青岛版六年级数学圆的面积

《圆的面积》课堂实录教学内容：《义务教育课程标准实验教科书·数学》（青岛版）六年级上册第65—67页。

教学目标：1.理解圆面积计算公式的推导。

让学生利用已有的知识，运用转化的思考方法，推导出圆面积的计算公式。

培养学生逻辑推理能力。

2.初步运用圆面积计算公式进行圆面积的计算。

3.通过圆面的剪拼，培养学生操作、观察、分析的能力，渗透极限思想。

教学重点：圆面积的剪拼及圆面积计算公式的推导。

教学难点：极限思想的渗透与公式推导。

教学准备：圆形纸片、剪刀、多媒体课件等。

教学过程：第一课时一、创设情境，揭示课题。

1. 课件出示情境图。

教师谈话引入信息。

师：你能提出什么问题？生：中心舞台的面积是多少？师：求中心舞台的面积，也就是求什么图形的面积？生：求圆的面积。

教师板书课题。

2、认识圆的面积。

师：什么是圆的面积呢？请你拿出准备的圆纸片，摸一摸，体验一下圆面。

你能比划圆的面积吗？你能说出圆的面积指的什么吗？生：圆的这个平面的大小就是圆的面积。

课件出示：圆所围成的平面的大小就是这个圆的面积。

生齐读。

师：这节课我们一起来学习圆的面积。

(板书课题：圆的面积。

)二、合作探索，解决问题1、如何求圆的面积。

师：怎样计算圆的面积呢？我们先回顾一下平行四边形面积的推导过程。

多媒体出示平行四边形面积推导过程。

师：平行四边形面积公式的推导过程对你有什么样的启发呢？生1：圆能不能转化成我们学过的图形呢？生2：圆能转化成哪种图形呢？怎样转化？2、小组合作，探究方法。

全班交流。

生1：画一画的方法。

在圆的外面画一个正方形，永正方形的面积减去四个小面的面积，就是圆的面积。

但是四个小面不知道怎么求。

生2：折一折的方法。

把圆的四边去掉变成一个正方形，但不知道四个小面怎样求。

生3：把圆对折两次，剪成四个相等的小扇形再拼一拼，拼出的图形有点像平行四边形，但上下边是弧的。

教师：这些同学都进行了深入的思考，都是把圆转化成已经学过的图形来研究。

师：怎样使拼成的图形更像平行四边形呢？生：对折3次，剪成8等份。

青岛版六年级上山东适用圆的面积在我们的数学世界中，圆是一个既常见又神秘的图形。

从日常生活中的车轮、盘子，到建筑设计中的圆形拱门、穹顶，圆无处不在。

而当我们深入研究圆时，其中一个重要的概念就是圆的面积。

在青岛版六年级上册的数学教材中，山东适用的部分专门讲解了圆的面积，今天咱们就一起来好好探索一番。

首先，咱们得搞清楚什么是圆的面积。

简单来说，圆的面积就是这个圆所占据平面的大小。

想象一下，一个圆就像一块圆形的大饼，圆的面积就是这块大饼的大小。

那怎么去计算这个面积呢？咱们先来回忆一下之前学过的长方形的面积。

长方形的面积等于长乘以宽。

那圆能不能也转化成一个类似长方形的图形来帮助我们计算面积呢？这就要用到一个巧妙的方法——把圆平均分成若干等份。

把一个圆平均分成很多很多的小扇形，然后把这些小扇形像拼拼图一样拼起来。

你会惊奇地发现，这些小扇形拼起来越来越接近一个长方形。

这个长方形的长，大约就是圆周长的一半，宽呢，就大约是圆的半径。

那圆的周长咱们知道是2πr（其中 r 是圆的半径，π通常取 314），所以圆周长的一半就是πr。

长方形的面积是长乘以宽，那这个近似长方形的面积就是πr × r ＝πr²。

所以，圆的面积公式就是 S ＝πr²。

为了更好地理解这个公式，咱们来做几道例题。

比如说，有一个圆，它的半径是 5 厘米，那它的面积是多少呢？咱们把半径 r ＝ 5 厘米代入公式，S ＝ 314 × 5²＝ 314 × 25 ＝ 785 平方厘米。

再比如，有一个圆的直径是 12 厘米，那先求出半径 r ＝ 12÷2 ＝ 6厘米，然后面积 S ＝ 314 × 6²＝ 11304 平方厘米。

学会了计算圆的面积，在生活中可有大用处呢！比如说，要给一个圆形的花坛铺草坪，知道了花坛的半径，就能算出需要多少平方米的草坪。

又或者要做一个圆形的桌面，知道了桌面的直径，就能算出需要多大面积的木板。

2020年青岛版小学数学六年级上册《圆的面积》教案设计精品版《圆的面积》教案教学内容：青岛版教科书小学数学六年级上册“圆的面积”以及相应的自主练习题。

教学内容分析：学生情况分析：小学对几何图形的认识很大程度属于直观几何的学习阶段，而几何本身比较抽象的。

本节内容学生从认识直线图形发展到认识曲线图形，又是一次飞跃，但从学生思维角度看，学生具有一定的抽象和逻辑思维能力。

这一学段中的学生已经有了许多机会接触到数与计算、空间图形等较丰富的数学内容，已经具备了初步的归纳、类比和推理的数学活动经验，并具有了转化的数学思想。

所以在教学应注意联系现实生活，组织学生利用学具开展探索性的数学活动，注重知识发现和探索过程，使学生感悟转化、极限等数学思想，从中获得数学学习的积极情感，体验和感受数学的力量。

同时在学习活动中，要使学生学会自主学习和小组合作，培养学生解决数学问题的能力。

教学目标：1、让学生经历操作、观察、填表、验证、讨论和归纳等数学活动的过程，探索并掌握圆的面积公式，能正确计算圆的面积，并能应用公式解决相关的简单实际问题，构建数学模型。

2、让学生进一步体会“转化”的数学思想方法，感悟极限思想的价值，培养运用已有知识解决新问题的能力，增强空间观念，发展数学思考。

3、让学生进一步体验数学与生活的联系，感受用数学的方式解决实际问题的过程，提高学习数学的兴趣。

教学重难点：重点：圆的面积计算公式的推导和应用。

难点：圆的面积推导过程中，极限思想（化曲为直）的理解。

教学准备：教具：多媒体课件、面积转化教具。

学具：书、计算器、16等份教具、作业纸。

教学过程一、创设情境，提出问题1、（出示情境图）教师谈话：同学们，我国是世界上第三个掌握航天器回收技术的国家。

“神州”五号飞船预先设定的降落范围是半径10千米的圆，实际降落在半径5千米的范围之内，根据这些信息，你能提出什么数学问题？2、学生提出问题，教师板书。

神舟五号飞船预先设定的降落范围有多大？二、合作探索，解决问题1、圆的面积谈话：求神舟五号飞船预先设定的降落范围有多大也就是求什么？根据学生的回答，教师总结，也就是求圆的面积。

圆的面积教学内容：青岛版义务教育六年级上册第五单元。

教学目标：本课学习是在学习了圆的周长的基础上进行的，通过引导学生回忆所学平行四边形面积计算的推导过程，特制定如下目标。

1.理解圆的面积的含义。

2.经历圆的面积公式的推导过程，理解和掌握圆的面积公式。

3.培养学生分析、综合、抽象、概括的能力和解决简单实际问题的能力，收集处理简单数据的能力。

教材内容及重点、难点：本课教学采用实验的方法，把圆分割成若干等份，再拼成一个近似的长方形（或三角形、梯形、平行四边形），分割的份数越多，拼得的图形就越接近于长方形，然后由长方形的面积计算公式推导出圆面积的计算公式S=πr2。

教学重点：理解和掌握圆的面积计算公式。

教学难点：经历圆的面积公式的推导过程，把圆转化成近似的长方形，然后由长方形的面积计算公式得出圆的面积计算公式。

学生情况分析：把未知的问题转化成已知的问题，是常用的数学思想和方法。

学生在学习求直线图形的面积时，已经用过这种方法，如求平行四边形面积时，是把平行四边形通过画高、剪、平移、拼之后，转化成面积相等的长方形，然后由长方形面积计算公式得出平行四边面积计算公式。

因此，教师在教学中首先应激发学生的学习兴趣，采用实验的方法，把圆分割成若干等份，再拼成一个近似的长方形，根据长方形的面积计算公式得出圆的面积计算公式。

教学策略及教法：1.根据学生的心理特征，创设问题情境，激发学生探究的欲望。

2.教师先边演示边引导学生学习“圆的面积计算公式”方法的推理过程，再让学生充分利用“几何画板”学习资源，以自主、探究、合作与交流的方式巩固所学圆的面积计算公式的推导过程及计算一些具体圆的面积。

3.教师设计并利用几何画板课件，进行例题学习过程与方法的演示，以激发学生的思维，提高学习的效果。

教学过程：一、复习引入在复习引导中首先让学生回想一下什么叫面积，理解平面图形的面积，然后让学生回忆长方形的面积是怎样计算的，为学习圆的面积公式作铺垫，同时回忆平行四边形、三角形和梯形等图形的面积计算公式的推导过程。

章节测试题1.【答题】一个半径为10米的圆形花坛，它的占地面积是多少平方米？在它的一周围一圈篱笆，篱笆长多少米？【答案】它的占地面积是314平方米，篱笆长62.8米.【分析】根据圆的周长公式和圆的面积公式，将数据代入求值即可.【解答】（平方米），3.14×10×2＝62.8（米），答：它的占地面积是314平方米，篱笆长62.8米.2.【答题】如下图，求阴影部分的面积.【答案】阴影部分的面积是3.87平方厘米.【分析】根据题意“长方形面积－半圆面积＝阴影面积”，求解即可.【解答】3×（3×2）—3.14×3×3÷2＝3.87（平方厘米），答：阴影部分的面积是3.87平方厘米.3.【答题】某钟表的分针长10厘米，从3时走到4时，分针走过了多少厘米？分针扫过了面积是多少平方厘米？【答案】分针针尖走过了62.8厘米，分针扫过的面积是314平方厘米.【分析】从3时到4时，分针转动一圈，根据题意可知，分钟尖端走过的路程是一个圆，分钟的长度就是这个圆的半径，根据圆的周长公式进行计算即可得到答案；分针转过的面积，就是这个圆的面积，利用圆的面积公式计算即可解答.【解答】①3.14×10×2＝62.8（厘米），答：分针针尖走过了62.8厘米.②（平方厘米），答：分针扫过的面积是314平方厘米.4.【答题】画一个半径为6cm半圆，①并画出它的对称轴.②计算出它的周长和面积.【答案】这个半圆的周长是30.84厘米，面积是56.52平方厘米.【分析】先画一条6厘米的线段，以它的一个端点为圆心，6厘米为半径，由此即可画出这个半圆，进而依据轴对称图形的定义画出它的对称轴；半圆的周长＝；半圆的面积＝，由此代入数据即可解答.【解答】以点O为圆心，以6厘米为半径画这个半圆如图所示：所以这个半圆的周长是：3.14×6×2÷2＋2×6＝30.84（厘米）；半圆的面积是：（平方厘米）；答：这个半圆的周长是30.84厘米，面积是56.52平方厘米.5.【答题】计算如图阴影部分的面积.（单位：厘米）【答案】阴影部分的面积为11.44平方厘米.【分析】利用上底8÷2＝4厘米，下底8厘米，高8÷2＝4厘米的梯形的面积减去半径为8÷2＝4厘米的圆的面积即可.【解答】8÷2＝4（厘米），（平方厘米），答：阴影部分的面积为11.44平方厘米.6.【答题】如图，长方形的面积和圆的面积相等，已知圆的半径是3厘米，求阴影部分的周长与面积各是多少？【答案】阴影部分的周长和面积分别是23.55厘米和21.195平方厘米.【分析】（1）由图意可知：阴影部分的周长＝长方形的周长﹣圆的半径×2＋圆周长×，圆的半径已知，从而可以求圆的周长，再据“长方形的面积和圆的面积相等”即可求出长方形的长，从而可求长方形的周长，进而求出阴影的周长；（2）阴影部分的面积＝圆面积，将（1）中求出的数据代入此等式即可求解.【解答】圆的周长：2×3.14×3＝18.84（厘米），圆的面积：（平方厘米），长方形的长：28.26÷3＝9.42（厘米），长方形的周长：（9.42＋3）×2＝24.84（厘米），则阴影部分的周长：（厘米）；阴影部分的面积：（平方厘米），答：阴影部分的周长和面积分别是23.55厘米和21.195平方厘米.7.【答题】已知长方形长是8厘米，求下图中阴影部分的面积.【答案】阴影部分的面积是6.88平方厘米.【分析】由题意可知：长方形的长为8厘米，长方形的宽为8÷2＝4厘米，阴影部分的面积等于长方形的面积减去以长方形的宽为半径的半圆的面积，据此解答即可.【解答】8÷2＝4（厘米），（平方厘米），答：阴影部分的面积是6.88平方厘米.8.【答题】在一个长是4厘米，宽是2厘米的长方形中，画出一个最大的圆，并求出这个圆的面积.【答案】最大圆的面积是3.14平方厘米.【分析】根据所给条件长方形内最大圆的直径为2厘米，所有最大圆的半径为2÷2＝1厘米，利用圆的面积公式求出这个圆的面积.【解答】最大圆的直径为2厘米，这个圆的面积是：（平方厘米）；答：最大圆的面积是3.14平方厘米.9.【答题】求下图阴影部分的面积.（单位：米，π取3.14）【答案】阴影部分的面积是343平方米.【分析】根据“长方形面积－半圆面积＝阴影面积”，代入数值求解即可.【解答】20÷2＝10（米），（平方米），答：图中阴影部分的面积是343平方米.10.【答题】计算阴影图形的面积.（单位：厘米）【答案】阴影图形的面积是13.5平方厘米.【分析】连结AC，观察图形可知，阴影图形的面积＝梯形ACDE的面积，根据梯形的面积公式：，代入数据计算即可求解.【解答】连接AC，6－3＝3（厘米），（平方厘米），答：阴影图形的面积是13.5平方厘米.11.【答题】圆的半径是4厘米，阴影部分的面积是14π平方厘米，求图中三角形的面积.【答案】图中三角形的面积是8平方厘米.【分析】本题考点三角形的周长和面积；圆、圆环的面积.利用圆和扇形的面积求出三角形是等腰直角三角形，是解答本题的关键.由题意可知：圆的面积为，阴影部分的面积为，又因圆的面积－阴影部分的面积＝空白小扇形的面积，代入数据即可求出小扇形的圆心角的度数，从而就可以得知，这个三角形为等腰三角形，利用三角形的面积公式即可求解.【解答】圆的面积是，空白小扇形的面积是，设∠O的度数是n°，，n＝45°，所以这个三角形是等腰直角三角形，面积是4×4÷2＝8（平方厘米），答：三角形的面积是8平方厘米.12.【答题】求图中阴影部分的面积（单位：厘米）【答案】阴影部分的面积是48平方厘米.【分析】如图所示，将阴影①平移到空白②的位置，则阴影部分的面积就等于梯形的面积，利用梯形的面积公式即可求解.【解答】（6＋10）×6÷2＝48（平方厘米），答：阴影部分的面积是48平方厘米.13.【答题】计算图形中阴影部分的面积.【答案】阴影部分的面积13.76.【分析】观察图形可知，阴影部分的面积等于边长为8cm的正方形的面积减去一个直径为8cm的圆的面积，依据正方形和圆的面积公式即可解决.【解答】；答：阴影部分的面积是13.76. 14.【答题】如图长方形的周长是24厘米，求阴影部分的面积.【答案】阴影部分的面积是6.88平方厘米.【分析】（1）观察图形可得，阴影部分的面积＝长方形的面积﹣两个圆的面积；由此只要求出长方形的长与宽和圆的半径即可解答；（2）长方形的长是宽的2倍，根据长方形的周长是24厘米，可以求得它的宽为24÷6＝4厘米，则长就是4×2＝8厘米，根据长方形内最大圆的特点可得，两个圆的直径就是4厘米.【解答】长方形的宽为：24÷6＝4（厘米），则长方形长为：4×2＝8（厘米），所以阴影部分的面积是（平方厘米），答：阴影部分的面积是6.88平方厘米.15.【答题】求阴影部分的面积和周长【答案】阴影部分的周长是41.68厘米，面积是18.84平方厘米.【分析】根据图示可知，阴影部分的周长等于大半圆的弧长加小半圆的弧长再加两个环宽即可；阴影部分的面积等于大半圆的面积减去小半圆的面积即可得到答案.【解答】阴影部分的周长3.14×4＋3.14×（2＋4＋2）＋2×2＝41.68（厘米），阴影部分的面积：（2＋4＋2）÷2＝4（厘米），（平方厘米），答：阴影部分的周长是41.68厘米，面积是18.84平方厘米.16.【答题】笑笑绕着圆形花坛边缘走一圈，刚好走了62.8米.这个花坛的面积是多少平方米？（π取3.14）【答案】花坛面积是314平方米.【分析】由“圆的周长＝2πr”可得“r＝圆的周长÷2π”，于是可以求出花坛的半径，进而利用圆的面积公式即可求出花坛的面积.【解答】花坛的半径：62.8÷（2×3.14）＝10（米），花坛的面积：（平方米），答：花坛面积是314平方米.17.【答题】下图中长方形面积是40平方厘米，请你求出其他几个图形的面积.【答案】三角形的面积是40平方厘米，平行四边形的面积是32平方厘米，圆的面积是50.24平方厘米.【分析】因为平行线间的距离处处相等，所以“正方形的边长＝三角形的高＝平行四边形的高＝圆的直径”，由此解答.【解答】长方形的长：40÷5＝8（厘米），三角形的面积：10×8÷2＝40（平方厘米），平行四边形的面积：4×8＝32（平方厘米），圆的面积：（平方厘米），答：三角形的面积是40平方厘米，平行四边形的面积是32平方厘米，圆的面积是50.24平方厘米.18.【答题】圆的半径是10厘米，那么圆的面积是______平方厘米.【答案】314【分析】圆的面积，由此代入数据即可解答.【解答】（平方厘米），答：圆的面积是314平方厘米.19.【答题】半径是3厘米时，直径是______厘米，面积是______平方厘米.【答案】6,28.26【分析】根据直径公式，面积公式，即可求出圆的直径与面积.【解答】3×2＝6（厘米），（平方厘米），答：它的直径是6厘米，面积是28.26平方厘米.20.【答题】时钟的分针长6厘米，它的尖端走一圈是______厘米，其中扫过的面积是______平方厘米.【答案】37.68,113.04【分析】分针一小时正好走一圈，针尖走过的路线正好画成了一个圆，求尖端走了一圈的长度，实际是求半径是6厘米的圆的周长是多少，它走一圈扫过的面积就是半径为6厘米的圆的面积，可利用圆的周长公式、圆的面积公式解答即可.【解答】2×3.14×6＝37.68（厘米），（平方厘米），它的尖端走一圈是37.68厘米，其中扫过的面积是113.04平方厘米.。