线与角aq

线段的相等与和、差、倍角的概念与表示知识精要1、线段的大小比较把比较两条线段的长短称作“两条线段的大小的比较”2、两点间距离与线段的基本性质（1）两点之间的距离：连结两点的线段的长度叫做两点之间的距离（2）线段的基本性质：性质1 两点确定一条以这两点为端点的线段性质2 两点之间，线段最短3、两条线段的和、差两条线段可以相加（或相减），它们的和（或差）也是一条线段，其长度等于这两条线段的和（或差）4、线段的倍、分（1）线段的倍：na（n>1为正整数，a是一条线段）就是求n条线段a相加所得和的意义，na也可以理解为线段a的几倍。

（2）线段的中点：将一条线段分成两条相等的点叫做这条线段的中点。

5、角的概念（1）角是具有公共端点的两条射线组成的图形，公共端点叫角的顶点，两条射线叫做角的边。

（2）角是由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形，处于初始位置的那条射线叫做角的始边，处于终止位置的那条射线叫做角的终边。

（3）角的内部、角的外部6、角的表示（1）角一般用三个大写字母表示，其中表示顶点的字母写在中间（2）如果以O为顶点的角只有一个，那么这个角可以用表示顶点的字母表示（3）有时为了方便，在角的内部标上一个小写的希腊字母或标上一个数字。

热身练习1、判断题（1）两点之间直线最短。

（×）（2）连结两点的直线的长度叫做两点间的距离。

（×）（3）连结两点的线段叫做两点间的距离。

（×）（4）跳高横竿两端位置固定后，横竿位置就固定了。

（√ ）2、根据图形填空：A B C D(1)AB+BC=( AC )(2)AD=( AC )+CD=AB+( BD )(3)CD=AD-( AC )=BD-( BC )(4)BD=AD-( AB )= ( BC )+ ( CD )(5)AC-AB+CD=( BD )3、已知线段a、b（1）画出一条线段，使它的长度等于a+b（2）画出一条线段，使它的长度等于a-ba b画图略4、如图所示，已知B、C是线段AD上任意两点，M是AB的中点，N是CD 的中点，若MN=a，BC=b，则AD=__2a-b__。

初一数学平面图形（线段和角）变式题拓展20201212第一部分：几何语言1．已知线段AB、CD，点M在线段AB上，结合图形，下列说法不正确的是（）A．过点M画线段CD的垂线，交CD于点EB．过点M画线段AB的垂线，交CD于点EC．延长线段AB、CD，相交于点FD．反向延长线段BA、DC，相交于点F2．从起始站A市坐火车到终点站G市中途共停靠5次，各站点到A市距离如下：站点B C D E F G 到A市距离（千米）4458051135149518252270若火车车票的价格由路程决定，则沿途总共有不同的票价（）种．A．14B．15C．17D．213．如图，点A、B、C、D在直线上，则BD＝BC＋＝AD﹣．4．已知数轴上的三点A、B、C所对应的数a、b、c满足a＜b＜c、abc＜0和a＋b＋c＝0．那么线段AB与BC的大小关系是（）A．AB＞BC B．AB＝BC C．AB＜BC D．不确定的5．如图，线段AB＝BC＝CD＝DE＝1cm，图中所有线段的长度之和为cm．6．已知线段AB＝8cm，在直线AB上取一点C，使BC＝6cm，则线段AC的长为cm．第二部分关于中点中点定义？三种语言，看到中点，想到哪个图，还想到哪些符号？倍分关系！！！1．已知点C在线段AB上，则下列条件中，不能确定点C是线段AB中点的是（）A．AC＝BC B．AB＝2AC C．AC＋BC＝AB D．D．AC＝AB变式1：如图，B是线段AD的中点，C是BD上一点，则下列结论中错误的是（）A．BC＝AB﹣CD B．BC＝（AD﹣CD）C．BC＝（AD﹣CD）D．BC＝AC﹣BD 变式2：如图，C是线段AB的中点，D是线段CB的中点，下列说法错误的是（）A．CD＝AC﹣BD B．CD＝AB﹣BD C．AC＋BD＝BC＋CD D．CD＝AB变式3：如果线段AB＝13厘米，MA＋MB＝17厘米，那么下面说法正确的是．（填写序号）A．M点在线段AB上B．M点在直线AB上C．M点在直线AB外D．M点可能在直线AB上，也可能在直线AB外2．如图，已知线段AB＝10，点N在AB上，NB＝2，M是AB中点，那么线段MN的长为．第2题变式1 变式2变式1：如图，点C为线段AB的中点，点D为线段AC的中点、已知AB＝8，则BD＝．变式2：如图，已知线段AB＝9，BC＝5，点D为线段AC的中点，则线段AD的长度为．变式3：在直线l上顺次取A、B、C三点，使得AB＝5cm，BC＝3cm，如果O是线段AC的中点，那么线段OC的长度是为．变式4：如图：C为线段AB的中点，D在线段CB上，线段DA＝8，线段DB＝4，则线段CD长度为．变式4 变式6变式5：已知线段AB＝8，在直线AB上取一点P，恰好使AP＝3PB，点Q为线段PB的中点，则AQ的长为．变式6：如图，已知C、D为线段AB上顺次两点，点M、N分别为AC与BD的中点，若AB═10，CD＝4，则线段MN的长为．变式7：线段AB＝1，C1是AB的中点，C2是C1B的中点，C3是C2B的中点，C4是C3B的中点，依此类推……线段AC2019的长为．变式8．已知线段AB＝24cm，直线AB上有一点C，且BC＝6cm，M是线段AC的中点，则AM＝cm．变式9．如图，C为线段AB上一点，AC＝5，CB＝3，若点E、F分别是线段AC、CB的中点，则线段EF的长度为．变式9 变式10 变式12变式10．如图，在线段AB上有两点C、D，AB＝24 cm，AC＝6 cm，点D是BC的中点，则线段AD ＝cm．变式11：点C在直线AB上，AC＝8cm，CB＝6cm，点M，N分别是AC，BC的中点．则线段MN 的长为．变式12：如图，已知线段AB＝4，延长线段AB到C，使BC＝2AB，点D是AC的中点，则DC的长等于．变式13．已知直线l上有三点A、B、C，且AB＝6，BC＝4，M、N分别是线段AB、BC的中点，则MN＝．16．如图，OC为∠AOB内一条直线，下列条件中不能确定OC平分∠AOB的是（）A．∠AOC＝∠BOCB．∠AOB＝2∠AOCC．∠AOC＋∠COB＝∠AOBD．第三部分关于角平分线角平分线定义？三种语言，看到中点，想到哪个图，还想到哪些符号？倍分关系！！！1．124.24°＝，（化成度、分、秒的形式）52°45′﹣32°46′＝°′；13.125°＝°′″．2．如图，点O是直线AD上一点，射线OC、OE分别是∠AOB，∠BOD的平分线，若∠AOC＝28°则∠COD＝，∠BOE＝．3．如图，OM平分∠AOB，ON平分∠CO D．若∠MON＝50°，∠BOC＝10°，则∠AOD＝度．第2题第3题第四部分综合提高题1．如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD＝8cm，BD＝1cm，（1）求AC的长；（2）若点E在直线AD上，且EA＝2cm，求BE的长．2．如图，在数轴上点A表示的数是﹣3，点B在点A的右侧，且到点A的距离是18；点C在点A与点B之间，且到点B的距离是到点A距离的2倍．（1）点B表示的数是；点C表示的数是；（2）若点P从点A出发，沿数轴以每秒4个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q从点B 出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒，在运动过程中，当t 为何值时，点P与点Q之间的距离为6？（3）在（2）的条件下，若点P与点C之间的距离表示为PC，点Q与点B之间的距离表示为QB，在运动过程中，是否存在某一时刻使得PC＋QB＝4？若存在，请求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由．3．如图，点A、B、C在直线l上，点M为AB的中点，N为MC的中点，且AB＝6cm，NC＝4cm，求BC的长．4．如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD＝8cm，BD＝2cm．（1）图中共有多少条线段？（2）求AC的长．（3）若点E在直线AD上，且EA＝3cm，求BE的长．5．如图，已知AB＝16cm，C是线段AB上一点，且AC＝10cm，点D是线段AC的中点，点E是线段BC上一点，且CE＝CB，求线段DE的长度．6．如图，点C、D在线段AB上，AC＝DB＝2，D是BC的中点，求线段AB的长．7．如图，点C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD＝13cm，BC＝3cm．（1）图中共有条线段；（2）求AC的长；（3）若点E在直线AD上，且EA＝4cm，求BE的长．8．已知直线l上有一点A、B、C，且AB＝6，BC＝4，M、N分別是线段AB、BC的中点，画出图形并求MN的长．9．如图，C是线段AB上一点，AB＝16cm，BC＝6cm．（1）AC＝cm；（2）动点P、Q分别从A、B同时出发，点P以2cm/s的速度沿AB向右运动，终点为B；点Q以1cm/s的速度沿BA向左运动，终点为A．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动．求运动多少秒时，C、P、Q三点，有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？10．如图，已知：线段AD＝10cm，B是线段AD上一动点，沿A→D→A以2cm/s的速度往返运动1次，设点B运动时间为t秒（0≤t≤10）．（1）当t＝6秒时，AB＝cm；（2）用含t的代数式表示运动过程中AB的长；（3）在运动过程中，若AB中点为E，BD的中点为F，则EF的长是否发生变化？若不变，求出EF的长；若发生变化，请说明理由．11．如图，点C在线段AB上，AC＝16cm，CB＝12cm，点M、N分别是AC、BC的中点．（1）求线段MN的长；（2）若C为线段AB上任一点，满足AC＋CB＝a cm，其它条件不变，你能猜想MN的长度吗？并说明理由．（3）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC＝b cm，M、N分别为AC、BC的中点，你能猜想MN的长度吗？请画出图形，写出你的结论，不要说明理由．12．如图，C为线段AD上一点，点B为CD的中点，且AD＝9cm，BC＝2cm．（1）图中共有条线段；（2）求AC的长；（3）若点E在直线AD上，且EA＝3cm，求BE的长．13．如图1，已知∠AOB＝150°，∠AOC＝40°，OE是∠AOB内部的一条射线，且OF平分∠AOE．（1）若∠EOB＝10°，求∠COF的度数；（2）若∠COF＝10°，求∠EOB＝；（3）若∠EOB＝m°，求∠COF＝；（用含m的式子表示）（4）若∠COF＝n°，求∠EOB＝．（用含n的式子表示）14．如图，已知∠AOB＝90°，∠EOF＝60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠AOC和∠COB的度数．15．如图，已知∠AOB是直角，∠BOC在∠AOB的外部，且OF平分∠BOC，OE平分∠AO C．（1）当∠BOC＝60°时，∠EOF的度数为°；（2）当∠BOC＝α（0°＜α＜90°）时，求∠EOF的度数．16．如图，OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的平分线，∠EOD＝60°，求∠AOB的度数．17．如图，已知∠AOC＝120°，∠COD是直角，∠BOC＝2∠BO D．问点A、O、B在一条直线上吗？为什么？18．如图，点O为直线AB上一点，将直角三角板OCD的直角顶点放在点O处．已知∠AOC的度数比∠BOD的度数的3倍多10度．（1）求∠BOD的度数．（2）若OE、OF分别平分∠BOD、∠BOC，求∠EOF的度数．（写出必要的推理过程）。

第1讲-线段与角度的相关计算一、线1．基本概念：（1）直线：能够向两端无限延伸的线叫做直线．表示方法：①直线可以用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示直线上的点，不分先后顺序；②直线也可以用一个小写字母来表示．【例】如图1：可以记为直线AB 或直线BA ；如图2：记为直线l ．图1 图2（2）射线：直线上的一点和这点一旁的部分叫射线，这个点叫做射线的端点．表示方法：①射线可以用两个大写字母来表示，第一个大写字母表示射线的端点，第二个大写字母表示射线上的点；②射线也可以用一个小写字母来表示．【例】如图3：记为射线OA ，但不能记为射线AO ；如图4：记为射线l ．图3 图4（3）线段：直线上两点和中间的部分叫线段，这两个点叫做线段的端点．连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离．表示方法：①线段可以用两个大写字母来表示，这两个大写字母表示线段的两个端点，不分先后顺序；②线段也可以用一个小写字母来表示．【例】如图5：可以记为线段AB 或线段BA ；如图6：记为线段l ．图5 图6（4）中点：把线段分成两条相等的线段的点叫做这条线段的中点．【例】如图7：点O 是线段AB 的中点，此时AO BO AB 1==2．图72．公理：（1）两点确定一条直线：经过两点有且只有一条直线； （2）两点之间，线段最短：两点之间的连线中，线段最短． 二、角1．定义： （1）静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边，可以无限延伸．llA O (5) l A B(6)l（2）动态定义：由一条射线绕着它的端点旋转到另一个位置所成的图形叫做角．处于初始位置的那条射线叫做角的始边，终止位置的那条射线叫做角的终边．表示方法：①通常用三个字母表示：两条边上的点的字母写在两旁，顶点上的字母写在中间．②用一个大写字母来表示：这个大写字母一定要表示角的顶点，而且以它为顶点的角只有一个．③用数字或希腊字母来表示：可以用希腊字母（α，β，γ，θ，ϕ, ...）表示角的大小。

人教版八年级上册知识分类训练12.3 角平分线的性质1、角平分线的定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

2、角平分线的性质：角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

用数学语言表示为：∵ QD⊥OA，QE⊥OB，点Q在∠AOB的平分线上∴ QD＝QE4、角平分线的判定方法：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

用数学语言表示为：∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴点Q在∠AOB的平分线上．5、尺规作角的平分线：画法：①以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．②分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 1/2 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．③作射线ＯＣ．所以，射线ＯＣ即为所求．针对训练1．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，PD＝2，则点P到OA的距离是（ ）A．4B．3C．2D．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径作弧，分别交AB，AC 于点D，E，再分别以点D，E，为圆心，以大于DE的长度为半径作弧，两弧交于点F，作射线AF交BC于点G，若AB＝12，CG＝3，则△ABG的面积是（ ）A．12B．18C．24D．363．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点．若PA＝4，则PQ的长不可能是（ ）A．3.9B．4C．4.3D．5.54．如图，△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，若点P 到AC的距离为3，则点P到AB的距离为（ ）A．1B．2C．3D．45．如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝4，BC＝6，对角线BD平分∠ABC，则△BCD 的面积为（ ）A．15B．12C．8D．66．如图，已知△ABC的周长是18cm，∠ABC和∠ACB的角平分线交于点O，OD⊥BC于点D，若OD＝3cm，则△ABC的面积是（ ）cm2．A．24B．27C．30D．337．如图，在△ABC中，AD是∠BAC的角平分线，若BA＝5，AC＝2，S△ABC＝14，则S△ABD ＝ ．8．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的角平分线，如果AB＝10，△ADB的面积是15，则CD的长为 ．9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，若CD＝4，则点D到AB的距离为 ．10．如图，射线OC是∠AOB的角平分线，D是射线OC上一点，DP⊥OA于点P，DP＝5，若点Q是射线OB上一点，OQ＝4，则△ODQ的面积是 ．11．如图，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DE＝2．AB＝6．BC＝4，求△ABC的面积．12．如图在△ABC中，∠B＝∠C，点D是BC的中点，DE⊥AB于点，DF⊥AC于点F．求证：AD是△ABC的角平分线．13．如图，CB＝CD，∠D+∠ABC＝180°，CE⊥AD于E，CF⊥AB交AB的延长线于点F．求证：AC平分∠DAB．14．如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．（1）求作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）（2）证明AP＝AQ．15．已知：如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上的一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，点F是OC上的另一点，连接DF，EF．求证：DF＝EF．16．如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC的中点，且AE平分∠BAD．（1）求证：DE平分∠ADC；（2）求证：AB+CD＝AD．17．如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝110°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝55°．（1）求∠ACE的度数；（2）求证：AE平分∠CAF；（3）若AC+CD＝14，AB＝8.5，且S△ACD＝21，求△ABE的面积．参考答案1．解：过P作PE⊥AO于E，∵OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OB，∴PE＝PD＝2，∴点P到OA的距离是2．故选：C．2．解：过点G作GH⊥AB于点H，根据题意得，AF是∠CAB的角平分线，∵∠C＝90°，∴AC⊥CG，∵GH⊥AB，∴CG＝GH，∵CG＝3，∴，故选：B．3．解：∵OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，PA＝4，∴当PQ⊥AM时，PQ＝PA＝4，∴PQ≥4，∴PQ的长不可能3.9．故选：A．4．解：过P作PQ⊥AC于Q，PW⊥BC于W，PR⊥AB于R，∵△ABC的∠B的外角的平分线BD与∠C的外角的平分线CE相交于点P，∴PQ＝PW，PW＝PR，∴PR＝PQ，∵点P到AC的距离为3，∴PQ＝PR＝3，则点P到AB的距离为3，故选：C．5．解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，∵BD平分∠ABC，DE⊥BC，DA⊥AB，∴DE＝DA＝4，∵BC＝6，∴△BCD的面积＝BC•DE＝×6×4＝12，故选：B．6．解：过O点作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，连接OA，如图，∵OB平分∠ABC，OD⊥BC，OE⊥AB，∴OE＝OD＝3，同理可得OF＝OD＝3，∴S△ABC＝S△OAB+S△OBC+S△OAC＝×OE×AB+×OD×BC+×OF×AC＝（AB+BC+AC），∵△ABC的周长是18，∴S△ABC＝×18＝27（cm2）．故选：B．7．解：过点D作DE⊥AB，DF⊥AC于点E，F，∵AD是∠BAC的角平分线，∴DE＝DF，设DE＝DF＝h，∵BA＝5，AC＝2，S△ABC＝14，∴AB•h+AC•h＝14，即×5h+×2h＝14，解得h＝4，∴S△ABD＝AB•DE＝×5×4＝10．故答案为：10．8．解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AB＝10，△ADB的面积是15，∴，∴DE＝3，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的角平分线，∴CD＝DE＝3，故答案为：3．9．解：过点D，作DE⊥AB，交AB于点E，∵∠ACB＝90°，AD平分∠CAB，∴DE＝CD＝4，故答案为：4．10．解：作DH⊥OB于点H，∵OC是∠AOB的角平分线，DP⊥OA，DH⊥OB，∴DH＝DP＝5，∴△ODQ的面积＝OQ•DH＝4×5＝10，故答案为：10．11．解：如图，过点D作DF⊥BC于点F．∵BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DF＝DE＝2，又∵AB＝6，BC＝4，∴＝．12．证明：∵点D是BC的中点，∴BD＝CD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°，在△BED和△CFD中，，∴△BED≌△CFD（AAS），∴DE＝DF，即点D到AB和AC的距离相等，∴AD是△ABC的角平分线．13．证明：∵CE⊥AD于E，CF⊥AB，∴∠DEC＝∠CFB＝90°，∵∠D+∠ABC＝180°，∠CBF+∠ABC＝180°，∴∠D＝∠CBF，在△CDE与△CBF中，，∴△CDE≌△CBF（AAS），∴CE＝CF，∴AC平分∠DAB．14．（1）解：如图所示，BQ为所求作；（2）证明：∵BQ平分∠ABC，∴∠ABQ＝∠CBQ，∵∠BAC＝90°∴∠AQP+∠ABQ＝90°，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠CBQ+∠BPD＝90°，∵∠ABQ＝∠CBQ，∴∠AQP＝∠BPD，又∵∠BPD＝∠APQ，∴∠AQP＝∠APQ，∴AP＝AQ．15．证明：∵OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA，PE⊥OB，∴PD＝PE，在Rt△OPD和Rt△OPE中，，∴Rt△OPD≌Rt△OPE（HL），∴OD＝OE，∵OC是∠AOB的平分线，∴∠DOF＝∠EOF，在△ODF和△OEF中，，∴△ODF≌△OEF（SAS），∴DF＝EF．16．证明：（1）如图，过点E作EF⊥AD于F，∵∠B＝90°，AE平分∠DAB，∴BE＝EF，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，∴CE＝EF，又∵∠C＝90°，EF⊥AD，∴DE是∠ADC的平分线．（2）∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，EF⊥AD，∠B＝∠C＝90°，∴AB＝AF，DC＝DF，∴AB+CD＝AF+FD＝AD．17．（1）解：∵∠ACB＝110°，∴∠ACD＝180°﹣110°＝70°，∵EH⊥BD，∴∠CHE＝90°，∵∠CEH＝55°，∴∠ECH＝90°﹣55°＝35°，∴∠ACE＝180°﹣35°﹣110°＝35°；（2）证明：过E点分别作EM⊥BF于M，EN⊥AC与N，∵BE平分∠ABC，∴EM＝EH，∵∠ACE＝∠ECH＝40°，∴CE平分∠ACD，∴EN＝EH，∴EM＝EN，∴AE平分∠CAF；（3）解：∵AC+CD＝14，S△ACD＝21，EM＝EN＝EH，∴S△ACD＝S△ACE+S△CED＝AC•EN+CD•EH＝（AC+CD）•EM＝21，即，解得EM＝3，∵AB＝8.5，∴S△ABE＝AB•EM＝．。

CE O D BA21C E DBA 2143C O B A全等三角形专题讲解专题一 全等三角形判别方法的应用专题概说：判定两个三角形全等的方法一般有以下4种： 1．三边对应相等的两个三角形全等（简写成“SSS ”，“边边边”） 2．两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“SAS ”，“边角边”） 3．两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“ASA ”，“角边角”） 4．两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简写成“AAS ”，“角角边”）而在判别两个直角三角形全等时，除了可以应用以上4种判别方法外，还可以应用“斜边、直角边”，即斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“HL ”, “斜边、直角边”）．也就是说“斜边、直角边”是判别两个直角三角形全等的特有的方法，它仅适用于判别两个直角三角形全等．三角形全等是证明线段相等，角相等最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢？（1）条件充足时直接应用在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，而从近年的中考题来看，这类试题难度不大，证明两个三角形的条件比较充分．只要同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．例1 已知：如图，CE ⊥AB 于点E ，BD ⊥AC 于点D ，BD 、CE 交于点O ，且AO 平分∠BAC ．那么图中全等的三角形有___对．分析：由CE ⊥AB ，BD ⊥AC ，得∠AEO=∠ADO=90º．由AO 平分∠BAC ，得∠EAO=∠DAO ．又AO 为公共边，所以△AEO ≌△ADO ．所以EO=DO ，AE=AD ．又∠BEO=∠CDO=90º，∠BOE=∠COD ，所以△BOE ≌△COD ．由 AE=AD ，∠AEO=∠ADO=90º，∠BAC 为公 共角，所以△EAC ≌DAO ．所以AB=AC ．又∠EAO=∠DAO ， AO 为公共边，所以△ABO ≌△ACO ．所以图中全等的三角形一共有4对．（2）条件不足，会增加条件用判别方法此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充使三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．例2 如图，已知AB=AD ，∠1=∠2，要使△ABC ≌△ADE ，还需添加的条件是（只需填一个）_____． 分析：要使△ABC ≌△ADE ，注意到∠1=∠2， 所以∠1+∠DAC=∠2+∠DAC ，即∠BAC=∠EAC ．要使△ABC ≌△ADE ，根据SAS 可知只需AC=AE即可；根据ASA 可知只需∠B=∠D ；根据AAS 可知只需∠C=∠E ．故可添加的条件是AC=AE 或∠B=∠D 或∠C=∠E ．（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法在证明两个三角形全等时， 当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系， 使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．例3 已知：如图，AB=AC ，∠1=∠2．求证：AO 平分∠BAC ．GA B F D E C ODA CB 要证∠BAO=∠BCO ，只需证∠BAO 和∠BCO 所在的两个三角形全等．而由已知条件知，只需再证明BO=CO 即可．证明：连结BC ．因为AB=AC ，所以∠ABC ＝∠ACB ．因为∠1=∠2，所以∠ABC -∠1＝∠ACB -∠2． 即∠3=∠4，所以BO=CO ．因为AB=AC ，BO=CO ，AO=AO ， 所以△ABO ≌△ACO ．所以∠BAO=∠CAO ，即AO 平分∠BAC ．（4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法有些几何问题中，往往不能直接证明一对三角形全等，一般需要作辅助线来构造全等三角形．例4 已知：在Rt △ABC 中，∠ACB=90º，AC=BC ，D 为BC 的中点，CE ⊥AD 于E ，交AB 于F ，连接DF ．求证：∠ADC=∠BDF ． 证明：过B 作BG ⊥BC 交CF 延长线于G ， 所以BG ∥AC ．所以∠G=∠ACE ．因为AC ⊥BC ， CE ⊥AD ，所以∠ACE=∠ADC ．所以∠G=∠ADC ．因为AC=BC ，∠ACD ＝∠CBG=90º，所以△ACD ≌△CBG ．所以BG=CD=BD ．因为∠CBF=∠GBF=45º，BF=BF ，所以△GBF ≌△DBF ．所以∠G=∠BDF ．所以∠ADC ＝∠BDF ．所以∠ADC ＝∠BDF ．说明：常见的构造三角形全等的方法有如下三种：①涉及三角形的中线问题时，常采用延长中线一倍的方法，构造出一对全等三角形；②涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线，可以得到一对全等三角形；③证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形．（5）会在实际问题中用全等三角形的判别方法新课标强调了数学的应用价值，注意培养同学们应用数学的意识，形成解决简单实际问题的能力﹒在近年中考出现的与全等三角形有关的实际问题，体现了这一数学理念，应当引起同学们的重视．例5 要在湖的两岸A 、B 间建一座观赏桥，由于条件 限制，无法直接度量A ，B 两点间的距离﹒请你用学过的数 学知识按以下要求设计一测量方案﹒(1)画出测量图案﹒(2)写出测量步骤（测量数据用字母表示）(3)计算A 、B 的距离（写出求解或推理过程，结果用字母表示）﹒分析：可把此题转化为证两个三角形全等．第(1)题，测量图案如图5所示．第(2)题，测量步骤：先在陆地上找到一点O ，在AO 的延长线上取一点C ，并测得OC=OA ，在BO 的延长线上取一点D ，并测得OD=OB ，这时测得CD 的长为a ，则AB 的长就是a ．第(3)题易证△AOB ≌△COD ，所以AB=CD ，测得CD 的长即可得AB 的长．解：(1)如右图示．(2)在陆地上找到可以直接到达A 、B 的一点O ，在AO 的延长线上取一点C ，并测得OC ＝OA ，在BO 的延长线上取一点D ，并测得OD ＝OB ，这时测出CD 的长为a ，则AB 的长就是a ．(3)理由：由测法可得OC=OA ，OD=OB ．又∠COD=∠AOB ，∴△COD ≌△AOB ． ∴CD=AB=a ．评注：本题的背景是学生熟悉的，提供了一个学生FCEDBA CEDBAA OQ M CPBN A D C PBHF EGAD CBA学生用数学的意识﹒练习：1．已知：如图，D 是△ABC 的边AB 上一点，AB ∥FC ，DF 交AC 于点E ，DE=FE ． 求证：AE=CE ．2．如图，在△ABC 中，点E 在BC 上，点D 在AE 上，已知∠ABD=∠ACD ，∠BDE=∠CDE ． 求证：BD=CD ．3．用有刻度的直尺能平分任意角吗？下面是一种 方法：如图所示，先在∠AOB 的两边上取OP=OQ ， 再取PM=QN ，连接PN 、QM ，得交点C ，则射线OC 平分∠AOB ．你能说明道理吗？4．如图，△ABC 中，AB=AC ，过点A 作 GE ∥BC ，角平分线BD 、CF 相交于点H ，它们的 延长线分别交GE 于点E 、G ．试在图中找出3对全等三角形，并对其中一对全等三角形给出证明．5．已知：如图，点C 、D 在线段AB 上，PC=PD ．请你添加一个条件，使图 中存在全等三角形，并给予证明．所添条件为__________，你得到的一 对全等三角形是△_____≌△_____．6．如图，∠A=∠D ，BC=EF ，那么需要 补充一个直接条件_____（写出一个即可），才能AD CBAODCBAFCGBEAF DCB E7．如图，在△ABD和△ACD中，AB=AC，∠B=∠C．求证：△ABD≌△ACD．8．如图，直线AD与BC相交于点O，且AC=BD，AD=BC．求证：CO=DO．9．已知△ABC，AB=AC，E、F分别为AB和AC延长线上的点，且BE=CF，EF交BC于G．求证：EG=GF．10．已知：如图，AB=AE，BC=ED，点F是CD的中点，AF⊥CD．求证：∠B=∠E．11．如图，某同学把一把三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块大小形状完全一样的玻璃，那么最省事的办法是（）(A)带①和②去 (B)带①去(C)带②去 (D)带③去12．有一专用三角形模具，损坏后，只剩下如图中的阴影部分，你对图中做哪些数据度量后，就可以重新制作一块与原模具完全一样的模具，并43O E DC B A 21F ED C BA 2113．如图，将两根钢条AA'、BB'的中点O 连在一起，使AA'、BB'可以绕着点O 自由转动，就做成了一个测量工件，则A' B'的长等于内槽宽AB ，那么判定△OAB ≌△OAB 的理由是（ ）（A ）边角边 （B ）角边角 （C ）边边边 （D ）角角边专题二 角的平分线从一个角的顶点出发，把一个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线．角的平分线有着重要的作用，它不仅把角分成相等的两部分，而且角的平分线上的点到角两边的距离相等，到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，再加上角的平分线所在的直线是角的对称轴．因此当题目中有角的平分线时，可根据角的平分线性质证明线段或角相等，或利用角的平分线构造全等三角形或等腰三角形来寻找解题思路．（1）利用角的平分线的性质证明线段或角相等例6 如图，∠1＝∠2，AE ⊥OB 于E ，BD ⊥OA 于D ，交点为C ．求证：AC=BC ．证法：∵AE ⊥OB ，BD ⊥OA ，∴∠ADC=∠BEC=︒90． ∵∠1＝∠2，∴CD=CE ． 在△ACD 和△BCE 中，∠ADC=∠BEC ，CD=CE ，∠3＝∠4． ∴△ACD ≌△BCE(ASA)，∴AC=BC ．说明：本题若用全等方法证明点C 到OA 、OB 距离相等，浪费时间和笔墨，不如直接应用角平分线性质证明，原因在于同学们已经习惯了用全等的方法，不善于直接应用定理，仍去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次定理，以后再学新定理，应用时要注意全等定势的干扰，注意采用简捷证法．例7 已知：如图，△ABC 中，BD=CD ，∠1＝∠2． 求证：AD 平分∠BAC ．证明：过D 作DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ． 在△BED 与△CFD 中，∠1＝∠2，∠BED ＝∠CFD ＝︒90，BD=CD ，∴△BED ≌△CFD(AAS)．∴DE ＝DF ，∴AD 平分∠BAC ． 说明：遇到有关角平分线的问题时，可引角的两边的垂线，先证明三角形全等，然后根据全等三角形的性质得出垂线段相等，再利用角的平分线性质得出两角相等．（2）利用角的平分线构造全等三角形 ①过角平分线上一点作两边的垂线段例8 如图，AB ∥CD ，E 为AD 上一点，且BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ． 求证：AE=ED ．A FH D CG B EA D CB E A F DC B E CEBA D点E 分别作AB 、BC 、CD 的垂线段．证明：过点E 作EF ⊥AB ，交BA 的延长线于点F ，作EG ⊥BC ，垂足为G ，作EH ⊥CD ，垂足为H ． ∵BE 平分∠ABC ，EF ⊥AB ，EG ⊥BC ， ∴EF=EG ．同理EG =EH ．∴EF=EH ． ∵AB ∥CD ，∴∠FAE=∠D ． ∵EF ⊥AB ，EH ⊥CD ，∴∠AFE=∠DHE=90º．在△AFE 和△DHE 中，∠AFE=∠DHE ，EF=EH ，∠FAE=∠D ． ∴△AFE ≌△DHE ．∴AE=ED ．②以角的平分线为对称轴构造对称图形例9 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠C=2∠B ． 求证：AB=AC+CD ．分析：由于角平分线所在的直线是这个角的对称轴，因此在AB 上截取AE=AC ，连接DE ，我们就能构造出一对全等三角形，从而将线段AB 分成AE 和BE 两段，只需证明BE=CD 就可以了．证明：在AB 上截取AE=AC ，连接DE ． ∵AD 平分∠BAC ，∴∠EAD=∠CAD ． 在△EAD 和△CAD 中，∠EAD=∠CAD ，AD=AD ，AE=AC ， ∴△EAD ≌△CAD ．∴∠AED=∠C ，CD=DE ．∵∠C=2∠B ，∴∠AED=2∠B ．∵∠AED=∠B+∠EBD ，∴∠B=∠EDB ． ∴BE=ED ．∴BE=CD ．∵AB=AE+BE ，∴AB=AC+CD ．③延长角平分线的垂线段，使角平分线成为垂直平分线例10 如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD 于E ． 求证：∠ACE=∠B+∠ECD ．分析：注意到AD 平分∠BAC ，CE ⊥AD ，于是可延长CE 交AB 于点F ， 即可构造全等三角形．证明：延长CE 交AB 于点F ．∵AD 平分∠BAC ，∴∠FAE=∠CAE ． ∵CE ⊥AD ，∴∠FEA=∠CEA=90º．在△FEA 和△CEA 中，∠FAE=∠CAE ，AE=AE ，∠FEA=∠CEA ．∴△FEA ≌△CEA ．∴∠ACE=∠AFE ．∵∠AFE=∠B+∠ECD ，∴∠ACE=∠B+∠ECD ．（3）利用角的平分线构造等腰三角形如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，过点D 作DE ∥AB ，DE 交AC 于点E ．易证△AED 是等腰三角形． 因此，我们可以过角平分线上一点作角的一边的平行线， 构造等腰三角形．例11 如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 平分∠ABC ，DE ⊥BD 于D ，交BC 于点E ．求证：CD=21BE ． 1CF E BADQPCBACB AD 然后再证明CD 与这两条线段都相等． 证明：过点D 作DF ∥AB 交BC 于点F ． ∵BD 平分∠ABC ，∴∠1=∠2．∵DF ∥AB ，∴∠1=∠3，∠4=∠ABC ． ∴∠2=∠3，∴DF=BF ．∵DE ⊥BD ，∴∠2+∠DEF=90º，∠3+∠5=90º． ∴∠DEF=∠5．∴DF=EF ． ∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C ． ∴∠4=∠C ，CD=DF ． ∴CD=EF=BF ，即CD=21BE ．练习：1．如图，在△ABC 中，∠B=90º， AD 为∠BAC 的平分线，DF ⊥AC 于F ，DE=DC ．求证：BE=CF ．2．已知：如图，AD 是△ABC 的中线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，且BE=CF ．求证：（1）AD 是∠BAC 的平分线； （2）AB=AC ．3．在△ABC 中，∠BAC=60º，∠C=40º，AP 平分∠BAC 交BC 于P ，BQ 平分∠ABC 交AC 于Q ．求证：AB+BP=BQ+AQ ．4．如图，在△ABC 中，AD 平分 ∠BAC ，AB=AC+CD ．求证：∠C=2∠B ．CEBA D CB AD4321C EBADCEBADCBAD5．如图，E 为△ABC 的∠A 的平分线 AD 上一点，AB ＞AC ．求证：AB -AC ＞EB -EC ．6．如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA ， AD=CD ，BD 平分∠ABC ． 求证：∠A+∠C=180º．7．如图所示，已知AD ∥BC ，∠1=∠2， ∠3=∠4，直线DC 过点E 作交AD 于点D ，交 BC 于点C ．求证：AD+BC=AB ．8．已知，如图，△ABC 中，∠ABC=90º， AB=BC ，AE 是∠A 的平分线，CD ⊥AE 于D ．求证：CD=21AE ．9．△ABC 中，AB=AC ，∠A=100º， BD 是∠B 的平分线．求证：AD+BD=BC ．ACB D ACF E B MD10．如图，∠B 和∠C 的平分线相交于点F ， 过点F 作DE ∥BC 交AB 于点D ，交AC 于点 E ，若BD+CE=9，则线段DE 的长为（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．611．如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ， AD 交BC 于点D ，且D 是BC 的中点． 求证：AB=AC ．12．已知：如图，△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线， E 是BC 的中点，EF ∥AD ，交AB 于M ， 交CA 的延长线于F ． 求证：BM=CF ．。

圆中的重要模型-阿基米德折弦定理与米勒最大角问题圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模型(阿基米德折弦模型、米勒最大张角(视角)模型、弧中点模型)进行梳理及对应试题分析，方便掌握。

模型1.阿基米德折弦模型【模型解读】一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。

如下图所示，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即ABC 是圆的一条折弦)，BC >AB ，M 是ABC的中点，则从M 向BC 所作垂线之垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD =AB +BD 。

折弦:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。

【模型证明】方法1.:补短法如图，延长DB 至F ，使BF =BA∵M 是ABC 的中点∴∠MCA =∠MAC =∠MB C ∵M 、B 、A 、C 四点共圆∴∠MCA +∠MB A =180°∵∠MB C +∠MB F =180°∴∠MB A =∠MB F ∵MB =MB ,BF =BA∴△MB F ≌△MB A ∴∠F =∠MAB =∠MCB∴MF =MC ∵MD ⊥CF∴CD =DF =DB +BF =AB +BD 方法2.截长法如图，在CD 上截取DG =DB∵MD ⊥BG∴MB =MG ，∠M GB =∠MB C =∠MAC ∵M 是ABC 的中点∴∠MAC =∠MCA =∠MGB 即∠M GB =∠MCB +∠BCA =∠MCB +∠BMA又∠M GB =∠MCB +∠GMC∴∠BMA =∠GMC ∵MA =MC∴△MB A ≌△MGC (SAS )∴AB =GC ∴CD =CG +GD =AB +BD方法3.垂线法如图，作MH ⊥射线AB ，垂足为H 。

∵M 是ABC 的中点∴MA =MC ∵MD ⊥BC∴∠MDC =90°=∠H∵∠MAB =∠MCB ∴△MHA ≌△MDC (AAS )∴AH =CD ，MH =MD又∵MB =MB∴Rt △MHB ≌Rt △MDB (HL )∴HB =BD ∴CD =AH =AB +BH =AB +BD例1.(2022秋·山西临汾·九年级统考阶段练习)阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务．在《阿基米德全集》中记述了伟大的古希腊数学家、哲学家、物理学家阿基米德提出的关于圆的一些问题，其中有这样一个问题：如图1，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线ABC 是圆的一条折弦)，BC >AB ，M 是ABC的中点，则从点M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD =DB +BA ．其部分证明过程如下：证明：如图2，在CD 上截取CG =AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG ．∵M 是ABC的中点，∴MA =MC ，∵∠A =∠C ，∴△MAB ≌△MCG (SAS )，∴MB =MG ，⋯⋯任务：(1)补全证明过程，(2)如图3，在⊙O 中，BD =CD，DE ⊥AC ，若AB =4，AC =10，DE =7，则O 到DE 的距离是____________，O 到AC 的距离是____________，⊙O 的半径是____________．变式1.(2022秋·江苏盐城·九年级统考期中)【了解概念】我们知道，折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形．如图1，线段MQ 、QN 组成折线段MQN ．若点P 在折线段MQN 上，MP =PQ +QN ，则称点P 是折线段MQN 的中点．【理解应用】(1)如图2，⊙O 的半径为2，PA 是⊙O 的切线，A 为切点，点B 是折线段POA 的中点．若∠APO =30°，则PB =______；【定理证明】(2)阿基米德折弦定理：如图3，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线段ABC 是圆的一条折弦)，BC >AB ，点M 是ABC的中点，从M 向BC 作垂线，垂足为D ，求证：D 是折弦ABC 的中点；【变式探究】(3)如图4，若点M 是AC 的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则CD 、DB 、BA 之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论．【灵活应用】(4)如图5，BC 是⊙O 的直径，点A 为⊙O 上一定点，点D 为⊙O 上一动点，且满足∠DAB =45°，若AB =8，BC =10，则AD =______________．变式2.(2022秋·江苏泰州·九年级统考期中)早在公元前古希腊数学家欧几里得就发现了垂径定理，即垂直于弦的直径平分弦．阿基米德从中看出了玄机并提出：如果条件中的弦变成折线段，仍然有类似的结论．某数学兴趣小组对此进行了探究，如图1，AC 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线段ACB 是圆的一条折弦)，BC >AC ，M 是ACB的中点，过点M 作MD ⊥BC ，垂足为D ，小明通过度量AC 、CD 、DB 的长度，发现点D 平分折弦ACB ，即BD =AC +CD ．小丽和小军改变折弦的位置发现BD =AC +CD 仍然成立，于是三位同学都尝试进行了证明：小军采用了“截长法”(如图2)，在BD 上㵶取BE ，使得BE =AC ，⋯⋯小丽则采用了“补短法”(如图3)，延长BC 至F ，使CF =AC ，⋯⋯小明采用了“平行线法”(如图4)，过M 点作ME ∥BC ，交圆于点E ，过点E 作EF ⊥BC ，⋯⋯(1)请你任选一位同学的方法，并完成证明；(2)如图5，在网格图中，每个小正方形边长均为1，△ABC 内接于⊙O (A 、B 、C 均是格点)，点A 、D 关于BC 对称，连接BD 并延长交⊙O 于点E ，连接CE ．①请用无刻度的直尺作直线l ，使得直线l 平分△BCE 的周长；②求△BCE 的周长．变式3.(2022秋·浙江舟山·九年级校联考期中)请阅读下列材料，并完成相应的任务：阿基米德折弦定理，阿基米德(公元前287年一公元前212年)，伟大的古希腊哲学家、百科式科学家、数学家、物理学家、力学家，静态力学和流体静力学的奠基人，并且享有“力学之父”的美称，阿基米德和高斯，牛顿并列为世界三大数学家．阿拉伯Al -Binmi (973年一1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964年根据Al -Binmi 译本出版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德折弦定理．阿基米德折弦定理：如图1，AB 和BC 是⊙O 的两条弦(即折线ABC 是圆的一条折弦)，BC >AB ，M 是ABC的中点，则从M 向BC 所作垂线的垂足D 是折弦ABC 的中点，即CD =AB +BD ．小明同学运用“截长法”和三角形全等来证明CD =AB +BD ，过程如下：证明：如图2所示，在CB 上截取CG =AB ，连接MA ，MB ，MC 和MG ．∵M 是ABC 的中点，∴MA =MC ，⋯(1)请按照上述思路，写出该证明的剩余部分；(2)如图3，在⊙O 中，BD =CD ，DE ⊥AC ，若AB =4，AC =10，则AE 的长度为_________；(3)如图4，已知等边△ABC 内接于⊙O ，AB =8，D 为AC上一点，∠ABD =45°，AE ⊥BD 于点E ，求△BDC 的周长．模型2.米勒最大张角(视角)模型【模型解读】已知点A，B是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的动点，则当C在何处时，∠ACB最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。

证明线面平行的问题侧重于考查同学们的空间想象能力与数学运算能力.根据直线与平面平行的定义可知，要判断直线与平面是否平行，只需判定直线与平面有没有公共点.但由于直线是无限延伸的，平面是无限延展的，因此利用定义法不易快速证明线面平行，需运用转化思想，把线面平行问题转化为线线平行问题、面面平行问题、空间向量之间的位置关系问题，利用线面平行的判定定理、面面平行的性质定理，通过空间向量运算来求解.下面谈一谈证明线面平行的三种方法.一、利用线面平行的判定定理进行证明线面平行的判定定理：如果平面外一条直线与平面内的一条直线平行，那么该直线与该平面平行.利用线面平行的判定定理，可由线线平行推出线面平行.在证明线面平行时，可根据题意和几何图形的特点，添加合适的辅助线，利用中位线的性质、平行四边形的性质寻找或作出平行线，以利用线面平行的判定定理证明线面平行.例1.如图1，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，O为AC的中点，M为PD的中点，证明：PB//平面ACM.证明：如图1，连接MO，BD.在平行四边形ABCD中，O为AC的中点，∴O为BD的中点，∵M为PD的中点，∴MO为ΔPBD的中位线，∴PB//MO，又PB⊄平面ACM，MO⊂平面ACM，∴PB//平面ACM.想要证明PB//平面ACM，需在平面ACM内找到一条与直线PB平行的直线，于是添加辅助线，作出ΔPBD的中位线MO.由三角形中位线的性质可知MO//PB，即可利用线面平行的判定定理证明线面平行.例2.如图2，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为直角梯形，侧棱AP⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD=2BC.若点E为棱PD的中点.求证：CE//平面ABP.证明：如图2所示，取PA的中点F，连接BF，EF，在ΔPAD中，点F，E分别是PA，PD的中点，∴EF为ΔPAD的中位线，∴EF//AD，EF=12AD，∵ AD=2 BC，∴AD//BC，BC=12AD，∴EF//BC，EF=BC，∴四边形EFBC是平行四边形，∴CE//BF，∵CE⊄平面ABP，BF⊂平面ABP，∴CE//平面ABP.通过作辅助线构造出平行四边形EFBC，再利用中位线的性质和平四边形的性质即可证明EF//AD、CE//BF.而CE在平面ABP外，BF在平面ABP内，利用线面平行的判定定理，就能证明CE//平面ABP.例3.如图3，S是平行四边形ABCD外一点，M，N分别是SA、BD上的点，且AMSM=BN ND，求证：MN//平面SDC.证明：连接AN，并延长AN延长线交CD于点P，连接SP，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB//PD，∴ΔABN∽ΔPDN，∴BNND=AN NP，又AMMS=AN NP，∴AMAS=AN AP，∴MN//SP，∵MN⊄平面SDC，SP⊂平面SDC，∴MN//平面SDC.通过作辅助线，构造出两个相似三角形ΔABN与ΔPDN，再根据相似三角形的性质可证明MN//SP.而图1图2图346方法集锦图4三、利用空间向量进行证明若几何图形中有两两垂直的三条线，为坐标轴，建立空间直角坐标系，分别求出直线的方向向量和平面的法向量的方向向量与平面的法向量垂直，平面平行.。

证明三角形中位线的三种方法三角形中位线是一种有趣而又引人入胜的数学概念，它与三角形本身有着密切的关系。

本文将介绍三种证明三角形中位线的方法，并用实例和推理进行阐述。

首先，我们来看看三角形中位线的定义，它是一种经过三角形内部任意一点，使得三角形内部每条边与该点关于中点平分线对称的线段。

例如，给定三角形ABC，令P是三角形内部任一点，则AP对称BC的中点，BP对称AC的中点，CP对称AB的中点，则AP、BP、CP组成的线段为三角形ABC的中位线。

三角形中位线的证明有三种方法：经典方法、向量法和图形法。

首先，经典方法，即使用三角形元素来证明三角形中位线。

平行四边形的定理说明，给定任意一个三角形ABC，若APB和CPC画出两个平行四边形（APBQ和CPCQ），则由于AP=CQ，BP=AQ，CP=BQ，因此三角形ABC的中位线为AP、BP、CP。

其次，向量法，即用矢量来证明三角形中位线。

因为三角形ABC 内任一点P投影到三条边的中点的距离相等，即PA与P和PC、PB与P和PA、PC与P和PB的距离相等，即把三个向量写成式子，PA＝（P －A）/2，PB＝（P－B）/2，PC＝（P－C）/2，从而证明AP、BP、CP 是三角形ABC的中位线。

最后，图形法，即使用图形化解来证明三角形中位线。

若在三角形ABC中取任一内点P，连接AP、BP、CP，可以看到，直线AP、BP、CP垂直交于P，而AP、BP、CP恰好经过三角形ABC的三个顶点，从而证明AP、BP、CP是三角形ABC的中位线。

由上述三种方法可以看出，三角形中位线的确存在，并且可以通过经典方法、向量法和图形法三种方式来证明。

总之，本文简要介绍了三角形中位线的定义，举例说明了三种证明三角形中位线的方法：经典方法、向量法和图形法，说明了用这三种方法都可以证明三角形中位线的存在。

角平分线和线段垂直平分线的性质1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cmm图1DABCA ．2个B ．3个C ．4个D ．1个4．如图4，AD ∥BC ，∠D=90，AP 平分∠DAB ，PB平分∠ABC ，点P 恰好在CD 上，则PD 与PC 的大小关系是（ ）A ．PD>PCB ．PD<PC C ．PD=PCD ．无法判断 。

5、在三角形内部，有一点P 到三角形三个顶点的距离相等，则点P 一定是（ ）A 、三角形三条角平分线的交点；B 、三角形三条垂直平分线的交点；C 、三角形三条中线的交点；D 、三角形三条高的交点。

6、已知△ABC 的三边的垂直平分线交点在△ABC 的边上，则△ABC 的形状为（ ）PDCBA EDCB A DCB AE D CB A图图图图A 、锐角三角形；B 、直角三角形；C 、钝角三角形；D 、不能确定7、如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，BE 平分∠ABC 交AD 于E ，F 在BC 上，并且BF ＝AB ，则下列四个结论：①EF ∥AC ，②∠EFB ＝∠BAD ，③AE ＝EF ，④△ABE ≌△FBE ，其中正确的结论有（ ） A 、①②③④ B 、①③ C 、②④ D 、②③④7题图8题图 9题图 8、如图所示，在ABC 中，∠C ＝90°， AC ＝4㎝，AB ＝7㎝，AD 平分∠BAC 交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，则EB 的长是（ ）A 、3㎝B 、4㎝C 、5㎝DECBADECBAcb aD、不能确定9、随着人们生活水平的不断提高，汽车逐步进入到千家万户，小红的爸爸想在本镇的三条相互交叉的公路（如图所示），建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，这样可供选择的地址有（）处。

(完整版)三角形角平分线、中线、高线证明题2．证题的思路：找夹角（）性质 1、全等三角形的SAS已知两边 找直角（ HL ）对应角相等、对应边相找第三边（ SSS等。

）2、全等三角形的若边为角的对边，则找 随意角（ AAS）找已知角的另一边（ ）已知一边一角SAS 对应边上的 高对应相边为角的邻边 找已知边的对角（）AAS等。

找夹已知边的另一角（）ASA3、全等三角形的找两角的夹边（）对应角均分线相等。

已知两角ASA4、全等三角形的 找随意一边（）AAS对应中线相等。

5、全等三角形面积相等。

6、全等三角形 周长相等。

( 以上能够简称 : 全等三角形的对应元素相等 ) 7、三边对应相等的两个三角形全等。

（ SSS)8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

(SAS) 9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

(ASA)10、两个角和此中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

(AAS)11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

(HL)全等三角形问题中常有的协助线的作法常有协助线的作法有以下几种：1) 碰到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思想模式是全等变换中的“对折” ．2) 碰到三角形的中线，倍长中线，使延伸线段与原中线长相等，结构全等三角形，利用的思想模式是全等变换中的“旋转” ．3) 碰到角均分线，能够自角均分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思想模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点经常是角均分线的性质定理或逆定理． 4) 过图形上某一点作特定的均分线， 结构全等三角形， 利用的思想模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法， 详细做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延伸，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的相关性质加以说明． 这类作法，合适于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特别方法：在求相关三角形的定值一类的问题时， 常把某点到原三角形各极点的线段连结起来，利用三角形面积的知识解答．三角形协助线做法图中有角均分线，可向两边作垂线。

线段、角典型例题(总4页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除2基本的平面图形典型例题与强化训练典型例题：例1、已知线段AB ，延长线段AB 到C ，使BC=23 AB ，反向延长线段AB至D ，使AD=12AB ，P 为线段CD 的中点，已知BP=15cm ，求线段AB 、CD 的长。

例2、如图，C ，D ，E 将线段AB 分成2:3:4:5四部分，M ，P ，Q ，N 分别是AC ，CD ，DE ，EB 的中点，且MN=21，求线段PQ 的长度．例3、已知线段AB=14cm ，在直线AB 上有一点C ，且BC=4cm ，M 是线段AC 的中点，求线段AM 的长．例4、如图所示，∠AOB=90°, ∠BOC=30°,OE 平分∠AOC ，OD 平分∠BOC,求∠DOE 的度数。

(1)若∠AOB=α，其他条件不变，∠DOE 等于多少？(2)若∠BOC=β，其他条件不变，∠DOE 等于多少(3)若∠AOB=α，∠BOC=β，其他条件不变，∠DOE 等于多少？例5、如图，直线AB 、CD 相交于点O ，且∠BOC=80°，OE 平分∠BOC ．OF 为OE 的反向延长线．求∠2和∠3的度数，并说明OF 是否为∠AOD 的平分线．例6、如图，由点O 引出六条射线OA 、OB 、OC 、OD 、OE 、OF ，且∠AOB=90°，OF 平分∠BOC ，OE 平分∠AOD 。

若∠EOF=170°，求∠COD 的度数。

练习：1．下列说法中，错误的是（）A ．经过一点可以作无数条直线B ．经过两点只能作一条直线C ．一条直线只能用一个字母表示D ．线段CD 和线段DC 是同一条线段 2．下列说法中，正确的是（ ）A ．射线AB 和射线BA 是同一条射线 B ．延长射线MN 到CC ．延长线段MN 到P 使NP ＝2MND ．连结两点的线段叫做两点间的距离3.平面上的三条直线最多可将平面分成（ ）部分。

博通教育辅导讲义年级六辅导科目数学学科教师仇钟琦课次数学员姓名费奕文备课时间授课时间课题直线和角的画法主管审核教学目标不使用刻度尺的前提下，来进行直线和角的画图重、难点垂直平分线的、角平分线的画法。

教学内容知识点及例题精讲直线和角的画法一、用圆规、直尺画角已知∠β，用圆规、直尺作出∠COD, 使∠COD=∠β。

解：1、作射线OC；2、∠β的顶点为圆心，以任意长a为半径作弧分别交∠β的两边于点E、F；3、以点O为圆心，以a为半径作弧，交OC于点M；4、以点M为圆心，以EF的长为半径作弧，交前弧于点N；5、经过点N作射线OD。

∠COD就是所求作的角。

练一练1：已知∠ABC，用直尺和圆规画∠DEF=∠ABC练一练2：已知∠AOB，用圆规、直尺作出∠C FD, 使∠C F D =∠AOB。

二、用直尺、圆规作线段的和、差、倍如图,已知线段a、b,1）画出一条线段 , 使它等于a+b2）画出一条线段 , 使它等于a-b3）画出一条线段 , 使它等于2a解1）：①画射线OP; ②在射线OP上顺次截取OA=a,AB=b,线段OB就是所要画的线段.解2）：①画射线OP;②在射线OP上截取OC=a，在射线OC上截取CD=b,线段OD就是所要画的线段.解3）：画射线OP;②在射线OP上顺次截取OA=a , AB=a, 线段OB就是所要画的线段.练一练1：如图,已知线段a、b,1）画出一条线段 , 使它等于2a+b2）画出一条线段 , 使它等于a-2b练一练2：已知线段a，b，c(a＞b＞c)，画一条线段，使它等于2a+3b-c．练一练3：任取线段a、b、c (a<b<c)，画图表示（1）b-a+c ( 2 ) c+a-b练一练4：按下列步骤画图。

已知a.b.c(a>b)，求作线段AB＝a-b+c。

1.作线段AB ，使AB=a,2.以A 为圆心，b 为半径作弧，交AB 于点C3.延长CB,4.以B 为圆心，c 为半径作弧，交CB 延长线于点D CD 即所求的线段 三、直尺圆规作线段中点 作已知线段AB 的中点。

角的平分线的性质（提高）【学习目标】1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．2．掌握角平分线的判定及角平分线的画法．3. 熟练运用角的平分线的性质解决问题．【要点梳理】要点一、角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的性质定理：若CD平分∠ADB，点P是CD上一点，且PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，则PE＝PF.要点二、角的平分线的判定角平分线的判定：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上.要点诠释：用符号语言表示角的平分线的判定：若PE⊥AD于点E，PF⊥BD于点F，PE＝PF，则PD平分∠ADB要点三、角的平分线的尺规作图角平分线的尺规作图（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于E.（2）分别以D、E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C.（3）画射线OC.射线OC即为所求.要点四、三角形角平分线的性质三角形三条角平分线交于三角形内部一点，此点叫做三角形的内心且这一点到三角形三边的距离相等.三角形的一内角平分线和另外两顶点处的外角平分线交于一点.这点叫做三角形的旁心.三角形有三个旁心.所以到三角形三边所在直线距离相等的点共有4个.如图所示：△ABC 的内心为1P ，旁心为234,,P P P ，这四个点到△ABC 三边所在直线距离相等.【典型例题】类型一、角的平分线的性质及判定1、已知：如图，在ABC ∆中，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F. 求证：AE ＝AF ．【答案与解析】证明：∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.∴DE ＝DF （角平分线上的点到角两边的距离相等） 90AED AFD ∠=∠=︒（垂直定义）在Rt AED ∆和Rt AFD ∆中 DE DFAD AD =⎧⎨=⎩∴Rt AED ∆≌Rt AFD ∆（HL ）∴AE AF =【总结升华】先由角平分线的性质得出DE ＝DF ，再证Rt AED ∆≌Rt AFD ∆，即可得出AE ＝AF.分析已知，寻找条件，顺次证明． 举一反三：【变式】如图，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，交AB 的延长线于点E ，DF ⊥AC 于点F ，且DB ＝DC. 求证：BE ＝CF.【答案】证明：∵DE ⊥AE ，DF ⊥AC ，AD 是∠BAC 的平分线， ∴DE ＝DF ，∠BED ＝∠DFC ＝90° 在Rt △BDE 与Rt △CDF 中，DB DCDE DF=⎧⎨=⎩，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF （HL ） ∴BE ＝CF2、如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为F ，DE ＝DG ，△ADG 和△AED 的面积分别为50和39，则△EDF 的面积为：（ ）A.11B.5.5C.7D.3.5【答案】 B ；【解析】解： 过D 点作DH ⊥AC 于H ，∵AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，DH ⊥AC∴DF ＝DH在Rt △EDF 和Rt △GDH 中 DE ＝DG ，DF ＝DH ∴Rt △EDF ≌Rt △GDH同理可证Rt △ADF 和Rt △ADH∴AED EDF ADG GDH S =S S S +-△△△△ ∴EDF ADG AED 2=S S S -△△△＝50－39＝11，∴△EDF 的面积为5.5 【总结升华】本题求△EDF 的面积不方便找底和高，利用全等三角形可用已知△ADG 和△AED 的面积来表示△EDF 面积.【高清课堂：388612 角平分线的性质，例6】3、如图，AC=DB ，△PAC 与△PBD 的面积相等．求证：OP 平分∠AOB ．【思路点拨】观察已知条件中提到的三角形△PAC 与△PBD ，显然与全等无关，而面积相等、底边相等，于是自然想到可得两三角形的高线相等，联系到角平分线判定定理可得. 【答案与解析】证明：作PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB 于N12PAC S AC PM =△∵，12PBD S BD PN=△，且PAC S =△PBD S △ ∴ 12AC PM 12BD PN =又∵AC ＝BD∴PM ＝PN又∵PM ⊥OA ，PN ⊥OB ∴OP 平分∠AOB【总结升华】跟三角形的高结合的题目，有时候用面积会取得意想不到的效果. 类型二、角的平分线的性质综合应用4、如图，P 为△ABC 的外角平分线上任一点.求证：PB ＋PC ≥AB ＋AC.【思路点拨】在BA 的延长线上取AD ＝AC ，证△PAD ≌△PAC ，从而将四条线段转化到同一个△PBD 中，利用三角形两边之和大于第三边解决问题. 【答案与解析】证明：①当点P 与点A 不重合时，在BA 延长线上取一点D ，使AD ＝AC ，连接PD.∵P 为△ABC 的外角平分线上一点，∴∠1＝∠2 ∵在△PAD 和△PAC 中12PA PA AD AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△PAD ≌△PAC （SAS ），∴PD ＝PC∵在△PBD中，PB＋PD＞BD，BD＝AB＋AD∴PB＋PC＞AB＋AC.②当点P与点A重合时，PB＋PC＝AB＋AC.综上，PB＋PC≥AB＋AC.【总结升华】利用角平分线的对称性，在角两边取相同的线段，通过（SAS）构造全等三角形，从而把分散的线段集中到同一个三角形中.举一反三：【变式】如图，DC∥AB，∠BAD和∠ADC的平分线相交于E，过E的直线分别交DC、AB于C、B两点. 求证：AD＝AB＋DC.【答案】证明：在线段AD上取AF＝AB，连接EF，∵AE是∠BAD的角平分线，∴∠1＝∠2，∵AF＝AB AE＝AE，∴△ABE≌△AFE，∴∠B＝∠AFE，由CD∥AB又可得∠C＋∠B＝180°，∴∠AFE＋∠C＝180°，又∵∠DFE＋∠AFE＝180°，∴∠C＝∠DFE，∵DE是∠ADC的平分线，∴∠3＝∠4，又∵DE＝DE，∴△CDE≌△FDE，∴DF＝DC，∵AD＝DF＋AF，∴AD＝AB＋DC．【巩固练习】一.选择题1. 已知，如图AD、BE是△ABC的两条高线，AD与BE交于点O，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，下列结论：（1）CD＝BD, (2)AE＝CE (3)OA＝OB＝OD＝OE (4)AE＋BD＝AB，其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.42. 已知，如图，AB ∥CD ，∠BAC 、∠ACD 的平分线交于点O ，OE ⊥AC 于E ，且OE ＝5cm ，则直线AB 与CD 的距离为（ ）A. 5cmB. 10cmC. 15cmD. 20cm3. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CAB ＝30°，∠ACB 的平分线与∠ABC 的外角平分线交于E 点，则∠AEB ＝（ ）A.50°B.45°C.40° D .35°4. 如图，△ABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，作PR ⊥AB ，PS ⊥AC ，垂足分别是R 、S.若AQ ＝PQ ，PR ＝PS ，下列结论：①AS ＝AR ；②PQ ∥AR ；③△BRP ≌△CSP.其中正确的是（ ）A.①③B.②③C.①②D.①②③5. 如图，△ABC 的三边AB 、BC 、CA 长分别是20、30、40，其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则ABO S △︰BCO S △︰CAO S △等于（ ）A ．1︰1︰1B ．1︰2︰3C ．2︰3︰4D ．3︰4︰56．ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，且CD AC AB +=.若60=∠BAC ，则 ABC ∠的大小为 （ ）A ．40 B ．60 C ．80 D ．100二.填空题7. 在三角形纸片ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，AC ＝3.折叠该纸片，使点A 与点B 重合，折痕与AB 、AC 分别相交于点D 和点E （如图），折痕DE 的长为 .8. 如图，已知在ABC △中，90,,A AB AC CD ∠=︒=平分ACB ∠，DE BC ⊥于E ，若15BC cm =，则DEB △的周长为 cm ．9. 已知如图点D 是△ABC 的两外角平分线的交点，下列说法（1）AD ＝CD (2)D 到AB 、BC 的距离相等 （3）D 到△ABC 的三边的距离相等 （4）点D 在∠B 的平分线上 其中正确的说法的序号是_____________________.10. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，BC＝20cm，DB＝17cm，则D点到AB的距离DE为_________.11．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED＝35°，如图，则∠EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是______．12. 如图，在△ABC中，∠ABC＝100°，∠ACB＝20°，CE平分∠ACB,D为AC上一点，若∠CBD＝20°，则∠CED＝（）三.解答题13．已知：如图，OD平分∠POQ，在OP、OQ边上取OA＝OB，点C在OD上，CM⊥AD于M，CN ⊥BD于N.求证：CM＝CN．14．已知：如图，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD、BE交于O，∠1＝∠2．求证：OB＝OC.15．已知：如图，在ΔABC中，AD是△ABC的角平分线，E、F分别是AB、AC上一点，并且有∠EDF＋∠EAF＝180°．试判断DE和DF的大小关系并说明理由．【答案与解析】一.选择题1.【答案】C；【解析】（1）（2）（4）是正确的.2.【答案】B；【解析】由题意知点O到AC、AB、CD的距离相等，都等于5cm，所以两平行线间的距离为5＋5＝10cm.3.【答案】B；【解析】可证EA是∠CAB外角平分线.过点E作EF、EM、EN分别垂直于CB、AB、CA，并且交点分别为F、M、N，所以EF＝EM＝EN.所以EA是∠CAB的外角平分线.4.【答案】C；【解析】依据角平分线的判定定理知AP平分∠BAC，①正确，因AQ＝PQ，∠PAQ＝∠APQ ＝∠BAP，所以②正确.5.【答案】C；【解析】三角形角平分线的交点到三边的距离相等，面积比就转化为底边的比.6.【答案】A ；【解析】在AB边上截取AE＝AC，连接DE，可证△ACD≌△AED，可推出CD＝DE＝BE，2∠B＝∠C，所以∠B＝40°.二.填空题7. 【答案】1；【解析】由题意设DE ＝CE ＝x ，BC ＝BD ＝AD，AE ＝2x ，AC ＝3x ＝3，x ＝1. 8. 【答案】15；【解析】BC ＝CE ＋BE ＝AC ＋BE ＝AB ＋BE ＝AD ＋BD ＋BE ＝DE ＋BD ＋BE ＝15cm . 9. 【答案】 (2)(3)(4)； 10.【答案】3cm ；【解析】由角平分线的性质可得DC ＝DE ，DE ＝20－17＝3cm . 11.【答案】35°；【解析】作EF ⊥AD 于F ，证△DCE ≌△DFE （HL ），再证△AFE ≌△ABE （HL ），可得∠FEB＝180°－70°＝110°，∠AEB ＝55°，∠EAB ＝35°. 12.【答案】10°；【解析】考虑△BDC 中， EC 是∠C 的平分线， EB 是∠B 的外角平分线， 所以E 是△BDC的一个旁心， 于是ED 平分∠BDA. ∠CED ＝ ∠ADE － ∠DCE ＝12∠ADB － 12∠DCB ＝12∠DBC ＝ 12×20°＝ 10°. 三.解答题13.【解析】证明：∵OD 平分∠POQ∴∠AOD ＝∠BOD 在△AOD 与△BOD 中OA OB AOD BOD OD OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AOD ≌△BOD （SAS ） ∴∠ADO ＝∠BDO又∵CM ⊥AD 于M ，CN ⊥BD 于N.∴CM ＝CN （角平分线上的点到角两边的距离相等）. 14.【解析】证明：∵CD ⊥AB ，BE ⊥AC ，∠1＝∠2． ∴OD ＝OE在Rt △ADO 与Rt △AEO 中， OD OEAO AO=⎧⎨=⎩∴Rt △ADO ≌Rt △AEO （HL ） ∴AD ＝AE在Rt △ADC 与Rt △AEB 中，DAC EAB AD AEADC AEB ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴Rt △ADC ≌Rt △AEB （ASA ）∴CD ＝BE∴CD －OD ＝BE －OE ，即OC ＝OB.15.【解析】DE ＝DF.证明：过点D 作DM ⊥AB 于M ，DN ⊥AC 于N ，∵AD 是△ABC 的角平分线，∴DM ＝DN∵∠EDF ＋∠EAF ＝180°，即∠2＋∠3＋∠4＋∠EAF ＝180° 又∵∠1＋∠2＋∠3＋∠EAF ＝180°∴∠1＝∠4在Rt △DEM 与Rt △DFN 中14DM DN EMD FND∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴Rt △DEM ≌Rt △DFN （ASA ）∴DE ＝DF。

B ACDEF 第1讲 全等三角形地性质与判定考点·方式·破译1．能够完全重合地两个三角形叫全等三角形.全等三角形地形状和大小完全相同。

2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等,对应角相等。

②全等三角形对应高，角平分线，中线相等。

③全等三角形对应周长相等,面积相等。

3．全等三角形判定方式有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ,对于两个直角三角形全等地判定方式,除上述方式外,还有HL 法。

4．证明两个三角形全等地关键,就是证明两个三角形满足判定方式中地三个款件,具体思路步骤是先找出两个三角形中相等地边或角,再由选定地判定方式,确定还需要证明哪些相等地边或角,再设法对它们进行证明。

5．．证明两个三角形全等,由款件,有时能直接进行证明,有时要证地两个三角形并不全等,这时需要添加辅助线构造全等三角形,构造全等三角形常用地方式有：平移，翻折，旋转，等倍延长线中线，截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图,AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ,那么图中有全等三角形（ ）A ．5对B ．4对C ．3对D ．2对【解法指导】从题设题设款件出发,首先找到比较明显地一对全等三角形,并由此推出结论作为下面有用地款件,从而推出第二对,第三对全等三角形.这种逐步推进地方式常用到.解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90. 在△ABC 和△DCB 中AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D ⑵在△ABE 和△DCE 中A DAED DEC AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE ⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中BE CEEF EF =⎧⎨=⎩∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C .【变式题组】01．（天津）下面判断中错误地是（ ）A ．有两角和一边对应相等地两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等地两个三角形全等C ．有两边和其中一边上地中线对应相等地两个三角形全等AFCEDBD ．有一边对应相等地两个等边三角形全等02．（丽水）已知命题：如图,点A ，D ，B ，E 在同一款直线上,且AD ＝BE ,∠A ＝∠FDE ,则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题,假如是真命题,请给出证明。

期末复习：线段和角的有关计算教学目标：1．知识目标：通过不同层次数学问题的设置，让学生掌握线段和角的有关计算，体会线段中点和角平分线定义的应用。

2．能力目标：通过探究、交流、反思等活动，发现图形中蕴含的一般规律，体会类比的方法（线段中点和角的平分线进行类比），由特殊到一般的数学思想方法，分类讨论的数学思想，提高分析和解决问题的能力。

3．情感目标：培养学生勤于思考、乐于探究的学习习惯，通过学生的自主探究发现规律，培养学生对数学的兴趣。

教学重难点：重点：线段、角的有关计算，中点、角平分线定义的应用。

难点：线段、角有关规律性结论的说理。

一、课前热身，引入课题问题1：已知线段AB＝5cm，C为线段AB上一点，且BC＝3cm，则线段AC＝ cm。

答案：2cm，（说明：C的位置唯一确定）问题2：已知线段AB＝5cm，C为直线AB上一点，且BC＝3cm，则线段AC＝ cm。

答案：2cm或8cm，（说明：C的位置不唯一确定，有两种可能性，故答案有两个）问题3：已知∠AOB＝50°， OC为∠AOB内一射线，且∠BOC=30°，则∠AOC＝°。

答案：20°（说明：射线OC的位置唯一确定）问题4：已知∠AOB＝50°，∠BOC=30°，则∠AOC＝°。

答案：20°或80°（说明：射线OC的位置不唯一确定，有两种可能性，故答案有两个）今天我们复习线段和角的有关计算：二、问题探究，探寻规律例1如图，已知线段AB=10cm，C为线段AB上一点，M、N分别为AC、BC的中点，（1）若BC＝4cm，求MN的长，（2）若BC＝6cm，求MN的长，（3）若BC＝8cm，求MN的长，（4）若C为线段AB上任一点，你能求MN的长吗？请写出结论，并说明理由。

例2如图，已知∠AOB＝90°，OM，ON分别平分∠AOC和∠BOC，（1）若∠AOC＝30°，求∠MON的度数，（2）若∠BOC＝50°，求∠MON的度数，（3）由（1）（2）你发现了什么，请写出结论，并说明理由。