期中考试 公差

2025届高二第二学期期中数学试题（答案在最后）一、单选题1.在等差数列{}n a 中，若45615aa a ++=，则28a a +=（）A.6B.10C.7D.5【答案】B 【解析】【分析】由等差数列的性质可得：462852a a a a a +=+=，代入可得55a =，而要求的值为52a ，代入可得．【详解】由等差数列的性质可得：462852a a a a a +=+=所以45615a a a ++=，即5315a =，55a =，故28522510a a a +==⨯=，故选：B ．2.已知数列{}n a 的通项公式为n a ＝n 2－n －50，则－8是该数列的()A.第5项B.第6项C.第7项D.非任何一项【答案】C 【解析】【分析】令8n a =-，解出正整数n 即为数列的第几项.【详解】由题意，令8n a =-，解得7n =或6-（舍），即为数列的第7项.故选C.【点睛】本题考查数列通项公式的应用，熟练掌握数列的基本性质，n 为数列的项数.3.《九章算术》之后，人们进一步地用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾（注：从第2天起每天比前一天多织相同量的布），第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织420尺布，则第2天织的布的尺数为A.16329B.16129C.8115D.8015【答案】A【解析】【详解】设公差为d ,由题意可得：前30项和30S =420=30×5+30292⨯d ,解得d =1829.∴第2天织的布的尺数=5+d =16329.故选A.4.如图，函数y＝f(x)在A，B 两点间的平均变化率等于()A.-1B.1C.-2D.2【答案】A 【解析】【分析】根据平均变化率的概念求解.【详解】易知()13f =，()31f =，因此()()31131f f -=--，故选A【点睛】求平均变化率的一般步骤：①求自变量的增量△x=x 2-x 1，②求函数值的增量△y=f （x 2）-f （x 1），③求函数的平均变化率()()2121f x -f x y =x x -x ∆∆.5.已知等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ，若22a =，5646a a a +=，则5(a =)A.4B.10C.16D.32【答案】C 【解析】【分析】根据等比数列的通项公式，建立方程关系求出公比即可．【详解】由6546a a a +=得260q q +-=，解得2q =，从而352216a a =⋅=．故选C ．【点睛】本题主要考查等比数列通项公式的应用，建立方程关系求出公比是解决本题的关键．6.李明自主创业种植有机蔬菜，并且为甲、乙、丙、丁四家超市提供配送服务，甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次．已知5月1日李明分别去了这四家超市配送，那么整个5月他不用去配送的天数是（）A.12B.13C.14D.15【答案】B【解析】【分析】由题意将剩余天数编号，转化条件得李明每逢编号为3、4、6、7的倍数时要去配送，利用分类加法即可得解.【详解】将5月剩余的30天依次编号为1，2，3⋅⋅⋅30，因为甲、乙、丙、丁四家超市分别需要每隔2天、3天、5天、6天去配送一次，且5月1日李明分别去了这四家超市配送，所以李明每逢编号为3的倍数的那天要去甲超市配送，每逢编号为4的倍数的那天要去乙超市配送，每逢编号为6的倍数的那天要去丙超市配送，每逢编号为7的倍数的那天要去丁超市配送，则李明去甲超市的天数编号为：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30，共10天；李明去乙超市但不去甲超市的天数编号为：4、8、16、20、28，共5天；李明去丙超市但不去甲、乙超市的天数编号不存在，共0天；李明去丁超市但不去甲、乙、丙超市的天数编号为：7、14，共2天；+++=，所以李明需要配送的天数为1050217-=.所以整个5月李明不用去配送的天数是301713故选：B.【点睛】本题考查了计数原理的应用，考查了逻辑推理能力、转化化归思想与分类讨论思想，关键是对于题目条件的转化与合理分类，属于中档题.7.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为A.fB.C. D.【答案】D 【解析】【详解】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为，所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈，又1a f =，则7781a a q f ===故选D.点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下两种：（1）定义法，若1n n a q a +=（*0,q n N ≠∈）或1n n aq a -=（*0,2,q n n N ≠≥∈），数列{}n a 是等比数列；（2）等比中项公式法，若数列{}n a 中，0n a ≠且212n n n a a a --=⋅（*3,n n N ≥∈），则数列{}n a 是等比数列.8.已知等比数列{}n a 公比为q ，其前n 项和为n S ，若3S 、9S 、6S 成等差数列，则3q 等于（）A.1B.12-C.12-或1 D.1-或12【答案】B 【解析】【分析】因为3S 、9S 、6S 成等差数列，所以9632S S S +=，显然1q ≠，代由等比数列的前n 项和公式化简即得所求【详解】因为3S 、9S 、6S 成等差数列，所以9632S S S +=，显然1q ≠，由等比数列的前n 项和公式有()()()9631112111111a q a q a q q q q---=+---，化简得9632q q q =+，又0q ≠，所以6321q q =+解得312q =-或31q =（舍），故312q =-，故选：B.9.等比数列{}n a 中，12a =，84a =，函数128()()()()f x x x a x a x a =---，则(0)f '=A.62 B.92 C.122 D.152【答案】C 【解析】【分析】将函数看做x 与()()()128x a x a x a --⋅⋅⋅-的乘积，利用乘法运算的求导法则，代入0x =可求得()1280f a a a '=⋅⋅⋅；根据等比数列性质可求得结果.【详解】()()()()128f x x a x x a x a --⋅''=⎡⋅-⎤⎣⎦⋅()()()()()()128128x a x a x a x a x a x a x x ''=+--⋅⋅⋅---⋅⋅⋅⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦-()()()()()()128128x x a x a x a x a x a x a --⋅⋅⋅---⋅⋅'=+⎡⎤-⎡⎤⎣⎦⎣⎦⋅()1280f a a a '∴=⋅⋅⋅又18273645a a a a a a a a ===()()441218082f a a '∴===本题正确选项：C【点睛】本题考查导数运算中的乘法运算法则的应用，涉及到等比数列性质应用的问题，关键是能够将函数拆解为合适的两个部分，从而求解导数值时直接构造出数列各项之间的关系.10.设()f x 是定义在R 上恒不为零的函数，对任意实数,x y R ∈，都有()()()f x f y f x y =+，若112a =，()()n a f n n N +=∈，则数列{}n a 的前n 项和n S 的取值范围是()A.1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B.1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.1[,2]2 D.1[,1]2【答案】A 【解析】【分析】根据f （x ）•f （y ）＝f （x +y ），令x ＝n ，y ＝1，可得数列{a n }是以12为首项，以12为等比的等比数列，进而可以求得S n ，进而S n 的取值范围．【详解】∵对任意x ，y ∈R ，都有f （x ）•f （y ）＝f （x +y ），∴令x ＝n ，y ＝1，得f （n ）•f （1）＝f （n +1），即()()11n n f n a a f n ++==f （1）12=，∴数列{a n }是以12为首项，以12为等比的等比数列，∴a n ＝f （n ）＝（12）n ，∴S n 11122112n ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-1﹣（12）n ∈[12，1）．故选A ．【点睛】本题主要考查了等比数列的求和问题，解题的关键是根据对任意x ，y ∈R ，都有f （x ）•f （y ）＝f （x +y ）得到数列{a n }是等比数列，属中档题．二、填空题（共5小题；共10分）11.已知{}n a 是等差数列，若171,13a a ==，则4a =_______.【答案】7【解析】【分析】根据等差数列的性质，直接计算结果.【详解】1742a a a +=，所以17472a a a +==.故答案为：712.已知函数2()42f x x x =-+，且0()2f x '=，那么0x 的值为_____．【答案】3【解析】【分析】求导得()24f x x '=-，进而由0()2f x '=可得结果.【详解】由2()42f x x x =-+得()24f x x '=-，则00()242f x x '=-=，解得03x =.故答案为：3.13.n S 是正项等比数列{}n a 的前n 和，318a =，326S =，则1a =______．公比q =______．【答案】①.2②.3【解析】【分析】讨论公比q 的取值，联立方程组即可解出答案.【详解】当1q =时，333S a ≠，不满足题意，故1q ≠；当1q ≠时，有()2131181261a q a q q⎧=⎪-⎨=⎪-⎩，解之得：123a q =⎧⎨=⎩.故答案为：2；3.【点睛】本题考查等比数列基本量的计算，属于基础题.熟练掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式是解本题的基础.14.将一个边长为6的正方形铁片的四角截去四个边长为x 的小正方形，做成一个无盖方盒.当方盒的容积V 取得最大值时，x 的值为_________.【答案】1【解析】【分析】由题可得该方盒的容积()32424+36V x x x x =-，03x <<，利用导数判断其单调性可求出最值.【详解】由题可得03x <<，可知该方盒的底面是一个边长为62x -，则该方盒的容积()()23262424+36V x x x x x x =-⋅=-，03x <<，()()()21248+361213V x x x x x '∴=-=--，则当()0,1x ∈时，()0V x '>，()V x 单调递增，当()1,3x ∈时，()0V x '<，()V x 单调递减，∴当1x =时，()()max 116V x V ==，故当方盒的容积V 取得最大值时，x 的值为1.故答案为：1.15.小明用数列{a n }记录某地区2019年12月份31天中每天是否下过雨，方法为：当第k 天下过雨时，记a k ＝1，当第k 天没下过雨时，记a k ＝﹣1（1≤k ≤31）；他用数列{b n }记录该地区该月每天气象台预报是否有雨，方法为：当预报第k 天有雨时，记b k ＝1，当预报第k 天没有雨时，记b k ＝﹣1（1≤k ≤31）；记录完毕后，小明计算出a 1b 1+a 2b 2+…+a 31b 31＝25，那么该月气象台预报准确的的总天数为_____；若a 1b 1+a 2b 2+…+a k b k＝m ，则气象台预报准确的天数为_____（用m ，k 表示）.【答案】①.28②.2m k +【解析】【分析】根据题意得到a k b k ＝1表示第k 天预报正确，a k b k ＝﹣1表示第k 天预报错误，从而得到2m kx +=，根据25m =得到该月气象台预报准确的的总天数.【详解】依题意，若1k k a b =（131k ≤≤），则表示第k 天预报正确，若1k ka b =-（131k ≤≤），则表示第k 天预报错误，若1122k ka b a b a b m +++=⋯，假设其中有x 天预报正确，即等式的左边有x 个1，()k x -个1-，则()x k x m --=，解得2m kx +=，即气象台预报准确的天数为2m k+；于是若1122313125a b a b a b ++⋯=+，则气象台预报准确的天数为3125282+=.故答案为：28，2m k+.【点睛】本题考查数列的实际应用，考查化归与转化的能力，属于中档题.三、解答题16.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且35a =-，424S =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最小值．【答案】（1）211n a n =-（2）25-【解析】【分析】（1）根据等差数列通项公式和前n 项和公式列方程组求解可得；（2）利用通项公式确定数列的负数项，可得5S 最小，然后由求和公式可得.【小问1详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则由条件得11254624a d a d +=-⎧⎨+=-⎩，解得192a d =-⎧⎨=⎩，所以()921211n a n n =-+-=-．【小问2详解】由（1）知211n a n =-，令2110n a n =-≤，得 5.5n ≤，所以数列{}n a 的前5项和5S 是n S 的最小值，即()()51min 5105921025n S S a d ==+=⨯-+⨯=-．17.已知在直三棱柱111ABC A B C -中，1901BAC AB BB ∠=︒==，，直线1B C 与平面ABC 成30︒的角．（1）求三棱锥11C AB C -的体积；（2）求二面角1B B C A --的余弦值．【答案】（1）6（2）33【解析】【分析】（1）根据侧棱与底面垂直可得130B CB ∠=，由此求得底面三角形各边长；根据线面垂直的判定可证得AB ⊥平面1ACC ，得到三棱锥11B ACC -的高为11A B ；利用等体积法1111C AB C B ACC V V --=，根据三棱锥体积公式求得结果；（2）以A 为原点建立空间直角坐标系，根据二面角的空间向量求法可求得结果.【详解】（1） 三棱柱为直三棱柱1BB ∴⊥平面ABC ，1AA ⊥底面ABC 1B C ∴与底面ABC 所成角为1B CB ∠130B CB ∴∠=11AB BB ==BC ∴=AC ∴=1AA ⊥ 底面ABC ，AB ⊂平面ABC 1AB AA ∴⊥又90BAC ∠= ，即AB AC ⊥，1,AA AC ⊂平面1ACC ，1AA AC A= AB ∴⊥平面1ACC ，又11//AB A B 11A B ∴⊥平面1ACC 1111111111113326C AB C B ACC ACC V V S A B --∆∴==⋅=⨯=（2）以A为原点，可建立如图所示空间直角坐标系则()0,1,0B ，()10,1,1B，)C，()0,0,0A )1,0BC ∴=-，()10,0,1BB = ，()10,1,1AB =，)AC =设平面1BB C 的法向量()1111,,n x y z =11111100BC n y BB n z ⎧⋅=-=⎪∴⎨⋅==⎪⎩ ，令11x =，则1y =，10z=()1n ∴=设平面1AB C 的法向量()2222,,n x y z =12222200AB n y z AC n ⎧⋅=+=⎪∴⎨⋅==⎪⎩ ，令21y =，则21z =-，20x =()20,1,1n ∴=-121212cos ,3n n n n n n ⋅∴<>==二面角1B B C A --为锐角∴二面角1B B C A --的余弦值为3【点睛】本题考查立体几何中三棱锥体积的求解、空间向量法求解二面角的问题；求解三棱锥体积的常用方法为等体积法，将所求三棱锥转化为高易求的三棱锥，结合三棱锥体积公式求得结果.18.已知函数()3f x x ax b =++的图象是曲线C ，直线1y kx =+与曲线C 相切于点()1,3．（1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()f x 的递增区间；（3）求函数()()23F x f x x =--在区间[]0,2上的最大值和最小值．【答案】（1）()33f x x x =-+；（2）,3⎛-∞- ⎝⎭，3⎛⎫∞ ⎪ ⎪⎝⎭；（3）()F x 的最大值为2，最小值为2-【解析】【分析】（1）将切点坐标代入切线方程可得k ，根据切点处的导数等于切线斜率可得a ，再将切点坐标代入曲线方程即可求得曲线方程；（2）求导，解不等式()0f x '>即可；（3）求导，解方程()0F x '=，然后列表求极值，比较极值和端点函数值大小即可得解.【小问1详解】因为切点为()1,3，所以13k +=，得2k =．因为()23f x x a ='+，所以()132f a ='+=，得1a =-．则()3f x x x b =-+．由()13f =得3b =．所以()33f x x x =-+．【小问2详解】由()33f x x x =-+得()231f x x ='-．令()2310f x x -'=>，解得3x <-或3x >．所以函数()f x的递增区间为,3∞⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，,3∞⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭．【小问3详解】()()323,33F x x x F x x '=-=-，令()2330F x x -'==，得1211x x =-=，．列表：x 0()0,11()1,22()F x '-0+()F x 0递减极小值递增2因为()()()12,00,22F F F =-==，所以当[]0,2x ∈时，()F x 的最大值为2，最小值为2-．19.已知函数()ln f x x x a =--．（1）若()0f x ≥，求a 的取值范围；（2）证明：若()f x 有两个零点1x ，2x ，则121x x <．【答案】（1）(],1∞-；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求导，分别解不等式()0f x '>，()0f x '<即可；（2）设12x x <，结合（1）可知1201x x <<<，构造函数()()1g x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用导数判断单调性即可得()()1221f x f x f x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，结合()f x 在()0,1上单调递减即可得证.【小问1详解】由题意知函数()f x 的定义域为()0,∞+，解()10x f x x -'=>得1x >，解()10x f x x-'=<得01x <<，所以函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，所以()()min 11f x f a ==-，又()0f x ≥，所以10a -≥，解得1a ≤，所以a 的取值范围为(],1∞-．【小问2详解】不妨设12x x <，则由（1）知1201x x <<<，2101x <<，构造函数()()112ln g x f x f x x x x ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，则()()22211210x g x x x x-=+-=≥'，所以函数()g x 在()0,∞+上单调递增，所以当1x >时，()()10g x g >=，即当1x >时，()1f x f x ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()()1221f x f x f x ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，又()f x 在()0,1上单调递减，所以12101x x <<<，即121x x <．20.已知椭圆2222:1(0)x y a b a b ω+=>>过点(2,0)A -，且2a b =.（1）求椭圆ω的方程；（2）设O 为原点，过点(1,0)C 的直线l 与椭圆ω交于P ，Q 两点，且直线l 与x 轴不重合，直线AP ，AQ 分别与y 轴交于M ，N 两点.求证：||||OM ON ⋅为定值.【答案】（1）2214x y +=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题可得2a =，进而得出1b =，即可得出椭圆方程；（2）先考虑直线斜率不存在时，可得1||||=3OM ON ⋅，当斜率存在时，设出直线方程，联立直线与椭圆，得出韦达定理，得出直线AP 的方程，可表示出M 坐标，同理表示出N 的坐标，进而利用韦达定理可求出||||OM ON ⋅.【详解】解：（1）因为椭圆ω过点(2,0)A -，所以2a =.因为2a b =，所以1b =.所以椭圆ω的方程为2214x y +=.（2）当直线l 斜率不存在时，直线l 的方程为1x =.不妨设此时3(1,2P ，(1,)2Q -，所以直线AP的方程为2)y x =+，即M .直线AQ 的方程为(2)6y x =-+，即(0,)3N -.所以1||||=3OM ON ⋅.当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为(1)y k x =-，由22(1)14y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(41)8440k x k x k +-+-=.依题意，0∆>.设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则2122841k x x k +=+，21224441k x x k -=+.又直线AP 的方程为11(2)2y y x x =++，令0x =，得点M 的纵坐标为1122M y y x =+，即112(0,)2y M x +.同理，得222(0,)2y N x +.所以||||=OM ON ⋅12124(2)(2)y y x x ++212124(1)(1)(2)(2)k x x x x --=++2121212124[()1]2()4k x x x x x x x x -++=+++2222222224484(1)41414416+44141k k k k k k k k k --+++=-+++22222224(44841)44+16164k k k k k k k --++=-++221236k k =13=.综上，||||OM ON ⋅为定值，定值为13.【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线相交问题的常用步骤：（1）得出直线方程，设交点为()11A x y ，，()22B x y ，；（2）联立直线与曲线方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程；（3）写出韦达定理；（4）将所求问题或题中关系转化为1212,x x x x +形式；（5）代入韦达定理求解.21.约数，又称因数.它的定义如下：若整数a 除以整数()0m m ≠得到的商正好是整数而没有余数，我们就称a 为m 的倍数，称m 为a 的约数．设正整数a 共有k 个正约数，即为1a ，2a ，L ，1k a -，()12k k a a a a <<⋅⋅⋅<．（1）当4k =时，若正整数a 的k 个正约数构成等比数列，请写出一个a 的值；（2）当4k ≥时，若21a a -，32a a -，L ，1k k a a --构成等比数列，求正整数a 的所有可能值；（3）记12231k k A a a a a a a -=+++ ，求证：2A a <．【答案】（1）8a =（答案不唯一）；（2）12k a a -=，中2a 为质数；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据定义得11a =，然后取公比为2即可得8a =；（2）根据约数定义分析其规律，然后化简3212112k k k k a a a a a a a a -----=--可得232321a a a a a ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭，由2a 是整数a 的最小质因数可得232a a =，进而可得公比，然后可求a ；（3）利用()11i k ia a a i k +-=≤≤变形得22212112k k k k a a a A a a a a a a ---=++⋅⋅⋅+，然后利用裂项相消法结合放缩放即可得证.【小问1详解】由题意可知，11a =，当4k =时,正整数a 的4个正约数构成等比数列，取公比为2得：1，2，4，8为8的所有正约数，即8a =．【小问2详解】根据约数定义可知，数列{}n a 中，首尾对称的两项之积等于a ，即()11i k i a a a i k +-=≤≤，所以11a =，k a a =，12k a a a -=，23k a a a -=，因为4k ≥，依题意可知3212112k k k k a a a a a a a a -----=--，所以3222123aa a a a a a a a a a --=--，化简可得()()2232231a a a a -=-，所以232321a a a a a ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭，因为3a *∈N ，所以3221a a a a *-∈-N ，因此可知3a 是完全平方数．由于2a 是整数a 的最小质因数，3a 是a 的因子，且32a a >，所以232a a =，所以，数列21a a -，32a a -，L ，1k k a a --的公比为2322222121a a a a a a a a --==--，所以2132a a a a --，，L ，1k k a a --为21a -，222a a -，L ，1222k k a a ---，所以()124k a a k -=≥，其中2a 为质数．【小问3详解】由题意知1i k i a a a +-=（1i k ≤≤），所以22212112k k k k a a a A a a a a a a ---=+++ ，因为21121212111a a a a a a a a -≤=-，L ，1111111k k k k k k k ka a a a a a a a -----≤=-，所以22212112k k k k a a a A a a a a a a ---=++⋅⋅⋅+212112111k k k k a a a a a a a ---⎛⎫=++⋅⋅⋅+ ⎪⎝⎭2212231111111111k k k a a a a a a a a a a -⎛⎫⎛⎫≤-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭因为11a =，k a a =，所以1111ka a -<，所以22111k A a a a a ⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭，即2A a <．【点睛】关键点睛：本题关键在于根据约数定义分析其性质，抓住11,k a a k ==，()11i k i a a a i k +-=≤≤，以及2a 为质数即可求解.。

高二（上学期）期中考试数学试卷及答案学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．一直线过点(0,3),(3,0)-，则此直线的倾斜角为（ ）A ．45°B ．135°C ．－45°D ．－135°2．已知{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 为其前n 项和．若3133S a =+，则d =（ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．23．已知ABC 的顶点B ，C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则ABC 的周长是（ ）A ．B ．6C ．4D ．4．设a R ∈，若直线10ax y +-=与直线10x ay ++=平行，则a 的值是（ ）A ．1B ．1,1-C ．0D ．0，15．已知直线:sin cos 1l x a y a -=，其中a 为常数且[0,2)a π∈．有以下结论：①直线l 的倾斜角为a ；①无论a 为何值，直线l 总与一定圆相切；①若直线l 与两坐标轴都相交，则与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1；①若(,)p x y 是直线l 上的任意一点，则221x y +≥．其中正确结论的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>满足b a =，且与椭圆221123x y +=有公共焦点，则双曲线C 的方程为（ ）A ．22145x y -= B ．221810x y -= C ．22154x y -= D ．22143x y -= 7．在平面直角坐标系xoy 中，已知点()3,1P -在圆222:22150C x y mx y m +--+-=内，动直线AB 过点P 且交圆C 于,A B 两点，若ABC 的面积的最大值为8，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(3-+B ．[]1,5C ．][(35,3-⋃+D ．][(),15,∞∞-⋃+8．已知A ，B 为圆22:2430C x y x y +--+=上的两个动点，P 为弦AB 的中点，若90ACB ∠=︒，则点P 的轨迹方程为（）A ．221(1)(2)4x y -+-=B ．22(1)(2)1x y -+-=C ．221(1)(2)4x y +++=D ．22(1)(2)1x y +++=二、多选题9．已知直线30ax y a -+-=在两坐标轴上的截距相等，则实数=a （ ）A ．1B ．1-C ．3D ．3-10．设抛物线24y x =，F 为其焦点，P 为抛物线上一点.则下列结论正确的是（ ）A ．若()1,2P ，则2PF =B ．若P 点到焦点的距离为3，则P 的坐标为(2,.C ．若()2,3A ，则PA PF +D ．过焦点F 做斜率为2的直线与抛物线相交于A ，B 两点，则6AB =11．如图，椭圆221:13+=x C y 和222:13y C x +=的交点依次为,,,.A B C D 则下列说法正确的是（ ）A ．四边形ABCD 为正方形B ．阴影部分的面积大于3.C ．阴影部分的面积小于4.D ．四边形ABCD 的外接圆方程为222x y +=12．已知圆222:22(1)2230()C x y mx m y m m m R ++-+++-=∈上存在两个点到点(0,1)A -的距离为4，则m 的可能的值为A ．1B ．1-C ．3-D ．5-三、填空题13．设()1,0F c -，()2,0F c 分别为椭圆()222210x y a b a b +=>>的左，右焦点，若直线22a x c=上存在点P ，使22PF c =，则椭圆离心率的取值范围为______.14．已知在数列{}n a 中，12a =，111n na a +=-，*n N ∈，则2021a =________．15．已知焦点为1F ，2F 的双曲线C P 为C 上一点，且满足2123PF PF =，若12PF F △的面积为C 的实轴长为________四、双空题16．抛物线2:2C y x =的焦点坐标是______；经过点()4,1P 的直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，且点P 恰为AB 的中点，F 为抛物线的焦点，则AF BF +=______．五、解答题17．已知{n a }为等差数列，Sn 为其前n 项和，若1356,0a a a =+=．(1)求数列{n a }的通项公式；(2)求Sn ．18．已知A (4, 9), B (6, 3)两点，求以线段AB 为直径的圆的方程．19．已知直线10:4l mx y ++=和直线()()2:2100,0l m x ny m n +-+=>>互相垂直，求m n 的取值范围． 20．已知①ABC 的顶点A （-1，5），B （-1，-1），C （3，7）.(1)求边BC 上的高AD 所在直线的方程；(2)求边BC 上的中线AM 所在直线的方程；(3)求①ABC 的面积.21．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，且M 点的纵坐标为4，52p MF =．(1)求抛物线C 的方程；(2)过点(0,4)Q -作直线交抛物线C 于,A B 两点，试问抛物线C 上是否存在定点N 使得直线NA 与NB 的斜率互为倒数？若存在求出点N 的坐标，若不存在说明理由．22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，以椭圆C 的四个顶点为顶点的四边形面积为 (1)求椭圆C 的方程；(2)若椭圆C 的左顶点为A ，右焦点是F ．点P 是椭圆C 上的点（异于左、右顶点），M 为线段PA 的中点，过M 作直线PF 的平行线l ．延长PF 交椭圆C 于Q ，连接AQ 交直线l 于点B ．①求证：直线l 过定点．①是否存在定点1D 、2D ，使得12BD BD +为定值，若存在，求出1D 、2D 的坐标；若不存在说明理由．参考答案：1．A【分析】根据斜率公式求得直线的斜率，得到tan 1α=，即可求解.【详解】设直线的倾斜角为α， 由斜率公式，可得03130k -==--，即tan 1α=， 因为0180α≤<，所以45α=，即此直线的倾斜角为45.故选：A.2．C【解析】根据{}n a 是公差为d 的等差数列，且3133S a =+，利用等差数列的前n 项和公式求解.【详解】因为{}n a 是公差为d 的等差数列，且3133S a =+，所以113333a d a +=+，解得1d =，故选：C3．D【分析】先由椭圆方程求出a =.【详解】由椭圆2213x y +=，得：a =由题意可得ABC 的周长为:221224AC CF F B BF a a a +++=+==.故选：D.4．A【分析】根据两直线平行则两直线斜率相等截距不相等可得答案.【详解】0a =时，两直线为10y -=、直线10x +=，显然不平行；所以0a ≠，两直线为1y ax =-+，1(1)=-+y x a， 所以1a a -=-，且11a -≠， 解得1a =．故选：A.5．C【分析】根据直线的性质及直线与圆的关系对选项一一判断即可.【详解】对于①，直线l 的倾斜角的取值范围为[0,)π，与角a 的不同，故①错误；对于①，(0,0)1=，则无论a 为何值，直线l 总与221x y +=相切，故①正确；对于①，若直线l 与两坐标轴都相交，则截距分别为1sin a ，1cos a -，则与两坐标轴围成的三角形的面积为111112sin cos sin 2a a a⋅=≥，故①正确； 对于①，由①知直线l 总与221x y +=相切，则直线l 上的点到原点的距离大于等于1，即221x y +≥，故①正确；综上所述，①①①共3个正确；故选：C6．A【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的几何性质，列出方程，求得,a b 的值，即可求解. 【详解】由椭圆的标准方程为221123x y +=，可得21239c =-=，即3c =， 因为双曲线C 的焦点与椭圆221123x y +=的焦点相同，所以双曲线C 中，半焦距3c =，又因为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>满足b a =，即b =，又由222+=a b c ，即229a ⎫⎪⎪⎝⎭+=，解得24a =，可得25b =， 所以双曲线C 的方程为22145x y -=. 故选：A ．7．C【分析】由题知圆心为(),1,4C m r =，进而根据三角形面积公式得ABC 面积最大时，AB =，圆心C 到直线AB 的距离为4PC ≤<即可得答案.【详解】解：圆222:22150C x y mx y m +--+-=，即圆()()22:116C x m y -+-=，即圆心为(),1,4C m r =， 所以ABC 的面积为21sin 8sin 82ABC S r ACB ACB =∠=∠≤△，当且仅当2ACB π∠=，此时ABC 为等腰直角三角形，AB =C 到直线AB 的距离为= 因为点()3,1P -在圆222:22150C x y mx y m +--+-=内，所以4PC ≤<，即4<，所以，28(3)416m ≤-+<，解得31m -≤或53m ≤<+所以，实数m 的取值范围是][(35,3-⋃+故选：C8．B【分析】在直角三角形中利用几何关系即可获解【详解】圆C 即22(1)(2)2x y -+-=,半径r =因为CA CB ⊥,所以2AB ==又P 是AB 的中点,所以112CP AB == 所以点P 的轨迹方程为22(1)(2)1x y -+-=故选：B9．BC【分析】显然0a ≠，再分30a -=与30a -≠两种情况讨论，若30a -≠，求得直线在,x y 轴上的截距，即可得到方程，解得即可；【详解】解：依题意可知0a ≠，所以当30a -=，即3a =时，直线30ax y a -+-=化为30x y -=，此时直线在两坐标轴上的截距都为0，满足题意；当30a -≠，即3a ≠时，直线30ax y a -+-=在x 轴上的截距为3a a-，在y 轴上的截距为3a -，故33a a a -=-，解得1a =-； 综上所述，实数3a =或1a =-.故选：BC10．AC【分析】由抛物线的性质依次计算各选项所求，即可得出结果.【详解】抛物线24y x =，()1,0F .对于A ，()1,2P ，2PF ，A 正确；对于B ，设(,P x ±，()22143x x -+=，2x =，P 的坐标为(2,±.B 错误；对于C,()min PA PF AF +==正确；对于D ，直线:22l y x =-，联立24y x =，得：2310x x -+=，3A B x x +=,2=5B A x x AB ++=,D 错误. 故选：AC.11．ABC【分析】根据曲线的对称性，可判定A 正确；联立方程组求得A 的坐标，求得ABCD 的面积为13S =，可判定B 正确；由直线1,1x y =±=±围成的正方形的面积可判定C 正确；由232OA =，得出圆的方程，可判定D 错误．【详解】由题意，椭圆221:13+=x C y 和222:13y C x +=，根据曲线的对称性， 可得四边形ABCD 为正方形，选项A 正确；联立方程组，求得A ，所以正方形ABCD 的面积为13S =， 所以阴影部分的面积大于3，选项B 正确：由直线1,1x y =±=±围成的正方形的面积为2=4S ，所以阴影部分的面积小于4，选项C 正确；由232OA =，所以四边形ABCD 的外接圆方程为2232x y +=，选项D 错误． 故选：ABC .12．ACD【解析】根据题意，圆()()222:12C x m y m ++-+=⎡⎤⎣⎦与圆()222:14A x y ++=相交，再由两圆圆心距大于两圆半径之差，小于两圆半径之和，列出不等式，解得即可.【详解】由题知，圆()()222:12C x m y m ++-+=⎡⎤⎣⎦与圆()222:14A x y ++=相交，所以，4242CA -<<+，即26，解得()()1,20,171m ∈--，即m 的值可以为：1或3-或5-.故选：ACD.【点睛】本题体现了转化的数学思想，解题的关键在于将问题转化为两圆相交，属于基础题. 13．0e <≤【分析】由题设易知222||a PF c c≥-，结合椭圆离心率的性质即可得离心率的取值范围. 【详解】由题设，222||2a PF c c c=≥-，则22223c e a =≤，而01e <<，所以0e <≤故答案为：0e <≤14．12##0.5 【分析】由递推关系依次求出数列的前几项，归纳出周期后可得结论．【详解】由题意12a =，211122a =-=，311112a =-=-，41121a =-=-， 所以数列{}n a 是周期数列，周期为3，所以202136732212a a a ⨯+===． 故答案为：12．15【分析】由2123PF PF =和双曲线定义可得12,46a PF a PF ==，再结合余弦定理和c e a ==122cos 3F PF ∠=，利用面积公式1212121||||sin 2PF F S PF PF F PF =∠=a =. 【详解】由题意，221123PF PF PF PF ∴=> 由双曲线定义可知，122PF PF a -=21,46a PF a PF ==∴222222221212122212||||||36164524cos 2||||4848PF PF F F a a c a c F PF PF PF a a +-+--∴∠===又122cos 3c e c F PF a ===∴∠=又1212(0,)sin F PF F PF π∠∈∴∠=122121211||||sin 2422PF F S PF PF F PF a =∠=⨯=221,a ∴=又0a a >∴=故双曲线C16． ()1,0##0.5,02⎛⎫ ⎪⎝⎭； 9. 【分析】由抛物线的解析式可知22p =，即可得出焦点坐标为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭；过A 、B 、P 作准线的垂线且分别交准线于点M 、N 、K ，根据抛物线的定义可知AM BN AF BF +=+，由梯形的中位线的性质得出()1942212AM BN PK +==+=，进而可求出AF BF +的结果. 【详解】解：由抛物线2:2C y x =，可知22p =，则122p =， 所以抛物线2:2C y x =的焦点坐标为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 如图，过点A 作AM 垂直于准线交准线于M ，过点B 作BN 垂直于准线交准线于N ，过点P 作PK 垂直于准线交准线于K ，由抛物线的定义可得AM BN AF BF +=+，再根据()4,1P 为线段AB 的中点，而四边形AMNB 为梯形， 由梯形的中位线可知()1942212AM BN PK +==+=， 则9AM BN +=，所以9AF BF +=. 故答案为：1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭；9. 17．(1)an ＝8﹣2n ；(2)27n S n n =-+.【分析】（1）应用等差数列通项公式求基本量，进而写出通项公式； （2）由等差数列前n 项和公式求Sn . （1）设等差数列{an }的公差为d ，由a 1＝6，a 3+a 5＝0，则6+2d +6+4d ＝0，解得d ＝﹣2， 因此an ＝a 1+（n ﹣1）d ＝8﹣2n ， 所以{an }的通项公式为an ＝8﹣2n ． （2）由题意知：()21172n n n S na d n n -=+=-+，18．(x -5)2＋(y -6)2＝10【分析】根据题意，求得圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程.【详解】因为线段AB 为直径，所以线段AB 的中点C 为该圆的圆心，即C (5, 6)．又因为AB ，所以所求圆的半径r ＝2AB， 因此，所求圆的标准方程为(x －5)2＋(y －6)2＝10. 19．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】通过两直线垂直的充要条件得到22n m m =+，然后两边同时除以m ，使用不等式即可解决. 【详解】因为12l l ⊥，所以()()210m m n ++⨯-=，所以22n m m =+，因为0m >，所以2221m m m m n m +==+． 因为0m >，所以22m +>，所以11022m <<+，故m n 的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭． 20．(1)x +2y -9=0 (2)4y x =-+ (3)12【分析】（1）求得BC k ，根据垂直关系可得12AD k =-，再根据点斜式求解高AD 所在直线的方程即可；（2）根据中点坐标公式，结合两点式方程求解即可；（3）根据两点式方程可得边BC 所在直线的方程，再根据点到线的距离公式可得点A 到直线BC 的距离，进而根据三角形的面积公式求解即可. （1） 因为7(1)23(1)BC k --==--，所以12AD k =-，从而边BC 上的高AD 所在直线的方程为()1512y x -=-+，即x +2y -9=0（2）因为M 是BC 的中点，所以M （1，3），从而边BC 上的中线AM 所在直线的方程为315311y x --=---，即4y x =-+ （3）由题意知，边BC 所在直线的方程为()()()()117131y x ----=----，即210,x y BC -+==所以点A 到直线BC 的距离h ==ABC 的面积1122BC h =⋅=.21．(1)24y x =(2)存在，()44，【分析】（1）利用抛物线的焦半径公式求得点M 的横坐标，进而求得p,可得答案;（2）根据题意可设直线方程，和抛物线方程联立，得到根与系数的关系式，利用直线NA 与NB 的斜率互为倒数列出等式，化简可得结论. (1)（1）0(,4)M x 设 则05||22p pMF x =+=， 02x p ∴=， 2416p ∴=，0,2p p >∴=，故C 的方程为：24y x = ；(2)假设存在定点N ，使得直线NA 与NB 的斜率互为倒数， 由题意可知，直线AB 的斜率存在，且不为零，(4)AB x m y =+设的方程为，2011220(,),(,),(,)4y A x y B x y N y ，()244x m y y x ⎧=+⎨=⎩由， 24160y my m --=得，所以{Δ>0y 1+y 2=4m y 1y 2=−16m ， 即4m <- 或0m > ，01020102222222000012010212441444444NA NB y y y y y y y y k k y y y y y y y y y y x x ----∴⋅=⋅=⋅=⋅=++---- 2001212()16y y y y y y ∴+++=，200(416)160y m y ∴-+-=恒成立，则024160160y y -=⎧⎨-=⎩ ，04y ∴=， (4,4),N ∴存在定点使得直线NA 与NB 的斜率互为倒数. 22．(1)2211612x y +=；(2)（i ）证明见解析；（ii ）存在，且()13,0D -、()21,0D -.【分析】（1）根据已知条件得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，可得出椭圆C 的方程； （2）（i ）分析可知直线PQ 不与x 轴重合，设设直线PQ 的方程为2x my =+，设点()00,P x y 、()11,Q x y ，写出点M 的坐标，化简直线l 的方程，即可得出直线l 所过定点的坐标；（ii ）点(),B x y ，写出点B 的坐标，利用相关点法求出点B 的轨迹方程，可知点B 的轨迹为椭圆，求出椭圆的两个焦点坐标，结合椭圆的定义可得出结论. (1)解：由题意可得222121222c a a b a b c ⎧=⎪⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=+⎪⎪⎩42a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩ 因此，椭圆C 的方程为2211612x y +=. (2)解：（i ）易知点()2,0F 、()4,0A -，若PQ 与x 轴重合，则P 或Q 与点A 重合，不合乎题意，设直线PQ 的方程为2x my =+，设点()00,P x y 、()11,Q x y ，点M 的坐标为004,22x y -⎛⎫⎪⎝⎭，直线MB 的方程为00422x y x m y -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭且002x my =+， 所以，直线l 的方程为1x my =-，因此，直线l 过定点()1,0-. （ii ）因为B 为AQ 的中点，则114,22x y B -⎛⎫ ⎪⎝⎭，且有221111612x y +=， 设点(),B x y ，则11422x x y y -⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得11242x x y y =+⎧⎨=⎩， 所以，()()2224211612x y ++=，即()222143x y ++=，即点B 的轨迹方程为()222143x y ++=，因为椭圆22143x y +=的两个焦点坐标分别为()1,0-、()1,0， 椭圆()222143x y ++=可由椭圆22143x y +=向左平移2个单位得到， 故椭圆()222143x y ++=的两个焦点坐标别为()3,0-、()1,0-， 故存在定点()13,0D -、()21,0D -使得124BD BD +=为定值. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.。

《互换性与测量技术》期中试题一、填空（25分）1、孔在图样上的标注为φ80Js8，已知其IT8=46μm，其基本偏差为±23um，该孔的最大实体尺寸为79.977mm，最小实体尺寸为80.023mm。

2、基孔制中的孔的代号用和表示，其基本偏差为下偏差，数值为0，基准孔的公差带偏置在零线的上侧。

3、一零件表面切削加工要求轮廓的算术平均偏差Ra为6.3μm，在零件图上标注为____________。

4、滚动轴承内圈与轴颈的配合采用基孔制，外圈与外壳孔的配合采用基轴制。

5、正确度反映测量中系统误差的影响程度，精密度反映测量中随机误差的影响程度。

6、孔、轴配合的最大过盈为-18μm，配合公差为41μm，可以判断该配合属于过渡配合。

7、对于一实际要素，一定有形状误差值不大于方向误差值不大于位置误差值。

8、国标规定的标准公差分为20 个等级，以IT 后加阿拉伯数字表示，最高级为________，最低极为IT18 。

9、量块按_______使用时其测量精度比按_______使用要高。

10、工作时有相对运动或虽无相对运动而要求装拆方便的孔、轴配合，应选用间隙配合。

对于既要求对中性，又要求装拆方便的孔、轴配合，应选用过渡配合。

11、只要求装配互换的要素，通常采用最大实体要求。

12、表面粗糙度评定参数中Ra 最能充分反映被测表面的实际情况。

二、已知下列配合，画出其公差带图，指出其基准制，配合种类，并求出其配合的极限盈、隙。

（20分）1、φ20H8（033.00+）/f7(020.0041.0--)2、φ40H6(016.00+)/m5(020.0009.0++)基孔制 间隙配合 基孔制 过渡配合三、判断题（对打“∨”错打“╳”填入括号内）（10分）（ ╳ ）1、最大极限尺寸一定大于基本尺寸，最小极限尺寸一定小于基本尺寸。

（ ∨ ）2、公差是指允许尺寸的变动量。

（ ∨ ）3、一般以靠近零线的那个偏差作为基本偏差。

上海市吴淞中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试卷一、填空题1．设全集{1,2,3,4,5},{1,3}U A ==，则A =.2．过点(3,2)倾斜角为π2的直线方程是.3．已知等差数列{}n a 的公差为1，n S 为其前n 项和，若36S a =，则2a ＝．4．已知角x 在第二象限，且4sin 25x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 2x =.5．4212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为.6．已知()()1,2,3,2a b ==- ，则a在b 上的数量投影为．7．已知()f x 是定义域为R 的奇函数，且0x <时，()21xf x =+，则()f x 的值域是.8．若直线3y x a =+与曲线ln 2y x x =+相切，则实数a 的值为.9．数学老师从6道习题中随机抽3道让同学检测，规定至少要解答正确2道题才能及格．某同学只能求解其中的4道题，则他能及格的概率是10．已知函数()()πsin 20π3f x x x ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭，且()()()13f f αβαβ==≠，则αβ+=.11．已知函数()2231x x af x x x x a +<⎧=⎨--≥⎩，，，若对任意实数b ，总存在实数0x ，使得()0f x b =，则实数a 的取值范围是.12．在ABC V 中，8,5,5AB BC AC ===，P 为ABC V 内部一动点(含边界)，在空间中，若到点P 的距离不超过1的点的轨迹为L ，则几何体L 的体积等于.二、单选题13．若1-是关于x 的实系数方程20x bx c ++=的一个虚数根，则（）A ．2b =，3c =B ．2b =，1c =-C ．2b =-，1c =-D ．2b =-，3c =14．已知a ∈R ，则“1a <”是“11a>”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件15．设())f x x =ω+ϕ（其中π0,2ωϕ><），若点1(,0)3A 为函数()y f x =图像的对称中心，B ，C 是图像上相邻的最高点与最低点，且4BC =，则下列结论正确的是（）A ．函数()y f x =的图象对称轴方程为44,Z 3x k k =+∈；B ．函数π()3y f x =-的图像关于坐标原点对称；C ．函数()y f x =在区间(0,2)上是严格增函数；D ．若函数()y f x =在区间(0,)m 内有5个零点，则它在此区间内有且有2个极小值点．16．已知3()3f x x x =-，函数()y f x =的定义域为[],(,Z),()a b a b y f x ∈=的值域为[],a b 的子集，则这样的函数的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．无数个三、解答题17．深入实施科教兴国战略是中华人民伟大复兴的必由之路．2020年第七次全国人口普查对6岁及以上人口的受教育程度进行统计（未包括中国香港、澳门特别行政区和台湾省的人口数据），我国31个省级行政区具有初中及以上文化程度人口比例情况经统计得到如下的频率分布直方图．(1)求具有初中及以上文化程度人口比例在区间[)0.75,0.85内的省级行政区有几个？(2)已知上海具有初中及以上文化程度人口比例是这组数据的第41百分位数，求该比例落在哪个区间内？18．设ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，tan a b A =且B 为钝角.(1)若π12A =,2c =，求ABC V 的面积；(2)求sin sin A C +的取值范围.19．如图，AB 为圆O 的直径，点EF 在圆O 上，//AB EF ，矩形ABCD 所在平面和圆O 所在的平面互相垂直，已知2,1AB EF ==．(1)求证：平面DAF ⊥平面CBF ；(2)当AD 的长为何值时，二面角C EF B --的大小为60︒20．设0m >，椭圆22:13x y m mΓ+=与双曲线2222:C m x y m -=的离心率分别为12,e e (1)若121e e =，求m 的值；(2)当2e =时，过双曲线C 的右顶点作两条斜率分别为12,k k 的直线12,l l 分别交双曲线于点 ,P Q （ ,P Q 不同于右顶点），若121k k =-，求证：直线PQ 的倾斜角为定值，并求出该定值；(3)当1m =时，设点(0,2)T ，若对于直线:l y x b =+，椭圆Γ上总存在不同的两点A 与B 关于直线l 对称，且9542TA TB <⋅< ，求实数b 的取值范围.21．定义在R 上的函数(),()y f x y g x ==，若()()()()1212f x f x g x g x -≥-对任意的12,x x ∈R 成立，则称函数()y g x =是函数()y f x =的“从属函数”．(1)若函数()y g x =是函数()y f x =的“从属函数”且()y f x =是偶函数，求证：()y g x =是偶函数；(2)若()e ,()x f x ax g x =+=1a ≥时，函数()y g x =是函数()y f x =的“从属函数”；(3)设定义在R 上的函数()y f x =与()y g x =，它们的图像各是一条连续的曲线，且函数()y g x =是函数()y f x =的“从属函数”．设α：“函数()y f x =在R 上是严格增函数或严格减函数”；β：“函数()y g x =在R 上为严格增函数或严格减函数”，试判断α是β的什么条件？请说明理由．。

期中考试数学高一真题试卷一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，求\( f(2) \)的值。

A. 3B. 5C. 7D. 92. 圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，求圆与直线的位置关系。

A. 相离B. 相切C. 相交D. 包含3. 已知等差数列的首项为2，公差为3，求第5项的值。

A. 17B. 14C. 11D. 84. 若\( \sin \theta = \frac{1}{2} \)，求\( \cos 2\theta \)的值。

A. 0B. -1C. 1D. -\( \frac{1}{2} \)5. 函数\( y = \log_2 x \)的定义域是：A. \( x > 0 \)B. \( x < 0 \)C. \( x \geq 0 \)D. \( x \leq 0 \)6. 已知\( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 5 \)，且\( x + y = 10 \)，求\( xy \)的值。

A. 4B. 8C. 12D. 167. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。

A. 5B. 6C. 7D. 88. 已知\( a \)和\( b \)是方程\( x^2 + 5x + 6 = 0 \)的两个根，求\( a + b \)的值。

A. -3B. -2C. -1D. 09. 函数\( y = \sqrt{x} \)的值域是：A. \( x \geq 0 \)B. \( y \geq 0 \)C. \( y > 0 \)D. \( y \leq 0 \)10. 已知\( \tan \alpha = 2 \)，求\( \sin 2\alpha \)的值。

A. \( \frac{4}{5} \)B. \( \frac{3}{5} \)C.\( \frac{2}{5} \) D. \( \frac{1}{5} \)二、填空题（每题4分，共20分）11. 若\( \cos \theta = -\frac{\sqrt{3}}{2} \)，\( \theta \)的终边在第二象限，则\( \sin \theta \)的值为________。

新安职高10-11学年第一学期期中考试三机制《公差》试题（命题人：陈新周）（注：答案写在答题卡上,答到试卷上无效，只交答题卡，注意卷面要干净，答题要规范）一、选择题（每个小题只有一个正确答案，请将正确答案序号填在题前括号内，每小题2分，共20分）1、同一直径上的轴需要装上不同配合性质的零件时，常采用（）制。

A、基孔 B、基轴 C、基准2、在满足零件使用要求的前提下，尽可能选择（）的公差等级。

A、较高 B、中等 C、较低3、孔的最大实体尺寸指的是： A、Lmax B、La C、Lmin D、L4、下列属于位置公差中的定位公差项目的是：A、倾斜度 B、对称度 C、直线度 D、圆跳动5、φ45G6与φ45F6两者的区别在于：A、基本偏差不同B、下偏差相同，而上偏差不同C、上偏差相同，而下偏差不同D、公差值不同6、一般的说形位公差t 和尺寸公差T 的关系是： A、t≥T B、t = T C、t≤T7、形位公差带的位置随零件实际尺寸变化而变化的项目是：A、对称度B、垂直度C、同轴度8、要素和要素之间具有功能关系称为： A、被测要素 B、关联要素 C、提取要素9、如果给定形位公差项目的被测要素是轮廓要素，标注时形位公差框格指引线箭头应与对应的尺寸线：A．对齐 B．错开C．对齐或错开10、因为（）无基准，所以其标注框格只有两格，指引线的一端与公差框格相连，另一端是指示箭头，要垂直指向被测要素。

A、位置公差 B、形状或位置公差 C、形状公差二、填空题（每空1分，共20分）1、位置公差包括、__________、_三大类。

2、标准公差数值与和有关。

3、尺寸φ80JS8，已知IT8=46μm，则其最大极限尺寸是 mm，基本偏差代号，下偏差为 mm。

4、形位公差带主要由__________、________、___________和_________四个要素构成。

5、零件精度一般包括________、________、___________和________四个方面。

2021-2022学年辽宁省沈阳市市级重点高中联合体高二下学期期中考试数学测试题一、单选题1．等差数列{an }中，已知a 2＝2，a 5＝8，则a 9＝（ ） A ．8 B ．12C ．16D ．24【答案】C【分析】由已知条件可得112,48,a d a d +=⎧⎨+=⎩求出1,a d ，从而可求出9a【详解】设等差数列{an }的首项为a 1，公差为d ，则由a 2＝2，a 5＝8，得112,48,a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得a 1＝0，d ＝2，所以a 9＝a 1＋8d ＝16. 故选：C.2．某电子管的正品率为45，次品率为15，现对该批电子管进行测试，那么在三次测试中恰有一次测到正品的概率是（ ） A ．1625B ．48125C ．12125D ．425【答案】C【分析】恰有一次测到正品，则有两次测到次品，再根据独立重复实验求概率得方法即可得解.【详解】解：由题意可知，三次测试中恰有一次测到正品，则有两次测到次品，故所求事件的概率为2134112C 55125⎛⎫⋅⋅=⎪⎝⎭. 故选：C ．3．某军工企业为某种型号的新式步枪生产了一批枪管，其口径误差（单位：微米）服从正态分布()21,3N ，从已经生产出的枪管中随机取出一只，则其口径误差在区间()4,7内的概率为（ ）（附：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()68.27%P μσξμσ-<<+=，()2295.45%P μσξμσ-<<+=）A ．31.74%B ．27.18%C ．13.59%D ．4.56%【答案】C【分析】根据已知可得1,3,2,4,25,27μσμσμσμσμσ==-=-+=-=-+=，结合正态分布的对称性，即可求解. 【详解】()()()14757242P P P ξξξ<<=-<<--<<⎡⎤⎣⎦ ()10.95450.68270.13592=⨯-=. 故选：C【点睛】本题考查正态分布中两个量μ和σ的应用，以及正态分布的对称性，属于基础题.4．在等比数列{}n a 中，如果1216a a +=，3424a a +=，那么78a a +=（ ） A ．72 B ．81C ．36D ．54【答案】D【分析】依题意设等比数列{}n a 的公比为q ，由等比数列的通项公式求出2q ，最后根据()47348a a a a q +=+计算可得；【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，因为1216a a +=，3424a a +=，所以23412243162a a q a a +===+，所以()4233444748324542a a a a q a a q q +==⎛⎫++=⨯= ⎪⎝⎭； 故选：D5．2020年初，新型冠状肺炎在欧洲爆发后，我国第一时间内向相关国家捐助医疗物资，并派出由医疗专家组成的医疗小组奔赴相关国家．现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4个需要援助的国家可供选择，每个医疗小组只去一个国家，设事件A ＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B ＝“小组甲独自去一个国家”，则P （A |B ）＝（ ） A ．29B ．13C ．49D ．59【答案】A【分析】先求出“4个医疗小组去的国家各不相同”且“小组甲独自去一个国家”的概率，再求“小组甲独自去一个国家”的概率，代入条件概率公式计算即可．【详解】事件A ＝“4个医疗小组去的国家各不相同”，事件B ＝“小组甲独自去一个国家”，则P （AB ）4443432A ==，P （B ）1344327464C ⋅==， P （A |B ）()()29P AB P B ==， 故选：A ．【点睛】本题考查了条件概率的计算，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题6．调查表明，酒后驾驶是导致交通事故的主要原因，交通法规规定：驾驶员在驾驶机动车时血液中酒精含量不得超过0.02mg/mL ．如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量将迅速上升到0.3mg/mL ，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小时50%的速度减小，他至少要经过几小时才可以驾驶机动车（精确到小时）（ ） A ．5小时 B ．4小时 C ．3小时 D ．2小时【答案】B【分析】设n 个小时后才可以驾车，根据题意可知，每单位时间内酒精下降的量成等比数列，进而可得方程，求得n ． 【详解】解：设n 个小时后才可以驾车， 由题得方程0.3(150%)0.02n-，即11()215n ≤，因为411216⎛⎫= ⎪⎝⎭，31128⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以4n ≥，即至少要经过4小时后才可以驾驶机动车． 故选：B ．7．袋子中有大小形状完全相同的2个黑球，1个白球，现从袋子中有放回地随机取球4次，取到白球记0分，黑球记1分，记4次取球的总分数为X ，则（ ）A ．()103P X ==B ．()8281P X ==C ．X 的期望()83E X =D ．X 的方差()83D X =【答案】C【分析】A. 411(0)()381P X ===，所以该选项错误；B. 22242124(2)()()3381P X C ===，所以该选项错误；选项CD 可以利用二项分布求解即可得解. 【详解】解：A. 4次全是白球，X 0=，411(0)()381P X ===，所以该选项错误； B. 4次只有2次是黑球，2X =， 22242124(2)()()3381P X C ===，所以该选项错误； C.因为2~(4,)3X B ，所以X 的期望28()433E X =⨯=，所以该选项正确；D.因为2~(4,)3X B ，所以X 的方差218()4339D X =⨯⨯=，所以该选项错误．故选：C8．在数列{}n a 中，122n n n a a a ++=+，且0n a ≠．若()21102n n n a a a n -+-+=≥，且2138n S -=，则n =（ ）A ．10B ．20C ．11D ．9【答案】A【分析】根据递推关系可得{}n a 为等差数列，从而可求{}n a 的通项，故可求n . 【详解】因为122n n n a a a ++=+，故{}n a 为等差数列， 所以112n n n a a a +-=+，而()21102n n n a a a n -+-+=≥，故22n n a a =，而0n a ≠，故2n a =，故()2121238n S n -=-⨯=， 故10n =， 故选：A. 二、多选题9．下列说法正确的是（ ）A ．若1~,3XB n ⎛⎫⎪⎝⎭，且()2E X =，则6n =B ．设有一个回归方程35y x =-，变量x 增加1个单位时，y 平均减少5个单位C ．线性相关系数r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱D ．在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布()21,(0)N σσ>，则(1)0.5P ξ>=【答案】ABD【分析】由1~,3X B n ⎛⎫⎪⎝⎭的方差公式可判断A ； x 增加1个单位时计算y 值与原y 值比较可判断B ；由线性相关系数|r |的性质可判断C ；根据正态曲线关于x =1对称即可判断D.【详解】对于选项A ，由1~,3X B n ⎛⎫⎪⎝⎭，()2E X =，则23n =，所以6n =，故正确；对于选项B ，若有一个回归方程35y x =-，变量x 增加1个单位时，()351355y x x =-+=--，故y 平均减少5个单位，正确；对于选项C ，线性相关系数|r |越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱，错误；对于选项D ，在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布()()21,0N σσ>，由于正态曲线关于1x =对称，则()10.5P ξ>=，正确. 故选：ABD.【点睛】本题考查方差的计算、线性回归方程的相关计算、正态分布的概率问题，解题的关键点是熟练掌握有关概念和性质，属于基础题.10．投资甲，乙两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示． 表1 股票甲收益的分布列 表2 股票乙收益的分布列则下列结论中正确的是（ ）A ．投资股票甲的期望收益较小 B ．投资股票乙的期望收益较小 C ．投资股票甲比投资股票乙的风险高 D ．投资股票乙比投资股票甲的风险高 【答案】BC【分析】根据表格求出两者的期望和方差，进而得到答案. 【详解】甲收益的期望()10.100.320.6 1.1E X =-⨯+⨯+⨯=， 方差()()()()2221 1.10.1 1.10.32 1.10.6 1.29D X =--⨯+-⨯+-⨯=， 乙收益的期望()00.310.420.31E Y =⨯+⨯+⨯=，方差()()()()222010.3110.4210.30.6D Y =-⨯+-⨯+-⨯=，所以()()E X E Y >，()()D X Y D >，则投资股票乙的期望收益较小，投资股票甲比投资股票乙的风险高. 故选：BC.11．已知等差数列{}n a 满足32a =，前3项和392S =，等比数列{}n b 满足11b a =，415b a =，{}n b 的前n 项和为.n T 则下列命题错误的是（ ）A ．{}n a 的通项公式为24n a n =-B ．等差数列{}n a 的前n 项和为234n n nS +=C ．等比数列{}n b 的公比为12D ．21nn T =-【答案】AC【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，可判断A ；由等差数列的求和公式，可判断B ；由等比数列的通项公式，解方程可得公比，可判断C ；由等比数列的求和公式，可判断D ． 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为32a =，392S =，所以122+=a d ，19332+=a d ，解得11a =，12d =，所以()111122n n a n +=+-=，故A 错误； ()21131224n n nS n n n +=+-⨯=，故B 正确； 设等比数列{}n b 的公比为q ，由111b a ==，4158==b a ， 可得38q =，解得2q，故C 错误；122112nn n T -==--，故D 正确．故选：AC ．12．已知数列{}n a 满足()111,23nn na a a n N a *+==∈+，则下列结论正确的是（ ）A ．13n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭为等比数列B ．{}n a 的通项公式为1123n n a +=-C ．{}n a 为递增数列D ．1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和227n n T n +=-【答案】AB【分析】将给定的递推公式两边取倒数，构造等比数列，求出通项并逐项判断作答. 【详解】因数列{}n a 满足()111,23nn na a a n N a *+==∈+，显然，0n a ≠，两边取倒数得：1123n n a a +=+，即有11132(3)n na a ++=+，而1134a +=， 因此，数列1{3}na +是首项为4，公比为2的等比数列，A 正确； 于是得1113422n n n a -++=⨯=，整理得1123n n a +=-，数列{}n a 的通项公式为1123n n a +=-，B 正确； 因121112323n n n n a a +++=<=--，即数列{}n a 是递减数列，C 不正确；因1231n na +=-，则()()23124122223323412n n n n T n n n ++-=+++-=-=---，D 不正确.故选：AB 三、填空题13．对具有线性相关关系的变量x 和y ，测得一组数据如下表所示．若已求得它们回归直线的斜率为6.5，则这条回归直线的方程为__________________．【答案】y 6.517.5x =+ 【详解】5,50x y ==，由题意，设回归方程 6.5y x a =+，将平均值5,50x y ==代入，解得17.5a =， 所以 6.517.5y x =+．点睛：本题考察线性回归方程，需要学生有较好的计算能力，解题的关键是线性回归方程直线一定过样本中心点，所以样本平均值5,50x y ==满足回归方程 6.5y x a =+，解出线性回归直线方程．14．已知等差数列{an }的前n 项和为Sn ，a 4+a 7+a 10=9，S 14-S 3=77，则使Sn 取得最小值时n 的值为____. 【答案】5【分析】设等差数列{an }的公差为d ，根据a 4+a 7+a 10=9，S 14-S 3=77，求得1,a d 即可. 【详解】设等差数列{an }的公差为d ， 因为a 4+a 7+a 10=9，S 14-S 3=77， 所以113189,118877a d a d +=-=， 解得19,2a d =-= 所以()()211111022n n n n n S na d na d n n --=+=+=-，所以当5n =时，Sn 取得最小值， 故答案为：515．世卫组织就新型冠状病毒感染的肺炎疫情称，新型病毒可能造成“持续人传人”.通俗点说就是存在A 传B ，B 又传C ，C 又传D ，这就是“持续人传人”.那么A 、B 、C 就会被称为第一代、第二代、第三代传播者.假设一个身体健康的人被被第一代、第二代、第三代传播者感染的概率分别为0.95，0.9，0.85，健康的小明参加了一次多人宴会，事后知道，参加宴会的人有5名第一代传播者，3名第二代传播者，2名第三代传播者，试计算，小明参加聚会，仅和感染的10个人其中一个接触，感染的概率有多大_______. 【答案】0.915【解析】求出小明与第一代、第二代、第三代传播者接触的概率， 代入概率公式求解即可.【详解】设事件A ，B ，C 为和第一代、第二代、第三代传播者接触，事件D 为小明被感染，则由已知得：p (A )=0.5，p (B )=0.3，p (C )=0.2，p (D |A )=0.95，p (D |B )=0.90，p (D |C )=0.85，从而，小明被感染的概率由概率公式可得：p (D )=p (D |A )p (A )+p (D |B )p (B )+p (D |C )p (C )=0.95×0.5+0.90×0.3+0.85×0.2 =0.915故答案为：0.915【点睛】本题考查随机事件的概率，条件概率的概念及概率公式，属于基础题. 16．已知数列{}n a ，{}n b 满足112a =，()11n n n a a a +=+，11n nb a =+，{}n b 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ．则2n n S T +=______． 【答案】2【分析】利用累加和累乘可求,n n S T ，从而可求2n n S T +的值.【详解】因为112a =，()11n n n a a a +=+，故20a >，依次有0n a > 根据()11n n na a a +=+可得11111n n n a a a +-=+， 故1212231111111n n n n b b b a S a a a a a +=+++=-+-++- 1111112n n a a a ++=-=-. 由()11n n n a a a +=+可得111n n n n a b a a +==+， 从而1212231112n n n n n aaaT b b b a a a a ++=⨯⨯=⨯⨯⨯=，故111221222n n n n a S a T ++-+⨯==+， 故答案为：2. 四、解答题17．某研究机构对高三学生的记忆力x 和判断力y 进行统计分析，得下表数据：相关公式：1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nx ybay bx xnx==-==--∑∑ (1)请在图中画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程：ˆˆˆybx a =+ (3)试根据（2）求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力． 【答案】(1)散点图见解析(2)ˆ0.7 2.3yx =- (3)约为4【分析】（1）由所给数据直接得到散点图；（2）由所给数据求出1n i i i x y =∑，x ，y ，21ni i x =∑，即可得到ˆb，ˆa ，从而得到回归直线方程；（3）将9x =代入（2）中回归方程，即可得解； 【详解】(1)解：依题意可得散点图如下所示：(2)解：（2）16283105126158ni i i x y ==⨯+⨯+⨯+⨯=∑，68101294x +++==，235644y +++==，222221681012344nii x==+++=∑，15849414ˆ0.734449220b -⨯⨯===-⨯，ˆˆ40.79 2.3a y bx=-=-⨯=-， 故线性回归方程为ˆ0.7 2.3yx =-． (3)解：由回归直线方程，当9x =时，ˆ0.79 2.3 6.3 2.34y=⨯-=-=，所以预测记忆力为9的同学的判断力约为4．18．设{}n a 是公比为负数的等比数列，13a 为2a ，3a 的等差中项，5243a =-． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设221n n n b a a -=+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【答案】(1)()3nn a =-(2)()3914n n T =⨯-【分析】（1）设{}n a 的公比为()0q q <，由13a 为2a ，3a 的等差中项，可得21116a a q a q =+，求出公比q ，从而可得数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）的结论求出n b ，然后根据等比数列的前n 项和公式即可求解. 【详解】(1)解：设{}n a 的公比为()0q q <， 因为13a 为2a ，3a 的等差中项， 所以1236a a a =+，即21116a a q a q =+，又因为10a ≠，所以26q q =+，即260q q +-=，所以3q =-或2q （舍去）．所以()()55524333n nn n a a q --==-⨯-=-．(2)由（1）得()()22122133nn n n n b a a --=+=-+-=929933n nn-=⨯，所以数列{}n b 是以6为首项，9为公比的等比数列，所以()()619391194n n n T ⨯-==⨯--． 19．设数列{}n a 满足123(21)2n a a n a n ++⋯+-=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和．【答案】(1) 221n a n =-；(2)221n n +. 【解析】（1）利用递推公式,作差后即可求得{}n a 的通项公式.（2）将{}n a 的通项公式代入,可得数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的表达式.利用裂项法即可求得前项和.【详解】（1）数列{}n a 满足()123212=n a a n a n ++⋯+-2n ≥时,()()12132321n a a n a n ++⋯+--﹣＝ ∴()212n n a -= ∴221n a n =- 当1n =时,12a =,上式也成立∴221n a n =- （2）21121(21)(21)2121n a n n n n n ==-+-+-+ ∴数列21n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和1111113352121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭1212121nn n =-=++ 【点睛】本题考查了利用递推公式求通项公式,裂项法求和的简单应用,属于基础题. 20．甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束．除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是．假设各局比赛结果相互独立．（Ⅰ）分别求甲队以3:0,3:1,3:2胜利的概率；（Ⅱ）若比赛结果为求3:0或3:1，则胜利方得3分，对方得0分；若比赛结果为3:2，则胜利方得2分、对方得1分．求乙队得分X 的分布列及数学期望． 【答案】（Ⅰ）827827427 （Ⅱ）79【详解】解法一 （Ⅰ）设甲胜局次分别为,,,,,A B C D E 负局次分别为,,,.A B C D ()()22283:0;33327P P ABC ==⨯⨯=()()()()3:11222212222128;33333333333327P P ABCD P ABCD P ABCD =++=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯= ()()()()3:232112212112122111432.33332333323333227P P ABCDE P ABCDE P ABCDE =⨯+⨯+=⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯= （Ⅱ）根据题意乙队得分分别为0,1,2,3. ()()()881600:31:3;272727P X P P ==+=+= ()()412:3;27P X P ===()()423:2;27P X P ===()()()12133:03:1.27279P X P P ==+=+= 所以乙队得分X 的分布列为1644170123.27272799EX =⨯+⨯+⨯+⨯= 解法二（Ⅰ）记“甲队以3：0胜利”为事件1A ，“甲队以3：1胜利”为事件2A ，“甲队以3：2胜利”为事件3A ，由题意，各局比赛结果相互独立，故3128()()327P A ==，22232228()()(1)33327P A C =-⨯=，122342214()()(1)33227P A C =-⨯=所以，甲队以3：0,3:1,3:2胜利的概率分别是827，827，427； （Ⅱ）设“乙队以3:2胜利”为事件4A ，由题意，各局比赛结果相互独立，所以 122442214()(1)()(1)33227P A C =-⨯-=由题意，随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3，，根据事件的互斥性得1212(0)()()()P X P A A P A P A ==+=+1627=, 34(1)()27P X P A ===, 44(2)()27P X P A ===, (3)P X ==1-(0)P X =(1)P X -=(2)P X -=327=故X 的分布列为所以16443012327272727EX =⨯+⨯+⨯+⨯79=． 【考点定位】本题考查了独立事件互斥事件的识别与概率运算、离散型随机变量的分布列和期望，要注意对不同事件的合理表述，便于书写过程．X 服从于二项分布，可用概率公式进行运算，也可以采用罗列方式进行 ，是对运算能力的常规考查.21．某地投资兴建了甲、乙两个加工厂，生产同一型号的小型电器，产品按质量分为A ，B ，C 三个等级，其中A ，B 等级的产品为合格品，C 等级的产品为不合格品．质监部门随机抽取了两个工厂的产品各100件，检测结果为：甲厂合格品为95件，甲、乙两厂A 级产品分别为20件、25件，两厂不合格品共20件．(1)根据所提供的数据，写出22⨯列联表，并判断是否有95%的把握认为产品的合格率与生产厂家有关？(2)每件产品的生产成本为50元，每件A ，B 等级的产品出厂销售价格分别为100元、80元，C 等级的产品必须销毁，且销毁费用为每件5元．用样本的频率代替概率，试比较甲、乙两厂盈利的大小． 附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++【答案】(1)列联表见解析，有95%的把握认为产品的合格率与生产厂家有关.(2)甲厂盈利大于乙厂的盈利.【分析】（1）根据题设条件得到列联表，利用公式求出2K，从而可得相应的结论. （2）根据题设条件可得甲乙两厂每只产品盈利的分布列，求出其数学期望后可得两厂盈利的大小.【详解】(1)22⨯列联表如下：故()222009515585503.841100100201809K⨯-⨯==>⨯⨯⨯，故有95%的把握认为产品的合格率与生产厂家有关.(2)甲厂A，C等级的产品的概率分别为205,100100即11,520，故B等级产品的概率为753 1004=，设甲每只产品的盈利为X，则X可取50,30,55-，其分布列为：故()131119 50305554204E X=⨯+⨯-⨯=.乙厂A，C等级的产品的概率分别为2515,100100即13,420，故B等级产品的概率为603 1005=，设乙每只产品的盈利为Y，则X可取50,30,55-，其分布列为：故()1338950305545204E Y =⨯+⨯-⨯=. 因为()()E X E Y >， 故甲厂盈利大于乙厂的盈利.22．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足4n n S a =-，数列{}n b 满足13b =，且1n n n b b a +=+． (1)求数列{}n b 的通项公式；(2)设n n c na =，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求n T ．【答案】(1)3172n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)()18482nn T n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭【分析】（1）由题意结合数列11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩作差可得1122n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，再利用累加法求出{}n b ；（2）由题意可得1122n n c n -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，再利用错位相减法求和即可；【详解】(1)解：∵4n n S a =-， 当2n ≥时114n n S a --=-， 两式作差得()12n n n a a a n -=-+≥，即()1122n n a a n -=≥.当1n =时1114a S a ==-，∴12a =， ∴{}n a 为首项为2，公比为12的等比数列，∴1122n n a -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，∴11122n n n b b -+⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，即11122n n n b b -+⎛⎫-=⋅ ⎪⎝⎭，又13b =，∴当2n ≥时，()()()121321n n n b b b b b b b b -=+-+-+⋅⋅⋅+-0121113222222n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111232112n -⎛⎫- ⎪⎝⎭=+⨯-3172n -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当1n =时，1311372b -⎛⎫==- ⎪⎝⎭，∴3172n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭；(2)解：由题意1122n n c n -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭则011111242222n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，①则()121111112*********n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，②①-②得012111111122222222222n nn T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1112221212nnn ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=⨯-⋅ ⎪⎝⎭-()14222n n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，∴()18482nn T n ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，。

20232024学年全国初二上数学人教版期中考试试卷(含答案解析)（考试时间：90分钟，满分：100分）一、选择题（每题2分，共30分）1. （2分）下列选项中，哪一个数是平方根？A. 4B. 4C. √4D. √42. （2分）如果a+b=5，ab=3，那么a²+b²的值是？A. 16B. 18C. 20D. 223. （2分）下列函数中，哪一个是一次函数？A. y=x²B. y=2xC. y=x³D. y=√x4. （2分）下列等式中，哪一个是不等式？A. 2x+3=7B. 3x5>2C. 4x2=8D. 5x+1<35. （2分）在直角坐标系中，点(3,4)位于第几象限？A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限6. （2分）下列哪个比例是正确的？A. 3:6=9:12B. 4:8=6:12C. 5:10=8:15D. 7:14=10:207. （2分）如果|a|=3，那么a的值可能是？A. 3B. 3C. 0D. 6二、判断题（每题1分，共20分）8. （1分）所有的偶数都是整数。

（）9. （1分）所有的质数都是奇数。

（）10. （1分）如果a>b，那么a²>b²。

（）11. （1分）平行线的斜率相等。

（）12. （1分）直角三角形的两个锐角互余。

（）13. （1分）任何两个正数都有最大公约数。

（）14. （1分）负数没有平方根。

（）三、填空题（每空1分，共10分）15. （1分）若3x5=14，则x=______。

16. （1分）若a:b=3:4，且a=9，则b=______。

17. （1分）在直角三角形中，若一个锐角为30°，则另一个锐角为______°。

18. （1分）若|a|=5，则a的值为______或______。

19. （1分）若x²5x+6=0，则x的值为______或______。

高一数学期中考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∪B的值。

A. {1,2,3}B. {1,2,3,4}C. {2,3}D. {1,4}2. 函数f(x)=2x^2-3x+1在区间[-1,2]上的最大值是多少？A. 1B. 5C. 7D. 93. 已知等差数列的首项a1=3，公差d=2，求第10项的值。

A. 23B. 25C. 27D. 294. 一个圆的半径为5，求其面积。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π5. 已知直线y=-3x+5与x轴的交点坐标是什么？A. (0, 5)B. (1, 2)C. (5/3, 0)D. (0, 0)6. 已知sin(α)=3/5，α∈(0,π)，求cos(α)的值。

A. 4/5B. -4/5C. √(1-(3/5)^2)D. -√(1-(3/5)^2)7. 一个函数f(x)是奇函数，且f(1)=2，求f(-1)的值。

A. 2B. -2C. 0D. 18. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。

A. 5B. 7C. 8D. 99. 已知一个函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求f(2)的值。

A. -2B. 0C. 2D. 410. 已知一个等比数列的首项a1=2，公比q=3，求第5项的值。

A. 162B. 243C. 486D. 729二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求对称轴的方程。

___________________________12. 已知等比数列的前n项和为S_n=3^n-1，求首项a1。

___________________________13. 已知正弦定理公式为a/sinA=b/sinB=c/sinC，求三角形ABC的面积，已知a=5，sinA=3/5。

___________________________14. 已知某函数的导数f'(x)=6x^2-4x+1，求f'(1)的值。

2019-2020学年北京市中国人民大学附属中学高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知0a b <<.下列不等式恒成立的是( ) A ．0a b +< B ．1a b< C ．1b a> D ．11a b> 【答案】B【解析】给a,b 赋值，判定选项，得答案. 【详解】因为0a b <<，所以令1,1a b =-= A 选项110a b +=-+=，错误；B 选项11ab =-<，正确； C 选项11ba=-<，错误；D 选项1111a b=-<=，错误. 故选：B 【点睛】本题考查不等式的基本性质，可以利用性质变换，也可以用赋值法直接判定，基础题. 2．等差数列{}n a 中，21a =，45a =，则公差d 等于( ) A ．2 B ．12C ．43D ．34【答案】A【解析】由等差数列的性质()m n a a m n d =+-，构建方程，解得答案.【详解】由等差数列的性质可知：422125a a d d =+=+= 所以2d =. 故选：A 【点睛】本题考查等差数列的基本性质，属于基础题.3．椭圆22:143x y C +=的焦距和离心率分别为( )A ．2和14B ．1和14C ．2和12D ．1和12【答案】C【解析】由椭圆的标准方程得,,a b c 的值，代入焦距和离心率的表达式，得答案. 【详解】因为椭圆22:143x y C +=，所以2,a b ==，所以1c =故焦距22c =，离心率12c e a ==. 故选：C 【点睛】本题考查椭圆的简单几何性质，属于基础题.4．等比数列{}n a 中，39a =，51a =，则6a 的值为( ) A ．13B ．13-C ．13±D ．19【答案】C【解析】由等比数列通项公式，由已知求得公比，再由等比数列的性质求得答案. 【详解】由题可知23145191a a q a a q ⎧==⎨==⎩，得211,93q q ==±，所以5613q a a ==±. 故选：C 【点睛】本题考查等比数列求项，涉及等比数列通项公式和性质的应用，属于简单题.5．若双曲线221(0)x y a a-=>的实轴长为2，则其渐近线方程为( )A．y = B．2y x =±C ．12y x =±D ．y x =±【答案】D【解析】由双曲线性质得a ，表示双曲线标准方程，表示渐近线方程即可. 【详解】因为实轴长为2，所以1a =，所以双曲线为221x y -=所以渐近线方程为y x =±. 故选：D 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，涉及实轴和求渐近线方程，属于基础题. 6．已知Rt ABC V 的斜边长为2.则下列关于ABC V 的说法中，正确的是( )A ．周长的最大值为2+B ．周长的最小值为2+C ．面积的最大值为2D ．面积的最小值为1【答案】B【解析】因为Rt ABC V ，由勾股定理可构建关系式，由基本不等式得到两直角边乘积的最大值，和周长的最小值，既得答案. 【详解】设c 为斜边，所以2224a b c +==，由基本不等式可知2242,2a b ab ab =+≥≤当且仅当a b ==所以a b +≥≥ 由面积公式112S ab =≤，故面积的最大值为1，所以C ，D 选项错误；由周长公式2C a b c =++≥，故周长的最小值为2+. 故选：B 【点睛】本题考查基本不等式在三角形的周长和面积上应用，属于中档题7．已知抛物线22(0)x py p =>的准线被双曲线22132x y -=截得的弦长为6，则该抛物线的焦点坐标是( ) A ．10,32⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．(0,32)C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．(0,2)【答案】D【解析】由抛物线的准线被双曲线截得的弦长，可表示准线与双曲线的交点坐标，代入即可得到p 值，即可表示抛物线的焦点坐标. 【详解】因为抛物线22(0)x py p =>的准线被双曲线22132x y -=截得的弦长为6所以该准线与双曲线的一个交点坐标表示为3,2p ⎛⎫- ⎪⎝⎭，代入双曲线中2232132p ⎛⎫- ⎪⎝⎭-= 得4p =，所以焦点坐标为()0,2故选：D 【点睛】本题考查抛物线准线与双曲线的相交问题，多见于表示交点坐标，进而求参解决问题，属于中档题.8．已知平面区域330:3300x y x y y -+≥Ω+-≤≥⎪⎩，若圆()()222:(0)C x a y b r r -+-=>与x轴和直线3(1)y x =+均相切，且圆心C ∈Ω，则222ab r a b++的最小值为( ) A ．0 B 33+C ．122- D ．122【答案】C【解析】由约束条件画出可行域，为一个等边三角形，那么圆C 与x 轴和直线3(1)y x =+均相切，则圆心在NMQ ∠的角平分线MP 上移动，且b r =，代入所求关系式中，化简后令OC bk k a==转化到斜率，利用求函数最值的方式，借助双勾函数求得最小值. 【详解】做出约束条件330 :33x yx yy⎧-+≥⎪⎪Ω+-≤⎨≥⎪⎩的可行域如图MNQ△，为一个等边三角形因为3(1)y x=+就是图像中的直线MQ，又因为圆()()222:(0)C x a y b r r-+-=>与x轴和直线3(1)y x=+均相切故其圆心C应在NMQ∠的角平分线MP上移动，且b r=，所以2222221bab r ab b aa ba b a bb a+++==+++，令OCbk ka==，因为圆心C∈Ω，所以0OMk k<=或3OPk k≥=则()()() 2222211111111211212121 ab r k k ka b k k kk kk k ++--==+=+=+++-+-++-++-令())1,,131,t k t U⎡=-∈-∞-+∞⎣，则2221122ab ra b tt+=++++令2m tt=+，则由双勾函数可知(),2222,m U⎡∈-∞-+∞⎣则12222222m∈⎢+-++⎣故2221112222222ab ra b m+⎡=+∈+⎢++-++⎣即2221212,22ab ra b⎡++∈⎢+⎣⎦，所以222ab ra b++的最小值为122.故选：C【点睛】本题考查求函数最值问题，其中涉及线性规划作图分析，非线性的斜率问题，双勾函数值域，还考查了不等式的简单性质，属于难题.二、多选题9．下列结论中，所有正确的结论有( ) A ．若22a b c c>，则22a c b c ->- B ．若,,a b R +∈，则a m ab m b+>+ C ．当(0,)x π∈时 ，1sin 2sin x x+≥ D ．若*,a b R ∈，1a b +=，则114a b+≥【答案】ACD【解析】A 选项由不等式的基本性质判定； B 选项赋特值判定； C 选项由基本不等式判定； D 选项因为1a b +=，则()1111a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，化简后由基本不等式判定. 【详解】 A 选项因为22a b c c>，则a b >，不等式两边同减不等号不变，所以22a c b c ->-成立，正确；B 选项赋特值，若1,4,1a b m ===-，左边=11041a m b m +-==+-，右边=14a b =，显然左边<右边，错误；C 选项因为(0,)x π∈，则(]sin 0,1x ∈，由基本不等式可知当且仅当sin 1x =时，1sin 2sin x x+≥成立，正确； D 选项因为1a b +=，则()11112a b a b a b a b ba⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，又*,a b R ∈，所以由基本不等式11224a b a b b a +=++≥+=，当且仅当12a b ==时，取等号，正确.故选：ACD 【点睛】本题考查基本不等式的应用，主要是使用的限制和等式的转化，还考查了不等式的简单性质，属于中档题.10．已知数列{}n a ，{}n b 均为递增数列，{}n a 的前n 项和为n S ，{}n b 的前n 项和为n T .且满足12n n a a n ++=，12(N)nn n b b n +⋅=∈，则下列说法正确的有( )A ．101a << B．11b <<C ．22n n S T <D ．22n n S T ≥【答案】ABC【解析】数列{}n a 中12n n a a n ++=，()122122n n a a n n +++=+=+，两式相减得22n n a a +-=，所以数列{}n a 为隔项以2为公差的等差数列形式；数列{}n b 中12n n n b b +⋅=，1122,n n n b b +++⋅=，两式相除得22n nb b +=，所以数列{}n b 为隔项以2为公比的等比数列形式；A 选项中分别用1a 表示23,a a ，由数列{}n a 为递增数列，构建不等式组，解得答案，正确；B 选项中分别用1b 表示23,b b ，由数列{}n b 为递增数列，构建不等式组，解得答案，正确；因为CD 选项中只有一个正确，先利用分组求和，表示22,n n S T ，再取特值分别计算确切值，利用基本不等式比较得答案. 【详解】数列{}n a 中12n n a a n ++=，()122122n n a a n n +++=+=+，两式相减得22n n a a +-= 所以数列{}n a 为隔项以2为公差的等差数列形式； 数列{}n b 中12nn n b b +⋅=，1122,n n n b b +++⋅=，两式相除得22n nb b += 所以数列{}n b 为隔项以2为公比的等比数列形式；A 选项因为12n n a a n ++=，所以122324a a a a +=⎧⎨+=⎩即213224a a a a =-⎧⎨=-⎩，又数列{}n a 为递增数列，所以21132224a a a a a a =->⎧⎨=->⎩即112122a a a <⎧⎨-=<⎩，所以101a <<，正确；B 选项因为12nn n b b +⋅=，所以311222b b b b ⎧=⎪⎨⎪⋅=⎩即312122b b b b=⎧⎪⎨=⎪⎩，又数列{}n a 为递增数列，所以2111321121131120221122b b b b b b b b b b b b b ⎧=>⎪⎪>⎧⎪>⇒>⇒⇒<<⎨⎨<<⎩⎪⎪=>⎪⎩因为()()123421213212224n n n n n a a a a a a a a a a a a S L L L --=++++++=+++++++ ()()()221212112222222n n n n na na n a a n n n --⎛⎫⎛⎫=+⋅++⋅=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()123421213212224n n n n n b b b b b b b b b b b b T L L L --=++++++=+++++++ ()()()()12121212211212n n n b b b b --=+=-+--因为CD 选项中只有一个正确，取特值，当3n =时，2622672n S S ==⨯=()()()6121226621636372n b b b b T S T ==-+=+≥⨯=>=所以C 选项正确，D 选项错误. 故选：ABC 【点睛】本题考查数列的综合问题，涉及由递推公式确定数列关系，递增数列的性质，分组求和求前n 项和，还考查了基本不等式与数列的综合问题，属于难题.11．已知点P 是双曲线22:1169x y E -=的右支上一点，12F F 双曲线E 的左、右焦点，12PF F △的面积为20，则下列说法正确的有( )A ．点P 的横坐标为203B ．12PF F △的周长为803C ．12F PF ∠小于3π D ．12PF F △的内切圆半径为32【答案】ABCD【解析】在焦点三角形中利用1212211222tan2P P F F PF F b S c y r C V V θ=⋅==⋅⋅三种表达形式，可判定ACD 选项正确，由两点间的距离公式表示2PF ，利用双曲线的定义表示1PF ，从而表示12PF F △的周长，即可判定B 选项正确.【详解】因为双曲线22:1169x y E -=，所以1695c =+=又因为12112102022P P F P F S c y y V =⋅=⋅⋅=，所以4P y = 将其代入22:1169x y E -=得2241169x -=，即203x =，所以选项A 正确； 所以P 的坐标为20,43⎛⎫± ⎪⎝⎭，由对称性可知22220135433PF ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭, 由双曲线定义可知1213372833PF PF a =+=+=所以1212133721038033PF F C PF PF c V =++=++=，所以选项B 正确；因为122920tantan22PF F b S V θθ===，所以93tantan 2206θπ=<=， 即26θπ<，所以123F PF πθ∠=<，所以选项C 正确； 因为1212180122320PF F PF F S r C r V V =⋅⋅=⋅⋅=，所以32r =，所以选项D 正确.故选：ABCD 【点睛】本题考查双曲线的焦点三角形问题，主要涉及面积公式的变形应用和双曲线的定义使用，属于难题.三、填空题12．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若56S =-，615S =，则5a =______. 【答案】13.6【解析】在等差数列中由前n 项和公式，将已知转化为首项和公差，再带入通项公式中，求得答案. 【详解】在等差数列中()()5116115515510626616615152S a d a d S a d a d ⎧-=+⋅=+=-⎪⎪⎨-⎪=+⋅=+=⎪⎩，得1167.4a d =-⎧⎨=⎩，所以51413.6a a d =+=. 故答案为：13.6 【点睛】本题考查等差数列中知三求二，由已知转化为首项和公差，进而表示所求问题，属于简单题.13．已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线为2y x =，则双曲线的离心率为________.【解析】试题分析：根据双曲线的渐近线的方程知2ba=即c ==，所以此双曲线的离心率ce a==. 【考点】双曲线的标准方程、渐近线方程和离心率.14．等比数列{}n a 中，11a =，且2436a a a +=，则5a =________. 【答案】4【解析】在等比数列中，将已知转化为首项和公比求得2q ，再将其带入通项公式中，求得答案. 【详解】因为11a =，所以在等比数列中32422431116a a a a q a q a q q q +=⋅+=+=所以22q =或-3（舍），故425124a a q ===故答案为：4 【点睛】本题考查等比数列中知三求二，由已知转化为首项和公比，进而表示所求问题，属于简单题.15．已知(2,2)A --，(0,2)B ，(2,0)C ，则表示ABC V 内部区域（含边界）的不等式组为______.【答案】22020220x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩【解析】由已知点构建可行域，由两点式或点斜式表示边界直线方程，再由特殊点确定不等式组，得答案. 【详解】由已知三点可构建图像，表示ABC V 内部区域（含边界）可分别表示直线方程222:220020AB y l x y x ---=⇒-+=---；():0220BC l y x x y -=--⇒+-=；020:220222AC y l x y x ---=⇒--=--- 由于原点(0,0)O 在该区域内，故可判定该范围的不等式组：22020220x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩故答案为：22020220x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩【点睛】本题考查由线性规划的可行域逆向表示约束条件的不等式组，属于中档题.16．已知直线:L y x t =-与抛物线2:4C y x =交于,A B 两个不同点，O 为坐标原点，若3OA OB ⋅=-u u u r u u u r，则t 的值为_______. 【答案】1或3【解析】联立直线方程和抛物线方程，由韦达定理表示两根乘积的关系，因为需有两个交点需满足判别式大于零，求出一个参数的限制条件，将x ，y 的是两个乘积关系，代入已知OA OB ⋅u u u r u u u r中解得答案. 【详解】设交点()()1122,,,A x y B x y ，联立方程组24y x t y x=-⎧⎨=⎩，得()22240x t x t -++=因为()222440t t V =+->，即1t >-则1221224x x t x x t +=+⎧⎨⋅=⎩，所以()()()2121212124y y x t x t x x t x x t t ⋅=--=⋅-++=- 所以2121243OA OB x x y y t t u u u r u u u r⋅=⋅+⋅=-=-，即1t =或3，符合0>V故答案为：1或3 【点睛】本题考查直线与抛物线相交关系的问题，常见于联立方程组，表示韦达定理，根据已知向量关系构建方程解决问题，属于中档题.17．已知数列{}n a 满足21k k a a d +-=（d 为常数，1,2k n =⋯，*N n ∈，3n ≥），给出下列四个结论：①若数列{}n a 是周期数列，则周期必为2：②若0d =，则数列{}n a 必是常数列：③若0d >，则数列{}n a 是递增数列：④若0d <，则数列{}n a 是有穷数列，其中，所有错误结论的序号是________. 【答案】①②③④【解析】①当周期为2时31a a =，由21k k a a d +-=表示前三项的关系，整理证得121a a +=-，与实际矛盾，错误；②若0d =，举特例12a =，观察显然不是常数列，错误； ③赋特值1a 1,d 2==，求得2a =④赋特值111,24a d ==-，求得212a =，是无穷数列，错误.【详解】①令周期2T =，则31a a =由题可知221232a a d a a d⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，则223221a a a a -=-，即221221a a a a -=-因为()()1212222121a a a a a a a a -=-⋅+=-整理得()()121210a a a a -⋅++=，得121a a +=-，矛盾，所以错误；②若0d =，2110,k k k a a a ++-=显然，可以是，不是常数列，所以错误；③令1a 1,d 2==，由21k k a a d +-=可知2a ==当2a = ④当111,24a d ==-时，有212a ==± 当212a =，则以后各项都可以为12，是无穷数列，所以错误.故答案为：①②③④ 【点睛】本题考查数列的新定义问题，关键在于理解定义表达式，常运用赋值法处理，属于难题.18．已知椭圆2212x y +=上存在相异两点关于直线y x t =+对称，请写出两个符合条件的实数t 的值______． 【答案】0或12（答案不唯一在33t -<<内任取两个实数） 【解析】由对称性可知，线段AB 被直线y x t =+垂直平分，则AB 的中点M 在直线y x t =+上，且1AB k =-，设直线AB 的方程y x b =-+，联立直线AB 的方程和椭圆方程，由韦达定理表示中点M 的坐标，由相交于相异两点，可由判别式得到b 的取值范围，由M 在直线y x t =+上，用b 表示t ，则任取范围内两个实数即可. 【详解】设2212x y +=上存在关于直线y x t =+对称的两点()()1122,,,A x y B x y 由对称性可知，线段AB 被直线y x t =+垂直平分， 则AB 的中点()00,M x y 在直线y x t =+上，且1AB k =- 故可设直线AB 的方程为：y x b =-+联立方程：22223422012y x b x bx b x y =-+⎧⎪⇒-+-=⎨+=⎪⎩由韦达定理可知：()12121243223b x x b y y b x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=-+=⎪⎩，即中点M 的坐标为2,33b b ⎛⎫⎪⎝⎭ 由()221612220b b V=-->，得b <<因为M 在直线y x t =+上，所以233333b t t b b t =+⇒=-⇒-<<任取0t =或12（答案不唯一，在33t <<内的任意两个实数均可） 【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系的综合应用，涉及对称性的性质，属于难题.19．已知*111()1(N )23f n n n=++++∈L L .用数学归纳法证明()22n nf >，请补全证明过程：(1)当1n =时，()1112122f =+>；(2)假设n k =时命题成立，即()22k k f >，则当1n k =+时，()()122k kf f +=+______12k +>，即当1n k =+时，命题成立.综上所述，对任意*N n ∈，都有()22nn f >成立.【答案】111121222kk k L ++++++ 【解析】由已知得1111(2)1232kk f k L L =++++++，进而()1111111112123221222k k k k k f k L L L ++=++++++++++++()1111221222k k k k f L +=++++++，既得答案.【详解】因为*111()1(N )23f n n n =++++∈L L 所以1111(2)1232nn f n L L =++++++所以当n k =时，1111(2)12322kk k f k L L =++++++>当1n k =+时，()1111111112123221222k k kk k f k L L L ++=++++++++++++ ()111112212222k k k k k f L ++=++++>++故答案为：111121222kk k L ++++++ 【点睛】本题考查数学归纳法由第k 项到k +1项，注意已知表达式的使用，属于难题.20．曲线E 是平面内到定点(1,0)A 的距离与到定直线1x =-的距离之和为8的动点P 的轨迹，则点P 的横坐标x 的取值范围是_______；曲线E 上的点到原点的最小距离是________.【答案】[]5,3- 3【解析】①由题表示曲线E 的方程，由去绝对值符号分段表示曲线方程，令0y =，得到图像的端点值，既得答案；②利用两点间的距离表示曲线E 上的点到原点的距离，结合①中的分段曲线表达式代入距离公式中，再由二次函数求得最小值. 【详解】①设动点(),P x y ，由题可得()22118x y x -+++=，所以()22181x y x -+=-+两边同时平方并化简得：221648,11680,1y x x y x x ⎧=-+≥-⎨=+<-⎩，所以0,3,10,5,1y x x y x x ==≥-⎧⎨==-<-⎩ 所以[]5,3x ∈-；②当[]13,x ∈-时，2221648o E d x y x x -=+=-+令()21648g x x x =-+，其在[]13,x ∈-上单调递减， 所以()()min 2min 16343383o E d g x g --⨯=+===当[)5,1x ∈--时，2221680o E d x y x x -=+=++显然，当4x =-时，min3o Ed -==>综上所述，曲线E 上的点到原点的最小距离是3. 【点睛】本题考查曲线与方程的综合问题，涉及不标准的抛物线方程表示，以及圆锥曲线中的距离最值问题，属于难题.四、解答题21．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已如11S =,23S =,nn S b n=. (1)求n a 和n S ；(2）证明：对任意*N n ∈，1n b ≥. 【答案】（1）1112n n n a a q --==；()()()1111221,112nnnn a q S n N q+--===-∈--（2）见解析.【解析】（1）在等比数列中，由n S 定义，表示12,a a ，从而得到公比q ，再将其带入通项公式和等比数列前n 项和公式中，求得n a 和n S ；（2）由（1）可知{}n b 的通项公式，作差讨论，得其是递增数列，表示n b 的最小值，其恰好等于1，即得证；也可以是使用求导法和数学归纳法证明. 【详解】（1）因为111a S ==，221312a S S =-=-=，所以等比数列{}n a 的公比2q =所以1112n n n a a q --==，因为1q ≠，所以()()()1111221,112nnnn a q S n N q+--===-∈--；（2）证明：由（1）可知21n n n S b n n-==所以()()11211212111nn n n n n b b n n n n ++-+---=-=++ 因为n N +∈，显然10n n b b +->，所以{}n b 是递增数列， 即min112111n b b -===，故1n b ≥.【点睛】本题考查数列的综合问题，涉及等比数列求通项公式，数列中联系函数思想证明不等式，属于较难题.22．某商家耗资4500万元购进一批VR （虚拟现实）设备，经调试后计划明年开始投入使用，由于设备损耗和维护，第一年需维修保养费用200万元，从第二年开始，每年的维修保并费用比上一年增40万元.该设备使用后，每年的总收入为2800万元. (1)求盈利额y （万元）与使用年数x 之间的函数关系式；(2)该设备使用多少年，商家的年平均盈利额最大？最大年平均盈利额是多少？ 【答案】（1）22026204500y x x =-+-；（2）15年；2020万元.【解析】（1）由等差数列求和公式表示总保养费，再由盈利额等于总收入减去总保养费再减去购买设备的资金构建关系式；（2）表示年平均盈利额的表达式，利用基本不等式求最值，得答案. 【详解】（1）由题可知每年的保养费是以200万元为首项，40万元为公差，逐年递增的等差数列形式，所以x 年的总保养费()2120040201802x x x S x x x -=+⋅=+万元，x 年的总收入为2800x 万元，所以盈利额()2228004500202620450080210x x x y x x =--=-+-+ 故关系式为22026204500y x x =-+-；（2）由（1）可知年平均盈利额220262045004500202620y x x Z x x x x-+-===--+由基本不等式可知450020600x x +≥=，当且仅当15x =时取等号， 所以450020262060026202020Z x x=--+≤-+= 故该设备使用15年，商家的年平均盈利额最大，最大年平均盈利额是2020万元. 【点睛】本题考查了函数的实际应用，根据实际构建函数模型，其中涉及等差数列求和，基本不等式求最值，属于较难题.23．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的离心率为12，过右焦点(1,0)F 作两条互相垂直的直线12,L L ，分别交椭圆E 于A B 、和C D 、四点.设AB CD 、的中点为M N 、. (1)求椭圆E 的方程；(2)直线MN 是否经过定点？若是，求出定点坐标；若否，请说明理由.【答案】（1）22143x y +=；（2）直线MN 经过定点，定点坐标为4,07⎛⎫ ⎪⎝⎭，理由见解析. 【解析】忘记书写（1）根据题意确定出c 与e 的值，利用离心率公式求出a 的值，进而求出b 的值，代入椭圆方程得答案；（2）由直线AB 与CD 斜率存在，设为k ，表示出AB 方程，设出A 与B 坐标，进而表示出M 的坐标，联立直线AB 与椭圆方程，消去y 得关于x 的一元二次方程，利用韦达定理表示出M ，同理表示N ，根据M ,N 的横坐标相同求出k 的值，得到此时MN 斜率不存在，直线恒过定点；若直线MN 斜率存在，表示MN 的斜率，进而表示直线MN 的方程，令0y =，求出x 的值，得到直线MN 恒过定点；显然直线AB 或CD 斜率不存在，也成立，综上，得到直线MN 恒过定点，求出坐标即可. 【详解】（1）因为椭圆的右焦点(1,0)F ，所以1c =， 又离心率12c e a ==，所以2a =，即b =故椭圆E 的方程为22143x y +=（2）当直线AB 和CD 斜率存在时设直线AB 方程为：()1y k x =-，再设()()1122,,,A x y B x y则有中点1212,122x x x x M k ⎛++⎫⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 联立方程()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()22223484120k x k x k +-+-=由韦达定理得： 2122834k x x k +=+，所以M 的坐标为22243,3434k k k k⎛⎫- ⎪++⎝⎭将上式中的k 换成1k -，同理可得N 的坐标为2243,4343k k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭若222443443kk k=++，即1k=±，43,77M⎛⎫±⎪⎝⎭，此时直线MN斜率不存在，直线过定点4,07⎛⎫⎪⎝⎭；当1k≠±时，即直线MN斜率存在，则()32222422332121213443441211213443MNk kk k kk kkk kkk k-----++===⋅---++直线MN为22232144312143k ky xk k k-⎛⎫-=⋅-⎪+-+⎝⎭令0y=，得()()22222733412144437437743kkxk k k+--=+⋅=⋅=+++此时直线MN过定点4,07⎛⎫⎪⎝⎭显然当直线AB或CD斜率不存在时，直线MN就是x轴，也会过4,07⎛⎫⎪⎝⎭综上所述：直线MN经过定点，定点坐标为4,07⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题考查椭圆与直线位置关系的综合应用，求椭圆方程应由已知转化求得，几何关系证明应表示所需要证明的关系，注意运算技巧，属于难题.24．正整数数列{}n a的前n项和为n S，前n项积n T，若*N(1,2,)iiTi nS∈=L，则称数列{}n a为“Z数列”.(1)判断下列数列是否是Z数列，并说明理由；①2，2，4，8；②8，24，40，56(2)若数列{}n a是Z数列，且22a=.求3S和3T；(3)是否存在等差数列是Z 数列？请阐述理由. 【答案】(1) ①是；②不是；理由见解析；（2）33816S T =⎧⎨=⎩或331648S T =⎧⎨=⎩；（3）存在.【解析】(1)根据新定义的Z 数列，需要满足*N (1,2,)i iT i n S ∈=L ，所以分别计算两个数列的i T ，i S ，相比观察得答案； (2)由Z 数列的定义可知**2233,N N T T m n S S =∈=∈，分别表示13,a a ，由正整数数列可分别求得,m n ，即得13,a a ，从而得答案；(3) 假设存在这样的等差数列是Z 数列，且此数列是特殊的常数列，则至少三项，分别表示所以22*2222,N 3T p S a p p q T a q qS ⎧=⎪=⎧⎪⇒∈⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩，所以a 是2和3的公倍数，令1236,6,6a a a ===，显然该等差数列是Z 数列，所以存在；此后类比推理，可到n项. 【详解】(1) ①由题可知，此时有该数列满足*N (1,2,)iiT i n S ∈=L ，所以是Z 数列； ②同理可得：该数列中*33N T S ∉，所以不是Z 数列. (2) 因为数列{}n a 是Z 数列，那么()121121**123131231322,N ,N 22a a a m a a a m n a a a a a n a a a a a ⋅⎧==⎪++⎪∈∈⎨⋅⋅⋅⎪==⎪++++⎩，则1322442m a m n a m n mn ⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-+⎩ 又因为数列{}n a 是正整数数列，若*1N a ∈，则11,2m a ==，所以*344424N n n a m n mn n =+-Î=-，则324n a =⎧⎨=⎩或3312n a =⎧⎨=⎩ 当1324a a =⎧⎨=⎩时，31233123816S a a a T a a a =++=⎧⎨=⋅⋅=⎩；同理当13212a a =⎧⎨=⎩时，331648S T =⎧⎨=⎩ 故33816S T =⎧⎨=⎩或331648S T =⎧⎨=⎩ (3) )假设：存在这样的等差数列是Z 数列，且此数列是特殊的常数列，则至少三项所以222*1232122222=1,,N 333T a a p S a a p T a p q a q S a T a a q S a ⎧===⎪=⎧⎪=⇒∈⎨⎨=⎩⎪===⎪⎩，所以a 是2和3的公倍数 令1236,6,6a a a ===，显然该等差数列是Z 数列，所以存在；同理，如果是四项，则需满足每项是2，3，4的公倍数，如12，12，12，12如此类推的有限等差数列，可以有无穷多个，且当为n 项时，则各项为2,3,4,n L 的公倍数故存在等差数列是Z数列.【点睛】本题考查数列的新定义问题，关键在于理解定义，充分体现数学中的转化思想，还考查了借助反证法特殊化证明命题，属于难题.。