苏教版高中数学必修三同步练测：2.4线性回归方程.docx

2.4 线性回归方程一、填空题1．下列两变量具有相关关系的是________． ①正方体的体积与棱长；②匀速行驶的车辆的行驶时间与行驶距离； ③人的身高与体重； ④人的身高与视力； ⑤角的大小与所对弧长； ⑥人的年龄与身高．【解析】 ①正方体的体积V 与棱长a 之间的关系是V ＝a 3； ②行驶距离s 与时间t 之间是s ＝vt ； ⑤角α与弧长l 之间是l ＝rα； ④人的身高与视力没有相关关系； ③⑥具有相关关系． 【答案】 ③⑥2．已知回归直线方程y ∧＝0.5x －0.801，则当x ＝25时，y 的估计值为________．【解析】 将x ＝25代入y ∧＝0.5×25－0.801＝11.699. 【答案】 11.6993．有一个线性回归方程为y ∧＝2－1.5x ，则变量x 增加一个单位时，y 平均________个单位．【解析】 ∵b ＝－1.5，∴x 每增加一个单位时y 减少1.5. 【答案】 减少1.54．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y ＝bx ＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额的估计值为________万元．【解析】 样本中心点是(3.5,42)，则a ＝y －b x ＝42－9.4×3.5＝9.1，所以回归方程是y ∧＝9.4x ＋9.1，将x ＝6代入得y ∧＝65.5. 故广告费用为6万元时销售额的估计值为65.5元． 【答案】 65.55．某学生四次模拟考试时，其英语作文的减分情况如下表：显然所减分数y ________．【解析】 x ＝14(1＋2＋3＋4)＝2.5，y ＝14(4.5＋4＋3＋2.5)＝3.5，∑4i ＝1x 2i ＝(12＋22＋32＋42)＝30，∑4i ＝1y 2i ＝(4.52＋42＋32＋2.52)＝51.5， ∑4i ＝1x i y i ＝(1×4.5＋2×4＋3×3＋4×2.5)＝31.5，b ＝31.5－4×2.5×3.530－4×2.52＝－0.7，a ＝3.5－(－0.7)×2.5＝5.25，∴方程为y ∧＝－0.7x ＋5.25.【答案】 y ∧＝－0.7x ＋5.256．某单位为了制定节能减排的目标，先调查了用电量y(单位：度)与气温x(单位：℃)之间的关系，随机抽取了4天的用量与当地气温，并制作了对照表：由表中数据，得回归方程y ∧＝－2x ＋a ，当气温为－5 ℃时，预测用电量为________度．【解析】 由表中数据计算可得x ＝10，y ＝40，∵回归方程一定过样本点的中心，代入回归方程，得a ＝60，∴y ∧＝－2x ＋60.当x ＝－5时，代入回归方程，得y ＝70.【答案】 707．下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产A 产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗y(吨标准煤)的几组对应数据．根据下表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ∧＝0.7x ＋0.35，那么表中t 的值为________．【解析】 由表中数据求得x ＝4.5，又点(x ，y )在回归直线y ∧＝0.7x ＋0.35上，代入解得y ∧＝3.5，所以2.5＋t ＋4＋4.5＝4×3.5， 解得t ＝3. 【答案】 38．为了了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x(单位：小时)与当天投篮命中率y 之间的关系：小李这56号打6小时篮球的投篮命中率为________．【解析】 平均命中率y ＝15(0.4＋0.5＋0.6＋0.6＋0.4)＝0.5；而x ＝3，∑i ＝15x i y i ＝7.6，∑i ＝15x2i＝55，由公式得b ＝0.01，a ＝y －b x ＝0.5－0.01×3＝0.47，∴y ∧＝0.01x ＋0.47，令x ＝6，得y ∧＝0.53. 【答案】 0.5 0.53二、解答题9．下面是某班学生每周用于学习数学的时间x 与数学成绩y 的一组观测数据：(1)(2)你能从散点图中发现学习时间与数学成绩近似成什么关系吗？数学成绩会一直随学习时间的增加而增长吗？【解】 (1)散点图如图所示：(2)从图中可以发现学习时间与数学成绩具有相关关系，当学习时间由小到大变化时，数学成绩也由小到大，图中的数据点大致分布在一条直线的附近，因此学习时间和数学成绩近似成线性相关关系，但数学成绩只是在一定范围内随着学习时间的增加而增长．10．(2012·福建高考)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：单价x/元 8 8.2 8.4 8.6 8.8 9 销量y/件908483807568(1)求回归直线方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本)【解】 (1)由于x ＝16×(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，y ＝16×(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80，所以a ＝y －b x ＝80＋20×8.5＝250，从而回归直线方程为y ∧＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元， 依题意得L ＝x(－20x ＋250)－4(－20x ＋250)＝－20x 2＋330x －1 000＝－20(x －8.25)2＋361.25. 当且仅当x ＝8.25时，L 取得最大值．故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．11．在测量一根新弹簧的劲度系数时，测得了如下的结果：所挂重量x/N 1 2 3 5 7 9 弹簧长度y/cm111212131416(1)(2)弹簧长度与所挂重量之间的关系是否具有线性相关性，若具有请根据上表提供的数据，求出y 关于x 的回归方程y ∧＝bx ＋a ；(3)根据回归方程，求挂重量为8 N 的物体时弹簧的长度，所求的长度是弹簧的实际长度吗？为什么？【解】 (1)散点图如下：(2)由散点图可知，弹簧长度与所挂重量之间的关系具有线性相关性．列表，计算：i 1 2 3 4 5 6 x i 1 2 3 5 7 9 y i 11 12 12 13 14 16 x i y i 11 24 36 65 98 144 x 2i149254981x ＝4.5，y ＝13，∑6i ＝1x i y i ＝378，∑6i ＝1x 2i ＝169 b ＝∑6i ＝1x i y i －6x y∑6i ＝1x 2i －6x2＝378－6×4.5×13169－6×4.52≈0.6，a ＝y －b x ＝13－4.5×0.6＝10.3，所以回归方程为：y ∧＝0.6x ＋10.3.(3)当x ＝8时，y ∧＝15.1,15.1 cm 不是弹簧的实际长度，只是估计值.。

（新课标）2018-2019学年苏教版高中数学必修三2.4 线性回归方程课时目标 1.理解两个变量的相关关系的概念.2.会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系.3.会求线性回归方程．1．与函数关系不同，相关关系是一种有关系，但不是确定性的关系．2．能用直线方程________近似表示的相关关系叫做线性相关关系，该方程叫______，给出一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，线性回归方程中的系数a ，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧b ＝ a ＝.上式还可以表示为⎩⎪⎨⎪⎧b ＝ ，a ＝ .一、填空题1．下列两个变量之间的关系，不是函数关系的为______．(填序号) ①匀速行驶车辆的行驶距离与时间； ②圆半径与圆的面积；③正n 边形的边数与内角度数之和； ④人的年龄与身高．2．下列有关线性回归的说法，不正确的是________．①变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系；②在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图；③线性回归方程最能代表观测值x 、y 之间的关系； ④任何一组观测值都能得到具有代表意义的线性回归方程．3．工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的线性回归方程为 ＝60＋90x ，下列判断正确的是________．①劳动生产率为1千元时，工资为50元； ②劳动生产率提高1千元时，工资提高150元；③劳动生产率提高1千元时，工资约提高90元；④劳动生产率为1千元时，工资90元．4．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)在实际生活中的回归方程可能是________．①＝－10x＋200；②＝10x＋200；③＝－10x－200；④＝10x－200.5．给出两组数据x、y的对应值如下表，若已知x、y是线性相关的，且线性回归方程：y＝a＋bx，经计算知：b＝－1.4，则a＝________.x 45678y 121098 66.线性回归方程表示的直线＝a＋bx必经过点____________．7．若对某个地区人均工资x与该地区人均消费y进行调查统计得y与x具有相关关系，且线性回归方程＝0.7x＋2.1(单位：千元)，若该地区人均消费水平为10.5，则估计该地区人均消费额占人均工资收入的百分比约为________．8．设有一个回归方程＝3－2.5x，当变量x增加一个单位时，变量y________个单位．9．期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y对总成绩x的线性回归方程为＝6＋0.4x.由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差______分．二、解答题10．下表是某旅游区游客数量与平均气温的对比表：平均气温(℃)－1410131826数量(百个)202434385064若已知游客数量与平均气温是线性相关的，求回归方程．11．5个学生的数学和物理成绩(单位：分)如下表：学生A B C D E学科数学8075706560物理7066686462画出散点图，判断它们是否具有相关关系，若相关，求出回归方程．能力提升12．在研究硝酸钠的可溶性程度时，观测它在不同温度的水中的溶解度，得观测结果如下：温度x(℃)010205070溶解度y 66.776.085.0112.3128.0则由此得到回归直线的斜率约为________．13．炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系．如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量x与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一列数据，如下表所示：x(0.01% )104181917714713415191204121y(min)10202118515513517205235125若由数据知y对x呈线性相关关系．(1)求线性回归方程．(2)预测当钢水含碳量为160时，应冶炼多少分钟？1．线性回归方程＝bx＋a中的系数a，b的计算公式为：⎩⎪⎨⎪⎧b ＝∑ni ＝1(x i －x )(y i －y )∑n i ＝1 (x i －x )2＝∑ni ＝1x i y i －n x y ∑ni ＝1x 2i －n x 2a ＝y －b x其中：b 是回归方程的斜率，a 是截距． 2．回归方程的求解过程 计算x ，y ，∑ni ＝1x 2i ，∑ni ＝1x i y i ⇓计算b ＝∑ni ＝1x i y i －n x y ∑n i ＝1x 2i －n x 2，a ＝y －b x⇓3．在回归方程 ＝bx ＋a 中，当回归系数b >0时，说明两个变量呈正相关关系，它的意义是：当x 每增加一个单位时y 就增加b 个单位；当b <0时，说明两个变量呈负相关关系，它的意义是：当x 每增加一个单位时，y 就减少b 个单位．2．4 线性回归方程知识梳理2. ＝bx ＋a 线性回归方程 n ∑ni ＝1x i y i －(∑ni ＝1x i )(∑ni ＝1y i )n ∑ni ＝1x 2i －(∑ni ＝1x i )2y －b x∑ni ＝1x i y i －n x y ∑ni ＝1x 2i －n x2＝∑ni ＝1(x i －x )(y i －y )∑ni ＝1(x i －x )2y －b x作业设计 1．④解析 人的年龄与身高具有相关关系． 2．④解析 只有所有的数据点都分布在一条直线附近时，才能得到回归直线． 3．③解析 因工人月工资与劳动生产率变化的线性回归方程为 ＝60＋90x ，当x 由a 提高到a ＋1时， 2－ 1＝60＋90(a ＋1)－60－90a ＝90. 4．①解析 ∵在实际生活中，当销售价格提高时，商品销售量一般要降低，∴排除②、④，又∵③中x>0时 <0不合题意，∴③错． 5．17.4 解析x ＝15(4＋5＋6＋7＋8)＝6，y ＝15(12＋10＋9＋8＋6)＝9.a ＝y －b x ＝9＋1.4×6＝9＋8.4＝17.4. 6．(x ，y )解析 由a ＝y －b x 得y ＝b x ＋a ， 即点(x ，y )适合方程 ＝a ＋bx. 7．87.5%解析 设该地区人均工资收入为y ， 则y ＝0.7x ＋2.1，当y ＝10.5时，x ＝10.5－2.10.7＝12.10.512×100%＝87.5%. 8．减少2.5解析′＝3－2.5(x＋1)＝3－2.5x－2.5＝－2.5，因此，y的值平均减少2.5个单位．9．20解析令两人的总成绩分别为x1，x2.则对应的数学成绩估计为＝6＋0.4x1，2＝6＋0.4x2，所以| 1－2|＝|0.4(x1－x2)|＝0.4×50＝20.10．解x＝706＝353，y＝2306＝1153，∑6i＝1x2i＝1＋16＋100＋169＋324＋676＝1 286，∑6i＝1x i y i＝－20＋96＋340＋13×38＋18×50＋26×64＝3 474.b＝∑6i＝1x i y i－6x y∑6 i＝1x2i－6x2＝3 474－6×353×11531 286－6×(353)2≈1.68，a＝y－b x≈18.73，即所求的回归方程为＝1.68x＋18.73.11．解以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩，可得到相应的散点图如图所示：由散点图可知，两者之间具有相关关系，且为线性相关．列表，计算i 1 2 3 4 5x i80 75 70 65 60y i70 66 68 64 62x i y i 56004950476041603720x2i 64005625490042253600x＝70，y＝66，∑5i＝1x2i＝24 750，∑5i＝1x i y i＝23 190设所求回归方程为＝bx＋a，则由上表可得b＝∑5i＝1x i y i－5x y∑5 i＝1x2i－5x2＝90250＝0.36，a ＝y －b x ＝40.8.∴所求回归方程为 ＝0.36x ＋40.8. 12．0.880 9 解析x ＝30，y ＝93.6，∑5i ＝1x 2i ＝7 900，∑5i ＝1x i y i ＝17 035，所以回归直线的斜率b ＝∑5i ＝1x i y i －5x y ∑5i ＝1x 2i －5x 2＝17 035－5×30×93.67 900－4 500≈0.880 9.13．解 (1)列出下表，并用科学计算器进行计算： i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x i 104 180 190 177 147 134 150 191 204 121 y i 100 200 210 185 155 135 170 205 235 125 x i y i10400360003990032745227851809025500391554794015 125x ＝159.8，y ＝172，∑10i ＝1x 2i ＝265 448，∑10i ＝1y 2i ＝312 350，∑10i ＝1x i y i ＝287 640 设所求线性回归方程为 ＝bx ＋a ，b ＝∑10i ＝1x i y i －10x y∑10i ＝1x 2i －10x2≈1.27，a ＝y －b x ≈－30.95.即所求的线性回归方程为 ＝1.27x －30.95.(2)当x ＝160时， ＝1.27×160－30.95≈172(min )，即大约冶炼172 min .。

一、填空题 1．有下列关系：①人的年龄与其拥有的财富之间的关系； ②曲线上点与该点的坐标之间的关系； ③苹果的产量与气候之间的关系；[]④森林中的同一树木，其横截面直径与高度之间的关系； ⑤学生与其学号之间的关系． 其中具有相关关系的是________． 解析：②⑤为确定关系不是相关关系． 答案：①③④2．已知x ，y 之间的一组数据为：x 0 1 2 3 y1357则回归直线y ^＝bx ＋a 必过点________．解析：x ＝32，y ＝4，∴y ^＝bx ＋a 必过点(32，4)．答案：(32，4)3．已知某工厂在2011年每月产品的总成本y (万元)与月产量x (万件)之间有线性相关关系，回归方程为y ^＝1.215x ＋0.974，若月产量增加4万件时，则估计成本增加________万元．解析：由y ^1＝1.215x 1＋0.974， y ^2＝1.215(x 1＋4)＋0.974， 得y ^2－y ^1＝1.215×4＝4.86(万元)． 答案：4.864．下表是广告费用与销售额之间的一组数据：广告费用(千元) 1 4 6 10 14 销售额(千元)1944405253销售额y (千元)与广告费用x (千元)之间有线性相关关系，回归方程为y ^＝2.3x ＋a (a为常数)，现要使销售额达到6万元，估计广告费用约为________千元． 解析：x ＝7，y ＝41.6，则a ＝y －2.3x ＝41.6－2.3×7＝25.5. 当y ＝6万元＝60千元时，60＝2.3x ＋25.5，解得x ＝15(千元)． 答案：155．(2011·广东汕头模拟)下表提供了某厂节能降耗技术改造后，在生产A 产品过程中记录的产量x (单位：吨)与相应的生产能耗y (单位：×103 kJ)几组对应的数据：x 3 4 5 6 y2.5t44.5y ＝0.7x ＋0.35，那么表中t 的值为________．解析：由y ＝0.7x ＋0.35，得2.5＋t ＋4＋4.54＝0.7×3＋4＋5＋64＋0.35，故11＋t 4＝3.5，即t ＝3.答案：3 二、解答题6．下表是某地降雨量与年平均气温．判断两者是否具有相关关系，求线性回归方程是否有意义. 年平均气温(℃) 12.51 12.71 12.84 13.69 13.33 12.74 13.05 年降雨量(mm)748750507813574701432解：以x 表示年平均气温，y 表示年降雨量，可得如下图所示的散点图．因为上图中各点并不在一条直线的附近，所以两者不具有线性相关关系，没必要用回归直线进行拟合，所以即使用公式求得线性回归方程也是没有意义的． 7．某人今年1月份加盟了一个食品连锁店，下表为近5个月的营业额：月 份 2 3 45 6 营业额(万元)1012131416解：x ＝4，y ＝13，∑i ＝15x i y i ＝274，∑i ＝15x 2i ＝90.∴b ＝∑i ＝15x i y i －5 x y∑i ＝15x 2i －5 x 2＝274－5×4×1390－5×42＝75，∴a ＝y －b x ＝13－75×4＝7.4，∴y ^＝1.4x ＋7.4. 当x ＝7时，y ^＝17.2.即今年7月份的营业额约17.2万元．8．一台机器由于使用时间较长，但还可以用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少随机器运转的速度而变化，下表为抽样试验结果.转速x /(rad/s)16 14 12 8 每小时生产有缺点的零件数y /件11985(1)画出散点图；(2)如果y 与x 有线性相关关系，求线性回归方程；(3)若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？ 解：(1)画出散点图，如图．(2)x ＝12.5，y ＝8.25，∑i ＝14x i y i ＝438，∑i ＝14x 2i ＝660，所以b ＝∑i ＝14x i y i －4x y∑i ＝14x 2i －4x2＝438－4×12.5×8.25660－4×12.52≈0.728 6，a ＝y －b x ≈8.25－0.728 6×12.5＝－0.857 5. 所以线性回归方程为y ^＝0.728 6x －0.857 5. (3)要使y ^≤10，则0.728 6x －0.857 5≤10， x ≤14.901 9.所以机器的转速应控制在15 rad/s 以下．。

2.4 线性回归方程A组1．下列关系中为相关关系的有________．①学生的学习态度和学习成绩之间的关系；②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系．解析：据相关性的定义可知①②为相关关系，③④无相关关系．答案：①②2．有关线性回归的说法，不正确的是________．①相关关系的两个变量不是因果关系；②散点图能直接地反映数据的相关程度；③回归直线最能代表线性相关的两个变量之间的关系；④任意一组数据都有回归方程．解析：并不是每一组数据都有回归方程，例如当一组数据的线性相关系数很小时，这组数据就不会有回归方程．答案：④3．线性回归方程y^＝bx＋a必经过点________．解析：根据求系数公式a＝y－b x可知：y＝b x＋a，即点(x，y)能使^＝bx＋a成立，所以线性回归方程y^＝bx＋a必经过点(x，y)．线性回归方程y答案：(x，y)4．正常情况下，年龄在18岁到38岁的人，体重y(kg)对身高x(cm)的回归方程为y^＝0.72x－58.2，张红同学(20岁)身高178 cm，她的体重应该在________kg 左右．解析：用回归方程对身高为178 cm的人的体重进行预测，当x＝178时，y^＝0.72×178－58. 2＝69.96(kg)．答案：69.96B组一、填空题1．(2011年盐城调研)有下列关系：①人的年龄与他(她)拥有的财富之间的关系；②曲线上的点与该点的坐标之间的关系；③日照时间与水稻的亩产量；④森林中同一种树木，其断面直径与高度之间的关系．其中，具有相关关系的是________．解析：相关关系是一种不确定性的关系，显然②具有确定性关系．答案：①③④2．下列说法：①线性回归方程适用于一切样本和总体；②线性回归方程一般都有局限性；③样本取值的范围会影响线性回归方程的适用范围；④线性回归方程得到的预测值是预测变量的精确值．正确的是________(将你认为正确的序号都填上)．解析：样本或总体具有线性相关关系时，才可求线性回归方程，而且由线性回归方程得到的函数值是近似值，而非精确值，因此线性回归方程有一定的局限性．所以①④错．答案：②③3．下面四个散点图中点的分布状态，直观上判断两个变量之间具有线性相关关系的是________．解析：散点图①中的点无规律的分布，范围很广，表明两个变量之间的相关程度很小；②中所有的点都在同一条直线上，是函数关系；③中点的分布在一条带状区域上，即点分布在一条直线的附近，是线性相关关系；④中的点也分布在一条带状区域内，但不是线性的，而是一条曲线附近，所以不是线性相关关系，故填③.答案：③4．设有一个线性回归方程y^＝4－3x，当变量x增加1个单位时，y平均。

高中数学2.4线性回归方程课时作业苏教版必修3课时目标1.理解两个变量的相关关系的概念.2.会作散点图，并利用散点图判断两个变量之间是否具有相关关系.3.会求线性回归方程．1．与函数关系不同，相关关系是一种有关系，但不是确定性的关系．2．能用直线方程________近似表示的相关关系叫做线性相关关系，该方程叫______，给出一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，线性回归方程中的系数a ，b 满足⎩⎪⎨⎪⎧b ＝a ＝.上式还可以表示为⎩⎨⎧b ＝，a ＝.一、填空题1．下列两个变量之间的关系，不是函数关系的为______．(填序号) ①匀速行驶车辆的行驶距离与时间； ②圆半径与圆的面积；③正n 边形的边数与内角度数之和； ④人的年龄与身高．2．下列有关线性回归的说法，不正确的是________．①变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系；②在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图；③线性回归方程最能代表观测值x、y之间的关系；④任何一组观测值都能得到具有代表意义的线性回归方程．3．工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的线性回归方程为＝60＋90x，下列判断正确的是________．①劳动生产率为1千元时，工资为50元；②劳动生产率提高1千元时，工资提高150元；③劳动生产率提高1千元时，工资约提高90元；④劳动生产率为1千元时，工资90元．4．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)在实际生活中的回归方程可能是________．①＝－10x＋200；②＝10x＋200；③＝－10x－200；④＝10x－200.5．给出两组数据x、y的对应值如下表，若已知x、y是线性相关的，且线性回归方程：y＝a＋bx6.．7．若对某个地区人均工资x与该地区人均消费y进行调查统计得y与x具有相关关系，且线性回归方程＝0.7x＋2.1(单位：千元)，若该地区人均消费水平为10.5，则估计该地区人均消费额占人均工资收入的百分比约为________．8．设有一个回归方程＝3－2.5x，当变量x增加一个单位时，变量y________个单位．9．期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y对总成绩x的线性回归方程为＝6＋0.4x.由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差______分．二、解答题1011．5能力提升12．在研究硝酸钠的可溶性程度时，观测它在不同温度的水中的溶解度，得观测结果如下：13．炼钢是一个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系．如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳量x与冶炼(1)求线性回归方程．(2)预测当钢水含碳量为160时，应冶炼多少分钟？知识梳理2. ＝bx ＋a 线性回归方程n ∑ni ＝1x i y i －(∑ni ＝1x i )(∑ni ＝1y i )n ∑ni ＝1x 2i－(∑ni ＝1x i )2y －b x∑ni ＝1x i y i －n x y∑n i ＝1x 2i－n x 2＝∑ni ＝1(x i －x )(y i －y )∑n i ＝1(x i －x )2y －b x作业设计 1．④解析 人的年龄与身高具有相关关系． 2．④解析 只有所有的数据点都分布在一条直线附近时，才能得到回归直线． 3．③解析 因工人月工资与劳动生产率变化的线性回归方程为＝60＋90x ，当x 由a 提高到a ＋1时，2－1＝60＋90(a ＋1)－60－90a ＝90.4．①解析 ∵在实际生活中，当销售价格提高时，商品销售量一般要降低，∴排除②、④，又∵③中x>0时 <0不合题意，∴③错． 5．17.4解析 x ＝15(4＋5＋6＋7＋8)＝6，y ＝15(12＋10＋9＋8＋6)＝9.a ＝y －b x ＝9＋1.4×6＝9＋8.4＝17.4. 6．(x ，y )解析 由a ＝y －b x 得y ＝b x ＋a ， 即点(x ，y )适合方程＝a ＋bx. 7．87.5%解析 设该地区人均工资收入为y ， 则y ＝0.7x ＋2.1，当y ＝10.5时，x ＝10.5－2.10.7＝12.10.512×100%＝87.5%. 8．减少2.5解析 ′＝3－2.5(x ＋1)＝3－2.5x －2.5＝－2.5， 因此，y 的值平均减少2.5个单位． 9．20解析 令两人的总成绩分别为x 1，x 2.则对应的数学成绩估计为＝6＋0.4x 1，2＝6＋0.4x 2， 所以| 1－2|＝|0.4(x 1－x 2)|＝0.4×50＝20.10．解 x ＝706＝353，y ＝2306＝1153，∑6i ＝1x 2i ＝1＋16＋100＋169＋324＋676＝1 286，∑6i ＝1x i y i ＝－20＋96＋340＋13×38＋18×50＋26×64＝3 474.b ＝∑6i ＝1x i y i －6x y ∑6i ＝1x 2i －6x 2＝3 474－6×353×11531 286－6×(353)2≈1.68，a ＝y －b x ≈18.73，即所求的回归方程为＝1.68x ＋18.73.11．解 以x 轴表示数学成绩，y 轴表示物理成绩，可得到相应的散点图如图所示：由散点图可知，两者之间具有相关关系，且为线性相关．b ＝∑5i ＝1x i y i －5x y∑5i ＝1x 2i －5x2＝90250＝0.36， a ＝y －b x ＝40.8.∴所求回归方程为＝0.36x ＋40.8. 12．0.880 9解析 x ＝30，y ＝93.6，∑5i ＝1x 2i＝7 900，∑5i ＝1x i y i ＝17 035， 所以回归直线的斜率b ＝∑5i ＝1x i y i －5x y∑5i ＝1x 2i －5x 2＝17 035－5×30×93.67 900－4 500≈0.880 9.。

高中苏教数学③2.4线性回归方程测试题一、选择题1．下列关系属于线性负相关的是（ ） Ａ．父母的身高与子女身高的关系 Ｂ．身高与手长Ｃ．吸烟与健康的关系Ｄ．数学成绩与物理成绩的关系答案：Ｃ2．由一组数据1122()()()n n x y x y x y L ，，，，，，得到的回归直线方程$y bx a =+，那么下面说法不正确的是（ ）Ａ．直线$y bx a =+必经过点()x y ， Ｂ．直线$y bx a =+至少经过点1122()()()n n x y x y x y L ，，，，，，中的一个点Ｃ．直线$y bx a =+a 的斜率为1221ni ii nii x ynx yxnx==--∑∑ Ｄ．直线$y bx a =+和各点1122()()()n n x y x y x y L ，，，，，，的总离差平方和21[()]ni i i y bx a =-+∑是该坐标平面上所有直线与这些点的离差平方和中最小的直线答案：Ｂ3．实验测得四组()x y ，的值为(12)(23)(34)(45)，，，，，，，，则y 与x 之间的回归直线方程为（ ） Ａ．$1y x =+ Ｂ．$2y x =+ Ｃ．$21y x =+Ｄ．$1y x =-答案：Ａ4．为了考查两个变量x 和y 之间的线性关系，甲、乙两位同学各自独立作了10次和15次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为l1，l2，已知两人所得的试验数据中，变量x 和y 的数据的平均值都相等，且分别是s t ，，那么下列说法正确的是（ ） Ａ．直线1l 和2l 一定有公共点()s t ，Ｂ．直线1l 和2l 相交，但交点不一定是()s t ， Ｃ．必有直线12l l ∥ Ｄ．1l 和2l 必定重合答案：Ａ二、填空题5．有下列关系：（1）人的年龄与他（她）拥有的财富之间的关系 （2）曲线上的点与该点的坐标之间的关系 （3）苹果的产量与气候之间的关系（4）森林中的同一种树木，其断面直径与高度之间的关系 （5）学生与他（她）的学号之间的关系 其中，具有相关关系的是 ．答案：（1）（3）（4）6．对具有相关关系的两个变量进行的方法叫做回归分析．用直角坐标系中的坐标分别表示具有 的两个变量，将数据表中的各对数据在直角坐标系中描点得到的表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形，叫做 ．答案：统计分析；相关关系；散点图7．将一组数据同时减去3.1，得到一组新数据，若原数据的平均数、方差分别为2x s ，，则新数据的平均数是 ，方差是 ，标准差是 ．答案： 3.1x -；2s ；s8．已知回归直线方程为$4.4838.19y x =+，则可估计x 与y 增长速度之比约为 ．答案：522三、解答题9．某商店统计了近6个月某商品的进价x 与售价y （单位：元）的对应数据如下：x 3 5 2 8 9 12y4 6 3 9 12 14求y 对x 的回归直线方程． 解：3528912 6.56x +++++==∵，4639121486y +++++==，621327ii x==∑，61396i i i x y ==∑，6162216 1.1436i ii ii x yxy b xx==-=≈-∑∑∴，0.571a y bx =-=，∴回归直线方程为$1.1430.571y x =+．10．已知10只狗的血球体积及红血球的测量值如下：x 45 42 4648 42 y6.53 6.30 9.257.580 6.99 x35 58 40 39 50 y5.909.496.206.557.72x （血球体积，ml ），y （红血球数，百万）（1）画出上表的散点图；（2）求出y 对x 的回归直线方程并且画出图形 ． 解：（1）见下图（2）1(45424648423558403950)44.510x =+++++++++=， 1(6.53 6.309.257.50 6.99 5.909.49 6.20 6.557.72)7.24310y =+++++++++= 102120183ii x==∑，1013283.9i i i x y ==∑，设回归直线方程为$y bx a =+， 则12210.1597ni ii nii x ynx y b xnx==-=≈-∑∑，0.1364a y bx =-=．图形如下：11．某医院用光电比色计检验尿汞时，得尿汞含量（毫克/升）与消光系数如下表： 尿汞含量x ：2 4 6 8 10 消光系数:y 64 134 205 285 360（1）画出散点图；（2）如果y 与x 之间具有线性相关关系，求回归直线方程； （3）估计尿汞含量为9毫克/升时的消光系数． 解： （1）（2）由散点图可知y 与x 线性相关，设回归直线方程为$y bx a =+．列表： i1 2 3 4 5 i x 2 4 6 8 10 i y 64 134 205 285 360 i i x y1285361230228036006x = 209.6y =521220ii x==∑ 517774i i i x y ==∑2777456209.637.1522056b -⨯⨯==-⨯∴，209.637.15613.3a =-⨯=-∴．∴回归直线方程为$37.1513.3y x =-． （3）当9x =时，$37.15913.3321.05y =⨯-=．。

数学·必修3(苏教版)第2章统计2．4 线性回归方程1．下列关系中，是相关关系的有()①学生的学习态度与学习成绩之间的关系；②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系．A．①②B．①③C．②③D．②④解析：根据变量相关关系的定义，可知学生学习态度与学习成绩之间是相关关系．教师执教水平与学生学习成绩之间是相关关系．而身高与学习成绩、家庭经济条件与学习成绩之间不是相关关系，也不是函数关系．答案：A2．在一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)(n≥2，x1，x2，…，x n不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i，y i)(i＝1，2，…，n)都在直线y＝12x＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为()A．－1 B．0 C.12D．1答案：D3．观察下列变量x，y的散点图：如图所示的两个变量具有相关关系的是()A．(2)(3) B．(1)(2)C．(2)(4) D．(3)(4)解析：(1)不具有相关关系；(2)具有线性相关关系；(3)是函数表示；(4)是非线性相关关系，选C.答案：C4．在对两个变量x，y进行线性回归分析时一般有下列步骤：①对所求的回归方程作出解释；②收集数据(x i，y i)(i＝1，2，…，n)；③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图，如果根据可靠性要求能够判定变量x ，y 具有线性相关性，则下列操作顺序正确的是( )A ．①②⑤③④B ．③②④⑤①C ．②④③①⑤D ．②⑤④③①解析：根据线性回归分析的思想，可以对两个变量x ，y 进行线性回归分析时，应先收集数据(x i ，y i )，然后绘制散点图，再求相关系数和线性回归方程，最后对所求的回复方程作出解释，因此选D.答案：D5．某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了如下的对照表．由表中数据，得回归直线方程y ＝b x ＋a ，若b ＝－2，则a ^＝________．解析：∵x －＝18＋13＋10－14＝10，y －＝24＋34＋38＋644＝40，∴40＝－2×10＋a ^，∴a ^＝60. 答案：606．由一组样本数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)得到的回归直线方程y^＝bx＋a，那么下面说法不正确的是________．①直线y^＝bx＋a必经过点(x，y)；②直线y^＝bx＋a至少经过点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)中的一个点；③直线y^＝bx＋a的斜率为Σni＝1x i y i－nx yΣni＝1x2i－nx2；④直线y^＝bx＋a与各点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)的总偏差Σni＝12是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的直线．解析：回归直线一定过点(x，y)，但不一定要过样本点．答案：②7．某医院用光电比色计检查尿汞时，得尿汞含量(毫克/升)与消光系数如下表：(1)(2)如果y与x之间具有线性相关关系，求回归线直线方程；(3)估计尿汞含量为9毫克/升时消光系数．解析：(1)见下图．(2)由散点图可知y 与x 线性相关．设回归直线方程y ^＝bx ＋a ，列表：i 1 2 3 4 5 x i 2 4 6 8 10 y i 64 138 205285360x i y i1285521 2302 2803 600x ＝6，y ＝210.4，Σ5i ＝1x i 2＝220，Σ5i ＝1x i y i＝7 790 ∴b ＝7 790－5×6×210.4220－5×62＝1 47840＝36.95. ∴a ＝210.4－36.95×6＝－11.3. ∴回归方程为y ^＝36.95x －11.3.(3)当x ＝9时，y ^＝36.95×9－11.3＝321.25≈321. 即估计原汞含量为9毫克/升时消光系数约为321.能力升级8．某数学老师身高176 cm，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm、170 cm和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm.解析：儿子和父亲的身高列表如下：设回归直线方程y^＝a＋bx，由表中的三组数据可求得b＝1，故a ＝y－bx＝176－173＝3，故回归直线方程为y^＝3＋x，将x＝182代入得孙子的身高为185 cm.答案：1859．某车间生产一种玩具，为了要确定加工玩具所需要的时间，进行了10次实验，数据如下：－－b x－，而由表中数据可求得x－＝11，y－＝22，∴解析：∵a＝ya＝22－11b.答案：22－11b10．炼钢是一个氧化降碳的一个过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系，如果已测的炉料熔化完毕时，钢水的含碳量x与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一组数据如下表所示：规律吗？(2)若x与y线性相关，求回归直线方程：(3)预测当钢水含碳量为160(0.01%)时，应冶炼多少分钟？解析：(1)以x轴表示含碳量，y轴表示冶炼时间，可作数点图如图所示．从图中可以看出，各点散布在一条直线附近，即x与y线性相关．(2)设所求回归直线方程为y^＝bx＋a.∵x－＝159.8，y－＝172，x i y i=287 640. x i2=265 448, ∵b=≈1.267，－－b x－≈－30.47.故所求的回归直线方程为y^＝1.267x－30.47.a＝y(3)当x＝160时，y^＝1.267×160－30.47＝172.25≈173.即大约要冶炼173分钟．11．1971年至1980年，某城市居民的年收入金额与皮鞋销售额如下表：求y对x解析：b ＝Σni ＝1x i y i－nx y Σni ＝1x i2－nx2＝15 202.9－10×37.97×39.114 663.67－10×37.972≈1.447.a ＝y －bx ＝39.1－1.447×37.97≈－15.842 6. 所以y 对x 的回归直线方程为：y ^＝1.45x －15.84.12．某5名学生的数学和化学成绩如下表：学生学科 A B C D E数学成绩88 76 73 66 63/x化学成绩78 65 71 64 61/y(1)(2)求化学成绩(y)对数学成绩(x)的回归直线方程．解析：(1)散点图为：(2)序号x y x2xy188787 744 6 86427665 5 776 4 940b ＝Σni ＝1x i y i－nx y Σni ＝1x i2－nx2＝25 054－5×73.2×67.827 174－5×73.22≈0.624 869，a ＝y －bx ＝67.8－0.624 869×73.2≈22.059 6. 所以y 对x 的回归直线方程为y ^＝0.62x ＋22.06.13．某城市预测2010年到2014年人口总数与年份的关系如下表所示：(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝bx ＋a ；(3)据此估计2015年该城市人口的总数．(参考数据：0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132，02＋12＋22＋32＋42＝30)解析：(1)据表画出数据的散点图如下图所示．(2)由表可知x －＝15(0＋1＋2＋3＋4)＝2， y －＝15(5＋7＋8＋11＋19)＝10.∴b ＝a=y －-b x －=3614．在某种产品表面进行腐蚀性试验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间t 之间对应的一组数据： 时间t/s 5 10 15 20 30 40 50 60 70 90 120 深度y/μm6 10 10 13 16 17 19 23 25 2946(2)试求腐蚀深度y 与时间t 的回归直线方程．解析：（1）如下图,(2)经计算可得t≈46.36，y≈19.45，＝36 750，＝13 910.b＝Σ11i＝1t i y i－11×t yΣ11i＝1t i2－11×t2＝13 910－11×46.36×19.4536 750－11×46.362≈0.3.a＝y－bt＝19.45－0.3×46.36≈5.542.故所求的回归直线方程为y^＝0.3t＋5.542.。

2.4 线性回归方程（一）【新知导读】1. 以下两个变量之间的关系中，哪个不是函数关系()A．角度和它的余弦值B．正方形边长和面积C．正n边形的边数和其内角和 D ．人的年纪和身高2．回归直线方程y bx a 中的 y 是展望值，与实质中的y 关系为()A．y y 越小，说明回归偏差越小B．y y 越大，说明回归偏差越小C．y y 越小，说明回归偏差越小D．y y 越小，说明回归偏差越小3．回归直线方程的系数a，b的最小二乘法预计中，使函数Q (a, b) 最小， Q 函数指()n nA．( y i a bx i ) 2B．y i a bx ii1i 1C．( y i a bx i )2D． y i a bx i【典范点睛】例 1．以下是采集到的新房子销售价钱y 与房子的大小x 的数据：房子大小 x(m2 )80105110115135销售价钱 y (万元)18.42221.624.829.2(1) 画出数据的散点图；(2) 用最小二乘法预计求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；(3)计算此时 Q (a,b) 和 Q(2,0.2)的值，并作比较．【课外链接】1．假定学生在初一和初二数学成绩是线性有关的．若10 个学生初一(x)和初二( y)数学分数如下：x74717268767367706574y76757170767965776272试求初一和初二数学分数间的线性回归方程．【随堂操练】1．以下说法错误的选项是（）A．假如变量和之间存在线性有关关系，那么依据它们的一组数据获得一列点(x i , y i ) ( i1,2,3,..., n )将漫步在某向来线的邻近B．假如变量和之间不存在线性有关关系，那么依据它们的一组数据(x i , y i ) ( i1,2,3,..., n )不可以写出一个线性方程C．设x，y是拥有线性有关关系的两个变量，且x对于y的线性回归方程为y bx a ，此中 a, b 叫做回归系数D．在回归剖析中，变量间的关系假如非确立性的关系，则因变量不可以由自变量独一确立2．三点 (3,10)，（7,20），（11,24）的线性回归方程是( )A．y 5.75 1.75x B． y 1.75 5.75xC．y 1.75 5.75x D． y 5.75 1.75x3．已知x，y之间的一组数据：x0123y1357则 y 与x的线性回归方程y bx a 必过( )A． (2,2) 点 B ．(1.5,0)点 C ． (1,2)点 D ． (1.5,4)点4．设有一个回归方程为y 3x 2，变量 x 增添一个单位时，则y 均匀增添______个单位．5．已知线性回归方程为y 0.50 x 0.81 ，则x25 时， y 的预计值为_____________．6．某地域某种病的发病人数奉上涨趋向，统计近四年这类病的新发病人数的线性回归剖析以下表表示：年份 ( x )该年新发病人数 ( y)x2003.5 ,y2540.25i i200224004444x i y i[x i ][y i ]20032491b i 1i 1i194.7444x i2[x i ] 2 20042586i 1i 120052684a y bx186623如不加控制，仍按这个趋向发展下去，请展望从2006 年初到 2009 年末的四年时间里，该地域这种病的新发病总人数为 _______________ ．7x 与y之间的关系的模型，为偏差项，模型以下：．我们考虑两个表示变量模型 1：y6 4 x ；模型2： y 6 4x．(1) 假如x 3 ， 1 ，分别求两个模型中的y 值；(2)分别说明以上两个模型是确立性模型仍是随机性模型．8．在 10 年时期，某城市居民的年收入与某种商品的销售额之间的关系以下表所示：第几年城市居民收入x (亿元)某商品销售额y (万元) 132.225.0231.130.0332.934.0435.837.0537.139.0638.041.0739.042.0843.044.0944.648.01046.051.0(1) 画出散点图； (2)假如散点图中的各点大概散布在一条直线邻近，求 y 与x间的线性回归方程．9．已知对于某设施的使用年限x 与所支出的维修花费y (万元)，有以下统计资料：使用年限 x23456维修花费 y 2.2 3.8 5.5 6.57.0设 y 对x呈线性有关关系．试求： (1) 线性回归方程y bx a 的回归系数 a ，b；(2)预计使用年限为 10 年，维修花费是多少？10．在钢线含量对于电阻的效应的研究中，获得以下的数据：碳含量 x(%)0.100.300.400.550.700.800.96电阻 y (200C时,微欧)1518192122.623.826(1)画出散点图 (2) 求线性回归方程．2.4 线性回归方程（一）【新知导读】1．D 2．C3．A【典范点睛】例 1． (1)5555(2)n5，x i545 ， x109 ，y i116 ， y 23.2 ，x i60952 ，i 1i1i 155129525451160.1962 ，a23.20.1962 109 1.8166x i y i12592 ， b，i 15 60952 5452线性回归方程为y0.1962 x 1.8166 ；(3)Q (1.8166,0.1962) 5.1771 ， Q(2,0.2)7.0 ，由此可知，求得的a 1.8166， b0.1962是使函数Q (a,b)取最小值的a， b 值．【课外链接】Q x7152y 72.310解：,x i50520,,x i y i51467,所以i 1i1b 10514677107231.2182，a72.3 1.2182 7114.912，因此回归直线方程为10505207102y 1.2182 x14.192．【随堂操练】1.B 2 .D 3. B 4.3 5 .11.69 6. 139497. 解： (1)模型 1：y64x64318 ；模型2： y6 4 x 6 4 3119 ．(2) 模型 1中同样的 x 值必定获得同样的y 值，因此是确立性模型；模型2中同样的 x 值，因的不一样，所得 y 值不必定同样，且为偏差项是随机的，因此模型 2 是随机性模型．8.解： (1)102(2)由题意： x 37.97，y39.1 ；x i14633.67 ，i 110i 1x i y i15202.9 ，于是10i x i y i10 x y15202.91037.9739.1b1 1.447 ， a y bx 39.1 1.447 10210 x14663.6710 37.9722i 137.97 15.843．因此所求线性回归方程为y bx a 1.447 x 15.843．525112.354 59．解： (1) x 4 , y 5 ，x i90 ，x i y i112.3 ，于是回归系数 bi 1i 190542，a y bx 5 1.23 4 0.08 ；(2)线性回归方程是y 1.23x 0.08，当x 10年时，1.23y 1.23 10 0.08 12.38 (万)，即预计使用10年时，维修花费是12.38万元．10．解： (1)(2) 可求得y13.958412.5503 x。

数学·必修3(苏教版)第二章统计 2．4 线性回归方程基础巩固1．下列关系中，是相关关系的有( ) ①学生的学习态度与学习成绩之间的关系； ②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系； ③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系； ④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系． A ．①②B ．①③C ．②③D ．②④解析：根据变量相关关系的定义，可知学生学习态度与学习成绩之间是相关关系．教师执教水平与学生学习成绩之间是相关关系．而身高与学习成绩、家庭经济条件与学习成绩之间不是相关关系，也不是函数关系．答案：A2．在一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )(n≥2，x 1，x 2，…，x n 不全相等)的散点图中，若所有样本点(x i ，y i )(i ＝1，2，…，n)都在直线y ＝12x ＋1上，则这组样本数据的样本相关系数为( )A ．－1B ．0C.12D ．1答案：D3．观察下列变量x ，y 的散点图：如图所示的两个变量具有相关关系的是( ) A ．(2)(3) B ．(1)(2) C ．(2)(4)D ．(3)(4)解析：(1)不具有相关关系；(2)具有线性相关关系；(3)是函数表示；(4)是非线性相关关系，选C.答案：C4．在对两个变量x ，y 进行线性回归分析时一般有下列步骤：①对所求的回归方程作出解释；②收集数据(x i ，y i )(i ＝1， 2，…，n)；③求线性回归方程；④求相关系数；⑤根据所搜集的数据绘制散点图，如果根据可靠性要求能够判定变量x ，y 具有线性相关性，则下列操作顺序正确的是( )A ．①②⑤③④B ．③②④⑤①C ．②④③①⑤D ．②⑤④③①解析：根据线性回归分析的思想，可以对两个变量x ，y 进行线性回归分析时，应先收集数据(x i ，y i )，然后绘制散点图，再求相关系数和线性回归方程，最后对所求的回复方程作出解释，因此选D.答案：D5．某单位为了了解用电量y(度)与气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了如下的对照表．由表中数据，得回归直线方程y ＝b x ＋a ，若b ＝－2，则a ＝________． 解析：∵x －＝18＋13＋10－14＝10，y －＝24＋34＋38＋644＝40，∴40＝－2×10＋a ^，∴a ^＝60. 答案：606．由一组样本数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )得到的回归直线方程y^＝bx ＋a ，那么下面说法不正确的是________．①直线y^＝bx ＋a 必经过点(x ，y)；②直线y^＝bx ＋a 至少经过点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )中的一个点；③直线y^＝bx ＋a的斜率为Σni ＝1x i y i －nx yΣni ＝1x 2i －nx 2；④直线y^＝bx ＋a 与各点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的总偏差Σn i ＝1[y i －(bx i ＋a)]2是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的直线．解析：回归直线一定过点(x ，y)，但不一定要过样本点． 答案：②7．某医院用光电比色计检查尿汞时，得尿汞含量(毫克/升)与消光系数如下表：(1)(2)如果y 与x 之间具有线性相关关系，求回归线直线方程； (3)估计尿汞含量为9毫克/升时消光系数． 解析：(1)见下图．(2)由散点图可知y 与x 线性相关．设回归直线方程y^＝bx ＋a ，列表：∴b ＝7 790－5×6×210.4220－5×62＝1 47840＝36.95.∴a ＝210.4－36.95×6＝－11.3. ∴回归方程为y^＝36.95x －11.3.(3)当x ＝9时，y^＝36.95×9－11.3＝321.25≈321. 即估计原汞含量为9毫克/升时消光系数约为321. 能力升级8．某数学老师身高176 cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173 cm 、170 cm 和182 cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm.解析：儿子和父亲的身高列表如下：设回归直线方程y ^＝a ＋bx ，由表中的三组数据可求得b ＝1，故a ＝y －bx ＝176－173＝3，故回归直线方程为y ^＝3＋x ，将x ＝182代入得孙子的身高为185 cm.答案：1859．某车间生产一种玩具，为了要确定加工玩具所需要的时间，进行了10次实验，数据如下：解析：∵a ＝y －－b x －，而由表中数据可求得x －＝11，y －＝22，∴a ＝22－11b. 答案：22－11b10．炼钢是一个氧化降碳的一个过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼时间的关系，如果已测的炉料熔化完毕时，钢水的含碳量x 与冶炼时间y(从炉料熔化完毕到出钢的时间)的一组数据如下表所示：(2)若x 与y 线性相关，求回归直线方程：(3)预测当钢水含碳量为160(0.01%)时，应冶炼多少分钟？解析：(1)以x 轴表示含碳量，y 轴表示冶炼时间，可作数点图如图所示．从图中可以看出，各点散布在一条直线附近，即x 与y 线性相关．(2)设所求回归直线方程为y ^＝bx ＋a.∵x －＝159.8，y －＝172，x i y i =287 640.x i 2=265 448, ∵b=≈1.267，a ＝y －－b x －≈－30.47.故所求的回归直线方程为y ^＝1.267x －30.47.(3)当x ＝160时，y ^＝1.267×160－30.47＝172.25≈173.即大约要冶炼173分钟． 11．1971年至1980年，某城市居民的年收入金额与皮鞋销售额如下表：求y 对x 解析：b ＝Σi ＝1x i y i －nx yΣni ＝1x i 2－nx 2＝15 202.9－10×37.97×39.114 663.67－10×37.972≈1.447.a ＝y －bx ＝39.1－1.447×37.97≈－15.842 6. 所以y 对x 的回归直线方程为：y^＝1.45x －15.84. 12．某5名学生的数学和化学成绩如下表：(1)画出散点图；(2)求化学成绩(y)对数学成绩(x)的回归直线方程． 解析：(1)散点图为：(2)b ＝Σn i ＝1x i y i －nx yΣni ＝1x i 2－nx 2＝25 054－5×73.2×67.827 174－5×73.22≈0.624 869，a ＝y －bx ＝67.8－0.624 869×73.2≈22.059 6. 所以y 对x 的回归直线方程为y^＝0.62x ＋22.06.13．某城市预测2010年到2014年人口总数与年份的关系如下表所示：(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ^＝bx ＋a ； (3)据此估计2015年该城市人口的总数．(参考数据：0×5＋1×7＋2×8＋3×11＋4×19＝132，02＋12＋22＋32＋42＝30) 解析：(1)据表画出数据的散点图如下图所示．(2)由表可知x －＝15(0＋1＋2＋3＋4)＝2， y －＝15(5＋7＋8＋11＋19)＝10.∴b ＝a=y －-b x －=3614．在某种产品表面进行腐蚀性试验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间t 之间对应的一组数据：(2)试求腐蚀深度y 与时间t 的回归直线方程． 解析：（1）如下图,(2)经计算可得t ≈46.36，y ≈19.45，＝36 750，＝13 910.b ＝Σ11i ＝1t i y i －11×t yΣ11i ＝1t i 2－11×t 2＝13 910－11×46.36×19.4536 750－11×46.362≈0.3.a＝y－bt＝19.45－0.3×46.36≈5.542.故所求的回归直线方程为y^＝0.3t＋5.542.。

2.4线性回归方程（二）【新知导读】1.对于线性相关系数r ，下列说法正确的是 ( )A ．(0,)r ∈+∞时，r 越大，相关程度越高；反之相关程度越低B ．(,)r ∈-∞+∞时，r 越大，相关程度越高，反之相关程度越低C ．1r ≤时，r 越接近于1,相关程度越高；r 越接近于0,相关程度越低D ．以上说法都不正确2．“回归”一词是在研究子女的身高与父母的身高之间的遗传关系时，由高尔顿提出的．他的研究结果是子代的平均身高向中心回归．根据他的结论，在儿子的身高y 与父亲的身高x 的回归直线方程y a bx ∧=+中，b ( ) A ．在(-1,0)内 B ．等于0 C ．在(0,1)内 D ．在[1,)+∞内3．由一组样本数据11(,)x y ，22(,)x y ，．．．，(,)n n x y 得到的线性回归方程为y bx a ∧=+，那么下面说法不正确的是 ( ) A ．直线y bx a ∧=+经过点(,)x yB ．直线y bx a ∧=+至少经过11(,)x y ，22(,)x y ，．．．，(,)n n x y 中的一个点C ．直线y bx a ∧=+的斜率为1221ni ii nii x y nx yxnx==--∑∑D ．直线y bx a ∧=+和各点11(,)x y ，22(,)x y ，．．．，(,)n n x y 的偏差21[()]niii y bx a =-+∑是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的 【范例点睛】例1 测得10对某国父子身高(单位：英寸)如下：(2) 如果y 与x 之间具有线性相关关系，求回归直线方程； (3) 如果父亲的身高为73英寸，估计儿子的身高．【课外链接】1．现有一个由身高预测体重的回归方程，体重预测值＝4(磅/英寸)×身高－130磅．其中体重和身高分别以磅和英寸为单位．如果将它们分别以kg 、cm 为单位(1英寸≈2.5cm ，1磅≈0.45kg)．回归方程应该是_ _________________________________． 【随堂演练】1．对于回归分析，下列说法错误的是 ( )A ．在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定B ．线性相关系数可以是正的或负的C ．在回归分析中，如果21r =，说明x 与y 之间完全线性相关 D ．相关样本系数(,)r ∈-∞+∞ 2．线性回归方程y bx a ∧=+必过( )A ．(0,0)点B ．(x ,0)点C ．(0,y )点D ．(x ,y )点3．为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性，甲、乙两位同学各自独立做了100次和150次试验，并且利用线性回归方法，求得回归直线分别为1l 和2l ．假设两个人在试验中发现对变量x 的观察数据的平均值都是m ，对变量y 观察的平均值都是t ，那么下列说法正确的是（ ） A ．1l 和2l 有交点(,)m tB ．1l 和2l 相交，但交点不一定是(,)m tC ．1l 和2l 必定平行D ．1l 和2l 必定重合4．在研究硝酸钠的可溶性时，对不同的温度观察它在水中的溶解度，得观察结果如下：由此得到回归直线的斜率是__________________(保留4位有效数字)．5．下面数据是从年龄在40到60岁的男子中随机抽取6个个体，分别测得的每个个体心脏功能水平y (满分100分)以及相应的每天花在看电视上的时间x (小时)．则x 与y 的相关系数为______________________ ．6．若施肥量x 与水稻产量y 的线性回归方程为5250y x ∧=+，当施肥量为80kg 时，预计的水稻产量为______________kg ．7．为了研究三月下旬的平均气温(x )与四月十二号前棉花害虫化蛹高峰日(y )的关系，某地区观察了1996年至2001年的情况，得到下面数据：(1)据气象预测，该地区在2002年三月下旬平均气温为27oC ，试估计2002年四月化蛹高峰日为哪天；(2)对变量x 、y 进行相关性检验．8．证明恒等式11()()n ni i i i i i x y nx y x x y y ==-=--∑∑，其中11ni i x x n ==∑，1ni i y y ==∑，从而回归直线的斜率还可以写成121()()()niii nii x x y y x x ==---∑∑．9．以下是一位销售经理收集来的销售员每年销售额y 和销售经验年数x 的关系：(1)依据这些数据画出散点图并作直线78 4.2y x ∧=+，计算2()iiy y ∧-∑；(2)依据这些数据由最小二乘法估计线性回归方程，并据此计算1021()iii y y ∧=-∑．10．某工业部门进行一项研究，分析该部门的产量与生产费用之间的关系，数据如下：(1) 计算x 与y 的相关系数，并对x 与y 进行相关性分析； (2) 如果y 与x 之间具有线性相关关系，求线性回归方程．2.4线性回归方程（二） 【新知导读】 1．C 2．C 3．B 【范例点睛】例1．(1)66.8x =，67.01y =，102144794ii x==∑，102144941ii y==∑，4476.27xy ≈，24462.24x =，24490.34y ≈，10144842.4i i i x y ==∑，1010i ix y x yr -∴=∑79.70.980181.31≈=≈≈．因为0.9801r =接近1,所以y 与x 具有较强的相关关系，也就是说y 与x 之间具有线性相关关系．(2)设回归直线方程为y bx a ∧=+，由101102211044842.444762.74479444622.410i ii i i x y x yb x x==--=≈--∑∑79.7171.6= 0.4645≈，67.010.464566.835.98a y bx =-≈-⨯≈，所以所求直线方程为0.464539.98y x ∧=+．(3)当73x =时，0.46457335.9869.9y =⨯+≈，所以当父亲身高为73英寸时，估计儿子的身高为69.9英寸． 【课外链接】体重预测值＝0.72(kg/cm)×身高－58.5kg 【随堂演练】１．D ２．D ３．A４．0.8809 ５．－0.9023 ６．650７．解：(1)61129.136i i x x ===∑,6117.56i i y y ===∑,6215130.92i i x ==∑,611222.6i i i x y ==∑,6162216 2.26i ii ii x y x yb xx==-∴==--∑∑,7.5( 2.2)29.1371.6a y bx =-=--⨯=,∴回归直线方程为2.271.6y x ∧=-+．当27x =时， 2.22771.612.2y ∧=-⨯+=．据此，可估计该地区2002年4月12日或13日化蛹高峰日．(2)660.9342i ix y x yr -==∑，r 的值接近于1,所以变量x ，y 存在线性相关关系． ８．证明：11111()()()n n n n niii iiii iiii i i i i x x y y x y xy x y x y x y x y y x nx y =====--=--+=--+∑∑∑∑∑11n ni i i i i i x y nx y nx y nx y x y nx y ===--+=-∑∑，∴回归直线的斜率为1221()ni ii nii x y nx yxn x ==-=-∑∑121()()()niii nii x x y y x x ==---∑∑．９．解：(1)散点图与直线78 4.2y x ∧=+的图形如图所示，对1,3,...,13x =，82.2,90.6,94.8,94.8,y ∧=103.2,111.6,120,120,124.2,132.6，1021()178.48i i i y y ∧=-=∑．(2)1011710i i x x ===∑，1021()142xx i i l x x ==-=∑，108y =，101()()xy i i i l x x y y ==--∑ 568=，所以5684142xyxx l b l ===，1084780a y bx =-=-⨯=，480y x ∧∴=+．84,92,96,96,104,112,120,120,124,132i y ∧=，1021()170i i i y y ∧=-=∑．10．解：(1)由题意可得77777.710x ==，1657165.710y ==，102170903i i x ==∑，1021277119i i y ==∑，101132929i ii x y==∑．r =0.806≈，因此x 与y 之间具有显著的相关性．(2)21329291077.7165.70.397709031077.7b -⨯⨯=≈-⨯，165.70.397a =-77.7134.8⨯=，所以线性回归方程为0.397134.8y x ∧=+．。