高等数学概率论与数理统计知识点总结(详细)

第1 章随机事件及其概率在一个试验下，不管事件有多少个，总可以从其中找出这样一组事件，它具有如下性质：①每进行一次试验，必须发生且只能发生这一组中的一个事件；②任何事件，都是由这一组中的部分事件组成的。

这样一组事件中的每一个事件称为基本事件，用来表示。

基本事件的全体，称为试验的样本空间，用Ω表示。

一个事件就是由Ω中的部分点（基本事件）组成的集合。

通常用大写字母A，B，C，…表示事件，它们是Ω的子集。

Ω为必然事件，Ø 为不可能事件。

不可能事件（Ø）的概率为零，而概率为零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件（Ω）的概率为 1，而概率为 1 的事件也不一定是必然事件。

1°Ω={1,2 n}，12°P(1) =P(2) = P(n) =n。

设任一事件A ，它是由1,2 m组成的，则有P(A)= {(1) (2) (m)}= P(1) +P(2) + +P(m)=m=A所包含的基本事件数n 基本事件总数第二章随机变量及其分布设随机变量X 的分布律为k-P( X =k ) = e ，> 0 ，k = 0,1,2 ，k!则称随机变量X 服从参数为的泊松分布，记为X ~ () 或者P()。

泊松分布为二项分布的极限分布（np=λ，n→∞）。

e-x , x≥0,f (x) =0, x < 0 ,其中> 0 ，则称随机变量 X 服从参数为的指数分布。

X 的分布函数为1 -e-x, x≥0,F (x) =0,x<0。

记住积分公式：+∞⎰x n e -x dx =n!正态分布设随机变量 X 的密度函数为 21-( x -) 2- ∞ < x < +∞f (x ) =e 2 ， ， 2其中、> 0 为常数，则称随机变量 X 服从参数为、的正态分布或高斯（Gauss ）分布，记为 X ~ N (,2) 。

f (x ) 具有如下性质：1° f (x ) 的图形是关于 x = 对称的；2° 当 x = 时， f ()= 1 为最大值；若 X ~ N (,2) ，则 X 2 的分布函数为1 x e- ( t - ) 2F (x ) =⎰- 2 2dt2∞参数= 0 、= 1时的正态分布称为标准正态分布，记为X ~ N (0,1) ，1 其-密x 2度函数记为 (x ) = e 22 ， - ∞ < x < +∞ ，分布函数为21x - t Φ(x ) = 2⎰ e 2dt 。

概率论与数理统计总复习知识点归纳1.概率论的基础概念-随机事件、样本空间和事件的关系。

-频率和概率的关系，概率的基本性质。

-古典概型和几何概型的概念。

-条件概率和乘法定理。

-全概率公式和贝叶斯公式。

-随机变量和概率分布函数的概念。

-离散型随机变量和连续型随机变量的定义、概率质量函数和概率密度函数的性质。

2.随机变量的数字特征-随机变量的数学期望、方差、标准差和切比雪夫不等式。

-协方差、相关系数和线性变换的数学期望和方差公式。

-两个随机变量的和、差、积的数学期望和方差公式。

3.大数定律和中心极限定理-大数定律的概念和三级强大数定律。

-中心极限定理的概念和中心极限定理的两种形式。

4.数理统计的基本概念和方法-总体、样本和抽样方法的概念。

-样本统计量和抽样分布的概念。

-点估计和区间估计的概念。

-假设检验的基本思想和步骤。

-正态总体的参数的假设检验和区间估计。

5.参数估计和假设检验的方法和推广-极大似然估计的原理和方法。

-矩估计的原理和方法。

-最小二乘估计的原理和方法。

-一般参数的假设检验和区间估计。

6.相关分析和回归分析-相关系数和线性相关的概念和性质。

-回归分析的一般原理。

-简单线性回归的估计和检验。

7.非参数统计方法-秩和检验和符号检验的基本思想和应用。

-秩相关系数的计算和检验。

8.分布拟合检验和贝叶斯统计-卡方拟合检验的原理和方法。

-正态总体参数的拟合优度检验。

-贝叶斯估计的基本思想和方法。

9.时间序列分析和质量控制-时间序列的基本性质和分析方法。

-时间序列预测的方法和模型。

-质量控制的基本概念和控制图的应用。

以上是概率论与数理统计总复习知识点的归纳，希望对你的复习有所帮助。

《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念§ 2 •样本空间、随机事件1•事件间的关系 A B 则称事件B包含事件A,指事件A发生必然导致事件B发生A、」B ={x x w A或x w B}称为事件A与事件B的和事件，指当且仅当A, B中至少有一个发生时，事件 A B发生Ac B ={x x E A且x E B}称为事件A与事件B的积事件，指当A, B同时发生时，事件A'B发生A —B ={x x乏A且x更B}称为事件A与事件B的差事件，指当且仅当A发生、B不发生时，事件A —B发生A* B •：,则称事件A与B是互不相容的，或互斥的，指事件A与事件B不能同时发生，基本事件是两两互不相容的A B = 5且 B =•，则称事件A与事件B互为逆事件，又称事件A与事件B互为对立事件2•运算规则交换律A _• B二B _• A A ' B二B - A结合律(A B) 一C = A 一(B 一C) (A 一B)C = A(B 一C)分配律A _( B - C)二(A 一B厂(A C)A -(B 一 C) =(A - B)(A - C)徳摩根律A = A - B A - B = A B§ 3 .频率与概率定义在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生的次数n A称为事件A发生的频数，比值n A n称为事件A发生的频率概率：设E是随机试验，S是它的样本空间，对于E的每一事件A赋予一个实数，记为P(A), 称为事件的概率1 •概率P(A)满足下列条件：(1)非负性：对于每一个事件 A 0乞P(A)乞1(2)规范性：对于必然事件S P(S) =1(3)可列可加性：设A I,A2,…，A n是两两互不相容的事件，有P( A k)=7 P(A k)( n可k」k=1以取：：)2.概率的一些重要性质：(i)P( ) =0n n(ii)若A I,A2,…，A n是两两互不相容的事件，则有P( A k)二二P(A k)( n可以取：：)k4 k 4(iii )设A，B是两个事件若A B，则P(B _ A) = P(B) _ P(A)，P(B) _ P(A)(iv )对于任意事件A, P(A) <1(v)P(A j=1—P(A) (逆事件的概率)(vi )对于任意事件A, B有P(A 一B)二P(A) P(B) - P(AB)§ 4等可能概型(古典概型)等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同若事件A包含k个基本事件，即人=3打｝2｛気｝2…U｛e J ，里i i, iz…，i k是1,2, n中某k个不同的数，则有/F \ k A包含的基本事件数巳厲./^卫「飞中基本事件的总数§ 5.条件概率(1)定义：设A,B是两个事件，且P(A) 0,称P(B| 为事件A发生的条P(A)件下事件B发生的条件概率(2)条件概率符合概率定义中的三个条件1。

《概率论与数理统计》第一章 概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 B A ⊂则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生B }x x x { ∈∈=⋃或A B A 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅当A ，B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生B }x x x { ∈∈=⋂且A B A 称为事件A 与事件B 的积事件，指当A ，B 同时发生时，事件B A ⋂发生B }x x x { ∉∈=且—A B A 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅当A 发生、B 不发生时，事件B A —发生φ=⋂B A ，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的且S =⋃B A φ=⋂B A ，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件A 与事件B 互为对立事件2．运算规则 交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃ 分配律 )()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（ ))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂ 徳摩根律B A B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3．频率与概率定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数A n 称为事件A 发生的频数，比值n n A 称为事件A 发生的频率概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率 1．概率)(A P 满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P（3）可列可加性：设n A A A ,,,21Λ是两两互不相容的事件，有∑===nk kn k kA P A P 11)()(Y （n 可以取∞）2．概率的一些重要性质： （i ） 0)(=φP（ii ）若n A A A ,,,21Λ是两两互不相容的事件，则有∑===nk kn k kA P A P 11)()(Y （n 可以取∞）（iii ）设A ，B 是两个事件若B A ⊂，则)()()(A P B P A B P -=-，)A ()B (P P ≥ （iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P（v ）)(1)(A P A P -= （逆事件的概率）（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同 若事件A包含k个基本事件，即}{}{}{2]1k i i i e e e A Y ΛY Y =，里个不同的数，则有中某，是，，k k n 2,1i i i ,21ΛΛ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑= §5．条件概率（1） 定义：设A,B 是两个事件，且0)(>A P ，称)()()|(A P AB P A B P =为事件A 发生的条件下事件B 发生的条件概率（2） 条件概率符合概率定义中的三个条件1。

概率论与数理统计知识点总结一、概率论知识点总结：1.随机事件：随机事件是指在一次试验中，可能发生也可能不发生的事件。

例如：掷硬币的结果、抽取扑克牌的花色等。

2.概率：概率是描述随机事件发生可能性大小的数值。

概率的取值范围是[0,1]，表示事件发生的可能性大小，0表示不可能发生，1表示一定会发生。

3.古典概型：古典概型是指每种可能的结果发生的概率相等的情形。

例如：掷骰子的结果、抽取彩色球的颜色等。

4.随机变量：随机变量是用来描述试验结果的数值，它的取值是根据随机事件的结果确定的。

例如：掷骰子的点数、抽取扑克牌的点数等。

5.概率分布：随机变量的概率分布描述了每个取值发生的概率。

常见的概率分布有离散概率分布和连续概率分布，如二项分布、正态分布等。

6. 期望值：期望值是衡量随机变量取值的平均值。

对于离散型随机变量，期望值=E[X]=∑[xP(X=x)]；对于连续型随机变量，期望值=E[X]=∫[x f(x)dx]，其中f(x)为概率密度函数。

7. 方差：方差是衡量随机变量取值与期望值之间的偏离程度。

方差=Var(X)=E[(X-E[X])^2]。

8.独立性：两个随机事件或随机变量之间的独立性表示它们的发生与否或取值无关联。

独立性的判定通常通过联合概率、条件概率等来进行推导。

二、数理统计知识点总结：1.样本与总体：在统计学中，样本是指从总体中选取的具体观测数据。

总体是指要研究的对象的全部个体或事物的集合。

2.参数与统计量：参数是描述总体特征的数值，如总体均值、总体方差等。

统计量是根据样本计算得到的参数估计值，用来估计总体参数。

3.抽样方法：抽样方法是从总体中选取样本的方法，常见的抽样方法有简单随机抽样、系统抽样、整群抽样等。

4.统计分布：统计分布是指样本统计量的分布。

常见的统计分布有t分布、F分布、x^2分布等，其中t分布适用于小样本、F分布适用于方差比较、x^2分布适用于拟合优度检验等。

5.点估计与区间估计：点估计是以样本统计量为基础，估计总体参数的数值。

《概率论与数理统计》第一章 概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 则称事件B 包含事件A ，指事件A 发生必然导致事件B 发生B A ⊂ 称为事件A 与事件B 的和事件，指当且仅B}x x x { ∈∈=⋃或A B A 当A ，B 中至少有一个发生时，事件发生B A ⋃称为事件A 与事件B 的积事件，指当B}x x x { ∈∈=⋂且A B A A ，B 同时发生时，事件发生B A ⋂ 称为事件A 与事件B 的差事件，指当且仅B}x x x { ∉∈=且—A B A 当A 发生、B 不发生时，事件发生B A —，则称事件A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件A 与事φ=⋂B A 件B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的，则称事件A 与事件B 互为逆事件，又称事件且S =⋃B A φ=⋂B A A 与事件B 互为对立事件2．运算规则 交换律A B B A A B B A ⋂=⋂⋃=⋃ 结合律)()( )()(C B A C B A C B A C B A ⋂=⋂⋃⋃=⋃⋃分配律)()B (C A A C B A ⋃⋂⋃=⋂⋃）（ ))(()( C A B A C B A ⋂⋂=⋃⋂徳摩根律BA B A A B A ⋃=⋂⋂=⋃ B —§3．频率与概率定义 在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件A 发生的次数称为A n 事件A 发生的频数，比值称为事件A 发生的频率n n A 概率：设E 是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A 赋予一个实数，记为P （A ），称为事件的概率1．概率满足下列条件：)(A P （1）非负性：对于每一个事件A 1)(0≤≤A P （2）规范性：对于必然事件S 1)S (=P（3）可列可加性：设是两两互不相容的事件，有n A A A ,,,21 （可以取）∑===nk k n k k A P A P 11)()( n ∞2．概率的一些重要性质：（i ）0)(=φP （ii ）若是两两互不相容的事件，则有（可以取）n A A A ,,,21 ∑===nk knk kA P A P 11)()(n ∞（iii ）设A ，B 是两个事件若，则，B A ⊂)()()(A P B P A B P -=-)A ()B (P P ≥（iv ）对于任意事件A ，1)(≤A P （v ） （逆事件的概率）)(1)(A P A P -=（vi ）对于任意事件A ，B 有)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同若事件A 包含k 个基本事件，即，里}{}{}{2]1k i i i e e e A =个不同的数，则有中某，是，，k k n 2,1i i i ,21 ()中基本事件的总数包含的基本事件数S }{)(1j A n k e P A P kj i ===∑=§5．条件概率（1）定义：设A,B 是两个事件，且，称为事件A 发生的0)(>A P )()()|(A P AB P A B P =条件下事件B 发生的条件概率（2）条件概率符合概率定义中的三个条件1。

《概率论与数理统计》第一章概率论的基本概念§2．样本空间、随机事件1．事件间的关系 A B 则称事件 B 包含事件 A ，指事件 A 发生必然导致事件 B 发生A B {x x A或x B} 称为事件 A 与事件 B 的和事件，指当且仅当 A ，B 中至少有一个发生时，事件 A B 发生A B {x x A且x B} 称为事件 A 与事件 B 的积事件，指当A，B 同时发生时，事件A B 发生A—B {x x A且x B} 称为事件A 与事件 B 的差事件，指当且仅当 A 发生、B 不发生时，事件 A — B 发生A B ，则称事件 A 与B 是互不相容的，或互斥的，指事件 A 与事件 B 不能同时发生，基本事件是两两互不相容的A B S A B ，则称事件 A 与事件 B 互为逆事件，又称事件 A 与事件 B 互为且对立事件2．运算规则交换律 A B B A A B B A结合律(A B) C A (B C) ( A B)C A(B C)分配律 A （B C）(A B) ( A C)A (B C)(A B)( A C)—徳摩根律 A B A B A B A B§3．频率与概率定义在相同的条件下，进行了n 次试验，在这n 次试验中，事件 A 发生的次数n称为事件AA 发生的频数，比值n nA 称为事件 A 发生的频率概率：设E是随机试验，S 是它的样本空间，对于E 的每一事件A赋予一个实数，记为P（A），称为事件的概率1．概率P( A)满足下列条件：（1）非负性：对于每一个事件 A 0 P( A) 1（2）规范性：对于必然事件S P (S) 11（3）可列可加性：设A1, A2 , ,A是两两互不相容的事件，有nn nP A k ) P( A) ( （n可kk 1 k 1以取）2．概率的一些重要性质：（i ）P( ) 0（ii ）若A1, A2 , ,A是两两互不相容的事件，则有n Pn n( （n可以取）A k ) P( A )kk 1 k 1（iii ）设A，B 是两个事件若 A B ，则P(B A) P( B) P( A) ，P( B) P(A) （iv）对于任意事件A，P(A) 1（v）P( A) 1 P(A) （逆事件的概率）（vi）对于任意事件A，B 有P(A B) P( A) P( B) P( A B)§4等可能概型（古典概型）等可能概型：试验的样本空间只包含有限个元素，试验中每个事件发生的可能性相同若事件 A 包含k 个基本事件，即{e i } {e } {e }A ，里1 i i k] 2，k是，中某个不同的数，则有i1 i 2, ，i k 1,2 nP( A)j k1P { eij}knA包含的基本事件数S中基本事件的总数§5．条件概率（1）定义：设A,B 是两个事件，且P( A) 0 ，称P( A B)P(B | A) 为事件 A 发生的条P(A)件下事件 B 发生的条件概率（2）条件概率符合概率定义中的三个条件。

概率论与数理统计知识点一、概率论知识点1.1 概率基本概念概率是研究事物变化规律的一门学科。

在概率学中，我们需要掌握一些基本概念：•随机试验：一种在相同条件下重复的可以观察到不同结果的试验。

•样本空间：随机试验所有可能结果的集合。

•事件：样本空间的子集。

•频率和概率：在大量重复实验中，某个事件出现的频率称为频率，其极限称为概率。

1.2 概率计算公式•加法公式：P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)•乘法公式：P(A∩B) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A)•条件概率公式：P(A|B) = P(A∩B)/P(B)•全概率公式：P(B) = Σi=1nP(Ai)P(B|Ai)•贝叶斯公式：P(Ai|B) = P(Ai)P(B|Ai)/Σj=1nP(Aj)P(B|Aj)1.3 随机变量和分布随机变量是用来描述随机试验结果的数学量。

离散型随机变量和连续型随机变量是概率论中两个重要的概念。

•离散型随机变量：在一个范围内，只有有限个或无限个可能值的随机变量。

•连续型随机变量：在一个范围内，有无限个可能值的随机变量。

概率分布是反映随机变量取值情况的概率规律，可分为离散型概率分布和连续型概率分布。

•离散型概率分布：包括伯努利分布、二项分布、泊松分布等。

•连续型概率分布：包括正态分布、指数分布、卡方分布等。

1.4 常用概率分布概率论涉及到很多的分布，其中一些常用的分布如下：•二项分布•泊松分布•正态分布•均匀分布•指数分布1.5 统计推断在概率论中，统计推断是指根据样本数据来对总体进行参数估计和假设检验的方法。

统计推断主要涉及以下两个方面：•点估计：使用样本数据来推断总体参数的值。

•区间估计：使用样本数据来推断总体参数的一个区间。

二、数理统计知识点2.1 统计数据的描述为了更准确地描述数据，我们需要使用以下几个参数：•平均数：所有数据的和除以数据个数。

•中位数：将数据按大小排序，位于中间位置的数。

概率论与数理统计总结3、分布函数与概率的关系 ∞<<∞-≤=x x X P x F ),()()()()()()(a F b F a X P b X P b X a P -=≤-≤=≤<4、离散型随机变量的分布函数 (1) 0 – 1 分布 1,0,)1()(1=-==-k p p k X P kk(2) 二项分布 ),(p n B nk p p C k X P k n k k n,,1,0,)1()( =-==- 泊松定理 0lim >=∞→λnn np有,2,1,0!)1(lim ==---∞→k k ep p Ckkn n knk nn λλ(3) 泊松分布 )(λP =,2,1,0,!)(===-k k ek X P kλλ（5）几何分布 p q k p q k X P k -====-1,2,1}{1dt t f x F x ⎰∞-=)()(则称X 为连续型随机变量，其中函数f(x)称为随机变量X 的概率密度函数， 2、分布函数的性质：（1）连续型随机变量的分布函数F(x )是连续函数。

（2）对于连续型随机变量X 来说，它取任一指定实数a 的概率均为零，即P{X=a }=0。

3、常见随机变量的分布函数 (1) 均匀分布 ),(b a U⎪⎩⎪⎨⎧<<-=其他,0,1)(b x a ab x f⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=1,,0)(a b a x x F(2) 指数分布 )(λE⎪⎩⎪⎨⎧>=-其他,00,)(x e x f x λλ ⎩⎨⎧≥-<=-0,10,0)(x ex x F xλ (3) 正态分布 N (μ , σ 2 )+∞<<∞-=--x ex f x 222)(21)(σμσπ⎰∞---=xt tex F d 21)(222)(σμσπN (0,1) — 标准正态分布+∞<<∞-=-x ex x 2221)(πϕ+∞<<∞-=Φ⎰∞--x t e x xt d 21)(22π2、连续型随机变量函数的分布： （1）分布函数法；(){}⎰⎰<==∈=yx g X l X yYdxx f dx x f l X P y F y)()()(（2）设随机变量X 具有概率密度f X (x )，又设函数g(x )处处可导且恒有g '(x )>0 (或恒有g '(x )<0) ，则Y=g(X )的概率密度为()()[]()⎩⎨⎧<<'=其他βαy y h y h f y f XY 其中x =h(y )为y =g(x )的反函数，()()()()()()∞+∞-=∞+∞-=g g g g ,m ax ,,m in βα 3、 二维连续型随机变量（1）联合分布函数为dudvv u f y x F y x ⎰⎰∞-∞-=),(),(函数f (x ,y )称为二维向量(X ,Y )的(联合)概率密度.其中： 0),(≥y x f ，⎰⎰∞∞-∞∞-=1),(dxdy y x f（2）基本二维连续型随机向量分布均匀分布：⎪⎩⎪⎨⎧∈=其他),(1),(G y x Ay x f二维正态分布：+∞<<-∞+∞<<∞--=-+------y x ey x f y y x x ,121),(])())((2)([)1(212212222212121212σμσσμμρσμρρσπσ3、离散型边缘分布律：4、 连续型边缘概率密度 ,),()(dy y x f x f X⎰∞+∞-= dx y x f y f Y⎰∞+∞-=),()(F (x ，y )=F x (x )F Y (y ) 则称随机变量X 和Y 是相互独立的3、连续型随机变量独立的等价条件 设(X ，Y )是连续型随机变量，f (x ，y )，f x (x )，f Y (y )分别为(X ，Y )的概率密度和边缘概率密度，则X 和Y 相互独立的充要条件是等式 f (x ，y ) = f x (x )f Y (y ) 对f (x ，y )，f x (x )，f Y (y )的所有连续点成立. 五、条件分布1、离散型随机变量的条件分布律： （3）条件分布函数：2、连续型随机变量的条件分布 （1）条件分布函数⎰⎰∞-∞-==x Y Y X Y x YX du y f y u f y x F y f du y u f y x F )(),()|()(),()|(||或写成，（2）条件概率密度在Y=y 条件下X 的条件概率密度)(),()|(|y f y x f y x fY Y X =同理 X=x 条件下X 的条件概率密度)(),()|(|x f y x f x y f X X Y =六、多维随机函数的分布 1、离散型随机变量函数分布：二项分布：设X 和Y 独立,分别服从二项分布b (n 1,p ), 和b (n 2,p )，则 Z=X+Y 的分布律：Z ～b (n 1+n 2,p ).泊松分布：若X 和Y 相互独立,它们分别服从参数为21,λλ的泊松分布,则Z=X+Y 服从参数为21λλ+的泊松分布。

概率论与数理统计 知识点总结一、随机事件与概率1.随机事件（1）事件间的关系与运算● 事件的差：A B A AB AB -=-= ● 对立事件：,AA A A =∅⋃=Ω ● 完备事件组：设12,,,,n A A A 是有限或可数个事件，如果其满足：① ,,,1,2,i j A A i j i j =∅≠=； ②i iA =Ω，则称12,,,,n A A A 是一个完备事件组.（2）随机事件的运算律 ● 求和运算：①A B B A +=+（交换律）②()()A B C A B C A B C ++=++=++（结合律） ● 求交运算：①AB BA =（交换律）②()()AB C A BC ABC ==（结合律） ● 求和运算与求交运算的混合：①()()()A B C AB AC +=+（第一分配律） ②()()()A BC A B A C +=++（第二分配律） ● 求对立事件的运算：()A A =（自反律） ● 和及交事件的对立事件：①A B AB +=（第一对偶律） ②AB A B =+（第二对偶律）2.随机事件的概率（1）概率的公理化定义● 公理1：()1P Ω=；公理2：对任意事件A ，有()0P A ≥；公理3：对任意可数个两两不相容的事件12,,,,n A A A ，有11()()i i i i P A P A ∞∞===∑.（2）概率测度的其他性质 ● 性质1：()0P ∅=性质2（有限可加性）：12,,,n A A A 是两两互不相容的，则有11()()nni i i i P A P A ===∑性质3：()1()P A P A =-性质4：()()()P A B P A P AB -=-特别地，若A B ⊃，则①()()()P A B P A P B -=-；②()()P A P B ≥ 性质5：0()1P A ≤≤性质6：()()()()P A B P A P B P AB +=+-推论：()()()()()()()()P A B C P A P B P C P AB P AC P BC P ABC ++=++---+3.古典概型与几何概型（1）古典概型● 古典概型的概率测度：()==A A P A Ω中元素个数使发生的基本事件数中元素个数基本事件总数（2）几何概型● 几何概型的概率测度：()()()S A P A S =Ω 4.条件概率（1）条件概率的数学定义 ●()()(()0)()P AB P B A P A P A =>● ()1()P B A P B A =- ●()1()P B A P B A =-● 条件概率测度满足概率的三条公理：公理1：()1P A Ω=；公理2：对任意事件B ，有()0P B A ≥；公理3：对任意可数个两两不相容的事件12,,,,n A A A ，有11()()i i i i P A A P A A ∞∞===∑.（2）乘法公式 ● ()()(),()0P AB P A P B A P A => ● ()()(),()0P AB P B P A B P B => ● ()()()()P ABC P A P B A P C AB = ●12121312121()()()()()n n n P A A A P A P A A P A A A P A A A A -=（3）全概率公式● 设{}i A 是一列有限或可数无穷个两两不相容的非零概率事件，且i iA =Ω，则对任意事件B ，有()()()i i iP B P A P B A =∑.（4）贝叶斯公式● 设{}i A 是一列有限或可数无穷个两两不相容的非零概率事件，且1i i A ∞==Ω，则对任意事件B ， ()0P B >，有()()()()()()()i i i i j j jP A P B A P A B P A B P B P A P B A ==∑. 5.事件的独立性（1）两个事件的独立性 ●()()()P AB P A P B =（2）有限个事件的独立性● 两两独立：()()()i j i j P A A P A P A = ● 相互独立：1212()()()()k k i i i i i i P A A A P A P A P A =（3）相互独立性的性质 ● 性质1：如果n 个事件12,,,n A A A 相互独立，则将其中任何(1)m m n ≤≤个事件改为相应的对立事件，形成的新的n 个事件仍然相互独立. 性质2：如果n 个事件12,,,n A A A 相互独立，则有1111()1(1())n n ni i i i i i P A P A P A ===⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭∏∏（4）伯努利概型● 伯努利定理：在一次试验中，事件A 发生的概率为(01)p p <<，则在n 重伯努利试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为：(;,)C k k n kn b k n p p q-=，其中1q p =-. ● 在伯努利试验序列中，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，“事件A 在第k 次试验中才首次发生”(1)k ≥，这一事件的概率为1(,)k g k p q p -=.二、随机变量的分布与数字特征1.随机变量及其分布（1）离散型随机变量的概率分布● 离散型随机变量的概率分布满足性质：①()0,1,2,i p x i ≥=②()1iip x =∑● 一旦知道一个离散型随机变量X 的概率分布{}i p x （），便可求得X 所生成的任何事件的概率.特别地，对任意a b ≤，有{}({}){}()i i i i i i a x ba x ba x bP a X b P X x P X x p x ≤≤≤≤≤≤≤≤=====∑∑.一般地，若I 是一个区间，则{}=()i ix IP X I p x ∈∈∑.（2）分布函数● 随机变量的分布函数性质：①单调性，若12x x <，则12()()F x F x ≤； ②()lim ()0x F F x →-∞-∞==，()lim ()1x F F x →+∞+∞==；③右连续性，(0)()F x F x +=. （3）连续型随机变量及其概率密度 ●(){}()xF x P X x f t dt -∞=≤=⎰，()f x 为X 的概率密度函数.● 密度函数性质：①()0,(,)f x x ≥∈-∞+∞； ②()1f x dx +∞-∞=⎰.● {}()()()b aP a X b F b F a f x dx <≤=-=⎰● {}0P X x ==（连续型）●'()()F x f x =2.随机变量的数字特征（1）离散型随机变量的数学期望 ●1=i i i EX x p ∞=∑（2）连续型随机变量的数学期望 ●()EX xf x dx +∞-∞=⎰（3）随机变量函数的数学期望● 设X 是一个随机变量，()g x 是一个实函数.①若X 为离散型随机变量，概率分布为{},1,2,i i P X x p i ===.且1()iii g x p∞=<∞∑，则()Eg X 存在，且1()()i i i Eg X g x p ∞==∑.②若X 为连续型随机变量，()f x 是其密度函数，且()()g x f x dx +∞-∞<∞⎰，则()Eg X 存在，且()()()Eg X g x f x dx +∞-∞=⎰.（4）数学期望的性质● ①对任意常数a ，有Ea a =；②设12,αα为任意实数，12(),()g x g x 为任意实函数，如果12(),()Eg X Eg X 均存在，则11221122[()()]()()E g X g X Eg X Eg X αααα+=+；③如果EX 存在，则对任意实数a ，有()E X a EX a +=+. （5）随机变量的方差 ● 离差：X EX -● 方差：2()DX E X EX =-● ● ①若X 为离散型随机变量，其概率分布为{},1,2,i i P X x p i ===，则22()()i i iDX E X EX x EX p =-=-∑②若X 为连续型随机变量，()f x 为其密度函数，则22()()()DX E X EX x EX f x dx +∞-∞=-=-⎰③22()DX EX EX =-● 方差的基本性质：设X 的方差DX 存在，a 为任意常数，则 ①0Da =；②()D X a DX +=； ③2()D aX a DX =.（6）随机变量的矩与切比雪夫不等式● 矩定义：X 为一个随机变量，k 为正整数，如果kEX 存在（即kE X<∞），则称kEX 为X的k 阶原点矩，称kE X 为X 的k 阶绝对矩.定理：随机变量X 的t 阶矩存在，则其s 阶矩（s t <为正整数）也存在. 推论：设k 为正整数，C 为常数，如果kEX 存在，则()kE X C +存在，特别地，)k E X EX -（存在.● 中心矩定义：X 为一个随机变量，k 为正整数，如果k EX 存在，则称()kE X EX -为X 的k阶中心矩，称kE X EX -为X 的k 阶绝对中心矩.● 定理：设()h x 是x 的一个非负函数，X 是一个随机变量，且()Eh X 存在，则对任意0ε>，有(){()}Eh X P h X εε≥≤.推论1（马尔可夫不等式）：设X 的k 阶矩存在（k 为正整数），即kE X <∞，则对任意0ε>有{}kkE XP X εε≥≤.推论2（切比雪夫不等式）：设X 的方差存在，则对任意0ε>有2{}DXP X EX εε-≥≤.推论3：随机变量X 的方差为0当且仅当存在一个常数a ，使得{}=1P X a =.3.常用的离散型分布,n),n kp -,ndef(,),g k p k =几何分布的无记忆性：设{P X二项分布可作为超几何分布的近似，即1212C C Ck n kk n kN N k n nNN N C N N --⎛⎫⎛⎫≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.这一近似关系的严格数学表述是：当N →∞时，1N →∞，2N →∞，且1N p N →，21Np N→-，则对任意给定的n 和k ，有()12C C lim1Ck n kn kN N k kn nN NC p p --→∞=-.泊松定理：在n 重伯努利试验中，事件A 在每次试验中发生的概率为n p （注意这与试验的次数n 有关），如果n →∞时，n np λ→（0λ>为常数），则对任意给定的k ，有lim (;,)e !kn n b k n p k λλ-→∞=.当二项分布(,)b n p 的参数n 很大，而p 很小时，可以将它用参数为np λ=的泊松分布来近似，即有()(;,)e !k npnp b k n p k -≈.4.常用的连续型分布正态分布● 定理：设2~(,),,,X N Y aX b a b μσ=+为常数，且0a ≠，则22~(,)Y N a b aμσ+.推论1：如果2~(,)X N μσ，则~(0,1)X N μξσ-=.ξ通常称为X 的标准化.推论2：2~(,)X N μσ的充要条件是存在一个随机变量~(0,1)N ξ，使得X σξμ=+. 推论3：设2~(,),(),()X N x x μσϕΦ分别为其分布函数与密度函数，00(),()x x ϕΦ是标准正态分布的分布函数和密度函数，则有00()(),1()().x x x x μσμϕϕσσ-Φ=Φ-=● 一般正态分布的概率计算：【例】已知2~(,)X N μσ，求()a Φ. 解 0(){}{}{}()X a X a P X a P P b b μμμσσσ---Φ=≤=≤=≤=Φ5.随机变量函数的分布（1）离散型随机变量函数的分布● 离散型随机变量函数的概率分布的一般方法：先根据自变量X 的可能取值确定因变量Y 的所有可能取值，然后对Y 的每一个可能取值(1,2,)i y i =确定相应的{()}i j j i C x g x y ==，则有{}{()}{},{}{}{},j ii i i i i jx C Y y g X y X C P Y y P X C P X x ∈====∈==∈==∑从而求得Y 的概率分布. （2）连续型随机变量函数的分布● 连续型随机变量函数的概率分布的一般方法：一般地，已知X 的分布函数()X F x 或密度函数()X f x ，为求()Y g X =的分布函数，有()(){()}{},Y x F x P Y x P g X x P X C =≤=≤=∈其中{()}x C t g t x =≤.而{}x P X C ∈往往可由X 的分布函数()X F x 来表达或用其密度函数()X f x 的积分来表达：{}()xx X C P X C f t dt ∈=⎰.进而，Y 的密度函数，可直接从()Y F x 导出.三、随机向量1.随机向量的分布（1）随机向量及其分布函数 ●1212{,}P x X x y Y y <≤<≤22122111(,)(,)(,)(,)F x y F x y F x y F x y =--+● 由（联合）分布函数的定义得出性质：①0(,)1F x y ≤≤；②(,)F x y 关于x 和y 均单调非降、右连续； ③(,)lim (,)0,x F y F x y →-∞-∞==(,)lim (,)0,y F x F x y →-∞-∞==(,)(,)(,)lim (,)0,x y F F x y →-∞-∞-∞-∞== (,)(,)(+,+)lim(,) 1.x y F F x y →+∞+∞∞∞==●(,)F x y 的边缘分布函数：(){}{,}(,)X F x P X x P X x Y F x =≤=≤<+∞=+∞， (){}{,}(,)Y F y P Y y P X Y y F y =≤=<+∞≤=+∞.（2）离散型随机向量的概率分布● 离散型随机向量的概率分布{,},,1,2,i i ij P X x Y y p i j ====，ij p 满足性质：①0,,1,2,ij p i j ≥=；②1ijijp=∑∑.● 边缘概率分布：{},1,2,X i i ij jp P X x p i ====∑ {},1,2,Y j j ij ip P Y y p j ====∑（3）连续型随机向量的概率密度函数 ● 二维连续型随机向量(,)(,)x yF x y f s t dsdt -∞-∞=⎰⎰，(,)f x y 为(),X Y 的概率密度函数或X 与Y 的联合密度函数. (,)f x y 具有性质：①(,)0f x y ≥； ②(,)1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰；③若D 是平面上的一个区域，则(){,}(,)DP X Y D f x y dxdy ∈=⎰⎰● 边缘密度函数：()(,)()(,)X Y f x f x y dyf y f x y dx+∞-∞+∞-∞==⎰⎰● 均匀分布的密度函数：1,(,)()(,)0,x y G S G f x y ⎧∈⎪=⎨⎪⎩其他，若(),X Y 服从G 上的均匀分布，则对任何平面区域D ，有()1(){,}(,)=()()DD GS D G P X Y D f x y dxdy dxdy S G S G ⋂⋂∈==⎰⎰⎰⎰. （4）二元正态分布 ● 密度函数：()2211222221212()()()()122(1),x x y y x y μμμμρσσρσσϕ⎡⎤------+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦=，记作()221212,~(,;,;)X Y N μμσσρ.● 边缘密度函数分布：()2121()2()=,x X x x y dy μσϕϕ--+∞-∞⎰，()2222()2()=,y Y y x y dx μσϕϕ--+∞-∞⎰.注意：比较联合密度函数(),x y ϕ和边缘密度函数()X x ϕ，()Y y ϕ，当且仅当0ρ=时，对一切(),x y ，有(),()()X Y x y x y ϕϕϕ=.2.条件分布与随机变量的独立性（1）条件分布与独立性的一般概念● 随机变量X 和Y 相互独立：(,)()()X Y F x y F x F y =● 定理1：随机变量X 和Y 相互独立的充要条件是X 所生成的任何事件与Y 生成的任何事件独立，即对任意实数集A 和B ，有{,}{}{}P X A Y B P X A P Y B ∈∈=∈∈.定理2：如果随机变量X 和Y 相互独立，则对任意函数12(),()g x g y ，均有1()g X 与2()g Y 相互独立. ● 相互独立：12,,,n X X X 相互独立，()121122,,,()()()n n n F x x x F x F x F x =.（2）离散型随机变量的条件概率分布与独立性 ● 概率分布：{,},,1,2,i j ij P X x Y y p i j ====●i j p （当{}0i P Y y =>时）：{,}{}{}iji i i j Y i jP P X x Y y P X x Y y P Y y P =======性质：①0i j p ≥；②1i jip=∑.● 已知j Y y =的条件下X 的条件概率分布：{},1,2,i i i j P X x Y y p i ====； 已知i X x =的条件下Y 的条件概率分布：{},1,2,i i j i P Y y X x p j ====.●X Y ij i j j i i j p p p p p =⋅=⋅● 定理：设,X Y 是离散型随机变量，其联合概率分布为{,}(,1,2,)i j ij P X x Y y p i j ====，边缘概率分布分别为X i p 和Yj p (,1,2,)i j =，则X 与Y 相互独立的充要条件是,,1,2,X Y ij i j p p p i j ==.（3）连续型随机变量的条件密度函数与独立性● 在Y y =的条件下X 的条件分布：0(,){,}{}lim {}()xy Y f u y du P X x y y Y y P X x Y y P y y Y y f y -∞∆→≤-∆<≤≤===-∆<≤⎰● 条件分布和条件密度函数● (,)()()()()X Y Y X X Y f x y f x f y x f y f x y ==● 定理：设连续型随机向量(),X Y 的密度函数为(,)f x y ，边缘密度函数分别为()X f x 和()Y f y ，则X 与Y 相互独立的充要条件是(,)()()X Y f x y f x f y =.3.随机向量的函数的分布与数学期望（1）离散型随机向量的函数分布 ●(,){}{(,)}{,},1,2,i j kk k i j g x y z P Z z P g X Y z P X x Y y k ========∑● 设,X Y 是两个相互独立的随机变量，分别服从参数为1λ和2λ的泊松分布，则X Y ξ=+的分布为()()1212e ,0,1,2,!kk k λλλλ-++=,可见X Y ξ=+服从参数为()12λλ+的泊松分布.结论：泊松分布具有独立可加性.2,（2）连续型随机向量的函数分布● 分布函数：(){}{(,)}{(,)}(,)zZ z D F z P Z z P g X Y z P X Y D f x y dxdy =≤=≤=∈=⎰⎰，其中z D ={(,)(,)}x y g x y z ≤. ● 密度函数：'()=()Z Z f z F z .● 随机变量的和：设(,)X Y 的联合密度函数为(,)f x y ，则X Y +的密度函数为()=(,)Z f z f z y y dy +∞-∞-⎰或 ()=(,)Z f z f x z x dx +∞-∞-⎰特别地，如果X 和Y 是相互独立的随机变量，则有(卷积公式)()=()()Z X Y f z f x f z x dx +∞-∞-⎰或 ()=()()Z X Y f z f z y f y dy +∞-∞-⎰即，()=*()*()Z X Y Y X f z f f z f f z =.● 独立正态随机变量之和：设随机变量221122~(,),~(,)X N Y N μσμσ，且X 与Y 独立，则221212~(,)X Y N μμσσ+++，即2122212()2()()z X Y f z μμσσ⎡⎤---⎢⎥+⎢⎥⎣⎦+=，结论：独立正态分布的和服从正态分布.推论：X 与Y 相互独立且分别服从正态分布211(,)N μσ和222(,)N μσ，则其任意非零线性组合仍服从正态分布，且22221212~(,)aX bY N a b a b μμσσ+++.进一步地，12,,n X X X 相互独立，2~(,)i i iX N μσ，则22111~(,)n n ni i i i i i i i i a X N a a μσ===∑∑∑.● 随机变量的商：设二维随机向量(,)X Y 的密度函数为(,)f x y ，则XZ Y=的密度函数为'()=()(,)Z Z f z F z y f zy y dy +∞-∞=⎰.● 最大值与最小值：设,X Y 的分布函数分别为(),()F x G x ，密度函数分别为(),()f x g x ，且X与Y 相互独立，令max{,},min{,}M X Y N X Y ==，则有（3）随机向量函数的数学期望● 二维离散型随机向量的数学期望：,(,)(,)ijiji jEZ Eg X Y g x y p==∑.● 二维连续型随机向量的数学期望：(,)(,)(,)EZ Eg X Y g x y f x y dxdy +∞+∞-∞-∞==⎰⎰.●(,)g X Y XY =型：()(),,,(,),,i j ij i jx y p X Y EXY xyf x y dxdy X Y +∞+∞-∞-∞⎧⎪=⎨⎪⎩∑⎰⎰若为离散型若为连续型 （4）数学期望的进一步性质● （1）对任意两个随机变量,X Y ，如果其数学期望均存在，则()E X Y +存在，且()=E X Y EX EY ++（2）设,X Y 为任意两个相互独立的随机变量，数学期望均存在，则EXY 存在，且=EXY EXEY推广： （1）12,,,n X X X 是任意n 个随机变量，数学期望均存在，则()12n E X X X +++存在，且()1212n n E X X X EX EX EX +++=+++（2）设12,,,n X X X 是个相互独立的随机变量，且数学期望均存在，则()12n E X X X 存在，且()1212n n E X X X EX EX EX =.4.随机变量的数字特征（1）协方差● 协方差：()()()cov ,X Y E X EX Y EY =--⎡⎤⎣⎦1,2,)●()cov ,X Y EXY EXEY =-● 定理：（1）()cov ,X X DX = （2）()()cov ,cov ,X Y Y X =（3）()()cov ,cov ,,,aX bY ab X Y a b =为任意常数 （4）()cov ,0,C X C =为任意常数（5）()()()1212cov ,cov ,cov ,X X Y X Y X Y +=+ （6）如果X 与Y 相互独立，则()cov ,0X Y =推论：设,X Y 为任意两个随机变量，如果其方差均存在，则X Y +的方差也存在，且()()2cov ,D X Y DX DY X Y +=++.()()2cov ,D X Y DX DY X Y -=+-特别地，如果X 与Y 相互独立，则()D X Y DX DY +=+.● 定理：设()12,,,n X X X 是n 维随机向量，如果()1,2,,i X i n =的方差均存在，则对任意实向量()12,,,n λλλ，1ni i i X λ=∑的方差必存在，且()21112cov ,n n i i i i i j i j i i i j n D X DX X X λλλλ==≤<≤⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∑∑∑.特别地，如果12,,,n X X X 两两独立，则211n n i i i i i i D X DX λλ==⎛⎫= ⎪⎝⎭∑∑. （2）协方差矩阵 ● 记()T 12,,,n X X X =X ，其协差阵通常记作D X .对任意实向量()T12,,,n λλλ=λ，有()T T D D =λX λX λ.对任意实向量()T12,,,n λλλ=λ，()T T 0D D =≥λX λλX .（3）相关系数 ●,cov ,X Y X Y ρ，,1X Y ρ≤● 定理：设(),X Y 是一个二维随机向量，,DX DY 均存在且为正，则,1X Y ρ=的充要条件是X 与Y 具有线性关系，即存在常数0a ≠及常数b ，使得{}1P Y ax b =+=.而且，当0a >时，,1X Y ρ=；当0a <时，,1X Y ρ=-.● 如果,DX DY 均存在且为正，那么X 与Y 不相关等价以下条件：①()cov ,0X Y =； ②EXY EXEY =；③()D X Y DX DY +=+； ④,0X Y ρ=.5.大数定律与中心极限定理（1）依概率收敛 ● 定义：设12,,,,,n X X X X 是一列随机变量，如果对任意0ε>，恒有{}lim 0n n P X X ε→∞->=，则称{}n X 依概率收敛到X ，记作Pn X X −−→或lim n n P X X →∞-=.（2）大数定律 ● 定理：①伯努利大数定律：设n μ是n 重伯努利试验中事件A 发生的次数，已知在每次试验中A 发生的概率为()01p p <<，则对任意0ε>，有lim 0n n P p n με→∞⎧⎫->=⎨⎬⎩⎭， 即Pnp nμ−−→或limnn P p nμ→∞-=.②切比雪夫大数定律：设12,,,n ξξξ是一列两两不相关的随机变量，它们的数学期望iE ξ和方差i D ξ均存在，且方差有界，即存在常数C ，使得()1,2,i D C i ξ≤=，则对任意0ε>，有1111lim 1n ni i n i i P E n n ξξε→∞==⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭∑∑. 推论：设12,,,nξξξ是一列独立同分布的随机变量，其数学期望和方差均存在，记=i E ξμ，则对任意0ε>，有11lim 1n i n i P n ξμε→∞=⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭∑. 即11n Pi i n ξμ=−−→∑.③辛钦大数定律：设12,,,nξξξ是一列相互独立同分布的随机变量，且数学期望存在，记=i E ξμ，则有11lim 1n i n i P n ξμε→∞=⎧⎫-<=⎨⎬⎩⎭∑. （3）中心极限定理● 定理：林德伯格-列维 设12,,,n ξξξ是一列相互独立同分布的随机变量，且=i E ξμ，2=0,1,2,,i D i ξσ>=则有22lim en t i xn n P x dt ξμ--∞→∞⎧⎫-⎪⎪⎪≤=⎬⎪⎪⎪⎩⎭∑.● 定理：设()~,,01,n X b n p p <<则22lim et xn P x dt --∞→∞⎧⎫⎪≤=⎬⎪⎭.四、数理统计的基础知识1.总体与样本样本与样本分布● 总体X 的分布函数为()F x ，则样本()12,,,n X X X 的分布函数为：()()121,,,nn n i i F x x x F x ==∏，称之为样本分布.特别地，若总体X 为连续型随机变量，其密度函数为()f x ，则样本的密度函数为()()121,,,nn n i i f x x x f x ==∏.若总体X 为离散型随机变量，概率分布为(){}p x P X x ==，x 取遍X 所有可能取值，则样本的概率分布为()()()1211221,,,,,,nn n n n i i p x x x P X x X x X x p x ======∏.),n i x =∏为伯努利总体，如果它服从以}{,p P X =)12,,,n X X X 的概率分布为,n n X i =取1或0，而n i +，它恰等于样本中取值为服从参数为λ的泊松分布，)12,,,n X X 为其样本，则样本的概率分布为)21,,ee !!!!kinn n n k k k n i X i X i i i i i λλλλ--======∏，其中取非负整数，而n i ++.2.统计量常用的统计量)n X +2)X -1(ni i X X =-∑3.常用的统计分布（1）分位数● 上侧分位数：设随机变量X 的分布函数为()F x ，对给定的实数(01)αα<<，如果实数F α满足{}P X F αα>=，即()1F F αα-=或()1F F αα=-，则称F α为随机变量X 的分布的水平α上的上侧分位数. ● 有关等式：{}1P X F αα-≤= 1221P F X F ααα-⎧⎫<≤=-⎨⎬⎩⎭推论：()()122,,P X F m n X F m n ααα-⎛⎫⎧⎫⎧⎫<⋃>= ⎪⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎩⎭⎝⎭或()()122,,1P F m n X F m n ααα-⎧⎫<<-⎨⎬⎩⎭. ● 双侧分位数：设X 是对称分布的连续型随机变量，其分布函数为()F x ，对给定的实数(01)αα<<，如果正实数T α满足{}P X T αα>=，即()()1F T F T ααα--=-.则称T α为随机变量X 的分布的水平α的双侧分位数. 注意：由于对称性，上式可改写为：()12F T αα=-或{}()12P X T F T ααα>=-=.对于具有对称密度函数的分布函数的上侧分位数，恒有1F F αα-=-. （2）2χ分布 ● 命题：设()12,,,n X X X 是n 个相互独立的随机变量，且()~0,1,1,2,,i X N i n =，则22212n X X X X=+++的密度函数为()1122221;e,022n x n x n xx n χ--=>⎛⎫Γ ⎪⎝⎭.● Γ函数：()()10e 0a x a x dx a +∞--Γ=>⎰.●2χ分布：一个随机变量X 称为服从以n 为自由度的2χ分布，如果其密度函数由()1122221;e,022n x n x n xx n χ--=>⎛⎫Γ ⎪⎝⎭给出，记作()2~X n χ.● 命题：①若()()22~,~X m Y n χχ，且X 与Y 相互独立，则()2~X Y m n χ++. ②若()2~X n χ，则,2EX n DX n ==.（3）F 分布 ● 命题：设Z 由/=/X m n X Z Y n m Y=（设()()22~,~X m Y n χχ，且X 与Y 相互独立.）所定义，则Z 的密度函数为()()11221;,1,0,22m m n m m m f x m n x x x m n n n n --+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+> ⎪⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ⎪⎝⎭.● B 函数：()()()1110,=10,0q p p q x x dx p q --B ->>⎰.●F 分布：如果一个随机变量X 的密度函数由()()11221;,1,0,22m m n m m m f x m n x x x m n n n n --+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+> ⎪⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ⎪⎝⎭给出，则称其服从第一自由度为m ，第二自由度为n 的F 分布，记作()~,X F m n . ● 若()~,X F m n ，则()1~,XF n m -.● 当α接近1时，可利用()()11,=,F m n F n m αα-求出所需上侧分位数.（3）t 分布● 定义式：设()()2~0,1,~X N Y n χ，且X 与Y相互独立，记T =，则()2~1,/X T F n Y n=.● 命题：T 的密度函数为()122;1,n x t x n x n +-⎫=+-∞<<+∞⎪⎭⎝⎭.●t 分布：如果一个随机变量X 的密度函数由()122;1,n x t x n x n +-⎫=+-∞<<+∞⎪⎭⎝⎭给出，则称其为服从自由度为n 的t 分布，记作()~X t n .注意：当自由度n 很大时，t 分布接近于标准正态分布，因为2+11222lim 1=en x n x n --→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.●当α接近1时，()()1t n t n αα-=-.4.抽样分布（1）正态总体的抽样分布● 定理：设总体()()212~,,,,,n X N X X X μσ是其容量为n 的一个样本，X 与2S 分别为此样本的样本均值与样本方差，则有①2~,X N n σμ⎛⎫⎪⎝⎭；②()2221~1n S n χσ--；③X 与2S 相互独立. ● 单正态总体的抽样分布定理：设()12,,,n X X X 为正态总体()2~,X N μσ的样本，X 与2S 分别为该样本的样本均值与样本方差，则有①()~0,1X U N =；②()2221~1n S n χσ--；③()~1X T t n =-.● 双正态总体的抽样分布定理：设()211~,X N μσ与()222~,Y N μσ是两个相互独立的正态总体.又设()112,,n X X X是总体X 的容量为1n 的样本，X 与21S 分别为该样本的样本均值与样本方差.再设()212,,n Y Y Y 是总体Y 的容量为2n 的样本，Y 与22S 分别为此样本的样本均值与样本方差.记2S 是21S 与22S 的加权平均：222121212121122n n S S S n n n n --=++-+-，则有 ①()()~0,1X Y U N μμ---=；②()222112212~1,1S F F n n S σσ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭；③当22212==σσσ时，()12~2X Y T t n n μμ---=+-.（2）一般总体抽样分布的极限分布 ● 定理：设()12,,,n X X X 为总体X 的样本，并设总体X 的数学期望与方差均存在，分别记为2,EX DXμσ==.再记n n X X U T ==X 与S 分别表示上述样本的样本均值与样本方差，则有①()()0n dU F x x −−→Φ； ②()()0n dT F x x =−−→Φ.以上()n U F x ，n T F 与()0x Φ分别表示n U ，n T 及标准正态分布的分布函数.五、参数估计与假设检验1.点估计概述评价估计量的标准 ),n X 为参数的有偏估计量.若),n X 为未知参数}-<=θε),n X 为取自总体①样本均值X 是μ的无偏估计量；②样本方差2S 是σ③未修正的样本方差，即样本二阶中心矩),n X 是取自总体,n .则1n 的相合估计量，,n .(~,X N μ),n X 为其样本，则样本方差2S 是2σ的相合估计2.参数的最大似然估计与矩估计（1）最大似然估计 ● ),n x ，存在),n x ，使()*1,,n x x θ为θ的最大似然估计值，称相应的统),n X 为的最大似然估计量.它们统称为θ的最大似然估计，可MLE . 如果未知参数为12,,,r θθθ，那么似然函数是多元函数(,,)r L θθ.若对任意),n x 存在),,,1,2,=n x i r ，使1*1(,,),,)max (,,)∈Θ=r r r L θθθθθ，则称*i θ为i θ的,1,2,,=MLE i r .当似然函数关于未知参数可微时，一般可通过求导数得到MLE ，其主要步骤①写出似然函数1(,,)r L θθ；0∂=∂L θ或ln 0,1,,∂==∂L i r θ，从中求得驻点注意，函数L 与ln L有相同的最值点，而使用后者往往更方便；③判断驻点为最大值点； MLE .● 最大似然估计的不变性：如果ˆθ为θ的最大似然估计，()=u g θ是θ的函数且存在单值反函数()=h u θ.那么()ˆg θ是()g θ的最大似然估计. （2）矩估计 ● 1,2,,ˆ2,3,=k B β.这种求点估计的方用矩法确定的估计量称为矩估计量，相应的估计值为矩估计值，矩估计量. 表示为总体矩的函数，即)2,;,l s αββ； k B 分别替换g 中的k α，)()1212ˆˆˆˆ,,;,,;,,=l s l sg A A B B ααββ即为θ的3.置信区间（1）寻求置信区间的方法● ①选取θ的一个较优的点估计ˆθ； ②围绕ˆθ寻找一个依赖于样本与θ的函数()1,,;=n u u X X θ.u 的分布为已知分布.像u 这样的函数，称为枢轴量；③对给定的置信水平1-α，确定1λ与2λ，使{}121<<=-P u λλα，一般可选取满足{}{}122≤=≥=P u P u αλλ的1λ与2λ；④利用不等式变形导出套住θ的置信区间(),θθ. （2）正态总体参数的置信区间4.假设检验概述假设检验的一般步骤 ①建立零假设0H ；②构造一个含待检验参数θ（不含其他未知参数）且分布已知的枢轴量()12,,,;n u X X X θ，并确定其分布；③对给定的显著性水平α，由上述枢轴量及其分布，结合零假设0H ，确定拒绝域C ，使得(){}120,,,∈≤n P X X X C H α；④根据样本值()12,,,n x x x 是否落在C 中做出是否拒绝0H 的统计决断：如果()12,,,∈n x x x C ，则拒绝0H ，如果()12,,,∉n x x x C ，则不能拒绝0H .5.单正态总体的参数假设检验编辑：李雪伟 2013年5月25日。