2020届云南师范大学附属中学高三适应性月考卷(三)数学文科试题

2020年云南师大附中高考数学模拟试卷(文科)(3月份)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 集合A ={x|−5<x <2}，B ={x|−3<x <3}，则A ∩B =( )A. {x|−3<x <2}B. {x|−5<x <2}C. {x|−3<x <3}D. {x|−5<x <3} 2. |1+2i 2−i|=( ) A. 35 B. 1 C. 53 D. 23. 随着我国经济实力的不断提升，居民收入也在不断增加.抽样发现重庆市某家庭2019年的总收入与2015年的总收入相比增加了一倍，实现翻番.同时该家庭的消费结构也随之发生了变化，现统计了该家庭这两年不同品类的消费额占全年总收入的比例，得到了如下的折线图，则下列结论中正确的是( )A. 该家庭2019年食品消费额是2015年食品消费额的一半B. 该家庭2019年教育医疗消费额与2015年教育医疗消费额相当C. 该家庭2019年休闲娱乐消费额是2015年休闲娱乐消费额的六倍D. 该家庭2019年生活用品消费额与2015年生活用品消费额相当4. 若变量x ，y 满足约束条件{x +2y ≤2x +y ≥0x ≤4，则z =2x +3y 的最大值为( )A. 2B. 5C. 8D. 105. 若函数f(x)={e x −1,x ≤1,5−x 2,x >1,则f(f(2))=( ) A. 1 B. 4 C. 0 D. 5−e 26. 设数列{a n }是公差不为零的等差数列，且a 1，a 3，a 7构成等比数列，则公比q 为( )A. √2B. 4C. 2D. 127.数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图，是源于其思想的一个程序框图.若输入的a,b分别为8、2，则输出的n=()A. 2B. 3C. 5D. 48.函数y=2sin2x的图象可看成是由y=sinx的图象按下列哪种变换得到的？()A. 横坐标不变，纵坐标变为原来的12倍B. 纵坐标变为原来的2倍，横坐标变为原来的12倍C. 横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍D. 纵坐标变为原来的12倍，横坐标变为原来的2倍9.已知双曲线C：x216−y29=1的左焦点为F，右顶点为A，M是双曲线C的渐近线上的一点且在第一象限内，若△FAM的面积为27，则点M的坐标为()A. (92,6) B. (8,6) C. (9,274) D. (8116,274)10.如果底面是菱形的直棱柱(侧棱柱与底面垂直的棱柱)ABCD−A1B1C1D1的所有棱长都相等，∠ABC=60°，E，M，N分别为AB，BC，CC1的中点，现有下列四个结论：①CE⊥平面CC1D1D②A1B//MN③AD1//平面A1MN④异面直线A1D与MN所成的角为60°，其中正确结论的个数为()A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11.已知3a=2，那么log38−2log36用a表示是()A. a−2B. 5a−2C. 3a−(1+a)2D. 3a−a212.已知F1,F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF2|>|PF1|，椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，若|PF1|=|F1F2|，则3e1+e23的最小值为()A. 6+2√3B. 6+2√2C. 8D. 6二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.碗里有花生馅汤圆2个、豆沙馅汤圆3个、芝麻馅汤圆4个，从中随机舀取一个品尝，不是豆沙馅的概率为______．14.已知a⃗=(2,0)，b⃗ =(1,1)，若(λb⃗ −a⃗ )⊥a⃗，则λ=______ ．15.已知底面半径为r，高为4r的圆柱的侧面积等于半径为R的球的表面积，则Rr=______．16.数列{a n}中，a1=1，前n项和S n=n2a n，则a3=______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.对50名学生的某学科考试分数进行统计，得到如下的频率分布直方图．(1)根据频率分布直方图上的数据求t的值；(2)估计这50名学生成绩的中位数(结果保留整数)；(3)估计这50名学生成绩的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)．18.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB=BC=CD=DA=2，PA=1，∠BAD=120°，E为BC的中点．(1)求证：AE⊥平面PAD；(2)若F为CD的中点，求点D到平面PEF的距离．19.在△ABC中，a=2，b=4，C=60°．(1)求边c及面积S．(2)求sinA+cosB的值．20.已知抛物线E:x2=2y的焦点为F，A, B是E上两点，且|AF|+|BF|=m．(1)若m=4，求线段AB中点M到x轴的距离；(2)若线段AB的垂直平分线与y轴仅有一个公共点C(0,2)，求m的值．21.已知函数f(x)=e x(x2+x+a)在(0,f(0))处的切线与直线2x−y−3=0平行，其中a∈R．(1)求a的值；(2)求函数f(x)在区间[−2,2]上的最值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=−1+2cosφy=2sinφ(其中φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为ρ=√2sin (θ+π4)，设l1与C相交于A，B两点，AB的中点为M，过点M作l1的垂线l2交C于P，Q两点．(1)写出曲线C的普通方程与直线l1的直角坐标方程；(2)求|PQ||MP|⋅|MQ|的值．23.已知函数f(x)=|x+1|−|x−1|．(1)求不等式f(x)≤1的解集A；(2)设a为集合A中最大的元素，若正数x，y满足1x +2y=4a，证明：4xy+x+12y⩾4．【答案与解析】1.答案：A解析：本题主要考查了集合交集及其运算问题，属于基础题；直接利用交集运算法则即可求解．解：因为集合A={x|−5<x<2}，B={x|−3<x<3}，所以A∩B={x|−3<x<2}；故选A．2.答案：B解析：解：因为1+2i2−i =(1+2i)(2+i)(2−i)(2+i)=i，所以|1+2i2−i|=1，故选：B．化简代数式，根据复数模的定义，求出复数的模即可．本题考查了复数的化简问题，考查复数求模，是一道基础题．3.答案：C解析：【试题解析】本题考查图表，进行推理，属于基础题．根据题意可设出年收入，然后求出所有金额，进行比较．解：因为某家庭2019年全年的收入与2015年全年的收入相比增加了一倍，设2015年全年的收入为A，2019年全年的收入为2A．由图可知，该家庭2019年食品的消费额0.2×2A=0.4A，2015年食品的消费额为0.4×A=0.4A，相等，A错；由图可知，该家庭2019年教育医疗的消费额0.2×2A=0.4A，2015年教育医疗的消费额为0.3×A=0.3A ，0.4A 0.3A =43，B 错；由图可知，该家庭2019年休闲旅游的消费额0.3×2A =0.6A ，2015年休闲旅游的消费额为0.1×A =0.1A ，0.6A 0.1A =6，C 对；由图可知，该家庭2019年生活用品的消费额0.15×2A =0.3A ，2015年生活用品的消费额为0.15×A =0.15A ，不相等，D 错；故选：C ．4.答案：B解析：解：作出不等式对应的平面区域(阴影部分)，由z =2x +3y ，得y =−23x +z 3，平移直线y =−23x +z 3，由图象可知当直线y =−23x +z 3经过点B 时，直线y =−23x +z 3的截距最大，此时z 最大．由{x =4x +2y =2，解得{x =4y =−1， 即B(4,−1)．此时z 的最大值为z =2×4+3×(−1)=8−3=5，故选：B ．作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值． 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法． 5.答案：A解析：本题考查分段函数，属于基础题．根据所给函数解析式，先求f(2)，再求f(f(2))．解：∵f(x)={e x−1,x ≤15−x 2,x >1， 则f(2)=5−22=1，所以f(f(2))=f(1)=e 0=1．故选A．6.答案：C解析：本题考查等差数列的通项公式及等比数列性质的应用，属于基础题目.因为a1，a3，a7构成等比数列，所以a32=a1a7，得a1=2d，从而可解得q．解：设数列{a n}是公差为d，因为a1，a3，a7构成等比数列，所以a32=a1a7，所以(a1+2d)2=a1(a1+6d)，所以a1=2d，公比q=a3a1=a1+2da1=2．故选C．7.答案：C解析：本题主要考查了程序框图的应用，模拟程序，一直循环到满足a≤b为止．解：由已知第一次循环a=8+82=12,b=4，不满足a≤b，继续循环此时n=2，第二次循环a=18,b=8，不满足a≤b，继续循环此时n=3，第三次循环a=27,b=16，不满足a≤b，继续循环此时n=4，第四次循环a=812,b=32，不满足a≤b，继续循环此时n=5，第五次循环a=2434,b=64，满足a≤b，退出循环，此时输出n=5．故选C．8.答案：B解析：解：y=sinx的图象纵坐标变为原来的2倍，得到的函数解析式为y=2sinx；再将横坐标变为原来的12倍，得到的函数解析式为：y=2sin2x．故选：B．由函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律即可得解．本题主要考查了函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于基础题．9.答案：B解析：本题主要考查双曲线的性质，属于基础题．根据题意求得A(4,0),F(−5,0)，点M在y=34x的第一象限部分的图象上，设M(x0,34x0)(x0>0)，根据条件即可得到27x08=27，即可求解．解：根据题意可知，c2=16+9=25，则A(4,0),F(−5,0)，点M在y=34x的第一象限部分的图象上，设M(x0,34x0)(x0>0)，则S△FAM=12·|AF|·3x04=12×9×3x04=27x08=27，解得x0=8，故M点坐标为(8,6)．故选B．10.答案：B解析：解：①∵ABCD为菱形，∠ABC=60°，∴△ABC为正三角形，又E为AB的中点，所以CE⊥AB，所以CE⊥CD，又因为侧棱柱与底面垂直，所以CE⊥CC1，所以CE⊥平面CC1D1D，故①正确；②取C1D2的中点G，连NG，CD1，∵A1B//D1C//NG，所以A1B与MN是异面直线，故②错误；③∵AD1//BC1//MN，所以AD1//平面A1MN，故③正确；④由③知，异面直线A1D与MN所成的角等于A1D与AD1所成的锐角或直角，而侧面都是正方形，所以所成角为90°，故④不正确．故选：B．根据线面垂直的判断定离可得①正确；根据A1B//NG可得A1B与MN是异面直线，故②错误；根据③∵AD1//BC1//MN可得AD1//平面A1MN，故③正确；根据异面直线A1D与MN所成的角等于A1D 与AD1所成的锐角或直角，而侧面都是正方形，故④不正确．本题考查了命题真假的判断与应用，属中档题．11.答案：A解析：本题考查了对数函数的性质，考查了导数的运算，是一道基础题．先表示出a=log32，结合对数的运算性质，从而得到答案．解：∵3a=2，∴a=log32，∴log38−2log36=3log32−2(log32+1)=3a−2(a+1)=a−2，故选A．12.答案：C解析：本题考查椭圆和双曲线的定义和简单性质，以及基本不等式求最值，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．由题意可知：|PF1|=|F1F2|=2c，设椭圆的方程为x2a12+y2b12=1(a1>b1>0)，双曲线的方程为x2a22−y22 b22=1(a2>0,b2>0)，利用椭圆、双曲线的定义及离心率公式可得3e1+e23的表达式，通过基本不等式即得结论．解：由题意可知：|PF 1|=|F 1F 2|=2c ，设椭圆的方程为x 2a 12+y 2b 12=1(a 1>b 1>0)， 双曲线的方程为x 2a 22−y 22b 22=1(a 2>0,b 2>0)， 又∵|F 1P|+|F 2P|=2a 1，|PF 2|−|F 1P|=2a 2，∴|F 2P|+2c =2a 1，|F 2P|−2c =2a 2，两式相减，可得：a 1−a 2=2c ，则e 23+3e 1=c 3a 2+3a 1c =9a 1a 2+c 23ca 2=9a 2(a 2+2c)+c 23ca 2=13(9a 2c +ca 2+18) ≥13⋅(2√9a 2c⋅c a 2+18)=8． 当且仅当9a 2c =c a 2，即有e 2=3时等号成立， 则3e 1+e 23的最小值为8， 故选：C ．13.答案：23解析：本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．基本事件总数n =9，不是豆沙馅包含的基本事件个数n =6，由此能求出不是豆沙馅的概率． 解：碗里有花生馅汤圆2个、豆沙馅汤圆3个、芝麻馅汤圆4个，从中随机舀取一个品尝，基本事件总数n =9，不是豆沙馅包含的基本事件个数n =6，∴不是豆沙馅的概率为p =69=23．故答案为：23． 14.答案：2解析：解：a ⃗ =(2,0)，b ⃗ =(1,1)，λb ⃗ −a ⃗ =(λ−2,λ)，∵(λb ⃗ −a ⃗ )⊥a ⃗ ，∴(λb ⃗ −a ⃗ )⋅a ⃗ =0，即2(λ−2)=0，∴λ=2．故答案为：2．利用已知条件求出λb⃗ −a⃗，利用向量的垂直，求出λ即可．本题考查向量的垂直条件的应用，基本知识的考查．15.答案：√2解析：解：设球的半径为R，则球的表面积S球=4πR2因为底面半径为r，高为4r的圆柱的侧面积等于半径为R的球的表面积，所以8πr2=4πR2；所以Rr=√2．故答案为√2．利用底面半径为r，高为4r的圆柱的侧面积等于半径为R的球的表面积，建立方程，即可得出结论．本题考查球的表面积公式与圆柱的侧面积公式，根据公式求出球和圆柱的面积是解答本题的关键．16.答案：16解析：该题考查由数列递推式求数列的项，考查学生的运算能力，由已知得到递推式是解题关键．由S n=n2a n，得S n−1=(n−1)2a n−1，两式相减可得递推式，由递推式可求a2，a3．解：由S n=n2a n ①，得S n−1=(n−1)2a n−1 ②，①−②得a n=n2a n−(n−1)2a n−1，即a n=n−1n+1a n−1(n≥2)，又a1=1，∴a2=13a1=13，a3=24a2=16，故答案为：16．17.答案：解：(1)由频率分布直方图，得：(t+3t+6t+8t+4t+3t)×10=1，即250t=1，解得：t=0.004;(2)设中位数为x ，则(t +3t +6t)×10+8t(x −70)=12×250t ． 解得：x =73.125≈73． 即中位数为73 ;(3)各组人数依次是2、6、12、16、8、6，平均数：(45×2+55×6+65×12+75×16+85×8+95×6)÷50=73．解析：(1)由频率分布直方图，能求出t 的值;(2)设中位数为x ，则(t +3t +6t)×10+8t(x −70)=12×250t.由此能求出中位数;(3)各组人数依次是2、6、12、16、8、6，由此能求出平均数．本题考查频率分布直方图的应用，考查实数值、中位数、平均数的求法，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．18.答案：证明：(1)∵在四棱锥P −ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ， AB =BC =CD =DA =2，PA =1，∠BAD =120°，E 为BC 的中点．∴AE ⊥PA ，AE ⊥AD ，∵PA ∩AD =A ，∴AE ⊥平面PAD ．解：(2)以A 为原点，AE 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，F 为CD 的中点，D(0,2，0)，P(0,0，1)，E(√3,0，0)，C(√3,1，0)，F(√32,32,0)， PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，−1)，PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√3,0，−1)，PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,32,−1)， 设平面PEF 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅PE ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3x −z =0n ⃗ ⋅PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =√32x +32y −z =0，取x =1，得n ⃗ =(1,√33,√3)， ∴点D 到平面PEF 的距离：d =|PD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=√33√133=√1313．解析：(1)推导出AE ⊥PA ，AE ⊥AD ，由此能证明AE ⊥平面PAD ．(2)以A 为原点，AE 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点D 到平面PEF 的距离．本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．19.答案：解：(1)在△ABC 中，由余弦定理可得：c 2=22+42−2×2×4×cos60°=12，解得c =2√3， 则S =12×2×4×sin60°=2√3．(2)在△ABC 中，由正弦定理可得：2sinA =4sinB =2√3sin60°， ∴sinA =12，sinB =1， ∴A =30°，B =90°．sinA +cosB =12+0=12．解析：本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．(1)由余弦定理可得：c ，再利用面积计算公式可得S ．(2)由正弦定理可得：2sinA =4sinB =2√3sin60°，解得sin A ，sin B ，即可得出． 20.答案：解：(Ⅰ)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由抛物线定义可知：F 点坐标为(0,12)，|AF|+|BF|=y 1+y 2+p ， 则y 1+y 2+p =4⇒2y M =3⇒y M =32．即线段AB 中点M 到x 轴的距离为32．(2)设l AB :y =kx +n(显然斜率存在，k ≠0)，联立{y =kx +n x 2=2y⇒x 2−2kx −2n =0, 所以x 1+x 2=2k ，得M (k, k 2+n )，又y1+y2+1=m⇒kx1+kx2+2n+1=m，得：2k2+2n+1=m(∗)，又k MC=−1k ⇒k2+n−2k=−1k⇒k2=1−n，代入(∗)式，得：m=3．解析：本题主要考查了抛物线的概念，及标准方程，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．(1)设出A，B两点坐标，由抛物线的定义得y1+y2+p=4，求出M点的纵坐标，即可．(2)设出直线AB的方程，联立直线与抛物线方程得出x1+x2，表示出M点坐标，再由y1+y2+1=m，得到2k2+2n+1=m，再由MC的斜率得出k2=1−n，两式联立求出m．21.答案：解：(1)f′(x)=e x(x2+3x+a+1)，故f′(0)=a+1，而切线的斜率是2，故a+1=2，解得：a=1．(2)由(1)得f(x)=e x(x2+x+1)，f′(x)=e x(x+1)(x+2)，令f′(x)>0，解得：x>−1或x<−2，令f′(x)<0，解得：−2<x<−1，故函数f(x)在[−2,−1)递减，在(−1,2]递增，而f(−2)=3e2，f(−1)=1e，f(2)=7e2，故f(x)在[−2,2]的最小值是1e，最大值是7e2．解析：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及切线的意义，是一道中档题．(1)求出函数的导数，计算f′(0)=2，求出a的值即可；(2)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可．22.答案：解：(1)由曲线C的参数方程{x=−1+2cosφy=2sinφ，消去参数φ，得曲线C的普通方程为(x+1)2+y2=4．由曲线l 1的极坐标方程ρ=√2sin (θ+π4)，得ρsin θ+ρcos θ=1， 将x =ρcos θ，y =ρsin θ代入，得l 1的直角坐标方程为x +y −1=0；(2)由l 1⊥l 2，得直线l 2的斜率k l 2=−1k l 1=1，所以l 2的倾斜角为π4， 又l 2过圆心(−1,0)，所以l 2的方程为y =x +1，与x +y −1=0联立，得AB 的中点M(0,1)， 故l 2的参数方程为{x =tcos π4y =1+tsin π4,(t 为参数)， 即{x =√22t y =1+√22t ,(t 为参数)， 代入(x +1)2+y 2=4中，化简、整理得t 2+2√2t −2=0，设P ，Q 对应的参数分别为t 1，t 2，则由韦达定理得t 1·t 2=−2，又线段PQ 为圆的直径，所以|PQ|=4，所以|PQ||MP|⋅|MQ|=4|−2|=2．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．(2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.答案：解：(1)f(x)=|x +1|−|x −1|={−2,x <−1,2x,−1≤x ≤1.2,x >1,解不等式f(x)≤1，即{x <−1,−2≤1,或{−1≤x ≤1,2x ≤1,或{x >1,2≤1,解得x ≤12．即不等式f(x)≤1的解集A =(−∞,12]．(2)由题可知a =12，则1x +2y =2，即2xy =2x +y ，则有xy =x +12y ．所以4xy +x +12y =4xy +xy ≥2√4=4，当且仅当x =1，y =2时等号成立，所以4xy +x+12y≥4．解析：本题主要看考查了绝对值不等式的解法及基本不等式的应用，属于中档题．(1)化为分段函数，解不等式组即可；(2)由(1)知1x +2y=2，从而有xy=x+12y，然后利用基本不等式可证．。

2025届云南师范大学附属中学高三第三次测评数学试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知半径为2的球内有一个内接圆柱，若圆柱的高为2，则球的体积与圆柱的体积的比为（ ） A ．43B ．916C ．34D ．1692．将函数22cos 128x y π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图像向左平移()0m m >个单位长度后，得到的图像关于坐标原点对称，则m 的最小值为（ ） A ．3π B ．4π C ．2π D ．π3．设变量,x y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是（ ）A ．7B ．5C ．3D ．24．一袋中装有5个红球和3个黑球（除颜色外无区别），任取3球，记其中黑球数为X ，则()E X 为（ ）A ．98B ．78C ．12D ．62565．某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ）A ．8B ．83C ．4D ．436．若双曲线E ：22221x y a b-=（0,0a b >>）的一个焦点为(3,0)F ，过F 点的直线l 与双曲线E 交于A 、B 两点，且AB 的中点为()3,6P --，则E 的方程为（ ）A ．22154x y -=B ．22145x y -=C ．22163x y -=D ．22136x y -=7．已知曲线cos(2)||2C y x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭：的一条对称轴方程为3x π=，曲线C 向左平移(0)θθ>个单位长度，得到曲线E 的一个对称中心的坐标为,04π⎛⎫⎪⎝⎭，则θ的最小值是（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．12π8．阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家，他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说，他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论，要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，表面积为54π的圆柱的底面直径与高都等于球的直径，则该球的体积为 （ ）A ．4πB ．16πC ．36πD ．643π9．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的-一个公共点，且1223F PF π∠=，设椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则12,e e 的关系为（ ）A ．2212314e e += B ．221241433e e += C ．2212134e e += D ．221234e e +=10．若0,0x y >>，则“222x y xy +=”的一个充分不必要条件是 A ．x y = B ．2x y = C ．2x =且1y =D ．x y =或1y =11．已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，且134,,a a a 成等比数列.若{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 的最小值为（ ） A ．–10B ．14-C ．–18D ．–20 12．用数学归纳法证明，则当时，左端应在的基础上加上（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023届云南师范大学附属中学高三上学期适应性月考卷（三）数学试卷注意事项:1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 复数13i2iz -=+的虚部为 A. 75-B. 7i 5-C. 73-D. 7i 3-2. 设集合{}2{326},log 2A x m x m B x x =-<<+=<∣∣, 若A B A =U , 则实数m 的取值范围是 A. ∅B. [3,1]--C. (1,3)-D. [1,3]-3. 已知()f x 为幂函数, 且1(8)4f =, 则(4)f = A. 12D.1164. 已知某地区成年女性身高X (单位:cm)近似服从正态分布()2160,N σ, 且(158160)0.2P X <=…, 则随机抽取该地区 1000 名成年女性, 其中身高不超过162cm 的人数大约为 A. 200B. 400C. 600D. 7005. 已知{}n a 为等差数列, n S 为{}n a 的前n 项和. 若10370,0S a a <+>, 则当n S 取最大值时,n 的值为 A. 3B. 4C. 5D. 66. 设抛物线24x y =的焦点为F , 若222:(4)(0)M x y r r +-=>e 与抛物线有四个不同的交点, 记y 轴同侧的两个交点为, A B , 则||||FA FB ⋅的取值范围是 A. (0,4)B. (5,9)C. (0,9)D. (4,9)7. 在()522x x +-的展开式中, 含4x 的项的系数为A. -120B. -40C. -30D. 2008. 张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家, 他曾在数学著作《算罔论》中得出结论：圆周率的平方除以十六约等于八分之五. 已知在菱形ABCD 中,AB BD ==将ABD V 沿BD 进行翻折, 使得AC =. 按张衡的结论, 三棱锥A BCD -外接球的表面积约为A. 72B.C.D. 二、不定项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分,选对但不全的得2分，有选错的得0分)9. 炎炎夏日，许多城市发出高温预警，凉爽的昆明成为众多游客旅游的热门选择，为了解来昆明旅游的游客旅行方式与年龄是否有关，随机调查了100 名游客，得到如下22⨯列联表.零假设为0H :旅行方式与年龄没有关联，根据列联表中的数据，经计算得2 4.087χ≈,则下列说附: 22()()()()()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++.A. 在选择自由行的游客中随机抽取一名, 其小于 40 岁的概率为1950B. 在选择自由行的游客中按年龄分层抽样抽取 6 人, 再从中随机选取 2 人做进一步的访谈,则 2 人中至少有 1 人不小于 40 岁的概率为35C. 根据0.01α=的独立性检验, 推断旅行方式与年龄没有关联, 且犯错误概率不超过0.01D. 根据0.05α=的独立性检验, 推断旅行方式与年龄有关联, 且犯错误概率不超过0.05 10. 已知222212:220,:2410O x y mx y O x y x my +-+=+--+=e e . 则下列说法中, 正确的有A. 若(1,1)-在1O e 内, 则0m …B. 当1m =时, 1O e 与2O e 共有两条公切线C. 若1O e 与2O e 存在公共弦, 则公共弦所在直线过定点11,36⎛⎫⎪⎝⎭D. m ∃∈R , 使得1O e 与2O e 公共弦的斜率为1211. 函数())0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图 1 所示,则下列说法中, 正确的有 A. ()f x 的最小正周期T 为π B. ()f x 向左平移38π个单位后得到的新函数是偶函数 C. 若方程()1f x =在(0,)m 上共有 6 个根, 则这 6 个根的和为338πD. 5()0,4f x x π⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭图象上的动点M 到直线240x y -+=的距离最小时, M 的横坐标为4π12. 公元前 300 年前后, 欧几里得撰写的《几何原本》是最早有关黄金分割的论著, 书中描述: 把一条线段分割为两部分, 使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值, 则这个比值即为“黄金分割比”, 把离心率为 “黄金分割比” 倒数的双曲线叫做 “黄金双曲线”. 黄金双曲线 2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的一个顶点为A , 与A 不在y 轴同侧的焦点为,F Γ的一个虚轴端点为.B PQ 为双曲线任意一条不过原点且斜率存在的弦, M 为PQ 中点. 设双曲线Γ的离心率为e , 则下列说法中, 正确的有A. 12e =B. 2||||||OA OF OB =C. OM PQ k k e ⋅=D. 若OP OQ ⊥, 则2211||||e OP OQ +=恒成立三、填空题 (本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分)13. 已知(2,9),(1,0)a b ==-r r, 则a r 在b r 上的投影向量为_____. (用坐标表示) 14. ()ln f x x x =在1x =处的切线方程为_____.15. 各数位数字之和等于 8 (数字可以重复) 的四位数个数为_____.16. 已知非零实数,x y 满足222x yxy x y y x++=-, 则22x y +的最小值为_____. 四、解答题 (共 70 分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 10 分)还原糖不达标会影响糖果本身的风味, 同时还原糖偏高又会使糖果吸潮, 易使糖果变质, 不耐贮存, 影响糖果的质量. 还原糖主要有葡萄糖、果糖、半乳糖、乳糖、麦芽糖等. 现采用碘量法测定还原糖含量, 用0.05mol /L 硫代硫酸钠滴定标准葡萄糖溶液, 记录耗用硫代硫酸钠的体积数(mL), 试验结果见下表.附：回归方程ˆˆˆybx a =+中,()()()1122211ˆˆˆ,nny iii ii i nni ii i x x y x y nxybay bx x x xnx -====--===---∑∑∑∑. (1) 由如图 2 散点图可知,y 与x 有较强的线性相关性, 试求y 关于x的线性回归方程; (2) 某工厂抽取产品样本进行检测, 所用的硫代硫酸钠溶液大约为2.90mL , 则该样本中所含的还原糖大约相当于多少体积的标准葡萄糖溶液?18. (本小题满分 12 分)在ABC V 中, 角,,A B C 成等差数列, 角,,A B C 所对的边分别为,,a b c . (1) 若2A C π-=, 求:a c 的值;(2) 若a ab b a b c+=++, 判断ABC V 的形状.19. (本小题满分 12 分)某运动员多次对目标进行射击, 他第一次射击击中目标的概率为35. 由于受心理因素的影响,每次击中目标的概率会受前一次是否击中目标而改变, 若前一次击中目标, 下一次击中目标的概率为34; 若第一次末击中目标, 则下一次击中目标的概率为12.(1) 记该运动员第n 次击中目标的概率为n P , 证明: 23n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列,并求出 {}n P 的通项公式;(2) 若该运动员每击中一次得 2 分, 未击中不得分, 总共射击 2 次, 求他总得分X 的分布列与数学期望.20. (本小题满分 12 分)如图 3, 在三棱锥D ABC -中, 二面角D AB C --是直二面角,AB BD ⊥, 且,AB BD AC BC ==, P 为CD 上一点, 且BP ⊥平面ACD .,E F 分别为棱,DA DC 上的动点, 且DE DFDA DCλ==.(1) 证明: AC BC ⊥;(2) 若平面EFB 与平面ABC , 求λ的值.21. (本小题满分 12 分)在平面直角坐标系xOy 中, 设点11,0,,033P Q ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 点G 与,P Q 两点的距离之和为4,3N 为一动点, 点N 满足向量关系式:0GN GP GQ ++=u u u r u u u r u u u r r.(1) 求点N 的轨迹方程C ;(2) 设C 与x 轴交于点,A B (A 在B 的左侧), 点M 为C 上一动点 (且不与,A B 重合). 设直线,AM x 轴与直线4x =分别交于点,R S , 取(1,0)E , 连接ER , 证明: ER 为MES ∠的角平分线.22. (本小题满分 12 分) 设()e 21x f x a x =--, 其中a ∈R . (1) 讨论()f x 的单调性;(2) 令5()e ()(0)4x F x f x a a=+≠, 若()0F x …在R 上恒成立, 求a 的最小值.数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）二、不定项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）解：（1）∵1(24681012)76x =+++++=，624.84y =，24.844.146y ==， 61217.28i ii x y==∑，621364i i x ==∑，∴1221666217.2824.84743.4ˆ0.62364649706i ii ii x yx ybxx ==--⨯====-⨯-∑∑，………………………………（4分）∴ˆˆ 4.140.6270.2ay bx =-=-⨯=-， ∴y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.620.2yx =-．………………………………………（6分） （2）令ˆ0.620.2 2.90yx =-=，解得5x =， ∴则该样本中所含的还原糖大约相当于5mL 的标准葡萄糖溶液.……………………………………………………………………………………（10分）18．（本小题满分12分）解：（1）∵A B C ，，成等差数列，∴2A C B +=，……………………………………………………………………………（1分）又πA C B ++=， ∴π3B =，2π3A C +=， 又π2A C -=， ∴1π2πππ7π2234312A ⎛⎫=+=+=⎪⎝⎭，12πππππ2323412C ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， ………………………………………………………………………………………（3分）∴1ππ7πsin sin 24312:sin :sin πππsin sin 1234a c A C ⎫⎛⎫+⎪+ ⎪⎪⎝⎭======⎛⎫- ⎪⎝⎭⎝⎭2=+5分）（2）由题意可得，22a ab ac ab b ++=+，即22b a ac =+，………………………………………………………………………………………（6分） 由余弦定理结合（1）可得22221cos 2222a cbc ac c a B ac ac a +---====，∴2c a =，…………………………………………………………………………………（8分） ∴由正弦定理可得sin 2sin C A =，又2ππ3A B C C =--=-，∴2πsin 2sin sin 3C C C C ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，…………………………………………（10分） ∴cos 0C =，又(0π)C ∈，， ∴π2C =，ABC △为直角三角形. ……………………………………………………（12分） 19．（本小题满分12分）解：（1）由题意，当*n ∈N 时，13111(1)4224n n n n P P P P +=+-=+g g ， ………………………………………………………………………………………（2分） 则12111234643n n n P P P +⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，………………………………………………………（4分）又121315P -=-， 23n P ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭∴是首项为115-，公比为14的等比数列，12113154n n P -⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g ∴，11121543n n P -⎛⎫⎛⎫=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g ∴(*)n ∈N . ……………………………………………………（6分） （2）记i A 为第i 次射击击中目标，则由题意可得13()5P A =，213(|)4P A A =，211(|)2P A A =， X 可取到的值为024，，，且 12211121(0)()(|)()255P X P A A P A A P A ====⨯=，212121*********(2)()()(|)()(|)()254520P X P A A P A A P A A P A P A A P A ==+=+=⨯+⨯=， 12211339(4)()(|)()4520P X P A A P A A P A ====⨯=， 则X 的分布列为：……………………………………………………………………………………（10分）∴1795()024520202E X =⨯+⨯+⨯=. …………………………………………………（12分） 20．（本小题满分12分）（1）证明：∵平面DAB ⊥平面ABC ，平面ABC I 平面ABD AB =，AB BD ⊥，且BD ⊂平面ABD ， BD ⊥∴平面ABC ，又AC ⊂平面ABC ， ∴BD AC ⊥，又BP ⊥平面ACD ，AC ⊂平面ACD ， ∴BP AC ⊥，且BP BD B =I ，BP BD ⊂，平面BCD ，AC ⊥∴平面BCD ，又BC ⊂平面BCD ，∴AC BC ⊥. ……………………………………………………………………………（4分）（2）解：法一（几何法）：DE DFDA DCλ==∵， EF AC ∥∴，如图3，过点B 作直线l 平行于AC ，则l AC EF ∥∥， 则l 同时在平面EFB 与平面ABC 内，是两平面的交线， 又由（1）AC ⊥平面BCD ，可得AC FB ⊥，AC BC ⊥， ∴BC l ⊥且FB l ⊥，∴由二面角的平面角的定义可得FBC ∠是平面EFB 与平面ABC 所成角，………………………………………………………………………………………（8分） 设2AB BD ==，则BC AC == 过点F 作FM BC ⊥于点M ， 则122FM FCFM BD CDλλ==-⇒=-，且BM DFBM BC DCλ==⇒=，cos FBC ∠=∵，tan FM FBC BM ∠===∴，解得12λ=. ……………………………………………………………………………（12分） 法二（向量法）：如图4，以点C 为原点，分别以CB ，CA ，过点C 且与平面ABC 垂直的直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 设2AB BD ==，则AC BC ==∴(000)C ，，，(00)A，00)B ，，02)D ，，则(2)DA =-u u u r，(02)DC =-u u u r ，，(002)DB =-u u u r，，， ………………………………………………………………………………………（6分） 由DE DFDA DC λ==，可得(2)DE DA λλ==-u u u r u u u r ，，(02)DF DC λλ==-u u u r u u u r，，，图3图4(00)EF DF DE =-=u u u r u u u r u u u r ，，∴，22)EB DB DE λ=-=-u u u r u u u r u u u r ，，，………………………………………………………………………………………（8分） 设1111()n x y z =u u r ，，为平面EFB的法向量，则11110(22)0y x y z λ⎧=⎪+-=，，可得一组解为101n λλ⎫=⎪-⎭u u r ，，……………………………………………………（10分） 取平面ABC 的法向量2(001)n =u u r，，，则121212|||cos |||||n n n n n n λ<>===u u r u u ru u r u u r g uu r u u r ， ， 令01m λλ=>-=，化简得2232m m =+，即1m =，12λ=. ……………………………………………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）（1）解：设点()N x y ，，()G x y ''，，则由点G 与P ，Q 两点的距离之和为42||33PQ ⎛⎫>=⎪⎝⎭， 可得点G 的轨迹是以P ，Q 为焦点且长轴长为43的椭圆，其轨迹方程为229314x y ''+=． 由0GN GP GQ ++=u u u r u u u r u u u r r ，可得33x yx y ''==，，代入点G 的轨迹方程，可得：22931433x y ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22143x y C +=：．…………………………………………………（4分） （第一问也可以利用几何法：由条件可知G 为NPQ △的重心，延长PG ，QG ，必分别交NQ ，NP 的中点（分别设为H ，I ），取1(10)F -，，2(10)F ，，则12||||2||NF NF HP +=+ 12332||2||2||3(||||)4||22IQ GP GQ GP GQ F F ⎛⎫⎛⎫=+=+=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由椭圆定义可得C 的方程．）（2）证明：设点00()M x y ，，则00(1)1y ME y x x =--：，即000(1)0y x x y y ---=， 00(2)2y MA y x x =++：，令4x =，得0062y y x =+，00642y R x ⎛⎫⎪+⎝⎭，∴，……………………………………………（6分） 过R 作直线ME 的垂线，垂足为点T ，则要证ER 为MES ∠的角平分线，只需证||||RT RS =，又||RT ===，006||||||2R y RS y x ==+，………………………………………………………………………（8分） 00y ≠∵，||||RT RS =∴2=，即222000(4)4[(1)]x y x -=+-时，又00()x y ，在C 上，则2200143x y +=，即22004123y x =-， 代入上式可得22200000168123484x x x x x -+=-+-+恒成立，ER ∴为MES ∠的角平分线得证．……………………………………………………（12分）（第（2）问也可利用二倍角公式，证明221REME REk k k =-） 22．（本小题满分12分）解：（1）()e 2x f x a '=-，①当0a ≤时，()0f x '<在R 上恒成立，∴()f x 在R 上单调递减；………………………………………………………………………………………（2分）②当0a >时，()f x '在R 上单调递增，且当()0f x '=时，2ln x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴当2ln x a ⎛⎫⎛⎫∈-∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，时，()0f x '<，()f x 单调递减；当2ln x a ⎛⎫⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，时，()0f x '>，()f x 单调递增.………………………………………………………………………………………（4分）（2）55()e ()e (e 21)044x x x F x f x a x a a=+=--+≤∵，∴若0a >，5(0)11104F a a =-+>≥，与()0F x ≤在R 上恒成立矛盾， ∴0a <，…………………………………………………………………………………（6分）则()e (e 21e 2)e (2e 23)x x x x x F x a x a a x '=--+-=--， 令()2e 23x h x a x =--，则由0a <可知()h x 在R 上单调递减， 又当0x <时，e 1x <，2e 2x a a >，232(23)302a h a a -⎛⎫>---= ⎪⎝⎭∴，又(0)230h a =-<，02302a x -⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，∴，使得000()2e 230x h x a x =--=，………………………………（8分）0023e 02x x a+=>∴， 0a <∵，∴0032302x x +<<-，，且当0()x x ∈-∞，时，()0()0()h x F x F x '>>，，单调递增；当0()x x ∈+∞，时，()0()0()h x F x F x '<<，，单调递减， 0000max 000232355()()e (e 21)214224x x x x F x F x a x a x a a a a++⎛⎫==--+=--+ ⎪⎝⎭∴ 220000011[(23)(42)(23)5](448)044x x x x x a a=+-+++=--+≤， ……………………………………………………………………………………（10分）又0a <，∴2004480x x --+≥，解得033[21]222x ⎛⎫⎡⎫∈--∞-=-- ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭I ，，，， 令23()2e xx m x +=，则22321()2e 2e x x x x m x ----'==在322⎡⎫--⎪⎢⎣⎭，上恒大于0， ()m x ∴在322⎡⎫--⎪⎢⎣⎭，上单调递增，2min21e (2)2e 2a m ---=-==∴．…………………………………………………………（12分）。

云南师大附中高三适应性月考卷
(三)
数学(文)试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分
150分，考试用时120分钟，
参考公式：
样本数据x 1,x 2，…，x n 的标准差锥体体积公式
222121
n s x x x x x x n v ＝1
3Sh
其中x 为样本平均数
其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式
球的表面积，体积公式V ＝Sh S ＝42R ,V ＝3
4
3R 其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径
第Ⅰ卷(选择题，共60分)
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并请认真填涂准考证号．
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用
橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．一、选择题(本大题共12小题，每小题
5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
) 1．设集合|31,,|7,,A x x k k N B x x x Q 则A B 等于(
) A ．{1,3,5}
B ．{l,4,7}
C ．{4,7}
D ．{3，5} 2．在复平面内，复数
311i i 对应的点位于( ) A ．第四象限
B ．第三象限
C ．第二象限
D ．第一象限3．已知(2,),(1,)a
m b m ，若(2a b )⊥b ，则||a ( ) A ．4B ．3C ．2D ．1。

云南省昆明市云南师范大学附属中学2025届高三高考适应性月考卷（三）数学试卷一、单选题1．集合{}2,1,1=+A a a ，{}2B a =，若B A ⊆，则实数a =（ ）A ．1-B ．0C ．12D ．12．已知()0,πα∈，cos α=，则tan α=（ ） A ．3B ．13 C ．13-D ．3-3．在等差数列{}n a 中，63a =，则58913+-=a a a （ ）A ．2B ．3C ．4D ．54．甲､乙､丙､丁､戊共5名同学进行演讲比赛，决出第1名到第5名的名次.已知甲和乙都不是第1名，且丙和丁的名次相邻，则5人的名次排列可能有（ ）种不同的情况. A ．18B ．24C ．36D ．485．已知ln73=a ，ln64=b ，ln55c =，ln 46=d ，则在b a -，c b -，-d c ，-d b ，-d a ，c a -这6个数中最小的是（ ）A ．b a -B ．c b -C ．-d bD ．c a -6．在三棱锥P ABC -中，2AC BC PC ===，且,AC BC PC ⊥⊥平面ABC ，过点P 作截面分别交,AC BC 于点,E F ，且二面角P EF C --的平面角为60o ，则所得截面PEF 的面积最小值为（ ） A ．43B ．83C ．23D ．17．0和1是计算机中最基本的数字，被称为二进制数字．若数列{}n a 满足：所有项均是0或1，当且仅当51n k =±（其中k 为正整数）时，1n a =，其余项为0．则满足12120nin i aa a a ==+++=∑L 的最小的正整数n =（ ）A ．50B ．51C ．52D ．538．已知动点M 在抛物线()2:20E y px p =>上，点,02p N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，O 为坐标原点，若cos OMN ∠=210x y ++=与MNO V 的外接圆相切，则p =（ ） A ．54B ．54或45C ．45或49 D ．2或52二、多选题9．随机变量X ，Y 分别服从正态分布和二项分布，即()~2,1X N ，14,2Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()122P X ≤= B ．()()E X E Y = C ．()()D X D Y = D ．()112P Y ==10．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，球1O 和球2O 的球心1O ，2O 都在线段1AC 上，球1O ，球2O 外切，且球1O ，球2O 都在正方体的内部（球可以与正方体的表面相切），记球1O 和球2O 的半径分别为1r ，2r ，则（ ）A ．11ACBC ⊥B ．当11r =时，2r 1C ．12r r +的最大值是3D ．球1O 和球2O 的表面积之和的最大值是6π11．已知()22,,1=+-n nf x y n x y （1n ≥，n ∈Z ），定义方程(),,0=f x y n 表示的是平面直角坐标系中的“方圆系”曲线，记n S 表示“方圆系”曲线(),,0=f x y n 所围成的面积，则（ ）A ．“方圆系”曲线(),,10=f x y 是单位圆B ．24<SC ．{}n S 是单调递减的数列D ．“方圆系”曲线(),,20=f x y 上任意一点到原点的最大距离为142三、填空题12．已知()1i 24i z +=+，则复数z =．13．已知函数()f x 的定义域是R ，3322f x f x ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()60f x f x +-=，当302x ≤≤时，()242=-f x x x ，则()2024f =．14．如图，四边形ABCD 由ABC V 和ACD V 拼接而成，其中90ACB ∠=︒，90ADC ∠>︒，若AC 与BD 相交于点E ，30ACD ∠=︒，2AD =，AC =且tan BAD ∠=C D E V的面积S =．四、解答题15．已知数列{}n a 的首项11a =，设2n a n b =，且{}n b 的前n 项和n S 满足：132n n S b +=-． (1)求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)令1432n n T a a a -=++⋅⋅⋅+，求证：1211143n T T T ++⋅⋅⋅+<． 16．党的十八大以来，全国各地区各部门持续加大就业优先政策实施力度，促进居民收入增长的各项措施持续发力，居民分享到更多经济社会发展红利，居民收入保持较快增长，收入结构不断优化，随着居民总收入较快增长，全体居民人均可支配收入也在不断提升. 下表为重庆市 2014 2022 年全体居民人均可支配收入，将其绘制成散点图 （如图 1），发现全体居民人均可支配收入与年份具有线性相关关系. （数据来源于重庆市统计局 2023-05-06 发布）.(1)设年份编号为x （2014年的编号为1，2015年的编号为2，依此类推），记全体居民人均可支配收入为y （单位：万元），求经验回归方程ˆˆˆy bx a =+（结果精确到 0.01 ），并根据所求回归方程，预测2023年重庆市全体居民人均可支配收入；(2)为进一步对居民人均可支配收入的结构进行分析，某分析员从2014:2022中任取3年的数据进行分析，将选出的人均可支配收入超过3万的年数记为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望.参考数据：991124.03,133.39i i i i i y x y ====∑∑.参考公式: 对于一组数据 ()()()1122,,,,,,n n u v u v u v L ，其回归直线方程 ˆv=ˆˆu βα+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆˆˆ,niii nii u u v v v u u u βαβ==--==--∑∑. 17．如图，在正四棱台1111ABCD A B C D -中，1124AB A B ==.(1)求证：平面ABCD ⊥平面11ACC A ； (2)若直线1B C 与平面11ACC A1B CC A --的正弦值. 18．已知()()122,0,2,0C C -，动点P 满足1PC 与2PC 的斜率之积为定值14. (1)求动点P 的轨迹Γ的方程；(2)过点()4,0M 的直线l 与曲线Γ交于,A B 两点，且,A B 均在y 轴右侧，过点A作直线:1l x '=的垂线，垂足为D .（i ）求证：直线BD 过定点； （ii ）求MBD V 面积的最小值.19．集合{}222,0,,,a b cA x x a b c a b c ==++≤<<∈N ，将集合A 中的元素按由小到大的顺序排列成数列 a n ，即17a =，211a =，数列 a n 的前n 项和为n S ． (1)求3a ，4a ，5a ；(2)判断672，2024是否是 a n 中的项； (3)求120a ，35S ．。

2020届云南省高三适应性考试数学（文）试题（A 卷）一、单选题1． 若集合A ＝{x |－3<x <3}，B ＝{x |(x ＋4)(x －2)>0}，则A ∩B ＝( ) A ．{x |－3<x <2} B ．{x |2<x <3} C ．{x |－3<x <－2} D ．{x |x <－4或x >－3} 【答案】B【解析】{}{|33|4A B x x x x ⋂=-<<⋂<-或}{}2|23x x x >=<<，故选B ． 2．已知i 为虚数单位，若复数z 满足2(1i)3(1i)z -=++，则复数z 的共轭复数z =（ ） A ．15i 22-+ B ．1522i - C ．15i - D ．15i -+【答案】B【解析】由复数的运算法则计算出z ，即可得出共轭复数. 【详解】2(1i)3(1i)32z i -=++=+，23213235215111222i i i i i zi ii i ， 1522z i ∴=-. 故选：B. 【点睛】本题考查复数的运算及共轭复数的求法，属于基础题. 3．已知0.2log 7a =，90.2b =，ln 25c =，则（ ） A ．c a b << B ．a c b <<C ．b a c <<D ．a b c <<【答案】D【解析】根据对数函数、指数函数的单调性以及借用中间值0，1比较可得结果. 【详解】由题可知：0.20.2log 7log 10=<=a ，9000.20.21<=<=b ， 由ln2ln1>，所以ln 2ln105551=>==c故a b c<<故选：D【点睛】本题考查对数式、指数式之间比较大小，比较大小常用：作差比较法、作商比较法、函数单调性，同时借用特殊值0，1进行比较，属基础题.4．唐狩猎纹高足银杯如图1所示，银杯经锤揲成型，圆唇侈口，直壁深腹，腹下部略收，下承外撇高足．纹样则采用堑刻工艺，鱼子地纹，杯腹上部饰一道凸弦纹，下部阴刻一道弦纹，高足中部有“算盘珠”式节．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示．已知球的半径为R，酒杯内壁表面积为2143Rπ．设酒杯上面部分（圆柱）的体积为1V，下面部分（半球）的体积为2V，则12VV的值是= （）A．1 B．32C．2 D．3【答案】C【解析】设圆柱的高为h，表示出表面积可得43h R=，再分别表示出12,V V即可.【详解】设酒杯上部分圆柱的高为h，则酒杯内壁表面积221144223S R Rh Rπππ=⨯+=，则43h R=，23143V R h Rππ∴==，321423V Rπ=⨯，122VV∴=.故选：C.【点睛】本题考查圆柱、球体积及表面积的公式，需熟记公式，属于基础题.5．执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A ．16B ．32C ．64D ．1024【答案】C 【解析】0111n S ，==⨯=;1122n S ==⨯=，;2248n S ==⨯=，;38864n S ==⨯=，.6．已知实数,x y 满足不等式组2034802x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则目标函数2z x y =-的最大值为（ ） A ．2- B ．2C ．4-D ．4【答案】D【解析】画出可行域，然后作出目标函数的一条等值线20x y -=，通过平移等值线找到目标函数取最大值的最优解，可得结果.【详解】 如图由2z x y =-，令0z =，则目标函数的一条等值线为20x y -=当该等值线经过点()2,0A 时，目标函数有最大值 所以max 2204z =⨯-= 故选：D 【点睛】本题考查线性规划的问题，此种类型的问题，常看几步：（1）画出可行域；（2）根据线性的和非线性的理解z 的含义，然后简单计算，属基础题.7．在ABC 中,点D 在线段BC 上,2BD DC =,若AD AB AC λμ=+(λ,R μ∈),则μλ=（ ） A ．12B ．2C ．13D ．23【答案】B【解析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】∵2212()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+, AD AB AC λμ=+(λ,R μ∈),所以12033AB AC λμ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.又因为AB 与AC 不共线,所以103λ-=且203μ-=,所以13λ=,23μ=,所以2μλ=. 故选：B 【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算,需要将所求的向量表达成所给的基底向量,属于基础题.8．函数2()cos sin(1)31x f x x =⋅-+的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据函数的奇偶性以及取特殊值，对比图像可得结果. 【详解】方法一：由题可知函数()f x 的定义域为R ，因为23113131x x x --=++， 所以()f x -=3113cos()sin()cos sin()()3113x xx xx x f x -----⋅=⋅=-++， 所以函数()f x 为奇函数，故可排除选项A 、B ． 又cos10>，2sin(1)31-=+1sin 02>， 所以1(1)cos1sin02f =⨯>，故排除选项D ．故选C ． 方法二：因为1(1)cos1sin()02f -=⨯-<，1(1)cos1sin 02f =⨯>，所以观察各选项中的图象可知C 符合题意， 故选：C ． 【点睛】本题考查给出解析式判断函数大致图像，对这种问题，常常考虑：函数定义域、奇偶性、单调性、特殊值、最值等，属基础题.9．已知函数()3cos()(0)f x x x ωωω=+π+>的最小正周期为π，则下列说法错误的是（ ）A ．函数()f x 的图象关于点5(,0)12π-对称 B ．函数()f x 的图象关于直线3x π=对称C ．将函数()f x 的图象向右平移12π个单位长度后所得函数的图象关于原点对称D ．函数()f x 在区间5(,)36ππ上单调递减 【答案】C【解析】根据三角恒等变换得()3sin cos 2sin()6f x x x x ωωωπ-=-，再由函数()f x 的最小正周期公式，求得函数()2sin(2)6f x x π=-．运用整体代换法逐一求函数的对称中心，对称轴，图象的平移，以及函数的单调区间判断得选项.【详解】由题可得()cos 2sin()6f x x x x ωωωπ=-=-，因为函数()f x 的最小正周期为π，所以2ππω=，解得2ω=，所以()2sin(2)6f x x π=-．令2()6x k k Z ππ-=∈，解得()212k x k Z ππ=+∈，所以函数()f x 的图象的对称中心为(,0)()212k k ππ+∈Z ， 当1k =-时，对称中心为5(,0)12π-，故A 正确； 令2()62x k k Z πππ-=+∈，解得()23k x k Z ππ=+∈，所以函数()f x 的图象的对称轴方程为()23k x k Z ππ=+∈， 当0k =时，对称轴方程为3x π=，故B 正确；将函数()f x 的图象向右平移12π个单位长度后可得函数2sin[2()]126y x ππ=--=2sin(2)3x π-的图象， 所以函数2sin(2)3y x π=-不是奇函数，其图象不关于原点对称，故C 错误；由3222()262k x k k ππππ+<-<π+∈Z ，可得3k x ππ+<<5()6k k ππ+∈Z ，所以函数()f x 的单调递减区间为5(,)()36k k k πππ+π+∈Z ，当0k =时，单调递减区间为5(,)36ππ，故D 正确．故选：C ． 【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，正弦型函数的对称中心、对称轴、单调性、图象的平移，属于中档题.10．设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n a 满足12=a ，*142()n n n a a S n +=-∈N ，则20212020a a -=（ ）A ．3B ．3-C ．13-D ．13【答案】A【解析】通过n n a S ，之间的关系，可得24n n a a +-=，然后对n 分奇数和偶数，根据等差数列的通项公式可得结果. 【详解】因为*142()n n n a a S n +=-∈N ，12=a ，所以令1n =，可得12142a a a =-，解得2=3a ， 由142n n n a a S +=-，可得12142n n n a a S +++=-， 上述两式相减可得121()4n n n n a a a a +++-=，因为数列{}n a 的各项均为正数，所以24n n a a +-=，所以当n 为奇数时，数列{}n a 是首项为2，公差为4的等差数列， 当n 为偶数时，数列{}n a 是首项为3，公差为4的等差数列，所以2,21,n n n a n n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，所以2021202022021(220201)3a a -=⨯-⨯-=， 故选：A ． 【点睛】本题考查n n a S ，之间的关系，熟练掌握11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩，重在计算和理解，属中档题.11．已知抛物线2:2C y px =(0)p >的焦点到准线的距离为1，若抛物线C 上存在关于直线:20l x y --=对称的不同两点P 和Q ，则线段PQ 的中点坐标为（ ） A ．()1,1- B ．()2,0C ．13,22⎛⎫-⎪⎝⎭ D ．()1,1【答案】A【解析】求得曲线2:2C y x =，设点()11,P x y ，()22,Q x y ，代入曲线方程，求出122PQ k y y =+，又由P ，Q 关于直线l 对称得出1PQ k =-，进而求出线段PQ 的中点坐标. 【详解】解：因为焦点到准线的距离为p ，则1p =， 所以22y x =．设点()11,P x y ，()22,Q x y ．则21122222y x y x ⎧=⎨=⎩，则()()()1212122y y y y x x -+=-， 122PQ k y y ∴=+，又P ，Q 关于直线l 对称．1PQ k ∴=-，即122y y +=-，1212y y +∴=-， 又PQ ∵的中点一定在直线l 上，12122122x x y y ++∴=+=． ∴线段PQ 的中点坐标为()1,1-．故选：A. 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题.12．已知函数()|2|2f x x =-+，()ln g x ax x =-，若对0(0,e)x ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈，使得012()()()f x g x g x ==，其中12x x ≠，则实数a 的取值范围是（ ） A ．5[,e)eB ．1(,)e eC ．1[1,e)e +D ．15[1,]e e+【答案】A【解析】根据题意解出函数()|2|2f x x =-+的值域，再分析函数()ln g x ax x =-的特征，由已知条件可知其必须在区间(0,)e 先减后增，结合函数()|2|2f x x =-+的值域即可得到关于a 的不等式组，即可解得. 【详解】因为()|2|2f x x =-+，所以当0(0,e)x ∈时，0()[2,4)f x ∈． 由()ln g x ax x =-，可得1()g x a x '=-=1ax x-，当0a ≤时，()0g x '<，所以函数()g x 在(0,)e 上单调递减，不符合题意，所以0a >．令()0g x '=，可得1(0,e)x a=∈，则函数()g x 在1(0,)a上单调递减，在1[,e)a 上单调递增，因为对0(0,e)x ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈，使得012()()()f x g x g x ==，其中12x x ≠，所以1()2()4g a g e ⎧<⎪⎨⎪≥⎩且1(0,)e a ∈，解得5a e e ≤<，所以实数a 的取值范围是5[,e)e．故选:A ． 【点睛】本题考查了利用导数求解参数的范围，属于中档题目，解题关键有三处：一是分析求解函数()y f x =的值域；二是根据条件分析函数()y g x =的单调特征；三是根据其单调性及方程根的个数确定出关于a 的不等式组.二、填空题 13．若函数1()ln 1f x x =-，则(2)f =__________． 【答案】3ln 2【解析】令121x =-，可得32x =，代入可得答案. 【详解】 令121x =-，可得32x =，所以3(2)=ln 2f ．故答案为：3ln 2.【点睛】本题考查求函数值，整体代入是解决此类问题的常用方法，属于基础题.14．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos A sin B =sin A +2sin C ．则B =______； 【答案】23π【解析】由已知利用两角和的正弦函数公式可得sin 2sin cos 0A A B +=，结合sin 0A ≠，可求得1cos 2B =-，结合范围(0,)B π∈，可求B 的值．【详解】 解：2cos sin sin 2sin sin 2sin()sin 2sin cos 2sin cos A B A C A A B A A B B A =+=++=++， sin 2sin cos 0A A B ∴+=，sin 0A ≠，12cos 0B ∴+=，解得1cos 2B =-， (0,)B π∈，23B π∴=． 故答案为：23π【点睛】本题考查两角和的正弦公式的应用，属于基础题.15．设12(,0),(,0)F c F c -分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，若直线x c =与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M ，N ，且160MF N ∠=︒，则双曲线C 的离心率为__________．【解析】焦点为12(,0),(,0)F c F c -的双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，与直线x c =交于点M ，N 即有2||bcMN a =，又160MF N ∠=︒知tan 302b a︒=结合222+=a b c 即可求离心率 【详解】根据题意，得2||bcMN a=，又1=60MF N ∠︒可得2243a b = ∴由222+=a b c 知：2273a c =，即3c a有双曲线C【点睛】本题考查求双曲线的离心率，由过焦点的定直线与双曲线渐近线交点与另一焦点构成的定角求双曲线离心率，注意渐近线性质及参数,,a b c 关系的应用 16．已知R λ∈，函数10()lg 0x x f x x x ⎧+<⎪=⎨>⎪⎩，，，2()414g x x x λ=-++．若关于x 的方程[()]f g x λ=有8个解，则λ的取值范围为__________． 【答案】2(0)5，.【解析】令g （x ）=t ，则方程f （t ）=λ的解有4个，根据图象可知，0＜λ＜1． 且4个解分别为t 1=﹣1﹣λ，t 2=﹣1+λ，t 3=10λ，41()10t λ= 则x 2﹣4x+1+4λ=﹣1﹣λ，x 2﹣4x+1+4λ=﹣1+λ， x 2﹣4x+1+4λ=10λ，x 2﹣4x+1+4λ=1()10λ均有两个不相等的实根，则△1＞0，且△2＞0，且△3＞0，40>即16﹣4（2+5λ）＞0且16﹣4（2+3λ）＞0，解得0＜λ＜25， 当0＜λ＜25时，△3=16﹣4（1+4λ﹣10λ）＞0即3﹣4λ+10λ＞0恒成立， 同理40>也恒成立；故λ的取值范围为（0，25）． 故答案为（0，25）． 点睛：本题考查分段函数的应用，考查数形结合的思想方法，方程解的问题转化为函数图象的交点问题，由二次方程的判别式得到解决，本题有一定的难度．通常方程解的问题有三类解决方法，其一直接研究函数和x 轴的交点个数问题；其二可以变量分离，转化为常函数和函数的交点个数问题；其三转化为两个初等函数的交点问题.三、解答题17．已知数列{}n a 满足：()*12111,2,22,n n n a a a a a n n N -+===+≥∈，数列{}nb 满足111=2, =2n n n n b a b a b ++．（1）求数列{}n a 的通项n a ，并求证：数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列 ； （2）求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n S ．【答案】（1）n a n =，证明过程见详解；（2）2n n b n =⋅，1(1)22+=-⋅+n n S n ．【解析】（1）由()*1122,n n n a a a n n -+=+≥∈N可得{}na 为等差数列，把11,1ad ==代入等差数列的通项公式即可得n a ；把n a n = 代入整理，构造新等比数列，利用等比数列的定义即可求证n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）先求n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，即可n b ，根据错位相减法，即可求得前n 项和n S ． 【详解】 （1）()*1122,n n n a a a n n N -+=+≥∈，∴{}n a 是等差数列 又121,2a a ==()111n a n n ∴=+-⋅=证明：n a n =()121n n nb n b +∴=+121n n b bn n+∴=⋅+ ∴n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以121b = 为首项，2q为公比的等比数列．（2）由上可知1222,n n nn b b n n-∴=⨯=⋅ 1231222322n n S n =⨯+⨯+⨯++⋅——①234121222322n n S n +=⨯+⨯+⨯++⋅——②①-②得：123122222n n n S n +-=++++-⋅化简得：1(1)22+=-⋅+n n S n【点睛】本题考查等差数列和等比数列的定义及通项公式的求法，以及利用定义证明等比数列，是基础题．18．某校为了有效地加强高中生自主管理能力，推出了一系列措施，其中自习课时间的自主管理作为重点项目，学校有关处室制定了“高中生自习课时间自主管理方案”.现准备对该“方案”进行调查，并根据调查结果决定是否启用该“方案”，调查人员分别在各个年级随机抽取若干学生对该“方案”进行评分，并将评分分成[)30,40，[)40,50，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，[]90,100七组，绘制成如图所示的频率分布直方图.相关规则为①采用百分制评分，[)60,80内认定为对该“方案”满意，不低于80分认定为对该“方案”非常满意，60分以下认定为对该“方案”不满意；②学生对“方案”的满意率不低于80%即可启用该“方案”；③用样本的频率代替概率.（1）从该校学生中随机抽取1人，求被抽取的这位同学非常满意该“方案”的概率，并根据频率分布直方图求学生对该“方案”评分的中位数.（2）根据所学统计知识，判断该校是否启用该“方案”，说明理由. 【答案】（1）325，中位数66（2）该校不应启用该“方案”.见解析 【解析】（1）计算概率得到答案，设中位数为0x ，则()00.020.060.240.03600.5x +++⨯-=，解得答案.（2）计算评分在[]60,100的频率为0.680.80<，得到答案. 【详解】（1）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是()30.010.0021025+⨯=， 设中位数为0x ，根据中位数将频率分布直方图的左右两边分成面积相等的两部分可知，()00.020.060.240.03600.5x +++⨯-=，解得066x =.（2）根据题意，60分或以上被认定为满意或非常满意， 在频率分布直方图中，评分在[]60,100的频率为()0.0300.0260.010.002100.680.80+++⨯=<， 根据相关规则，该校不应启用该“方案”. 【点睛】本题考查了频率分布直方图，概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力. 19．如图，三棱锥A BCD -中，侧面ABD △是边长为2的正三角形，22AC CD ==，平面ABD ⊥平面BCD ，把平面ACD 沿CD 旋转至平面PCD 的位置，记点A 旋转后对应的点为P （不在平面BCD 内），M 、N 分别是BD 、CD 的中点.（1）求证：CD MN ⊥；（2）求三棱锥C APD -的体积的最大值. 【答案】（1）证明见解析；（2）58. 【解析】（1）连接AM 、MC ，利用面面垂直的性质定理得出AM ⊥平面BCD ，可得出AM MC ⊥，利用勾股定理计算出1MC =，推导出BCD 是以BCD ∠为直角的直角三角形，再由中位线的性质得出//MN BC ，由此可得出MN CD ⊥；（2）由ACD △的面积为定值，可知当平面PCD ⊥平面ACD 时，三棱锥P ACD -的体积最大，连接PN 、AN ，推导出PN平面ACD ，计算出AN 、PN 以及ACD△的面积，然后利用锥体的体积公式可求得结果. 【详解】（1）如图，连接AM 、MC ，因为AB AD =，M 是BD 的中点，所以AM BD ⊥，又平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，AM ⊂平面ABD ， 所以AM ⊥平面BCD ，MC ⊂平面BCD ，所以AM MC ⊥．因为ABD △为边长为2的正三角形，所以3AM =， 又2AC =，所以由勾股定理可得221MC AC AM -=，又1MC MD MB ===，MCB MBC ∴∠=∠，MCD MDC ∠=∠，180MBC MDC BCD ∠+∠+∠=，则2180BCD ∠=，90BCD ∴∠=，所以BCD 为直角三角形，且BC CD ⊥，又M 、N 分别是BD 、CD 的中点，所以//MN BC ，所以MN CD ⊥； （2）如图，连接AN 、PN ，因为三棱锥C APD -与三棱锥P ACD -为同一个三棱锥，且ACD △的面积为定值， 所以当三棱锥P ACD -的体积最大时，则平面PCD ⊥平面ACD ，AC AD =，则PC PD =，N 为CD 的中点，则PN CD ⊥，平面PCD ⊥平面ACD ，平面PCD平面ACD CD =，PN ⊂平面PCD ，PN ∴⊥平面ACD ，此时点P 到平面ACD 的距离为2215PN AN AC CN ==-=， 在ACD △中，因为2AC AD ==，1CD =，所以111515122ACD S CD AN =⋅=⨯=△， 所以P ACD V -的最大值为111515533428ACD S PN ⋅=⨯⨯=△， 所以三棱锥C APD -的体积的最大值为58． 【点睛】本题考查利用线面垂直证明线线垂直，同时也考查了利用等体积法计算三棱锥体积的最值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20．已知曲线()ln f x ax b x =-在点1x =处的切线方程为(1)1y e x =-+，其中e 为自然对数的底数．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若在区间(1,4)内，存在x 使得不等式()f x mx <成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）函数()f x 的单调递减区间为1(0,)e，单调递增区间为1(,)e+∞；（2）1(,)e e-+∞．【解析】（1）函数()f x 求导，()bf x a x'=-，利用切线方程求得a e =，1b =，得到()ln f x ex x =-，再得到函数单调区间.（2）存在x 使得不等式()f x mx <成立等价于()f x m x <，构造()()(0)f xg x x x=>，求得min ()g x m <得解 【详解】（1）由题可得函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()bf x a x'=-，则(1)e 1f a b '=-=-， 又(1)e f a ==，所以1b =，所以()ln f x ex x =-，1()f x e x'=-，当()0f x '>，即1e 0x ->时，解得1x e>； 当()0f x '<，即1e 0x -<时，结合0x >，解得10x e<<， 所以函数()f x 的单调递减区间为1(0,)e，单调递增区间为1(,)e+∞． （2）由（1）可知()e ln (0)f x x x x =->，由()f x mx <，可得()f x m x<， 令()()(0)f x g x x x=>，则ln ()e (0)xg x x x =->， 因为在区间(1,4)内，存在x 使得不等式()f x mx <成立，所以当(1,4)x ∈时，min ()g x m <． 易得2ln 1()x g x x -='，令()0g x '=，可得x e =， 当[1,4]x ∈时，()g x ，()g x '的变化情况如下表：由表可知min 1()e e g x =-，所以1e em >-，故实数m 的取值范围为1(,)e e -+∞．【点睛】本题考查导数几何意义及利用导数解不等式能成立问题求解参数，属于基础题.21．已知椭圆2222:1(0)C bb x a a y +>>=的离心率e =，且椭圆C 过点P ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点Q 是椭圆C 与x 轴正半轴的交点，斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于不同的两点D ，E ，若9QD QE k k ⋅=，问直线DE 是否恒过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】（1）2213y x +=；（2）存在，直线DE 过定点(2,0)． 【解析】(1)已知椭圆离心率有3ab ，又椭圆C过点P ，代入椭圆方程即可求,a b ，即可得椭圆方程；(2) 设直线DE 为x ty m =+，1122(,),(,)D x y E x y ，由题意联立方程即可得12y y +、12y y ，结合9QD QE k k ⋅=即可求m ，从而可确定是否过定点 【详解】（1）设椭圆C 的焦距为2c，由c e a ==，即2223c a =∴22213b ac a a 22-==，有3a b ，又椭圆C过点P2231b +=，解得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴椭圆C 的标准方程为2213y x +=（2）由题可设直线DE 的方程为x ty m =+，由2213x ty m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，整理可得222(13)6330t y mty m +++-=， 设1122(,),(,)D x y E x y ，则2121222633,1313mt m y y y y t t-+=-=++ 由题意，可得(1,0)Q ，有12121212911(1)(1)QD QE y y y y k k x x x x ⋅=⋅==---- ∴2212121212129(1)(1)9(1)(1)99(1)()9(1)y y x x ty m ty m t y y m t y y m =--=+-+-=+-++-，且1m ≠（直线不过(1,0)点）即222(91)(1)183(1)(13)0t m mt m t -+-+-+=， 整理可得240m -=，解得2m = 故直线DE 过定点(2,0) 【点睛】本题考查了椭圆，根据离心率及过定点求椭圆方程，由直线与椭圆有两交点，且两交点与椭圆上一点所得的两直线斜率之积为定值，判断直线是否过定点问题22．曲线1C 的极坐标方程为r ρ=（常数0r >），曲线2C 的参数方程为()22131t x t y t -⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）.（1）求曲线1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程；（2）若曲线1C ，2C 有两个不同的公共点，求实数r 的取值范围.【答案】（1）1C ：222x y r +=，2C ：()2100x y y +-=≠；（2）11,522⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】（1）根据直角坐标与极坐标关系及题目条件cos sin x y r ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=⎩得曲线1C 的直角坐标方程，利用消元法消去t 可得2C 的普通方程；（2）若曲线1C ，2C 有两个不同的公共点，法一：方程联立利用根与系数关系，利用判别式解出即可求实数r 的取值范围；法二：数形结合可得圆心到直线距离小于半径，解出即可求实数r 的取值范围. 【详解】（1）方法一：由cos sin x y r ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=⎩得：222x y r +=.由()22131t x t y t -⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩得：21x y +=，即()2100x y y +-=≠. ∴曲线1C 的直角坐标方程为：222x y r +=，2C 的普通方程为：()2100x y y +-=≠.方法二：由cos sin x y r ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=⎩得：222x y r +=.由()221t x t -=+得：2212x t x +=-；由31y t =+得：3y t y -=. ∴22312x y x y+-=-.整理得2C 的普通方程为：()2100x y y +-=≠.∴曲线1C 的直角坐标方程为：222x y r +=，2C 的普通方程为：()2100x y y +-=≠.（2）方法一：由22221x y x y r+=⎧⎨+=⎩消y 得：225410x x r -+-=.由曲线1C ，2C 有两个不同的公共点得：22040r ∆=->，0r >解得：5r >. 又当圆1C ：222x y r +=过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭时，有12r =，且曲线2C 表示不过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线. ∴12r ≠.∴实数r 的取值范围为11,22⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.方法二：圆心()0,0到直线210x y +-=的距离为：d =由曲线1C ，2C 有两个不同的公共点得：d r <，即r >. 又当圆1C ：222x y r +=过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭时，有12r =，且曲线2C 表示不过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线. ∴12r ≠.∴实数r 的取值范围为11,522⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查直角坐标与极坐标的互化、参数方程与普通方程的互化、直线与圆的位置关系，解题的关键是熟记直角坐标与极坐标的互化关系，直线与圆的位置关系可借助二次方程判别式或距离关系求解，属于中等题. 23．已知函数()|2||3|f x x ax =++-． （1）当3a =时，求不等式()6f x <的解集；（2）若12x ∀≥，不等式2()3f x x x ≤++恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）17(,)24-；（2）7[,4]2．【解析】(1)利用分类讨论的方式解绝对值不等式，3a =即可将区间分为2x <-、21x -≤≤、1x >，并分别求得对应解集，最后求并即为不等式()6f x <的解集；(2)由12x ∀≥上2()3f x x x ≤++恒成立，化简得24x a x x x-+≤≤+，利用函数的单调性、基本不等式即可求参数a 的范围 【详解】（1）当3a =时，()|2|3|1|f x x x =++-，不等式()6f x <为|2|3|1|6x x ++-< ①当2x <-时，不等式可化为2336x x --+-<，即45x -<，无解； ②当21x -≤≤时，不等式可化为2336x x ++-<，即21x -<，解得112x -<≤； ③当1x >时，不等式可化为2336x x ++-<，即47x <，解得714x <<， 综上，可得1724x -<<，故不等式()6f x <的解集为17(,)24- （2）当12x ≥时，不等式2()3f x x x ≤++，即22|3|3x ax x x ++-≤++，整理得2|3|1ax x -≤+，即22131x ax x --≤-≤+即2224x ax x -+≤≤+，因为12x ≥，所以分离参数可得24a x x a x x ⎧≥-+⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩显然函数2()g x x x =-+在1[,)2+∞上单调递减，所以17()()22g x g ≤=，而函数4()4h x x x =+≥=，当且仅当4x x=，即2x =时取等号，所以实数a 的取值范围为7[,4]2【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法、利用不等式恒成立求参数范围；应用分类讨论的方式求绝对值不等式的解集，利用区间内不等式恒成立，结合函数单调性和基本不等式求参数范围。

2020届高三适应性考试 文 科 数 学 试 卷本卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若集合A ＝{x |－3<x <3}，B ＝{x |(x ＋4)(x －2)>0}，则A ∩B ＝( ) A. {x |－3<x <2} B. {x |2<x <3} C. {x |－3<x <－2} D. {x |x <－4或x >－3} 【答案】B 【解析】{}{|33|4A B x x x x ⋂=-<<⋂<-或}{}2|23x x x >=<<，故选B ．2. 已知i 为虚数单位，若复数z 满足2(1i)3(1i)z -=++，则复数z 的共轭复数z =（ ） A. 15i 22-+ B.1522i - C. 15i - D. 15i -+【答案】B 【解析】 【分析】由复数的运算法则计算出z ，即可得出共轭复数. 【详解】2(1i)3(1i)32z i -=++=+，23213235215111222i i i i i zi ii i ， 1522z i ∴=-. 故选：B.【点睛】本题考查复数的运算及共轭复数的求法，属于基础题. 3. 已知0.2log7a=，90.2b=，ln25c=，则（）A. c a b<< B. a c b<< C. b a c<< D. a b c<<【答案】D【解析】【分析】根据对数函数、指数函数的单调性以及借用中间值0，1比较可得结果.【详解】由题可知：0.20.2log7log10=<=a，9000.20.21<=<=b，由ln2ln1>，所以ln2ln105551=>==c故a b c<<故选：D【点睛】本题考查对数式、指数式之间比较大小，比较大小常用：作差比较法、作商比较法、函数单调性，同时借用特殊值0，1进行比较，属基础题.4. 唐狩猎纹高足银杯如图1所示，银杯经锤揲成型，圆唇侈口，直壁深腹，腹下部略收，下承外撇高足．纹样则采用堑刻工艺，鱼子地纹，杯腹上部饰一道凸弦纹，下部阴刻一道弦纹，高足中部有“算盘珠”式节．它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度），如图2所示．已知球的半径为R，酒杯内壁表面积为2143Rπ．设酒杯上面部分（圆柱）的体积为1V，下面部分（半球）的体积为2V，则12VV的值是= （）A. 1 B.32C. 2D. 3【答案】C【解析】【分析】设圆柱的高为h，表示出表面积可得43h R=，再分别表示出12,V V即可.【详解】设酒杯上部分圆柱的高为h，则酒杯内壁表面积221144223S R Rh Rπππ=⨯+=，则43h R=，23143V R h Rππ∴==，321423V Rπ=⨯，122VV∴=.故选：C.【点睛】本题考查圆柱、球体积及表面积的公式，需熟记公式，属于基础题.5. 执行如图所示的程序框图，则输出的S的值为（）A. 16B. 32C. 64D. 1024【答案】C【解析】0111n S，==⨯=;1122n S==⨯=，;2248n S==⨯=，;38864n S==⨯=，. 6. 已知实数,x y满足不等式组2034802x yx yx+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则目标函数2z x y=-的最大值为（）A. 2- B. 2 C. 4- D. 4【答案】D【解析】【分析】画出可行域，然后作出目标函数的一条等值线20x y -=，通过平移等值线找到目标函数取最大值的最优解，可得结果. 【详解】如图由2z x y =-，令0z =，则目标函数的一条等值线为20x y -= 当该等值线经过点()2,0A 时，目标函数有最大值 所以max 2204z =⨯-= 故选：D【点睛】本题考查线性规划的问题，此种类型的问题，常看几步：（1）画出可行域；（2）根据线性的和非线性的理解z 的含义，然后简单计算，属基础题.7. 在ABC 中,点D 在线段BC 上,2BD DC =,若AD AB AC λμ=+(λ,R μ∈),则μλ=（ ） A.12B. 2C.13D.23【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的线性运算求解即可. 【详解】∵2212()3333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+, AD AB AC λμ=+(λ,R μ∈),所以12033AB AC λμ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.又因为AB 与AC 不共线,所以103λ-=且203μ-=,所以13λ=,23μ=,所以2μλ=.故选：B【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算,需要将所求的向量表达成所给的基底向量,属于基础题.8. 函数2()cos sin(1)31xf x x =⋅-+的图象大致为（ ） A. B.C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及取特殊值，对比图像可得结果. 【详解】方法一：由题可知函数()f x 的定义域为R ，因为23113131x x x --=++， 所以()f x -=3113cos()sin()cos sin()()3113x xx xx x f x -----⋅=⋅=-++， 所以函数()f x 为奇函数，故可排除选项A 、B ． 又cos10>，2sin(1)31-=+1sin 02>， 所以1(1)cos1sin02f =⨯>，故排除选项D ．故选C ． 方法二：因为1(1)cos1sin()02f -=⨯-<，1(1)cos1sin 02f =⨯>，所以观察各选项中的图象可知C 符合题意， 故选：C ．【点睛】本题考查给出解析式判断函数大致图像，对这种问题，常常考虑：函数定义域、奇偶性、单调性、特殊值、最值等，属基础题.9. 已知函数()3cos()(0)f x x x ωωω=+π+>的最小正周期为π，则下列说法错误的是（ ）A. 函数()f x 的图象关于点5(,0)12π-对称 B. 函数()f x 的图象关于直线3x π=对称C. 将函数()f x 的图象向右平移12π个单位长度后所得函数的图象关于原点对称D. 函数()f x 区间5(,)36ππ上单调递减【答案】C 【解析】 【分析】根据三角恒等变换得()3sin cos 2sin()6f x x x x ωωωπ-=-，再由函数()f x 的最小正周期公式，求得函数()2sin(2)6f x x π=-．运用整体代换法逐一求函数的对称中心，对称轴，图象的平移，以及函数的单调区间判断得选项.【详解】由题可得()3sin cos 2sin()6f x x x x ωωωπ-=-，因为函数()f x 的最小正周期为π，所以2ππω=，解得2ω=，所以()2sin(2)6f x x π=-．令2()6x k k Z ππ-=∈，解得()212k x k Z ππ=+∈，所以函数()f x 的图象的对称中心为(,0)()212k k ππ+∈Z ， 当1k =-时，对称中心为5(,0)12π-，故A 正确； 令2()62x k k Z πππ-=+∈，解得()23k x k Z ππ=+∈，所以函数()f x 的图象的对称轴方程为()23k x k Z ππ=+∈， 当0k =时，对称轴方程为3x π=，故B 正确；将函数()f x 的图象向右平移12π个单位长度后可得函数2sin[2()]126y x ππ=--=2sin(2)3x π-的图象， 所以函数2sin(2)3y x π=-不是奇函数，其图象不关于原点对称，故C 错误；由3222()262k x k k ππππ+<-<π+∈Z ，可得3k x ππ+<<5()6k k ππ+∈Z ，所以函数()f x 的单调递减区间为5(,)()36k k k πππ+π+∈Z ，当0k =时，单调递减区间为5(,)36ππ，故D 正确．故选：C ．【点睛】本题考查三角函数的恒等变换，正弦型函数的对称中心、对称轴、单调性、图象的平移，属于中档题.10. 设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，若数列{}n a 满足12=a ，*142()n n n a a S n +=-∈N ，则20212020a a -=（ ）A. 3B. 3-C. 13-D.13【答案】A 【解析】 【分析】通过n n a S ，之间的关系，可得24n n a a +-=，然后对n 分奇数和偶数，根据等差数列的通项公式可得结果.【详解】因为*142()n n n a a S n +=-∈N ，12=a ， 所以令1n =，可得12142a a a =-，解得2=3a ， 由142n n n a a S +=-，可得12142n n n a a S +++=-， 上述两式相减可得121()4n n n n a a a a +++-=，因为数列{}n a 的各项均为正数，所以24n n a a +-=，所以当n 为奇数时，数列{}n a 是首项为2，公差为4的等差数列， 当n 为偶数时，数列{}n a 是首项为3，公差为4的等差数列，所以2,21,n n n a n n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数，所以2021202022021(220201)3a a -=⨯-⨯-=，故选：A ．【点睛】本题考查n n a S ，之间的关系，熟练掌握11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩，重在计算和理解，属中档题.11. 已知抛物线2:2C y px =(0)p >的焦点到准线的距离为1，若抛物线C 上存在关于直线:20l x y --=对称的不同两点P 和Q ，则线段PQ 的中点坐标为（ ）A. ()1,1-B. ()2,0C. 13,22⎛⎫-⎪⎝⎭ D. ()1,1【答案】A 【解析】 【分析】求得曲线2:2C y x =，设点()11,P x y ，()22,Q x y ，代入曲线方程，求出122PQ k y y =+，又由P ，Q 关于直线l 对称得出1PQ k =-，进而求出线段PQ 的中点坐标. 【详解】解：因为焦点到准线的距离为p ，则1p =， 所以22y x =．设点()11,P x y ，()22,Q x y ．则21122222y x y x ⎧=⎨=⎩，则()()()1212122y y y y x x -+=-，122PQ k y y ∴=+，又P ，Q 关于直线l 对称．1PQ k ∴=-，即122y y +=-，1212y y+∴=-，又PQ ∵的中点一定在直线l 上，12122122x x y y ++∴=+=． ∴线段PQ中点坐标为()1,1-．故选：A.【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题.12. 已知函数()|2|2f x x =-+，()ln g x ax x =-，若对0(0,e)x ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈，使得012()()()f x g x g x ==，其中12x x ≠，则实数a 的取值范围是（ ）A. 5[,e)eB. 1(,)e eC. 1[1,e)e +D. 15[1,]e e+【答案】A 【解析】 【分析】根据题意解出函数()|2|2f x x =-+的值域，再分析函数()ln g x ax x =-的特征，由已知条件可知其必须在区间(0,)e 先减后增，结合函数()|2|2f x x =-+的值域即可得到关于a 的不等式组，即可解得.【详解】因为()|2|2f x x =-+，所以当0(0,e)x ∈时，0()[2,4)f x ∈． 由()ln g x ax x =-，可得1()g x a x '=-=1ax x-，当0a ≤时，()0g x '<，所以函数()g x 在(0,)e 上单调递减，不符合题意，所以0a >．令()0g x '=，可得1(0,e)x a=∈，则函数()g x 在1(0,)a上单调递减，在1[,e)a 上单调递增，因为对0(0,e)x ∀∈，12,(0,)x x e ∃∈，使得012()()()f x g x g x ==，其中12x x ≠，所以1()2()4g a g e ⎧<⎪⎨⎪≥⎩且1(0,)e a ∈，解得5a e e ≤<，所以实数a 的取值范围是5[,e)e．故选:A ．【点睛】本题考查了利用导数求解参数的范围，属于中档题目，解题关键有三处：一是分析求解函数()y f x =的值域；二是根据条件分析函数()y g x =的单调特征；三是根据其单调性及方程根的个数确定出关于a 的不等式组.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若函数1()ln 1f x x =-，则(2)f =__________． 【答案】3ln 2【解析】 【分析】令121x =-，可得32x =，代入可得答案. 【详解】令121x =-，可得32x =，所以3(2)=ln 2f ． 故答案为：3ln 2.【点睛】本题考查求函数值，整体代入是解决此类问题的常用方法，属于基础题.14. 已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2cos A sin B =sin A +2sin C ．则B =______； 【答案】23π【解析】 【分析】由已知利用两角和的正弦函数公式可得sin 2sin cos 0A A B +=，结合sin 0A ≠，可求得1cos 2B =-，结合范围(0,)B π∈，可求B 的值．【详解】解：2cos sin sin 2sin sin 2sin()sin 2sin cos 2sin cos A B A C A A B A A B B A =+=++=++， sin 2sin cos 0A A B ∴+=，sin 0A ≠，12cos 0B ∴+=，解得1cos 2B =-， (0,)B π∈，23B π∴=． 故答案为：23π【点睛】本题考查两角和的正弦公式的应用，属于基础题.15. 设12(,0),(,0)F c F c -分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，若直线x c=与双曲线C 的两条渐近线分别交于点M ，N ，且160MF N ∠=︒，则双曲线C 的离心率为__________． 21【解析】 【分析】焦点为12(,0),(,0)F c F c -的双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>，与直线x c =交于点M ，N 即有2||bcMN a =，又160MF N ∠=︒知tan 302b a︒=结合222+=a b c 即可求离心率 【详解】根据题意，得2||bcMN a=，又1=60MF N ∠︒可得2243a b = ∴由222+=a b c 知：2273a c =，即21c a有双曲线C 的离心率为21321【点睛】本题考查求双曲线的离心率，由过焦点的定直线与双曲线渐近线交点与另一焦点构成的定角求双曲线离心率，注意渐近线性质及参数,,a b c 关系的应用 16. 已知R λ∈，函数10()lg 0x x f x x x ⎧+<⎪=⎨>⎪⎩，，，2()414g x x x λ=-++．若关于x 的方程[()]f g x λ=有8个解，则λ的取值范围为__________．【答案】2(0)5，. 【解析】令g （x ）=t ，则方程f （t ）=λ的解有4个，根据图象可知，0＜λ＜1． 且4个解分别为t 1=﹣1﹣λ，t 2=﹣1+λ，t 3=10λ，41()10t λ= 则x 2﹣4x+1+4λ=﹣1﹣λ，x 2﹣4x+1+4λ=﹣1+λ， x 2﹣4x+1+4λ=10λ，x 2﹣4x+1+4λ=1()10λ均有两个不相等的实根， 则△1＞0，且△2＞0，且△3＞0，40>即16﹣4（2+5λ）＞0且16﹣4（2+3λ）＞0，解得0＜λ＜25， 当0＜λ＜25时，△3=16﹣4（1+4λ﹣10λ）＞0即3﹣4λ+10λ＞0恒成立， 同理40>也恒成立；故λ的取值范围为（0，25）． 故答案为（0，25）．点睛：本题考查分段函数的应用，考查数形结合的思想方法，方程解的问题转化为函数图象的交点问题，由二次方程的判别式得到解决，本题有一定的难度．通常方程解的问题有三类解决方法，其一直接研究函数和x 轴的交点个数问题；其二可以变量分离，转化为常函数和函数的交点个数问题；其三转化为两个初等函数的交点问题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 已知数列{}n a 满足：()*12111,2,22,n n n a a a a a n n N-+===+≥∈，数列{}nb 满足111=2, =2n n n n b a b a b ++．（1）求数列{}n a 的通项n a ，并求证：数列n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列 ； （2）求数列{}n b 的通项公式及其前n 项和n S ．【答案】（1）n a n =，证明过程见详解；（2）2n n b n =⋅，1(1)22+=-⋅+n n S n ．【解析】 【分析】（1）由()*1122,n n n a a a n n -+=+≥∈N可得{}na 为等差数列，把11,1ad == 代入等差数列的通项公式即可得n a ；把n a n = 代入整理，构造新等比数列，利用等比数列的定义即可求证n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）先求n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，即可n b ，根据错位相减法，即可求得前n 项和n S ． 【详解】（1）()*1122,n n n a a a n n N -+=+≥∈，∴{}n a 是等差数列 又121,2a a ==()111n a n n ∴=+-⋅=证明：n a n =()121n n nb n b +∴=+121n n b bn n+∴=⋅+ ∴n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以121b = 为首项，2q为公比的等比数列．（2）由上可知1222,n n nn b b n n-∴=⨯=⋅ 1231222322n n S n =⨯+⨯+⨯++⋅——①234121222322n n S n +=⨯+⨯+⨯++⋅——②①-②得：123122222n n n S n +-=++++-⋅化简得：1(1)22+=-⋅+n n S n【点睛】本题考查等差数列和等比数列的定义及通项公式的求法，以及利用定义证明等比数列，是基础题．18. 某校为了有效地加强高中生自主管理能力，推出了一系列措施，其中自习课时间的自主管理作为重点项目，学校有关处室制定了“高中生自习课时间自主管理方案”.现准备对该“方案”进行调查，并根据调查结果决定是否启用该“方案”，调查人员分别在各个年级随机抽取若干学生对该“方案”进行评分，并将评分分成[)30,40，[)40,50，⋅⋅⋅⋅⋅⋅，[]90,100七组，绘制成如图所示的频率分布直方图.相关规则为①采用百分制评分，[)60,80内认定为对该“方案”满意，不低于80分认定为对该“方案”非常满意，60分以下认定为对该“方案”不满意；②学生对“方案”的满意率不低于80%即可启用该“方案”；③用样本的频率代替概率.（1）从该校学生中随机抽取1人，求被抽取的这位同学非常满意该“方案”的概率，并根据频率分布直方图求学生对该“方案”评分的中位数.（2）根据所学统计知识，判断该校是否启用该“方案”，说明理由. 【答案】（1）325，中位数66（2）该校不应启用该“方案”.见解析 【解析】 【分析】（1）计算概率得到答案，设中位数为0x ，则()00.020.060.240.03600.5x +++⨯-=，解得答案.（2）计算评分在[]60,100的频率为0.680.80<，得到答案.【详解】（1）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是()30.010.0021025+⨯=， 设中位数为0x ，根据中位数将频率分布直方图的左右两边分成面积相等的两部分可知，()00.020.060.240.03600.5x +++⨯-=，解得066x =.（2）根据题意，60分或以上被认定为满意或非常满意， 在频率分布直方图中，评分在[]60,100的频率为()0.0300.0260.010.002100.680.80+++⨯=<， 根据相关规则，该校不应启用该“方案”.【点睛】本题考查了频率分布直方图，概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力. 19. 如图，三棱锥A BCD -中，侧面ABD △是边长为2的正三角形，22AC CD ==，平面ABD ⊥平面BCD ，把平面ACD 沿CD 旋转至平面PCD 的位置，记点A 旋转后对应的点为P （不在平面BCD 内），M 、N 分别是BD 、CD 的中点.（1）求证：CD MN ⊥；（2）求三棱锥C APD -的体积的最大值. 【答案】（1）证明见解析；（2）58. 【解析】 【分析】（1）连接AM 、MC ，利用面面垂直的性质定理得出AM ⊥平面BCD ，可得出AM MC ⊥，利用勾股定理计算出1MC =，推导出BCD 是以BCD ∠为直角的直角三角形，再由中位线的性质得出//MN BC ，由此可得出MN CD ⊥；（2）由ACD △的面积为定值，可知当平面PCD ⊥平面ACD 时，三棱锥P ACD -的体积最大，连接PN 、AN ，推导出PN 平面ACD ，计算出AN 、PN 以及ACD △的面积，然后利用锥体的体积公式可求得结果. 【详解】（1）如图，连接AM 、MC ，因为AB AD =，M 是BD 的中点，所以AM BD ⊥，又平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD ⋂平面BCD BD =，AM ⊂平面ABD ， 所以AM ⊥平面BCD ，MC ⊂平面BCD ，所以AM MC ⊥．因为ABD △为边长为2的正三角形，所以3AM = 又2AC =，所以由勾股定理可得221MC AC AM -=，又1MC MD MB ===，MCB MBC ∴∠=∠，MCD MDC ∠=∠，180MBC MDC BCD ∠+∠+∠=，则2180BCD ∠=，90BCD ∴∠=，所以BCD 为直角三角形，且BC CD ⊥，又M 、N 分别是BD 、CD 的中点，所以//MN BC ，所以MN CD ⊥； （2）如图，连接AN 、PN ，因为三棱锥C APD -与三棱锥P ACD -为同一个三棱锥，且ACD △的面积为定值， 所以当三棱锥P ACD -的体积最大时，则平面PCD ⊥平面ACD ，AC AD =，则PC PD =，N 为CD 的中点，则PN CD ⊥，平面PCD ⊥平面ACD ，平面PCD平面ACD CD =，PN ⊂平面PCD ，PN ∴⊥平面ACD ，此时点P 到平面ACD 的距离为22152PN AN AC CN ==-=， 在ACD △中，因为2AC AD ==，1CD =，所以11151512224ACD S CD AN =⋅=⨯⨯=△， 所以P ACD V -的最大值为1115155338ACD S PN ⋅==△， 所以三棱锥C APD -的体积的最大值为58． 【点睛】本题考查利用线面垂直证明线线垂直，同时也考查了利用等体积法计算三棱锥体积的最值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.20. 已知曲线()ln f x ax b x =-在点1x =处的切线方程为(1)1y e x =-+，其中e 为自然对数的底数．（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若在区间(1,4)内，存在x 使得不等式()f x mx <成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）函数()f x 的单调递减区间为1(0,)e，单调递增区间为1(,)e +∞；（2）1(,)e e -+∞．【解析】 【分析】（1）函数()f x 求导，()bf x a x'=-，利用切线方程求得a e =，1b =，得到()ln f x ex x =-，再得到函数单调区间.（2）存在x 使得不等式()f x mx <成立等价于()f x m x <，构造()()(0)f xg x x x=>，求得min ()g x m <得解【详解】（1）由题可得函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()bf x a x'=-，则(1)e 1f a b '=-=-， 又(1)e f a ==，所以1b =，所以()ln f x ex x =-，1()f x e x'=-， 当()0f x '>，即1e 0x ->时，解得1x e>； 当()0f x '<，即1e 0x -<时，结合0x >，解得10x e<<， 所以函数()f x 的单调递减区间为1(0,)e，单调递增区间为1(,)e+∞． （2）由（1）可知()e ln (0)f x x x x =->，由()f x mx <，可得()f x m x<， 令()()(0)f x g x x x=>，则ln ()e (0)xg x x x =->， 因为在区间(1,4)内，存在x 使得不等式()f x mx <成立，所以当(1,4)x ∈时，min ()g x m <． 易得2ln 1()x g x x -='，令()0g x '=，可得x e =， 当[1,4]x ∈时，()g x ，()g x '的变化情况如下表：x1(1,)e e (,4)e4()'g x－ 0 ＋()g x e单调递减极小值1e e-单调递增 ln 2e 2-由表可知min 1()e e g x =-，所以1e em >-，故实数m 的取值范围为1(,)e e -+∞．【点睛】本题考查导数几何意义及利用导数解不等式能成立问题求解参数，属于基础题.21. 已知椭圆2222:1(0)C bb x a a y +>>=的离心率6e ，且椭圆C 过点3(2)P ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点Q 是椭圆C 与x 轴正半轴的交点，斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于不同的两点D ，E ，若9QD QE k k ⋅=，问直线DE 是否恒过定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】（1）2213y x +=；（2）存在，直线DE 过定点(2,0)． 【解析】 【分析】(1)已知椭圆离心率有3ab ，又椭圆C 过点3(2)P ，代入椭圆方程即可求,a b ，即可得椭圆方程；(2) 设直线DE 为x ty m =+，1122(,),(,)D x y E x y ，由题意联立方程即可得12y y +、12y y ，结合9QD QE k k ⋅=即可求m ，从而可确定是否过定点 【详解】（1）设椭圆C 的焦距为2c ，由6c e a ==，即2223c a =∴22213b ac a a 22-==，有3a b ，又椭圆C 过点3(2)P ∴22223()(2)31a b +=，解得31a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴椭圆C 的标准方程为2213y x +=（2）由题可设直线DE 的方程为x ty m =+，由2213x ty m y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，整理可得222(13)6330t y mty m +++-=， 设1122(,),(,)D x y E x y ，则2121222633,1313mt m y y y y t t-+=-=++ 由题意，可得(1,0)Q ，有12121212911(1)(1)QD QE y y y y k k x x x x ⋅=⋅==---- ∴2212121212129(1)(1)9(1)(1)99(1)()9(1)y y x x ty m ty m t y y m t y y m =--=+-+-=+-++-，且1m ≠（直线不过(1,0)点）即222(91)(1)183(1)(13)0t m mt m t -+-+-+=， 整理可得240m -=，解得2m = 故直线DE 过定点(2,0)【点睛】本题考查了椭圆，根据离心率及过定点求椭圆方程，由直线与椭圆有两交点，且两交点与椭圆上一点所得的两直线斜率之积为定值，判断直线是否过定点问题（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4−4：坐标系与参数方程]22. 曲线1C 的极坐标方程为r ρ=（常数0r >），曲线2C 的参数方程为()22131t x t y t -⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩（t 为参数）.（1）求曲线1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程；（2）若曲线1C ，2C 有两个不同的公共点，求实数r 的取值范围. 【答案】（1）1C ：222x y r +=，2C ：()2100x y y +-=≠；（2）511,22⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】 【分析】（1）根据直角坐标与极坐标关系及题目条件cos sin x y r ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=⎩得曲线1C 的直角坐标方程，利用消元法消去t 可得2C 的普通方程；（2）若曲线1C ，2C 有两个不同的公共点，法一：方程联立利用根与系数关系，利用判别式解出即可求实数r 的取值范围；法二：数形结合可得圆心到直线距离小于半径，解出即可求实数r 的取值范围.【详解】（1）方法一：由cos sin x y r ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=⎩得：222x y r +=.由()22131t x t y t -⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪+⎩得：21x y +=，即()2100x y y +-=≠. ∴曲线1C 的直角坐标方程为：222x y r +=，2C 的普通方程为：()2100x y y +-=≠.方法二：由cos sin x y r ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=⎩得：222x y r +=.由()221t x t -=+得：2212x t x +=-；由31y t =+得：3y t y -=. ∴22312x y x y+-=-.整理得2C 的普通方程为：()2100x y y +-=≠.∴曲线1C 的直角坐标方程为：222x y r +=，2C 的普通方程为：()2100x y y +-=≠. （2）方法一：由22221x y x y r+=⎧⎨+=⎩消y 得：225410x x r -+-=.由曲线1C ，2C 有两个不同的公共点得：22040r ∆=->，0r >解得：55r >. 又当圆1C ：222x y r +=过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭时，有12r =，且曲线2C 表示不过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线.∴12r ≠. ∴实数r 的取值范围为511,22⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 方法二：圆心()0,0到直线210x y +-=的距离为：5d =由曲线1C ，2C 有两个不同的公共点得：d r <，即5r >. 又当圆1C ：222x y r +=过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭时，有12r =，且曲线2C 表示不过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭的直线.∴12r ≠. ∴实数r 的取值范围为511,22⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查直角坐标与极坐标的互化、参数方程与普通方程的互化、直线与圆的位置关系，解题的关键是熟记直角坐标与极坐标的互化关系，直线与圆的位置关系可借助二次方程判别式或距离关系求解，属于中等题.[选修4-5：不等式选讲]23. 已知函数()|2||3|f x x ax =++-．（1）当3a =时，求不等式()6f x <的解集；（2）若12x ∀≥，不等式2()3f x x x ≤++恒成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）17(,)24-；（2）7[,4]2．【解析】【分析】(1)利用分类讨论的方式解绝对值不等式，3a =即可将区间分为2x <-、21x -≤≤、1x >，并分别求得对应解集，最后求并即为不等式()6f x <的解集；(2)由12x ∀≥上2()3f x x x ≤++恒成立，化简得24x a x x x-+≤≤+，利用函数的单调性、基本不等式即可求参数a 的范围 【详解】（1）当3a =时，()|2|3|1|f x x x =++-，不等式()6f x <为|2|3|1|6x x ++-< ①当2x <-时，不等式可化为2336x x --+-<，即45x -<，无解；②当21x -≤≤时，不等式可化为2336x x ++-<，即21x -<，解得112x -<≤； ③当1x >时，不等式可化为2336x x ++-<，即47x <，解得714x <<， 综上，可得1724x -<<，故不等式()6f x <的解集为17(,)24- （2）当12x ≥时，不等式2()3f x x x ≤++，即22|3|3x ax x x ++-≤++，整理得2|3|1ax x -≤+，即22131x ax x --≤-≤+即2224x ax x -+≤≤+，因为12x ≥，所以分离参数可得24a x x a x x ⎧≥-+⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩显然函数2()g x x x =-+在1[,)2+∞上单调递减，所以17()()22g x g ≤=，而函数44()24h x x x x x =+≥⋅=，当且仅当4x x=，即2x =时取等号，所以实数a 的取值范围为7[,4]2【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法、利用不等式恒成立求参数范围；应用分类讨论的方式求绝对值不等式的解集，利用区间内不等式恒成立，结合函数单调性和基本不等式求参数范围。