2020高考数学一轮复习 第9章第2节 简单几何体的表面积和体积课件 文 新课标版 精品

(4)球的表面积公式S＝
(其中R为球半
径)．
4πR2
2．几何体的体积公式 (1)柱体的体积公式V＝___S_h(其中S为底面面积， h为高)．
(2)锥体的体积公式 V＝13Sh(其中 S 为底面面积，h 为高)． (3)台体的体积公式 V＝13(S＋ SS′＋S′)h(其中 S′、S 为上、下底面面积，h 为高)．
S棱柱侧＝c直截l(其中c直截、l分别为棱柱的直 截面周长与侧棱长)．
3．圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 的计算
(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们 侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形 状及侧面展开图中各线段与原几何体的关系是 掌握它们的面积公式及解决相关问题的关键．
(2)计算柱体、锥体、台体的体积关键是根 据条件求出相应的底面面积和高，要充分利用 多面体的截面及旋转体的轴截面，将空间问题 转化为平面问题．
解：如图所示， 过 C 作 CO1⊥AB 于 O1. 在半圆中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R， 所以 AC＝ 3R，BC＝R，CO1＝ 23R， 所以 S 球＝4πR2，S 圆锥 AO1 侧＝π× 23R× 3R＝32πR2， S 圆锥 BO1 侧＝π× 23R×R＝ 23πR2，
过 BC 作 EF 的直截面 BCG，
作面 ADM∥面 BCG，
则 FO＝ 23，FG＝12，
所以 GO＝ FO2－FG2＝ 22，
所以
S△BCG＝12×1×
22＝
2 4.
V1＝VBCG－ADM＝S△BCG·AB＝ 42， V2＝2VF－BCG＝2×13× 42×12＝122， 所以 V 总＝V1＋V2＝ 32.选 A.
答案：A
【即时巩固1】 一几何体的三视图如图所 示(单位：m)：
(1)试画出它的直观图；
(2)求它的表面积和体积．
解：(1)直观图如图所示：
(2)方法一：由三视图可知该几何体是长方体被截去一个 角，且该几何体的体积是以 A1A，A1D1，A1B1 为棱的长方体 的体积的34，
在直角梯形AA1B1B中，作BE⊥A1B1于E， 则AA1EB是正方形，所以AA1＝BE＝1.
所以 S ＝S 几何体表 球＋S 圆锥 AO1 侧＋S 圆锥 BO1 侧 ＝4πR2＋32πR2＋ 23πR2＝11＋2 3πR2， 所以旋转所得到的几何体的表面积为11＋2 3πR2. 又 V 球＝43πR3， V 圆锥 AO1＝13·AO1·π·CO21＝14πR2·AO1，
解析：由三视图可知，此几何体是由同底面的两个相同 的圆锥组成的，这两个圆锥的母线长为 2，底面半径为 1.所 以表面积 S＝2×12×2×2π＝4π.
答案：B
1．平行于棱锥底面的截面的性质 棱锥与平行于底面的截面所构成的小棱锥， 有如下比例性质：
SS小 大锥 锥底 底＝SS小 大锥 锥全 全面 面积 积＝SS小 大锥 锥侧 侧＝对应线段(如高、斜高、底面边长
锥组成的，底面正方形的边长为
1，每一个正四棱锥的高为
2 2.
所以
V＝2×13×12×
22＝
2 3.
答案：B
4．如图，一个空间几何体的正(主)视图， 侧(左)视图都是周长为8，一个内角为60°的菱 形及其一条对角线，俯视图是圆及其圆心，那 么这个几何体的表面积为( )
A．5π
B．4π C．3π
D．2π
(即时巩固详解为教师用书独有)
考点一 多面体的表面积与体积
【案例1】 如图，在多面体ABCDEF中， 已 知 ABCD 是 边 长 为 1 的 正 方 形 ， 且 △ADE 、 △BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该 多面体的体积为( )
2 A. 3
3 B. 3
4
3
C.3
D.2
解析：如图所示，
等)的平方之比．
注：这个比例关系很重要，在求锥体的侧 面积、底面积的比时，会大大简化计算过程； 在求台体的侧面积、底面积的比时，将台体补 成锥体，也可应用这个关系式．
2．有关棱柱直截面的补充知识
在棱柱中，与各侧棱均垂直的截面叫做棱 柱的直截面，正棱柱的上、下底面就是直截 面．棱柱的侧面积与截面周长有如下关系：
A．4πS
B．2πS
C．πS
23 D. 3 πS
解析：底面半径是 Sπ，所以正方形的边长是 2π Sπ＝
2 πS.故圆柱的侧面积是(2 πS)2＝4πS.
答案：A
3．若正方体的棱长为 2，则以该正方体各个面的中心 为顶点的凸多面体的体积为( )
2 A. 6
2 B. 3
3
2
C. 3
D.3
解析：由题意可知，此几何体是由同底面的两个正四棱
(4)球的体积公式 V＝43πR3(其中 R 为球半径)．
1．已知某球的体积大小等于其表面积大小， 则此球的半径是( )
A. 3 C．4
B．3 D．5
Байду номын сангаас
解析：设球半径为 R，则43πR3＝4πR2，所以 R＝3.
答案：B
2．圆柱的一个底面面积是S，侧面展开图 是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是( )
1．旋转体的表面积
(1)圆柱的表面积S＝ 2πr2＋2πrl ( 其 中 r 为底面半径，l为母线长)．
(2)圆锥的表面积S＝ πr2＋πrl (其中r为底 面半径，l为母线长)．
(3) 圆 台 的 表 面积 公 式 S＝ π(r′2 ＋ r2 ＋ r′l ＋ rl)(其中r′、r为上、下底面半径，l为母线长)．
在 Rt△BEB1 中，BE＝1，EB1＝1，所以 BB1＝ 2. 所以几何体的表面积 S＝S 正方形 AA1D1D＋2S 梯形 AA1B1B＋S 矩形 BB1C1C＋S 正方形 ABCD＋S
矩形 A1B1C1D1
＝1＋2×12×(1＋2)×1＋1× 2＋1＋1×2 ＝7＋ 2(m2)． 所以几何体的体积 V＝34×1×2×1＝32(m3)， 所以该几何体的表面积为(7＋ 2)m2，体积为32m3.
方法二：几何体也可以看作是以AA1B1B为 底面的直四棱柱，其表面积求法同方法一，
V 直四棱柱 D1C1CD—A1B1BA＝Sh＝12×(1＋2)×1×1＝
32(m3)．
所以几何体的表面积为(7＋ 2) m2，体积为32m3.
考点二 旋转体的表面积与体积
【案例2】 如图所示，半径为R的半圆内 的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周 得到一几何体，求该几何体的表面积(其中 ∠BAC＝30°)及其体积．