高中数学第二章推理与证明2.2.1第2课时分析法及其应用学业分层测评新人教B版选修1_2

2.2.1 综合法与分析法学习目标核心素养1．理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维特点．(重点、易混点)2．会用综合法、分析法解决问题．(重点、难点)通过学习证明数学问题的两种重要方法，提升学生的逻辑推理素养.一、综合法1．直接证明(1)直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性．(2)常用的直接证明方法有综合法与分析法．2．综合法(1)定义：综合法是从原因推导到结果的思维方法，也就是从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证结论．(2)符号表示：P0(已知)⇒P1⇒P2⇒…⇒P n(结论)．二、分析法1．定义：分析法是一种从结果追溯到产生这一结果的原因的思维方法．也就是从待证结论出发，一步一步寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．2．符号表示：B(结论)⇐B1⇐B2⇐…⇐B n⇐A(已知)1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)综合法是执果索因的逆推证法．( )(2)分析法就是从结论推向已知．( )(3)综合法的推理过程实际上是寻找它的必要条件的过程．分析法的推理过程实际上是寻求结论成立的充分条件的过程．( )[答案](1)×(2)×(3)√2．已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b－1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c－1≥8.证明过程如下：∵a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝b ＋c a >0，1b －1＝a ＋c b >0，1c －1＝a ＋b c>0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c －1＝b ＋c a ·a ＋c b ·a ＋b c ≥2bc ·2ac ·2ab abc＝8， 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，∴不等式成立． 这种证法是__________(填综合法、分析法)．[解析] 本题从已知条件出发，不断地展开思考，去探索结论，这种证法是综合法． [答案] 综合法3.6－22与5－7的大小关系是________． [解析] 假设6－22>5－7，由分析法可得， 要证6－22>5－7，只需证6＋7>5＋22， 即证13＋242>13＋410，即42>210. 因为42>40，所以6－22>5－7成立． [答案] 6－22>5－7综合法的应用__________．(2)已知方程(x 2－mx ＋2)(x 2－nx ＋2)＝0的四个根组成一个首项为12的等比数列，则|m －n |＝__________.(3)下面的四个不等式：①a 2＋b 2＋3≥ab ＋3(a ＋b )；②a (1－a )≤14；③b a ＋a b ≥2；④(a2＋b 2)·(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.其中恒成立的有__________．[解析] (1)∵cos A cos B >sin A sin B ， ∴cos A cos B －sin A sin B >0，∴cos(A ＋B )>0，即cos(π－C )>0，∴cos C <0，又0<C <π，∴π2<C <π，所以△ABC 是钝角三角形．(2)设方程的四个根分别为x 1，x 2，x 3，x 4，则由题意可知，x 1＝12，x 1x 4＝x 2x 3＝2，∴x 4＝4.设公比为q ，则x 4＝x 1q 3，∴4＝12·q 3，∴q ＝2，∴x 2＝1，x 3＝2，由根与系数的关系可得，m ＝x 1＋x 4＝92，n ＝x 2＋x 3＝3，∴|m －n |＝32.(3)①a 2＋b 2＋3＝a 22＋32＋b 22＋32＋a 22＋b 22≥2a 22×b 22＋2a 22×32＋2b 22×32＝ab ＋3(a ＋b )(当且仅当a 2＝b 2＝3时，等号成立)．②a (1－a )＝－a 2＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋14≤14.③当a 与b 异号时，不成立．④∵a 2d 2＋b 2c 2≥2abcd ，∴(ac ＋bd )2＝a 2c 2＋b 2d 2＋2abcd ≤a 2c 2＋a 2d 2＋b 2c 2＋b 2d 2＝(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)，故不等式恒成立，所以①②④恒成立．[答案] (1)钝角三角形 (2)32(3)①②④1．综合法处理问题的三个步骤2．用综合法证明不等式时常用的结论(1)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )；(2)a ＋b ≥2ab (a ≥0，b ≥0)．1．综合法是( ) A ．执果索因的逆推证法 B ．由因导果的顺推证法 C ．因果分别互推的两头凑法 D ．原命题的证明方法 [答案] B分析法的应用【例2】 设a ，b 为实数，求证：a 2＋b 2≥22(a ＋b )． [思路探究] 待证不等式中含有根号，用平方法去根号是关键． [解] 当a ＋b ≤0时，∵a 2＋b 2≥0， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 当a ＋b >0时，用分析法证明如下： 要证a 2＋b 2≥22(a ＋b )， 只需证(a 2＋b 2)2≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤22(a ＋b )2，即证a 2＋b 2≥12(a 2＋b 2＋2ab )，即证a 2＋b 2≥2ab .∵a 2＋b 2≥2ab 对一切实数恒成立， ∴a 2＋b 2≥22(a ＋b )成立． 综上所述，不等式成立．1．当已知条件简单而证明的结论比较复杂时，一般采用分析法，在叙述过程中“要证”“只需证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误．2．逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题顺利获解．2．已知a >0，1b －1a>1，求证：1＋a >11－b. [证明] 由已知1b －1a>1及a >0可知0<b <1，要证1＋a >11－b，只需证1＋a ·1－b >1， 只需证1＋a －b －ab >1， 只需证a －b －ab >0，即a －bab>1， 即1b －1a>1，这是已知条件，所以原不等式得证．综合法与分析法的综合应用1．综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？提示：综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”．2．综合法与分析法有什么区别？提示：综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．【例3】 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 为等差数列，且a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，求证：(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1．[思路探究] 先求出角B ，然后利用余弦定理转化为边之间的关系解决． [解] 法一：(分析法)要证(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1， 即证1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 只需证a ＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b ＋cb ＋c＝3，化简，得ca ＋b ＋ab ＋c＝1，即c (b ＋c )＋(a ＋b )a ＝(a ＋b )(b ＋c )， 所以只需证c 2＋a 2＝b 2＋ac .因为△ABC 的三个内角A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°，所以cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12，即a 2＋c 2－b 2＝ac 成立．∴(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1成立． 法二：(综合法)因为△ABC 的三内角A ，B ，C 成等差数列， 所以B ＝60°. 由余弦定理，有b 2＝c 2＋a 2－2ac cos 60°. 所以c 2＋a 2＝ac ＋b 2， 两边加ab ＋bc ，得c (b ＋c )＋a (a ＋b )＝(a ＋b )(b ＋c )，两边同时除以(a ＋b )(b ＋c )，得ca ＋b ＋ab ＋c＝1，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋b ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋c ＋1＝3， 即1a ＋b ＋1b ＋c ＝3a ＋b ＋c， 所以(a ＋b )－1＋(b ＋c )－1＝3(a ＋b ＋c )－1．综合法由因导果，分析法执果索因，因此在实际解题时，常常把分析法和综合法结合起来使用，即先利用分析法寻找解题思路，再利用综合法有条理地表述解答过程.3．设x ≥1，y ≥1，证明：x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy .[证明] 因为x ≥1，y ≥1，所以要证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ，只需证明xy (x ＋y )＋1≤y ＋x ＋(xy )2. 将上式中的右式减左式，得 [y ＋x ＋(xy )2]－[xy (x ＋y )＋1] ＝[(xy )2－1]－[xy (x ＋y )－(x ＋y )] ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y )(xy －1) ＝(xy －1)(xy －x －y ＋1) ＝(xy －1)(x －1)(y －1)． 因为x ≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而可得不等式x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy 成立.1．下面叙述正确的是( ) A ．综合法、分析法是直接证明的方法 B ．综合法是直接证法，分析法是间接证法 C ．综合法、分析法所用语气都是肯定的 D ．综合法、分析法所用语气都是假定的 [解析] 直接证明包括综合法和分析法． [答案] A2．欲证不等式3－5＜6－8成立，只需证( ) A ．(3－5)2＜(6－8)2B ．(3－6)2＜(5－8)2C ．(3＋8)2＜(6＋5)2D ．(3－5－6)2＜(－8)2[解析] 要证3－5＜6－8成立，只需证3＋8＜6＋5成立，只需证(3＋8)2＜(6＋5)2成立．[答案] C3．将下面用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤补充完整：要证a 2＋b 22≥ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证__________________，即证__________．由于__________显然成立，因此原不等式成立． [解析] 用分析法证明a 2＋b 22≥ab 的步骤为：要证a 2＋b 22≥ab 成立，只需证a 2＋b 2≥2ab ，也就是证a 2＋b 2－2ab ≥0，即证(a －b )2≥0.由于(a －b )2≥0显然成立，所以原不等式成立．[答案] a 2＋b 2－2ab ≥0 (a －b )2≥0 (a －b )2≥04．设a ＞0，b ＞0，c ＞0，若a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c的最小值为________．[解析] 因为a ＋b ＋c ＝1，且a ＞0，b ＞0，c ＞0，所以1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋a b ＋c b ＋b c ＋a c ＋c a≥3＋2b a ·ab＋2c b ·b c ＋2c a ·ac＝3＋6＝9. 当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． [答案] 95．已知a ＞0，b ＞0，求证：a b ＋ba≥a ＋b .(要求用两种方法证明) [证明] 法一：(综合法) 因为a ＞0，b ＞0，所以a b ＋b a －a －b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a －a ＝a －b b ＋b －a a＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1b －1a ＝(a －b )2(a ＋b )ab ≥0，所以a b ＋b a≥a ＋b . 法二：(分析法) 要证a b ＋ba≥a ＋b ，只需证a a ＋b b ≥a b ＋b a ，即证(a －b )(a －b )≥0，因为a ＞0，b ＞0，所以a －b 与a －b 符号相同，不等式(a －b )(a －b )≥0成立，所以原不等式成立．。

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2．1.1 合情推理1．了解推理的结构及合情推理的定义．(易混点）2．了解归纳推理的定义与特点，掌握归纳推理的一般步骤，能利用归纳推理解决问题．（重点)3．了解类比推理的定义与特点,掌握类比推理的一般步骤，能利用类比推理解决简单的问题．（重点、难点）[基础·初探］教材整理1 推理与合情推理阅读教材P53，完成下列问题．1．推理的定义根据一个或几个已知的事实(或假设)得出一个_______________________，这种思维方式叫做推理．2．推理的结构推理一般由两部分组成，一部分是已知的事实(或假设），叫做__________；一部分是由已知推出的判断，叫做__________．3．推理的分类推理一般分为__________推理与__________推理．4．合情推理前提为真时，结论__________为真的推理，叫做合情推理．【答案】1。

判断2。

前提结论3。

合情演绎4．可能如图2。

1.1所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边(包括两个端点）有n(n〉1,n∈N＋）个点,每个图形总的点数记为a n，则a6＝_________________，a n＝________（n>1，n∈N）．＋图2.1。

高中数学 第二章 推理与证明本章整合 新人教B 版选修2-2知识网络专题探究专题一 合情推理与演绎推理1．归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳，然后提出猜想的推理，我们统称为合情推理．合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向．归纳推理的思维过程大致如下：实验，观察→概括，推广→猜测一般性结论 类比推理的思维过程大致如下：观察，比较→联想，类推→猜测新的结论 2．演绎推理是由一般到特殊的推理，又叫逻辑推理．其中三段论推理是演绎推理的主要形式．演绎推理具有如下特点： (1)演绎的前提是一般性原理，演绎所得的结论完全蕴涵于前提之中．(2)演绎推理中，前提与结论之间存在必然的联系，演绎推理是数学中严格证明的工具． (3)演绎推理是一种收敛性的思维方法，它创造性较少，但却具有条理清晰、令人佩服的论证作用，有助于科学的理论化和系统化．【例1】 证明下列各等式，并从中归纳出一个一般性的结论． 2cos π4＝2，2cos π8＝2＋2，2cos π16＝2＋2＋ 2.证明：2cos π4＝2×22＝2，2cos π8＝2×1＋cosπ42＝2×1＋222＝2＋2，2cos π16＝2×1＋cosπ82＝2×1＋122＋22＝2＋2＋ 2.……从以上各式归纳可得一般性的结论如下： 2cos π2n ＋1＝2＋2＋2＋… (n ∈N ＋，n ≥1)．【例2】 已知椭圆具有性质：若M ，N 是椭圆C 上关于原点对称的两个点，点P 是椭圆上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线x 2a 2－y 2b2＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．解：类似的性质为：若M ，N 是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1上关于原点对称的两个点，点P 是双曲线上任意一点，当直线PM ，PN 的斜率都存在，并记为k PM ，k PN 时，那么k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值．证明：设点M ，P 的坐标为(m ，n )，(x ，y )， 则N (－m ，－n )．因为点M (m ，n )在已知双曲线上，所以n 2＝b 2a2m 2－b 2.同理y 2＝b 2a2x 2－b 2.因为k PM ·k PN ＝y －n x －m ·y ＋n x ＋m ＝y 2－n 2x 2－m 2＝b 2a 2·x 2－m 2x 2－m 2＝b 2a 2(定值)，所以k PM 与k PN 之积是与点P 的位置无关的定值． 专题二 直接证明与间接证明1．直接证明的两种基本方法是综合法与分析法． 综合法与分析法的区别与联系：分析法的特点是：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件．综合法的特点是：从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，实际上是寻找它的必要条件．分析法与综合法各有其特点．有些具体的问题，用分析法或综合法都可以证明出来，人们往往选择比较简单的一种．在解决问题时，我们经常把综合法和分析法结合起来使用．根据条件的结构特点去转化结论，得到中间结论Q ；根据结论的结构特点去转化条件，得到中间结论P .若由Q 可以推出P 成立，就可以证明结论成立．2．反证法是一种间接证明命题的方法，它的理论基础是互为逆否命题的两个命题为等价命题，反证法反映了“正难则反”的证明思想．用反证法证明问题时要注意以下三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能的情况，缺少任何一种可能，反证都是不完全的；(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；(3)推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的．【例3】 设集合S ＝{x |x ∈R 且|x |＜1}，若S 中定义运算“*”，使得a *b ＝a ＋b 1＋ab.证明：(1)如果a ∈S ，b ∈S ，那么a *b ∈S ；(2)对于S 中的任何元素a ，b ，c ，都有(a *b )*c ＝a *(b *c )成立． 证明：(1)由a ∈S ，b ∈S ，则|a |＜1，|b |＜1，a *b ＝a ＋b1＋ab， 要证a *b ∈S ，即证|a *b |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋b 1＋ab ＜1，只需证|a ＋b |＜|1＋ab |， 即只需证(a ＋b )2＜(1＋ab )2， 即证(1－a 2)(1－b 2)＞0. ∵|a |＜1，|b |＜1， ∴a 2＜1，b 2＜1，∴(1－a 2)(1－b 2)＞0成立， ∴a *b ∈S . (2)(a *b )*c ＝⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 1＋ab *c ＝a ＋b ＋c ＋abc 1＋ab ＋ac ＋bc ，同理a *(b *c )＝a *⎝⎛⎭⎪⎫b ＋c 1＋bc ＝a ＋b ＋c ＋abc 1＋ab ＋ac ＋bc，∴(a *b )*c ＝a *(b *c )．【例4】 有10只猴子共分了56个香蕉，每只猴子至少分到1个香蕉，最多分到10个香蕉，试证：至少有两只猴子分到同样多的香蕉．证明：假设10只猴子分到的香蕉都不一样多．∵每只猴子最少分到一个香蕉，至多分到10个香蕉， ∴只能是分别分到1,2,3，…，10个香蕉．此时10只猴子共分了：1＋2＋3＋…＋10＝55(个)，这与共分了56个香蕉相矛盾， 故至少有两只猴子分得同样多的香蕉． 专题三 归纳—猜想—证明的方法探索性命题是近几年高考试题中经常出现的一种题型，此类问题未给出问题结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论．它的解题思路是：从所给条件出发，通过观察、试验、归纳、猜想，探索出结论，然后再对归纳、猜想的结论进行证明．【例5】 若不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＋1＞a24对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论．解：取n ＝1，11＋1＋11＋2＋13×1＋1＝2624.令2624＞a24，得a ＜26，而a ∈N ＋， 所以取a ＝25，下面用数学归纳法证明 1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1＞2524. (1)当n ＝1时，已证结论正确． (2)假设当n ＝k (k ∈N ＋)时，结论成立， 即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＞2524， 则当n ＝k ＋1时，有 1k ＋＋1＋1k ＋＋2＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋1k ＋＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1＞2524＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤13k ＋2＋13k ＋4－2k ＋. 因为13k ＋2＋13k ＋4＝k ＋9k 2＋18k ＋8＞k ＋k 2＋2k ＋＝2k ＋，所以13k ＋2＋13k ＋4－2k ＋＞0，所以1k ＋＋1＋1k ＋＋2＋…＋1k ＋＋1＞2524， 即当n ＝k ＋1时，结论也成立． 由(1)(2)可知，对一切n ∈N ＋，都有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1＞2524， 故a 的最大值为25.。

2.2.1 综合法与分析法(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．在证明命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的过程：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ＋sin 2θ)(cos 2θ－sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”中应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．分析法和综合法综合使用D ．间接证法【解析】 此证明符合综合法的证明思路．故选B. 【答案】 B2．要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0，只需证( ) A ．2ab －1－a 2b 2≤0 B ．a 2＋b 2－1－a 2＋b 22≤0C.a ＋b22－1－a 2b 2≤0D ．(a 2－1)(b 2－1)≥0【解析】 要证a 2＋b 2－1－a 2b 2≤0， 只需证a 2b 2－a 2－b 2＋1≥0， 只需证(a 2－1)(b 2－1)≥0，故选D. 【答案】 D3．在集合{a ，b ，c ，d }上定义两种运算⊕和⊗如下：那么，d ⊗(a ⊕c )等于( ) A ．a B ．b C ．cD ．d【解析】 由⊕运算可知，a ⊕c ＝c ，∴d ⊗(a ⊕c )＝d ⊗c .由⊗运算可知，d ⊗c ＝a .故选A. 【答案】 A4．欲证2－3<6－7成立，只需证( ) A ．(2－3)2<(6－7)2B ．(2－6)2<(3－7)2C ．(2＋7)2<(3＋6)2D ．(2－3－6)2<(－7)2【解析】 ∵2－3<0，6－7<0，故2－3<6－7⇔2＋7<3＋6⇔(2＋7)2<(3＋6)2.故选C. 【答案】 C5．对任意的锐角α，β，下列不等式中正确的是( ) A ．sin(α＋β)>sin α＋sin β B ．sin(α＋β)>cos α＋cos β C ．cos(α＋β)>sin α＋sin β D ．cos(α＋β)<cos α＋cos β 【解析】 因为0<α<π2，0<β<π2，所以0<α＋β<π，若π2≤α＋β<π，则cos(α＋β)≤0， 因为cos α>0，cos β>0.所以cos α＋cos β>cos (α＋β)． 若0<α＋β<π2，则α＋β>α且α＋β>β，因为cos(α＋β)<cos α，cos(α＋β)<cos β， 所以cos(α＋β)<cos α＋cos β，总之，对任意的锐角α，β有cos(α＋β)<cos α＋cos β. 【答案】 D 二、填空题6．命题“函数f (x )＝x －x ln x 在区间(0,1)上是增函数”的证明过程“对函数f (x )＝x －x ln x 求导得f ′(x )＝－ln x ，当x ∈(0,1)时，f ′(x )＝－ln x >0，故函数f (x )在区间(0,1)上是增函数”应用了________的证明方法．【解析】 该证明方法是“由因导果”法．【答案】 综合法7．如果a a >b b ，则实数a ，b 应满足的条件是__________． 【解析】 要使a a >b b ， 只需使a >0，b >0，(a a )2>(b b )2， 即a >b >0. 【答案】 a >b >0 8．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是__________.【导学号：05410046】【解析】 若对任意x >0，x x ＋3x ＋1≤a 恒成立，只需求y ＝xx ＋3x ＋1的最大值，且令a 不小于这个最大值即可．因为x >0，所以y ＝xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12x ·1x＋3＝15，当且仅当x ＝1时，等号成立，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞. 【答案】 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞三、解答题9．已知倾斜角为60°的直线L 经过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点，其中O 为坐标原点．(1)求弦AB 的长； (2)求三角形ABO 的面积．【解】 (1)由题意得，直线L 的方程为y ＝3(x －1)， 代入y 2＝4x ，得3x 2－10x ＋3＝0. 设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝103.由抛物线的定义，得弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝103＋2＝163.(2)点O 到直线AB 的距离d ＝|－3|3＋1＝32，所以三角形OAB 的面积为S ＝12|AB |·d ＝433. 10．已知三角形的三边长为a ，b ，c ，其面积为S ，求证：a 2＋b 2＋c 2≥43S . 【证明】 要证a 2＋b 2＋c 2≥43S ，只要证a 2＋b 2＋(a 2＋b 2－2ab cos C )≥2 3 ab sin C ，即证a 2＋b 2≥2ab sin(C ＋30°)，因为2ab sin(C ＋30°)≤2ab ，只需证a 2＋b 2≥2ab ，显然上式成立．所以a 2＋b 2＋c 2≥43S .[能力提升]1．设a >0，b >0，若3是3a 与3b的等比中项，则1a ＋1b的最小值为( )A ．8B ．4C ．1 D.14【解析】 3是3a与3b的等比中项⇒3a·3b＝3⇒3a ＋b＝3⇒a ＋b ＝1，因为a >0，b >0，所以ab ≤a ＋b 2＝12⇒ab ≤14，所以1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥114＝4. 【答案】 B2．已知关于x 的方程x 2＋(k －3)x ＋k 2＝0的一根小于1，另一根大于1，则k 的取值范围是( )A ．(－1,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)【解析】 令f (x )＝x 2＋(k －3)x ＋k 2. 因为其图象开口向上，由题意可知f (1)<0， 即f (1)＝1＋(k －3)＋k 2＝k 2＋k －2<0， 解得－2<k <1. 【答案】 B3．如果a a ＋b b >a b ＋b a ，则实数a ，b 应满足的条件是__________.【导学号：05410047】【解析】 a a ＋b b >a b ＋b a ⇔a a －a b >b a －b b ⇔a (a －b )>b (a －b )⇔(a －b )(a －b )>0⇔(a ＋b )(a －b )2>0，故只需a ≠b 且a ，b 都不小于零即可． 【答案】 a ≥0，b ≥0且a ≠b4．已知α，β≠k π＋π2，(k ∈Z )且sin θ＋cos θ＝2sin α，sin θcos θ＝sin 2β.求证：1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β＋tan 2β. 【证明】 要证1－tan 2α1＋tan 2α＝1－tan 2β＋tan 2β成立，即证1－sin 2αcos 2 α1＋sin 2 αcos α＝1－sin 2βcos 2β2⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋sin 2βcos β.即证cos 2α－sin 2α＝12(cos 2β－sin 2β)，即证1－2sin 2α＝12(1－2sin 2β)，即证4sin 2α－2sin 2β＝1， 因为sin θ＋cos θ＝2sin α， sin θcos θ＝sin 2β，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝4sin 2α，所以1＋2sin 2β＝4sin 2α， 即4sin 2α－2sin 2β＝1. 故原结论正确.。