七年级：三角形三线合一性质专题

现在如果把两开关C和D都按上，两条电路都接通，此时应该是1＋1，但小灯泡B只会发出同样的亮光，所以此时还是1．
这个过程我们用数学式子来表示，就是：
1＋1=1．
这正是逻辑代数的加法．
0和1这些数字，本来是代表数的．在逻辑代数里，我们知道0和1不只表示数，而且更代表一种情况．正因为这样，所以得出了1＋1不等于2的结果．1＋1不光只等于2或等于1．在采用二进制的计算方法中，1＋1是等于10．可见，我们习惯的数字计算法那么，在一些数学新概念中得出的结果不再是人们预料的．。

等腰三角形三线合一专题训练1例1 如图，四边形ABCD中，AB // DC, BE、CE分别平分/ ABC、/ BCD，且点E在AD上。

求BC=AB+DC 。

变 1 如图，AB // CD，/ A = 90° AB = 2, BC = 3, CD = 1, E 是AD 边中点。

求证：CE丄BE。

变2：如图，四边形ABCD中，AD / BC, E是CD上一点，且AE、BE分别平分/ BAD、/ ABC.(1)求证：AE丄BE; (2)求证：E是CD的中点；(3)求证：AD+BC=AB.A n变3:\ ABC是等腰直角三角形，/ BAC=90 ,AB=AC.⑴若D为BC的中点，过D作DM丄DN分别交AB、AC 于M、N，求证：（1）DM = DN。

A⑵若DM丄DN分别和BA、AC延长线交于M、N。

问DM和DN有何数量关系。

|\/|⑴已知：如图，AB=AC , E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且BE=CF , EF交BC于点D .求证：DE=DF .⑵已知：如图，AB=AC , E为AB上一点，F是AC延长线上一点，且，EF交BC于点D，且D为EF的中点. 求证：BE=CF .利用面积法证明线段之间的和差关系1、如图，在△ ABC中, AB=AC P为底边BC上的一点，PC L AB于D, PEL AC于E, ?CF丄AB于F,那么PD+PE与CF相等吗？变1若P点在直线BC上运动，其他条件不变，则PD、PE与CF的关系又怎样，请你作图，证明。

1、已知等腰三角形的两边长分别为4、9,则它的周长为（）A 17B 22C 17 或22D 13根据等腰三角形的性质寻求规律1 1例1.在△ ABC中，AB=AC /仁一 / ABC / 2= —/ ACB BD与CE相交于点0,如图，/ B0C勺大小2 2与/A的大小有什么关系？1 1若/ 1= / ABC / 2= / ACB则/ BOC WZ A大小关系如何？3 31 1若/ 1= / ABC / 2= / ACB则/ B0C与Z A大小关系如何?n n会用等腰三角形的判定和性质计算与证明例2.如图，等腰三角形ABC中，AB=AC —腰上的中线BD?各这个等腰三角形周长分成15和6两部分,利用等腰三角形的性质证线段相等例3.如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA PB PC, ?以BP为边作/ PBQ=60，且BQ=BP 连结CQ （1）观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论.2）若PA PB: PC=3: 4: 5,连结PQ试判断△ PQC的形状，并说明理由.例1、等腰三角形底边长为5cm,腰上的中线把三角形周长分为差是3cm的两部分，则腰长为（）A、2cm B 、8cm C 、2cm 或8cm D 、不能确定例2、已知AD^^ ABC的高，AB=AC △ ABC周长为20cm,A ADC的周长为14cm,求AD的长。

等腰三角形专题基本知识总结：1、基本概念：有两条边相等的三角形才是等腰三角形，所有的证明需证明至此（如：若知道三角形的两个底角相当，则需要使用等角对等边，证明边相等才可）2、性质：①等边对等角②三线合一3、判定：等角对等边常见题型：1、等腰三角形的构造型问题：（1）①角平分线+平行线②角平分线+垂线③利用倍角半角（2）找点问题例1：如图，有直线n m ,，n m ,之间的间距为cm 2，在n 上取cm AB 3=，在m 上取点p ，使得PAB ∆为等腰三角形，则满足条件的点p 有几个？mn • •A B变式1：若取cm AB 2=，则点p 有几个？变式2：如图，在ABC Rt ∆中，︒=∠90ABC ，︒=∠30BAC ，在直线上或AC BC 取一点P ，使得PAB ∆为等腰三角形，则符合条件的点p 有几个？2、三线合一的性质应用（知二即知三）应用一：证明角度和线段的相等及倍数关系例1：已知：如图，在ABC ∆中，AC AB =，AD BD ⊥于D ，求证：DBC BAC ∠=∠2.例2：△ABC 是等腰直角三角形 ，∠BAC=90°，AB=AC ，若D 为BC 的中点，过D 作DM ⊥DN 分别交AB 、AC 于M 、N ，求证：DM ＝DN.变式1：若DM ⊥DN 分别和BA 、AC 延长线交于M 、N 。

问DM 和DN 有何数量关系。

变式2：如图，在ABC ∆中，︒=∠90A ，AC AB =，D 是BC 的中点，P 为BC 上任一点，作AB PE ⊥，AC PF ⊥，垂足分别为F E 、，求证：（1）DF DE =；（2）DF DE ⊥应用二：证垂直平分例3：已知，如图，AD 是ABC ∆的角平分线，DF DE 、分别是ABD ∆和ACD ∆的高。

求证：AD 垂直平分EF .例4：已知四边形ABCD 中，︒=∠=∠90ADB ACB ，N M 、分别为CD AB 、的中点，求证：MN 垂直平分CD .应用三：逆命题：知二即知等腰①一边上的高与这边上的中线重合的三角形是等腰三角形．（线段垂直平分线的性质） ②一边上的高与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形．③一边上的中线与这边所对角的平分线重合的三角形是等腰三角形.例5：如图，D、E分别是AB、AC的中点，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，求证：AC=AB.例6：已知，在△ABC中，AD平分∠BAC，CD⊥AD,D为垂足，AB>AC。

专题13 等腰三角形中三线合一的应用题型一利用三线合一求角度【典例1】（2019•兴平市期末）如图，已知房屋的顶角∠BAC＝100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB＝AC，求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数．【详解】解：∵△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝100°，∴∠B＝∠C=180°−∠BAC2=180°−100°2=40°；∵AB＝AC，AD⊥BC，∠BAC＝100°，∴AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝50°．题型二利用三线合一求线段【典例2】（2019•金华校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于点E，BC＝10，△BDC的周长为22，求AB的值．【详解】解：∵DE垂直且平分AB，∴AD＝BD，∵△BDC的周长为22∵BC+BD+CD＝BC+AD+CD＝BC+AC＝22，∵BC＝10，∴AC＝12，∴AB＝AC＝12．题型三利用三线合一证线段（角）相等【典例3】（2019•吉林期末）已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．（1）如图，若E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF．求证：△DEF为等腰直角三角形；（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．【详解】解：（1）证明：连接AD∵AB＝AC，∠A＝90°，D为BC中点∴AD=BC2=BD＝CD且AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠CAD＝45°在△BDE和△ADF中，{BD=AD∠B=∠DAF=45°BE=AF，∴△BDE≌△ADF（SAS）∴DE＝DF，∠BDE＝∠ADF∵∠BDE+∠ADE＝90°∴∠ADF+∠ADE＝90°即：∠EDF＝90°∴△EDF为等腰直角三角形．（2）解：仍为等腰直角三角形．理由：∵△AFD≌△BED∴DF＝DE，∠ADF＝∠BDE∵∠ADF+∠FDB＝90°∴∠BDE+∠FDB＝90°即：∠EDF＝90°∴△EDF为等腰直角三角形．题型四利用三线合一证垂直【典例4】（2019•湖里区校级期中）如图，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC，求证：EB⊥AB．【详解】证明：作EF⊥AC于F，∵EA＝EC，∴AF＝FC=12AC，∵AC＝2AB，∴AF＝AB，∵AD平分∠BAC交BC于D，∴∠BAD＝∠CAD，△BAE和△F AE中{AB=AF∠BAD=∠CADAE=AE，∴△ABE≌△AFE（SAS），∴∠ABE＝∠AFE＝90°．∴EB⊥AB．题型五利用三线合一证线段的倍数关系【典例5】如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF 的延长线于点D，试说明：BF＝2CD．【详解】解：取BF的中点E，连接AE，AD，∵∠BAC＝90°，∴AE＝BE＝EF，∴∠ABD＝∠BAE，∵CD⊥BD，∴A，B，C，D四点共圆，∴∠DAC＝∠DBC，∵BF平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC，∴∠DAC＝∠BAE，∴∠EAD＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ABD＝∠DBC＝22.5°，∴∠AED＝45°，∴AE＝AD，在△ABE与△ADC中，{∠ABE=∠DAC∠BAE=∠ACDAE=AD，∴△ABE≌△ADC，∴BE＝CD，∴BF＝2CD．题型六 利用三线合一证线段的和差关系【典例6】如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，∠B ＝2∠C ，试说明：AB +BD ＝CD ．【详解】解：在CD 上取一点E 使DE ＝BD ，连接AE ．∵AD ⊥BC ，∴△ABE 是等腰三角形，∴AB ＝AE ，∠B ＝∠AEB ，∵∠B ＝∠AEB ＝2∠C ，又∵∠AEB ＝∠C +∠EAC ，∴∠EAC ＝∠C ，∴AE ＝EC ；∴CD ＝DE +EC ＝AB +BD ．巩固练习1．（2019•鄂州期末）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∠ABC ＝45°，点D 为BC 的中点，CE ⊥AD 于点E ，其延长线交AB 于点F ，连接DF ．求证：∠ADC ＝∠BDF ．【详解】证明：作BG ⊥CB ，交CF 的延长线于点G ，如图所示：∵∠CBG ＝90°，CF ⊥AD ，∴∠CAD +∠ADC ＝∠BCG +∠ADC ＝90°，∴∠CAD ＝∠BCG ，在△ACD 和△CBG 中，{∠CAD =∠BCGAC =BC ∠ACD =∠CBG =90°，∴△ACD ≌△CBG （ASA ），∴CD ＝BG ，∠CDA ＝∠CGB ，∵CD ＝BD ，∴BG ＝BD ，∵∠ABC ＝45°，∴∠FBD ＝∠GBF =12∠CBG ，在△BFG 和△BFD 中，{BG =BD∠FBD =∠GBF BF =BF，∴△BFG ≌△BFD （SAS ），∴∠FGB ＝∠FDB ，∴∠ADC ＝∠BDF ．2．（2019•镇赉期末）如图，在四边形ABCD中，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AE＝3ED＝6，求AB的长．【点睛】（1）过C点作CF⊥AB，交AB的延长线于点F．由AAS证明△CDE≌△CBF，可得CE＝CF，结论得证；（2）证明Rt△ACE≌Rt△ACF，可得AE＝AF，可求出AB＝4．【详解】（1）证明：过C点作CF⊥AB，交AB的延长线于点F．∵CE⊥AD，∴∠DEC＝∠CFB＝90°，∵∠D+∠ABC＝180°，∠ABC+∠CBF＝180°，∴∠D＝∠CBF，∵CD＝CB，∴△CDE≌△CBF（AAS），∴CE＝CF，∴AC平分∠DAB．（2）解：由（1）得BF＝DE，∵CE＝CF，CA＝CA，∴Rt△ACE≌Rt△ACF（HL），∴AE＝AF，∴AB＝AF﹣BF＝AE﹣DE，∵AE＝6，DE＝2，∴AB＝4．3．（2019•长宁区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P是BC边上的一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CM⊥AB于M，试探究线段PD、PE、CM的数量关系，并说明理由．【详解】解：PD+PE＝CM，证明：连接AP．∵AB＝AC，∴S△ABC＝S△ABP+S△ACP=12AB×PD+12AC×PE=12×AB×（PD+PE），∵S△ABC=12AB×CM，∴PD+PE＝CM．4．（2019•丰南区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．AB的垂直平分线交AB于E，交BC于M；AC的垂直平分线交AC于F，交BC于N．连接AM、AN．（1）∠MAN的大小；（2）求证：BM＝CN．【详解】（1）解：∵AB＝AC，∠A＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∵直线ME垂直平分AB，∴BM＝AM，∴∠B＝∠MAB＝30°，∴∠AMN＝∠B+∠MAB＝60°，同理可得：∠ANM＝60°．∴∠MAN＝180°﹣60°﹣60°＝60°；（2）证明：∵在△AMN中，∠AMN＝∠ANM＝∠MAN＝60°，∴△AMN为等边三角形．即AM＝AN＝MN，又∵BM＝AM，CN＝AN，∴BM＝CN．5．（2019•重庆校级期中）如图所示，△ABC 是等腰直角三角形，AB ＝AC ，D 是斜边BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE ⊥DF ，若BE ＝12，CF ＝5．（1）求线段EF 的长；（2）求四边形AFDE 面积．【详解】解：（1）连接AD ．∵△ABC 是等腰直角三角形，AB ＝AC ，D 是斜边BC 的中点，∴AD ＝DC ＝DB ，AD ⊥BC ，∴∠BAD ＝∠C ＝45°，∵∠EDA +∠ADF ＝90°，又∵∠CDF +∠ADF ＝90°，∴∠EDA ＝∠CDF ．在△AED 与△CFD 中，{∠EDA =∠FDCAD =CD ∠EAD =∠C，∴△AED ≌△CFD （ASA ）．∴AE ＝CF ＝5．∵AB ＝AC ，∴BE ＝AF ＝12．在Rt △AEF 中，∵∠EAF ＝90°，∴EF 2＝AE 2+AF 2＝52+122＝169， ∴EF ＝13；（2）由（1）知△AED ≌△CFD ，所以S 四边形AFDE ＝S △AFD +S △AED ＝S △AFD +S △CFD ＝S △ADC =12S △ABC=12×12AB 2=14（12+5）2=2894．。

七年级数学下册解法技巧思维培优专题13 等腰三角形中三线合一的应用题型一利用三线合一求角度【典例1】（2019•兴平市期末）如图，已知房屋的顶角∠BAC＝100°，过屋顶A的立柱AD⊥BC，屋椽AB＝AC，求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数．题型二利用三线合一求线段【典例2】（2019•金华校级月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线DE交AC于点D，交AB于点E，BC＝10，△BDC的周长为22，求AB的值．题型三利用三线合一证线段（角）相等【典例3】（2019•吉林期末）已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点．（1）如图，若E、F分别是AB、AC上的点，且BE＝AF．求证：△DEF为等腰直角三角形；（2）若E，F分别为AB，CA延长线上的点，仍有BE＝AF，其他条件不变，那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．题型四利用三线合一证垂直【典例4】（2019•湖里区校级期中）如图，△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC交BC于D，E是AD上一点，且EA＝EC，求证：EB⊥AB．题型五利用三线合一证线段的倍数关系【典例5】如图，已知等腰直角三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD交BF 的延长线于点D，试说明：BF＝2CD．题型六利用三线合一证线段的和差关系【典例6】如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠B＝2∠C，试说明：AB+BD＝CD．巩固练习1．（2019•鄂州期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF．求证：∠ADC＝∠BDF．2．（2019•镇赉期末）如图，在四边形ABCD中，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于E．（1）求证：AC平分∠DAB；（2）若AE＝3ED＝6，求AB的长．3．（2019•长宁区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点P是BC边上的一点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CM⊥AB于M，试探究线段PD、PE、CM的数量关系，并说明理由．4．（2019•丰南区期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．AB的垂直平分线交AB于E，交BC于M；AC的垂直平分线交AC于F，交BC于N．连接AM、AN．（1）∠MAN的大小；（2）求证：BM＝CN．5．（2019•重庆校级期中）如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB＝AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE＝12，CF＝5．（1）求线段EF的长；（2）求四边形AFDE面积．。

专题54 巧作三线合一构造全等三角形【专题说明】三线合一：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

【模型展示】①若AB=AC,,①若AB=AC, ,则,;①若AB=AC, ,;①若,则AB=AC, ;①若,,则①若, 则AB=AC,;等腰三角形三线合一的应用非常广泛，它包含了多层意义，可以用来证明角相等、线段相等、垂直关系等。

等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或的倍分关系。

在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时需要作高或中线，这要视具体情况而定。

【精典例题】1.如图,已知房屋的顶角∠BAC =100∘，过屋顶A 的立柱AD ⊥BC ，屋椽AB =AC ，求顶架上∠B 、∠C 、∠BAD 、∠CAD 的度数。

解答： ∵△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =100∘∴∠B =∠C =21(180∘−∠BAC)=21(180∘−100∘)=40∘ ∵AB =AC ,AD ⊥BC ,∠BAC =100∘∴AD 平分∠BAC∴∠BAD =∠CAD =50.2.如图，在△ABC 中，AB =AC ，AD =DB =BC ，DE ⊥AB 于点E ，若CD =4，且△BDC 的周长为24，求AE 的长。

解答：∵AD =DB =BC ，CD =4，且△BDC 的周长为24∴AD =DB =BC =10∴AC =14∵AB =AC∴AB =14∵AD =DB ，DE ⊥AB3.已知：三角形ABC中,∠A=90∘，AB=AC，D为BC的中点，如图，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形。

解答：证明：连接AD∵AB=AC,∠A=90∘，D为BC中点∴AD=BC2=BD=CD且AD平分∠BAC∴∠BAD=∠CAD=45∘在△BDE和△ADF中，BD=AD，∠B=∠DAF=45∘，BE=AF∴△BDE≌△ADF∴DE=DF，∠BDE=∠ADF∵∠BDE+∠ADE=90∘∴∠ADF+∠ADE=90∘即：∠EDF=90∘∴△EDF为等腰直角三角形。

“三线合一”专题等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

这就是著名的等腰三角形“三线台一”性质。

“三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。

反之，如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合，那么这个三角形就是等腰三角形。

【例题讲解】例1．求证：BE=CE。

如图所示，在等腰△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AD上。

变式练习1-1 如图，在△ABC中，AB=AC，D是形外一点，且BD=CD。

求证：AD垂直平分BC。

变式练习1-2 已知，如图所示，AD是△ABC，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高。

求证：AD垂直平分EF。

例2． 如图△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，若CD ＝4，且△BDC 周长为24，求AE 的长度。

例3. 如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。

求证：M 是BE 的中点。

EA B B C E D例 4. 如图，已知：ABC∆中，ACAB=，D是BC上一点，且CADCDBAD==，，求BAC∠的度数。

AB CD例5. 已知：如图，ABC∆中，ABCDACAB⊥=，于D。

求证：DCB2B AC∠=∠。

C1.如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别为∠ABC与∠ACB 的角平分线，且相交于点F，则图中的等腰三角形有（）A. 6个B. 7个A36°E DFB CC. 8个D. 9个2.）已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足。

求证：AE ＝AF 。

2. 如图，ABC ∆是等边三角形，BC BD 90CBD ==∠，，则1∠的度数是________。