第六讲列方程(组)解应用题(含答案)

第六讲谈谈列方程（组）与实际问题的解决（二）一、典型例题选讲。

（三）行程问题。

1行程问题中的常见数量关系有：（1）路程=_____×_____(2)速度=_____÷______(3)时间=______÷_______2、指导点拨。

例1甲，乙两城市间的铁路经过技术改造后，列车在两城市间的运行速度从80km/h提高到100km/h,运行时间缩短了3h。

甲，乙两城市间的路程是多少？变式：(1)根据我省“十二五”铁路规划，连云港至徐州客运专线项目建成后，连云港至徐州的最短客运时间由现在的2小时18分钟缩短为36分钟，其速度每小时将提高260km.求提速后的火车速度。

(2)徐州至上海的铁路里程为650km，从徐州乘”C “字头列车A，”D”字头列车B都可直达上海，已知A 车的速度为B车的2倍，且行驶的时间比B车少5.2h.求A车的速度及行驶时间。

例2：某校组织学生乘汽车去自然保护区野营，先以60km/h的速度走平路，后又以30km/h的速度爬坡，共用了5.6h;返回时汽车以40km/h的速度下坡，又以50km/h的速度走平路，共用了h6.学校距自然保护区有多远。

例3：甲车的速度为60km/h，乙车的速度为80km/h，两车同时同地出发，同向而行。

经过多少时间两车相距280km。

变式：（1）：甲车的速度为60km/h，乙车的速度为80km/h，两车同时同地出发，背向而行。

经过多少时间两车相距280km。

(2)甲，乙两人在相距10km的A,B两地相向而行，乙的速度是甲的速度的2倍，两人同时处发5.1h后相遇，求甲，乙两人的速度。

例4：一对学生从学校步行去博物馆，他们以5km/h的速度行进24min后，一名教师骑自行车以15km/h 的速度按原路追赶学生队伍。

这名教师从出发到途中与学生队伍会合共用了多少时间？变式：（1）甲，乙两人都从A地出发到B地，甲出发1h后乙才从A地出发，乙出发3h后甲，乙两人同时到达B地，已知乙的速度为50km/h，问，甲的速度为多少？（2）甲，乙两站相距km448，一列慢车从甲站出发，速度为60km/h；一列快车从乙站出发，速度为100km/h。

列方程解应用题二板块一：列方程解调配问题1、甲仓存粮40吨，乙仓存粮62吨，甲仓每天存入4吨，乙仓每天存入9吨，几天后乙仓存粮是甲仓的2倍？2、有两根绳子，第一根长56厘米，第二根长36厘米。

同时点燃后，平均每分钟都燃烧掉2厘米，几分钟后，第一根的长度是第二根的3倍？3、有两根绳子，长的是短的2倍，现在把每根绳子都去掉10米，那么长绳是短绳长度的3倍，问两根绳子原来的长度各是多少？4、甲、乙两个书架，甲书架的书是乙书架的7倍，如果从甲书架取出12本，往乙书架上放8本，这时甲书架上的书是乙书架上的书的3倍，甲、乙两书架原来各有书多少本？板块二：列方程解盈亏问题5、学校安排学生到会议室听报告，如果每3人坐一条长椅，则剩下48人没有座位；如果每5人坐一条长椅，则刚好空出2条长椅。

参加会议的学生有多少人？6、五年级同学去东湖划船，如果增加一只船，正好每条船坐7人；如果减少一条船，正好每条船坐8人。

这个年级共有多少个同学？7、李叔叔骑车从A地到B地，如果每小时行50千米，则迟到1小时；如果每小时行60千米，则早到0.5小时。

李叔叔计划从A地到B地要多少个小时？Ab两地的距离是多少千米？8、幼儿园老师给小朋友分苹果，如果分给大班的小朋友没人5个，则余10个；如果分给小班的小朋友没人分8个，则缺2个，已知大班比小班多3个小朋友，问这筐苹果一共有多少个？板块三：列方程解平均数问题9、明明上学期期末考试成绩为：语文86分，数学96分，历史94分，外语考试成绩比四科平均成绩低3分，外语考了多少分？10、某校举行期末考试，共4科，某学生的语文90分，数学94分，英语和地理的平均分比四科的平均分少1分，则这名同学的总成绩是多少分？11、甲、乙、丙、丁四个人组成代表队参加数学竞赛，甲得了90分，乙得了88分，丙得了85分，丁的成绩比四个人的平均成绩多4分，问丁的成绩是多少分？12、在一次数学竞赛中，甲队的平均分为75分，乙队的平均分为73分，两队全体同学的平均分为73.5分。

1 中考数学重难点专题讲座第六讲列方程（组）解应用题【前言】在中考中，有一类题目说难不难，说不难又难，有的时候三两下就有了思路，有的时候苦思冥想很久也没有想法，这就是列方程或方程组解应用题。

方程可以说是初中数学当中最重要的部分，所以也是中考中必考内容。

从近年来的中考来看，结合时事热点考的比较多，所以还需要考生有一些生活经验。

实际考试中，这类题目几乎要么得全分，要么一分不得，但是也就那么几种题型，所以考生只需多练多掌握各个题类，总结出一些定式，就可以从容应对了。

第一部分真题精讲【例1】2010，西城，一模“家电下乡”农民得实惠，根据“家电下乡”的有关政策：农户每购买一件家电，国家将按每件家电售价的13%补贴给农户，小明的爷爷2009年5月份购买了一台彩电和一台洗衣机，他从乡政府领到了390元被贴款，若彩电的售价比洗衣机的售价高1000元，问一台彩电和一台洗衣机的售价各是多少元？【思路分析】首先仔细看题，明确说明彩电售价比洗衣机售价高1000，那么一方面可以设一个未知数彩电为x ，那么洗衣机自然就可以用x-1000表示，另一方面也可以直接设两个未知数彩电x 和洗衣机y ，利用高1000的条件制造等量关系。

其次说补贴是售价的13%，而又明确给出小明的爷爷领到了390元，所以这390元就是售价的补贴。

于是建立方程13%(x+x-1000)=390或者方程组.390)%(13,1000y xy x 。

这一题要把握的就是两个等量关系，一个是售价差等于1000，另一个是售价的13%等于补贴。

于是可以得出答案。

【解析】（列方程组解）解：设一台彩电的售价为x 元，一台洗衣机的售价为y 元. 根据题意得：.390)%(13,1000y xy x。

奥数思维拓展第六讲列车过桥问题一．选择题（共4小题）1．一列火车长x米，以a米/秒的速度通过长为y米的大桥，用代数式表示火车通过大桥的时间是（）秒．A．B．C．D．2．某列火车通过长为82米的铁桥用了22秒，如果火车的速度加快一倍，它通过706米的铁桥就用50秒，那么火车的长度是（）米．A．91B．92C．93D．943．一列长300m的火车以900m/min的速度过桥．正好上午9：00火车头在桥的一端，9：03正好通过了这座桥．这座桥有（）m长．A．3000B．2700C．2500D．24004．一座大桥长1400米，一列火车以每秒20米的速度通过这座大桥，火车车身长400米，则火车从上桥到离开桥需要（）A．50秒B．70秒C．90秒二．填空题（共11小题）5．一列火车长180米，每秒行20米，火车通过320米长的大桥，从车头上桥到车尾离开桥共需要秒。

6．一列长200m的火车，完全通过一条长400m的隧道用了20秒，这列火车的速度是米/秒。

7．某人跑步的速度为2米/秒，一列火车从他后面驶来，超过他用了10秒，已知火车长160米，这列火车的速度是米/秒。

8．一列火车长150米，每秒行19米。

全车通过长800米的大桥，需要秒。

9．一列火车长108米，每秒行20米，通过72米长的桥，需要秒。

10．一列火车以每秒24米的速度通过一座长820米的隧道，用了45.5秒。

这列火车长米。

11．少先队员346人排成两路纵队去参观画展，队伍每分钟前进23米，前后两人都相距1米，现在队伍要通过一座长702米的桥，整个队伍从上桥到离桥共需要分钟. 12．一列火车通过221米的桥需要43秒，用同样的速度通过长172米的隧道需要36秒，列车长米，列车的速度为．13．一列火车通过一座1000米的大桥要65秒，如果用同样的速度通过一座730米的隧道则要50秒．求这列火车前进的速度和火车的长度．14．一列火车以每分钟800米的速度通过一座3200米的大桥，如果火车全长200米，从火车上桥到最后一节车厢离开大桥需要分钟．15．一列火车以180千米/小时的速度在铁路上匀速行驶，某人在铁路旁计时，从车头经过他到车尾离开他共4.2秒，那么火车经过530米的大桥需要秒．三．应用题（共6小题）16．一列火车长360米，每秒行15米，全车通过一座长3.9千米的大桥，需要几分几秒？17．一座大桥长2400m，一列火车以每分钟900m的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟，这列火车长多少米？18．一列火车长264米，从它刚驶入一段铁轨到完全驶离这段铁轨正好用了16分钟，若火车的速度是每分钟480米，求火车驶入的这段铁轨长多少米？19．一列火车以每分钟1千米的速度通过一座长1800米的大桥，如果火车全长200米，从火车头上桥到车尾离开大桥，一共需要多长时间？20．一列火车通过一座长2.7千米的大桥，从车头上桥到车尾离桥共需5分钟，已知列车的速度是每分钟0.8千米，这列火车长多少米？21．一列特快列车的车身长是136米，列车完全通过一座684米长的桥共需20秒，列车每秒行多少米？参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．【解答】解：因为火车走过的路程为（y+x）米，火车的速度为a米/秒，所以火车过桥的时间为秒．故选：C．2．【解答】解：设火车车身长为x米，根据题意可得方程：（82+x）÷22＝（706+x）÷1008200+100x＝15532+22x78x＝7332x＝94答：火车的长度是94米．故选：D．3．【解答】解：9时3分﹣9时＝3分，900×3﹣300，＝2700﹣300．＝2400（米），答：这座桥的长度是2400米．故选：D。

第六讲不定方程解应用题大家已学过简单的列方程解应用题，一般都是未知数个数与方程的个数一样多，例如中国古代著名的“鸡兔同笼”问题。

如果方程（组）中未知数的个数多于方程的个数，此方程（组）称为不定方程（组）。

小学阶段主要是涉及整系数不定方程的整数解.试看一些例。

例1 有三张扑克牌，牌的数字互不相同，并且都在10以内.把三张牌洗好后，分别发给甲、乙、丙三人.每人记下自己牌的数字，再重新洗牌、发牌、记数.这样反复几次后，三人各自记录的数字和分别为13、15、23.请问这三张牌的数字是什么？分析设三张牌为x、y、z（x＞y＞z）.再设共发牌n轮（每轮发3张）.记作x+y＋z＝S。

n·S＝13＋15＋23=51。

由于n和S都是整数，51＝3×17.只有n=3，S=17.现在转变为不定方程：x＞y＞z且10＞x＞y＞z≥1的条件下：x+y＋z＝17求整数解。

即x≥6.x可能值为6、7、8、9。

第一种情况，x=6＞y＞z，而y+z=17-6=11，而此时y+z最多为5+4.所以x≠6。

第二种情况，x=7＞y＞z，y＋z=17-7=10，只有y=6，z=4.但是丙三次牌数字和为23，而23显然不可能表示为｛7，6，4｝中任意三个（可以重复的，下同）数之和。

第二种情况x=7亦被排除。

第三种情况，x=8＞y＞z，y＋z＝17-8=9，（y，z）可能情况有（7，2）；（6，3）；（5，4）。

而13（甲三次牌数字和）不能表示为｛8，7，2｝中任意三个数之和，23不能表示为｛8，6，3｝和｛8，5，4｝中任意三个数之和，故x=8亦被排除。

第四种情况，x=9＞y＞z，y＋z=17-9=8，观察知y=5，z=3.（可排除｛9，7，1｝和｛9，6，2｝.）综上所述，三张牌为3、5、9。

例2 采购员用一张1万元支票去购物.购单价590元的A种物若干，又买单价670元的B种物若干，其中B种个数多于A种个数，找回了几张100元和几张10元的（10元的不超过9张）.如把购A种物品和B种物品的个数互换，找回的100元和10元的钞票张数也恰好相反.问购A物几个，B物几个？解：设购A种物x个，购B种物为x+y个，并设第一次购物找回r张100元，s张10元，则这是4个未知数，2个方程的不定方程组.解方程时，方程变形的一些法则（方程两边同时乘或除以不为0的数，方程不变；方程两边同时加或减一个数，方程不变）仍适用.先将（1）（2）两边约去10，得由于（3）（4）式的右边都等于1000，因此它们相等，整理后得8y ＋9r-9s=0，再在方程两边同时加上9s-9r，得：8y＝9（s-r）（5）由于y是大于0的整数，所以s-r也是整数＞0。

无论是日校还是奥数竞赛中，应用题考察是绝对不会少的。

应用题主要是考察了学生对于实际问题的分析能力以及对于所学知识的迁移能力。

要做好这些题目，学生必须熟练掌握各类典型应用问题数量关系的分析方法，多加练习。

名师点题应用题综合（一）知识概述鸡兔同笼问题：主要是研究把有数量关系的两种数量转换成一种数量，从而帮助我们找到解题方法的一类典型的应用题。

一般常用转换和假设这两种数学思维方法。

基本公式：①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数） ②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数）盈亏问题：有剩余就叫盈，不够分就叫亏，不同的方法分配物品时，经常会产生这种盈亏现象．盈亏问题的关键是抓住两次分配时盈亏总量的变化． 盈亏问题常用公式：盈亏：（盈+亏）÷两次分配差=参与分配的对象 盈盈：（大盈-小盈）÷两次分配差=参与分配的对象 亏亏：（大亏-小亏）÷两次分配差=参与分配的对象鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？ 【解析】如果 46只都是兔，一共应有 4×46=184只脚，这和已知的128只脚相比多了184-128=56只脚.如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少4-2=2（只）脚.那么，46只兔里应该换进几只鸡才能使56只脚的差数就没有了呢？显然，56÷2=28，只要用28只鸡去置换28只兔就行了.所以，鸡的只数就是28，兔的只数是46-28=18。

解：①鸡有多少只？ （4×6-128）÷（4-2） =（184-128）÷2 =56÷2 =28（只） ②免有多少只？ 46-28=18（只）答：鸡有28只，免有18只。

动物园里养了一些梅花鹿和鸵鸟，共有脚208只，鸵鸟比梅花鹿多20只，梅花鹿和鸵鸟各有多少只？ 【解析】鸵鸟比梅花鹿多了20只，那如果把这20只鸵鸟去掉的话就有共剩下208－20×2= 168(只)脚，此时鸵鸟与梅花鹿的只数相同，那么脚的数量必定是2倍关系。

第六讲列方程解应用题列方程解应用题是用字母代替未知数，根据等量关系列出含有未知数的等式，也就是方程，然后解出未知数。

这样解答应用题的优点在于可以设未知数直接参与运算。

列方程解应用题的关键在于正确、合理地设未知数，找出等量关系从而建立方程。

列方程解答应用题的一般步骤是：1.根据题意，找出已知条件和所求问题。

2.依据题意找到等量关系，正确、合理地设未知数。

3.根据等量关系列出方程。

4.解答方程。

5.检验，写出答案。

第一课时例1．父亲今年47岁，儿子今年11岁，多少年后父亲的年龄是儿子的3倍？分析：设x年后父亲的年龄是儿子的3倍。

父亲现在47岁，x年后年龄应为〔47＋x〕岁；而x年后，儿子的岁数也增加了x岁，即〔11＋x〕岁。

知道x年后各自的岁数，根据题意“父亲的年龄是儿子的3倍”，可以找到等量关系：“父亲的年龄=儿子的年龄×3。

”解：设x年后父亲的年龄是儿子的3倍，列方程得47＋x=〔11＋x〕×347＋x=33＋3x47－33=3x－x14=2xx=7答： 7年后父亲的年龄是儿子的3倍。

例2．一条轮船在两个码头之间航行，顺水航行需要8小时，逆水航行需要10小时，水流的速度是每小时2千米，求轮船在静水中的速度。

分析：顺水航行的船的实际速度是船在静水中的速度与水速之和，逆水航行的船的实际速度为船在静水中的速度与水速之差。

船在两个码头之间往返，显然顺水行驶的路程与逆水行驶的路程相等，都是两个码头之间的距离，所以有等量关系：“顺水速度×顺水时间=逆水速度×逆水时间。

”解：设轮船在静水中的速度是每小时x千米，列方程得8〔x＋2〕=10〔x－2〕8x＋16=10x－2010x－8x=16＋202x=36x=18答：轮船在静水中的速度是18千米/小时。

例3 .五〔1〕班期中考试全班的平均成绩是87.5分，男生的平均成绩是86分，女生的平均成绩是90分。

这个班共有56人，求男、女生各有多少人？分析：已知男、女生人数的和是56，假设设男生的人数是x，则女生的人数是〔56－x〕。

四年级思维数学第六讲列方程解应用题（一）学习目标思维目标：能找到题目中的等量关系，并列出方程。

数学知识：小数加减法知识梳理思维：根据关系式：加数+加数=和；大数-小数=相差数；一倍数×倍数=几倍数，等关系来列方程解应用题。

数学： 1、小数点对齐。

2、补齐“0”后计算不容易错例1：红星小学买来3只足球和15根跳绳，共用去51元，每只足球售价是7元，每根跳绳的售价是多少元？金钥匙：数量关系：买足球的钱+买跳绳的钱=一共付的钱解：设每根跳绳的售价是x元。

7×3+15x=5121+15x=5115x=30x=30÷15x=2答：每根跳绳售价2元。

点金术：刚学列方程解应用题时，首先要学会找到数量关系式，然后学会写设句，用字母表达式的思考方法来想数量关系，再根据数量关系列出含有x的等式。

试金石：1、甲、乙两组学生共做植物标本186枚，甲组12人，平均每人做8枚，乙组6人，平均每人做几枚？2、远东无线电厂有两个装配车间，他们要在6天内装配1608台收录机，第一车间每天装配144台，第二车间每天装配多少台？例2：李丽在商店里买了4副乒乓板付了30元找回2元，每副乒乓板的价钱是多少元？金钥匙：数量关系：买乒乓板的钱+找回的钱=付出的钱解：设每副乒乓板的价钱是x元。

4x+2=304x=30-24x=28x=28÷4x=7答：每副乒乓板的价钱是7元。

点金术：只要想清楚数量关系，就一定能列对方程。

试金石：1、红星小学买来3只足球和15根跳绳，跳绳比足球多花9元，每只足球售价7元，每根跳绳售价是多少元？2、1支钢笔比3支圆珠笔贵2元，每支钢笔的价钱是8元，每支圆珠笔的价钱是多少元？堂后测试1、一组同学要种树苗65棵，平均每人种6棵，还剩5棵，这组同学有多少人？2、商店运来22箱苹果和18箱桔子，一共重510千克，每箱苹果重15千克，每箱桔子重多少千克？3、 一个客运公司的两个车队，甲车队有64辆汽车，如果调12辆汽车到乙队后，两队的汽车数量相等，乙队原来有汽车多少辆？数学园地：小数加减法小数加减法，小数点一定要对齐，这样竖式中各小数的相同数位也就对齐了。

五年级数学思维训练第六讲列方程解决问题列方程解应用题是运用方程知识来解决实际问题，有些稍复杂的逆向思维的应用题，如果用算术方法解答比较困难，列方程进行解答就比较容易列方程解应用题的一般步骤是：1.弄清题意，找岀未知数，用x表示（直接设）；也可以把与问题相关的未知量用x表示（间接设）。

2.找出并写出应用题中等量关系式，列出方程，对于设的未知数，要当作已知数来用。

3.解方程。

4.检验，写出答案【例题】1、两个数相除，商3余10，被除数、除数、商及余数的和是143，被除数是多少？除数是多少？等量关系式为：【能力冲浪】①1.两个数相除，商5余7，且除数、被除数、商数和余数之和为253。

那么，被除数是多少，除数是所少？2.被除数、除数和余数的和是1600，已知除数是20，余数是10，那么商是多少？3.甲、乙、丙三人，甲的年龄比乙的年龄的2倍还大3岁，乙的年龄比丙的年龄的2倍小2岁，三个人年龄之和是109岁，则甲、乙、丙分别多少岁？【例题】2、同学搭车去旅游，若每车坐65人，则有5人无法上车；若每车多坐5人，恰可少开一辆车，问共有多少辆车？有多少位学生？等量关系式为：【能力冲浪】②1.有一筐梨，分给幼儿园的小朋友，每人10个多1个；每人12个少21个。

这筐梨有多少个？2.用一根绳子量井深，如果绳子两折时，多5米，如果绳子三折时差4米，绳子长多少米？井深多少米？3.某小学组织六年级学生参观游览活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；如果租用同样数量的60座客车，则多出1辆，且其余客车恰好坐满，试问：（1）原计划租用45座客车多少辆？（2）六年级学生人数是多少？【例题】3、甲仓库有大米95.8吨，乙仓库有大米54.5吨。

要从甲仓库中运多少吨到乙仓库后，乙仓库中的大米吨数是甲仓库中的2倍？等量关系式为：【能力冲浪】③1.小红有53颗弹珠，小明有83颗弹珠，小明给小红多少颗弹珠后，小红的弹珠正好是小明的3倍？2.一只两层书架，上层放的书比下层的3倍还多18本，如果把上层的书拿出101本放到下层，那么两层所放的书本数相等。

列方程组解应用题知识框架一、列方程解应用题的主要步骤（1） 审题找出题目中涉及到的各个量中的关键量，这个量最好能和题目中的其他量有着紧密数量关系；（2） 用字母来表示关键量，用含字母的代数式来表示题目中的其他量；（3） 找到题目中的等量关系，建立方程；（4） 解方程；（5） 通过求到的关键量求得题目最终答案．二、解二元一次方程（多元一次方程）消元目的：即将二元一次方程或多元一次方程化为一元一次方程．消元方法主要有代入消元和加减消元． 重难点（1） 设未知数的主要技巧和手段：找出与其他量的数量关系紧密的关键量（2） 用代数法来表示各个量：利用“,x y ”表示出所有未知量或变量（3） 找准等量关系，构建方程（明显的等量关系与隐含的等量关系）例题精讲一、列方程组解应用题【例 1】 30辆小车和3辆卡车一次运货75吨，45辆小车和6辆卡车一次运货120吨。

每辆卡车和每辆小车每次各运货多少吨？【考点】列方程组解应用题【解析】 设每辆卡车和每辆小车每次各运货x y 、吨，根据题意可得：30375456120x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得25x y =⎧⎨=⎩所以，每辆卡车每次运货2吨，每辆小车每次运货5吨。

【答案】每辆卡车每次运货2吨，每辆小车每次运货5吨【巩固】 甲、乙二人2时共可加工54个零件，甲加工3时的零件比乙加工4时的零件还多4个．问：甲每时加工多少个零件？【考点】列方程组解应用题【解析】 设甲每小时加工x 个零件，乙每小时加工y 个零件.则根据题目条件有：2254344x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得1611x y =⎧⎨=⎩所以甲每小时加工16个零件，乙每小时加工11个零件．【答案】甲每小时加工16个零件【例 2】 已知练习本每本0.40元，铅笔每支0.32元，老师让小虎买一些练习本和铅笔，总价正好是老师所给的10元钱．但小虎将练习本的数量与铅笔的数量记混了，结果找回来0.56元，那么老师原来打算让小虎买多少本练习本？【考点】列方程组解应用题【解析】 设老师原本打算让小虎买x 本练习本和y 支铅笔，则由题意可列方程组：0.40.32100.40.32100.56x y y x +=⎧⎨+=-⎩，整理得403210004032944x y y x +=⎧⎨+=⎩，即54125(1)54118(2)x y y x +=⎧⎨+=⎩， 将两式相加，得9()243x y +=，则27(2)x y +=，⑴ 4-⨯⑶，得17x =．所以，老师原打算让小虎买17本练习本．【答案】老师原打算让小虎买17本练习本【巩固】 商店有胶鞋、布鞋共45双，胶鞋每双3.5元，布鞋每双2.4元，全部卖出后，胶鞋比布鞋收入多10元．问：两种鞋各多少双？【考点】列方程组解应用题【解析】 设布鞋有x 双，胶鞋有y 双．453.5 2.410x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得2025x y =⎧⎨=⎩所以布鞋有20双，胶鞋有25双．【答案】布鞋有20双，胶鞋有25双【例 3】 运来三车苹果，甲车比乙车多4箱，乙车比丙车多4箱，甲车比乙车每箱少3个苹果，乙车比丙车每箱少5个苹果，甲车比乙车总共多3个苹果，乙车比丙车总共多5个苹果，这三车苹果共有多少个？【考点】列方程组解应用题【解析】 设乙车运来x 箱，每箱装y 个苹果，根据题意列表如下：()()()()433455x y xy xy x y ⎧+--=⎪⎨--+=⎪⎩，化简为4315(1)5415(2)y x x y -=⎧⎨-=⎩ ⑴+⑵，得：230x =，于是15x =．将15x =代入⑴或⑵，可得：15y =．所以甲车运19箱，每箱12个；乙车运15箱，每箱15个；丙车运11箱，每箱20个．三车苹果的总数是：191215151120673⨯+⨯+⨯=(个)．【答案】三车苹果的总数是：673个【巩固】 有大、中、小三种包装的筷子27盒，它们分别装有18双、12双、8双筷子，一共装有330双筷子，其中小盒数是中盒数的2倍．问：三种盒各有多少盒？【考点】列方程组解应用题【解析】 设中盒数为x ，大盒数为y ，那么小盒数为2x ，根据题目条件有两个等量关系：227181282330x x y y x x ++=⎧⎨++⨯=⎩该方程组解得69x y =⎧⎨=⎩，所以大盒有9个，中盒有6个，小盒有12个. 【答案】大盒有9个，中盒有6个，小盒有12个【例 4】 有1克、2克、5克三种砝码共16个，总重量为50克；如果把1克的砝码和5克的砝码的个数对调一下，这时总重量变为34克.那么1克、2克、5克的砝码有多少个？【考点】列方程组解应用题【解析】 5克砝码比1克砝码每多1个，对调后总重量将减少514-=克，所以5克砝码比1克砝码多()503444-÷=（个）． 在原来的砝码中减掉4个5克砝码，此时剩下12个砝码，且1克砝码与5克同样多，总重量为30克．设剩下1克、5克各x 个，2克砝码y 个，则212(15)230x y x y +=⎧⎨++=⎩，解得36x y =⎧⎨=⎩所以原有1克砝码3个，2克砝码6个，5克砝码347+=个．【答案】原有1克砝码3个，2克砝码6个，5克砝码347+=个【巩固】 某份月刊，全年共出12期，每期定价2.5元．某小学六年级组织集体订阅，有些学生订半年而另一些学生订全年，共需订费1320元；若订全年的同学都改订半年，而订半年的同学都改订全年，则共需订费1245元．则该小学六年级订阅这份月刊的学生共有 人．【考点】列方程组解应用题【解析】 设订半年的x 人，订全年的y 人，则：2.5(612)13202.5(126)1245x y x y ⨯+=⎧⎨⨯+=⎩，得288283x y x y +=⎧⎨+=⎩，两式相加，得3()171x y +=， 所以57x y +=，即该小学六年级订阅这份月刊的学生共有57人．【答案】小学六年级订阅这份月刊的学生共有57人【例 5】 某公司花了44000元给办公室中添置了一些计算机和空调，办公室每月用电增加了480千瓦时，已知，计算机的价格为每台5000元，空调的价格为2000元，计算机每小时用电0.2千瓦时，平均每天使用5小时，空调每小时用电0.8千瓦时，平均每天运行5小时，如果一个月以30天计，求公司一共添置了多少台计算机，多少台空调？【考点】列方程组解应用题【解析】 设添置了x 台计算机，y 台空调．则有5000200044000(1)0.25300.8530480(2)x y x y +=⎧⎨⨯⨯+⨯⨯=⎩ ⑵式整理得416x y +=，则164x y =-；代入⑴得()5000164200044000y y -+=，解得2y =，则8x =，所以公司一共添置了8台计算机和2台空调．【答案】8台计算机和2台空调【巩固】 甲、乙两件商品成本共600元，已知甲商品按45%的利润定价，乙商品按40%的利润定价；后来甲打8折出售，乙打9折出售，结果共获利110元.两件商品中，成本较高的那件商品的成本是多少？【考点】列方程组解应用题【解析】 设甲、乙两件商品成本分别为x 元、y 元.根据题意，有方程组：600(145%)0.8(140%)0.9600110x y x y +=⎧⎨+⨯+⨯+⨯-=⎩，解得460140x y =⎧⎨=⎩所以成本较高的那件商品的成本是460元．【答案】成本较高的那件商品的成本是460元【例 6】 某次数学竞赛，分两种方法给分.一种是先给40分，每答对一题给4分，不答题不给分，答错扣1分，另一种是先给60分，每答对一题给3分，不答题不给分，答错扣3分，小明在考试中只有2道题没有答，以两种方式计分他都得102分，求考试一共有多少道题？【考点】列方程组解应用题【解析】 设小明答对了x 道题，答错了y 道题.由题目条件两种计分方式，他都得102分，可得到两条等量关系式：4041026033102x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得162x y =⎧⎨=⎩，所以考试一共有162220++=道题. 【答案】考试一共有162220++=道题【巩固】 某次数学比赛，分两种方法给分．一种是答对一题给5分，不答给2分，答错不给分；另一种是先给40分，答对一题给3分，不答不给分，答错扣1分．某考生按两种判分方法均得81分，这次比赛共多少道题？【考点】列方程组解应用题【解析】 设答对a 道题，未答b 道题，答错c 道题，由条件可列方程()()52811403812a b a c +=⎧⎪⎨+-=⎪⎩ 由()1式知，a 是奇数，且小于17．()2式可化简为由()3式知，a 大于13．综合上面的分析，a 是大于13小于17的奇数，所以15a =．再由()()13式得到3b =，4c =． 153422a b c ++=++=，所以共有22道题．【答案】共有22道题【例 7】 甲、乙两人生产一种产品，这种产品由一个A 配件与一个B 配件组成．甲每天生产300个A 配件，或生产150个B 配件；乙每天生产120个A 配件，或生产48个B 配件．为了在10天内生产出更多的产品，二人决定合作生产，这样他们最多能生产出多少套产品？【考点】列方程组解应用题【解析】 假设甲、乙分别有x 天和y 天在生产A 配件，则他们生产B 配件所用的时间分别为(10)x -天和(10)y -天，那么10天内共生产了A 配件(300120)x y +个，共生产了B 配件150(10)48(10)198015048x y x y ⨯-+⨯-=--个．要将它们配成套，A 配件与B 配件的数量应相等，即300120198015048x y x y +=--，得到7528330x y +=，则3302875y x -=． 此时生产的产品的套数为330283001203001201320875y x y y y -+=⨯+=+，要使生产的产品最多，就要使得y 最大，而y 最大为10，所以最多能生产出132********+⨯=套产品．【答案】最多能生产出1400套产品【巩固】 某服装厂有甲、乙两个生产车间，甲车间每天能生产上衣16件或裤子20件；乙车间每天能生产上衣18件或裤子24件．现在要上衣和裤子配套，两车间合作21天，最多能生产多少套衣服？【考点】列方程组解应用题【解析】 假设甲、乙两个车间用于生产上衣的时间分别为x 天和y 天，则他们用于生产裤子的天数分别为(21)x -天和(21)y -天，那么总共生产了上衣(1618)x y +件，生产了裤子20(21)24(21)9242024x y x y ⨯-+⨯-=--件．根据题意，裤子和上衣的件数相等，所以16189242024x y x y +=--，即67154x y +=，即15476y x -=．那么共生产了15472216181618410633y x y y y -+=⨯+=-套衣服．要使生产的衣服最多，就要使得y 最小，则x 应最大，而x 最大为21，此时4y =．故最多可以生产出22410440833-⨯=套衣服．【例 8】 从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路．一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米．车从甲地开往乙地需9小时，从乙地到甲地需7.5小时，问：甲乙两地公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？【考点】列方程组解应用题【关键词】华杯赛，复赛【解析】 (法1)从甲地到乙地的上坡路，就是从乙地到甲地的下坡路；从甲地到乙地下坡路，就是从乙地到甲地的上坡路．设从甲地到乙地的上坡路为x 千米，下坡路为y 千米，依题意得：920351735202x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得140x =，70y =，所以甲、乙两地间的公路有14070210+=千米，从甲地到乙地须行驶140千米的上坡路．答：甲、乙两地间的公路有210千米，从甲地到乙地须行驶140千米的上坡路．【答案】甲、乙两地间的公路有210千米，从甲地到乙地须行驶140千米的上坡路【巩固】 从A 村到B 村必须经过C 村，其中A 村至C 村为上坡路，C 村至B 村为下坡路，A 村至B 村的总路程为20千米．某人骑自行车从A 村到B 村用了2小时，再从B 村返回A 村又用了1小时45分．已知自行车上、下坡时的速度分别保持不变，而且下坡时的速度是上坡时速度的2倍．求A 、C 之间的路程及自行车上坡时的速度．【考点】列方程组解应用题【解析】 设A 、C 之间的路程为x 千米，自行车上坡速度为每小时y 千米，则C 、B 之间的路程为(20)x -千米，自行车下坡速度为每小时2y 千米．依题意得：2022203124x x y y x x y y -⎧+=⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩， 两式相加，得：202032124y y +=+，解得8y =；代入得12x =． 故A 、C 之间的路程为12千米，自行车上坡时的速度为每小时8千米．【答案】A 、C 之间的路程为12千米，自行车上坡时的速度为每小时8千米二、设而不求【例 9】 10位小学生的平均身高是1.5米，其中有些低于1.5米的，他们的平均身高是1.2米；另一些高于1.5米的，平均身高是1.7米，那么最多有________位同学的身高恰好是1.5米．【考点】列方程组解应用题【解析】 设身高低于1.5米的有x 人，身高高于1.5米的有y 人，则：1.2 1.7 1.5()x y x y +=+，得32x y =，所以x 最小为2，y 最小为3，身高恰好是1.5米的同学最多有10(23)5-+=人．【答案】身高恰好是1.5米的同学最多有5人【巩固】 庙里有若干个大和尚和若干个小和尚，已知7个大和尚每天共吃41个馒头，29个小和尚每天共吃11个馒头，平均每个和尚每天恰好吃一个馒头．问：庙里至少有多少个和尚？【考点】列方程组解应用题【解析】 设庙里有7x 个大和尚，29y 个小和尚，则共吃()4111x y +个馒头．由“平均每个和尚每天恰好吃一个馒头”，可列方程：7294111x y x y +=+，化简为179x y =．当9x =，17y =时和尚最少，有792917556⨯+⨯=(个)和尚．【答案】至少有556个和尚【例 10】 某次演讲比赛，原定一等奖10人，二等奖20人，现将一等奖中的最后4人调整为二等奖，这样得二等奖的学生的平均分提高了1分，得一等奖的学生的平均分提高了3分，那么原来一等奖平均分比二等奖平均分多多少分？【考点】列方程组解应用题【解析】 设原来一等奖的平均分为x 分，二等奖的平均分为y 分，得：10(104)(3)(204)(1)20x x y y --⨯+=++-418424x y -=+4442x y =+10.5x y =+，即原来一等奖平均分比二等奖平均分多10.5分．【答案】原来一等奖平均分比二等奖平均分多10.5分【巩固】 有两个学生参加4次数学测验，他们的平均分数不同，但都是低于90分的整数．他们又参加了第5次测验，这样5次的平均分数都提高到了90分．求第5次测验两人的得分．(每次测验满分为100分)【考点】列方程组解应用题【解析】 设某一学生前4次的平均分为x 分，第5次的得分为y 分，则其5次总分为4905450x y +=⨯=，于是4504y x =-．显然90100y <≤，故904504100x <-≤，解得87.590x ≤<．由于x 为整数，可能为88和89，而且这两个学生前4次的平均分不同，所以他们前4次的平均分分别为88分和89分，那么他们第5次的得分分别为：45088498-⨯=分；45089494-⨯=分．【答案】第5次的得分分别为：98分；94分【例 11】 购买3斤苹果，2斤桔子需要6.90元；购买8斤苹果，9斤桔子需要22.80元，那么苹果、桔子各买1斤需要 元.【考点】列方程组解应用题【关键词】2008年，第六届，希望杯，1试，六年级【解析】 假设购买1斤苹果、桔子分别需要x 元、y 元，则：32 6.98922.8x y x y +=⎧⎨+=⎩， 两式相加得111129.7x y +=，即 2.7x y +=。

21.列方程解应用题知识要点梳理一、列方程解应用题的意义列方程解应用题就是用字母表示实际问题里的某个未知数，根据等量关系列出含有未知数的等式，即方程。

二、列方程解应用题的一般步骤1.审题：了解题中的已知条件和未知量，明确各个数量之间的关系，找出等量关系。

2.设：用字母表示题中的一个未知量，并用含该字母的代数式表示其他的未知量。

3.列：找出能够表示应用题全部含义的一个数量关系，列出方程4.解：解列出的方程5.答：检验所求的解是否符合题意，写出答案。

列方程解应用题，关键是寻找题中的等量关系。

方法：（1）直接设未知数；（2）间接设未知数。

途径：（1）根据关键句设未知数；（2）根据单位“1”设未知数；（3）根据公式设未知数。

考点精讲分析典例精讲考点1 直接列方程解应用题【例1】甲和乙一共有100元钱，甲用去49，乙用去27后，两人一共还剩下60元，甲原来有多少钱？【精析】设甲原有x 元，则乙原有（100－x ）。

甲剩下的钱可以用x×(1－49)元表示，乙剩下的钱可以用(100－x)×(1－27)元表示，然后根据两人一共剩下60元列出方程。

【答案】设甲原有x 元，则乙原有(100－x ）。

x ×(1－49)+(100－x)×(1－27)=605x +(100−x )×(1−2)=60 x =60答：甲原来有72元钱。

【归纳总结】此题比较简单，直接设未知数即可，利用两个等量关系设未知数和列方程。

考点2 间接列方程解应用题【例2】东方小学体育室的足球个数是篮球的3倍，体育课上，每班借6个足球，5个篮球，篮球借完时，还有72个足球。

体育室里原有足球和篮球各多少个？【精析】设班级数共为x个，那么借出的足球为6x个，借出的篮球为5x个。

【答案】设借球的班级数为x个。

5x×3=6x+729x=72x=8篮球：5×8=40个足球：40×3=120个答：体育室里原有足球120个，篮球40个。

第六讲 应用题知识要点目标一：掌握行程问题、利润问题、工程问题的基本公式目标二：掌握方案选择和分段计费类的实际运用目标三：会找题目中的等量关系并列方程从前有个农夫，死时留下几头牛，他在遗书中写道：“分给妻子全部牛的一半再加半头，分给长子剩下的一半再加半头，分给次子的是长子分剩下的一半再加半头，分给女儿最后剩下的一半再加半头.”结果一头牛也没有剩正好全部分完.问：农夫留下了多少头牛?题解法是：由女儿最后分得“一半再加半头后正好全部分完”，可判断前面次子剩下的奇数只能是1，道理简单，因为所有奇数中只有最小的1才符合这个要求，即1的一半加0.5还等于1。

弄清了最后剩下的一数是1，就能很方便的依次向前逆推，可知前三个剩下的奇数分别为（1＋0.5）×2＝3，（3＋0.5）×2＝7，（7＋0.5）×2＝15.即分给长子的牛数为4头，分给妻子的牛数为8头，农夫留下的牛数为15头.模块一 整式应用题题型一 行程问题知识导航行程问题①路程＝速度×时间②相遇路程＝时间（相同）×（V 甲＋V 乙）（速度之和）③追及路程＝追及时间×（V 甲－V 乙）（速度之差）④行船问题：V 船顺＝V 船速＋V 水速V 船逆＝V 船速－V 水速V 船速＝+2v v 船顺船逆 V 船速＝2v v -船顺船逆 例题一（1）某船顺水航行3小时，逆水航行2小时，已知轮船在静水中的速度为a 千米/时，水流速度为b 千米/时，轮船在顺水中的速度为 ；轮船在逆水中的速度为 ；共航行 千米.（2）船在静水中的速度为a 千米/时，水流速度为18千米/时，船顺水顺水航行5小时的行程比逆水航行4小时的行程多 千米.练习一（1）飞机的无风飞行航速为a 千米/时，风速为20千米/时，则飞机逆风飞行3小时的行程是 千米.（2）两船从同一港口出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中的速度都是50km /h ，水流速度是a km /h ，则t 甲＝2h ，甲船在顺水中的速度为 km /h ；甲船行驶 km ；t 乙＝3h ，乙船在顺水中的速度为 km /h ；乙船行驶 km ；乙船比甲船多航行 km .巅峰突破例题二小明通常上学时走上坡路，通常的速度为m千米/时，放学回家时，沿原路返回，通常的速度为n千米/时，则小明上学和放学路上的平均速度为多少？题型二利润问题知识导航利润＝售价－进价＝进价×利润率利润率＝-售价进价进价×100%＝利润进价×100%打折销售中的售价＝标价（定价）×打折数×0.1售价＝成本＋利润＝成本×（1＋利润率）利息＝本金×利率例题三（1）某商店举办促销活动，促销的方法是将原价x元的衣服以以35（x－10）元出售，则下列说法中，能正确反映该商场的促销方法的是（）A．原价减去10元后打8折B．原价打6折后再减10元C．原价减去10元后打4折D．原价打4折后再减10元（2）某商店举行促销活动，其促销方式是“消费超过100元时，所购买的商品按原价打8折后，再减少20元” .若某商品的原价是x元（x＞100），则购买该商品实际付款的金额（单位：元）是（）A．80%x－20B．80%（x－20）C．20%x－20D．20%（x－20）练习三（1）2015年双十一期间，某网店对一品牌服装进行优惠促销，将原价a元的衣服以45（a－20）元售出，则以下四种说法中可以准确表达该网店促销方法的是（）A．将原价降低20元之后，再打8折B．将原价打8折之后，再降低20元C．将原价降低20元之后，再打2折D．将原价打2折之后，再降低20元（2）某书每本定价8元，若购书不超过10本，按原价付款；若一次购书10本以上，超过10本部分按八折付款．设一次购书数量为x本（x＞10），付款金额为（）A．6.4x元B．（6.4x＋80）元C．（6.4x＋16）元D．（144－6.4x）元例题四（1）一件服装原价a元，若涨价10元后打八折销售，则现价一件元．（2）一件商品的进价为a元，将进价提高100%后标价，再按标价打七折销售，则这件商品销售后的利润为元．练习四（1）近来，随着脐橙的大量上市，某超市将原价为a 元/千克的脐橙打八折后，再降价b 元/千克，则现售价为元/千克.（2）一件童装每件的进价为a 元（a ＞0），商家按进价的3倍定价销售了一段时间后，为了吸引顾客，又在原定价的基础上打六折出售，那么按照新的售价销售，每件童装所得的利润用代数式表示应为元.题型三工程问题知识导航①工程问题中三个量及其关系为：工作总量＝工作效率×工作时间工作效率＝工作总量÷工作时间工作时间＝工作总量÷工作效率②经常在题目中未给出工作总量时，设工作总量为单位1.如果一件工作分成几个阶段完成，那么各阶段的工作量的和＝工作总量＝1例题五（1）某个工人要完成3000个零件加工，如果该工人每小时能完成x个零件，那么完成这批零件的加工需要的时间是小时.（2）某市对一段长3000米的道路进行改造，原计划每天修a米，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天修路比原计划多b米，那么修这条路提前了多少天？练习五（1）甲、乙两人一起加工零件.甲平均每小时加工a个零件，乙平均每小时加工b个零件，加工3小时.甲、乙两人共加工零件个.（2）某工厂原计划a天完成b件产品，由于情况发生变化，要求提前x天完成任务，则现在每天要比原计划每天多生产件产品.题型四分段计费例题六家乐福超市周年庆打折，若一次性消费100元以内，不打折；若一次性消费超过100元，不到500元，则整体打九折；若一次性消费500元以上，则整体打八折；请写出妞妞去超市消费x元，实际付款钱数：①（0＜x≤100）；②（100＜x≤500）；③（x＞500）.练习六中百超市周年庆打折，若一次性消费200元以内，不打折；若一次性消费超过200元，不到400元，则返现50元；若一次性消费400元以上，打九折，再返现20元；请写出妞妞去超市消费x元，实际付款钱数：①（0＜x≤200）；②（200＜x≤400）；③（x＞400）.例题七（1）某市出租车收费标准是：起步价为8元，3千米后每千米2元，若某人乘坐了x千米，用含x的代数式表示他应支付的车费.（x取整数）①（0＜x≤3）；②（x＞3）.（2）某地对居民用电收费采用阶梯电价，具体收费标准为：每月如果不超过90度，那么每度电价按a元收费，如果超过90度，超出部分电价按b元收费，某户居民一个月用电120度，该户居民这个月应缴纳电费是元（用含a、b的代数式表示）.练习七为鼓励居民节约用水，北京市将出台新的居民用水收费标准：①若每月每户居民用水不超过4立方米，则按每立方米2元计算；②若每月每户居民用水超过4立方米，则超过部分按每立方米4.5元计算（不超过部分仍按每立方米2元计算）．现假设该市某户居民某月用水10立方米，则水费是元，若用水x 立方米（x＞4），则水费是元（用含x的代数式表示）.题型五方案选择例题八（1）某学校准备组织部分教师到杭州旅游，现联系了甲、乙两家旅行社，两家旅行社报价均是4000元/人，同时两家旅行社都对10人以上的团体推出了优惠举措：甲旅行社对每位游客七五折优惠；而乙旅行社是免去一位带队老师的费用，其余游客八折优惠.如果设参加旅游的老师共x（x＞10）人，则甲旅行社的费用为元，乙旅行社的费用为元.（用含x的代数式表示）（2）某市电话拨号上网有两种收费方式，用户可以任选其一：（A）计时制：0.05元每分钟；（B）包月制：60元每月（限一部个人住宅电话上网）；此外，每一种上网方式都得加收通信费0.02元每分钟.①某用户某月上网的时间为x小时，请分别写出两种收费方式下该用户应该支付的费用；②你知道怎样选择计费方式更省钱吗？练习八迪雅服装厂生产一种夹克和T恤，夹克每件定价100元，T恤每件定价50元．厂方在开展促销活动期间，向客户提供两种优惠方案：①买一件夹克送一件T恤；②夹克和T恤都按定价的80%付款．现某客户要到该服装厂购买夹克30件，T恤x件（x＞30）．若该客户按方案①购买，夹克需付款______元，T恤需付款______元（用含x的式子表示）；若该客户按方案②购买，夹克需付款______元，T恤需付款______元（用含x的式子表示）.模块二一元一次方程应用题知识导航①审题.②找出等量关系.③设出未知数，列出方程.④解方程.⑤检验，写答案.题型一找等量关系列方程例题九（1）A、B两地相距480千米，一列慢车从A地出发，每小时行驶60千米，一列快车从B地出发，每小时行驶90千米，快车提前30分钟出发．两车相向而行，慢车行使了多少小时后，两车相遇？设慢车行使了x小时后两车相遇，根据题意，下面所列方程正确的是( )A．60（x＋30）＋90x＝480 B．60x＋90（x＋30）＝480C．60（x＋3060）＋90x＝480 D．60x＋90（x＋3060）＝480（2）某车间有26名工人，每人每天可以生产800个螺钉或1000个螺母，1个螺钉需要配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排x名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是（）A．1000（26－x）＝800x B．1000（13－x）＝800xC．1000（26－x）＝2×800x D．2×1000（26－x）＝800x练习九（1）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的数学问题：“今有凫（凫：野鸭）起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.今凫雁俱起，问何日相逢？”意思是：野鸭从南海起飞，7天飞到北海；大雁从北海起飞，9天飞到南海．野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过几天相遇．设野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过x天相遇，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．（9－7）x＝1B．（9＋7）x＝1 C．（17＋19）x＝1D．（17－19）x＝1（2）超市店庆促销，某种书包原价每个x元，第一次降价打“八折”，第二次降价每个减10元，经两次降价后售价为90元，则得到方程（）A．0.8x－10＝90 B．0.08x－10＝90 C．90－0.8x＝10 D．x－0.8 x－10＝90（3）用铝片做听装饮料瓶，现有100张铝片，每张铝片可制瓶身16个或制瓶底45个，一个瓶身和两个瓶底可配成一套.设用x张铝片制瓶身，则下面所列方程正确的是（）A．2×16x＝45（100－x）B．16x＝45（100－x）C．16x＝2×45（100－x）D．16x＝45（50－x）题型二一元一次方程应用题例题十一项工程，甲队单独完成需40天，乙队单独完成需50天，现甲队单独做4天，后两队合作.①求甲、乙合作多少天才能把该工程完成.②在①的条件下，甲队每天的施工费用为2500元，乙队每天的施工费用为3000元，求完成此项工程需付给甲、乙两队工多少元.练习十某车间原计划用13小时生产一批零件，后来每小时多生产10个，用了12小时，不但完成了任务，而且还多生产零件60个，则原计划每小时生产零件多少个？课后作业应用题（一）1.已知轮船在静水中的速度是每小时a千米，水流速度是每小时b千米，则轮船在顺水中航行的速度是多少千米？2.一点商品的进价是a元，将进价提高100%后标价，再按标价打八折销售，则这件商品销售后的利润为元.3.某地对居民用电的收费标准为：每月如果不超过100度，那么每度电价按a元/度收费，如果超过100度，超出部分电价按b元/度收费，某户居民一个月用电160度，该户居民这个月应缴纳电费元（用含a、b的代数式表示）.4.甲、乙两人在环形跑道上同时同地出发，同向跑步，甲的速度为7米/秒，乙的速度为6.5米/秒，若跑道一周的长为400米，设经过x秒后甲、乙两人第一次相遇，则列方程为： .5.某工人上午7点上班至11点下班，一开始他用15分钟做准备工作，接着每隔15分钟加工完1个零件.①他加工完第一个零件是几点？②求他加工完x个零件时的时刻（用x表示）③8点整他加工完几个零件？④这个工人上午加工几个零件？6.为节约能源，某单位按以下规定收取每月电费：用电不超过140度，按每度0.45元收费，如果超过140度，超过部分按每度0.6元收费.某住户七月份的用电量是a度，求这个住户七月分应交多少电费？（结果用含a的式子表示）7 .一家商店某种商品按进价提高40%后标价，节假日期间又以标价打八折销售，结果这种商品每件仍可获利售价为24元，问这件商品的进价是多少元？。

第6讲 列方程解应用题（练习）夯实基础一、单选题1．（2020·上海市第二工业大学附属龚路中学八年级期中）受疫情影响某厂今年第一季度的产值只有200万元，为帮助企业渡过难关，政府出台了很多帮扶政策，在当地政府的暖心相助下，该厂第三季度的总产值提高到500万元．若平均每季度的增产率是x ，则可以列方程（ ）A ．()20012500+=xB ．()50012200-=xC ．D ．【答案】C【分析】若平均每季度的增产率是x ，经过两次增长后应该为()22001x +，建立方程即可．【详解】解：若平均每季度的增产率是x ，则可以列方程 故本题选择C【点睛】本题是一元二次方程的应用问题当中的变化率问题，解题时找到等量关系是关键．2．（2020·上海市静安区实验中学）甲、乙两列车分别从相距300千米的A 、B 两站同时出发相向而行．相遇后，甲车再经过2小时到达B 站，乙车再经过4小时30分到达A 站，求甲、乙两车的速度．若设甲、乙两车的速度分别为x 千米/时和y 千米/时，根据题意列方程组是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【分析】设甲、乙两车的速度分别为x千米/时和y千米/时，根据相遇后从行驶的路程之和等于总距离和相遇时时间相同列出二元一次方程组即可．【详解】设甲、乙两车的速度分别为x千米/时和y千米/时，依题意得故选A．【点睛】此题主要考查二元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列方程．3．（2019·上海浦东新区·八年级期末）某特快列车在最近一次的铁路大提速后，时速提高了30千米/小时，则该列车行驶350千米所用的时间比原来少用1小时，若该列车提速前的速度是x千米/小时，下列所列方程正确的是()A．B．C．D．【答案】B【分析】根据题意可得等量关系为原来走350千米所用的时间提速后走350千米所用的时间，根据等量关系列式即可判断．【详解】解：原来走350千米所用的时间为，现在走350千米所用的时间为：，所以可列方程为：.故选：B．【点睛】本题考查分式方程的实际应用，根据题意找到提速前和提速后所用时间的等量关系是解决本题的关键．4．（2020·上海市静安区实验中学）为执行“两免一补”政策，某地区2010年投入教育经费2500万元，预计2011年、2012年两年共投入5775万元．设这两年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则下面列出的方程正确的是（）A ．225005775x =B ．()200250015775x +=C ．()2250015775x += D ．【答案】D【分析】根据题意，该地区投入教育经费的年平均增长百分率为x ，由2010年的2500万元，得出2011年的经费投入和2012年的经费投入，两年共投入5775万元，列出方程式即可．【详解】该地区教育经费的年平均增长率为x ，则可以列方程为 ， 故选：D ．【点睛】本题考查了方程的实际应用问题，结合年增长率找出等量关系列方程，注意年增长率和年数的关系．5．（2019·上海市田林第三中学）某工厂一月份的产值是100万元，之后每月产值的平均增长率是x,已知第一季度的总产值是331万元，为了求出x,下列方程正确的是（ ） A ．100(x+1)²=331 B ．100(x+1)3=331C ．100+100(x+1)²=331D ．100+100(x+1)+100(x+1)²=331【答案】D【分析】等量关系为：第一季度的产值y=一月份的产值+二月份的产值+三月份的产值，把相关数值代入即可．【详解】∵一月份的产值为100万元，平均每月增长率为x ， ∴二月份的产值为100×(1+x)，∴三月份的产值为100×(1+x)×(1+x)= 100(x+1)²， 第一季度为：100+100(x+1)+100(x+1)²=331.故选D.【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，将通过集中理解题意找出等量关系. 6．（2019·上海市闵行区七宝第二中学）一列火车到某站已经晚点8分钟，如果将速度每小时加快10千米，那么继续行驶30千米便可以在下一站正点到达，设火车原来行驶的速度是x千米/小时，求火车原来行驶的速度是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】设火车原来行驶的速度是x千米/小时，根据时间的等量关系列方程即可.【详解】解：设火车原来行驶的速度是x千米/小时，由题意得：，故选B.【点睛】本题主要考查用分式方程解决行程问题，得到时间的等量关系是解决本题的关键.二、填空题7．（2019·上海市鲁迅初级中学八年级月考）某商场八月份的营业额是100万元，预计十月份的营业额可达到144万元，若九、十月份营业额的月增长率相同为x，那么由题意可列得方程为_______________________【答案】【分析】根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率）n，如果平均每月的增长率为x，根据题意即可列出方程．【详解】解：设平均每月的增长率为x，则九月份的营业额为100（1+x），十月份的营业额为100（1+x）2，由此列出方程：100（1+x）2=144．故答案为【点睛】本题主要考查从实际问题中抽象出一元二次方程，掌握复利公式：“a（1+x）n=b”，理解公式是解决本题的关键．8．（2018·上海普陀区·八年级期末）如图，在长为32米、宽为20米的长方形绿地内，修筑两条同样宽且分别平行于长方形相邻两边的道路，把绿地分成4块，这4块绿地的总面积为540平方米．如果设道路宽为x米，由题意所列出关于x的方程是_____．【答案】（32﹣x）（20﹣x）=540．【分析】本题可设道路宽为x米，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了（32-x）（20-x）米2，进而即可列出方程，求出答案．【详解】利用平移,原图可转化为右图,设道路宽为x米,根据题意得：(32−x) (20−x) =540，【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，可将草坪面积看作一整块的矩形的面积，根据矩形面积=长×宽求解．9．（2018·上海松江区·八年级期末）节能减排，让天更蓝、水更清.已知某企业2015年单位GDP的能耗约为2.5万吨标煤，2017年的能耗降为1.6万吨标煤.如果这两年该企业单位GDP的能耗每年较上一年下降的百分比相同，那么这个相同的百分比是____________．【答案】20%【分析】2017年单位GDP的能耗=2015年单位GDP的能耗×（1-年下降的百分比）2，把相关数值代入即可．【详解】解：设每年比上一年下降的百分比为x，依题意得即所列的方程为2.5（1-x）2=1.6．解，得1120% 5x==，25 4x=（不合题意，舍去）故答案为：20%【点睛】本题考查了从实际问题中抽出一元二次方程，找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．10．（2020·上海市静安区实验中学）甲、乙两施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由甲、乙两队合作，一共用10天就完成了全部工程．已知乙队单独完成此项工程所需天数与甲队单独完成此项工程所需天数之比是4:5，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天．若设甲队单独完成此项工程需5x天，则根据题意可列方程为_________________．【答案】【分析】求的是工效，工作时间明显，一定是根据工作总量来列等量关系．等量关系为：甲8天的工作总量＋乙10天的工作总量＝1．【详解】设甲施工队单独完成此项工程需5x天，则乙施工队单独完成此项工程需4x天．根据题意得：故答案为：．【点睛】应用题中一般有三个量，求一个量，明显的有一个量，一定是根据另一量来列等量关系的．本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．三、解答题11．（2019·上海市西延安中学）某农场挖一条长480米的渠道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，则原计划每天挖多少米?【答案】40米【分析】设原计划每天挖x米，则开工后每天挖（x+20）米．根据实际比原计划提前4天完成任务，列方程求解．【详解】解：设原计划每天挖x米，则开工后每天挖（x+20）米．，2x+20x-2400=0，（x+60）（x-40）=0，x1=-60，x2=40．经检验，它们都是原方程的根，但x=-60不合题意，应舍去，取x=40．答：原计划每天挖40米．故答案为：40米．【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．列分式方程解决实际问题的检验分两个方面：①要保证方程有解，②要保证实际问题有意义．12．（2018·上海金山区·八年级期中）为改善生态环境，某村计划在荒坡上种1000棵树．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种10棵，结果提前5天完成任务．原计划每天种多少棵树？【答案】原计划每天种树40棵．【分析】设原计划每天种树x棵，实际每天植树（x+10）棵，根据实际完成的天数比计划少5天为等量关系建立方程，求出其解即可．【详解】解：设原计划每天种x棵，根据题意得21020000+-=．x x140x =，250x =-经检验，140x =，250x =-都是原方程的根，但50x =-不合题意，舍去 答：原计划每天种树40棵．【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键，注意分式方程要进行检验．13．（2019·上海闵行区·八年级期末）今年上海市政府计划年内改造1．8万个分类垃圾箱房，把原有的分类垃圾箱房改造成可以投放“干垃圾、湿垃圾、可回收垃圾、有害垃圾”四类垃圾的新型环保垃圾箱房．环卫局原定每月改造相同数量的分类垃圾箱房，为确保在年底前顺利完成改造任务，环卫局决定每月多改造250个分类垃圾箱房，提前一个月完成任务．求环卫局每个月实际改造分类垃圾箱房的数量． 【答案】环卫局每个月实际改造类垃圾箱房2250个．【分析】设原计划每个月改造垃圾房x 万个，然后根据题意列出分式方程，解方程即可得出答案．【详解】设原计划每个月改造垃圾房x 万个，则实际每月改造()0.025x +万个． ．化简得：2200590x x +-=．解得：115x =，2940x =-． 经检验：115x =，2940x =-是原方程的解． 其中115x =符合题意，2940x =-不符合题意舍去．10.0250.2255+=万个，即2250个．答：环卫局每个月实际改造类垃圾箱房2250个．【点睛】本题主要考查分式方程的应用，能够根据题意列出分式方程是解题的关键．14．（2019·上海黄浦区·）学生从学校出发去距离10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，20分钟后，其余同学乘车出发，结果同时到达，已知汽车速度是骑自行车的2倍，求骑自行车的速度．【答案】自行车速度为 15 千米/时【分析】根据题意，找出等量关系即汽车和自行车同时达到，设自信车速度为x千米/时，可列方程：，解方程再检验即可得出答案.【详解】解：设自行车速度为x千米/时，则汽车速度为2x千米/时，20分钟13=小时由题意可得：解得：15x=.经检验15x=是原方程的解且符合题意．答：自行车速度为15千米/时．【点睛】本题考查分式方程的实际应用，根据题意找出等量关系，列出方程是解题关键，注意解分式方程必须要验算，以防出现增根的情况.15．（2020·上海市第二工业大学附属龚路中学八年级期中）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．【答案】（1）4，16（2）不能剪成两段使得面积和为12cm2【详解】（1）.设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为(20-4x)÷4=-5x依题意列方程得：x2+（5-x）2=17，解方程得：x1=1，x2=4，两端的铁丝长为4，16.-．（2）.设其中一个正方形的边长为xcm，则另一个正方形的边长为(20-4x)÷4=5x依题意列方程得：x2+（5-x）2=12，x无解，故不能.能力提升一、单选题1．（2020·上海市静安区实验中学）张老师和李老师同时从学校出发，步行15千米去县城购买书籍，张老师比李老师每小时多走1千米，结果比李老师早到半小时，两位老师每小时各走多少千米？设李老师每小时走x千米，依题意，得到的方程是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】设小李每小时走x千米，则小张每小时走（x+1）千米，根据题意可得等量关系：小李所用时间-小张所用时间=半小时，根据等量关系列出方程即可．【详解】解：设小李每小时走x千米，依题意得：故选B ．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系列出方程．2．（2019·上海市浦东新区进才中学南校）某种产品原来每件价格为875元，经过两次降价，且每次降价的百分率相同，现在每件售价为560元，设每次降价的百分率为x ，依题意可列出关于x 的方程（ ）A ．B ．()28751-560x =C ．()25601%875x -=D ．【答案】B 【分析】根据降价后的价格＝降价前的价格(1-降价的百分率)，则第一次降价后的价格是，第二次降价后的价格是875，据此可列得方程.【详解】根据降价后的价格＝降价前的价格(1-降价的百分率)，则第一次降价后的价格是，第二次降价后的价格是875，据此可列得方程：.故选B【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，解答本题的关键在于分析降价后的价格，要注意降价的基础，难度一般．3．（2019·上海松江区·八年级期末）过元旦了，全班同学每人互发一条祝福短信，共发了380条，设全班有x 名同学，列方程为（ ）A ．()113802x x -=B ．x （x ﹣1）=380C ．2x （x ﹣1）=380D ．x （x +1）=380 【答案】B【分析】设该班级共有同学x 名，每个人要发（x-1）条短信，根据题意可得等量关系：人数×每个人所发的短信数量=总短信数量．【详解】设全班有x 名同学，由题意得：x （x-1）=380，故选：B ．【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．4．（2019·上海金山区·八年级期中）甲队修路120 m 与乙队修路100 m 所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10 m ，设甲队每天修路xm.依题意，下面所列方程正确的是A ．B ．C ．D ．【答案】A【详解】甲队每天修路xm ，则乙队每天修（x －10）m ，因为甲、乙两队所用的天数相同， 所以，.故选A.5．（2019·上海嘉定区·八年级期中）等腰ABC ∆的一边长为4，另外两边的长是关于x 的方程2100x x m -+=的两个实数根，则等腰三角形底边的值是（ ）A ．4B ．25C ．4或6D ．24或25 【答案】C【分析】分为两种情况：①腰长为4，②底边为4，分别求出即可．【详解】设底边为a ，分为两种情况：①当腰长是4时，则a+4=10，解得：a=6，即此时底边为6，②底边为4，腰长为10÷2=5，即底边长为4或6，故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，等腰三角形的性质等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键．二、填空题6．（2020·上海市静安区实验中学）小王1000元投资理财，他买的股票一年后增值80％，但第二、三年股市低迷出现亏损，第三年后还有资金882元，则这两年的平均亏损率为___________．【答案】30%．【分析】首先求得第一年的钱数，然后利用第二、三年的亏损率相同列出一元二次方程即可．【详解】第二年增值后的钱数为1000（1+80%），设第二、三年的平均亏损率为x，根据题意得，解得x=30%，故答案为：30%．【点睛】本题考查了列一元二次方程求解增长率的问题，注意找到正确的等量关系列出方程式求解．7．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）一个两位数，个位上的数字比十位上的数字大3，且十位上的数字的平方比个位上的数字小1，设个位上的数字为x，十位上的数字为y，可列方程组________________________．【答案】【分析】等量关系为：个位上的数字比十位上的数字大3，且十位上的数字的平方比个位上的数字小1，根据个位上的数字为x，十位上的数字为y列方程组即可．【详解】∵个位上的数字为x，十位上的数字为y，∴，故答案为.【点睛】本考查列方程组，根据题意找出等量关系是解题的关键．8．（2020·上海市市西初级中学）一种型号的数码相机，原来每台售价5000元，经过两次降价后，现在每台售价为3200元，假设两次降价的百分率均为x，那么可列方程___________.【答案】5000（1-x）2=3200【分析】设两次降价的百分率均为x，根据原来每台售价为5000元，经过两次降价后，现在每台售价为3200元，可列出方程．【详解】解：设两次降价的百分率均为x，5000（1-x）2=3200．故答案为：5000（1-x）2=3200．【点睛】本题考查理解题意的能力，是个增长率问题，根据两次降价前的结果，和现在的价格，可列出方程．9．（2020·上海市风华初级中学八年级月考）某工厂七月份的产值是200万元，计划九月份的产值要达到288元，那么平均每月的增长率是_____.【答案】20%【分析】根据题意，设每月的增长率为x，则九月份的产值为200（1+x）2，根据题意九月份产值为288元，列方程求解即可.【详解】解：设平均每月增长率为x，根据题意得，200（1+x）2=288解得，x1=0.2=20%，x2= -2.2（不符合题意，舍去）即平均每月增长率为20%.故答案为：20%【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用问题，即增长率问题，掌握涨前量和涨后量及增长率之间的关系是解答此题的关键.10．（2020·上海市静安区实验中学）某市为了增强学生体质，开展了乒乓球比赛活动．部分同学进入了半决赛，赛制为单循环式(即每两个选手之间都赛一场)，半决赛共进行了6场，则共有__________人进入半决赛．【答案】4【解析】假设共有 x人进入半决赛．∴12x（x-1）=6，解得：x 1=4，x 2=-3（舍去），答：共有 4人进入半决赛．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据题意得出方程是解决问题的关键．三、解答题11．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）如图，有两条互相垂直的公路12,l l ，A 厂离公路1l 的距离为2千米，离公路2l 的距离为5千米；B 厂离公路1l 的距离为11千米，离公路2l 的距离为4千米；现在要在公路2l 上建造一仓库P ，使A 厂到P 仓库的距离与B 厂到P 仓库的距离相等，求仓库P 的位置．【答案】仓库P 在公路2l 上，且在公路1l 的右侧，离公路1l 的距离为6千米处.【分析】以直线12,l l 建立直角坐标系，根据题述可得A 厂，B 厂所在点的坐标，再设仓库P 所在点的坐标为(x ,0)，根据“A 厂到P 仓库的距离与B 厂到P 仓库的距离相等”列出方程，求解，根据方程的解可得出仓库P 的位置．【详解】解：12,l l 为两条互相垂直的公路，以12,l l 建立平面直角坐标系，如下图，根据题意可知(2,5),(11,4)A B ,设P(x ,0)，则2222(2)5(11)4x x -+=-+整理得：18108x =，解得6x =．故仓库P 在公路2l 上，且在公路1l 的右侧，离公路1l 的距离为6千米处．【点睛】本题考查两点之间的距离公式．能建立合适的直角坐标系，并根据“A 厂到P 仓库的距离与B 厂到P 仓库的距离相等”列出方程是解决此题的关键．12．（2020·上海市静安区实验中学）前年甲厂全年的产值比乙厂多12万元，在其后的两年内，两个厂的产值都有所增加：甲厂每年的产值比上一年递增10万元，而乙厂每年的产值比上一年增加相同的百分数．去年甲厂全年的产值仍比乙厂多6万元，而今年甲厂全年产值反而比乙厂少3.2万元．前年甲乙两车全年的产值分别是多少？乙厂每年的产值递增的百分数是多少？【答案】前年甲厂全年的产值为92万元，乙厂全年的产值为80万元，乙厂每年的产值递增的百分数是20%．【分析】根据题意，设前年乙厂全年的产值为x万元，乙厂每年比上一年递增的百分数为y，则甲厂前年的产值为（x+12）万元，利用甲厂和乙厂的产值关系列出二元二次方程组，解得即可．【详解】设前年乙厂全年的产值为x万元，乙厂每年比上一年递增的百分数为y，根据题意得解得80+12=92（万元），答：前年甲厂全年的产值为92万元，乙厂全年的产值为80万元，乙厂每年的产值递增的百分数是20%，故答案为：92，80，20%．【点睛】本题考查了方程组的列式求解问题，二元二次方程组的求解，根据等量关系列出方程组是解题的关键．13．（2020·上海市静安区实验中学）A、B两个码头相距6千米,一只船从A出发划船逆流而上用了1小时30分钟到达B．回来时，开始的23路程划船前进，余下的13路程让船顺水漂移到达A地，结果来去所用时间相同．求船在静水中的划行速度和水流速度．【答案】船在静水中的划行速度为6千米/小时，水流速度2千米/小时．【分析】设船在静水中的划行速度为x千米/小时，水流速度y千米/小时，根据题意列出方程组即可求解．【详解】设船在静水中的划行速度为x 千米/小时，水流速度y 千米/小时，根据题意得解得或，经检验，是方程组的解且符合实际，是方程组的解但不符合实际，所以，故船在静水中的划行速度为6千米/小时，水流速度2千米/小时．【点睛】此题主要考查列方程组解应用题，解题的关键是根据题意找到等量关系列出方程求解．14．（2019·上海黄浦区·八年级期中）在行驶完某段全程600千米的高速公路时，李师傅对张师傅说：“你的车速太快了，平均每小时比我多跑20千米，比我少用1.5小时就跑完了全程．”（1）若这段高速公路全程限速120千米/小时，两人全程均匀速行驶．那么张师傅超速了吗？请说明理由；（2）张师傅所行驶的车内油箱余油量y （升）与行驶时间t （时）的函数关系如图所示，则行驶完这段高速公路，他至少需要多少升油？【答案】（1）没超速；理由见解析；（2）他至少需要33升油．【分析】（1）设李师傅的速度为x 千米/小时，则张师傅的速度为()20x +千米/小时，根据题意可以列出相应的分式方程，从而可以解答本题；（2）根据函数图象可以求得张师傅每小时的耗油量，从而可以求得行驶完这段高速公路，他至少需要多少升油．【详解】（1）没超速．设李师傅的速度为x 千米/小时，则张师傅的速度为()20x +千米/小时，，∴22080000x x +-=，∴1100x =-，280x =．经检验1100x =-，280x =都为原方程的实数根，但1100x =-不合题意，舍去， ∴张师傅速度为100千米/小时<120千米/小时，没有超速．（2）∵114482÷=， ∴（升）．答：他至少需要33升油．【点睛】本题考查分式方程的应用、从函数图像读取信息，解答此类问题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出相应的分式方程解答问题．15．（2019·上海市敬业初级中学）甲、乙两家体育用品商店出售同样的乒乓球和乒乓拍，乒乓球拍每幅定价20元，乒乓球每盒定价5元，现两家商店搞促销活动．甲店：每买一副球拍送一盒乒乓球；乙店：按定价的8折优惠．某班级需购球拍4副，乒乓球若干盒（不少于4盒）．（1）设购买乒乓球盒数为x （盒），在甲店购买的付款数为1y （元）；在乙店购买的付款数为2y （元），分别写出1y 和2y 与x 的函数关系式，并写出定义域．（2）就乒乓球的盒数讨论去哪家购买合算？【答案】（1），；（2）当x=4时，两家商店一样合算，当4x >时，去乙商店更合算．【分析】（1）根据两家商店的促销方案即可解答；（2）分别当12y y <，12y y =，12y y >时，计算x 的取值范围，即可解答．【详解】解：（1）在甲商店买4副球拍和（x-4）盒乒乓球，∴12045(4)560y x x =⨯+-=+，4x ≥；乙店：按定价的8折优惠，∴2(2045)0.8464y x x =⨯+⨯=+，4x ≥；∴，；（2）当12y y <时，即，解得：4x <，不符合题意；当12y y =时，即560464x x +=+，解得：4x =，当12y y >时，即，解得：4x >，∴当x=4时，两家商店一样合算，当4x >时，去乙商店更合算．【点睛】本题考察了一次函数中的选择方案问题，解题的关键根据题意列出函数关系式．16．（2019·上海市闵行区上虹中学八年级期中）某农场要建一个饲养场（矩形ABCD ）两面靠现有墙（AD 位置的墙最大可用长度为27米，AB 位置的墙最大可用长度为15米），另两边用木栏围成，中间也用木栏隔开，分成两个场地及一处通道，并在如图所示的三处各留1米宽的门（不用木栏）．建成后木栏总长45米．设饲养场（矩形ABCD ）的一边AB 长为x 米．（1）饲养场另一边BC=____米（用含x 的代数式表示）．（2）若饲养场的面积为180平方米，求x 的值．【答案】（1）48-3x ；（2）10.【分析】（1）用（总长+3个1米的门的宽度）-3x 即为所求；（2）由（1）表示饲养场面积计算即可，【详解】（1）由题意得：（48-3x ）米．故答案是：（48-3x ）；（2）由题意得：x （48-3x ）=180解得x 1=6，x 2=10，，10x ＝【点睛】此题考查一元二次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．17．（2019·上海民办浦东交中初级中学八年级月考）如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，AC=6cm ，BC=8cm ，点P 从点A 出发沿边AC 向点C 以1cm/s 的速度移动，点Q 从C 点出发沿CB 边向点B 以2cm/s 的速度移动．（1）如果P 、Q 同时出发，几秒钟后，可使△PCQ 的面积为8cm 2？（2）点P 、Q 在移动过程中，是否存在某一时刻，使得△PCQ 的面积等于△ABC 的面积的一半？【答案】（1）2s 或4s 后可使△PCQ 的面积为8cm 2；（2）不存在使得△PCQ 的面积等于△ABC 的面积的一半的时刻，理由见解析；【分析】（1）设点P 、Q 同时出发，x 秒钟后，AP=xcm ，PC=（6-x ）cm ，CQ=2xcm ，此时△PCQ 的面积为：12×2x （6-x ），令该式=8，由此等量关系列出方程求出符合题意的值； （2）△ABC 的面积的一半等于12×12×AC ×BC=12cm 2，令12×2x （6-x ）=12，判断该方程是否有解，若有解则存在，否则不存在．【详解】（1）设xs 后，可使△PCQ 的面积为8cm 2．由题意得，AP=xcm ，PC=（6-x ）cm ，CQ=2xcm ， 则12•(6−x)•2x ＝8． 整理，得x 2-6x+8=0，解得x 1=2，x 2=4．所以P 、Q 同时出发，2s 或4s 后可使△PCQ 的面积为8cm 2．（2）由题意得：。

第六讲列方程解决实际问题1．把393个小皮球分成四份，第一份比第二份多12个，比第三份多8个,比第四份多23个.求每份各有多少个？2．有A、B两只货轮，原来A轮装载的货物重量是B轮的5倍，现在A轮再装载400吨货物，B轮再装载800吨，这时A 轮的装载量是B轮的3倍。

求现在两只货轮各装载多少吨？3．某农场共栽桃树、梨树7302棵，已知梨树比桃树的一半多9棵.求桃树和梨树各多少棵？4．有兄弟二人，哥哥的年龄是弟弟的5倍，5年后哥哥的年龄是弟弟的3倍。

求两人今年各多少岁？5．一串珠子共7粒,总价1998元。

从一端起，每靠中间一粒珠子比外面一粒珠子贵10元,到中间为止；从另一端起，每靠中间一粒珠子比外面一粒贵14元，到中间的一粒珠子价值最高.问最中间一粒珠子价值是多少元？6．小明有48支铅笔,小刚有36支铅笔，若每次小明给小刚8支,同时小刚再还给小明4支，问经过多少次这样的交换后，小刚的铅笔数是小明的2倍？7．一支钢笔比一支圆珠笔贵1元4角4分，3支圆珠笔的价钱恰好等于2支钢笔的价钱,这两种笔的单价各是多少元？8．78只鸡在田里捉青虫吃，共吃掉138条青虫，已知每只公鸡吃4条青虫，每只母鸡吃3条害虫,两只小鸡吃1条害虫，母鸡比公鸡多18只.问这群鸡中公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？9．把275米长的电线剪成45根,一部分每根长7米，另一部分每根长5米。

问两种电线各有多少根？10．商店购进一批皮球每只成本1。

50元，出售时每只售价2。

00元。

当商店卖剩皮球20只时，成本已经全部收回,并且盈利50元。

问商店原购进皮球多少只?11．面包每只重200克，成人每人发两个面包，小孩每两人全发一个面包，现在有81人,共发掉面包15600克。

问成人、小孩各有多少人？12．甲、乙两个车间共有94个工人，每天共生产1998把椅子。

由于设备和技术的不同，甲车间平均每个工人每天只能生产15把椅子，而乙车间平均每个工人每天可以生产43把椅子，哪么甲车间每天生产的数量比乙车间多多少?(1998年竞赛预赛）啦啦啦，回家作业啦！1．幼儿园将一筐苹果分给小朋友，如果大班的小朋友每人5个则余10个；如果分给小班的小朋友每人8个则缺2个。

2021年六年级小升初总复习数学第六讲方程法解决问题一.教学目标1.理解等式和方程的意义，知道它们之间的含义。

2.理解和掌握方程的性质，能对一些等式有正确的比较和判断。

3.运用等式的性质，能正确熟练的解简易方程。

4.能根据题目的数量关系，正确的列出方程，并解答。

二.知识点第一类：（一）和、差、倍、分问题——读题分析法1.倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率…”来体现。

2.多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余……”来体现。

增长量＝原有量×增长率现在量＝原有量＋增长量例1．某单位今年为灾区捐款2万5千元，比去年的2倍还多1000元，去年该单位为灾区捐款多少元？答案：12000元。

练习：旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的25%，第二次旅程中用去剩余汽油的40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少1公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？答案：10公斤。

第二类：年龄问题：抓住“年龄差”不变作为等量关系，从而列出方程例2．兄弟二人今年分别为15岁和9岁，多少年后兄的年龄是弟的年龄的2倍？答案：3年练习：今年，小明一家三口的年龄之和是72岁，10年前，三人年龄的年龄之和是44岁，父亲比母亲大3岁．求小明家今年每人的年龄．答案：父亲34岁，母亲30岁，儿子8岁第三类：古典数学中的鸡兔同笼问题例3． 有100个和尚100个馍，1个大和尚分3个馍，3个小和尚分1个馍．问：大、小和尚各有多少人？答案：大和尚25人，小和尚75人练习：若干只鸡和兔子，它们共有88个头，244只脚，鸡和兔各有多少只？答案：鸡54只，兔34只第四类：盈亏问题例4 . 金银合金的重量是250克，放在水中称重时，重量减轻了16克，已知金在水中称重量减轻119，银在水中称重量减轻110，求这块合金中金、银各含多少克？ 解：设250克合金中，金有x 克，则银有(250)x -克；依题意：11(250)161910x x +-=， 190x =，答：这块合金中金有190克，银有25019060-=克．练习：苹果若干个分给小朋友，每人m个余14个，每人9个，则最后一人得6个。