初二数学培优卷全等三角形123

《全等三角形》培优练习题一．选择题1．下列说法中错误的是（）A．有两个角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等B．有两个角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等C．有两条边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等D．有两条边及其中一条边的对角对应相等的两个三角形全等2．如图，已知AB＝DE，∠1＝∠2．若要得到△ABC≌△DEF，则下列条件中不符合要求的是（）A．∠A＝∠D B．∠C＝∠F C．AC＝DF D．CE＝FB3．如图，点C是AB的中点，AD＝BE，CD＝CE，则图中全等三角形共有（）A．2对B．3对C．4对D．5对4．在△ABC中，∠ABC＝30°，AB边的长为10，AC边的长度可以在5，7，10，11中取值，满足这些条件的互不全等的三角形的个数是（）A．4 B．5 C．6 D．75．如图，在△ABC中，∠ACB的外角平分线与∠ABC的外角平分线相交于点D．则下列结论正确的是（）A．AD平分BC B．AD平分∠CAB C．AD平分∠CDB D．AD⊥BC6．如图，三条公路把A、B、C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三个条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在（）A．在∠A、∠B两内角平分线的交点处B．在AC、BC两边中线的交点处C．在AC、BC两边高线的交点处D．在AC、BC两边垂直平分线的交点处7．如图，在△ABC中，AB＝6，BC＝5，AC＝4，AD平分∠BAC交BC于点D，在AB上截取AE＝AC，则△BDE的周长为（）A．8 B．7 C．6 D．58．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC，将仪器上的点与∠PRQ 的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC ≌△ADC，这样就有∠QAE＝∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是（）A．SSS B．ASA C．AAS D．SAS9．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D点，AD＝2.5cm，DE＝1.7cm，则BE的长为（）A．0.8 B．1 C．1.5 D．4.210．如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝（）A．90°B．120°C．135°D．150°二．填空题11．如图，在△ADC与△BDC中，∠1＝∠2，加上条件（只填写一个即可），则有△ADC≌△BDC．12．如图，以△ABC的顶点A为圆心，以BC长为半径作弧，再以顶点C为圆心，以AB长为半径作弧，两弧交于点D；连接AD、CD，若∠B＝56°，则∠ADC的大小为度．13．已知，如图，∠D＝∠A，EF∥BC，添加一个条件：，使得△ABC≌△DEF．14．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，AE＝AB，连接ED，且∠E ＝∠C，AD＝2DE，则S△AED：S△ADB＝．15．在四边形ABCD中，∠ADC与∠BCD的角平分线交于点E，∠DEC＝115°，过点B 作BF∥AD交CE于点F，CE＝2BF，，连接BE，，则CE ＝．三．解答题16．如图，在△ABC中，点D是边BC上一点，CD＝AB，点E在边AC上，且AD＝DE，∠BAD＝∠CDE．（1）如图1，求证：BD＝CE；（2）如图2，若DE平分∠ADC，在不添加辅助线的情况下，请直接写出图中所有与∠ADE相等的角（∠ADE除外）．17．如图，AB＝AC，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE与CD相交于点O．（1）求证：AD＝AE．（2）连接OA，BC，试判断直线OA，BC的关系，并说明理由．18．如图，△ABC和△EBD中，∠ABC＝∠DBE＝90°，AB＝CB，BE＝BD，连接AE，CD，AE与CD交于点M，AE与BC交于点N．（1）求证：AE＝CD；（2）求证：AE⊥CD；（3）连接BM，有以下两个结论：①BM平分∠CBE；②MB平分∠AMD．其中正确的有（请写序号，少选、错选均不得分）．19．如图，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，D为AB延长线上一点，点E在BC边上，且BE＝BD，连接AE，DE，DC．（1）求证：△ABE≌△CBD；（2）若∠CAE＝30°，求∠BDC的度数．20．阅读下面材料：学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”“ASA”“AAS”“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究小聪将命题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B＝∠E．小聪的探究方法是对∠B分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．第一种情况：当∠B是直角时，如图1，△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B ＝∠E＝90°，根据“HL”定理，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二种情况：当∠B是锐角时，如图2，BC＝EF，∠B＝∠E＜90°，在射线EM上有点D，使DF＝AC，画出符合条件的点D，则△ABC和△DEF的关系是；A．全等B．不全等C．不一定全等第三种情况：当∠B是钝角时，如图3，在△ABC和△DEF中，AC＝DF，BC＝EF，∠B ＝∠E＞90°．过点C作AB边的垂线交AB延长线于点M；同理过点F作DE边的垂线交DE延长线于N，根据“ASA”，可以知道△CBM≌△FEN，请补全图形，进而证出△ABC≌△DEF．参考答案一．选择题1．解：A、有两个角及它们的夹边对应相等的两个三角形全等，是“ASA”，说法正确；B、两个角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等，是“AAS”，说法正确；C、有两条边及它们的夹角对应相等的两个三角形全等，是“SAS”，说法正确；D、有两条边及其中一条边的对角对应相等的两个三角形不一定全等，说法错误；故选：D．2．解：A、添加∠A＝∠D，根据ASA可以判定△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意．B、添加∠C＝∠F，根据AAS可以判定△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意．C、添加AC＝DF，根据SSA不可以判定△ABC≌△DEF，故本选项符合题意．D、添加CE＝FB可以得到BC＝EF，根据SAS可以判定△ABC≌△DEF，故本选项不符合题意．故选：C．3．解：∵点C是以AB的中点，∴AC＝BC，∵AD＝BE，CD＝CE，∴△ACD≌△BCE（SSS），∴∠D＝∠E，∠A＝∠B，∠ACD＝∠BCE，∴∠ACG＝∠BCH，∴△ACG≌△BCH（ASA），∴CG＝CH，∴EG＝DH，△ECH≌△DCG（ASA），∵∠EFG＝∠DFH，∴△EFG≌△DFH（AAS）；∴图中全等三角形共有4对，故选：C．4．解：过A作AE⊥BC于E，∵∠AB＝10，∠B＝30°，∴AE＝AB＝5，即AE是A到直线BC的最短距离，当AC＝5时，此时三角形有1个；当AC＝7此时三角形有2个；当AC＝10时，此时三角形有1个；当AC＝11时，此时三角形有1个；即存在三角形1+2+1+1＝5（个），故选：B．5．解：过D点分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为E、G、F，∵∠ABC、∠ACB外角的平分线相交于点D，∴ED＝GD，GD＝DF，∴ED＝DF，∴AP平分∠CAB．故选：B．6．解：根据角平分线的性质，集贸市场应建在∠A、∠B两内角平分线的交点处．故选：A．7．解：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAD＝∠CAD在△ADE和△ADC中，，∴△ADE≌△ADC（SAS），∴ED＝CD，∴BC＝BD+CD＝DE+BD＝5，∴△BDE的周长＝BE+BD+ED＝（6﹣4）+5＝7．故选：B．8．解：在△ADC和△ABC中，，∴△ADC≌△ABC（SSS），∴∠DAC＝∠BAC，即∠QAE＝∠PAE．故选：A．9．解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，∴∠E＝∠ADC＝90°，∴∠EBC+∠BCE＝90°．∵∠BCE+∠ACD＝90°，∴∠EBC＝∠DCA．在△CEB和△ADC中，，∴△CEB≌△ADC（AAS），∴BE＝DC．CE＝AD＝2.5．∵DC＝CE﹣DE，DE＝1.7cm，∴DC＝2.5﹣1.7＝0.8．故选：A．10．解：如图，在△ABC和△DEA中，，∴△ABC≌△DEA（SAS），∴∠1＝∠4，∵∠3+∠4＝90°，∴∠1+∠3＝90°，又∵∠2＝45°，∴∠1+∠2+∠3＝90°+45°＝135°．故选：C．二．填空题（共5小题）11．解：加上条件AD＝BD（答案不唯一），则有△ADC≌△BDC．理由是：在△ADC和△BDC中，，∴△ADC≌△BDC（SAS），故答案为：AD＝BD（答案不唯一）．12．解：由作图可知：AD＝BC，AB＝CD，AC＝CA，∴△ABC≌△CDA（SSS），∴∠ADC＝∠B＝56°，故答案为：56．13．解：∵EF∥BC，∴∠ACB＝∠DFE，又∵∠D＝∠A，∴添加条件AC＝DF，可以使得△ABC≌△DEF（ASA），添加条件AB＝DE，可以使得△ABC≌△DEF（AAS），添加条件BC＝EF，可以使得△ABC≌△DEF（AAS），故答案为：AC＝DF（AB＝DE或BC＝EF）．14．解：取AD的中点G，连接BG，则AG＝DG，AD＝2AG，∵AD＝2DE，∴DE＝AG，∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，∴∠ABC+∠C＝∠ABC+∠BAG＝90°，∴∠C＝∠BAG，∵∠C＝∠E，∴∠BAG＝∠E，在△ABG和△EAD中，，∴△ABG≌△EAD（SAS），∴S△AED＝S△BAG，∵点G是AD的中点，∴S△BGD＝S△BAG，∴S△AED：S△ADB＝1：2，故答案为：1：2．15．解：∵∠CBF＝∠BCE，∴可以假设∠BCE＝4x，则∠CBF＝5x，∵DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，∴∠ADE＝∠EDC，∠ECD＝∠ECB＝4x，设∠ADE＝∠EDC＝y，∵AD∥BF，∴∠A+∠ABF＝180°，∴∠ADC+∠DCB+∠CBF＝180°，∴2y+13x＝180°①，∵∠DEC＝115°，∴∠EDC+∠ECD＝65°，即y+4x＝65°②，由①②解得，∴∠BCF＝40°，∠CBF＝50°，∴∠CFB＝90°，∴BF⊥EC，∴CE＝2BF，设BF＝m，则CE＝2m，∵S△BCE＝•EC•BF＝，∴×2m×m＝，∴m＝或﹣（舍弃），∴CE＝2m＝5，故答案为5．三．解答题（共5小题）16．解：（1）在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（SAS），∴BD＝CE；（2）∵△ABD≌△DCE，∴∠B＝∠C，∴∠ADE＝∠CDE＝∠BAD，∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠CDE，∴∠B＝∠ADE＝∠BAD＝∠EDC＝∠C，∴与∠ADE相等的角有∠EDC，∠BAD，∠B，∠C．17．解：（1）证明：∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，∴∠ADC＝∠AEB＝90°，在△ADC与△AEB中，，∴△ACD≌△ABE，∴AD＝AE；（2）直线OA垂直平分BC，理由如下：如图，连接AO，BC，延长AO交BC于F，在Rt△ADO与Rt△AEO中，，∴Rt△ADO≌Rt△AEO，∴OD＝OE，∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，∴AO平分∠BAC，∵AB＝AC，∴AO⊥BC．18．（1）证明：∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABC+∠CBE＝∠DBE+∠CBE，在△ABE和△CBD中，，∴△ABE≌△CBD，∴AE＝CD．（2）∵△ABE≌△CBD，∴∠BAE＝∠BCD，∵∠NMC＝180°﹣∠BCD﹣∠CNM，∠ABC＝180°﹣∠BAE﹣∠ANB，又∠CNM＝∠ANB，∵∠ABC＝90°，∴∠NMC＝90°，∴AE⊥CD．（3）结论：②理由：作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J．∵△ABE≌△CBD，∴AE＝CD，S△ABE＝S△CDB，∴•AE•BK＝•CD•BJ，∴BK＝BJ，∵作BK⊥AE于K，BJ⊥CD于J，∴BM平分∠AMD．不妨设①成立，则△ABM≌△DBM，则AB＝BD，显然不可能，故①错误．故答案为②．19．（1）证明：∵∠ABC＝90°，∴∠DBC＝90°，在△ABE和△CBD中∴△ABE≌△CBD（SAS）；（2）解：∵AB＝CB，∠ABC＝90°，∴∠BCA＝45°，∴∠AEB＝∠CAE+∠BCA＝30°+45°＝75°，∵△ABE≌△CBD，∴∠BDC＝∠AEB＝75°．20．解：第二种情况选C．理由：由题意满足条件的点D有两个，故△ABC和△DEF不一定全等（如图所示）故选C．第三种情况补全图．证明：由△CBM≌△FEN得，CM＝FN，BD＝EN又在Rt△CMA和Rt△FND中，∴△CMA≌△FND，∴AM＝DN，∴AB＝DE，又在△ABC和△DEF中，∴△ABC≌△DEF．。

人教版八年级数学12.2 全等三角形的判定培优训练一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，已知AB＝AD，若利用SSS证明△ABC≌△ADC，则需要添加的条件是( )A．AC＝ACB．∠B＝∠DC．BC＝DCD．AB＝CD2. 如图，已知∠1＝∠2，欲证△ABD≌△ACD，还需从下列条件中补选一个，则错误的选项是( )A．∠ADB＝∠ADC B．∠B＝∠CC．DB＝DC D．AB＝AC3. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是( )A．AB＝DE B．AC＝DFC．∠A＝∠D D．BF＝EC4. 如图，添加下列条件，不能判定△ABD≌△ACD的是( )A．BD＝CD，AB＝ACB．∠ADB＝∠ADC，BD＝CDC．∠B＝∠C，∠BAD＝∠CADD．∠B＝∠C，BD＝CD5. 如图，点B，E在线段CD上，若∠C=∠D，则添加下列条件，不一定能使△ABC≌△EFD的是()A.BC=FD，AC=EDB.∠A=∠DEF，AC=EDC.AC=ED，AB=EFD.∠A=∠DEF，BC=FD6. 如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC ≌△DEC，不能添加的一组条件是( )A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DCC．BC＝DC，∠A＝∠D D．∠B＝∠E，∠A＝∠D7. 如图，点A，E，B，F在同一直线上，在△ABC和△FED中，AC＝FD，BC ＝ED，当利用“SSS”来判定△ABC和△FED全等时，下面的4个条件中：①AE＝FB；②AB＝FE；③AE＝BE；④BF＝BE，可利用的是( )A．①或②B．②或③C．①或③D．①或④8. 如图，AB⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为B，E，∠1=∠2，AD=AB，则下列结论正确的是()A.∠1=∠EFDB.BE=ECC.BF=CDD.FD∥BC9. 现已知线段a，b(a<b)，∠MON=90°，求作Rt△ABO，使得∠O=90°，OA=a，AB=b.小惠和小雷的作法分别如下:小惠:①以点O为圆心、线段a的长为半径画弧，交射线ON于点A;②以点A为圆心、线段b的长为半径画弧，交射线OM于点B，连接AB，△ABO即为所求.小雷:①以点O为圆心、线段a的长为半径画弧，交射线ON于点A;②以点O为圆心、线段b的长为半径画弧，交射线OM于点B，连接AB，△ABO即为所求.则下列说法中正确的是()A.小惠的作法正确，小雷的作法错误B.小雷的作法正确，小惠的作法错误C.两人的作法都正确D.两人的作法都错误10. 如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，点O是AB的中点，且AB＝6，将一块直角三角板的直角顶点放在点O处，始终保持该直角三角板的两直角边分别与AC、BC相交，交点分别为D、E，则CD＋CE等于( )A. 2B. 3C. 2D. 6二、填空题（本大题共6道小题）11. 如图，已知AB＝BC，要使△ABD≌△CBD，还需要添加一个条件，你添加的条件是____________．(只需写一个，不添加辅助线)12. 如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：①∠A＝∠D，②AC ＝DB，③AB＝DC，其中不能判定△ABC≌△DCB的是________(只填序号)．13. 如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，过点C作平行于AB 的直线交DE的延长线于点F.若DE＝FE，AB＝5，CF＝3，则BD的长是________．14. 如图，要测量河岸相对两点A，B之间的距离，从B点沿与AB成90°角方向，向前走50米到C处立一根标杆，然后方向不变继续向前走50米到D处，在D处转90°沿DE方向再走17米到达E处，这时A，C，E三点在同一直线上，则A，B之间的距离为________米．15. 如图，小明和小丽为了测量池塘两端A，B两点之间的距离，先取一个可以直接到达点A和点B的点C，沿AC方向走到点D处，使CD＝AC；再用同样的方法确定点E，使CE＝BC.若量得DE的长为60米，则池塘两端A，B两点之间的距离是______米．16. (2019•南通)如图，△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE=CF，若∠BAE=25°，则∠ACF=__________度．三、解答题（本大题共4道小题）17. 已知：如图，点C，F在AD上，AF＝DC，∠B＝∠E，∠A＝∠D.求证：AB＝DE.18. 已知：∠AOB.求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB.(1)如图K－10－13①，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；(2)如图②，画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；(3)以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第(2)步中所画的弧交于点D′；(4)过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB.根据以上作图步骤，请你证明∠A′O′B′＝∠AOB.19. 如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一面同时施工，工人师傅在AC上取一点B，在小山外取一点D，连接BD并延长，使DF＝BD，过点F作AB的平行线FM，连接MD并延长，在延长线上取一点E，使DE＝DM，在点E开工就能使A，C，E三点成一条直线，你知道其中的道理吗？20. 在Rt△ABC中，BC=AC，∠ACB=90°，D为射线AB上一点，连接CD，过点C作线段CD的垂线l，在直线l上，分别在点C的两侧截取与线段CD相等的线段CE和CF，连接AE，BF.(1)当点D在线段AB上时(点D不与点A，B重合)，如图(a).①请你将图形补充完整;②线段BF，AD所在直线的位置关系为，线段BF，AD的数量关系为.(2)当点D在线段AB的延长线上时，如图(b)，在(1)中②问的结论是否仍然成立?如果成立，请进行证明;如果不成立，请说明理由.人教版八年级数学12.2 全等三角形的判定培优训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】C2. 【答案】C[解析] 当添加条件A 时，可用“ASA ”证明△ABD ≌△ACD ；当添加条件B 时，可用“AAS ”证明△ABD ≌△ACD ；当添加条件D 时，可用“SAS ”证明△ABD ≌△ACD ；当添加条件C 时，不能证明△ABD ≌△ACD.3. 【答案】C[解析] 选项A 中添加AB ＝DE 可用“AAS ”进行判定，故本选项不符合题意；选项B 中添加AC ＝DF 可用“AAS ”进行判定，故本选项不符合题意； 选项C 中添加∠A ＝∠D 不能判定△ABC ≌△DEF ，故本选项符合题意； 选项D 中添加BF ＝EC 可得出BC ＝EF ，然后可用“ASA ”进行判定，故本选项不符合题意． 故选C.4. 【答案】D[解析] A ．在△ABD 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AD ，AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴△ABD ≌△ACD(SSS)，故本选项不符合题意； B ．在△ABD 和△ACD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝AD ，∠ADB ＝∠ADC ，BD ＝CD ，∴△ABD ≌△ACD(SAS)，故本选项不符合题意； C ．在△ABD 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAD ＝∠CAD ，∠B ＝∠C ，AD ＝AD ，∴△ABD ≌△ACD(AAS)，故本选项不符合题意；D ．根据∠B ＝∠C ，AD ＝AD ，BD ＝CD 不能推出△ABD ≌△ACD(SSA)，故本选项符合题意．故选D.5. 【答案】C[解析] A .添加BC=FD ，AC=ED ，可利用“SAS ”判定△ABC ≌△EFD ;B .添加∠A=∠DEF ，AC=ED ，可利用“ASA ”判定△ABC ≌△EFD ; C .添加AC=ED ，AB=EF ，不能判定△ABC ≌△EFD ;D .添加∠A=∠DEF ，BC=FD ，可利用“AAS ”判定△ABC ≌△EFD.6. 【答案】C7. 【答案】A[解析] 由题意可得，要用“SSS ”判定△ABC 和△FED 全等，需要AB ＝FE ，若添加①AE ＝FB ，则可得AE ＋BE ＝FB ＋BE ，即AB ＝FE ，故①可以；若添加AB ＝FE ，则可直接用“SSS ”证明两三角形全等，故②可以；而③④都不可以．8. 【答案】D[解析] 在△AFD 和△AFB 中，∴△AFD ≌△AFB. ∴∠ADF=∠ABF. ∵AB ⊥BC ，BE ⊥AC ， ∴∠BEC=∠ABC=90°.∴∠ABF+∠EBC=90°，∠C+∠EBC=90°.∴∠ADF=∠ABF=∠C.∴FD∥BC.9. 【答案】A[解析] AB=b，AB是斜边，小惠作的斜边长是b符合条件，而小雷作的是一条直角边长是b.故小惠的作法正确，小雷的作法错误.10. 【答案】B【解析】如解图，连接OC，由已知条件易得∠A＝∠OCE，CO ＝AO，∠DOE＝∠COA，∴∠DOE－∠COD＝∠COA－∠COD，即∠AOD＝∠COE，∴△AOD≌△COE(ASA)，∴AD＝CE，进而得CD＋CE＝CD＋AD＝AC＝22AB＝3，故选B.二、填空题（本大题共6道小题）11. 【答案】答案不唯一，如AD＝CD [解析] 因为AB＝BC，BD＝BD，所以：(1)当AD＝CD时，△ABD≌△CBD(SSS)；(2)当∠ABD＝∠CBD时，△ABD≌△CBD(SAS)；(3)当∠A＝∠C＝90°时，Rt△ABD≌Rt△CBD(HL)．12. 【答案】②[解析] ∵已知∠ABC＝∠DCB，且BC＝CB，∴若添加①∠A＝∠D，则可由“AAS”判定△ABC≌△DCB；若添加②AC＝DB，则属于“SSA”，不能判定△ABC≌△DCB；若添加③AB＝DC，则可由“SAS”判定△ABC≌△DCB.13. 【答案】2 [解析] ∵CF ∥AB ，∴∠A ＝∠FCE.在△ADE 和△CFE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠FCE ，∠AED ＝∠CEF ，DE ＝FE ，∴△ADE ≌△CFE(AAS)．∴AD ＝CF ＝3.∴BD ＝AB －AD ＝5－3＝2.14. 【答案】17 [解析] 在△ABC 和△EDC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ABC ＝∠EDC ＝90°，BC ＝DC ，∠ACB ＝∠ECD ，∴△ABC ≌△EDC(ASA)．∴AB ＝ED ＝17米．15. 【答案】60 [解析] 在△ACB 和△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝DC ，∠ACB ＝∠DCE ，BC ＝EC ，∴△ACB ≌△DCE(SAS)．∴DE ＝AB.∵DE ＝60米，∴AB ＝60米．16. 【答案】70【解析】∵∠ABC=90°，AB=AC ，∴∠CBF=180°–∠ABC=90°，∠ACB=45°，在Rt △ABE 和Rt △CBF 中，AB CB AE CF =⎧⎨=⎩，∴Rt △ABE ≌Rt △CBF ， ∴∠BCF=∠BAE=25°，∴∠ACF=∠ACB+∠BCF=45°+25°=70°，故答案为：70．三、解答题（本大题共4道小题）17. 【答案】证明：∵AF ＝DC ，∴AC ＝DF.在△ABC 和△DEF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，AC ＝DF ，∴△ABC ≌△DEF(AAS)．∴AB ＝DE.18. 【答案】证明：由作法得OD ＝OC ＝O ′D ′＝O ′C ′，CD ＝C ′D ′. 在△OCD 和△O ′C ′D ′中，⎩⎪⎨⎪⎧OC ＝O ′C ′，OD ＝O ′D ′，CD ＝C ′D ′，∴△OCD ≌△O ′C ′D ′.∴∠COD ＝∠C ′O ′D ′，即∠A ′O ′B ′＝∠AOB.19. 【答案】解：在△BDE 和△FDM 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝FD ，∠BDE ＝∠FDM ，DE ＝DM ，∴△BDE ≌△FDM(SAS)．∴∠BEM ＝∠FME.∴BE ∥MF.又∵AB ∥MF ，∴A ，C ，E 三点在一条直线上．20. 【答案】解:(1)①如图所示.②∵CD⊥EF，∴∠DCF=90°.∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠DCF.∴∠ACD=∠BCF.又∵AC=BC，CD=CF，∴△ACD≌△BCF，∴AD=BF，∠BAC=∠FBC，∴∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°，即BF⊥AD.故答案为:互相垂直，相等.(2)成立.证明:∵CD⊥EF，∴∠DCF=90°.∵∠ACB=90°，∴∠DCF=∠ACB.∴∠DCF+∠BCD=∠ACB+∠BCD，即∠BCF=∠ACD.又∵AC=BC，CD=CF，∴△ACD≌△BCF.∴AD=BF，∠BAC=∠FBC.∴∠ABF=∠ABC+∠FBC=∠ABC+∠BAC=90°，即BF⊥AD.。

人教版2021-2022年八年级上册数学全等三角形、等腰三角形（培优卷1）1．如图，E、F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE＝AF，CE、BF交于点P．（1）求证：CE＝BF；（2）求∠BPC的度数．2．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD ＝DF．（1）求证：CF＝EB．（2）若AB＝12，AF＝8，求CF的长．3．如图，在△ABC中，∠B＝60°，延长BC到D，延长BA到E，使AE＝BD，连接CE、DE，使EC＝DE，求证：△ABC是等边三角形．4．（1）如图1，已知以△ABC的边AB、AC分别向外作等腰直角△ABD与等腰直角△ACE，∠BAD＝∠CAE＝90°，连接BE和CD相交于点O，AB交CD于点F，AC交BE于点G，求证：BE＝DC，且BE⊥DC．（2）探究：若以△ABC的边AB、AC分别向外作等边△ABD与等边△ACE，连接BE和CD相交于点O，AB交CD于点F，AC交BE于G，如图2，则BE与DC还相等吗？若相等，请证明，若不相等，说明理由；并请求出∠BOD的度数？5．如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D，F为BC边上的两点，CF ＝DB，连接AD，过点C作CE⊥AD于点G，交AB于点E，连接EF．（1）若∠DAB＝15°，AD＝6，求线段GD的长度；（2）求证：∠EFB＝∠CDA；（3）若∠FEB＝75°，试找出AG，CE，EF之间的数量关系，直接写出结论．6．在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线MN过点A且MN∥BC．以点B为一锐角顶点作Rt△BDE，∠BDE＝90°，且点D在直线MN上（不与点A重合）．（1）如图1，DE与AC交于点P，观察并猜想BD与DP的数量关系：．（2）如图2，DE与CA延长线交于点P，BD＝DP是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；（3）若DE与AC延长线交于点P，BD与DP是否相等？请画出图形并写出你的结论，无需证明．7．【阅读理解】已知：如图1，等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD是角平分线，交BC边于点D．求证：AC＝AB+BD证明：如图1，在AC上截取AE＝AB，连接DE，则由已知条件易知：Rt△ADB≌Rt△ADE（AAS）∴∠AED＝∠B＝90°，DE＝DB又∵∠C＝45°，∴△DEC是等腰直角三角形．∴DE＝EC．∴AC＝AE+EC＝AB+BD．【解决问题】已知，如图2，等腰直角三角形ABC中，∠B＝90°，AD是∠BAC的平分线，交BC边于点D，DE⊥AC，垂足为E，若AB＝2，则三角形DEC的周长为．【数学思考】：现将原题中的“AD是内角平分线，交BC边于点D”换成“AD是外角平分线，交BC边的延长线于点D如图3”，其他条件不变，请你猜想线段AC、AB、BD之间的数量关系，并证明你的猜想．【类比猜想】任意三角形ABC，∠ABC＝2∠C，AD是∠BAC的外角平分线，交CB边的延长线于点D，如图4，请你写出线段AC、AB、BD之间的数量关系．8．如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD＝AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M．（1）求证：△ADC≌△AEB；（2）判断△EGM是什么三角形，并证明你的结论；（3）判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论．9．如图，D是△ABC的边BC上的点，且CD＝AB，∠ADB＝∠BAD，AE是△ABD的中线．求证：AC＝2AE．10．如图（1），△ABC是等边三角形，DE是中位线，F是线段BC延长线上一点，且CF ＝AE，连接BE，EF．（1）求证：BE＝EF；（2）若将DE从中位线的位置向上平移，使点D，E分别在线段AB，AC上（点E与点A不重合），其他条件不变，如图（2），则（1）题中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．11．如图，已知BC＞AB，AD＝DC，BD平分∠ABC，求证：∠A+∠C＝180°．12．阅读下列材料：问题：如图（1），已知正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF＝45°．判断线段BE、EF、FD之间的数量关系，并说明理由．小明同学的想法是：已知条件比较分散，可以通过旋转变换将分散的已知条件集中在一起，于是他将△DAF绕点A顺时针旋转90°，得到△BAH，然后通过证明三角形全等可得出结论．请你参考小明同学的思路，解决下列问题：（1）图（1）中线段BE、EF、FD之间的数量关系是；（2）如图（2），已知正方形ABCD边长为5，E、F分别是BC、CD边上的点，且∠EAF ＝45°，AG⊥EF于点G，则AG的长为，△EFC的周长为；（3）如图（3），已知△AEF中，∠EAF＝45°，AG⊥EF于点G，且EG＝2，GF＝3，则△AEF的面积为．13．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝AD，∠ADC＝90°，AD∥BC．（1）求证：四边形ABCD是正方形；（2）如图，点E在BC上，连接AE，以AE为斜边作等腰Rt△AEF，点F在正方形ABCD 的内部，连接DF，求证：DF平分∠ADC；（3）在（2）的条件下，延长EF交CD的延长线于点H，延长DF交AE于点M，连接CM交EF于点N，过点E作EG∥AF交DC的延长线于点G，若∠BGE+2∠FEC＝135°，DH＝1，求线段MN的长．14．【问题提出】如图1，在四边形ABCD中，AD＝CD，∠ABC＝120°，∠ADC＝60°，AB＝2，BC＝1，求四边形ABCD的面积．【尝试解决】旋转是一种重要的图形变换，当图形中有一组邻边相等时，往往可以通过旋转解决问题．（1）如图2，连接BD，由于AD＝CD，所以可将△DCB绕点D顺时针方向旋转60°，得到△DAB'，则△BDB′的形状是．（2）在（1）的基础上，求四边形ABCD的面积．【类比应用】（3）如图3，等边△ABC的边长为2，△BDC是顶角为∠BDC＝120°的等腰三角形，以D为顶点作一个60°的角，角的两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，求△AMN的周长．15.如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．（1）如图（1），当t＝时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；（2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC 的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．16.截长补短法，是初中几何题中一种添加辅助线的方法，也是把几何题化难为易的一种策略．截长就是在长边上截取一条线段与某一短边相等，补短就是通过延长或旋转等方式使两条短边拼合到一起，从而解决问题．（1）如图1，△ABC是等边三角形，点D是边BC下方一点，∠BDC＝120°，探索线段DA、DB、DC之间的数量关系．解题思路：延长DC到点E，使CE＝BD，根据∠BAC+∠BDC＝180°，可证∠ABD＝∠ACE，易证△ABD≌△ACE，得出△ADE是等边三角形，所以AD＝DE，从而解决问题．根据上述解题思路，三条线段DA、DB、DC之间的等量关系是；（直接写出结果）（2）如图2，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．点D是边BC下方一点，∠BDC ＝90°，探索三条线段DA、DB、DC之间的等量关系，并证明你的结论．。

八年级数学全等三角形（培优篇）（Word版含解析）一、八年级数学轴对称三角形填空题（难）1.如图，在菱形ABCD中，ZABC=120° , AB=10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点.若以P,B f C为顶点的三角形是等腰三角形，则P, A（P, A两点不重合）两点间的最短距离为____________ c m .【答案】1OJJ-1O【解析】解：连接3D,在菱形A3CD中，T Z ABC=120° , AB=BC=AD=CD=10 , :. Z A=Z C=60° ,二△ ABD , △ BCD都是等边三角形，分三种情况讨论：①若以边8C为底，则3C垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了"直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短"，即当点P与点D重合时，必最小，最小值^4=10 ；②若以边P3为底，ZPCB为顶角时，以点C为圆心，BC长为半径作圆，与AC相交于一点，则弧3D （除点8外）上的所有点都满足APBC是等腰三角形，当点P在AC上时，AP 最小，最小值为lOjJ-10 ；③若以边PC为底，ZPBC为顶角，以点3为圆心，BC为半径作圆，则弧AC上的点&与点D均满足APBC为等腰三角形，当点P与点A重合时，必最小，显然不满足题意，故此种情况不存在；综上所述，必的最小值为10>/3-10 （cm）.故答案为：10x/I—10 .点睹：本题考查菱形的性质、等边三角形的性质，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型.2.在等腰△遊中，肋丄肚交直线％于点以若妙丄万G则△磁的顶角的度数为【答案】30。

或150。

或90°【解析】试题分析：分两种情况：①3C为腰，②BC为底，根据直角三角形30。

角所对的直角边等于斜边的一半判断岀ZACD=3O°,然后分AD在^ABC内部和外部两种情况求解即可.解：①BC为腰，VAD丄 BC 于点D t AD= - BC f2:.ZACD二30。

1.2全等三角形培优练习一、选择题1、有下列说法：①两个三角形全等，它们的形状一定相同；②两个三角形形状相同，它们一定是全等三角形；③两个三角形全等，它们的面积一定相等；④两个三角形面积相等，它们一定是全等三角形．其中正确的说法是（）A．①②B．②③C．①③D．②④∠等于( )2、如图中的两个三角形全等，则αA．65︒B．60︒C．55︒D．50︒3、如图，ABC AEF∠=∠；=；③FAB EAB=；②EF BC∆≅∆，观察以下结论：①AC AF④EAB FAC∠=∠，其中正确结论的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个4、如图，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是()A．DB平分∠ADC B．△ABD和△CDB的周长相等C．AD∥BC，且AD＝BC D．△ABD和△CDB的面积相等5、如图，OAC OBDAD=)∆≅∆．若12OC=，7OB=，则(A ．5B ．6C ．7D ．86、如图所示，△ABC ≌△ADE ，AB=AD ，AC=AE ，BC 的延长线交DA 于点F ，交DE 于点G ，∠AED=105°，∠CAD=15°，∠B=30°，则∠1的度数为（ ）．A ．50°B ．60°C ．40°D ．20°7、如图，点D 、E 分别在ABC ∆的边AB 、AC 上，且DEF DEA ∆≅∆，若60BDF CEF ∠-∠=︒，则A ∠的度数为( )A ．30︒B ．32︒C ．35︒D ．40︒8、如图，N ，C ，A 三点在同一直线上，在ABC ∆中，::3:5:10A ABC ACB ∠∠∠=，又MNC ABC ∆≅∆，则:BCM BCN ∠∠等于（ ）A ．1:2B ．1:3C ．2:3D ．1:49、如图所示，锐角ABC ∆中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，ADC ADC ∆≅∆'，AEB AEB ∆≅∆'，且////C D EB BC ''，BE 、CD 交于点F ，若40BAC ∠=︒，则BFC ∠的大小是( )A ．105︒B ．100︒C ．110︒D ．115︒10、如图所示中的44⨯的正方形网格中，1234567∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=（ ）A ．330B ．315C ．300D ．245二、填空题11、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于点H ，已知△AEH ≌△CEB ，EB ＝5，AE ＝7，则CH 的长是 ．12、如图，已知ABC ADE ∆≅∆，60DAC ∠=︒，100BAE ∠=︒，BC 、DE 相交于点F ，则DFB ∠的度数是 度．13、一个三角形的三条边的长分别是3，5，7，另一个三角形的三条边的长分别是3，3x ﹣2y ，x +2y ，若这两个三角形全等，则x +y 的值是 ．14、如图，△ABC ≌△ADE ，且AE ∥BD ，∠BAD ＝130°，则∠BAC 度数的值为 ．15、如图，已知AB ＝3，AC ＝2，点D 、E 分别为线段BA 、CA 延长线上的动点，如果△ABC 与△ADE 全等，则AD 为 ．16、如图，若AB ，CD 相交于点E ，若△ABC ≌△ADE ，且点B 与点D 对应，点C 与点E 对应，∠BAC ＝28°，则∠B 的度数是 °．17、如图，△ABC ≌△ADE ，BC 的延长线经过点E ，交AD 于F ，∠AED ＝105°，∠CAD ＝10°，∠B ＝50°，则∠EAB ＝ °．18、如图，已知长方形ABCD 的边长AB ＝20cm ，BC ＝16cm ，点E 在边AB 上，AE ＝6cm ，如果点P 从点B 出发在线段BC 上以2cm /s 的速度向点C 向运动，同时，点Q 在线段CD 上从点C 到点D 运动．则当△BPE 与△CQP 全等时，时间t 为 s ．三、解答题19、如图，ABC ADE ∆≅∆，30B ∠=︒，20E ∠=︒，80BAE ∠=︒，求BAC ∠、DAC ∠的度数．20、如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线分别交AD，DE于点F，G，且∠DAC＝10°，∠B＝∠D＝25°，∠EAB＝120°，求∠DFB和∠DGB的度数．21、如图，△ABC中，点E是AB边上一点，△BCE≌△ACE，ED∥AC，DF⊥AB．（1）判断CE与AB是否垂直，并说明理由；（2）证明：∠EDF＝∠BDF．22、如图所示，A，C，E三点在同一直线上，且△ABC≌△DAE．（1）求证：BC＝DE+CE；（2）当△ABC满足什么条件时，BC∥DE？参考答案一、选择题1、有下列说法：①两个三角形全等，它们的形状一定相同；②两个三角形形状相同，它们一定是全等三角形；③两个三角形全等，它们的面积一定相等；④两个三角形面积相等，它们一定是全等三角形．其中正确的说法是（）A．①②B．②③C．①③D．②④【答案】C【分析】根据全等三角形的定义以及性质一一判断即可．【详解】两个三角形全等，它们的形状一定相同，故①正确，两个三角形形状相同，它们不一定是全等三角形，故②错误，两个三角形全等，它们的面积一定相等，故③正确，两个三角形面积相等，它们不一定是全等三角形，故④错误，综上，正确的说法是①③，故选C.∠等于( )2、如图中的两个三角形全等，则αA．65︒B．60︒C．55︒D．50︒【答案】B【分析】由全等三角形的对应角相等可求得答案．【详解】解：∵两三角形全等，∴a、c两边的夹角相等，∴α=60°，故选：B．3、如图，ABC AEF∠=∠；=；③FAB EAB ∆≅∆，观察以下结论：①AC AF=；②EF BC④EAB FAC∠=∠，其中正确结论的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个解：ABC AEF=，故①②正确，∆≅∆，AC AF∴=，EF BC∠=∠，EAF BAF BAC BAFEAF BAC∴∠=∠，故④正∴∠-∠=∠-∠，EAB FAC确，不能确定AB平分EAF∠，故③错误．故选：C．4、如图，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是()A．DB平分∠ADC B．△ABD和△CDB的周长相等C．AD∥BC，且AD＝BC D．△ABD和△CDB的面积相等【答案】A【分析】根据全等三角形的性质得出对应角相等，对应边相等，推出两三角形面积相等，周长相等，再逐个判断即可．【详解】解：A、∵△ABD≌△CDB，∴∠ABD=∠CDB，∠ADB≠∠CDB，DB不一定平分∠ADC,错误；B、∵△ABD≌△CDB，∴△ABD和△CDB的周长相等，正确；C、∵△ABD≌△CDB，∴AD=BC，∠ADB=∠CBD，∴AD∥BC，正确；D、∵△ABD≌△CDB，∴△ABD和△CDB的面积相等，正确；故选A．5、如图，OAC OBDAD=)∆≅∆．若12OB=，则(OC=，7A．5 B．6 C．7 D．8解：OAC OBD∆≅∆，==，12OA OB∴==，7OD OC∴=-=，5AD OD OA故选：A．6、如图所示，△ABC≌△ADE，AB=AD，AC=AE，BC的延长线交DA于点F，交DE于点G，∠AED=105°，∠CAD=15°，∠B=30°，则∠1的度数为（）．A．50°B．60°C．40°D．20°【答案】B【分析】根据全等三角形对应角相等可得∠AED=∠ACB，∠D=∠B，再根据邻补角的定义求出∠ACF，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可．【详解】∵△ABC≌△ADE，AB=AD，AC=AE，∴∠AED=∠ACB=105°，∠D=∠B=30°，∴∠ACF=180°-∠ACB=180°-105°=75°，由三角形的内角和定理得，∠1+∠D=∠CAD+∠ACF，∴∠1+30°=15°+75°，解得∠1=60°．故选：B.7、如图，点D、E分别在ABC∆≅∆，若∆的边AB、AC上，且DEF DEA∠-∠=︒，BDF CEF60则A∠的度数为()A．30︒B．32︒C．35︒D．40︒解：DEF DEA∴∠=∠，∆≅∆，F A∠=∠+∠，1CEF FBDF A1∴∠=∠+∠，∠=∠+∠，1CEF AA∴∠=︒，BDF A CEF A∴∠=∠-∠=︒，30A BDF CEF∴∠=∠+∠+∠，260故选：A．8、如图，N ，C ，A 三点在同一直线上，在ABC ∆中，::3:5:10A ABC ACB ∠∠∠=，又MNC ABC ∆≅∆，则:BCM BCN ∠∠等于（ ）A ．1:2B ．1:3C ．2:3D ．1:4【答案】D 【分析】根据已知和三角形的内角和，求出三角的度数，再根据各角之间的关系求出∠BCM 、∠BCN 的度数可求出结果．【详解】解：在△ABC 中，∠A ：∠ABC ：∠ACB=3：5：10设∠A=3x ，则∠ABC=5x ，∠ACB=10x, ∴3x+5x+10x=180, ∴x=10︒∴∠A=30°，∠ABC=50°，∠ACB=100°, ∴∠BCN=180°-100°=80° ∵△MNC ≌△ABC, ∴∠ACB=∠MCN=100°∴∠BCM=∠NCM-∠BCN=100°-80°=20° ∴∠BCM ：∠BCN=20°：80°=1：4 故选D ．9、如图所示，锐角ABC ∆中，D ，E 分别是AB ，AC 边上的点，ADC ADC ∆≅∆'，AEB AEB ∆≅∆'，且////C D EB BC ''，BE 、CD 交于点F ，若40BAC ∠=︒，则BFC ∠的大小是( )A ．105︒B ．100︒C ．110︒D ．115︒解：延长C D '交AB '于H ．AEB AEB ∆≅∆'，ABE AB E ∴∠=∠'，//C H EB ''，AHC AB E ∴∠'=∠'，ABE AHC ∴∠=∠'，ADC ADC ∆≅∆'，C ACD ∴∠'=∠，BFC DBF BDF ∠=∠+∠，BDF CAD ACD ∠=∠+∠，BFC AHC C DAC ∴∠=∠'+∠'+∠，40DAC DAC CAB ∠=∠'=∠'=︒，120C AH ∴∠'=︒，60C AHC ∴∠'+∠'=︒，6040100BFC ∴∠=︒+︒=︒，故选：B ．10、如图所示中的44⨯的正方形网格中，1234567∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=（）A ．330B ．315C ．300D ．245【答案】B【分析】根据正方形的轴对称得1790︒∠+∠=，2690︒∠+∠=，3590︒∠+∠=，544︒∠=.【详解】由图可知，1∠所在的三角形与7∠所在的三角形全等，∴1790︒∠+∠=.同理得，2690︒∠+∠=，3590︒∠+∠=.又544︒∠=，所以1234567∠+∠+∠+∠+∠+∠+∠=315.故选B.二、填空题11、如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于点H ，已知△AEH ≌△CEB ，EB ＝5，AE ＝7，则CH 的长是 ．【分析】根据全等三角形的性质分别求出EC 、EH ，结合图形计算，得到答案．【解答】解：∵△AEH ≌△CEB ，∴EC ＝AE ＝7，EH ＝EB ＝5，∴CH ＝EC ﹣EH ＝7﹣5＝2，故答案为：2．12、如图，已知ABC ADE ∆≅∆，60DAC ∠=︒，100BAE ∠=︒，BC 、DE 相交于点F ，则DFB ∠的度数是 度．解：ABC ADE ∆≅∆，B D ∴∠=∠，BAC DAE ∠=∠，1(10060)202BAD CAE ∴∠=∠=⨯︒-︒=︒， B D ∠=∠，BGA DGF ∠=∠，20DFB BAD ∴∠=∠=︒，故答案为：20．13、一个三角形的三条边的长分别是3，5，7，另一个三角形的三条边的长分别是3，3x ﹣2y ，x +2y ，若这两个三角形全等，则x +y 的值是 ．【分析】根据全等三角形的性质可得方程组⎩⎨⎧=+=-72523y x y x ，或⎩⎨⎧=-=+72352y x y x ，解方程组可得答案．【解答】解：由题意得⎩⎨⎧=+=-72523y x y x ，或⎩⎨⎧=-=+72352y x y x ，解得：⎩⎨⎧==23y x 或⎩⎨⎧==13y x ，x +y ＝5或x +y ＝4，故答案为：5或414、如图，△ABC ≌△ADE ，且AE ∥BD ，∠BAD ＝130°，则∠BAC 度数的值为 ．【分析】根据全等三角形的性质，可以得到AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，从而可以得到∠ABD＝∠ADB，再根据AE∥BD，∠BAD＝130°，即可得到∠DAE的度数，从而可以得到∠BAC的度数．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，∴∠ABD＝∠ADB，∵∠BAD＝130°，∴∠ABD＝∠ADB＝25°，∵AE∥BD，∴∠DAE＝∠ADB，∴∠DAE＝25°，∴∠BAC＝25°，故答案为：25°．15、如图，已知AB＝3，AC＝2，点D、E分别为线段BA、CA延长线上的动点，如果△ABC与△ADE全等，则AD为．【分析】分△ABC≌△ADE和△ABC≌△ADE两种情况，根据全等三角形的性质解答即可．【解答】解：当△ABC≌△ADE时，AD＝AB＝3，当△ABC≌△AED时，AD＝AC＝2，故答案为：2或3．16、如图，若AB，CD相交于点E，若△ABC≌△ADE，且点B与点D对应，点C与点E对应，∠BAC＝28°，则∠B的度数是°．解：∵△ABC≌△ADE，且点B与点D对应，点C与点E对应，∴∠B＝∠D，AC＝AE，∠BAC＝∠BAD，∴∠ACE＝∠AEC，∵∠ACE+∠AEC+∠BAC＝180°，∠BAC＝28°，∴∠ACE＝∠AEC＝（180°﹣∠BAC）＝76°，∠BAD＝28°，∵∠D+∠CAD+∠ACE＝180°，∴∠D＝180°﹣∠CAD﹣∠ACE＝48°，故答案为48．17、如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线经过点E，交AD于F，∠AED＝105°，∠CAD＝10°，∠B＝50°，则∠EAB＝°．【分析】根据全等三角形的性质得出∠D＝∠B＝50°，∠EAD＝∠CAB，根据三角形内角和定理求出∠EAD，代入∠EAB＝∠EAD+∠DAC+∠CAB，即可求出答案．【解析】∵△ABC≌△ADE，∠B＝50°，∴∠D＝∠B＝50°，∠EAD＝∠CAB，∵∠AED＝105°，∴∠EAD＝180°﹣∠D﹣∠AED＝25°，∴∠CAB ＝25°，∵∠CAD ＝10°，∴∠EAB ＝∠EAD +∠DAC +∠CAB ＝25°+10°+25°＝60°18、如图，已知长方形ABCD 的边长AB ＝20cm ，BC ＝16cm ，点E 在边AB 上，AE ＝6cm ，如果点P 从点B 出发在线段BC 上以2cm /s 的速度向点C 向运动，同时，点Q 在线段CD 上从点C 到点D 运动．则当△BPE 与△CQP 全等时，时间t 为 s ．【分析】由条件分两种情况，当△BPE ≌△CQP 时，则有BE ＝PC ，由条件可得到关于t 的方程，当△BPE ≌△CPQ ，则有BP ＝PC ，同样可得出t 的方程，可求出t 的值．【解答】解：∵AB ＝20cm ，AE ＝6cm ，BC ＝16cm ，∴BE ＝14cm ，BP ＝2tcm ，PC ＝（16﹣2t ）cm ，当△BPE ≌△CQP 时，则有BE ＝PC ，即14＝16﹣2t ，解得t ＝1，当△BPE ≌△CPQ 时，则有BP ＝PC ，即2t ＝16﹣2t ，解得t ＝4，故答案为：1或4．三、解答题19、如图，ABC ADE ∆≅∆，30B ∠=︒，20E ∠=︒，80BAE ∠=︒，求BAC ∠、DAC ∠的度数．解：ABC ADE ∆≅∆，20C E ∴∠=∠=︒，在ABC ∆中，1801803020130BAC B C ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒；80BAE ∠=︒，1308050CAE BAC BAE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，ABC ADE ∆≅∆，130DAE BAC ∴∠=∠=︒，13050180DAC DAE CAE ∴∠=∠+∠=︒+︒=︒．故，130BAC ∠=︒，180DAC ∠=︒.20、如图，△ABC ≌△ADE ，BC 的延长线分别交AD ，DE 于点F ，G ，且∠DAC ＝10°，∠B ＝∠D ＝25°，∠EAB ＝120°，求∠DFB 和∠DGB 的度数．【分析】先根据全等三角形的性质得∠BAC ＝∠DAE ，由于∠DAE +∠CAD +∠BAC ＝120°，则可计算出∠BAC ＝55°，所以∠BAF ＝∠BAC +∠CAD ＝65°，根据三角形外角性质可得∠DFB ＝∠BAF +∠B ＝90°，∠DGB ＝65°．【解答】解：∵△ABC ≌△ADE ，∴∠BAC ＝∠DAE ，∵∠EAB ＝120°，∴∠DAE +∠CAD +∠BAC ＝120°，∵∠CAD ＝10°，∴∠BAC=21（120°﹣10°）＝55°， ∴∠BAF ＝∠BAC +∠CAD ＝65°，∴∠DFB ＝∠BAF +∠B ＝65°+25°＝90°；∵∠DFB ＝∠D +∠DGB ，∴∠DGB ＝90°﹣25°＝65°．21、如图，△ABC 中，点E 是AB 边上一点，△BCE ≌△ACE ，ED ∥AC ，DF ⊥AB ．（1）判断CE 与AB 是否垂直，并说明理由；（2）证明：∠EDF ＝∠BDF ．【分析】（1）根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据全等三角形的性质和平行线的判定和性质即可得到结论．【解答】解：（1）CE ⊥AB ，理由：∵△BCE ≌△ACE ，∴BEC ＝∠AEC= 21180°＝90°，∴CE ⊥AB ； （2）∵ED ∥AC ，∴∠DEC ＝∠ACE ，∵△BCE ≌△ACE ，∴∠BCE ＝∠ACE ，∴∠CED ＝∠DCE ，∵DF ⊥AB ，∴DF ∥CE ，∴∠BDF ＝∠DCE ，∠EDF ＝∠CED ，∴∠EDF ＝∠BDF ．22、如图所示，A ，C ，E 三点在同一直线上，且△ABC ≌△DAE ．（1）求证：BC ＝DE +CE ；（2）当△ABC 满足什么条件时，BC ∥DE ？【分析】（1）根据全等三角形的性质得出AE＝BC，AC＝DE，再求出答案即可；（2）根据平行线的性质得出∠BCE＝∠E，根据全等三角形的性质得出∠ACB＝∠E，求出∠ACB＝∠BCE，再求出答案即可．【解答】（1）证明：∵△ABC≌△DAE，∴AE＝BC，AC＝DE，又∵AE＝AC+CE，∴BC＝DE+CE；（2）解：∵BC∥DE，∴∠BCE＝∠E，又∵△ABC≌△DAE，∴∠ACB＝∠E，∴∠ACB＝∠BCE，又∵∠ACB+∠BCE＝180°，∴∠ACB＝90°，即当△ABC满足∠ACB为直角时，BC∥DE．。

全等三角形专题培优考试总分： 110 分考试时间： 120 分钟卷I（选择题）一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）1.如图为个边长相等的正方形的组合图形，则A. B.C. D.2.下列定理中逆定理不存在的是（）A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等C.同位角相等，两直线平行D.全等三角形的对应角相等3.已知：如图，，，，则不正确的结论是（）A.与互为余角B.C.D.4.如图，是的中位线，延长至使，连接，则的值为（）A. B. C. D.5.如图，在平面直角坐标系中，在轴、轴的正半轴上分别截取、，使；再分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点．若点的坐标为，则与的关系为（）A. B.C. D.6.如图，是等边三角形，，于点，于点，，则下列结论：①点在的角平分线上；②；③；④．正确的有（）A.个B.个C.个D.个7.如图，直线、、″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）A.一处B.二处C.三处D.四处8.如图，是的角平分线，则等于（）A. B.C. D.9.已知是的中线，且比的周长大，则与的差为（）A. B.C. D.10.若一个三角形的两条边与高重合，那么它的三个内角中（）A.都是锐角B.有一个是直角C.有一个是钝角D.不能确定卷II（非选择题）二、填空题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分）11.问题情境：在中，，，点为边上一点（不与点，重合），交直线于点，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得第1页，共7页第2页，共7页………外………○……………………○……………………○※※请※※不※※答※※题※………内………○……………………○……………………○到线段（旋转角为），连接．特例分析：如图．若，则图中与全等的一个三角形是________，的度数为________．类比探究：请从下列，两题中任选一题作答，我选择________题． ：如图，当时，求的度数； ：如图，当时，①猜想的度数与的关系，用含的式子表示猜想的结果，并证明猜想；②在图中将“点为边上的一点”改为“点在线段的延长线上”，其余条件不变，请直接写出的度数（用含的式子表示，不必证明）12.如图，正方形纸片的边长为，点、分别在边、上，将、分别沿、折叠，点、恰好都落在点处，已知，则的长为________．13.在中，为的平分线，于，于，面积是，，，则的长为________．14.在中，，的垂直平分线与所在的直线相交所得到锐角为，则等于________．15.如图，平分，于，于，，则图中有________对全等三角形．16.如图，在中，，点从点出发沿射线方向，在射线上运动．在点运动的过程中，连结，并以为边在射线上方，作等边，连结． 当________时，；请添加一个条件：________，使得为等边三角形； ①如图，当为等边三角形时，求证：；②如图，当点运动到线段之外时，其它条件不变，①中结论还成立吗？请说明理由．17.如图，从圆外一点引圆的两条切线，，切点分别为，．如果，，那么弦的长是________．18.如图，在中，，，是的平分线，平分交于，则________．19.阅读下面材料：小聪遇到这样一个有关角平分线的问题：如图，在中，，平分，， 求的长．小聪思考：因为平分，所以可在边上取点，使，连接．这样很容易得到，经过推理能使问题得到解决（如图）． 请回答：是________三角形．的长为________．参考小聪思考问题的方法，解决问题： 如图，已知中，，，平分，，．求的长．20.如图，在和中，，，若要用“斜边直角边．．”直接证明，则还需补充条件：________．三、解答题（共 7 小题 ，每小题 10 分 ，共 70 分 ）21.如图，已知为等边三角形，为延长线上的一点，平分，，求证：为等边三角形．22.尺规作图（不要求写作法，保留作图痕迹）如图，作①的平分线；②边上的中线；22.一块三角形形状的玻璃破裂成如图所示的三块，请你用尺规作图作一个三角形，使所得的三角形和原来的三角形全等．（不要求写作法，保留作图痕迹．不能在原图上作三角形）22.如图：在正方形网格中有一个，按要求进行下列画图（只能借助于网格）：①画出中边上的高（需写出结论）．②画出先将向右平移格，再向上平移格后的．23.平行四边形中，，点为边上一点，连结，点在边所在直线上，过点作交于点．如图，若为边中点，交延长线于点，，，，求；如图，若点在边上，为中点，且平分，求证：；如图，若点在延长线上，为中点，且，问中结论还成立吗？若不成立，那么线段、、满足怎样的数量关系，请直接写出结论．24.如图，直线与轴、轴分别交于、两点，直线与直线关于轴对称，已知直线的解析式为，求直线的解析式；过点在的外部作一条直线，过点作于，过点作于，请画出图形并求证：；沿轴向下平移，边交轴于点，过点的直线与边的延长线相交于点，与轴相交于点，且，在平移的过程中，①为定值；②为定值．在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．25.如图：，，过点，于，于，．求证：．第3页，共7页第4页，共7页26.如图，点，在上，，，，与交于点．求证：；试判断的形状，并说明理由．27.如图，已知点是平分线上一点，，，垂足为、吗？为什么？是的垂直平分线吗？为什么？ 答案 1.B 2.D 3.D 4.A 5.B 6.D 7.D 8.A 9.B 10.B11.[ “”, “” ][ “” ] 12.[ “” ] 13.[ “” ] 14.[ “或” ]15.[ “” ] 16.[ “；” ][ "添加一个条件，可得为等边三角形； 故答案为：；①∵与是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴；②成立，理由如下； ∵与是等边三角形， ∴，，， ∴， 即， 在与中， ， ∴， ∴．" ] 17.[ “” ] 18.[ “” ]19.[ "解：是等腰三角形， 在与中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴，∴是等腰三角形；" ][ "的长为， ∵中，，， ∴， ∵平分， ∴，在边上取点，使，连接， 则，∴， ∴， ∴，在边上取点，使，连接， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，∴．" ]\"go题库\"20.[ “” ]21.证明：∵为等边三角形，∴，，即，∵平分，∴，在和中，，∴，∴，，又，∴，∴为等边三角形．22.解：如图所示：；如图所示：即为所求；；①如图所示：即为所求；②如图所示：即为所求；．．23.解：如图，在平行四边形中，，∴，∵在中，为的中点，，∴，又∵，∴，故可设，，则中，，解得，∴，又∵，，∴为的中点，∴；如图，延长交的延长线于点，则，∵，∴，又∵平分，∴，∴是等腰直角三角形，∴，又∵，∴，∴，，又∵为的中点，∴，∴，∴，∵，∴；第5页，共7页第6页，共7页…○…………装订…………○…※※请※※不※※内※※答※※题※※…○…………装订…………○…若点在延长线上，为中点，且，则中的结论不成立，正确结论为：． 证明：如图，延长交的延长线于点，则，∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，，又∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．24.解：∵直线与轴、轴分别交于、两点， ∴，，∵直线与直线关于轴对称， ∴∴直线的解析式为：；如图．．∵直线与直线关于轴对称， ∴，∵与为象限平分线的平行线， ∴与为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴，，∴；①对，过点作轴于，直线与直线关于轴对称∵，， 又∵， ∴， 则， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴．25.证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中，∴．26.证明：∵，∴，即．又∵，，∴，∴．解：为等腰三角形理由如下：∵，∴，∴，∴为等腰三角形．27.解：．理由：∵是的平分线，且，，∴，∴；是的垂直平分线．理由：∵，在和中，，∴，∴，由，，可知点、都是线段的垂直平分线上的点，从而是线段的垂直平分线．第7页，共7页。

《全等三角形》培优专题训练1 全等三角形的概念两个能够完全重合的三角形叫做全等三角形.把两个全等三角形重合在一起，重合的角叫做对应角，重合的边叫做对应边.全等三角形的对应角相等，对应边相等. 经典例题如图所示，ABC DEF ∆≅∆，30A ∠=︒，50B ∠=︒，2BF =.求DFE ∠的度数与EC 的长.解题策略在ABC ∆中，+180A B ACB ∠∠+∠=︒ (三角形内角和为180°).因为30A ∠=︒，50B ∠=︒(已知)，所以1803050100ACB ∠=︒-︒-︒=︒ 因为ABC DEF ∆≅∆ (已知)，所以ACB DFE ∠=∠(全等三角形对应角相等) BC EF =(全等三角形对应边相等)， 因此100DFE ∠=︒，所以2EC EF FC BC FC BF =-=-== 画龙点睛1. 在解答与全等三角形有关的问题时，要充分利用全等三角形的定义所得到的对应边相等、对应角相等的结论.2. 在本题中求EC 的长时，不能直接求，可将之转化为两条线段的差，这也是将来求线段长的一种常用的转化方法.举一反三1. 如图，若ABC ADE ∆≅∆，则这对全等三角形的对应边是 ;对应角是 .2. 如图，若ABD ACD ∆≅∆，试说明AD 与BC 的位置关系.3. 如图所示，斜折一页书的一角，使点A 落在同一页书内'A 处，DE 为折痕，作DF平分'A DB ∠，试猜想FDE ∠等于多少度，并说明理由.融会贯通4. 如图，ABE ∆和ACD ∆是ABC ∆分别沿着AB 、AC 边翻折180°形成的，若θ∠的度数50°，则BAC ∠的度数是 .2 三角形全等的判定判断两个三角形全等，并非需要证明两个三角形的三条边以及三个角均对应相等，而只需满足全等三角形的判定定理就可以了. 经典例题已知:如图，AO 平分EAD ∠和EOD ∠，求证:(1)AOE AOD ∆≅∆;(2) BOE COD ∆≅∆.解题策略证明:(1)因为AO 平分EAD ∠和EOD ∠，所以OAD OAE ∠=∠，AOE AOD ∠=∠，又因为AO AO =，所以AOE AOD ∆≅∆ ( ASA).(2)由AOE AOD ∆≅∆，得OE OD =，且AEO ADO ∠=∠.又180BEO AEO ∠=︒-∠，180CDO ADO ∠=︒-∠，所以B E O C D O ∠=∠.在AOE ∆和AOD ∆中，因为B E O C D O ∠=∠，OE OD =，BOE COD ∠=∠，所以B O E C O D ∆≅∆(ASA). 画龙点睛1. 判定两个三角形全等，往往需要三个条件，根据题目已知的条件可以得到两个条件(要注意公共角及公共边)，这时.设法证明所缺的条件也成立就是证题的关键了. 2. 要证明两条线段或者两个角相等，常用的方法是证明它们是一对全等三角形的对应边或者对应角.举一反三1. 如图，已知AB AD =，那么添加下列一个条件后，仍无法判定ABC ADC ∆≅∆的是( ).(A) CB CD = (B)BAC DAC ∠=∠ (C)BCA DCA ∠=∠ (D)90B D ∠=∠=︒2. 如图所示，点D 、C 在BF 上，//AB EF ，A E ∠=∠，BC DF =.求证AB EF =.3. 如图，AB 交CD 于点O ，AD 、CB 的延长线相交于点E ，且OA OC =，EA EC =，你能证明A C ∠=∠吗?点O 在AEC ∠的平分线上吗?融会贯通4. 如图所示，已知BD 、CE 分别是ABC ∆的边AC 和AB 上的高，点P 在BD 的延长线上，BP AC =，点Q 在CE 上，CQ AB =.求证:(1)AP AQ =;(2)AP AQ ⊥.3 全等三角形的应用全等三角形的判定和性质被广泛地应用于几何证明题中。

苏科版数学新八年级暑假预习培优训练1.2全等三角形一、选择题1．如图，点D，E在的边BC上，≌，其中B，C为对应顶点，D，E为对应顶点，下列结论不一定成立的是A. B. C. D.2．如图，≌，DF和AC，FE和CB是对应边．若，，则等于A. B. C. D.3．如图，，若，，则AB 的长为A.6B.5C.4D.34．如图，≌，，则的度数为A. B. C. D.5．如图，≌，，，则对于结论：其中正确的是，，，，A. B. C. D.6．如图，已知≌，则下列结论：，.，．，．其中正确的是A. B. C. D.二、填空题7．如图，≌，且，，则______8．如图，中，，，，，点P、Q分别在边AC和射线AX上运动，若与全等，则AP的长是______．9．如图，≌，，，则______．10．如图，已知四边形ABCD中，厘米，厘米，厘米，，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为______时，能够使与全等．11．如图，已知≌，，且，，点A在DE上，则的度数为______．12．如图，中，厘米，厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以v厘米秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为3厘米秒，则当与全等时，v的值为__________．三、解答题13．如图，已知≌，点D在AC上，BC与DE交于点P，若，．若，，求的度数；求与的周长和．14．如图，已知≌，点E在AB上，DE与AC相交于点F，当，时，线段AE的长为______；已知，，求的度数；求的度数．15．如图，在中，，，，点F从点B出发，沿线段BC以的速度连续做往返运动，点E从点A出发沿线段AG以的速度运动至点、F两点同时出发，当点E到达点G时，E、F两点同时停止运动，EF与AC 交于点D，设点E的运动时间为秒．分别写出当和时线段BF的长度用含t的代数式表示．在点F从点C返回点B过程中，当时，求t的值．当t为何值时，≌？16．已知：≌连结BE，交AC于F，点H是CE上的点，且，连结DH交BE于求证：．17．如图，已知在中，，厘米，点D为AB上一点且厘米，点P在线段BC上以2厘米秒的速度由B点向C点运动，设运动时间为t，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．用含t的式子表示PC的长为__；若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，请求出点Q的运动速度是多少时，能够使与全等？苏科版数学新八年级暑假预习培优训练（教师卷）1.2全等三角形一、选择题1．如图，点D，E在的边BC上，≌，其中B，C为对应顶点，D，E为对应顶点，下列结论不一定成立的是A.B.C.D.答案：【答案】A解析：解：≌，，，B成立，不符合题意；，，C成立，不符合题意；，，D成立，不符合题意；AC不一定等于CD，A不成立，符合题意，故选：A．根据全等三角形的对应边相等、对应角相等判断即可．本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．2．如图，≌，DF和AC，FE和CB是对应边．若，，则等于A.B.C.D.答案：【答案】D解析：【分析】本题主要考查的是全等三角形的对应角相等，以及三角形的内角和定理．根据相等关系，把已知条件转到同一个三角形中然后利用三角形的内角和来求解是解决这类问题常用的方法．根据全等三角形的对应角相等、三角形的内角和是180度来解答．【解答】解：≌，DF和AC，FE和CB是对应边，，又，；，，；故选D．3．如图，，若，，则AB的长为A.6B.5C.4D.3答案：【答案】D解析：【分析】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，熟记性质并求出是解题的关键．根据全等三角形的对应边相等可得，然后求出，代入数据计算即可得解．【解答】解：由，得，所以，因为，，所以．故选D．4．如图，≌，，则的度数为A.B.C.D.答案：【答案】A解析：解：≌，，，，故选：A．根据全等三角形的性质可得，再根据等式的性质可得．此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．5．如图，≌，，，则对于结论：其中正确的是，，，，A.B.C.D.答案：【答案】B解析：解：≌，，，，，，正确的是，故选：B．根据全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等可得，，，再利用等式的性质可得．此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握性质定理．6．如图，已知≌，则下列结论：，．，．，．其中正确的是A. B. C. D.答案：【答案】D解析：解：≌，，，，，，，都正确，故选D．根据全等三角形的性质得出，，，，根据平行线的判定推出即可．本题考查了平行线性质和全等三角形的性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．二、填空题7．如图，≌，且，，则______答案：【答案】92解析：解：≌，，，故答案为：92．由全等三角形的性质可求得，在中，利用外角的性质可求得．本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键．8．如图，中，，，，，点P、Q分别在边AC和射线AX上运动，若与全等，则AP的长是______．答案：【答案】4或8解析：解：与全等，或，故答案为：4或8．根据全等三角形的性质即可得到结论．本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．9．如图，≌，，，则______．答案：【答案】10解析：解：，，，≌，．结合图形和已知条件求出AB的长度，再根据全等三角形对应边相等得．本题主要考查全等三角形对应边相等的性质，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键．10．如图，已知四边形ABCD中，厘米，厘米，厘米，，点E为AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为______时，能够使与全等．答案：【答案】3厘米秒或厘米秒解析：【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解决问题的关键是掌握全等三角形的对应边相等，属于中档题．分两种情况讨论，依据全等三角形的对应边相等，即可得到点Q的运动速度．【解答】解：设点P运动的时间为t秒，则，，，当，时，与全等，此时，，解得，，此时，点Q的运动速度为厘米秒；当，时，与全等，此时，，解得，点Q的运动速度为厘米秒；故答案为3厘米秒或厘米秒．11．如图，已知≌，，且，，点A在DE上，则的度数为______．答案：【答案】解析：解：≌，，，，，，，．，．故答案为：．先由≌，根据全等三角形的性质得出，，由，得出，等量代换得到，那么，于是由三角形内角和定理求出，于是．本题考查了全等三角形的性质，平行线的判定与性质，三角形内角和定理，求出是解题的关键．12．如图，中，厘米，厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以v厘米秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度为3厘米秒，则当与全等时，v的值为__________．答案：【答案】或3解析：【分析】本题考查了全等三角形的性质分两种情况讨论：若≌，根据全等三角形的性质，则厘米，厘米，根据速度、路程、时间的关系即可求得；若≌，则厘米，，可得答案．【解答】解：中，厘米，点D为AB的中点，厘米，若≌，则需厘米，厘米，点Q的运动速度为3厘米秒，点Q的运动时间为：，厘米秒；若≌，则需厘米，，，解得：；的值为：或3，故答案为或3．三、解答题13．如图，已知≌，点D在AC上，BC与DE交于点P，若，．若，，求的度数；求与的周长和．答案：【答案】解：，，，≌，，，即的度数为；≌，，，和的周长和．解析：根据全等三角形的性质得到，计算即可；根据全等三角形的性质求出BE、DE，根据三角形的周长公式计算即可．本题考查的是全等三角形的性质、三角形内角和定理的应用，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．14．如图，已知≌，点E在AB上，DE与AC相交于点F，当，时，线段AE的长为______；已知，，求的度数；求的度数．答案：【答案】；≌，，，，；是的外角，，是的外角，．解析：【分析】根据全等三角形的性质得出，，即可求出答案；根据全等三角形的性质得出，，根据三角形内角和定理求出，即可得出答案；根据三角形外角性质求出，根据三角形外角性质求出即可．本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质的应用，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．【解答】解：≌，，，，，，故答案为3；见答案；见答案．15．如图，在中，，，，点F从点B出发，沿线段BC以的速度连续做往返运动，点E从点A出发沿线段AG以的速度运动至点、F两点同时出发，当点E到达点G时，E、F两点同时停止运动，EF与AC 交于点D，设点E的运动时间为秒．分别写出当和时线段BF的长度用含t的代数式表示．在点F从点C返回点B过程中，当时，求t的值．当t为何值时，≌？答案：【答案】解：当时，，当时，；由题意得，，解得；当时，≌，则，即，解得，当时，≌，则，即，解得，则或4时，≌．解析：本题考查的是列代数式和全等三角形的性质的应用，根据题意列代数式、掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．根据点F从点B出发、点E从点A出发的速度、结合图形解答；根据题意列出方程，解方程即可；分点E从点A运动至点G、从点G返回两种情况，根据全等三角形的性质列式计算即可．16．已知：≌连结BE，交AC于F，点H是CE上的点，且，连结DH交BE于求证：．答案：【答案】证明：≌，，，在和中，≌，，在和中，，，．解析：根据全等三角形的性质得出，，进而证明三角形全等解答即可．此题考查全等三角形的性质，关键是根据全等三角形的性质和判定解答．17．如图，已知在中，，厘米，点D为AB上一点且厘米，点P在线段BC上以2厘米秒的速度由B点向C点运动，设运动时间为t，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．用含t的式子表示PC的长为__；若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，请求出点Q的运动速度是多少时，能够使与全等？答案：【答案】解：；，，又与全等，，≌，，，点P，点Q运动的时间秒，厘米秒．即点Q的运动速度是厘米秒时，能够使与全等．解析：【分析】此题考查了全等三角形的性质，主要运用了路程速度时间的公式，要求熟练运用全等三角形的判定和性质．先表示出BP，根据，可得出答案；根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程速度时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度．【解答】解：，则；故答案为；见答案．。

全等三角形培优综合练习题一、单选题1.如图，在中，是边上的高，，， .连接，交的延长线于点E，连接， .则下列结论：① ；② ；③ ；④ ，其中正确的有（）A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ①②③④2.如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线AE，BF相交于点O，AE交BC于E，BF交AC于F，过点O作OD⊥BC于D，下列四个结论：①∠AOB＝90°+ ∠C；②当∠C＝60°时，AF+BE＝AB；③若OD＝a，AB+BC+CA＝2b，则S△ABC＝ab.其中正确的是（）A. ①②B. ②③C. ①②③D. ①③3.如图，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝30°，连接AC，BD交于点M，AC与OD相交于E，BD与OA相交于F，连接OM.则下列结论中：①AC＝BD；②∠AMB＝30°；③△OEM≌△OFM；④MO平分∠BMC.正确的个数有（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4.如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补.若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论：①PM=PN；②OM+ON的值不变；③MN的长不变；④四边形PMON的面积不变，其中，正确结论的是（）A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④5.如图，∠ACB=90°，AC=BC．AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别是点D，E，AD=3，BE=1，则DE的长是（）A. 1B. 2C. 3D. 46.如图，AD是的中线，E是AD上一点，连接BE并延长交AC于点F，若EF=AF，BE=7.5，CF=6，则EF=( ).A. 2.5B. 2C. 1.5D. 17.如图四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，AB=BC+AD，∠DAC=45°，E为CD上一点，且∠BAE=45°．若CD=4，则△ABE的面积为（）A. B. C. D.8.如图，点A，C，D，E在Rt△MON的边上，∠MON=90°，AE⊥AB且AE=AB，BC⊥CD且BC=CD，BH⊥ON于点H，DF⊥ON于点F，OM=12，OE=6，BH=3，DF=4，FN=8，图中阴影部分的面积为（）A. 30B. 50C. 66D. 809.如图，过边长为1的等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于点E，Q为BC延长线上一点，当PA=CQ时，连结PQ交AC边于D，则DE的长为（）A. B. C. D.10.如图，点P在∠MAN的角平分线上，点B，C分别在AM，AN上，作PR⊥AM，PS⊥AN，垂足分别是R，S．若∠ABP+∠ACP=180°，则下面三个结论：①AS=AR；②PC∥AB；③△BRP≌△CSP．其中正确的是（）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③二、填空题1.在△ABC中，AC＝5，中线AD＝7，则AB边的取值范围是 .2.如图， ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线BP、AP交于点P，延长BA、BC，PM⊥BE，PN⊥BF，则下列结论中正确的是 .①CP平分∠ACF；②∠ABC＋2∠APC＝180°；③∠ACB＝2∠APB；④S△PAC＝S△MAP＋S△NCP.3.如图，在直角三角形中，直角边，，以它的三边分别作出了正方形、、，把、、的面积分别记为、、，则 .4.如图，在四边形中，于点，且平分，若的面积为，则的面积为 .5.如图，在中，，、分别为和的角平分线，的周长为20，，则的长为．6.如图，在锐角中，AC＝10，，∠BAC的平分线交BC于点D，点M，N分别是AD 和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是7.如图，是的角平分线，，垂足为F，，和的面积分别为52和36，则的面积为________．8.如图，，点是边上的点，平分，平分，有下列结论：①，② 为的中点，③ ，④ ，其中正确的有________.（填序号）三、解答题1.如图，在△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，AD是∠BAC的平分线，CE⊥AD于点E．求证：AD＝2CE．2.如图，在△ABC中，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F．（1）求证：∠EFA=90°- ∠B；（2）若∠B=60°，求证：EF=DF．3.提出问题：如图1，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交边DC与点E，求证：PB=PE分析问题：学生甲：如图1，过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N通过证明两三角形全等，进而证明两条线段相等．学生乙：连接DP，如图2，很容易证明PD=PB，然后再通过“等角对等边”证明PE=PD，就可以证明PB=PE了．解决问题：请你选择上述一种方法给予证明．问题延伸：如图3，移动三角板，使三角板的直角顶点P在对角线AC上，一条直角边经过点B，另一条直角边交DC的延长线于点E，PB=PE还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．4.如图，已知△OMN为等腰直角三角形，∠MON＝90°，点B为NM延长线上一点，OC⊥OB，且OC＝OB，连接CN．（1）.如图1，求证：CN＝BM；（2）.如图2，作∠BOC的平分线交MN于点A，求证：AN2＋BM2＝AB2；（3）.如图3，在（2）的条件下，过点A作AE⊥ON于点E，过点B作BF⊥OM于点F，EA，BF的延长线交于点P，请探究：以线段AE，BF，AP为长度的三边长的三角形是何种三角形？并说明理由．5.在正方形中，点、分别在边、上，且 .（1）.将绕点顺时针旋转，得到（如图，求证：；（2）.若直线与、的延长线分别交于点、（如图，求证：；（3）.将正方形改为长与宽不相等的矩形，其余条件不变（如图，直接写出线段、、之间的数量关系.6.如图，在，，，是上一点，于，是上一点，于．（1）.如图1，求证：；（2）.如图2，在射线上有一点，连接，，求的度数；（3）.在（2）的条件下，如图3，连接，若，求的长．7.课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小颖在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2，延长到点E，使，连接，可证得，即，请根据小颖的方法思考下列问题．（1）.由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是．（2）.解后反思：题目中出现“中点”“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．完成上题之后，小颖善于探究，她又提出了如下的问题，请你解答．如图3，在中，若是的中线，E是上一点，连接并延长交边于点F，且，求证：．（3）.如图4，在中，D是的中点，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，其中，连接，试探索与之间的数量与位置关系，并说明理由．8.在等边三角形ABC中，点E为线段AB上一动点，点E与A，B不重合，点D在CB的延长线上，且ED ＝EC．（1）当E为边AB的中点时，如图1所示，确定线段AE与BD的大小关系，并证明你的结论；（2）如图2，当E不是边AB的中点时，（1）中的结论是否成立？若不成立，请直接写出BD与AE的数量关系；若成立，请给予证明；（提示：过E作交AC于点F）（3）在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC，的边长为1，AE＝2，请直接写出CD的长．9.如图（1）[发现]：如图1．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，过点A作AH⊥BC于点H，求证：AH= BC．（2）[拓展]：如图2．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，且∠BAC=∠DAE=90°，点D、B、C在同一条直线上，AH为△ABC中BC边上的高，连接CE．则∠DCE的度数为________，同时猜想线段AH、CD、CE之间的数量关系，并说明理由．（3）[应用]：在图3、图4中．在△ABC中，AB=AC，且∠BAC=90°，在同一平面内有一点P，满足PC=1，PB=6，且∠BPC=90°，请求出点A到BP的距离．10.如图（1）问题背景：如图①，在四边形中，．E，F 分别是上的点，且，请探究图中线段之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，得；再由条件可得，证明，进而可得线段之间的数量关系是________．（2）探索延伸：如图②，在四边形中，．E，F分别是，上的点，且．问（1）中的线段之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以50海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以60海里/小时的速度前进．2小时后，甲､乙两舰艇分别到达E，F处，此时在指挥中心观测到两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．11.在中，，点是直线上一点（不与，重合），以为一边在的右侧作，使，，连接．（1）如图1，当点在线段上，如果，则 ________度；（2）如图2，如果，求的度数是多少？（3）设，．①如图3，当点在线段上移动，则，之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点在直线上移动，请直接写出，之样的数量关系，不用证明．12.（1）.猜想：如图1，已知：在中，，，直线m经过点A，直线m，直线m，垂足分别为点D、E试猜想、、有怎样的数量关系，请直接写出；（2）.探究：如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2，将（1）中的条件改为：在中，，D，A、E三点都在直线m上，并且有（其中α为任意锐角或钝角）如果成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．（3）.解决问题：如图3，F是角平分线上的一点，且和均为等边三角形，D、E分别是直线m上A点左右两侧的动点D、E、A互不重合，在运动过程中线段的长度始终为n，连接、，若，试判断的形状，并说明理由．13.据图回答问题：（1）感知：如图①．AB=AD，AB⊥AD，BF⊥AF于点F，DG⊥AF于点G．求证：△ADG≌△BAF；（2）拓展：如图②，点B，C在∠MAN的边AM，AN上，点E，F在∠MAN在内部的射线AD上，∠1，∠2分别是△ABE，△CAF的外角，已知AB=AC，∠1=∠2=∠BAC．求证：△ABE≌△CAF；（3）应用：如图③，在△ABC中，AB=AC，AB＞BC，点在D边BC上，CD=2BD，点E，F在线段AD 上，∠1=∠2=∠BAC．若△ABC的面积为12，则△ABE与△CDF的面积之和为________．答案解析部分一、单选题1. D2.C3.B4. B5.B6.C7.D8. B9.A 10.C二、填空题1.9＜AB＜192.①②③④3.18 14.205.86. 57. 88. ②③④三、解答题1.【答案】证明：延长AB、CE交于点F，∵∠ABC＝90°，CE⊥AD，∠ADB＝∠CDE，∴∠BAD＝∠ECD，在△ABD和△CBF中，，∴△ABD≌△CBF（SAS），∴AD＝CF，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠CAE＝∠FAE，在△CAE和△FAE中，，∴△CAE≌△FAE（ASA），∴CE＝EF，∴AD＝CF＝2CE．2.【答案】（1）证明：∵∠BAC+∠BCA=180°-∠B，又∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴∠FAC= ∠BAC，∠FCA= ∠BCA，∴∠FAC+∠FCA= ×（180°-∠B）=90°- ∠B，∵∠EFA=∠FAC+∠FCA，∴∠EFA=90°- ∠B．（2）证明：如图，过点F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M．∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，∴FG=FH=FM，∵∠EFH+∠DFH=120°，∠DFG+∠DFH=360°-90°×2-60°=120°，∴∠EFH=∠DFG，在△EFH和△DFG中，，∴△EFH≌△DFG（AAS），∴EF=DF．3.【答案】证明：如图1，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD=90°，AC平分∠BCD，∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴四边PMCN为矩形，PM=PN，∵∠BPE=90°，∠BCD=90°，∴∠PBC+∠CEP=180°，而∠CEP+∠PEN=180°，∴∠PBM=∠PEN，在△PBM和△PEN中∴△PBM≌△PEN（AAS），∴PB=PE；如图2，连结PD，∵四边形ABCD为正方形，∴CB=CD，CA平分∠BCD，∴∠BCP=∠DCP，在△CBP和△CDP中，∴△CBP≌△CDP（SAS），∴PB=PD，∠CBP=∠CDP，∵∠BPE=90°，∠BCD=90°，∴∠PBC+∠CEP=180°，而∠CEP+∠PEN=180°，∴∠PBC=∠PED，∴∠PED=∠PDE，∴PD=PE，∴PB=PD；如图3，PB=PE还成立．理由如下：过点P作PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别为M，N，∵四边形ABCD为正方形，∴∠BCD=90°，AC平分∠BCD，∵PM⊥BC，PN⊥CD，∴四边PMCN为矩形，PM=PN，∴∠MPN=90°，∵∠BPE=90°，∠BCD=90°，∴∠BPM+∠MPE=90°，而∠MEP+∠EPN=90°，∴∠BPM=∠EPN，在△PBM和△PEN中，∴△PBM≌△PEN（AAS），∴PB=PE．4.【答案】（1）证明：∵OC⊥OB，∴∠BOC＝90°，∵∠MON＝90°，∴∠BOC－∠COM＝∠MON－∠COM，∴∠BOM＝∠CON，在△CON和△BOM中，，∴△CON≌△BOM（SAS），∴CN＝BM；（2）证明：连接AC，∵OA平分∠BOC，∴∠BOA＝∠COA，在△BOA和△COA中，，∴△BOA≌△COA（SAS），∴AB＝AC，∵△OMN是等腰直角三角形，∴∠ONM＝∠OMN＝45°，∵△CON≌△BOM，∴∠ONC＝∠OMB＝135°，∴∠ANC＝∠ONC－∠ONM＝135°－45°＝90°，∴AN2＋CN2＝AC2，∴AN2＋BM2＝AB2．（3）解：以线段AE，BF，AP为长度的三边长的三角形是直角三角形，理由如下：∵，由勾股定理得：，∵，∴，由勾股定理得：，∵，∴，由勾股定理得：，∵AN2＋BM2＝AB2，∴，∴，∴以线段AE，BF，AP为长度的三边长的三角形是直角三角形．5.【答案】（1）证明：如图1中，绕着点顺时针旋转，得到，，，，，在与中，，，，，.（2）证明：如图2中，设正方形的边长为 .将绕着点顺时针旋转，得到，连接 .则， .由（1）知，.，、、均为等腰直角三角形，，，，，，，，，，，，.（3）解：6.【答案】（1）证明：∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴≌（AAS），∴．（2）解：由（1）可知：，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∴．（3）解：延长、交于，过点作于，如图所示：由（1）（2）可证，，，∴，，∵，∴，∴，∵，∴≌（ASA），∴，∵都为等腰直角三角形，且BC为它们的公共斜边，∴，∴，∵，∴，∵，∴≌（AAS），∴．7.【答案】（1）（2）证明：如图，延长到点G，使，连接，∵，，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴；（3）解：，，理由如下：如图，延长至点E，使，连接，由题意得，∴，，∵，∴，即∵，∴，∵和是等腰直角三角形，∴，，∴，在和中，∴，∴，，∴，延长交于点，∵，∴，∴，∴，∴．8.【答案】（1）解：AE＝BD；证明：∵△ABC为等边三角形，AE＝BE，∴CE平分∠ACB，∴∠ECB＝30°．∵DE＝CE，∴∠D＝∠ECB＝30°．∵∠ABC＝∠D＋∠DEB＝60°，∴∠DEB＝30°，∴∠D＝∠DEB，∴BD＝BE．∵AE＝BE，∴AE＝BD；（2）解：当E为边AB上任意一点时，AE＝BD仍成立；证明：如图1，过E作EF∥BC交AC于点F．∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC，∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°，即∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°, ∴△AEF是等边三角形，∴AE＝EF＝AF．∵∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D＋∠BED＝∠FCE＋∠ECD＝60°．∵DE＝EC，∴∠D＝∠ECD，∴∠BED＝∠ECF，∴△DEB≌△ECF（AAS），∴BD＝EF，∴AE＝BD；（3）解：CD的长为3或1如图2，作EF∥BC交CA的延长线于点F，则△AEF为等边三角形，∴AF＝AE＝EF＝2，∠BEF＝60°，∴∠CEF＝60°＋∠BEC．∵∠EDC＝∠ECD＝∠B＋∠BEC＝60°＋∠BEC，∴∠CEF＝∠EDB．又∵EB＝CF＝3，∠F＝∠B＝60°，∴△CEF≌△EDB（AAS），∴BD＝EF＝2，∴CD＝BD－BC＝1，如图3，同理可得CD＝3，综上所述，CD的长为3或19.【答案】（1）证明：∵AH⊥BC，∠BAC=90°，∴∠AHC=90°=∠BAC．∴∠BAH+∠CAH=90°，∠BAH+∠B=90°．∴∠CAH=∠B，在△ABH和△CAH中，，∴△ABH≌△CAH．（AAS）．∴BH=AH，AH=CH．∴AH= BC（2）解：∠DCE的度数为90°，线段AH、CD、CE之间的数量关系为：CE+2AH=CD，理由如下：∵∠DAB+∠BAE=90°，∠EAC+∠BAE=90°，∴∠DAB=∠EAC，∵AD=AE，AB=AC，∴△ADB≌△AEC （SAS），∴∠ABD=∠ACE，∵AB=AC，∠BAC=90°∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ABD=135°，∴∠DCE=90°；∵D、B、C三点共线，∴DB+BC=CD，∵DB=CE，AH= BC，∴CE+2AH=CD（3）解：点A到BP的距离为：或．理由如下：如图3，过点A作AH⊥BP于点H，连接AP，作∠PAD=90°，交BP于点D，∴∠BAC=∠DAP=90°，∴∠BAD=∠CAP，∵∠BDA=∠APC=90°+∠APD，∴△APC≌△ADB（AAS），∴BD=CP=1，∴DP=BP-BD=6-1=5，∵AH⊥DP，∴AH= DP= ；如图4，过点A作AH⊥BP于点H，作∠PAD=90°，交PB的延长线于点D，∴∠BAC=∠DAP=90°，∴∠BAD=∠CAP，∵∠BAC=90°，∠BPC=90°，∴∠ACP+∠ABP=180°，∴∠ACP=∠ABD，∵AB=AC，∴△APC≌△ADB（AAS），∴BD=CP=1∴DP=BP+BD=6+1=7．∵AH⊥DP，∴AH= DP= ．综上所述：点A到BP的距离为：或10.【答案】（1）EF=BE+DF（2）解：仍然成立．证明：如图1，延长到G，使，连接，∵，∴．在和中，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴（3）解：如图2，连接，延长､相交于点G．∵∠AOB=20°+90°+（90°-80°）=120°，∠EOF=60°，∴，又∵，∴符合（2）中探索延伸中的条件，∴结论成立，即海里．答：此时两舰艇之间的距离是220海里．11.【答案】（1）90（2）解：∵∠BAC＝60°，AB＝AC，∴△ABC为等边三角形，∴∠ABD＝∠ACB＝60°，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，∵∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE＝60°，∴∠BCE＝∠ACE+∠ACB＝60°+60°＝120°，故答案为：120．（3）解：①α+β＝180°，理由：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC．即∠BAD＝∠CAE．在△ABD与△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B＝∠ACE．∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB．∵∠ACE+∠ACB＝β，∴∠B+∠ACB＝β，∵α+∠B+∠ACB＝180°，∴α+β＝180°．②如图1：当点D在射线BC上时，α+β＝180°，连接CE，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，在△ABC中，∠BAC+∠B+∠ACB＝180°，∴∠BAC+∠ACE+∠ACB＝∠BAC+∠BCE＝180°，即：∠BCE+∠BAC＝180°，∴α+β＝180°，如图2：当点D在射线BC的反向延长线上时，α＝β．连接BE，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAD＝∠CAE，且AB＝AC，AD＝AE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，∴∠ABD＝∠ACE＝∠ACB+∠BCE，∴∠ABD+∠ABC＝∠ACE+∠ABC＝∠ACB+∠BCE+∠ABC＝180°，∵∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB，∴∠BAC＝∠BCE．∴α＝β；综上所述：点D在直线BC上移动，α+β＝180°或α＝β．12.【答案】（1）（2）解：结论成立；理由如下：∵，，，∴，在和中，，∴，∴，，∴；（3）解：为等边三角形，理由：由（2）得，，∴，，∴，即，在和中，，∴，∴，，∴，∴为等边三角形．13.【答案】（1）证明：∵AB⊥AD，BF⊥AF，∴∠DAG+∠BAF=90°，∠B+∠BAF=90°，∴∠DAG=∠B，在△ADG和△BAF中，，∴△ADG≌△BAF（AAS）；（2）证明：∵∠1=∠2，∴∠AEB=∠CFA，∠1=∠ABE+∠BAE，∠BAC=∠CAF+∠BAE，∠1=∠BAC，∴∠ABE=∠CAF，在△ABE和△CAF中，，∴△ABE≌△CAF（AAS）；（3）8。

八年级数学《全等三角形》能力培优一．解答题(共8小题）1．如图所示，一个四边形纸片ABCD，∠B=∠D=90°，把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B′点,AE是折痕．（1）试判断B′E与DC的位置关系;（2）如果∠C=130°，求∠AEB的度数．2．已知:点A（4，0），点B是y轴正半轴上一点，如图1,以AB为直角边作等腰直角三角形ABC．（1)当点B坐标为（0，1）时，求点C的坐标；(2）如图2,以OB为直角边作等腰直角△OBD，点D在第一象限，连接CD交y 轴于点E．在点B运动的过程中,BE的长是否发生变化?若不变,求出BE的长；若变化,请说明理由．3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，E为AC边的一点,F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF=∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，(1）求证：CF=BG；(2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P，求证：PB=CP+CF；4．如图（1)，AB=CD，AD=BC,O为AC中点，过O点的直线分别与AD、BC相交于点M、N，那么∠1与∠2有什么关系？请说明理由；若过O点的直线旋转至图（2）、(3）的情况，其余条件不变，那么图（1）中的∠1与∠2的关系成立吗？请说明理由．5．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，（1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；（2）设∠AED的度数为x，∠ADE的度数为y，那么∠1，∠2的度数分别是多少？（用含有x或y的代数式表示）（3）∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．6．在△ABC中，AD是△ABC的角平分线．（1)如图1，过C作CE∥AD交BA延长线于点E，若F为CE的中点，连接AF,求证:AF⊥AD；(2）如图2，M为BC的中点，过M作MN∥AD交AC于点N，若AB=4,AC=7，求NC的长．7．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，CD平分∠ACB交AB于点D,DE⊥AC于点E，BF∥DE交CD于点F．求证：DE=BF．8．已知：△ABC内部一点O到两边AB、AC所在直线的距离相等,且OB=OC．求证:AB=AC．八年级数学《全等三角形》能力培优参考答案与试题解析一．解答题(共8小题)1．如图所示,一个四边形纸片ABCD,∠B=∠D=90°，把纸片按如图所示折叠，使点B落在AD边上的B′点，AE是折痕．（1）试判断B′E与DC的位置关系；（2）如果∠C=130°，求∠AEB的度数．【分析】（1）由于AB′是AB的折叠后形成的，所以∠AB′E=∠B=∠D=90°，∴B′E ∥DC；(2）利用平行线的性质和全等三角形求解．【解答】解:（1）由于AB′是AB的折叠后形成的,∠AB′E=∠B=∠D=90°，∴B′E∥DC；（2）∵折叠，∴△ABE≌△AB′E，∴∠AEB′=∠AEB，即∠AEB=∠BEB′，∵B′E∥DC,∴∠BEB′=∠C=130°，∴∠AEB=∠BEB′=65°．【点评】本题考查了三角形全等的判定及性质;把纸片按如图所示折叠，使点B 落在AD边上的B′点，则△ABE≌△AB′E,利用全等三角形的性质和平行线的性质及判定求解．2．已知：点A（4，0），点B是y轴正半轴上一点，如图1，以AB为直角边作等腰直角三角形ABC．(1）当点B坐标为(0，1）时，求点C的坐标;（2）如图2,以OB为直角边作等腰直角△OBD,点D在第一象限，连接CD交y 轴于点E．在点B运动的过程中，BE的长是否发生变化？若不变，求出BE的长；若变化，请说明理由．【分析】(1）过C作CM⊥y轴于M，通过判定△BCM≌△ABO(AAS)，得出CM=BO=1,BM=AO=4，进而得到OM=3，据此可得C(﹣1,﹣3）；（2）过C作CM⊥y轴于M，根据△BCM≌△ABO，可得CM=BO,BM=OA=4，再判定△DBE≌△CME(AAS）,可得BE=EM，进而得到BE=BM=2．【解答】解：（1)如图1，过C作CM⊥y轴于M．∵CM⊥y轴,∴∠BMC=∠AOB=90°，∴∠ABO+∠BAO=90°∵∠ABC=90°，∴∠CBM+∠ABO=90°,∴∠CBM=∠BAO，在△BCM与△ABO中，，∴△BCM≌△ABO（AAS),∴CM=BO=1，BM=AO=4，∴OM=3，∴C（﹣1，﹣3）；（2）在B点运动过程中，BE长保持不变，BE的长为2，理由：如图2，过C作CM⊥y轴于M，由（1)可知：△BCM≌△ABO，∴CM=BO，BM=OA=4．∵△BDO是等腰直角三角形，∴BO=BD，∠DBO=90°，∴CM=BD，∠DBE=∠CME=90°,在△DBE与△CME中，，∴△DBE≌△CME（AAS），∴BE=EM，∴BE=BM=2．【点评】本题考查了全等三角形的判定以及全等三角形对应边、对应角相等的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法，判定△DBE≌△CME是解第(2）题的关键．3．如图,在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，E为AC边的一点，F为AB边上一点，连接CF，交BE于点D且∠ACF=∠CBE，CG平分∠ACB交BD于点G，(1)求证：CF=BG；(2）延长CG交AB于H，连接AG，过点C作CP∥AG交BE的延长线于点P,求证：PB=CP+CF；=3，BG=6，求AC的（3）在（2）问的条件下，当∠GAC=2∠FCH时，若S△AEG长．【分析】（1）根据ASA证明△BCG≌△CAF，则CF=BG；（2）先证明△ACG≌△BCG,得∠CAG=∠CBE，再证明∠PCG=∠PGC,即可得出结论；（3)作△AEG的高线EM，根据角的大小关系得出∠CAG=30°,根据面积求出EM的长，利用30°角的三角函数值依次求AE、EG、BE的长，所以CE=3+，根据线段的和得出AC的长．【解答】证明：（1）如图1,∵∠ACB=90°,AC=BC，∴∠A=45°，∵CG平分∠ACB，∴∠ACG=∠BCG=45°，∴∠A=∠BCG，在△BCG和△CAF中,∵，∴△BCG≌△CAF（ASA），∴CF=BG；（2）如图2,∵PC∥AG,∴∠PCA=∠CAG，∵AC=BC，∠ACG=∠BCG，CG=CG，∴△ACG≌△BCG，∴∠CAG=∠CBE，∵∠PCG=∠PCA+∠ACG=∠CAG+45°=∠CBE+45°,∠PGC=∠GCB+∠CBE=∠CBE+45°，∴∠PCG=∠PGC，∴PC=PG,∵PB=BG+PG，BG=CF，∴PB=CF+CP；（3）如图3，过E作EM⊥AG，交AG于M，=AG•EM=3，∵S△AEG由(2)得：△ACG≌△BCG,∴BG=AG=6,∴×6×EM=3，EM=，设∠FCH=x°，则∠GAC=2x°,∴∠ACF=∠EBC=∠GAC=2x°，∵∠ACH=45°，∴2x+x=45，x=15，∴∠ACF=∠GAC=30°，在Rt△AEM中，AE=2EM=2,AM==3，∴M是AG的中点，∴AE=EG=2，∴BE=BG+EG=6+2，在Rt△ECB中，∠EBC=30°，∴CE=BE=3+，∴AC=AE+EC=2+3+=3+3．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定及等腰直角三角形的性质,证明两线段相等时，一般都是证明两线段所在的三角形全等，因此第一问只需要证明△BCG≌△CAF即可；第3问，如何得出30°角和作辅助线，利用到S△AEG=3列式是突破口．4．如图（1），AB=CD，AD=BC，O为AC中点，过O点的直线分别与AD、BC相交于点M、N，那么∠1与∠2有什么关系?请说明理由;若过O点的直线旋转至图（2)、（3)的情况，其余条件不变，那么图(1)中的∠1与∠2的关系成立吗?请说明理由．【分析】（1）证明三角形ACD和CAB全等．根据全等三角形判定中的SSS可得出两三角形全等，那么就能证出AD∥BC，也就得出∠1=∠2了．（2）（3)和(1）的证法完全一样．【解答】解:∠1与∠2相等．证明：在△ADC与△CBA中，，∴△ADC≌△CBA．（SSS)∴∠DAC=∠BCA．∴DA∥BC．∴∠1=∠2．②③图形同理可证，△ADC≌△CBA得到∠DAC=∠BCA，则DA∥BC,∠1=∠2．【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和平行线的判定,根据全等三角形得出角相等是解题的关键．5．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时,（1）写出图中一对全等的三角形，并写出它们的所有对应角；（2）设∠AED的度数为x,∠ADE的度数为y，那么∠1,∠2的度数分别是多少？（用含有x或y的代数式表示)（3）∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请找出这个规律．【分析】（1）根据折叠就可写出一对全等三角形，根据折叠，则重合的顶点是对应点，重合的角是对应角;（2）根据全等三角形的对应角相等，以及平角的定义进行表示；（3)根据（2)中的表示方法，可以求得∠1+∠2,再找到∠A和x、y之间的关系，就可建立它们之间的联系．【解答】解：（1)△EAD≌△EA’D，其中∠EAD=∠EA’D，∠AED=∠A'ED，∠ADE=∠A’DE；（2）∠1=180°﹣2x,∠2=180°﹣2y；（3）∵∠1+∠2=360°﹣2(x+y）=360°﹣2（180°﹣∠A）=2∠A．规律为：∠1+∠2=2∠A．【点评】在研究折叠问题时,有全等形出现，要充分利用全等的性质．6．在△ABC中,AD是△ABC的角平分线．（1）如图1，过C作CE∥AD交BA延长线于点E，若F为CE的中点，连接AF,求证：AF⊥AD；（2）如图2,M为BC的中点，过M作MN∥AD交AC于点N，若AB=4，AC=7，求NC的长．【分析】（1）推出∠3=∠E,推出AC=AE，根据等腰三角形性质得出AF⊥CE，根据平行线性质推出即可；(2）延长BA与MN延长线于点E，过B作BF∥AC交NM延长线于点F,求出BF=CN,AE=AN，BE=BF．设CN=x，则BF=x,AE=AN=AC﹣CN=7﹣x,BE=AB+AE=4+7﹣x．得出方程4+7﹣x=x．求出即可．【解答】（1证明：∵AD为△ABC的角平分线，∴∠1=∠2．∵CE∥AD，∴∠1=∠E,∠2=∠3．∴∠E=∠3．∴AC=AE．∵F为EC的中点，∴AF⊥EC，∵AD∥EC，∴∠AFE=∠FAD=90°．∴AF⊥AD．（2)解：延长BA与MN延长线于点E，过B作BF∥AC交NM延长线于点F，∴∠3=∠C,∠F=∠4∵M为BC的中点∴BM=CM．在△BFM和△CNM中，∴△BFM≌△CNM（AAS)，∴BF=CN，∵MN∥AD,∴∠1=∠E，∠2=∠4=∠5．∴∠E=∠5=∠F．∴AE=AN，BE=BF．设CN=x，则BF=x，AE=AN=AC﹣CN=7﹣x,BE=AB+AE=4+7﹣x．∴4+7﹣x=x．解得x=5。