2014-2018年浙江高考试题分类汇编-立体几何

2018年数学高考题分类汇编之立体几何1．【2018年浙江卷】已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点），设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S−AB−C的平面角为θ3，则A. θ1≤θ2≤θ3B. θ3≤θ2≤θ1C. θ1≤θ3≤θ2D. θ2≤θ3≤θ12．【2018年浙江卷】某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是A. 2B. 4C. 6D. 83．【2018年文北京卷】某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A. 1B. 2C. 3D.44．【2018年新课标I卷文】在长方体中，，与平面所成的角为，则该长方体的体积为A. B. C. D.5．【2018年新课标I卷文】已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A. B. C. D.6．【2018年全国卷Ⅲ文】设是同一个半径为4的球的球面上四点，为等边三角形且其面积为，则三棱锥体积的最大值为A. B. C. D.7．【2018年全国卷Ⅲ文】中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A. AB. BC. CD. D8．【2018年全国卷II文】在正方体中，为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为A. B. C. D.9．【2018年天津卷文】如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱柱A1–BB1D1D的体积为__________．10．【2018年江苏卷】如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．11．【2018年全国卷II文】已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为__________．12．【2018年浙江卷】如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．13．【2018年天津卷文】如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=，∠BAD=90°．（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．14．【2018年江苏卷】如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．15．【2018年江苏卷】在平行六面体中，．求证：（1）；（2）．16．【2018年新课标I卷文】如图，在平行四边形中，，，以为折痕将△折起，使点到达点的位置，且．（1）证明：平面平面；（2）为线段上一点，为线段上一点，且，求三棱锥的体积．17．【2018年全国卷Ⅲ文】如图，矩形所在平面与半圆弧所在平面垂直，是上异于，的点．（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在点，使得平面？说明理由．18．【2018年全国卷II文】如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且，求点到平面的距离．。

浙江历年理科高考题之立体几何大题（教师版）1、（2005年）18．如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝kP A ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ． (Ⅰ)当k ＝21时，求直线P A 与平面PBC 所成角的大小； (Ⅱ) 当k 取何值时，O 在平面PBC 内的射影恰好为△PBC 的重心？ 解：方法一：(Ⅰ) ∵O 、D 分别为AC 、PC 中点，OD PA ∴ ∥PA PAB ⊂又平面， OD PAB ∴ 平面∥(Ⅱ)AB BC OA OC ⊥=Q ，，OA OB OC ∴== ，OP ABC ⊥Q 又 平面，.PA PB PC ∴== E PE BC POE ⊥取BC 中点，连结，则平面 OF PE F DF OF PBC ⊥⊥作于，连结，则平面 ODF OD PBC ∴∠ 是与平面所成的角.又OD PA ∥，∴PA 与平面PBC 所成的角的大小等于ODF ∠，210sin OF Rt ODF ODF OD ∆∠==在中，210PBC ∴ PA 与平面所成的角为（Ⅲ）由(Ⅱ)知，OF PBC ⊥平面，∴F 是O 在平面PBC 内的射影 ∵D 是PC 的中点，若点F 是PBC ∆的重心，则B ，F ，D 三点共线， ∴直线OB 在平面PBC 内的射影为直线BD ，,,OB PC PC BD PB PC ⊥∴⊥∴=Q ，即k =反之，当1k =时，三棱锥O PBC -为正三棱锥，∴O 在平面PBC 内的射影为PBC ∆的重心方法二：OP ABC ⊥Q 平面，,OA OC AB BC ==，,,.OA OB OA OP OB OP ∴⊥⊥⊥以O 为原点，射线OP 为非负z 轴，建立空间直角坐标系O xyz -（如图）EFD OBAPDOBCAPxyz设,AB a =则222,0,0,0,,0,,0,0222A a B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设OP h =，则()0,0,P h(Ⅰ)Q D 为PC 的中点，21,0,42OD a h ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，又21,0,,,//22PA a h OD PA OD PA ⎛⎫=-∴=-∴ ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u uu r u u u r ，OD PAB ∴ 平面∥(Ⅱ)12k =Q ，即7272,,,0,222PA a h a PA a a ⎛⎫=∴=∴= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ， 可求得平面PBC 的法向量11,1,7n ⎛=- ⎝r ，210cos ,||||PA n PA n PA n ⋅∴〈〉==⋅u u u r ru u u r r u u u r r 设PA 与平面PBC 所成的角为θ，则210sin |cos ,|PA n θ=〈〉=u u u r r（Ⅲ）PBC ∆的重心221,,663G a a h ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，221,,663OG a a h ⎛⎫∴=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ， ,OG PBC OG PB ⊥∴⊥u u u r u u u r Q 平面，又2221120,,,0,2632PB a h OG PB a h h a ⎛⎫=-∴⋅=-=∴= ⎪ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ， 22PA OA h a ∴=+=，即1k =，反之，当1k =时，三棱锥O PBC -为正三棱锥，∴O 在平面PBC 内的射影为PBC ∆的重心2、（2006年）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD=90°,PA ⊥底面ABCD ，且PA ＝AD=AB=2BC,M 、N 分别为PC 、PB 的中点. (Ⅰ)求证：PB ⊥DM;(Ⅱ)求CD 与平面ADMN 所成的角。

近五年##数学高考立体几何考题[2018年]3．某几何体的三视图如图所示〔单位：cm〕,则该几何体的体积〔单位：cm3〕是A．2B．4C．6D．8⊄⊂6．已知平面α,直线m,n满足mα,nα,则"m∥n〞是"m∥α〞的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．已知四棱锥S−ABCD的底面是正方形,侧棱长均相等,E是线段AB上的点〔不含端点〕,设SE与BC所成的角为θ1,SE与平面ABCD所成的角为θ2,二面角S−AB−C的平面角为θ3,则A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ119．〔本题满分15分〕如图,已知多面体ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,∠ABC=120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2．〔Ⅰ〕证明：AB1⊥平面A1B1C1；〔Ⅱ〕求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．[2017]3．某几何体的三视图如图所示〔单位：cm〕,则该几何体的体积〔单位：cm2〕是〔〕A．+1B．+3C．+1D．+39．〔5分〕如图,已知正四面体D﹣ABC〔所有棱长均相等的三棱锥〕,P、Q、R 分别为AB、BC、CA上的点,AP=PB,==2,分别记二面角D﹣PR﹣Q,D﹣PQ ﹣R,D﹣QR﹣P的平面角为α、β、γ,则〔〕A．γ＜α＜βB．α＜γ＜β C．α＜β＜γD．β＜γ＜α19．〔15分〕如图,已知四棱锥P﹣ABCD,△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BC∥AD,CD⊥AD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点．〔Ⅰ〕证明：CE∥平面PAB；〔Ⅱ〕求直线CE与平面PBC所成角的正弦值．[2016]文科2．已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则〔〕A ．m ∥lB ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥n9．某几何体的三视图如图所示〔单位：cm 〕,则该几何体的表面积是cm 2,体积是cm 3．14．如图,已知平面四边形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=,∠ADC=90°,沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD ′,直线AC 与BD ′所成角的余弦的最大值是．18．如图,在三棱台ABC ﹣DEF 中,平面BCFE ⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3．〔Ⅰ〕求证：BF ⊥平面ACFD ；〔Ⅱ〕求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值．[2016]理科2．已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n 满足m ∥α,n ⊥β,则〔 〕A ．m ∥lB ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥n11．某几何体的三视图如图所示〔单位：cm 〕,则该几何体的表面积是cm 2,体积是cm 3．14．如图,在△ABC 中,AB=BC=2,∠ABC=120°．若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D,满足PD=DA,PB=BA,则四面体PBCD 的体积的最大值是．17．如图,在三棱台ABC ﹣DEF 中,已知平面BCFE ⊥平面ABC,∠ACB=90°,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3,〔Ⅰ〕求证：BF ⊥平面ACFD ；〔Ⅱ〕求二面角B ﹣AD ﹣F 的余弦值．[2015]文科2、某几何体的三视图如图所示〔单位：cm 〕,则该几何体的体积是A.8 cm 3B.12 cm 3C.323cm 3D.403cm 34、设α,β是两个不同的平面,l ,m 是两条不同的直线,且l ⊂α,m ⊂β.A.若l ⊥β,则α⊥βB. 若α⊥β,则l ⊥mC. 若l ∥β,则α∥βD. 若α∥β,则l ∥m7、如图,斜线段AB 与平面α所成的角为60°,B 为斜足,平面上的动点P 满足∠PAB=30°,则点P 的轨迹是A.直线B.抛物线C.椭圆D.双曲线的一支18、〔本题满分15分〕如图,在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A 1A=4,A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点,D 是B 1C 1的中点.〔Ⅰ〕证明：A 1D ⊥平面A 1BC ；〔Ⅱ〕求直线A 1B 和平面BB 1C 1C 所成的角的正弦值.[2015]理科2、某几何体的三视图如图所示〔单位：cm 〕,则该几何体的体积是A.8 cm 3B.12 cm 3C.323cm 3D.403cm 38．如图,已知△ABC,D 是AB 的中点,沿直线CD 将△ACD 折成△A ′CD,所成二面角A ′﹣CD ﹣B 的平面角为α,则〔 〕A ． ∠A ′DB ≤α B ． ∠A ′DB ≥αC ． ∠A ′CB ≤αD ．∠A ′CB ≥α 13．如图,三棱锥A ﹣BCD 中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N 分别是AD,BC 的中点,则异面直线AN,CM 所成的角的余弦值是．17．〔15分〕〔2015•##〕如图,在三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中,∠BAC=90°,AB=AC=2,A 1A=4,A 1在底面ABC 的射影为BC 的中点,D 是B 1C 1的中点．〔1〕证明：A 1D ⊥平面A 1BC ；〔2〕求二面角A 1﹣BD ﹣B 1的平面角的余弦值．[2014]文科3. 某几何体的三视图〔单位：cm 〕如图所示,则该几何体的体积是〔 〕A. 372cmB. 390cmC. 3108cmD. 3138cm6.设m 、n 是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则〔 〕A.若n m ⊥,α//n ,则α⊥mB.若β//m ,αβ⊥,则α⊥mC.若β⊥m ,β⊥n ,α⊥n ,则α⊥mD.若n m ⊥,β⊥n ,αβ⊥,则α⊥m20、如图,在四棱锥BCDE A -中,平面ABC ⊥平面BCDE ；90CDE BED ∠=∠=︒,2AB CD ==,1DE BE ==,AC =〔1〕证明：AC ⊥平面BCDE ；〔2〕求直线AE 与平面ABC 所成的角的正切值.[2014]理科 〔3〕某几何体的三视图〔单位：cm 〕如图所示,则此几何体的表面积是A. 902cmB. 1292cmC. 1322cmD. 1382cm20. 如图,在四棱锥BCDE A -中,平面⊥ABC 平面======∠=∠AC BE DE CD AB BED CDE BCDE ,1,2,90,02.（1）证明：⊥DE 平面ACD ;（2）求二面角E AD B --的大小DEB C。

1.（本题满分15 分）如图，平面PAC ⊥平面ABC ，ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形。

E,F ,O分别为PA, PB, PC 的中点，AC 16, PA PC 10 。

（I ）设 C 是OC 的中点，证明：PC // 平面BOE ；（II ）证明：在ABO 内存在一点M ，使FM ⊥平面BOE ，并求点M 到OA , OB 的距离。

zyx2.如图，在棱长为 1 的正方体ABCD －A1B1C1D1 中，P 是侧棱CC1 上的一点，CP=m ，（Ⅰ）试确定m，使得直线AP 与平面BDB 1D1 所成角的正切值为 3 2 ；（Ⅱ）在线段A1C1 上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q 在平面APD 1 上的射影垂直于AP，并证明你的结论。

3. 如图甲，△ABC 是边长为 6 的等边三角形，E，D 分别为AB 、AC 靠近B、C 的三等分点，点G 为BC 边的中点．线段AG 交线段ED 于F 点，将△AED 沿ED 翻折，使平面AED ⊥平面BCDE ，连接AB 、AC 、AG 形成如图乙所示的几何体。

（I）求证BC⊥平面AFG ；（II）求二面角B－AE －D 的余弦值．.4 在如图所示的几何体中，EA 平面ABC，DB 平面ABC，AC BC ，AC BC BD 2AE ，M是AB的中点．（1）求证：CM EM ；D（2）求CM与平面CDE所成的角ECAMB4.如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE ∥CF ，BCF CEF ，AD 3，E F 2．90D（Ⅰ）求证：AE ∥平面DCF ；AC （Ⅱ）当AB 的长为何值时，二面角 A EF C 的大小为60 ？BF E（第18 题）25.如图，在矩形ABCD 中，点E，F 分别在线段AB ，AD 上，AE=EB=AF= FD 4.沿直3线EF 将AEF 翻折成A' EF , 使平面A' EF 平面BEF.（I）求二面角A' FD C 的余弦值；（II ）点M ，N 分别在线段FD，BC 上，若沿直线MN 将四边形MNCD 向上翻折，使 C与A' 重合，求线段FM 的长.6.如图，在三棱锥P-ABC 中，AB ＝AC，D 为BC 的中点，PO⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2（Ⅰ）证明：AP⊥BC；（Ⅱ）在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A-MC-B 为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由。

第十章 立体几何一．基础题组1. 【2014年.浙江卷.理3】某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的表面积是 A. 902cm B. 1292cm C. 1322cm D. 1382cm【答案】：Ｄ2. 【2013年.浙江卷.理12】若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的体积等于__________cm 3.【答案】：243. 【2012年.浙江卷.理10】已知矩形ABCD，AB＝1，BC ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中，( )A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直【答案】B4. 【2012年.浙江卷.理11】已知某三棱锥的三视图(单位：cm)如图所示，则该三棱锥的体积等于__________ cm3．【答案】15. 【2011年.浙江卷.理3】若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是【答案】 D【解析】：A，B与正视图不符，C与俯视图不符，故选D6. 【2011年.浙江卷.理4】下列命题中错误的是（A ）如果平面αβ⊥平面，那么平面α内一定存在直线平行于平面β （B ）如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β （C ）如果平面αγ⊥平面，平面βγ⊥平面，=l αβ⋂，那么l γ⊥平面 （D ）如果平面αβ⊥平面，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 【答案】 D7. 【2009年.浙江卷.理5】在三棱柱111ABC A B C -中，各棱长相等，侧掕垂直于底面，点D 是侧面11BB C C 的中心，则AD 与平面11BB C C 所成角的大小是 ( )A ．30B ．45C ．60D ．90【答案】：C8. 【2009年.浙江卷.理12】若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是3cm ．【答案】：189. 【2008年.浙江卷.理14】如图，已知球O 点面上四点A 、B 、C 、D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA=AB=BC=3，则球O 点体积等于【答案】9π210. 【2007年.浙江卷.理6】若P 是两条异面直线,l m 外的任意一点，则（A ）过点P 有且仅有一条直线与,l m 都平行 （B ）过点P 有且仅有一条直线与,l m 都垂直 （C ）过点P 有且仅有一条直线与,l m 都相交 （D ）过点P 有且仅有一条直线与,l m 都异面 【答案】B选项D 不正确，因为过点P 与,l m 都异面的直线有数条. 故选B.11. 【2005年.浙江卷.理6】设α、β 为两个不同的平面，l 、m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l ∥m ；②若l ⊥m ，则α⊥β． 那么(A) ①是真命题，②是假命题 (B) ①是假命题，②是真命题 (C) ①②都是真命题 (D) ①②都是假命题【答案】D12. 【2005年.浙江卷.理12】设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如图)．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A －DE －B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小等于_________．【答案】90° 【解析】：13. 【2015高考浙江，理2】某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积是（ ） A.38cm B. 312cm C.3323cm D. 3403cm【答案】C.14. 【2015高考浙江，理13】如图，三棱锥A BCD -中，3,2AB AC BD CD AD BC ======，点,M N 分别是,AD BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是 ．【答案】87.15. 【2015高考浙江，理17】如图，在三棱柱111ABC A B C --中，90BAC ∠=，2AB AC ==，14A A =，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点.（1）证明：1A D ⊥平面1A B C ；（2）求二面角1A -BD-1B 的平面角的余弦值.【答案】（1）详见解析；（2）18-.【考点定位】1.线面垂直的判定与性质；2.二面角的求解16.二．能力题组1. 【2013年.浙江卷.理10】在空间中，过点A作平面π的垂线，垂足为B，记B＝fπ(A)．设α，β是两个不同的平面，对空间任意一点P，Q1＝fβ[fα(P)]，Q2＝fα[fβ(P)]，恒有PQ1＝PQ2，则( )．A．平面α与平面β垂直B．平面α与平面β所成的(锐)二面角为45°C．平面α与平面β平行D．平面α与平面β所成的(锐)二面角为60°【答案】：A∴点Q1与Q2重合于同一点由此可得，四边形PP1Q1P2为矩形，且∠P1Q1P2是二面角α-l-β的平面角∵∠P1Q1P2是直角，∴平面α与平面β垂直，故选A2. 【2009年.浙江卷.理17】如图，在长方形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为DC 的中点，F 为线段EC （端点除外）上一动点．现将AFD ∆沿AF 折起，使平面ABD ⊥平面ABC ．在平面ABD 内过点D 作DK AB ⊥，K 为垂足．设AK t =，则t 的取值范围是 ．【答案】：1,12⎛⎫⎪⎝⎭3. 【2007年.浙江卷.理16】已知点O 在二面角AB αβ--的棱上，点P 在α内，且45POB ∠=︒.若对于β内异于O 的任意一点Q ，都有45POQ ∠≥︒，则二面角AB αβ--的取值范围是_____________. 【答案】,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】4. 【2006年.浙江卷.理14】正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是.【答案】1] 42【解析】5. 【2015高考浙江，理8】如图，已知ABC ∆，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ∆折成A CD '∆，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则（ ）A. A DB α'∠≤B. A DB α'∠≥C. A CB α'∠≤D. A CB α'∠≤【答案】B.在Rt A BP '∆中，2222222(2cos )4cos A P A B BP t t θθ''=-=-=-，三．拔高题组1. 【2014年.浙江卷.理20】（本题满分15分）如图，在四棱锥BCDE A -中，平面⊥ABC 平面======∠=∠AC BE DE CD AB BED CDE BCDE ,1,2,90,02.（1）证明：⊥DE 平面ACD ; （2）求二面角E AD B --的大小4681012141618EA【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）二面角E AD B --的大小是6π． 【解析】试题分析：（Ⅰ）求证：⊥DE 平面ACD ，证明线面垂直，先证线线垂直，即证线和平面内两条相交直线垂直，由已知可得DE DC ⊥，只需证明AC DE ⊥，或AD DE ⊥，由已知平面⊥ABC 平面BCDE ，只在Rt AED 中，1DE =，AD =，得AE =R t A B D中，BD =2AB =，AD =，得3BF =23AF AD =，从而23GF =，在,ABE ABG中，利用余弦定理分别可得2cos ,143BAE BG ∠==，在BFG中，222cos 22GF BF BG BFG BF GF +-∠==⋅，所以6BFG π∠=，即二面角E AD B --的大小是6π．方法二：以D 为原点，分别以射线,DE DC 为,x y 轴的正半轴，建立空间直角坐标系D xyz -如图所示，由题意可知各点坐标如下：()()()(()0,0,0,1,0,0,0,2,0,,1,1,0D E C A B ，设平面ADE 的法向量为()111,,m x y z =，平面ABD 的法向量为()222,,n x y z =，可算得(0,2,AD =-，()(1,1,0,1,2,DB AE ==-，由00m AD m AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得，1111102020y x y ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，可取(0,1,m =，由00n AD n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得，22220200y x y ⎧--=⎪⎨+=⎪⎩，可取(1,1,2n =，于是3cos ,2m n m n m n ⋅〈〉==，由题意可知，所求二面角是锐角，故二面角E AD B --的大小是6π． 4681012141618试题点评：本题主要考查空间点，线，面位置关系，二面角等基础知识，空间向量的应用 ，同时考查空间想象能力，与推理论证，运算求解能力．2. 【2013年.浙江卷.理20】(本题满分15分)如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝.M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC ．(1)证明：PQ ∥平面BCD ；(2)若二面角C －BM －D 的大小为60°，求∠BDC 的大小． 【答案】在Rt△BDM中，23BG DMHGBMθ⋅==.在Rt△CHG中，tan∠CHG＝3cossin CGHGθθ==所以tan θ从而θ＝60°.即∠BDC＝60°.方法二：(1)证明：如图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意知A (0，2)，B (0，0)，D (0，0)． 设点C 的坐标为(x 0，y 0,0)．因为3AQ QC =，所以Q 00331,,4442x y ⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭. 因为M 为AD 的中点，故M (0，1)．又P 为BM 的中点，故P 10,0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以PQ＝0033,,0444x y ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭. 又平面BCD 的一个法向量为u ＝(0,0,1)，故PQ ·u ＝0. 又PQ ⊄平面BCD ，所以PQ ∥平面BCD ．(2)解：设m ＝(x ，y ，z )为平面BMC 的一个法向量． 由CM ＝(－x 00y ,1)，BM ＝(0,1)，知000,0.x x y y z z ⎧-+)+=⎪⎨+=⎪⎩ 取y ＝－1，得m＝001,y x ⎛- ⎝. 又平面BDM 的一个法向量为n ＝(1,0,0)，于是|cos 〈m ，n 〉|＝||1||||2⋅==m n m n，即200y x ⎛= ⎝⎭① 又BC ⊥CD ，所以CB ·CD ＝0，故(－x 0，0y ,0)·(－x 00y ,0)＝0， 即x 02＋y 02＝2.②联立①，②，解得000,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩(舍去)或00,22x y ⎧=±⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以tan ∠BDC=.又∠BDC 是锐角，所以∠BDC ＝60°.3. 【2012年.浙江卷.理20】如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为∠BAD ＝120°，且PA ⊥平面ABCD，PA =M ，N 分别为PB ，PD 的中点．(1)证明：MN ∥平面ABCD ；(2)过点A 作AQ ⊥PC ，垂足为点Q ，求二面角A －MN －Q 的平面角的余弦值． 【答案】（1）详见解析；（2.【解析】A(，0,0)，B (0，－3,0)，C，0,0)，D (0,3,0)，P(，0,)，M(2-，32-)，N(32)，Q，0)． 设m ＝(x，y ，z )为平面AMN的法向量．由33(22AM =-，33(22AN =，，知30230.2x y x y -+=+=，取z ＝－1，得m ＝(0，－1)．设n ＝(x ，y ，z )为平面QMN 的法向量．由3(2QM =-，3(2QN =，知30,230.623x y z x y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩取z ＝5，得n ＝(，0,5)．于是cos 〈m ，n〉＝||||⋅=⋅m n m n ． 所以二面角A ­MN ­Q 的平面角的余弦值为33． 方法二：在菱形ABCD 中，∠BAD=120°，得AC=AB=BC=CD=DA ，BD=AB ．又因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，PA ⊥AD ． 所以PB =PC =PD ． 所以△PBC ≌△PDC ．而M ，N 分别是PB ，PD 的中点， 所以MQ =NQ ，且AM =12PB =12PD =AN ． 取线段MN 的中点E ，连结AE ，EQ ，则AE ⊥MN ，QE ⊥MN ，所以∠AEQ 为二面角A －MN －Q 的平面角．由AB =PA = 故在△AMN 中，AM =AN =3，MN =12BD =3，得2AE =． 在直角△PAC 中，AQ ⊥PC，得AQ =QC =2，PQ =4，在△PBC 中，2225cos 26PB PC BC BPC PB PC +-∠==⋅，得MQ ==在等腰△MQN 中，MQ =NQMN =3，得2QE ==． 在△AEQ中，2AE =，2QE =，AQ =222cos 2AE QE AQ AEQ AE QE +-∠==⋅．所以二面角A －MN －Q 的平面角的余弦值为33． 4. 【2011年.浙江卷.理20】（本题满分15分）如图，在三棱锥P ABC -中，AB AC =，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC=8，PO=4，AO=3，OD=2（Ⅰ）证明：AP ⊥BC ；（Ⅱ）在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A-MC-β为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由。

2018年高考数学试题分类汇编之立体几何一、选择题1．（北京卷文）（6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（）。

（A）1 （B）2 （C）3 （D）42．（北京卷理）（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（A ）1 （B）2 （C）3 （D）43）是3．（浙江）（3）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm21 1 正视图2 侧视图俯视图A．2 B．4 C．6 D．84．（全国卷一文）（5）已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1 ，O2 ，过直线O1O2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8 的正方形，则该圆柱的表面积为A ．12 2πB．12πC．8 2πD．10π5．（全国卷一文）（9）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．2 17 B．2 5C．3 D．26．（全国卷一文）（10）在长方体ABCD A1B1C1D1 中，AB BC 2，A C1与平面BB1C1C 所成的角为30 ，则该长方体的体积为A ．8 B．6 2 C．8 2 D．8 37．（全国卷一理）（7）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为 A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为 B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A．2 17 B．2 5 C．3 D．28．（全国卷一理）（12）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A ．3 34B．2 33C．3 24D．329．（全国卷二文）（9）在正方体A BCD A B C D 中， E 为棱1 1 1 1 CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角1的正切值为A．22B．32C．52D．7210．（全国卷二理）（9）在长方体ABCD A1B1C1D1中，AB BC1，AA13，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为A．15B．56C．55D．2211．（全国卷三文）（3）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是12．（全国卷三文）（12）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC体积的最大值为A．123B．183C．243D．54313．（全国卷三理）（3）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是14．（全国卷三理）（10）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC体积的最大值为A ．12 3 B．18 3 C．24 3 D．54 3二、填空题1．（江苏）（10）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．2．（天津文）（11）如图，已知正方体ABCD –A1B1C1D1 的棱长为1，则四棱柱A1–BB1D1D 的体积为__________．3．（天津理）(11) 已知正方体ABCD A1B1C1D1 的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥M EFGH 的体积为.4．（全国卷二文）（16）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30 ，若△S A B 的面积为8 ，则该圆锥的体积为__________．5．（全国卷二理）（16）已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为78，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为 5 15 ，则该圆锥的侧面积为__________．三、解答题1.（北京文）（18）（本小题14 分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面PAD⊥平面ABCD ，PA⊥PD，PA=PD，E，F 分别为AD，PB 的中点.（Ⅰ）求证：PE⊥BC；（Ⅱ）求证：平面PAB⊥平面PCD ；（Ⅲ）求证：EF∥平面PCD .2.（北京理）（16）（本小题14 分）如图，在三棱柱ABC - A1B1C1中，CC1 平面ABC，D，E，F，G 分别为AA1 ，AC，A1C1 ，BB1 的中点，AB=BC = 5 ，AC= AA1 =2．（Ⅰ）求证：AC⊥平面BEF ；（Ⅱ）求二面角B-CD -C1 的余弦值；（Ⅲ）证明：直线FG 与平面BCD 相交．3.（江苏）（15）（本小题满分14分）在平行六面体A BCD A B C D中，AA1AB,AB1B1C1．1111求证：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面ABB1A1平面A1BC．4.（浙江）（19）（本题满分15分）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．5.（天津文）（17）（本小题满分13分）如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=23，∠BAD=90°．（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．6.（天津理）(17)(本小题满分13 分)如图，AD∥BC 且AD =2BC，AD CD , EG∥AD 且EG=AD，CD∥FG 且CD =2FG，DG 平面ABCD ，DA =DC =DG =2.（I）若M 为CF 的中点，N 为EG 的中点，求证：MN∥平面CDE ；（II）求二面角 E BC F 的正弦值；（III）若点P 在线段DG 上，且直线BP 与平面ADGE 所成的角为60°，求线段DP 的长.7.（全国卷一文）（18）（12 分）如图，在平行四边形ABCM 中，AB AC 3 ，∠ACM 90 ，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点D 的位置，且AB⊥DA ．（1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）Q为线段AD 上一点，P在线段BC 上，且2BP DQ DA ，求三棱锥Q ABP 的体积．38.（全国卷一理）（18）（12 分）如图，四边形ABCD 为正方形，E,F 分别为AD, BC 的中点，以DF 为折痕把△DFC 折起，使点C 到达点P 的位置，且PF BF .（1）证明：平面PEF 平面ABFD ；（2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值.9.（全国卷二文）（19）（12 分）如图，在三棱锥P ABC 中，AB BC 2 2 ，PA PB PC AC 4 ，O 为AC 的中点．（1）证明：PO 平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且MC 2MB ，求点C 到平面POM 的距离．10.（全国卷二理）（20）（12 分）如图，在三棱锥P ABC 中，AB BC 2 2 ，PA PB PC AC 4 ，O 为AC 的中点．（1）证明：PO 平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C 为30 ，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值．POA CMB11.（全国卷三文）（19）（12分）如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由．12.（全国卷三理）（19）（12分）如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．（1）证明：平面AMD⊥平面BMC；（2）当三棱锥M ABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．WORD文档。

一、选择题：6．(浙江省宁波市鄞州区2018年3月高考适应性考试文科)设m、n是不一样的直线，、是不一样的平面,以下四个命题中，正确的选项是（）A．若m//,n//,则m//nB．若m,n,则m//nC.．若,m ,则m D．若m,n,m//,n//,则//3．(浙江省部分要点中学2018年3月高三第二学期联考理科)一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的全面积为(▲)A．4πB ．2πC．3πD．3π2【答案】D4．(浙江省部分要点中学2018年3月高三第二学期联考理科)、为两个确立的订交平面，a、b为一对异面直线，以下条件中能使a、b所成的角为定值的有( ▲)10．(浙江省部分要点中学201 8年3月高三第二学期联考理科)在直三棱柱A1B1C1ABC中，BAC2，AB ACAA11，已知G和E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包含端点)，若GD EF，则线段DF的长度的取值范围为(▲)A．【答案】A 5,1B．5,1C．25,1D．25,1 55556．(浙江省台州中学2018届高三放学期第二次统练文科)已知直线l平面，直线m//平面，以下命题中正确的选项是()（A）l m（B）l//m（C）l m//（D）l//m(4)(浙江省2018年2月三校联考高三文科)若直线l不平行于平面a，且l a，则(B)A.a内的全部直线与l异面B.a内不存在与l平行的直线C.a内存在独一的直线与l平行D.a内的直线与l都订交(5)(浙江省台州中学2018届高三放学期第一次统练理科)已知直线l∥平面α，P∈α，那么过点P且平行于直线l的直线(A)只有一条，不在平面α内(B)有无数条，不必定在平面α内(C)只有一条，且在平面α内(D)有无数条，必定在平面α内【答案】C555588 (单位：cm)，如右图所示，则该几何体的侧面积为正(主)视图侧(左)视图cm．【答案】80【分析】此题主要考察三视图表面积的问题。

立体几何一、立体几何小题1.浙江3．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是A ．2B ．4C ．6D ．82.（北京5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）43. 某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图. 圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A.B.C. 3D. 24.浙江6．已知平面α，直线m ，n 满足m α，n α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30︒，则该长方体的体积为（ ） A ．8B．C． D．俯视图正视图⊄⊂6．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为（ ） A．B ．12πC．D ．10π7．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1AA 1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A ．15BCD8.江苏10. 如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ▲ .9.(天津11) 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M EFGH -的体积为 . 10.上海15.《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马。

设1AA 是正六棱柱的一条侧棱，如图。

若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以1AA 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）（A ）4 （B ）8 （C ）12 （D ）1611．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30︒，若S A B △的面积为8，则该圆锥的体积为__________．12．已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若SAB △的面积为__________．(第10题)A 1A13. 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A.B.D.14．设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC ∆为等边三角形且其面积为D ABC -体积的最大值为（ ） A．B．C．D．15.浙江8．已知四棱锥S −ABCD 的底面是正方形，侧棱长均相等，E 是线段AB 上的点（不含端点），设SE 与BC 所成的角为θ1，SE 与平面ABCD 所成的角为θ2，二面角S −AB −C 的平面角为θ3，则 A ．θ1≤θ2≤θ3B ．θ3≤θ2≤θ1C ．θ1≤θ3≤θ2D ．θ2≤θ3≤θ1二、立体几何大题江苏15.（本小题满分14分）在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AA AB =，111AB B C ⊥. 求证：(1) AB //平面11A B C ； (2) 平面11ABB A ⊥平面1A BC .上海17.（本题满分14分）已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2. （1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设4PO =，OA 、OB 是底面半径，且90AOB ∠=︒，M 为线段AB 的中点，如图，求异面直线PM 与OB 所成的角的大小。

*第八章立体几何考点1 空间几何体的结构及其三视图与直观图1．（2018全国Ⅰ，7）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（）A．2√17B．2√5C．3D．21.B 根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处，所以所求的最短路径的长度为2+22=2√5，故选B.2．（2018全国Ⅲ，3）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()A．B．C．D．2.A 观擦图形图可知，俯视图为，故答案为A.3．（2018浙江，3）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是()A．2B．4C．6D．83.C 根据三视图可得几何体为一个直四棱柱，高为2，底面为直角梯形，上下底分别为1，2，×(1+2)×2×2=6,选C.梯形的高为2，因此几何体的体积为124．（2018北京，5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()A．1B．2C．3D．44.C 由三视图可得四棱锥P−ABCD，在四棱锥P−ABCD中，PD=2,AD=2,CD= 2,AB=1，由勾股定理可知：PA=2√2,PC=2√2,PB=3,BC=√5，则在四棱锥中，直角三角形有：ΔPAD,ΔPCD,ΔPAB共三个，故选C.5.（2017•浙江,3）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm2）是（）A.+1B.+3C.+1D.+35. A 由几何的三视图可知，该几何体是圆锥的一半和一个三棱锥组成，圆锥的底面圆的半径为1，三棱锥的底面是底边长2的等腰直角三角形，圆锥的高和棱锥的高相等均为3，故该几何体的体积为× ×π×12×3+ × × × ×3= +1，故选A.6.(2016·全国Ⅲ，9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()A.18＋365B.54＋185C.90D.816.B[由题意知，几何体为平行六面体，边长分别为3，3，45，几何体的表面积S ＝3×6×2＋3×3×2＋3×45×2＝54＋18 5.]7.(2016·全国Ⅱ，6)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )A.20πB.24πC.28πD.32π7.C [由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4π，圆锥的母线长l ＝（23）2＋22＝4，所以圆锥的侧面积为S 锥侧＝12×4π×4＝8π，圆柱的侧面积S 柱侧＝4π×4＝16π，所以组合体的表面积S ＝8π＋16π＋4π＝28π，故选C.]8.(2016·北京，6)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )A.16B.13C.12D.1 8.A[由三视图知，三棱锥如图所示：由侧视图得高h ＝1，又底面积S ＝12×1×1＝12.所以体积V＝13Sh ＝16.]9.(2016·山东，5)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋23πB.13＋23πC.13＋26πD.1＋26π 9.C[由三视图知,半球的半径R ＝22,四棱锥为底面边长为1,高为1的正四棱锥, ∴V ＝13×1×1×1＋12×43π×⎝⎛⎭⎫223＝13＋26π，故选C.]10.(2015·广东，8)若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值( ) A.大于5 B.等于5 C.至多等于4 D.至多等于310.C [当n ＝3时显然成立，故排除A ，B ；由正四面体的四个顶点，两两距离相等，得n ＝4时成立，故选C.]11.(2015·北京，5)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是( )A.2＋ 5B.4＋ 5C.2＋2 5D.511.C [该三棱锥的直观图如图所示：过D 作DE ⊥BC ，交BC 于E ，连接AE ，则BC ＝2，EC ＝1，AD ＝1，ED ＝2，S 表＝S △BCD ＋S △ACD ＋S △ABD ＋S △ABC＝12×2×2＋12×5×1＋12×5×1＋12×2×5＝2＋2 5.]12.(2015·浙江，2)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积是( )A.8 cm 3B.12 cm 3C.323cm 3D.403cm 312.C [该几何体是棱长为2 cm 的正方体与一底面边长为2 cm 的正方形，高为2 cm 的正四棱锥组成的组合体，V ＝2×2×2＋13×2×2×2＝323(cm 3).故选C.]13.(2015·新课标全国Ⅰ，11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16＋20π，则r ＝( )A.1B.2C.4D.813.B [由题意知，2r ·2r ＋12·2πr ·2r ＋12πr 2＋12πr 2＋12·4πr 2＝4r 2＋5πr 2＝16＋20π，解得r ＝2.]14.(2014·福建，2)某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( ) A.圆柱 B.圆锥 C.四面体 D.三棱柱14.A [圆柱的正视图是矩形，则该几何体不可能是圆柱.]15.(2014·江西，5)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是( )15.B[由直观图可知，该几何体由一个长方体和一个截角三棱柱组成.从上往下看，外层轮廓线是一个矩形，矩形内部有一条线段连接的两个三角形.]16.(2014·湖北，5)在如图所示的空间直角坐标系Oy中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2).给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()A.①和②B.③和①C.④和③D.④和②16.D[在空间直角坐标系O－y中作出棱长为2的正方体，在该正方体中作出四面体，如图所示，由图可知，该四面体的正视图为④，俯视图为②.选D.]17.(2014·新课标全国Ⅰ，12)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为()A.6 2B.4 2C.6D.417.C[如图，设辅助正方体的棱长为4，三视图对应的多面体为三棱锥ABCD，最长的棱为AD＝（42）2＋22＝6，选C.]18.(2015·天津，10)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m 3.18.83π [由三视图可知，该几何体由相同底面的两圆锥和圆柱组成，底面半径为1，圆锥的高为1，圆柱的高为2，所以该几何体的体积V ＝2×13π×12×1＋π×12×2＝83π m 3.]19.（2017•江苏,18）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为10cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，E 1G 1的长分别为14cm 和62cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（Ⅰ）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱CC 1上，求l 没入水中部分的长度；（Ⅱ）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱GG 1上，求l 没入水中部分的长度．19. （Ⅰ）设玻璃棒在CC 1上的点为M ，玻璃棒与水面的交点为N ， 在平面ACM 中，过N 作NP ∥MC ，交AC 于点P ， ∵ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1为正四棱柱，∴CC 1⊥平面ABCD ， 又∵AC ⊂平面ABCD ，∴CC 1⊥AC ，∴NP ⊥AC ， ∴NP=12cm ，且AM 2=AC 2+MC 2， 解得MC=30cm ， ∵NP ∥MC ，∴△ANP ∽△AMC ，∴= ，，得AN=16cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm．（Ⅱ）设玻璃棒在GG1上的点为M，玻璃棒与水面的交点为N，在平面E1EGG1中，过点N作NP⊥EG，交EG于点P，过点E作EQ⊥E1G1，交E1G1于点Q，∵EFGH﹣E1F1G1H1为正四棱台，∴EE1=GG1， EG∥E1G1，EG≠E1G1，∴EE1G1G为等腰梯形，画出平面E1EGG1的平面图，∵E1G1=62cm，EG=14cm，EQ=32cm，NP=12cm，∴E1Q=24cm，由勾股定理得：E1E=40cm，∴sin∠EE1G1= ，sin∠EGM=sin∠EE1G1= ，cos ，根据正弦定理得：= ，∴sin ，cos ，∴sin∠GEM=sin（∠EGM+∠EMG）=sin∠EGMcos∠EMG+cos∠EGMsin ∠EMG= ，∴EN= = =20cm．∴玻璃棒l没入水中部分的长度为20cm．考点2 空间几何体的表面积和体积1．（2018全国Ⅲ，10）设A ， B ， C ， D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9√3，则三棱锥D−ABC体积的最大值为()A．12√3B．18√3C．24√3D．54√31.B 如图所示，点M为三角形ABC的重心，E为AC中点，当DM⊥平面ABC时，三棱锥D−ABC体积最AB2=9√3,∴AB=6,∵点M为三角形ABC的重大,此时，OD=OB=R=4.∵S△ABC=√34BE=2√3.∴Rt△ABC中，有OM=√OB2−BM2=2,∴DM=OD+OM=4+心,∴BM=232=6,,故选B.2.（2017•新课标Ⅰ,7）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（）A.10B.12C.14D.162. B 由三视图可画出直观图，该立体图中只有两个相同的梯形的面，S梯形= ×2×（2+4）=6，∴这些梯形的面积之和为6×2=12，故选B.3.（2017•新课标Ⅱ,4）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（）A.90πB.63πC.42πD.36π3. B 由三视图可得，直观图为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半，V=π•32×10﹣•π•32×6=63π，故选B．4.（2017•新课标Ⅲ,8）已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（）A.πB.C.D.4.B ∵圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，∴该圆柱底面圆周半径r= = ，∴该圆柱的体积：V=Sh= = ．故选B．5.（2017•北京,7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（）A.3B.2C.2D.25.B 由三视图可得直观图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，最长的棱为PA ， 即PA= ==2，故选B ．6.(2016·全国Ⅲ，10)在封闭的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB ＝6，BC ＝8，AA 1＝3，则V 的最大值是( ) A.4π B.9π2 C.6π D.32π36.B[由题意知，底面三角形的内切圆直径为4.三棱柱的高为3，所以球的最大直径为3，V 的最大值为9π2.]7.(2016·全国Ⅰ，6)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是( )A.17πB.18πC.20πD.28π7.A[由题知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球(被过球心O 且互相垂直的三个平面)切掉左上角的18后得到的组合体，其表面积是球面面积的78和三个14圆面积之和，易得球的半径为2，则得S ＝78×4π×22＋3×14π×22＝17π，故选A.]8.(2015·陕西，5)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.3πB.4πC.2π＋4D.3π＋48.D [由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，则表面积为： S ＝2×12π×12＋12×2π×1×2＋2×2＝π＋2π＋4＝3π＋4.]9.(2015·安徽，7)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是( )A.1＋ 3B.2＋ 3C.1＋2 2D.2 2 9.B [由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图，如图，∴该四面体的表面积为S 表＝2×12×2×1＋2×34×(2)2＝2＋3，故选B.]10.(2015·新课标全国Ⅱ，9)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点，若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( ) A.36π B.64π C.144π D.256π 10.C [如图，要使三棱锥O-ABC 即C-OAB 的体积最大，当且仅当点C 到平面OAB 的距离，即三棱锥C-OAB 底面OAB 上的高最大，其最大值为球O 的半径R ，则V O-ABC 最大＝V C-OAB 最大＝13×12S △OAB ×R ＝13×12×R 2×R ＝16R 3＝36，所以R ＝6，得S 球O ＝4πR 2＝4π×62＝144π，选C.]11.(2015·山东，7)在梯形ABCD 中，∠ABC ＝π2，AD ∥BC ，BC ＝2AD ＝2AB ＝2.将梯形ABCD绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( ) A.2π3 B.4π3 C.5π3D.2π 11.C [如图,由题意,得BC ＝2，AD ＝AB ＝1.绕AD 所在直线旋转一周后所得几何体为一个圆柱挖去一个圆锥的组合体.所求体积V ＝π×12×2－13π×12×1＝53π.]12.(2015·重庆，5)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.13＋πB.23＋πC.13＋2πD.23＋2π 12.A [这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V ＝12π×12×2＋13×⎝⎛⎭⎫12×1×2×1＝π＋13，选A.] 13.(2015·新课标全国Ⅱ，6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )A.18B.17C.16D.15 13.D [如图，由题意知，该几何体是正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1被过三点A 、B 1、D 1的平面所截剩余部分，截去的部分为三棱锥A-A 1B 1D 1，设正方体的棱长为1，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为1111111111111111A AB D A A B D BCD ABCDA B C D ABCD A A B D V V V V V -----=-＝13×12×12×113－13×12×12×1＝15，选D.]14.(2015·湖南，10)某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为(材料利用率＝新工件的体积原工件的体积)()A.89πB.169π C.4(2－1)3π D.12(2－1)3π14.A [易知原工件为一圆锥，V 1＝13πr 2h ＝23π，设内接长方体长、宽、高为a 、b 、c ，欲令体积最大，则a ＝b .由截面图的相似关系知，c ＋a 2＋b 2＝2，即c ＋2a ＝2， ∴V 长方体＝abc ＝a 2c ＝a 2(2－2a )，设g (a )＝2a 2－2a 3，则g ′(a )＝4a －32a ＝0，令g ′(a )＝0，解得a ＝432，所以令a ＝432时，V 长方体最大为1627，∴V 长方体V 1＝16272π3＝89π.故选A.]15.(2014·重庆，7)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A.54B.60C.66D.7215.B [该几何体的直观图如图所示，易知该几何体的表面是由两个直角三角形，两个直角梯形和一个矩形组成的，则其表面积S ＝12×3×4＋12×3×5＋2＋52×5＋2＋52×4＋3×5＝60.选B.]16.(2014·浙江，3)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是( )A.90 cm 2B.129 cm 2C.132 cm 2D.138 cm 216.D [由三视图可知该几何体由一个直三棱柱与一个长方体组合而成(如图)，其表面积为S ＝3×5＋2×12×4×3＋4×3＋3×3＋2×4×3＋2×4×6＋3×6＝138(cm 2).]17.(2014·大纲全国，8)正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为( ) A.81π4 B.16π C.9π D.27π417.A [设球的半径为R ，由题意可得(4－R )2＋(2)2＝R 2，解得R ＝94，所以该球的表面积为4πR 2＝81π4.故选A.]18.(2014·安徽，7)一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为( )A.21＋ 3B.18＋ 3C.21D.18 18.A [根据题意作出直观图如图，该多面体是由正方体切去两个角而得到的，根据三视图可知其表面积为6(22－12×1×1)＋2×34×(2)2＝6×72＋3＝21＋ 3.故选A.]19.(2014·陕西，5)已知底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为( ) A.32π3 B.4π C.2π D.4π319.D [如图为正四棱柱AC 1.根据题意得AC ＝2，∴对角面ACC 1A 1为正方形，∴外接球直径2R ＝A 1C ＝2，∴R ＝1，∴V 球＝4π3，故选D.]20.(2014·湖北，8)《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式V ≈136L 2h .它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么，近似公式V ≈275L 2h 相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( ) A.227 B.258 C.15750 D.35511320.B [圆锥的体积V ＝13πr 2h ＝13π⎝⎛⎭⎫L 2π2h ＝L 2h 12π,由题意得12π≈752，π近似取为258，故选B.]21.(2014·新课标全国Ⅱ，6)如图，网格纸上正方形小格的边长为1(表示1 cm)，图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 cm ，高为6 cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原毛坯体积的比值为( )A.1727B.59C.1027D.1321.C [由三视图知该零件是两个圆柱的组合体.一个圆柱的底面半径为2 cm ，高为4 cm ；另一个圆柱的底面半径为3 cm ，高为2 cm.则零件的体积V 1＝π×22×4＋π×32×2＝34π(cm 3).而毛坯的体积V ＝π×32×6＝54π(cm 3)，因此切削掉部分的体积V 2＝V －V 1＝54π－34π＝20π(cm 3)，所以V 2V ＝20π54π＝1027.故选C.]22．（2018全国Ⅱ，16）已知圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，SA 与圆锥底面所成角为45°，若△SAB 的面积为5√15，则该圆锥的侧面积为__________． 22.40√2π 因为母线SA ，SB 所成角的余弦值为78，所以母线SA ，SB 所成角的正弦值为√158，因为△SAB 的面积为5√15，设母线长为l,所以12×l 2×√158=5√15∴l 2=80，因为SA 与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为lcos π4=√22l,因此圆锥的侧面积为πrl =√22πl 2=40√2π.23．（2018天津，11）已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，除面ABCD 外，该正方体其余各面的中心分别为点E ，F ，G ，H ，M (如图)，则四棱锥M −EFGH 的体积为__________.23.112由题意可得，底面四边形EFGH 为边长为√22的正方形，其面积S EFGH=(√22)2=12，顶点M 到底面四边形EFGH 的距离为d =12，由四棱锥的体积公式可得：V M−EFGH =13×12×12=112.24．（2018江苏，10）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为________．24.43由图可知，该多面体为两个全等正四棱锥的组合体，正四棱锥的高为1，底面正方形的边长等于√2，，所以该多面体的体积为2×13×1×(√2)2=43.25.（2017•新课标Ⅰ,16）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为________．25. 4 cm3由题意，连接OD，交BC于点G，由题意得OD⊥BC，OG= BC，即OG的长度与BC的长度成正比，设OG=，则BC=2 ，DG=5﹣，26.（2017•山东,13）由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为________．26. 2+ 由长方体长为2，宽为1，高为1，则长方体的体积V1=2×1×1=2，圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的体积V2= ×π×12×1= ，则该几何体的体积V=V1+2V1=2+ ，故答案为：2+ ．27.（2017·天津,10）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为________．27.设正方体的棱长为a，∵这个正方体的表面积为18，∴6a2=18，则a2=3，即a= ，∵一个正方体的所有顶点在一个球面上，∴正方体的体对角线等于球的直径，即a=2R，即R= ，则球的体积V= π•（）3= ；故答案为：．28.（2017•江苏,6）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．28. 设球的半径为R，则球的体积为：R3，圆柱的体积为：πR2•2R=2πR3．则= = ．故答案为：．29.(2016·四川，13)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________.29.33[由题可知，∵三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形，由正视图可得如右俯视图，且三棱锥高为h ＝1，则面积V ＝13Sh ＝13×⎝⎛⎭⎫12×23×1×1＝33.]30.(2016·浙江，14)如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°.若平面ABC 外的点P 和线段AC 上的点D ，满足PD ＝DA ，PB ＝BA ，则四面体PBCD 的体积的最大值是________.30.12[设PD ＝DA ＝，在△ABC 中，AB ＝BC ＝2，∠ABC ＝120°， ∴AC ＝AB 2＋BC 2－2·AB ·BC ·cos ∠ABC ＝4＋4－2×2×2×cos 120°＝23， ∴CD ＝23－，且∠ACB ＝12(180°－120°)＝30°，∴S △BCD ＝12BC ·DC ×sin ∠ACB ＝12×2×(23－)×12＝12(23－).要使四面体体积最大，当且仅当点P 到平面BCD 的距离最大，而P 到平面BCD 的最大距离为.则V 四面体PBCD ＝13×12(23－)＝16[－(－3)2＋3]，由于0＜＜23，故当＝3时，V 四面体PBCD 的最大值为16×3＝12.]31.(2015·江苏，9)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为________.31.7 [设新的底面半径为r ，由题意得13πr 2·4＋πr 2·8＝13π×52×4＋π×22×8，解得r ＝7.]32.(2014·江苏，8)设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S 1，S 2，体积分别为V 1，V 2，若它们的侧面积相等，且S 1S 2＝94，则V 1V 2的值是________.32.32 [设圆柱甲的底面半径为r 1，高为h 1，圆柱乙的底面半径为r 2，高为h 2. 由题意得S 1S 2＝πr 21πr 22＝94，∴r 1r 2＝32.又∵S 甲侧＝S 乙侧，即2πr 1h 1＝2πr 2h 2，∴h 1h 2＝r 2r 1＝23，故V 1V 2＝S 1h 1S 2h 2＝S 1S 2·h 1h 2＝94×23＝32.]考点3 点、线、面的位置关系1．（2018全国Ⅰ，12）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( ) A ．3√34B ．2√33C ．3√24D ．√321.A 根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的，所以在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，平面AB 1D 1与线AA 1,A 1B 1,A 1D 1所成的角是相等的，所以平面AB 1D 1与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的，同理平面C 1BD 也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等，要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面AB 1D 1与C 1BD 中间的， 且过棱的中点的正六边形，且边长为√22，所以其面积为S =6×√34⋅(√22)2=3√34，故选A.2.（2017•新课标Ⅱ,10）已知直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC 1=1，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为（ ）A. B. C. D.2. C 如图所示，设M 、N 、P 分别为AB ，BB 1和B 1C 1的中点，则AB 1、BC 1夹角为MN 和NP夹角或其补角（因异面直线所成角为（0， ]），可知MN= AB 1= ，NP= BC 1= ；作BC 中点Q ，则△PQM 为直角三角形；∵PQ=1，MQ= AC ，△ABC 中，由余弦定理得AC 2=AB 2+BC 2﹣2AB •BC •cos ∠ABC=4+1﹣2×2×1×（﹣）=7，∴AC= ，∴MQ= ；在△MQP 中，MP= = ；在△PMN 中，由余弦定理得cos ∠MNP= = =﹣ ；又异面直线所成角的范围是（0， ]，∴AB 1与BC 1所成角的余弦值为 ．3. (2016·全国Ⅰ，11)平面α过正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点A ，α∥平面CB 1D 1，α∩平面ABCD ＝m ，α∩平面ABB 1A 1＝n ，则m ，n 所成角的正弦值为( ) A.32 B.22 C.33 D.133. A[如图所示，设平面CB 1D 1∩平面ABCD ＝m 1，∵α∥平面CB 1D 1，则m 1∥m ， 又∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1，平面CB 1D 1∩平面A 1B 1C 1D 1＝B 1D 1， ∴B 1D 1∥m 1，∴B 1D 1∥m ，同理可得CD 1∥n .故m 、n 所成角的大小与B 1D 1、CD 1所成角的大小相等，即∠CD 1B 1的大小. 而B 1C ＝B 1D 1＝CD 1(均为面对角线)，因此∠CD 1B 1＝π3，得sin ∠CD 1B 1＝32，故选A.]4.(2015·安徽，5)已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是( ) A.若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B.若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行 C.若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 D.若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面4.D [对于A ，α，β垂直于同一平面，α，β关系不确定，A 错；对于B ，m ，n 平行于同一平面，m ，n 关系不确定，可平行、相交、异面，故B 错；对于C ，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直线，如α中平行于α，β交线的直线平行于β，故C 错；对于D ，若假设m ，n 垂直于同一平面，则m ∥n ，其逆否命题即为D 选项，故D 正确.]5.(2014·辽宁，4)已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面.下列说法正确的是( ) A.若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B.若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n C.若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥αD.若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α5.B [对于选项A ，若m ∥α，n ∥α，则m 与n 可能相交、平行或异面，A 错误；显然选项B 正确；对于选项C ，若m ⊥α，m ⊥n ，则n ⊂α或n ∥α，C 错误；对于选项D ，若m ∥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α或n 与α相交.D 错误.故选B.]6.(2015·浙江，13)如图，三棱锥ABCD 中，AB ＝AC ＝BD ＝CD ＝3，AD ＝BC ＝2，点M ，N 分别是AD ，BC 的中点，则异面直线AN ，CM 所成的角的余弦值是________.6.78 [连接DN ,作DN 的中点O ,连接MO ,OC .在△AND 中.M 为AD 的中点,则OM 綉12AN .所以异面直线AN ，CM 所成角为∠CMO ，在△ABC 中，AB ＝AC ＝3，BC ＝2，则AN ＝22，∴OM ＝ 2.在△ACD 中，同理可知CM ＝22，在△BCD 中，DN ＝22，在Rt △ONC 中，ON ＝2，CN ＝1∴OC ＝ 3.在△CMO 中，由余弦定理cos ∠CMO ＝|MC |2＋|MO |2－|OC |22|MC |·|MO |＝8＋2－32×22×2＝78.]考点4 线面平行的判定与性质1.（2017•新课标Ⅱ,19）如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，侧面PAD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，AB=BC=AD ，∠BAD=∠ABC=90°，E 是PD 的中点．（Ⅰ）证明：直线CE ∥平面PAB ；（Ⅱ）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为45°，求二面角M ﹣AB ﹣D 的余弦值．1.（Ⅰ）证明：取PA 的中点F ，连接EF ，BF ，因为E 是PD 的中点，所以EF AD ，AB=BC=AD ，∠BAD=∠ABC=90°，∴BC ∥AD ，∴BCEF 是平行四边形，可得CE ∥BF ，BF ⊂平面PAB ，CF ⊄平面PAB ，∴直线CE ∥平面PAB ；（Ⅱ）解：四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB=BC= AD，∠BAD=∠ABC=90°，E是PD的中点．取AD的中点O，M在底面ABCD上的射影N在OC上，设AD=2，则AB=BC=1，OP= ，∴∠PCO=60°，直线BM与底面ABCD所成角为45°，可得：BN=MN，CN= MN，BC=1，可得：1+ BN2=BN2， BN= ，MN= ，作NQ⊥AB于Q，连接MQ，所以∠MQN就是二面角M﹣AB﹣D的平面角，MQ= = ，二面角M﹣AB ﹣D的余弦值为：= ．2.（2017•江苏,15）如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB⊥AD，BC⊥BD，平面ABD⊥平面BCD，点E、F（E与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF⊥AD．求证：（Ⅰ）EF∥平面ABC；（Ⅱ）AD⊥AC．2.证明：（Ⅰ）因为AB⊥AD，EF⊥AD，且A、B、E、F四点共面，所以AB∥EF，又因为EF⊊平面ABC，AB⊆平面ABC，所以由线面平行判定定理可知：EF∥平面ABC；（Ⅱ）在线段CD上取点G，连结FG、EG使得FG∥BC，则EG∥AC，因为BC⊥BD，所以FG⊥BC，又因为平面ABD⊥平面BCD，所以FG⊥平面ABD，所以FG⊥AD，又因为AD⊥EF，且EF∩FG=F，所以AD ⊥平面EFG ，所以AD ⊥EG ， 故AD ⊥AC ．3.(2016·山东,17)在如图所示的圆台中,AC 是下底面圆O 的直径,EF 是上底面圆O ′的直径,FB 是圆台的一条母线.(1)已知G ,H 分别为EC ,FB 的中点,求证：GH ∥平面ABC ；(2)已知EF ＝FB ＝12AC ＝23,AB ＝BC ,求二面角F －BC －A 的余弦值.3.(1)证明设FC 中点为I ,连接GI ,HI ,在△CEF 中,因为点G 是CE 的中点,所以GI ∥EF .又EF ∥OB ,所以GI ∥OB .在△CFB 中,因为H 是FB 的中点,所以HI ∥BC , 又HI ∩GI ＝I ,所以平面GHI ∥平面ABC . 因为GH ⊂平面GHI ,所以GH ∥平面ABC .(2)连接OO ′,则OO ′⊥平面ABC .又AB ＝BC ,且AC 是圆O 的直径,所以BO ⊥AC . 以O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系O －y .由题意得B (0,23,0),C (－23,0,0).过点F 作FM 垂直OB 于点M ,所以FM ＝FB 2－BM 2＝3,可得F (0,3,3).故BC →＝(－23,－23,0),BF →＝(0,－3,3).设m ＝(,y ,)是平面BCF 的一个法向量.由⎩⎪⎨⎪⎧m ·BC →＝0，m ·BF →＝0.可得⎩⎨⎧－23x －23y ＝0，－3y ＋3z ＝0.可得平面BCF 的一个法向量m ＝⎝⎛⎭⎫－1，1，33, 因为平面ABC 的一个法向量n ＝(0,0,1),所以cos 〈m ,n 〉＝m ·n |m ||n |＝77.所以二面角F －BC －A 的余弦值为77.4.(2016·全国Ⅲ,19)如图,四棱锥P －ABCD 中,P A ⊥底面ABCD ,AD ∥BC ,AB ＝AD ＝AC ＝3,P A ＝BC ＝4,M 为线段AD 上一点,AM ＝2MD ,N 为PC 的中点.(1)证明MN ∥平面P AB ；(2)求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦值. 4.(1)证明 由已知得AM ＝23AD ＝2.取BP 的中点T ,连接AT ,TN ,由N 为PC 中点知TN ∥BC ,TN ＝12BC ＝2.又AD ∥BC ,故TN 綉AM ,四边形AMNT 为平行四边形,于是MN ∥AT . 因为AT ⊂平面P AB ,MN ⊄平面P AB ,所以MN ∥平面P AB .(2)解 取BC 的中点E ,连接AE .由AB ＝AC 得AE ⊥BC , 从而AE ⊥AD ,AE ＝AB 2－BE 2＝AB 2－⎝⎛⎭⎫BC 22＝ 5. 以A 为坐标原点,AE →的方向为轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系A －y . 由题意知,P (0,0,4),M (0,2,0),C (5,2,0),N ⎝⎛⎭⎫52，1，2,PM →＝(0,2,－4),PN →＝⎝⎛⎭⎫52，1，－2,AN →＝⎝⎛⎭⎫52，1，2. 设n ＝(,y ,)为平面PMN 的法向量,则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PM →＝0，n ·PN →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －4z ＝0，52x ＋y －2z ＝0，可取n ＝(0,2,1).于是cos 〈n ,AN →〉＝n ·AN →|n ||AN →|＝8525.设AN 与平面PMN 所成的角为θ,则sin θ＝8525,∴直线AN 与平面PMN 所成的角的正弦值为8525.5.(2015·江苏,16)如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,已知AC ⊥BC ,BC ＝CC 1.设AB 1的中点为D ,B 1C ∩BC 1＝E .求证：(1)DE ∥平面AA 1C 1C ； (2)BC 1⊥AB 1.5.证明 (1)由题意知,E 为B 1C 的中点,又D 为AB 1的中点,因此DE ∥AC . 又因为DE ⊄平面AA 1C 1C ,AC ⊂平面AA 1C 1C ,所以DE ∥平面AA 1C 1C . (2)因为棱柱ABCA 1B 1C 1是直三棱柱,所以CC 1⊥平面ABC . 因为AC ⊂平面ABC ,所以AC ⊥CC 1.又因为AC ⊥BC ,CC 1⊂平面BCC 1B 1,BC ⊂平面BCC 1B 1,BC ∩CC 1＝C ,所以AC ⊥平面BCC 1B 1. 又因为BC 1⊂平面BCC 1B 1,所以BC 1⊥AC .因为BC ＝CC 1,所以矩形BCC 1B 1是正方形,因此BC 1⊥B 1C . 因为AC ,B 1C ⊂平面B 1AC ,AC ∩B 1C ＝C ,,所以BC 1⊥平面B 1AC . 又因为AB 1⊂平面B 1AC ,所以BC 1⊥AB 1.6.(2014·江苏,16)如图,在三棱锥P ABC 中,D ,E ,F 分别为棱PC ,AC ,AB 的中点.已知P A ⊥AC ,P A ＝6,BC ＝8,DF ＝5.求证：(1)直线P A ∥平面DEF ； (2)平面BDE ⊥平面ABC .6.证明 (1)因为D ,E 分别为棱PC ,AC 的中点,所以DE ∥P A .又因为P A ⊄平面DEF ,DE ⊂平面DEF ,所以直线P A ∥平面DEF .(2)因为D ,E ,F 分别为棱PC ,AC ,AB 的中点,P A ＝6,BC ＝8,所以DE ∥P A ,DE ＝12P A ＝3,EF ＝12BC ＝4.又因为DF ＝5,故DF 2＝DE 2＋EF 2,所以∠DEF ＝90°,即DE ⊥EF .又P A ⊥AC ,DE ∥P A ,所以DE ⊥AC .因为AC ∩EF ＝E ,AC ⊂平面ABC ,EF ⊂平面ABC ,所以DE ⊥平面ABC . 又DE ⊂平面BDE ,所以平面BDE ⊥平面ABC .7.(2014·新课标全国Ⅱ,18)如图,四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD 为矩形,P A ⊥平面ABCD ,E 为PD 的中点.(1)证明：PB ∥平面AEC ；(2)设二面角DAEC 为60°,AP ＝1,AD ＝3, 求三棱锥EACD 的体积.7.(1)证明 连接BD 交AC 于点O ,连接EO .因为ABCD 为矩形,所以O 为BD 的中点. 又E 为PD 的中点,所以EO ∥PB .又因为EO ⊂平面AEC ,PB ⊄平面AEC ,所以PB ∥平面AEC .(2) 因为P A ⊥平面ABCD ,ABCD 为矩形,所以AB ,AD ,AP 两两垂直.如图,以A 为坐标原点,AB →的方向为轴的正方向,|AP →|为单位长,建立空间直角坐标系Ay ,则D (0,3,0),E ⎝⎛⎭⎫0，32，12,AE →＝⎝⎛⎭⎫0，32，12. 设B (m ,0,0)(m >0),则C (m ,3,0),AC →＝(m ,3,0).设n 1＝(,y ,)为平面ACE 的法向量,则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AC →＝0，n 1·AE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧mx ＋3y ＝0，32y ＋12z ＝0，可取n 1＝⎝⎛⎭⎫3m ，－1，3.又n 2＝(1,0,0)为平面DAE 的法向量,由题设知|cos 〈n 1,n 2〉|＝12,即33＋4m 2＝12,解得m ＝32.因为E 为PD 的中点,所以三棱锥EACD 的高为12,三棱锥EACD 的体积V ＝13×12×3×32×12＝38.8.(2014·湖北,19)如图,在棱长为2的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中,E ,F ,M ,N 分别是棱AB ,AD ,A 1B 1,A 1D 1的中点,点P ,Q 分别在棱DD 1,BB 1上移动,且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2). (1)当λ＝1时,证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；(2)是否存在λ,使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在,求出λ的值；若不存在,说明理由. 8.法一(几何法)(1)证明 如图1,连接AD 1,由ABCDA 1B 1C 1D 1是正方体,知BC 1∥AD 1.当λ＝1时,P 是DD 1的中点,又F 是AD 的中点,所以FP ∥AD 1.所以BC 1∥FP . 而FP ⊂平面EFPQ ,且BC 1⊄平面EFPQ ,故直线BC 1∥平面EFPQ .(2) 如图2,连接BD .因为E ,F 分别是AB ,AD 的中点,所以EF ∥BD ,且EF ＝12BD .又DP ＝BQ ,DP ∥BQ ,所以四边形PQBD 是平行四边形,故PQ ∥BD ,且PQ ＝BD , 从而EF ∥PQ ,且EF ＝12PQ .在Rt △EBQ 和Rt △FDP 中,因为BQ ＝DP ＝λ,BE ＝DF ＝1, 于是EQ ＝FP ＝1＋λ2,所以四边形EFPQ 是等腰梯形. 同理可证四边形PQMN 是等腰梯形.分别取EF ,PQ ,MN 的中点为H ,O ,G ,连接OH ,OG , 则GO ⊥PQ ,HO ⊥PQ ,而GO ∩HO ＝O ,故∠GOH 是面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角的平面角.若存在λ,使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角,则∠GOH ＝90°. 连接EM ,FN ,则由EF ∥MN ,且EF ＝MN ,知四边形EFNM 是平行四边形. 连接GH ,因为H ,G 是EF ,MN 的中点,所以GH ＝ME ＝2. 在△GOH中,GH 2＝4,OH 2＝1＋λ2－⎝⎛⎭⎫222＝λ2＋12,OG 2＝1＋(2－λ)2－⎝⎛⎭⎫222＝(2－λ)2＋12,由OG 2＋OH 2＝GH 2,得(2－λ)2＋12＋λ2＋12＝4,解得λ＝1±22,故存在λ＝1±22,使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角.法二(向量方法)以D 为原点,射线DA ,DC ,DD 1分别为,y ,轴的正半轴建立如图3所示的空间直角坐标系Dy .由已知得B (2,2,0),C 1(0,2,2),E (2,1,0),F (1,0,0),P (0,0,λ). BC 1→＝(－2,0,2),FP →＝(－1,0,λ),FE →＝(1,1,0). (1)证明 当λ＝1时,FP →＝(－1,0,1),又因为BC 1→＝(－2,0,2),所以BC 1→＝2FP →,即BC 1∥FP .而FP ⊂平面EFPQ ,且BC 1⊄平面EFPQ ,故直线BC 1∥平面EFPQ . (2)解 设平面EFPQ 的一个法向量为n ＝(,y ,),则由⎩⎪⎨⎪⎧FE →·n ＝0，FP →·n ＝0，可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－x ＋λz ＝0.于是可取n ＝(λ,－λ,1).同理可得平面MNPQ 的一个法向量为m ＝(λ－2,2－λ,1). 若存在λ,使面EFPQ 与面PQMN 所成的二面角为直二面角,则m·n ＝(λ－2,2－λ,1)·(λ,－λ,1)＝0,即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0,解得λ＝1±22.。

2014-2018全国各省文科立体几何大题真题2014-2018全国各省文科立体几何大题真题一、解答题（共35小题；共455分）1. 如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，DE=3，BC=EF=1，AE=√6，∠BAD=60∘，G为BC的中点．（1）求证：FG∥平面BED；（2）求证：平面BED⊥平面AED；（3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值．2. 如图，已知正三棱锥P−ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连接PE并延长交AB于点G．第2页（共71 页）（1）证明：G是AB的中点；（2）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．3. 如图，四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA= BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明MN∥平面PAB；（2）求四面体N−BCM的体积．第3页（共71 页）第4页（共71 页）第5页（共71 页）（3）求三棱锥 V −ABC 的体积．6. 如图，在三棱锥 P −ABC 中，AB =BC =2√2，PA =PB =PC =AC =4，O 为 AC 的中点．（1）证明：PO ⊥平面ABC ；（2）若点 M 在棱 BC 上，且 MC =2MB ，求点 C 到平面 POM 的距离．7. 如图，矩形 ABCD 所在平面与半圆弧 CD⏜ 所在平面垂直，M 是 CD 上异于 C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）在线段 AM 上是否存在点 P ，使得 MC ∥平面PBD ?说明理由．矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA= PD，E，F分别为AD，PB的中点．（1）求证：PE⊥BC；（2）求证：平面PAB⊥平面PCD；（3）求证：EF∥平面PCD；9. 如图四面体ABCD中，△ABC是正三角形，AD=CD．1. 证明：AC⊥BD；2. 已知△ACD是直角三角形，AB=BD，若E为棱BD上与D不重合的点，且AE⊥EC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比．第6页（共71 页）第7页（共71 页）边三角形且垂直于底面 ABCD ，AB =BC =12AD ，∠BAD =∠ABC =90∘．（1）证明：直线BC ∥平面PAD ；（2）若 △PCD 面积为 2√7，求四棱锥 P −ABCD 的体积．11. 如图，在四棱锥 P −ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP =∠CDP =90∘．（1）证明：平面PAB ⊥平面PAD ；（2）若 PA =PD =AB =DC ，∠APD =90∘，且四棱锥 P −ABCD 的体积为 83，求该四棱锥的侧面积．12. 如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点．（1）求证：PA⊥BD；（2）求证：平面BDE⊥平面PAC；（3）当PA∥平面BDE时，求三棱锥E−BCD 的体积．13. 如图，在四棱锥P−ABCD中，AD⊥平面PDC,AD∥BC,PD⊥PB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2．（1）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（2）求证：PD⊥平面PBC；（3）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．第8页（共71 页）14. 由四棱柱ABCD−A1B1C1D1截去三棱锥C1−B1CD1后得到的几何体如图所示，四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，E 为AD的中点，A1E⊥平面ABCD．（1）证明：A1O∥平面B1CD1；（2）设M是OD的中点，证明：平面A1EM⊥平面B1CD1．15. 如图，在四棱锥P−ABCD中，PC⊥平面ABCD，AB∥DC，DC⊥AC．（1）求证：DC⊥平面PAC；（2）求证：平面PAB⊥平面PAC；第9页（共71 页）（3）设点E为AB的中点．在棱PB上是否存在点F，使得PA∥平面CEF?说明理由．16. 在如图所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB．（1）已知AB=BC，AE=EC．求证：AC⊥FB；（2）已知G、H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC．17. 如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE=CF，EF交BD于点H．将△DEF沿EF折到△DʹEF的位置．第10页（共71 页）（1）证明：AC ⊥HDʹ；（2）若 AB =5，AC =6，AE =54，ODʹ=2√求五棱锥 Dʹ−ABCFE 的体积．18. 如图，四棱锥 P −ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AD ∥BC ，AB =AD =AC =3，PA =BC =4，M 为线段 AD 上一点，AM =2MD ，N 为 PC 的中点．（1）证明：MN ∥平面PAB ；（2）求四面体 N −BCM 的体积．19. 将边长为 1 的正方形 AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1 旋转一周形成圆柱，如图，AC ⏜ 长为 5π6，A 1B 1⏜ 长为 π3，其中 B 1 与 C 在平面 AA 1O 1O 的同侧．（1）求圆柱的体积与侧面积；（2）求异面直线O1B1与OC所成的角的大小．20. 如图，在四棱锥中P−ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90∘，BC=CD= 1AD．2（1）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；（2）证明：平面PAB⊥平面PBD．21. 如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，底面⏜的中点，E 的一条直径为AB，C为半圆弧AB⏜的中点，已知PO=2，OA=1，为劣弧CB求三棱锥P−AOC的体积，并求异面直线PA 与OE所成角的余弦值．22. 如图，长方体ABCD−A1B1C1D1中AB=16，BC=10，AA1=8，点E，F分别在A1B1，D1C1上，A1E=D1F=4．过点E，F的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（2）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．23. 一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，（1）请将字母F，G，H标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）；（2）判断平面BEG与平面ACH的位置关系，并证明你的结论；（3）证明：直线DF⊥平面BEG·24. 如图，三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60∘，（1）求三棱锥P−ABC的体积；（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求PM的值．MC25. 如图，三棱台DEF−ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．（1）求证：BD∥平面FGH；（2）若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH．26. 如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB= 6，BC=3．（1）证明：BC∥平面PDA；（2）证明：BC⊥PD；（3）求点C到平面PDA的距离．27. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．在如图所示的阳马P−ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD=CD，点E是PC的中点，连接DE，BD，BE．（1）证明：DE⊥平面PBC．试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由．（2）记阳马P−ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求V1的值．V228. 如图，直三棱柱ABC−A1B1C1的底面是边长为2的正三角形，E，F分别是BC，CC1的中点．（1）证明：平面AEF⊥平面B1BCC1；（2）若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45∘，求三棱锥F−AEC的体积．29. 如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，PO垂直于圆O所在的平面，且PO=OB=1．（1）若D为线段AC的中点，求证：AC⊥平面PDO；（2）求三棱锥P−ABC体积的最大值；（3）若BC=√2，点E在线段PB上，求CE+OE的最小值．30. 如图，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB=2，BC= EF=1，AE=√6，DE=3，∠BAD=60∘，G 为BC的中点．（1）求证：FG∥平面BED；（2）求证：平面BED⊥平面AED；（3）求直线EF与平面BED所成角的正弦值.31. 如图，四边形ABCD为菱形，G为AC与BD的交点，BE⊥平面ABCD．（1）证明：平面AEC⊥平面BED；（2）若∠ABC=120∘，AE⊥EC，三棱锥E−ACD的体积为√6，求该三棱锥的侧面积．332. 如图，已知AA1⊥平面ABC，BB1∥AA1，AB=AC=3，BC=2√5，AA1=√7，BB1=2√7，点E和F分别为BC和A1C的中点．（1）求证：EF∥平面A1B1BA；（2）求证：平面AEA1⊥平面BCB1；（3）求直线A1B1与平面BCB1所成角的大小．33. 如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，∠BAC=90∘，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC 的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．（1）证明：A1D⊥平面A1BC；（2）求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．34. 如图，三棱锥P−ABC中，平面PAC⊥，点D，E在线段AC上，平面ABC，∠ABC=π2且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，点F 在线段AB上，且EF∥BC．（1）证明：AB ⊥平面PFE ；（2）若四棱锥 P −DFBC 的体积为 7，求线段 BC 的长．35. 如图（1），在直角梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD =π2，AB =BC =12AD =a ，E 是 AD 的中点，O 是 AC 与 BE 的交点．将 △ABE 沿 BE 折起到图（2）中 △A 1BE 的位置，得到四棱锥 A 1−BCDE ．（1）证明：CD ⊥平面A 1OC ；（2）若 平面A 1BE ⊥平面BCDE ，四棱锥 A 1−BCDE 的体积为 36√2，求 a 的值．答案第一部分1. （1）设BD的中点为O，连接OE，OG，在△BCD中，因为G是BC的中点，DC=1，所以OG∥DC，且OG=12又因为EF∥AB，AB∥DC，所以EF∥OG，且EF=OG，即四边形OGFE是平行四边形，所以FG∥OE，因为FG⊄平面BED，OE⊂平面BED，所以FG∥平面BED．（2）在△ABD中，AD=1，AB=2，∠BAD=60∘，由余弦定理可得BD=√3，进而得∠ADB=90∘，即BD⊥AD，又因为平面AED⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，平面AED∩平面ABCD=AD，所以BD⊥平面AED，因为BD⊂平面BED，所以平面BED⊥平面AED．（3）因为EF∥AB，所以直线EF与平面BED所成的角即为直线AB 与平面BED所形成的角，过点A作AH⊥DE于点H，连接BH，又平面BED∩平面AED=ED，由（2）知AH⊥平面BED，所以直线AB与平面BED所成的角为∠ABH，在△ADE，AD=1，DE=3，AE=√6，由余弦定，理得cos∠ADE=23，所以sin∠ADE=√53所以AH=AD⋅√53=√53，在Rt△AHB中，sin∠ABH=AHAB =√56，所以直线EF与平面BED所成角的正弦值为√56．2. （1）因为P在平面ABC内的正投影为D，所以AB⊥PD．因为D在平面PAB内的正投影为E，所以AB⊥DE．所以AB⊥平面PED，故AB⊥PG．又由已知可得，PA=PB，从而G是AB的中点．（2）如图，在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影．理由如下：由已知可得PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，因此EF⊥平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影．连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心，由（1）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故CD=23CG．由题设可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE=23PG，DE=13PC．由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6，可得DE=2，PE=2√2．在等腰直角三角形EFP中，可得EF=PF=2．所以四面体PDEF的体积V=13×12×2×2×2=43．3. （1）取PB中点Q，连接AQ，NQ．因为N是PC中点，NQ∥BC，且NQ=12BC，又AM=23AD=23×34BC=12BC，且AM∥BC，所以QN∥AM，且QN=AM，所以AQNM是平行四边形．所以MN∥AQ．又MN⊄平面PAB，AQ⊂平面PAB，所以MN∥平面PAB．（2）由（1）QN∥平面ABCD，所以V N−BCM=V Q−BCM=12V P−BCM=12V P−BCA．所以V N−BCM=12×13PA⋅S△ABC=16×4×2√5=4√53．4. （1）由已知可得，∠BAC=90∘，BA⊥AC，又BA⊥AD，所以AB⊥平面ACD，又AB⊂平面ABC，所以平面ACD⊥平面ABC．（2）由已知可得，DC=CM=AB=3，DA=3√2，又BP=DQ=23DA，所以BP=2√2，作QE⊥AC，垂足为E，则QE∥DC，QE=13DC，由已知及（1）可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE=1．因此，三棱锥Q−ABP的体积为V Q−ABP=13×QE×S△ABP=13×1×12×3×2√2sin45∘=1.5. （1）因为O，M分别为，AB，VA的中点，所以OM∥VB.又因为VB⊄平面MOC，又因为MO⊂平面MOC，所以VB∥平面MOC．（2）因为AC=BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB，又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面VAB，所以平面MOC⊥平面VAB．（3）在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=√所以AB=2，OC=1，所以等边三角形VAB的面积S△VAB=√3，又因为OC⊥平面VAB，所以V C−ABV=13×OC×S△VAB=√33，又因为V V−ABC=V C−ABV，所以V V−ABC=√33．6. （1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=2√3．连接OB．因为 AB =BC =√22AC ， 所以 △ABC 为等腰直角三角形，且 OB ⊥AC ，OB =12AC =2．由 OP 2+OB 2=PB 2 知，OP ⊥OB ．由 OP ⊥OB ，OP ⊥AC 知 PO ⊥平面ABC ．（2） 作 CH ⊥OM ，垂足为 H ．又由（1）可得 OP ⊥CH ，所以 CH ⊥平面POM ．故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离． 由题设可知 OC =12AC =2，CM =23BC =4√23，∠ACB =45∘．所以 OM =2√53，CH =OC⋅MC⋅sin∠ACB OM =4√55． 所以点 C 到平面 POM 的距离为 4√55．7. （1）由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD．因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM．⏜上异于C，D的点，且DC为直径，因为M为CD所以DM⊥CM．又BC∩CM=C，所以DM⊥平面BMC．而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC．（2）当P为AM的中点时，MC∥平面PBD．证明如下：连接AC交BD于O．因为ABCD为矩形，所以O为AC中点．连接OP，因为P为AM中点，所以MC∥OP．MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD，所以MC∥平面PBD．8. （1）因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，因为PA=PD，E为AD中点，所以PE⊥AD．又PE⊂平面PAD，所以PE⊥平面ABCD，又BC⊂平面ABCD，所以PE⊥BC．（2）因为平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，因为ABCD为矩形，所以CD⊥AD，又CD⊂平面ABCD，所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PA，又PA⊥PD，且PD∩CD=D，所以PA⊥平面PCD，又PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PCD．（3）取PC中点G，连FG，DG，因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG为△PBC的中位线，BC，所以FG∥BC，FG=12又E为AD的中点，四边形ABCD为矩形，BC，所以ED∥BC，ED=12所以FG∥ED，FG=ED，所以四边形EFGD为平行四边形，所以EF∥DG，又EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD．9. 1. 取AC中点O，连接DO，BO，因为△ABC是正三角形，AD=CD，所以DO⊥AC，BO⊥AC，因为DO∩BO=O，所以AC⊥平面BDO，因为BD⊂平面BDO，所以AC⊥BD．2. 法一：连接OE，由（1）知AC⊥平面OBD，因为OE⊂平面OBD，所以OE⊥AC，设AD=CD=√2，则OC=OA=1，所以O是线段AC垂直平分线上的点，所以EC=EA=CD=√2，由余弦定理得：cos∠CBD=BC 2+BD2−CD22BC⋅BD=BC2+BE2−CE22BC⋅BE，即4+4−22×2×2=4+BE2−22×2×BE，解得BE=1或BE=2，因为BE<BD=2，所以 BE =1， 所以 BE =ED ，因为四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的高都是点 A 到平面 BCD 的高 h ， 因为 BE =ED ， 所以 S △DCE =S △BCE ，所以四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比为 1． 法二：设 AD =CD =√则 AC =AB =BC =BD =2，AO =CO =DO =1， 所以 BO =√4−1=√3， 因为 BO 2+DO 2=BD 2， 所以 BO ⊥DO ，以 O 为原点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OD 为 z 轴，建立空间直角坐标系，则 C (−1,0,0)，D (0,0,1)，B(0,√3,0)，A (1,0,0)， 设 E (a,b,c )，DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λDB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，则 (a,b,c −1)=λ(0,√3,−1)， 解得 E(0,√3λ,1−λ)，所以 CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,√3λ,1−λ)，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,√3λ,1−λ)， 因为 AE ⊥EC ，所以 AE⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1+3λ2+(1−λ)2=0， 由 λ∈[0,1]，解得 λ=12，所以 DE =BE ，因为四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的高都是点 A 到平面 BCD 的高 h ， 因为 DE =BE ， 所以 S △DCE =S △BCE ，所以四面体 ABCE 与四面体 ACDE 的体积比为 1． 10. （1） 四棱锥 P −ABCD 中， 因为 ∠BAD =∠ABC =90∘． 所以 BC ∥AD ，因为 AD ⊂平面PAD ，BC ⊄平面PAD ， 所以 直线BC ∥平面PAD ；（2） 设 AD =2x ，则 AB =BC =x ，CD =√2x ，设O是AD的中点，连接PO，OC，CD的中点为E，连接OE，由题意得，四边形ABCO为正方形，则CO⊥AD．因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，所以PO⊥AD，PO⊥平面ABCD，因为CO⊂底面ABCD，所以PO⊥CO，则OE=√22x，PO=√3x，PE=√PO2+OE2=√7x√2，△PCD面积为2√7，可得：12PE⋅CD=2√7，即：12×√7√2x×√2x=2√7，解得x=2，PO=2√3．则V P−ABCD=13×12(BC+AD)×AB×PO=13×12×(2+4)×2×2√3 =4√3.11. （1）因为在四棱锥P−ABCD中，∠BAP=∠CDP=90∘，所以AB⊥PA，CD⊥PD，又AB∥CD，所以AB⊥PD，因为PA∩PD=P，所以AB⊥平面PAD，因为AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD．（2）设PA=PD=AB=DC=a，取AD中点O，连接PO，因为PA=PD=AB=DC，∠APD=90∘，平面PAB⊥平面PAD，所以PO⊥底面ABCD，且AD=√a2+a2=√2a，a，PO=√22，因为四棱锥P−ABCD的体积为83所以V P−ABCD=13×S四边形ABCD×PO=13×AB×AD×PO=13×a×√2a×√22a=13a3=83.解得a=2，所以PA=PD=AB=DC=2，AD=BC=2√2，PO=√2，所以PB=PC=√4+4=2√所以该四棱锥的侧面积为：S侧=S△PAD+S△PAB+S△PDC+S△PBC=12×PA×PD+12×PA×AB+12×PD×DC+12×BC×=12×2×2+12×2×2+12×2×2+12×2√2×√8−2=6+2√3.12. （1）由PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，且AB∩BC=B，可得PA⊥平面ABC，由BD⊂平面ABC，可得PA⊥BD．（2）由AB=BC，D为线段AC的中点，可得BD⊥AC，由PA⊥平面ABC，PA⊂平面PAC，可得平面PAC⊥平面ABC，又平面PAC∩平面ABC=AC，BD⊂平面ABC，且BD⊥AC，即有BD⊥平面PAC，BD⊂平面BDE，可得平面BDE⊥平面PAC．（3）PA∥平面BDE，PA⊂平面PAC，且平面PAC∩平面BDE=DE，可得PA∥DE，又D为AC的中点，PA=1，可得E为PC的中点，且DE=12由PA⊥平面ABC，可得DE⊥平面ABC，可得S△BDC=12S△ABC=12×12×2×2=1，则三棱锥E−BCD的体积为13DE⋅S△BDC=1 3×1×1=13．13. （1）如图，由已知AD∥BC，故∠DAP或其补角即为异面直线AP与BC所成的角，因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD，在Rt△PDA中，由已知，得AP=√AD2+PD2=√5，故cos∠DAP=ADAP =√55，所以异面直线AP与BC所成角的余弦值为√55．（2）因为AD⊥平面PDC，直线PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD，又因为BC∥AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，PB∩BC=B，且PB⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，所以PD⊥平面PBC．（3）过点D作AB的平行线交BC于点F，连接PF，则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC 所成的角，因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP为直线DF和平面PBC所成的角，由于AD∥BC,DF∥AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC−BF=2．又AD⊥DC，故BC⊥DC，在Rt△DCF中，DF=√16+4=2√5，可得sin∠DFP=PDDF =√55，所以直线AB与平面PBC所成角的正弦值为√55．14. （1）取B1D1中点G，连接A1G，CG，因为四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，所以四棱柱ABCD−A1B1C1D1截去三棱锥C1−B1CD1后，A1G∥OC，A1G=OC，所以四边形OCGA1是平行四边形，所以A1O∥CG，因为A1O⊄平面B1CD1，CG⊂平面B1CD1，所以A1O∥平面B1CD1．（2）四棱柱ABCD−A1B1C1D1截去三棱锥C1−B1CD1后，BD∥B1D1，BD=B1D1，因为M是OD的中点，O为AC与BD的交点，E为AD的中点，A1E⊥平面ABCD，又BD⊂平面ABCD，所以BD⊥A1E，因为四边形ABCD为正方形，O为AC与BD的交点，所以AO⊥BD，因为M是OD的中点，E为AD的中点，所以EM⊥BD，因为A1E∩EM=E，所以BD⊥平面A1EM，因为BD∥B1D1，所以B1D1⊥平面A1EM，因为B1D1⊂平面B1CD1，所以平面A1EM⊥平面B1CD1．15. （1）因为PC⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PC⊥DC．又因为DC⊥AC，AC∩PC=C，所以DC⊥平面PAC．（2）因为AB∥DC，DC⊥AC，所以AB⊥AC．因为PC⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以PC⊥AB．又AC∩PC=C，所以AB⊥平面PAC．又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAC．（3）棱PB上存在点F，使得PA∥平面CEF．证明如下：取PB中点F，连接EF，CE，CF．又因为E为AB的中点，所以EF∥PA．又因为PA⊄平面CEF，EF⊂平面CEF，所以PA∥平面CEF．16. （1）连接DE，因为EF∥BD，所以EF与BD确定一个平面．因为AE=EC，D为AC的中点，所以DE⊥AC；同理可得BD⊥AC．又因为BD∩DE=D，所以AC⊥平面BDEF，又因为FB⊂平面BDEF，所以AC⊥FB．（2）设FC的中点为I，连接GI，HI．在△CEF中，因为G是CE的中点，所以GI∥EF．又EF∥DB，所以GI∥DB；在△CFB中，因为H是FB的中点，所以HI∥BC．又GI∩HI=I，所以平面GHI∥平面ABC，因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC．17. （1）由已知得AC⊥BD，AD=CD．又由AE=CF得AEAD =CFCD，故AC∥EF．由此得EF⊥HD，EF⊥HDʹ，所以AC⊥HDʹ．（2）由EF∥AC得OHDO =AEAD=14．由AB=5，AC=6得DO=BO=√AB2−AO2= 4．所以OH=1，DʹH=DH=3．于是ODʹ2+OH2=(2√2)2+12=9=DʹH2，故ODʹ⊥OH．由（1）知AC⊥HDʹ，又AC⊥BD，BD∩HDʹ=H，所以AC⊥平面BHDʹ，于是AC⊥ODʹ．又由ODʹ⊥OH，AC∩OH=O，所以ODʹ⊥平面ABC．又由EFAC =DHDO得EF=92．五边形ABCFE的面积S=12×6×8−12×92×3=694．所以五棱锥Dʹ−ABCFE的体积V=13×694×2√2=23√22．18. （1）由已知条件，得AM=23AD=2．取BP的中点T，连接AT，TN．因为N为PC的中点，所以TN∥BC，TN=12BC=2，所以TN=AM．又AD∥BC，所以TN∥AM，且TN=AM，故四边形AMNT为平行四边形，所以MN∥AT．因为AT⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB．（2）因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点，所以N到平面ABCD的距离为12PA．取BC的中点E，连接AE．因为AB=AC=3，所以AE⊥BC，AE=√AB2−BE2=√5．因为AM∥BC，所以点M到BC的距离为√，故S△BCM=12×4×√5=2√5．所以四面体N−BCM的体积V N−BCM=13×12PA⋅S△BCM=4√53．19. （1）由题意可知，圆柱的母线长l=1，底面半径r=1．圆柱的体积V=πr2l=π×12×1=π，圆柱的侧面积S=2πrl=2π×1×1=2π．（2） 设过点 B 1 的母线与下底面交于点 B ，则 O 1B 1∥OB ，所以 ∠COB 或其补角为 O 1B 1 与 OC 所成的角．由 A 1B 1⏜ 长为 π3，可知 ∠AOB =∠A 1O 1B 1=π3，由 AC ⏜ 长为 5π6，可知 ∠AOC =5π6，∠COB =∠AOC −∠AOB =π2，所以异面直线 O 1B 1 与 OC 所成的角的大小为 π2．20. （1） 取棱 AD 的中点 M(M ∈平面PAD)，点 M 即为所求的一个点，理由如下：因为 AD ∥BC ，BC =12AD ，所以 BC ∥AM ，且 BC =AM ．所以四边形 AMCB 是平行四边形，从而 CM ∥AB ． 又 AB ⊂平面PAB ，CM ⊄平面PAB ， 所以 CM ∥平面PAB ．（2）由已知，PA⊥AB，PA⊥CD，因为AD∥BC，BC=12AD，所以直线AB与CD相交，所以PA⊥平面ABCD．从而PA⊥BD．因为AD∥BC，BC=12AD，所以BC∥MD，且BC=MD．所以四边形BCDM是平行四边形．所以BM=CD=12AD，所以BD⊥AB．又AB∩AP=A，所以BD⊥平面PAB．又BD⊂平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD．21. V P−AOC=13×12×2=13．因为AC∥OE，所以∠PAC为异面直线PA与OE 所成的角或其补角．由 PO =2，OA =OC =1，得 PA =PC =√AC =√2．在 △PAC 中，由余弦定理得 cos∠PAC =√1010， 故异面直线 PA 与 OE 所成角的余弦值为√1010． 22. （1） 交线围成的正方形 EHGF 如图．（2） 作 EM ⊥AB ，垂足为 M ，则 AM =A 1E =4，EB 1=12，EM =AA 1=8．因为四边形 EHGF 为正方形，所以 EH =EF =BC =10．于是 MH =√EH 2−EM 2=6，AH =10，HB =6． 故 S 四边形A 1EHA=12×(4+10)×8=56，S 四边形EB1BH=12×(12+6)×8=72．因为长方体被平面 α 分为两个高为 10 的直棱柱，所以其体积的比值为 97（79也正确）． 23. （1） 点 F ，G ，H 的位置如图所示．。