【名师测控】2019届春九年级数学下册 1.2 30、45、60的三角函数值课时训练(无答案)(新版)北师大版

北师大版九年级数学下30°、45°、60°角的三角函数值°、45°、60°角的三角函数值课时安排1课时从容说课本节在前两节介绍了正切、正弦、余弦定义的基础上，经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，进一步体会三角函数的意义，并能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算.因此本节的重点是利用三角函数的定义求30°、45°、60°这些特殊角的特殊三角函数值，并能够进行含有30°、45°、60°角的三角函数值的计算.难点是利用已有的数学知识推导出30°、45°、60°这些特殊角的三角函数值.三角尺是学生非常熟悉的学习用具，教学中，教师应大胆地鼓励学生用所学的数学知识如“直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”的特性，经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生的推理能力和计算能力.第三课时课题§1.2 30°，45°，60°角的三角函数值教学目标(一)教学知识点1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算.3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小.(二)思维训练要求1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析、发现的能力.2.培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.(三)情感与价值观要求1.积极参与数学活动，对数学产生好奇心.培养学生独立思考问题的习惯.2.在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心.教具重点1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.3.比较锐角三角函数值的大小.教学难点进一步体会三角函数的意义.教学方法自主探索法教学准备一副三角尺多媒体演示教学过程Ⅰ.创设问题情境，引入新课[问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度. (用多媒体演示上面的问题，并让学生交流各自的想法)[生]我们组设计的方案如下：让一位同学拿着三角尺站在一个适当的位置B 处，使这位同学拿起三角尺，她的视线恰好和斜边重合且过树梢C 点，30°的邻边和水平方向平行，用卷尺测出AB 的长度，BE 的长度，因为DE=AB ，所以只需在Rt △CDA 中求出CD 的长度即可.[生]在Rt △ACD 中，∠CAD ＝30°，AD ＝BE ，BE 是已知的，设BE=a 米，则AD ＝a 米，如何求CD 呢?[生]含30°角的直角三角形有一个非常重要的性质：30°的角所对的边等于斜边的一半，即AC ＝2CD ，根据勾股定理，(2CD)2＝CD 2+a 2. CD ＝33a. 则树的高度即可求出.[师]我们前面学习了三角函数的定义，如果一个角的大小确定，那么它的正切、正弦、余弦值也随之确定，如果能求出30°的正切值，在上图中，tan30°=aCDAD CD =，则CD= atan30°，岂不简单.你能求出30°角的三个三角函数值吗? Ⅱ.讲授新课1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.[师]观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度?[生]一副三角尺中有四个锐角，它们分别是30°、60°、45°、45°. [师]sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流. [生]sin30°＝21. sin30°表示在直角三角 形中，30°角的对边与斜边的比值，与直角三角形的大小无关.我们不妨设30°角所对的边为a(如图所示)，根据“直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半”的性质，则斜边等于2a.根据勾股定理，可知30°角的邻边为a ，所以sin30°＝212=a a . [师]cos30°等于多少?tan30°呢?[生]cos30°＝2323=a a . tan30°=33313==a a [师]我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的?[生]求60°的三角函数值可以利用求30°角三角函数值的三角形.因为30°角的对边和邻边分别是60°角的邻边和对边.利用上图，很容易求得sin60°=2323=a a , cos60°=212=a a , tan60°＝33=aa. [生]也可以利用上节课我们得出的结论：一锐角的正弦等于它余角的余弦，一锐角的余弦等于它余角的正弦.可知sin60°＝cos(90°-60°)＝cos30°=23cos60°=sin(90°- 60°)=sin30°=21. [师生共析]我们一同来 求45°角的三角函数值.含 45°角的直角三角形是等腰 直角三角形.(如图)设其中一 条直角边为a ，则另一条直角 边也为a ，斜边2a.由此可求得sin45°=22212==a a , cos45°＝22212==a a , tan45°=1=aa[师]下面请同学们完成下表(用多媒体演示) 30°、45°、60°角的三角函数值三角函数角sin αco αtan α°、45°、60°角的三角函数值，说出相应的锐角的大小.为了帮助大家记忆，我们观察表格中函数值的特点.先看第一列30°、45°、60°角的正弦值，你能发现什么规律呢?[生]30°、45°、60°角的正弦值分母都为2，分子从小到大分别为1，2，3，随着角度的增大，正弦值在逐渐增大.[师]再来看第二列函数值，有何特点呢?[生]第二列是30°，45°、60°角的余弦值，它们的分母也都是2，而分子从大到小分别为3，2，1，余弦值随角度的增大而减小.[师]第三列呢?[生]第三列是30°、45°、60°角的正切值，首先45°角是等腰直角三角形中的一个锐角，所以tan45°=1比较特殊.[师]很好，掌握了上述规律，记忆就方便多了.下面同桌之间可互相检查一下对30°、 45°、60°角的三角函数值的记忆情况.相信同学们一定做得很棒. 2.例题讲解(多媒体演示) [例1]计算：(1)sin30°+cos45°；(2)sin 260°+cos 260°-tan45°.分析：本题旨在帮助学生巩固特殊角的三角函数值，今后若无特别说明，用特殊角三角函数值进行计算时，一般不取近似值，另外sin 260°表示(sin60°)2，cos 260°表示(cos60°)2.解：(1)sin30°+cos45°=2212221+=+, (2)sin 260°+cos 260°-tan45° =(23)2+(21)2-1 =43 +41-1 ＝0.[例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m ，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m) 分析：引导学生自己根据题意画出示意图，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力. 解：根据题意(如图) 可知，∠BOD=60°， OB=OA ＝OD=2.5 m ， ∠AOD ＝21×60°＝30°， ∴OC=OD ·cos30° =2.5×23≈2.165(m). ∴AC ＝2.5-2.165≈0.34(m).所以，最高位置与最低位置的高度约为 0.34 m.Ⅲ.随堂练习 多媒体演示 1.计算：(1)sin60°-tan45°； (2)cos60°+tan60°； (3)22sin45°+sin60°-2cos45°. 解：(1)原式＝23-1=223-；(2)原式=21+=23213+=(3)原式=22×22+23×22； =22231-+2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m ，扶梯的长度是多少? 解：扶梯的长度为21730sin 7=︒=14(m)，所以扶梯的长度为14 m. Ⅳ.课时小结本节课总结如下：(1)探索30°、45°、60°角的三角函数值.sin30°＝21，sin45°＝22，sin60°＝23；cos30°＝23，cos45°＝ 22，cos60°＝21；tan30°=33，tan45° ＝1，tan60°=3.(2)能进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.(3)能根据30°、45°、60°角的三角函数值，说出相应锐角的大小. Ⅴ.课后作业习题1.3第1、2题 Ⅵ.活动与探究(2003年甘肃)如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB ＝CD=30 m ，两楼问的距离AC=24 m ，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?(精确到0.1 m ，2≈1.41，3≈1.73)[过程]根据题意，将实际问题转化为数学问题，当光线从楼顶E ，直射到乙楼D 点，D 点向下便接受不到光线，过D 作DB ⊥AE(甲楼).在Rt △BDE 中.BD=AC ＝24 m ，∠EDB ＝30°.可求出BE ，由于甲、乙楼一样高，所以DF=BE. [结果]在Kt △BDE 中，BE=DB ·tan30°＝24×33=83m. ∵DF ＝BE ，∴DF=83≈8×1.73＝13.84(m).甲楼的影子在乙楼上的高CD=30-13.84≈16.2(m). 板书设计§1.2 30°、45°、60°角的三角函数值一、探索30°、45°、60°的三角函数值1.预备知识：含30°的直角三角形中，30°角 的对边等于斜边的一半.含45°的直角三角形是等腰直角三角形.2.30°，45°，60°角的三角函数值列表如下：三角函数角角αsin α co αtan α二、含30°、45°、60°角的三角函数值的计算. 三、实际应用 备课资料 参考练习1.(2003年北京石景山)计算：13230sin 1+-︒.答案：3-32.(2003年北京崇文)汁算：(2+1)-1+2sin30°-8答案：-23.(2003年广东梅州)计算：(1+2)0-｜1-sin30°｜1+(21)-1. 答案：25 4. (2003 年广西)计算：sin60°+︒-60tan 11答案：-21 5.(2003年内蒙古赤峰)计算；2-3-(0032+π)0-cos60°-211-.答案：-283+。

斜拉索 AC)均在同一水平面内，BC 在水平桥面上．已知 ∠ABC＝∠DEB＝45°，∠ACB＝30°，BE＝6 米，AB ＝5BD.
(1)求最短的斜拉索 DE 的长； (2)求最长的斜拉索 AC 的长．
解：(1)∵∠ABC＝∠DEB＝45°， ∴△BDE 为等腰直角三角形， 2 2 ∴DE＝ 2 BE＝ 2 ×6＝3 2. 2 m；
1 1 2 在△ABC 中， 若sinA－2＋(cosB－2) ＝0， 则∠C
的度数是(
D
) B．45° D．90°
A．30° C．60°
2. 如图， 在 Rt△ABC 中， ∠ABC＝90°， AB＝2 3， AC＝4，则 cos∠BAC 的值等于
3 2
，∠BAC＝ 30° ．
3 .
2. 在 Rt△ABC 中， ∠C＝90°， ∠A＝60°， 则 sinA ＝
3 2
，若 AB＝12，则 AC＝
6
．
3. 如图，A，B 两点在河的两岸，要测量这两点之 间 的距离，测量者在与 A 同侧的河岸边选定一点 C，测 出 AC＝30 米，∠A＝90°， ∠C＝30°，则 AB 等于
10
第一章 直角三角形的边角关系 1.2 30°，45°，60°角的三角函数值
◎学习目标 1. 经历探索 30°、45°、60°角的三角函数值的过 程，能够进行有关的推理．进一步体会三角函数的意义． 2. 能够进行 30°、45°、60°角的三角函数值的计 算． 3. 能够根据 30°、45°、60°的三角函数值说明 相应的锐角的大小．
பைடு நூலகம்
3 解：(1)－4
3； (2)0； (3)1－2
2.
探究二：如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装 有电梯，天花板与地面平行，请你根据图中数据计算回 答：小敏身高 1.96 米，他乘电梯会有碰头危险吗？

30°
C
B
2.5 D
A
解:如图,根据题意可知, ∠∴AOOC＝D＝O21 D×C6O0S°30＝°3＝0°2.,5O×2D3 ＝≈ 22.1.56m5,（m） ∴AC＝2.5－2.165 ≈0.34 （m）
所以,最高位置与最低位置的高度差约 为0.34m.
随堂练习
• ⒈计算: • ⑴ sin60°－tan45°; • ⑵ cos60°＋tan60°; • ⑶22sin45°＋sin60°－2cos45°
(1).2sin60°3tan30° 1 3 0(1)2009
(2） ( 32)01 314cos30°|12|
( 3 ) .(2 1 ) 2 8 6 s in 4 5 ° ( 1 ) 2 0 0 9
类型二已知值求角
（1）已知 tanA= 3 ，求锐角A .
2)已知2cosA - 3 = 0 ,求锐角A的度数 .
求满足下列条件的锐角：
(1)sin 3 0
2
(2)2cos 30
(3)ta n(10 ) 3
(3）已知△ABC满足
sinA 3(c oBs1)2 0
2
2
则△ABC是______三角形.
做一 做
请你完成以下表格： 特殊角的三角函数值表
解:
⑴ sin30°＋cos45°＝
＋ ＝ 1
2
1 2
2
2
2
⑵＝sin234 6＋0°41＋－cos126＝0°－0tan45°
做一 做
例1 计算: (1)sin30o+cos45o;(2) sin260o+cos260o-tan45o.
解: (1)sin30o+cos45o

锐角
三角 α
30°
45°
60°
函数
sin α cos α
tan α
在0°～90°内：对于 sinα 与 tanα ，角度越大，函数值也 越大；对于 cosα ，角度越大，函数值越小.
解：由已知得 DC = EB = 20 m.
A
∵
tan∠ADC
=
tan45°
=
AC ， DC
∴ AC DC tan 45，
∴AB AC CB 20 tan 45 1.6 D 45°
= 20+1.6 = 21.6 (m).
1.6 m E 20 m
C B
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：
锐角
归 三角 a
30°
45°
60°
纳 函数
总 结
sin a
1 2
cos a
tan a
两点反思 1.通过特殊角的三角函数值，进一步巩固锐角三角函数之 间的关系.（互余关系、倒数关系、相除关系、平方关系）
2. 观察特殊三角函数值表，你能得出三角函数的增减性 规律吗？ 锐角三角函数的增减性： 当角度在 0°～90° 之间变化时，正弦值和正切值随着角 度的增大（或减小）而 _增__大__（__或减小）； 余弦值随着角度的增大（或减小）而 _减__小__（__或增大）.
1 2 22
注意事项:
1 2
2
.
(2) sin260°+cos260°-tan45°
3 2
2
1 2
2
1
3 1 1 0.
44
sin260° 表示 (sin60°)2， cos260° 表示 (cos60°)2