高等数学B2复习(讲稿子)例题解答

姓名，年级：时间：一、空间几何体1．多面体及其结构特征（1）棱柱：①有两个平面(底面）互相平行；②其余各面都是平行四边形；③每相邻两个平行四边形的公共边互相平行．(2)棱锥：①有一个面(底面）是多边形；②其余各面(侧面）是有一个公共顶点的三角形．(3）棱台：①上下底面互相平行、且是相似图形；②各侧棱延长线相交于一点．2．圆柱、圆锥、圆台和球圆柱、圆锥、圆台和球可以看成以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形垂直于底边的腰、一个半圆的直径所在的直线为旋转轴,将矩形、直角三角形、直角梯形、半圆分别旋转一周而形成的曲面围成的几何体．3．斜二测画法的意义及建系原则（1)斜二测画法中“斜"和“二测”：“斜"是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°。

“二测"是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴或z′轴的线段长度不变;平行于y′轴的线段长度变为原来的一半．(2)斜二测画法中的建系原则：在已知图中建立直角坐标系,理论上在任何位置建立坐标系都行，但实际作图时，一般建立特殊的直角坐标系，尽量运用原有直线或图形的对称直线为坐标轴，图形的对称点为原点或利用原有互相垂直的直线为坐标轴等．4．空间几何体的表面积和体积（1）多面体的表面积：各个面的面积之和,也就是展开图的面积．(2)旋转体的表面积：圆柱：S＝2πr2＋2πrl＝2πr(r＋l)．圆锥：S＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)．球：S＝4πR2。

(3)柱体、锥体、台体的体积公式①柱体的体积公式：V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)．②锥体的体积公式：V锥体＝错误!Sh(S为底面面积，h为高）．③台体的体积公式：V台体＝错误!(S＋错误!＋S′）h(S′，S分别为上、下底面面积，h为高）．④球的体积公式：V球＝错误!πR3.二、点、线、面之间的位置关系1．共面与异面直线（1）共面：空间中的几个点或几条直线,如果都在同一平面内，我们就说它们共面．(2)异面直线：既不相交又不平行的直线．2．平行公理过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．3．基本性质4平行于同一条直线的两条直线互相平行．即如果直线a∥b,c∥b，那么a∥c。

可编辑文档综合练习一参考答案一、单项选择题1、B2、C3、C4、A5、B6、C7、D 二、填空题（1）22{(,)|1}x y x y +≥ （2）2b a -- （3）1 （4）3 （5） 1 （6）、2xy e = 三、计算题1、求定积分12011x dx x ++⎰ 解 11121100222000111ln(1)|arctan |1112x x dx dx dx x x x x x +==+++++⎰⎰⎰1ln 224π=+ 2、求定积分21e ⎰ 解2221112e e e ===⎰⎰ 3、设ln()(0,0),xz y xy x y =+>>求dz 。

解 因为 111111ln ,,(ln )()x x x x z z y y xy dz y y dx xy dy x x y y x y--∂∂=+=+=+++∂∂所以 4、设22(),z f x y f =+是可微函数，求z z y x x y∂∂-∂∂。

解 因为 2222()2,()2z zf x y x f x y y x y ∂∂''=+⋅=+⋅∂∂ 所以 2222()2()20z zy x f x y xy f x y yx x y∂∂''-=+⋅-+⋅=∂∂ 5、设(,)z f x y =是由方程21z xyz =+所确定的隐函数，求,z z x y∂∂∂∂。

解 设2(,,)1,,,2x y z F x y z z xyz F yz F xz F z xy '''=--=-=-=-于是故 ,,22y x z z F F z yz z xzx F z xy y F z xy''∂∂=-==-=''∂-∂-6、计算xyDe dxdy ⎰⎰，其中D 是由2,0,1x y x y ===所围成的闭区域。

解 2:01,0D y x y ≤≤≤≤221112100011[][|][]()|22y x x x y y y yyyyDe dxdy e dx dy ye dy ye y dy ye e y ===-=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 四、解答题 1、判定级数3111(1)3n nn n ∞+=+-∑的敛散性。

基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.为了得到函数y ＝2x －2的图象，可以把函数y ＝2x 图象上所有的点( )A.向右平行移动2个单位长度B.向右平行移动1个单位长度C.向左平行移动2个单位长度D.向左平行移动1个单位长度解析 因为y ＝2x －2＝2(x －1)，所以只需将函数y ＝2x 的图象上所有的点向右平移1个单位长度即可得到y ＝2(x －1)＝2x －2的图象.答案 B2.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是( )解析 小明匀速运动时，所得图象为一条直线，且距离学校越来越近，排除A.因交通堵塞停留了一段时间，与学校的距离不变，排除D.后来为了赶时间加快速度行驶，排除B.故选C.答案 C3.(2015·浙江卷)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x (－π≤x ≤π且x ≠0)的图象可能为( )解析 (1)因为f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋1x cos(－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x cos x ＝－f (x )，－π≤x ≤π且x ≠0，所以函数f (x )为奇函数，排除A ，B.当x ＝π时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫π－1πcos π<0，排除C ，故选D.答案 D4.(2017·桂林一调)函数y ＝(x 3－x )2|x |的图象大致是( )解析 由于函数y ＝(x 3－x )2|x |为奇函数，故它的图象关于原点对称.当0<x <1时，y <0；当x >1时，y >0.排除选项A ，C ，D ，选B.答案 B5.使log 2(－x )＜x ＋1成立的x 的取值范围是( )A.(－1，0)B..答案 (2，8]7.如图，定义在，.(3)由图象知当x ＝2时，f (x )min ＝f (2)＝－1，当x ＝0时，f (x )max ＝f (0)＝3.10.已知f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)作出函数f (x )的图象；(2)求函数f (x )的单调区间，并指出其单调性；(3)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}.解 (1)当x 2－4x ＋3≥0时，x ≤1或x ≥3，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ≤1或x ≥3，－x 2＋4x －3，1<x <3， ∴f (x )的图象为：(2)由函数的图象可知f (x )的单调区间是(－∞，1]，(2，3)，(1，2]，，(2，3)是减区间；(1，2]，上的值不小于6，求实数a 的取值范围.解 (1)设f (x )图象上任一点坐标为(x ，y )，∵点(x ，y )关于点A (0，1)的对称点(－x ，2－y )在h (x )的图象上，∴2－y ＝－x ＋1－x ＋2，∴y ＝x ＋1x ，即f (x )＝x ＋1x .(2)由题意g (x )＝x ＋a ＋1x ， 且g (x )＝x ＋a ＋1x≥6，x ∈(0，2]. ∵x ∈(0，2]，∴a ＋1≥x (6－x )，即a ≥－x 2＋6x －1.令q (x )＝－x 2＋6x －1，x ∈(0，2]， q (x )＝－x 2＋6x －1＝－(x －3)2＋8，∴当x ∈(0，2]时，q (x )是增函数，q (x )max ＝q (2)＝7. 故实数a 的取值范围是[7，＋∞).。

高等数学B2分题型练习(参考答案) 一、单顶选择题1、 ()C2、()D3、()C4、()C5、()C6、()D7、 ()B8、()B9、()B10、()C 11、()D 12、()A 13、()A 14、()D 15、()D 16、()A 17、()B 18、()B19、()B 20、()C 21、()C 22、()C 23、()D 24、()C 25、()D 26、()A 27、()B28、()A 29、()A 30、()D 31、()D 32、()B 33、()A 34、()B 35、()C 36、()A二、填空题1、02、03、 04、05、12 6、12 7、0 8、2dx dy + 9、12dx dy + 10、0 11、0 12、222()xdx ydy x y ++ 13、1arccos 00(,)y dy f x y dx ⎰⎰14、12arcsin (,)ydy f x y dx π⎰⎰15、110(,)dx f x y dy ⎰ 16、210(,)xxdx f x y dy ⎰⎰17、1618、S 19、0a > 20、12p <≤ 21、( 22、2 23、[1,1)- 24、(2,4)- 25、0(1),(1,1)n nn x x ∞=-∈-∑ 26、0!n n x n ∞=∑ 27、210(1),(,)(21)!n n n x x n +∞=-∈-∞∞+∑ 28、110- 29、xe - 30、2x y e = 31、2± 32、312x x y C e C e -=+ 33、312y x C x C =++34、Cy x= 35、5212415y x C x C =++三、计算定积分1、求定积分cos 2sin x e xdx π⎰解：cos cos cos 222sin cos |1xx x exdx ed x ee πππ=-=-=-⎰⎰2、求定积分cos x xdx π⎰解：cos (sin )x xdx xd x ππ=⎰⎰00sin |sin x x xdxππ=-⎰0cos |2x π==- 3、求定积分220124xdx x ++⎰ 4、求定积分 21ln x xdx ⎰解：2222220001212444x x dx dx dx x x x +=++++⎰⎰⎰ 解：22211ln ln ()2x x xdx xd =⎰⎰ 222001arctan |ln(4)|22x x =++ 22211ln |22x x x dx =-⎰ ln 28π=+ 22132ln 2|2ln 244x =-=-5、求定积分2222dxx x -++⎰ 解：00022222(1)arctan(1)|()221(1)442dx d x x x x x πππ---+==+=--=++++⎰⎰ 6、求定积分解：令sin x t =，则cos dx tdt =，且当x =时，4t π=；1x =时，2π=t 。

2012高等数学B(2)复习题及解答1、220()()xF x tf x t dt =-⎰，求()F x '2、2220cos sin y x t xe dt tdt y =+⎰⎰，求y '3、11111()12x dx e -⎡⎤--⎢⎥+⎣⎦⎰；解 由于11111111()12121212x x x x x e e e e e --=-=--=--++++为奇函数，故11111()212x dx e -⎡⎤-=⎢⎥+⎣⎦⎰ 4、设(,)z f x v =，(,)v v ax by =其中f ，v 具有二阶连续偏导数，求22zy∂∂5、交换⎰⎰-1022),(y ydx y x f dy 的积分次序解 D ：10≤≤y ，22y x y -≤≤，21D D D +=，其中1D ：10≤≤x ，20x y ≤≤；2D ：20≤≤x ，220x y -≤≤⎰⎰-1022),(y ydx y x f dy +=⎰⎰12),(x dy y x f dx ⎰⎰-21202),(x dy y x f dx6、讨论下列函数项级数的收敛域（1）()∑∞=-121n nx n ； （2）330(!)(21)(3)!n n n x n ∞=-∑； （1）解 令2-=x y ，则原级数化为∑∞=11n ny n，1lim 1n n n n a R a →∞+===当1=y 时，∑∞=11n n 发散；当1-=y 时，()∑∞=-111n n n 收敛。

收敛域为 11<≤-y ⇒ 121<-≤-x ⇒ 31<≤x（2）解 缺项情形，直接用函数通项比值法求R3331(1)2121lim lim 1(33)(32)(31)27n n n nn x x u u n n n +→∞→∞+--==<+++ 当213x -<时，原级数绝对收敛；当213x -=±时，33(!)(3)lim lim 0(3)!nn n n n u n →∞→∞±=≠，原级数发散。

高等数学b2第六章教材答案高等数学B2 第六章教材答案第一节：函数极值和最值1. 函数的极值和最值是函数在定义域内的特殊点，它们在数学和实际问题中具有重要的应用价值。

下面是第六章教材中相关习题的答案：习题1：a) 求函数$f(x) = 3x^2 - 6x + 2$在区间[-1, 2]上的极大值和极小值。

解：首先求函数$f'(x) = 6x - 6$的零点，即$6x - 6 = 0$，得$x = 1$。

将$x = -1, x = 1, x = 2$代入$f(x)$中，分别得到$f(-1) = 13, f(1) = -1, f(2)= 10$。

所以$f(x)$在$x = 1$处取得极小值-1，在$x = -1$处取得极大值13。

b) 求函数$g(x) = x^3 - \frac{9}{2}x^2 + 3$在整个定义域上的最大值和最小值。

解：首先求函数$g'(x) = 3x^2 - 9x$的零点，即$3x^2 - 9x = 0$，得$x = 0, x = 3$。

将$x = 0, x = 3$代入$g(x)$中，分别得到$g(0) = 3, g(3) =\frac{27}{2}$。

所以$g(x)$在$x = 3$处取得最大值$\frac{27}{2}$，在$x = 0$处取得最小值3。

2. 函数的极值和最值在实际问题中有很多应用，比如优化问题、经济学中的最大效益等。

通过求解函数的极值和最值，可以找到使函数取得最优结果的变量取值。

习题2：一块长方形的地面上，以其一条边为底，作一个等腰直角梯形，使得梯形的上底与下底分别与已知两块木板的宽度相等。

问该等腰直角梯形的底边长度为多少，才能使梯形的面积最大。

解：设等腰直角梯形的底边长度为$x$，则梯形的上底和下底长度也都为$x$。

设梯形的高为$h$，根据勾股定理得到$h = \sqrt{2}x$。

梯形的面积$S(x) = \frac{1}{2}(x + x)(\sqrt{2}x)$。

第四章 微分中值定理和导数的应用一、填空题(1)函数x x x f -=3)(在区间[]3,0上连续，在区间()3,0内可导，则满足罗尔定理结论的=ξ .(2) 设)(x f 在R 上连续可导，k x f x ='∞→)(lim ，则lim[(2)()]x f x f x →∞+-= . (3) 当=a ，=b ，=c 时，曲线c bx ax x y +++=23有拐点)1,1(-，且在0=x 处有极大值。

(4) 设某商品的需求函数为p Q -=910，则5=p 时该商品的需求弹性为 ，其经济意义是 .二、选择题(1)设)3)(2)(1()(---=x x x x f ，则0)(='x f 有( )个根.A. 一个实根B. 两个实根C. 三个实根D. 无实根(2)设)(x f 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且当(,)x a b ∈，()0f x '>，又知()0f a <，则（ ）.A. )(x f 在[,]a b 上单调递增，且 ()0f b >B. )(x f 在[,]a b 上单调递增，且 ()0f b <C. )(x f 在[,]a b 上单调递减，且 ()0f b <D. )(x f 在[,]a b 上单调递增，且 ()f b 正负号无法确定(3)已知函数)(x f 对一切x 满足2()3[()]1x xf x x f x e -'''+=-，若)0(0)(00≠='x x f ，则( ).A. )(0x f 是)(x f 的极大值B. ))(,(00x f x 为曲线)(x f 的拐点C. )(0x f 是)(x f 的极小值D. )(0x f 不是)(x f 极值，))(,(00x f x 也不是)(x f 的拐点(4)若)(x f 二阶可导，且)()(x f x f -=，又当),0(∞+∈x 时，0)(>'x f ，()0f x ''>，则在)0,(-∞内)(x f （ ）.A. 单调增加,上凸B. 单调减少,下凸C. 单调减少,上凸D. 单调增加,下凸(5)下列求极限问题中能够使用洛必达法则的是（ ）. A. x x x x cos 1sinlim 20→ B. bx x x cos 22lim 1--→ C. x x x x x cos sin lim -∞→ D. )arctan 2(lim x x x -∞→π三、计算下列极限 (1) 33601lim sin (2)x x e x x →-- (2) x x x)11(lim 0++→ (3) ）21ln(10)(cos lim x x x +→(4) 1lim[ln()]x x e x x→+∞+-四、综合题：求2)3(361)(++=x x x f 的单调区间、极值、凸区间及拐点. 五、证明题(1) 设)(x f 可导，试证)(x f 的两个零点之间一定有函数)()(x f x f +'的零点.(2) 设)(x f 在闭区间[]2,1上具有二阶导数()f x ''，且0)2()1(==f f ，又)()1()(x f x x F -=，证明至少存在一点），（21∈ξ使得()0F ξ''=. (3) 证明：当10<<x 时，2sin 12xx e x +>+. 六、应用题1.设某产品的价格函数和总成本函数分别为()800.1p Q Q =-，()C Q =5000Q 20+，其中Q 是销售量（需求量），p 是产品价格. 试求：(1) 需求弹性()p η；（2）400=Q 时的边际利润，并说明)400(L '的经济意义；(3) Q 为多少时总利润可达到最大.2.某商店每周购进一批商品，进价为6元/件，若零售价定为10元/件，可售出120件；当售价降低0.5元/件时，销量增加20件，问售价p 定为多少和每周进货多少时利润最大，其值为何？。

第八章 空间解析几何知识要点：会向量的运算（线性运算、数量积、向量积）；了解单位向量、方向余弦的概念。

两向量平行或垂直的充要条件。

向量的坐标表达式及其运算；平面方程和直线方程及其求法。

1、向量→→→→+-=k j i a 32与→→→→++=k j i b 254的夹角是（ C ） A 、4π B 、3π C 、2π D 、6π 2、向量()111,,a x y z →=与 ()222,,b x y z →=平行的充要条件是（ A ）A 、0=⨯→→b a B 、1212120x x y y z z ++= C 、cos ,0a b →∧→⎛⎫= ⎪⎝⎭D 、0=⋅→→b a3、若c a b a⋅=⋅，则（ D ）A 、c b =B 、b a ⊥且c a⊥ C 、0 =a 或()0 =-c b D 、()c b a -⊥4、直线与平面的位置关系是（ D ）． A. 垂直 ； B.相交但不垂直； C. 直线在平面上； D. 平行． 5、直线与平面的位置关系是（ A ）． A. 垂直 ； B.相交但不垂直； C. 直线在平面上； D. 平行．6、直线431232--=+=-z y x 与平面03=-++z y x 的关系是（ C ） A 、垂直 B 、平行 C 、直线在平面上 D 、以上都不对7、在z 轴上与两点()7,1,4-A 和()2,5,3-B 等距离的点的坐标为 ⎪⎭⎫⎝⎛91400， 8、在轴上与点和点等距离的点为 9、z 轴上与点()1,7,3A -和点()5,5,7B -等距离的点是 （0,0,2） . 10、设向量与垂直，则 8 11、设，且，则=12、设()2,1,2=→a ，()10,1,4-=→b ，→→→-=a b c λ，且→→⊥c a ，则=λ 3 13、已知两点和，平行于37423zy x =-+=-+3224=--z y x 723zy x =-=8723=+-z y x y ()7,3,1-A()5,7,5-B ()0,2,0(0,1,4)a =-(1,,2)b k =k =4,2λ=+-=+a i j k b i k ⊥a b λ12()5,0,4A ()3,1,7B AB )2,1,3-14、平行于()6,7,6a →=-的单位向量为676,,111111⎛⎫±- ⎪⎝⎭. 15、已知点()1,3,4A -，()2,1,1B --，()3,1,1C --，则ABC ∠= 4π16、求平行于y 轴，且经过点()2,2,4-P 和()7,1,5Q 的平面方程 解：y 轴的方向向量()0,1,0=s ，()9,1,1-=PQ则所求平面的法向量为()1,0,9911010-=-=⨯=k j i PQ s n 所求平面方程为()()()()0212049=+-+-+-z y x 即0389=--z x17、求过点()()27413821，，，，，P P -且垂直于平面0217531=+-+z y x ：π的平面方程。

第六章 微分方程作 业 题一、求解下列微分方程的通解或满足初始条件的特解.1．()2d 4d 0y x x x y +-=2．()2d 2d 0x y x xy y -+=3. d 0xy x y =, 1e x y ==.4. 22e d ,2e d x y xy x y y x ==+=.5.(1ln ln )xy y y x '=+-6．d 2ln d yx y x x x +=，1(1)9y =-7．22ddyx xy yx+=，(1)1y=8．2(1)2cos0x y xy x'-+-=，1xy==.9．3d (4)dyy x yx-=.10.求方程yy''-y'2=0的通解.11．2d 3d y xy xy x -=.12.25sin 2y y y x '''++=13.4e ,(0)0,(0)1x y y x y y '''-===二、设0()sin e ()d xt f x x f x t t =+-⎰，若()f x 连续，求满足条件的()f x .练习题一、填空题1. 微分方程2(1)d (1)d 0y x yx x y +-+=的通解是 .2. 微分方程d 2d 0x y y x +=满足初始条件21x y ==的特解为 .3. 微分方程x y y y x '=+满足初始条件12x y ==的特解为 .4. 微分方程2d d e d y x y y x y y -=的通解为 .5. 微分方程3xy y '+=满足初始条件10x y ==的特解为 .6. 若连续函数()f x 满足20()2()d x f x f t t x +=⎰，则()f x = . 7.方程2(1)2x y xy '''+=满足初始条件001,3x x y y =='==的特解为 .8.设()Y x 是方程()()0y P x y Q x y '''++=的通解,()y x *是方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的一个特解，则是方程()()()y P x y Q x y f x '''++=的通解为 .二、单项选择题1. 函数y C x =-(C 为任意常数)是微分方程1xy y '''-=的 .A. 通解B. 特解C. 是解，但既不是通解也不是特解D. 不是解2. 微分方程0y y ''+=的通解是y = .A. sin A xB. cos B xC. sin cos x B x +D. sin cos A x B x +3．已知某微分方程的通解为212()e x y C C x =+，且满足01x y ==,00x y ='=，则有 .A.2e x y = B. 2e x y x = C. 2(1)e x y x =+ D. 22e x y =4. 方程()d d 0x y y y x +-=的通解为 . A.e xy y C = B. e y x y C = C. 2e y x y Cx = D. 2e y x y Cx -= 5. 若011()d ()22xf t t f x =-⎰，则()f x = . A. 2e x B. 1e 2x C. 2e x D. 211e 22x - 6. 设()y x 满足微分方程2cos tan y x y x '+=，且40x y π==. 则0x y == . A. 4π B. 4π- C. 1- D. 17. 微分方程cos y y x x ''+=的一个特解形式为 .A. ()cos ax b x +B.()cos ()sin x ax b x x cx d x +++ C. ()sin x ax b x + D. ()cos ()sin ax b x cx d x +++三、设()()()F x f x g x =，其中函数(),()f x g x 在(,)-∞+∞内满足以下条件： ()(),()(),(0)0,()()2e x f x g x g x f x f f x g x ''===+=且.求：1．()F x 所满足的一阶微分方程； 2．()F x 的表达式.四、求下列微分方程的通解或给定初始条件下的特解1. 0xy y '-=.2. 1e d e ()d 0x xy y y x y x y ⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭.3.2d 1d ()y x x y =-.4．2201y y y '''+=-.5．(1)10,(0)1,(0)2x y y y y ''''+-+===.6.004130,0,1x x y y y y y ==''''-+===.7.221y y x '''+=+8.22e sin x y y y x '''-+=,(0)1,(0)0y y '==第八章 多元函数微分学 一、 内容多元函数的概念，二元函数几何意义，二元函数的极限与连续性；偏导数的概念，二阶偏导数，全微分，多元复合函数求偏导，隐函数的偏导数；多元函数的无条件极值与条件极值，最小二乘法。

第六章 微分方程 练习题 参考答案一、填空题1x Cx =+ 2. 24y x= 3. 1e Cx y x += 4.e y x C y +=5.33y x =-6.211e 22x x --+ 7. 331y x x =++ 8．*()()y Y x y x =+ 二、单项选择题1. C2. D 3．B 4.A 5.C 6.C 7. B三、：1.222()()()()()()()(()())F x f x g x f x g x g x f x f x g x '''=+=+=+ 22()()4e2()xf xg x F x -=-，又已知(0)0f =，故(0)(0)(0)0F f g ==，所以()F x 所满足的一阶微分方程为2()2()4e (0)=0xF x F x F '⎧+=⎨⎩ 2. 由上面的微分方程得2()2,()4e xP x Q x ==，则其通解为2d 2d 2()e 4e e d x xx F x x C -⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰()24e e x x C -=+，又因为(0)0F =，因此得1C =-.所以，()F x 的表达式为 22()ee xx F x -=-.四、求下列微分方程的通解或给定初始条件下的特解解：1. 原方程可化为 1ln y y y x x ⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，令y u x =，则d d d d y uu x x x=+，代入原方程得 d (1ln )d u u xu u x+=+，整理得d ln d u xu u x =，分离变量得 d d ln u xu u x =，两边积分得ln ln ln ln u x C =+，由此得ln u Cx =，即e Cx u =.因此，原方程的通解为e Cx y x =.2. 原方程可化为e 1d e ()d (1e )1ex x yyx xy yx y x x y y y ⎛⎫- ⎪-⎝⎭==++，令x u y =，则x u u y ''=+，代入原方程得e (1)1e u u u u u y -'+=+，分离变量得1e 1d d e u u u y u y +=-+，两边积分得 1ln e ln u u y C +=-+，即 1ln e ey C u Cu y-++=±=，故原方程的通解为e xy y x C +=.3. 令x y u -=，则原方程可化为 211u u'-=，分离变量得22d d 1u u x u =-，即211d d 1u x u ⎛⎫+= ⎪-⎝⎭，两边积分得 11ln 21u u x C u -+=++，故原方程的通解为11ln 21x y y C x y --=+-+. 4. 令y p '=，则d d p y p y''=，原方程变为2d 20d 1p p p y y +=-.分离变量得，12d d 1p y p y =-，积分得 0ln ||2ln |1|p y C =-+，即 ()211y C y '=-，分离变量得()12d d 1yC x y =-，积分得()()1211C x C y +-=.5. 令y p '=，则y p '''=原方程变为 ()110x p p '+-+=，分离变量得11d d 11p x p x =-+，积分 0ln |1|ln |1|p x C -=++，即()111y C x '=++，其中01e C C =±. 又(0)2y '=得 11C =，所以2y x '=+，22122y x x C =++，又(0)1y =得21C =，所以21212y x x =++. 6. 对应的特征方程为24130r r -+=得1223,23r i r i =+=-，因此通解为()212e cos3sin 3x y C x C x =+，由00x y ==得10C =，即22e sin 3x y C x =，又()22e 2sin 33cos3x y C x x '=+，01x y ='=得213C =，所以1e sin 33xy x =. 7．对应的齐次方程的特征方程为20r r +=，解得120,1r r ==-，由于0λ=是特征方程的一个根，可设*2()()y x x ax bx c =++为原方程的一个特解，代入得2,2,53a b c ==-=，所以*322()253y x x x x =-+，又齐次方程的通解为12e x y C C -=+，所以通解为32122e 253x y C C x x x -=++-+.8．对应的齐次方程的特征方程为2220r r -+=，解得121,1r i r i =+=-，从而对应的齐次方程的通解为12e (cos sin )x y C x C x =+．设原方程的特解为*()e (cos sin )xy x x a x b x =+，代入得1,02a b =-=；即*1()e cos 2x y x x x =-，从而原方程的通解为121e (cos sin )e cos 2xx y C x C x x x =+-，又(0)1,(0)0y y '==，所以1211,2C C ==-，从而满足初始条件的特解为11e cos sin e cos 22x x y x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.第八章 多元函数微分学四、典型题目（一）填空题.1．点集{}22(,)14D x y x y =<+≤是 开 （开、闭）集，是 有 （有、无）界集，边界曲线为221x y +=及224x y +=.2．设函数1ln()z x y =+，则其定义域为{}(,)01x y x y x y +>+≠且.3．设2(,e )yf x y x y +=，则(,)f x y =2(ln )ln x y y -. 4．设22221(,)()sinf x y x y x y=++，则(,)(0,0)lim (,)x y f x y →=0. 5．设(,)z f x y =在点(0,1)处偏导数存在，则用定义式表达为(0,1)x f =0(0,1)(0,1)limx f x f x∆→+∆-∆，(0,1)y f =0(0,1)(0,1)lim y f y f y ∆→+∆-∆.6．设函数(,)z f x y =在点(,)x y 可微分，则d z =d d x y f x f y +.7．设arctan arcsin x z y y =+，则d z=2222d d y x x y x y x y ⎛⎫+-⎪⎪++⎭. 8．若(,)z f x u =，而(,)u x y ϕ=，则z x∂=∂x uf f x ϕ∂+∂, z y ∂=∂u f y ϕ∂∂. 9．设(,)yf x y x =，则2fx y∂=∂∂1(1ln )y x y x -+10．设(,)z x y 为由方程22ln()0xz xyz xyz -+=确定的函数，则z x∂=∂z x -11．设函数(,)z f x y =在点00(,)x y 具有偏导数，则(,)z f x y =在点00(,)x y 具有极值的必要条件为0000(,)0,(,)0x y f x y f x y ==.12. 要求函数(,,,)F f x y u v =在附加条件(,,,)0x y u v ϕ=，(,,,)0x y u v ψ=下的极值，可以先作拉格朗日函数(,,,,,)(,,,)(,,,)(,,,)L x y u v f x y u v x y u v x y u v λμλϕμψ=++.(二)、单项选择题1．函数(,)f x y 在点00(,)x y 偏导数存在是(,)f x y 在该点连续的 D . A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件2．设2sin(),0(,),0x y xy f x y xy x xy ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，则(0,1)x f = B .A ．0B ．1C ．2D ．不存在 3．若在点00(,)x y 处0fx∂=∂，0f y ∂=∂，则(,)f x y 在点00(,)x y 是 D . A ．连续且可微 B ．连续但不一定可微C ．可微但不一定连续D ．不一定可微也不一定连续4. 设()22,z f xy x y =-，f 具有二阶连续导数，则22zy∂=∂ C .A ．221112222442x f xyf y f f '''''''+++ B ．221122242f x y f f '''''+- C ．221112222442x f xyf y f f '''''''-+- D ．22f '- 5．设(,)0x az y bz φ--=，则z zab x y∂∂+=∂∂ D . A ．a B ．b C ．-1 D ．16．记00(,)xx f x y A =，00(,)xy f x y B =，00(,)yy f x y C =，那么当 A 时函数(,)f x y 在其驻点00(,)x y 处取得极小值00(,)f x y .A ．20,0AC B A ->> B ．20,0AC B A ->< C ．20,0AC B A -<> D ．20,0AC B A -<>(三)、解答题1．221sin()cos lim x y xy xy x x y x →→+-解：2201sin()cos limx y xy xy x x y x →→+-221sin()cos lim x y xy xy x x y y xy →→+-=⋅ 01sin()lim cos 112x y xy x xy y xy →→⎛⎫=+-⋅=+= ⎪⎝⎭．2．设2(1)x yz xy +=+，求11x y z x==∂∂.解：2(,1)(1)x z z x x +==+，ln (2)ln(1)z x x ∴=++，在等式两边对x 求偏导，得12ln(1)1z x x z x x ∂+=++∂+，22ln(1)(11)x z x x x x x +∂+⎡⎤∴=++++⎢⎥∂⎣⎦， 31132ln 28ln 2122x y zx==∂⎛⎫=+=+ ⎪∂⎝⎭．3．设20(,)e d xyt f x y t -=⎰，求2fx y∂∂∂.解：()222e d e xy t x yx f t y x --∂==∂⎰， ()22222222222e e (2)e (12)e x yx y x y x y xy f y y x y x y y----∂==+-=-∂4．设22zu x y =+，求(1,1,2)d u .解：22z u x y =+，22222222()()x z xzu x x y x y --∴=⋅=++，从而(1,1,2)1x u =-，22222222()()y z yzu y x y x y --=⋅=++，从而(1,1,2)1y u =-，221z u x y=+，从而(1,1,2)12zu =， (1,1,2)1d d d d 2u x y z ∴=--+ 5. 设(,,)z f u x y =，e yu x =，其中f 具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂.解：12e yz f u f f f x u x x ∂∂∂∂''=⋅+=+∂∂∂∂，()212121e e e y y y f f z f f f x y y y y ''∂∂∂∂'''=+=++∂∂∂∂∂ 111132123111132123e e e e e e e y y y y y y y u uf f f f f f x f f x f f y y ⎛⎫⎛⎫∂∂''''''''''''''''''=++++=+⋅+++ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ ()2113112123e e e y y y f f x f x f f '''''''''=++++. 6．设(2)(,)z f x y g x xy =-+，其中()f t 二阶可导，(,)g u v 具有连续二阶偏导数，求2zx y∂∂∂.解：令2t x y =-，,u x v xy ==，则d d 2(2)d d z f t g u g vf x y x t x u x v x∂∂∂∂∂'=⋅+⋅+⋅=-∂∂∂∂∂ 12g yg ''++，21222()g g z t f t g yx y y y y''∂∂∂∂'''=+++∂∂∂∂∂122222(2)f x y xg g xyg '''''''=--+++. 7．方程xyz +=(,)z z x y =，求在点(1,0,1)-处的全微分.解：令(,,)F x y z=xyz则x F yz =y z F xz F xy =+=+x z F zxF ∂=-=∂ 从而(1,0,1)1zx-∂=∂；y z F z y F ∂=-=∂从而(1,0,1)zy -∂=∂；所以(1,0,1)d d zx y -=-．8．要造一个容积等于定数k 的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，方可使它的表面积最小。

x y O x y O x y O xyO河南许昌高级中学必修2（B ）第二章测试卷A 卷1．下列命题中为真命题的是（ ）A ．平行直线的倾斜角相等B ．平行直线的斜率相等C ．互相垂直的两直线的倾斜角互补D ．互相垂直的两直线的斜率互为相反 2. 在同一直角坐标系中，表示直线y ax =与y x a =+正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．图13．已知点(1,2)A 、(3,1)B ，则线段AB 的垂直平分线l 的方程是（ ） A ．524=+y x B ．524=-y x C ．52=+y x D ．52=-y x4．如果直线022=++y ax 与直线023=--y x 平行，那么系数a 为（ ） A ．23-B ．6-C ．3-D ．32 5.空间直角坐标系中,点(3,4,0)A -和点(2,1,6)B -的距离是 ( ) A．．．9 D6．圆：012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（ ）A ．2B ．21+C ．221+D ．221+ 7．直线x y 2=关于x 轴对称的直线方程为.8．已知点)1,1(P 和直线l ：02043=--y x ，则过P 与直线l 平行的直线方程是，过点P 与l 垂直的直线方程是.9．直线l 经过直线0623=++y x 和0752=-+y x 的交点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线l 的方程是______.10．方程022=++-+m y x y x 表示一个圆，则m 的取值范围是.11．求经过点)2,1(A 且到原点的距离等于1的直线方程.12．已知一曲线是与两个定点(0,0)O 、(3,0)A 距离的比为21的点的轨迹，则求此曲线的方程.B 卷1．过直线013=-+y x 与072=-+y x 的交点，且与第一条直线垂直的直线l 的方程是（ ）A ．073=+-y xB ．0133=+-y xC ．072=+-y xD ．053=--y x 2．已知(2,1,1),(1,1,2),(2,0,1)A B C ，则下列说法中正确的是（ ） Ａ.,,A B C 三点可以构成直角三角形 Ｂ.,,A B C 三点可以构成锐角三角形 Ｃ.,,A B C 三点可以构成钝角三角形Ｄ.,,A B C 三点不能构成任何三角形 3．已知1O ：06422=+-+y x y x 和2O ：0622=-+x y x 交于,A B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（ ）Ａ.30x y ++=Ｂ.250x y --=Ｃ.390x y --=Ｄ.4370x y -+= 4．两点)2,2(++b a A 、B ),(b a b --关于直线1134=+y x 对称，则（ ） Ａ.2,4=-=b a Ｂ.2,4-==b a Ｃ.2,4==b a Ｄ.2,4a b ==5．与圆02422=+-+y y x 相切，并在x 轴、y 轴上的截距相等的直线共有 （ ） A 、6条 B 、5条 C 、4条 D 、3条6．直线2x =被圆422=+-y a x ）（所截得的弦长等于32，则a 的值为（ ） A 、-1或-3 B 、22-或 C 、1或3 D 、37.已知(1,2,1),(2,2,2)A B -，点P 在z 轴上，且PA PB =,则点P 的坐标为8.圆心在直线270x y --=上的圆C 与y 轴交于两点(0,4)A -，(0,2)B -，则圆C 的方程为．9．已知点(,)M a b 在直线1543=+y x 上，则22b a +的最小值为10．经过)1,2(-A 和直线1x y +=相切，且圆心在直线x y 2-=上的圆的方程为. 11．求垂直于直线0743=--y x ，且与两坐标轴构成周长为10的三角形的直线方程12．自点A(-3，3)发出的光线L 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆x 2+y 2-4x-4y+7=0相切，求光线L 所在直线的方程.C 卷1.如图2，圆822=+y x 内有一点(1,2)P -，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦， （1）当α＝135０时，求AB 。

基础巩固题组 (建议用时：30分钟)一、选择题1.(2017·长沙模拟)已知α是第四象限角，sin α＝－1213，则tan α＝( ) A.－513B.513C.－125D.125解析 因为α是第四象限角，sin α＝－1213， 所以cos α＝1－sin 2α＝513， 故tan α＝sin αcos α＝－125. 答案 C2.已知tan α＝12，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin α＝( )A.－55 B.55 C.255D.－255解析 ∵tan α＝12＞0，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴sin α＜0，∴sin 2α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2αtan 2α＋1＝1414＋1＝15， ∴sin α＝－55. 答案 A3.1－2sin （π＋2）cos （π－2）＝( ) A.sin 2－cos 2 B.sin 2＋cos 2 C.±(sin 2－cos 2)D.cos 2－sin 2解析1－2sin （π＋2）cos （π－2）＝1－2sin 2cos 2＝（sin 2－cos 2）2＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.答案 A4.(2017·烟台质检)向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝( ) A.－13B.13C.－23D.－223解析 ∵a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，∴13×1－tan αcos α＝0，∴sin α＝13， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－13.答案 A5.(2017·广州二测)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋θ＝( ) A.13 B.223 C.－13D.－223解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝13.答案 A6.(2017·盘锦模拟)已知tan α＝3，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是( )A.12B.2C.－12D.－2解析 原式＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝（sin α＋cos α）2（sin α＋cos α）（sin α－cos α）＝sin α＋cos αsin α－cos α ＝tan α＋1tan α－1＝3＋13－1＝2.答案 B7.已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A.－15B.－35C.15D.35解析 sin 4α－cos 4α＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1＝－35. 答案 B8.(2017·西安模拟)已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 017)的值为( ) A.－1B.1C.3D.－3解析 ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β) ＝－a sin α－b cos β ＝－3. 答案 D 二、填空题9.(2016·四川卷)sin 750°＝________.解析 sin 750°＝sin(720°＋30°)＝sin 30°＝12. 答案 1210.已知α为钝角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝34，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝________.解析 因为α为钝角，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－74，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－74. 答案 －7411.化简：sin 2（α＋π）·cos （π＋α）·cos （－α－2π）tan （π＋α）·sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin （－α－2π）＝________.解析 原式＝sin 2α·（－cos α）·cos αtan α·cos 3α·（－sin α）＝sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α＝1.答案 112.(2016·全国Ⅰ卷)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.解析 由题意，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝34.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4 ＝－43. 答案 －43能力提升题组 (建议用时：15分钟)13.已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( ) A.－π6 B.－π3 C.π6D.π3解析 ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， ∴－sin θ＝－3cos θ，∴tan θ＝3，∵|θ|＜π2，∴θ＝π3. 答案 D14.若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( ) A.1＋ 5 B.1－ 5 C.1± 5D.－1－ 5解析 由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θ·cos θ＝m4. 又()sin θ＋cos θ2＝1＋2sin θcos θ， ∴m 24＝1＋m2，解得m ＝1±5. 又Δ＝4m 2－16m ≥0， ∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5. 答案 B15.sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________.解析 sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＋sin 290°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 290°＝44＋12＋1＝912. 答案 91216.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝________. 解析 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a .sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0.答案 0。