北京市东城区2011-2012学年度第二学期高三综合练习(二)数学理科

北京市东城区2011-2012学年度第二学期高三综合练习（二）数学理科本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，时间120分钟，满分150分。

第Ⅰ卷（选择题，共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）下列命题中，真命题是（A ）x ∀∈R ,210x --< （B ）0x ∃∈R ,2001x x +=- （C ）21,04x x x ∀∈-+>R （D ）2000,220x x x ∃∈++<R（2）将容量为n 的样本中的数据分成6组，若第一组至第六组数据的频率之比为2:3:4:6:4:1，且前三组数据的频数之和等于27，则n 的值为（A ）70 （B ）60 （C ）50 （D ）40（3）41(2)x x-的展开式中的常数项为（A ）24- （B ）6- （C ）6 （D ）24（4）若一个三棱柱的底面是正三角形，其正（主）视图如图所示，则它的体积为（A ） （B ）2 （C ）（D ）4（5）若向量a ，b 满足1=a，=b ，且()⊥a a +b ，则a 与b 的夹角为（A ）2π （B ）23π （C ）34π （D ）56π（6）已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β 的是（A ）⊥αβ，且m ⊂α （B ）m ∥n ，且n ⊥β （C ）⊥αβ，且m ∥α （D ）m ⊥n ，且n ∥β（7）若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线221yx m+=的离心率为（A）2（B（C22（D2（8）定义：()00>>=y ,x y )y ,x (F x ，已知数列{}n a 满足：()()n ,F ,n F a n 22=()n *∈N ，若对任意正整数n ，都有k n a a ≥()k *∈N 成立，则k a 的值为 （A ）12（B ）2 （C ）89（D ）98第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

(10)(11)在平面直角坐标系xOy 中，将点A 绕原点O 逆时针旋转90到点B ，那么点B 的坐标为____，若直线O B 的倾斜角为α，则sin 2α的值为 ．(12) 如图，直线P C 与 O 相切于点C ，割线P A B 经过圆心O ， 弦C D ⊥A B 于点E ，4P C =，8P B =，则C E = ．(13) 已知函数sin 1()1x x f x x -+=+()x ∈R 的最大值为M ，最小值为m ，则M m +的值为__.(14) 已知点(,)A a b 与点(1,0)B 在直线34100x y -+=的两侧，给出下列说法： ①34100a b -+>；②当0a >时,a b +有最小值，无最大值；2>；④当0a >且1a ≠，0b >时，1b a -的取值范围为53(,)(,)24-∞-+∞ .其中，所有正确说法的序号是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）已知函数()sin()f x A x =+ωϕ（其中∈R x ，0A >，ππ0,22ωϕ>-<<）的部分图象如图所示.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）已知在函数()f x 的图象上的三点,,M N P 的横坐标分别为1,1,5-，求sin MNP ∠的值.（16）（本小题共13分）某公园设有自行车租车点， 租车的收费标准是每小时2元（不足1小时的部分按1小时计算）.甲、乙两人各租一辆自行车，若甲、乙不超过一小时还车的概率分别为2141，；一小时以上且不超过两小时还车的概率分别为4121，；两人租车时间都不会超过三小时.（Ⅰ）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率；（Ⅱ）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望ξE .（17）（本小题共13分）如图,矩形A M N D 所在的平面与直角梯形M B C N 所在的平面互相垂直，M B ∥N C ,M N M B ⊥，且M C C B ⊥，2B C =，4M B =，3D N =． （Ⅰ）求证：//A B 平面D N C ；（Ⅱ）求二面角D B C N --的余弦值.（18）（本小题共14分） 已知抛物线C ：24x y =，M 为直线:l 1y =-上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线,M A M B ，切点分别为A ,B .（Ⅰ）当M 的坐标为(0,1)-时，求过,,M A B 三点的圆的方程； （Ⅱ）证明：以A B 为直径的圆恒过点M .（19）（本小题共13分）已知函数11()()ln f x a x x a x=++-（1a >）．（Ⅰ）试讨论()f x 在区间(0,1)上的单调性；（Ⅱ）当[)3,a ∈+∞时，曲线()y f x =上总存在相异两点11(,())P x f x ，22(,())Q x f x ，使得曲线()y f x =在点P ，Q 处的切线互相平行，求证：1265x x +>.（20）(本小题共14分)对于数列{}n a (1,2,,)n m = ，令k b 为1a ，2a ， ，k a 中的最大值，称数列{}n b 为{}n a 的“创新数列”.例如数列2，1，3，7，5的创新数列为2，2，3，7，7.定义数列{}n c ：123,,,,m c c c c 是自然数1，2，3， ，(3)m m >的一个排列. （Ⅰ）当5m =时，写出创新数列为3，4， 4，5，5的所有数列{}n c ；（Ⅱ）是否存在数列{}n c ，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列{}n c ，若不存在，请说明理由.北京市东城区2011-2012学年度高三综合练习（二）数学参考答案及评分标准 （理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）A （2）B （3）D （4）A （5）C （6）B （7）D （8）C 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）1- （10）(1,0) 2 （11）)3,1(-2-（12）125（13）2 （14）③④注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）由图可知，1A =，最小正周期428T =⨯=.由2π8T ==ω，得4π=ω. ……………3分又π(1)sin()14f ϕ=+= ，且ππ22ϕ-<<，所以ππ42+=ϕ， 即4π=ϕ . ………………5分所以π()44f x =+ππ. ………………6分（Ⅱ）因为(1)0,(1)1,f f -==π(5)sin(51)1,4f =+=-所以(M N--. …………………7分所以MN PN MP ===.由余弦定理得20373cs5520MP∠==-. ……………11分 因为[)0,M NP ∠∈π， 所以4sin 5M N P ∠=. ……………13分（其它解法酌情给分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）甲、乙两人所付费用相同即为2，4，6元. ……………2分都付2元的概率为1111428P =⨯=； 都付4元的概率为2111248P =⨯=；都付6元的概率为31114416P =⨯=； 故所付费用相同的概率为1231115881616P P P P =++=++=. ……………6分（Ⅱ）依题意，ξ的可能取值为4，6，8，10，12. ……………8分1(4)8P ξ==； 11115(6)442216P ξ==⨯+⨯=； 1111115(8)44242416P ξ==⨯+⨯+⨯=； 11113(10)442416P ξ==⨯+⨯=； 111(12)4416P ξ==⨯=.故ξ的分布列为……………11分所求数学期望15531468101816161E ξ=⨯+⨯+⨯. ……………13分（17）（共13分）（Ⅰ）证明：因为M B //N C ，M B ⊄平面D N C ，N C ⊂平面D N C ，所以M B //平面D N C ． ……………2分 因为A M N D 为矩形，所以M A //D N ．又M A ⊄平面D N C ，D N ⊂平面D N C ， 所以M A //平面D N C ． ……………4分 又MA MB M = ，且M A ，M B ⊂平面AM B ， 所以平面AM B //平面D N C ． ……………5分 又A B ⊂平面AM B ，所以//A B 平面D N C ． ……………6分（Ⅱ）解：由已知平面AM N D ⊥平面M B C N ，且平面AMND 平面M B C N M N =，D N M N ⊥，所以D N ⊥平面M B C N ，又M N N C ⊥，故以点N 为坐标原点，建立空间直角坐标系N xyz -.……………7分由已知得30M C M C N =∠= ，易得M N =3N C =．则(0,0,3)D ，(0,3,0)C ，4,0)B ．(0,3,3)D C =-，0)C B =． ……………8分 设平面D B C 的法向量1(,,)x y z =n ，则110,0.D C C B⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即330,0.y zy -=⎧⎪+=令1x =-，则y =z =所以1(=-n ． (10)分又2n (0,0,1)=是平面N BC 的一个法向量，所以122112cos ,7⋅===n n n n n n ．故所求二面角D B C N --的余弦值为7． ……………13分（18）（共14分）（Ⅰ）解：当M 的坐标为(0,1)-时，设过M 点的切线方程为1y kx =-，由24,1,x y y kx ⎧=⎨=-⎩消y 得2440x kx -+=. (1) 令2(4)440k ∆=-⨯=，解得1k =±. 代入方程(1)，解得(2,1),(2,1)A B -. ……………3分设圆心P 的坐标为(0,)a ，由PM PB =，得12a +=，解得1a =. 故过,,M A B 三点的圆的方程为22(1)4x y +-=． ……………5分（Ⅱ）证明：设0(,1)M x -，由已知得24xy =，12y x '=，设切点分别为211(,)4x A x ，222(,)4x B x ，所以12M A x k =，22M B x k =，切线M A 的方程为2111()42x x y x x -=-即2111124y x x x =-，切线M B 的方程为2222()42x x y x x -=-即2221124y x x x =-． ……………7分又因为切线M A 过点0(,1)M x -，所以得201111124x x x -=-. ① 又因为切线M B 也过点0(,1)M x -，所以得202211124x x x -=-. ②所以1x ，2x 是方程2011124x x x -=-的两实根，由韦达定理得12,x x x +=124x x =-． ……………9分因为2110(,1)4x M A x x =-+ ，2220(,1)4x M B x x =-+ ，所以22121020()()(1)(1)44x x M A M B x x x x ⋅=--+++2222212120120121()()1164x x x x x x x x x x =-++++++22221212012012121()()21164x x x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+++++-+⎣⎦． 将1202,x x x +=124x x =-代入，得0MA MB ⋅=. (13)分所以以A B 为直径的圆恒过点M ． (14)分（19）（共13分） （Ⅰ）解：由已知0x >，2222111()1()()1()1a x a x x a x a a a f x x xxx+-++--'=--=-=-. ………2分由()0f x '=，得11x a=，2x a =. ………4分因为1a >，所以101a<<,且1a a>．所以在区间1(0,)a上，()0f x '<；在区间1(,1)a上，()0f x '>.故()f x 在1(0,)a 上单调递减，在1(,1)a上单调递增． ……………6分（Ⅱ）证明：由题意可得，当[)3,a ∈+∞时，12()()f x f x ''=（12,0x x >，且12x x ≠）.即221122111111a a a a x x x x ++--=-- ，所以121212111x x a ax x x x ++=+=，[)3,a ∈+∞. ……………8分因为12,0x x >，且12x x ≠，所以21212()2x x x x +<恒成立，所以2121214()x x x x >+，又120x x +>，所以12121x x a ax x ++=124x x >+，整理得1241x x a a+>+. ……………11分令()g a 41a a=+，因为[)3,a ∈+∞，所以()g a 在[)3,+∞上单调递减，所以()g a =41a a+在[)3,+∞上的最大值为6(3)5g =，所以1265x x +>. ……………13分（20）（共14分）解：（Ⅰ）由题意，创新数列为3，4， 4，5，5的所有数列{}n c 有两个，即数列3，4，1，5，2；数列3，4，2，5，1. ……………4分（Ⅱ）存在数列{}n c ，使它的创新数列为等差数列. 数列{}n c 的创新数列为{}n e (1,2,3,,)n m = ， 因为m e 是12,,,m c c c 中的最大值，11所以m e m =.由题意知，k e 为12,,,k c c c 中最大值，1k e +为121,,,,k k c c c c + 中的最大值， 所以k e 1k e +≤，且{}1,2,,k e m ∈ .若{}n e 为等差数列，设其公差为d ， 则1k k d e e +=-0≥且d ∈N ，当0d =时，{}n e 为常数列，又m e m =， 所以数列{}n e 为m ，m ， ，m .此时数列{}n c 是首项为m 的任意一个符合条件的数列； ……………8分当1d =时，因为m e m =，所以数列{}n e 为1，2，3， ，m . 此时数列{}n c 为1，2，3， ，m ； ……………10分当2d ≥时，因为111(1)(1)222m e e m d e m m e =+-≥+-⨯=-+ ， 又3m >，10e > ，所以m e m >，这与m e m =矛盾，所以此时{}n e 不存在，即不存在{}n c 使得它的创新数列为公差2d ≥的等差数列. ……………13分综上，当数列{}n c 为以m 为首项的任意一个符合条件的数列或{}n c 为数列1，2，3， ，m 时，它的创新数列为等差数列. ……………14分。