河南省商丘市第一高级中学高二数学下学期期中试题-理讲解

2023-2024学年河南省商丘市部分学高二下册期中考试数学模拟试题一、单选题1．已知函数()4sin f x x x =+，则曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为（）A ．50x y -=B ．50x y +=C ．50x y -=D ．50x y +=【正确答案】A【分析】利用导数的几何意义求切线方程.【详解】()14cos f x x '=+，()00f =，()05f '=，所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程为5y x =，即50x y -=.故选：A2．已知随机变量X 的分布列为X1-01P1414q-q则实数q =（）A ．14B ．16C ．18D ．112【正确答案】D【分析】根据随机变量的分布列性质概率之和为1可得.【详解】由题意：11414q q +-+=，可得.112q =故选：D.3．冬季某服装店销售a ，b ，c ，d ，e 五种不同款式的羽绒服，甲、乙、丙三人每人任意选择一款羽绒服购买，则不同的购买选择有（）A ．15种B ．60种C ．125种D ．243种【正确答案】C【分析】用分步乘法原理计算.【详解】每人有5种不同的购买选择，总的购买选择有555125⨯⨯=种.故选：C.4．已知圆22:4C x y +=与直线:340l x y -=相切，则实数m =（）A ．5B ．10C ．25D ．100【正确答案】D【分析】利用直线与圆相切，建立方程，即可求解.【详解】圆22:4C x y +=的圆心为()0,0，半径2r =，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离2d ==，解得.100m =故选：D5．已知函数()()()()2e '002xf x f x f x =++-（其中()'f x 是()f x 的导函数），则()'1f =（）A ．e 2+B ．e 3+C ．e 2-D ．e 3-【正确答案】B【分析】利用导数的运算法则计算即可.【详解】由题意可得：()()()()()()()e 2'00,0120,010xf x f x f f f f f ''=++=-=+解之得：()()140,033f f '==，所以()()()1e 200e 3f f f ''=++=+.故选：B6．如图，在三棱锥O ABC -中，13CD CB = ，13OE OA = ，若OA a = ，OB b = ，OC c = ，则DE =（）A ．121333a b c--B ．211333a b c--C ．112333a b c-- D ．212333a b c-- 【正确答案】C【分析】利用向量线性运算将DE 用a ，b ，c表示即可.【详解】如图：DE DC CO OE=++ 1133BC CO =++()1133OC OB OC OA =--+112333OA OB OC =--112333a b c =-- 故选：C.7．若定义域为R 的函数()f x 及其导函数()f x '满足()()1f x f x x '>+-，则（）A ．()()2023e 20222022e 2023f f ->-B ．()()2023e 20222022e 2023f f -<-C ．()()2023e 20222022e 2023f f +>-D ．()()2023e 20222022e 2023f f +<+【正确答案】A【分析】根据条件构造函数()()e xf x xg x +=，再利用导数判断函数的单调性，即可代入数值，比较大小.【详解】设()()e xf x xg x +=，则()()()()()()21e e 1e e x x xx f x f x x f x f x x g x '+-+⎡⎤⎡⎤'--+⎣⎦⎣⎦'==，因为()()1f x f x x '>+-，所以()0g x '>，即()g x 单调递增，所以()()20222023g g <，即()()202220232022202220232023e ef f ++<，化简为()()2023e 20222022e 2023f f ->-.故选：A8．有包含甲在内的4名同学参加演讲比赛，由7名评委进行不记名投票，每名评委投1票，获得票数最多且领先第二名不少于2票的同学可直接获得冠军，则甲直接获得冠军的投票结果有（）A ．13种B ．16种C ．17种D ．20种【正确答案】C【分析】由题意得，甲直接获得冠军的得票数可能为4票，5票，6票，7票.分别求出每种得票数的结果总数，再相加即可得到答案.【详解】因为获得票数最多且领先第二名不少于2票的同学可直接获得冠军，所以甲直接获得冠军的得票数可能为4票，5票，6票，7票.当甲的得票数为4票时，其余3名同学得票总数为3票，若其中有1名同学得票数为2票，有1名同学得票数为1票，其余同学得票数为0票，则投票结果共有1132C C 6=种；若其中每名同学的得票数均为1票，则投票结果共有1种；所以，当甲的得票数为4票时，投票结果共有1132C C 17+=种.当甲的得票数为5票时，其余3名同学得票总数为2票，若其中有1名同学得票数为2票，其余同学得票数为0票，则投票结果共有13C 3=种；若其中有2名同学的得票数均为1票，其余同学得票数为0票，则投票结果共有23C 3=种；所以，当甲的得票数为5票时，投票结果共有1233C C 6+=种.当甲的得票数为6票时，其余3名同学得票总数为1票，此时投票结果共有13C 3=种.当甲的得票数为7票时，其余3名同学得票总数为0票，此时投票结果共有1种.所以，则甲直接获得冠军的投票结果共有763117+++=种.故选：C.二、多选题9．设A ，B 为两个随机事件，若()12P A =，()34P B =，则下列结论中正确的是（）A ．若AB ⊆，则()12P A B =B ．若()38P A B ⋂=，则A ，B 相互独立C ．若A 与B 相互独立，则()58P A B ⋃=D ．若A 与B 相互独立，则()18P A B ⋂=【正确答案】BD【分析】根据并事件的概率的计算公式即可判断A ；根据相互独立事件及对立事件的交事件的概率公式即可判断BD ；根据相互独立事件的并事件的概率公式即可判断C.【详解】对于A ，若A B ⊆，则()()34P A B P B ⋃==，故A 错误；对于B ，因为()12P A =，()34P B =，所以()()()38P A P B P A B ==⋂，所以A ，B 相互独立，故B 正确；对于C ，A 与B 相互独立，则,A B 也相互独立，则()()()()13711111248P A B P A B P A P B ⎛⎫⎛⎫⋃=-⋂=-=--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；对于D ，A 与B 相互独立，则,A B 也相互独立，所以()()()13111248P A B P A P B ⎛⎫⎛⎫⋂==-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 正确.故选：BD.10．已知数列{}n a 是等差数列，其前n 项和为n S ．若30S <，30a >，则（）A ．20S <B ．54a a <C ．2546a a a >D ．230a a +<【正确答案】AC【分析】由已知可得公差为正数，从而逐一可判定各选项正误.【详解】由已知3123230S a a a a =++=<，故320a a >>，即公差320d a a =->.2330S S a =-<，故A 正确；又544a a d a =+>，故B 错误；而()()22254644420a a a a d a a d d -=+-+=>，故C 正确;由已知无法判定23a a +的符号，故D 不一定正确.故选：AC11．已知椭圆22:1169x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆C 上一动点，则下列结论中正确的是（）A ．12PF F △的面积的最大值为B ．以线段1F 2F 为直径的圆与直线0x y -=相切C ．120PF PF ⋅>恒成立D ．若1F ，2F ，P 为一个直角三角形的三个顶点，则点P 的纵坐标为94±【正确答案】BCD【分析】对A ，根据面积表达式得到点P 位于上下顶点时三角形面积最大，对B ，利用几何法即可判断直线与圆的关系，对C ，设()00,P x y ，写出向量数量积的表达式即可判断，对D ，分类讨论即可.【详解】对A ，c ===，则())12,F F ，由图得12121122P PF F P P S F F y y y =⋅=⨯⋅ ，显然当点P 位于椭圆上下顶点时，12PF F △的面积的最大值，最大值为A 错误；对B ，以线段12F F 为直径的圆的圆心为()0,0O ，半径r =则圆心到直线的距离d r ==，故直线与圆相切，故B 正确；对C ，设()00,P x y ，则[]04,4x ∈-，且22001169x y +=，则22009916y x =-，()100,PF x y =-- ，)200,PF x y =-，则())120000,,PF PF x y x y ⋅=--⋅--222220000097797201616x y x x x =+-=+--=+>，故C 正确；对D ，由C 选项知121212cos 0PF PF PF PF F PF ⋅=∠> ，则12cos 0F PF ∠≠，则12π2F PF ∠≠，若12π2PF F ∠=，令x =(221169y +=，解得94y =±，同理若21π2PF F ∠=，令x =221169y +=，解得94y =±，故D 正确.故选：BCD.12．已知函数()2ln x f x x =，且a =eb =，123e 1c =-则（）A ．c a>B ．b a>C ．()()f c f a <D ．()()f b f a <【正确答案】ACD【分析】选项A 可以通过分析法，变形分析两者大小；选项B 可以通过幂函数和指数函数单调性引入中间值进行比较；选项C 可以通过函数单调性进行比较；选项D 因a ,b 不在一个单调区间中，可以通过符号比较,【详解】函数2ln ()x f x x =，所以2431ln 212ln ()(0)x x xx x f x x x x⋅-⋅-'==>.令()0f x '=得x =当0x <<时，()0f x '>，()f x在区间(上单调递增.当x >()0f x '>，()f x在区间)+∞上单调递减.对于A，要证123e 1c a =>=-12e 1>-，只需证1ln 32e e 1>-因为ln 30e e 1>=，12e 1111-<-=，所以1ln 32e e 1>-，即证，所以A 正确.对于B，e=e a b >=>=，所以B 错误.对于C ，由A 知12e c a >>，由函数()f x在区间)+∞上单调递减可知()()f c f a <.对于D，e1b =<=，因为()f x在区间(上单调递增，所以()()10f b f <=；()22ln 20e f a ==>⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以()()f a f b >，所以D 正确.故选：ACD.思路点睛：指数对数比较大小，可以利用指数函数、对数函数、幂函数的单调性进行综合考虑，从底数、幂、真数是否相同入手.函数值的大小直接比较困难时，需要利用函数的单调性.三、填空题13．已知等差数列{}n a 的公差为1，且532a a =，则n a =______．【正确答案】n 1-【分析】根据等差数列，建立方程求首项，即可求解通项公式.【详解】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差1d =，因为532a a =，所以()11422a d a d +=+，得10a =，即()111n a a n d n =+-=-.故n 1-14．已知828012823131313x a a x a x a x -=+++++⋅⋅⋅++()()()()，则6a =______．（用数字作答）【正确答案】252【分析】首先利用换元，转化二项展开式，再利用二项式定理，求6a 的值.【详解】设13x t +=，则31x t =-，即()()8828012833...t t a a t a t a t -=-=+++，6a 是6t 前的系数，即6268C 3252a =⋅=.故25215．若函数()312f x x x =-在区间(),4a a +上存在最大值，则实数a 的取值范围是______．【正确答案】()6,2--【分析】利用导数求出函数的单调区间，即可得到函数的极大值点，依题意可得224a a <-⎧⎨-<+⎩，即可求出参数的取值范围.【详解】因为()312f x x x =-，所以()()()2312322f x x x x '=-=-+，由()0f x '>，得<2x -或2x >，则()f x 在区间(),2-∞-和()2,+∞上单调递增，由()0f x '<，得22x -<<，则()f x 在区间()2,2-上单调递减，所以()f x 在2x =-处取得极大值，在2x =处取得极小值，要使函数()312f x x x =-在区间(),4a a +上存在最大值，又()44a a +-=，则224a a <-⎧⎨-<+⎩，解得62a -<<-，即实数a 的取值范围是()6,2--.故()6,2--16．已知双曲线2222:1x y a b Γ-=0a >0b >的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线2a y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0k ≠）与x 轴交于点M ，若A 为Γ右支上的一点，且212AM AF AF +=，则Γ的离心率的取值范围为______．【正确答案】31,2⎛⎤⎥⎝⎦【分析】利用定义化简条件可得22AM AF a +=，根据22AM AF MF +≥建立不等关系，化简可得a ，c 关系，由此可求离心率范围.【详解】设双曲线的半焦距为c ，对于直线2a y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令0y =，解得2a x =-，即,02a M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，∵A 为Γ右支上的一点，则122AF AF a -=，即122AF a AF =+，则21222AM AF AF a AF +==+，整理得22AM AF a +=，注意到222a AM AF MF c +≥=+，可得22a a c ≥+，整理得32c e a =≤，由双曲线可知1e >，所以Γ的离心率的取值范围为31,2⎛⎤⎥⎝⎦.故答案为.31,2⎛⎤⎥⎝⎦四、解答题17．已知函数33f x x ax b =++()在1x =处取得极值1-．(1)求实数a ，b 的值；(2)求()f x 在区间[]22-,上的最大值和最小值．【正确答案】(1)9a =-，5b =(2)最大值为11，最小值为1-【分析】（1）求出函数的导数，根据()10f '=和()11f =-，求出a ，b 的值；（2）利用导数判断函数的在[]22-,上的单调性，求出最值.【详解】（1）由已知得()29f x x a '=+，因为f x （）在1x =处取得极值1-，所以()21910f a '=⨯+=，解得9a =-，又因为()313111f a b =⨯+⨯+=-，所以5b =.（2）由（1）知()3395f x x x =-+，()()()2'99911f x x x x =-=+-，令()0f x '=，解得=1x -或1x =．当x 变化时，()'f x ，()f x 的变化情况如下表所示：x2-()2,1--1-()1,1-1()1,22()f x '+0-+()f x 1-单调递增极大值11单调递减极小值1-单调递增11所以()f x 在区间[]22-,上的最大值为11，最小值为1-．18．已知数列{}n a 满足132n n a a +=-且216a a -=．(1)求证：数列{}1n a -是等比数列；(2)记n b =，若数列{}n b 满足215m m m b b b ++=+，求m 的值．【正确答案】(1)证明见解析(2)4m =【分析】（1）根据已知条件可得出2121632a a a a -=⎧⎨=-⎩，求出1a 、2a 的值，将等式132n n a a +=-变形得出()1131n n a a +-=-，结合等比数列的定义可证得结论成立；（2）求出数列{}n b 的通项公式，根据215m m m b b b ++=+可得出关于m 的方程，解之即可.【详解】（1）解：联立2121632a a a a -=⎧⎨=-⎩，解得12410a a =⎧⎨=⎩，因为132n n a a +=-，所以()1131nn a a +-=-．所以数列{}1n a -是以113a -=为首项，3为公比的等比数列．（2）解：由（1）得11333n n n a --=⨯=，所以31n n a =+，所以n b =由215m m m b b b ++=+16m -+，两边平方整理得()()235225636440m m m m +-=+-=，解得4m =或643m =-（舍去），故4m =．19．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，11ABB A 是面积为4的正方形，且AB 与平面11ACC A 所成的角为30︒．(1)求三棱柱111ABC A B C -的体积；(2)若D 为棱11A C 上靠近1A 的三等分点，求平面1AB C 与平面1BB D 夹角的余弦值．【正确答案】【分析】(1)由线面垂直得到AB 与平面11ACC A 所成的角为BAC ∠，从而求出BC AC 、的值，再用三棱柱的体积公式即可求出答案；(2)建立空间直角坐标系，分别求出平面1AB C 与平面1BB D 的法向量，代入夹角的余弦值公式即可求出答案.【详解】（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，1AA BC ⊥，AC BC ⊥，1AA AC A = ，1AA ⊂平面11ACC A ，AC ⊂平面11ACC A ，所以BC ⊥平面11ACC A ，所以BAC ∠是AB 与平面11ACC A 所成的角，即30BAC ∠=︒．因为11ABB A 是面积为4的正方形，所以=2AB ，则112BC AB ==，AC ，所以三棱柱111ABC A B C -的体积为1122⨯=（2）以C 为坐标原点，1CB CA CC 、、所在的直线分别为,,x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0C，()A ，()1,0,0B ，()11,0,2B，D ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()CA = ，()11,0,2CB = ，()10,0,2BB =，BD ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭．设平面1AB C 的法向量为(),,n x y z =，则()()()()1,,0,0,,1,0,220nCA x y z n CB x y z x z ⎧⋅=⋅==⎪⎨⎪⋅=⋅=+=⎩，解得02y x z =⎧⎨=-⎩，取1z =，则()2,0,1n =-；设平面1BB D 的法向量为(),,m a b c =，则()()()1,,0,0,220,,20m BB a b c c m BD a b c a c ⎧⋅=⋅==⎪⎛⎫⎨⋅=⋅-=-+= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩，解得03c a =⎧⎪⎨=⎪⎩，取3b =，则()m =．设平面1AB C 与平面1BB D 夹角的大小为θ，则cos 35m nm nθ⋅===．20．已知椭圆()2222C :10y x a b a b +=>>的上、下焦点分别为1F ，2F ，点()2,0A 满足直线1AF ，2AF 的斜率之积为14-，点B 是C 上任意一点，12BF BF +=．(1)求C 的方程；(2)过点A 的直线l 与C 交于D ，E 两点，若以DE 为直径的圆经过坐标原点O ，求直线l的方程．【正确答案】(1)2212y x +=(2)()25y x =±-【分析】（1）由斜率之积可得椭圆半焦距，再利用椭圆定义即可求得椭圆方程；（2）设直线l 的方程，与椭圆联立，根据圆的性质知90DOE ∠= ，再利用韦达定理及判别式可得结果.【详解】（1）设椭圆C 的半焦距为()0c c >．因为直线1AF ，2AF 的斜率之积为14-，所以()00120204c c ---⋅=---，解得c =1．因为12BF BF +=，利用椭圆定义可得椭圆长轴2a =，解得a =则1b ==．所以C 的方程为2212y x +=．（2）由已知得过点()20A ，且满足题意的直线l 的斜率存在，不妨设():2l y k x =-，联立()221,22,y x y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y 得()222224420k x k x k +-+-=，令()()()2222442420k k k ∆=--+->，解得33k -<<．设()11,D x y ，()22,E x y ，则212242kx x k +=+，2122422k x x k -=+，因为以DE 为直径的圆经过点O ，所以0OD OE ⋅=，即，12120x x y y +=，所以()()21212220x x kx x +--=，即22212121240k x x k x x k +-++=（）（），所以()2222222424124022k k k k k k k -+⋅-⋅+=++，整理可得21020k -=，解得5k =±，满足k <<所以直线l 的方程为)2y x =-．21．某外国语高中三个年级的学生的人数相同，现按人数比例用分层随机抽样的方法从三个年级中随机抽取90位同学，调查他们外语词汇量（单位：个）掌握情况，统计结果如下：词汇量频数[)2000,2500[)2500,3000[)3000,3500[)3500,4000[)4000,4500高一年级16x220高二年级88y42高三年级z6884(1)求x ，y ，z 的值；(2)在这90份样本数据中，从词汇量位于区间[]35004500，的高三学生中随机抽取2人，记抽取的这2人词汇量位于区间[)3500,4000的人数为X ，求X 的分布列与数学期望；(3)以样本数据中词汇量位于各区间的频率作为学生词汇量位于该区间的概率，假设该学校有10%的学生外语选修日语，且选修日语的学生中有20%的人词汇量位于区间]4000,4500[．现从该学校任选一位学生，若已知此学生词汇量位于区间]4000,4500[，求他外语选修的是日语的概率．【正确答案】(1)10x =，8y =，4z =(2)分布列见解析，数学期望为43(3)310【分析】（1）由条件可知，三个年级的样本人数都是30，根据表格数据，列式求解；（2）利用超几何分布求概率，再根据分布列求期望；（3）利用条件概率求解.【详解】（1）由题意，得1622030884230688430x y z ++++=⎧⎪++++=⎨⎪++++=⎩，解得1084x y z =⎧⎪=⎨⎪=⎩；（2）由题意可知，词汇量位于区间[]35004500,的高三学生有12人，位于区间[)3500,4000的高三学生有8人，则X 的所有可能取值为0，1，2，()24212C 10C 11P X ===，()1184212C C 161C 33P X ===，()28212C 142C 33P X ===，所以随机变量X 的概率分布列为：X 012P11116331433所以()1161440121133333E X =⨯+⨯+⨯=．（3）由题知，词汇量位于区间[]4 000,4 500的概率为619015=，从该学校任选一位学生，外语选修日语且词汇量位于区间[]4 000,4 500的概率为110%20%0.0250⨯==，根据条件概率的公式，在已知此学生词汇量位于区间[]4 000,4 500的条件下，他外语选修的是日语的概率为135011015=．22．已知函数()ln 2R af x x a x=+-∈()．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若方程()2af x ax x=+有两个不同的实数根，求a 的取值范围．【正确答案】(1)答案见解析(2)510,2e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）对()f x 求导，分类讨论0a ≤和0a >时()f x '的正负，即可得出()f x 的单调性；（2）解法一：“方程()2a f x ax x=+有两个不同的实数根”等价于“函数()2ln 2g x x ax =--有两个零点”．对()g x 求导，讨论()g x 的单调性和最值，即可得出答案；解法二：由方程()2a f x ax x=+得2ln 2x a x -=，转化为()2ln 2x k x x-=与y a =的图象有两个交点，对()k x 求导，得出()k x 的单调性和最值即可得出答案.【详解】（1）由条件知()2211x af x a xxx -⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭，0x >，当0a ≤时，()0f x ¢>在()0,∞+上恒成立，所以()f x 在()0,∞+单调递增．当0a >时，令()0f x '<，得x a <，令()0f x ¢>，得x a >，所以()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增．（2）解法一：由方程()2a f x ax x =+得2ln 20x ax --=，“方程()2a f x ax x=+有两个不同的实数根”等价于“函数()2ln 2g x x ax =--有两个零点”．()21122ax g x ax x x-='=-，0x >．①当0a ≤时，()0g x '>，()g x 在()0,∞+上是增函数，最多只有一个零点，不符合题意；②当0a >时，由()0g x '=得x =当0x <<时，()0g x '>，()g x 在⎛⎝上单调递增，当x >()0g x '<，()g x 在⎫+∞⎪⎭上单调递减．（ⅰ）若512e a ≥，则()502g x g ≤=-≤，最多只有一个零点；（ⅱ）若512e a ≤52e 1>>，且0g >，()120g a =--<，所以()g x 在区间内⎛⎝有一个零点．令函数()ln 1h x x x =-+，则()11h x x'=-，0x >．当01x <<时，()0h x '>，()h x 在()0,1上是增函数；当1x >时，()0h x '<，()h x 在()1,+∞上是减函数.所以()()10h x h ≤=，故ln 1x x ≤-．所以1111ln 21230g a a a a ⎛⎫=--<--=-< ⎪⎝⎭，又1a >所以()g x在区间1a ⎫⎪⎭内有一个零点．综上可知：当5102e a <<时，()g x 有两个零点，即方程()2a f x ax x =+有两个不同的实数根，故a 的取值范围为510,2e ⎛⎫⎪⎝⎭．解法二：由方程()2af x ax x =+得2ln 2x a x -=．设函数()2ln 2x k x x -=，则()()24312ln 252ln x x x x x k x x x ⋅---=='，0x >．令()0k x '=，得52e x =，设520e x =，则当00x x <<时，()0k x '>，当0x x >时，()0k x '<，所以()k x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减，所以()k x 的极大值也就是最大值为()0512e k x =，且当0x >，x 趋近于0时，()k x 趋近于负无穷，当x 趋近于正无穷时，()0k x >，且()k x 趋近于0．方程()2af x ax x=+有两个不同的实数根，转化为直线y a =与()y k x =的图象有两个交点，结合函数图象可知a 的取值范围是510,2e ⎛⎫⎪⎝⎭．。

数学（理科）试卷一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合2{|60}M x x x =+-<，{|13}N x x =≤≤，则M N ⋂=（ ）A. [1,2)B. [1,2]C. (2,3]D. [2,3]【答案】A 【解析】试题分析：因为2{|60}(32)M x x x =+-<=-，，所以M N ⋂=[1,2)，选A. 考点：集合运算 【名师点睛】1.求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解． 2．求交、并、补的混合运算时，先算括号里面的，再按运算顺序求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．4．在解决有关A∩B ＝∅，A ⊆B 等集合问题时，往往忽视空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解．2.在ABC V 中，“A 45=o ”是“sinA =”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由充分条件和必要条件的概念，直接分析即可得出结果.【详解】当A 45=o 时，sinA =成立．若当A 135=o 时，满足sinA =．即由“A 45=o ”能推出“sinA =”；反之不一定成立.所以，“A 45=o”是“sinA 2=”的充分不必要条件． 故选A【点睛】本题主要考查充分不必要条件，熟记概念即可，属于基础题型. 3.在复平面内，复数5312i i-+对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】 化简5312i i-+成标准形式即可 【详解】解：()()()5125510333151212125i ii i i i i i i ---=-=-=-++⋅- 所以复数5312i i-+对应的点位于第四象限 故选：D【点睛】考查复数的运算以及复数的几何意义，基础题.4.设变量,x y 满足约束条件250200x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数23z x y =+的最大值为（ ）A. 10B. 9C. 8D. 4【答案】B 【解析】 【分析】作出可行域，看目标函数的截距即可 【详解】解：作可行域如图：()2503,,3,1201x y x A x y y +-==⎧⎧⎨⎨--==⎩⎩由23z x y =+得233zy x =-+， 当233zy x =-+过()3,1A ，截距最大，此时max 2323319z x y =+=⨯+⨯= 故选：B【点睛】考查线性规划求最大值，基础题.5.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若12a =，5734a a +=，则6S =（ ） A. 40 B. 80C. 36D. 57【答案】D 【解析】 【分析】由5766234,17a a a a +===，代入求和公式即可. 【详解】解：5766234,17a a a a +===()()166********2a a S ⨯+⨯+===故选：D【点睛】考查等差数列求和，基础题. 6.某个游戏中，一个珠子按如图所示通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从口4出来，那么你取胜的概率为（ ）A.532B.16C.516D. 以上都不对【答案】C 【解析】 【分析】从入口到出口4共由5个岔口，每个岔口的概率都是12，根据二项分布的概率计算公式可解 【详解】解：从入口到出口4共有2510C =种走法，其中每一岔口的概率都是12所以珠子从口4出来的概率为52512165P C ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭故选：C【点睛】考查二项分布的概率计算，基础题.7.己知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且|||AB OF = (O 为原点)，则双曲线的离心率为（ ）A.B.C. 2D.【答案】C 【解析】 【分析】联立准线方程和双曲线方程，结合|||AB OF =，找到a c 、关系可求离心率. 【详解】解：24y x =的准线1l x =-：，||1OF =22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程b y x a=-1x =-时，b y a=，|||AB OF =，根据对称性，有11,2b b a =⨯∴= )2222,3,b b a ==又222,b c a =-224,2cc a a== 故选：C【点睛】考查双曲线的离心率的求法，基础题.8.设随机变量~(1,9)X N ，且(0)(1)P X P X a ≤=≥-，则实数a 的值为（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】 【分析】正态分布概率密度函数图象的对称性可解 【详解】解：随机变量~(1,9)X N ，其期望为1因为(0)(1)P X P X a ≤=≥-，根据正态分布概率密度函数图象的对称性有，1011,3a a -=--=故选：B【点睛】考查根据正态分布概率密度函数图象的对称性求参数，基础题. 9.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x -<-，记()33f a =，()1b f =--，()22f c -=-，则（ ） A. a c b << B. a b c <<C. c b a <<D. b c a <<【答案】A 【解析】 【分析】对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x -<-，判断()f x x在()0,∞+单调递减，再证明()f x x是()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，根据单调性判断即可 【详解】解：不妨设120x x <<，则120x x -<，因为()()2112120x f x x f x x x -<-，所以()()21120x f x x f x ->， 即()()1212f x f x x x >()f x x在()0,∞+单调递减， 因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()()()f x f x f x x x x --==--， ()f x x是()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数 ()()()11111f f b f -=--==-，()()()222222f f f c --=-==-，()33f a = 所以a c b << 故选：A【点睛】考查根据式子的结构构造新函数的能力，同时利用单调性比较大小，基础题.10.在等比数列{}n a 中，若2534a a =-，234594a a a a +++=，则23451111a a a a +++=（ ） A. 1 B. 34-C. 3-D.13【答案】C 【解析】 【分析】 把253434a a a a =-=代入2534234525341111a a a a a a a a a a a a +++++=+⋅⋅中，用上234594a a a a +++=即可【详解】解：{}n a 是等比数列253434a a a a =-= 234594a a a a +++=253423452534111143934a a a a a a a a a a a a +++++=+==--故选：C【点睛】利用等比数列的性质求值，基础题.11.已知12,F F 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段1PF 的中垂线恰好经过焦点2F ，则椭圆C 离心率的取值范围是（ ）A. 1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 13⎡⎢⎣⎦C. 2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A 【解析】 【分析】因为线段1PF 的中垂线恰好经过焦点2F ，根据垂直平分线的性质，2122PF F F c ∴==，又因为是存在一点P ，焦半径22PF c =必须大于或等于其最小值a c -，由此解不等式，同时注意椭圆的离心率一定小于1.【详解】解：如图，因为线段1PF 的中垂线经过2F ，2122PF F F c ∴==即在椭圆上存在一点P ，使得22PF c =2min 2PF c ≤，12,3,3c a c c a c a -≤≤≥ 又1ca<， 所以椭圆离心率的取值范围是113ca≤<， 故选：A【点睛】已知椭圆上存在一点求椭圆的离心率，注意椭圆的焦半径的最小值是a c -，同时椭圆的离心率一定小于1，基础题.12.已知函数2ln 2,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-对称的点在21y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（ ）A. 13,48⎛⎫⎪⎝⎭B. 11,42⎛⎫⎪⎝⎭C. 11,62⎛⎫⎪⎝⎭D. 1,14⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】21y kx =-关于1y =-对称的函数为21y kx =--，所以2ln 2,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图象与21y kx =--的图象有且仅有四个不同的交点，作出2ln 2,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩与21y kx =--的图象，利用导数等于斜率，求出临界直线的斜率AB AC k k 、即可. 【详解】解：函数2ln 2,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-对称的点在21y kx =-的图像上，21y kx =-关于1y =-对称的函数为21y kx =--所以2ln 2,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图象与21y kx =--的图象有且仅有四个不同的交点，作2ln 2,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩与21y kx =--的图象如下：易知21y kx =--恒过点(0,1)A -设直线AC 与ln 2y x x x =-相切于点(,ln 2)C x x x x -，ln 1y x '=-ln 21AC x x x k x-+=故ln 21ln 1x x x x x-+-=，1, 1AC x k ==-设直线AB 与232y x x =+相切于点23,2B x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，322y x '=+2312AB x x k x++=，故2313222x x x x +++=1x =-， 31222AB k =-+=- 1122k -<-<-故1412k <<， 故选：B【点睛】已知两个函数图象交点情况，求参数的取值范围，是难题.二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知函数()ln 2f x x =+，则不等式()232f x -<的解集为_______.【答案】(2,2)-U 【解析】 【分析】()232f x -<等价于()()231f x f -<，转化成()231,221x x -<-<<L，再由230,x x ->>或()2x <，由()()12可得【详解】解：()ln 2f =+11=2()232f x -<等价于()()231f x f -<()ln 2f x x =+是()0,∞+的增函数()231,221x x -<-<<L又230,x x ->>()2x <由()()12得，不等式()232f x -<的解集为(2,2)-U故答案为：(2,2)-U【点睛】考查利用函数单调性解不等式，注意复合函数的定义域，基础题. 14.设1x >-，求函数()()521x x y x ++=+的最小值为__________．【答案】9 【解析】试题分析：本题解题的关键在于关注分母1x +，充分运用发散性思维，经过同解变形构造基本不等式，从而求出最小值.试题解析：由1x >-得10x +>，则()()()()()()()21411521514415591111x x x x x x y x x x x x ⎡⎤⎡⎤++++++++++⎣⎦⎣⎦====+++≥=++++当且仅当1x =时，上式取“=”，所以min 9y =.考点：基本不等式；构造思想和发散性思维.15.已知a R ∈，命题[]:1,2P x ∀∈，30x a -≥.命题2:,220q x R x ax a ∃∈++-=，若命题p q ∧ 为真.命题，则实数a 的取值范围是________________. 【答案】2a ≤-或1a = 【解析】 【分析】命题命题p 为真时，1a ∴…； 命题命题q 为真时，所以1a …或()22a ≤-L ，则由()()12得2a -…或1a = 【详解】解：命题[]:1,2P x ∀∈，30x a -≥，()i 3m na x ∴…，()11a ∴L …，命题: q x R ∃∈，2 220x ax a ++-=，则244(2)0a a ∆=--…，所以1a …或()22a ≤-L 若命题p q ∧为真命题，则由()()12得2a -…或1a = 故答案为：2a -… 或1a =【点睛】考查根据“若命题p q ∧为真命题，则命题p 为真且q 为真”求参数范围，基础题.16.设函数()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2xf xg x +=，若对1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，不等式()()20af x g x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是__________.【答案】[)-+∞ 【解析】 【分析】根据()()2x f x g x +=和()()f x g x 、分别奇、偶函数，()()11()22,()2222x x x x f x g x --∴=-=+，()(2)0af x g x +…可化为，()()2212222022x x x x a ---++…，令22x xt -=-，则()2222222222x x x xt --+-=+=+，1524t ≤≤，()()2212222022x x x x a ---++…化为，211022a t t ++…，即2a t t ≥--，()2g =t t t --，求出()2g =t t t--最大值即可 【详解】解：函数()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，()(),()()f x f x g x g x ∴-=--= ()()()21x f x g x +=Q L()()()()()22x f x g x f x g x --+-=-+=L由()()12得，()()11()22,()2222x x x x f x g x --∴=-=+ ()(2)0af x g x +…可化为()()2212222022x x x x a ---++…122x Q 剟，24x ≤，1224x --≤-≤-15224x x -≤-≤令22x x t -=-，则()2222222222x x x xt --+-=+=+，1524t ≤≤ ()()2212222022x x x x a ---++…化为： 211022a t t ++…，即2a t t≥-- 令()2g =t t t --，()22g =1,t t'-+t ≤<()()22g =10,g t t t '-+<递增154t <≤，()()22g =10,g t t t'-+>递减 ()max g t g==-a ≥-则实数a 的取值范围是：a ≥-故答案为： )⎡-∞⎣【点睛】考查奇偶函数的性质以及不等式恒成立求参数的范围，中档题.三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）17.已知，在ABC V 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且sin cos a B A =. （1）求角A 的大小；（2）设ABC V 的面积为a 的取值范围.【答案】（1）3π；（2）)+∞ 【解析】 【分析】（1）sin cos a B A .由正弦定理可得：sin sin cos A B B A ，化简整理即可（2）ABC V 的面积为1sin 2bc A ==，得12bc = ，由余弦定理可得：a ≥=，【详解】解：（1）sin cos a B A .由正弦定理可得：sin sin cos A B B A ，又sin 0B ≠，可得：tan A = 又(0,)A π∈，所以3A π=.（2）因为3A π=，ABC V 的面积为1sin 2bc A ==，解得12bc =由余弦定理可得：a ≥=，当且仅当b c ==.综上，边a 的取值范围为)+∞【点睛】考查正、余弦定理以及基本不等式的应用，中档题.18.如图，BCD ∆与MCD ∆都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，AB =（1）求点A 到平面MBC 的距离；（2）求平面ACM 与平面BCD 所成二面角的正弦值.【答案】（1）d =（2）sin 5θ= 【解析】【详解】解法一：（1）等体积法．取CD 中点O ，连OB ，OM ，则OB =OM OB ．CD ，MO ．CD ．又平面MCD ⊥平面BCD ,则MO ．平面BCD ，所以MO ．AB ，MO ．平面ABC ．M 、O 到平面ABC 的距离相等．作OH ．BC 于H ，连MH ，则MH ．BC ．求得OH =OC•cos30︒=，MH 2=． 设点θ到平面ACM 的距离为d ，由(0,0,23)BA =u u u r得．即11122332⋅=⋅⋅⋅解得d =（2）延长AM 、BO 相交于E ，连CE 、DE ，CE 是平面与平面BCD 的交线．由（1）知，O 是BE 的中点，则BCED 是菱形.作BF ．EC 于F ，连AF ，则AF ．EC ，．AFB 就是二面角A -EC -B 的平面角，设为θ. 因为．BCE =120°，所以．BCF =60°.2sin 60BF ︒==tan 2AB BF θ==，sin 5θ=.则所求二面角的正弦值为sin θ=解法二：取CD 中点O ，连OB ，OM ，则OB ．CD ，OM ．CD ．又平面MCD ⊥平面BCD ,则MO ．平面BCD .取O 为原点，直线OC 、BO 、OM 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系如图．OB =OM，则各点坐标分别为C （1，0，0），M （0，0），B （0，0），A （0，）.（1）设(,,)n x y z =u u r 是平面MBC的法向量，则BC =u u u r,BM =u u u u r. 由n BC ⊥u u r u u u r得0x +=； 由n BM ⊥u u r u u u u r得BC =u u u r．取．(0,0,23)BA =u u u r，则BA n d n ⋅===u u u r rr ． （2）(CM =-u u u u r ，(1,CA =-u u u r.设平面ACM 的法向量为1(,,)n x y z =u r ，由11{n CM n CA ⊥⊥u r u u u u ru r u u u r 得0{0x x -+=--+=解得x =，y z =，取1,1)n =u r .又平面BCD 的法向量为2(0,0,1)n =u u r.所以12112cos ,n n n n n ⋅==⋅u r u u r u r u r u u r ， 设所求二面角为θ，则sin θ=.19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1212,F F F F =、，直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且124AF AF += （1）求椭圆C 的方程；（2）若A 、B 两点关于原点O 的对称点分别为,A B ''，且AOB 90∠=o ，判断四边形ABA B ''是否存在内切的定圆？若存在，请求出该内切圆的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）存在，2245x y +=【解析】 【分析】（1）因为12||F F =，所以c =，124AF AF +=，所以24a =，解得2a =，代入方程即可（2）①当直线l 的斜率k 存在时，设1122:,(,),(,)l y kx m A x y B x y =+，由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，12221228414441km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，因为AOB 90∠=o ，所以OA OB ⊥，0OA OB ⋅=u u u r u u u r ，22445k m +=，原点O 到直线l的距离d ==同理可证，原点O 到达,,BA AB A B ''''，四边形ABA B ''存在内切的定圆，且该定圆的方程为2245x y +=②当直线l 的斜率不存在时，同理说明即可 【详解】解：(1)因为12||F F =，所以c =，.因为直线l 与椭圆C 交于，两点，且12||4||AF AF =-，所以12||||4AF AF +=，所以24a =，解得2a =，所以2221b a c =-=，所以椭圆的方程为2214x y +=(2)①当直线l 的斜率k 存在时，设1122:,(,),(,)l y kx m A x y B x y =+由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(41)8440k x kmx m +++-=，222222644(41)(44)16(41)k m k m k m ∆=-+-=+-，所以12221228414441km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 因为AOB 90∠=o ，所以OA OB ⊥，0OA OB ⋅=u u u r u u u r，即22222222212121212222448544(1)()(1)0414141m k m m k x x y y k x x km x x m k m k k k ---+=++++=+-+==+++所以22445k m +=，所以原点O 到直线l的距离5d==根据椭圆的对称性，同理可证，原点O 到达,,BA AB A B ''''， 所以四边形ABA B ''存在内切的定圆，且该定圆的方程为2245x y += ②当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为xn =，不妨设,A B 分别为直线l 与椭圆C 的上、下交点，则((,A n B n ，由90AOB ︒∠=，得OA OB ⊥u u u r u u u r ，22404n n --=，解得245n =，所以此时原点O 到直线l. 根据椭圆的对称性，同理可证，原点O 到达,,BA AB A B ''''， 所以四边形ABA B ''存在内切的定圆，且该定圆的方程为2245x y +=. 综上可知，四边形ABA B ''存在内切的定圆，且该定圆的方程为2245x y +=【点睛】考查椭圆方程的求法，判断四边形是否存在内切圆转化为判断一定点到四边的距离是否相等，难题20.某种植物感染α病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗α病毒的制剂，现对20株感染了α病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效.测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计；并对植株吸收制剂的量(单位：mg )进行统计.规定：植株吸收在6mg （包括6mg ）以上为“足量”，否则为“不足量”.现对该20株植株样本进行统计，其中 “植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表.已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株.（1）完成以下22⨯列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关？（2）①若在该样本“吸收不足量”的植株中随机抽取3株，记ζ为“植株死亡”的数量，求ζ得分布列和期望E ζ；②将频率视为概率，现在对已知某块种植了1000株并感染了α病毒的该植物试验田里进行该药品喷雾试验，设“植株存活”且“吸收足量”的数量为随机变量η，求D η.参考数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++【答案】（1）不能在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关；（2）①分布列见解析，125E ζ=，②240 【解析】 【分析】（1）已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株，由题意可得“植株存活”的13株，“植株死亡”的7株；“吸收足量”的15株，“吸收不足量”的5株，填表即可（2）代入公式计算2220(12431) 5.934 6.635137155K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，有关（3）①样本中“制剂吸收不足量”有5株，其中“植株死亡”的有4株， 存活的1株，所以抽取的3株中ξ的可能取值是2，3，根据古典概型计算即可. ②“植株存活”且“制剂吸收足量”的概率为123205p ==，332~(1000,)(1)1000240555B D np p ηη⇒=-=⨯⨯=【详解】解：(1) 由题意可得“植株存活”的13株，“植株死亡”的7株；“吸收足量”的15株，“吸收不足量”的5株，填写列联表如下：2220(12431) 5.934 6.635137155K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯所以不能在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关. ①样本中“制剂吸收不足量”有5株，其中“植株死亡”的有4株， 存活的1株， 所以抽取的3株中ξ的可能取值是2，3.其中24353(2)5C P C ξ===， 34352(3)5C P C ξ===ξ的分布列为：所以321223555E ξ=⨯+⨯=. ②332~(1000,)(1)1000240555B D np p ηη⇒=-=⨯⨯=【点睛】考查完成22⨯列联表、离散型随机变量的分布列、期望以及二项分布的方差，难题.21.已知函数2()(2)ln f x ax a x x =+--（1）若函数()f x 在x =1时取得极值，求实数a 的值； （2）当0＜a ＜1时，求()f x 零点的个数. 【答案】（1）1；（2）两个 【解析】 【分析】(1) 函数()f x 在x =1时取得极值，得(1)0f '=，解得1a =，1a =时，(21)(1)()x x f x x+-'=，求单调区间，验证()f x 在x =1时取得极值 （2）(21)(1)()0x ax f x x '+-==，由01,a <<，得11,x a=>()f x 减区间为1(0)a ，，增区间为1()a+∞，，其极小值为11()ln 1f a a a =+-，21222()110a a a a e f e e e e e ---+=++>+=>，函数()f x 在1(0)a，上有且仅有一个零点，根据ln x x >，22()(2)ln (2)(3)f x ax a x x ax a x x x ax a =+-->+--=+-，令30ax a +->，得3a x a ->，又因为01a <<，所以31a a a ->，所以当3a x a->时，()0f x >，根据零点存在定理，函数()f x 在1()a+∞，上有且仅有一个零点. 【详解】解：(1)()f x 定义域为(0)+∞，，22(2)1(21)(1)()ax a x x ax f x x x+--+-='=， 由已知，得(1)0f '=，解得1a =， 当1a =时，(21)(1)()x x f x x+-'=，所以()001,f x x <⇔<<'，()01,f x x >⇔>'所以()f x 减区间为(01)，，增区间为(1)，+∞， 所以函数()f x 在1x=时取得极小值，其极小值为(1)0f =，符合题意，所以1a = (2)令(21)(1)()0x ax f x x '+-==，由01,a <<，得11,x a=>所以1()00f x x a <⇔<<'，1()0f x x a>'⇔>， 所以()f x 减区间为1(0)a ，，增区间为1()a+∞，， 所以函数()f x 在1x a=时取得极小值，其极小值为11()ln 1f a a a =+-， 因为01a <<，所以ln 0a <，11a>， 所以110a-<，所以11()ln 10f a a a =+-<， 因为21222()110a a a a e f e e e e e---+=++>+=>， 根据零点存在定理，函数()f x 在1(0)a ，上有且仅有一个零点， 因为ln x x >，22()(2)ln (2)(3)f x ax a x x ax a x x x ax a =+-->+--=+-，令30ax a +->，得3a x a ->，又因01a <<，所以31a a a ->， 所以当3a x a->时，()0f x >， 根据零点存在定理，函数()f x 在1()a+∞，上有且仅有一个零点， 所以，当01a <<时，()f x 有两个零点.【点睛】考查根据函数极值情况确定参数的范围和函数零点个数，难题.22.在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩ (其中为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，圆C 2的极坐标方程为28sin 150ρρθ-+=. （1）求曲线C 1的方程普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）过圆C 2的圆心，倾斜角为4π的直线l 与曲线C 1交于A 、B 两点，则求22+C A C B 的值.【答案】（1）24y x =，22(4)1x y +-=；（2）【解析】【分析】（1）把4y t =代入到24x t =中即可.把222,sin x y y ρρθ=+=代入28sin 150ρρθ-+=（2）直线l 的参数方程为2cos 424sin 442x t t y t t ππ⎧=⋅=⎪⎪⎨⎪=+⋅=+⎪⎩(其中为参数)，代入24y x =可知22320t t ++=4，因为12320t t =>，可知2212||||||2C A C B t t +=+=4【详解】解：(1)曲线1C 的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩(其中t 为参数)，消去参数可得24y x = 曲线2C 的极坐标方程28sin ρρθ-+15=0变为直角坐标的方程为:22(4)1x y +-= (2)可知2C 的圆心坐标为(0,4)，直线l 的参数方程为2cos 4224sin 442x t t y t t ππ⎧=⋅=⎪⎪⎨⎪=+⋅=+⎪⎩(其中为参数)，代入24y x =可知22320t t ++=4，因1232t t =，可知2212||||||C A C B t t +=+=【点睛】考查把参数方程、极坐标方程化为普通方程，根据直线方程中参数的几何意义求线段之和，中档题.23.已知()|1||21|f x x x =+--.（1）求不等式()0f x >的解集；（2）若x ∈R ，不等式()23f x x a ≤+-恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(0,2)；（2）[2,)+∞【解析】【分析】(1)把()|1||21|f x x x =+--分段表示，后解不等式（2）不等式()23f x x a ≤+-恒成立等价于()23f x x a -≤-恒成立，则max 23[()]a f x x -≥-，2,11()()2,12122,2x g x f x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩，求其最大值即可.【详解】解：(1)2,11()1213,1212,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+--=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩当1x <-时，由20x ->得2x >，即解集为∅， 当112x ≤≤-时，由30x >得0x >，解集为1(0]2，， 当12x >时，由20x ->得2x <，解集为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭， 综上所述，()0f x >的解集为(0,2)(2)不等式()23f x x a ≤+-恒成立等价于()23f x x a -≤-恒成立，则max 23[()]a f x x -≥-， 令2,11()()2,12122,2x g x f x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩， 则max 1()12g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即2312a a -≥⇒≥ 所以实数a 的取值范围是[2,)+∞【点睛】考查含两个绝对值号的不等式解法以及不等式恒成立求参数的范围，中档题.。

数学（理科）试卷一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合2{|60}M x x x =+-<，{|13}N x x =≤≤，则M N ⋂=（ ）A. [1,2)B. [1,2]C. (2,3]D. [2,3]2.在ABC V 中，“A 45=o”是“sinA =”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件3.在复平面内，复数5312i i-+对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限4.设变量,x y 满足约束条件250200x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数23z x y =+的最大值为（ ）A. 10B. 9C. 8D. 45.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若12a =，5734a a +=，则6S =（ ） A. 40B. 80C. 36D. 576.某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从口4出来，那么你取胜的概率为（ ）A.532B.16C.516D. 以上都不对7.己知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B，且|||AB OF = (O 为原点)，则双曲线的离心率为（ ）AC. 28.设随机变量~(1,9)X N ，且(0)(1)P X P X a ≤=≥-，则实数a 的值为（ ） A. 2B. 3C. 4D. 59.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x -<-，记()33f a =，()1b f =--，()22f c -=-，则（ ） A. a c b <<B. a b c <<C. c b a <<D. b c a <<10.在等比数列{}n a 中，若2534a a =-，234594a a a a +++=，则23451111a a a a +++=（ ） A. 1B. 34-C. 3-D.1311.已知12,F F 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段1PF 的中垂线恰好经过焦点2F ，则椭圆C 离心率的取值范围是（ ）A. 1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 1,32⎡⎢⎣⎦C. 2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦12.已知函数2ln 2,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-对称的点在21y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（ ）A. 13,48⎛⎫⎪⎝⎭B. 11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 11,62⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知函数()ln 2f x x =+，则不等式()232f x -<的解集为_______.14.设1x >-，求函数()()521x x y x ++=+的最小值为__________．15.已知a R ∈，命题[]:1,2P x ∀∈，30x a -≥.命题2:,220q x R x ax a ∃∈++-=，若命题p q ∧ 为真.命题，则实数a 的取值范围是________________.16.设函数()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2xf xg x +=，若对1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，不等式()()20af x g x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是__________.三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤）17.已知，在ABC V 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C的对边，且sin cos a B A =. （1）求角A大小；（2）设ABC V 的面积为a 的取值范围.18.如图，BCD ∆与MCD ∆都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD，AB =（1）求点A 到平面MBC 的距离；（2）求平面ACM 与平面BCD 所成二面角的正弦值.19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>左、右焦点分别为1212,F F F F =、，直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且124AF AF += （1）求椭圆C方程；（2）若A 、B 两点关于原点O 的对称点分别为,A B ''，且AOB 90∠=o ，判断四边形ABA B ''是否存在内切的定圆？若存在，请求出该内切圆的方程；若不存在，请说明理由.20.某种植物感染α病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗α病毒的制剂，现对20株感染了α病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效.测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计；并对植株吸收制剂的量(单位：mg )进行统计.规定：植株吸收在6mg （包括6mg ）以上为“足量”，否则为“不足量”.现对该20株植株样本进行统计，其中 “植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表.已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株.的（1）完成以下22⨯列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关？（2）①若在该样本“吸收不足量”的植株中随机抽取3株，记ζ为“植株死亡”的数量，求ζ得分布列和期望E ζ；②将频率视为概率，现在对已知某块种植了1000株并感染了α病毒的该植物试验田里进行该药品喷雾试验，设“植株存活”且“吸收足量”的数量为随机变量η，求D η.参考数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++21.已知函数2()(2)ln f x ax a x x =+--（1）若函数()f x 在x =1时取得极值，求实数a 的值； （2）当0＜a ＜1时，求()f x 零点的个数.22.在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为244x t y t ⎧=⎨=⎩(其中为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，圆C 2的极坐标方程为28sin 150ρρθ-+=. （1）求曲线C 1方程普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）过圆C 2的圆心，倾斜角为4π的直线l 与曲线C 1交于A 、B 两点，则求22+C A C B 的值.23.已知()|1||21|f x x x =+--. （1）求不等式()0f x >的解集；（2）若x ∈R ，不等式()23f x x a ≤+-恒成立，求实数a 的取值范围.。

数学（理科）试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．第I 卷（选择题，共60分）注意事项：１．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名.准考证号.考场号.座号.考试科目涂写在答题卡上． ２．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合}31|{},06|{2≤≤=<-+=x x N x x x M ，则=N M I ( ) A.]2,1[ B.)2,1[ C.]3,2（ D.]3,2[2.已知△ABC 中，“4π=∠A ”是“22sin =A ”的（） A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件3.在复平面内,复数i 32i15-+对应的点位于（ ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限4.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+002052x y x y x ,则目标函数y x z 32+=的最大值为( )A.10B. 9C.8D. 4 5.已知是等差数列的前项和,若,,则=6S ( )A.40B.80C.36D.576.某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从口4出来，那么你取胜的概率为()A.325 B. 61 C. 165D.以上都不对 7.己知抛物线x y 42=的焦点为F ,准线为l .若l 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线分别交于点A 和点B ,且||32||OF AB =(O 为原点),则双曲线的离心率为( )A.3B. 2C. 2D. 58.设随机变量)9,1(~N X ，且)1(0(-≥=≤a X P X P ），则实数a 的值为（ ） A.2 B. 3 C. 4 D. 59.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x -<-，记()33f a =，()1b f =--，()22f c -=-，则( )A ．a c b << B. a b c << C. c b a << D. b c a<<10.在等比数列{}n a 中，若2534a a =-，234594a a a a +++=，则23451111a a a a +++= ( )A.1B. 34-C. 3-D. 1311.已知12,F F 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段1PF 的中垂线恰好经过焦点2F ，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A ． 1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．12,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,3⎛⎤⎥⎝⎦12.已知函数2ln 2,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-对称的点在21y kx =-的图像上,则实数的取值范围是（ ）A.)83,41(B. )21,41(C. )21,61(D. )1,41( 第II 卷（非选择题，共90分）注意事项：1.答题前将密封线内的项目及座号填写清楚；2.考生做答时，用黑色签字笔将答案答在答题卷上，答在试题卷上的答案无效． 二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知函数x x x f 2ln )(+=,则不等式2)3(2<-x f 的解集为_______.14.已知1x >-，则函数()()521x x y x ++=+的最小值为________.15.已知a R ∈，命题[]:1,2P x ∀∈，30x a -≥.命题2:,220q x R x ax a ∃∈++-=，若命题p q ∧ 为真命题，则实数a 的取值范围是________________. 16.设函数)(),(x g x f 分别是定义在上的奇函数和偶函数,且xx g x f 2)()(=+,若对]2,21[∈x ,不等式0)2()(≥+x g x af 恒成立,则实数a 的取值范围是__________.三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤） 17.已知，在AB C ∆中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且A b B a cos 3sin =． (1)求角A 的大小；(2)设AB C ∆的面积为33，求a 的取值范围．18.如图与都是边长为的正三角形,平面平面,平面,.(1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面所成二面角的正弦值.19.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左.右焦点分别为32||,,2121=F F F F ，直线l 与椭圆C 交于B A ,两点,且4||||21=+AF AF (1)求椭圆C 的方程；(2)若B A ,两点关于原点O 的对称点分别为B A '',,且ο90=∠AOB ,判断四边形B A AB ''是否存在内切的定圆?若存在,请求出该内切圆的方程;若不存在,请说明理由.20.某种植物感染α病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗α病毒的制剂，现对20株感染了α病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效.测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计；并对植株吸收制剂的量(单位：mg)进行统计.规定：植株吸收在6mg （包括6mg ）以上为“足量”，否则为“不足量”.现对该20株植株样本进行统计，其中 “植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表.已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株.（1）完成以下22⨯列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植编号 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 吸收量(mg)683895662775 10 6788469株的存活”与“制剂吸收足量”有关？吸收足量吸收不足量合计 植株存活 1 植株死亡 合计20（2） ①若在该样本“吸收不足量”的植株中随机抽取3株，记ξ为“植株死亡”的数量，求ξ得分布列和期望ξE ；②将频率视为概率，现在对已知某块种植了1000株并感染了α病毒的该植物试验田里进行该药品喷雾试验，设“植株存活”且“吸收足量”的数量为随机变量η，求ηD .2()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828P K k k≥参考数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++21.已知函数x x a ax x f ln )2()(2--+=.(1)若函数)(x f 在1=x 时取得极值,求实数a 的值； (2)当10<<a 时,求)(x f 零点的个数.选做题：22，23两题中选择一道进行作答，写出必要的解答过程22.在平面直角坐标系xoy 中,曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ty t x 442(其中为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度,圆2C 的极坐标方程为015sin 82=+-θρρ.(1)求曲线1C 的方程普通方程和2C 的直角坐标方程;(2)过圆2C 的圆心2C ,倾斜角为4π的直线l 与曲线1C 交于B A ,两点,则||||22BC A C +的值.23.已知|12||1|)(--+=x x x f . (1)求不等式0)(>x f 的解集；(2)若R x ∈,不等式32)(-+≤a x x f 恒成立,求实数a 的取值范围.高二数学（理科）试卷参考答案一.选择题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BADBDCCBACAB二．填空题13. )2,3()3,2(Y -- 14. 9 15. 12=-≤a a 或 16. [2,)+∞-2 三.解答题：17.解：（1）sin =3cos a B b A ．由正弦定理可得：sin sin =3sin cos A B B A ， 又sin 0B ≠，可得：tan 3A =，又(0,)A π∈，所以3A π=．........6分（2）因为3A π=，ABC ∆的面积为1333sin 2bc A bc ==，解得12bc =......8分 由余弦定理可得：22222cos 223a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=+-≥-≥=， 当且仅当23b c ==时等号成立．综上，边a 的取值范围为[23,)+∞．...........12分 18.取CD 中点O ,连OM OB ,,则CD OM CD OB ⊥⊥,, 又平面⊥MCD 平面BCD ,则⊥MO 平面BCD ,........1分 以O 为原点,直线OM BO OC ,,为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系如图,3==OM OB ,则各点坐标分别为)0,0,0(O ,)0,0,1(C ,)3,0,0(M ,)0,3,0(-B ,)32,3,0(-A ,2分(1)设),,(z y x n =是平面MBC 的法向量,则)3,3,0(),0,3,1(==BM BC , 由BC n ⊥得03=+y x ;由BM n ⊥得033=+z y ,..........4分 取)1,1,3(--=n ,则距离5152||==n n BA d ..............6分 (2))32,3,1(),3,0,1(--=-=CA CM ,,设平面的法向量为),,(1111z y x n =,由n ⊥1得0311=+-z x ;由n ⊥1得0323111=+--z y x ,......9分 取)1,1,3(1=n ,又平面BCD 的法向量为)1,0,0(=n , 则51,cos 111=>=<n ,.....11分 设所求二面角为θ,则552cos 1sin 2=-=θθ......12分 19. (1)因为32||21=F F ,所以3c =因为直线l 与椭圆C 交于,两点,且12||4||AF AF =-,所以12||||4AF AF +=,所以24a =,解得2a =,所以2221b a c =-=,所以椭圆的方程为1422=+y x ......4分(2)①当直线l 的斜率k 存在时,设1122:,(,),(,)l y kx m A x y B x y =+由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(41)8440k x kmx m +++-=,222222644(41)(44)16(41)k m k m k m ∆=-+-=+-,.....6分所以12221228414441km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩,,因为ο90=∠AOB ,所以OB OA ⊥,0=⋅,即22222222212121212222448544(1)()(1)0414141m k m m k x x y y k x x km x x m k m k k k ---+=++++=+-+==+++,.....8分所以22445k m +=,所以原点O 到直线l 的距离2||2551m d k ==+..........9分 根据椭圆的对称性,同理可证,原点O 到达,,BA AB A B ''''的距离都为255,所以四边形存在内切的定圆,且该定圆的方程为2245x y +=......10分 ②当直线l 的斜率不存在时,设直线l 的方程为x n =,不妨设,A B 分别为直线l 与椭圆C 的上.下交点,则22(4)(4)(,),(,)22n n A n B n ---,由,得,22404n n --=,解得245n =, 所以此时原点到直线的距离为255.根据椭圆的对称性,同理可证,原点O 到达,,BA AB A B ''''的距离都为255,所以四边形存在内切的定圆,且该定圆的方程为2245x y +=. .综上可知,四边形存在内切的定圆,且该定圆的方程为2245x y +=......12分 20.(1) 由题意可得“植株存活”的13株，“植株死亡”的7株；“吸收足量”的15株，吸收足量 吸收不足量 合计 植株存活 12 1 13 植株死亡 3 4 7 合计15520635.6934.5515713)13412(2022<≈⨯⨯⨯⨯-⨯=K所以不能在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关.………6分①样本中“制剂吸收不足量”有5株，其中“植株死亡”的有4株， 存活的1株，所以抽取的3株中ξ的可能取值是2,3. 其中53)2(3524===C C P ξ， 52)3(3534===C C P ξ………………8分ξ的分布列为：所以55352=⨯+⨯=ξE .………10分②“植株存活”且“制剂吸收足量”的概率为532012==p 332~(1000,)(1)1000240555B D np p ηη⇒=-=⨯⨯= ………………12分21.(1))(x f 定义域为)0(∞+，,xax x x x a ax x f )1)(12(1)2(2)(-+=--+=', 由已知,得0)1(='f ,解得1=a ,.....2分 当1=a 时,xx x x f )1)(12()(-+=',所以,100)(<<⇔<'x x f ,,10)(>⇔>'x x f ,所以)(x f 减区间为)10(，,增区间为)1(∞+，,.....4分所以函数)(x f 在1=x 时取得极小值,其极小值为0)1(=f ,符合题意,所以1=a ......5分(2)令0)1)(12()(=-+='x ax x x f ,由,10<<a ,得,11>=ax .....6分所以a x x f 100)(<<⇔<',a x x f 10)(>⇔>',所以)(x f 减区间为)10(a ，,增区间为)1(∞+，a ,所以函数)(x f 在a x 1=时取得极小值,其极小值为aa a f 11ln )1(-+=,.....8分因为10<<a ,所以0ln <a ,11>a,所以011<-a ,所以011ln )1(<-+=aa a f ,因为021212)1(2>+-=+->+-+=ee a e a e a e a ef , 根据零点存在定理,函数)(x f 在)10(a，上有且仅有一个零点,.....10分因为x x ln >,)3()2(ln )2()(22-+=--+>--+=a ax x x x a ax x x a ax x f ,令03>-+a ax ,得a a x ->3,又因为10<<a ,所以aa a 13>-, 所以当a a x ->3时,0)(>x f ,根据零点存在定理,函数)(x f 在)1(∞+，a上有且仅有一个零点,所以,当10<<a 时,)(x f 有两个零点......12分22.(1)曲线C 1的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩(其中t 为参数),消去参数可得24y x =......2分 曲线2C 的极坐标方程28sin ρρθ-+15=0变为直角坐标的方程为:22(4)1x y +-=......5分(2) 可知2C 的圆心坐标为(0,4),直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⋅+==⋅=t t y t t x 2244sin 4224cos ππ(其中为参数),.....7分代入24y x =可知22320t t ++=,.....8分因为1232t t =,可知2212||||||2C A C B t t +=+=4......10分23. (1)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤≤--<-=--+=21,2211,31,2|12||1|)(x x x x x x x x x f ......2分当1-<x 时,由02>-x 得2>x ,即解集为Φ,当211≤≤-x 时,由03>x 得0>x ,解集为]210(，, 当21>x 时,由02>-x 得2<x ,解集为)2,21(,综上所述,0)(>x f 的解集为)2,0(......5分(2)不等式32)(-+≤a x x f 恒成立等价于32)(-≤-a x x f 恒成立,则max ])([32x x f a -≥-,.....6分 令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤≤--<-=-=21,22211,21,2)()(x x x x x x x f x g ,.....7分 则1)(max =x g ,即2132≥⇒≥-a a .....9分 所以实数a 的取值范围是),2[+∞......10分。

河南省商丘市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、填空题： (共14题；共14分)1. （1分）(2017·东城模拟) 设i是虚数单位，复数所对应的点在第一象限，则实数a的取值范围为________2. （1分） (2017高二上·石家庄期末) 已知 =（2，﹣1，2）， =（﹣1，3，﹣3）， =（13，λ，3），若向量，，共面，则λ的值为________．3. （1分） i是虚数单位，若复数（1﹣2i）（a+i）是纯虚数，则实数a的值为________4. （1分） (2016高二上·上海期中) 一个项数为偶数的等差数列，其奇数项之和为24，偶数项之和为30，最后一项比第一项大，则最后一项为________．5. （1分） (2019高二下·海珠期末) 已知为虚数单位，复数在复平面内对应的点在直线上，则的共轭复数 ________．6. （1分）已知，，m=a+b，则 ________.7. （1分） (2016高二下·丹阳期中) 若i是虚数单位，复数z= 的虚部为________．8. （1分）(2019高三上·广州月考) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则对任意的都必须满足________.9. （1分） (2015高三上·河西期中) 如图，在△ABC中，AB=AC，BC=2，，，若，则 =________．10. （1分）用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A=∠B=90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A=∠B=90°．正确顺序的序号排列为________．11. （1分）(2020·吴江模拟) 如图所示，平行四边形中，，，是中点，那么向量与所成角的余弦值等于________.12. （1分） (2020高二下·北京期中) 如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n行有n个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如，，，，则第7行第5个数（从左往右数）为________．13. （1分）(2020·河南模拟) 在正方体中，设，与底面所成角分别为，，则 ________.14. （1分）如图，将自然数按如下规则“放置”在平面直角坐标系中，使其满足条件：①每个自然数“放置”在一个“整点”（横纵坐标均为整数的点）上；②0在原点，1在（0，1）点，2在（1，1）点，3在（1，0）点，4在（1，﹣1）点，5在（0，﹣1）点，…，即所有自然数按顺时针“缠绕”在以“0”为中心的“桩”上，则放置数字（2n+1）2 ，n∈N*的整点坐标是________二、解答题 (共6题；共45分)15. （5分） (2018高二下·聊城期中) 设复数的共轭复数为，且，，复数对应复平面的向量，求的值和的取值范围.16. （5分） (2017高二下·宁波期末) 已知n∈N* ， Sn=（n+1）（n+2）…（n+n），．（Ⅰ）求 S1 ， S2 ， S3 ， T1 ， T2 ， T3；（Ⅱ）猜想Sn与Tn的关系，并用数学归纳法证明．17. （15分）(2013·北京理) 已知{an}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An ，第n项之后各项an+1 ，an+2…的最小值记为Bn ， dn=An﹣Bn ．（1）若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列（即对任意n∈N* ， an+4=an），写出d1 ，d2 ， d3 ， d4的值；（2）设d是非负整数，证明：dn=﹣d（n=1，2，3…）的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列；（3）证明：若a1=2，dn=1（n=1，2，3，…），则{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．18. （5分）已知平行四边行ABCD中，AC与BD相交于点O，E为线段OD的中点，AE的延长线与CD相交于F，若，试用表示向量．19. （5分）已知两个无穷数列{an}，{bn}分别满足，，其中n∈N* ，设数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn、Tn ．（1）若数列{an}，{bn}都为递增数列，求数列{an}，{bn}的通项公式．（2）若数列{cn}满足：存在唯一的正整数k（k≥2），使得ck＜ck﹣1 ，称数列{cn}为“k坠点数列”．①若数列{an}为“5坠点数列”，求Sn ．②若数列{an}为“p坠点数列”，数列{bn}为“q坠点数列”，是否存在正整数m，使得Sm+1=Tm ，若存在，求m的最大值；若不存在，说明理由．20. （10分） (2019高三上·赤峰月考) 四棱锥中，，，， . 为锐角，平面平面 .（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.参考答案一、填空题： (共14题；共14分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、二、解答题 (共6题；共45分)15-1、16-1、17-1、17-2、17-3、18-1、19-1、20-1、20-2、第11 页共11 页。

河南省商丘市数学高二下学期理数期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分） (2017高二下·宜春期末) 已知，则复数z的虚部为（）A .B .C .D .2. （2分） (2020高二下·北京期中) 某物体做自由落体运动的位移s(t)= gt2, g=9.8 m/s2,若=9.8 m/s,则9.8 m/s是该物体（）A . 从0s到1 s这段时间的平均速度B . 从1 s到(1+Δt)s这段时间的平均速度C . 在t=1 s这一时刻的瞬时速度D . 在t=Δt s这一时刻的瞬时速度3. （2分）(2019·广西模拟) 曲线y= 与直线y=5-x围成的平面图形的面积为（）A .B .C . -4ln2D . -8ln24. （2分）若函数，则的值是（）A . 9B .C .D .5. （2分） (2020高二下·湖州月考) 某比赛中共有8支球队，其中有3支弱队，以抽签方式将这8支球队分为A、B两组，每组4支则A组中至少有两支弱队的概率为（）A .B .C .D .6. （2分）(2017·襄阳模拟) 如图，矩形ABCD的周长为8，设AB=x（1≤x≤3），线段MN的两端点在矩形的边上滑动，且MN=1，当N沿A→D→C→B→A在矩形的边上滑动一周时，线段MN的中点P所形成的轨迹为G，记G 围成的区域的面积为y，则函数y=f（x）的图象大致为（）A .B .C .D .7. （2分） (2018高二上·黑龙江期末) 已知，，若对任意的，存在，使得成立，则的取值范围是（）A .B .C .D .8. （2分）(2020·咸阳模拟) 已知函数的一条切线为，则的最小值为（）A .B .C .D .9. （2分）设，则二项式展开式中的项的系数为（）A . 20B . -20C . 160D . -16010. （2分） (2018高二下·中山月考) 函数的单调递增区间是（）A .B .C .D .11. （2分） (2016高二下·信阳期末) 若函数f（x）=sin1﹣cosx，则f′（1）=（）A . sin1+cos1B . cos1C . sin1D . sin1﹣cos112. （2分） (2019高三上·霍邱月考) 若定义在上的函数满足，其导函数满足，则下列结论中一定错误的是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2018·商丘模拟) “中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2018这2017个整数中能被2除余1且被3除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为________．14. （1分） (2018高三上·杭州月考) 的展开式中，项的系数为14，则 ________，展开式各项系数之和为________．15. （1分）(2018·天津模拟) 6名教师分配到3所薄弱学校去支教，每个学校至少分配一名教师，甲乙两人不能去同一所学校，丙丁两人必须去同一所学校，共有________种分配方案(用数字作答)．16. （1分） (2018高三上·福建期中) 设函数，则函数的零点个数是________.三、解答题 (共6题；共70分)17. （10分） (2018高二下·双流期末) 已知函数，且当时，取得极值为.（1）求的解析式；（2）若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围.18. （15分） (2016高二下·龙海期中) 7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？（写出必要的解答过程）（1）两个女生必须相邻而站；（2） 4名男生互不相邻；（3）若4名男生身高都不等，按从左向右身高依次递减的顺序站；（4）老师不站中间，女生不站两端．19. （15分） (2019高二下·中山期末) 若的展开式中，第二、三、四项的二项式系数成等差数列．（1）求的值；（2）此展开式中是否有常数项，为什么？20. （5分） (2016高二下·东莞期中) 设数列{an}的前n项和为Sn ，且对任意的n∈N*都有Sn=2an﹣n，（1）求数列{an}的前三项a1 ， a2 ， a3；（2）猜想数列{an}的通项公式an ，并用数学归纳法证明；（3）求证：对任意n∈N*都有．21. （10分）已知函数 .（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于的不等式的解集包含，求实数的取值范围.22. （15分） (2020高二上·青铜峡期末) 已知（1）判断单调性（2）当时，求的最大值和最小值参考答案一、单选题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共6题；共70分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、答案：18-3、答案：18-4、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、答案：20-3、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、答案：22-2、考点：解析：。

河南省商丘市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·日照模拟) 已知集合A={（x，y）|y=x+1，0≤x≤1}，集合B={（x，y）|y=2x，0≤x≤10}，则集合A∩B=（）A . {1}B . {（1，3）}C . {（1，2）}D . {2}2. （2分） (2017高三上·邯郸模拟) 若复数z满足（1﹣i）z=2+3i，则复数z的实部与虚部之和为（）A . ﹣2B . 2C . ﹣4D . 43. （2分） (2016高二下·黄冈期末) 下列判断错误的是（）A . 若随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）=0.79，则P（ξ≤﹣2）=0.21B . 若n组数据（x1 ， y1）…（xn ， yn）的散点都在y=﹣2x+1上，则相关系数r=﹣1C . 若随机变量ξ服从二项分布：ξ～B（5，），则Eξ=1D . “am2＜bm2”是“a＜b”的必要不充分条件4. （2分） (2016高二上·桃江期中) 在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且cos2 = ，则△ABC的形状为（）A . 等边三角形B . 等腰直角三角形C . 等腰或直角三角形D . 直角三角形5. （2分）执行如图所示的程序框图，若输入m的值为8，则输出s的值为（）A . 4B . 6C . 8D . 166. （2分）已知表示的平面区域包含点和，则实数m的取值范围是（）A .B .C .D .7. （2分）(2020·辽宁模拟) 已知函数的图象向右平移（）个单位后，其图象关于轴对称，则（）A .B .C .D .8. （2分） 25人排成5×5方阵，从中选出3人分别担任队长、副队长、纪律监督员，要求这3人任两人都不同行也不同列，则不同的任职方法数为（）A . 7200种B . 1800种C . 3600种D . 4500种9. （2分）已知α∈R，，tan2α=（）A .B .C . -D . -10. （2分）(2017·运城模拟) 已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如图所示，则四棱锥P﹣ABCD的四个侧面中面积最大的是（）A . 3B . 2C . 6D . 811. （2分）设f（x）是定义在R上的增函数，且对任意x，都有f（﹣x）+f（x）=0恒成立，如果实数m，n满足不等式f（m2﹣6m+21）+f（n2﹣8n）＜0，那么m2+n2的取值范围是（）A . （9，49）B . （13，49）C . （9，25）D . （3，7）12. （2分）设函数f(x)=2x+x-4，则方程f(x)=0一定存在根的区间为（）A . (-1,1)B . (0,1)C . (1,2)D . (2,3)二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二下·中山月考) 若在的展开式中，第4项是常数项，则 ________14. （1分） (2016高二上·宝应期中) 在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣2，0），点B是圆C：（x﹣2）2+y2=4上的点，点M为AB的中点，若直线上存在点P，使得∠OPM=30°，则实数k的取值范围为________．15. （1分） (2018高二上·武邑月考) 如果双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率为________16. （1分） (2016高二下·安徽期中) 如图，将自然数按如下规则“放置”在平面直角坐标系中，使其满足条件：①每个自然数“放置”在一个“整点”（横纵坐标均为整数的点）上；②0在原点，1在（0，1）点，2在（1，1）点，3在（1，0）点，4在（1，﹣1）点，5在（0，﹣1）点，…，即所有自然数按顺时针“缠绕”在以“0”为中心的“桩”上，则放置数字（2n+1）2 ，n∈N*的整点坐标是________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2017高二下·濮阳期末) 已知数列{an}的前n项和为Sn ，且满足a1=1，nSn+1﹣（n+1）Sn=，n∈N*（1）求a2的值；（2）求数列{an}的通项公式．18. （5分）(2018·北京) 电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表:电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值假设所有电影是否获得好评相互独立。

河南省商丘市第一高级中学2019-2020学年度高二第二学期期中考试试题 数学（理）【含解析】一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合2{|60}M x x x =+-<，{|13}N x x =≤≤，则M N ⋂=（ ）A. [1,2)B. [1,2]C. (2,3]D. [2,3]【答案】A 【解析】试题分析：因为2{|60}(32)M x x x =+-<=-，，所以M N ⋂=[1,2)，选A. 考点：集合运算 【名师点睛】1.求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解． 2．求交、并、补的混合运算时，先算括号里面的，再按运算顺序求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn 图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．4．在解决有关A∩B＝∅，A ⊆B 等集合问题时，往往忽视空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解． 2.在ABC 中，“A 45=”是“2sinA 2=”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由充分条件和必要条件的概念，直接分析即可得出结果. 【详解】当A 45=时，2sinA =成立．若当A 135=时，满足2sinA =． 即由“A 45=”能推出“2sinA 2=”；反之不一定成立.所以，“A 45=”是“2sinA 2=”的充分不必要条件． 故选A【点睛】本题主要考查充分不必要条件，熟记概念即可，属于基础题型. 3.在复平面内，复数5312i i-+对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D 【解析】 【分析】 化简5312i i-+成标准形式即可 【详解】解：()()()5125510333151212125i ii i i i i i i ---=-=-=-++⋅- 所以复数5312i i-+对应的点位于第四象限 故选：D【点睛】考查复数的运算以及复数的几何意义，基础题.4.设变量,x y 满足约束条件250200x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数23z x y =+的最大值为（ ）A. 10B. 9C. 8D. 4【答案】B 【解析】 【分析】作出可行域，看目标函数的截距即可 【详解】解：作可行域如图：()2503,,3,1201x y x A x y y +-==⎧⎧⎨⎨--==⎩⎩ 由23z x y =+得233z y x =-+， 当233zy x =-+过()3,1A ，截距最大，此时max 2323319z x y =+=⨯+⨯= 故选：B【点睛】考查线性规划求最大值，基础题.5.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若12a =，5734a a +=，则6S =（ ） A. 40 B. 80C. 36D. 57【答案】D 【解析】 【分析】由5766234,17a a a a +===，代入求和公式即可. 【详解】解：5766234,17a a a a +===()()166********2a a S ⨯+⨯+===故选：D【点睛】考查等差数列求和，基础题.6.某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从口4出来，那么你取胜的概率为（ ）A.532B.16C.516D. 以上都不对【答案】C 【解析】 【分析】从入口到出口4共由5个岔口，每个岔口的概率都是12，根据二项分布的概率计算公式可解 【详解】解：从入口到出口4共有2510C =种走法，其中每一岔口的概率都是12所以珠子从口4出来的概率为52512165P C ⎛⎫=⋅= ⎪⎝⎭故选：C【点睛】考查二项分布的概率计算，基础题.7.己知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .若l 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且||23|AB OF = (O 为原点)，则双曲线的离心率为（ ） 32C. 25【答案】C 【解析】 【分析】联立准线方程和双曲线方程，结合||23|AB OF =，找到a c 、关系可求离心率. 【详解】解：24y x =的准线1l x =-：，||1OF =22221(0,0)x y a b a b -=>>的一条渐近线方程b y x a=- 1x =-时，by a=，||3|AB OF =，根据对称性，有1231,32b b a a =⨯∴= )22223,3,b a b a ==又222,b c a =-224,2cc a a== 故选：C【点睛】考查双曲线的离心率的求法，基础题.8.设随机变量~(1,9)X N ，且(0)(1)P X P X a ≤=≥-，则实数a 的值为（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】 【分析】正态分布概率密度函数图象的对称性可解 【详解】解：随机变量~(1,9)X N ，其期望为1因为(0)(1)P X P X a ≤=≥-，根据正态分布概率密度函数图象的对称性有，1011,3a a -=--=故选：B【点睛】考查根据正态分布概率密度函数图象的对称性求参数，基础题. 9.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x -<-，记()33f a =，()1b f =--，()22f c -=-，则（ ） A. a c b << B. a b c <<C. c b a <<D. b c a <<【答案】A 【解析】 【分析】对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x -<-，判断()f x x在()0,∞+单调递减，再证明()f x x是()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数，根据单调性判断即可【详解】解：不妨设120x x <<，则120x x -<，因为()()2112120x f x x f x x x -<-，所以()()21120x f x x f x ->，即()()1212f x f x x x >()f x x在()0,∞+单调递减， 因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()()()f x f x f x x x x --==--， ()f x x是()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数 ()()()11111f f b f -=--==-，()()()222222f f f c --=-==-，()33f a =所以a c b << 故选：A【点睛】考查根据式子的结构构造新函数的能力，同时利用单调性比较大小，基础题. 10.在等比数列{}n a 中，若2534a a =-，234594a a a a +++=，则23451111a a a a +++=（ ） A. 1 B. 34-C. 3-D. 13【答案】C 【解析】 【分析】把253434a a a a =-=代入2534234525341111a a a a a a a a a a a a +++++=+⋅⋅中，用上234594a a a a +++=即可 【详解】解：{}n a 是等比数列253434a a a a =-= 234594a a a a +++=253423452534111143934a a a a a a a a a a a a +++++=+==--故选：C【点睛】利用等比数列的性质求值，基础题.11.已知12,F F 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段1PF 的中垂线恰好经过焦点2F ，则椭圆C 离心率的取值范围是（ ）A. 1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 12,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D. 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】A 【解析】 【分析】因为线段1PF 的中垂线恰好经过焦点2F ，根据垂直平分线的性质，2122PF F F c ∴==，又因为是存在一点P ，焦半径22PF c =必须大于或等于其最小值a c -，由此解不等式，同时注意椭圆的离心率一定小于1.【详解】解：如图，因为线段1PF 的中垂线经过2F ，2122PF F F c ∴==即在椭圆上存在一点P ，使得22PF c =2min 2PF c ≤，12,3,3c a c c a c a -≤≤≥ 又1ca<，所以椭圆离心率的取值范围是113ca≤<， 故选：A【点睛】已知椭圆上存在一点求椭圆的离心率，注意椭圆的焦半径的最小值是a c -，同时椭圆的离心率一定小于1，基础题.12.已知函数2ln 2,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-对称的点在21y kx =-的图像上，则实数k 的取值范围是（ ）A. 13,48⎛⎫⎪⎝⎭B. 11,42⎛⎫⎪⎝⎭C. 11,62⎛⎫⎪⎝⎭D. 1,14⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】21y kx =-关于1y =-对称的函数为21y kx =--，所以2ln 2,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图象与21y kx =--的图象有且仅有四个不同的交点，作出2ln 2,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩与21y kx =--的图象，利用导数等于斜率，求出临界直线的斜率AB AC k k 、即可. 【详解】解：函数2ln 2,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-对称的点在21y kx =-的图像上，21y kx =-关于1y =-对称的函数为21y kx =--所以2ln 2,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图象与21y kx =--的图象有且仅有四个不同的交点，作2ln 2,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩与21y kx =--的图象如下：易知21y kx =--恒过点(0,1)A -设直线AC 与ln 2y x x x =-相切于点(,ln 2)C x x x x -，ln 1y x '=-ln 21AC x x x k x-+=故ln 21ln 1x x x x x -+-=，1, 1AC x k ==-设直线AB 与232y x x =+相切于点23,2B x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，322y x '=+2312AB x x k x++=，故2313222x x x x +++=1x =-， 31222AB k =-+=-1122k -<-<-故1412k <<， 故选：B【点睛】已知两个函数图象交点情况，求参数的取值范围，是难题. 二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知函数()ln 2f x x =+，则不等式()232f x -<的解集为_______.【答案】(2,3)(3,2)--【解析】 【分析】()232f x -<等价于()()231f x f -<，转化成()231,221x x -<-<<，再由230,3x x ->>()32x <-，由()()12可得.【详解】解：()ln 2f =+11=2()232f x -<等价于()()231f x f -<()ln 2f x x =+是()0,∞+的增函数()231,221x x -<-<<又230,3x x ->>()32x <-由()()12得，不等式()232f x -<的解集为(2,3)(3,2)-故答案为：(2,3)(3,2)--【点睛】考查利用函数单调性解不等式，注意复合函数的定义域，基础题. 14.设1x >-，求函数()()521x x y x ++=+的最小值为__________．【答案】9 【解析】试题分析：本题解题的关键在于关注分母1x +，充分运用发散性思维，经过同解变形构造基本不等式，从而求出最小值.试题解析：由1x >-得10x +>，则()()()()()()()2141152151441524591111x x x x x x y x x x x x ⎡⎤⎡⎤++++++++++⎣⎦⎣⎦====+++≥=++++当且仅当1x =时，上式取“=”，所以min 9y =.考点：基本不等式；构造思想和发散性思维.15.已知a R ∈，命题[]:1,2P x ∀∈，30x a -≥.命题2:,220q x R x ax a ∃∈++-=，若命题p q ∧ 为真命题，则实数a 的取值范围是________________. 【答案】2a ≤-或1a = 【解析】 【分析】命题命题p 为真时，1a ∴； 命题命题q 为真时，所以1a 或()22a ≤-，则由()()12得2a-或1a =【详解】解：命题[]:1,2P x ∀∈，30x a -≥，()i 3m nax ∴，()11a ∴，命题: q x R ∃∈，2 220x ax a ++-=，则244(2)0a a ∆=--，所以1a 或()22a ≤-若命题p q ∧为真命题，则由()()12得2a -或1a = 故答案：2a - 或1a =【点睛】考查根据“若命题p q ∧为真命题，则命题p 为真且q 为真”求参数范围，基础题.16.设函数()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且()()2xf xg x +=，若对1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦，不等式()()20af x g x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是__________. 【答案】[2,)-+∞ 【解析】 【分析】根据()()2x f x g x +=和()()f x g x 、分别是奇、偶函数，()()11()22,()2222x x x x f x g x --∴=-=+，()(2)0af x g x +可化为，()()2212222022x x x x a ---++，令22x xt -=-，则()2222222222xxxxt --+-=+=+，21524t ≤≤，()()2212222022x x x x a ---++化为，211022a t t ++，即2a t t ≥--，()2g =t t t --，求出()2g =t t t--最大值即可 【详解】解：函数()(),f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，()(),()()f x f x g x g x ∴-=--= ()()()21xf xg x +=()()()()()22xf xg x f x g x --+-=-+=由()()12得，()()11()22,()2222x x x x f x g x --∴=-=+ ()(2)0af x g x +可化为()()2212222022x x x xa ---++122x ，224x ≤，21224x --≤-≤- 2152224x x -≤-≤ 令22x x t -=-，则()2222222222x x x xt --+-=+=+，21524t ≤≤ ()()2212222022x x x x a ---++化为： 211022a t t ++，即2a t t≥-- 令()2g =t t t --，()22g =1,t t'-+222t ≤<()()22g =10,g t t t '-+<递增1524t <≤，()()22g =10,g t t t'-+>递减 ()max g 222t g==-22a ≥-则实数a的取值范围是：22a ≥-故答案为： )22,+⎡-∞⎣【点睛】考查奇偶函数的性质以及不等式恒成立求参数的范围，中档题.三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤） 17.已知，在ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且sin 3cos a B b A =. （1）求角A 的大小；（2）设ABC 的面积为33a 的取值范围.【答案】（1）3π；（2）[23,)+∞ 【解析】 【分析】（1）sin 3cos a B b A .由正弦定理可得：sin sin =3cos A B B A ，化简整理即可（2）ABC 的面积为1333sin 24bc A bc ==，得12bc = ，由余弦定理可得：22222cos 223a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=+-≥-≥=，【详解】解：（1）sin =3cos a B b A .由正弦定理可得：sin sin =3sin cos A B B A ， 又sin 0B ≠，可得：tan 3A =， 又(0,)A π∈，所以3A π=.（2）因为3A π=，ABC 的面积为1333sin 24bc A bc ==，解得12bc = 由余弦定理可得：22222cos 223a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=+-≥-≥=， 当且仅当23b c ==时等号成立. 综上，边a 的取值范围为[23,)+∞【点睛】考查正、余弦定理以及基本不等式的应用，中档题.18.如图，BCD ∆与MCD ∆都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，23AB =.（1）求点A 到平面MBC 的距离；（2）求平面ACM 与平面BCD 所成二面角的正弦值. 【答案】（1）2155d =，（2）25sin 5θ= 【解析】【详解】解法一：（1）等体积法．取CD 中点O ，连OB ，OM ，则OB =OM =3，OB ⊥CD ，MO ⊥CD ．又平面MCD ⊥平面BCD ,则MO ⊥平面BCD ，所以MO ∥AB ，MO ∥平面ABC ．M 、O 到平面ABC 的距离相等． 作OH ⊥BC 于H ，连MH ，则MH ⊥BC ． 求得OH =OC•3cos302︒=，MH =22315(3)22⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭． 设点θ到平面ACM 的距离为d ，由(0,0,23)BA =得．即1151132223332d ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅， 解得2155d =． （2）延长AM 、BO 相交于E ，连CE 、DE ，CE 是平面与平面BCD 的交线．由（1）知，O 是BE 的中点，则BCED 是菱形.作BF ⊥EC 于F ，连AF ，则AF ⊥EC ，∠AFB 就是二面角A -EC -B 的平面角，设为θ. 因为∠BCE =120°，所以∠BCF =60°.2sin 603BF ︒==tan 2AB BF θ==，25sin θ=则所求二面角的正弦值为5sin 5θ=解法二：取CD 中点O ，连OB ，OM ，则OB ⊥CD ，OM ⊥CD ．又平面MCD ⊥平面BCD ,则MO ⊥平面BCD .取O 为原点，直线OC 、BO 、OM 为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系如图．OB =OM =3，则各点坐标分别为C （1，0，0），M （0，0，3），B （0，3-，0），A （0，-3，3-）. （1）设(,,)n x y z =是平面MBC 的法向量，则(1,3,0)BC =,(0,3,3)BM =. 由n BC ⊥得30x y +=； 由n BM ⊥得(1,3,0)BC =． 取．(0,0,23)BA =，则2321555BA n d n⋅===． （2）(3)CM =-，(1,3,3)CA =-.设平面ACM 的法向量为1(,,)n x y z =，由11{n CM n CA ⊥⊥得30{3230x z x z -+=--+=解得3x z =，y z =，取1(3,1,1)n =.又平面BCD 的法向量为2(0,0,1)n =.所以12112cos ,5n n n n n ⋅==⋅， 设所求二面角为θ，则5sin 5θ=.19.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为121223,F F F F =、，直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，且124AF AF +=（1）求椭圆C 的方程；（2）若A 、B 两点关于原点O 的对称点分别为,A B ''，且AOB 90∠=，判断四边形ABA B ''是否存在内切的定圆？若存在，请求出该内切圆的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=；（2）存在，2245x y +=【解析】 【分析】（1）因为12||23F F =，所以3c =，124AF AF +=，所以24a =，解得2a =，代入方程即可（2）①当直线l 的斜率k 存在时，设1122:,(,),(,)l y kx m A x y B x y =+，由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，12221228414441km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，因为AOB 90∠=，所以OA OB ⊥，0OA OB ⋅=，22445k m +=，原点O 到直线l 的距离2251d k ==+O 到达,,BA AB A B ''''25，四边形ABA B ''存在内切的定圆，且该定圆的方程为2245x y +=②当直线l 的斜率不存在时，同理说明即可 【详解】解：(1)因为12||23F F =所以3c =.因为直线l 与椭圆C 交于，两点，且12||4||AF AF =-，所以12||||4AF AF +=，所以24a =，解得2a =，所以2221b a c =-=，所以椭圆的方程为2214x y +=(2)①当直线l 的斜率k 存在时，设1122:,(,),(,)l y kx m A x y B x y =+由2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(41)8440k x kmx m +++-=，222222644(41)(44)16(41)k m k m k m ∆=-+-=+-，所以12221228414441km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩， 因为AOB 90∠=，所以OA OB ⊥，0OA OB ⋅=，即22222222212121212222448544(1)()(1)0414141m k m m k x x y y k x x km x x m k m k k k ---+=++++=+-+==+++所以22445k m +=，所以原点O 到直线l 的距离2251d k ==+ 根据椭圆的对称性，同理可证，原点O 到达,,BA AB A B ''''25， 所以四边形ABA B ''存在内切的定圆，且该定圆的方程为2245x y +=②当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为xn =，不妨设,A B 分别为直线l 与椭圆C 的上、下交点，则22(4)(4)((,n n A n B n --，由90AOB ︒∠=，得OA OB ⊥，22404n n --=，解得245n =，所以此时原点O 到直线l 25. 根据椭圆的对称性，同理可证，原点O 到达,,BA AB A B ''''25， 所以四边形ABA B ''存在内切的定圆，且该定圆的方程为2245x y +=. 综上可知，四边形ABA B ''存在内切的定圆，且该定圆的方程为2245x y +=【点睛】考查椭圆方程的求法，判断四边形是否存在内切圆转化为判断一定点到四边的距离是否相等，难题20.某种植物感染α病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗α病毒的制剂，现对20株感染了α病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效.测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计；并对植株吸收制剂的量(单位：mg )进行统计.规定：植株吸收在6mg （包括6mg ）以上为“足量”，否则为“不足量”.现对该20株植株样本进行统计，其中 “植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表.已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株.编号 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 吸收量(mg ) 68389566277510 6788469（1）完成以下22⨯列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关？ 吸收足量 吸收不足量 合计 植株存活 1 植株死亡合计 20（2）①若在该样本“吸收不足量”的植株中随机抽取3株，记ζ为“植株死亡”的数量，求ζ得分布列和期望E ζ；②将频率视为概率，现在对已知某块种植了1000株并感染了α病毒的该植物试验田里进行该药品喷雾试验，设“植株存活”且“吸收足量”的数量为随机变量η，求D η.参考数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++【答案】（1）不能在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关；（2）①分布列见解析，125E ζ=，②240 【解析】 【分析】（1）已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株，由题意可得“植株存活”的13株，“植株死亡”的7株；“吸收足量”的15株，“吸收不足量”的5株，填表即可（2）代入公式计算2220(12431) 5.934 6.635137155K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，有关（3）①样本中“制剂吸收不足量”有5株，其中“植株死亡”的有4株， 存活的1株，所以抽取的3株中ξ的可能取值是2，3，根据古典概型计算即可. ②“植株存活”且“制剂吸收足量”的概率为123205p ==，332~(1000,)(1)1000240555B D np p ηη⇒=-=⨯⨯=【详解】解：(1) 由题意可得“植株存活”的13株，“植株死亡”的7株；“吸收足量”的15株，“吸收不足量”的5株，填写列联表如下： 吸收足量 吸收不足量 合计 植株存活 12 1 13 植株死亡 3 4 7 合计155202220(12431) 5.934 6.635137155K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯所以不能在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关. ①样本中“制剂吸收不足量”有5株，其中“植株死亡”的有4株， 存活的1株， 所以抽取的3株中ξ的可能取值是2，3.其中24353(2)5C P C ξ===， 34352(3)5C P C ξ===ξ的分布列为：ξ 23P35 25所以321223555E ξ=⨯+⨯=. ②332~(1000,)(1)1000240555B D np p ηη⇒=-=⨯⨯=【点睛】考查完成22⨯列联表、离散型随机变量的分布列、期望以及二项分布的方差，难题. 21.已知函数2()(2)ln f x ax a x x =+--（1）若函数()f x 在x =1时取得极值，求实数a 的值； （2）当0＜a ＜1时，求()f x 零点的个数. 【答案】（1）1；（2）两个 【解析】 【分析】(1) 函数()f x 在x =1时取得极值，得(1)0f '=，解得1a =，1a =时，(21)(1)()x x f x x+-'=，求单调区间，验证()f x 在x =1时取得极值 （2）(21)(1)()0x ax f x x'+-==，由01,a <<，得11,x a =>()f x 减区间为1(0)a ，，增区间为1()a+∞，，其极小值为11()ln 1f a a a ，21222()110a a a a e f e e e e e ---+=++>+=>，函数()f x 在1(0)a，上有且仅有一个零点，根据ln x x >，22()(2)ln (2)(3)f x ax a x x ax a x x x ax a =+-->+--=+-，令30ax a +->，得3a x a ->，又因为01a <<，所以31a a a ，所以当3a x a->时，()0f x >，根据零点存在定理，函数()f x 在1()a+∞，上有且仅有一个零点. 【详解】解：(1)()f x 定义域为(0)+∞，，22(2)1(21)(1)()ax a x x ax f x x x+--+-='=， 由已知，得(1)0f '=，解得1a =， 当1a =时，(21)(1)()x x f x x+-'=，所以()001,f x x <⇔<<'，()01,f x x >⇔>'所以()f x 减区间为(01)，，增区间为(1)，+∞， 所以函数()f x 在1x=时取得极小值，其极小值为(1)0f =，符合题意，所以1a =(2)令(21)(1)()0x ax f x x '+-==，由01,a <<，得11,x a=>所以1()00f x x a <⇔<<'，1()0f x x a>'⇔>，所以()f x 减区间为1(0)a ，，增区间为1()a +∞，， 所以函数()f x 在1x a=时取得极小值，其极小值为11()ln 1f a a a ，因01a <<，所以ln 0a <，11a>，所以110a-<，所以11()ln 10f a a a ， 因为21222()110a a a a ef e e e e e---+=++>+=>， 根据零点存在定理，函数()f x 在1(0)a，上有且仅有一个零点，因为ln x x >，22()(2)ln (2)(3)f x ax a x x ax a x x x ax a =+-->+--=+-，令30ax a +->，得3a x a->，又因为01a <<，所以31aa a， 所以当3ax a->时，()0f x >， 根据零点存在定理，函数()f x 在1()a+∞，上有且仅有一个零点，所以，当01a <<时，()f x 有两个零点.【点睛】考查根据函数极值情况确定参数的范围和函数零点个数，难题.22.在平面直角坐标系xoy 中，曲线C 1的参数方程为244x t y t ⎧=⎨=⎩(其中为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，圆C 2的极坐标方程为28sin 150ρρθ++=.（1）求曲线C 1的方程普通方程和C 2的直角坐标方程；（2）过圆C 2的圆心，倾斜角为4π的直线l 与曲线C 1交于A 、B 两点，则求22+C A C B 的值. 【答案】（1）24y x =，22(4)1x y ++=；（2）122【解析】【分析】（1）把4y t =代入到24x t =中即可.把222,sin x y y ρρθ=+=代入28sin 150ρρθ++=即可， （2）先求直线l 的参数方程为2cos 4224sin 442x t t y t t ππ⎧=⋅=⎪⎪⎨⎪=-+⋅=-+⎪⎩(其中为参数)，再代入24y x =可知22320t t -+=12，因为12320t t =>，根据参数几何意义得2212||||||2C A C B t t +=+=12【详解】解：(1)曲线1C 的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩(其中t 为参数)，消去参数可得24y x = 曲线2C 的极坐标方程28sin ρρθ++15=0变为直角坐标的方程为:22(4)1x y ++= (2)可知2C 的圆心坐标为(0,4)，直线l 的参数方程为2cos 4224sin 442x t t y t t ππ⎧=⋅=⎪⎪⎨⎪=-+⋅=-+⎪⎩(其中为参数)，代入24y x =可知2122320t t -+=，因为1232t t =，可知2212||||||2C A C B t t +=+=12【点睛】考查把参数方程、极坐标方程化为普通方程，根据直线方程中参数的几何意义求线段之和，中档题.23.已知()|1||21|f x x x =+--.（1）求不等式()0f x >的解集；（2）若x ∈R ，不等式()23f x x a ≤+-恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）(0,2)；（2）[2,)+∞【解析】【分析】(1)把()|1||21|f x x x =+--分段表示，后解不等式（2）不等式()23f x x a ≤+-恒成立等价于()23f x x a -≤-恒成立，则max 23[()]a f x x -≥-，2,11()()2,12122,2x g x f x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩，求其最大值即可.【详解】解：(1)2,11()1213,1212,2x x f x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=+--=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩当1x <-时，由20x ->得2x >，即解集为∅， 当112x ≤≤-时，由30x >得0x >，解集为1(0]2，， 当12x >时，由20x ->得2x <，解集为1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭， 综上所述，()0f x >的解集为(0,2) (2)不等式()23f x x a ≤+-恒成立等价于()23f x x a -≤-恒成立，则max 23[()]a f x x -≥-， 令2,11()()2,12122,2x g x f x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=-=-≤≤⎨⎪⎪->⎪⎩，则max 1()12g x g ⎛⎫==⎪⎝⎭，即2312a a -≥⇒≥ 所以实数a 的取值范围是[2,)+∞【点睛】考查含两个绝对值号的不等式解法以及不等式恒成立求参数的范围，中档题.。

河南省商丘市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2018高二下·齐齐哈尔月考) 已知复数（，是虚数单位）为纯虚数，则实数的值等于（）A .B .C .D .2. （2分） (2018高二上·台州月考) 已知椭圆与双曲线的焦点重合，分别为的离心率，则（）A . 且B . 且C . 且D . 且3. （2分）(2017·鞍山模拟) （x+y+z）4的展开式共（）项．A . 10B . 15C . 20D . 214. （2分）曲线在点P(1，12)处的切线与两坐标轴围成三角形的面积是（）A . 75B .C . 27D .5. （2分）用1、2、3、4、5这五个数字，可以组成的三位数的个数为（）A . 125B . 60C . 120D . 906. （2分） (2016高二下·汕头期末) 复数（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限7. （2分）如图所示，有三根针和套在一根针上的个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上。

（1）每次只能移动一个金属片；（2）在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面。

若将个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为，则=（）A . 33B . 31C . 17D . 158. （2分） (2019高三上·城关期中) 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .9. （2分） (2015高三上·大庆期末) 已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为点B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A .B .C .D .10. （2分）(2019高二下·佛山月考) 若且，则实数（）A . 1或-3B . 1或3C . -3D . 111. （2分）已知f（x）=2x+3（x∈R），若|f（x）﹣1|＜a的必要条件是|x+1|＜b（a，b＞0），则a，b之间的关系是（）A . bB . bC . aD . a12. （2分） (2018高三上·定州期末) 已知函数，若成立，则的最小值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2016高二下·上海期中) 已知复数Z1 ， Z2满足|Z1|=2，|Z2|=3，若它们所对应向量的夹角为60°，则 =________．14. （1分） (2019高三上·集宁期中) 函数在上单调递增，则实数的取值范围是________.15. （1分）口袋中有三个大小相同、颜色不同的小球各一个，每次从中取一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取了5次停止种数为________．16. （1分）(2013·陕西理) 观察下列等式：12=112﹣22=﹣312﹣22+32=612﹣22+32﹣42=﹣10…照此规律，第n个等式可为________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2015高二下·仙游期中) 已知在（）n的展开式中，第6项为常数项（1）求n的值；（2）求含x2项的系数．18. （10分） (2019高二下·南宁期末) 已知函数为实数）．（1）讨论函数的单调性；（2）若在上恒成立，求的范围；19. （10分）(2017·湖北模拟) 如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M在棱BB1上，两条直线MA，MC与平面ABCD所成角均为θ，AC与BD交于点O．（1）求证：AC⊥OM；（2）当M为BB1的中点，且θ= 时，求二面角A﹣D1M﹣B1的余弦值．20. （5分） (2017高二下·沈阳期末) 已知数列的前项和为，．（Ⅰ）求，猜想的通项公式，并用数学归纳法证明；（Ⅱ）设，求证：数列中任意三项均不成等比数列．21. （10分） (2017高二下·汪清期末) 已知椭圆的离心率为，右焦点为．（1）求此椭圆的标准方程；（2）若过点且斜率为1的直线与此椭圆相交于两点，求的值．22. （10分） (2019高三上·郑州期中) 已知函数 .（1）求的最大值；（2）已知，，求的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分)17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。

河南省商丘市高二下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二下·湘潭月考) 若函数（其中是自然对数的底数），且函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高一下·大庆月考) 数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是an等于（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高二下·佛山月考) 设曲线在点处的切线与直线平行，则实数等于（）A . -1B .C . -2D . 24. （2分） (2017高二下·安阳期中) 曲线y= ﹣上一点P（4，﹣）处的切线方程是（）A . 5x+16y﹣8=0B . 5x﹣16y+8=0C . 5x+16y+8=0D . 5x﹣16y﹣8=05. （2分） (2018高二下·遵化期中) 已知函数，则（）A . 1B . -1C .D .6. （2分）已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且当时,不等式成立，若，，则a,b,c的大小关系是（）A . a>b>cB . c>b>aC . c>a>bD . a>c>b7. （2分） (2018高二下·河北期末) 已知为常数，函数有两个极值点，则（）A .B .C . DD . f (x 1 ) <0 ,f (x 2 ) >−8. （2分） (2015高三上·务川期中) 若幂函数f（x）=mxα的图象经过点A（，），则它在点A处的切线方程是（）A . 2x﹣y=0B . 2x+y=0C . 4x﹣4y+1=0D . 4x+4y+1=09. （2分） (2015高二下·太平期中) 已知函数f（x）=x3﹣ax2﹣1在x=2处取得极值，则实数a等于（）A . 1B . 2C . 3D . 410. （2分） (2016高二下·新余期末) 对于数25，规定第1次操作为23+53=133，第2次操作为13+33+33=55，如此反复操作，则第2016次操作后得到的数是（）A . 25B . 250C . 55D . 13311. （2分）函数在点处的切线方程为（）A .B .C .D .12. （2分）已知函数f（x）=x+ ﹣2alnx在区间（1，2）上单调递增，则实数a的取值范围．A . [﹣，1]B . [﹣1， ]C . [ . ]D . [ ，1]（二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2013·上海理) 36的所有正约数之和可按如下方法得到：因为36=22×32 ，所以36的所有正约数之和为（1+3+32）+（2+2×3+2×32）+（22+22×3+22×32）=（1+2+22）（1+3+32）=91，参照上述方法，可求得2000的所有正约数之和为________．14. （1分）有一列球体，半径组成以1为首项，为公比的等比数列，体积分别记为V1 ， V2 ，…，Vn ，…，则（V1+V2+…Vn）=________15. （1分） (2016高一上·绍兴期中) 设函数f（x）= 为奇函数，则a=________．16. （1分） (2017高二下·陕西期中) 已知f（x）为一次函数，且f（x）=x+2 ，则f（x）=________．三、解答题 (共6题；共50分)17. （10分） (2016高二下·龙海期中) 已知y=f（x）是二次函数，方程f（x）=0有两相等实根，且f′（x）=2x+2（1）求f（x）的解析式．（2）求函数y=f（x）与y=﹣x2﹣4x+1所围成的图形的面积．18. （10分） (2015高二下·登封期中) 数列{an}满足a1=1，an+1= （n∈N*）．（1）计算a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想．19. （10分） (2016高一上·南宁期中) 已知全集U=R，集合，B={x|1＜x＜6}（1）求A∩∁UB；（2）已知C={x|a≤x≤a+1}，若A∩C=C，求实数a的取值范围．20. （5分） (2017高二下·宜春期中) 已知函数f（x）=ax2+blnx在x=1处有极值．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求f（x）的单调区间．21. （10分） (2018高二下·辽源月考) 已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx(a、b∈R)的图象过点P(1,2)，且在点P处的切线斜率为8.（1）求a、b的值；（2）求函数f(x)的单调区间．22. （5分） (2018高二下·陆川月考) 如图，求直线与抛物线所围成的图形的面积.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共50分)17、答案：略18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、。

第一高级中学2021-2021高二下学期期中考试数学（理科）试卷本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．第I 卷（选择题，共60分）注意事项：１．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名.准考证号.考场号.座号.考试科目涂写在答题卡上．２．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．不能答在试题卷上．一.选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合}31|{},06|{2≤≤=<-+=x x N x x x M ，则=N M ( ) A.]2,1[ B.)2,1[ C.]3,2（ D.]3,2[ 2.已知△ABC 中，“4π=∠A ”是“22sin =A ”的（） A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件 3.在复平面内,复数i 32i15-+对应的点位于（ ） A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限4.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+002052x y x y x ,则目标函数y x z 32+=的最大值为( )A.10B. 9C.8D. 4 5.已知是等差数列的前项和,若,,则=6S ( )A.40B.80C.36D.576.某个游戏中，一个珠子按如图所示的通道，由上至下的滑下，从最下面的六个出口出来，规定猜中者为胜，如果你在该游戏中，猜得珠子从口4出来，那么你取胜的概率为()A.325 B. 61 C. 165D.以上都不对 7.己知抛物线x y 42=的焦点为F ,准线为l .若l 与双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线分别交于点A 和点B ,且||32||OF AB =(O 为原点),则双曲线的离心率为( )A.3B. 2C. 2D. 58.设随机变量)9,1(~N X ，且)1(0(-≥=≤a X P X P ），则实数a 的值为（ ） A.2 B. 3 C. 4 D. 59.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个不相等的正数12,x x ，都有()()2112120x f x x f x x x -<-，记()33f a =，()1b f =--，()22f c -=-，则( )A ．a c b << B. a b c << C. c b a << D. b c a<<10.在等比数列{}n a 中，若2534a a =-，234594a a a a +++=，则23451111a a a a +++= ( )A.1B. 34-C. 3-D. 1311.已知12,F F 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得线段1PF 的中垂线恰好经过焦点2F ，则椭圆C 离心率的取值范围是( )A ． 1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．12,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦12.已知函数2ln 2,0()3,02x x x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图像上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-对称的点在21y kx =-的图像上,则实数的取值范围是（ ）A.)83,41(B. )21,41(C. )21,61(D. )1,41( 第II 卷（非选择题，共90分）注意事项：1.答题前将密封线内的项目及座号填写清楚；2.考生做答时，用黑色签字笔将答案答在答题卷上，答在试题卷上的答案无效． 二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分13.已知函数x x x f 2ln )(+=,则不等式2)3(2<-x f 的解集为_______.14.已知1x >-，则函数()()521x x y x ++=+的最小值为________.15.已知a R ∈，命题[]:1,2P x ∀∈，30x a -≥.命题2:,220q x R x ax a ∃∈++-=，若命题p q ∧ 为真命题，则实数a 的取值范围是________________. 16.设函数)(),(x g x f 分别是定义在上的奇函数和偶函数,且xx g x f 2)()(=+,若对]2,21[∈x ,不等式0)2()(≥+x g x af 恒成立,则实数a 的取值范围是__________.三.解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤） 17.已知，在AB C ∆中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，且A b B a cos 3sin =． (1)求角A 的大小；(2)设AB C ∆的面积为33，求a 的取值范围．18.如图与都是边长为的正三角形,平面平面,平面,.(1)求点到平面的距离； (2)求平面与平面所成二面角的正弦值.19.已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左.右焦点分别为32||,,2121=F F F F ，直线l 与椭圆C 交于B A ,两点,且4||||21=+AF AF (1)求椭圆C 的方程；(2)若B A ,两点关于原点O 的对称点分别为B A '',,且 90=∠AOB ,判断四边形B A AB ''是否存在内切的定圆?若存在,请求出该内切圆的方程;若不存在,请说明理由.20.某种植物感染α病毒极易导致死亡，某生物研究所为此推出了一种抗α病毒的制剂，现对20株感染了α病毒的该植株样本进行喷雾试验测试药效.测试结果分“植株死亡”和“植株存活”两个结果进行统计；并对植株吸收制剂的量(单位：mg)进行统计.规定：植株吸收在6mg （包括6mg ）以上为“足量”，否则为“不足量”.现对该20株植株样本进行统计，其中 “植株存活”的13株，对制剂吸收量统计得下表.已知“植株存活”但“制剂吸收不足量”的植株共1株.（1）完成以下22⨯列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植编号 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 吸收量(mg) 683895662775 10 6788469株的存活”与“制剂吸收足量”有关？吸收足量吸收不足量合计 植株存活 1 植株死亡 合计20（2） ①若在该样本“吸收不足量”的植株中随机抽取3株，记ξ为“植株死亡”的数量，求ξ得分布列和期望ξE ；②将频率视为概率，现在对已知某块种植了1000株并感染了α病毒的该植物试验田里进行该药品喷雾试验，设“植株存活”且“吸收足量”的数量为随机变量η，求ηD .2()0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.7063.841 5.024 6.6357.87910.828P K k k≥参考数据：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++21.已知函数x x a ax x f ln )2()(2--+=.(1)若函数)(x f 在1=x 时取得极值,求实数a 的值； (2)当10<<a 时,求)(x f 零点的个数.选做题：22，23两题中选择一道进行作答，写出必要的解答过程22.在平面直角坐标系xoy 中,曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧==ty t x 442(其中为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度,圆2C 的极坐标方程为015sin 82=+-θρρ.(1)求曲线1C 的方程普通方程和2C 的直角坐标方程;(2)过圆2C 的圆心2C ,倾斜角为4π的直线l 与曲线1C 交于B A ,两点,则||||22BC A C +的值.23.已知|12||1|)(--+=x x x f . (1)求不等式0)(>x f 的解集；(2)若R x ∈,不等式32)(-+≤a x x f 恒成立,求实数a 的取值范围.高二数学（理科）试卷参考答案一.选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BADBDCCBACAB二．填空题13. )2,3()3,2( -- 14. 9 15. 12=-≤a a 或 16. [2,)+∞-2 三.解答题：17.解：（1）sin =3cos a B b A ．由正弦定理可得：sin sin =3sin cos A B B A ， 又sin 0B ≠，可得：tan 3A =，又(0,)A π∈，所以3A π=．........6分（2）因为3A π=，ABC ∆的面积为1333sin 2bc A bc ==，解得12bc =......8分 由余弦定理可得：22222cos 223a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=+-≥-≥=， 当且仅当23b c ==时等号成立．综上，边a 的取值范围为[23,)+∞．...........12分 18.取CD 中点O ,连OM OB ,,则CD OM CD OB ⊥⊥,, 又平面⊥MCD 平面BCD ,则⊥MO 平面BCD ,........1分 以O 为原点,直线OM BO OC ,,为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系如图,3==OM OB ,则各点坐标分别为)0,0,0(O ,)0,0,1(C ,)3,0,0(M ,)0,3,0(-B ,)32,3,0(-A ,2分(1)设),,(z y x n =是平面MBC 的法向量,则)3,3,0(),0,3,1(==BM BC , 由BC n ⊥得03=+y x ;由BM n ⊥得033=+z y ,..........4分 取)1,1,3(--=n ,则距离5152||==n n BA d ..............6分 (2))32,3,1(),3,0,1(--=-=CA CM ,,设平面的法向量为),,(1111z y x n =,由n ⊥1得0311=+-z x ;由n ⊥1得0323111=+--z y x ,......9分 取)1,1,3(1=n ,又平面BCD 的法向量为)1,0,0(=n , 则51,cos 111=>=<n ,.....11分 设所求二面角为θ,则552cos 1sin 2=-=θθ......12分 19. (1)因为32||21=F F ,所以3c =因为直线l 与椭圆C 交于,两点,且12||4||AF AF =-,所以12||||4AF AF +=,所以24a =,解得2a =,所以2221b a c =-=,所以椭圆的方程为1422=+y x ......4分(2)①当直线l 的斜率k 存在时,设1122:,(,),(,)l y kx m A x y B x y =+由2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得222(41)8440k x kmx m +++-=,222222644(41)(44)16(41)k m k m k m ∆=-+-=+-,.....6分所以12221228414441km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩,,因为90=∠AOB ,所以OB OA ⊥,0=⋅,即22222222212121212222448544(1)()(1)0414141m k m m k x x y y k x x km x x m k m k k k ---+=++++=+-+==+++,.....8分所以22445k m +=,所以原点O 到直线l 的距离2||2551m d k ==+..........9分 根据椭圆的对称性,同理可证,原点O 到达,,BA AB A B ''''的距离都为255,所以四边形存在内切的定圆,且该定圆的方程为2245x y +=......10分 ②当直线l 的斜率不存在时,设直线l 的方程为x n =,不妨设,A B 分别为直线l 与椭圆C 的上.下交点,则22(4)(4)(,),(,)22n n A n B n ---,由,得,22404n n --=,解得245n =, 所以此时原点到直线的距离为255.根据椭圆的对称性,同理可证,原点O 到达,,BA AB A B ''''的距离都为255,所以四边形存在内切的定圆,且该定圆的方程为2245x y +=. .综上可知,四边形存在内切的定圆,且该定圆的方程为2245x y +=......12分 20.(1) 由题意可得“植株存活”的13株，“植株死亡”的7株；“吸收足量”的15株，吸收足量 吸收不足量 合计 植株存活 12 1 13 植株死亡 3 4 7 合计15520635.6934.5515713)13412(2022<≈⨯⨯⨯⨯-⨯=K所以不能在犯错误概率不超过1%的前提下，认为“植株的存活”与“制剂吸收足量”有关.………6分①样本中“制剂吸收不足量”有5株，其中“植株死亡”的有4株， 存活的1株，所以抽取的3株中ξ的可能取值是2,3. 其中53)2(3524===C C P ξ， 52)3(3534===C C P ξ………………8分ξ的分布列为：所以55352=⨯+⨯=ξE .………10分②“植株存活”且“制剂吸收足量”的概率为532012==p 332~(1000,)(1)1000240555B D np p ηη⇒=-=⨯⨯= ………………12分21.(1))(x f 定义域为)0(∞+，,xax x x x a ax x f )1)(12(1)2(2)(-+=--+=', 由已知,得0)1(='f ,解得1=a ,.....2分 当1=a 时,xx x x f )1)(12()(-+=',所以,100)(<<⇔<'x x f ,,10)(>⇔>'x x f ,所以)(x f 减区间为)10(，,增区间为)1(∞+，,.....4分所以函数)(x f 在1=x 时取得极小值,其极小值为0)1(=f ,符合题意,所以1=a ......5分(2)令0)1)(12()(=-+='x ax x x f ,由,10<<a ,得,11>=ax .....6分所以a x x f 100)(<<⇔<',a x x f 10)(>⇔>',所以)(x f 减区间为)10(a ，,增区间为)1(∞+，a ,所以函数)(x f 在a x 1=时取得极小值,其极小值为aa a f 11ln )1(-+=,.....8分因为10<<a ,所以0ln <a ,11>a,所以011<-a ,所以011ln )1(<-+=aa a f ,因为021212)1(2>+-=+->+-+=ee a e a e a e a ef , 根据零点存在定理,函数)(x f 在)10(a，上有且仅有一个零点,.....10分因为x x ln >,)3()2(ln )2()(22-+=--+>--+=a ax x x x a ax x x a ax x f ,令03>-+a ax ,得a a x ->3,又因为10<<a ,所以aa a 13>-, 所以当a a x ->3时,0)(>x f ,根据零点存在定理,函数)(x f 在)1(∞+，a上有且仅有一个零点,所以,当10<<a 时,)(x f 有两个零点......12分22.(1)曲线C 1的参数方程为244x t y t⎧=⎨=⎩(其中t 为参数),消去参数可得24y x =......2分曲线2C 的极坐标方程28sin ρρθ-+15=0变为直角坐标的方程为:22(4)1x y +-=......5分(2) 可知2C 的圆心坐标为(0,4),直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=⋅+==⋅=t t y t t x 2244sin 4224cos ππ(其中为参数),.....7分代入24y x =可知22320t t ++=4,.....8分因为1232t t =,可知2212||||||2C A C B t t +=+=4......10分23. (1)⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤≤--<-=--+=21,2211,31,2|12||1|)(x x x x x x x x x f ......2分当1-<x 时,由02>-x 得2>x ,即解集为Φ,当211≤≤-x 时,由03>x 得0>x ,解集为]210(，, 当21>x 时,由02>-x 得2<x ,解集为)2,21(,综上所述,0)(>x f 的解集为)2,0(......5分11 (2)不等式32)(-+≤a x x f 恒成立等价于32)(-≤-a x x f 恒成立,则max ])([32x x f a -≥-,.....6分 令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>-≤≤--<-=-=21,22211,21,2)()(x x x x x x x f x g ,.....7分则1)(max =x g ,即2132≥⇒≥-a a .....9分 所以实数a 的取值范围是),2[+∞......10分。

2021-2022学年河南省商丘市商丘名校高二下学期期中联考数学（理）试题一、单选题1．观察下列各式：1234533393273813243,,,,=====，，则20223的个位数字是（ ） A ．3 B ．9 C ．7 D ．1【答案】B【分析】个位数出现顺序为3,9,7,1，且周期为4，即可确定20223的个位数字. 【详解】由题设，个位数出现顺序为3,9,7,1，且周期为4， 所以55022422033⨯+=，即20223的个位数字与239=相同. 故选：B2．已知函数()f x 的导数()f x '存在，且()12f '=，则()()11lim 2x f x f x∆→+∆-=-∆（ ）A ．12B ．12-C ．1D ．－1【答案】D【分析】本题根据()()()0000limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆整理计算．【详解】()()()()()00111111limlim 11222x x f x f f x f f x x ∆→∆→+∆-+∆-'=-=-=--∆∆． 故选：D ． 3．若复数20233ii m z +=（R m ∈，i 为虚数单位）的实部和虚部相等，则z =（ ） A ．33i -+ B ．33i -- C ．33i + D ．33i -【答案】C【分析】根据i 的周期性及复数的除法运算法则，结合复数实部与虚部相等即可求解. 【详解】由题意可知，()()20233i i3i 3i 3i i i i im m m z m +⋅++====-+--⋅， 因为复数z 的实部和虚部相等， 所以3m -=，解得3m =-， 所以33i z =+． 故选：C ．4．阳春三月，草长莺飞；丝绦拂堤，尽飘香玉．三个家庭的3位妈妈带着3名女宝和2名男宝共8人踏春．在沿行一条小溪时，为了安全起见，他们排队前进，三位母亲互不相邻照顾孩子；3名女宝相邻且不排最前面也不排最后面；为了防止2名男宝打闹，2人不相邻，且不排最前面也不排最后面．则不同的排法种数共有( ) A ．144种 B ．216种 C ．288种 D ．432种【答案】C【分析】利用捆绑法和插空法进行求解．【详解】第一步：先将3名母亲全排，共有33A 种排法； 第二步：将3名女宝“捆绑”在一起，共有33A 种排法；第三步：将“捆绑”在一起的3名女宝作为一个元素，在第一步形成的2个空中选择1个插入，有12A 种排法；第四步：首先将2名男宝之中的一人，插入第三步后相邻的两个妈妈中间，然后将另一个男宝插入由女宝与妈妈形成的2个空中的其中1个，共有1122C C 种排法．∴不同的排法种数有：3311133222A A A C C 288=种．故选：C ．5．已知函数()2e cos xf x x x =+-，则不等式()()21f x f x ->-的解集为（ ）A ．(),1-∞B ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．()0,1D ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【分析】首先利用导数得到()f x 在R 上单调递增，从而得到21x x ->-，再解不等式即可.【详解】函数()2e cos x f x x x =+-的定义域为R ，()22e 1sin 0xf x x '=++>恒成立，所以()f x 在R 上单调递增，所以由()()21f x f x ->-可得：21x x ->-， 解得：13x >．故选：D ．6．用数学归纳法证明“()()*2221111122,232121nnn n ++++<-≥∈--N ”的过程中，从()*n k k =∈N 到1n k =+时，不等式的左边增加了的项数为（ ）A ．12k -B ．21k -C ．2kD ．21k +【答案】C【分析】根据题意分别列出n k =、1n k =+时不等式左边，对比判断． 【详解】由题意知，假设．时，不等式左边为()22211112321k++++-．当1n k =+时，不等式左边为()()()()222222211111111123221212221k k k k k ++++++++++-++-，相比n k =时增加了()()()2222111112212221k k kk +++++++-，共2k 项．故选：C ．7．甲､乙､丙三人共同收看第24届冬奥会某项目的决赛，他们了解到该项目的参赛运动员来自丹麦､瑞典､挪威､芬兰､冰岛这五个北欧国家，三人做了一个猜运动员国籍的游戏.他们选定了某位运动员，甲说：此运动员来自丹麦或挪威；乙说：此运动员一定不是瑞典和挪威的；丙说：此运动员来自芬兰或冰岛.最后证实，甲､乙､丙三人之中有且只有一人的猜测是正确的，则此运动员来自（ ） A ．丹麦 B ．挪威C ．芬兰D ．冰岛【答案】B【分析】根据题意，逐一分析此运动员来着丹麦、瑞典、挪威、芬兰、冰岛，结合题意，分析即可得答案.【详解】①若此运动员来自丹麦，则甲､乙､丙三人中甲､乙猜测正确，与题设矛盾，故此运动员不来自丹麦；②若此运动员来自瑞典，则甲､乙､丙三人都猜测错误，与题设矛盾，故此运动员不来自瑞典；③若此运动员来自挪威，则甲､乙､丙三人中只有甲猜测正确，与题设相符，故此运动员来自挪威；④若此运动员来自芬兰，则甲､乙､丙三人中乙､丙猜测是正确，与题设矛盾，故此运动员不来自芬兰；⑤若此运动员来自冰岛，则甲､乙､丙三人中乙､丙猜测正确，与题设矛盾，故此运动员不来自冰岛.综上可知，此运动员只能是来自挪威. 故选：B8．某校的全员核酸检测共安排了三处检测点，现将招募的8名教师志愿者分配到这三处检测点，每处需要2至4名志愿者，则不同的安排方法有（ ）A ．1960种B ．2940种C ．4410种D ．5880种【答案】B【分析】分配方案分为2，3，3和2，2，4两种情况进行讨论【详解】根据题意，这8名志愿者分配到三个核酸检测点处的志愿者数目为2，3，3或2，2，4．所以不同的安排方法一共有23322433863864332222C C C C C C A A 2940A A +=种． 故选：B ． 9．已知ln ππa =，b =22ec =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．c b a << B ．c a b << C ．b c a << D ．b a c <<【答案】A【分析】构造函数()ln x g x x =，0x >，由导函数得到()ln xg x x=在()e,+∞上单调递减，又ln ππa =，ln 2ln 424b ===，2222ln e e ec ==，2e π4e <<<，从而得到c b a <<.【详解】令()ln x g x x =，0x >，则()21ln xg x x -'=．则当()e,x ∈+∞时，()0g x '<， 所以函数()ln xg x x=在()e,+∞单调递减， 因为ln ππa =，ln 2ln 424b ===，2222ln e e e c ==，2e π4e <<<，所以22ln πln 4ln e π4ea b c =>=>=， 即c b a <<． 故选：A ．10．“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，最早出现在中国南宋数学家杨辉于1261年所著的《详解九章算法》一书中，欧洲数学家帕斯卡在1654年才发现这一规律，比杨辉要晚近四百年，“杨辉三角”在数学史上具有重要的地位．若将杨辉三角中的每一个数C rn 都换成()11C r n n +，就得到一个如下表所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形．莱布尼茨三角形同“杨辉三角”一样，具有很多优美的性质，比如从第0行开始每一个数均等于其“脚下”两个数之和等．现有关于莱布尼茨三角形性质的4个描述，则其中正确个数为（ ）①当n 是偶数时，中间的一项取得最小值；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最小值；②()()10011111C 1C C n n n n n n -=⋅++； ③()()()11,01C 1C r n r n nr r n n n -=∈≤≤++N ； ④()()()111111,11C 1C C r r r n n n r r n n n n ---+=∈≤≤++N ． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个【答案】D【分析】根据莱布尼茨三角形的特征，结合组合数的性质，即可逐一求解.【详解】①根据杨辉三角的特点，当n 是偶数时，()C 0,rn r n n N ≤≤∈中间的一项取得最大值；当n 是奇数时，()C 0,rn r n n N ≤≤∈中间的两项相等，且同时取得最大值；所以()()10,1C r nr n n N n ≤≤∈+与()C 0,r n r n n N ≤≤∈的最值情况相反，故当n 是偶数时，中间的一项取得最小值；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最小值；故①正确；②()0011111=1C C 1n n n n n n -⋅⋅++，()11111C 1n n n n =⋅++，故②正确；③根据组合数的性质()()()11,011r n rn n r n rn n C C r r n n C n C --=⇔=∈≤≤++N ，故③正确；④根据每一个数均等于其“脚下”两个数之和， 即()()()111111,111r r r n n n r r n n C n C nC ---+=∈≤≤++N ，故④正确． 故选：D ．11．已知a 是112217777n n n n n n n C C C ---++++（n 为正奇数）被3除的余数，则e 1a x dxx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰的值为（ ） A ．2e 12+B ．2e 12-C ．2e 52+D ．2e 52-【答案】A【分析】先逆用二项式定理化简，再将底数改为31(k k ±∈N )的形式，用二项式定理展开可得a ，然后由微积分基本定理可得.【详解】因为()()11221777771911nnn n n n nnn n n C C C C ---++++=+-=--，而()()()1112219119999111nn nn n n n n n n C C C ------=-+-+-+--，因为n 为正奇数，所以()11231n--=-=-+，故余数为1，即1a =，所以ee 2e 221111111ln |e ln e 1ln1222a x dx x dx x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+=⨯+-⨯+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰ 22e 1e 11222+=+-=. 故选：A.12．定义函数()()()*,1nf x n x n =+∈N ，若()i,32i f n =（i 为虚数单位），则nx ⎛ ⎝的展开式中系数最大项为（ ） A ．23254x B ．1431058xC ．615x D ．223454x【答案】C【分析】由()i,32i f n =求得n ，再利用二项展开式的通项公式求解. 【详解】由已知()1i 32i n+=，两边取模，得32n=，所以n ＝10．二项式nx ⎛ ⎝的展开式的通项为43112rrn r r n r rr nn T C x C x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭， 因为n ＝10，则4101031101012rrr r rr r T C x C x--+⎛⎫== ⎪⎝⎭． 令第r ＋1项的系数最大，则11101011101011221122rr r r r r r r C C C C ++--⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩，即11012111112r r r r -⎧≥⨯⎪⎪+⎨-⎪⨯≥⎪⎩，解得81133r ≤≤，因为*r ∈N ，所以r ＝3， 所以33664101152T C x x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故系数最大的项为615x ． 故选：C ． 二、填空题13．将()()()121231234a a b b b c c c c ++++++展开后有______项． 【答案】24【分析】根据分步乘法计数原理和多项式乘法原理即可求解.【详解】根据分步乘法计数原理，展开后的项数为：23424⨯⨯=项． 故答案为：24．14．设复数z 满足1i z z +=-(i 为虚数单位)，则i z -的最小值为______．【分析】设z ＝a ＋b i ，a 、b ∈R ．根据1i z z +=-得到a 与b 的关系，将i z -表示成关于a 、b 的式子，结合a 、b 关系，利用二次函数性质即可求其最小值． 【详解】设z ＝a ＋b i ，a 、b ∈R ． ∵1i z z +=-，即()1i 1i a b a b ++=+-， ∴()()222211a b a b ++=+-，化简得：a ＝－b ． ∴()i 1i z a b -=+-=∴当12b =时，min i z -=．故答案为：2．15．若7x ⎛ ⎝的展开式中4x 的系数为21，则a ＝______．【答案】±1【分析】利用二项式定理展开式的通项公式求解.【详解】解：由二项式定理展开式的通项公式得：()3772177rrr r r r r T C x C a x --+⎛==- ⎝， 令3742r-=，解得r ＝2， 所以展开式中含4x 的项为：()224217T C a x +=-，由4x 的系数22721C a =，解得21a =，所以1a =±， 故答案为：±1．16．若()0,x ∀∈+∞，不等式2ln e 0x ax a x x x++-≥恒成立，则实数a 的取值范围是______． 【答案】1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭【分析】令ln ln t x x a =-+，将所求不等式变形为e 10t t +-≥，构造函数()e 1tf t t =+-，利用导数分析函数()f t 的单调性，可得出ln ln 0t x x a =-+≥，利用导数求出函数ln ln t x x a =-+的最小值，可得出关于a 的不等式，即可解得a 的取值范围.【详解】因为0x >，0ax>，则0a >， ()0,x ∀∈+∞，2ln e 0x a x a x x x ++-≥可得e ln 10x a a x x x ++-≥，即ln ln ln ln e 10x a x x a x +-+-+-≥，令ln ln t x x a =-+，则e 10t t +-≥，令()e 1tf t t =+-，其中R t ∈且()00f =，()e 10t f t '=+>，则函数()f t 在R 上单调递增，由e 10t t +-≥可得()()00f t f ≥=，所以，ln ln 0t x x a =-+≥，其中0x >， 111x t x x-'=-=，当01x <<时，0t '<，此时函数ln ln t x x a =-+单调递减， 当1x >时，0t '>，此时函数ln ln t x x a =-+单调递增， 所以，min 1ln1ln 0t a =-+≥，解得1ea ≥.故答案为：1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭.【点睛】关键点点睛：本题考查利用函数不等式恒成立，解本题的关键在于将所求不等式变形为ln ln ln ln e 10x a x x a x +-+-+-≥，通过换元ln ln t x x a =-+将不等式变形为e 10t t +-≥，再通过构造函数的方法求出t 的取值范围，结合导数法可求得a 的取值范围.三、解答题17．已知复数2121im z =-，()()22i 312i z m =+-+，R m ∈，i 为虚数单位．(1)若12z z +是纯虚数，求实数m 的值； (2)若120z z +>，求1214z z ⋅的值．【答案】(1)1 (2)53i -【分析】（1）根据复数除法运算化简2121im z =-，可化简得到()()2212236i z z m m m m +=+-++-，由此根据纯虚数的概念可得2223060m m m m ⎧+-=⎨+-≠⎩，可求得答案;（2）根据120z z +>，可得12z z +是正实数，求得2m =，结合复数的乘法可求得答案.【详解】(1)()()()()222121i 21i 1i 1i 1i m m z m +===+--+， ()()()()22i 312i 236i z m m m =+-+=-+-，R m ∈．因为()()2212236i z z m m m m +=+-++-为纯虚数，则2223060m m m m ⎧+-=⎨+-≠⎩，解得m ＝1．(2)因为()()2212236i 0z z m m m m +=+-++->，则2223060m m m m ⎧+->⎨+-=⎩，解得2m =,此时()141i z =+，214i z =-，所以()()121141i 14i 53i 44z z ⋅=⨯+⋅-=-．18．已知0a >，0b >．请选择适当的方法证明． (1)若ab ，证明：3322a b a b ab +>+；(2)若1ab =，证明：22a a +<与22b b +<不能同时成立． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）利用作差法可证得结论成立；（2）假设22a a +<与22b b +<同时成立，由220a a a ⎧+-<⎨>⎩解出a 的取值范围，同理解出b 的取值范围，再结合不等式的基本性质推出矛盾，由此可证得结论成立.【详解】(1)证明：因为()()()()3322323222a b a b ab a a b b ab a a b b b a +-+=-+-=-+-()()()()222a b a b a b a b =--=-+，因为ab ，且0a >，0b >，所以()()20a b a b -+>，所以3322a b a b ab +>+，得证．(2)证明：假设22a a +<与22b b +<同时成立，由2200a a a ⎧+-<⎨>⎩可得01a <<，由2200b b b ⎧+-<⎨>⎩可得01b <<，由不等式的性质可得01ab <<，这与1ab =矛盾，假设不成立. 所以，22a a +<与22b b +<不能同时成立.19．已知函数()()()1e 2xf x x a a =+-+∈R ．(1)若a ＝2，求函数()f x 在()()0,0f 处的切线方程； (2)若函数()f x 的极大值不小于2a ，求实数a 的取值范围． 【答案】(1)x ＋y －2＝0 (2)(]0,1【分析】（1）由导数的几何意义运算即可得解；（2）利用导数求得函数的极大值，得ln 10a a +-≤，再构造函数即可得解.【详解】(1)当a ＝2时，()2e 4x f x x =-+，则()12e xf x '=-，所以()02f =，()01f '=-所以()f x 在()0,2处的切线方程为：()()210y x -=-⨯-，即x ＋y －2＝0．(2)因为函数()()1e 2x f x x a =+-+的定义域为R ，又()1e xf x a ='-．①当0a ≤时，对任意的x ∈R ，0fx，即函数()f x 在R 上单调递增，此时函数()f x 无极值，0a ≤不合题意，舍去． ②当0a >时，令0f x ，得ln x a =-． 当ln x a <-时，0fx，当ln x a >-时，0fx，∴函数()f x 在(),ln a -∞-单调递增，在()ln ,a -+∞单调递减． 函数()f x 的极大值()ln ln 12f a a a a -=-+≥， 整理得：ln 10a a +-≤． 令()ln 1g a a a =+-，其中0a >， 因为()110g a a'=+>，所以函数()g a 在()0,+∞上单调递增，且10g ．由ln 10a a +-≤可得()()1g a g ≤， ∴01a <≤．故实数a 的取值范围是(]0,1．20．已知数列{}n a 满足211n nn a a na n +=---，且13a =． (1)写出2a ，3a ，4a 的值，猜想出数列{}n a 的一个通项公式，并用数学归纳法证明； (2)令11n n n b a a +=⋅，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：13n T <．【答案】(1)24a =，35a =，46a =，2n a n =+，证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）由211n n n a a na n +=---，又13a =，列举求解，再利用数学归纳法证明；（2）由()()111112323n n n b a a n n n n +===-⋅+⋅+++，利用裂项相消法求解.【详解】(1)解：因为211n n n a a na n +=---，又13a =，得22211111313114a a a =-⨯--=-⨯--=；22322221424215a a a =-⨯--=-⨯--=； 22433331535316a a a =-⨯--=-⨯--=．故可猜想数列{}n a 的一个通项公式为：2n a n =+． 下面用数学归纳法证明如下：①当n ＝1时，1312a ==+，等式成立． ②假设当n ＝k 时等式成立，即2k a k =+，则211k k k a a ka k +=---()()()2221312k k k k k k =+-+--=+=++，则当n ＝k ＋1时，等式也成立．综上，由①、②，对于所有1n ≥，有2n a n =+． (2)因为()()111112323n n n b a a n n n n +===-⋅+⋅+++，所以1211223111111n n n n nn n T b b b b a a a a a a a a --+=++++=++++， ()()()()111134451223n n n n =++++⨯⨯++++，1111111111134451223333n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-+-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故13n T <得证．21．椭圆与双曲线之间有许多优美的对称性质，已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>和双曲线22222:1(0,0)-=>>x y C a b a b(1)设AB 是双曲线22222:1(0,0)-=>>x y C a b a b 的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为弦AB 的中点，O 为坐标原点，则22OM ABb k k a⋅=为定值.类比双曲线的性质：若AB 是椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的不平行于对称轴且不过原点的弦，M 为AB 的中点，O 为坐标原点，试猜想OM AB k k ⋅的值，并证明；(2)设椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>交x 轴于A ，B 两点，点P 是椭圆1C 上异于A ，B 的任意一点，直线P A ，PB 分别交y 轴于点M ，N ，则AN BM ⋅为定值22b a -，类比椭圆的性质：若双曲线22222:1(0,0)-=>>x y C a b a b 交x 轴于A ，B 两点，点P 是双曲线2C 上异于A ，B 的任意一点，直线P A ，PB 分别交y 轴于点M ，N ，试猜想AN BM ⋅的值，并证明.【答案】(1)猜想：22OM ABb k k a⋅=-，证明见解析(2)猜想：22()AN BM a b ⋅=-+，证明见解析【分析】（1）设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，再表示OM AB k k ⋅，最后根据A ，B 满足椭圆的方程式化简即可（2）设00(,)P x y ，再根据(,0)A a -，(,0)B a 求得直线P A 方程为00()y y x a x a=++，得到点M 坐标，表达出00,ay BM a x a ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，同理得到00,ay AN a x a ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭，再根据00(,)P x y 满足双曲线的方程代入化简AN BM ⋅即可【详解】(1)猜想：22OM ABb k k a⋅=-.证明：设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，则有120120,2,2x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩012012OM y y y k x x x +==+，1212AB y y k x x -=-，则()()()()2212121222121212OM AB y y y y y y k k x x x x x x -+-⋅==-+-. 将A ，B 的坐标代入椭圆方程中得：2211221x y a b +=①，2222221x y a b+=②，①-②得：2222121222x x y y a b --=-，2221222212y y b x x a -∴=--，即22OM AB b k k a ⋅=-. (2)猜想：22()AN BM a b ⋅=-+证明：由题意得(,0)A a -，(,0)B a ，设00(,)P x y ，则00000()PA y y k x a x a-==--+，所以直线P A 方程为00()y y x a x a=++. 令0x =，则00ay y x a =+，所以点M 坐标为000,ay x a ⎛⎫⎪+⎝⎭. 又(,0)B a ，所以00,ay BM a x a ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭；同理可得：00,ay AN a x a ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭.所以2220220a y AN BM a x a ⋅=---，又因为2200221x y a b-=，所以222222022201()x a AN BM a b a b x a a ⎡⎤⎛⎫⋅=--⋅⋅-=-+⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦，得证. 【点睛】本题主要考查了利用圆锥曲线上的点满足圆锥曲线的方程，进而化简所求表达式的值的方法，需要根据题意根据相关直线的方程联立求解得出相关点的坐标，再化简求解，属于中档题22．已知()()2ln 12x f x a x a x =+-+，其中R a ∈．(1)若0a >，试讨论函数()f x 的单调性；(2)若1e a <<，证明：当()1,e x ∈时，()2e 2f x >-．【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析【分析】（1）求出函数()()2ln 12x f x a x a x =+-+的导数，分类讨论a 的取值范围，根据导数的正负，确定函数的单调区间；（2）根据函数1e a <<结合函数的单调性，可确定函数的最小值为()2ln 2a f a a a a =--，构造函数()2ln 2x g x x x x =--，利用导数判断其单调性，证明()2ln 2x g x x x x =--大于2e 2-即可证明结论. 【详解】(1)函数()f x 的定义域是()0,∞+，()()()()11x a x af x x a x x--'=+-+=， ①当01a <<时，令()0f x '>，得：1x >或0x a <<；令()0f x '<，得：1<<a x ， 所以()f x 在()0,a 上单调递增，在(),1a 上单调递减，在()1,+∞上单调递增． ②当1a =时，()0f x '≥，所以()f x 在()0,∞+上单调递增．③当1a >时，令()0f x '>，得：x a >或01x <<；令()0f x '<，得：1x a <<． 故()f x 在()0,1上单调递增，在()1,a 上单调递减，在(),a +∞上单调递增．综上所述：当01a <<时，()f x 在()0,a ，()1,+∞上单调递增，在(),1a 上单调递减； 当1a =时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当1a >时，()f x 在()0,1，(),a +∞上单调递增，在()1,a 上单调递减． (2)证明:因为()()()()11x a x af x x a x x--'=+-+=，且1e a <<， 所以由（1）知当1x a <<时，()0f x '<，()f x 单调递减； 当e a x <<时，()0f x '>，()f x 单调递增,所以()()()22ln 1ln 22a a f x f a a a a a a a a ≥=+-+=--,设()2ln 2x g x x x x =--，1e x <<，则()ln 11ln g x x x x x '=+--=-， 则令()1(=ln ,1h x x x h x x'-=-），当1e x <<时，()0h x '<， 所以()g x '在()1,e 上单调递减，所以()()110g x g ''<=-<， 故函数()g x 在()1,e 上单调递减，所以()()2e e 2g x g >=-，所以当()1,e x ∈时，()2e 2f x >-成立．。