最新人教版高一数学必修一-第一章-知识点与习题讲解名师资料汇编

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(新教材)部编人教版高中数学必修一第一章课后练习和习题汇总(附答案)

（新教材）部编人教版高中数学必修一第一章课后练习和习题汇总（附答案）目录第一章集合与常用逻辑用语.1.1 集合的概念1.2 集合间的基本关系1.3集合的基本运算1.4 充分条件与必要条件1.5全称量词与存在量小结复习参考题1第一章集合与常用逻辑用语1.1集合的概念练习1.判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由:(1)与定点A，B等距离的点;【答案解析】：是集合，因为这些点有确定性.(2)高中学生中的游泳能手.【答案解析】：不是，因为是否能手没有客观性，不好确定.2.用符号“∈”或“∉”填空:0___ N; -3___ N; 0.5__Z; √2__z; ⅓__Q; π__R.【答案解析】：根据自然数,整数,有理数,实数的定义即可判断.0是自然数,则0∈N ;-3不是自然数,则-3∉N ; 0.5,√2 不是整数，则0.5∉Z，√2∉Z;⅓是有理数,则⅓∈Q ;π 是无理数，则π∈R故答案为:(1)∈;(2)∉ ;(3)∉ ;(4)∉ ;(5)∈ ;(6)∈3.用适当的方法表示下列集合:(1)由方程x²-9=0的所有实数根组成的集合;【答案解析】：{-3, 3}.(2)一次函数y=x+3与y=-2x+6图象的交点组成的集合;【答案解析】： {(1, 4)}.(3)不等式4x- 5<3的解集.【答案解析】：{x | x<2}.习题1.1一、复习巩固1.用符号“∈”或“∉”填空:(1)设A为所有亚洲国家组成的集合，则中国____ A,美国____A，印度____A,英国____ A;【答案解析】：设A为所有亚洲国家组成的集合，则:中国∈A，美国∉A,印度∈A，英国∉A.(2)若A={x|x²=x},则-1____A;【答案解析】：A={x|x²=x}={0, 1},则-1∉A.(3)若B={x|x²+x-6=0}，则3____B;【答案解析】：若B={x|x²+x-6=0}={x|(x+3)(x-2)=0}={-3，2}，则3∉B; (4)若C={x∈N|1≤x≤10},则8____C, 9.1____C.【答案解析】：若C={x∈N|1≤x≤10}={1, 2, 3,4，5, 6，7, 8，9，10}，则8∈C, 9.1∉C.2.用列举法表示下列集合:(1)大于1且小于6的整数;【答案解析】：大于1且小于6的整数有4个:2,3,4,5,所以集合为{2,3,4,5}.(2) A={x|(x-1)(x +2)=0};【答案解析】：(x- 1)(x+2)=0的解为x=1或x=-2,所以集合为{1, -2}.(3) B={x∈Z|-3<2x-1<3}.【答案解析】：由-3<2x-1<3,得-1<x<2.又因为x∈Z,所以x=0.或x=1,所以集合为{0,1}.二、综合运用3.把下列集合用另一种方法表示出来:(1) {2，4，6，8, 10};【答案解析】：{x |x=2k, k=1, 2, 3, 4, 5}.(2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的一切自然数;【答案解析】：{1, 2, 3, 12, 21, 13, 31, 23, 32, 123, 132, 213, 231, 312, 321}.(3) {x∈N|3<x<7};【答案解析】：{4, 5, 6}.(4)中国古代四大发明.【答案解析】：{指南针，活字印刷，造纸术，火药}.4.用适当的方法表示下列集合:(1)二次函数y=x²-4的函数值组成的集合;【答案解析】： {y | y≥-4}.(2)反比例函数y=2/x的自变量组成的集合;【答案解析】：{x | x≠0}.(3)不等式3x≥4- 2x的解集.【答案解析】：{x |x≥4/5}.三、拓广探索5.集合论是德国数学家康托尔于19 世纪末创立的.当时，康托尔在解决涉及无限量研究的数学问题时，越过“数集”限制，提出了一般性的“集合”概念.关于集合论，希尔伯特赞誉其为“数学思想的惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”，罗素描述其为“可能是这个时代所能夸耀的最伟大的工作”.请你查阅相关资料，用简短的报告阐述你对这些评价的认识.【答案解析】：略.1.2 集合间的基本关系练习1.写出集合{a, b，c}的所有子集.【答案解析】由0个元素构成的子集: ∅;由1个元素构成的子集: {a}, {b}, {c};由2个元素构成的子集: {a, b}, {a,c}, {b, c};由3个元素构成的子集: {a, b, c};综上，可得集合{a，b, c}的所有子集有: 0, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a,c}, {b, c}, {a, b, c}.2.用适当的符号填空:(1) a__ {a，b，c}; (2) 0__ {x|x²=0};(3) B___ {x∈R|x²+1=0}; (4) {0，1}___N(5) {0}___ {x|x²=x}; (6) {2, 1}___{x|x²-3x+2=0}.【答案解析】：（1）∈；（2）=；（3）=；（4）⊆；（5）⊆；（6）=.3.判断下列两个集合之间的关系:(1) A={x|x<0}， B={x|x<l};(2) A={x|x=3k，k∈N}，B={x|x=6z，z∈N};(3) A={x∈N₋|x是4与10的公倍数}，B={x|x=20m, m∈N₊}.【答案解析】：⫋A B B A A=B习题1.2一、复习巩固1.选用适当的符号填空:(1)若集合A={x|2x-3<3x}, B={x|x≥2},则-4___B，-3___ A， {2}___B，B___ A；【答案解析】：∵集合A= {x|2x-3< 3x}= {x|x>-3},B = {x|x≥2}，则∴-4∉B,-3∉A,{2}B，B A.故答案为:∉，∉,，。

人教版高中数学必修1-第一章知识点知识点归纳[最新版]

知识点总结归纳【最新版】适用于老师、学生、家长一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

2、集合中元素的三个特性：1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性3、集合的表示：{ …} 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}2．集合的表示方法：列举法与描述法。

非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R3.关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作a∈A ，相反，a不属于集合A 记作a∉A•列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

•描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2}•4、集合的分类：（1）有限集含有有限个元素的集合（2）无限集含有无限个元素的集合（3）空集不含任何元素的集合例：二、集合间的基本关系• 1.“包含”关系—子集注意：有两种可能（1）A是B的一部分；（2）A与B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A ⊆B或B ⊇A•2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设A= B={-1,1} “元素相同”结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B①子集：任何一个集合是它本身的子集。

A⊆A②真子集:如果A⊆B,且B⊄A那就说集合A是集合B的真子集，记作A⊈B(或B⊉A)③如果A⊆B, B⊆C ,那么A⊆C④如果A⊆B 同时B⊆A 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

高一数学必修一-第一章-知识点与习题讲解

必修1第一章集合与函数基础知识点整理第1讲 §1.1.1 集合的含义与表示¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.¤知识要点：1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈}，既要关注代表元素x ，也要把握其属性()P x ，适用于无限集.3. 通常用大写拉丁字母,,,A B C ⋅⋅⋅表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集*N 或N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R .4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to ）与不属于（not belong to ），分别用符号∈、∉表示，例如3N ∈，2N -∉.¤例题精讲：【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）由方程2(23)0x x x --=的所有实数根组成的集合；（2）大于2且小于7的整数. 解：（1）用描述法表示为：2{|(23)0}x R x x x ∈--=；用列举法表示为{0,1,3}-.（2）用描述法表示为：{|27}x Z x ∈<<；用列举法表示为{3,4,5,6}.【例2】用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有： 17 A ；－5 A ； 17 B .解：由3217k +=，解得5k Z =∈，所以17A ∈；由325k +=-，解得73k Z =∉，所以5A -∉；由6117m -=，解得3m Z =∈，所以17B ∈.【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P 6 练习题2， P 13 A 组题4）（1）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合；（2）二次函数24y x =-的函数值组成的集合；（3）反比例函数2y x =的自变量的值组成的集合. 解：（1）3{(,)|}{(1,4)}26y x x y y x =+⎧=⎨=-+⎩. （2）2{|4}{|4}y y x y y =-=≥-. （3）2{|}{|0}x y x x x==≠.点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量. 在解题中不能把点的坐标混淆为{1,4}，也注意对比（2）与（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心.*【例4】已知集合2{|1}2x aA a x +==-有唯一实数解，试用列举法表示集合A ．解：化方程212x ax +=-为：2(2)0x x a --+=．应分以下三种情况：⑴方程有等根且不是 △=0，得94a =-，此时的解为12x =，合．，而另一解不是x 代入得a =1x =⑶方程有一解为：将x =a =1x =，合．综上可知，9{,4A =-．点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示. 注意分式方程易造成增根的现象.A BBA AB A BA ．B ．C ．D ．第2讲 §1.1.2 集合间的基本关系¤学习目标：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义；能利用Venn 图表达集合间的关系.¤知识要点：1. 一般地，对于两个集合A 、B ，如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合A 是集合B 的子集（subset ），记作A B ⊆（或B A ⊇），读作“A 含于B ”（或“B 包含A ”）.2. 如果集合A 是集合B 的子集（A B ⊆），且集合B 是集合A 的子集（B A ⊇），即集合A 与集合B 的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，记作A B =.3. 如果集合A B ⊆，但存在元素x B ∈，且x A ∉，则称集合A 是集合B 的真子集（proper subset ），记作A ≠⊂B （或B ≠⊃A ）.4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set ），记作∅，并规定空集是任何集合的子集.5. 性质：A A ⊆；若A B ⊆，B C ⊆，则A C ⊆；若A B A =，则A B ⊆；若A B A =，则B A ⊆. ¤例题精讲：【例1】用适当的符号填空：（1）{菱形} {平行四边形}； {等腰三角形} {等边三角形}.（2）∅ 2{|20}x R x ∈+=； 0 {0}；∅ {0}； N {0}. 解：（1），；（2）=， ∈，，. 【例2】设集合1,,}22{|,{|n n x n n A x x B x =∈=+∈==Z}Z ，则下列图形能表示A 与B 关系的是（）. 解：简单列举两个集合的一些元素，3113{,1,,0,,1,,}2222A =⋅⋅⋅---⋅⋅⋅，3113{,,,,,}2222B =⋅⋅⋅--⋅⋅⋅，易知B ≠⊂A ，故答案选A ．另解：由21,}2{|n x n B x +=∈=Z ，易知B ≠⊂A ，故答案选A ．【例3】若集合{}{}2|60,|10M x x x N x ax =+-==-=，且N M ⊆，求实数a 的值.解：由26023x x x +-=⇒=-或，因此，{}2,3M =-. （i ）若0a =时，得N =∅，此时，N M ⊆；（ii ）若0a ≠时，得1{}N a =. 若N M ⊆,满足1123a a ==-或，解得1123a a ==-或. 故所求实数a 的值为0或12或13-. 点评：在考察“A B ⊆”这一关系时，不要忘记“∅” ，因为A =∅时存在A B ⊆. 从而需要分情况讨论. 题中讨论的主线是依据待定的元素进行.【例4】已知集合A ={a ,a +b ,a +2b }，B ={a ,ax ,ax 2}. 若A =B ，求实数x 的值.解：若22a b axa b ax+=⎧⎨+=⎩⇒a +ax 2-2ax =0, 所以a (x -1)2=0，即a =0或x =1. 当a =0时，集合B 中的元素均为0，故舍去；当x =1时，集合B 中的元素均相同，故舍去.若22a b ax a b ax⎧+=⎨+=⎩⇒2ax 2-ax -a =0. 因为a ≠0，所以2x 2-x -1=0, 即(x -1)(2x +1)=0. 又x ≠1，所以只有12x =-. 经检验，此时A =B 成立. 综上所述12x =-. 点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论. 融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.第3讲 §1.1.3 集合的基本运算（一）¤学习目标：理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用.¤知识要点：集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而达到掌握的B （读作“B （读作“解：在数轴上表示出集合A 、B ，如右图所示： {|35}A B x x =<≤，(){|1,9}U C AB x x x =<-≥或，【例2】设{|||6}A x Z x =∈≤，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求：（1）()A B C ；（2）()A A B C ð.解：{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A =------.（1）又{}3B C =，∴()A B C ={}3；（2）又{}1,2,3,4,5,6BC =，得{}()6,5,4,3,2,1,0A C BC =------.∴ ()A A C BC {}6,5,4,3,2,1,0=------.【例3】已知集合{|24}A x x =-<<，{|}B x x m =≤，且A B A =，求实数m 的取值范围.解：由A B A =，可得A B ⊆.在数轴上表示集合A 与集合B ，如右图所示：由图形可知，4m ≥.点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关系，得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题.【例4】已知全集*{|10,}U x x x N =<∈且，{2,4,5,8}A =，{1,3,5,8}B =，求()U C A B ，()U C AB ，()()U U C A C B ， ()()U U C A C B ，并比较它们的关系.解：由{1,2,3,4,5,8}A B =，则(){6,7,9}U C AB =.由{5,8}AB =，则(){1,2,3,4,6,7,9}UC A B =由{1,3,6,7,9}U C A =，{2,4,6,7,9}U C B =，则()(){6,7,9}U U C A C B =，()(){1,2,3,4,6,7,9}U U C A C B =.由计算结果可以知道，()()()U U U C A C B C AB =，()()()U U U C A C B C A B =.另解：作出Venn 图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果.点评：可用Venn 图研究()()()U U U C A C B C A B =与()()()U U U C A C B C AB = ，在理解的基础记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.第4讲 §1.1.3 集合的基本运算（二）¤学习目标：掌握集合、交集、并集、补集的有关性质，运行性质解决一些简单的问题；掌握集合运算中的一些数学思想方法.¤知识要点：1. 含两个集合的Venn 图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果. 我们需通过Venn 图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图形，我们还可以发现一些集合性质：()()()U U U C A B C A C B =,()()()U U U C A B C A C B =.2. 集合元素个数公式：()()()()n A B n A n B n A B =+-.3. 在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等. 也常由新的定义考查创新思维. ¤例题精讲：【例1】设集合{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--，若{}9A B =，求实数a 的值.解：由于{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--，且{}9AB =，则有：当219 a -＝时，解得5a ＝，此时={4, 9, 25}={9, 0, 4}A B －，－，不合题意，故舍去；当29a ＝时，解得33a ＝或－.3 ={4,5,9} ={9,2,2}a A B ＝时，－，－－，不合题意，故舍去； 3={4, 7 9}={9, 8, 4}a A B ＝－，－－，，－，合题意.所以，3a ＝－.【例2】设集合{|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求AB , AB .（教材P 14 B 组题2）解：{1,4}B =.当3a =时，{3}A =，则{1,3,4}AB =，A B =∅；当1a =时，{1,3}A =，则{1,3,4}A B =，{1}A B =；当4a =时，{3,4}A =，则{1,3,4}A B =，{4}A B =；当3a ≠且1a ≠且4a ≠时，{3,}A a =，则{1,3,4,}A B a =，A B =∅.点评：集合A 含有参数a ，需要对参数a 进行分情况讨论. 罗列参数a 的各种情况时，需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原则.【例3】设集合A ={x |240x x +=}， B ={x |222(1)10x a x a +++-=，a R ∈}，若A B =B ，求实数a 的值．解：先化简集合A ={4,0}-. 由A B =B ，则B ⊆A ，可知集合B 可为∅，或为{0}，或{－4}，或{4,0}-. (i )若B =∅，则224(1)4(1)0a a ∆=+--<，解得a ＜1-； (ii )若0∈B ，代入得2a 1-=0⇒a =1或a =1-，当a =1时，B =A ，符合题意；当a =1-时，B ={0}⊆A ，也符合题意．(iii )若－4∈B ，代入得2870a a -+=⇒a =7或a =1，当a =1时，已经讨论，符合题意；当a =7时，B ={－12，－4}，不符合题意．综上可得，a =1或a ≤1-．点评：此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用. 通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法．解该题时，特别容易出现的错误是遗漏了A =B 和B =∅的情形，从而造成错误．这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.【例4】对集合A 与B ，若定义{|,}A B x x A x B -=∈∉且，当集合*{|8,}A x x x N =≤∈，集合{|(2)(5)(6)0}B x x x x x =---=时，有A B -= . （由教材P 12 补集定义“集合A 相对于全集U 的补集为{|,}U C A x x x A =∈∉且”而拓展）解：根据题意可知，{1,2,3,4,5,6,7,8}A =，{0,2,5,6}B =由定义{|,}A B x x A x B -=∈∉且，则{1,3,4,7,8}A B -=.点评：运用新定义解题是学习能力的发展，也是一种创新思维的训练，关键是理解定义的实质性内涵，这里新定义的含义是从A 中排除B 的元素. 如果再给定全集U ，则A B -也相当于()U AC B .第5讲 §1.2.1 函数的概念¤学习目标：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域.¤知识要点：1. 设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作y =()f x ，x A ∈．其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）.2. 设a 、b 是两个实数，且a <b ，则：{x |a ≤x ≤b }＝[a ,b ] 叫闭区间； {x |a <x <b }＝(a ,b ) 叫开区间； {x |a ≤x <b }＝[,)a b ， {x |a <x ≤b }＝(,]a b ，都叫半开半闭区间.符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”. 则{|}(,)x x a a >=+∞，{|}[,)x x a a ≥=+∞，{|}(,)x x b b <=-∞，{|}(,]x x b b ≤=-∞，(,)R =-∞+∞.3. 决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数.¤例题精讲：【例1】求下列函数的定义域：（1）121y x =+-；（2）y =.解：（1）由210x +-≠，解得1x ≠-且3x ≠-，所以原函数定义域为(,3)(3,1)(1,)-∞----+∞.（2）由3020x -≥⎧⎪≠，解得3x ≥且9x ≠，所以原函数定义域为[3,9)(9,)+∞.【例2】求下列函数的定义域与值域：（1）3254x y x+=-；（2）22y x x =-++. 解：（1）要使函数有意义，则540x -≠，解得54x ≠. 所以原函数的定义域是5{|}4x x ≠.32112813(45)233233305445445445444x x x y x x x x ++-+==⨯=⨯=-+≠-+=-----，所以值域为3{|}4y y ≠-.（2）22192()24y x x x =-++=--+. 所以原函数的定义域是R ，值域是9(,]4-∞.【例3】已知函数1()1xf x x-=+. 求：（1）(2)f 的值；（2）()f x 的表达式解：（1）由121x x -=+，解得13x =-，所以1(2)3f =-.（2）设11x t x -=+，解得11t x t -=+，所以1()1t f t t -=+，即1()1xf x x-=+. 点评：此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等.【例4】已知函数22(),1x f x x R x =∈+. （1）求1()()f x f x +的值；（2）计算：111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++.解：（1）由2222222221111()()1111111x x x x f x f x x x x x x ++=+=+==+++++.（2）原式11117(1)((2)())((3)())((4)())323422f f f f f f f =++++++=+=点评：对规律的发现，能使我们实施巧算. 正确探索出前一问的结论，是解答后一问的关键.第6讲 §1.2.2 函数的表示法¤学习目标：在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（图象法、列表法、解析法）表示函数；通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；了解映射的概念.¤知识要点：1. 函数有三种表示方法：解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反应变化趋势）；列表法（列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值）.2. 分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x ，对应法则不同）.3. 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“:f A B →”.判别一个对应是否映射的关键：A 中任意，B 中唯一；对应法则f . ¤例题精讲：【例1】如图，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V 以x 为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______．解：盒子的高为x ，长、宽为2a x －，所以体积为V ＝2(2)x a x －.又由20a x >－，解得2a x <. 所以，体积V 以x 为自变量的函数式是2(2)V x a x =－，定义域为{|0}2a x x <<.【例2】已知f(x )=33x x-+⎪⎩ (,1)(1,)x x ∈-∞∈+∞，求f [f (0)]的值.解：∵ 0(,1)∈-∞，∴ f .又 ∵，∴ f3-3=2+12=52，即f [f (0)]=52. 【例3】画出下列函数的图象：（1）|2|y x =-；（教材P 26 练习题3）（2）|1||24|y x x =-++.解：（1）由绝对值的概念，有2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩.所以，函数|2|y x =-的图象如右图所示.（2）33,1|1||24|5,2133,2x x y x x x x x x +>⎧⎪=-++=+-≤≤⎨⎪--<-⎩，所以，函数|1||24|y x x =-++的图象如右图所示.点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象.【例4】函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，当( 2.5,3]x ∈-时，写出()f x 的解析式，并作出函数的图象.解：3, 2.522,211,10()0,011,122,233,3x x x f x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪--≤<⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪=⎩. 函数图象如右：点评：解题关键是理解符号[]m 的概念，抓住分段函数的对应函数式.第7讲 §1.3.1 函数的单调性¤学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解增区间、减区间等概念，掌握增（减）函数的证明和判别.¤知识要点：1. 增函数：设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说f (x )在区间D 上是增函数（increasing function ）. 仿照增函数的定义可定义减函数.2. 如果函数f (x )在某个区间D 上是增函数或减函数，就说f (x )在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D叫f(x)的单调区间. 在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的（如右图1），减函数的图象从左向右是下降的（如右图2）. 由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.3. 判断单调性的步骤：设x 1、x 2∈给定区间，且x 1<x 2；→计算f (x 1)－f (x 2) →判断符号→下结论.¤例题精讲：【例1】试用函数单调性的定义判断函数2()1xf x x =-在区间（0，1）上的单调性. 解：任取12,x x ∈(0,1)，且12x x <. 则1221121212222()()()11(1)(1)x x x x f x f x x x x x --=-=----. 由于1201x x <<<，110x -<，210x -<，210x x ->，故12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >.所以，函数2()1xf x x =-在（0，1）上是减函数.【例2】求二次函数2()(0)f x ax bx c a =++<的单调区间及单调性.解：设任意12,x x R ∈，且12x x <. 则22121122()()()()f x f x ax bx c ax bx c -=++-++221212()()a x x b x x =-+-1212()[()]x x a x x b =-++.若0a <，当122b x x a <≤-时，有120x x -<，12bx x a+<-，即12()0a x x b ++>，从而12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以()f x 在(,]2b a -∞-上单调递增. 同理可得()f x 在[,)2ba-+∞上单调递减.【例3】求下列函数的单调区间：（1）|1||24|y x x =-++；（2）22||3y x x =-++.解：（1）33,1|1||24|5,2133,2x x y x x x x x x +>⎧⎪=-++=+-≤≤⎨⎪--<-⎩，其图象如右.由图可知，函数在[2,)-+∞上是增函数，在(,2]-∞-上是减函数.（2）22223,02||323,0x x x y x x x x x ⎧-++≥⎪=-++=⎨--+<⎪⎩，其图象如右.由图可知，函数在(,1]-∞-、[0,1]上是增函数，在[1,0]-、[1,)+∞上是减函数.点评：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数. 第2小题也可以由偶函数的对称性，先作y 轴右侧的图象，并把y 轴右侧的图象对折到左侧，得到(||)f x 的图象. 由图象研究单调性，关键在于正确作出函数图象.【例4】已知31()2x f x x +=+，指出()f x 的单调区间. 解：∵ 3(2)55()322x f x x x +--==+++， ∴ 把5()g x x-=的图象沿x 轴方向向左平移2个单位，再沿y 轴向上平移3个单位，得到()f x 的图象，如图所示.由图象得()f x 在(,2)-∞-单调递增，在(2,)-+∞上单调递增.点评：变形后结合平移知识，由平移变换得到一类分式函数的图象. 需知()f x a b ++平移变换规律.第8讲 §1.3.1 函数最大（小）值¤学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的最大（小）值及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 能利用单调性求函数的最大（小）值.¤知识要点：1. 定义最大值：设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于任意的x ∈I ，都有()f x ≤M ；存在x 0∈I ，使得0()f x = M . 那么，称M 是函数()y f x =的最大值（Maximum Value ）. 仿照最大值定义，可以给出最小值（Minimum Value ）的定义.2. 配方法：研究二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最大（小）值，先配方成224()24b ac b y a x a a-=++后，当0a >时，函数取最小值为244acb a -；当0a <时，函数取最大值244acba-.3. 单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.4. 图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值. ¤例题精讲：【例1】求函数261y x x =++的最大值.解：配方为2613()24y x =++，由2133()244x ++≥，得260813()24x <≤++. 所以函数的最大值为8.【例2】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可售出100件. 现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润.解：设他将售出价定为x 元，则提高了(10)x -元，减少了10(10)x -件，所赚得的利润为(8)[10010(10)]y x x =---.即2210280160010(14)360y x x x =-+-=--+. 当14x =时，max 360y =.所以，他将售出价定为14元时，才能使每天所赚得的利润最大, 最大利润为360元. 【例3】求函数2y x =+.解：此函数的定义域为[)1,+∞，且函数在定义域上是增函数，所以当1x =时，min 22y =+，函数的最小值为2.点评：形如y ax b =+±的函数最大值或最小值，可以用单调性法研究，也可以用换元法研究.t ，则0t ≥，21x t =+，所以22115222()48y t t t =++=++，在0t ≥时是增函数，当0t =时，min 2y =，故函数的最小值为2.【例4】求下列函数的最大值和最小值：（1）25332,[,]22y x x x =--∈-；（2）|1||2|y x x =+--.解：（1）二次函数232y x x =--的对称轴为2bx a=-，即1x =-. 画出函数的图象，由图可知，当1x =-时，max 4y =；当32x =时，min 94y =-.所以函数25332,[,]22y x x x =--∈-的最大值为4,最小值为94-.（2） 3 (2)|1||2|2 1 (12)3 (1)x y x x x x x ≥⎧⎪=+--=--<<⎨⎪-≤-⎩.作出函数的图象，由图可知，[3,3]y ∈-. 所以函数的最大值为3, 最小值为-3.点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的关系，结合图象进行分析. 含绝对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究. 分段函数的图象注意分段作出.第9讲 §1.3.2 函数的奇偶性¤学习目标：结合具体函数，了解奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解奇函数、偶函数的几何意义，能熟练判别函数的奇偶性.¤知识要点：1. 定义：一般地，对于函数()f x 定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 叫偶函数（even function ）. 如果对于函数定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-），那么函数()f x 叫奇函数（odd function ）.2. 具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称，奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数图象关于y 轴轴对称.3. 判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别()f x -与()f x 的关系. ¤例题精讲：【例1】判别下列函数的奇偶性：（1）31()f x x x=-；（2）()|1||1|f x x x =-++；（3）23()f x x x=-.解：（1）原函数定义域为{|0}x x ≠，对于定义域的每一个x ，都有 3311()()()()f x x x f x x x-=--=--=--，所以为奇函数. （2）原函数定义域为R ，对于定义域的每一个x ，都有()|1||1||1||1|f x x x x x f x -=--+-+=-++=，所以为偶函数. （3）由于23()()f x x x f x -=+≠±，所以原函数为非奇非偶函数. 【例2】已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且1()()1f xg x x -=+，求()f x 、()g x . 解：∵ ()f x 是奇函数，()g x 是偶函数， ∴ ()()f x f x -=-，()()g x g x -=.则1()()11()()1f x g x x f x g x x ⎧-=⎪⎪+⎨⎪---=⎪-+⎩，即1()()11()()1f x g x x f x g x x ⎧-=⎪⎪+⎨⎪--=⎪-+⎩.两式相减，解得2()1x f x x =-；两式相加，解得21()1g x x =-.【例3】已知()f x 是偶函数，0x ≥时，2()24f x x x =-+，求0x <时()f x 的解析式.解：作出函数22242(1)2,0y x x x x =-+=--+≥的图象，其顶点为(1,2). ∵ ()f x 是偶函数， ∴ 其图象关于y 轴对称.作出0x <时的图象，其顶点为(1,2)-，且与右侧形状一致， ∴ 0x <时，22()2(1)224f x x x x =-++=--.点评：此题中的函数实质就是224||y x x =-+. 注意两抛物线形状一致，则二次项系数a 的绝对值相同. 此类问题，我们也可以直接由函数奇偶性的定义来求，过程如下.【另解】当0x <时，0x ->，又由于()f x 是偶函数，则()()f x f x =-，所以，当0x <时，22()()2()4()24f x f x x x x x =-=--+-=--.【例4】设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在区间(,0)-∞上是减函数，实数a 满足不等式22(33)(32)f a a f a a +-<-，求实数a 的取值范围.解：∵ ()f x 在区间(,0)-∞上是减函数， ∴ ()f x 的图象在y 轴左侧递减. 又 ∵ ()f x 是奇函数，∴()f x 的图象关于原点中心对称，则在y 轴右侧同样递减.又 (0)(0)f f -=-，解得(0)0f =，所以()f x 的图象在R 上递减.∵ 22(33)(32)f a a f a a +-<-， ∴ 223332a a a a +->-，解得1a >.点评：定义在R 上的奇函数的图象一定经过原点. 由图象对称性可以得到，奇函数在关于原点对称区间上单调性一致，偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反.集合与函数基础测试一、选择题(共12小题，每题5分，四个选项中只有一个符合要求) 1．函数y ＝＝x 2－6x ＋10在区间（2，4）上是（）A ．递减函数B ．递增函数C ．先递减再递增D ．选递增再递减． 2．方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是（）A ．)}1,1{(B ．}1,1{C ．（1，1）D ．}1{3．已知集合A ={a ，b ，c },下列可以作为集合A 的子集的是（） A. a B. {a ，c } C. {a ，e } D.{a ，b ，c ，d } 4．下列图形中，表示N M ⊆的是（）5．下列表述正确的是（）MNAMNNMMNA.}0{=∅B. }0{⊆∅C. }0{⊇∅D. }0{∈∅6、设集合A ＝{x|x 参加自由泳的运动员}，B ＝{x|x 参加蛙泳的运动员}，对于“既参加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为 ( ) A.A∩B B.A ⊇B C.A ∪B D.A ⊆B 7.集合A={x Z k k x ∈=,2} ,B={Z k k x x ∈+=,12} ,C={Z k k x x ∈+=,14}又,,B b A a ∈∈则有（）A.（a+b ）∈ AB. (a+b) ∈BC.(a+b) ∈ CD. (a+b) ∈ A 、B 、C 任一个8．函数f （x ）＝－x 2＋2（a －1）x ＋2在（－∞，4）上是增函数，则a 的范围是（） A ．a ≥5 B ．a ≥3 C ．a ≤3 D ．a ≤－59.满足条件{1,2,3}⊂≠M ⊂≠{1,2,3,4,5,6}的集合M 的个数是（） A. 8 B . 7 C. 6 D. 510.全集U = {1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 }， A= {3 ，4 ，5 }， B= {1 ，3 ，6 }，那么集合 { 2 ，7 ，8}是（）A. A BB. B AC. B C A C U UD. B C A C U U 11.下列函数中为偶函数的是（）A ．x y =B ．x y =C ．2x y = D ．13+=x y12. 如果集合A={x |ax 2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，则a 的值是（） A ．0 B ．0 或1 C ．1 D ．不能确定二、填空题(共4小题，每题4分，把答案填在题中横线上) 13．函数f （x ）＝2×2－3｜x ｜的单调减区间是___________．14．函数y ＝11＋x 的单调区间为___________． 15.含有三个实数的集合既可表示成}1,,{ab a ，又可表示成}0,,{2b a a +，则=+20042003b a .16.已知集合}33|{≤≤-=x x U ，}11|{<<-=x x M ，}20|{<<=x x N C U 那么集合=N ，=⋂)(N C M U ，=⋃N M .三、解答题(共4小题，共44分）17. 已知集合}04{2=-=x x A ，集合}02{=-=ax x B ，若A B ⊆，求实数a 的取值集合．18. 设f （x ）是定义在R 上的增函数，f （xy ）＝f （x ）＋f （y ），f （3）＝1，求解不等式f （x ）＋f （x －2）＞1．19. 已知函数f （x ）是奇函数，且当x ＞0时，f （x ）＝x 3＋2x 2—1，求f （x ）在R 上的表达式．20. 已知二次函数222)1(2)(m m x m x x f -+-+-=的图象关于y 轴对称，写出函数的解析表达式，并求出函数)(x f 的单调递增区间.必修1 第一章集合测试集合测试参考答案：一、1~5 CABCB 6~10 ABACC 11~12 cB 二、13 ［0，43］，（－∞，－43） 14 （－∞，－1），（－1，＋∞） 15 -1 16 03|{≤≤-=x x N 或}32≤≤x ；}10|{)(<<=⋂x x N C M U ；13|{<≤-=⋃x x N M 或}32≤≤x .三、17 .{0.-1,1}； 18. 解：由条件可得f （x ）＋f （x －2）＝f ［x （x －2）］，1＝f （3）．所以f ［x （x －2）］＞f （3），又f （x ）是定义在R 上的增函数，所以有x （x －2）＞3，可解得x ＞3或x ＜－1．答案：x ＞3或x ＜－1．19. ．解析：本题主要是培养学生理解概念的能力．f （x ）＝x 3＋2x 2－1．因f （x ）为奇函数，∴f （0）＝-1．当x ＜0时，－x ＞0，f （－x ）＝（－x ）3＋2（－x ）2－1＝－x 3＋2x 2－1， ∴f （x ）＝x 3－2x 2＋1．20. 二次函数222)1(2)(m m x m x x f -+-+-=的图象关于y 轴对称， ∴1=m ，则1)(2+-=x x f ，函数)(x f 的单调递增区间为(]0,∞-. ．。

精选高一数学必修一第一章知识点与习题讲解.docx

必修 1 第一章集合与函数基础知识点整理第 1 讲 §1.1.1 集合的含义与表示¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征 .¤知识要点：1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ } ”括起来，基本形式为 { a 1, a 2 , a 3 , ,a n } ，适用于有限集或元素间存在规律的无限集 . 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为 { xA | P( x)} ，既要关注代表元素 x ，也要把握其属性 P(x) ，适用于无限集 .3. 通常用大写拉丁字母A, B, C,表示集合 .要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集N * 或N ，整数集 Z ，有理数集 Q ，实数集 R .4. 元素与集合之间的关系是属于（ belong to ）与不属于（ not belong to ），分别用符号、表示，例如 3N ，2 N .¤例题精讲：【例 1】试分别用列举法和描述法表示下列集合：（ 1）由方程 x(x 2 2 x 3) 0 的所有实数根组成的集合；（ 2）大于 2 且小于 7 的整数 .解：（ 1）用描述法表示为： { x R | x( x 22x 3) 0} ；用列举法表示为 {0, 1,3} .（2）用描述法表示为：{ x Z | 2 x 7} ；用列举法表示为 {3,4,5,6} .【例 2】用适当的符号填空：已知A{ x | x 3k2,k Z } ， B{ x | x 6m1, m Z} ，则有：17A ；－ 5A ；17B.解：由 3k 2 17，解得 k5 Z ，所以 17A ；由 3k27Z ，所以5 A ；5，解得 k3由 6m 1 17 ，解得 m 3 Z ，所以 17 B . 【例 3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材 P 6 练习题 2，13P A 组题 4）（1）一次函数 y x 3 与 y 2x 6 的图象的交点组成的集合；（2）二次函数 y x 2 4 的函数值组成的集合；（3）反比例函数y 2的自变量的值组成的集合 .xy x 3} {(1,4)} .解：（ 1） {( x, y) |2 xy6（2） { y | y x 2 4} { y | y 4} .（3） { x | y2} { x | x 0} .x{1,4} ，也注意对比（ 2）点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量 . 在解题中不能把点的坐标混淆为与（ 3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心.* 【例 4】已知集合 A{ a | x a 1有唯一实数解 } ，试用列举法表示集合A ．22x解：化方程x a为： x 2x ( a 2)0 ．应分以下三种情况：21x2⑴方程有等根且不是2 ：由 △ =0，得 a9，此时的解为 x1，合．42⑵方程有一解为 2 ，而另一解不是 2 ：将 x 2 代入得 a 2 ，此时另一解 x 1 2 ，合．⑶方程有一解为2 ，而另一解不是 2 ：将 x 2 代入得 a 2 ，此时另一解为 x2 1 ，合．综上可知， A { 9 2, 2} ．,4. 注意分式方程易造成增根的现象.点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示第 2 讲 §1.1.2 集合间的基本关系¤学习目标：理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义；能利用 Venn 图表达集合间的关系 .¤知识要点：1. 一般地，对于两个集合 A 、B ，如果集合 A 中的任意一个元素都是集合 B 中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合 A 是集合 B 的子集（ subset ），记作 A B （或 BA ），读作“ A 含于B ”（或 “B 包含 A ”） . 2. 如果集合 A 是集合 B 的子集（ AB ），且集合 B 是集合 A 的子集（ B A ），即集合 A 与集合 B 的元素是一样的，因此集合A 与集合B 相等，记作 AB .3. 如果集合 A B ，但存在元素 xB ，且 x A ，则称集合 A 是集合 B 的真子集（ proper subset ），记作 AB（或 BA ） .4. 不含任何元素的集合叫作空集（ empty set ），记作，并规定空集是任何集合的子集.5. 性质： A A ；若 A B ， BC ，则 AC ；若 A BA ，则 AB ；若 A B A ，则 B A .¤例题精讲：【例 1】用适当的符号填空：（1） { 菱形 } { 平行四边形 } ；{ 等腰三角形 }{ 等边三角形 }.（2）{ xR | 22 0；} 0{0} ；{0} ；N{0}.x解：（ 1），；（2） =， ∈，， .【例 2】设集合A{ x | xn, n Z} , B{ x | x n 1 , n Z } ，则下列图形能表示 A 与 B 关系的是（）.22A BB AAB ABA ．B ．3 C ． 1 3D ．1 1 3解：简单列举两个集合的一些元素，A {, 1, 1 } ， B{ ,32 ,0, ,1, ,, ,,, } ，易知 BA ，故答案选 A ．2 2 222 2 2另解：由B2n 1Z } ，易知 BA ，故答案选 A ．{ x | x2,n【例 3】若集合 M x | x 2x 6 0 , Nx | ax 1 0 ，且 NM ，求实数 a 的值 .解：由 x 2 x 6 0x2或3 ，因此， M2, 3 .（ i ）若 a0 时，得 N，此时， NM ；（ ii ）若 a 0 时，得 N{ 1 } . 若 N M ,满足12或13 ，解得 a1或 a1 . 或1a 1aa23故所求实数 a 的值为 0 或 .23” ，因为 A点评：在考察“ A B ”这一关系时，不要忘记“ 时存在 A B . 从而需要分情况讨论 .题中讨论的主线是依据待定的元素进行.【例 4】已知集合 A={ a,a+b,a+2b} ， B={ a,ax,ax 2}. 若 A=B ，求实数 x 的值 .a b ax22解：若2b ax 2a+ax -2ax=0, 所以 a(x-1) =0，即 a=0 或 x=1.a 当 a=0 时，集合 B 中的元素均为0，故舍去；2当 x=1 时，集合 B 中的元素均相同，故舍去 .若ab ax 2 2ax 2 -ax-a=0.a 2b ax因为 a ≠ 0，所以 2x 2-x-1=0, 即 (x-1)(2 x+1)=0.又 x ≠ 1，所以只有 x1 . 12.经检验，此时 A= B 成立 . 综上所述 x2. 融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论第 3 讲 §1.1.3 集合的基本运算（一）¤学习目标：理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集；理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用 Venn 图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用 .¤知识要点：集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而达到掌握的层次 . 下面以表格的形式归纳三种基本运算如下 .并集交集补集由所有属于集合 A 或属于集由属于集合 A 且属于集合 B 对于集合 A,由全集 U 中不属于概念合 B 的元素所组成的集合，的元素所组成的集合，称为集合 A 的所有元素组成的集称为集合 A 与 B 的并集集合 A 与 B 的交集合，称为集合A 相对于全集 U（ union set ）（ intersection set ）的补集（ complementary set ）记号 A B （读作“ A 并 B ”） AB （读作“ A 交 B ”） e U A （读作“ A 的补集”）符号A B { x | x A,或 x B}A B { x | x A, 且 x B}e U A { x | x , 且x }U A图形U表示A¤例题精讲：【例 1】设集合 U R, A { x | 1x 5}, B{ x | 3 x 9}, 求 AB,e U ( AB) .解：在数轴上表示出集合 A 、 B ，如右图所示：BA B { x | 3 x 5} ， AC U ( A B ) { x | x 1,或 x9} ，-1 35 9x【例 2】设 A { x Z | | x | 6} ， B 1,2,3 , C 3,4,5,6 ，求：（1） A (B C ) ；（ 2） A e A ( B C ) .解：A6,5, 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,6 .（1）又 B C 3 ，∴ A (B C) 3 ；（2）又BC1,2,3,4,5,6，得 C A ( B C ) 6, 5, 4, 3, 2, 1,0 .∴ A C A (B C )6, 5, 4,3, 2, 1,0 .【例 3】已知集合 A { x | 2 x 4} ， B { x | x m} ，且 A BA ，求实数 m 的取值范围 .解：由 AB A ，可得 AB .在数轴上表示集合 A 与集合 B ，如右图所示：BA由图形可知， m 4 .-2 4 mx 点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关系，得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题 .【例 4】已知全集 U{ x | x 10,且 x N * } ， A {2,4,5,8} ， B{1,3,5,8} ，求 C U (AB) ， C U ( A B) ，(C U A) (C U B) ， (C U A) (C U B) ，并比较它们的关系 .解：由 A B { 1,2,3,4,5,8}，则 C U ( A B){6,7,9} .由 A B {5,8}，则 C U ( A B){1,2,3,4,6,7,9}由 C U A{1,3,6,7,9} ， C U B{2,4,6,7,9}，则 (C U A)(C U B){6,7,9}，(C U A)(C U B){1,2,3,4,6,7,9} .由计算结果可以知道，(C U)()(A B) ，A C U B C U(C U A)(C U B)C U ( A B) .另解：作出 Venn 图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果.点评：可用 Venn 图研究( C U A)(C U B)C U (A B) 与 (C U A)(C U B) C U ( A B) ，在理解的基础记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.第 4 讲§1.1.3集合的基本运算（二）¤学习目标：掌握集合、交集、并集、补集的有关性质，运行性质解决一些简单的问题；掌握集合运算中的一些数学思想方法 .¤知识要点：1. 含两个集合的Venn 图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果. 我们需通过Venn 图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图形，我们还可以发现一些集合性质：C U ( A B) (C U A)( C U B), C U (A B)(C U A)(C U B).2.集合元素个数公式：n( A B)n( A) n( B) n( A B) .3.在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等. 也常由新的定义考查创新思维.¤例题精讲：【例 1】设集合A4,2a 1,a2, B9,a5,1 a，若 A B 9 ，求实数 a 的值.解：由于 A4,2a1,a2 , B9,a5,1 a ，且 A B9，则有：当 2 a 1＝9时，解得a＝5，此时A={ － 4, 9, 25} ， B={9, 0, －4}，不合题意，故舍去；当a 2＝9 时，解得 a＝3或－ 3 .a＝3时，A={ －4,5,9} ，B={9, －2,－2} ，不合题意，故舍去；a＝－ 3， A={ －4, －7，9} ， B={9, －8, 4} ，合题意.所以， a＝－3 .【例 2】设集合 A { x | ( x 3)( x a) 0,a R} ， B{ x | ( x 4)( x 1) 0} ，求 A B , A B .（教材P14B 组题 2）解： B {1,4} .当 a 3 时，A{3} ，则 A B{1,3,4} ， A B；当 a1时，A{1,3} ，则 A B{1,3,4} ， A B{1} ；当 a 4 时，A{3,4} ，则 A B{1,3,4} ， A B{4} ；当 a 3 且 a 1且 a 4 时，A{3, a} ，则 A B{1,3,4, a} ， A B.点评：集合 A 含有参数 a，需要对参数 a 进行分情况讨论. 罗列参数 a 的各种情况时，需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原则.【例 3】设集合 A ={x | x2 4 x0 }，B ={ x | x22( a1)x a210 ，a R}，若A B=B，求实数 a 的值．解：先化简集合A= {4,0} .由A B=B，则 B A，可知集合 B 可为，或为 {0} ，或 { － 4} ，或{ 4,0} .(i )若 B=，则4(a1)24( a 21)0 ，解得 a ＜ 1 ；(ii )若0 B ，代入得a2 1 =0 a =1或 a =1，当 a =1时，B= A，符合题意；当 a =1时， B={0}A，也符合题意．(iii )若－ 4 B，代入得a 270 a =7或 a =1，8a当a =1时，已经讨论，符合题意；当a =7时，B={－12，－4}，不符合题意．综上可得， a =1或 a ≤1．4点评：此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用 . 通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法．解该题时，特别容易出现的错误是遗漏了 A=B 和 B= 的情形，从而造成错误．这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题 .【例 4 】对集合 A 与 B ，若定义 A B{ x | x A,且 x B} ，当集合 A { x | x 8,x N * } ，集合B { x | x(x 2)( x 5)( x 6) 0} 时，有 A B = . （由教材 P 12 补集定义“集合A 相对于全集 U 的补集为 C U A { x | x , } ”而拓展）且x A解：根据题意可知， A {1,2,3,4,5,6,7,8} ， B {0,2,5,6}由定义 A B { x| x A, 且 x B} ，则A B{1,3,4,7,8} .点评：运用新定义解题是学习能力的发展，也是一种创新思维的训练，关键是理解定义的实质性内涵，这里新定义的含义是从A 中排除B 的元素 . 如果再给定全集U ，则 A B 也相当于 A (C U B) .第 5 讲 §1.2.1 函数的概念¤学习目标：通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域 .¤知识要点：1. 设 A 、 B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数 y 和它对应，那么就称 f ：A → B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数（ function ），记作 y = f ( x) ， xA ．其中， x 叫自变量， x 的取值范围 A 叫作定义域（ domain ），与 x 的值对应的 y 值叫函数值，函数值的集合 { f ( x) | x A} 叫值域（ range ）.2. 设 a 、 b 是两个实数，且 a< b ，则： { x|a ≤ x ≤ b} ＝ [a,b] 叫闭区间； { x|a< x<b} ＝ (a,b) 叫开区间；{ x|a ≤ x< b} ＝ [ a,b) ， { x|a<x ≤ b} ＝ (a,b] ，都叫半开半闭区间 .符号：“∞”读“无穷大” ；“－∞”读“负无穷大” ；“ + ∞”读“正无穷大” . 则{ x | x a} (a, ) ， { x | x a} [a, ) ， { x | x b}( ,b) ， { x | x b}( , b] ， R( , ) .3. 决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则 .当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数 .¤例题精讲：【例 1】求下列函数的定义域：（ 1） y1x 3.2；（ 2） y1x1 3x2解：（ 1）由 x 2 1 0 ，解得 x 1且 x 3 ，所以原函数定义域为 (, 3)( 3, 1) ( 1,) .x 3 0，解得 x 3 且 x 9 ，（2）由3x 1 2 0所以原函数定义域为 [3,9)(9,) .【例 2】求下列函数的定义域与值域：（ 1） y3x 2；（ 2） yx 2x 2 .5 4 x解：（ 1）要使函数有意义，则 5 4x 0 ，解得 x 55 . 所以原函数的定义域是{ x | x} .4 43x 2 1 12x 8 1 3(4 x 5) 23 3 23 y5 4 x4 5 4 x5 4x 4 5 4x 4（2） yx2x2( x 1 ) 2 9 . 所以原函数的定义域是2 4 【例 3】已知函数1 x x .求：（ 1） f (2) 的值；（ 2） f ( )1 x 解：（ 1）由1x2 ，解得 x1，所以 f (2)1 .1 x333 3，所以值域为 { y | y3 04 } .44R ，值域是 ( , 9 ] .4f (x) 的表达式（2）设1x t ，解得 x1 t ，所以 f (t ) 1 t，即f ( x)1 x .1x1 t 1t1 x点评：此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等.【例 4】已知函数f ( x)x 22 , x R .1 x（1）求 f (x)f ( 1f (2)f (3)f (4) f (1 1 1) .) 的值；（ 2）计算： f (1)) f ( )f ( x12342221 x2x11解：（ 1）由 f ( x)xx1.f ( )1 x2121 212x11xxxx2（2）原式 f (1) ( f (2)f ( 1)) ( f (3) f (1))( f (4) f ( 1)) 137234 2 2点评：对规律的发现，能使我们实施巧算 . 正确探索出前一问的结论，是解答后一问的关键 .第 6 讲 §1.2.2 函数的表示法¤学习目标：在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（图象法、列表法、解析法）表示函数；通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；了解映射的概念 .¤知识要点：1. 函数有三种表示方法：解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反应变化趋势）；列表法（列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值） .2. 分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的 x ，对应法则不同） .3. 一般地，设 A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f ，使对于集合 A 中的任意一个元素x ，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应f : AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射（ mapping ）．记作“ f : A B ” .判别一个对应是否映射的关键：A 中任意，B 中唯一；对应法则f.¤例题精讲：【例 1】如图，有一块边长为 a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为 x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V 以 x 为自变量的函数式是 _____，这个函数的定义域为 _______ ．解：盒子的高为 x ，长、宽为 a －2x ，所以体积为 V ＝ x(a －2x) 2.又由 a －2xa0 ，解得 x .2a} .所以，体积 V 以 x 为自变量的函数式是V x(a －2x)2 ，定义域为 { x | 0 x2332x( , 1 )【例 2】已知 f (x)=x2 xx 3 x 3，求 f[ f(0)] 的值 .x ( 1 ,)解：∵ 0 (,1) ，∴ f(0)= 32 .又 ∵ 3 2 >1，∴ f( 32 )=(32)3+( 3 2 )-3=2+1 = 5，即 f[ f(0)]= 5.【例 3】画出下列函数的图象： 2 22（1） y | x2 | ；（教材 P 26 练习题 3）（2） y | x 1| | 2x 4 | .解：（ 1）由绝对值的概念，有y | xx 2, x 2 2 |x, x.22所以，函数 y | x 2 | 的图象如右图所示 .63x 3, x 1（2）y | x 1| | 2x 4 |x 5, 2 x 1 ，3x 3, x2所以，函数y | x1|| 2 x 4 | 的图象如右图所示.点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象.【例 4】函数 f ( x)[ x] 的函数值表示不超过x 的最大整数，例如[ 3.5]4，[2.1] 2 ，当 x( 2.5,3] 时，写出 f ( x) 的解析式，并作出函数的图象.3, 2.5x22,2x11,1x 0解： f ( x)0,0x1. 函数图象如右：1, 1x22,2x33,x3点评：解题关键是理解符号m 的概念，抓住分段函数的对应函数式.第 7 讲§1.3.1 函数的单调性¤学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质. 理解增区间、减区间等概念，掌握增（减）函数的证明和判别.¤知识要点：1. 增函数：设函数 y=f(x) 的定义域为 I，如果对于定义域I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量x1，x2，当 x1<x2时，都有 f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间 D 上是增函数（ increasing function ） . 仿照增函数的定义可定义减函数 .2.如果函数 f(x)在某个区间 D 上是增函数或减函数，就说 f (x)在这一区间上具有（严格的）单调性，区间 D 叫 f(x)的单调区间 . 在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的（如右图1），减函数的图象从左向右是下降的（如右图2） . 由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.3. 判断单调性的步骤：设x 1、 x 2∈给定区间，且x 1 < x 2；→计算 f (x 1 )－ f(x 2 ) →判断符号→下结论 .¤例题精讲：【例 1】试用函数单调性的定义判断函数 f ( x)2 x在区间（ 0， 1）上的单调性 . x 1解：任取 x , x∈ (0,1) ，且x x. 则f (x1 ) f ( x2 )2x12x21212x1 1x2 1由于 0 x1x2 1 ， x110 ， x2 1 0 ， x2 x10 ，故 f ( x1 )所以，函数 f ( x) 2 x在（ 0，1）上是减函数 .x 1【例 2】求二次函数 f ( x) ax2bx c (a0) 的单调区间及单调性解：设任意 x1 , x2R ，且 x1x2.则2( x2x1 ).(x1 1)(x2 1)f (x2 )0 ，即 f (x1 ) f ( x2 ) . .f ( x1 ) f (x2 )(ax12c)(ax22bx2c)2x22x2 )(x1x2 )[ a (x1 x2 )b] .bx1a( x1) b(x1若 a0 ，当x1x2b时，有 x1x20 ， x1x2b，即 a(x1x2 )b0 ，从而 f ( x1 ) f (x2 ) 0 ，2a a即 f ( x ) f ( x ) ，所以 f (x) 在( ,b]上单调递增 . 同理可得f ( x) 在[b)上单调递减 .122a【例 3】求下列函数的单调区间：2a （1）y | x 1|| 2x 4 | ；（2） y x2 2 | x | 3 .3x3,x1解：（ 1）y | x1|| 2 x4|x 5,2x 1 ，其图象如右.3x3, x2由图可知，函数在[2, ) 上是增函数，在(,2] 上是减函数.2，其图象如右 .（2） yx 2 2 | x |3x 2x 3, xx 22x 3, x 0由图可知，函数在 (, 1] 、 [0,1] 上是增函数，在 [ 1,0] 、 [1,) 上是减函数 .点评：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数. 第 2 小题也可以由偶函数的对称性，先作y 轴右侧的图象，并把y 轴右侧的图象对折到左侧，得到f (| x |) 的图象 . 由图象研究单调性，关键在于正确作出函数图象.【例 4】已知 f ( x)3x 1，指出 f (x) 的单调区间 .x 2解：∵f ( x) 3( x 2) 5 3 5 ，x 2 x 2∴ 把g (x)5的图象沿 x 轴方向向左平移2 个单位，再沿 y 轴向上平移3 个单位，x得到 f ( x) 的图象，如图所示 .由图象得f ( x) 在 ( , 2) 单调递增，在 ( 2, ) 上单调递增 .点评：变形后结合平移知识，由平移变换得到一类分式函数的图象. 需知 f (x a) b 平移变换规律 .第 8 讲 §1.3.1 函数最大（小）值¤学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的最大（小）值及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质 . 能利用单调性求函数的最大（小）值 .¤知识要点：1. 定义最大值：设函数y f (x) 的定义域为 I ，如果存在实数 M 满足：对于任意的x ∈ I ，都有 f ( x) ≤ M ；存在 x 0∈ I ，使得 f (x 0 ) = M. 那么，称 M 是函数 y f ( x) 的最大值（ Maximum Value ） . 仿照最大值定义，可以给出最小值（ Minimum Value）的定义 .b )22. 配方法：研究二次函数y ax 2bx c (a0) 的最大（小）值，先配方成y a (x24ac b 后，b 24ac b 22a4a当 a0 时，函数取最小值为 4ac ；当 a0 时，函数取最大值 .4a4a3. 单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值 .4. 图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值.¤例题精讲：【例 1】求函数 y26的最大值 .xx 1解：配方为 y 6，由 ( x1 )2 33 ，得 06 8 .13 1( x 22 44( x23)4)422所以函数的最大值为 8.【例 2】某商人如果将进货单价为8 元的商品按每件 10 元售出时，每天可售出 100 件. 现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价1 元，其销售量就要减少 10 件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润 .解：设他将售出价定为 x 元，则提高了 ( x 10) 元，减少了 10 (x 10) 件，所赚得的利润为y (x 8) [100 10 ( x10)] .即 y 10x 2 280x 1600 10( x 14)2 360 . 当 x 14时， y max 360 .所以，他将售出价定为 14 元时，才能使每天所赚得的利润最大 , 最大利润为 360 元 .【例 3】求函数 y2 xx 1 的最小值 .解：此函数的定义域为1,，且函数在定义域上是增函数，所以当 x 1时， y min 2 1 1 2 ，函数的最小值为 2.8点评：形如 y ax bcxd 的函数最大值或最小值，可以用单调性法研究，也可以用换元法研究 .【另解】令 x 1t ，则 t 0 ， xt 2 1 ，所以 y 2t 2 t22(t 1 )2 15 ，在 t0 时是增函数，当 t 0 时， y min2 ，故函数的最小值为4 82.【例 4】求下列函数的最大值和最小值：2[ 5 , 3] ；（ 2） y | x 1| | x 2 | .（ 1）y 3 2x x , x2 2 解：（ 1）二次函数 y 32x x 2的对称轴为 xb，即 x1 .2a画出函数的图象，由图可知，当x1时， y max 4 ；当 x3时， y min9 .24所以函数 y2x [5 , 3 ] 的最大值为 4,最小值为9 .3 2x x ,2 2 4（ 2） y | x 1| | x 2 |3 ( x 2) 2x 1 ( 1 x 2) .3 ( x 1)作出函数的图象，由图可知， y[ 3,3] . 所以函数的最大值为3, 最小值为 -3.点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的关系，结合图象进行分析. 含绝对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究. 分段函数的图象注意分段作出.第 9 讲§1.3.2 函数的奇偶性. 理解奇函数、¤学习目标：结合具体函数，了解奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质偶函数的几何意义，能熟练判别函数的奇偶性.¤知识要点：1. 定义：一般地，对于函数f (x) 定义域内的任意一个 x ，都有 f ( x) f (x) ，那么函数 f (x) 叫偶函数（ evenfunction ）. 如果对于函数定义域内的任意一个 x ，都有 f ( x)f ( x) ），那么函数 f ( x) 叫奇函数（ odd function ）.2. 具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称，奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数图象关于y 轴轴对称 .3. 判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别f ( x) 与 f ( x) 的关系 .¤例题精讲：【例 1】判别下列函数的奇偶性：（1） f (x) x 3 1 ；（ 2） f ( x) | x 1| | x 1| ；（ 3） f ( x) x 2x 3 .x { x | x0} ，对于定义域的每一个解：（ 1）原函数定义域为 x ，都有f ( x)( x) 31 (x 31 ) f (x) ，所以为奇函数 .xx（2）原函数定义域为 R ，对于定义域的每一个x ，都有f ( x) | x 1 | | x 1 | x| 1 |x | 1f ，|x 所以为偶函数 .（3）由于 f ( x)x 2x 3f (x) ，所以原函数为非奇非偶函数.【例 2】已知 f ( x) 是奇函数， g ( x) 是偶函数，且 f ( x) g( x)1 ，求 f (x) 、 g( x) .解：∵ f (x) 是奇函数， g (x) 是偶函数，x1∴ f ( x)f ( x) ，g ( x)g ( x) .f (x)g ( x)1f (x)g ( x)1x 11则，即x .11f ( x)g( x)f ( x)g( x)x 1x 1两式相减，解得f ( x)x；两式相加，解得g (x)1x2.1x2 1【例 3】已知 f ( x)是偶函数，x 0时， f ( x) 2 x2 4 x，求x0 时f ( x)的解析式.解：作出函数 y 2 x24x2( x1)22, x0 的图象，其顶点为(1,2) .∵ f ( x) 是偶函数，∴其图象关于y轴对称.作出 x0 时的图象，其顶点为( 1,2) ，且与右侧形状一致，∴ x 0 时， f ( x)2( x 1)22 2 x24x .点评：此题中的函数实质就是y 2 x2 4 | x | .注意两抛物线形状一致，则二次项系数 a 的绝对值相同 . 此类问题，我们也可以直接由函数奇偶性的定义来求，过程如下.【另解】当x0 时，x0 ，又由于 f ( x)是偶函数，则 f ( x) f ( x) ，所以，当 x0 时， f ( x) f ( x)2(x)24( x) 2 x24x.【例4】设函数 f ( x) 是定义在R 上的奇函数，且在区间(, 0) 上是减函数，实数 a 满足不等式f (3a2a3) f (3a 22a ) ，求实数a的取值范围.解：∵ f (x) 在区间 (,0) 上是减函数，∴ f (x) 的图象在y轴左侧递减.又∵ f ( x) 是奇函数，∴ f ( x) 的图象关于原点中心对称，则在y 轴右侧同样递减 .又 f (0) f (0) ，解得 f (0)0，所以 f (x) 的图象在R上递减.∵ f (3a2a3) f (3a 22a)，∴ 3a 2a33a 22a ，解得a1.点评：定义在 R 上的奇函数的图象一定经过原点. 由图象对称性可以得到，奇函数在关于原点对称区间上单调性一致，偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反.集合与函数基础测试一、选择题 (共 12 小题，每题 5 分，四个选项中只有一个符合要求)1．函数y＝＝x2－ 6x＋ 10 在区间（ 2， 4）上是（）A ．递减函数B．递增函数C．先递减再递增D．选递增再递减．x y22．方程组{ x y0的解构成的集合是（）A ．{( 1,1)}B ．{1,1}C．（ 1，1） D ．{1}3．已知集合 A={ a， b， c}, 下列可以作为集合 A 的子集的是（）A. aB. { a， c}C. { a， e}D.{ a， b， c， d}4．下列图形中，表示M N 的是（）M NN M M N MNA B C D5．下列表述正确的是（）A.{ 0}B.{0}C.{ 0}D.{ 0}6、设集合 A＝ {x|x参加自由泳的运动员} ， B＝{x|x参加蛙泳的运动员} ，对于“既参加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为()A.A ∩BB.A BC.A ∪ BD.A B7. 集合A={x x 2k, k Z } ,B={ x x 2k 1,k Z },C={ x x4k 1, k Z }又a A, b B, 则有（）10A. （ a+b）AB. (a+b)BC.(a+b)CD. (a+b) A 、 B、 C 任一个8．函数f（x）＝－x2＋ 2（a－ 1）x＋ 2 在（－∞，4）上是增函数，则a的范围是（）a a a aA ．≥ 5B ．≥ 3C．≤ 3D．≤－ 59.满足条件 {1,2,3}M {1,2,3,4,5,6} 的集合 M 的个数是（）A. 8 B .7 C. 6 D.510.全集 U = {1，2，3，4 ，5 ，6，7 ，8 }， A= {3，4，5 }， B= {1，3，6 }，那么集合 { 2 ，7，8}是（）A. A BB. A BC.C U A C U BD. C U A C U B11.下列函数中为偶函数的是（）A ．y xB ．y x C．y x2D．y x3112. 如果集合 A={ x|ax 2＋ 2x ＋ 1=0}中只有一个元素，则 a 的值是（）A ．0B ．0 或 1C． 1D．不能确定二、填空题 (共 4小题，每题x4 分，把答案填在题中横线上)f x）＝2×2－ 3｜｜的单调减区间是 ___________．13．函数（14．函数y1的单调区间为 ___________．＝x＋1{ a,b,1} ，又可表示成 { a 2 , a15.含有三个实数的集合既可表示成b,0} ，则 a2003b2004.a16. 已知集合U{ x |3x 3}， M{ x | 1x 1}， C U N{ x | 0x2} 那么集合N， M (C U N )， M N.三、解答题 (共 4 小题，共44 分）17. 已知集合 A { x x240} ，集合 B{ x ax20} ，若B A ，求实数a的取值集合．18.设 f（ x）是定义在R上的增函数， f（xy）＝ f（ x）＋ f（ y），f（3）＝1，求解不等式 f（ x）＋ f（ x－2）＞ 1．19. 已知函数 f （ x）是奇函数，且当x＞0时， f （x）＝ x3＋2x2—1，求 f （ x）在R上的表达式．20. 已知二次函数 f (x)x 22(m 1)x2m m 2 的图象关于y 轴对称，写出函数的解析表达式，并求出函数 f ( x) 的单调递增区间 .必修 1 第一章集合测试集合测试参考答案：一、 1~5 CABCB6~10ABACC11~12cB二、 13［0， 3］，（－∞，－ 3）4414 （－∞，－ 1 ），（－ 1，＋∞）15-116 N{ x |3 x 0 或 2 x3} ；M(C U N ) { x | 0 x 1} ；MN { x | 3 x 1或 2 x 3} .三、 17 .{0.-1,1} ；18.解：由条件可得 f xf xf x xf（3）．（）＋（－ 2）＝［（－ 2）］， 1＝所以 f x xf（ 3），又f xx xx＞ 3［（－ 2）］＞（）是定义在 R 上的增函数，所以有（－ 2）＞ 3，可解得12或 x＜－1．答案： x＞3或 x＜－1．19.．解析：本题主要是培养学生理解概念的能力．f （）＝x3＋ 2 2－ 1．因f（）为奇函数，∴f（ 0）＝ -1 ．x x x当x＜0时，－ x＞0， f （－ x）＝（－ x）3＋2（－ x）2－1＝－ x3＋2x2－1，∴ f （ x）＝ x3－2x2＋1．20.二次函数 f ( x)x22( m1) x 2m m 2的图象关于y 轴对称，∴ m1，则 f ( x)x21，函数 f ( x) 的单调递增区间为,0 .．。

数学高一必修一第一章知识点

数学高一必修一第一章知识点人教版高一数学必修一第一章知识点。

一、集合。

1. 集合的概念。

- 集合是由一些确定的、不同的对象所组成的整体。

这些对象称为集合的元素。

例如，全体正整数组成一个集合，每个正整数就是这个集合的元素。

- 集合中的元素具有确定性（给定一个元素和一个集合，能确定这个元素是否属于这个集合）、互异性（集合中的元素互不相同）、无序性（集合中元素的排列顺序不影响集合本身）。

2. 集合的表示方法。

- 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。

例如，{1,2,3}表示由1、2、3这三个元素组成的集合。

- 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合。

形式为{xp(x)}，其中x是集合中的代表元素，p(x)是描述元素x特征的条件。

例如，{xx > 0,x∈ R}表示所有大于0的实数组成的集合。

- 区间表示法（主要用于表示数集）：- 开区间(a,b)={xa < x < b}；- 闭区间[a,b]={xa≤slant x≤slant b}；- 半开半闭区间(a,b]={xa < x≤slant b}，[a,b)={xa≤slant x < b}；- 无穷区间(-∞,a)={xx < a}，(-∞,a]={xx≤slant a}，(a,+∞)={xx > a}，[a,+∞)={xx≥slant a}，(-∞,+∞)=R。

3. 集合间的基本关系。

- 子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A称为集合B的子集，记作A⊆ B（或B⊇ A）。

规定：空集varnothing是任何集合的子集，即varnothing⊆ A。

- 真子集：如果A⊆ B，且存在元素x∈ B，但x∉ A，那么集合A称为集合B 的真子集，记作A⊂neqq B（或B⊃neqq A）。

空集是任何非空集合的真子集。

- 集合相等：如果A⊆ B且B⊆ A，那么A = B。

4. 集合的基本运算。

高一数学必修一第一章知识点与习题讲解精编版

⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料介绍⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯必修 1 第一章会合与函数基础知识点整理第 1 讲§会合的含义与表示¤学习目标：经过实例，认识会合的含义，领会元素与会合的“属于” 关系；能选择自然语言、图形语言、会合语言（列举法或描绘法）描绘不一样的详细问题，感觉会合语言的意义和作用；掌握会合的表示方法、常用数集及其记法、会合元素的三个特点.¤知识重点：1. 把一些元素构成的整体叫作会合（set），其元素拥有三个特点，即确立性、互异性、无序性.2. 会合的表示方法有两种：列举法，即把会合的元素一一列举出来，并用花括号“{ } ”括起来，基本形式为 { a1 ,a2 , a3 , , a n} ，合用于有限集或元素间存在规律的无穷集. 描绘法，即用会合所含元素的共同特点来表示，基本形式为{ x A | P( x)} ，既要关注代表元素x，也要掌握其属性P( x) ，合用于无穷集.3. 往常用大写拉丁字母A, B, C ,表示会合.要记着一些常有数集的表示，如自然数集N ，正整数集N *或N，整数集 Z，有理数集 Q ，实数集 R .4. 元素与会合之间的关系是属于（belong to）与不属于（not belong to），分别用符号、表示，比如3N ，2 N .¤例题精讲：【例 1】试分别用列举法和描绘法表示以下会合：（ 1）由方程x(x2 2x 3) 0 的全部实数根构成的会合；（ 2）大于 2 且小于7的整数 .解：（1）用描绘法表示为：{ x R | x(x2 2 x 3) 0} ；用列举法表示为 {0, 1,3} .（ 2）用描绘法表示为：{ x Z | 2 x 7} ；用列举法表示为{3,4,5,6} .【例 2】用适合的符号填空：已知 A { x | x 3k 2, k Z} ， B { x| x 6m 1, m Z } ，则有：17 A ；－ 5 A；17 B.解：由 3k 2 17 ，解得 k 5 Z ，所以 17 A ；由 3k 27Z ，所以 5 A ；5 ，解得k3由 6m 1 17 ，解得 m 3 Z ，所以17 B .【例 3】试选择适合的方法表示以下会合：（教材 P6练习题2， P13 A组题 4）（ 1）一次函数y x 3 与 y 2 x 6 的图象的交点构成的会合；（ 2）二次函数y x2 4 的函数值构成的会合；（ 3）反比率函数解：（1）{( x, y) | （ 2）{ y | y x22y的自变量的值构成的会合.xy x 3} {(1,4)} .y 2 x 64} { y | y 4} .（ 3）{ x | y 2} { x | x 0} .x. 在解题中不可以把点的坐标混杂为{1,4} ，也注意对照评论：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量（ 2）与（ 3）中的两个会合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不一样，剖析时必定要仔细.* 【例 4】已知会合 A { a | x ax2 1有独一实数解 } ，试用列举法表示会合A．2解：化方程x a1为：x 2 x (a 2) 0 ．应分以下三种状况：x229 1⑴方程有等根且不是，此时的解为 x2 ：由△=0，得 a ，合．4 21⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料介绍⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⑵方程有一解为 2 ，而另一解不是 2 ：将 x 2 代入得 a 2 ，此时另一解 x 1 2 ，合． ⑶方程有一解为2 ，而另一解不是2 ：将 x2 代入得 a2 ，此时另一解为x2 1 ，合．综上可知， A { 9, 2, 2}．4. 注意分式方程易造成增根的现评论：运用分类议论思想方法，研究出根的状况，进而列举法表示象 .第 2 讲 § 会合间的基本关系¤学习目标：理解会合之间包括与相等的含义，能辨别给定会合的子集；在详细情境中，认识全集与空集的含义；能利用 Venn 图表达会合间的关系 .¤知识重点：1. 一般地，对于两个会合含关系，此中会合 A 是会合A 、B ，假如会合 A 中的随意一个元素都是会合 B 中的元素，则说两个会合有包 B 的子集（ subset ），记作 A B （或 B A ），读作“ A 含于 B ”（或 “B 包括 A ”） .2. 假如会合 A 是会合 B 的子集（ A B ），且会合 B 是会合 A 的子集（ B A ），即会合 A 与会合 B 的元素是相同的，所以会合A 与会合B 相等，记作 AB .3. 假如会合 A B ，但存在元素 x B ，且 x A ，则称会合 A 是会合 B 的真子集（ proper subset ），记作A B （或BA ） .4. 不含任何元素的会合叫作空集（empty set ），记作，并规定空集是任何会合的子集.5. 性质： A A ；若 A B ，BC ，则 A C ；若A B A ，则A B ；若A B A ，则B A . ¤例题精讲：【例 1】用适合的符号填空：（1）{ 菱形 } { 平行四边形 } ； { 等腰三角形 } { 等边三角形 }.（ 2）{ x22 0；} 0{0} ；{0} ；N{0}.R| x解：（1），；（2）=，∈，， .【例 2】设会合A { x| xn,n Z}, B{ x | xn 1 ,n Z } ，则以下图形能表示 A 与 B 关系的是（）.22A B B A ABABA ．B ．3 C ．13D ．3 1 1 3解：简单列举两个会合的一些元素，A { ,1, 1 } ， B{ ,2 ,0, ,1, ,2 , ,,,}，易知 B2 222 2 2 A ，故答案选 A ．另解：由 B{ x | x2n 1Z } ，易知 B A ，故答案选 A ．2 , n【例 3】若会合 M x | x 2x 6 0,N x | ax 1 0，且 N M ，务实数 a 的值 .解：由 x 2 x 6x 2或3 ，所以， M2, 3 .（ i ）若 a0 时，得 N，此时， NM ；（ ii ）若 a 0时，得 N{1}. 若 NM ,知足1 2或13 ，解得 a1或 a 1 . a aa23故所务实数 a 的值为 0或1或 1 .23”，因为A评论：在观察“ A B ”这一关系时，不要忘掉“ 时存在 A B . 进而需要分状况讨论 . 题中议论的主线是依照待定的元素进行.【例 4】已知会合 A={ a,a+ b,a+2b} ， B={ a,ax,ax 2}. 若 A=B ，务实数 x 的值 .解：若a b ax a+ax 2-2ax=0,所以 a(x-1) 2=0，即 a=0 或 x=1.a 2b ax22当 a=0 时，会合 B 中的元素均为 0，故舍去；当 x=1 时，会合 B 中的元素均相同，故舍去 .a b ax 2 2若2b ax2ax -ax-a=0.a因为 a ≠ 0，所以 2x 2 -x-1=0, 即 (x-1)(2 x+1)=0. 又 x ≠ 1，所以只有 x1 .2经查验，此时 A=B 建立 . 综上所述 x1 .2. 融入方程组思想，联合元素的互异性确立会合 .评论：抓住会合相等的定义，分状况进行议论第 3 讲 § 会合的基本运算（一）¤学习目标：理解两个会合的并集与交集的含义，会求两个简单会合的并集与交集；理解在给定会合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集；能使用 Venn 图表达会合的关系及运算，领会直观图示对理解抽象观点的作用 .¤知识重点：会合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解观点，并掌握符号等，再联合解题的训练，而达到掌握的层次 . 下边以表格的形式概括三种基本运算以下 .并集交集补集由全部属于会合 A 或属于集由属于会合 A 且属于会合 B 对于会合 A,由全集 U 中不属于观点合 B 的元素所构成的会合，的元素所构成的会合，称为会合 A 的全部元素构成的集称为会合 A 与B 的并集会合A 与B 的交集合，称为会合A 相对于全集 U（ union set ）（ intersection set ）的补集（ complementary set ）记号 A B （读作“ A 并 B ”）A B （读作“ A 交 B ”）e U A （读作“ A 的补集”）符号A B { x | xA,或 x B} A B { x | x A,且x B}e U A { x | , 且 x A }x U图形U表示A¤例题精讲：【例 1】设会合 U R, A { x | 1 x 5}, B { x |3 x 9}, 求AB, e U ( AB) .解：在数轴上表示出会合A 、B ，如右图所示：BA B { x | 3 x 5} ， AC U ( A B) { x | x 1,或 x9} ，-1359x2】设 A { x Z | | x | 6}，B 1,2,3 , C3,4,5,6【例，求：（1） A (B C) ；（ 2） A e A (B C) .解：A 6, 5, 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,6 .（1）又 B C 3，∴A(B C)3 ；（ 2）又 B C 1,2,3,4,5,6，得C A (BC) 6, 5, 4, 3, 2, 1,0 .∴ A C A (B C)6, 5, 4, 3, 2, 1,0 .【例 3】已知会合 A { x | 2 x4}， B { x | x m} ，且 A BA ，务实数 m 的取值范围 .解：由 AB A ，可得 AB .在数轴上表示会合 A 与会合 B ，如右图所示：BA由图形可知， m 4 .-24mx 评论：研究不等式所表示的会合问题，经常由会合之间的关系，获得各端点之间的关系，特别要注意能否含端点的问题 .【例 4】已知全集 U{ x | x 10,且 x N *}，A{2,4,5,8} ， B {1,3,5,8} ，求 C U ( AB) ，C U (A B) ，3( C U A) (C U B) ，( C U A) (C U B ) ，并比较它们的关系.解：由 A B {1,2,3,4,5,8}，则C U( A B) {6,7,9} .由 A B {5,8} ，则 C U ( A B) {1,2,3,4,6,7,9}由 C U A {1,3,6,7,9} ， C U B {2,4,6,7,9}，则 ( C U A) (C U B) {6,7,9} ，( C U A) (C U B) {1,2,3,4,6,7,9}.由计算结果能够知道，(C U A) (C U B) C U (A B) ，(C U A) (C U B) C U (A B) .另解：作出Venn 图，如右图所示，由图形能够直接察看出来结果.评论：可用 Venn 图研究(C U A)(C U B) C U ( A B) 与 (C U A) ( C U B) C U ( A B)，在理解的基础记着此结论，有助于此后快速解决一些会合问题.第 4 讲§会合的基本运算（二）¤学习目标：掌握会合、交集、并集、补集的有关性质，运转性质解决一些简单的问题；掌握会合运算中的一些数学思想方法 .¤知识重点：1. 含两个会合的Venn 图有四个地区，分别对应着这两个会合运算的结果. 我们需经过Venn 图理解和掌握各地区的会合运算表示，解决一类可用列举法表示的会合运算. 经过图形，我们还能够发现一些会合性质：C U (A B) (C U A) (C U B), C U ( A B) (C U A)(C U B) .2. 会合元素个数公式：n( A B) n( A) n( B) n( A B) .3. 在研究会合问题时，经常用到分类议论思想、数形联合思想等. 也常由新的定义观察创新思想.¤例题精讲：【例 1】设会合A 4,2a 1,a2 , B 9,a 5,1 a ，若 A B 9 ，务实数 a 的值.解：因为 A4,2a 1,a2 , B 9,a 5,1 a ，且 A B 9 ，则有：当 2a 1＝9时，解得a＝5，此时A={ －4, 9, 25} ， B={9, 0, －4} ，不合题意，故舍去；当 a2＝9 时，解得 a＝3或－ 3 .a＝3时，A={ －4,5,9} ，B ={9, －2,－ 2} ，不合题意，故舍去；a＝－ 3，A={ －4, －7，9} ， B={9, －8, 4} ，合题意.所以， a＝－3 .【例】设会合 A { x | ( x 3)( x a) 0, a R} ， B { x | ( x 4)( x 1) 0}，求 A B, A B （教材P142 .B组题 2）解： B {1,4} .当 a 3 时， A {3} ，则 A B {1,3,4} ， A B ；当 a 1时，A {1,3} ，则 A B {1,3,4} ， A B {1} ；当 a 4时，A {3,4} ，则 A B {1,3,4} ， A B {4} ；当 a 3 且 a 1 且 a 4时， A {3, a} ，则 A B { 1,3,4, a} ， A B.评论：会合 A 含有参数 a，需要对参数 a 进行分状况议论. 排列参数 a 的各样状况时，需依照会合的性质和影响运算结果的可能而进行剖析，不多许多是分类的原则.【例 3】设会合 A ={ x | x2 4 x 0 }， B ={ x | x2 2( a 1)x a2 1 0 ，a R}，若A B=B，务实数 a 的值．解：先化简会合A= { 4,0}.由A B=B，则 B A，可知会合 B 可为，或为 {0} ，或 { － 4} ，或{ 4,0} .(i)若 B= ，则4( a 1)2 4(a 2 1) 0 ，解得 a ＜ 1 ；(ii )若0 B，代入得a 2 1 =0 a =1或 a =1，当 a =1时，B=A，切合题意；当 a = 1 时， B={0} A，也切合题意．(iii )若－ 4 B，代入得a 2 8a 7 0 a =7或 a =1，当 a =1时，已经议论，切合题意；4当 a =7 时， B={ － 12，－ 4} ，不切合题意．综上可得， a =1 或 a ≤ 1 ．. 经过深刻理解会合表示法的变换，及会合之评论：本题观察分类议论的思想，以及会合间的关系的应用间的关系，能够把有关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法．解该题时，特别简单出现的错误是遗漏了 A=B 和 B= 的情况，进而造成错误．这需要在解题过程中要全方向、多角度审视问题 .【例 4】对会合 A 与 B ，若定义 A B{ x | x A,且 x B} ，当集合 A { x | x 8, x N * } ，集合B { x | x( x2)( x 5)( x 6) 0} 时，有 A B = . （由教材 P 12 补集定义“会合 A 相对于全集 U 的补集为C U A{ x | x,且 x A} ”而拓展）解：依据题意可知， A {1,2,3,4,5,6,7,8} ， B{0,2,5,6}由定义AB{ x | x A,且x B} ，则A B {1,3,4,7,8} .评论：运用新定义解题是学习能力的发展，也是一种创新思想的训练，重点是理解定义的本质性内涵，这里新定义的含义是从A 中清除B 的元素 . 假如再给定全集U ，则 A B 也相当于 A (C U B) .第 5 讲 §函数的观点¤学习目标：经过丰富实例，进一步领会函数是描绘变量之间的依靠关系的重要数学模型，在此基础上学惯用会合与对应的语言来刻画函数，领会对应关系在刻画函数观点中的作用；认识构成函数的因素，会求一些简单函数的定义域和值域 .¤知识重点：1. 设 A 、 B 是非空的数集，假如按某个确立的对应关系 f ，使对于会合 A 中的随意一个数 x ，在会合 B中都有独一确立的数 y 和它对应，那么就称 f ：A → B 为从会合 A 到会合 B 的一个函数（ function ），记作 y = f ( x) ，x A ．此中， x 叫自变量， x 的取值范围 A 叫作定义域（ domain ），与 x 的值对应的 y 值叫函数值，函数值的会合 { f ( x) | xA} 叫值域（ range ） .2. 设 a 、 b 是两个实数，且 a<b ，则： { x|a ≤ x ≤ b} ＝ [a,b] 叫闭区间；{ x|a<x<b} ＝ (a,b) 叫开区间；{ x|a ≤ x<b} ＝ [ a, b) ， { x|a< x ≤ b} ＝ (a, b] ，都叫半开半闭区间 .符号：“∞”读“无量大” ；“－∞”读“负无量大” ；“ +∞ ”读“正无量大” . 则{ x | x a} (a , ) ， { x | x a} [ a, ) ， { x | xb}( , b) ， { x| x b}( , b] ， R (, ) .3. 决定函数的三个因素是定义域、值域和对应法例 . 当且仅当函数定义域、对应法例分别相同时，函数才是同一函数 .¤例题精讲：【例 1】求以下函数的定义域：（ 1） y1；（ 2） x3.x 2 y13x1 2解：（1）由 x 2 10 ，解得 x 1且 x 3 ，所以原函数定义域为 ( , 3)( 3, 1) ( 1, ) .x 3，解得 x 3 且 x9 ，（ 2）由x 12 3所以原函数定义域为 [3,9)(9, ) .【例 2】求以下函数的定义域与值域：（ 1） y3x 2；（ 2） y x 2 x 2 .5 4 x解：（1）要使函数存心义，则 5 4x 0 ，解得 x 5 { x | x 5. 所以原函数的定义域是 } .4 43 x 2 1 12x 8 1 3(4 x 5) 23 3 23 3 3 ，所以值域为 { y | y3 y 5 4x45 4 x0 4 } .5 4 x 4 5 4 x 4 4 4（ 2） yx 2 x 2(x 1 )2 9 . 所以原函数的定义域是R ，值域是 ( , 9 ] .1 x2 44【例 3】已知函数 f ( x . 求：（ 1） f (2) 的值；（ 2） f ( x) 的表达式1 )x5解：（1）由1x 2 ，解得 x1，所以 f (2) 1 .1 x33（2）设1x t ，解得 x 1t，所以 f (t ) 1t，即f (x)1 x . 1 x1 t1 t1 x评论：本题解法中突出了换元法的思想. 这种问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，经常需要联合换元法、特值代入、方程思想等.【例 4】已知函数 f (x)x 22 , x R .1 x（ 1）求 f ( x)f ( 1 f (2)f (3)f (4) 11 1) 的值；（ 2）计算： f (1) f ( )f ( )f ( ) .x 12 34解：（1）由 f (x) f ( 1)222x2x 2x21 121 x 21 .x 1 x 11 xx1x121x11 1 7（ 2）原式f (1) ( f (2)f ( )) ( f (3) ( f (4)f (2 f ( )))) 32342评论：对规律的发现，能使我们实行巧算 . 正确探究出前一问的结论，是解答后一问的重点 .第 6 讲 § 函数的表示法¤学习目标：在本质情境中，会依据不一样的需要选择适合的方法（图象法、列表法、分析法）表示函数；经过详细实例，认识简单的分段函数，并能简单应用；认识映照的观点 .¤知识重点：1. 函数有三种表示方法：分析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，长处：简洁，给自变量可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，长处：直观形象，反响变化趋向）；列表法（列出表格表示两个变量之间的对应关系，长处：不需计算便可看出函数值） .2. 分段函数的表示法与意义（一个函数，不一样范围的 x ，对应法例不一样） .3. 一般地，设 A 、 B 是两个非空的会合，假如按某一个确立的对应法例f ，使对于会合 A 中的随意一个元素 x ，在会合 B 中都有独一确立的元素 y 与之对应，那么就称对应f : A B 为从会合 A 到会合 B 的一个映照（ mapping ）．记作“ f : AB ” .鉴别一个对应能否映照的重点： A 中随意， B 中独一；对应法例 f.¤例题精讲：【例 1】如图，有一块边长为 a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，而后折成一个无盖的盒子，写出体积V 以 x 为自变量的函数式是 _____ ，这个函数的定义域为 _______ ．解：盒子的高为 x ，长、宽为 a －2x ，所以体积为 V ＝ x(a － 2x)2 .又由 a －2xa0 ，解得 x .2a} .所以，体积 V 以 x 为自变量的函数式是V x(a －2 x) 2，定义域为 { x | 0 x2332x(,1)【例 2】已知 f(x)=x 2xx( 1 , ，求 f[f(0)] 的值 .3x 3)x解：∵ 0 (,1) ， ∴ f(0)= 32 .又 ∵ 3 2 >1，∴ f( 32 )=(3 2 )3+( 32 )-3=2+ 1 = 5，即 f[f(0)]=5.【例 3】画出以下函数的图象： 2 22（ 1） y | x 2| ；（教材 P 26 练习题 3）（ 2） y | x 1| | 2 x 4 | .解：（ 1）由绝对值的观点，有 y| xx 2, x 22 |x, x.226所以，函数 y| x 2 | 的图象如右图所示 .3x 3, x 1（ 2） y | x 1| | 2 x 4 |x 5, 2 x 1，3 x 3, x2所以，函数 y | x 1| | 2x 4 | 的图象如右图所示 .评论：含有绝对值的函数式，能够采纳分零点议论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，而后依据定义域的分段状况，选择相应的分析式作出函数图象.【例 4】函数 f ( x) [ x] 的函数值表示不超出x 的最大整数，比如 [ 3.5]4 ，[2.1] 2 ，当 x ( 2.5,3] 时，写出 f ( x) 的分析式，并作出函数的图象.3,x 2 2, 2 x 11, 1 x 0解： f ( x) 0, 0 x 1. 函数图象如右： 1, 1 x 22, 2 x 33, x3评论：解题重点是理解符号 m 的观点，抓住分段函数的对应函数式.第 7 讲 § 函数的单一性¤学习目标：经过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单一性及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质 . 理解增区间、减区间等观点，掌握增（减）函数的证明和鉴别.¤知识重点： 1. 增函数：设函数 y=f(x)的定义域为 I ，假如对于定义域 I 内的某个区间 D 内的随意两个自变量 x 1，x 2，当 x 1< x 2 时，都有 f(x 1)< f(x 2 )，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数（ increasing function ） . 模仿增函数的定义可定义减函数 .2. 假如函数 f(x)在某个区间 D 上是增函数或减函数，就说 f(x)在这一区间上拥有（严格的）单一性，区间 D 叫 f(x)的单一区间 . 在单一区间上，增函数的图象是从左向右是上涨的（如右图 1），减函数的图象从左向右是降落的（如右图 2） . 由此，能够直观察看函数图象上涨与降落的变化趋向，获得函数的单一区间及单一性.3. 判断单一性的步骤：设x 1 、 x 2 ∈给定区间，且 x 1 <x 2 ；→计算 f(x 1 )－ f(x 2 ) →判断符号→下结论 .¤例题精讲：【例 1】试用函数单一性的定义判断函数f (x)2x 在区间（ 0， 1）上的单一性 .x 1解：任取 x , x ∈ (0,1) ，且 x x . 则 f ( x 1) f ( x 2 ) 2x 1 2x 2 2( x 2 x 1 )2 .1 1 2x 1 1 x 2 1 (x 1 1)(x 2 1)因为 0 x 1 x 2 1 ， x 1 1 0 ， x 2 1 0 ， x 2 x 1 0 ，故 f ( x 1 ) f ( x 2 ) 0 ，即 f ( x 1 ) f (x 2 ) .所以，函数 f (x)2x 在（ 0， 1）上是减函数 .x 1【例 2】求二次函数 f (x) ax2bx c (a 0) 的单一区间及单一性 .解：设随意 x 1 , x 2 R ，且 x 1x 2 . 则f ( x 1 ) f ( x 2 ) ( ax 1 2bx 1 c) (ax 2 2 bx 2 c) a( x 12 x 2 2 ) b( x 1x 2 ) ( x 1 x 2 )[ a(x 1 x 2 ) b] .若 a 0 ，当 x 1 x 2 b x 2 0 ， x 1 x 2b ，即 a (x 1 x 2 ) b 0 ，进而 f ( x 1 ) f (x 2 ) 0 ，时，有 x 1 a 2a bb即 f ( x 1 ) f (x 2 ) ，所以 f (x) 在 ( , 上单一递加 . 同理可得f (x) 在 [, ) 上单一递减 .] 2a3】求以下函数的单一区间： 2a【例（ 1） y | x 1|| 2 x 4 | ；（ 2） yx 2 2| x | 3 .73x 3, x 1解：（ 1） y | x 1| | 2x4 | x5, 2 x 1 ，其图象如右 .3x 3, x 2由图可知，函数在 [ 2, ) 上是增函数，在( , 2] 上是减函数 .（ 2） yx22 | x | 3x 2 2 x 3, x 0 ，其图象如右 .x22x 3, x 0由图可知，函数在 ( , 1] 、 [0,1] 上是增函数，在 [ 1,0] 、 [1, ) 上是减函数 .评论：函数式中含有绝对值，能够采纳分零点议论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数.第2小题也能够由偶函数的对称性，先作y 轴右边的图象，并把 y 轴右边的图象对折到左边，获得 f (| x |) 的图象 . 由图象研究单一性，重点在于正确作出函数图象.【例 4】已知 f ( x) 3x1，指出 f ( x) 的单一区间 .x 2解：∵ f ( x)3( x 2) 5 3 x 5 ，x 22∴ 把g (x)5的图象沿 x 轴方向向左平移 2 个单位，再沿 y 轴向上平移 3 个单位，x获得 f ( x) 的图象，以下图 .由图象得 f (x) 在 (, 2) 单一递加，在 ( 2, ) 上单一递加 .评论：变形后联合平移知识，由平移变换获得一类分式函数的图象. 需知 f ( x a) b 平移变换规律 .第 8 讲 § 函数最大（小）值¤学习目标：经过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的最大（小）值及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质 . 能利用单一性求函数的最大（小）值 .¤知识重点：1. 定义最大值：设函数y f (x) 的定义域为I ，假如存在实数M 知足：对于随意的 ∈ ，都有 f (x) ≤ M ；x I存在 x 0∈ I ，使得 f (x 0 ) = M. 那么，称 M 是函数 y f (x) 的最大值（ Maximum Value ）. 模仿最大值定义，可以给出最小值（ Minimum Value ）的定义 .2. 配方法：研究二次函数 yax 2bx c (a0) 的最大（小）值，先配方成 y a( xb ) 2 4ac b 2 后，222a4a当 a 0 时，函数取最小值为4ac b ；当 a0 时，函数取最大值4ac b .4a4a3. 单一法：一些函数的单一性，比较简单察看出来，或许能够先证明出函数的单一性，再利用函数的单一性求函数的最大值或最小值 .4. 图象法：先作出其函数图象后，而后察看图象获得函数的最大值或最小值.¤例题精讲：【例 1】求函数 y6的最大值 .x 2x1解：配方为 y6，由 (x 1 )368 .13 2 3，得 0( x 224 41 23)4( x)422所以函数的最大值为 8.【例 2】某商人假如将进货单价为 8 元的商品按每件 10 元售出时，每日可售出 100 件 . 此刻他采纳提升售出价，减少进货量的方法增添收益，已知这种商品每件抬价1 元，其销售量就要减少 10 件，问他将售出价定为多少元时，才能使每日所赚得的收益最大？并求出最大收益 .解：设他将售出价定为 x 元，则提升了 (x 10) 元，减少了 10 ( x 10) 件，所赚得的收益为y (x8) [100 10 (x10)] .即 y10x 2 280x 1600 10( x 14) 2 360 . 当 x 14时， y max360 .8所以，他将售出价定为 14 元时，才能使每日所赚得的收益最大 , 最大收益为 360 元. 【例 3】求函数 y 2 xx 1 的最小值 .解：此函数的定义域为1, ，且函数在定义域上是增函数，所以当 x 1时，y min 2 1 1 2 ，函数的最小值为 2.评论：形如 y ax bcx d 的函数最大值或最小值，能够用单一性法研究，也能够用换元法研究 .【另解】令x 1 t ，则 t 0 ， x t 21 ，所以 y 2t 2t 2 2(t1 )2 15 ，在 t 0 时是增函数，当 t4 8时， y min 2 ，故函数的最小值为2.【例 4】求以下函数的最大值和最小值：（1） y 3 2x x 2, x[5 , 3] ；（2） y | x 1| | x 2 | .2 2b解：（ 1）二次函数 y3 2 x x 2 的对称轴为 x，即 x1 .2a39画出函数的图象，由图可知，当 x 1 时， y max 4 ；当 x时， y min2 .4所以函数 y3 2x x 2 , x [ 5 , 3 ] 的最大值为 4,最小值为9 .2 24（2）y | x 1| | x 2 | 3 ( x 2) 2x 1 ( 1 x 2) .3 ( x 1)作出函数的图象，由图可知，y [ 3,3] . 所以函数的最大值为 3, 最小值为 -3.评论：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常依据闭区间与对称轴的关系，联合图象进行剖析 . 含绝对值的函数，常分零点议论去绝对值，转变为分段函数进行研究 . 分段函数的图象注意分段作出.第 9 讲 §函数的奇偶性¤学习目标：联合详细函数，认识奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质 . 理解奇函数、偶函数的几何意义，能娴熟鉴别函数的奇偶性 .¤知识重点：1. 定义：一般地，对于函数 f (x) 定义域内的随意一个 x ，都有 f ( x) f (x) ，那么函数 f ( x) 叫偶函数（ evenfunction ）. 假如对于函数定义域内的随意一个x ，都有 f ( x) f ( x) ），那么函数 f ( x) 叫奇函数（ odd function ）.2. 拥有奇偶性的函数其定义域对于原点对称，奇函数的图象对于原点中心对称，偶函数图象对于 y 轴轴对称 .3. 鉴别方法：先观察定义域能否对于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等鉴别 f ( x) 与 f ( x) 的关系 .¤例题精讲：【例 1】鉴别以下函数的奇偶性：（ 1） f ( x) x 3 1 ；（ 2） f (x) | x 1| | x 1| ；（ 3） f ( x) x2 x3 .x解：（1）原函数定义域为 { x | x0} ，对于定义域的每一个x ，都有f ( x)( 31 31 f ( x) ，所认为奇函数 .x)x( x)x（ 2）原函数定义域为 R ，对于定义域的每一个x ，都有f ( x) | x1 | | x 1 | x| 1 | x |，所认为偶函数 .1f | x（ 3）因为 f ( x)x 2x 3f ( x) ，所以原函数为非奇非偶函数.【例 2】已知 f ( x) 是奇函数， g( x) 是偶函数，且 f (x) 1，求 f ( x) 、 g ( x) .g ( x)f ( x) 是奇函数，g ( x) 是偶函数，x 1解：∵∴ f ( x)f (x) ，g ( x)g ( x) .f (x)g ( x)1f (x)g (x)1 x 1 x 1则，即.1 1f ( x)g ( x) f ( x) g (x)x 1 x 1两式相减，解得 f (x)x；两式相加，解得g (x)12 2 . x 12x2x 1【例3】已知 f ( x)是偶函数，x 0 时， f ( x) 4 x ，求x 0 时f (x)的分析式.解：作出函数 y24 x 2( x22, x 0 的图象，其极点为(1,2) .2 x 1)∵ f (x) 是偶函数，∴ 其图象对于y 轴对称 .作出 x 0 时的图象，其极点为( 1,2) ，且与右边形状一致，∴ x 0 时， f (x) 2( x 1)2 2 2 x2 4 x .评论：本题中的函数本质就是y 2 x2 4 | x | . 注意两抛物线形状一致，则二次项系数 a 的绝对值相同 . 此类问题，我们也能够直接由函数奇偶性的定义来求，过程以下.【另解】当x 0 时，x 0 ，又因为 f ( x)是偶函数，则 f ( x) f ( x) ，所以，当 x 0 时， f ( x) f ( x) 2( x)2 4( x) 2 x2 4 x .【例 4 】设函数 f ( x) 是定义在R 上的奇函数，且在区间( ,0) 上是减函数，实数 a 知足不等式f (3a 2 a 3) f (3a2 2a) ，务实数 a 的取值范围 .解：∵ f ( x) 在区间 ( ,0) 上是减函数，∴ f ( x) 的图象在y轴左边递减.又∵ f ( x) 是奇函数，∴ f ( x) 的图象对于原点中心对称，则在y 轴右边相同递减 .又 f ( 0) f (0) ，解得 f (0) 0 ，所以 f ( x) 的图象在R上递减.∵ f (3a2 a 3) f (3a 2 2a ) ，∴3a 2 a 3 3a22a ，解得a 1 .评论：定义在R 上的奇函数的图象必定经过原点. 由图象对称性能够获得，奇函数在对于原点对称区间上单一性一致，偶函数在对于原点对称区间上的单一性相反.会合与函数基础测试一、选择题 (共 12 小题，每题 5 分，四个选项中只有一个切合要求)1．函数y＝＝x2－6x＋ 10 在区间（ 2， 4）上是（）A．递减函数B．递加函数C．先递减再递加D．选递加再递减．x y 22．方程组{ x y 0 的解构成的会合是（）A ．{( 1,1)} B．{1,1} C．（ 1， 1）D．{1}3．已知会合 A={ a， b， c}, 以下能够作为会合 A 的子集的是（）A. aB. { a， c}C. { a， e}D.{ a， b， c， d}4．以下图形中，表示M N的是（）M NN M M N MNA B C D5．以下表述正确的选项是（）A. { 0}B.{0}C. { 0}D. { 0}6、设会合A＝{x|x 参加自由泳的运动员} ， B＝ {x|x 参加蛙泳的运动员} ，对于“既参⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料介绍⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯加自由泳又参加蛙泳的运动员”用会合运算表示为( )A.A ∩B B ∪B B7.会合 A={x x 2k, k Z } ,B={ x x 2k 1, k Z } ,C={ x x 4k 1, k Z }又a A,b B, 则有（）A. （ a+b） AB. (a+b) BC.(a+b) CD. (a+b) A、B、C 任一个）8．函数f （）＝－2＋ 2（a－1） x＋2在（－∞，4）上是增函数，则 a 的范围是（x x a a aaA．≥5 B．≥3 C．≤3 D．≤－59.知足条件 {1,2,3} M {1,2,3,4,5,6} 的会合 M 的个数是（）A. 8 B . 7 C. 6 D. 510.全集 U = {1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，8 }， A= {3 ，4 ，5 }， B= {1 ，3 ，6 }，那么会合 { 2 ，7 ，8} 是（）A. A BB.ABC. C U A C U BD. C U A C U B11.以下函数中为偶函数的是（）A ．y xB ．y x C．y x2 D．y x3 112. 假如会合 A={ x|ax 2＋ 2 x＋ 1=0} 中只有一个元素，则 a 的值是（）A ． 0 B．0或1 C．1 D．不可以确立二、填空题 (共 4 小题，每题 4 分，把答案填在题中横线上)13．函数f（x）＝ 2× 2－3｜x｜的单一减区间是 ___________．14．函数y＝1的单一区间为 ___________．x＋1{ a,b,1} ，又可表示成 { a 2 ,a15.含有三个实数的会合既可表示成b,0} ，则 a 2003 b2004 .a16.已知会合U { x | 3 x 3}，M { x | 1 x 1} ， C U N { x | 0 x 2}那么会合N ，M (C U N) ， M N .三、解答题 (共 4 小题，共44 分）17. 已知会合 A { x x 2 4 0} ，会合 B { x ax 2 0}，若B A ，务实数a的取值会合．18. 设f（x）是定义在R上的增函数，f（xy）＝f（x）＋f（y），f（3）＝ 1，求解不等式f（x）＋f（x－2）＞ 1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料介绍⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯19. 已知函数 f （ x ）是奇函数，且当 x ＞ 0 时， f （ x ）＝ x 3＋ 2x 2—1，求 f （ x ）在 R 上的表达式．20. 已知二次函数f ( x) x 2 2(m 1) x 2m m 2 的图象对于 y 轴对称，写出函数的分析表达式，并求出函数 f (x) 的单一递加区间 .必修 1 第一章会合测试会合测试参照答案：一、 1~5CABCB6~10ABACC11~12cB二、 13 ［ 0， 3］，（－∞，－ 3）4414（－∞，－ 1），（－ 1，＋∞） 15 -116 N { x | 3 x 0 或 2 x 3} ；M (C U N ) { x | 0 x 1} ；⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新料介绍⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯M N { x | 3 x 1或 2 x3} .三、 17 .{0.-1,1} ；18. 解：由条件可得f x f x f x x f（ 3）．（）＋（－2）＝［（－2）］，1＝f x x f f xR 上的增函数，所以有x x3，可解得x所以［（－ 2）］＞（ 3），又（）是定义在（－2）＞＞ 3 或 x＜－1．答案：＞3 或＜－ 1．x x19.．分析：本题主假如培育学生理解观点的能力．f（ x）＝ x3＋2x2－1．因 f （ x）为奇函数，∴ f （0）＝-1．当 x＜0时，－ x＞0， f （－ x）＝（－ x）3＋2（－ x）2－1＝－ x3＋2x2－1，∴ f （ x）＝ x3－2x2＋1．20. 二次函数 f (x) x2 2(m 1)x 2m m2的图象对于y 轴对称，∴ m 1，则f ( x) x 2 1，函数 f (x) 的单一递加区间为,0 .．。

人教版高一数学必修一-第一章-知识点与习题讲解

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人教版高一数学必修一_第一章_知识点与习题讲解一、实数的分布1.有理数和无理数有理数是可以用两个整数的比表示的数，包括整数、分数和循环小数。

无理数是无限不循环小数，不能表示为两个整数的比。

2.实数的分布实数是由有理数和无理数组成的。

实数可以表示在数轴上，有理数处于数轴上的有序点上，而无理数则处于数轴上的间断点上。

二、数列1.数列的定义数列由按照一定规律排列的数所组成，数列中的每一个数称为数列的项，其中第n个数称为第n项，用an表示。

2.数列的性质-数列可以是有限的或无限的；-数列可以是等差数列、等比数列或其他类型的数列；-数列的前n项和是指数列的前n项的和，用Sn表示。

三、逻辑与命题1.命题的定义命题是陈述一个明确的陈述句，可以判断真假的句子。

2.逻辑的基本运算-否定：命题p的否定是“非p”，用¬p表示；-合取：命题p和命题q的合取是“p并且q”，用p∧q表示；-析取：命题p和命题q的析取是“p或者q”，用p∨q表示；-排列：命题p和命题q的排列是“若p，则q”，用p→q表示。

四、命题间的逻辑关系1.充分条件和必要条件-充分条件：若命题p→q成立，则p是q的充分条件；-必要条件：若命题p→q成立，则q是p的必要条件。

2.等价命题等价命题是指两个命题具有相同的真值，可以通过推理得到。

-等价式：若命题p等价于命题q，则称p和q是等价命题，并用p↔q 表示；-基本等价式：德摩根定律、蕴含等价式等。

练习题1.将下列数分为有理数和无理数：-1，1.5，√2，0.25，π答案：有理数：-1，1.5，0.25；无理数：√2，π2.判断以下数列是否为等差数列，并求出它的公差：-3，6，9，12，15-1，4，9，16-4，1，-2，-5，-8答案：-是等差数列，公差为3；-不是等差数列；-是等差数列，公差为-33.判断以下命题是否为真命题：-如果数是2的整数倍，那么它一定是偶数；-闰年是指能被4整除但不能被100整除，或者能被400整除的年份；-如果a=b，那么a+c=b+c。

人教版高中数学必修一第一章知识点(最新整理)

第一章集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法表示自然数集，或表示正整数集，表示整数集，表示有理数集，表示实数集.N N*N +Z Q R （3）集合与元素间的关系对象与集合的关系是，或者，两者必居其一.a M a M ∈a M ∉（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{|具有的性质}，其中为集合的代表元素.x x x ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().∅【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图子集BA ⊆（或)A B ⊇A 中的任一元素都属于B(1)A A⊆(2)A∅⊆(3)若且，则B A ⊆B C ⊆A C ⊆(4)若且，则B A ⊆B A ⊆A B=A(B)或B A真子集A B≠⊂（或B A ）≠⊃，且B 中至B A ⊆少有一元素不属于A（1）（A 为非空子集）A ≠∅⊂(2)若且，则A B ≠⊂B C ≠⊂A C≠⊂B A集合相等A B=A 中的任一元素都属于B ，B 中的任一元素都属于A(1)A B ⊆(2)B A⊆A(B)（7）已知集合有个元素，则它有个子集，它有个真子集，它有个非空子集，A (1)n n ≥2n 21n -21n -它有非空真子集.22n-（8）交集、并集、补集【1.1.3】集合的基本运算名称记号意义性质示意图交集A B且{|,x x A ∈}x B ∈（1）A A A = （2）A ∅=∅ （3）AB A⊆A B B ⊆ 并集A B或{|,x x A ∈}x B ∈（1）A A A = （2）A A ∅= （3）A B A⊇A B B ⊇ 补集U Að{|,}x x U x A ∈∉且1 2 ()U A A =∅ð()U A A U= ðA【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a <>{|}x a x a -<<||(0)x a a >>或|x x a <-}x a >||,||(0)ax b c ax b c c +<+>>把看成一个整体，化成，ax b +||x a <型不等式来求解||(0)x a a >>（2）一元二次不等式的解法O=Ob -=()()()U U U A B A B = ððð()()()U U U A B A B = ððð20(0)ax bx c a ++<>的解集12{|}x x x x <<∅∅〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个数，在集合A B fA x B中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则）()f x A B A B f 叫做集合到的一个函数，记作．A B :f A B →②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设是两个实数，且，满足的实数的集合叫做闭区间，记做；满足,a b ab <a x b ≤≤x [,]a b 的实数的集合叫做开区间，记做；满足，或的实数的a xb <<x (,)a b a x b ≤<a x b <≤x 集合叫做半开半闭区间，分别记做，；满足的实数的集[,)a b (,]a b ,,,x a x a x b x b ≥>≤<x 合分别记做．[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞注意：对于集合与区间，前者可以大于或等于，而后者必须{|}x ax b <<(,)a b a b ．a b <（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①是整式时，定义域是全体实数．()f x ②是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．()f x ③是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．()f x ④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤中，．tan y x =()2x k k Z ππ≠+∈⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数()f x的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知的定义域为，其复合函数()f x [,]a b [()]f g x 的定义域应由不等式解出．()ag x b ≤≤⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数可以化成一个系数含有的关于的二次方程()y f x =y x ，则在时，由于为实数，故必须有2()()()0a y x b y x c y ++=()0a y ≠,x y ，从而确定函数的值域或最值．2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设、是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中任何一个元素，在集合中都有A B fA B 唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合，以及到的对应法则）叫做集合A B A B f A到的映射，记作．B :f A B →②给定一个集合到集合的映射，且．如果元素和元素对应，那么我们把元素A B ,a A b B ∈∈a b 叫做元素的象，元素叫做元素的原象．b a a bo〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数，令，若为增，为增，则[()]y fg x =()u g x =()y f u =()u g x =为增；若为减，为减，则为增；若为[()]y f g x =()y f u =()u g x =[()]y f g x =()y f u =增，为减，则为减；若为减()u g x =[()]y f g x =()y f u =为减．[()]y f g x =（2）打“√”函数的图象与性质()(0)af x x a x=+>分别在、上为增函数，分别在()f x (,-∞)+∞、上为减函数．[（3）最大（小）值定义①一般地，设函数的定义域为，如果存在实数()y f x =IM 于任意的，都有；x I ∈()f x M ≤ （2）存在，使得．那么，我们称是函数的最大值，记作0x I ∈0()f x M=M ()f x ．max ()f x M=②一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足：（1）对于任意的，都有()y f x =I m x I ∈；（2）存在，使得．那么，我们称是函数的最小值，记作()f x m ≥0x I ∈0()f x m =m ()f x ．max ()f x m =【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(－x)=－f(x),那么函数f(x)叫做奇函数．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(－x)=f(x),那么函数f(x)叫做偶函数．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数为奇函数，且在处有定义，则．()f x 0x =(0)0f =③奇函数在轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在轴两侧相对称的区间增减性相反．y y ④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．。

新人教版高一数学必修一第一章知识点：集合

新人教版高一数学必修一第一章知识点：集合一.知识归纳：1.集合的有关概念。

1)集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合(集).其中每一个对象叫元素注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这与平面几何中的点与直线的概念类似。

②集合中的元素具有确定性(a?A和a?A，二者必居其一)、互异性(若a?A，b?A，则a≠b)和无序性({a,b}与{b,a}表示同一个集合)。

③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素;只要是它的元素就必须符号条件2)集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法3)集合的分类：有限集，无限集，空集。

4)常用数集：N，Z，Q，R，N*2.子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

1)子集：若对x∈A都有x∈B，则AB(或AB);2)真子集：AB且存在x0∈B但x0A;记为AB(或，且)3)交集：A∩B={x|x∈A且x∈B}4)并集：A∪B={x|x∈A或x∈B}5)补集：CUA={x|xA但x∈U}注意：①?A，若A≠?，则?A;②若，，则;③若且，则A=B(等集)3.弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号，特别要注意以下的符号：(1)与、?的区别;(2)与的区别;(3)与的区别。

4.有关子集的几个等价关系①A∩B=AAB;②A∪B=BAB;③ABCuACuB;④A∩CuB=空集CuAB;⑤CuA∪B=IAB。

5.交、并集运算的性质①A∩A=A，A∩?=?，A∩B=B∩A;②A∪A=A，A∪?=A，A∪B=B∪A;③Cu(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB;6.有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n-1个非空子集，2n-2个非空真子集。

二.例题讲解：【例1】已知集合M={x|x=m+,m∈Z},N={x|x=,n∈Z},P={x|x=,p∈Z}，则M,N,P满足关系A)M=NPB)MN=PC)MNPD)NPM分析一：从判断元素的共性与区别入手。

(完整版)人教版高中数学必修一第一章知识点

第一章集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n-非空真子集.（8）交集、并集、补集【1.1.3】集合的基本运算名称记号意义性质示意图交集A B{|,x x A∈且}x B∈（1）A A A=（2）A∅=∅（3）A B A⊆A B B⊆BA并集A B{|,x x A∈或}x B∈（1）A A A=（2）A A∅=（3）A B A⊇A B B⊇BA补集U A {|,}x x U x A∈∉且1()UA A=∅2()UA A U=【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a<>{|}x a x a-<<||(0)x a a>>|x x a<-或}x a>||,||(0) ax b c ax b c c+<+>>把ax b+看成一个整体，化成||x a<，||(0)x a a>>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24b ac ∆=-∆>0∆=0∆<二次函数2(0)y ax bx c a=++>的图象O一元二次方程20(0) ax bx c a++=>的根21,242b b acxa-±-=（其中12)x x<122bx xa==-无实根20(0) ax bx c a++>>的解集1{|x x x<或2}x x>{|x}2bxa≠-R ()()()U U UA B A B=()()()U U UA B A B=〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a xb <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．yxo〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yxox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()ug x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质()f x 分别在(,]a -∞-、,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a 、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义 ①一般地，设函数()y f x =的定义域为I，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M=．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M=．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函．．数．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称） ②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．。

高一必修一数学第一章知识点归纳

高一必修一数学第一章知识点归纳稿子一：嘿，亲爱的小伙伴！今天咱们来聊聊高一必修一数学第一章的那些知识点哟！先说集合吧，集合就像是个装东西的大口袋。

里面的元素得是确定的、互不相同的。

比如一个班的同学就可以组成一个集合。

子集和真子集可得搞清楚呀！子集就是一个集合包含另一个集合的所有元素，而真子集呢，是除了它本身以外的包含关系。

集合的运算也很有趣哦！交集就是两个集合共有的部分，就像两个圈子重叠的地方。

并集呢，则是把两个集合的所有元素都放一起。

还有空集，它可特别啦，就像一个啥都没有的空口袋，但它也是集合哟！集合的表示方法也有好几种，列举法简单直接，把元素一个个列出来；描述法就稍微复杂点，要用一些条件来描述元素的特征。

怎么样，是不是觉得集合还挺有意思的？加油好好学哟！稿子二：哈喽呀！咱们一起来瞅瞅高一必修一数学第一章的知识点呗！集合这玩意儿，你就想象成一堆有相同特点的东西放在一块儿。

比如说喜欢吃巧克力的人能组成一个集合。

集合里元素的性质要记住哦，确定性、互异性、无序性。

可别搞混啦！那子集和真子集，就好像大小不同的口袋，一个能完全装进另一个，真子集就是小口袋不能和大口袋一样大。

集合的运算可别头疼。

交集就是找两个集合都有的，就像找共同的朋友。

并集呢，就是把两个集合的所有东西都凑一起，不管是不是一样的。

空集虽然啥都没有，但也是集合家族的一员，可不能小瞧它。

还有集合的表示方法，列举法就像是点名，一个个说出来。

描述法呢，就是给个规则让你知道哪些能进来。

哎呀，数学其实也没那么难，好好琢磨这些知识点，肯定能学好哒！。

高一数学必修一第一章知识点与习题讲解

精心整理必修1第一章集合与函数基础知识点整理第1讲§1.1.1集合的含义与表示¤学习目标：通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系；能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用；掌握集合的表示方法、常用数集及其记法、集合元素的三个特征.¤知识要点：1.把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2.集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来，基本形式为{*N 或N +N ，2-解：（1）3{(,)|}{(1,4)}26y x x y y x =+⎧=⎨=-+⎩. （2）2{|4}{|4}y y x y y =-=≥-. （3）2{|}{|0}x y x x x==≠.点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量.在解题中不能把点的坐标混淆为{1,4}，也注意对比（2）与（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心.*【例4】已知集合2{|1}2x aA a x +==-有唯一实数解，试用列举法表示集合A ．解：化方程212x a x +=-为：2(2)0x x a --+=．应分以下三种情况： ⑴方程有等根且不是=0，得94a =-，此时的解为12x =，合．x =a =1x =-⑶方程有一解为x =代入得a =1x =+，合．综上可知，9{,4A =-．点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示.注意分式方程易造成增根的现象.包含包含A 的元，记作B A =，则A B A =，则¤例题精讲：1】用适当的符号填空：）{菱形}{平行四边形等腰三角形}{等边三角形，；，∈，，. （）. 两A =易知B ≠A ，故答案选A ．另解：由21,}2{|n x n B x +=∈=Z ，易知B ≠⊂A ，故答案选A ．【例3】若集合{}{}2|60,|10M x x x N x ax =+-==-=，且N M ⊆，求实数a 的值.解：由26023x x x +-=⇒=-或，因此，{}2,3M =-. （i ）若0a =时，得N =∅，此时，N M ⊆；（ii ）若0a ≠时，得1{}N a =.若N M ⊆,满足1123a a ==-或，解得1123a a ==-或. 故所求实数a 的值为0或12或13-.点评：在考察“A B ⊆”这一关系时，不要忘记“∅”，因为A =∅时存在A B ⊆.从而需要分情况讨论.题中讨论的主线是依据待定的元素进行.【例4】已知集合A ={a ,a +b ,a +2b }，B ={a ,ax ,ax 2}.若A =B ，求实数x 的值.解：若22a b axa b ax+=⎧⎨+=⎩⇒a +ax 2-2ax =0,所以a (x -1)2=0，即a =0或x =1. 当a =0时，集合B 中的元素均为0，故舍去；当x =1时，集合B 中的元素均相同，故舍去. 若22a b ax a b ax⎧+=⎨+=⎩⇒2ax 2-ax -a =0. 因为a ≠0，所以2x 2-x -1=0,即(x -1)(2x +1)=0.又x ≠1，所以只有1x =-. A B （读作“A B （读作“,()U B AB ð.{|3A B x =()U A B =【例2】设{|||6}A x Z x =∈≤，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求：（1）()A B C ；（2）()A A B C ð.解：{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A =------.（1）又{}3B C =，∴()A B C ={}3；（2）又{}1,2,3,4,5,6BC =，得{}()6,5,4,3,2,1,0A C BC =------.∴()A A C B C {}6,5,4,3,2,1,0=------.【例3】已知集合{|24}A x x =-<<，{|}B x x m =≤，且A B A =，求实数m 的取值范围.A-13 5 9 x解：由A B A =，可得A B ⊆.在数轴上表示集合A 与集合B ，如右图所示：由图形可知，4m ≥.点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关系，得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题.【例4】已知全集*{|10,}U x x x N =<∈且，{2,4,5,8}A =，{1,3,5,8}B =，求()U C AB ，()UC AB ，()()U U C A C B ，()()U U C A C B ，并比较它们的关系.解：由{1,2,3,4,5,8}A B =，则(){6,7,9}U C AB =.由{5,8}AB =，则(){1,2,3,4,6,7,9}UC AB =由{1,3,6,7,9}U C A =，{2,4,6,7,9}U C B =，()U C B =由计算结果可以知道，()()U U C B C AB =，()()U U C B C AB =.另解：作出Venn 图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果可用Venn 图研究()()()U U U C A C B C AB =与()()()U U U C A C B C AB =，在理解的基础记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.4讲§1.1.3集合的基本运算（二）：掌握集合、交集、并集、补集的有关性质，运行性质解决一些简单的问题；掌握集合运算中)()()U U U C B C A C B =,()()()U U U C A B C A C B =.2.集合元素个数公式：()()()()n ABn A n B n A B =+-.3.在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等.也常由新的定义考查创新思维¤例题精讲：}{}21,,9,5,1a B a a -=--，若{}9A B =，求实数{}9B =，则有：={9, 0, 4}－，不合题意，故舍去；不合题意，故舍去；P 14B组题2）解：{1,4}B =.当3a =时，{3}A =，则{1,3,4}A B =，A B =∅；当1a =时，{1,3}A =，则{1,3,4}A B =，{1}A B =；当4a =时，{3,4}A =，则{1,3,4}AB =，{4}A B =；当3a ≠且1a ≠且4a ≠时，{3,}A a =，则{1,3,4,}AB a =，A B =∅.点评：集合A 含有参数a ，需要对参数a 进行分情况讨论.罗列参数a 的各种情况时，需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原则.【例3】设集合A ={x |240x x +=}，B ={x |222(1)10x a x a +++-=，a R ∈}，若AB =B ，求实数a 的值．解：先化简集合A ={4,0}-.由AB =B ，则B ⊆A ，可知集合B 可为∅，或为{0}，或{－4}，或{4,0}-.(i )若B =∅，则224(1)4(1)0a a ∆=+--<，解得a ＜1-； (ii )若0∈B ，代入得2a 1-=0⇒a =1或a =1-，当a =1时，B =A ，符合题意；当a =1-时，B ={0}⊆A ，也符合题意．(iii )若－4∈B ，代入得2870a a -+=⇒a =7或a =1，当a =1时，已经讨论，符合题意；当a =7时，B ={－12，－4}，不符合题意．综上可得，a =1或a ≤1-．点评：此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用.通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之集合B =,UC x A ∉且：根据题意可知，{|B x x -={1,3,4,7,8}=()U C B .进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，了解构成函数的要素，B y =). 3.决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则.当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数.¤例题精讲：【例1】求下列函数的定义域：（1）121y x =+-；（2）y =.解：（1）由210x +-≠，解得1x ≠-且3x ≠-，所以原函数定义域为(,3)(3,1)(1,)-∞----+∞.（2）由3020x -≥⎧⎪≠，解得3x ≥且9x ≠，所以原函数定义域为[3,9)(9,)+∞.【例2】求下列函数的定义域与值域：（1）3254x y x+=-；（2）22y x x =-++. 解：（1）要使函数有意义，则540x -≠，解得54x ≠.所以原函数的定义域是5{|}4x x ≠.32112813(45)233233305445445445444x x x y x x x x ++-+==⨯=⨯=-+≠-+=-----，所以值域为3{|}4y y ≠-.（2）22192()24y x x x =-++=--+.所以原函数的定义域是R ，值域是9(,]4-∞.【例3】已知函数1()1xf x x-=+.求：（1）(2)f 的值；（2）()f x 的表达式素（mapping ）．记作“:f A B →”.判别一个对应是否映射的关键：A 中任意，B 中唯一；对应法则f .¤例题精讲：【例1】如图，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V 以x 为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______．解：盒子的高为x ，长、宽为2a x －，所以体积为V ＝2(2)x a x －. 又由20a x >－，解得2a x <. 所以，体积V 以x 为自变量的函数式是2(2)V x a x =－，定义域为{|0}2a x x <<.【例2】已知f (x)=33x x-+⎪⎩(,1)(1,)x x ∈-∞∈+∞，求f [f (0)]的值.解：∵0(,1)∈-∞，∴f(0)=，∴f3-3=2+12=52，即f [f (0)]=52. 【例3】画出下列函数的图象：（1）|2|y x =-；（教材P 26练习题3）（2）|1||24|y x x =-++.解：（1）由绝对值的概念，有2,2|2|x x y x -≥⎧=-=⎨.区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说f (x )在区间D 上是增函数（increasingfunction ）.仿照增函数的定义可定义减函数.2.如果函数f (x )在某个区间D 上是增函数或减函数，就说f (x )在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫f(x )的单调区间.在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的（如右图1），减函数的图象从左向右是下降的（如右图2）.由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.3.判断单调性的步骤：设x 1、x 2∈给定区间，且x 1<x 2；→计算f (x 1)－f (x 2)→判断符号→下结论.¤例题精讲：【例1】试用函数单调性的定义判断函数2()1xf x x =-在区间（0，1）上的单调性. 解：任取12,x x ∈(0,1)，且12x x <.则1221121212222()()()11(1)(1)x x x x f x f x x x x x --=-=----. 由于1201x x <<<，110x -<，210x -<，210x x ->，故12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >.所以，函数2()1xf x x =-在（0，1）上是减函数.【例2】求二次函数2()(0)f x ax bx c a =++<的单调区间及单调性.解：设任意12,x x R ∈，且12x x <.则22121122()()()()f x f x ax bx c ax bx c -=++-++221212()()a x x b x x =-+-1212()[()]x x a x x b =-++.b b0<，即(f得到f ¤学习目标：通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的最大（小）值及其几何意义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质.能利用单调性求函数的最大（小）值.¤知识要点：1.定义最大值：设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于任意的x ∈I ，都有()f x ≤M ；存在x 0∈I ，使得0()f x =M .那么，称M 是函数()y f x =的最大值（MaximumValue ）.仿照最大值定义，可以给出最小值（MinimumValue ）的定义.2.配方法：研究二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的最大（小）值，先配方成224(24b ac b y a x a a-=++后，当0a >时，函数取最小值为244ac b a -；当0a <时，函数取最大值244ac b a-.3.单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.4.图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值. ¤例题精讲：【例1】求函数261y x x =++的最大值. 解：配方为2613()24y x =++，由2133()244x ++≥，得260813()24x <≤++. 所以函数的最大值为8.【例2】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可售出100件.现在他采用提高解10(10)x -件，所赚得的利润为8)[10010(10)]x --.即2280160010(x +-=-时，max 360y =所以，他将售出价定为14元时，才能使每天所赚得的利润最大,最大利润为】求函数21y x x =+-的最小值解在t ≥（解（作出函数的图象，由图可知，[3,3]y ∈-.所以函数的最大值为3,最小值为-3.点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的关系，结合图象进行分析.含绝对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究.分段函数的图象注意分段作出.第9讲§1.3.2函数的奇偶性¤学习目标：结合具体函数，了解奇偶性的含义；学会运用函数图像理解和研究函数的性质.理解奇函数、偶函数的几何意义，能熟练判别函数的奇偶性.¤知识要点：1.定义：一般地，对于函数()f x 定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 叫偶函数（evenfunction ）.如果对于函数定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-），那么函数()f x 叫奇函数（oddfunction ）.2.具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称，奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数图象关于y 轴轴对称.3.判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别()f x -与()f x 的关系.¤例题精讲：【例1】判别下列函数的奇偶性：（1）31()f x x x=-；（2）()|1||1|f x x x =-++；（3）23()f x x x =-. 解：（1）原函数定义域为{|0}x x ≠，对于定义域的每一个x ，都有3311()()(()f x x x f x x x-=--=--=--，所以为奇函数..2(3f a 又∵()f x 是奇函数，∴()f x 的图象关于原点中心对称，则在y 轴右侧同样递减. 又(0)(0)f f -=-，解得(0)0f =，所以()f x 的图象在R 上递减. ∵22(33)(32)f a a f a a +-<-， ∴223332a a a a +->-，解得1a >.点评：定义在R 上的奇函数的图象一定经过原点.由图象对称性可以得到，奇函数在关于原点对称区间上单调性一致，偶函数在关于原点对称区间上的单调性相反.集合与函数基础测试一、选择题(共12小题，每题5分，四个选项中只有一个符合要求)1．函数y ＝＝x 2－6x ＋10在区间（2，4）上是（）A ．递减函数B ．递增函数C ．先递减再递增D ．选递增再递减．2．方程组20{=+=-y x y x 的解构成的集合是（）A ．)}1,1{(B ．}1,1{C ．（1，1）D ．}1{3．已知集合A ={a ，b ，c },下列可以作为集合A 的子集的是（）,B ∈A B B A B C A C U U D.B C A C U U11.下列函数中为偶函数的是（）A ．x y =B ．x y =C ．2x y =D ．13+=x y12.如果集合A={x |ax 2＋2x ＋1=0}中只有一个元素，则a 的值是（）A ．0B ．0或1C ．1D ．不能确定二、填空题(共4小题，每题4分，把答案填在题中横线上)13．函数f （x ）＝2×2－3｜x ｜的单调减区间是___________．14．函数y ＝11＋x 的单调区间为___________． 15.含有三个实数的集合既可表示成}1,,{ab a ，又可表示成}0,,{2b a a +，则=+20042003b a . 16.已知集合}33|{≤≤-=x x U ，}11|{<<-=x x M ，}20|{<<=x x N C U 那么集合=N ，=⋂)(N C M U ，=⋃N M .三、解答题(共4小题，共44分）17.已知集合}04{2=-=x x A ，集合}02{=-=ax x B ，若A B ⊆，求实数a 的取值集合．18.19.x ）在R 20.}；）］，1＝f 所以f ［x （x －2）］＞f （3），又f （x ）是定义在R 上的增函数，所以有x （x －2）＞3，可解得x ＞3或x ＜－1．答案：x ＞3或x ＜－1．19.．解析：本题主要是培养学生理解概念的能力．f （x ）＝x 3＋2x 2－1．因f （x ）为奇函数，∴f （0）＝-1．当x ＜0时，－x ＞0，f （－x ）＝（－x ）3＋2（－x ）2－1＝－x 3＋2x 2－1， ∴f （x ）＝x 3－2x 2＋1．20. 二次函数222)1(2)(m m x m x x f -+-+-=的图象关于y 轴对称， ∴1=m ，则1)(2+-=x x f ，函数)(x f 的单调递增区间为(]0,∞-. ．。

新人教A版数学必修第一册第一章知识点总结与例题讲解

集合的概念知识点总结与例题讲解一、本节知识要点（1）集合的含义与表示;（2）元素与集合之间的关系与表示;（3）集合元素的三个基本性质;（4）常用数集的表示;（5）集合的两种表示方法（列举法和描述法）;（6）集合的分类.二、集合的含义与表示一般地,指定的某些对象的全体称为集合.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.集合用大写字母来表示,集合的元素用小写字母来表示.三、元素与集合之间的关系与表示元素与集合之间是从属关系:若元素a在集合A中,就说元素a属于集合A,记作a∉.a∈;若元素a不在集合A中,则称元素a不属于集合A,记作A A要求会判断元素与集合之间的从属关系.四、集合元素的三个基本性质集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.确定性给定一个集合,它的元素必须是确定的.也就是说,给定一个集合,任何一个元素属于或不属于这个集合,也就确定了.互异性给定一个集合,它的元素是互不相同的.即同一个集合中的元素不能重复出现.在用列举法表示集合时,相同的元素算作集合的一个元素.无序性集合中的元素是没有顺序的.如果构成两个集合的元素是相同的,那么就称这两个集合相等.五、常用数集的表示自然数集N; 正整数集N+或N*; 整数集Z; 有理数集Q; 实数集R. 六、集合的两种表示方法集合有两种常用表示方法,即列举法和描述法.此外还有韦恩图法（Venn图法）.列举法把集合的元素一一列举出来,并用大括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.用列举法表示集合时要注意以下几点:（1）元素之间必须用逗号隔开;（2）元素不能重复（即集合的元素要满足互异性）;（3）元素之间无先后顺序（集合的元素具有无序性）;（4）表示有规律的无限集时,必须把元素间的规律表示清楚后才可以使用省略号,如﹛1 , 2 , 3 , … ﹜;（5）注意a 与{}a 的表示是有区别的:a 表示的是一个元素,{}a 表示的是只有一个元素a 的集合.二者具有从属关系,及a A ∈.列举法常用来表示有限集或有规律的无限集.描述法定义用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.记作(){}x P I x ∈,其中x 为集合的代表元素,I 表示元素x 的取值范围,()x P 表示集合的元素所具有的共同特征.第二定义用确定的条件表示某些对象属于一个集合的方法,称为描述法.注意:“共同特征”或“确定的条件”可以说是方程,也可以是不等式（组）等.如集合{}0322=--=x x x A ,集合{}062<-=x x B .用描述法表示集合时要注意以下几点:（1）写清集合中的代表元素,如实数或有序实数对,从而正确表示数集和点集;（2）用简洁准确的语言表示集合中元素的共同特征;（3）不能出现未被说明的字母,如集合{}n x Z x 2=∈中的n 未被说明,应正确表示为{}Z n n x Z x ∈=∈,2或{}Z n n x x ∈=,2;（4）元素的取值范围,从上、下文来看,如果是明确的,可以省略.如集合{}02=+∈x x R x ,也可以写作{}02=+x x x .（5）出现多层描述时,应正确使用“或”、“且”、“非”等逻辑联结词;（6）所有描述的内容都要写在大括号内;（7）识别描述法表示的集合时,要看清代表元素,正确区分数集和点集.当集合所含元素较多或元素的共同特征不明显时,适合用描述法来表示集合.例1. 用两种方法表示二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+152y x y x 的解. 注意:二元一次方程组的解是有序实数对,所以在表示二元一次方程组的解时,要表示为点集的形式.解:解二元一次方程组⎩⎨⎧=-=+152y x y x 得:⎩⎨⎧==12y x 用列举法表示为(){}1,2,用描述法表示为()⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎩⎨⎧==12,y x y x . 提示:(){}1,2与(){}2,1表示的是两个不同的集合.例2. 指出集合{}12-=x y x 与集合(){}12,-=x y y x 的区别.注意:区分数集和点集的关键在于代表元素.用描述法表示集合时记作(){}x P I x ∈,其中x 表示的就是代表元素,它可以是一个数字（数集）,也可以是有序实数对（点集）.解:集合{}12-=x y x 表示的是一个数集,它表示函数解析式12-=x y 中自变量的取值范围,所以{}=-=12x y x R ;集合(){}12,-=x y y x 表示的是一个点集,它表示函数12-=x y 的图象上所有点的坐标.例3. 用合适的方法表示下列集合:（1）文房四宝;（2）2019年9月3日,新乡市平原示范区所辖乡镇;（3）平面直角坐标系中,第二象限的点构成的集合.注意:在用描述法表示集合时,元素之间必须用逗号隔开,不要用错标点符号.点集的代表元素为有序实数对.解:（1）{}砚纸墨笔,,,;（2）{}师寨镇桥北乡原武镇韩董庄乡祝楼乡,,,,;（3）(){}0,0,><y x y x 且.例4. 分别用列举法和描述法表示下列集合:（1）方程022=-x 的所有实数根组成的集合;（2）由大于10小于15的所有整数组成的集合.注意:在用列举法表示集合时,代表元素的取值范围,如果从上、下文来看是明确的,可以省略.解:（1）列举法:{}2,2-; 描述法:{}022=-∈x R x 或{}022=-x x .（2）列举法:﹛11 , 12 , 13 , 14﹜;描述法:{}1510<<∈x Z x .七、集合的分类集合按所含元素个数的多少可以分为有限集、无限集和空集含有有限个元素的集合叫做有限集.含无限个元素的集合叫做无限集. 不含任何元素的集合叫做空集,记作∅.如方程012=+x 的实数根组成的集合{}012=+∈x R x 就是一个空集,即{}∅==+∈012x R x .八、重要结论:判断形如02=++c bx ax 的方程的实数根的个数的方法是:（1）当0=a 时,方程可化为0=+c bx 的形式:①当0≠b 时,方程有唯一一个实数根bc x -=; ②当0,0==c b 时,方程有无数个实数根;③当0,0≠=c b 时,方程没有实数根;（2）当0≠a 时,原方程为关于x 的一元二次方程:①若042>-=∆ac b ,则方程有两个不相等的实数根;②若042=-=∆ac b ,则方程有两个相等的实数根（此种情况下表示方程的实数根组成的集合时,集合只有一个元素）;③若042<-=∆ac b ,则方程没有实数根.提示:在讨论集合元素的个数时,一定要注意分类讨论.例5. 已知集合{}R a x ax R x A ∈=++∈=,0122.（1）若A 中只有一个元素,求a 的值;（2）若A 中至多有一个元素,求a 的取值范围.分析:先弄清楚集合A 的本质.集合A 是由方程0122=++x ax 的实数根组成的集合,该方程中含有参数a ,为含参方程.（1）集合A 中只有一个元素,指的是方程0122=++x ax 只有一个实数根,该方程可以是一次方程()0=a ,也可以是二次方程()0≠a ,注意分类讨论;（2）集合A 中至多有一个元素,指的是方程0122=++x ax 只有一个实数根或没有实数根.解:（1）当0=a 时,原方程可化为:012=+x ,解之得:21-=x ,集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=21A ,符合题意;当0≠a 时,∵0122=++x ax 只有一个实数根∴044=-=∆a ,解之得:1=a综上,当0=a 或1=a 时, A 中只有一个元素;（2）当A 中只有一个元素时,由（1）可知:0=a 或1=a ;当A 中没有元素时,即方程0122=++x ax 没有实数根∴044<-=∆a ,解之得:1>a综上,当0=a 或a ≥1时,A 中至多有一个元素.例6. 实数集A 满足条件:A ∉1,若A a ∈,则A a ∈-11. （1）若A ∈2,求A ;（2）集合A 能否为单元素集合?若能,求出A ;若不能,请说明理由;（3）求证:A a∈-11. 分析:本题重点考查集合元素的三个基本性质:确定性、互异性和无序性. （1）解:∵A ∈2,12≠ ∴A ∈-=-1211∵11,1≠-∈-A ∴()A ∈=--21111 ∵121,21≠∈A ∴A ∈=-22111 ∴=A ﹛2 , 1- , 21﹜; （2）解:A 不能为单元素集合.理由如下:若A 为单元素集合,则有aa -=11,整理得:012=+-a a ∵()031412<-=⨯--=∆ ∴方程012=+-a a 没有实数根∴A 不能为单元素集合;（3）证明:若A a ∈,则A a ∈-11 ∴A aa a a ∈-=-=--1111111. 例7. 已知集合{}032=+-=a x x x A ,若A ∈4,求集合A .分析:由题意可知集合A 是由方程032=+-a x x 的实数根构成的,“A ∈4”指的是4=x 是方程032=+-a x x 的一个实数根.解:∵A ∈4∴4=x 是方程032=+-a x x 的一个实数根∴04342=+⨯-a解之得:4-=a∴原方程为:0432=--x x解之得:1,421-==x x∴集合{}4,1-=A .例8. 已知集合{}R x x ax x A ∈=--=,0432.（1）当A 中只有一个元素时,求a 的值,并求出此元素;（2）当A 中有两个元素时,求a 满足的条件;（3）当A 中至少有一个元素时,求a 满足的条件.分析:集合A 为含参方程0432=--x ax 的实数根构成的集合.因为方程所含参数为二次项系数,所以该方程可以是关于x 的一元一次方程,也可以是一元二次方程,所以在研究该方程的实数根时,要分为两种情况进行讨论.（1）当A 中只有一个元素时,说明方程0432=--x ax 只有一个实数根,此时0=a ;或该方程有两个相等的实数根,此时0≠a ;（2）当A 中有两个元素时,说明方程0432=--x ax 为一元二次方程,此时0≠a ,且方程有两个不相等的实数根;（3）当A 中至少有一个元素时,说明方程0432=--x ax 只有一个实数根或有两个不相等的实数根,为（1）问和（2）问结果的综合.解:（1）分为两种情况:①当0=a 时,原方程为:043=--x ,解之得:34-=x ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=34A ,符合题意; ②当0≠a 时,由题意可知方程0432=--x ax 有两个相等的实数根∴()()04432=-⨯--=∆a 解之得:169-=a ∴原方程为:0431692=---x x 解之得:3821-==x x ∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=38A . 综上,当0=a 时,集合A 只有一个元素34-;当169-=a 时,集合A 只有一个元素38-; （2）∵A 中有两个元素 ∴方程0432=--x ax 为一元二次方程,且有两个不相等的实数根∴()()⎩⎨⎧>-⨯--=∆≠044302a a 解之得:169->a 且0≠a ;（3）∵A 中至少有一个元素∴A 中有一个元素或有两个元素当A 中有一个元素时,由（1）可知:0=a 或169-=a ; 当A 中有两个元素时,由（2）可知:169->a 且0≠a . 综上,a 满足的条件是a ≥169-. 重要结论: 判断形如02=++c bx ax 的方程的实数根的个数的方法是:（1）当0=a 时,方程可化为0=+c bx 的形式:①当0≠b 时,方程有唯一一个实数根bc x -=; ②当0,0==c b 时,方程有无数个实数根;③当0,0≠=c b 时,方程没有实数根;（2）当0≠a 时,原方程为关于x 的一元二次方程:①若042>-=∆ac b ,则方程有两个不相等的实数根;②若042=-=∆ac b ,则方程有两个相等的实数根（此种情况下表示方程的实数根组成的集合时,集合只有一个元素）;③若042<-=∆ac b ,则方程没有实数根.例9. 已知{}x q px x x A =++=2,()(){}1112+=+-+-=x q x p x x B ,当{}2=A 时,求集合B .解:∵{}2=A∴方程x q px x =++2,即()012=+-+q x p x 有两个相等的实数根,且221==x x由根与系数的关系定理可得:()⎩⎨⎧==--441q p 解之得:⎩⎨⎧=-=43q p ∴()(){}()(){}1413111122+=+---=+=+-+-=x x x x x q x p x x B 整理得:{}0762=+-=x x x B解方程0762=+-x x 得:23,2321-=+=x x ∴集合{}23,23-+=B .例10. 设b ax x y +-=2,{}0=-=x y x A ,{}0=-=ax y x B ,若{}1,3-=A ,试用列举法表示集合B .分析:本题要先由根与系数的关系定理求出b a ,的值,然后把集合B 中的方程转化为关于x 的具体的一元二次方程,解方程即可求出集合B .解:∵b ax x y +-=2 ∴{}(){}0102=++-==-=b x a x x x y x A {}{}0202=+-==-=b ax x x ax y x B∵{}1,3-=A∴1,321=-=x x 是方程()012=++-b x a x 的两个实数根由根与系数的关系定理可得:⎩⎨⎧-=-=+321b a 解之得:⎩⎨⎧-=-=33b a ,∴{}{}0360222=-+==+-=x x x b ax x x B 解方程0362=-+x x 得:323,32321--=+-=x x ∴集合{}323,323--+-=B .例11. 已知集合()(){}012=-+--=a ax x a x x M 中各元素之和等于3,求实数a 的值,并用列举法表示集合M .分析:本题考查到集合元素的基本性质:互异性,注意分类讨论.解:∵()(){}012=-+--=a ax x a x x M∴()()()[]}{011=----=a x x a x x M∵1-≠a a ,且集合M 中各元素之和等于3∴当1=a 时,{}0,1=M ,301≠+,不符合题意;当11=-a ,即2=a 时,{}1,2=M ,312=+,符合题意;当1≠a 且2≠a 时,{}1,1,-=a a M ,由311=-++a a 得23=a ,此时⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21,1,23M ,符合题意.综上,实数a 的值为2或23,集合{}1,2=M 或⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21,1,23M . 提示:在用列举法表示有限集时,要注意集合元素的互异性. 题型二、集合元素的基本性质的应用集合的元素具有确定性、互异性和无序性,其中对互异性的考查最为常见. 例12. 已知集合{}10,4,22a a a A +-=,若A ∈-3,求实数a 的值. 分析:由元素与集合之间的关系可求出实数a 的值,但要注意所求a 的值要保证集合A 中的元素互不相同,即满足互异性,所以要对求得的a 的值进行检验. 解:当32-=-a 时,解之得:1-=a ,此时{}10,3,3--=A ,不满足元素的互异性,舍去; 当342-=+a a 时,解之得:11-=a （已舍去）,32-=a当3-=a 时,{}10,3,5--=A ,符合题意.综上,实数a 的值为3-.例13. 由实数22,,,,x x x x x --所组成的集合中,含有元素的个数最多有【】（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 分析:本题主要考查集合元素的互异性.解:∵x x =2,x x -=-2∴①当0>x 时,x x x ==2,x x x -=-=-2∴所组成的集合中含有2个元素x x -,;②当0=x 时,所组成的集合中,只有一个元素0;③当0<x 时,x x x -==2,x x x =-=-2∴所组成的集合中含有2个元素x x -,.综上,含有元素的个数最多有2个.选择【 A 】.题型三、元素与集合的关系元素与集合的关系是从属关系,只有元素属于集合和元素不属于集合两种关系. 判断一个元素是否属于集合的方法是:（1）弄清集合代表元素的含义以及集合所含元素的共同特征; （2）看元素是否满足集合元素的共同特征.例14. 已知集合A 满足条件:若A a ∈,则()111≠∈-+a A a a .若A ∈31,且集合A 中的元素不超过4个,求集合A 中的其它元素. 分析:根据“若A a ∈,则()111≠∈-+a A a a ”,将31=a 代入aa-+11即可求出集合A 的另一个元素,以此类推,可得集合A 中的其它三个元素.解:∵A ∈31∴A ∈=-+2311311 ∴A ∈-=-+32121 ∴A ∈-=+-213131 ∴A ∈=+-31211211 ……∴集合A 中的其它元素为2 , 3- , 21-. 例15. 已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x M ,21,⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x N ,12,若M x ∈0,则0x 与N 的关系是【】（A ）N x ∈0 （B ）N x ∉0 （C ）N x ∈0或N x ∉0 （D ）不能确定解:∵⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x Z k k x x M ,212,21∴集合M 为全体奇数的一半所组成的集合∵⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x Z k k x x N ,22,12 ∴集合N 为全体整数的一半所组成的集合 ∴若M x ∈0,则必有N x ∈0.选择【 A 】.令解:⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x Z k k x x N ,22,12 当()Z n n k ∈=2时,{}Z n n x x N ∈+==,1;当()Z n n k ∈-=12时,⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z n n x x N ,21.∵M x ∈0 可设()Z k k x ∈+=2100 ∴N x ∈0.（由后面可知,集合M 与集合N 的关系为N M ⊆,所以若M x ∈0,则有N x ∈0）例16. 已知集合{}N x x x A ∈≤-=,21,{}A x x y y B ∈+==,12,则集合B 中所有元素之和为_________.分析:先解绝对值不等式21≤-x ,再用列举法表示出集合A .下面给你补充简单绝对值不等式的解法.知识点简单绝对值不等式的解法（1）x ≥a （a ≥0）型不等式的解法:x ≥a （a ≥0）x ⇔≥a 或x ≤a -. （2）x ≤a （a ≥0）型不等式的解法:x ≤a （a ≥0）a -⇔≤x ≤a . 根据上面补充的结论,若21≤-x ,则2-≤1-x ≤2,解之得:1-≤x ≤3. 解:∵{}{}{}3,2,1,0,31,21=∈≤≤-=∈≤-=N x x x N x x x A ∴{}{}10,5,2,1,12=∈+==A x x y y B ,集合B 中所有元素之和为18.BA （B ）A集合间的基本关系知识点总结与例题讲解一、本节知识点（1）Venn 图,表示集合的图示法; （2）子集的含义及表示; （3）集合相等;（4）真子集的含义及表示; （5）空集的含义及其性质; （6）子集、真子集个数的确定. 知识点一 Venn 图在数学中,我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn 图（韦恩图）.这种表示集合的方法叫做图示法.关于Venn 图:（1）Venn 图的边界是封闭的曲线,它可以是椭圆、圆、矩形,也可以是其它的封闭曲线;（2）用Venn 图表示集合的优点是能直观地反映集合之间的关系,缺点是集合元素的共同特征不明显.知识点二子集的含义及表示子集反映的是集合之间的包含关系.一般地,对于两个集合A , B ,如果集合A 中的任意一个元素都是集合B 中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A 为集合B 的子集,记作B A ⊆（或A B ⊇）,读作“A 含于B ”（或“B 包含A ”）.对子集的理解:（1）B A ⊆的Venn 图表示:（2）B A ⊆的符号表述:对任意的A x ∈,都有B x ∈.（3）若集合A 中存在不属于集合B 的元素时,则集合A 不是集合B 的子集.子集的性质:（1）任何一个集合都是它本身的子集（包括后面的空集,即∅⊆∅）; （2）传递性:若C B B A ⊆⊆,,则C A ⊆.子集的应用根据集合之间的关系可以确定参数的值或取值范围. 若B A ⊆,在未指明A 非空时,要分两种情况进行讨论: ①∅=A ; ②∅≠A .知识点三集合相等如果集合A 是集合B 的子集（B A ⊆）,且集合B 是集合A 的子集（A B ⊆）,此时集合A 与集合B 的元素是一样的,集合A 与集合B 相等,叫做B A =. 上面也即互为子集的两个集合相等.集合B A =的符号表述:若B A ⊆,且A B ⊆,则B A =.如何证明两个集合相等对于两个集合A , B ,若要证明B A =,只需证明B A ⊆与A B ⊆均成立即可.如何判断两个集合相等（1）当两个集合为有限集时,若两个集合的元素个数相同,且都含有相同的元素,则这两个集合相等.（2）当两个集合为无限集时,若两个集合的代表元素满足的条件一致,则两个集合相等.注意:集合相等与集合的形式无关,形式不同的两个集合也可以相等.如{}{}2,130=<<∈x Z x .知识点四真子集的含义及表示如果集合B A ⊆,但存在元素B x ∈,且A x ∉,我们称集合A 是集合B 的真子集,记作B A ≠⊂（或A B ≠⊃）,读作“A 真含于B ”（或“B 真包含A ”）.BA对真子集的理解:（1）B A ≠⊂的Venn 图表示:（2）B A ≠⊂的符号表述:若B A ⊆,且B A ≠,则B A ≠⊂.（3）若B A ≠⊂,则B 中至少存在一个A 中没有的元素. （4）规定∅是任何非空集合的真子集,即若∅≠A ,则A ≠⊂∅.子集与真子集的关系若B A ⊆,则B A =或B A ≠⊂.知识点五空集的含义及其性质不含任何元素的集合叫做空集,记作∅.空集的性质:（1）空集是任何集合的子集（包括空集）. （2）空集的只有一个子集,是空集,即它本身.（3）空集是任何非空集合的真子集,即若∅≠A ,则A ≠⊂∅.重要提醒:在由集合间的关系确定参数的值或参数的取值范围时,注意对空集的讨论.知识点六子集、真子集个数的确定若集合A 含有n 个元素,则集合A : （1）含有n 2个子集; （2）含有12-n 个非空子集; （3）含有12-n 个真子集;（4）含有22-n 个非空真子集.知识点七关于集合为空集的重要结论（1）若集合{}∅=≤≤=n x m x A ,则n m >; （2）若集合{}∅=<<=n x m x A ,则m ≥n ;（3）若集合{}∅=<≤=n x m x A 或{}∅=≤<=n x m x A ,则m ≥n .以上结论在解决由集合间的关系确定参数取值范围的问题时要会灵活运用,并注意分类讨论（如关于空集的讨论）.二、例题讲解例1. 已知集合{}41>-<=x x x A 或,{}32+≤≤=a x a x B ,若A B ⊆,求实数a 的取值范围.分析:这是一道由集合间的关系确定参数的取值范围的问题,注意数形结合思想和分类讨论思想的应用.因为A B ⊆,集合B 中含有参数,所以分为两种情况:①∅=B ;②∅≠B .对于∅≠B 这种情况,要借助于数轴来完成对参数的约束,从而可以确定参数的取值范围.最后需要说明的是,参数的取值范围要表示成集合的形式. 解:∵A B ⊆,{}32+≤≤=a x a x B ,∴分为两种情况: ①当∅=B 时,32+>a a ,解之得:3>a ;②当∅≠B 时,则有:⎩⎨⎧-<++≤1332a a a 或⎩⎨⎧>+≤4232a a a ,解之得:4-<a 或a <2≤3.综上,实数a 的取值范围为{}24>-<a a a 或.例 2. 已知集合{}43≤≤-=x x A ,{}112+≤≤-=m x m x B ,若A B ⊆,求实数m 的取值范围.分析:需要知道的是由集合间的基本关系可以确定参数的取值范围. 本题在分类讨论时要用到下面的结论:关于集合为空集的重要结论（1）若集合{}∅=≤≤=n x m x A ,则n m >;（2）若集合{}∅=<<=n x m x A ,则m ≥n ;（3）若集合{}∅=<≤=n x m x A 或{}∅=≤<=n x m x A ,则m ≥n . 最后,实数m 的取值范围最好写成集合的形式. 解:∵A B ⊆,{}112+≤≤-=m x m x B ∴分为两种情况:①当∅=B 时,112+>-m m ,解之得:2>m ;②当∅≠B 时,则有:⎪⎩⎪⎨⎧≤+-≥-+≤-41312112m m m m ,解之得:1-≤m ≤2.综上,实数m 的取值范围为{}1-≥m m .例3. 设集合{}042=+=x x x A ,(){}011222=-+++=a x a x x B ,若A B ⊆,则实数a 的值取值范围为__________.分析:在进行分类讨论时要做到不重不漏,特别注意不能漏掉对∅=B 的讨论.解决本题还要明白以下两点:（1）空集是任何集合的子集;（2）空集是任何非空集合的真子集.解:{}{}4,0042-==+=x x x A∵A B ⊆,(){}011222=-+++=a x a x x B ∴分为两种情况:（1）当∅=B 时,方程()011222=-+++a x a x 没有实数根 ∴()[]()0141222<--+=∆a a ,解之得:1-<a ;（2）当∅≠B 时,则有{}0=B 或{}4-=B 或{}4,0-=B①当{}0=B 或{}4-=B 时,方程()011222=-+++a x a x 有两个相等的实数根 ∴()[]()0141222=--+=∆a a ,解之得:1-=a∴{}0=B 符合题意;②当{}4,0-=B 时,由根与系数的关系定理可得:()⎩⎨⎧=--=+-014122a a解之得:1=a .综上,实数a 的值取值范围为{}11-≤=a a a 或. 例4. 已知集合{}52≤≤-=x x A .（1）若A B ⊆,{}121-≤≤+=m x m x B ,求实数m 的取值范围; （2）若B A ⊆,{}126-≤≤-=m x m x B ,求实数m 的取值范围; （3）若B A =,{}126-≤≤-=m x m x B ,求实数m 的取值范围. 解:（1）∵A B ⊆,{}121-≤≤+=m x m x B ,∴分为两种情况: ①当∅=B 时,121->+m m ,解之得:2<m ; ②当∅≠B 时,则有:⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≤+51221121m m m m ,解之得:2≤m ≤3. 综上所述,实数m 的取值范围是{}3≤m m ; （2）∵B A ⊆,{}52≤≤-=x x A ,∴∅≠B则有:⎪⎩⎪⎨⎧≥--≤--<-51226126m m m m ,解之得:3≤m ≤4∴实数m 的取值范围是{}43≤≤m m ; （3）∵B A =∴⎩⎨⎧=--=-51226m m ,无解,即不存在实数m ,使得B A =.例 5. 已知集合{}R x x x A ∈>=,0,{}02=+-=p x x x B ,且A B ⊆,求实数p 的取值范围.分析:本题的解决要用到关于一元二次方程的结论.一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个正根的条件是:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=⋅>-=+≥∆0002121ac x x a b x x 一元二次方程()002≠=++a c bx ax 有两个负根的条件是:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=⋅<-=+≥∆0002121ac x x a b x x解:∵A B ⊆,{}02=+-=p x x x B ,∴分为两种情况: ①当∅=B 时,()0412<--=∆p ,解之得:41>p ; ②当∅≠B 时,方程02=+-p x x 有两个正实数根,则有:()⎪⎩⎪⎨⎧>=>=+≥--=∆00104121212p x x x x p ,解之得:p <0≤41. 综上所述,实数p 的取值范围是{}0>p p .例6. 已知集合{}06242=++-=m mx x x A ,{}0<=x x B ,若B A ⊆,求实数m 的取值范围.解:∵B A ⊆,∴分为两种情况:①当∅=A 时,()()062442<+--=∆m m ,解之得:231<<-m ; ②当∅≠A 时,方程06242=++-m mx x 有两个负实数根,则有:()()⎪⎩⎪⎨⎧>+=<=+≥+--=∆062040624421212m x x m x x m m ,解之得:m <-3≤1-. 综上所述,实数m 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-233m m .集合的基本运算知识点总结与例题讲解本节知识点: （1）并集. （2）交集. （3）全集与补集. （4）德·摩根定律. 知识点一并集自然语言一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合,称为集合A与集合B 的并集,记作B A ,读作“A 并B ”.符号语言 {}B x A x x B A ∈∈=或, .图形语言（用Venn 图表示并集）图中阴影部分表示两个集合的并集.（1）A 与B 有公共元素,相互不包含（2）A 与B 没有公共部分（3）B A ≠⊂ （4）A B ≠⊂（5）B A =对并集的理解A （B ）BAABA B A B（1）求两个集合的并集是集合的一种运算,结果仍是一个集合,它是由属于集合A 或集合B 的元素组成的.（2）并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可.符号语言“B x A x ∈∈或,”分为三种情况:①A x ∈,但B x ∉; ②A x ∉,但B x ∈; ③A x ∈,且B x ∈.（3）根据集合元素的互异性,在求两个集合的并集时,两个集合中的公共元素在并集中只能出现一次.并集的性质性质说明A B B A = 并集运算满足交换律 ()()C B A C B A =并集运算满足结合律A A =∅ 任何集合与空集的并集等于这个集合本身 A A A = 任何集合与其本身的并集等于这个集合本身若B B A = ,则B A ⊆并集运算与子集关系的转化()B A A ⊆,()B A B ⊆任何集合都是该集合与另一个集合的并集的子集求并集的方法（1）求两个有限集的并集按照并集的定义进行计算,但要特别注意集合元素的互异性.（2）求两个无限集的并集借助于数轴进行计算.注意两个集合的并集等于这两个集合在数轴上对应的图形所覆盖的全部范围.知识点二交集自然语言一般地,由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合,称为集合A与集合B 的交集,记作B A ,读作“A 交B ”.符号语言 {}B x A x x B A ∈∈=且, .图形语言（用Venn 图表示交集）图中阴影部分表示两个集合的并集.如下页图所示.（1）A 与B 有部分公共元素（2）A 与B 无公共元素,∅=B A（3）若A B ≠⊂,则B B A = （4）若B A ≠⊂,则A B A = （5）B A B A ==对交集的理解（1）求两个集合的交集是集合的一种运算,结果仍是一个集合,它是由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合,及两个集合的公共元素所组成的集合. （2）交集概念中的“所有”二字不能省略,否则会漏掉一些元素,一定要将两个集合中的相同元素（公共元素）全部找出来.（3）当集合A 与集合B 没有公共元素时,不能说集合A 与集合B 没有交集,而是交集为空集,.交集的性质性质说明A B B A = 交集运算满足交换律 ∅=∅ A 任何集合与空集的交集都是空集 A A A =任何集合与其本身的交集等于这个集合本身()()C B A C B A = 交集运算满足结合律()()()C B C A C B A = 满足分配律()()()C B C A C B A =若A B A = ,则B A ⊆交集运算与子集关系的转化ABBAA （B ）AA B BA B()()B B A A B A ⊆⊆ ,两个集合的交集是其中任何一个集合的子集求交集的方法（1）求两个有限集的交集按照交集的定义进行计算,但要特别注意一定要找出两个集合中的所有公共元素.（2）求两个无限集的交集借助于数轴进行计算.两个集合的交集等于这两个集合在数轴上对应的图形所覆盖的公共范围.知识点三全集与补集全集一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,记作U .补集对于一个集合A ,由全集U 中不属于A 的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U 的补集,简称集合A 的补集,记作C U A ,即C U A {}A x U x x ∉∈=且,.用Venn 图表示为:对补集的理解（1）补集是相对于全集而言的,求一个集合的补集,结果因全集的不同而不同.所以求补集前,要先明确全集.（2）补集既是集合间的一种关系,同时也是集合之间的一种运算. （3）符号“C U A ”有三层意思: ① C U A {}A x U x x ∉∈=且,;② C U A 是U 的一个子集,及(C U A )U ⊆; ③ C U A 表示一个集合.UC U AAU1B A 补集的性质①(C U A )U A = ; ②(C U A )∅=A ; ③ C U (C U A )A =; ④ C U U ∅=; ⑤ C U U =∅.知识点四德·摩根定律知识点五重要结论如图所示,集合A , B 将全集U 分成了四部分,这四部分用集合表示如下: （1）①表示B A ;（2）②表示 A (C U B ); （3）③表示 B (C U A ); （4）④表示(C U A ) (C U B ).知识点六集合中元素的个数若集合A 为有限集,则用card(A )表示集合A 中元素的个数. 如果集合A 中含有m 个元素,那么有card(A )m =. （1）一般地,对于任意两个有限集合A , B ,有 card ()=B A card(A )+card(B )－card ()B A . （2）一般地,对于任意三个有限集合A , B , C ,有card ()=C B A card(A )+card(B )+card(C )－card ()B A －card ()C A －card ()C B ＋card ()C B A .例题讲解题型一并集运算一般地,由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合,称为集合A 与集合B 的并集,记作B A ,读作“A 并B ”.即{}B x A x x B A ∈∈=或, .求并集的方法（1）求两个有限集的并集按照并集的定义进行计算,但要特别注意集合元素的互异性.（2）求两个无限集的并集借助于数轴进行计算.注意两个集合的并集等于这两个集合在数轴上对应的图形所覆盖的全部范围.例1. 已知集合{}31≤≤∈=x N x A ,{}5,4,3,2=B ,则=B A 【】（A ）{}2 （B ）{}3,2（C ）{}5,4,3,2 （D ）{}5,4,3,2,1 分析:将一个用描述法表示的集合转化为用列举法表示时,一定要弄清代表元素的含义或特征.311求两个集合的并集运算时,可以按照并集的定义进行,也可以用Venn 图求解或借助于数轴求解.解:∵{}{}3,2,131=≤≤∈=x N x A∴=B A {}{}{}5,4,3,2,15,4,3,23,2,1= . 选择【 D 】.例2. 已知集合{}1≥=x x A ,{}0322<--=x x x B ,则=B A ____________. 分析:先解一元二次不等式0322<--x x ,求出集合B ,然后把集合A 、B 在数轴上画出来,它们对应图形所覆盖的全部范围即为B A . 解:∵{}{}310322<<-=<--=x x x x x B ∴=B A {}{}{}1311->=<<-≥x x x x x x .例3. 已知集合{}m A ,3,1=,{}m B ,1=,若A B A = ,则m 等于【】（A ）0或3 （B ）0或3 （C ）1或3 （D ）1或3分析:{}m B ,1=,由集合元素的互异性,得1≠m ,排除C 、D 选项. 因为A B A = ,根据并集的性质,所以A B ⊆,这样就将两个集合的并集运算转化为了这两个集合之间的关系,从而可以确定参数的值或取值范围. 解:∵A B A = ,∴3=m 或m m =当m m =时,解之得:0=m （1=m 不符合题意,舍去）综上,3=m 或0=m .例 4. 已知集合{}012≤-=x x P ,{}a M =,若P M P = ,则实数a 的取值范围是__________.分析:∵P M P = ,∴P M ⊆. 解:{}{}11012≤≤-=≤-=x x x x P∵P M P = ,∴P M ⊆,∴P a ∈ ∴实数a 的取值范围是{}11≤≤-a a .例5. 已知集合{}x A ,3,2,1=,{}2,3x B =,且{}x B A ,3,2,1= ,求x 的值. 分析:由题意可知:A B A = ,所以A B ⊆,从而A x ∈2,且32≠x . 解:分为三种情况:①当12=x 时,解之得:1-=x （1=x 不符合题意,舍去）; ②当22=x 时,解之得:2±=x ; ③当x x =2时,解之得:0=x . 综上所述,x 的值为0或2±或1-.注意:在求参数的值时,参数的值要满足集合元素的互异性.例6. 已知集合{}32>-=x x A ,{}a x x x B ->-=332,求B A . 分析:对于含参集合参与的集合运算,要注意分类讨论.解:{}{}532>=>-=x x x x A ,{}{}3332-<=->-=a x x a x x x B . 当3-a ≤5,即a ≤8时,{}53>-<=x a x x B A 或 ; 当53>-a 时,即8>a 时,=B A R .5a 35 a 3例7.（易错题）已知集合{}1,1-=A ,{}1==mx x B ,且A B A = ,求由m 的取值构成的集合.分析:因为A B A = ,所以A B ⊆.由于集合B 是一个含参集合,所以要对集合B 分∅=B 和∅≠B 两种情况进行讨论. 解:∵A B A = ,∴A B ⊆. 当0=m 时,∅=B ,满足A B ⊆;。

人教版高一数学必修一第一章集合与函数概念知识点+经典例题+巩固练习

高一数学必修1各章知识点总结第一章集合与函数概念一、集合有关概念1.集合的含义2.集合的中元素的三个特性：(1)元素的确定性如：世界上最高的山(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ …} 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法：列举法与描述法。

注意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R1）列举法：{a,b,c……}2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2}3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4）Venn图:4、集合的分类：(1)有限集含有有限个元素的集合(2)无限集含有无限个元素的集合(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集A⊆有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是注意：B同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A⊆/B或B⊇/A2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”即：①任何一个集合是它本身的子集。

A⊆A②真子集:如果A⊆B,且A≠B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A)③如果A⊆B, B⊆C ,那么A⊆C④如果A⊆B 同时B⊆A 那么A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集运算类型交集并集补集定义由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集．记作A B（读作‘A交B’），即A B=｛x|x∈A，且x∈B｝．由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A,B的并集．记作：A B（读作‘A并B’），即A B ={x|x∈A，或x∈B})．设S是一个集合，A是S的一个子集，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）记作ACS，即C S A=},|{AxSx x∉∈且韦恩图示A B图1A B图2SA性质A A=A A Φ=Φ A B=B A A B ⊆A A B ⊆BA A=A A Φ=A A B=B A A B ⊇Ａ A B ⊇B(C u A) (C u B)= C u (A B) (C u A) (C u B)= C u (A B) A (C u A)=U A (C u A)= Φ．例题：1.下列四组对象，能构成集合的是（） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数2.集合{a ，b ，c }的真子集共有个3.若集合M={y|y=x 2-2x+1,x ∈R},N={x|x ≥0}，则M 与N 的关系是 .4.设集合A=}{12x x <<，B=}{x x a <，若A ⊆B ，则a 的取值范围是5.50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人，化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有人。

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必修1第一章集合与函数基础知识点整理第1讲 §1.1.1 集合的含义与表示¤知识要点：1. 把一些元素组成的总体叫作集合（set ），其元素具有三个特征，即确定性、互异性、无序性.2. 集合的表示方法有两种：列举法，即把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来，基本形式为123{,,,,}na a a a ⋅⋅⋅，适用于有限集或元素间存在规律的无限集. 描述法，即用集合所含元素的共同特征来表示，基本形式为{|()x A P x ∈}，既要关注代表元素x ，也要把握其属性()P x ，适用于无限集.3. 通常用大写拉丁字母,,,A B C ⋅⋅⋅表示集合. 要记住一些常见数集的表示，如自然数集N ，正整数集*N 或N +，整数集Z ，有理数集Q ，实数集R .4. 元素与集合之间的关系是属于（belong to ）与不属于（notbelong to ），分别用符号∈、∉表示，例如3N ∈，2N -∉.¤例题精讲：【例1】试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）由方程2(23)0x xx --=的所有实数根组成的集合；（2）大于2且小于7的整数. 解：（1）用描述法表示为：2{|(23)0}x R x x x ∈--=；用列举法表示为{0,1,3}-. （2）用描述法表示为：{|27}x Z x ∈<<；用列举法表示为{3,4,5,6}.【例2】用适当的符号填空：已知{|32,}A x x k k Z ==+∈，{|61,}B x x m m Z ==-∈，则有：17 A ；－5 A ； 17 B . 解：由3217k +=，解得5k Z =∈，所以17A ∈；由325k +=-，解得73k Z =∉，所以5A -∉；由6117m -=，解得3m Z =∈，所以17B ∈.【例3】试选择适当的方法表示下列集合：（教材P 6 练习题2， P 13A 组题4）（1）一次函数3y x =+与26y x =-+的图象的交点组成的集合；（2）二次函数24y x=-的函数值组成的集合；（3）反比例函数2y x=的自变量的值组成的集合.解：（1）3{(,)|}{(1,4)}26y x x y y x =+⎧=⎨=-+⎩. （2）2{|4}{|4}y y xy y =-=≥-.（3）2{|}{|0}x y x x x==≠.点评：以上代表元素，分别是点、函数值、自变量. 在解题中不能把点的坐标混淆为{1,4}，也注意对比（2）与（3）中的两个集合，自变量的范围和函数值的范围，有着本质上不同，分析时一定要细心.*【例4】已知集合2{|1}2x aA a x +==-有唯一实数解，试用列举法表示集合A ．解：化方程212x ax +=-为：2(2)0x x a --+=．应分以下三种情况： ⑴方程有等根且不是由 △=0，得94a =-，此时的解为12x =，合．⑵方程有一解为，而另一解不是x =代入得a =时另一解1x =-⑶方程有一解为x =代入得a时另一解为1x =，合．综上可知，9{,4A =-．点评：运用分类讨论思想方法，研究出根的情况，从而列举法表示. 注意分式方程易造成增根的现象.第2讲§1.1.2 集合间的基本关系¤知识要点：1. 一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，则说两个集合有包含关系，其中集合A是集合B的子集（subset），记作A B⊆（或B A⊇），读作“A含于B”（或“B包含A”）.2. 如果集合A是集合B的子集（A B⊆），且集合B是集合A的子集（B A⊇），即集合A与集合B的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作A B=.3. 如果集合A B⊆，但存在元素x B∈，且x A∉，则称集合A是集合B 的真子集（proper subset），记作A≠⊂B（或B≠⊃A）.4. 不含任何元素的集合叫作空集（empty set），记作∅，并规定空集是任何集合的子集.5. 性质：A A⊆；若A B⊆，B C⊆，则A C⊆；若A B A=，则A B⊆；若A B A=，则B A⊆.¤例题精讲：【例1】用适当的符号填空：（1）{菱形} {平行四边形}；{等腰三角形} {等边三角形}.（2）∅2∈+=；0 {0}；∅{0}；Nx R x{|20}{0}.解：（1），；A BBA AB A BA ．B ．C ．D ．（2）=， ∈，，.【例2】设集合1,,}22{|,{|n n x n n A x x B x =∈=+∈==Z}Z ，则下列图形能表示A 与B 关系的是（）.解：简单列举两个集合的一些元素，3113{,1,,0,,1,,}2222A =⋅⋅⋅---⋅⋅⋅，3113{,,,,,}2222B =⋅⋅⋅--⋅⋅⋅，易知B ≠⊂A ，故答案选A ．另解：由21,}2{|n x n B x +=∈=Z ，易知B ≠⊂A ，故答案选A ．【例3】若集合{}{}2|60,|10M x x x N x ax =+-==-=，且N M ⊆，求实数a 的值.解：由26023xx x +-=⇒=-或，因此，{}2,3M =-.（i ）若0a =时，得N =∅，此时，N M ⊆；（ii ）若0a ≠时，得1{}N a=. 若N M ⊆,满足1123aa==-或，解得1123a a ==-或.故所求实数a 的值为0或12或13-.点评：在考察“A B ⊆”这一关系时，不要忘记“∅” ，因为A =∅时存在A B ⊆. 从而需要分情况讨论. 题中讨论的主线是依据待定的元素进行.【例4】已知集合A ={a ,a +b ,a +2b }，B ={a ,ax ,ax 2}. 若A =B ，求实数x 的值.解：若22a b axa b ax+=⎧⎨+=⎩⇒a +ax 2-2ax =0, 所以a (x -1)2=0，即a =0或x =1.当a =0时，集合B 中的元素均为0，故舍去；当x =1时，集合B 中的元素均相同，故舍去.若22a b ax a b ax⎧+=⎨+=⎩⇒2ax 2-ax -a =0.因为a ≠0，所以2x 2-x -1=0, 即(x -1)(2x +1)=0. 又x ≠1，所以只有12x =-.经检验，此时A =B 成立. 综上所述12x =-.点评：抓住集合相等的定义，分情况进行讨论. 融入方程组思想，结合元素的互异性确定集合.第3讲 §1.1.3 集合的基本运算（一）¤知识要点：集合的基本运算有三种，即交、并、补，学习时先理解概念，并掌握符号等，再结合解题的训练，而达到掌握的层次. 下面以表格的形式归纳三种基本运算如下.B B {|AB x ={|AB x =图形表示¤例题精讲：【例1】设集合,{|15},{|39},,()UU R A x x B x x AB AB ==-≤≤=<<求.解：在数轴上表示出集合A 、B ，如右图所示： {|35}AB x x =<≤， (){|1,9}UC AB x x x =<-≥或，【例2】设{|||6}A x Z x =∈≤，{}{}1,2,3,3,4,5,6B C ==，求：（1）()A B C ；（2）()AABC .解：{}6,5,4,3,2,1,0,1,2,3,4,5,6A =------.（1）又{}3B C =，∴()A B C ={}3；（2）又{}1,2,3,4,5,6BC =，得{}()6,5,4,3,2,1,0AC BC =------.∴()A A C BC {}6,5,4,3,2,1,0=------.【例3】已知集合{|24}A x x =-<<，{|}B x x m =≤，且A B A =，求实数m的取值范围.解：由A B A =，可得A B ⊆.在数轴上表示集合A 与集合B ，如右图所示：由图形可知，4m ≥.点评：研究不等式所表示的集合问题，常常由集合之间的关系，得到各端点之间的关系，特别要注意是否含端点的问题.【例4】已知全集*{|10,}U x x x N =<∈且，{2,4,5,8}A =，{1,3,5,8}B =，求()UCAB ，UA-2 4 m xB AABB A()U C AB ，()()U UC A C B ， ()()U U C A C B ，并比较它们的关系.解：由{1,2,3,4,5,8}A B =，则(){6,7,9}U C AB =.由{5,8}A B =，则(){1,2,3,4,6,7,9}U C AB =由{1,3,6,7,9}UC A =，{2,4,6,7,9}U C B =，则()(){6,7,9}U U CA CB =，()(){1,2,3,4,6,7,9}U U C A C B =.由计算结果可以知道，()()()UU U CA CBC AB =，()()()U U U C A C B C AB =.另解：作出Venn 图，如右图所示，由图形可以直接观察出来结果.点评：可用Venn 图研究()()()UU U CA CBC AB =与()()()U U U C A C B C AB = ，在理解的基础记住此结论，有助于今后迅速解决一些集合问题.第4讲 §1.1.3 集合的基本运算（二）¤知识要点：1. 含两个集合的Venn 图有四个区域，分别对应着这两个集合运算的结果. 我们需通过Venn 图理解和掌握各区域的集合运算表示，解决一类可用列举法表示的集合运算. 通过图形，我们还可以发现一些集合性质：()()()UU U CAB C A C B =,()()()U U U C AB C A C B =.2. 集合元素个数公式：()()()()n A B n A n B n A B =+-.3. 在研究集合问题时，常常用到分类讨论思想、数形结合思想等.也常由新的定义考查创新思维.¤例题精讲：【例1】设集合{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--，若{}9AB =，求实数a 的值.解：由于{}{}24,21,,9,5,1A a a B a a =--=--，且{}9AB =，则有：当219 a -＝时，解得5a ＝，此时={4, 9, 25}={9, 0, 4}A B －，－，不合题意，故舍去；当29a ＝时，解得33a ＝或－.3 ={4,5,9} ={9,2,2}a A B ＝时，－，－－，不合题意，故舍去； 3={4, 7 9}={9, 8, 4}a A B ＝－，－－，，－，合题意.所以，3a ＝－.【例2】设集合{|(3)()0,}A x x x a a R =--=∈，{|(4)(1)0}B x x x =--=，求A B , A B .（教材P 14 B 组题2）解：{1,4}B =.当3a =时，{3}A =，则{1,3,4}A B =，A B =∅；当1a =时，{1,3}A =，则{1,3,4}A B =，{1}A B =；当4a =时，{3,4}A =，则{1,3,4}AB =，{4}AB =；当3a ≠且1a ≠且4a ≠时，{3,}A a =，则{1,3,4,}AB a =，A B =∅.点评：集合A 含有参数a ，需要对参数a 进行分情况讨论. 罗列参数a 的各种情况时，需依据集合的性质和影响运算结果的可能而进行分析，不多不少是分类的原则.【例3】设集合A ={x |240xx +=}， B ={x |222(1)10xa x a +++-=，a R ∈}，若A B =B ，求实数a 的值．解：先化简集合A ={4,0}-. 由A B =B ，则B ⊆A ，可知集合B 可为∅，或为{0}，或{－4}，或{4,0}-.(i )若B =∅，则224(1)4(1)0a a ∆=+--<，解得a ＜1-；(ii )若0∈B ，代入得2a1-=0⇒a =1或a =1-，当a =1时，B =A ，符合题意；当a =1-时，B ={0}⊆A ，也符合题意． (iii )若－4∈B ，代入得2870aa -+=⇒a =7或a =1，当a =1时，已经讨论，符合题意；当a =7时，B ={－12，－4}，不符合题意．综上可得，a =1或a ≤1-．点评：此题考查分类讨论的思想，以及集合间的关系的应用. 通过深刻理解集合表示法的转换，及集合之间的关系，可以把相关问题化归为解方程的问题，这是数学中的化归思想，是重要数学思想方法．解该题时，特别容易出现的错误是遗漏了A =B 和B =∅的情形，从而造成错误．这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题.【例4】对集合A 与B ，若定义{|,}A B x x A x B -=∈∉且，当集合*{|8,}A x x x N =≤∈，集合{|(2)(5)(6)0}B x x x x x =---=时，有A B -=. （由教材P 12 补集定义“集合A 相对于全集U 的补集为{|,}UC A x x x A =∈∉且”而拓展）解：根据题意可知，{1,2,3,4,5,6,7,8}A =，{0,2,5,6}B = 由定义{|,}A B x x A x B -=∈∉且，则{1,3,4,7,8}A B -=.点评：运用新定义解题是学习能力的发展，也是一种创新思维的训练，关键是理解定义的实质性内涵，这里新定义的含义是从A 中排除B 的元素. 如果再给定全集U ，则A B -也相当于()U AC B .第5讲 §1.2.1 函数的概念¤知识要点：1. 设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数（function ），记作y =()f x ，x A ∈．其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域（domain ），与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域（range ）.2. 设a 、b 是两个实数，且a <b ，则：{x |a ≤x ≤b }＝[a ,b ] 叫闭区间； {x |a <x <b }＝(a ,b ) 叫开区间；{x |a ≤x <b }＝[,)a b ， {x |a <x ≤b }＝(,]a b ，都叫半开半闭区间. 符号：“∞”读“无穷大”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”. 则{|}(,)x x a a >=+∞，{|}[,)x x a a ≥=+∞，{|}(,)x x b b <=-∞，{|}(,]x x b b ≤=-∞，(,)R =-∞+∞.3. 决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数.¤例题精讲：【例1】求下列函数的定义域：（1）121y x =+-；（2）y =.解：（1）由210x +-≠，解得1x ≠-且3x ≠-，所以原函数定义域为(,3)(3,1)(1,)-∞----+∞.（2）由3020x -≥⎧⎪≠，解得3x ≥且9x ≠，所以原函数定义域为[3,9)(9,)+∞.【例2】求下列函数的定义域与值域：（1）3254x y x+=-；（2）22y xx =-++.解：（1）要使函数有意义，则540x -≠，解得54x ≠. 所以原函数的定义域是5{|}4x x ≠.32112813(45)233233305445445445444x x x y x x x x ++-+==⨯=⨯=-+≠-+=-----，所以值域为3{|}4y y ≠-.（2）22192()24y xx x =-++=--+.所以原函数的定义域是R ，值域是9(,]4-∞.【例3】已知函数1()1x f x x-=+. 求：（1）(2)f 的值；（2）()f x 的表达式解：（1）由121x x-=+，解得13x =-，所以1(2)3f =-.（2）设11x t x-=+，解得11t x t-=+，所以1()1t f t t-=+，即1()1x f x x-=+.点评：此题解法中突出了换元法的思想. 这类问题的函数式没有直接给出，称为抽象函数的研究，常常需要结合换元法、特值代入、方程思想等.【例4】已知函数22(),1x f x x R x =∈+.（1）求1()()f x f x+的值；（2）计算：111(1)(2)(3)(4)()()()234f f f f f f f ++++++.解：（1）由2222222221111()()1111111x x x x f x f x x x x x x ++=+=+==+++++.（2）原式11117(1)((2)())((3)())((4)())323422f f f f f f f =++++++=+=点评：对规律的发现，能使我们实施巧算. 正确探索出前一问的结论，是解答后一问的关键.第6讲 §1.2.2 函数的表示法¤知识要点：1. 函数有三种表示方法：解析法（用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，优点：简明，给自变量可求函数值）；图象法（用图象表示两个变量的对应关系，优点：直观形象，反应变化趋势）；列表法（列出表格表示两个变量之间的对应关系，优点：不需计算就可看出函数值）.2. 分段函数的表示法与意义（一个函数，不同范围的x ，对应法则不同）.3. 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“:f A B →”.判别一个对应是否映射的关键：A 中任意，B 中唯一；对应法则f .¤例题精讲：【例1】如图，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然后折成一个无盖的盒子，写出体积V 以x 为自变量的函数式是_____，这个函数的定义域为_______．解：盒子的高为x ，长、宽为2a x －，所以体积为V ＝2(2)x a x －.又由20a x >－，解得2a x <.所以，体积V 以x 为自变量的函数式是2(2)V x a x =－，定义域为{|0}2a x x <<.【例2】已知f (x )=333322x x x x-⎧++⎪⎨+⎪⎩(,1)(1,)x x ∈-∞∈+∞，求f [f (0)]的值.解：∵ 0(,1)∈-∞，∴ f (0)=32.又 ∵ 32>1，∴ f (32)=(32)3+(32)-3=2+12=52，即f [f (0)]=52.【例3】画出下列函数的图象：（1）|2|y x =-；（教材P 26 练习题3）（2）|1||24|y x x =-++.解：（1）由绝对值的概念，有2,2|2|2,2x x y x x x -≥⎧=-=⎨-<⎩.所以，函数|2|y x =-的图象如右图所示.（2）33,1|1||24|5,2133,2x x y x x x x x x +>⎧⎪=-++=+-≤≤⎨⎪--<-⎩，所以，函数|1||24|y x x =-++的图象如右图所示. 点评：含有绝对值的函数式，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数，然后根据定义域的分段情况，选择相应的解析式作出函数图象.【例4】函数()[]f x x =的函数值表示不超过x 的最大整数，例如[ 3.5]4-=-，[2.1]2=，当( 2.5,3]x ∈-时，写出()f x 的解析式，并作出函数的图象.解：3, 2.522,211,10()0,011,122,233,3x x x f x x x x x --<<-⎧⎪--≤<-⎪--≤<⎪=≤<⎨⎪≤<⎪≤<⎪=⎩. 函数图象如右：点评：解题关键是理解符号[]m 的概念，抓住分段函数的对应函数式.第7讲 §1.3.1 函数的单调性¤知识要点：1. 增函数：设函数y =f (x )的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1<x 2时，都有f (x 1)<f (x 2)，那么就说f (x )在区间D 上是增函数（increasing function ）. 仿照增函数的定义可定义减函数.2. 如果函数f (x )在某个区间D 上是增函数或减函数，就说f (x )在这一区间上具有（严格的）单调性，区间D 叫f(x )的单调区间. 在单调区间上，增函数的图象是从左向右是上升的（如右图1），减函数的图象从左向右是下降的（如右图2）. 由此，可以直观观察函数图象上升与下降的变化趋势，得到函数的单调区间及单调性.3. 判断单调性的步骤：设x 1、x 2∈给定区间，且x 1<x 2；→计算f (x 1)－f (x 2) →判断符号→下结论.¤例题精讲：【例1】试用函数单调性的定义判断函数2()1xf x x =-在区间（0，1）上的单调性.解：任取12,x x ∈(0,1)，且12xx <.则1221121212222()()()11(1)(1)x x x x f x f x x x x x --=-=----. 由于1201xx <<<，110x -<，210x -<，210x x ->，故12()()0f x f x ->，即12()()f x f x >. 所以，函数2()1xf x x =-在（0，1）上是减函数. 【例2】求二次函数2()(0)f x axbx c a =++<的单调区间及单调性.解：设任意12,x xR ∈，且12x x <. 则22121122()()()()f x f x ax bx c ax bx c -=++-++221212()()a x x b x x =-+-1212()[()]x x a x x b =-++.若0a <，当122bxx a <≤-时，有120x x -<，12b x x a+<-，即12()0a x x b ++>，从而12()()0f x f x -<，即12()()f x f x <，所以()f x 在(,]2b a-∞-上单调递增. 同理可得()f x 在[,)2b a-+∞上单调递减.【例3】求下列函数的单调区间：（1）|1||24|y x x =-++；（2）22||3y xx =-++.解：（1）33,1|1||24|5,2133,2x x y x x x x x x +>⎧⎪=-++=+-≤≤⎨⎪--<-⎩，其图象如右.由图可知，函数在[2,)-+∞上是增函数，在(,2]-∞-上是减函数.（2）22223,02||323,0x x x y x x x x x ⎧-++≥⎪=-++=⎨--+<⎪⎩，其图象如右.由图可知，函数在(,1]-∞-、[0,1]上是增函数，在[1,0]-、[1,)+∞上是减函数.点评：函数式中含有绝对值，可以采用分零点讨论去绝对值的方法，将函数式化为分段函数. 第2小题也可以由偶函数的对称性，先作y 轴右侧的图象，并把y 轴右侧的图象对折到左侧，得到(||)f x 的图象. 由图象研究单调性，关键在于正确作出函数图象.第8讲 §1.3.1 函数最大（小）值¤知识要点：1. 定义最大值：设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：对于任意的x ∈I ，都有()f x ≤M ；存在x 0∈I ，使得0()f x = M . 那么，称M 是函数()y f x =的最大值（Maximum Value ）. 仿照最大值定义，可以给出最小值（Minimum Value ）的定义.2. 配方法：研究二次函数2(0)y axbx c a =++≠的最大（小）值，先配方成224()24b ac b y a x a a-=++后，当0a >时，函数取最小值为244ac b a-；当0a <时，函数取最大值244ac b a-.3. 单调法：一些函数的单调性，比较容易观察出来，或者可以先证明出函数的单调性，再利用函数的单调性求函数的最大值或最小值.4. 图象法：先作出其函数图象后，然后观察图象得到函数的最大值或最小值.¤例题精讲：【例1】求函数261y x x =++的最大值.解：配方为2613()24y x =++，由2133()244x ++≥，得260813()24x <≤++. 所以函数的最大值为8.【例2】某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元售出时，每天可售出100件. 现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每件提价1元，其销售量就要减少10件，问他将售出价定为多少元时，才能使每天所赚得的利润最大？并求出最大利润.解：设他将售出价定为x 元，则提高了(10)x -元，减少了10(10)x -件，所赚得的利润为(8)[10010(10)]y x x =---.即2210280160010(14)360y xx x =-+-=--+. 当14x =时，max360y=.所以，他将售出价定为14元时，才能使每天所赚得的利润最大, 最大利润为360元.【例3】求函数21y x x =+-的最小值.解：此函数的定义域为[)1,+∞，且函数在定义域上是增函数，所以当1x =时，min2112y =+-=，函数的最小值为2.点评：形如y ax b cx d=+±+的函数最大值或最小值，可以用单调性法研究，也可以用换元法研究.【另解】令1x t-=，则0t ≥，21x t =+，所以22115222()48y t t t =++=++，在0t ≥时是增函数，当0t =时，min 2y =，故函数的最小值为2.【例4】求下列函数的最大值和最小值：（1）25332,[,]22y x x x =--∈-；（2）|1||2|y x x =+--.解：（1）二次函数232y x x =--的对称轴为2b x a=-，即1x =-.画出函数的图象，由图可知，当1x =-时，max4y =；当32x =时，min94y=-. 所以函数25332,[,]22y x x x =--∈-的最大值为4,最小值为94-.（2） 3 (2)|1||2|2 1 (12)3 (1)x y x x x x x ≥⎧⎪=+--=--<<⎨⎪-≤-⎩.作出函数的图象，由图可知，[3,3]y ∈-. 所以函数的最大值为3, 最小值为-3.点评：二次函数在闭区间上的最大值或最小值，常根据闭区间与对称轴的关系，结合图象进行分析. 含绝对值的函数，常分零点讨论去绝对值，转化为分段函数进行研究. 分段函数的图象注意分段作出.第9讲 §1.3.2 函数的奇偶性¤知识要点：1. 定义：一般地，对于函数()f x 定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 叫偶函数（even function ）. 如果对于函数定义域内的任意一个x ，都有()()f x f x -=-），那么函数()f x 叫奇函数（odd function ）.2. 具有奇偶性的函数其定义域关于原点对称，奇函数的图象关于原点中心对称，偶函数图象关于y 轴轴对称.3. 判别方法：先考察定义域是否关于原点对称，再用比较法、计算和差、比商法等判别()f x -与()f x 的关系.¤例题精讲：【例1】判别下列函数的奇偶性：（1）31()f x x x=-；（2）()|1||1|f x x x =-++；（3）23()f x xx =-.解：（1）原函数定义域为{|0}x x ≠，对于定义域的每一个x ，都有3311()()()()f x x x f x x x-=--=--=--，所以为奇函数.（2）原函数定义域为R ，对于定义域的每一个x ，都有()|1||1||1||1|()f x x x x x f x -=--+-+=-++=，所以为偶函数.（3）由于23()()f x xx f x -=+≠±，所以原函数为非奇非偶函数.【例2】已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且1()()1f xg x x -=+，求()f x 、()g x .解：∵ ()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴()()f x f x -=-，()()g x g x -=.则1()()11()()1f x g x x f x g x x ⎧-=⎪⎪+⎨⎪---=⎪-+⎩，即1()()11()()1f x g x x f x g x x ⎧-=⎪⎪+⎨⎪--=⎪-+⎩. 两式相减，解得2()1x f x x =-；两式相加，解得21()1g x x =-.。

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