 为菱形；②连结AM 交EF 于点O ，如图②，设AE x =，则4EM x CE x ==，﹣ ， ∵四边形AEMF 为菱形， ∴EM ∥AB ， ∴△CME ∽△CBA ，CM CE EM CB CA AB ∴==，即4=345CM x x -=，解得209x =，43CM =，在Rt △ACM中，AM =， 1••2AEMF S EF AM AE CM ==菱形，4202EF ⨯∴=；（3）如图③，作FH ⊥BC 于H ， ∵EC ∥FH ， ∴△NCE ∽△NFH ， ∴CN :NH =CE :FH ，即41::7NH FH =， ∴FH :NH =4:7，设47FH x NH x ==，，则7137147CH x BH x x ===-，-（-）-，FH AC BFH BAC ∴，∽，::4734:4BH BC FH AC x x ∴==，即（﹣）:，解得25x =， ∴548FH x ==，647BH x =-=，在Rt △BFH 中BF =，，523AF AB BF ∴===﹣﹣，32AF BF ∴=．【提示】（1）先利用折叠的性质得到EF ⊥AB ，△AE F ≌△DE F ，则S △AEF ≌S △DEF ，则易得S △ABC =4S △AEF ，再证明Rt △AEF ∽Rt △ABC ，然后根据相似三角形的性质得到2AEF ABC S AE S AB ∆∆⎛⎫= ⎪⎝⎭，再利用勾股定理求出AB 即可得到AE 的长；（2）①通过证明四条边相等判断四边形AEMF 为菱形； ②连结AM 交EF 于点O ，如图②，设AE x =，则4EM x CE x ==，﹣，先证明CME CBA ∽得到4=345CM x x-=，解出x 后计算出43CM =，再利用勾股定理计算出AM ，然后根据菱形的面积公式计算EF ；数学试卷 第21页（共26页） 数学试卷 第22页（共26页）（3）如图③，作F H B C ⊥于H ，先证明NCE NFH ∽，利用相似比得到47FH NH =::，设4FH x =，77137147NH x CH x BH x x ==-=--=-，则，（），再证明BFH BAC ∽，利用相似比可计算出25x =，则可计算出FH 和BH ，接着利用勾股定理计算出BF ，从而得到AF 的长，于是可计算出ABBF的值． 【考点】三角形综合题． 26．【答案】（1）()224233y x =--+ （2）5=6FHBS（3）43t（4）存在，3122P ⎛⎫⎪⎝⎭，【解析】解：（1）∵抛物线22y ax bx=+﹣（a ≠0）与x 轴交于A （1，0）、B （3，0）两点，209320a b a b +-=⎧∴⎨+-=⎩2383a b ⎧=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，∴抛物线解析式为()222823324233y x x x -=-=-+-+； （2）如图1，过点A 作AH y ∥轴交BC 于H ，BE 于G ， 由（1）有，C （0，-2）， ∵B （0，3）， ∴直线BC 解析式为223y x =-， ∵H （1，y ）在直线BC 上，43y ∴=-，41,3H ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，∵B （3，0），E （0，﹣1）， ∴直线BE 解析式为113y x =--，213G ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，，23GH ∴=，∵直线113BE y x =--：与抛物线228233y x x =-+-相较于F B ，，15,26F ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，111222FHB G F F B G B SGH x x GH x x GH x x ∴=⨯+⨯=--- 1213232=⨯⨯-（）56=． （3）如图2，由（1）有228233y x x =-+-，∵D 为抛物线的顶点，223D ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，，∵一动点M 从点D 出发，以每秒1个单位的速度平行于y 轴方向向上运动， ∴设M （2，m ），（23m >）， 222222222241990419OM m BM m AB OMB OM BM AB m m ∴=+=+=∠=︒∴+=∴+++=，，，，，，m ∴=m =，0M ∴（， 34MD ∴=-，∵一动点M 从点D 出发，以每秒1个单位的速度平沿行与y 轴方向向上运动，43t ∴； （4）存在点P ，使PBF ∠被BA 平分，如图3，数学试卷 第23页（共26页）数学试卷 第24页（共26页）01PBO EBO E ∴∠=∠，（，﹣）,∴在y 轴上取一点()0,1N ， ∵()3,0B ,∴直线BN 的解析式为113y x =-+①，∵点P 在抛物线228233y x x =-+-②上，联立①②得，3212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或30x y =⎧⎨=⎩（舍）， 即：在x 轴上方的抛物线上，存在点P ，使得∠PBF 被BA 平分，P 3212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．【提示】（1）用待定系数法求出抛物线解析式；（2）先求出GH ，点F 的坐标，用三角形的面积公式计算即可；（3）设出点M ，用勾股定理求出点M 的坐标，从而求出MD ，最后求出时间t ；（4）由∠PBF 被BA 平分，确定出过点B 的直线BN 的解析式，求出此直线和抛物线的交点即可． 【考点】二次函数综合题．数学试卷第25页（共26页）数学试卷第26页（共26页）。
