北京市西城区八年级(上)期末考试数学试题及答案(含答案)

2020-2021学年北京市西城区八年级上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列计算正确的是()A. 2−1=−2B. a3⋅a3=2a3C. (−7)0=1D. (−c)4÷(−c)2=−c22.以下四个标志，每个标志都有图案和文字说明，其中的图案是轴对称图形是()A. 节能B. 绿色环保C. 永洁环保D. 绿色食品3.计算结果不为a8的是()A. a10÷a2B. a2×a6C. (a4)2D. a4+a44.画∠AOB的角平分线的方法步骤是：①以O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于M点，交OB于N点；②分别以M，N为圆心，大于12MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C；③过点C作射线OC．射线OC就是∠AOB的角平分线．请你说明这样作角平分线的根据是()A. SSSB. SASC. ASAD. AAS5.化简分式a2−abb2−a2的结果是()A. aa+b B. a+baC. a−a−bD. aa−b6.要使(−6x3)(x2+ax−3)的展开式中不含x4项，则a=()A. 1B. 0C. −1D. 167.已知P1(−2,m)，P2(1,n)是函数y=−2x+1图象上的两个点，则m与n的大小关系是()A. m>nB. m<nC. m=nD. 无法确定8.下列说法：①角是轴对称图形，对称轴是角的平分线；②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴；③关于某直线对称的两个三角形一定是全等三角形；④两图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁，其中正确的有()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个9.一项工程，甲独做需10天完成，乙独做需6天完成，现由甲先做3天，乙再加入合做，设完成此项工需x天，由题意得方程()A. x10+x6=1 B. x+310+x−36=1C. x10+x−36=1 D. x−310+x6=110.如图，已知Rt△ABC，∠C=90°，CA=3，CB=4，点M从点B出发沿线段BC匀速运动至点C，过点M作MN⊥AB于N，则△BMN面积S与点M的运动时间t之间的函数图象大致是()A. B. C. D.二、填空题（本大题共9小题，共24.0分）11.要使−3√3−a有意义，则a的取值范围是______ ．12.如图，已知正方形ABCD，定点A(1,3)，B(1,1)，C(3,1)，AC、BD交于M，M点坐标为(2,2)，规定“把正方形ABCD先沿x轴翻折，再向左平移1个单位长度”为一次变换，如此这样，连续经过2017此变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为______ ．13.计算：(3ab+2b)÷b=______．14.如果△ABC≌△DEF，且△ABC的周长是90cm，AB=30cm，AC=20cm，那么EF的长等于______cm．15.小重和小庆相约从学校出发沿同一路线到“开心之洲”玩耍．小重出发1分钟后小庆才出发，小重出发6分钟后发现自己钱包没有带，于是立即掉头并将速度提高为原来的两倍跑步回学校，回学校取到钱包后保持跑步的速度立即赶往“开心之洲”，最终比小庆早1分钟到达．小重两次掉头的时间和取钱包的时间忽略不计，小庆全程保持匀速，小重、小庆相距的路程y(米)和小庆出发的时间t(分)之间的函数关系如图所示，则学校到“开心之洲”的路程为______米．16.从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形后，所得边框等宽．将其裁成四个矩形(如图甲)，然后拼成一个大矩形(如图乙).那么通过计算阴影部分的面积可以验证公式．17.如图.在Rt△ABC中，∠BAC=60°，以点A为圆心、任意长为半径作弧分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径作弧.两弧交于点P.作射线AP交BC于点E.若BE=1，则Rt△ABC的周长等于______ ．18.一次函数y=kx+b的图象如图所示，那么k______0，b______0.19.1a+1−aa2−1=______．三、解答题（本大题共10小题，共66.0分）20.(1)因式分解：9a2(x−y)−b2(x−y) (2)解方程：(x+3)(x−5)−(x+1)(x−1)=221.化简或计算：(1)a2−aba2÷a2−b2ab；(2)a+1−a2a−1．22.如图，AB=AC，AC的垂直平分线MN交AB于D，交AC于E．(1)若∠A=40°，求∠BCD的度数；(2)若AE=5，△BCD的周长17，求△ABC的周长．23. 解方程：2xx−2=1+12−x．24. 如右图，已知F是DE的中点，∠D=∠E，∠DFN=∠EFM.求证：DM=EN．25. 甲、乙两台机器共加工一批零件，在加工过程中两台机器均改变了一次工作效率．从工作开始到加工完这批零件两台机器恰好同时工作6小时．甲、乙两台机器各自加工的零件个数y(个)与加工时间x(时)之间的函数图象分别为折线OA−AB与折线OC−CD.如图所示．(1)甲机器改变工作效率前每小时加工零件______ 个．(2)求乙机器改变工作效率后y与x之间的函数关系式，并求出自变量x的取值范围．(3)求这批零件的总个数．(4)直接写出当甲、乙两台机器所加工零件数相差10个时，x的值为______ ．x+b+2t−5 26. 如图在平面直角坐标系中，已知直线y=tx+2t交x轴负半轴于点B；直线y=−tb 交x轴正半轴于点C，且这两条直线与y轴交于同一点A．(1)求BC的长．(2)作BC的垂直平分线交线段AC于点F，交x轴于E，连接BF交y轴于点K，若AK的长为d，求d与t的函数关系式．(3)在(2)的条件下，过点F作x轴的平行线FG，连接BG交CF于H，连接CG，若当∠BGC+∠BHC=180°时，BH=3CG，求点H的坐标．27. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为(−4,0).点B的坐标(2,0)，点C的坐标为(0,4)，连接BC，AC，过点A作AF⊥BC，垂足为点F，交OC于点E．(1)求证：△AOE≌△COB；(2)求线段AE的长：(3)若点D是AC的中点，点M是y轴负半轴上一动点，连接MD，过点D作DN⊥DM交x轴于点N，设S=S△CDM−S△ADN，在点M的运动过程中，S的值是否发生改变？若改变，直接写出S的范围；若不改变，直接写出S的值．28. 将一矩形纸片OABC放在直角坐标系中，O为原点，C在x轴上，OA=9，OC=15．(1)如图1，在OA上取一点E，将△EOC沿EC折叠，使O点落至AB边上的D点，求直线EC的解析式；(2)如图2，在OA、OC边上选取适当的点M、F，将△MOF沿MF折叠，使O点落在AB边上的D′点，过D′作D′G⊥CO于点G点，交MF于T点．①求证：TG=AM；②设T(x,y)，探求y与x满足的等量关系式，并将y用含x的代数式表示(指出变量x的取值范围)；(3)在(2)的条件下，当x=6时，求出四边形MOFD′的面积．29. 在平面直角坐标系中，点A(−3,0)，B(0,4)．(1)直接写出直线AB的解析式；(2)如图1，过点B的直线y=kx+b交x轴于点C，若∠ABC=45°，求k的值；(3)如图2，点M从A出发以每秒1个单位的速度沿AB方向运动，同时点N从O出发以每秒0.6个单位的速度沿OA方向运动，运动时间为t秒(0<t<5)，过点N作ND//AB交y轴于点D，连接MD，是否存在满足条件的t，使四边形AMDN为菱形，判断并说明理由．参考答案及解析1.答案：C，故选项A不合题意；解析：解：2−1=12a3⋅a3=a6，故选项B不合题意；(−7)0=1，正确，故选项C符合题意；(−c)4÷(−c)2=c2，故选项D不合题意．故选：C．分别根据负整数指数幂的运算法则，同底数幂的乘法法则，任何非0数的0次幂等于1以及同底数幂的除法法则计算逐一判断即可．本题主要考查了同底数幂的乘除法以及负整数指数幂，非0数的0次幂，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．2.答案：D解析：解：A.不是轴对称图形，故本选项不合题意；B.不是轴对称图形，故本选项不合题意；C.不是轴对称图形，故本选项不合题意；D.是轴对称图形，故本选项符合题意；故选：D．根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行分析即可．此题主要考查了轴对称图形，正确掌握轴对称图形的定义是解题关键．3.答案：D解析：解：A.a10÷a2=a10−2=a8，故本选项不合题意；B.a2×a6=a2+6=a8，故本选项不合题意；C.(a4)2=a4×2=a8，故本选项不合题意；D.a4+a4=2a4，故本选项符合题意；故选：D．分别根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则以及合并同类项法则逐一判断即可．本题考查了同底数幂的乘除法，合并同类项以及幂的乘方，掌握相关运算法则是解答本题的关键．4.答案：A解析：先证明三角形全等，再利用全等的性质证明角相等．从画法①可知OA=OB，从画法②可知CM=CN，又OC=OC，由SSS可以判断△OMC≌△ONC，∴∠MOC=∠NOC，即射线OC就是∠AOB的角平分线．故选A．5.答案：C解析：此题考查了约分，找出分子分母的公因式是解本题的关键．原式分子分母提取公因式变形后，约分即可得到结果．解：原式=−a(a−b)(a+b)(a−b)=−a a+b=a−a−b．故选C．6.答案：B解析：解：原式=−6x5−6ax4+18x3，由展开式不含x4项，得到a=0，故选：B．原式利用单项式乘以多项式法则计算，根据结果不含x4项求出a的值即可．此题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．7.答案：A解析：解：∵一次函数y=−2x+1中，k=−2<0，∴y随着x的增大而减小．∵P1(−2,m)，P2(1,n)是函数y=−2x+1图象上的两个点，−2<1，∴m>n．故选：A．先根据一次函数的解析式判断出函数的增减性，再根据−2<1即可得出结论．本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．8.答案：C解析：本题考查了轴对称以及对称轴的定义和应用，难度不大，属于基础题．要找出正确的说法，可运用相关基础知识分析找出正确选项，从而得出正确选项．解：①角是轴对称图形，对称轴是角的平分线所在的直线，而非角平分线，故①错误；②等腰三角形至少有1条对称轴，至多有3条对称轴，正三角形有3条对称轴，故②正确；③关于某直线对称的两个三角形一定可以完全重合，所以肯定全等，故③正确；④两图形关于某直线对称，对称点可能重合在直线上，故④错误；综上有②、③两个说法正确．故选C．9.答案：C解析：解：设需x天完成，根据题意得：x10+x−36=1，故选C．设乙还需x天完成，根据甲单独完成一项工程需要10天，乙单独完成一项工程需要6天．这项工程，甲独做3天后乙再加入合做，可列方程求解．本题是个工程问题，根据工作量=工作时间×工作效率，且完成工作，工作量为1，可列方程．10.答案：A解析：试题分析：先根据勾股定理求出AB的长，再根据锐角三角函数的定义得出sinB与cosB的值，设点M的速度为a，则BM=at，再用at表示出MN及BN的长，根据三角形的面积公式即可得出结论．∵Rt△ABC，∠C=90°，CA=3，CB=4，∴AB=√AC2+BC2=√32+42=5，∴sinB=ACAB =35，cosB=BCAB=45，设点M的速度为a，则BM=at，∵MN⊥AB，∴sinB=MNBM =MNat=35，cosB=BNBM=BNat=45，∴MN=3at5，BN=4at5，∴S△BMN=12BN⋅MN=12×4at5×3at5=6a2t225，∴△BMN面积S与点M的运动时间t之间的函数图象是二次函数在第一象限的一部分．故选A．11.答案：a<3解析：本题考查了二次根式的意义的条件，二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义；分式有意义，分母不等于0．根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．解：由题意得，3−a>0，解得a<3．故答案为a<3．12.答案：(−2015,−2)解析：解：∵正方形ABCD，顶点A(1,3)、B(1,1)、C(3,1)．∴对角线交点M的坐标为(2,2)，根据题意得：第1次变换后的点M的对应点的坐标为(2−1,−2)，即(1,−2)，第2次变换后的点M的对应点的坐标为：(2−2,2)，即(0,2)，第3次变换后的点M的对应点的坐标为(2−3,−2)，即(−1,−2)，第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为(2−n,−2)，当n为偶数时为(2−n,2)，∴连续经过2017次变换后，正方形ABCD的对角线交点M的坐标变为(−2015,−2)．故答案为：(−2015,−2)．由正方形ABCD，顶点A(1,3)、B(1,1)、C(3,1)，然后根据题意求得第1次、2次、3次变换后的对角线交点M的对应点的坐标，即可得规律：第n次变换后的点M的对应点的为：当n为奇数时为(2−n,−2)，当n为偶数时为(2−n,2)，继而求得把正方形ABCD连续经过2014次这样的变换得到正方形ABCD的对角线交点M的坐标．此题考查了翻折变换(折叠问题)，点的坐标变化，对称与平移的性质．得到规律：第n次变换后的对角线交点M的对应点的坐标为：当n为奇数时为(2−n,−2)，当n为偶数时为(2−n,2)是解此题的关键．13.答案：3a+2解析：解：(3ab +2b)÷b =3a +2，故答案为3a +2．根据多项式除法的运算法则可计算求解．本题主要考查整式的除法，掌握整式除法的运算法则是解题的关键．14.答案：40解析：解：∵△ABC≌△DEF ，∴BC =EF ，∵△ABC 的周长是90cm ，AB =30cm ，AC =20cm ，∴EF =BC =90−30−20=40cm ．故答案为：40．根据全等三角形对应边相等可得BC =EF ，再根据三角形的周长公式列式计算即可得解． 本题考查了全等三角形对应边相等的性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观． 15.答案：2160解析：解：设小庆的速度为a 米/分，小重开始的速度为b 米/分，根据图象可得3分钟时，两人相距为0，5分钟时，两人相距为40米，∴{3a −4b =05a −6b =40，解得：{a =80b =60， 即小庆的速度为80米/分，小重开始的速度为60米/分，∴小重提速后的速度为60×2=120(米/分)，设小庆t 分钟到达．则小重用时(t +1−6−3−1)分钟，80t =120(t +1−6−3−1)，解得：t =27，∴学校到“开心之洲”的路程为80×27=2160(米)．故答案为：2160．设小庆的速度为a 米/分，小重开始的速度为b 米/分，根据图象可得3分钟时，两人相距为0，5分钟时，两人相距为40米，列方程组可得a ，b 的值，可得小重提速后的速度，设小庆t 分钟到达．则小重用时(t +1−6−3−1)分钟，根据路程相等列方程求出t ，小庆的速度×t 即可得学校到“开心之洲”的路程．本题考查了函数的图象，二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，利用函数的性质和数形结合的思想解答．16.答案：解析：本题主要考查平方差公式根据题意可以得出左边图形的面积为：；右边图形的面积为：；所以17.答案：3√3+3解析：解：由作法得AE平分∠BAC，∵∠BAC=60°，∴∠BAE=12∠BAC=12×60°=30°，在Rt△ABE中，AB=√3BE=√3，在Rt△ABC中，AC=2AB=2√3，BC=√3AB=√3×√3=3，∴Rt△ABC的周长=√3+3+2√3=3√3+3．故答案为3√3+3．利用基本作图得到AE平分∠BAC，则∠BAE=30°，利用含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△ABE 中计算出AB=√3，在Rt△ABC中计算出AC=2√3，BC=3，然后可得到Rt△ABC的周长．本题考查了作图−基本作图：熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线).也考查了角平分线的性质．18.答案：<>解析：解：∵一次函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，∴k<0，b>0．故答案为：<；>．由一次函数图象经过的象限，利用一次函数图象与系数的关系即可找出k，b的正负．本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k<0，b>0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限”是解题的关键．19.答案：11−a2解析：解：原式=a−1(a+1)(a−1)−a(a+1)(a−1)=a−1−a(a+1)(a−1)=11−a2，故答案为：11−a2原式通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．此题考查了分式的加减法，分式加减法的关键是通分，通分的关键是找出各分母的最简公分母．20.答案：解：(1)9a2(x−y)−b2(x−y)=(x−y)(9a2−b2)=(x−y)(3a+b)(3a−b)．(2)(x+3)(x−5)−(x+1)(x−1)=2x2−2x−15−x2+1=2−2x−14=2−2x=16x=−8．解析：(1)先变形，再提取公因式，最后根据平方差公式分解即可．(2)先转化为一元一次方程的形式，然后解方程．考查了多项式乘多项式，单项式乘单项式，以及因式分解，属于基础计算题．21.答案：解：(1)原式=a(a−b)a2⋅ab(a+b)(a−b)=ba+b；(2)原式=(a+1)(a−1)a−1−a2a−1=a2−1a−1−a2a−1=−1a−1．解析：(1)先将分子、分母因式分解，同时将除法转化为乘法，再约分即可得；(2)先通分，再根据法则计算可得．本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．22.答案：解：(1)∵AB=AC∴∠B=∠ACB=180°−∠A2=70°，∵MN垂直平分线AC∴AD=CD，∴∠ACD=∠A=40°，∴∠BCD=∠ACB−∠ACD=70°−40°=30°；(2)∵MN是AC的垂直平分线∴AD=DC，AC=2AE=10，∴AB=AC=10，∵△BCD的周长=BC+CD+BD=AB+BC=17，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=17+10=27．解析：(1)先根据等腰角形的性质求出∠B=∠ACB=180°−∠A2=70°，再由MN垂直平分线AC可知AD= CD，所以∠ACD=∠A，再根据∠BCD=∠ACB−∠ACD即可得出结论；(2)由MN是AC的垂直平分线可知，AD=DC，AC=2AE，所以AB=AC，再由△BCD的周长=BC+ CD+BD=AB+BC=17，可求出△ABC的周长．本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．23.答案：解：去分母得：2x=x−2−1，解得：x=−3，经检验x=−3是分式方程的解．解析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．24.答案：证明：∵点F是DE的中点，∴DF=EF，∵∠DFN=∠EFM，∴180°−∠DFN=180°−∠EFM，∴∠DFM=∠EFN，在△DFM和△EFN中，{∠D=∠E DF=EF ∠DFM=∠EFN ，∴△DFM≌△EFN(ASA)∴DM=EN．解析：证出∠DFM=∠EFN，由ASA证明△DFM≌△EFN，即可得出结论DM=EN．本题考查了全等三角形的判定与性质、邻补角定义；证明三角形全等是解决问题的关键．25.答案：(1)20；(2)解：∵图象过C(2,80)，D(5,110)，∴设解析式为y =kx +b(k ≠0)，∴{2k +b =805k +b =110，解得：{k =10b =60，∴y 乙=10x +60(2≤x ≤6)；(3)解：∵AB 过(4,80)，(5,110)，∴设AB 的解析式为y 甲=mx +n(m ≠0)，∴{4m +n =805m +n =110，解得：{m =30n =−40，∴y 甲=30x −40(4≤x ≤6)，当x =6时，y 甲=30×6−40=140，y 乙=10×6+60=120，∴这批零件的总个数是140+120=260；(4)12,92,112解析：解：(1)80÷4=20(件)，故答案为：20；(2)∵图象过C(2,80)，D(5,110)，∴设解析式为y =kx +b(k ≠0)，∴{2k +b =805k +b =110，解得：{k =10b =60， ∴y 乙=10x +60(2≤x ≤6)；(3)∵AB 过(4,80)，(5,110)，∴设AB 的解析式为y 甲=mx +n(m ≠0)，∴{4m +n =805m +n =110，解得：{m =30n =−40， ∴y 甲=30x −40(4≤x ≤6)，当x =6时，y 甲=30×6−40=140，y 乙=10×6+60=120，∴这批零件的总个数是140+120=260；(4)40x −10=20x ，解得：x =12，10x +60−10=30x −40，解得：x =92，30x −40−10=10x +60，解得：x =112，当甲、乙两台机器所加工零件数相差10个时，x 的值为12,92,112，故答案为：12,92,112．(1)甲改变工作效率前的工作效率为改变前加工的总件数，除以加工的总时间即可；(2)利用待定系数法求一次函数解析式即可；(3)利用函数解析式求出甲、乙两机器6小时加工的总件数，求其和即可；(4)根据题意列方程即可得到结论．此题主要考查了一次函数的应用，根据题意得出函数关系式以及数形结合是解决问题的关键．26.答案：解：(1)由题意得：t>0，当x=0时，y=2t=b+2t−5．∴b=5．∴y=−t5x+2t．若y=tx+2t=0，则x=−2．∴B(−2,0)．若y=−t5x+2t=0，则x=10．∴C(10,5)．∴BC=10−(−2)=12．(2)∵EF是BC的垂直平分线，∴BE=CE=12BC=12×12=6．又∵C(10,0)，B(−2,0)，∴OC=10，OB=2．∴OE=OC−EC=10−6=4．∴x F=4．∴y F=−t5x+2t=−45t+2t=65t．∴EF=65t．由题意得：y轴//EF．∴∠KOB=∠BEF，∠BKO=∠BFE．∴△BKO∽△BFE．∴OBBE =OKFE．∴26=OK65t．∴OK=25t．当x=0时，y A=tx+2t=t⋅0+2t=2t．∴OA=2t．∴AK=OA−OK=2t−25t=85t．∴d=85t(t>0)．(3)设点H的横坐标为m，∵点H在直线AC上，∴点H的坐标为(m,2t−mt5)；∵∠BGC+∠BHC=180°，且BH=3CG时，∴∠BGC=60°，∠BHC=120°，根据三角函数即AC的斜率为k=t5，∴t=2，∴直线AC的解析式为：y=−25+4，∴H(m,4−25m)∵BH=3CG，∴m=6，∴H(6,8 5 ).解析：(1)根据一次函数的解析式与x轴、y轴的交点坐标特征，令y=0，x=0，求出点B、C的坐标，即可求出BC的长度；(2)根据垂直平分线，求出点E的坐标；将点F代入AC的函数解析，求出点F的坐标；再利用相似，求出OK的长度，从而得出d与t的函数关系；(3)利用∠BGC+∠BHC=180°时，BH=3CG，求出t的值，即可求出点H的坐标．本题是一次函数的综合应用题，涉及知识点有：待定系数法，相似，垂直平分线等，体现了数学的转化思想，考查了学生的推理能力、计算能力、直观想象等．27.答案：(1)证明：由题意得，OA=4，OC=4，OB=2，∵∠COB=90°，∠AFB=90°，∴∠BAF=∠BCO，在△AOE和△COB中，{∠AOE=∠COB=90°OA=OC∠OAE=∠OCB，∴AOE≌△COB(ASA)；(2)∵AOE≌△COB，∴AE=BC=2√5，(3)S△CDM−S△ADN的值不发生改变，等于4．理由如下：如图：连接OD．∵∠AOC=90°，OA=OC，D为AB的中点，∴OD⊥AC，∠COD=∠AOD=45°，OD=DA=CD ∴∠OAD=45°，∠MOD=90°+45°=135°，∴∠DAN=135°=∠MOD．∵MD⊥ND，即∠MDN=90°，∴∠MDO=∠NDA=90°−∠MDA，在△ODM与△ADN中，{∠MOD=∠NAD ∠ODM=∠ADN OD=ND，∴△ODM≌△ADN(AAS)∴S△ODM=S△ADN，∴S△CDM−S△ADN=S△CDO=12S△CAO=12×12×4×4=4．解析：(1)根据同角的余角相等得到∠BAF=∠BCO，利用ASA定理证明△AOE≌△COB；(2)根据全等三角形的性质求出AE；(3)连接OD.证明△ODM≌△ADN，得到S△ODM=S△ADN，结合图形得到S△CDM−S△ADN=S△CDO，根据三角形的面积公式计算，得到答案．本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算、坐标与图形性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．28.答案：解：(1)如图1中，∵OA=9，OC=15，∵△DEC是由△OEC翻折得到，∴CD=OC=15，在Rt△DBC中，DB=√DC2−BC2=12，∴AD=3，设OE=ED=x，在Rt△ADE中，x2=(9−x)2+32，解得x=5，∴E(0,5)，，设直线EC的解析式为y=kx+5，把(15,0)代入得到k=−13x+5．∴直线EC的解析式为y=−13(2)①如图2中，∵MD′=MO，∠D′MF=∠OMF，∵OM//GD′，∴∠OMT=∠D′TM，∴∠D′MT=∠D′TM，∴D′M=D′T，∴OM=D′T，∵OA =D′G ，∴AM =TG ．②如图3中，连接OT ，由(2)可得OT =D′T ，由勾股定理可得x 2+y 2=(9−y)2，得y =−118x 2+92．结合(1)可得AD′=OG =3时，x 最小，从而x ≥3，当MN 恰好平分∠OAB 时，AD′最大即x 最大，此时G 点与N 点重合，四边形AOFD′为正方形，故x 最大为9.从而x ≤9，∴3≤x ≤9．(3)由(2)得，当x =6时，y =−118×62+92=52， ∴AD′=OG =x =6，∴AM =TG =y =52，OM =9−52=132， ∵OM//GD′，∴GF OF =TG OM ，即OF−6OF =52132， 解得：OF =394，∴四边形MOFD′的面积=S 梯形AOFD′−S △AMD′=12×(6+394)×9−12×52×6=5078． 答：四边形MOFD′的面积为5078．解析：(1)在Rt △DBC 中，根据DB =√DC 2−BC 2，设OE =DE =x ，在Rt △ADE 中，利用勾股定理求出x 即可．(2)①只要证明OM =D′T ，DG =OA 即可．②如图3中，连接OT ，在Rt △OTG 中利用勾股定理即可解决问题．(3)．本题考查四边形综合题、矩形的性质、翻折变换、勾股定理、面积的计算等知识，解题的关键是运用数形结合的思想方法，灵活应用这些知识解决问题，属于中考压轴题．29.答案：解：(1)设直线AB 解析式为：y =mx +n根据题意可得：{0=−3m +n n =4∴{m =43n =4∴直线AB 解析式为：y =43x +4(2)若点C 在直线AB 右侧，如图1，过点A 作AD ⊥AB ，交BC 的延长线于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于E ，∵∠ABC =45°，AD ⊥AB∴∠ADB =∠ABC =45°∴AD =AB ，∵∠BAO +∠DAC =90°，且∠BAO +∠ABO =90°∴∠ABO =∠DAC ，AB =AD ，∠AOB =∠AED =90∴△ABO≌△DAE(AAS)∴AO =DE =3，BO =AE =4，∴OE =1∴点D(1,−3)∵直线y=kx+b过点D(1,−3)，B(0,4)．∴{−3=k+b4=b∴k=−7若点C在点A右侧时，如图2同理可得k=17综上所述：k=−7或17(3)设直线DN的解析式为：y=43x+n，且过点N(−0.6t,0)∴0=−0.8t+n∴n=0.8t∴点D坐标(0,0.8t)，且过点N(−0.6t,0)∴OD=0.8t，ON=0.6t∴DN=√ON2+OD2=1∴DN=AM=1，且DN//AM∴四边形AMDN为平行四边形，当AN=AM时，四边形AMDN为菱形，∵AN=AM∴t=3−0.6t∴t=15 8∴当t=158时，四边形AMDN为菱形．解析：(1)利用待定系数法可求直线AB解析式；(2)分两种情况讨论，利用全等三角形的性质可求解；(3)先求点D坐标，由勾股定理可得DN=AM=t，可证四边形AMDN是平行四边形，即当AM=AN 时，四边形AMDN为菱形，列式可求t的值．本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．。

北京市西城区2019-2020学年度第一学期期末试卷八年级数学试卷满分：100分，考试时间：100分钟一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．下列各式中，最简二次根式是（ ）．A ．5.0B ．12C ．2xD ． 12+x 2．下列汽车标志中，不是．．轴对称图形的是（ ）．3．下列因式分解结果正确的是（ ）．A ．3221055(2)a a a a a +=+B ．249(43)(43)x x x -=+-C ．2221(1)a a a --=-D ．256(6)(1)x x x x --=-+ 4．下列各式中，正确的是（ ）． A ．212+=+a b a b B ． 22112236d cd cd cd ++= C ． a b a b c c-++=- D ． 22)2(422--=-+a a a a 5．如图，将三角形纸片ABC 沿直线DE 折叠后，使得点B 与点A重合，折痕分别交BC ，AB 于点D ，E ．如果AC =5cm ，△ADC 的周长为17cm ，那么BC 的长为（ ）．A ．7cmB ．10cmC ．12cmD ．22cm6．某园林公司增加了人力进行园林绿化，现在平均每天比原计划多植树50棵，现在植树600棵所需的时间与原计划植树450棵所需的时间相同，如果设原计划平均每天植树x 棵，那么下面所列方程中，正确的是（ ）. A ．x x 45050600=- B ．x x 45050600=+ C ．50450600+=x x D ．50450600-=x x 7．如果132x y x +=，那么x y的值为（ ）．A ．21 B ．32C ．31D ． 528．如图1，将长方形纸片先沿虚线AB 向右．．对折，接着将对折后的纸片沿虚线CD 向下．．对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，那么打开后的展开图是（ ）．二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．如果分式32x x -+的值为0，那么x 的值为_________． 10．如果12-x 在实数范围内有意义，那么x 的取值范围是_________． 11．下列运算中，正确的是_______．（填写所有．．正确式子的序号） ①2612a a a ⋅=；②329()x x =；③33(2)8a a =；④22242(5)255a b a b ab -=--． 12．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，那么根据图中提供的信息可知1∠的度数为 ． 13．计算：1111x x --+= ．14．计算：432(68)(2)x x x -÷-= ． 15．如图，∠AOB=60︒，OC 平分∠AOB ，如果射线OA 上的点E 满足△OCE 是等腰三角形，那么∠OEC 的度数为．16．如图，动点P 从(0,3)出发，沿所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于 1(3,0)P ．入射角，第一次碰到长方形的边时的位置为（1）画出点P 从第一次到第四次碰到长方形的边的全过程中，运动的路径；（2）当点P 第2014次碰到长方形的边时，点P 的坐标为 ．三、解答题（本题共35分，第17、19题各10分，其余每题5分）17．（1）先化简，再求当2a =，1b =时，代数式(3)()(2)a b a b a a b +-+-的值． 解：（2）计算：1(83)642+⨯-． 解：18．已知：如图，AB= AC ，∠DAC=∠EAB ，∠B=∠C ．求证：BD = CE ． 证明：19．（1）因式分解：232448m m -+． 解：（2）计算：422222222a a b a ab b a ab b b a-+÷⋅-+．解：20．解分式方程：31122xx x+=--．解：21．尺规作图：已知：如图，线段a和h．求作等腰三角形ABC，使底边BC=a，底边上的高AD=h．（保留作图痕迹并写出相应的作法．）作法：四、解答题（本题6分）22．（1）阅读理解：我们知道，只用直尺和圆规不能解决的三个经典的希腊问题之一是三等分任意角，但是这个任务可以借助如图所示的一边上有刻度的勾尺完成，勾尺的直角顶点为P，“宽臂”的宽度．．=PQ=QR=RS．．．．．．．．．，（这个条件很重要哦！）勾尺的一边MN满足M，N，Q三点共线（所以PQ⊥MN）．下面以三等分ABC∠为例说明利用勾尺三等分锐角的过程：第一步：画直线DE使DE∥BC，且这两条平行线的距离等于PQ；第二步：移动勾尺到合适位置，使其顶点P落在DE上，使勾尺的MN边经过点B，同时让点R落在ABC ∠的BA 边上；第三步：标记此时点Q 和点P 所在位置，作射线BQ 和射线BP ． 请完成第三步操作，图中ABC ∠的三等分线是射线 、 ． （2）在（1）的条件下补全三等分．．．ABC ∠的主要证明过程： ∵ ，BQ ⊥PR ，∴ BP=BR ．（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等） ∴ ∠ =∠ ． ∵ PQ ⊥MN ，PT ⊥BC ，PT =PQ ， ∴ ∠ =∠ ．（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上） ∴ ∠ =∠ =∠ ．（3）在（1）的条件下探究：13ABS ABC ∠=∠是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请在下图中ABC ∠的外部．．画出13ABV ABC ∠=∠（无需写画法，保留画图痕迹即可）．解：五、解答题（本题共11分，第23题5分，第24题6分） 23．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A -，(0,4)B ，点C 在第四象限，AC ⊥AB ， AC=AB ．考试结束后，请尝试自制一把“勾尺”实践一下！（1）求点C 的坐标及∠COA 的度数；（2）若直线BC 与x 轴的交点为M ，点P 在经过点C 与 x 轴平行的直线上，直接写出BOM POM S S ∆∆+的值．解：（1）（2）BOM POM S S ∆∆+的值为 ．24．已知：如图，Rt△ABC 中，∠BAC=90︒．（1）按要求作图：（保留作图痕迹） ①延长BC 到点D ，使CD=BC ； ②延长CA 到点E ，使AE=2CA ；③连接AD ，BE 并猜想线段 AD 与BE 的大小关系； （2）证明（1）中你对线段AD 与BE 大小关系的猜想． 解：（1）AD 与BE 的大小关系是 ． （2）证明：八年级数学附加题试卷满分：20分一、阅读与思考（本题6分）我们规定：用[]x 表示实数x 的整数部分，如[]3.143=，82⎡⎤=⎣⎦，在此规定下解决下列问题：（1）填空：1236⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦L = ；（2）求1234+49⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦L 的值． 解：二、操作与探究（本题6分）取一张正方形纸片ABCD 进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把纸片分别对折，使对边分别重合，再展开， 记折痕MN ，PQ 的交点为O ；再次对折纸片使AB 与PQ 重合， 展开后得到折痕EF ，如图1；第二步：折叠纸片使点N 落在线段EF 上，同时使折痕GH 经过点O ，记点N 在EF 上的对应点为N '，如图2．解决问题：（1）请在图2中画出（补全）纸片展平后的四边形CHGD 及相应MN ，PQ 的对应位置；（2）利用所画出的图形探究∠POG 的度数并证明你的结论．解：（1）补全图形． （2）∠POG = °． 证明：三、解答题（本题8分）已知：如图，∠MAN 为锐角，AD 平分∠MAN ，点B ，点C 分别在射线AM 和AN 上，AB =AC .图1图2（1）若点E 在线段CA 上，线段EC 的垂直平分线交直线AD 于点F ，直线BE 交直线AD 于点G ，求证：∠EBF =∠CAG ；（2）若（1）中的点E 运动到线段CA 的延长线上，（1）中的其它条件不变，猜想 ∠EBF 与∠CAG 的数量关系并证明你的结论. （1）证明： （2）备用图1备用图2。

上学期初中八年级期末考试数学试卷本试卷共三道大题，26道小题。

满分100分。

考试时间100分钟。

一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1～10题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个。

1. 下列图案中，是轴对称图形的是2. 下列因式分解正确的是 A. 6)5(652+-=+-m m m m B. 22)12(14-=-m m C. 22)2(44+=-+m m mD. )12)(12(142-+=-m m m3. 下列运算正确的是 A. 823-=-B. 623-=-C. 8123=- D. 6123=- 4. 下列各式从左到右的变形正确的是A. 112+=+a a a B. 2222251025abc c ab b a -=-C. ba b a a b a b +-=---D. 31392+=--m m m5. 如图，在等腰三角形ABC 中，BA ＝BC ，∠ABC ＝120°，D 为AC 边的中点，若BC＝6，则BD 的长为A. 3B. 4C. 6D. 86. 以下关于直线42-=x y 的说法正确的是 A. 直线42-=x y 与x 轴的交点的坐标为（0，－4）B. 坐标为（3，3）的点不在直线42-=x y 上C. 直线42-=x y 不经过第四象限D. 函数42-=x y 的值随x 的增大而减小7. 如图，在△ABC 与△EMN 中，a MN BC ==，b EM AC ==，∠C ＝∠M ＝54°，若∠A ＝66°，则下列结论正确的是EN B. EN＝a C. ∠E＝60° D. ∠N＝66°A. c8. 在平面直角坐标系xOy中，A（1，3），B（5，1），点M在x轴上，当MA+MB取得最小值时，点M的坐标为A. （5，0）B. （4，0）C. （1，0）D. （0，4）9. 程老师制作了如图1所示的学具，用来探究“边边角条件是否可确定三角形的形状”问题，操作学具时，点Q在轨道槽AM上运动，点P既能在以A为圆心、以8为半径的半圆轨道槽上运动，也能在轨道槽QN上运动，图2是操作学具时，所对应某个位置的图形的示意图。

北京市西城区2019-2020学年度第一学期期末试卷八年级数学试卷满分：100分，考试时间：100分钟一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．下列图形中，是轴对称图形的是（ ）．A B C D2．用科学记数法表示0.000 053为（ ）．A ．0.53×10-4B ．53×10-6C ．5.3×10-4D ．5.3×10-53．函数y 中自变量的取值范围是（ ）．A ．≥3B ．≤3C ．＞3D ．≠34．如图，△ABC 沿AB 向下翻折得到△ABD ，若∠ABC ＝30°∠ADB ＝100°，则∠BAC 的度数是（ ）．A ．30°B ．100°C ．50°D ．80°5．下列二次根式中，最简二次根式是（ ）．A ．21 B ．17 C ．75 D ．35a 6．若将分式2x x y +中的字母x 与y 的值分别扩大为原的10倍，则这个分式的值（ ）． A ．扩大为原的10倍 B ．扩大为原的20倍C ．不改变D ．缩小为原的1107．已知一次函数1y kx =+，y 随的增大而增大，则该函数的图象一定经过（ ）．A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限8．下列判断中错误．．的是（ ）． A ．有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等B ．有一边相等的两个等边三角形全等C ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等D ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等效率比原计划提高了20%，结果比原计划提前2天完成任务．若设施工队原计划每天铺设管道x 米，则根据题意所列方程正确的是（ ）．A ．150015002(120%)x x-=- B ．150015002(120%)x x =+- C ．150015002(120%)x x -=+ D ．150015002(120%)x x =++ 10．七个边长为1的正方形按如图所示的方式放置在平面直角坐标系Oy 中，直线l 经过点A （4，4）且将这七个正方形的面积分成相等的两部分，则直线l 与轴的交点B 的横坐标为（ ）．A ．23B ．34C ．45D ．79 二、填空题（本题共25分，第18题4分，其余每小题3分）11．若分式14x +在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ． 12．分解因式：22363x xy y -+= ．13．已知一次函数23y x =--的图象经过点A （－1，y 1）、点B （－2，y 2），则y 1 y 2．（填“＞”、“＜”或“＝”）14．如图，在△ABC 中，边AB 的垂直平分线分别交BC 于点D ，交AB 于点E ．若AE =3，△ADC 的周长为8，则△ABC 的周长为 ．15．计算：22224a b ab c c÷= . 16．若点M （a ，3）和点N （2，a +b ）关于轴对称，则b 的值为 ．17．如图，∠AOB ＝30°，OP 平分∠AOB ，PD ⊥OB 于点D ，PC ∥OB交OA 于点C ．若PC ＝10，则OC ＝ ，PD ＝ ．18．甲、乙两车从A 地出发前往B 地．在整个行程中，汽车离开A 地的距离 y （m ）与时间t （h ）的对应关系如图所示，则乙车的平均速度为 m/h 图中a 的值为 m ；在乙车行驶的过程中，当t ＝ h 时，两车相距20m ．三、解答题（本题共15分，第19题4分，第2019．20．已知：如图，点A ，B ，C ，D 在一条直线上，AB =CD ，AE ∥FD ，且∠E =∠F ．求证：EC=FB ．证明：21．先化简，再求值：m m m m --⋅--+342)252(，其中34m =． 解：四、解答题（本题共16分，第23题6分，其余每小题5分）22．解分式方程：12422=-+-x x x ． 解：23．如图，在平面直角坐标系Oy 中，一次函数=+y kx b 的图象经过点A （2-，4），且与正比例函数23=-y x 的图象交于点B （a ，2）．（1）求a 的值及一次函数=+y kx b 的解析式；（2）若一次函数=+y kx b 的图象与轴交于点C ，且正比例函数23=-y x 的图象向下平移m （m >0）个单位长度后经过点C ，求m 的值； （3）直接写出关于的不等式23->+x kx b 的解集． 解：（1）（2）（3）关于的不等式23->+x kx b 的解集为 ．24．已知：如图，线段AB 和射线BM 交于点B ．（1）利用尺规．．完成以下作图，并保留作图痕迹．（不要求写作法） ①在射线BM 上求作一点C ，使AC =AB ；②在线段AB 上求作一点D ，使点D 到BC ，AC 的距离相等；（2）在（1）所作的图形中，若∠ABM =72°，则图中与BC 相等的线段是 ．五、解答题（本题共14分，每小题7分）25．如图，在平面直角坐标系Oy 中，直线l 与轴交于点A （4-，0），与y 轴的正半轴交于点B ．点C 在直线1=-+y x 上，且CA ⊥轴于点A ．（1）求点C 的坐标；（2）若点D 是OA 的中点，点E 是y 轴上一个动点，当EC +ED 最小时，求此时点E 的坐标；（3）若点A 恰好在BC 的垂直平分线上，点F 在轴上，且△ABF 是以AB 为腰的等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点F 的坐标．解：（1）（2）（3）点F的坐标为．26．已知：在△ABC中，∠ABC<60°，CD平分∠ACB交AB于点D，点E在线段CD上（点E不与点C，D重合），且∠EAC=2∠EBC．（1）如图1，若∠EBC=27°，且EB=EC，则∠DEB=°，∠AEC=°；（2）如图2．①求证：AE＋AC=BC；②若∠ECB=30°，且AC=BE，求∠EBC的度数．图1 图2（2）①证明：②解：。

北京市西城区2020—2021学年初二上期末考试数学试题含答案八年级数学 2021.1试卷满分：100分，考试时刻：100分钟一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．运算22-的结果是（ ）．A.14B.14- C.4 D.4- 2．下列剪纸作品中，不是．．轴对称图形的是（ ）．3．在下列分解因式的过程中，分解因式正确的是（ ）． A.()xz yz z x y -+=-+ B. ()223232a b ab ab ab a b -+=- C. 232682(34)xy y y x y -=- D. 234(2)(x 2)3x x x x +-=+-+4．下列分式中，是最简分式的是（ ）．A ．2xy xB ．222x y -C ．22x y x y +-D ．22x x + 5．已知一次函数(2)3y m x =-+的图象通过第一、二、四象限，则m 的取值范畴是（ ）．A ．0m <B ．0m >C ．2m <D ．2m >6．分式11x--可变形为（ ）． A ．11x + B ．11x -+ C ．11x -- D ．11x - 7．若一个等腰三角形的两边长分别为2和4，则那个等腰三角形的周长是为（ ）．A. 8B. 10C. 8或10D.6或128．如图，B ，D ，E ，C 四点共线，且△ABD ≌△ACE ，若∠AEC =105°，则∠DAE 的度数等于（ ）．A. 30°B.40°C. 50°D.65°9．如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，与AC 交于点D ，DE ⊥AB于点E ，若BC =5，△BCD 的面积为5，则ED 的长为（ ）．A. 12B. 1C.2D.510．如图，直线y =﹣x +m 与直线y =nx +5n （n ≠0）的交点的横坐标为﹣2，则关于x 的不等式﹣x +m ＞nx +5n ＞0的整数解为（ ）．A.﹣5 ，﹣4，﹣3B. ﹣4，﹣3C.﹣4 ，﹣3，﹣2D. ﹣3，﹣2二、填空题（本题共20分，第11～14题，每小题3分，第15～18题，每小题2分）11．若分式11-x 在实数范畴内有意义，则x 的取值范畴是 ． 12．分解因式224x y -= ．13．在平面直角坐标系xOy 中，点P （-2，3）关于y 轴的对称点的坐标是 ．14．如图，点B 在线段AD 上，∠ABC =∠D ， AB ED =．要使△ABC ≌△EDB ，则需要再添加的一个条件是（只需填一个条件即可）．15．如图，在△ABC 中，∠ABC =∠ACB ， AB 的垂直平分线交AC 于点M ，交AB 于点N ．连接MB ，若AB=8，△MBC 的周长是14 ，则BC 的长为 ．16．关于一次函数21y x =-+，当-2≤x ≤3时，函数值y 的取值范畴是 ．17．如图，要测量一条小河的宽度AB 的长，能够在小河的岸边作AB 的垂线 MN ，然后在MN 上取两点C ，D ，使BC =CD ，再画出MN 的垂线DE ，并使点E 与点A ，C 在一条直线上，这时测得DE 的长确实是AB 的长，其中用到的数学原理是：_ ．S (米)412048010a 018．甲、乙两人都从光明学校动身，去距离光明学校1500m 远的篮球馆打球，他们沿同一条道路匀速行走，乙比甲晚动身4min ．设甲行走的时刻为t (单位：min)，甲、乙两人相距 y (单位：m)，表示y 与t 的函数关系的图象如图所示，依照图中提供的信息，下列说法： ①甲行走的速度为30m/min②乙在距光明学校500m 处追上了甲③甲、乙两人的最远距离是480m ④甲从光明学校到篮球馆走了30min正确的是__ _（填写正确结论的序号）．练习题改编，识图能力，如何提取信息，数形结合思想三、解答题（本题共50分，第19，20题每小题6分；第21题～25题每小题5分； 第26题6分，第27题7分）19．分解因式：（1）2()3()a b a b -+- （2）221218ax ax a -+解： 解：20．运算：（1）42223248515a b a b c c ÷ （2）24()212x x x x x x -⋅+++ 解： 解：21．已知2a b-=，求222()2ab aaa ba ab b÷---+的值．解：22．解分式方程2242111x x xxx-+=+-解：23．已知：如图，A，O，B三点在同一条直线上，∠A=∠C，∠1=∠2，OD＝OB．求证：AD=CB．证明：24．列方程解应用题中国地大物博，过去由于交通不便，一些地区的经济进展受到了制约，自从“高铁网络”在全国连续延伸以后，许多地区的经济和旅行发生了翻天覆地的变化，高铁列车也成为人们外出旅行的重要交通工具．李老师从北京到某地去旅行，从北京到该地普快列车行驶的路程约为1352km，高铁列车比普快列车行驶的路程少52km，高铁列车比普快列车行驶的时刻少8h．已知高铁列车的平均时速是普快列车平均时速的 2.5倍，求高铁列车的平均时速．解：25．在平面直角坐标系xOy 中，将正比例函数2y x =-的图象沿y 轴向上平移4个单位长度后与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C ． （1）画正比例函数2y x =-的图象，并直截了当写出直线BC 的解析式； （2）假如一条直线通过点C 且与正比例函数2y x =-的图象交于点P (m ，2)，求m 的值及直线CP 的解析式．解：（1）直线BC 的解析式： ；（2）26．阅读下列材料：利用完全平方公式，能够将多项式2(0)ax bx c a ++≠变形为2()a x m n ++的形式, 我们把如此的变形方法叫做多项式2ax bx c ++的配方法．运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式．例如：21124x x ++＝222111111()()2422x x ++-+ ＝21125()24x +- ＝115115()()2222x x +++- ＝(8)(3)x x ++ 依照以上材料，解答下列问题：（1）用多项式的配方法将281x x +-化成2()x m n ++的形式；（2）下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式2340x x --进行分解因式的解答过程：老师说，这位同学的解答过程中有错误，请你找出该同学解答中开始显现错误的地点，并用“ ”标画出来，然后写出完整的、正确的解答过程：（3）求证：x ，y 取任何实数时，多项式222416x y x y +--+的值总为正数．（1）解：（2）正确的解答过程是：（3）证明：解： 2340x x -- =22233340x x -+-- =2(3)49x -- =(37)(37)x x -+-- =(4)(10)x x +-27．已知：△ABC是等边三角形．（1）如图1，点D在AB边上，点E在AC边上，BD＝CE，BE与CD交于点F．试判定BF与CF的数量关系，并加以证明；（2）点D是AB边上的一个动点，点E是AC边上的一个动点，且BD＝CE，BE与CD交于点F．若△BFD是等腰三角形，求∠FBD的度数．图1 备用图（1）BF与CF的数量关系为：．证明：（2）解：北京市西城区2020— 2021学年度第一学期期末试卷八年级数学附加题2021.1试卷满分：20分一、填空题（本题6分）1．（1）已知32a ba+=，则ba= ；（2）已知115a b-=，则3533a ab ba ab b----= ．二、解答题（本题共14分，每小题7分）2．观看下列各等式：(8.1)(9)(8.1)(9)---=-÷-，11()(1)()(1)22---=-÷-，4242-=÷，993322-=÷，┅┅依照上面这些等式反映的规律，解答下列问题：（1）上面等式反映的规律用文字语言可描述如下：存在两个实数，使得这两个实数的等于它们的；（2）填空：－4＝÷4；（3）请你再写两个实数，使它们具有上述等式的特点：－＝÷；（4）假如用y表示等式左边第一个实数，用x表示等式左边第二个实数（x≠0 且x≠1），①x与y之间的关系能够表示为：（用x的式子表示y）；②若x＞1，当x时，y有最值(填“大”或“小”)，那个最值为．3．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴上，点B是第一象限的点，且AB⊥y轴，且AB=OA，点C是线段OA上任意一点，连接BC，作BD⊥BC，交x轴于点D．（1）依题意补全图1；（2）用等式表示线段OA，AC与OD之间的数量关系，并证明；（3）连接CD，作∠CBD的平分线，交CD边于点H，连接AH，求∠BAH的度数．（1）依题意补全图1；（2）线段OA，AC，OD之间的数量关系为：_____________________________；证明：（3）解：附加题答案1、（1）13（2）522、（1）差商（2）16 3（3）25255544-=÷；36366655-=÷（4）①21xyx=-②2 小43、（1）（2）作BE⊥OD四边形AOEB是正方形△ABC≌△BED∴OA+AC=OD（3）∵△ABC≌△BED ∴BC=BD∵BH⊥CD∴A、C、H、B四点共圆∴∠BAH=∠BCH=45°。

2018-2019学年北京市西城区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．图书馆的标志是浓缩了图书馆文化的符号，下列图书馆标志中，不是轴对称的是（）A．B．C．D．2．500米口径球面射电望远镜，简称FAST，是世界上最大的单口径球面射电望远镜，被誉为“中国天眼”．2018年4月18日，FAST望远镜首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证，新发现的脉冲星自转周期为0.00519秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一．将0.00519用科学记数法表示应为（）A．0.519×10﹣2B．5.19×10﹣3C．51.9×10﹣4D．519×10﹣63．在△ABC中，AB＝3，AC＝5，第三边BC的取值范围是（）A．10＜BC＜13 B．4＜BC＜12 C．3＜BC＜8 D．2＜BC＜84．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于（）A．360°B．540°C．720°D．900°5．对于一次函数y＝（k﹣3）x+2，y随x的增大而增大，k的取值范围是（）A．k＜0 B．k＞0 C．k＜3 D．k＞36．下列各式中，正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝﹣7．如图，已知△ABC，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与△ABC全等的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁8．小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程75km，线路二全程90km，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的1.8倍，线路二的用时预计比线路一用时少半小时，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则下面所列方程正确的是（）A．＝+B．＝﹣C．＝+D．＝﹣9．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC 与PE的和最小时，∠CPE的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°10．如图，线段AB＝6cm，动点P以2cm/s的速度从A﹣B﹣A在线段AB上运动，到达点A后，停止运动；动点Q以1cm/s的速度从B﹣A在线段AB上运动，到达点A后，停止运动．若动点P，Q 同时出发，设点Q的运动时间是t（单位：s）时，两个动点之间的距离为s（单位：cm），则能表示s与t的函数关系的是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共18分，第11～16题，每小题2分，第17题3分，第18题3分）11．若分式的值为零，则x的值为．12．在平面直角坐标系中，点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是．13．计算：20+2﹣2＝．14．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD．若AC＝7，BC＝5，则△BDC的周长是．15．如图，边长为acm的正方形，将它的边长增加bcm，根据图形写一个等式．16．如图，在△ABC中，CD是它的角平分线，DE⊥AC于点E．若BC＝6cm，DE＝2cm，则△BCD的面积为cm2．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，﹣3），且OA＝5，在x轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形．（1）写出一个符合题意的点P的坐标；（2）请在图中画出所有符合条件的△AOP．18．（1）如图，∠MAB＝30°，AB＝2cm．点C在射线AM上，利用图1，画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题．你画图时，选取的BC的长约为cm （精确到0.1cm）．（2）∠MAB为锐角，AB＝a，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，BC＝x，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是．三、解答题（本题共30分，每小题6分）19．（1）分解因式x（x﹣a）+y（a﹣x）（2）分解因式x3y﹣10x2y+25xy20．计算： +21．解方程： +＝122．如图，点A，B，C，D在一条直线上，且AB＝CD，若∠1＝∠2，EC＝FB．求证：∠E＝∠F．23．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝3x与直线l2：y＝kx+b交于点A（a，3），点B（2，4）在直线l2上．（1）求a的值；（2）求直线l2的解析式；（3）直接写出关于x的不等式3x＜kx+b的解集．四、解答题（本题共12分，第24题7分，第25题5分）24．在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的两个顶点的坐标分别为A（﹣2，0），D（﹣2，4），顶点B在x轴的正半轴上．（1）写出点B，C的坐标；（2）直线y＝5x+5与x轴交于点E，与y轴交于点F．求△EFC的面积．25．阅读下列材料下面是小明同学“作一个角等于60°的直角三角形”的尺规作图过程．已知：线段AB（如图1）求作：△ABC，使∠CAB＝90°，∠ABC＝60°作法：如图2，（1）分别以点A，点B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，连接BD（2）连接BD并延长，使得CD＝BD；（3）连接AC△ABC就是所求的直角三角形证明：连接AD．由作图可知，AD＝BD＝AB，CD＝BD∴△ABD是等边三角形（等边三角形定义）∴∠1＝∠B＝60°（等边三角形每个内角都等于60°）∴CD＝AD∴∠2＝∠C（等边对等角）在△ABC中，∠1+∠2+∠B+∠C＝180°（三角形的内角和等于180°）∴∠2＝∠C＝30°∴∠1+∠2＝90°（三角形的内角和等于180°），即∠CAB＝90°∴△ABC就是所求作的直角三角形请你参考小明同学解决问题的方式，利用图3再设计一种“作一个角等于60°的直角三角形”的尺规作图过程（保留作图痕迹），并写出作法，证明，及推理依据．五、解答题（本题8分）26．在△ABC中，AB＝AC，在△ABC的外部作等边三角形△ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接BD．（1）如图1，若∠BAC＝100°，求∠BDF的度数；（2）如图2，∠ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN．①补全图2；②若BN＝DN，求证：MB＝MN．2018-2019学年北京市西城区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．图书馆的标志是浓缩了图书馆文化的符号，下列图书馆标志中，不是轴对称的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念解答．【解答】解：A、不是轴对称图形；B、是轴对称图形；C、是轴对称图形；D、是轴对称图形；故选：A．【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．500米口径球面射电望远镜，简称FAST，是世界上最大的单口径球面射电望远镜，被誉为“中国天眼”．2018年4月18日，FAST望远镜首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证，新发现的脉冲星自转周期为0.00519秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一．将0.00519用科学记数法表示应为（）A．0.519×10﹣2B．5.19×10﹣3C．51.9×10﹣4D．519×10﹣6【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.00519＝5.19×10﹣3．故选：B．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．在△ABC中，AB＝3，AC＝5，第三边BC的取值范围是（）A．10＜BC＜13 B．4＜BC＜12 C．3＜BC＜8 D．2＜BC＜8【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围．【解答】解：第三边BC的取值范围是5﹣3＜BC＜5+3，即2＜BC＜8．故选：D．【点评】考查了三角形三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．4．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于（）A．360°B．540°C．720°D．900°【分析】多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3）且n为整数），依此即可求解．【解答】解：（n﹣2）•180°＝（5﹣2）×180°＝3×180°＝540°．故∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于540°．故选：B．【点评】考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握多边形内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）．5．对于一次函数y＝（k﹣3）x+2，y随x的增大而增大，k的取值范围是（）A．k＜0 B．k＞0 C．k＜3 D．k＞3【分析】一次函数y＝kx+b，当k＞0时，y随x的增大而增大．据此列式解答即可．【解答】解：根据一次函数的性质，对于y＝（k﹣3）x+2，当k﹣3＞0时，即k＞3时，y随x的增大而增大．故选：D．【点评】本题考查了一次函数的性质．一次函数y＝kx+b，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k ＜0时，y随x的增大而减小．6．下列各式中，正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝﹣【分析】根据分式的基本性质解答即可．【解答】解：A、＝，故错误；B、＝+，故错误；C、＝，故正确；D、＝﹣，故错误；故选：C．【点评】本题考查了分式的基本性质，熟记分式的基本性质是解题的关键．7．如图，已知△ABC，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与△ABC全等的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】根据全等三角形的判定定理作出正确的选择即可．【解答】解：A．△ABC和甲所示三角形根据SA无法判定它们全等，故本选项错误；B．△ABC和乙所示三角形根据SAS可判定它们全等，故本选项正确；C．△ABC和丙所示三角形根据SA无法判定它们全等，故本选项错误；D．△ABC和丁所示三角形根据AA无法判定它们全等，故本选项错误；故选：B．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．8．小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程75km，线路二全程90km，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的1.8倍，线路二的用时预计比线路一用时少半小时，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则下面所列方程正确的是（）A．＝+B．＝﹣C．＝+D．＝﹣【分析】设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则在线路二上行驶的平均速度为1.8xkm/h，根据线路二的用时预计比线路一用时少半小时，列方程即可．【解答】解：设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则在线路二上行驶的平均速度为1.8xkm/h，由题意得：＝+，故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是，读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．9．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC 与PE的和最小时，∠CPE的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC＝∠PCB＝30°，即可解决问题；【解答】解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴PC＝PB，∴PE+PC＝PB+PE＝BE，即BE就是PE+PC的最小值，∵△ABC是等边三角形，∴∠BCE＝60°，∵BA＝BC，AE＝EC，∴BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠EBC＝30°，∵PB＝PC，∴∠PCB＝∠PBC＝30°，∴∠CPE＝∠PBC+∠PCB＝60°，故选：C．【点评】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．10．如图，线段AB＝6cm，动点P以2cm/s的速度从A﹣B﹣A在线段AB上运动，到达点A后，停止运动；动点Q以1cm/s的速度从B﹣A在线段AB上运动，到达点A后，停止运动．若动点P，Q 同时出发，设点Q的运动时间是t（单位：s）时，两个动点之间的距离为s（单位：cm），则能表示s与t的函数关系的是（）A．B．C．D．【分析】根据题意可以得到点P运动的慢，点Q运动的快，可以算出动点P和Q相遇时用的时间和点Q到达终点时的时间，从而可以解答本题．【解答】解：设点Q的运动时间是t（单位：s）时，两个动点之间的距离为s（单位：cm），6＝2t+t解得，t＝2此时，点P离点B的距离为：6﹣2×2＝2cm，点Q离点A的距离为：6﹣2＝4cm，相遇后，点P到达B点用的时间为：2÷2＝1s，此时两个动点之间的距离为3cm，由上可得，刚开始P和Q两点间的距离在越来越小直到相遇时，它们之间的距离变为0，此时用的时间为2s；相遇后，在第3s时点P到达B点，从相遇到点P到达B点它们的距离在变大，1s后P点从B点返回，点P继续运动，两个动点之间的距离逐渐变小，同时达到A点．故选：D．【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确各个时间段内它们对应的函数图象．二、填空题（本题共18分，第11～16题，每小题2分，第17题3分，第18题3分）11．若分式的值为零，则x的值为 1 ．【分析】分式的值为0的条件是分子为0，分母不能为0，据此可以解答本题．【解答】解：，则x﹣1＝0，x+1≠0，解得x＝1．故若分式的值为零，则x的值为1．【点评】本题考查分式的值为0的条件，注意分式为0，分母不能为0这一条件．12．在平面直角坐标系中，点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（1，2）．【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得答案．【解答】解：点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（1，2），故答案为：（1，2）．【点评】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，利用关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题关键．13．计算：20+2﹣2＝．【分析】根据零指数幂和负指数幂的知识点进行解答．【解答】解：原式＝1+＝．故答案为．【点评】本题主要考查了幂的负指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整指数幂当成正的进行计算，任何非0数的0次幂等于1，比较简单．14．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD．若AC＝7，BC＝5，则△BDC的周长是12 ．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵NM是AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴△BDC的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝12，故答案为：12．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．15．如图，边长为acm的正方形，将它的边长增加bcm，根据图形写一个等式a2+2ab+b2＝（a+b）2．【分析】依据大正方形的面积的不同表示方法，即可得到等式．【解答】解：由题可得，大正方形的面积＝a2+2ab+b2；大正方形的面积＝（a+b）2；∴a2+2ab+b2＝（a+b）2，故答案为：a2+2ab+b2＝（a+b）2．【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，即运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．16．如图，在△ABC中，CD是它的角平分线，DE⊥AC于点E．若BC＝6cm，DE＝2cm，则△BCD的面积为 6 cm2．【分析】作DF⊥BC于F，根据角平分线的性质求出DF，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：作DF⊥BC于F，∵CD是它的角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DF＝DE＝2，∴△BCD的面积＝×BC×DF＝6（cm2），故答案为：6．【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，﹣3），且OA＝5，在x轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形．（1）写出一个符合题意的点P的坐标答案不唯一，如：（﹣5，0）；（2）请在图中画出所有符合条件的△AOP．【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可求解；（2）可分三种情况：①AO＝AP；②AO＝PO；③AP＝PO；解答出即可．【解答】解：（1）一个符合题意的点P的坐标答案不唯一，如：（﹣5，0）；（2）如图所示：故答案为：答案不唯一，如：（﹣5，0）．【点评】本题主要考查了作图﹣复杂作图、等腰三角形的判定和坐标与图形的性质，注意讨论要全面，不要遗漏．18．（1）如图，∠MAB＝30°，AB＝2cm．点C在射线AM上，利用图1，画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题．你画图时，选取的BC的长约为答案不唯一如：BC＝1.2cm cm（精确到0.1cm）．（2）∠MAB为锐角，AB＝a，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，BC＝x，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是x＝d或x≥a．．【分析】（1）答案不唯一，可以取BC＝1.2cm（1cm＜BC＜2cm）；（2）当x＝d或x≥a时，三角形是唯一确定的；【解答】解：（1）取BC＝1.2cm，如图在△ABC和△ABC′中满足SSA，两个三角形不全等．故答案为：答案不唯一如：BC＝1.2cm．（2）若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是x＝d或x≥a，故答案为x＝d或x≥a．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（本题共30分，每小题6分）19．（1）分解因式x（x﹣a）+y（a﹣x）（2）分解因式x3y﹣10x2y+25xy【分析】（1）直接提取公因式（x﹣a）分解因式即可．（2）先提取公因式xy，然后利用完全平方公式进一步进行因式分解．【解答】（1）解：x（x﹣a）+y（a﹣x）＝x（x﹣a）﹣y（x﹣a）＝（x﹣a）（x﹣y）；（2）解：x3y﹣10x2y+25xy＝xy（x2﹣10x+25）＝xy（x﹣5）2．【点评】考查了因式分解﹣提公因式法．当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．20．计算： +【分析】原式先计算除法运算，再计算加减运算即可求出值．【解答】解：原式＝+•＝+＝+＝．【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．解方程： +＝1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：方程两边乘（x﹣3）（x+3），得x（x+3）+6 （x﹣3）＝x2﹣9，解得：x＝1，检验：当x＝1 时，（x﹣3）（x+3）≠0，所以，原分式方程的解为x＝1．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．22．如图，点A，B，C，D在一条直线上，且AB＝CD，若∠1＝∠2，EC＝FB．求证：∠E＝∠F．【分析】求出∠DBF＝∠ACE，AC＝DB，根据SAS推出△ACE≌△DBF，根据全等三角形的性质得出即可．【解答】证明：∵∠1+∠DBF＝180°，∠2+∠ACE＝180°．又∵∠1＝∠2，∴∠DBF＝∠ACE，∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝DB，在△ACE和△DBF中，∴△ACE≌△DBF（SAS），∴∠E＝∠F．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，能求出△ACE≌△DBF是解此题的关键．23．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝3x与直线l2：y＝kx+b交于点A（a，3），点B（2，4）在直线l2上．（1）求a的值；（2）求直线l2的解析式；（3）直接写出关于x的不等式3x＜kx+b的解集．【分析】（1）把A（a，3）代入y＝3x可求出a的值；（2）利用待定系数法求直线l2的解析式；（3）写出直线l2：y＝kx+b在直线l1：y＝3x上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：（1）直线l1：y＝3x与直线l2：y＝kx+b交于点A（a，3），所以3a＝3．解得a＝1．（2）由（1）得点A（1，3），直线l2：y＝kx+b过点A（1，3），点B（ 2，4 ），所以，解得所以直线l2的解析式为y＝x+2.4 分（3）不等式3x＜kx+b的解集为x＜1．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b 的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．四、解答题（本题共12分，第24题7分，第25题5分）24．在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的两个顶点的坐标分别为A（﹣2，0），D（﹣2，4），顶点B在x轴的正半轴上．（1）写出点B，C的坐标；（2）直线y＝5x+5与x轴交于点E，与y轴交于点F．求△EFC的面积．【分析】（1）根据正方形的性质以及A、D、B的位置即可求得；（2）求得E、F点的坐标，进而求得OB＝2，BC＝4，OF＝5，OE＝1，EB＝3，根据三角形的面积公式和梯形的面积公式求得即可．【解答】解：（1）如图，∵正方形ABCD的两个顶点的坐标分别为A（﹣2，0），D（﹣2，4），顶点B在x轴的正半轴上，∴B（2，0），C（2，4）；（2）∵直线y＝5x+5与x轴交于点E，与y轴交于点F，∴E（﹣1，0），F（0，5），∵B（2，0），C（2，4），∴OB＝2，BC＝4，OF＝5，OE＝1，EB＝3，∴S梯形OBCF＝（OF+BC）•OB＝×（5+4）×2＝9，S△OEF＝OE•OF＝×2×5＝5，S△EBC＝EB•BC＝×3×4＝6，∴S△EFC＝S梯形OBCF+S△OEF﹣S△EBC＝9+5﹣6＝8．【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质，坐标与图形的性质，求得点的坐标解题的关键．25．阅读下列材料下面是小明同学“作一个角等于60°的直角三角形”的尺规作图过程．已知：线段AB（如图1）求作：△ABC，使∠CAB＝90°，∠ABC＝60°作法：如图2，（1）分别以点A，点B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，连接BD（2）连接BD并延长，使得CD＝BD；（3）连接AC△ABC就是所求的直角三角形证明：连接AD．由作图可知，AD＝BD＝AB，CD＝BD∴△ABD是等边三角形（等边三角形定义）∴∠1＝∠B＝60°（等边三角形每个内角都等于60°）∴CD＝AD∴∠2＝∠C（等边对等角）在△ABC中，∠1+∠2+∠B+∠C＝180°（三角形的内角和等于180°）∴∠2＝∠C＝30°∴∠1+∠2＝90°（三角形的内角和等于180°），即∠CAB＝90°∴△ABC就是所求作的直角三角形请你参考小明同学解决问题的方式，利用图3再设计一种“作一个角等于60°的直角三角形”的尺规作图过程（保留作图痕迹），并写出作法，证明，及推理依据．【分析】根据题意设计“作一个角等于60°的直角三角形”的尺规作图过程，连接DC．得到△DBC 是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠B＝60°，根据等腰三角形的性质证明．【解答】解：作法：（1）延长BA至D，使AD＝AB；（2）分别以点B，点D为圆心，BD长为半径画弧，两弧交于点C；（3）连接AC，BC．则△ABC就是所求的直角三角形，证明：连接DC．由作图可知，BC＝BD＝DC，∴△DBC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵CD＝CB，AD＝AB，∴AC⊥BD，∴△ABC就是所求作的直角三角形．【点评】本题考查的是等边三角形的性质，基本尺规作图，掌握等边三角形的判定定理和性质定理，等腰三角形的三线合一是解题的关键．五、解答题（本题8分）26．在△ABC中，AB＝AC，在△ABC的外部作等边三角形△ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接BD．（1）如图1，若∠BAC＝100°，求∠BDF的度数；（2）如图2，∠ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN．①补全图2；②若BN＝DN，求证：MB＝MN．【分析】（1）分别求出∠ADF，∠ADB，根据∠BDF＝∠ADF﹣∠ADB计算即可；（2）①根据要求画出图形即可；②设∠ACM＝∠BCM＝α，由AB＝AC，推出∠ABC＝∠ACB＝2α，可得∠NAC＝∠NCA＝α，∠DAN＝60°+α，由△ABN≌△ADN（SSS），推出∠ABN＝∠ADN＝30°，∠BAN＝∠DAN＝60°+α，∠BAC＝60°+2α，在△ABC中，根据∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°，构建方程求出α，再证明∠MNB＝∠MBN即可解决问题；【解答】（1）解：如图1中，在等边三角形△ACD中，∠CAD＝∠ADC＝60°，AD＝AC．∵E为AC的中点，∴∠ADE＝∠ADC＝30°，∵AB＝AC，∴AD＝AB，∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝160°，∴∠ADB＝∠ABD＝10°，∴∠BDF＝∠ADF﹣∠ADB＝20°．（2）①补全图形，如图所示．②证明：连接AN．∵CM平分∠ACB，∴设∠ACM＝∠BCM＝α，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝2α．在等边三角形△ACD中，∵E为AC的中点，∴DN⊥AC，∴NA＝NC，∴∠NAC＝∠NCA＝α，∴∠DAN＝60°+α，在△ABN和△ADN中，∴△ABN≌△ADN（SSS），∴∠ABN＝∠ADN＝30°，∠BAN＝∠DAN＝60°+α，∴∠BAC＝60°+2α，在△ABC中，∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°，∴60°+2α+2α+2 α＝180°，∴α＝20°，∴∠NBC＝∠ABC﹣∠ABN＝10°，∴∠MNB＝∠NBC+∠NCB＝30°，∴∠MNB＝∠MBN，∴MB＝MN．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．。

上学期初中八年级期末考试数学试卷试卷满分：100分，考试时间：100分钟一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的。

1. 图书馆的标志是浓缩了图书馆文化的符号，下列图书馆的标志中，不是．．轴对称的是2. 500米口径球面射电望远镜，简称FAST ，是世界上最大的单口径球面射电望远镜，被誉为“中国天眼”，2018年4月18日，FAST 望远镜首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证，新发现的脉冲星自转周期为0.005 19秒，是至今发明的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一，将0.005 19用科学记数法表示应为 A. 210519.0-⨯ B. 31019.5-⨯C. 4109.51-⨯D. 610519-⨯3. 在ABC ∆中，若AB=3，AC=5，则第三边BC 的取值范围是A. 1310<<BCB. 124<<BCC. 83<<BCD. 82<<BC4. 如图，54321∠+∠+∠+∠+∠等于A. 360°B. 540°C. 720°D. 900°5. 对于一次函数2)3(+-=x k y ，y 随x 的增大而增大，k 的取值范围是 A. 0<k B. 0>kC. 3<kD. 3>k6. 下列各式中，正确的是A.cb c a ab 2422= B. b bab b a +=+1C. 31932+=--x x x D. 22yx y x +-=+-7. 如图1，已知ABC ∆，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与ABC ∆全等的是8. 小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程75km ，线路二全程90km ，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的1.8倍，线路二的用时预计比线路一用时少半小时，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为h xkm /，那么下面所列方程正确的是A.218.19075+=x x B. 218.19075-=x xC. 21908.175+=x xD. 21908.175-=x x9. 如图，ABC ∆是等边三角形，AD 是BC 边上的高，E 是AC 的中点，P 是AD 上的一个动点，当PC 与PE 的和最小时，CPE ∠的度数是A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°10. 如图，AB=6cm ，动点P 以2cm/s 的速度从A B A →→在线段AB 上运动，到达点A 后，停止运动；动点Q 以1cm/s 的速度从A B →在线段AB 上运动，到达点A 后，停止运动。

2023-2024学年北京市西城区八年级（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.火纹是一种常见的装饰图案，多用于建筑、家具设计等.下列火纹图案中，可以看成处轴对称图形的是( )A. B.C. D.2.下列运算中，正确的是( )A. B. C. D.3.在平面直角坐标系xOy中，点关于x轴的对称点坐标是( )A. B. C. D.4.下列各式从左到右变形一定正确的是( )A. B. C. D.5.如图，在中，，，BD是的角平分线.若点D到BC的距离为3，则AC的长为( )A. 12B.C. 9D. 66.如果，那么代数式的值为( )A. B. C. 6 D. 137.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点，，且，则点C的横坐标为( )A. B. C. D.8.如图，在中，，，点D，E是边AB上的两个定点，点M，N分别是边AC，BC上的两个动点.当四边形DEMN的周长最小时，的大小是( )A. B. C. D.二、填空题：本题共8小题，每小题2分，共16分。

9.计算：______；______.10.若分式有意义，则x的取值范围是______.11.计算：______.12.如图，为等腰三角形，，，连接BD，只需添加一个条件即可证明≌，这个条件可以是______写出一个即可13.如图，有甲、乙、丙三种正方形和长方形纸片，用1张甲种纸片、4张乙种纸片和4张丙种纸片恰好拼成无重叠、无缝隙一个大正方形，则拼成的大正方形的边长为______用含a，b的式子表示14.甲、乙两名同学作为志愿者帮助图书馆清点一批图书，甲3h清点完这批图书的，乙加入清点剩余的图书，两人合作清点完剩余的图书.如果乙单独清点这批图书需要几小时？若设乙单独清点这批图书需要xh，则根据题意可列方程为______.15.在正三角形纸片ABC上按如图方式画一个正五边形DEFGH，其中点F，G在边BC上，点E，H分别在边AB，AC上，则的大小是______16.如图，动点C与线段AB构成，其边长满足，，点D在的平分线上，且，则a的取值范围是______，的面积的最大值为______.三、解答题：本题共10小题，共84分。

2021-2022学年北京市西城区八年级（上）期末数学试卷1.下列图案中，可以看成轴对称图形的是()A. B. C. D.2.下列运算中，结果正确的是()A. (a2)3=a5B. (3a)2=6a2C. a6÷a2=a3D. a2⋅a3=a53.在△ABC中，作出AC边上的高，正确的是()A. B.C. D.4.如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在一个角的顶点，AB和AD沿着这个角的两边放下，利用全等三角形的性质就能说明射线AC是这个角的平分线，这里判定△ABC和△ADC是全等三角形的依据是()A. SSSB. ASAC. SASD. AAS5.下列分式中，从左到右变形错误的是()A. c4c =14B. 1a+1b=1a+bC. 1a−b =−1b−aD. a2−4a2+4a+4=a−2a+26.已知三条线段的长分别是4，4，m，若它们能构成三角形，则整数m的最大值是()A. 10B. 8C. 7D. 47.某校八年级一班计划安排一次以“迎冬奥”为主题的知识竞赛，班主任王老师打算到某文具店购买一些笔记本作为竞赛用的奖品．目前该文具店正在搞优惠酬宾活动：购买同样的笔记本，当花费超过20元时，每本便宜1元．已知王老师花费24元比花费20元多买了2本笔记本，求他花费24元买了多少本笔记本．设他花费24元买了x本笔记本，根据题意可列方程()A. 24x −20x−2=1 B. 24x−2−20x=1 C. 20x−2−24x=1 D. 20x+2−24x=18.在平面直角坐标系xOy中，点A(0,2)，B(a,0)，C(m,n)(n>0).若△ABC是等腰直角三角形，且AB=BC，当0<a<1时，点C的横坐标m的取值范围是()A. 0<m<2B. 2<m<3C. m<3D. m>39.计算：(1)2−1=______；(2)(π−1)0=______．10.若分式1x−2有意义，则x的取值范围为______．11.若一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是______边形．12.计算：2ab(3a2−5b)=______．13.若a2+ka+9是一个完全平方式，则常数k=______ ．14.如图1，将一个长为2a，宽为2b的长方形沿图中虚线剪开分成四个完全相同的小长方形，然后将这四个完全相同的小长方形拼成一个正方形(如图2).设图2中的大正方形面积为S1，小正方形面积为S2，则S1−S2的结果是______(用含a，b的式子表示)．15.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(2,0)，B(4,2)，若点P在x轴下方，且以O，A，P为顶点的三角形与△OAB全等，则满足条件的P点的坐标是______．16. 如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AC =2.D 为BC 上一动点，连接AD ，AD 的垂直平分线分别交AC ，AB 于点E ，F ，则线段BF 长的最大值是______．17. 分解因式：(1)3a 2−6ab +3b 2； (2)x 2(m −2)+y 2(2−m)．18. (1)计算：(x −8y)(x +y)；(2)先化简，再求值：(a +1−3a−1)÷a 2−4a 2−2a+1，其中a =−3．19. 解方程：x−1x+1−2x 2−1=1．20.如图，点A，B，C，D在一条直线上，AE//DF，AE=DF，AB=CD．(1)求证：△AEC≌△DFB．(2)若∠A=40o，∠ECD=145°，求∠F的度数．21.如图，8×12的长方形网格中，网格线的交点叫做格点，点A，B，C都是格点．请按要求解答下列问题：平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别是(−3,1)，(−1,4)，(1)①请在图中画出平面直角坐标系xOy；②点C的坐标是______，点C关于x轴的对称点C1的坐标是______．(2)设l是过点C且平行于y轴的直线，①点A关于直线l的对称点A1的坐标是______；②在直线l上找一点P，使PA+PB最小，在图中标出此时点P的位置；③若Q(m,n)为网格中任一格点，直接写出点Q关于直线l的对称点Q1的坐标(用含m，n的式子表示)．22.已知：如图1，线段a，b(a>b)．(1)求作：等腰△ABC，使得它的底边长为b，底边上的高的长为a．作法：①作线段AB=b．②作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D．③在MN上取一点C，使DC=a．④连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形．用直尺和圆规在图2中补全图形(要求：保留作图痕迹)；(2)求作：等腰△PEF，使得它的腰长为线段a，b中一条线段的长，底边上的高的长为线段a，b中另一条线段的长．作法：①作直线l，在直线l上取一点G．②过点G作直线l的垂线GH．③在GH上取一点P，使PG=______．④以P为圆心，以______的长为半径画弧，与直线l分别相交于点E，F．⑤连接PE，PF，则△PEF就是所求作的等腰三角形．请补全作法，并用直尺和圆规在图3中补全图形(要求：保留作图痕迹)．23.(1)如果(x−3)(x+2)=x2+mx+n，那么m的值是______，n的值是______；(2)如果(x+a)(x+b)=x2−2x+12，①求(a−2)(b−2)的值；②求1a2+1b2+1的值．24.在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC，AD为△ABC的中线，点E是射线AD上一动点，连接CE，作∠CEM=60°，射线EM与射线BA交于点F．(1)如图1，当点E与点D重合时，求证：AB=2AF；(2)如图2，当点E在线段AD上，且与点A，D不重合时，①依题意，补全图形；②用等式表示线段AB，AF，AE之间的数量关系，并证明．(3)当点E在线段AD的延长线上，且ED≠AD时，直接写出用等式表示的线段AB，AF，AE之间的数量关系．25.观察下列等式：①1−1−12=−11×2；②12−13−14=−13×4；③13−15−16=−15×6；④14−17−18=−17×8；…根据上述规律回答下列问题：(1)第⑤个等式是______；(2)第n个等式是______(用含n的式子表示，n为正整数)．26.对于面积为S的三角形和直线l，将该三角形沿直线l折叠，重合部分的图形面积记为S0，定义S0S−S0为该三角形关于直线l的对称度．如图，将面积为S的△ABC 沿直线l折叠，重合部分的图形为△C′DE，将△C′DE的面积记为S0，则称S0S−S0为△ABC关于直线l的对称度．在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，B(−3,0)，C(3,0)．(1)过点M(m,0)作垂直于x轴的直线l1，①当m=1时，△ABC关于直线l1的对称度的值是______；②若△ABC关于直线l1的对称度为1，则m的值是______．(2)过点N(0,n)作垂直于y轴的直线l2，求△ABC关于直线l2的对称度的最大值．(3)点P(−4,0)满足AP=5，点Q的坐标为(t,0)，若存在直线，使得△APQ关于该直线的对称度为1，写出所有满足题意的整数t的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：选项B的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，选项A、C、D的图形均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，故选：B．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.【答案】D【解析】解：A.(a2)3=a6，故此选项不合题意；B.(3a)2=9a2，故此选项不合题意；C.a6÷a2=a4，故此选项不合题意；D.a2⋅a3=a5，故此选项符合题意；故选：D．直接利用积的乘方运算法则、幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别判断得出答案．此题主要考查了积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．3.【答案】D【解析】解：根据三角形高线的定义，AC边上的高是过点B向AC作垂线垂足为D，纵观各图形，D选项符合高线的定义，故选：D．根据三角形的高的定义对各个图形观察后解答即可．本题主要考查了三角形的高线的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高．熟练掌握概念是解题的关键．4.【答案】A【解析】解：在△ADC和△ABC中，{AD=AB DC=BC AC=AC，∴△ADC≌△ABC(SSS)，∴∠DAC=∠BAC，∴AC就是∠DAB的平分线．故选：A．根据题目所给条件可利用SSS定理判定△ADC≌△ABC，进而得到∠DAC=∠BAC．本题重点考查了三角形全等的判定定理，普通两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，但AAA、SSA，无法证明三角形全等，本题是一道较为简单的题目．5.【答案】B【解析】解：A．c4c =14，故此选项不合题意；B.1a +1b=bab+aab=a+bab，故此选项符合题意；C.1a−b =−1b−a，故此选项不合题意；D.a2−4a+4a+4=(a+2)(a−2)(a+2)=a−2a+2，故此选项不合题意；故选：B．直接利用分式的加减运算法则以及分式的性质分别化简，进而判断得出答案．此题主要考查了分式的加减运算以及分式的性质，正确化简分式是解题关键．6.【答案】C【解析】解：根据三角形的三边关系，得m的长大于0而小于8．故选：C．根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，进而解答即可．考查了三角形的三边关系．三角形的三边关系：第三边大于两边之差而小于两边之和．7.【答案】C【解析】解：设他花费24元买了x本笔记本，根据题意可列方程为20x−2−24x=1，故选：C．设他花费24元买了x本笔记本，根据购买同样的笔记本，当花费超过20元时，每本便宜1元列方程即可得到结论．此题考查了由实际问题抽象出分式方程．注意准确找到等量关系是关键．8.【答案】B【解析】解：如图，过点C作CD⊥x轴于D，∵点A(0,2)，∴AO=2，∵△ABC是等腰直角三角形，且AB=BC，∴∠ABC=90°=∠AOB=∠BDC，∴∠ABO+∠CBD=90°=∠ABO+∠BAO，∴∠BAO=∠CBD，在△AOB和△BDC中，{∠AOB=∠BDC ∠BAO=∠CBD AB=BC，∴△AOB≌△BDC(AAS)，∴AO=BD=2，BO=CD=n=a，∴0<a<1，∵OD=OB+BD=2+a=m，∴2<m<3，故选：B．过点C作CD⊥x轴于D，由“AAS”可证△AOB≌△BDC，可得AO=BD=2，BO=CD= n=a，即可求解．本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．9.【答案】112；【解析】解：(1)2−1=12(2)(π−1)0=1．故答案为：1；1．2(1)直接利用负整数指数幂的性质计算得出答案；(2)直接利用零指数幂的性质计算得出答案．此题主要考查了零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质，正确化简各数是解题关键．10.【答案】x≠2【解析】解：由题意，得x−2≠0．解得x≠2，故答案为：x≠2．根据分母不为零分式有意义，可得答案．本题考查了分式有意义的条件，利用分母不为零得出不等式是解题关键．11.【答案】五【解析】解：设多边形的边数是n，则(n−2)⋅180°=540°，解得n=5，故答案为：五．根据多边形的内角和公式求出边数即可．本题考查了多边形的内角和定理，熟记公式是解题的关键．12.【答案】6a3b−10ab2【解析】解：2ab(3a2−5b)=6a3b−10ab2．故答案为：6a3b−10ab2．根据多项式乘单项式法则求出即可．本题主要考查多项式乘单项式，解题的关键是掌握多项式乘单项式法则．13.【答案】±6【解析】【分析】先根据平方项确定出这两个数是a和3，再根据完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2的乘积二倍项列式求解即可．本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．此题解题的关键是利用平方项求出这两个数．【解答】解：∵a2+ka+9是一个完全平方式，∴这两个数是a和3，∴ka=±2×3⋅a，解得k=±6；故答案是：±6．14.【答案】4ab【解析】解：由题意可得S1−S2的结果就是图2中4个长方形的面积，即图1长方形的面积2a×2b=4ab，故答案为：4ab．由题意可得S1−S2的结果就是图1长方形的面积．此题考查了完全平方公式几何背景的应用能力，关键是能根据图形准确列式．15.【答案】(4,−2)或(−2,−2)【解析】解：如图所示：有两种情况，∵A(2,0)，B(4,2)，以O，A，P为顶点的三角形与△OAB全等，点P在x轴下方，∴P1的坐标是(4,−2)，P2的坐标是(−2,−2)，故答案为：(4,−2)或(−2,−2)．先根据题意和全等三角形的判定画出符合的图形，再求出P点的坐标即可．本题考查了全等三角形的判定定理和点的坐标，能画出符合条件的点P的位置是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．16.【答案】83【解析】解：过点F 作FH ⊥BC 于H ，连接DF ，设AF =x ，则BF =4−x ，∵∠B =30°，∴FH =12BF =2−12x ，∴x ≥2−12x ， 解得x ≥43，∴AF 最小值为43，BF 的最大值为4−43=83．故答案为：83．过点F 作FH ⊥BC 于H ，连接DF ，设AF =x ，则BF =4−x ，结合含30°角的直角三角形的性质可得关于x 的不等式，计算可求解AF 的最小值，进而可求得BF 的最大值． 本题主要考查了线段垂直平分线的性质、30°角所对直角边是斜边的一半以及圆与直线的位置关系，将BF 的最大值转化为AF 最小是解决本题的关键，属于压轴题． 17.【答案】解：(1)3a 2−6ab +3b 2=3(a 2−2ab +b 2)=3(a −b)2；(2)x 2(m −2)+y 2(2−m)=(m −2)(x 2−y 2)=(m −2)(x +y)(x −y)．【解析】(1)先提公因式，然后再利用完全平方公式继续分解即可；(2)先提公因式，然后再利用平方差公式继续分解即可．本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．18.【答案】解：(1)原式=x2+xy−8xy−8y2 =x2−7xy−8y2；(2)原式=(a2−1a−1−3a−1)÷(a+2)(a−2)(a−1)2=a2−4a−1÷a2−4(a−1)2=a2−4a−1⋅(a−1)2 a2−4=a−1，当a=−3时，原式=−3−1=−4．【解析】(1)根据多项式乘多项式法则展开，再合并同类项即可；(2)先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将a的值代入计算即可．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则．19.【答案】解：方程两边同时乘(x+1)(x−1)，得整式方程(x−1)2−2=x2−1，解得：x=0，检验：当x=0时，(x+1)(x−1)≠0．所以原分式方程的解为x=0．【解析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．20.【答案】(1)证明：∵AE//DF，∴∠A=∠D，∵AB=CD，∴AC=DB，在△AEC和△DFB中，{AE=DF ∠A=∠D AC=DB，∴△AEC≌△DFB(SAS)，(2)解：∵∠ECD=145°，∠A=40o，∴∠E=105o，∵△AEC≌△DFB，∴∠F=∠E=105o．【解析】(1)由“SAS”可证△AEC≌△DFB；(2)由全等三角形的性质和三角形内角和定理可求解．本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．21.【答案】(1,2)(1,−2)(5,1)【解析】解：(1)①建立的直角坐标系xOy如图所示；②C(1,2)，C1(1,−2)．故答案为：(1,2)，(1,−2)；(2)①A1(5,1)；故答案为：(5,1)；②如图，点P即为所求；=1，y+n，③设Q(x,y)，则有m+x2∴x=2−m，∴Q1(2−m,n)．(1)①根据A，B两点坐标作出平面直角坐标系即可；①根据轴对称的性质解决问题即可；(2)①利用轴对称的性质解决问题；②作点A关于直线l的对称点A1，连接BA1交直线l于点P，连接AP，点P即为所求；③利用中点坐标公式解决问题即可．本题考查作图−复杂作图，轴对称的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．22.【答案】b a【解析】解：(1)如图2中，△ABC即为所求；(2)如图3中，△PEF即为所求．作法：①作直线l，在直线l上取一点G．②过点G作直线l的垂线GH．③在GH上取一点P，使PG=b．④以P为圆心，以a的长为半径画弧，与直线l分别相交于点E，F．⑤连接PE ，PF ，则△PEF 就是所求作的等腰三角形．故答案为：b ，a ．(1)根据要求作出图形即可；(2)根据要求作出图形即可．本题考查作图−复杂作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．23.【答案】−1 −6【解析】解：(1)∵(x −3)(x +2)=x 2+mx +n ，∴x 2−x −6=x 2+mx +n ，∴m =−1，n =−6，故答案为：−1，−6；(2)∵(x +a)(x +b)=x 2−2x +12，∴a +b =−2，ab =12，①(a −2)(b −2)=ab −2(a +b)+4=12−2×(−2)+4 =172，②1a 2+1b 2+1=b 2+a 2a 2b 2+1 =(a+b)2−2ab a 2b 2+1 =(−2)2−1(12)2+1=13．(1)先去括号，合并同类项，根据等式的恒等性，列等式，计算；(2)先去括号，合并同类项，根据等式的恒等性，求出(a +b)、ab 的值，①把(a +b)、ab 的值代入整理后的整式计算即可；②通分后，配方，再把(a +b)、ab 的值代入后计算．本题考查了多项式乘以多项式，掌握多项式乘以多项式法则，等式的恒等性、整体性、配方是解题的关键．24.【答案】(1)证明：∵AB=AC，AD为△ABC的中线，∴AD⊥BC，∠B=∠C．∴∠ADB=∠ADC=90°．∵∠BAC=120°，∴∠B=30°，∠CAF=∠BAD=∠CAD=60°．∴AB=2AD．∵∠CDF=60°，∠DAF=120°，∴∠AFD=∠ADF=30°．∴AD=AF．∴AB=2AF．(2)解：①补全图形如图；②AB=AF+AE．证明：在AC上截取AG=AE，连接EG．∵∠BAC=120°，AB=AC，AD为△ABC中线，∴∠DAB=∠DAC=60°．∴△AEG是等边三角形，∠EAF=120°．∴EG=AE，∠AGE=∠AEG=60°．∴∠EGC=120°．∴∠EAF=∠EGC．∵∠AEG=∠CEF=60°，∴∠AEF=∠GEC．在△AEF和△GEC中，{∠AEF=∠GEC AE=EG∠EAF=∠EGC，∴△AEF≌△GEC(ASA)．∴AF=GC．∵AC=AG+GC，∴AB=AE+AF．(3)方法同(2)，当ED<AD时，AB=AE+AF；当AD<ED≤3AD时，AB=AE−AF．【解析】(1)由等腰三角形的性质得出AD⊥BC，∠B=∠C.证出AD=AF.则可得出结论；(2)①由题意画出图形即可；②在AC上截取AG=AE，连接EG.证明△AEF≌△GEC(ASA).由全等三角形的性质得出AF=GC.则可得出结论；(3)方法同(2)可得出结论．本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，构造全等三角形和直角三角形是解本题的关键．25.【答案】15−19−110=−19×101n−12n−1−12n=−12n(2n−1)【解析】解：(1)由题意得：第⑤个等式为：15−19−110=−19×10，故答案为：15−19−110=−19×10；(2)∵①1−1−12=−11×2；②12−13−14=−13×4；③13−15−16=−15×6；④14−17−18=−17×8；…，∴第n个等式为：1n −12n−1−12n=−12n(2n−1)．故答案为：1n −12n−1−12n=−12n(2n−1)．(1)根据所给的等式的形式进行求解即可；(2)分析所给的等式，然后总结出结果即可．本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式分析清楚所存在的规律．26.【答案】27【解析】解：(1)①如图1中，当m=1时，S=12×6×3=9，S0=12×2×2=2，∴△ABC关于直线l1的对称度的值=29−2=27．故答案为：27．②当△ABC关于直线l1的对称度为1时，S0=92，此时m=0．故答案为：0；(2)如图2中，设过点N的直线交AB，AC于点E，F，点A关于直线EF的对称点为A′，当点A′落在OA上时，S0=12⋅EF⋅NA′=12×2(3−n)×(3−n)=(3−n)2(32≤n<3)，当n=32时，S0的值最大，最大值为94．如图3中，当0<n<32时，S0=12⋅(EF+MK)⋅NO=12×(6−2n+6−4n)×n=−3n2+6n=−3(n−1)2+3，∵−3<0，∴n=1时，S0的最大值为3，∵94<3，∴当S0=3时，△ABC关于直线l2的对称度的值最大，最大值=39−3=12．(3)如图4中，∵△APQ关于该直线的对称度为1，∴△APQ是等腰三角形，又∵Q(t,0)，t是整数，∴当PA=PQ=5时，Q1(−9,0)，Q2(1,0)，满足条件，当AP=AQ时，Q3(4,0)，∴满足条件的t的值为−9或1或4．(1)①根据对称度的定义，求出S0，S的值即可；②当△ABC关于直线l1的对称度为1时，S0=92，此时m=0；(2)求出S0的最大值，可得结论；(3)由题意△APQ关于该直线的对称度为1，推出△APQ是等腰三角形，求出整数t的值即可．本题属于几何变换综合题，考查了轴对称变换的性质，三角形的面积，四边形的面积，对称度的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．。

北京市西城区第一学期期末试卷八 年 级 数 学试卷满分：100分，考试时间：100分钟一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1.下列二次根式中，最简二次根式是（ ）.B.182. 2015年9月14日，意大利物理学家马尔科•德拉戈收到自激光干涉引力波天文台（LIGO ）的系统自动提示邮件，一股宇宙深处的引力波到达地球，在位于美国华盛顿和烈文斯顿的两个LIGO 探测器上产生了-18410⨯米的空间畸变（如图中的引力波信号图像所示），也被称作“时空中的涟漪”，人类第一次探测到了引力波的存在，“天空和以前不同了……你也听得到了.”这次引力波的信号显著性极其大，探测结果只有三百五十万分之一的误差. 三百五十万分之一约为0.000 000 285 7.将0.000 000 285 7用科学记数法表示应为（ ）. A ．-82.85710⨯ B. -72.85710⨯ C . -62.85710⨯ D. -60.285 710⨯3.以下图形中，不是．．轴对称图形的是（ ）.4. 如图，在△ABC 中，∠B =∠C =60︒，点D 在AB 边上，DE ⊥AB ，并与AC 边交于点E . 如果AD=1，BC=6，那么CE 等于（ ）.A. 5B. 4C. 3D. 25.下列各式正确的是（ ）. A. 6212121=x x x x --⋅= B. 62331 x x x x --÷== C. 323322 () x xy x y y --== D. 13223y x x y -⎛⎫= ⎪⎝⎭6.化简211x x --正确的是（ ）.A. 221(1)1111x x x x x --==---B. 221(1)111x x x x x --==---C. 21(1)(1)111x x x x x x -+-==+--D. 21(1)(1)1111x x x x x x -+-==--+ 7. 在△ABD 与△ACD 中，∠BAD =∠CAD ，且B 点，C 点在AD 边两侧，则不一定．．．能使△ABD 和△ACD 全等的条件是（ ）.A. BD =CDB. ∠B =∠CC. AB =ACD. ∠BDA =∠CDA 8.下列判断错误的是（ ）. A. 当a ≠0时，分式2a有意义 B. 当3a =-时，分式239a a +-有意义 C. 当12a =-时，分式2a +1a 的值为0 D. 当1a =时，分式21a a-的值为19. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，∠C =20︒，AB BD AC +=， 将△ABD 沿AD 所在直线翻折，点B 在AC 边上的落点记为 点E ，那么∠AED 等于（ ）. A. 80︒ B.60︒ C. 40︒ D. 30︒10. 在课堂上，张老师布置了一道画图题：画一个Rt △ABC ，使∠B =90°，它的两条边分别等于两条已知线段.小刘和小赵同学先画出了∠MBN =90°之后，后续画图的主要过程分别如下图所示.那么小刘和小赵同学作图确定三角形的依据分别是（ ）.A. SAS ，HLB. HL ，SASC. SAS ，AASD. AAS ，HL二、填空题（本题共18分，每小题3分）小刘同学 小赵同学11. 0(π-3)=________.12. 在实数范围内有意义，那么的取值范围是_________. 13. 在平面直角坐标系Oy 中，点(5,1)-关于y 轴对称的点的坐标为_________.14. 中国新闻网报道： 2022年北京冬奥会的配套设施——“京张高铁”（北京至张家口高速铁路）将于2019年底全线通车，届时，北京至张家口高铁将实现1小时直达. 目前，北京至张家口的列车里程约200千米，列车的平均时速为v 千米/时，那么北京至张家口“京张高铁”运行的时间比现在列车运行的时间少________小时.（用含v 的式子表示）15. 如图所示的“钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），请你再只涂黑一个．．．．．小三角形， 使它与阴影部分合起所构成的完整图形是一个轴对称图形.（1）画出其中 一种涂色方式并画出此时的对称轴；（2）满足题意的涂色方式有_____种.16. 对于实数p ，我们规定：用<p >表示不小于p 的最小整数，例如：<4>=4，<3>=2. 现对72进行如下操作：（1）对36只需进行_______次操作后变为2；（2）只需进行3次操作后变为2的所有正整数中，最大的是________.三、解答题（本题共52分） 17. （本题6分，每小题3分）分解因式：（1）3225a b a b -； （2）231212a a -+.解： 解：18. （本题6分）化简并求值：222142442a a a a a a a a ---⎛⎫-÷ ⎪++++⎝⎭，其中1a =-.19. （本题6分）解方程：2217111x x x +=-+-. 解：20. （本题6分）小华在学习二次根式时遇到如下计算题，他是这样做的：请你先把他在第一步中出现的其它错误圈画出（不必改正），再．完成此题的解答过程．．．．．．．．．. 解：21. （本题6分）如图，△PAO 和△PBQ 是等边三角形，连接AB ，OQ .求证：AB =OQ . 证明：22. （本题6分）阅读下列材料：小铭和小雨在学习过程中有如下一段对话：小铭：“我知道一般当m ≠n 时，2m n +≠2m n +.可是我见到有这样一个神奇的等式：2()a b a b b -+=2()a b a b b-+（其中a ，b 为任意实数，且b ≠0）.你相信它成立吗？”小雨：“我可以先给a ，b 取几组特殊值验证一下看看.” 完成下列任务：（1）请选择两组你喜欢的、合适的a ，b 的值，分别代入阅读材料中的等式，写出代入后得到的具体等式并验证它们是否成立（在相应方框内打勾）；① 当a = ，b = 时，等式 （□成立；□不成立）；② 当a = ，b = 时，等式 （□成立；□不成立）.（2）对于任意实数a ，b （b ≠0），通过计算说明2()ab a b b -+=2()a b a b b-+是否成立. 解：23. （本题5分）阅读下列材料：为了了解学校初二年级学生的阅读情况，小廉所在实践小组的同学们设计了相应的调查问卷，他们共发放问卷300张，收回有效问卷290张，并利用统计表整理了每一个问题的数据，绘制了统计图.他们的调查问卷中，有关“阅读载体的选择”和“阅读过书的类型”两个问题的统计情况如下表所示.表1：表2：根据以上材料解答下列问题：（1）根据表1中的统计数据，选择合适的统计图对其进行数据的描述；（2）通过表2中统计出的数据你能得到哪些结论？请你说出其中的一条即可.解：（1）（2）.24.1题5分（此24. 先阅读以下材料，再从24.1、24.2两题中任选一题．．．．作答（若两题都做以第一题为准）．．．．．．．．．．．．时卷面满分100分），24.2题7分（卷面总分不超过100分）.请先在以下相应方框内打勾，再解答相应题目.24.1 解决下列两个问题：（1）如图2，在△ABC 中，AB =3，AC =4，BC =5，EF 垂直且平分BC ，点P 在直线EF 上，直接写出PA +PB 的最小值，回答 PA +PB 取最小值时点P 的位置并在图中标出．．．．．； 解：PA +PB 的最小值为 ，PA +PB 取最小值时点P 的 位置是 ；（2）如图3，点M ，N 分别在直线AB 两侧，在直线AB 上找一点P ，使得MPB NPB ∠=∠.要求画图，并简要叙述确定点P 位置的步骤.（无需尺规作图，保留画图痕迹，无需证明）解：确定点P 位置的简要步骤：.24.2借鉴阅读材料中解决问题的三个步骤完成以下尺规作图．．．．： 已知三条线段h ，m ，c ，求作△ABC ，使其BC 边上的高AH =h ，中线AD =m ，AB = c .（1）请先画草图（画出一个即可），并叙述简要的作图思路（即实现目标图的大致作图步骤）；（4分）解：（2）完成尺规作图（不要求写作法．．．．．．．，作出一个满足条件的三角形即可）.（3分）25. （本题6分）在等边△ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE =DA（如图1）.（1）求证：∠BAD=∠EDC；（2）点E关于直线BC的对称点为M，连接DM，AM.①依题意将图2补全；②小姚通过观察、实验提出猜想：在点D运动的过程中，始终有DA=AM.小姚把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1要证明DA=AM，只需证△ADM是等边三角形；想法2：连接CM，只需证明△ABD≌△ACM即可.请你参考上面的想法，帮助小姚证明DA=AM（一种方法即可）.（1）证明：（2）①补全图形.②证明：图1 图2北京市西城区第一学期期末试卷八年级数学附加题试卷满分：20分一、填空题（本题8分）1. 3，按下面的方式进行排列：所在的位置记为(1,5)，(2,3)，那么（1所在的位置应记为；（2）在(4,1)的位置上的数是，所在的位置应记为；（3）这组数中最大的有理数所在的位置应记为 .二、操作题（本题4分）2. 条件：图①和图②是由边长都为1个单位长度的小正方形组成的网格，其中有三个图形：组块A，组块B和组块C.任务：在图②的正方形网格中，用这三个组块拼出一个轴对称图形（组块C的位置已经画好），要求组块的所有顶点都在格点上，并且3个组块中，每两个组块．．．．．要有公共的顶点或边.请画出组块A和组块B的位置（用阴影部分表示，并标注字母）说明：只画一种即可，组块A，组块B可在网格中平移，翻折或旋转.三、解答题（本题8分）3. 在平面直角坐标系Oy中，点A的坐标为(4,0)-，点B的坐标为(0,)b，将线段BA绕点B顺时针旋转90︒得到线段BC，连接AC.（1）当点B在y轴的正半轴上时，在图1中画出△ABC并求点C的坐标（用含b的式子表示）；（2）画图探究：当点B在y轴上运动且满足2-≤b≤5时，相应的点C的运动路径形成什么图形.①在图2中画出该图形；②描述该图形的特征；③利用图3简要证明以上结论.解：（1）（2）①画图.②该图形的特征是.③简要证明过程：图1 图2北京市西城区第一学期期末试卷八年级数学参考答案及评分标准一、选择题（本题共30分，每小题3分）二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11. 1. 12. ≥3. 13. (5,1). 14. 200(1)v-. 15. （1）见图1（涂色1分，画对称轴1分）；（2）3（1分）.16. （1）3（2分）；（2）256（1分）. 三、解答题（本题共52分） 17. （本题6分，每小题3分）解：（1）32225(5)a b a b a b a b -=-； …………………………………………………… 3分 （2） 231212a a -+23(44)a a =-+ …………………………………………………………………… 4分 23(2)a =-. ………………………………………………………………………… 6分18. （本题6分） 解： 222142442a a a a a a a a ---⎛⎫-÷⎪++++⎝⎭图12212=(2)(2)4a a a a a a a ⎡⎤--+-⨯⎢⎥++-⎣⎦21=(4)(2)(4)a a a a a a ----+-…………………………………………………………… 3分(2)(2)(1)=(2)(4)a a a a a a a -+--+-4=(2)(4)a a a a -+-……………………………………………………………………… 4分21=2a a +. ……………………………………………………………………………… 5分当1a =-时，221112(1)2(1)a a ==-+-+⨯-. …………………………………………6分19. （本题6分）解：方程两边同乘(1)(1)x x -+，得 2(1)(1)7x x ++-=.…………………………………2分去括号，得 2217x x ++-=.……………………………………………………………3分 移项，合并，得 36x =.……………………………………………………………… 4分 系数化1，得 2x =. …………………………………………………………………… 5分 经检验，2x =是原方程的根. ………………………………………………………… 6分 所以原方程的解为2x =. 20. （本题6分）………… 2分解：原式222-⨯ …………………………………………… 4分=31222+- ………………………………………………………………… 5分=1152-……………………………………………………………………… 6分21. （本题6分） 证明：如图2.∵ △PAO 和△PBQ 是等边三角形，∴ PA=PO ，PB=PQ ，∠OPA =60°，∠QPB =60°.∴ ∠OPA =∠QPB .∴ 33OPA QPB ∠-∠=∠-∠.∴ ∠1=∠2. ……………………………………………… 1分 在△PAB 和△POQ 中，,12,,PA PO PB PQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩………………………………………………………………………… 4分 ∴ △PAB ≌△POQ . ………………………………………………………………… 5分 ∴ AB=OQ . ……………………………………………………………………… 6分 22. （本题6分） （1）例如：①当a = 2 ，b = 3 时，等式222121()()3333+=+成立；…………………………… 1分② 当a = 3 ，b = 5 时，等式223232()()5555+=+成立. ……………………………2分（2）解：22222222()()a b a a b a a b b a a ab b b b b b b b --+--++=+==，…………………… 3分 22222222()a b a a b ab a a ab b b b b b b --+-++=+=. …………………………… 5分 所以等式2()a b a b b-+=2()a b a b b -+成立.…………………………………… 6分23. （本题5分）解：（1）例如：（画出一种即可）………………… 4分（2）结论略. …………………………………………………………………………… 5分 24.1 （本题5分）解：（1）4（1分），直线EF 与AC 边的交点（1分），标图1分（图略）. …………………3分（2）先画点M 关于直线AB 的对称点M '，射线NM '与直线AB 的交点即为点P . （见图3）………………………………… 5分图3注：画图1分，回答1分.24.2（本题7分）（1）解：草图如图4. …………………………………………………………………………1分先由长为h ，m 的两条线段作Rt △ADH ，再由线段c 作边AB 确定点B ，再倍长BD 确定点C . …………………………………………………………………… 4分（2）如图5. ………………………………………………………………………………… 7分 注：其他正确图形及作法相应给分.25.（本题6分） （1）证明：如图6.∵ △ABC 是等边三角形，∴ 260BAC B ∠=∠=∠=︒. ∵ AD=DE ， ∴ 1E ∠=∠.∵ 1BAD BAC ∠=∠-∠，2EDC E ∠=∠-∠， ∴ ∠BAD =∠EDC . ……………………… 2分 （2）①补全图形.（见图7）……………………3分②法1： 证明：如图7. 由（1）已得34∠=∠.∵ 点E 与点M 关于直线BC 对称，可得 45∠=∠，DE=DM . ∵ DE=DA ，∴ 35∠=∠，DA=DM . ∵ ∠ADC 是△ABD 的外角， ∴ 3603ADC B ∠=∠+∠=︒+∠.又∵ 5ADC ADM ∠=∠+∠，图7∴ 60ADM ∠=︒. ∴ △ADM 是等边三角形.∴ DA=AM . ……………………………………………………………………… 6分法2：证明：如图8，在AB 边上截取BF=BD ，连接CM ，DF . 可得△BDF 是等边三角形，120AFD DCE ∠=∠=︒.∵ DA= DE ，34∠=∠∴ △ADF ≌△DEC . ∴ DF=EC .∵ 点E 与点M 关于直线BC 对称， 可得45∠=∠，CE=CM ，120DCM DCE ∠=∠=︒.∴ BD= DF=EC= MC ，60ACM ∠=︒. ∴ B ACM ∠=∠. ∵ △ABC 是等边三角形， ∴ AB AC =. ∴ △ABD ≌△ACM .∴ DA=AM . ……………………………………………………………………… 6分图8北京市西城区第一学期期末试卷八年级数学附加题参考答案及评分标准一、填空题（本题8分）1.解：（1）(2,5).…………………………………………………………………………… 2分（2）(5,4).…………………………………………………………………… 6分 （3）(6,2).…………………………………………………………………………… 8分 二、操作题（本题4分） 2.解：如图所示，任画一种即可.…………………………………………………………4分 三、解答题（本题8分）3.解：（1）如图1，作CD ⊥y 轴于点D . 由题意可得AB=BC ，90ABC ∠=︒，∴ 90DBC OBA ∠+∠=︒. ∵ 90AOB BDC ∠=∠=︒， ∴ 90OAB OBA ∠+∠=︒. ∴ OAB DBC ∠=∠.∴ △OAB ≌△DBC . ………………………… 2分 ∴ OB=DC ，OA=DB . ……………………… 3分∵ 点A 的坐标为(4,0)-，点B 的坐标为(0,)b ，点B 在y 轴的正半轴上， ∴ 4OA =，OB b =.∴ 4OD OB BD b =+=+，CD OB b ==. …………………………………… 4分 由题意知点C 在第二象限，∴ 点C 的坐标为( ,+4)b b -.………………………………………………………5分 （2）①画图见图2. ………………………………………………………………………6分 ②线段13C C ，其中1C ，3C 两点的坐标分别为1(2,2) C ，3(5,9) C -，线段13C C 所 在直线与y 轴所夹的锐角为45︒. ………………………………………………7分 ③简要证明过程：如图3，设点G 的坐标为(0,4)G ，点H 的坐标为(4,0)H ，可得∠OGH =45︒.任取满足题意的点(0,)B b （其中2-≤b ≤5），作出相应的线段BC 和线段AC ，作CD ⊥y 轴于点D .由点(0,4)G 可得4OG OA ==. 同（1）可得OB=CD ，AO=BD .所以 CD OB OD BD ==-OD OA OD OG DG =-=-=. 由CD ⊥y 轴于点D 可得∠DGC =45︒.所以无论点B 在y 轴上如何运动，相应的点C 在运动时总落在直线GH 上.而点B 在y 轴上运动满足2-≤b ≤5时，此时点C 运动的路径是这条直线上的一部分，是线段13C C （见图2），其中与点1(0,2) B -对应的端点为1(2,2) C ；与点3(0,5) B 对应的端点为3(5,9) C -. …………………………………………… 8分图2 图3。

北京市西城区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.1. （3分）下列二次根式中，最简二次根式是（）A. —B. — C•加D.:2. （3分）2015年9月14 日,意大利物理学家马尔科？德拉戈收到来自激光干涉引力波天文台（LIGO的系统自动提示邮件，一股宇宙深处的引力波到达地球，在位于美国华盛顿和烈文斯顿的两个LIGO探测器上产生了4X 10「18米的空间畸变（如图中的引力波信号图象所示），也被称作时空中的涟漪”，人类第一次探测到了引力波的存在，天空和以前不同了••你也听得到了. ”这次引力波的信号显著性极其大，探测结果只有三百五十万分之一的误差. 三百五十万分之一约为0.0000002857.将0.0000002857用科学记数法表示应为（）4. （3分）如图，在△ ABC中，/ B=Z C=60°，点D在AB边上，DE丄AB，并与AC边交于点E.如果AD=1, BC=6那么CE等于（）AD/\A. 2.857X 10「8B. 2.857X 10「7 c. 2.857X 10「6 D.0.2857X 103. （3分）以下图形中，不是轴对称图形的是（）A . 5 B. 4 C. 3 D . 2则不一定能使△ ABD 和厶ACD 全等的条件是A . BD=CDB .Z B=ZC C AB=ACD .Z BDA=Z CDA 8. （3分）下列判断错误的是（9A. 当a M 0时，分式有意义aa+3B. 当a=- 3时，分式_ 有意义a -9C •当〜+时，分式主一的值为0D .当a=1时，分式的值为1a9. （3分）如图，AD 是厶ABC 的角平分线，/ C=20°, AB+BD=AC ,将厶ABD 沿 AD 所在直线翻折，点B 在AC 边上的落点记为点E ,那么/ AED 等于（）10. （3分）在课堂上，张老师布置了一道画图题：画一个Rt A ABC,使/ B=90°,它的两条边分别等于两条已知线段.小刘和小赵 同学先画出了/ MBN=9°之后，后续画图的主要过程分别如图所示.5.（3分）下列各式正确的是（ A.__ B.6 * -2 -3 1 X — X =XXC.D .k2 } ~3 x y来源:Z § xx § ]6. A . 2,(3分)化简，正确的是()1-1z 2-l G-1) 21 DX 2-1 (x-1) 2TB ・C. 7.K-lK-l X-l X-l WT x^-1 (x+1) (x-l)」’x^-1 (x+1) (x-l)1D ・X-lX-lX-lx-l x+1(3分)在厶ABD 与厶ACD 中，/ BAD=Z CAD,且B 点，C 点在AD 边两侧,3A .小刘同学小赵同学那么小刘和小赵同学作图确定三角形的依据分别是（）A. SAS HL B HL, SAS C SAS AAS D. AAS HL二、填空题（本题共18分，每小题3分）11. ___________________________ （3 分）计算（n-3）0= .12. ______________________________________________________ （3分）若—在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________________________ .13. （3分）在平面直角坐标系xOy中，点（-5, 1）关于y轴对称的点的坐标为_______ .14. （3分）中国新闻网报道：2022年北京冬奥会的配套设施-- 京张高铁”（北京至张家口高速铁路）将于2019年底全线通车，届时，北京至张家口高铁将实现1小时直达.目前，北京至张家口的列车里程约200千米，列车的平均时速为v千米/时，那么北京至张家口京张高铁”运行的时间比现在列车运行的时间少小时.（用含V 的式子表示）15. （3分）如图所示的钻石”型网格（由边长都为1个单位长度的等边三角形组成），其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示），请你再只涂黑一个小三角形，使它与阴影部分合起来所构成的完整图形是一个轴对称图形.（1）画出其中一种涂色方式并画出此时的对称轴；（2）满足题意的涂色方式有 _____ 种.16. （3分）对于实数p,我们规定：用v p＞表示不小于p的最小整数，例如:v4> =4,v -> =2.现对72进行如下操作：72丁一二V => =9茲一.■■- v ~> =3 二> =2.即对 72 只需进行 3 次操作后变为2,类似地：（1） 对36只需进行 _____ 次操作后变为2 ；（2） _______________________________________________________ 只需进行3次操作后变为2的所有正整数中，最大的是 _______________________ 三、解答题（本题共52 分） 17. （6分）分解因式: （1） a 3b — 5a 2b 2； （2） 3a 2- 12a+12.20. （6分）小华在学习二次根式时遇到如下计算题，他是这样做的:请你先把他在第一步中出现的其它错误圈画出来（不必改正） ，再完成此题的解 答过程.21. （6分）如图，△卩人0和厶PBQ 是等边三角形，连接 AB, 0Q,求证：AB=OQ22. （6分）阅读下列材料：小铭和小雨在学习过程中有如下一段对话:18. 19（6 分）化简并求值: 解方程：—a -2 a -l"a 2+2a1 一 I■八. j-1-I ■，其中a=- 1.小铭：我知道一般当m H n 时，m 1 2+n 丰m+n 2.可是我见到有这样一个神奇的等 式：岸）2+竽¥+（唁）2 （其中a ，b 为任意实数，且b 工0）.你相信它成b b b b（1） 请选择两组你喜欢的、合适的a , b 的值，分别代入阅读材料中的等式，写 出代入后得到的具体等式并验证它们是否成立（在相应方框内打勾） ； ① 当 a= ____ ，b= ______ 时，等式 _______ （填 成立”或 不成立”）； ② 当a= _____ ，b= ______ 时，等式 _______ （填 成立”或 不成立”. （2） 对于任意实数a ，b （b H 0），通过计算说明（吕）2牛€+（早）2是否b b b b 成立.23. （5分）阅读下列材料：为了了解学校初二年级学生的阅读情况，小廉所在实践小组的同学们设计了相应 的调查问卷，他们共发放问卷300张，收回有效问卷290张，并利用统计表整理 了每一个问题的数据，绘制了统计图.他们的调查问卷中，有关 阅读载体的选择”和 阅读过书的类型”两个问题的统计情况如下表所示. 表1:表2:您阅读过书的类型（可多选）根据以上材料解答下列问题:1 根据表1中的统计数据，选择合适的统计图对其进行数据的描述；2 通过表2中统计出的数据你能得到哪些结论？请你说出其中的一条即可.小我可以先给a, b 取几组特殊值验证一下看看.”完成下列任务: 来源 :Zxxk.Co m]先阅读以下材料，再从24.25两题中任选一题作答(若两题都做以第一题为准) 24. ( 5分)阅读材料：我们曾经解决过如下问题： 如图1,点M , N 分别在直线AB 同侧，如何在直线 AB 上找到一个点P ,使得PM+PN 最小？ ” 我们可以经过如下步骤解决这个问题：(1) 画草图(或目标图)分析思路：在直线 AB 上任取一点P',连接P'M P'N 根据题目需要，作点M 关于直线AB 的对称点M ,将P'M P'N 专化为P' M+P', 化曲为直”寻找P' MP 的最小值； (2) 设计画图步骤； (3) 回答结论并验证. 解决下列两个问题：(1) 如图2,在厶ABC 中，AB=3, AC=4, BC=5 EF 垂直且平分BC,点P 在直线 EF 上，直接写出PA+PB 的最小值，回答PA+PB 取最小值时点P 的位置并在图中 标出来；解：PA+PB 的最小值为 ______ ,PA+PB 取最小值时点P 的位置是 ________ ; (2) 如图3,点M , N 分别在直线AB 两侧，在直线AB 上找一点P ,使得/ MPB= / NPB.要求画图，并简要叙述确定点 P 位置的步骤.(无需尺规作图，保留画 图痕迹，无需证明)解：确定点P 位置的简要步骤： _______ .\ N 久广'I:兀"25. 阅读材料:我们曾经解决过如下问题： 如图，点M , N 分别在直线AB 同侧，如何在直线 AB 上找到一个点P ,使得PM+PN 最小？ ” 我们可以经过如下步骤解决这个问题：(1)画草图(或目标图)分析思路：在直线 AB 上任取一点P',连接P'M P'N 根据题目\fB BC需要，作点M关于直线AB的对称点M ,将P'M P'N专化为P' M+P' N 化曲为直”寻找P' MP N勺最小值；(2)设计画图步骤；(3)回答结论并验证.借鉴阅读材料中解决问题的三个步骤完成以下尺规作图：已知三条线段h, m, c,求作△ ABC,使其BC边上的高AH=h,中线AD=m, AB=c.(1)请先画草图(•「画出一个即可)，并叙述简要的作图思路(即实现目标图的大致作图步骤)；(2)完成尺规作图(不要求写作法，作出一个满足条件的三角形即可)K .A：工■才P B» 丿**■* .广商aAT26. (6分)在等边△ ABC中，点D在BC边上，点E在AC的延长线上，DE=DA (如图1)(1)求证：/ BAD=Z EDC(2)点E关于直线BC的对•:称点为M，连接DM, AM .①依题意将图2补全；②小姚通过观察，实验提出猜想：在点D运动的过程中，始终有DA=AM，小姚把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1:要证明DA=AM,只需证△ ADM是等边三角形；想法2:连接CM,只需证明厶ABH A ACM即可.请你参考上面的想法，帮助小姚证明DA=AM (一种方法即可)八年级数学附加题试卷满分：20分•一、填空题（本题8分）27. 将一组数二，二3, 2 …，3 —按下面的方式进行排列：迈伍曲屁按这样的方式进行下去，将，一1所在的位置记为（1,5）, 2匚所在的位置记为（2, 3）,那么（1）所在的位置应记为_______ ;（2）在（4, 1 ）的位置上的数是_____ , 6 ［所在的位置应记为_________ ; （3）这组数中最大的有理数所在的位置应记为______ .二、操作题（本题4分）2,8.条件：图①和图②是由边长都为1个单位长度的小正方形组成的网格，其中有三个图形：组块A,组块B和组块C.任务：在图②的正方形网格中，用这三个组块拼出一个轴对称图形（组块C的位置已经画好），要求组块的所有顶点都在格点上，并且3个组块中，每两个组块要有公共的顶点或边.请画出组块A和组块B的位置（用阴影部分表示，并标注字母）说明：只画一种即可，组块A,组块B可在网格中平移，翻折或旋转.、解答题（本题8分）29.在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（-4, 0）,点B的坐标为（0, b）, 将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BC,连接AC.（1）当点B在y轴的正半轴上时，在图1中画出△ ABC并求点C的坐标（用含b 的式子表示）；（2）画图探究：当点B在y轴上运动且满足-2< b< 5时，相应的点C的运动路径形成什么图形.①在图2中画出该图形；②描述该图形的特征；③利用图3简要证明以上结论.1-1」1 , j 1丄1■ ,1L 、［丄.I1* 1A0兀A0.1x A0_1X —圍1 图2 图3故选：B.2016-2017学年北京市西城区八年级（上） 期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一 个是符合题意的.1. （3分）下列二次根式中，最简二次根式是（） A. = B . r C •拮 D .二【解答】解：A 、被开方数不含分母、被开方数不含开得尽的因数或因式，故A 符合题意；B 、 被开方数含开得尽的因数或因式，故 B 不符合题意；C 被开方数含分母，故C 不符合题意；D 、被开方数含开得尽的因数或因式，故 D 不符合题意； 故选：A .2. （3分）2015年9月14日，意大利物理」学家马尔科？德拉戈收到来自激光干 涉引力波天文台（LIGO ）的系统自动提示邮件，一股宇宙深处的引力波到达地球， 在位于美国华盛顿和烈文斯顿的两个 LIGO 探测器上产生了 4X 10「18米的空间畸•: 变（如图中的引力波信号图象所示），也被称作 时空中的涟漪”，人类第一次探 测到了引力波的存在， 天空和以前不同了 ••你也听得到了. ”这次引力波的信号 显著性极其大，探测结果只有三百五十万分之一的误差. 三百五十万分之一约为 0.0000002857.将0.0000002857用科学记数法表示应为（ ）A . 2.857X 10「8B . 2.857X 10「7 C. 2.857X 10「6 D . 0.2857X 10「6【解答】 解：0.0000002857=2.857X 10「7.故选：B. 3. （3分）以下图形中，不是轴对称图形的是（【解答】解：A 、是轴对称图形，故本选项不符合题意;B 、是轴对称图形，故本选项不符合题意；C 是轴对称图形，故本选项不符合题意；D 、不是轴对称图形，故本选项符合题意.故选：D .4. （3分）如图，在△ ABC 中，/ B=Z C=60°，点D 在AB 边上，DE丄AB ，并与AC 边交于点E.如果AD=1, BC=6那么CE 等于（【解答】解：•••在△ ABC 中，/ B=Z C=60, •••/ A=60o ，••• DE 丄 AB ，•••/ AED=30， ••• AD=1,;••• AE=2••• BC=6••• AC=BC=6••• CE=AC - AE=6- 2=4,D . 2D.38. （3分）下列判断错误的是（ ) 5. （3分）下列各式正确的是（） 6 . -2 -3 1 X = X 二 X -一亍X 3 2D. !' x y 故A 不符合题意；B 、x 6十x 「2=x 7 8,故B 不符合题意；3C （（X 2） 3=x 3y 「6=[,故C 不符合题意；yD 、负整数指数幕与正整数指数幕互为倒数，故 D 符合题意;故选：D .2_i (3分)化简’正确的是( ) x-1:■ I' B v : ■' ! . - — ---- 二 - B. --------- 二 ---- 二 v —1x-1 X-l X-l X-l X-1 ' /-I (X +1) (x^l) * c x 2-l (x+1) (x-l) 1D ・ X-l X-l X-l x-l x+1【解答】解：原式=;「=x+1,7 （3分）在厶ABD 与厶ACD 中，/ BAD=Z CAD,且B 点，C 点在AD 边两侧， 则不一定能使△ ABD 和厶ACD 全等的条件是（）A . BD=CDB .Z B=ZC C AB=ACD .Z BDA=Z CDA【解答】解：A 、：/ BAD=Z CAD, AD 为公共边，若BD=CD 不符合全等三角形 判定定理，不能判定△ ABD ^^ ACD ；B ＞v/ BAD=/ CAD, AD 为公共边，若/ B=/。

八年级数学第一学期期末试卷试卷满分：100分，考试时间：100分钟一、选择题（本题共24分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．下列各式中，最简二次根式是（ ）．A ．5.0B ．12C ．2xD ． 12+x2．下列汽车标志中，不是．．轴对称图形的是（ ）．3．下列因式分解结果正确的是（ ）．A ．3221055(2)a a a a a +=+B ．249(43)(43)x x x -=+-C ．2221(1)a a a --=-D ．256(6)(1)x x x x --=-+ 4．下列各式中，正确的是（ ）． A ．212+=+a b a b B ． 22112236d cd cd cd++= C ．a b a b c c-++=- D ． 22)2(422--=-+a a a a5．如图，将三角形纸片ABC 沿直线DE 折叠后，使得点B 与点A 重合，折痕分别交BC ，AB 于点D ，E ．如果AC =5cm ，△ADC 的周长为17cm ，那么BC 的长为（ ）．A ．7cmB ．10cmC ．12cmD ．22cm6．某园林公司增加了人力进行园林绿化，现在平均每天比原计划多植树50棵，现在植树600棵所需的时间与原计划植树450棵所需的时间相同，如果设原计划平均每天植树x 棵，那么下面所列方程中，正确的是（ ）. A ．x x 45050600=- B ．x x 45050600=+ C ．50450600+=x x D ．50450600-=x x 7．如果132x y x +=，那么x y的值为（ ）．A ．21 B ．32C ．31D ． 528．如图1，将长方形纸片先沿虚线AB 向右．．对折，接着将对折后的纸片沿虚线CD 向下．．对折，然后剪下一个小三角形，再将纸片打开，那么打开后的展开图是（ ）．二、填空题（本题共24分，每小题3分）9．如果分式32x x -+的值为0，那么x 的值为_________． 10．如果12-x 在实数范围内有意义，那么x 的取值范围是_________． 11．下列运算中，正确的是_______．（填写所有．．正确式子的序号） ①2612a a a ⋅=；②329()x x =；③33(2)8a a =；④22242(5)255a b a b ab -=--． 12．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，那么根据图中提供的信息可知1∠的度数为 ． 13．计算：1111x x --+= ．14．计算：432(68)(2)x x x -÷-= ．15．如图，∠AOB=60︒，OC 平分∠AOB ，如果射线OA 上的点E 满足△OCE 是等腰三角形，那么∠OEC 的度数为 ．16．如图，动点P 从(0,3)出发，沿所示的方向运动，每当碰到长方形的边时反弹，反弹时反射角等于 1(3,0)P ．入射角，第一次碰到长方形的边时的位置为（1）画出点P 从第一次到第四次碰到长方形的边的全过程中，运动的路径；（2）当点P 第2014次碰到长方形的边时，点P 的坐标为 ．三、解答题（本题共35分，第17、19题各10分，其余每题5分）17．（1）先化简，再求当2a =，1b =时，代数式(3)()(2)a b a b a a b +-+-的值． 解：（2）计算：1(83)642+⨯-． 解：18．已知：如图，AB= AC ，∠DAC=∠EAB ，∠B=∠C ．求证：BD = CE ． 证明：19．（1）因式分解：232448m m -+． 解：（2）计算：422222222a a b a ab b a ab b b a-+÷⋅-+．解：20．解分式方程：31122x x x +=--．解：21．尺规作图：已知：如图，线段a和h．求作等腰三角形ABC，使底边BC=a，底边上的高AD=h．（保留作图痕迹并写出相应的作法．）作法：四、解答题（本题6分）22．（1）阅读理解：我们知道，只用直尺和圆规不能解决的三个经典的希腊问题之一是三等分任意角，但是这个任务可以借助如图所示的一边上有刻度的勾尺完成，勾尺的直角顶点为P，“宽臂”的宽度．．．．．．．．．，．．=PQ=QR=RS （这个条件很重要哦！）勾尺的一边MN满足M，N，Q三点共线（所以PQ⊥MN）．∠为例说明利用勾尺三等分锐角的过程：下面以三等分ABC第一步：画直线DE使DE∥BC，且这两条平行线的距离等于PQ；第二步：移动勾尺到合适位置，使其顶点P落在DE上，使勾尺的MN边经过点B，同时让点R ∠的BA边上；落在ABC第三步：标记此时点Q和点P所在位置，作射线BQ和射线BP．∠的三等分线是射线、．请完成第三步操作，图中ABC∠的主要证明过程：（2）在（1）的条件下补全三等分．．．ABC∵，BQ⊥PR，∴BP=BR．（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）∴∠=∠．∵PQ⊥MN，PT⊥BC，PT=PQ，∴∠=∠．（角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上）∴ ∠ =∠ =∠ ．（3）在（1）的条件下探究：13A B S A B C∠=∠是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请在下图中 ABC ∠的外部．．画出13ABV ABC ∠=∠（无需写画法，保留画图痕迹即可）．解：五、解答题（本题共11分，第23题5分，第24题6分） 23．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A -，(0,4)B ，点C 在第四象限，AC ⊥AB ， AC=AB ． （1）求点C 的坐标及∠COA 的度数；（2）若直线BC 与x 轴的交点为M ，点P 在经过点C 与 x 轴平行的直线上，直接写出BOM POM S S ∆∆+的值．解：（1）（2）BOM POM S S ∆∆+的值为 ．24．已知：如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90︒． （1）按要求作图：（保留作图痕迹） ①延长BC 到点D ，使CD=BC ； ②延长CA 到点E ，使AE=2CA ；③连接AD ，BE 并猜想线段 AD 与BE 的大小关系；考试结束后，请尝试自制一把“勾尺”实践一下！（2）证明（1）中你对线段AD 与BE 大小关系的猜想． 解：（1）AD 与BE 的大小关系是 ． （2）证明：八年级数学附加题试卷满分：20分一、阅读与思考（本题6分）我们规定：用[]x 表示实数x 的整数部分，如[]3.143=，82⎡⎤=⎣⎦，在此规定下解决下列问题：（1）填空：1236⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦= ；（2）求1234+49⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦的值．解：二、操作与探究（本题6分）取一张正方形纸片ABCD 进行折叠，具体操作过程如下：第一步：先把纸片分别对折，使对边分别重合，再展开， 记折痕MN ，PQ 的交点为O ；再次对折纸片使AB 与PQ 重合， 展开后得到折痕EF ，如图1；第二步：折叠纸片使点N 落在线段EF 上，同时使折痕 GH 经过点O ，记点N 在EF 上的对应点为N ，如图2．解决问题：（1）请在图2中画出（补全）纸片展平后的四边形CHGD 及相应MN ，PQ 的对应位置；（2）利用所画出的图形探究∠POG 的度数并证明你的结论．解：（1）补全图形． （2）∠POG = °． 证明：三、解答题（本题8分）已知：如图，∠MAN 为锐角，AD 平分∠MAN ，点B ，点C 分别在射线AM 和AN 上，AB =AC . （1）若点E 在线段CA 上，线段EC 的垂直平分线交直线AD 于点F ，直线BE 交直线 AD 于点G ，求证：∠EBF =∠CAG ；（2）若（1）中的点E 运动到线段CA 的延长线上，（1）中的其它条件不变，猜想 ∠EBF 与∠CAG 的数量关系并证明你的结论. （1）证明： （2）图2备用图1备用图2。

2018-2019学年北京市西城区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．图书馆的标志是浓缩了图书馆文化的符号，下列图书馆标志中，不是轴对称的是（）A．B．C．D．2．500米口径球面射电望远镜，简称FAST，是世界上最大的单口径球面射电望远镜，被誉为“中国天眼”．2018年4月18日，FAST望远镜首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证，新发现的脉冲星自转周期为0.00519秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一．将0.00519用科学记数法表示应为（）A．0.519×10﹣2B．5.19×10﹣3C．51.9×10﹣4D．519×10﹣63．在△ABC中，AB＝3，AC＝5，第三边BC的取值范围是（）A．10＜BC＜13B．4＜BC＜12C．3＜BC＜8D．2＜BC＜84．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于（）A．360°B．540°C．720°D．900°5．对于一次函数y＝（k﹣3）x+2，y随x的增大而增大，k的取值范围是（）A．k＜0B．k＞0C．k＜3D．k＞36．下列各式中，正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝﹣7．如图，已知△ABC，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与△ABC全等的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁8．小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程75km，线路二全程90km，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的1.8倍，线路二的用时预计比线路一用时少半小时，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则下面所列方程正确的是（）A．＝+B．＝﹣C．＝+D．＝﹣9．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°10．如图，线段AB＝6cm，动点P以2cm/s的速度从A﹣B﹣A在线段AB上运动，到达点A后，停止运动；动点Q以1cm/s的速度从B﹣A在线段AB上运动，到达点A后，停止运动．若动点P，Q同时出发，设点Q的运动时间是t（单位：s）时，两个动点之间的距离为s（单位：cm），则能表示s与t的函数关系的是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共18分，第11～16题，每小题2分，第17题3分，第18题3分）11．若分式的值为零，则x的值为．12．在平面直角坐标系中，点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是．13．计算：20+2﹣2＝．14．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD．若AC＝7，BC＝5，则△BDC 的周长是．15．如图，边长为acm的正方形，将它的边长增加bcm，根据图形写一个等式．16．如图，在△ABC中，CD是它的角平分线，DE⊥AC于点E．若BC＝6cm，DE＝2cm，则△BCD 的面积为cm2．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，﹣3），且OA＝5，在x轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形．（1）写出一个符合题意的点P的坐标；（2）请在图中画出所有符合条件的△AOP．18．（1）如图，∠MAB＝30°，AB＝2cm．点C在射线AM上，利用图1，画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题．你画图时，选取的BC的长约为cm（精确到0.1cm）．（2）∠MAB为锐角，AB＝a，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，BC＝x，若△ABC 的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是．三、解答题（本题共30分，每小题6分）19．（1）分解因式x（x﹣a）+y（a﹣x）（2）分解因式x3y﹣10x2y+25xy20．计算：+21．解方程：+＝122．如图，点A，B，C，D在一条直线上，且AB＝CD，若∠1＝∠2，EC＝FB．求证：∠E＝∠F．23．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝3x与直线l2：y＝kx+b交于点A（a，3），点B（2，4）在直线l2上．（1）求a的值；（2）求直线l2的解析式；（3）直接写出关于x的不等式3x＜kx+b的解集．四、解答题（本题共12分，第24题7分，第25题5分）24．在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的两个顶点的坐标分别为A（﹣2，0），D（﹣2，4），顶点B在x轴的正半轴上．（1）写出点B，C的坐标；（2）直线y＝5x+5与x轴交于点E，与y轴交于点F．求△EFC的面积．25．阅读下列材料下面是小明同学“作一个角等于60°的直角三角形”的尺规作图过程．已知：线段AB（如图1）求作：△ABC，使∠CAB＝90°，∠ABC＝60°作法：如图2，（1）分别以点A，点B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，连接BD（2）连接BD并延长，使得CD＝BD；（3）连接AC△ABC就是所求的直角三角形证明：连接AD．由作图可知，AD＝BD＝AB，CD＝BD∴△ABD是等边三角形（等边三角形定义）∴∠1＝∠B＝60°（等边三角形每个内角都等于60°）∴CD＝AD∴∠2＝∠C（等边对等角）在△ABC中，∠1+∠2+∠B+∠C＝180°（三角形的内角和等于180°）∴∠2＝∠C＝30°∴∠1+∠2＝90°（三角形的内角和等于180°），即∠CAB＝90°∴△ABC就是所求作的直角三角形请你参考小明同学解决问题的方式，利用图3再设计一种“作一个角等于60°的直角三角形”的尺规作图过程（保留作图痕迹），并写出作法，证明，及推理依据．五、解答题（本题8分）26．在△ABC中，AB＝AC，在△ABC的外部作等边三角形△ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接BD．（1）如图1，若∠BAC＝100°，求∠BDF的度数；（2）如图2，∠ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN．①补全图2；②若BN＝DN，求证：MB＝MN．2018-2019学年北京市西城区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．图书馆的标志是浓缩了图书馆文化的符号，下列图书馆标志中，不是轴对称的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念解答．【解答】解：A、不是轴对称图形；B、是轴对称图形；C、是轴对称图形；D、是轴对称图形；故选：A．【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．500米口径球面射电望远镜，简称FAST，是世界上最大的单口径球面射电望远镜，被誉为“中国天眼”．2018年4月18日，FAST望远镜首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证，新发现的脉冲星自转周期为0.00519秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一．将0.00519用科学记数法表示应为（）A．0.519×10﹣2B．5.19×10﹣3C．51.9×10﹣4D．519×10﹣6【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.00519＝5.19×10﹣3．故选：B．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．在△ABC中，AB＝3，AC＝5，第三边BC的取值范围是（）A．10＜BC＜13B．4＜BC＜12C．3＜BC＜8D．2＜BC＜8【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围．【解答】解：第三边BC的取值范围是5﹣3＜BC＜5+3，即2＜BC＜8．故选：D．【点评】考查了三角形三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．4．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于（）A．360°B．540°C．720°D．900°【分析】多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3）且n为整数），依此即可求解．【解答】解：（n﹣2）•180°＝（5﹣2）×180°＝3×180°＝540°．故∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于540°．故选：B．【点评】考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握多边形内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）．5．对于一次函数y＝（k﹣3）x+2，y随x的增大而增大，k的取值范围是（）A．k＜0B．k＞0C．k＜3D．k＞3【分析】一次函数y＝kx+b，当k＞0时，y随x的增大而增大．据此列式解答即可．【解答】解：根据一次函数的性质，对于y＝（k﹣3）x+2，当k﹣3＞0时，即k＞3时，y随x的增大而增大．故选：D．【点评】本题考查了一次函数的性质．一次函数y＝kx+b，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．6．下列各式中，正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝﹣【分析】根据分式的基本性质解答即可．【解答】解：A、＝，故错误；B、＝+，故错误；C、＝，故正确；D、＝﹣，故错误；故选：C．【点评】本题考查了分式的基本性质，熟记分式的基本性质是解题的关键．7．如图，已知△ABC，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与△ABC全等的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】根据全等三角形的判定定理作出正确的选择即可．【解答】解：A．△ABC和甲所示三角形根据SA无法判定它们全等，故本选项错误；B．△ABC和乙所示三角形根据SAS可判定它们全等，故本选项正确；C．△ABC和丙所示三角形根据SA无法判定它们全等，故本选项错误；D．△ABC和丁所示三角形根据AA无法判定它们全等，故本选项错误；故选：B．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．8．小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程75km，线路二全程90km，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的1.8倍，线路二的用时预计比线路一用时少半小时，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则下面所列方程正确的是（）A．＝+B．＝﹣C．＝+D．＝﹣【分析】设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则在线路二上行驶的平均速度为1.8xkm/h，根据线路二的用时预计比线路一用时少半小时，列方程即可．【解答】解：设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则在线路二上行驶的平均速度为1.8xkm/h，由题意得：＝+，故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是，读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．9．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC＝∠PCB＝30°，即可解决问题；【解答】解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴PC＝PB，∴PE+PC＝PB+PE＝BE，即BE就是PE+PC的最小值，∵△ABC是等边三角形，∴∠BCE＝60°，∵BA＝BC，AE＝EC，∴BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠EBC＝30°，∵PB＝PC，∴∠PCB＝∠PBC＝30°，∴∠CPE＝∠PBC+∠PCB＝60°，故选：C．【点评】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．10．如图，线段AB＝6cm，动点P以2cm/s的速度从A﹣B﹣A在线段AB上运动，到达点A后，停止运动；动点Q以1cm/s的速度从B﹣A在线段AB上运动，到达点A后，停止运动．若动点P，Q同时出发，设点Q的运动时间是t（单位：s）时，两个动点之间的距离为s（单位：cm），则能表示s与t的函数关系的是（）A．B．C．D．【分析】根据题意可以得到点P运动的慢，点Q运动的快，可以算出动点P和Q相遇时用的时间和点Q到达终点时的时间，从而可以解答本题．【解答】解：设点Q的运动时间是t（单位：s）时，两个动点之间的距离为s（单位：cm），6＝2t+t解得，t＝2此时，点P离点B的距离为：6﹣2×2＝2cm，点Q离点A的距离为：6﹣2＝4cm，相遇后，点P到达B点用的时间为：2÷2＝1s，此时两个动点之间的距离为3cm，由上可得，刚开始P和Q两点间的距离在越来越小直到相遇时，它们之间的距离变为0，此时用的时间为2s；相遇后，在第3s时点P到达B点，从相遇到点P到达B点它们的距离在变大，1s后P点从B点返回，点P继续运动，两个动点之间的距离逐渐变小，同时达到A点．故选：D．【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确各个时间段内它们对应的函数图象．二、填空题（本题共18分，第11～16题，每小题2分，第17题3分，第18题3分）11．若分式的值为零，则x的值为1．【分析】分式的值为0的条件是分子为0，分母不能为0，据此可以解答本题．【解答】解：，则x﹣1＝0，x+1≠0，解得x＝1．故若分式的值为零，则x的值为1．【点评】本题考查分式的值为0的条件，注意分式为0，分母不能为0这一条件．12．在平面直角坐标系中，点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（1，2）．【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得答案．【解答】解：点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（1，2），故答案为：（1，2）．【点评】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，利用关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题关键．13．计算：20+2﹣2＝．【分析】根据零指数幂和负指数幂的知识点进行解答．【解答】解：原式＝1+＝．故答案为．【点评】本题主要考查了幂的负指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整指数幂当成正的进行计算，任何非0数的0次幂等于1，比较简单．14．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD．若AC＝7，BC＝5，则△BDC 的周长是12．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵NM是AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴△BDC的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝12，故答案为：12．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．15．如图，边长为acm的正方形，将它的边长增加bcm，根据图形写一个等式a2+2ab+b2＝（a+b）2．【分析】依据大正方形的面积的不同表示方法，即可得到等式．【解答】解：由题可得，大正方形的面积＝a2+2ab+b2；大正方形的面积＝（a+b）2；∴a2+2ab+b2＝（a+b）2，故答案为：a2+2ab+b2＝（a+b）2．【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，即运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．16．如图，在△ABC中，CD是它的角平分线，DE⊥AC于点E．若BC＝6cm，DE＝2cm，则△BCD 的面积为6cm2．【分析】作DF⊥BC于F，根据角平分线的性质求出DF，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：作DF⊥BC于F，∵CD是它的角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DF＝DE＝2，∴△BCD的面积＝×BC×DF＝6（cm2），故答案为：6．【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，﹣3），且OA＝5，在x轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形．（1）写出一个符合题意的点P的坐标答案不唯一，如：（﹣5，0）；（2）请在图中画出所有符合条件的△AOP．【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可求解；（2）可分三种情况：①AO＝AP；②AO＝PO；③AP＝PO；解答出即可．【解答】解：（1）一个符合题意的点P的坐标答案不唯一，如：（﹣5，0）；（2）如图所示：故答案为：答案不唯一，如：（﹣5，0）．【点评】本题主要考查了作图﹣复杂作图、等腰三角形的判定和坐标与图形的性质，注意讨论要全面，不要遗漏．18．（1）如图，∠MAB＝30°，AB＝2cm．点C在射线AM上，利用图1，画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题．你画图时，选取的BC的长约为答案不唯一如：BC＝1.2cm cm（精确到0.1cm）．（2）∠MAB为锐角，AB＝a，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，BC＝x，若△ABC 的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是x＝d或x≥a．．【分析】（1）答案不唯一，可以取BC＝1.2cm（1cm＜BC＜2cm）；（2）当x＝d或x≥a时，三角形是唯一确定的；【解答】解：（1）取BC＝1.2cm，如图在△ABC和△ABC′中满足SSA，两个三角形不全等．故答案为：答案不唯一如：BC＝1.2cm．（2）若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是x＝d或x≥a，故答案为x＝d或x≥a．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（本题共30分，每小题6分）19．（1）分解因式x（x﹣a）+y（a﹣x）（2）分解因式x3y﹣10x2y+25xy【分析】（1）直接提取公因式（x﹣a）分解因式即可．（2）先提取公因式xy，然后利用完全平方公式进一步进行因式分解．【解答】（1）解：x（x﹣a）+y（a﹣x）＝x（x﹣a）﹣y（x﹣a）＝（x﹣a）（x﹣y）；（2）解：x3y﹣10x2y+25xy＝xy（x2﹣10x+25）＝xy（x﹣5）2．【点评】考查了因式分解﹣提公因式法．当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．20．计算：+【分析】原式先计算除法运算，再计算加减运算即可求出值．【解答】解：原式＝+•＝+＝+＝．【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．解方程：+＝1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：方程两边乘（x﹣3）（x+3），得x（x+3）+6 （x﹣3）＝x2﹣9，解得：x＝1，检验：当x＝1 时，（x﹣3）（x+3）≠0，所以，原分式方程的解为x＝1．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．22．如图，点A，B，C，D在一条直线上，且AB＝CD，若∠1＝∠2，EC＝FB．求证：∠E＝∠F．【分析】求出∠DBF＝∠ACE，AC＝DB，根据SAS推出△ACE≌△DBF，根据全等三角形的性质得出即可．【解答】证明：∵∠1+∠DBF＝180°，∠2+∠ACE＝180°．又∵∠1＝∠2，∴∠DBF＝∠ACE，∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝DB，在△ACE和△DBF中，∴△ACE≌△DBF（SAS），∴∠E＝∠F．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，能求出△ACE≌△DBF是解此题的关键．23．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝3x与直线l2：y＝kx+b交于点A（a，3），点B（2，4）在直线l2上．（1）求a的值；（2）求直线l2的解析式；（3）直接写出关于x的不等式3x＜kx+b的解集．【分析】（1）把A（a，3）代入y＝3x可求出a的值；（2）利用待定系数法求直线l2的解析式；（3）写出直线l2：y＝kx+b在直线l1：y＝3x上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：（1）直线l1：y＝3x与直线l2：y＝kx+b交于点A（a，3），所以3a＝3．解得a＝1．（2）由（1）得点A（1，3），直线l2：y＝kx+b过点A（1，3），点B（2，4 ），所以，解得所以直线l2的解析式为y＝x+2.4 分（3）不等式3x＜kx+b的解集为x＜1．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．四、解答题（本题共12分，第24题7分，第25题5分）24．在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的两个顶点的坐标分别为A（﹣2，0），D（﹣2，4），顶点B在x轴的正半轴上．（1）写出点B，C的坐标；（2）直线y＝5x+5与x轴交于点E，与y轴交于点F．求△EFC的面积．【分析】（1）根据正方形的性质以及A、D、B的位置即可求得；（2）求得E、F点的坐标，进而求得OB＝2，BC＝4，OF＝5，OE＝1，EB＝3，根据三角形的面积公式和梯形的面积公式求得即可．【解答】解：（1）如图，∵正方形ABCD的两个顶点的坐标分别为A（﹣2，0），D（﹣2，4），顶点B在x轴的正半轴上，∴B（2，0），C（2，4）；（2）∵直线y＝5x+5与x轴交于点E，与y轴交于点F，∴E（﹣1，0），F（0，5），∵B（2，0），C（2，4），∴OB＝2，BC＝4，OF＝5，OE＝1，EB＝3，∴S梯形OBCF＝（OF+BC）•OB＝×（5+4）×2＝9，S△OEF＝OE•OF＝×2×5＝5，S△EBC＝EB•BC＝×3×4＝6，∴S△EFC ＝S梯形OBCF+S△OEF﹣S△EBC＝9+5﹣6＝8．【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质，坐标与图形的性质，求得点的坐标解题的关键．25．阅读下列材料下面是小明同学“作一个角等于60°的直角三角形”的尺规作图过程．已知：线段AB（如图1）求作：△ABC，使∠CAB＝90°，∠ABC＝60°作法：如图2，（1）分别以点A，点B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，连接BD（2）连接BD并延长，使得CD＝BD；（3）连接AC△ABC就是所求的直角三角形证明：连接AD．由作图可知，AD＝BD＝AB，CD＝BD∴△ABD是等边三角形（等边三角形定义）∴∠1＝∠B＝60°（等边三角形每个内角都等于60°）∴CD＝AD∴∠2＝∠C（等边对等角）在△ABC中，∠1+∠2+∠B+∠C＝180°（三角形的内角和等于180°）∴∠2＝∠C＝30°∴∠1+∠2＝90°（三角形的内角和等于180°），即∠CAB＝90°∴△ABC就是所求作的直角三角形请你参考小明同学解决问题的方式，利用图3再设计一种“作一个角等于60°的直角三角形”的尺规作图过程（保留作图痕迹），并写出作法，证明，及推理依据．【分析】根据题意设计“作一个角等于60°的直角三角形”的尺规作图过程，连接DC．得到△DBC 是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠B＝60°，根据等腰三角形的性质证明．【解答】解：作法：（1）延长BA至D，使AD＝AB；（2）分别以点B，点D为圆心，BD长为半径画弧，两弧交于点C；（3）连接AC，BC．则△ABC就是所求的直角三角形，证明：连接DC．由作图可知，BC＝BD＝DC，∴△DBC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵CD＝CB，AD＝AB，∴AC⊥BD，∴△ABC就是所求作的直角三角形．【点评】本题考查的是等边三角形的性质，基本尺规作图，掌握等边三角形的判定定理和性质定理，等腰三角形的三线合一是解题的关键．五、解答题（本题8分）26．在△ABC中，AB＝AC，在△ABC的外部作等边三角形△ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接BD．（1）如图1，若∠BAC＝100°，求∠BDF的度数；（2）如图2，∠ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN．①补全图2；②若BN＝DN，求证：MB＝MN．【分析】（1）分别求出∠ADF，∠ADB，根据∠BDF＝∠ADF﹣∠ADB计算即可；（2）①根据要求画出图形即可；②设∠ACM＝∠BCM＝α，由AB＝AC，推出∠ABC＝∠ACB＝2α，可得∠NAC＝∠NCA＝α，∠DAN＝60°+α，由△ABN≌△ADN（SSS），推出∠ABN＝∠ADN＝30°，∠BAN＝∠DAN＝60°+α，∠BAC＝60°+2α，在△ABC中，根据∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°，构建方程求出α，再证明∠MNB＝∠MBN即可解决问题；【解答】（1）解：如图1中，在等边三角形△ACD中，∠CAD＝∠ADC＝60°，AD＝AC．∵E为AC的中点，∴∠ADE＝∠ADC＝30°，∵AB＝AC，∴AD＝AB，∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝160°，∴∠ADB＝∠ABD＝10°，∴∠BDF＝∠ADF﹣∠ADB＝20°．（2）①补全图形，如图所示．②证明：连接AN．∵CM平分∠ACB，∴设∠ACM＝∠BCM＝α，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝2α．在等边三角形△ACD中，∵E为AC的中点，∴DN⊥AC，∴NA＝NC，∴∠NAC＝∠NCA＝α，∴∠DAN＝60°+α，在△ABN和△ADN中，∴△ABN≌△ADN（SSS），∴∠ABN＝∠ADN＝30°，∠BAN＝∠DAN＝60°+α，∴∠BAC＝60°+2α，在△ABC中，∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°，∴60°+2α+2α+2 α＝180°，∴α＝20°，∴∠NBC＝∠ABC﹣∠ABN＝10°，∴∠MNB＝∠NBC+∠NCB＝30°，∴∠MNB＝∠MBN，∴MB＝MN．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．。

北京市西城区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．图书馆的标志是浓缩了图书馆文化的符号，下列图书馆标志中，不是轴对称的是（）A．B．C．D．2．500米口径球面射电望远镜，简称FAST，是世界上最大的单口径球面射电望远镜，被誉为“中国天眼”．2018年4月18日，FAST望远镜首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证，新发现的脉冲星自转周期为0.00519秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一．将0.00519用科学记数法表示应为（）A．0.519×10﹣2B．5.19×10﹣3C．51.9×10﹣4D．519×10﹣63．在△ABC中，AB＝3，AC＝5，第三边BC的取值范围是（）A．10＜BC＜13 B．4＜BC＜12 C．3＜BC＜8 D．2＜BC＜84．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于（）A．360°B．540°C．720°D．900°5．对于一次函数y＝（k﹣3）x+2，y随x的增大而增大，k的取值范围是（）A．k＜0 B．k＞0 C．k＜3 D．k＞36．下列各式中，正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝﹣7．如图，已知△ABC，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与△ABC全等的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁8．小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程75km，线路二全程90km，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的1.8倍，线路二的用时预计比线路一用时少半小时，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则下面所列方程正确的是（）A．＝+B．＝﹣C．＝+D．＝﹣9．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°10．如图，线段AB＝6cm，动点P以2cm/s的速度从A﹣B﹣A在线段AB上运动，到达点A后，停止运动；动点Q以1cm/s的速度从B﹣A在线段AB上运动，到达点A后，停止运动．若动点P，Q同时出发，设点Q的运动时间是t（单位：s）时，两个动点之间的距离为s（单位：cm），则能表示s与t的函数关系的是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共18分，第11～16题，每小题2分，第17题3分，第18题3分）11．若分式的值为零，则x的值为．12．在平面直角坐标系中，点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是．13．计算：20+2﹣2＝．14．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD．若AC＝7，BC＝5，则△BDC的周长是．15．如图，边长为acm的正方形，将它的边长增加bcm，根据图形写一个等式．16．如图，在△ABC中，CD是它的角平分线，DE⊥AC于点E．若BC＝6cm，DE＝2cm，则△BCD 的面积为cm2．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，﹣3），且OA＝5，在x轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形．（1）写出一个符合题意的点P的坐标；（2）请在图中画出所有符合条件的△AOP．18．（1）如图，∠MAB＝30°，AB＝2cm．点C在射线AM上，利用图1，画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题．你画图时，选取的BC的长约为cm（精确到0.1cm）．（2）∠MAB为锐角，AB＝a，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，BC＝x，若△ABC 的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是．三、解答题（本题共30分，每小题6分）19．（1）分解因式x（x﹣a）+y（a﹣x）（2）分解因式x3y﹣10x2y+25xy20．计算：+21．解方程：+＝122．如图，点A，B，C，D在一条直线上，且AB＝CD，若∠1＝∠2，EC＝FB．求证：∠E＝∠F．23．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝3x与直线l2：y＝kx+b交于点A（a，3），点B（2，4）在直线l2上．（1）求a的值；（2）求直线l2的解析式；（3）直接写出关于x的不等式3x＜kx+b的解集．四、解答题（本题共12分，第24题7分，第25题5分）24．在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的两个顶点的坐标分别为A（﹣2，0），D（﹣2，4），顶点B在x轴的正半轴上．（1）写出点B，C的坐标；（2）直线y＝5x+5与x轴交于点E，与y轴交于点F．求△EFC的面积．25．阅读下列材料下面是小明同学“作一个角等于60°的直角三角形”的尺规作图过程．已知：线段AB（如图1）求作：△ABC，使∠CAB＝90°，∠ABC＝60°作法：如图2，（1）分别以点A，点B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，连接BD（2）连接BD并延长，使得CD＝BD；（3）连接AC△ABC就是所求的直角三角形证明：连接AD．由作图可知，AD＝BD＝AB，CD＝BD∴△ABD是等边三角形（等边三角形定义）∴∠1＝∠B＝60°（等边三角形每个内角都等于60°）∴CD＝AD∴∠2＝∠C（等边对等角）在△ABC中，∠1+∠2+∠B+∠C＝180°（三角形的内角和等于180°）∴∠2＝∠C＝30°∴∠1+∠2＝90°（三角形的内角和等于180°），即∠CAB＝90°∴△ABC就是所求作的直角三角形请你参考小明同学解决问题的方式，利用图3再设计一种“作一个角等于60°的直角三角形”的尺规作图过程（保留作图痕迹），并写出作法，证明，及推理依据．五、解答题（本题8分）26．在△ABC中，AB＝AC，在△ABC的外部作等边三角形△ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接BD．（1）如图1，若∠BAC＝100°，求∠BDF的度数；（2）如图2，∠ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN．①补全图2；②若BN＝DN，求证：MB＝MN．2018-2019学年北京市西城区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．图书馆的标志是浓缩了图书馆文化的符号，下列图书馆标志中，不是轴对称的是（）A．B．C．D．【分析】根据轴对称图形的概念解答．【解答】解：A、不是轴对称图形；B、是轴对称图形；C、是轴对称图形；D、是轴对称图形；故选：A．【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．500米口径球面射电望远镜，简称FAST，是世界上最大的单口径球面射电望远镜，被誉为“中国天眼”．2018年4月18日，FAST望远镜首次发现的毫秒脉冲星得到国际认证，新发现的脉冲星自转周期为0.00519秒，是至今发现的射电流量最弱的高能毫秒脉冲星之一．将0.00519用科学记数法表示应为（）A．0.519×10﹣2B．5.19×10﹣3C．51.9×10﹣4D．519×10﹣6【分析】绝对值小于1的负数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.00519＝5.19×10﹣3．故选：B．【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．在△ABC中，AB＝3，AC＝5，第三边BC的取值范围是（）A．10＜BC＜13 B．4＜BC＜12 C．3＜BC＜8 D．2＜BC＜8【分析】已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围．【解答】解：第三边BC的取值范围是5﹣3＜BC＜5+3，即2＜BC＜8．故选：D．【点评】考查了三角形三边关系，已知三角形的两边，则第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．4．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于（）A．360°B．540°C．720°D．900°【分析】多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3）且n为整数），依此即可求解．【解答】解：（n﹣2）•180°＝（5﹣2）×180°＝3×180°＝540°．故∠1+∠2+∠3+∠4+∠5等于540°．故选：B．【点评】考查了多边形内角和定理，关键是熟练掌握多边形内角和定理：（n﹣2）•180 （n≥3）且n为整数）．5．对于一次函数y＝（k﹣3）x+2，y随x的增大而增大，k的取值范围是（）A．k＜0 B．k＞0 C．k＜3 D．k＞3【分析】一次函数y＝kx+b，当k＞0时，y随x的增大而增大．据此列式解答即可．【解答】解：根据一次函数的性质，对于y＝（k﹣3）x+2，当k﹣3＞0时，即k＞3时，y随x的增大而增大．故选：D．【点评】本题考查了一次函数的性质．一次函数y＝kx+b，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．6．下列各式中，正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝﹣【分析】根据分式的基本性质解答即可．【解答】解：A、＝，故错误；B、＝+，故错误；C、＝，故正确；D、＝﹣，故错误；故选：C．【点评】本题考查了分式的基本性质，熟记分式的基本性质是解题的关键．7．如图，已知△ABC，下面甲、乙、丙、丁四个三角形中，与△ABC全等的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【分析】根据全等三角形的判定定理作出正确的选择即可．【解答】解：A．△ABC和甲所示三角形根据SA无法判定它们全等，故本选项错误；B．△ABC和乙所示三角形根据SAS可判定它们全等，故本选项正确；C．△ABC和丙所示三角形根据SA无法判定它们全等，故本选项错误；D．△ABC和丁所示三角形根据AA无法判定它们全等，故本选项错误；故选：B．【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．8．小东一家自驾车去某地旅行，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程75km，线路二全程90km，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的1.8倍，线路二的用时预计比线路一用时少半小时，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则下面所列方程正确的是（）A．＝+B．＝﹣C．＝+D．＝﹣【分析】设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则在线路二上行驶的平均速度为1.8xkm/h，根据线路二的用时预计比线路一用时少半小时，列方程即可．【解答】解：设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则在线路二上行驶的平均速度为1.8xkm/h，由题意得：＝+，故选：A．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是，读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．9．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，E是AC的中点，P是AD上的一个动点，当PC与PE的和最小时，∠CPE的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】连接BE，则BE的长度即为PE与PC和的最小值．再利用等边三角形的性质可得∠PBC ＝∠PCB＝30°，即可解决问题；【解答】解：如连接BE，与AD交于点P，此时PE+PC最小，∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，∴PC＝PB，∴PE+PC＝PB+PE＝BE，即BE就是PE+PC的最小值，∵△ABC是等边三角形，∴∠BCE＝60°，∵BA＝BC，AE＝EC，∴BE⊥AC，∴∠BEC＝90°，∴∠EBC＝30°，∵PB＝PC，∴∠PCB＝∠PBC＝30°，∴∠CPE＝∠PBC+∠PCB＝60°，故选：C．【点评】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．10．如图，线段AB＝6cm，动点P以2cm/s的速度从A﹣B﹣A在线段AB上运动，到达点A后，停止运动；动点Q以1cm/s的速度从B﹣A在线段AB上运动，到达点A后，停止运动．若动点P，Q同时出发，设点Q的运动时间是t（单位：s）时，两个动点之间的距离为s（单位：cm），则能表示s与t的函数关系的是（）A．B．C．D．【分析】根据题意可以得到点P运动的慢，点Q运动的快，可以算出动点P和Q相遇时用的时间和点Q到达终点时的时间，从而可以解答本题．【解答】解：设点Q的运动时间是t（单位：s）时，两个动点之间的距离为s（单位：cm），6＝2t+t解得，t＝2此时，点P离点B的距离为：6﹣2×2＝2cm，点Q离点A的距离为：6﹣2＝4cm，相遇后，点P到达B点用的时间为：2÷2＝1s，此时两个动点之间的距离为3cm，由上可得，刚开始P和Q两点间的距离在越来越小直到相遇时，它们之间的距离变为0，此时用的时间为2s；相遇后，在第3s时点P到达B点，从相遇到点P到达B点它们的距离在变大，1s后P点从B点返回，点P继续运动，两个动点之间的距离逐渐变小，同时达到A点．故选：D．【点评】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是明确各个时间段内它们对应的函数图象．二、填空题（本题共18分，第11～16题，每小题2分，第17题3分，第18题3分）11．若分式的值为零，则x的值为1．【分析】分式的值为0的条件是分子为0，分母不能为0，据此可以解答本题．【解答】解：，则x﹣1＝0，x+1≠0，解得x＝1．故若分式的值为零，则x的值为1．【点评】本题考查分式的值为0的条件，注意分式为0，分母不能为0这一条件．12．在平面直角坐标系中，点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（1，2）．【分析】根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得答案．【解答】解：点P（1，﹣2）关于x轴对称的点的坐标是（1，2），故答案为：（1，2）．【点评】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，利用关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题关键．13．计算：20+2﹣2＝．【分析】根据零指数幂和负指数幂的知识点进行解答．【解答】解：原式＝1+＝．故答案为．【点评】本题主要考查了幂的负指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整指数幂当成正的进行计算，任何非0数的0次幂等于1，比较简单．14．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线MN交AC于点D，连接BD．若AC＝7，BC＝5，则△BDC的周长是12．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵NM是AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴△BDC的周长＝BD+CD+BC＝AD+CD+BC＝AC+BC＝12，故答案为：12．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．15．如图，边长为acm的正方形，将它的边长增加bcm，根据图形写一个等式a2+2ab+b2＝（a+b）2．【分析】依据大正方形的面积的不同表示方法，即可得到等式．【解答】解：由题可得，大正方形的面积＝a2+2ab+b2；大正方形的面积＝（a+b）2；∴a2+2ab+b2＝（a+b）2，故答案为：a2+2ab+b2＝（a+b）2．【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，即运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．16．如图，在△ABC中，CD是它的角平分线，DE⊥AC于点E．若BC＝6cm，DE＝2cm，则△BCD 的面积为6cm2．【分析】作DF⊥BC于F，根据角平分线的性质求出DF，根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：作DF⊥BC于F，∵CD是它的角平分线，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DF＝DE＝2，∴△BCD的面积＝×BC×DF＝6（cm2），故答案为：6．【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．17．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（4，﹣3），且OA＝5，在x轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形．（1）写出一个符合题意的点P的坐标答案不唯一，如：（﹣5，0）；（2）请在图中画出所有符合条件的△AOP．【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可求解；（2）可分三种情况：①AO＝AP；②AO＝PO；③AP＝PO；解答出即可．【解答】解：（1）一个符合题意的点P的坐标答案不唯一，如：（﹣5，0）；（2）如图所示：故答案为：答案不唯一，如：（﹣5，0）．【点评】本题主要考查了作图﹣复杂作图、等腰三角形的判定和坐标与图形的性质，注意讨论要全面，不要遗漏．18．（1）如图，∠MAB＝30°，AB＝2cm．点C在射线AM上，利用图1，画图说明命题“有两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形全等”是假命题．你画图时，选取的BC的长约为答案不唯一如：BC＝1.2cm cm（精确到0.1cm）．（2）∠MAB为锐角，AB＝a，点C在射线AM上，点B到射线AM的距离为d，BC＝x，若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是x＝d或x≥a．．【分析】（1）答案不唯一，可以取BC＝1.2cm（1cm＜BC＜2cm）；（2）当x＝d或x≥a时，三角形是唯一确定的；【解答】解：（1）取BC＝1.2cm，如图在△ABC和△ABC′中满足SSA，两个三角形不全等．故答案为：答案不唯一如：BC＝1.2cm．（2）若△ABC的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是x＝d或x≥a，故答案为x＝d或x≥a．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（本题共30分，每小题6分）19．（1）分解因式x（x﹣a）+y（a﹣x）（2）分解因式x3y﹣10x2y+25xy【分析】（1）直接提取公因式（x﹣a）分解因式即可．（2）先提取公因式xy，然后利用完全平方公式进一步进行因式分解．【解答】（1）解：x（x﹣a）+y（a﹣x）＝x（x﹣a）﹣y（x﹣a）＝（x﹣a）（x﹣y）；（2）解：x3y﹣10x2y+25xy＝xy（x2﹣10x+25）＝xy（x﹣5）2．【点评】考查了因式分解﹣提公因式法．当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的．20．计算：+【分析】原式先计算除法运算，再计算加减运算即可求出值．【解答】解：原式＝+•＝+＝+＝．【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．21．解方程：+＝1【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：方程两边乘（x﹣3）（x+3），得x（x+3）+6 （x﹣3）＝x2﹣9，解得：x＝1，检验：当x＝1 时，（x﹣3）（x+3）≠0，所以，原分式方程的解为x＝1．【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．22．如图，点A，B，C，D在一条直线上，且AB＝CD，若∠1＝∠2，EC＝FB．求证：∠E＝∠F．【分析】求出∠DBF＝∠ACE，AC＝DB，根据SAS推出△ACE≌△DBF，根据全等三角形的性质得出即可．【解答】证明：∵∠1+∠DBF＝180°，∠2+∠ACE＝180°．又∵∠1＝∠2，∴∠DBF＝∠ACE，∵AB＝CD，∴AB+BC＝CD+BC，即AC＝DB，在△ACE和△DBF中，∴△ACE≌△DBF（SAS），∴∠E＝∠F．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，能求出△ACE≌△DBF是解此题的关键．23．在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y＝3x与直线l2：y＝kx+b交于点A（a，3），点B（2，4）在直线l2上．（1）求a的值；（2）求直线l2的解析式；（3）直接写出关于x的不等式3x＜kx+b的解集．【分析】（1）把A（a，3）代入y＝3x可求出a的值；（2）利用待定系数法求直线l2的解析式；（3）写出直线l2：y＝kx+b在直线l1：y＝3x上方所对应的自变量的范围即可．【解答】解：（1）直线l1：y＝3x与直线l2：y＝kx+b交于点A（a，3），所以3a＝3．解得a＝1．（2）由（1）得点A（1，3），直线l2：y＝kx+b过点A（1，3），点B（2，4 ），所以，解得所以直线l2的解析式为y＝x+2.4 分（3）不等式3x＜kx+b的解集为x＜1．【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y＝kx+b 的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y＝kx+b在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．四、解答题（本题共12分，第24题7分，第25题5分）24．在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的两个顶点的坐标分别为A（﹣2，0），D（﹣2，4），顶点B在x轴的正半轴上．（1）写出点B，C的坐标；（2）直线y＝5x+5与x轴交于点E，与y轴交于点F．求△EFC的面积．【分析】（1）根据正方形的性质以及A、D、B的位置即可求得；（2）求得E、F点的坐标，进而求得OB＝2，BC＝4，OF＝5，OE＝1，EB＝3，根据三角形的面积公式和梯形的面积公式求得即可．【解答】解：（1）如图，∵正方形ABCD的两个顶点的坐标分别为A（﹣2，0），D（﹣2，4），顶点B在x轴的正半轴上，∴B（2，0），C（2，4）；（2）∵直线y＝5x+5与x轴交于点E，与y轴交于点F，∴E（﹣1，0），F（0，5），∵B（2，0），C（2，4），∴OB＝2，BC＝4，OF＝5，OE＝1，EB＝3，∴S梯形OBCF＝（OF+BC）•OB＝×（5+4）×2＝9，S△OEF＝OE•OF＝×2×5＝5，S△EBC＝EB•BC＝×3×4＝6，∴S△EFC ＝S梯形OBCF+S△OEF﹣S△EBC＝9+5﹣6＝8．【点评】本题考查一次函数图象上点的坐标特征以及正方形的性质，坐标与图形的性质，求得点的坐标解题的关键．25．阅读下列材料下面是小明同学“作一个角等于60°的直角三角形”的尺规作图过程．已知：线段AB（如图1）求作：△ABC，使∠CAB＝90°，∠ABC＝60°作法：如图2，（1）分别以点A，点B为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，连接BD（2）连接BD并延长，使得CD＝BD；（3）连接AC△ABC就是所求的直角三角形证明：连接AD．由作图可知，AD＝BD＝AB，CD＝BD∴△ABD是等边三角形（等边三角形定义）∴∠1＝∠B＝60°（等边三角形每个内角都等于60°）∴CD＝AD∴∠2＝∠C（等边对等角）在△ABC中，∠1+∠2+∠B+∠C＝180°（三角形的内角和等于180°）∴∠2＝∠C＝30°∴∠1+∠2＝90°（三角形的内角和等于180°），即∠CAB＝90°∴△ABC就是所求作的直角三角形请你参考小明同学解决问题的方式，利用图3再设计一种“作一个角等于60°的直角三角形”的尺规作图过程（保留作图痕迹），并写出作法，证明，及推理依据．【分析】根据题意设计“作一个角等于60°的直角三角形”的尺规作图过程，连接DC．得到△DBC 是等边三角形，根据等边三角形的性质得到∠B＝60°，根据等腰三角形的性质证明．【解答】解：作法：（1）延长BA至D，使AD＝AB；（2）分别以点B，点D为圆心，BD长为半径画弧，两弧交于点C；（3）连接AC，BC．则△ABC就是所求的直角三角形，证明：连接DC．由作图可知，BC＝BD＝DC，∴△DBC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵CD＝CB，AD＝AB，∴AC⊥BD，∴△ABC就是所求作的直角三角形．【点评】本题考查的是等边三角形的性质，基本尺规作图，掌握等边三角形的判定定理和性质定理，等腰三角形的三线合一是解题的关键．五、解答题（本题8分）26．在△ABC中，AB＝AC，在△ABC的外部作等边三角形△ACD，E为AC的中点，连接DE并延长交BC于点F，连接BD．（1）如图1，若∠BAC＝100°，求∠BDF的度数；（2）如图2，∠ACB的平分线交AB于点M，交EF于点N，连接BN．①补全图2；②若BN＝DN，求证：MB＝MN．【分析】（1）分别求出∠ADF，∠ADB，根据∠BDF＝∠ADF﹣∠ADB计算即可；（2）①根据要求画出图形即可；②设∠ACM＝∠BCM＝α，由AB＝AC，推出∠ABC＝∠ACB＝2α，可得∠NAC＝∠NCA＝α，∠DAN＝60°+α，由△ABN≌△ADN（SSS），推出∠ABN＝∠ADN＝30°，∠BAN＝∠DAN＝60°+α，∠BAC＝60°+2α，在△ABC中，根据∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°，构建方程求出α，再证明∠MNB＝∠MBN即可解决问题；【解答】（1）解：如图1中，在等边三角形△ACD中，∠CAD＝∠ADC＝60°，AD＝AC．∵E为AC的中点，∴∠ADE＝∠ADC＝30°，∵AB＝AC，∴AD＝AB，∵∠BAD＝∠BAC+∠CAD＝160°，∴∠ADB＝∠ABD＝10°，∴∠BDF＝∠ADF﹣∠ADB＝20°．（2）①补全图形，如图所示．②证明：连接AN．∵CM平分∠ACB，∴设∠ACM＝∠BCM＝α，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝2α．在等边三角形△ACD中，∵E为AC的中点，∴DN⊥AC，∴NA＝NC，∴∠NAC＝∠NCA＝α，∴∠DAN＝60°+α，在△ABN和△ADN中，∴△ABN≌△ADN（SSS），∴∠ABN＝∠ADN＝30°，∠BAN＝∠DAN＝60°+α，∴∠BAC＝60°+2α，在△ABC中，∠BAC+∠ACB+∠ABC＝180°，∴60°+2α+2α+2 α＝180°，∴α＝20°，∴∠NBC＝∠ABC﹣∠ABN＝10°，∴∠MNB＝∠NBC+∠NCB＝30°，∴∠MNB＝∠MBN，∴MB＝MN．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．。