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课 题：2.4.1 反函数（一）教学目的：掌握反函数的概念和表示法，会求一个函数的反函数教学重点：反函数的定义和求法教学难点：反函数的定义和求法授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教材分析：反函数是数学中的一个很重要的概念，它是我们以后进一步研究具体函数类即五大类基本初等函数的一个不可缺少的重要组成部分 反函数是函数中的一个特殊现象，对反函数概念的讨论研究是对函数概念和函数性质在认识上的进一步深化和提高反函数概念的建立，关键在于让学生能从两个函数关系的角度去认识它，从而深化对函数概念的认识 本节是反函数的第一节课围绕如何理解反函数概念这个重难点展开由于函数是一种对应关系，这个概念本身不好理解，而反函数又是函数中的一种特殊现象，它是两个函数之间的关系所以弄清函数与其反函数的关系，是正确理解反函数概念必不可少的重要环节教学设计中，通过对具体例子的求解，不但使学生掌握求反函数的方法步骤，并有意识地阐明函数与反函数的关系深化了对概念的理解和掌握教学过程： 一、复习引入：我们知道，物体作匀速直线运动的位移s 是时间t 的函数，即s=vt,其中速度v 是常量,定义域t ≥0,值域s ≥0；反过来，也可以由位移s 和速度v （常量）确定物体作匀速直线运动的时间，即vs t =，这时，位移s 是自变量，时间t 是位移s 的函数,定义域s ≥0,值域t ≥0.又如，在函数62+=x y 中，x 是自变量，y 是x 的函数，定义域x ∈R ，值域y ∈R. 我们从函数62+=x y 中解出x ，就可以得到式子32-=y x . 这样，对于y 在R 中任何一个值，通过式子32-=y x ，x 在R 中都有唯一的值和它对应. 因此，它也确定了一个函数：y 为自变量，x 为y 的函数，定义域是y ∈R ，值域是x ∈R.综合上述，我们由函数s=vt 得出了函数vs t =；由函数62+=x y 得出了函数32-=y x ，不难看出，这两对函数中，每一对中两函数之间都存在着必然的联系：①它们的对应法则是互逆的；②它们的定义域和值域相反：即前者的值域是后者的定义域，而前者的定义域是后者的值域. 我们称这样的每一对函数是互为反函数.二、讲解新课：反函数的定义一般地，设函数))((A x x f y ∈=的值域是C ，根据这个函数中x,y 的关系，用y 把x 表示出，得到x=ϕ(y). 若对于y 在C 中的任何一个值，通过x=ϕ(y)，x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x=ϕ(y)就表示y 是自变量，x 是自变量y 的函数，这样的函数x=ϕ(y) (y ∈C)叫做函数))((A x x f y ∈=的反函数，记作)(1y f x -=,习惯上改写成)(1x f y -=开始的两个例子：s=vt 记为vt t f =)(，则它的反函数就可以写为vt t f =-)(1，同样62+=x y 记为62)(+=x x f ，则它的反函数为：32)(1-=-x x f . 探讨1：所有函数都有反函数吗？为什么？反函数也是函数，因为它符合函数的定义，从反函数的定义可知，对于任意一个函数)(x f y =来说，不一定有反函数，如2x y =,只有“一一映射”确定的函数才有反函数，2x y =,),0[+∞∈x 有反函数是x y =探讨2：互为反函数定义域、值域的关系从映射的定义可知，函数)(x f y =是定义域A 到值域C 的映射，而它的反函数)(1x f y -=是集合C 到集合A 的映射，因此，函数)(x f y =的定义域正好是它的反函数)(1x fy -=的值域；函数)(x f y =的值域正好是它的反函数)(1x fy -=的定义域x x f f x x f f ==--)]([,)]([11（如下表）：探讨3：)(1x f y -=的反函数是？若函数)(x f y =有反函数)(1x f y -=，那么函数)(1x f y -=的反函数就是)(x f y =，这就是说，函数)(x f y =与)(1x fy -=互为反函数三、讲解例题：例1．求下列函数的反函数： ①)(13R x x y ∈-=； ②)(13R x x y ∈+=； ③)0(1≥+=x x y ； ④)1,(132≠∈-+=x R x x x y 且. 解：①由13-=x y 解得31+=y x ∴函数)(13R x x y ∈-=的反函数是)(31R x x y ∈+=， ②由)(13R x x y ∈+=解得x=31-y , ∴函数)(13R x x y ∈+=的反函数是)(13R x x y ∈-=③由y=x +1解得x=2)1(-y , ∵x ≥0，∴y ≥1. ∴函数)0(1≥+=x x y 的反函数是x=2)1(-y (x ≥1); ④由132-+=x x y 解得23-+=y y x ∵x χ{x ∈R|x ≠1}，∴y ∈{y ∈R|y ≠2} ∴函数)1,(132≠∈-+=x R x x x y 且的反函数是)2,(23≠∈-+=x R x x x y 小结：⑴求反函数的一般步骤分三步，一解、二换、三注明 ⑵反函数的定义域由原来函数的值域得到，而不能由反函数的解析式得到 ⑶求反函数前先判断一下决定这个函数是否有反函数，即判断映射是否是一一映射例2．求函数23-=x y （R x ∈）的反函数，并画出原来的函数和它的反函数的图像解：由23-=x y 解得32+=y x∴函数)(23R x x y ∈-=的反函数是)(32R x x y ∈+=， 它们的图像为：例3求函数 211x y --=（-1<x<0）的反函数 解：∵ -1<x<0 ∴0<2x <1 ∴0<1 -2x < 1∴ 0 <21x -< 1 ∴0 < y <1 由：211x y --= 解得：22y y x --= (∵ -1< x < 0 ) ∴211x y --=(-1<x < 0)的反函数是：22x x y --=(0<x<1 )例4 已知)(x f = 2x -2x(x ≥2),求)(1x f -.解法1：⑴令y=2x -2x ，解此关于x 的方程得2442y x +±=， ∵x ≥2，∴2442y x ++=，即x=1+y +1--①, ⑵∵x ≥2，由①式知y +1≥1，∴y ≥0--②,⑶由①②得)(1x f -=1+x +1（x ≥0，x ∈R ）；解法2：⑴令y=2x -2x=2)1(-x -1，∴2)1(-x =1+y ，∵x ≥2，∴x-1≥1，∴x-1=y +1--①,即x=1+y +1,⑵∵x ≥2，由①式知y +1≥1，∴y ≥0,⑶∴函数)(x f = 2x -2x(x ≥2)的反函数是)(1x f -=1+x +1（x ≥0）；说明：二次函数在指定区间上的反函数可以用求根公式反求x ，也可以用配方法求x ，但开方时必须注意原来函数的定义域.四、课堂练习：课本P63练习：已知函数)(x f y =，求它的反函数)(1x fy -= （1） 32+-=x y （x ∈R ） （2）x y 2-= (x ∈R ，且x ≠0) （3） 4x y = （x ≥0） （4）53+=x x y (x ∈R ，且x ≠35-) 五、小结 本节课学习了以下内容：反函数的定义及其注意点、求法步骤六、课后作业：课本第64习题2.4：1七、板书设计（略）八、课后记：活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。
课题：函数复习小结（二）教学目的：1.熟悉并掌握函数的对称语言.2.进一步熟悉二次函数性质及其应用.3.把握数形结合的特征和方法.4.能够应用函数思想解题.5.了解与函数有关的数学模型.教学重点：数形结合的特征与方法教学难点：函数思想的应用授课类型：复习课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、引入：通过上一节学习，大家了解了本章内容的整体结构，明确了本章的重难点知识，并熟悉了有关函数的基本概念和基本方法，这一节，我们将通过例题分析重点掌握数形结合的特征与方法，并进一步认清函数的思想实质，进而掌握其应用.二、例题分析：例1若函数f(x)=x2+bx+c对任意实数x都有f(2+x)=f(2-x)，那么（）A.f(2)＜f(1)＜f(4)B.f(1)＜f(2)＜f(4)C.f(2)＜f(4)＜f(1)D.f(4)＜f(2)＜f(1)分析：此题解决的关键是将函数的对称语言转化为对称轴方程.解：由f(2+x)=f(2-x)可知：函数f(x)的对称轴为x=2,由二次函数f(x)开口方向向，可得f(2)最小，又f(4)=f(2+2)=f(2-2)=f(0)在x＜2时，y=f(x)为减函数∵0＜1＜2，∴f(0)＞f(1)＞f(2)即f(2)＜f(1)＜f(4)答案：A通过此题可将对称语言推广如下：（1）若对任意实数x,都有f(a+x)=f(a-x)成立，则x=a是函数f(x)的对称轴（2）若对任意实数x,都有f(a+x)=f(b-x)成立，则x=2ba是f(x)的对称轴.例2求f(x)=x2-2ax+2在［2，4］上的最大值和最小值.解：先求最小值.因为f(x)的对称轴是x=a ，可分以下三种情况：（1）当a ＜2时，f(x)在［2，4］上为增函数，所以f(x)min=f(2)=6-4a;(2)当2≤a ＜4时，f(a)为最小值，f(x)min=2-a 2;(3)当a ＞4时，f(x)在［2，4］上为减函数，所以f(x)min=f(4)=18-8a综上所述：f(x)min=⎪⎩⎪⎨⎧>-<≤-<-)2( ,818)42( ,2)2( ,462a a a a a a最大值为f(2)与f(4)中较大者：f(2)-f(4)=(6-4a)-(18-8a)=12+4a(1)当a ≥3时，f(2)≥f(4),则f(x)max=f(2)=6-4a;(2)当a ＜3时，f(2)＜f(4),则f(x)max=f(4)=18-8a.故f(x)max=⎩⎨⎧<-≥-)3(,88)3( ,46a a a a 评述：本题属于二次函数在给定区间上的最值问题，由于二次函数的系数含有参数，对称轴是变动的，属于“轴动区间定”，由于图象开口向上，所以求最小值要根据对称轴x=a 与区间［2，4］的位置关系，分三种情况讨论；最大值在端点取得时，只须比较f(2)与f(4)的大小，按两种情况讨论即可，实质上是讨论对称轴位于区间中点的左、右两种情况.例3已知f(x)=|lgx|,且0＜a ＜b ＜c,若f(b)＜f(a)＜f(c),则下列一定成立的是（ ）A.a ＜1,b ＜1,且c ＞1B.0＜a ＜1,b ＞1且c ＞1C.b ＞1,c ＞1D. c ＞1且c 1＜a ＜1,a ＜b ＜a1 分析：画出y=|lgx|的图象如图：f(x)在（0，1上为增函数.观察图象，因为f(a)＜f(b)＜f(c),所以c ＞1且c 1＜a ＜1,a ＜b ＜a1.答案：D 评述：通过此题体会数形结合思想，体会函数987654321-1-6-4-22468042a 321-1-2-3-4-5-4-22468042a 2-2-4-6-8-10-12-14-16-18-20-22-10-5510152025042a 1.210.80.60.40.2-0.2-0.4-0.60.51 1.52 2.5101a 1c c b a图象在函数单调性问题中的应用.例4函数f(x)=x 2-bx+c ，满足对于任何x ∈R 都有f(1+x)=f(1-x)，且f(0)=3,则f(b x )与f(c x )的大小关系是（ ）A.f(b x )≤f(c x )B.f(b x )≥f(c x )C.f(b x )＜f(c x )D.f(b x )＞f(c x )分析：由对称语言f(1+x)=f(1-x)可以确定函数对称轴，从而确定b 值，再由f(0)=3,可确定c 值，然后结合b x ,c x 的大小关系及二次函数的单调区间使问题得以解决.解：∵f(1+x)=f(1-x)∴f(x)的对称轴x=-2b =1 ∴b=2,又f(0)=3,∴c=3,∴f(x)=x 2-2x+3 (1)当x ＞0时，1＜2x ＜3x ,且f(x)在［1，+∞)上是增函数所以f(2x )＜f(3x ),即f(b x )＜f(c x ) (2)当x ＜0时，1＞2x ＞3x ,且f(x)在（-∞,1）上是减函数，所以f(2x )＜f(3x )，即f(b x )＜f(c x ) (3)当x=0时，2x =3x=1则f(2x )=f(3x ),即f(b x )=f(c x )综上所述，f(b x )≤f(c x ).答案：A三、课堂练习：已知f(x)=x 2-4x-4,x ∈［t,t+1］(t ∈R)，求f(x)的最小值φ（t ）的解析式.解：f(x)=(x-2)2-8(1)当2∈［t,t+1］时，即1＜t ＜2时，φ(t)=f(2)=-8.(2)当t ＞2时，f(x)在［t,t+1］上是增函数，故φ(t)=f(t)=t 2-4t-4.(3)当t+1＜2，即t ＜1时，f(x)在［t,t+1］上是减函数.故φ(t)=f(t+1)=t 2-2t-7综上所述：φ(t)=⎪⎩⎪⎨⎧≥--<<-≤--)2( ,44)21( ,8)1( ,7222t t t t t t t四、课时小结：本节学习了二次函数在给定区间上求最值的方法，把握数形结合的特征与方法，逐步掌握函数思想在实际问题中的应用.五、课后作业：1.某农工贸集团开发的养殖业和养殖加工生产业的年利润分别是T 和Q （万元），这两项生产与投入的奖金a(万元)的关系是P=a Q a 310,3=，该集团今年计划对这两项生产共投入奖金60万元，为获得最大利润，对养殖业与养殖加工生产业投入应各为多少万元？最大利润为多少万元？解：设投入养殖业为x 万元，则投入养殖加工生产业为60-x 万元由题意：P+Q=x x -+603103 (0≤x ≤60) 设t=x -60,则0≤t ≤60,x=60-t 2 P+Q=31(60-t 2)+310t=-31(t-5)2+385 ∴当t=5时，即x=35时，（P+Q ）max=385. ∴对养殖业投入35万元，对养殖加工生产业投入25万元，可获最大利润385万元. 2.已知)91(log 2)(3≤≤+=x x x f ，求函数22)]([)(x f x f y +=的最大值和最小值，并求取最大值和最小值的相应的x 的值 答案：3=x 时，y 取最大值13；1=x 时，y 取最小值63.设集合]1,1[-=A ,]22,22[-=B ，函数2)(2-+=mx x x f（1）设不等式0)(≤x f 的解集为C ，当B A C ⊆时，求实数m 的取值范围；（2）若对任意实数x ，均有)1()(f x f ≥恒成立，求B x ∈时，)(x f 的值域；（3）当B x A m ∈∈,时，证明8|)(|≤x f 答案：（1）11≤≤-m （2）22,22[- （3）因为对称轴]22,22[]41,41[4-⊂-∈-=m x ， 故只需证明89|)22(|≤-f ，89|)22(|≤f ，89|)4(|≤m f 即可十二、板书设计（略） 十三、课后记：活动目的：教育学生懂得“水”这一宝贵资源对于我们来说是极为珍贵的，每个人都要保护它，做到节约每一滴水，造福子孙万代。
