2016年秋季新版沪科版九年级数学上学期22.2、相似三角形的判定课件11

你能证明吗？
B
C B′
C′
可要仔细哟！
应用
已知:如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB.
解： ∵ ∠ A= ∠ A,∠ABD=∠C, ∴ △ABD ∽ △ACB , ∴ AB : AC=AD : AB, ∴ AB2 = AD ·AC. ∵ AD=2, AC=8, ∴ AB =4.
探究2
相似三角形判定
回顾与复习
相似三角形的判定方法: 两角对应相等，两三角形相似. 三边对应成比例,两三角形相似. 两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似.
探究1 知识要点
两角对应相等，两三角形相似.
如果∠A =∠A ′，∠B =∠B ′，
那么，△ABC ∽△ A′B′C′.
A
√ 角 A
角A A′
边S
√ 边 S
边S A′
C′
A
B
C
画一画
任意画一个三角形，再画一个三角形， 使它的各边长都是原来三角形各边长的 k倍，度量这两个三角形的对应角，它 们相等吗？这两个三角形相似吗？与同 桌交流一下，看看是否有同样的结论.
已知：在ABC和A' B'C'中， AB BC AC .
求证: △ ABC ∽△ A' B'C' .A'B'
证明：在线段A' B（' 或它的延长线
B A
'C
'
A'C '
A'
上）截取A' D AB，过点D再作
DE ∥B'C'交A'C'交于点E，可得B
CD
E
A' DE ∽A' B'C '.

16．如图，点D是Rt△ABC斜边上的一点，DE四边形DECF的面积是_______ 150．
三、解答题(共32分) 17．(10分)如图，已知△ACB与△DEF分别是以∠ACB与∠D为直角的等 腰直角三角形，且点E在边AB上，DE刚好过C点，EF交CB于点G，求证： △ACE∽△BEG.
解：证明：∵△CAB与△DEF都是等腰直角三角形，∴∠A＝∠B＝ ∠DEF＝∠F＝45°，而∠CEB＝∠DEF＋∠FEB＝∠A＋∠ACE， ∴∠ACE＝∠FEB，∴△ACE∽△BEG
18．(10分)如图，AD为△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延 长线于点E，交AB于点F.
求证：(1)△BAE∽△ACE；
7．(4 分)如图，O 为矩形 ABCD 的中心，将直角三角板的直角顶点 与 O 点重合，转动三角板使两直角边始终与 BC，AB 相交，交点分别为 M， N， 如果 AB＝4， AD＝6， OM＝x， ON＝y， 则 y 与 x 的关系式为( D ) 2 A．y＝ x 3 6 3 B．y＝ C．y＝x D．y＝ x x 2
8．(4 分)如图所示，将△ADE 绕正方形 ABCD 的顶点 A 顺时针旋转 90°，得△ABF，连接 EF 交 AB 于点 H，则下列结论错误的是( C ) A．AE⊥AF B．EF∶AF＝ 2∶1 C．AF2＝FH·FE D．FB∶FC＝HB∶EC
9．(8分)如图，正方形ABCD的边长等于6 cm，点P在AB上，且AP∶PB＝ 1∶2，PQ⊥PC交AD于点Q，求AQ的长．
【综合应用】 19．(12分)(1)把两个含有45°角的直角三角形板如图1放置，点D在BC
上，连接BE，AD，AD的延长线交BE于点F.求证：AF⊥BE.
(2)把两个含有30°角的直角三角板如图2放置，点D在BC上，连接BE ，AD，AD的延长线交BE于点F.问AF与BE是否垂直？并说明理由．

由此得出，BC=2B′C′
从而
B'C BC
'
1 2
A'B' AB
A'C ' . AC
因此△ A′B′C′∽△ABC. (三边对应成比例的两个三角形相似
22.2.4 相似三角形的判定（4）
课堂小结
定理：三边对应成比例的两个三角形相似
利用三边 判定三角 形相似
相似三角形的判定定理3的运用
22.2.4 相似三角形的判定（4）
22.2.4 相似三角形的判定（4）
新知应用
例1 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
C
3
3.5
D 2.4
E
1.8
2.1 F
A
4
B
解：在△ABC 中，AB>BC>CA,在△DEF中，DE>EF>FD.
DE 2.4 0.6, EF 2.1 0.6, FD 1.8 0.6,
AB 4
BC 3.5
随堂练习 已知△ABC 和 △DEF,根据下列条件判断它们是否相似.
(1)AB=3， BC=4， AC＝6. 否
DE＝6， EF＝8， DF＝9.
(2)AB=4， BC=8， AC＝10. 是 DE＝20， EF＝16， DF＝8.
(3) AB=12， BC=15， AC＝24.
否
DE＝16， EF＝20， DF＝30.
(2)两个三角形在同一图形中. C
22.2.4 相似三角形的判定（4）
新知探究
(3)判定定理1：两角分别相等的两个三角形相似.
(4)判定定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
思考：类比全等三角形的判定方法，还有其他判定两个三角 形相似的方法吗？

注意：要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上.
反之,写在对应位置上的字母就是对应角的顶点！
思考：①如果△ABC∽△DEF，相似比k1,△DEF∽ △ABC,相似比为k2, 那么k1,k2有怎样的关系？
k1k2=1
②如果k1＝1，这两个三角形有怎样的 关系？
全等
相似三角形的各对应角相等，各对应 边对应成比例.
B
C
．
∴△ADE∽△ABC．
Ⅱ、利用全等三角形和平行四
边形知识
A
过点D作DF∥AC交BC于点F，
D
E
则△ADE≌△DBF（ASA）
且 （四两边组形对D边F分CE别为平平行行的四四边边形形. 是B 平行四F边 C
形）
∴DE＝BF＝FC.
∴
∴△ADE∽△ABC．
［猜想］2、通过上面的特例，可以猜测：
如果△ABC∽△DEF,那么 ∠A=∠D,∠B=∠E,∠C=∠F.
AB AC BC DE DF EF
D A
B
CF
E
[回顾]全等三角形知多少
什么样的两个三角形叫做全等三角形? 三角对应相等,三边也对应相等的两个三角形全等. 全等三角形有什么性质? 全等三角形的对应角相等,对应边相等. 你还记得三角形全等的判定条件吗? 边角边(SAS);角边角(ASA);角角边(AAS);边边边
F2 F1 C
∴ AD1 AE1 D1E1
AB AC BC
∴△AD1E1∽△ABC ∴△AD1E1∽△AD2E2∽△ABC．
当D为AB上任一点时，如图，过D点作DE∥BC 交AC于点E，都有△ADE与△ABC相似．
A
A
DE
A
D
EB
C

∴ △ ABC∽ △ A′B′C′
(三边对应成比例的两个三角形相似.)
15
例4 在△ABC和△A′B′C′中，已知： AB＝6cm，BC＝
8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm
．试证明△ABC与△A′B′C′相似．
证明
∵
AB 6 1 A′ B′ ＝18＝3
1 那么这两个三角形相似吗？应值边为A13 D判等方．与断时法将A两，？点B个使判的E三用断由长角了三点度形哪角A的全些形开比始
在AC上相移似动是，否可有类以似发的现当
AE＝____3_方_法__呢A？C时，
△时AADDE与△1 ABC相似．此
E
3 AB =__________．
4
活动一：利用刻度尺和量角器画两个三角形，使
它们如的果两条一对个应三边角成形比的例，两并条且边夹与角另相一等个．量三一角量形 的第两三条条对边应对边应的成长比，例计，算它并们且的夹比角与相前等两，条对那应么边这 两的个比三是否角相形等相．似另．两(个简角单是的说否成对：应两相边等对？应你成能比得例出且
夹什角么相结等论的？两个三角形相似 )
B E
（如果一个三角形的两
依据下列各组条件，证明△ABC和△A条′B′边C′相与似另一个三角形的
∠40A°＝，40A°′B，′＝A1B6＝，8A，′CA′＝C3＝01．5，两且个∠条夹三A边角角′＝对 相 形应 等 相成 ， 似比 那 ）例 么 ．， 这9 并 两
1、已知,如图所示，D是△ABC的边AB上的一点，根据下列
7
两边对应成比例且一边的对角 对应相等的两三角形不一定相似
A
4
3.2
3.2
50°

△A'B'C'
A'
B
C
D
E
B'
C'
A'DDEA'E ABBCAC ,A'DAB
A'B' B'C' A'C' A'B' B'C' A'C'
要证明△ABC∽△A'B'C'，
A'E AC A'C' A'C'
A'EAC
可以先作一个与△ABC全 等的三角形，证明它与
∴△A'DE≌△ABC
△A'B'C'相似，这里所作
A'C'，∠A =∠A' ，求证：△A'B'C' ∽ △ABC
证明：在△ABC 的边AB（或延长线）上，截取AD＝A'B'，
过点D作BC的平行线DE交AC于点E，则△ADE ∽ △ABC.
AB AC , AD A' B ' , AD AE
A'
A
AB AC . A' B ' AE
AB AC ,
22.2 相似三角形 的判定（2）
一、新课引入
相似三角形判定定理1： 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两 个角对应相等.那么这两个三角形相似. （可简单说成：两个角分别相等的两个三角形相似 ）
二、新课讲解 问题
类似于判定三角形全等的SAS方法，我们能 不 能通过两边和夹角来判断两个三角形相似呢？
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/52021/9/52021/9/52021/9/59/5/2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月5日星期日2021/9/52021/9/52021/9/5 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/52021/9/52021/9/59/5/2021 16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/52021/9/5September 5, 2021 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/52021/9/52021/9/52021/9/5

感悟新知
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
知2－练
∴ AB∥CD，AD∥BC，AB＝CD.
∴△BEF ∽△CDF，△BEF ∽△AED.∴△CDF ∽△AED.
∵ AB＝3BE，∴△BEF与△CDF的相似比k1＝CBDE＝BAEB＝
1 3
；
△
BEF
与
△
AED
的
相
似
比
k2
＝
BE AE
＝
1 4
；
△
CDF
知1－练
感悟新知
知识点 2 平行线截三角形相似的定理
知2－讲
1. 定理 平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的
延长线)相交，截得的三角形与原三示，
∵ DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE.
书写两个三角形相似时，要把表示对应顶 点的大写字母写在对应的位置上.
感悟新知
知2－练
解题秘方：判断是用“平行线截线段成比例”，还是用 “平行线截三角形相似的对应边成比例”解 题是关键.
解：由题意知BD⊥AB，AC⊥AB，∴ BD∥AC. ∴△ACE∽△BDE. ∴ BADC＝ABEE，即A1C＝1.60－.20.2 . ∴ AC＝7 米.
感悟新知
知2－练
3-1.
感悟新知
知2－讲
2. 作用 本定理是相似三角形判定定理的预备定理， 它通过平行证三角形相似，再由相似证对应角相 等、对应边成比例.
感悟新知
特别提醒
知2－讲
根据定理得到的相似三角形的三个基本图形中都有
BC∥DE，图22.2-4 ①②很像大写字母A，故我们称之为
“A”型相似；图22.2-4 ③
很像大写字母X，故我们

AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥EC
1
2
求证：△ABC∽△CDE。 B C
D
证明：
∵AB⊥BD、ED⊥BD∴∠ABC=∠CDE=90°
∴∠1+∠A=90°
∵AC⊥EC ∴∠1+∠2=90°∴∠A=∠2
∴△ABC∽△CDE
能力与提高
如图所示：已知Rt△ABC和 A
Rt△DEF不相似，其中∠C、∠F
为直角。能否将两个三角形分别分 C
过点D作BC的平行线DE交AC于点E，则有： △ADE∽△ABC ∵∠ADE=∠B，∠B=∠B′ ∴∠ADE=∠B′ 又∵∠A=∠A′，AD=A′B′ ∴△ADE≌△A′B′C′(ASA) ∴△A′B′C′∽△ABC
定理1： 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形
的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 （可简单说成：两个角分别相等的两个三角形相似）
A
DE B AC
B
C
D
E
ED
A
B
C
符号语言 在△ABC中， 若DE∥BC，（如图所示） 则△ADE∽△ABC。
巩固练习
如图，在平行四边形ABCD中，
DE交BC于F，交AB的延长线于点E。
D
C （1）请写出图中相似的三角形；
F
（2）请由其中的一对相似三角形写
A
出相应的比例式；
B
E （3）请说明AE·BF与AD·BE是否
即写成△ABC∽△A′B′C′，表明对应关系 是唯一确定的，即A与A′、B与B′、C与C′分别 对应。如果仅说“这两个三角形相似”，没有 用“∽”表示的，则没有说明对应关系。
相似三角形的对应关系
对于△ABC∽△A′B′C′，根据相似三角形的定 义，应有∠A= ∠A′，∠B= ∠B′，∠C=∠C′，

沪科版九年级数学（上）
第22章 相似三角形
22.2 相似三角形的判定
观察回顾：
相似多边形的判定：
对应角相等，对应边的比相等 的两个多边形为相似多边形。
两个条件要 同时具备
1、相似三角形的定义
相似三角形定义：对应角相等,三组对应边的 比也相等的两个三角形是相似三角形.
A′∵ A A,B B,C C
讨论：若：AB 3, BC 5, AC 6,
A' B' 6, B'C' 10, A'C' 14. 这两个三角形还是相似的吗？
猜想？
类似于判定三角形全等的SAS方法， 我们能不能通过两边及其夹角来判定两个 三角形相似呢？
已知：在ABC和A' B'C'中，AA'BB'
AC , A A'C'
A'
∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B'
A
A'
∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'
B
C B' C'
例3、已知如图直线BE、DC交于A ， ∠E= ∠C。求证：DA·AC=AB·AE
证明：
∵ ∠E=∠C ∠DAE=∠BAC D
E
∴ △ABC ∽ △ADE
A
∴ AC :AE=AB :AD
∴ DA ·AC=AB ·AE
C
同理 ΔCBD ∽ ΔABC 。
∴ ΔABC∽ΔCBD∽ΔACD。
AD
B
求证（2）AC2=AD ·AB
CD2=AD ·DB
A
D
B
C
2、如图：在Rt △ ABC中， ∠ABC=900，BD⊥AC于D 若 AB=6 AD=2 则AC= 18 BD= 4 √2 BC= 12√2

AB AC
都等于给定的值k,量出它们的第三组对应边BC和B′C′的长,它们 的比等于k吗?另外两组对应角∠B与∠B′、∠C与∠C′是否相等?
新课讲解
1.相似三角形的判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个 三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角
形相似(可简单说成：两边成比例且夹角相等的两个三角形相
⇔△ABC∽△A′B′C′.
新课讲解
要点精析： (1)判定两个三角形相似的必备条件：三个角分别相等， 三条 边成比例； (2)两个三角形相似又为解题提供了条件； (3)相似三角形具有传递性：即若
△ABC∽△A′B′C′△A′B′C′∽△A″B″C″，△ABC∽△A″B″C″；
(4)相似比为1的两个相似三角形全等，反过来两个全等三角形 可以看作是相似比是1的相似三角形．
作△ABC与△A1B1C1,使得∠A=∠A1,∠B=∠B1,这时它们
的第三个角满足∠C=∠C1吗?分别度量这两个三角形
的边长,计算 AB , BC , AC A1B1 B1C1 A1C1
,你有什么发现?把你的结果与
邻座的同学比较,你们的结论一样吗?△ABC与△A1B1C1
相似吗?
新课讲解
1.相似三角形的判定定理1：如果一个三角形的两个角 分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两 个三角形相似(可简单说成：两角分别相等的两个三 角形相似)．
新课讲解
证明：∵EF 垂直平分AD， ∴AF＝DF，∴∠FAD＝∠3. 又∵∠B＝∠3－∠1，∠4＝∠FAD－∠2，
∠1＝∠2，
∴∠B＝∠4. 又∵∠BFA＝∠AFC， ∴△ABF∽△CAF.
新课讲解
知识点03 似三角形判定定理2
利用刻度尺和量角器画△ABC和△A′B′C′,使∠A=∠A′, AB 和 AC