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龙文学校教师一对一 59799765第25章：概率初步一．知识网络随机事件 概率事件确定事件二经典例题例1：在街头巷尾会遇到一类“摸球游戏”，摊主的游戏道具是把分别标有数字1，2，3的3个白球和标有数字4，5，6的3个黑球（球除颜色外，其它均相同），放在口袋里，让你摸球．规定：每付3元钱就玩一局，每局连续摸两次，每次只能摸一个，第一次摸完后把球放回口袋里搅匀后再摸一次，若前后两次摸得的都是白球，摊主就送你10元钱的奖品．（1）用列表法列举出摸出的两球可能出现的结果； （2）求出获奖的概率； （3）如果有50个人每人各玩一局， 摊主会从这些人身上骗走多少钱？请就这一结果写一句劝诫人们不要参与摸球游戏的忠告语．答案：（1），(2，1)，(2，2)， (2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，所以P (中奖)=369=41． （3） 摊主将从这些人身上骗走的钱数为：50×3-50×10×41=25(元)． 语句只要表述合理，立意明确即可．例2：（08盐城）一只不透明的袋子中装有4个小球，分别标有数字2、3、4、x ，这些球除数字外都相同．甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个小球上数字之和，记录后都将小球放回袋解答下列问题：（1）如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为7”的频率将稳定在它的概率附近．试估计出现“和为7”的概率； （2）根据（1），若x 是不等于2、3、4的自然x 数，试求x 的值． 答案：(1) 出现和为7的概率是：0.33(或0.31， 0.32，0.34均正确)(2) 列表格（见右边）或树状图，一共有12种可能的结果, 由（1）知，出现和为7的概率约为0.33∴和为7出现的次数为0.33×12=3.96≈4(用另外三个概率估计值说明亦可)若2+x=7,则x=5,此时P （和为7）=13≈0.33,若3+x=7,则 x=4,不符合题意.若4+x=7,则 x=3,不符合题意. 所以x=5.例3：不透明的口袋里装有红、黄、蓝三种颜色的小球（除颜色外其余都相同），其中红球有2个，蓝球有1个，现从中任意摸出一个是红球的概率为21．(1)求袋中黄球的个数；(2)第一次摸出一个球（不放回），第二次再摸一个小球，请用画树状图或列表法求两次摸到都是红球的概率；(3)若规定摸到红球得5分，摸到黄球得3分，摸到蓝球得1分，小明共摸6次小球（每次摸1个球，摸后放回）得20分，问小明有哪几种摸法？答案：(1)设袋中有黄球m 个,由题意得21122=++m ,解得1=m ,故袋中有黄球1个；(2) ∵第二次摸球第一次摸球黄红2蓝红2蓝黄红1红1红1红2黄蓝黄红2红1∴61122)(==两次都摸到红球P ．(3)设小明摸到红球有x 次，摸到黄球有y 次，则摸到蓝球有)6(y x --次，由题意得20)6(35=--++y x y x ，即72=+y x ∴x y 27-=∵x 、y 、y x --6均为自然数∴当1=x 时，06,5=--=y x y ；当2=x 时，16,3=--=y x y ；当3=x 时，26,1=--=y x y ． 综上：小明共有三种摸法：摸到红、黄、蓝三种球分别为1次、5次、0次或2次、3次、1次或3次、1次、2次．三适时训练（一）精心选 一选1、实验中学初三年级进行了一次数学测验，参考人数共540人，为了了解这次数学测验成绩，下列所抽取的样本中较为合理的是（ ）A 、抽取前100名同学的数学成绩B 、抽取后100名同学的数学成绩C 、抽取（1）、（2）两班同学的数学成绩D 、抽取各班学号为3号的倍数的同学的数学成绩2、从A 地到C 地，可供选择的方案是走水路、走陆路、走空中.从A 地到B 地有2条水路、2条陆路，从B 地到C 地有3条陆路可供选择，走空中从A 地不经B 地直接到C 地.则从A 地到C 地可供选择的方案有（ ） A 、20种 B 、8种 C 、 5种 D 、13种3、一只小狗在如图的方砖上走来走去，最终停在阴影方砖上的概率是（ ） A 、154 B 、31 C 、51 D 、152 4、下列事件发生的概率为0的是（ ）A 、随意掷一枚均匀的硬币两次，至少有一次反面朝上；B 、今年冬天黑龙江会下雪；C 、随意掷两个均匀的骰子，朝上面的点数之和为1；D 、一个转盘被分成6个扇形，按红、白、白、红、红、白排列，转动转盘，指针停在红色区域。
第二十五章《概率初步》一、随机事件与概率1、随机事件（1）确定事件事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．（2）随机事件在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．（3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中，①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1；②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0；③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1．随机事件发生的可能性（概率）的计算方法：例1：(1)下列事件中，是必然发生的事件的是（）（A）购买一张彩票中奖一百万. （B）打开电视机，任选一个频道，正在播新闻 .(C)在地球上，上抛出去的篮球会下落. （D）掷两枚质地均匀的骰子，点数之和一定大于6.(2)“明年十月七日会下雨”是__________事件.2、概率的意义（1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率m、n会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p．（2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．（3）概率取值范围：0≤p≤1．（4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0．（4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．(1).（2007 北京）一个袋中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外，大小、形状、质地完全相同，在看不到球的情况下，随机的从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率是（）.（A）. (B). (C). (D).二、用列举法求概率1.概率的公式（1）随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．（2）P（必然事件）=1．（3）P（不可能事件）=0．3.列举法和树状法（1）当试验中存在两个元素且出现的所有可能的结果较多时，我们常用列表的方式，列出所有可能的结果，再求出概率．（2）列表的目的在于不重不漏地列举出所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B（3）列举法（树形图法）求概率的关键在于列举出所有可能的结果，列表法是一种，但当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图．（4）树形图列举法一般是选择一个元素再和其他元素分别组合，依次列出，象树的枝丫形式，最末端的枝丫个数就是总的可能的结果n．（5）当有两个元素时，可用树形图列举，也可以列表列举．4.游戏公平性（1）判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平．（2）概率=所求情况数总情况数．（河北）在一个暗箱里放有a个除颜色外其它完全相同的球，这a个球中红球只有3个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱.通过大量反复试验后发现，摸到红球的频率稳定在25%，那么可以推算出a大约是（）(A)12.(B)9. (C)4. (D)3.（长春）将5个完全相同的小球分装在甲、乙两个不透明的口袋中，甲袋中有3个球，分别标有数字2、3、4，乙袋中有两个球，分别标有数字2、4，从甲、乙两个口袋中各随机摸出一个球.|（1）用列表法或树形图法，求摸出的两个球上数字之和为5的概率.（2）摸出的两个球上数字之和为多少时的概率最大？三、利用频率估计概率1. 利用频率估计概率（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．（2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．（3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．如图是一个黑白相间的双色转盘.你能估计转盘指针停在黑色上的机会吗？如果没有转盘.你有哪些方法可以用来模拟试验？尽可能说说你的办法？(一)选择题1.下列事件中不可能发生的是_____.(A)打开电视机, 正在播新闻. (B)我们班的同学将会有人当选劳动模范.(C)在空气中,光的传播速度比声音的传播速度快.(D)若实数,c<0，,则3c>2c.2.下列说法正确的是_____.(A)在同一年出生的400人中至少有两个人的生日相同.(B)一张奖券的中奖率是1%,买1百张奖券, 一定会中奖.(C) 一副扑克牌中,任意抽取一张是红桃,这是必然事件.(D)一个袋中装有3个红球. 5个白球,任意摸出1个球是红球的概率是.3. 随机掷一枚均匀的硬币两次，两次正面都朝上的概率是________.(A ). (B). (C). (D)1.4. 菱湖是全中国著名的淡水鱼产地,养鱼户专业户为了估计他承包的鱼塘里有多少条鱼(假设这个塘里养的是同一种鱼),先捕上100条做上标记,然后放回塘里,过了一段时间,待带标记的鱼完全和鱼塘里的鱼混合后,再捕上100条鱼,发现其中带标记的鱼有10条,塘里大约有鱼_______.(A)1600条. (B)1000条. (C)800条. (D)600条.5. 在做针尖落地的实验中,正确的是_______.(A)甲做了4000次,得出针尖落地的次数为46%,于是他断定在做4001次事针尖肯定不会触地(B)乙认为一次一次做速度太慢,他拿来了大把形状及大小完全相同的图针,随意朝地面轻轻抛出.然后统计针尖触地的枚数这样大大提高了速度(C)老师安排每名同学回家做实验,图针自由选取(D)老师安排每名同学回家做实验,图钉统一发（完全一样的图针）,同学们交来的结果,老师挑选满意的进行统计,他不满意的就不要.6.客厅地板示意图，一只小猫可以在客厅内随意走动,小猫最终停留在彩色的地板砖上的概率是________.(A). (B). (C). (D).7.甲、乙两人各自进行一次射击,甲射中目标的概率是0.4，乙射中目标的概率是0.5,那么甲射中目标而乙未射中目标的概率( )(A)0.1. (B)0.2. (C)0.3. (D)0.5.8.某商店举办有奖销售活动,办法如下:凡购物满100元的消费者得奖券一张,多购多得,每10000张奖券为一个开奖单位,设特等奖一个, 一等奖50个,二等奖100个,那么100元商品的中奖概率为( )（二）填空题9.在一个装5个红球的袋子里任意摸出2个球______是红球______是白球.（填：可能，一定，不可能）10.某人有红色、白色两件衬衫，白、蓝两条裤子,若任意拿一件衬衫和一条裤子,正好是白衬衫和白裤子的概率是______.11.A市大约有100万人口,随即抽查了2000人,具有大学以上的学历的有120人,则在该市随便调查一个人,他具有大学以上学历的概率为________.12.掷两枚正方形的骰子，得到点数之和是7的概率是_______.13.一个口袋中装有红色、黄色、蓝色玻璃球共72个,小明通过多次摸球试验发现,摸到红球、黄球、蓝球的频率依次为0.35、0.25和0.4, 则口袋中红球、黄球、蓝球的数目很有可能为____个___个和____个.14.一个口袋中有 8个黑球和若干个白球,从口袋中随即摸出10个球,求出其中黑球数与10的比值再把球放回口袋中摇匀,重复上述过程，共做20次,其中黑球数与10的比值的平均数是0.25,则估计袋中的白球约有_______个.（三）解答题15.(9分) 把一枚均匀的硬币连续抛掷三次,至少有一次是正面朝上的概率.(利用树形图形)16. (10分)某商场设立了一个可以自由转动的转盘,如图所示,并规定:顾客购物10元以上就能获得一次转动转盘的机会,当转盘停止时,指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品,下表是活动进行中的一组统计数据:(1) 计算并完成表格.落地“铅笔”的频率(2)请你估计,当n很大时,频率将会接近多少?(3)假如你去转动转盘一次,你获得铅笔的概率是多少?(4) 在该转盘中,标有铅笔区域的扇形的圆心角大约是多少?(精确到1度)17. 甲乙两人用如图所示的两个分格均匀的转盘做游戏,分别转动两转盘，若转盘停止后，指针指向一个数字，当指针恰好停在分格线上,则重转一次，用所指的两个数字做乘积，如果积大于10，那么甲获胜，如果积不大于10，那么乙获胜.请你解决下列问题：(1) 利用树形图（或列表）的方法表示该游戏很有可能出现的结果.(2)求甲，乙两人获胜的概率是多少?18. 袋子里装有红、黄、蓝三种, 小球其形状、大小、质地等完全相同,每种颜色的小球各5个,且分别标有数字1、2、3、4、5, 现在从中摸出一个小球:(1) 摸出的球是蓝色球的概率是多少?答:________________________.(2) 摸出的球是红色1号球的概率是多少? 答:________________________.(3) 摸出的球是5号球的概率是多少?答:________________________.19. 将分别标有数字1、2、3、的三张卡片洗匀后, 背面朝上放在桌子上.(1) 随机地抽出1张, 求P(奇数).(2) 随机地抽取一张作为十位上的数字(不放回) , 再抽取一张作为个位上的数字,能组成哪些两位数?恰好是“32”的概率是多少？16．(7分)(2014·武汉)袋中装有大小相同的2个红球和2个绿球．(1)先从袋中摸出1个球后放回，混合均匀后再摸出1个球．①求第一次摸到绿球，第二次摸到红球的概率；②求两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率；(2)先从袋中摸出两个球，则两球中有1个绿球和1个红球的概率是多少？17.（广州）（本小题满分10分）某校初三（1）班50名学生需要参加体育“五选一”自选项目测试，班上学生所报自选项目的情况统计表如下：，的值；(1)求a b(2)若将各自选项目的人数所占比例绘制成扇形统计图，求“一分钟跳绳”对应扇形的圆心角的度数；(3)在选报“推铅球”的学生中，有3名男生，2名女生.为了了解学生的训练效果，从这5名学生中随机抽取两名学生进行推铅球测试，求所抽取的两名学生中至多．．有一名女生的概率.答案及提示：(一)选择题1．D；2．A；3．A；4．B；5．B；6．A；7．B；8．D.(二)填空题9．一定不可能；10．；11．6% ；12.；13．25 1829；14．24；(三)解答题15 .16．（1）表格中依次填:68% 74% 68% 69% 70.5% 70.1%.(2)0.7(或70%)(3)0.7(或70%).(4)252度.17.(1)（2）P（甲胜）=.P（乙胜）=.18解析:袋中共有15个球,有蓝色球5个, 编号为红1的球只有1个，编号是5的红、黄、蓝球各1个, 共3个, 利用公式P(A)= 可直接计算各个事件发生的概率.解:(1)摸出的是蓝球的概率为 =.(2)摸出的是红色1号的概率为.(3)摸出的是5号球的概率为=.点拨: P(A)= 中, n是所有可能出现的结果，且它们发生的可能性相等, m则表示事件A所包含的结果.19. 解:(1).(2)第一张第二张两位数.有树形图可知: 能组成12、13、21、23、31共6个两位数, 恰好是”32”的概率为.。
第二十五章概率初步
一、本章知识结构图
二、本章知识点
25.1随机事件与概率
25.1.1随机事件
1. 必然事件：在一定条件下，必然会发生的事件。
2. 不可能事件：在一定条件下，不可能会发生的事件。
3. 确定性事件：必然事件和不可能事件统称确定性事件。
4. 随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件。
注：一般地，随机事件发生的可能性是有大小的。
25.1.2概率
1. 概率：
一般地，对于一个随机事件A ，我们吧刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A 发生的概率（probability ），记为P （A ）.
归纳：一般地，如果在一次试验中，有n 种可能的结果，并且它们发生的可
能性都相等，事件A 包含其中的m 种结果，那么事件A 发生的概率n
m =）（A P . 随机事件概率：1)(0<<A P .
必然事件概率：1)(=A P .
不可能事件概率：0)(=A P .
25.2用列举法求概率
1. 列举法：
① 列表：不重不漏的列出所有可能的结果，再从中选出符合要求的事件.
②树状图：选择一个元素与其他元素分别组合，依次列出像树枝形式，最末端
的个数就是事件总数.
树状图列举的结果一目了然，当事件要经过三步或三步以上的步骤时，用画树状图法比较有效.
25.3用频率估计概率
1.频率估计概率
大量重复试验时，事件发生的频率会在某个固定值左右摆动.摆动的幅度越小概率越稳定.可以用这个固定值来估计这个事件的概率.（试验次数越多，概率越精确）。
九年级数学上册第二十五章概率初步必考知识点归纳单选题1、在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25附近，则估计口袋中大约共有白球（）A．10B．15C．20D．都不对答案：B分析：由摸到红球的频率稳定在0.25附近，可以得出摸到红球的概率，即可求出白球个数．∵摸到红球的频率稳定在0.25附近，∴摸到红球的概率为0.25，∴总球数：5÷0.25=20（个）∴白球个数：20-5=15（个）所以答案是：B．小提示：本题考查了用频率估计概率、已知概率求数量，得出摸到红球的概率是本题的关键．2、在有25名男生和24名女生的班级中，随机抽签确定一名学生代表，则下列说法正确的是（）. A．男、女生做代表的可能性一样大B．男生做代表的可能性较大C．女生做代表的可能性较大D．男、女生做代表的可能性的大小不能确定答案：B分析：根据题意，只要求出男生和女生当选的可能性，再进行比较即可解答．∵某班有25名男生和24名女生，∴用抽签方式确定一名学生代表，男生当选的可能性为2525+24=25 49，女生当选的可能性为2425+24=24 49，∴男生当选的可能性大于女生当选的可能性．故选B．小提示：此题考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．3、某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是（ ） A ．19B ．16C ．13D ．23答案：C分析：将三个小区分别记为A 、B 、C ，列举出所有情况即可，看所求的情况占总情况的多少即可． 详解：将三个小区分别记为A 、B 、C ， 列表如下：3种， 所以两个组恰好抽到同一个小区的概率为39=13. 故选C ．点睛：此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．4、某市有6名教师志愿到四川地震灾区的甲、乙、丙三个镇去支教，每人只能去一个镇，则恰好其中一镇去4名，另两镇各去1名的概率为（ ） A ．2081B ．1081C ．5243D ．10243答案：B分析：因为对于这六个人来说，会被随机分派到3个镇中的任何一个，所以一共有36种情况，而有4个人的镇可能是3个镇中的任何一个，剩下两个镇各派一个人的派法是3×C 64，根据概率公式求解．解：6名教师志愿随机派到3个镇中的任何一个共有36种情况，有4个人的镇可能是3个镇中的任何一个，另两镇各去1名的结果数为3×6×5，所以恰好其中一镇去4名，另两镇各去1名的概率=3×6×536=1081，故选：B ．【小提示】选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率． 5、同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上､一枚硬币反面向上的概率是（ ） A ．14B ．13C ．12D ．23答案：C分析：根据题意可画出树状图，然后进行求解概率即可排除选项． 解：由题意得：∴一枚硬币正面向上､一枚硬币反面向上的概率是P =24=12； 故选C ．小提示：本题主要考查概率，熟练掌握利用树状图求解概率是解题的关键．6、①三点确定一个圆； ②平分弦的直径平分弦所对的弧；③同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等；④在半径为4的圆中，30°的圆心角所对的弧长为π3；⑤方程x 2－x ＋3=0的两根之积是3，从上述5个命题中任取一个，是真命题的概率是（ ） A ．1B ．35C ．25D ．15 答案：C分析：先根据确定圆的条件对①进行判断；根据垂径定理的推论对②进行判断；根据圆心角、弧、弦的关系对③进行判断；根据弧长公式对④进行判断；利用根与系数关系对⑤进行判断．然后利用概率公式进行计算即可．解：①不在同一直线上的三点可以确定一个圆，故①说法错误，是假命题； ②平分弦（非直径）的直径平分弦所对的弧，所以②错误，是假命题； ③在同圆或等圆中，弦相等，所对的圆心角相等，所以③正确，是真命题； ④在半径为4的圆中，30°的圆心角所对的弧长为2π3，所以④错误，是假命题；⑤方程x 2-x+3=0的两根之积是3，正确，是真命题， 其中真命题有2个，所以是真命题的概率是：25， 故选：C ．小提示：本题考查了真假命题的判断及概率公式，解题的关键是：先判断命题的真假．7、不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（ ） A ．14B ．13C ．12D ．34答案：A分析：首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 解：画树状图得：∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况， ∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为14，故选：A ．小提示：本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键．8、如图是用七巧板拼成的正方形桌面，一个小球在桌面上自由地滚动，它最终停在黑色区域的概率是（ ）A ．14B ．18C ．316D ．23答案：C分析：先求出黑色区域的面积是正方形桌面的分率，再根据概率公式即可得出答案． 解：观察图形可知，黑色区域的面积是正方形桌面的316，∴最终停在黑色区域的概率是316，故选：C ．小提示：本题考查几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键．9、将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为( )A ．12B ．13C ．25D ．35答案：A分析：随机事件A 的概率P （A ）＝事件A 发生时涉及的图形面积÷一次试验涉及的图形面积，因为这是几何概率．解：设正六边形边长为a ，过A 作AD ⊥BC 于D ，过B 作BE ⊥CE 于E ，如图所示：∵正六边形的内角为180°−360°6=120°，∴在RtΔACD 中，∠ADC =90°,∠CAD =60°,AC =a ，则AD =12a,CD =√32a ， ∴BC =2CD =√3a ，∴在RtΔBCE 中，∠BEC =90°,∠BCE =60°,BC =√3a ，则CE =√32a,BE =32a ，则灰色部分面积为3S ΔABC =3×12BC ⋅AD =3×12×√3a ×12a =34√3a 2，白色区域面积为2S ΔBCE =2×12CE ⋅BE =√32a ×32a =3√34a 2， 所以正六边形面积为两部分面积之和为32√3a 2，飞镖落在白色区域的概率P =34√3a 232√3a 2=12，故选：A ．小提示：本题考查了几何概率，熟练掌握几何概率模型及简单概率公式是解决问题的关键．10、如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到菱形，再顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形．将一个飞镖随机投掷到大矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（ ）A ．13B ．14C ．16D ．18答案：B分析：连接菱形对角线，设大矩形的长=2a ，大矩形的宽=2b ，可得大矩形的面积，根据题意可得菱形的对角线长，从而求出菱形的面积，根据“顺次连接菱形各边中点得到一个小矩形”，可得小矩形的长，宽分别是菱形对角线的一半，可求出小矩形的面积，根据阴影部分的面积=菱形的面积-小矩形的面积可求出阴影部分的面积，再求出阴影部分与大矩形面积之比即可得到飞镖落在阴影区域的概率． 解：如图，连接EG ，FH ，设AD=BC=2a ，AB=DC=2b ， 则FH=AD=2a ，EG=AB=2b ， ∵四边形EFGH 是菱形，∴S 菱形EFGH =12FH ⋅EG =12⋅2a ⋅2b =2ab ， ∵M ，O ，P ，N 点分别是各边的中点，∴OP=MN=12FH=a ，MO=NP=12EG=b ，∵四边形MOPN 是矩形， ∴S 矩形MOPN =OP ⋅MO=ab ，∴S 阴影= S 菱形EFGH -S 矩形MOPN =2ab-ab=ab ， ∵S 矩形ABCD =AB ⋅BC=2a ⋅2b=4ab ， ∴飞镖落在阴影区域的概率是ab 4ab=14，故选B ．小提示：本题考查了几何概率问题．用到的知识点是概率=相应的面积与总面积之比． 填空题11、小兰和小华两人做游戏，她们准备了一个质地均匀的正六面体骰子，骰子的六个面分别标有1，2，3，4，5，6，若掷出的骰子的点数为偶数，则小兰赢；若掷出的骰子的点数是3的倍数，则小华赢，游戏规则对______（填“小兰”或“小华”）有利． 答案：小兰分析：根据所出现的情况，分别计算两人能赢的概率，即可解答． 解：骰子的点数是偶数的有2，4，6，其概率为36=12，骰子的点数是3的倍数的有3，6，其概率为26=13，而12>13，∴游戏规则对小兰有利， 所以答案是：小兰．小提示：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．12、甲、乙两人做游戏，他们准备了一个质量分布均匀的正六面体骰子，骰子的正六面分别标有1，2，3，4，5，6．若掷出的骰子的点数是偶数，则甲赢；若掷出的骰子的点数是3的倍数，则乙赢，这个游戏对甲、乙来说是_________的．（填“公平”或“不公平”） 答案：不公平分析：根据所出现的情况，分别计算两人能赢的概率，即可解答．解：∵骰子的点数是偶数的有2，4，6，其概率为36=12，骰子的点数是3的倍数的有3，6，其概率为26=13，故游戏规则对甲有利．所以答案是：不公平.小提示：本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．13、巧板是我国古代劳动人民的一项发明，被誉为“东方魔板”，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形组成．如图是利用七巧板拼成的正方形，随机向该图形内抛一枚小针，则针尖落在阴影部分的概率为 _____．答案：38分析：设大正方形的边长为2，先求出阴影区域的面积，然后根据概率公式即可得出答案．图，设小正方形的边长为1，根据等腰三角形和正方形的性质可求得AB=BE=2√2，FG=DC=√2，则空白的面积为：12×√2×√2+1×1+12×1×1×2+12×2×2=5；大正方形的面积是：2√2×2√2=8，阴影区域的面积为：8-5=3，所以针尖落在在阴影区域上的概率是：38．所以答案是：3．8小提示：本题考查几何概率，熟练掌握几何概率的计算方法是解题的关键．14、如图，在边长为1的小正方形组成的3×3网格中，A，B两点均在格点上，若在格点上任意放置点C，恰的概率为_________．好使得△ABC的面积为12##0.375答案：38分析：按照题意分别找出点C所在的位置，根据概率公式求出概率即可．的三角形，解：可以找到6个恰好能使△ABC的面积为12，则概率为：6÷16=38所以答案是：3．8小提示：此题主要考查了概率公式，解决此题的关键是正确找出恰好能使△ABC的面积为1的点．15、口袋内装有编号分别为1，2，3，4，5，6，7的七个球（除编号外都相同），从中随机摸出一个球，则摸出编号为偶数的球的概率是___．答案：37分析：用袋子中编号为偶数的小球的数量除以球的总个数即可得．解：∵从袋子中随机摸出一个球共有7种等可能结果，其中摸出编号为偶数的球的结果数为3，∴摸出编号为偶数的球的概率为3，7所以答案是：37．小提示：本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A 的概率P （A ）=事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 解答题16、在同升湖实验学校九年级的班级三人制篮球赛过程中，经过几轮激烈的角逐，最后由2班、5班、6班、9班进入了年级四强进行最后的名次争夺赛．现在葛老师规定先用抽签的方式决定将这4个班级分成2个小组，再由两个小组的胜出者争夺一二名，小组落败者争夺三四名． （1）直接写出9班和5班抽签到一个小组的概率；（2）若4个班级的实力完全相当，任何两个班级对决的胜率都是50%，求在年级四强的名次争夺赛中9班不与5班对决的概率． 答案：（1）13；（2）13分析：（1）利用列举法求解即可； （2）分类讨论，利用列举法即可求解．（1）分组：(2，5)和(6，9)；(2，6)和(5，9)；(2，9)和(5，6)共3种， 9班和5班抽签到一个小组只有一种情况， 故概率为：13；（2）①分组为(2，5)和(6，9)，故概率为：3×4=6； ②分组为(2，9)和(5，6)，故概率为：3×4=6；综上，在年级四强的名次争夺赛中9班不与5班对决的概率为16+16=13．小提示：本题考查了利用列举法求概率，通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．17、为落实“垃圾分类”，环保部门要求垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋、投放，其中A类指废电池、过期药品等有毒垃圾，B类指剩余食品等厨余垃圾，C类指塑料、废纸等可回收物，D类指其他垃圾．小明、小亮各投放了一袋垃圾．(1)小明投放的垃圾恰好是A类的概率为；(2)求小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的概率．答案：(1)14(2)14分析：（1）直接利用概率公式求出小明投放的垃圾恰好是A类的概率；（2）首先利用树状图法列举出所有可能，进而利用概率公式求出答案．（1）解：∵垃圾要按A，B，C，D四类分别装袋，小明投放了一袋垃圾，∴小明投放的垃圾恰好是A类的概率为：14；所以答案是：14；（2）解：如图所示：由图可知，共有16种可能结果，其中小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的结果有4种，所以小亮投放的垃圾与小明投放的垃圾是同一类的概率为416=14．小提示：此题主要考查了树状图法求概率，正确利用列举出所有可能并熟练掌握概率公式是解题关键．18、一个不透明的口袋中装有6个红球，9个黄球，3个白球，这些球除颜色外其他均相同．从中任意摸出一个球，(1)求摸到的球是白球的概率，(2)如果要使摸到白球的概率为14，需要在这个口袋中再放入多少个白球？答案：(1)16(2)2分析：（1）直接利用概率公式求解即可；（2）根据绿球的概率公式得到相应的方程，求解即可．（1）解：根据题意分析可得：口袋中装有红球6个，黄球9个，白球3个，共18个球，故P（摸到白球）=318=16（2）设需要在这个口袋中再放入x个白球，得：3+x18+x =14，解得：x=2．经检验x=2符合题意，所以需要在这个口袋中再放入2个白球．小提示：本题考查概率的求法与运用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P(A)=mn．。
第二十五章 概率初步一、课标导航二、核心纲要1.确定事件和随机事件(1)确定事件①必然事件：在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件，②不可能事件：有的事件在每次试验中都不会发生，这样的事件叫做不可能事件．(2)随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．2.概率的意义与表示方法(1)概率的意义：一般地，对于一个随机事件A ，我们把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件A 发生的概率，记为P(A)．(2)事件和概率的表示方法一般地，事件用英文大写字母A 、B 、C 、…，表示事件A 的概率P ，可记为P(A)=P ．(3)概率的计算：一般地，如果在一次试验中，有章n 可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A 包含其中的m 种结果，那么事件A 发生的概率为.)(nm A P3.确定事件和随机事件的概率之间的关系(1)确定事件概率①当A 是必然发生的事件时，P(A)=1．②当A 是不可能发生的事件时，P(A)=0．(2)确定事件和随机事件的概率之间的关系4.用列举法求事件的概率的常用方法(1)穷举法：如果试验的结果较少，我们可以采用简单列举的方法，把所有可能的结果直接排列出来.(2)列表法：当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法．(3)树状图法：当一次试验要涉及三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法，本节重点讲解：一个计算（概率的计算），三个方法，三个概念（确定事件、随机事件、概率）．三、全能突破基 础 演 练1．下列事件中，属于确定事件的个数是( )．（1）打开电视，正在播广告； (2)投掷一枚普通的骰子'掷得的点数小于10(3)射击运动员射击一次，命中10环； (4)在一个只装有红球的袋中摸出白球A.0 B ．1 C ．2 D ．32．在四张完全相同的卡片上，分别画有圆、菱形、等腰三角形、等腰梯形，现从中随机抽取一张，卡片上的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是( )．41.A 21.B 43.C 1.D3．一个不透明的盒子里有n 个除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么可以推算出n 大约是( )．6.A 10.B 18.c 20.D4．同时掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，两个骰子的点数相同的概率为 ．5．如下左图所示，A 、B 是边长为1的小正方形组成的网格的两个格点，在格点中任意放置点C ，恰好能使△ABC 的面积为1的概率是6．如 下右图所示，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的编号为1～7的小正方形中任意一个涂黑，则所得图案是一个轴对称图形的概率是7．在平行四边形ABCD 中，AC 、BD 是两条对角线，现从以下四个关系式：,,BD AC BC AB ==②① BC AB BD AC ⊥⊥④③,中任取一个作为条件，即可推出平行四边形ABCD 是菱形的概率为8．三张完全相同的卡片上分别写有函数,322x y xy x y ===、、从中随机抽取一张，则所得卡片上函数的图像在第一象限内y 随x 的增大而增大的概率是9．在一个不透明的盒子里装有5个分别写有数字-3，-2，-1，1，2的小球，它们除数字不同外其余全部相同．现从盒子里随机取出一个小球，将该小球上的数字作为a 的值，再将该数字加2作为b 的值，则抛物线32++=bx ax y 的对称轴在y 轴左侧的概率是10.有七张正面分别标有数字-3，-2，-1，0，1，2，3的卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a ，则使关于x 的一元二次方程+--x a x )1(220)3(=-a a 有两个不相等的实数根，且以x 为自变量的二次函数2)1(22+-+-=a x a x y 的图像不经过点(1，0)的概率是11.在一个不透明的口袋里装有分别标有数字1，2，3，4四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次实验先搅拌均匀．(1)若从中任取一球，球上的数字为偶数的概率为多少？(2)若从中任取一球（不放回），再从中任取一球，请用画树状图或列表格的方法求出两个球上的数字之和为偶数的概率．(3)若设计一种游戏方案：从中任取两球，两个球上的数字之差的绝对值为1为甲胜，否则为乙胜，请问这种游戏方案设计对甲、乙双方公平吗？说明理由．能 力 提 升12. 一只盒子中有红球m 个，白球8个，黑球n 个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m 与n 的关系是( )．5,3.==n m A 4.==n m B 4.=+n m C 8.=+n m D13.在围棋盒中有z 颗白色棋子和y 颗黑色棋子，从盒中随机取出一颗棋子，取得白色棋子的概率是⋅52如果再往盒中放进6颗黑色棋子，取得白色棋子的概率是,41则原来盒中有白色棋子( )． A ．8颗 B ．6颗 C ．4颗 D ．2颗14.如下图所示，正方形ABCD 内接于⊙0，⊙0的直径为2分米，若在这个圆面上随意抛一粒豆子，则豆 子落在正方形ABCD 内的概率是( )． π2.A 2.πB π21.C π2.D15.箱子中装有4个只有颜色不同的球，其中2个白球，2个红球，4个人依次从箱子中任意摸出一个球，不放回，则第二个人摸出红球且第三个人摸出白球的概率是16.有四张正面分别标有数字-3，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同．现将它们背面 朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数学记为a ，则使关于x 的分式方程:21221x x ax -=+--有正整数解的概率为17.甲、乙两人玩“锤子、石头、剪子、布”游戏，他们在不透明的袋子中放入形状、大小均相同的15张卡片，其中写有“锤子”、“石头”、“剪子”、“布”的卡片张数分别为2，3，4，6．两人各随机摸出一张卡片（先摸者不放回）来比胜负，并约定：“锤子”胜“石头”和“剪子”，“石头”胜“剪子”，“剪子”胜“布”，“布”胜“锤子”和“石头”，同种卡片不分胜负．(1)若甲先摸，则他摸出“石头”的概率是多少？(2)若甲先摸出了“石头”，则乙获胜的概率是多少？(3)若甲先摸，则他先摸出哪种卡片获胜的可能性最大？18.如下图所示，甲、乙两个可以自由转动的均匀的转盘，甲转盘被分成3个面积相等的扇形，乙转盘被分成4个面积相等的扇形，每一个扇形都标有相应的数字，同时转动两个转盘，当转盘停止后，设甲转盘中指针所指区域内的数字为m ，乙转盘中指针所指区域内的数字为n （若指针指在边界线上时，重转一次，直到指针都指向一个区域为止）．(1)请你用画树状图或列表格的方法求出1||>+n m 的概率．(2)直接写出点（m ，n ）落在函数xy 1-=图像上的概率．19.有四张卡片（背面完全相同），分别写有数字1、2、-1、-2，把它们背面朝上洗匀后，甲同学抽取一张记下这个数字后放回洗匀，乙同学再从中抽出一张，记下这个数字，用字母b 、c 分别表示甲、乙两同学抽出的数字．(1)用列表法求关于x 的方程02=++c bx x 有实数根的概率．(2)求(1)中方程有两个相等实数根的概率．(3)将取出的b 和c 两个数代人二次函数C bx x y ++=2中，得到多少个不同形式的二次函数？并写 出该二次函数的顶点在x 轴上的概率为多少？(4)若将取出的b 、c 分别作为点A 的横坐标、纵坐标，求点A(b ，c)落在第三象限的概率， 中 考 链 接20.（2012．山东聊城）我市初中毕业男生体育测试成绩有四项，其中“立定跳远”“100米跑”“肺活量测试”为必测项目，另一项为“引体向上”和“推铅球”中选择一项测试．小亮、小明和大刚从“引体向上”和“推铅球”中选择同一个项目的概率是21.（2013．安徽）如下图所示，随机闭合开关321,,K K K 中的两个，则能让两盏灯泡同时发光的概率为( )．61.A 31.B 21.C 32.D巅 峰 突 破22.将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的 点数为a ，第二次掷出的点数为6，则使关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=+=+223y x by ax 只有正数解的概率为( )． 121.A 92.B 185.C 3613.D23.把一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷2次，若两个正面朝上 的编号分别为m ，n ，则二次函数n mx x y ++=2的图像与x 轴有两个不同交点的概率是( )． 125.A 94.B 3617.C 21.D。
第二十五章概率初步25.1随机事件与概率第1课时随机事件(一)一．课前预习：1.自学导航阅读教材128127—P内容，思考下列问题：(1)什么是随机事件？(2)确定性事件包括_________和________事件. 2.诊断检测：(1)现实世界中的事件分、、、三类.其中与是确定性事件.(2)确定事件的特点是；随机事件的特点是.(3)“一只不透明的袋子共装有3个小球，它们的标号分别为1，2，3，从中摸出1个小球，标号为“4”，这个事件是．（填“必然事件”、“不可能事件”或“随机事件”）(4)下列问题中是必然事件的有；是不可能事件的有；是随机事件的有（填序号即可）.(1)如果a>b，那么a－b>0；(2)a2+b2=－1(其中a,b都是实数)；(3)一元二次方程x2+2x+3=0无实数解；(4)2010年2月有29天；(5)相等的圆心角所对的弧相等；(6)随机抛掷一枚骰子，出现朝上一面是6.二．例题解析例1.小明掷一个质地均匀的正方形骰子，骰子的六个面分别有1至6的点数.请思考：掷一次骰子，观察向上的一面：（1）出现的点数是7，可能吗？这是什么事件？（2）出现的点数大于2，可能吗？这是什么事件？（3）出现的点数是6，可能吗？这是什么事件？（4）你能列举与（3）相似的事件吗？例2. 袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球．下列事件：A．摸出的三个球中至少有一个球是黑球；B．摸出的三个球都是白球；C．摸出的三个球都是黑球；D．摸出的三个球中有两个球是白球．其中是不可能事件的为（填序号）；是必然事件的为；是随机事件的为．三．小结提炼．四．巩固训练1.下列事件：A.袋中只有5个红球，能摸到红球；B.袋中有3个红球，2个白球，能摸到红球；C.袋中有2个红球，3个白球，能摸到红球；D.袋中只有5个白球，能摸到红球.上述事件中，是必然事件的有；是随机事件的有；是不可能事有.2.下列语句中是必然事件的是（）A.两个分数相加和一定是整数B.两个分数相乘积一定是整数C.两个互为相反数的和为0D.两个互为相反数的积为03.下列说法正确的是（）A.可能性很小的事件在一次实验中一定不会发生B.可能性很小的事件在一次实验中一定发生C.可能性很小的事件在一次实验中有可能发生D.不可能事件在一次实验中也可能发生4. 小红花2元钱买了一张彩票，你认为小红中大奖的事件是（）A.必然事件B.随机事件C.不可能事件D.确定事件5.下列事件你认为是必然事件的是（）A．中秋节的晚上总能看到圆圆的月亮;B．明天是晴天C．打开电视机，正在播广告;D．两数相乘，同号得正，异号得负五．拓展提升1.下列成语故事所描述事件为必然发生的是（）A．水中捞月B．拔苗助长C．守株待兔D．水涨船高2.“清明时节雨纷纷”是事件（填“必然”、“不可能”、“随机”）第2课时随机事件的可能性大小一、课前预习：1.自学导航阅读教材129128—P内容，思考下列问题：(1)必然事件发生的可能性是_______；不可能事件发生的可能性是_______；随机事件发生的可能性在_______之间.(2)正确区分描述事件发生的可能性大小的关键词，如“一定”、“很可能”、“可能”、“不太可能”等词语，对事件发生可能性作出评价和预测.2.诊断检测：（1）．如图，有甲、乙、丙3个转盘，这3个转盘在转动过程中指针停在黑色区域的可能性（）A．甲转盘最大B．B．乙转盘最大C．丙转盘最大D．甲、乙、丙转盘一样大（2）从一副扑克牌中任意抽出一张，则下列事件中可能性最大的是（）A.抽出一张红心B.抽出一张红色KC.抽出一张梅花JD.抽出一张不是Q的牌（3）某班有65名同学，把他们按1到65进行编号，并把编号写在同样的卡片上，洗匀后，随机抽取一张，则抽到1～10号同学的可能性抽到5的倍数的可能性；抽到奇数号码同学的可能性抽到偶数同学的可能性.(填﹥、﹤或=) （4）我校某小班，有男生14人，女生16人.其中男生11人住校，女生13住校.现随机抽取一名学生.则：a.抽到一名住校女生；b.抽到一名住校男生；c.抽到一名男生.其中可能性由小到大排列正确的是（）A.cbaB.acbC.cabD.bca二．例题解析例1.判断下列事件中，哪些事件发生的可能性是一样的？哪些不是？为什么？（1）掷一枚骰子，出现2点朝下或5点朝上的机会；（2）从一副扑克牌中任取一张，取到大王或红心6的可能性；（3）掷两次骰子，出现点数和是6或2的可能性；（4）从装有3个红球和5个白球中任取一球，取到红球或白球的可能性；（5）从编号为1—10的10张卡片中任取一张，取到偶数或3的倍数的编号的可能性.例2.．一个不透明的口袋里有5个除颜色外都相同的球，其中有2个红球，3个黄球．（1）若从中随意摸出一个球，求摸出红球的可能性；（2）若要使从中随意摸出一个球是红球的可能性为，求袋子中需再加入几个红球？三．小结提炼．四．巩固训练1.从一副扑克牌中，任意抽取一张，抽到的可能性较小的是（）A.红心B.黑桃C.梅花D.小王2.我班语文科代表在期末考试中的语文成绩为150分，你认为这个事件的可能性（）A.一定B.很可能C.可能D.不大可能25-1-13．分别向如图所示的四个区域随机掷一枚石子，石子落在阴影部分可能性最小的是（）A．B．C．D．4.一个袋中装有6个红球、4个黄球、3个白球，每个球除颜色外完全相同，从袋中任意摸出一个球，那么摸出的可能性最小.5．有五张不透明卡片，分别写有实数，﹣1，，，π，除正面的数不同外其余都相同，将它们背面朝上洗匀后，从中任取一张卡片，取到的数是无理数的可能性大小是．五．拓展提升1.下列事件中不是必然事件的是（）A.对顶角相等；B.同位角相等；C.四边形的内角和是360o；D.等腰梯形是轴对称图形.2.有4条线段，长度分别为2,3,5,7，从中任取三条，所得三条线段能构成三角形的可能性多大？第3课时概率一．课前预习：1.自学导航阅读教材134130—P的内容，思考下列问题：(1)概率的意义：.(2)概率的计算：当A是必然事件时，P(A)= ；当A是不可能事件时，P(A)= ；任一事件A的概率P(A)的范围是.2.诊断检测：(1) 下列说法错误的是（）A.必然事件发生的概率为1；B.不可能事件发生的概率为0；C.不确定事件发生的概率为0；D.随机事件发生的概率介于0和1之间.（2）下列说法正确的是（）A．不可能事件发生的概率为0B．随机事件发生的概率为C．概率很小的事件不可能发生D．投掷一枚质地均匀的硬币1000次，正面朝上的次数一定是500次.（3）从1—10这10个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是（）A.21B.51C.31D.103二．例题解析例1.掷一个各面分别标有1,2,3,4,5,6的正六面体骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率：(1)点数为1；(2)点数为偶数；(3)点数大于0且不大于4.例2. 一个不透明口袋中装有6个红球，9个黄球，3个白球，这些球除颜色外没有任何其他区别，现从中任意摸出一个球.（1）计算摸到的是白球的概率；（2）若要使摸到白球的概率为41，则需要在里边再放入多少个白球？例3.见课本132页例2.三．小结提炼．四．巩固训练1.从分别写有-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4的九张一样的卡片中，任意抽取一张卡片，则所抽取的卡片数字的绝对值小于2的概率是.2.十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮30秒，绿灯亮25秒，黄灯亮5秒，当你抬头看信号灯恰好是绿灯的概率是 .3.在围棋盒中有6颗黑色棋子和n 颗白色棋子，随机的取出一颗棋子，如果它是黑色棋子的概率为53，则n = .4.在半径为2的圆形木板中有一个内接正方形，现随机的往圆内投以飞镖，落在正方形的概率为 .（注：π取3） 5.请你用除颜色外都相同的6个小球设计满足下列条件的游戏：摸到白球的概率为21，摸到红球的概率为31，摸到黄球的概率为61，则应放 个白球， 个黄球. 6.商场举行摸奖促销活动，对于“抽到一等奖的概率为0.1”．下列说法正确的是（ ） A ．抽10次奖必有一次抽到一等奖 B ．抽一次不可能抽到一等奖 C ．抽10次也可能没有抽到一等奖 D ．抽了9次如果没有抽到一等奖，那么再抽一次肯定抽到一等奖7. 从－3，－2，6这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是 ．五．拓展提升1.从数﹣2，﹣，0，4中任取一个数记为m ，再从余下的三个数中，任取一个数记为n ，若k =mn ，则正比例函数y =kx 的图象经过第三、第一象限的概率是 ．2.如图25-1-3是两个完全相同的正方形木板重叠的.其中一个正方形的顶点恰好落在另一个正方形的中心处，现有一只小狗在上面走动，则小狗恰好走在重叠区域的概率是 ．25.2 用列举法求概率第4课时 用列举法求概率（一）一．课前预习： 1.自学导航 阅读教材137136—P 的内容，思考下列问题：（1）列举法求概率的前提条件是试验中的每一个结果是___________发生的.（2）对某个试验进行两次操作时，可利用________法或________法求出概率. 2.诊断检测： （1）一个袋中装有2个红球和1个黄球，从中任意摸出两个个球，则摸出的两个球都是红球的概率为 . （2）将一枚质地均匀的硬币先后抛掷两次，则至少出现一次正面向上的概率为（ ） A ． B ． C ． D ．（3）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球后放回搅匀．．．．后．，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和等于5的概率为（ ）A ．B ．C ．D ． （4）一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球后不放回．．．，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和等于5的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．二．例题解析例1.口袋中装有10个小球，其中2个红球，3个黄球，其余的都是白球，请计算从口袋中任意摸出一个球是下列情况的概率分别是多少？ （1）红球 （2）黄球（3）不是白球 (4)不是黄球例2． 端午节当天，小明带了四个粽子（除味道不同外，其它均相同），其中两个是大枣味的，另外两个是火腿味的，准备按数量平均分给小红和小刚两个好朋友．（1）请你用树状图或列表的方法表示小红拿到的两个粽子的所有可能性．（2）请你计算小红拿到的两个粽子刚好是同一味道的概率．三．小结提炼． 四．巩固训练1.某校高一年级今年计划招四个班的新生，并采取随机摇号的方法分班，小明和小红既是该校的高一新生，又是好朋友，那么小明和小红分在同一个班的机会是（ ） A ．B ．C ．D ．2.从1，-2,3三个数中，随机抽取两个数相乘，乘积是正数的概率为（ ）A.0B.31 C. 1 D.32 3.从8，18，12，42中随机抽取一个根式与2是同类二次根式的概率是 .4.哥哥与弟弟玩游戏：三张大小、质地相同的卡片上分别标有数字1、2、3，将标有数字的一面朝下，哥哥从中任意抽取一张，记下数字后放回洗匀，然后弟弟从中任意抽取一张，计算抽得的两数之和，如果和为奇数，则弟弟胜；和为偶数，则哥哥胜.该游戏对双方 .(填“公平”或“不公平”)5. 两个正四面体骰子的各面上分别标明数字1,2,3,4，如同时投掷这两个正四面体骰子，则着地的面所得的点数之和等于5的概率为（ ） A ．B. C ． D. 6.在一个不透明的盒子中，共有“一白三黑”四个围棋子，其除颜色外无其他区别.（1）随机地从盒子中提出1子，则提出的是白子的概率是多少？（2）随机地从盒子中提出1子，不放回再提出第二子，请用列表的方法表示出所有可能的结果，并求出恰好提出“一黑一白”的概率是多少？五．拓展提升1.点P 的坐标是（a ，b ），从﹣2，﹣1，0，1，2这五个数中任取一个数作为a 的值，再从余下的四个数中任取一个数作为b 的值，则点P （a ，b ）在平面直角坐标系中第二象限内的概率是 ．2. 某商店举办有奖销售活动，办法如下：凡购货满100元者获兑奖卷1张，多够多得．每10000张奖券为一个开奖单位，设特等奖一个，奖金10000元，一等奖10个，奖金各1000元，二等奖100个，奖金各100元．①一张兑奖卷中一等奖的概率是多少？中奖的概率是多少？②这种促销办法与商品价格打九五折相比，哪一个方法向顾客让利更多？③得两张兑奖卷都不中奖的概率是多少？④通过计算，你会选择摸奖，还是打折，为什么？3.一枚均匀的正方体骰子，六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6，连续抛掷两次，朝上的数字分别是m ,n ，若把m ,n 作为点A 的横、纵坐标，那么点A （m ,n ）在函数y =2x 的图像上的概率是多少？第5课时 用列举法求概率（二）一．课前预习： 1.自学导航阅读教材139138—P 的内容，思考下列问题：411634383（1）对某个试验进行三次或三次以上操作时，可利用_______________法求出概率.（2）概率等于所求事件结果数与总结果数之比.即.______)( A P2.诊断检测：（1）有5张卡片分别写有数字1、1、2、2、3，它们的背面相同，现将它们洗匀背面朝上，从中任取一张是数字2的概率是（ ） A.51 B.52 C.32 D.21 （2）一个不透明的盒子中装有2个白球，5个红球和8个黄球，这些球除颜色外，没有任何其他区别，现从这个盒子中随机摸出一个球，摸到红球的概率为（ ） A ．518 B.13 C.215D.115（3）掷两枚普通硬币，落地出现一个正面，一个反面的概率是 .（4）有6张卡片上分别写着从1到6的一个自然数，从中任取2张，则两张卡片数字之和为偶数的概率是 ．（5）盒子里分别放有3张写有整式a +1,a +2,2的卡片，从中随机抽取2张卡片上的整式分别作为分子和分母，则能组成分式的概率是 ． 二．例题解析例1.甲、乙两个不透明的口袋，甲口袋中装有3个分别标有数字1，2，3的小球，乙口袋中装有2个分别标有数字4，5的小球，它们的形状、大小完全相同，现随机从甲口袋中摸出一个小球记下数字，再从乙口袋中摸出一个小球记下数字．（1）请用列表或树状图的方法（只选其中一种），表示出两次所得数字可能出现的所有结果； （2）求出两个数字之和能被3整除的概率．例2．某校为了解本校九年级学生足球训练情况，随机抽查该年级若干名学生进行测试，然后把测试结果分为4个等级：A 、B 、C 、D ，并将统计结果绘制成两幅不完整的统计图．请根据图中的信息解答下列问题：（1）补全条形统计图（2）该年级共有700人，估计该年级足球测试成绩为D 等的人数为 人；（3）在此次测试中，有甲、乙、丙、丁四个班的学生表现突出，现决定从这四个班中随机选取两个班在全校举行一场足球友谊赛．请用画树状图或列表的方法，求恰好选到甲、乙两个班的概率．三．小结提炼． 四．巩固训练1. 在一个不透明的口袋中，装有5个红球3个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出一个球，摸到红球的概率为（ ） A ．B ．C ．D ． 2.安排三辆车，组织九年级学生团员去敬老院参加学雷锋活动，其中小王与小菲都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，则小王与小菲同车的概率为（ ） A ．13 B ．19 C ．12 D ．233. 从A ，B ，C ，D 四人中用抽签的方法，任选2人去打扫公共场地，选中A 的概率是 . 4．从1,2,-3，4四个数中,随机抽取两个数相加,和是正数的概率是 . 5. 一签筒内有四支签，分别标记号码1、2、3、4．每次取一支且取后不放回，再取第二支签，若每一种结果发生的机会都相同，则这两支签的号码数总和是奇数的机率为.151358386. 在不透明的口袋中，有四个形状、大小、质地完全相同的小球，四个小球上分别标有数字，2，4，，现从口袋中任取一个小球，并将该小球上的数字作为平面直角坐标系中点P的横坐标，且点P 在22x y =的图像上，则点P 落在正比例函数图象上方的概率是 ． 7．本校为了解九年级男同学的体育考试准备情况，随机抽取部分男同学进行了1000米跑步测试．按照成绩分为优秀、良好、合格与不合格四个等级，学校绘制了如下不完整的统计图．（1）根据给出的信息，补全两幅统计图；（2）该校九年级有600名男生，请估计成绩未达到良好有多少名？（3）某班甲、乙两位成绩优秀的同学被选中参加即将举行的学校运动会1000米比赛．预赛分别为A 、B 、C 三组进行，选手由抽签确定分组，请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人恰好分在同一组的概率是多少？五．拓展提升1.从﹣32，﹣1，0，1这四个数中，任取一个数作为m 的值，恰好使得关于x ，y 的二元一次方程组22x y mx y -=-⎧⎨-=⎩有整数解，且使以x 为自变量的一次函数y =（m +1）x +3m ﹣3的图象不经过第二象限，则取到满足条件的m 值的概率为 ． 2.甲、乙两个盒子中装有质地、大小相同的小球，甲盒中有2个白球，1个黄球和1个蓝球；乙盒中有1个白球，2个黄球和若干个蓝球.从乙盒中任意摸取一球为蓝球的概率是从甲盒中任意摸取一球为蓝球的概率的2倍. （1）求乙盒中蓝球的个数； （2）从甲、乙两盒中分别任意摸取一球，求这两球均为蓝球的概率.第6课时 用列举法求概率（三）一．课前预习： 诊断检测： （1）某市中考体育男生抽测项目规则是：从立定跳远、实心球、引体向上中随机抽取一项；从50米、25×8米、100米中随机抽取一项．恰好抽中实心球和50米的概率是 ． （2）随机掷一枚质地均匀的硬币三次，至少有一次正面朝上的概率是 ． （3）一个不透明的袋子中装有3个小球，它们除分别标有的数字1，3，5不同外，其他完全相同.任意从袋子中摸出一球后放回，再任意摸出一球，则两次摸出的球所标数字之和为6的概率是 . （3）我校为提高教师业务素质，扎实开展了“课内比教学”活动．在一次数学讲课比赛中，每个参赛选手都从两个分别标有“A”、“B”内容的签中，随机抽取一个作为自己的讲课内容，本期有三个青年教师参加这次讲课比赛，则有两个抽中内容“A”，一个抽2131-xy =中内容“B”的概率是.（4）学生甲与学生乙玩一种转盘游戏.如图25-2-2是两个完全相同的转盘，每个转盘被分成面积相等的四个区域，分别用数字“1”、“2”、“3”、“4”表示.固定指针，同时转动两个转盘，任其自由停止，若两指针所指数字的积为奇数，则甲获胜；若两指针所指数字的积为偶数，则乙获胜；若指针指向扇形的分界线，则都重转一次.在该游戏中乙获胜的概率是（）A. B. C. D.二．例题解析例1、一个袋子中装有3个红球和2个黄球，这些球的形状、大小．质地完全相同，在看不到球的条件下，随机从袋子里同时摸出2个球，其中2个球的颜色相同的概率是多少？例2.从1，2，3，4这四个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数；请画出树状图并写出所有可能得到的三位数例3．重庆某中学组织七、八、九年级学生参加“直辖20年，点赞新重庆”作文比赛，该校将收到的参赛作文进行分年级统计，绘制了如图1和如图2两幅不完整的统计图，根据图中提供的信息完成以下问题．（1）扇形统计图中九年级参赛作文篇数对应的圆心角是度，并补全条形统计图；（2）经过评审，全校有4篇作文荣获特等奖，其中有一篇来自七年级，学校准备从特等奖作文中任选两篇刊登在校刊上，请利用画树状图或列表的方法求出七年级特等奖作文被选登在校刊上的概率．三．小结提炼．四．巩固训练1. 从－2，－1，2这三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，该点在第四象限的概率是.2.抛掷一枚硬币三次，出现“一正两反”的概率是.3.小明、小芳、小飞在一起做游戏，需要确定做游戏的先后顺序，他们约定用“石头、剪子、布”的方式确定，则在一回合中，三人都出“石头”的概率是.4.三个袋中各装有2个球，其中第一个和第二个袋中各有一个红球和一个黄球，第三个袋中有一个黄球和一个黑球，现从三个袋中个摸出一个球，则摸出2个黄球和一个红球的概率为.5.A、B、C、D四人做相互传花球游戏，第一次A 传给其他三人中的一人，第二次由拿到花球的人再传给其他三人中的一人，第三次由拿到花球的人再传给其他三人中的一人，请用树形图分析第三次花1 4123456球传回A的概率.6．中央电视台的“中国诗词大赛”节目文化品位高，内容丰富，某校初二年级模拟开展“中国诗词大赛”比赛，对全年级同学成绩进行统计后分为“优秀”、“良好”、“一般”、“较差”四个等级，并根据成绩绘制成如下两幅不完整的统计图，请结合统计图中的信息，回答下列问题：（1）扇形统计图中“优秀”所对应的扇形的圆心角为度，并将条形统计图补充完整．（2）此次比赛有四名同学获得满分，分别是甲、乙、丙、丁，现从这四名同学中挑选两名同学参加学校举行的“中国诗词大赛”比赛，请用列表法或画树状图法，求出选中的两名同学恰好是甲、丁的概率．五．拓展提升1.从﹣2，﹣1，﹣23，0，1，2这六个数字中，随机抽取一个数记为a，则使得关于x的方程213axx+=-的解为非负数，且满足关于x的不等式组321x ax->⎧⎨-+≤⎩只有三个整数解的概率是．2.在一个不透明的口袋里装有四个分别标有1、2、3、4的小球，它们的形状、大小等完全相同.小明先从口袋里随机不放回地取出一个小球，记下数字为x；小红在剩下有三个小球中随机取出一个小球，记下数字y. （1）计算由x、y确定的点（x，y）在函数y=-x+5图象上的概率；（2）小明、小红约定做一个游戏，其规则是：若x、y满足xy>6，则小明胜；若x、y满足xy<6,则小红胜.这个游戏规则公平吗?说明理由;若不公平,怎样修改游戏规则才对双方公平?第7课时用列举法求概率（四）一．课前预习：1.“上升数”是指在一个数中，右边的数字比左边的数字大的自然数（如：12,567,2368等）.任取一个两位数，是“上升数”的概率为 . 2.从1---9这9个自然数中任取一个，时货的倍数的概率是 .3.在一个不透明的口袋中，装有若干个除颜色外其余都相同的球，如果口袋中有5个红球且摸到红球的概率是31，则口袋中球的总数为 . 4.随机掷一枚硬币两次，落地后至多有一次反面朝上的概率是 .5.经过十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能左转或右转，如果这三种可能性大小相同，则有三辆车经过该十字路口时，至少有两辆车直行的概率为 . 二．例题解析例1.小明与小亮玩游戏，他们将牌面数字分别是2，3，4的三张扑克牌充分洗匀后，背面朝上放在桌面上．规定游戏规则如下：先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为个位上的数字．如果组成的两位数恰好是2的倍数．则小明胜；如果组成的两位数恰好是3的倍数．则小亮胜．你认为这个游戏规则对双方公平吗?请用画数状图或列表的方法说明理由．例2.有人说连续抛掷一枚硬币3次，出现三个正面和先掷出2个正面再掷出一个反面的机会是一样的.你同意这种说法吗？变式：有人说连续抛掷一枚硬币3次，出现三个反面和先掷出2个反面和一个正面的机会是一样的吗？例3.为贯彻政府报告中“全民创新，万众创业”的精神，某镇对辖区内所有的小微企业按年利润w （万元）的多少分为以下四个类型：A 类（w ＜10），B 类（10≤w ＜20），C 类（20≤w ＜30），D 类（w ≥30），该镇政府对辖区内所有小微企业的相关信息进行统计后，绘制成以下条形统计图和扇形统计图，请你结合图中信息解答下列问题：（1）该镇本次统计的小微企业总个数是 ，扇形统计图中B 类所对应扇形圆心角的度数为 度，请补全条形统计图；（2）为了进一步解决小微企业在发展中的问题，该镇政府准备召开一次座谈会，每个企业派一名代表参会．计划从D 类企业的4个参会代表中随机抽取2个发言，D 类企业的4个参会代表中有2个来自高新区，另2个来自开发区．请用列表或画树状图的方法求出所抽取的2个发言代表都来自高新区的概率．三．小结提炼． 四．巩固训练2.一张圆桌旁有四个座位，A 先坐在如图25-2-4所示的位置上，B ，C ，D 三人随机坐到其他位置上，那么A 与B 不相邻的概率是 .3.小明随机地在如图25-2-5所示的正三角形及其内部区域投针，则针扎到其内切圆（阴影）区域的概率为（ ）。
第二十五章概率
课题： 25.1 随机事件
课题: 25.1.2 概率的意义
课题: 25.2 列举法求概率1
课题: 25.2 列举法求概率2
25．3 利用频率估计概率
教学过程设计
集体备课个人备课一、激思导引
例1 某篮球运动员在最近的几场大赛中罚球投篮的结果如下：
投篮次数n8 10 12 9 16 10
进球次数m 6 8 9 7 12 7
进球频率m n
(1)计算表中各次比赛进球的频率；
(2)这位运动员投篮一次，进球的概率约为多少？
经历实验、列表、统计、运算、设计等活动，学生在具体情境中分析事件，计算其发生的概率。
渗透数形结合，分类讨论，由特殊到一般的思想，提高分析问题和解决问题的能力。
引导学生探究：频率随着实验次数的增加，稳定于什么值左右？
从试验数据看，从盒中摸出一张卡片是3的倍数的概率估计是多少？
根据推理计算可知，从盒中摸出一张卡片是3的倍数的概率应该是多少？
二、自主探究
例2某商场设立了一个可以自由转动的转盘(如图)，并规定：顾客购物10元以上能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是活动进行中的一组统计数据：
(1) 计算并完成表格：
转动转盘的次数n 100 150 200 500 800 1000 落在“铅笔”的次数m 68 111 136 345 546 701
落在“铅笔”的频率m n
(2) 请估计，当n很大时，频率将会接近多少？
(3) 转动该转盘一次，获得铅笔的概率约是多少？
(4) 在该转盘中，标有“铅笔”区域的扇形的圆心
角大约是多少？(精确到1°)
三、分层释疑
同时抛掷两枚硬币，按照正面出现的次数，可以分为“2个正面”、“1个正面”和“没有正面”这3种可能的结果，小红与小明两人共做了6组实验，每组实验都为同时抛掷两枚硬币10次，下表为实验记录的统计表：结果第一组第二组第三组第四组第五组第六组两个正面 3 3 5 1 4 2
一个正面 6 5 5 5 5 7
没有正面 1 2 0 4 1 1。
