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分式函数值域的求法

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分式函数y = a 1x 2+b 1x +c
1 的值域 a x 2
+ b x + c 函数值域是函数三要素之一，求函数值域无定法，且方法灵活，是中学数学的一个难点。

今天我们主要讨论分式函数y = a 1x +b 1x +c 1 的值域求法。

a x 2 +
b x + c
一、若a 1，a 2同时为零，则函数y = a 1x +b 1x +c 1 就变为形如y = b 1x + c 1(b 2，b 2
1 2 a x 2 + b x + c b x + c 2 2
不同时为零）的函数，可以用分离常数法或求反函数法来求函数的值域。

2x - 1 例１ 求函数 y = 2x -1 的值域 x +3
解法１：（分离常数法）
所以，该函数的值域为 y （-，2）（2，+ ）：
解法２：（求反函数法）
2x -1
1- 3x 函数 y = 2x -1的反函数为y = 1 - 3x 所以 原函数值域为y y y 2（即反函数 x +3 x -2 定义域为原函数值域）。

二、若a 1，a 2不同时为零，但分子与分母有公因式子，可先约分再求值域。

如果不约 分，直接采用下面三的方法，将加大运算量（如例6）。

x - 1 例２ 求函数 y = x - 1 的值域 x 2
-3x + 2
所以 g (x ) 0
约分后函数g （x ）的定义域扩大了（严格来说g （x ）与原函数 f （x ）不是同一个函数，但
在不引起混淆的情况下也可直接约分）， g （x ）在１处所对应的函数值-1，也是f （x ）不能
x - 1
取到的值，所以函数y = x
-1 的值域是（- ，-１）（-１,０）（０，+ ）。

x 2
-3x + 2 x 2
- 5 x + 6
例３求函数y = x -5x +6的值域 x -2
利用恒等变形可化为： 2(x +3) -7 7
x +3 x +3
解： 可先将函数变为y = f （x ）= x - 1 (x - 1)(x - 2) 约分后函数变为 g （ x ） = 1 x -2
三、若a 1，a 2不同时为零，分子与分母没有公因式子，可以通过判别式法、分离常数 法、基本不等式法求函数的值域。

x - x 例４ 函数 y = x -x 的值域． x -x +1
解法 1：（判别式法）
x - x 将 y = x - x 转化为关于x 的一元二次方程（ y 看作参数）： x -x +1
(y -1)x -(y -1)x + y =0
（这是一个必有解的方程。

讨论使上方程有解的参数 y 的范围，恰为函数 y =
x -x +1 的值
域）
①若y =1，则1=0矛盾
②由 y 1 ，这时由 0 解得 - y 1且y 1； y =- 时， x = 。

∴综上所述知原函数的值域为［-1,1）．
3
解法 2：（分离常数法） 13 3 设g （x ）=（x -1）2 + 3，则g （x ）的值域是［3,+） 所以，原函
数值域为［-1,1）。

3
x 2 +2x +2
例5：函数 y = x +x 2+x 1+2的值域 x 2 +2x +2
1 解：（基本不等式法）因为y = x +2x +2＝x +1+1 x + 1 x + 1
当x -1时，x +10， 1 0， y 2当且仅当x = 0时等号成立； x +1 当x -1时，x +10， 1 0， y -2当且仅当x = -2时等号成立。

x +1
所以函数的值域为（-
,-2］U ［2,+）。

x - 1 例 6：求函数 y = x - 1
的值域 x 2
+x -2 解：因为分子与分母有公因子，约分后可用上面二介绍的方法来求值域，如果不约分，
x - 1 也可直接用判别式法来求。

将y = x -1 转化为关于x 的一元二次方程； x 2 +x -2 解： 函数可变形为 y = (x -x 2)-(x 2-3) = x - 3 ，所以该函数的值域是 y y y -1。

x 2 - x y =
x 2x --x x +1＝1 1 ＝1 - 1 x -x +1 (x -1)2 +3
yx +(y-1)x+1-2y =0
当y = 0 时，x = 1不在函数定义域内；
当y0时，=(y-1)2-4y(1-2y)0
即(3y-1)20，当(3y-1)2= 0时，y = 1，此时x =1不在函数定义域内。

所以函数值域内y(-,0)U(0,1)U(1,+)
ax2+bx +c
对于形如y = ax + bx + c (a2+ d20 )的二次分式函数的求值域问题，只要函数dx2+ex +f y=ax + bx + c ( a2+ d20 )的定义域没有额外限制条件，就能够用判别式法求解，dx2+ex +f 但不能用其在指定的区间上求二次函数的值域。

同时要注意：1、把分式函数转化为关于x的一元二次方程后，要对二次项系数进行讨论。

2、要对 = 0时y的值代回方程检验。

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求函数值域的几种方法

求函数值域的几种方法


解：由于 x 2 - 2x = (x -1) 2 –1 -1 . 1 1 2 y 2 x 2 x , 1 1 . y y x 2x
y 1 1 1 0 , 即 0. y y
解得 y -1 或 y > 0 .
函数的值域为 { y | y -1 或 y > 0 } .
1 1 应有 y 1 . 2 2 1 y x 1 2x 的值域应为 ( , ] , 这 说 明 2 “ 方 法1” 中 所 说 的 “ ( x) 0有 实 根 ” 是 必 要 的 . 1 1 (t 1)2 , 2 2
• •
3. 利用 (x) 的值域求 f [ (x) ] 的值域 如果函数 y = f (x) 是关于 (x) 的复合函数, 而 (x) 的值域是易求的，则可由原函数中先解 出 (x) ，而后由 (x) 的值域确定 f (x) 的值域 .
2 x 4 例3 求 函 数 y 的值域 . x 3
解：由原函数， 得
x y 3y 2 x 4,
3y 4 解得 x . y2 3y 4 4 由于 x 0, 0. y 2 . y2 3
4 函数的值域为[ ， 2 ) . 3
1 例 4 求函数 y 2 的值域 . x 2x
又因 f (1) 2 , 函数定义域为 2 ， .

•
6. 利用一元二次方程的根的判别式求一类函数 的值域
例8
x2 2 求函数 y 的 值 域 . 2x2 2 3 x 1
解：去分母得2 y x 2 2 3 y x y x 2 2 ,
(2 y 1) x 2 2 3 y x ( y 2) 0
分式函数值域的求法

分式函数值域的求法

１ ７ ０
（ 海 县 岔路 镇 初 级 中 学 ． 江 宁 海 ３ ５ ０ ） 宁 浙 １ ６ ６
摘
要 ： 数 的值 域 是 中学 数 学 的重 要 内容 。 域 的 求 法 很 多 ， 文基 于 数 学 思 想 ： 程 思想 及 数 形 结合 思想 给 出 函 值 本 方
了分 式 函 数值 域 的 两 种求 法 ． 关键 词 ： 函数 ：值 域 ：数 学 思 想
而 函数 的值域 问题 却是联 系各种 知识 点 的纽带． 函数 值域 方法很 多 ， 求 下面 基于 数学 思想 给 出求 形 如
Ｆ ： （ ） 分 式 函数值域 的两 种方法 ．
１用 方 程 思 想 求 值 域
例 １ 求 函数 ｙ ２ ６ ｃ 。 ： ： ＋ 斛 （ ≠０） 的值 域
．
解： 变形得 似 ６ ＋（ ）０ 此二 次方 程有 实数解 ， Ａ＝ ‘ ４ （＿ ＞ ， ４ （— ≤６ ． ＋ ｃ ＝， 则 ｂ 一 ０ｃ ｙ） １０ 即 ａ ｃ Ｙ） ‘
当。， ｃ ，ｙ 喾； 。 解 ≥ 或≤ ． 。时 得 ≤ 或 当 时 得 ， 竽 解 ≥ ， ｙ
（ ） Ｏ １
收 稿 日期 ：０ ８ Ｉ — ２ ２ ０ 一 １０ 作 者 简 介 ： 晓 阳 （ ９ ５ ） 男 ， 江 宁 海人 ， 海 县 岔路 镇 初 级 中 学一 级 教 师 ， 江 省 农 村 中小 学 教 师 “ 雁 工 程 ” 娄 １６ 一 ， 浙 宁 浙 领 省 级 骨 干初 中数 学 教 师班 学 员 （ 宁波 项 目 ） 。
注 ： ｇ ｘ） １时， 当 （ ＝ 函数 Ｆ ＝ （） 为 Ｆ ） （ ） （ ，因而 ｙ ａ‘ ｂ ＋ ＝ － ｘ＋ ｘ ｃ为分式 函数 的特殊 情形．
求含有分式的函数值域的几个妙招

求含有分式的函数值域的几个妙招

方法集锦求函数值域问题比较常见,其中含有分式函数的值域问题较为复杂.要求含有分式的函数值域,我们需首先求出函数的定义域,尤其要考虑分式的分母不为0的情况,然后将函数式化简、变形.求含有分式的函数值域的关键在于对函数式进行合理的化简和变形.这里介绍三种求含有分式的函数值域的方法.一、采用反函数法我们知道，反函数的定义域就是原函数的值域.当含有分式的函数存在反函数时，我们可利用反函数法来解题，先求其反函数的定义域，这样便能快速求得原函数的值域.例1.求函数y=x+1x+2的值域.解：函数y=x+1x+2的反函数为x=2y-11-y，由题意知函数的定义域为y≠1，故函数y的值域为{}y|y≠1,y∈R.利用反函数法求函数值域的前提条件是原函数存在反函数.运用该方法求函数的值域较为直接、简单.二、运用判别式法判别式法一般适用于求解一元二次函数、不等式、方程问题.对于形如y=ax2+bx+cdx2+ex+f、y=bx+cdx2+ex+f的二次分式函数，可用判别式法求函数的值域.在解题时，需先将函数式化为关于x的一元二次方程，然后求出方程根的判别式，令其大于或等于0，解不等式即可求得函数的值域.例2.求函数y=2(x+1)(x-2)(x2-1)的值域.分析：可将原函数式化为关于x的一元二次方程，然后运用二次方程根的判别式来求出原函数的值域.解：y=2(x+1)(x-2)(x2-1)=2(x-2)(x-1)=2x2-3x+2则yx2-3yx+2y-2=0，由题意知y≠0，则由Δ≥0得(-3y)2-4y(2y-2)=y2+8y≥0，解得y≤-8或y>0.所以函数y=2(x+1)(x-2)(x2-1)的值域为{}y|y≤-8或y>0.三、分离常数法分离常数法主要适用于求形如f(x)=bx+cex+f、f(x)=ax2+bx+cdx2+ex+f的分式函数的值域.在解题时，我们需将分子配凑为分母的倍数，将函数中的整式和分式分离，然后利用基本不等式或配方法求最值.例3.求函数y=(x-1)2x2+1的值域.解：y=（x2+1)-2xx2+1=1-2xx2+1.①当x=0时，y=1.②当x≠0时，y=1-2x+1x.当x>0时，由基本不等式可得x+1x≥2,此时y∈[0,1)，当x<0时，由基本不等式可得x+1x≤-2,此时y∈(1,2]，综上可述，原函数值域为[0,2].解答本题，需首先将函数式变形，使整式与分式分离，然后利用基本不等式分别讨论当x>0和x<0时函数式的值域，进而求得函数的值域.求含有分式的函数值域的方法有很多，除了以上三种方法，还有换元法、一一映射法、单调性法等.对于求含有分式的函数值域问题，我们需重点关注函数的定义域和函数的解析式，需在确定函数的定义域和将函数式变形后选择合适的方法来解题.（作者单位：江西省赣州市兴国县兴国中学）48Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

分式函数三种值域求法

分式函数三种值域求法

分式函数三种值域求法
在求解分式函数的值域时，通常可以使用以下三种方法：
1. 构造法：通过对分式函数进行构造，确定函数的值域范围。

具体步骤如下：
- 将分式函数表示为一个等式，将等式中的分母进行因式分解，找出分母的零点，得到不可取的值。

- 根据分式函数的定义域限制和函数的性质，确定分子函数和分母函数的值域范围。

- 根据值域范围的限制，求解分式函数的值域。

2. 导数法：对分式函数求导，利用导数的性质来确定值域范围。

具体步骤如下：
- 首先找到分式函数的定义域，并求出其导数。

- 根据导数的增减性分析函数的单调性，并确定函数的极值点。

- 根据函数的单调性和极值点，确定值域范围。

3. 图像法：通过绘制函数的图像，观察其图像特征来确定函数的值域范围。

具体步骤如下：
- 绘制分式函数的图像，可以使用计算机软件、图
形计算器等工具。

- 观察图像的函数曲线，确定函数的最大值、最小值和区间。

- 根据图像的特征，确定函数的值域范围。

这三种方法可以根据具体情况选择使用，有时也可以结合使用以求得更准确和全面的值域范围。

在实际应用中，可以根据具体的分式函数和问题的要求来选择适合的方法。