地下水建模方法和步骤
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第三讲 地下水数值模拟原理及建模方法和步骤_xiugai
➢ 方法二．在渗流区剖分的基础上，直 接由达西定律和水均衡原理，建立各 个均衡区的水均衡方程，从而得到差 分方程。适用于矩形网格、三角形网 格。
矩形网格 多边形网格
方法一：差商代替微商
1、网格划分的基本类型
（1）先划格线，格点位
均
于网格中心
衡
网
格
（2）先规定格点位置，
再垂直平分两相邻结点的连
节
线作格线，形成的网格即为 水均衡区
H (x0
x, t0 )
2H (x0 , t0 ) (x)2
H (x0
x, t0 )
一维控制方程差分格式
方法一
控制方程
T
2h( x, t ) x2
h( x, t ) t
网格剖分nx个
显式差分格式
H (x0 x, t0 ) 2H (x0 , t0 ) H (x0 x, t0 ) H (x0 , t0 t) H (x0 ,t0 )
(x) 2
t
Hn i 1
2
H
n i
Hn i 1
(x)2
H
n1 i
H
n i
t
i 2,3,, nx 1
隐式差分格式
H (x0 x, t0 t) 2H (x0 , t0 t) H (x0 x, t0 t) H (x0 , t0 t) H (x0 , t0 )
(x) 2
t
H n1 iБайду номын сангаас1
数值方法很多，但是最简单实用的是有限差分法：
✓ 有限差分法
✓ 有限单元法
✓ 积分有限差分法
✓ 半解析半数值法
✓ 边界元法
✓ 有限体积法
只讲有限差分法
一、有限差分法的基本原理
矩形网格 多边形网格
方法一：差商代替微商
1、网格划分的基本类型
（1）先划格线，格点位
均
于网格中心
衡
网
格
（2）先规定格点位置，
再垂直平分两相邻结点的连
节
线作格线，形成的网格即为 水均衡区
H (x0
x, t0 )
2H (x0 , t0 ) (x)2
H (x0
x, t0 )
一维控制方程差分格式
方法一
控制方程
T
2h( x, t ) x2
h( x, t ) t
网格剖分nx个
显式差分格式
H (x0 x, t0 ) 2H (x0 , t0 ) H (x0 x, t0 ) H (x0 , t0 t) H (x0 ,t0 )
(x) 2
t
Hn i 1
2
H
n i
Hn i 1
(x)2
H
n1 i
H
n i
t
i 2,3,, nx 1
隐式差分格式
H (x0 x, t0 t) 2H (x0 , t0 t) H (x0 x, t0 t) H (x0 , t0 t) H (x0 , t0 )
(x) 2
t
H n1 iБайду номын сангаас1
数值方法很多，但是最简单实用的是有限差分法：
✓ 有限差分法
✓ 有限单元法
✓ 积分有限差分法
✓ 半解析半数值法
✓ 边界元法
✓ 有限体积法
只讲有限差分法
一、有限差分法的基本原理
地下水模拟技术及应用培训(3)
研究区的边界可以用最接近它 的格线近似表示。
当网格划分得足够小时，曲折 的格线也能够很好地刻画出边 界的形状。
通常，有限差分法用矩形网格 剖分。X和Y方向的空间步长分 别为：x、y。
h2
4
P1 T
h1
h2
4
P2 T
天然条件下，P1＝P2＝0，得： h1=4m, h2=8m
设定流量抽水P1＝P2＝20000m3，得： h1=2m, h2=4m
实际工作中，可以将网格剖分的足够小，以满足对 精度的要求。
二 维 矩 形 网 格 剖 分
以二维矩形剖分为例，运用质量守恒原理和达西定律， 可以推导出每一个矩形单元的均衡方程。
题解：设两个单元的问题水位分别为h1和h2，根据质量守恒 原理和达西定律，建立两单元的均衡方程如下：
W
T
(h2
L
h1 )
W
T
(h1 0) L2
N
L W
P1
0
W
T
(h1
h2 ) L
N
L
W
P2
0
给定上例具体数据：L=W=10000m，N=0.4mm/d，
T=10000m2/d ，
得：
3h1
中科院计算所培训
地下水数值模拟技术与应用 第三讲 地下水建模方法和步骤
主要内容
2.1 地下水模型概述 2.2 一个简单的算例-2单元模型 2.3 求解地下水运动方程的数值方法 2.4 水文地质概念模型 2.5 建模步骤（以水量模型为例） 2.6 模型应用（主要以水量模型为例）
2.1 地下水模型概述
k
xy
t
S
hk 1 i, j
hik,
j
xy
当网格划分得足够小时，曲折 的格线也能够很好地刻画出边 界的形状。
通常，有限差分法用矩形网格 剖分。X和Y方向的空间步长分 别为：x、y。
h2
4
P1 T
h1
h2
4
P2 T
天然条件下，P1＝P2＝0，得： h1=4m, h2=8m
设定流量抽水P1＝P2＝20000m3，得： h1=2m, h2=4m
实际工作中，可以将网格剖分的足够小，以满足对 精度的要求。
二 维 矩 形 网 格 剖 分
以二维矩形剖分为例，运用质量守恒原理和达西定律， 可以推导出每一个矩形单元的均衡方程。
题解：设两个单元的问题水位分别为h1和h2，根据质量守恒 原理和达西定律，建立两单元的均衡方程如下：
W
T
(h2
L
h1 )
W
T
(h1 0) L2
N
L W
P1
0
W
T
(h1
h2 ) L
N
L
W
P2
0
给定上例具体数据：L=W=10000m，N=0.4mm/d，
T=10000m2/d ，
得：
3h1
中科院计算所培训
地下水数值模拟技术与应用 第三讲 地下水建模方法和步骤
主要内容
2.1 地下水模型概述 2.2 一个简单的算例-2单元模型 2.3 求解地下水运动方程的数值方法 2.4 水文地质概念模型 2.5 建模步骤（以水量模型为例） 2.6 模型应用（主要以水量模型为例）
2.1 地下水模型概述
k
xy
t
S
hk 1 i, j
hik,
j
xy
地下水数值模拟模型简介
Problems about GW Development
Functions of GW
An Important Water Supply for Human An Important Environmer Shortage Ecologic problems Saline soil Sea Water Intrusion Land Subsidence Groundwater Contamination ……
基 本 思 路
运用地下水模型计算各组参数情况下地下水位（hsij)
根据目标函数评价各组参数值的优劣
输出结
Y
两次迭代的差足够小？
N
考虑到变量上下限等约束，根据一定的准则， 生成新的N组参数
确定决策变量、目 标函数和约束条件
研究工作区 水文地质条件
产生初始种群N 建立水文地质 概念模型
编
码
求解水均衡约束： W(X,)=0 得到地下水系统状 态
Calibration of the Model
目标：使模拟期内所有观测点的水位误差的平方和最小。 变量： Sk、Kk (k=1,…,L) 约束：
各参数分区参数的上下限约束 连续性方程约束
m n
2 obj . z ( hs hr ) ij ij j 1 i 1
s .t.
Groundwater Model_Math Model
Mass Balance
Q Q Q input output
Darcy’s Law
dh q K dl
Boundary Conditions
First Type Second Type Mixed Type
地下水资源开发与管理中的地下水数值模拟研究
地下水资源开发与管理中的地下水数值模拟研究地下水资源是人类生存和发展的重要水源之一。
地下水数值模拟作为地下水资源开发与管理的重要工具，可以对地下水流动和水质分布进行预测和评估，为决策提供科学依据。
本文将探讨地下水数值模拟在地下水资源开发与管理中的研究内容和应用案例。
一、地下水数值模拟的研究内容1. 模型建立：地下水数值模拟的第一步是建立数学模型。
模型需要包括地下水流动方程、质量守恒方程和物质扩散方程等。
模型的建立需要考虑地下水水文地质特征、边界条件和初值条件等。
2. 参数估计：地下水数值模拟中，准确的参数是模拟结果准确性的关键。
参数包括地下水渗透系数、孔隙度、渗透率等。
参数估计可以通过实地调查和监测数据的分析，采用统计学方法或反问题求解等。
3. 数值计算：地下水数值模拟是基于数值计算方法的。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和边界元法等。
数值计算过程中还需要考虑模拟时间步长、网格划分和计算精度等因素。
4. 模拟验证：地下水数值模拟的结果应与实际观测数据相比较，验证模拟的准确性。
模拟验证可以通过对比实际水位、水质变化等数据，评价模拟结果的合理性。
二、地下水数值模拟在地下水资源开发与管理中的应用案例1. 地下水资源评价：地下水数值模拟可以评估地下水资源的可持续利用性。
通过建立数值模型，可以模拟地下水的水位、水质分布，并预测未来地下水资源变化趋势。
基于模拟结果，可以制定科学的地下水资源利用规划。
2. 地下水补给评估：地下水补给是地下水资源的重要组成部分。
地下水数值模拟可以模拟不同地表水和地下水相互作用的过程，评估地下水补给量和质量。
这对于保护地下水资源的可持续发展具有重要意义。
3. 地下水开采影响评价：地下水开采对地下水系统产生一定的影响。
地下水数值模拟可以模拟地下水开采对地下水水位、水质的影响。
通过模拟分析，可以预测不同采水量对地下水系统的潜在影响，为合理规划地下水开采方案提供依据。
4. 地下水污染治理：地下水污染是地下水资源管理中的重要问题。
浅谈地下水数值模拟
浅谈地下水数值模拟在地下水资源评价中，需要通过求解相应的数学模型得到地下水位的变化过程与水文地质参数等。
数学模型是用来描述一个系统的结构、空间形式、边界条件和系统内部运动状态等的一组数学关系式。
许多描述实际问题的数学模型往往归结为求解一些很复杂的非线性偏微分方程，通常用经典的解析法处理是很困难的。
一般的处理办法是把偏微分方程转化为线性代数方程组，然后求解，这属于离散近似的计算方法，所要寻求的不是域内的连续函数而是域内各结点上函数的近似值。
自从地下水非稳定运动理论问世以来，对求解地下水运动的解析方法有了很大的发展。
解析方法是用数学上的积分方法或积分变换等方法直接求得数学模型的解，解是某计算点的精确解。
计算公式的物理概念清楚，且将表征地下水运动规律的各因素都包含在一个表达式之内，有利于分析各有关因素之间相互联系与相互制约的内在规律及对地下水运动的影响，其计算步骤比较简便，计算工作量相对较少，因此在生产实践中得到广范应用。
地下水非稳定运动理论是以质量守恒性(连续性原理)与能量转换性(达西定律)为基础，对任何复杂的地下水流系统都可以建立其相应的数学模型，即支配地下水运动的偏微分方程及决定其解的初始条件与边界条件。
但数学模型的求解常取决于地下水流系统中水文地质条件能够概化的程度。
一般来说，只有当渗流区域的几何形状比较简单，其含水层是均质、各向同性的情况下才能获得其解析解。
但在实际应用中，所遇到的水文地质条件往往是比较复杂的，如渗流区域形状不规则；含水层是非均质的，含水层的厚度随时间、空间而变化，隔水底板起伏不平；地下水的补给源中包含有线性补给或局部的面状(小区域)补给；排泄条件的复杂性与变化；含水层不同地段的各向异性；由于抽水而使含水层中部分区域由承压水变成无压水等等。
对于这样的区域，采用解析法从理论上求解地下水流运动规律就十分困难，以至无法求解，或者即使得到解析表达式，也仍难于用常规的数学方法求解。
如果不顾具体水文地质条件，而一味套用地下水流运动的解析公式必定会因实际问题的过度简化而使所得的计算结果与实际不符，从而失去了实用价值。
地下水系统模拟与数值模拟方法
地下水系统模拟与数值模拟方法地下水系统是指自然界中地下岩层中的水体及其运移、储存和分布的过程。
地下水作为一种重要的水资源，已被广泛应用于工农业生产和城市生活中。
为了更好地了解地下水系统的运行规律及其对环境的影响，研究人员通常采用模拟和数值模拟方法来模拟地下水系统的运动。
地下水系统模拟是指通过建立地下水系统的数学模型，来模拟其各种运动规律和特性。
常见的模拟方法包括：定态模型、非定态模型以及多相模型等。
定态模型主要用于模拟地下水系统的长期平衡状态，通过假设系统处于稳定状态下，推导出地下水位、水流速度和地下水流方向等参数的分布规律。
非定态模型则用于模拟地下水系统的动态演变过程，考虑时间变化对地下水系统的影响。
多相模型则是考虑了地下水与其他介质之间的相互作用，如水与土壤、水与岩石等。
数值模拟方法是指利用计算机技术对地下水系统的各种运动进行模拟和计算。
通过数值模拟，可以更加方便地观察地下水系统的条件下各参数之间的关系，以及掌握地下水系统的运动规律。
数值模拟方法的优势在于可以直观快速地展示地下水系统运动过程，并且可以进行大规模的模拟计算。
地下水系统模拟和数值模拟方法在实际应用中有着广泛的应用。
例如，地下水的储存和净化可以通过地下水系统模拟来实现；地下水系统对地下结构的影响也可以通过地下水系统模拟来评估。
同时，数值模拟方法还可以应用于地下水资源的开发和管理中，可以更好地指导地下水资源的开发和利用。
总的来说，地下水系统模拟和数值模拟方法在研究地下水系统的运动规律和特性中发挥着重要作用。
通过模拟和计算，可以更好地理解地下水系统的运行机制，从而指导地下水资源的开发和利用，实现对地下水资源的合理管理和保护。
希望未来能够进一步完善地下水系统模拟和数值模拟方法，为地下水资源的可持续利用提供更多支持和保障。
地下水水流模型建立过程
地下水水流现状模型建立1. 模拟时间可长可短，不影响水流模型过程，一般用非稳定流，溶质运移考虑稳定流。
单位里只需变更渗透系数单位m/s变为m/d,模型已运行完需要修改运移时间时，点主菜单F10, 点设置到编辑引擎，可修改运移时间。
2. 在给定模型底图时，先确定画好好模型的边界，埋深线，渗透系数等参数分区线等，以便后期人为好分区。
3. 模型的边界零流量边界有：天然断裂带、天然基底隆起阻水带及人为流畅零流量变为。
定水头边界有：泉沟河及水位变化很微弱的等水位线。
给定水头边界（变水头边界）：按上下游等水位线给定一条弧线，或者根据补给边界断面给定一条直线。
4. 底图校正时，原点坐标输入左下角坐标。
角点坐标输入左下角和右上角坐标，角度为0。
5. 导入地表高程和基地高程时，采用模型坐标，单位为米。
6. 生成网格后，将模型区外围采用无效水流区多边形概化，无效区不参与计算，流入流出量外也概化为无效区，给定水头后水头边界模型会给定水流量参与计算，其他边界为零流量边界。
模型无效概化前全是有效网格，因此不能采用有效网格多边形，只能采用无效网格多边形进行无效区，无效区可用有效多边形修改，可按F9 进行无效区可见进行视图可视化。
7. 网格菜单下的绘制等值线可绘制出模型地表高程、厚度及基底等高线。
8. 导入抽水井时要注意滤水管的顶底高程，开采时段及开采量，概化井的开采量和总量要一致。
添加水位观测井时滤水管的高程为滤水管的中点高程，没有顶底高程。
9. 给定渗透系数时电脑可按井渗透系数自动分区，比较分散，最好是人为划定多边形区域赋值，最后好调整参数。
调整参数时只需要点数据库进行调整。
10. 存贮参数一般不分区，给水度0.1 —0.26 之间，有效孔隙度0.25 左右，总孔隙度0.3 左右，后两参数对模型影响不大。
调整参数时只需要点数据库进行调整。
11. 依据统测水位导入水位标高，生成初始水头，最好有年初（模型开始期）水位作为初始水头，年末（模型结束期）水头作为与模型运行至365 天时长流畅做对比验证。
第三讲 地下水数值模拟原理及建模方法和步骤
的迁移机理及数学模型和求解方法
地下水数值模拟
绪论
地下水数值方法在水文地质学中的位置
地下水动力学主要内容
连续性原理、达西定律、水均衡原理 地下水流基本方程 几类特殊水文地质问题数学模型及解析解
地下水向沟渠河中的流动 园岛模型 泰斯模型 有越流的不稳定井流（Hantush and Jacob） 无越流的潜水含水层不稳定井流（ Neuman ）
为f(x)在x0处的二阶中心差商，O(x)2
为截断误差。
方法一
(2)有限差分方程建立(续)
对于偏导数（偏微商），类似可以得到相应的差商：
H (x0,t0 ) H (x0,t0 t) H (x0,t0 )
t
t
H (x0 ,t0 ) H (x0 x,t0 ) H (x0 ,t0 )
x
x
2H (x0 , t0 ) x 2
➢ 方法二．在渗流区剖分的基础上，直 接由达西定律和水均衡原理，建立各 个均衡区的水均衡方程，从而得到差 分方程。适用于矩形网格、三角形网 格。
矩形网格 多边形网格
方法一：差商代替微商
1、网格划分的基本类型
（1）先划格线，格点位
均
于网格中心
衡
网
格
（2）先规定格点位置，
再垂直平分两相邻结点的连
节
线作格线，形成的网格即为 水均衡区
绪论
数值解与解析解
数值方法是地下水动力学的完善和补充或延续 数值解的特点：
只是求出研究区某些空间点和某些时间点处的水头值 适用于所有的问题 具备水文地质基础和线性代数知识 已有数值模拟专门软件（或自己编程） 需要有高性能计算机 对实际问题的刻画比较精确
因此，其应用非常广泛
绪论
地下水数值模拟
绪论
地下水数值方法在水文地质学中的位置
地下水动力学主要内容
连续性原理、达西定律、水均衡原理 地下水流基本方程 几类特殊水文地质问题数学模型及解析解
地下水向沟渠河中的流动 园岛模型 泰斯模型 有越流的不稳定井流（Hantush and Jacob） 无越流的潜水含水层不稳定井流（ Neuman ）
为f(x)在x0处的二阶中心差商，O(x)2
为截断误差。
方法一
(2)有限差分方程建立(续)
对于偏导数（偏微商），类似可以得到相应的差商：
H (x0,t0 ) H (x0,t0 t) H (x0,t0 )
t
t
H (x0 ,t0 ) H (x0 x,t0 ) H (x0 ,t0 )
x
x
2H (x0 , t0 ) x 2
➢ 方法二．在渗流区剖分的基础上，直 接由达西定律和水均衡原理，建立各 个均衡区的水均衡方程，从而得到差 分方程。适用于矩形网格、三角形网 格。
矩形网格 多边形网格
方法一：差商代替微商
1、网格划分的基本类型
（1）先划格线，格点位
均
于网格中心
衡
网
格
（2）先规定格点位置，
再垂直平分两相邻结点的连
节
线作格线，形成的网格即为 水均衡区
绪论
数值解与解析解
数值方法是地下水动力学的完善和补充或延续 数值解的特点：
只是求出研究区某些空间点和某些时间点处的水头值 适用于所有的问题 具备水文地质基础和线性代数知识 已有数值模拟专门软件（或自己编程） 需要有高性能计算机 对实际问题的刻画比较精确
因此，其应用非常广泛
绪论
地下水数值模拟
j
i
~ fij
j
j1
Gi
d
,
gij
j1 Gi d , j n
g~ij
j1 Gi d , j n
Ei
D
W T
Gi dxdy
iHi
n j 1
1 j1 j
j1gij
g~ij
Hj
g~ij j gij
H
j 1
j1
fij
~ fij
H n
j
~ fij
j
fij
iHi
n j 1
M j M j1
H
Gi n
Gi
H n
ds
W DT
Gi dxdy
n j 1
j1 j
j1 j1
j
H
j j j1 j
H
Gi
j1
n
j1 j1
j
H n
j j j1 j
H n
j 1
Gi
d
D
W T
Gi dxdy
令：fij
G d , j1
地下水数值模拟
一、基本原理
• 基本思想
——将微分方程得基本解化为边界积分方程, 将边界剖分为有限个单元,在离散得区域边 界上将边界积分方程化为代数方程求解。
• 边界元 ——区域内满足控制方程,边界上近似满足边界条件
• 有限元、有限差 ——区内近似满足控制方程,边界上满足边界条件
一、基本原理
• 特点
u x
v x
u y
v y
dxdy
v
2u x 2
2u y 2
dxdy
v
u n
ds
地下水建模方法和步骤ppt课件
D 源汇项 zxyt
t时段内，侧向流入与源汇项导致六面体水量变化量为：
A+B+C+D
14
(2)有限差分方程建立(续)
方法二：达西定律和水均衡原理
六面体内地下水储存量的变化为
sxyzH sxyzH (x, y, z,t t) H (x, y, z,t)
由水均衡原理得三维地下水流动方程的有限差分格式
7
(2)有限差分方程建立
方法一：差商代替微商
导 导数的定义
数 的
f
(x0 )
lim
x0
f
(x0
x) x
f
(x0 )
有
当 x 非常小的时候，有
限 差
f (x0 )
f (x0 x) x
f (x0 )
商 上式右端项即为f(x)在x0处的差商。 近 这样定义的差商很容易理解，但不知道用差商代 似 替微商所产生的误差。下面利用泰勒公式导出差商
KM
hn i 1
2hin (x)2
hn i 1
( xi , tn )
e
h n 1 i
hin
t
hn1 i
hn i 1
(1
2 )hin
hin1
t
e
(xi , tn )
（i=1，2，3，.....N-1），（n=1，2，3，.....）
25
显式格式（续3）
3）显示差分方程的求解
计算各结点初始时刻水头值 H t0 H0 (x) 利用差分方程计算各结点t1时刻水头值 利用边界条件计算边界结点水头值 重复2、3步，直到计算出拟计算的各个时刻的水头
(x) 2
t
Hn i 1
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H ( x0 , t 0 ) H ( x0 x, t 0 ) H ( x0 , t 0 ) x x
2 H ( x0 , t0 ) H ( x0 x, t0 ) 2H ( x0 , t0 ) H ( x0 x, t0 ) 2 x (x) 2
一维控制方程差分格式
f '' ( x0 ) f ''' ( x0 ) f (4) ( ) 2 3 f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 )x ( x ) ( x ) ( x ) 4 2! 3! 4!
'
A方法一
f '' ( x0 ) f ''' ( x0 ) f (4) ( ) 2 3 f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 )x ( x ) ( x ) ( x ) 4B 2! 3! 4!
'
③由A-B可以得：
f ( x0 x ) f ( x0 x ) f ( x0 ) O ( x ) 2 2x
'
称
f ( x0 x) f ( x0 x) 为f(x)在x0处的一阶中心差商， O(x)2 为截断误差。 2x
④由A+B可以得：
f ( x0 x ) 2 f ( x0 ) f ( x0 x ) 2 f ( x0 ) O ( x ) ( x )2
1.1有限差分法
(1)有限差分法原理
(2)两种方法建立有限差分方程
(3)求解有限差分方程
(4)收敛性和稳定性概念 (5)算例
(1)有限差分法的基本原理
将连续的问题离散后求解：
方法一．以地下水流基本微分 方程及其定解条件为基础， 在 渗流区剖分基础上，用差商代 替微商，将地下水流微分方程 的求解转化为差分方程（代数 方程）求解。 方法二．在渗流区剖分的基础 上，直接由达西定律和水均衡 原理，建立各个均衡区的水均 衡方程，即差分方程。
MODFLOW
迭代求解
PCG SIP SOR WHS SAMG GMG
(4)差分方程的收敛性和稳定性
截断误差：用差商代替微商时，地下水流动方程产生 2 的误差为截断误差。O(t ) O(x) 收敛性：当空间步长和时间步长趋于0时，有限差分方 程的精确解趋于地下水流动问题微分方程定解问题的 精确解。则称该差分格式是收敛的。 稳定性：如果在求解差分方程过程中，某时间步引入 某个误差，而在以后的各时段计算中，该误差不再扩 大，则称该差分格式是稳定的。
矩形网格
多边形网格
网格划分的基本类型
（1）先划格线，格 点位于网格中心 （2）先规定格点位 置，再垂直平分两相 邻结点的连线作格线， 形成的网格即为水均 衡区
均 衡 网 格
节 点 网 格
MODFLOW网格系统
(2)有限差分方程建立
方法一：差商代替微商
导 数 的 有 限 差 商 近 似
导数的定义
（1）模型概化 由所述水文地质条件，可以概化为一维承压水流问题。 （2）建立坐标系（如图），将地下水流动系统空间结构放在坐标系内， 从而量化各变量的取值范围。本例，取x-轴原点位于左端河，右侧 为正向，设两河流间距为L. （3）数学模型
H 2 H e KM t x 2
0 x L, t 0
n i
2H KM ( xi , tn ) x 2 i
n
n
H Hin1 Hin O(t ) t i t
H i , j , k 1 H i , j , k z
]zxyt
源汇项 zxyt
t时段内，侧向流入与源汇项导致六面体水量变化量为：
A+B+C+D
(2)有限差分方程建立(续)
方法二：达西定律和水均衡原理
六面体内地下水储存量的变化为
s xyzH s xyzH ( x, y, z, t t ) H ( x, y, z, t )
一维显式差分格式
n n 1 n H1n 2 H 2 H 3n H 2 H2 2 (x) t n n H2 2 H 3n H 4 H 3n 1 H 3n 2 ( x ) t n n n n 1 n H ni H ni 3 2 H ni 2 H ni 1 2 H ni 2 2 (x) t n n n n 1 n H ni 2 H H H H ni 1 ni ni 1 ni 1 2 2 ( x ) t
''
f ( x0 x) 2 f ( x0 ) f ( x0 x) 2 2 称 为 f ( x ) 在 x 处的二阶 中心 差商， 为截断误差。 O ( x ) 0 (x)
方法一
(2)有限差分方程建立(续)
对于偏导数（偏微商），类似可以得到相应的差商：
H ( x0 , t0 ) H ( x0 , t0 t ) H ( x0 , t0 ) t t
0 x L
H t 0 H 0 ( x)
Hx0 1 Fra bibliotekt ), HX L
2 (t )
t0
差分方程及其解法—显式格式
1)网格剖分：
①将（0—L）分成 N 等份，
记
xi ix，(i=0,1,2,3，4……N)
t，记 t n nt （n=0、1、2、3、4……）
l x N
已知泰勒公式
f '' ( ) f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 )x ( x ) 2 2! f '' ( ) ' f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 )x ( x ) 2 2!
'
方法一
A B
① 由A得：
f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) O ( x ) x
网格个数为ni
直接求解
(3)差分方程求解
一维隐式差分格式
网格个数为ni
n 1 n 1 n H1n 1 2 H 2 H 3n 1 H 2 H2 2 ( x ) t n 1 n 1 H2 2 H 3n 1 H 4 H 3n 1 H 3n 2 ( x ) t 方 程 组 n 1 n 1 n 1 n 1 n H ni 2 H H H H 3 ni 2 ni 1 ni 2 ni 2 2 (x) t n 1 n 1 n 1 n 1 n H ni 2 H H H H ni 1 ni ni 1 ni 1 2 2 (x) t
称
f ( x0 x) f ( x0 ) 为f(x)在x0处的一阶前向差商，O(x) 为截断误差。 x
② 由B 得：
f ( x0 )
称
f ( x0 ) f ( x0 x ) O ( x ) x
f ( x0 ) f ( x0 x) 为f(x)在x0处的一阶后向差商，O(x) 为截断误差。 x
H i , j 1,k H i , j ,k y H i , j ,k 1 H i , j ,k
z z 1 n zxyt s xyz H in H , j ,k i , j ,k
有限差分法:三维（MODFLOW）
差商代替微商
(3)差分方程求解
控制方程
2 h ( x, t ) h( x, t ) T x 2 t
方法一
网格剖分nx个
显式差分格式
H ( x0 x, t 0 ) 2H ( x0 , t 0 ) H ( x0 x, t 0 ) H ( x0 , t 0 t ) H ( x0 , t 0 ) 2 t (x)
由水均衡原理得三维地下水流动方程的有限差分格式
[ H i 1, j ,k H i , j ,k x H i 1, j ,k H i , j ,k x ]zxyt ]zxyt ]zxyt
[ [
H i , j 1,k H i , j ,k y H i , j ,k 1 H i , j ,k
vx |( x, y, z ,t )
vx |( xx, y,z,t )
x方向流入 (vx ) |( x , y , z ,t ) yzt
x方向流出 (vx ) |( x x , y , z ,t ) yzt
(2)有限差分方程建立(续)
方法二：达西定律和水均衡原理
基于达西定律，x，y，z方向流入—流出分别为: A [vx | x vx | x x ]yzt [ B [v y | y v y | y y ]xzt [ C [vz |z vz |z z ]xyt [ D
1 一维显示格式的收敛条件和稳定条件是： 0 2
(6)算例：显式有限差格式
应用实例：河间地块承压水流模型
设两条河流平行、完全切割含水层，含水层等厚、均质 各向同性。
步骤：
（1）基础资料的分析
（2）概念模型 （3）数学模型 （4）数值方法及计算机程序 （5）参数 （6）结果分析
建立数学模型
H in1 2H in H in1 H in1 H in (x) 2 t i 2,3, , nx 1
隐式差分格式
H ( x0 x, t 0 t ) 2H ( x0 , t 0 t ) H ( x0 x, t 0 t ) H ( x0 , t 0 t ) H ( x0 , t 0 ) t (x) 2
H i 1, j ,k H i , j ,k x H i 1, j ,k H i , j ,k x ]zxyt
2 H ( x0 , t0 ) H ( x0 x, t0 ) 2H ( x0 , t0 ) H ( x0 x, t0 ) 2 x (x) 2
一维控制方程差分格式
f '' ( x0 ) f ''' ( x0 ) f (4) ( ) 2 3 f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 )x ( x ) ( x ) ( x ) 4 2! 3! 4!
'
A方法一
f '' ( x0 ) f ''' ( x0 ) f (4) ( ) 2 3 f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 )x ( x ) ( x ) ( x ) 4B 2! 3! 4!
'
③由A-B可以得：
f ( x0 x ) f ( x0 x ) f ( x0 ) O ( x ) 2 2x
'
称
f ( x0 x) f ( x0 x) 为f(x)在x0处的一阶中心差商， O(x)2 为截断误差。 2x
④由A+B可以得：
f ( x0 x ) 2 f ( x0 ) f ( x0 x ) 2 f ( x0 ) O ( x ) ( x )2
1.1有限差分法
(1)有限差分法原理
(2)两种方法建立有限差分方程
(3)求解有限差分方程
(4)收敛性和稳定性概念 (5)算例
(1)有限差分法的基本原理
将连续的问题离散后求解：
方法一．以地下水流基本微分 方程及其定解条件为基础， 在 渗流区剖分基础上，用差商代 替微商，将地下水流微分方程 的求解转化为差分方程（代数 方程）求解。 方法二．在渗流区剖分的基础 上，直接由达西定律和水均衡 原理，建立各个均衡区的水均 衡方程，即差分方程。
MODFLOW
迭代求解
PCG SIP SOR WHS SAMG GMG
(4)差分方程的收敛性和稳定性
截断误差：用差商代替微商时，地下水流动方程产生 2 的误差为截断误差。O(t ) O(x) 收敛性：当空间步长和时间步长趋于0时，有限差分方 程的精确解趋于地下水流动问题微分方程定解问题的 精确解。则称该差分格式是收敛的。 稳定性：如果在求解差分方程过程中，某时间步引入 某个误差，而在以后的各时段计算中，该误差不再扩 大，则称该差分格式是稳定的。
矩形网格
多边形网格
网格划分的基本类型
（1）先划格线，格 点位于网格中心 （2）先规定格点位 置，再垂直平分两相 邻结点的连线作格线， 形成的网格即为水均 衡区
均 衡 网 格
节 点 网 格
MODFLOW网格系统
(2)有限差分方程建立
方法一：差商代替微商
导 数 的 有 限 差 商 近 似
导数的定义
（1）模型概化 由所述水文地质条件，可以概化为一维承压水流问题。 （2）建立坐标系（如图），将地下水流动系统空间结构放在坐标系内， 从而量化各变量的取值范围。本例，取x-轴原点位于左端河，右侧 为正向，设两河流间距为L. （3）数学模型
H 2 H e KM t x 2
0 x L, t 0
n i
2H KM ( xi , tn ) x 2 i
n
n
H Hin1 Hin O(t ) t i t
H i , j , k 1 H i , j , k z
]zxyt
源汇项 zxyt
t时段内，侧向流入与源汇项导致六面体水量变化量为：
A+B+C+D
(2)有限差分方程建立(续)
方法二：达西定律和水均衡原理
六面体内地下水储存量的变化为
s xyzH s xyzH ( x, y, z, t t ) H ( x, y, z, t )
一维显式差分格式
n n 1 n H1n 2 H 2 H 3n H 2 H2 2 (x) t n n H2 2 H 3n H 4 H 3n 1 H 3n 2 ( x ) t n n n n 1 n H ni H ni 3 2 H ni 2 H ni 1 2 H ni 2 2 (x) t n n n n 1 n H ni 2 H H H H ni 1 ni ni 1 ni 1 2 2 ( x ) t
''
f ( x0 x) 2 f ( x0 ) f ( x0 x) 2 2 称 为 f ( x ) 在 x 处的二阶 中心 差商， 为截断误差。 O ( x ) 0 (x)
方法一
(2)有限差分方程建立(续)
对于偏导数（偏微商），类似可以得到相应的差商：
H ( x0 , t0 ) H ( x0 , t0 t ) H ( x0 , t0 ) t t
0 x L
H t 0 H 0 ( x)
Hx0 1 Fra bibliotekt ), HX L
2 (t )
t0
差分方程及其解法—显式格式
1)网格剖分：
①将（0—L）分成 N 等份，
记
xi ix，(i=0,1,2,3，4……N)
t，记 t n nt （n=0、1、2、3、4……）
l x N
已知泰勒公式
f '' ( ) f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 )x ( x ) 2 2! f '' ( ) ' f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 )x ( x ) 2 2!
'
方法一
A B
① 由A得：
f ( x0 x ) f ( x0 ) f ( x0 ) O ( x ) x
网格个数为ni
直接求解
(3)差分方程求解
一维隐式差分格式
网格个数为ni
n 1 n 1 n H1n 1 2 H 2 H 3n 1 H 2 H2 2 ( x ) t n 1 n 1 H2 2 H 3n 1 H 4 H 3n 1 H 3n 2 ( x ) t 方 程 组 n 1 n 1 n 1 n 1 n H ni 2 H H H H 3 ni 2 ni 1 ni 2 ni 2 2 (x) t n 1 n 1 n 1 n 1 n H ni 2 H H H H ni 1 ni ni 1 ni 1 2 2 (x) t
称
f ( x0 x) f ( x0 ) 为f(x)在x0处的一阶前向差商，O(x) 为截断误差。 x
② 由B 得：
f ( x0 )
称
f ( x0 ) f ( x0 x ) O ( x ) x
f ( x0 ) f ( x0 x) 为f(x)在x0处的一阶后向差商，O(x) 为截断误差。 x
H i , j 1,k H i , j ,k y H i , j ,k 1 H i , j ,k
z z 1 n zxyt s xyz H in H , j ,k i , j ,k
有限差分法:三维（MODFLOW）
差商代替微商
(3)差分方程求解
控制方程
2 h ( x, t ) h( x, t ) T x 2 t
方法一
网格剖分nx个
显式差分格式
H ( x0 x, t 0 ) 2H ( x0 , t 0 ) H ( x0 x, t 0 ) H ( x0 , t 0 t ) H ( x0 , t 0 ) 2 t (x)
由水均衡原理得三维地下水流动方程的有限差分格式
[ H i 1, j ,k H i , j ,k x H i 1, j ,k H i , j ,k x ]zxyt ]zxyt ]zxyt
[ [
H i , j 1,k H i , j ,k y H i , j ,k 1 H i , j ,k
vx |( x, y, z ,t )
vx |( xx, y,z,t )
x方向流入 (vx ) |( x , y , z ,t ) yzt
x方向流出 (vx ) |( x x , y , z ,t ) yzt
(2)有限差分方程建立(续)
方法二：达西定律和水均衡原理
基于达西定律，x，y，z方向流入—流出分别为: A [vx | x vx | x x ]yzt [ B [v y | y v y | y y ]xzt [ C [vz |z vz |z z ]xyt [ D
1 一维显示格式的收敛条件和稳定条件是： 0 2
(6)算例：显式有限差格式
应用实例：河间地块承压水流模型
设两条河流平行、完全切割含水层，含水层等厚、均质 各向同性。
步骤：
（1）基础资料的分析
（2）概念模型 （3）数学模型 （4）数值方法及计算机程序 （5）参数 （6）结果分析
建立数学模型
H in1 2H in H in1 H in1 H in (x) 2 t i 2,3, , nx 1
隐式差分格式
H ( x0 x, t 0 t ) 2H ( x0 , t 0 t ) H ( x0 x, t 0 t ) H ( x0 , t 0 t ) H ( x0 , t 0 ) t (x) 2
H i 1, j ,k H i , j ,k x H i 1, j ,k H i , j ,k x ]zxyt