解直角三角形应用举例

解直角三角形的五种常见类型解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础．解直角三角形时，要注意三角函数的选取，避免计算复杂．在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线，构造直角三角形．类型一、已知两直角边解直角三角形【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，a＝2，b＝6，解这个直角三角形．类型二、已知一直角边和斜边解直角三角形【例2】如图，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∠BCM＝∠BAC，求sin ∠BAC的值和点B到直线MC的距离．类型三、已知一直角边和一锐角解直角三角形【例3】如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°， AB＝3.(1)求AC的长；(2)求BC的长类型四、已知斜边和一锐角解直角三角形【例4】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，c＝10，解这个直角三角形类型五、已知非直角三角形中的边(或角或三角函数值)解直角三角形题型一：化斜三角形为直角三角形问题(化斜为直法)【例5】如图，在△ABC中，点D是AB的中点，DC⊥AC，1，求∠A的三角函数值．且tan ∠BCD＝3题型2:化解四边形问题为解直角三角形问题【例6】【中考·北京】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝2，BE＝22 .求CD的长和四边形ABCD的面积．题型3、化解方程问题为解直角三角形问题【例7】已知a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，关于x 的一元二次方程a(1－x2)＋2bx＋c(1＋x2)＝0有两个相等的实数根，且3c＝a＋3b.(1)判断△ABC的形状；(2)求sin A＋sin B的值．。

解直角三角形.典型应用题20例1.已知：如图，河旁有一座小山，从山顶 A 处测得河对岸点 C 的俯角为30°,测得岸边点D 的俯角为45°，又知河宽 CD 为50m .现需从山顶 A 到河对岸点C 拉一条笔直的缆 绳AC ,求山的高度及缆绳 AC 的长（答案可带根号）•2•已知：如图，一艘货轮向正北方向航行，在点 A 处测得灯塔M 在北偏西30°,货轮以每小时20海里的速度航行，1小时后到达B 处，测得灯塔 M 在北偏西45°,问该货轮 继续向北航行时，与灯塔 M 之间的最短距离是多少 ？（精确到0.1海里，J 3止1.732）3.已知：如图，在两面墙之间有一个底端在端在B 点；当它靠在另一侧墙上时，梯子的顶端在45°.点D 到地面的垂直距离 DE =3J2m ，求点B 到地面的垂直距离 BC •4.已知：如图，小明准备测量学校旗杆 的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上， 上的影长CD = 8m ,太阳光线AD 与水平地面成26°角，斜坡CD 与水平地面所成的锐 角为30°,求旗杆 AB 的高度（精确到1m ） •A 点的梯子，当它靠在一侧墙上时，梯子的顶D 点.已知/ BAC = 60°,/ DAE=AB 的高度，当他发现斜坡正对着太阳时，旗杆AB测得水平地面上的影长 BC = 20m ,斜坡坡面北A5.已知：如图，在某旅游地一名游客由山脚一个景点B ，再由B 地沿山坡BC 行走320米到达山顶C ,如果在山顶 C 处观测到景点 B 的俯角为60°.求山高CD （精确到0.01米）.5.已知：如图，小明准备用如下方法测量路灯的高度：他走到路灯旁的一个地方，竖起一 根2m 长的竹竿，测得竹竿影长为 1m ,他沿着影子的方向，又向远处走出两根竹竿的 长度，他又竖起竹竿，测得影长正好为2m .问路灯高度为多少米 ？运动员从营地A 出发，沿北偏东60°方向走了 500 30°方向走了 500m ，到达目的地 C 点.求IIIA 沿坡角为30°的山坡AB 行走400m ，到达6.已知：如图，在一次越野比赛中,到达B 点，然后再沿北偏西北n(1)A 、C 两地之间的距离；⑵确定目的地C 在营地A 的什么方向？已知：如图，在1998年特大洪水时期，要加固全长为10000m 的河堤.大堤高5m ,坝顶宽4m ，迎水坡和背水坡都是坡度为1 : 1的等腰梯形.现要将大堤加高坡度改为1 : 1.5.已知坝顶宽不变，求大坝横截面面积增加了多少平方米， 多少立方米的土石？(1)BC 的长； ⑵△ ABC 的面积.(1)求AB 的长；a⑵求证：—一si n ot7. 1m ,背水坡完成工程需已知：如图，在△ ABC 中, 9. 已知：如图，在△ ABC 中, AC = b , BC = a ,锐角/ A = Ct ,/ B =P .__b sin P . A拓展、探究、思考AB = c , AC = b ,锐角/ A = Ct .RRt △ ADC 中，/ D = 90°,/ A=a ,/ CBD = P , AB = a.用含a 及P的三10.已知：如图，在角函数的式子表示CD的长.11.已知：△ ABC 中，/ A = 30°, AC = 10,12.已知：四边形 ABCD 的两条对角线 AC 、=a (0 °v a v 90° )，求此四边形的面积. BD 相交于 E 点，AC = a , BD = b , / BEC13 ..已知：如图, 长.(精确到 AB = 52m , / DAB = 430.01m),/ CAB = 40°,求大楼上的避雷针 CD 的□□□□□□□□□ □□口□□口口口口口□□口口□□口口14.已知：如图， 知测角仪AB 的高为在距旗杆 25m 的A 处，用测角仪测得旗杆顶点C 的仰角为30°,已BC =5J2，求 AB 的长.4 1如图，△ ABC 中，AC = 10, si nC=-,si nB=-,求 AB .3如图，在O O 中，/ A =/ C ,求证：AB = CD （利用三角函数证明）.如图，P 是矩形ABCD 的CD 边上一点，PE 丄AC 于E , PF 丄BD 于F , AC18.已知：如图，一艘渔船正在港口 A 的正东方向40海里的B 处进行捕鱼作业，突然接到通知，要该船前往C 岛运送一批物资到 A 港，已知C 岛在A 港的北偏东60 ° 方向，且在B 的北偏西45°方向.问该船从B 处出发，以平均每小时20海里的速 度行驶，需要多少时间才能把这批物资送到A 港（精确到1小时）（该船在C 岛停留半个小时"（丁㊁止1.41, J 3 7.73, J 6 止 2.45）15 .已知:16.已知:17.已知：=15, BC = 8，求 PE + PF.C19.已知：如图，直线y = —x+ 12分别交X轴、y轴于A、B点，将△ AOB折叠，使A 点恰好落在0B的中点C处，折痕为DE .(1)求AE 的长及sin / BEC 的值; ⑵求△ CDE 的面积.20..已知：如图，斜坡 PQ 的坡度i = 1 ： J 3，在坡面上点0处有一根1m 高且垂直于水平面的水管0A ，顶端A 处有一旋转式喷头向外喷水，水流在各个方向沿相同的 抛物线落下，水流最高点 M 比点A 高出1m ,且在点A 测得点M 的仰角为30°, 以0点为原点，OA 所在直线为 标系•设水喷到斜坡上的最低点为(1) 写出A 点的坐标及直线 PQ 的解析式; (2) 求此抛物线AMC 的解析式；⑶求 I X C — X B I ； ⑷求B 点与C 点间的距离.y 轴，过O 点垂直于OA 的直线为X 轴建立直角坐 B ，最高点为C.。

解直角三角形五种常见类型解直角三角形是中考的重要内容之一，直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础．解直角三角形时，要注意三角函数的选取，避免计算复杂．在解题中，若求解的边、角不在直角三角形中，应先添加辅助线，构造直角三角形．类型一、已知两直角边解直角三角形【例1】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，a＝2，b＝6，解这个直角三角形．类型二、已知一直角边和斜边解直角三角形【例2】如图，∠ACB＝90°，AB＝13，AC＝12，∠BCM＝∠BAC，求sin ∠BAC的值和点B到直线MC的距离．类型三、已知一直角边和一锐角解直角三角形【例3】如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°， AB＝3.(1)求AC的长；(2)求BC的长类型四、已知斜边和一锐角解直角三角形【例4】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，c＝10，解这个直角三角形类型五、已知非直角三角形中的边(或角或三角函数值)解直角三角形题型一：化斜三角形为直角三角形问题(化斜为直法)【例5】如图，在△ABC中，点D是AB的中点，DC⊥AC，1，求∠A的三角函数值．且tan ∠BCD＝3题型2:化解四边形问题为解直角三角形问题【例6】【中考·北京】如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，∠DCE＝30°，DE＝2，BE＝22 .求CD的长和四边形ABCD的面积．题型3、化解方程问题为解直角三角形问题【例7】已知a，b，c分别是△ABC中∠A，∠B，∠C的对边，关于x 的一元二次方程a(1－x2)＋2bx＋c(1＋x2)＝0有两个相等的实数根，且3c＝a＋3b.(1)判断△ABC的形状；(2)求sin A＋sin B的值．。

解直角三角形的应用题型直角三角形是初中数学中一个重要的概念，也是解决实际问题中常用的基本图形之一。

在应用题中，我们经常需要用到直角三角形的性质和定理，以解决各种实际问题。

下面列举一些常见的直角三角形应用题型。

1. 求斜边长已知直角三角形的一条直角边和另一条边的长度，求斜边长。

这类问题可以用勾股定理解决，即斜边的长度等于直角边长度的平方加上另一条边长度的平方的平方根。

例题：已知直角三角形的一个直角边为3，另一条边长为4，求斜边长。

解：斜边长等于3的平方加上4的平方的平方根，即√(3+4)=√25=5。

2. 求角度已知直角三角形两个角度，求第三个角度。

由于直角三角形的内角和为180度，因此第三个角度可以用90度减去已知的两个角度得到。

例题：已知直角三角形两个角度分别为30度和60度，求第三个角度。

解：第三个角度等于90度减去30度和60度的和，即90-30-60=0度。

3. 求高已知直角三角形的斜边和一条直角边，求高。

我们可以通过求出这个三角形的面积以及底边长度来求出高，也可以利用正弦定理或余弦定理求出高。

例题：已知直角三角形的斜边长为5，直角边长为3，求高。

解：利用勾股定理可求出这个三角形的面积为(3*4)/2=6。

利用面积公式S=1/2*底边长*高，可得高为(2*6)/3=4。

4. 求面积已知直角三角形的两条直角边长度，求面积。

我们可以利用面积公式S=1/2*底边长*高求出面积。

例题：已知直角三角形的两条直角边长分别为4和3，求面积。

解：利用面积公式S=1/2*4*3，可得面积为6。

以上是直角三角形应用题的一些常见类型，希望能对大家的学习有所帮助。

解直角三角形的应用例1：有一块三角形余料，三个角均为锐角，三边分别为a ，b ，c ，且满足a ＞b ＞c ，现要把它加工成正方形的半成品，使其四个顶点都在三角形边上，问两个顶点放在哪一边可使得正方形的面积最大？解：设ΔABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，各边上的高分别为h a 、h b 、h c ，在各边上的正方形的边长分别为x a 、x b 、x c ，ΔABC 的面积为S ，则由于ΔAPQ ∽ΔABC ， 可得a a a a h x h a x -=，整理得x a ＝aa a h a s h a ah +=+2 同理得xb ＝a h b s +2，xc ＝ah c s +2 用比差法比较x a ，x a 的大小，x a －x b ＝))(()]()[(222b a a a a a h b h a h h a b s h b s h a S ++-+-=+-+ ＝))(()1)(sin (2))(()]sin sin ()[(2b a b a h b h a c b a s h b h a c b c a a b s ++--=++-+- ∵ sin c －＜0，a ―b ＞0∴ x a －x b ＜0，同理，x a －x c ＜0，∴x a ＜x b ＜x c∴ 在最小边C 上的内接正方形的面积最大．例2．已知a ，b ，c ，为ΔABC 中∠A ，∠B ，∠C 的对边，当m>0时，关于x 的方程b(x 2＋m)＋c(x ―m)―2m ax ＝0，有两个相等的实数根，且sinC ·cosA ―cosC ·sinA ＝0，试判断ΔABC 的形状．解：(a ＋c)x 2―2m a x ＋m(b ―c)= 0∵ 关于x 的方程有两个相等的实数根∴ Δ＝B 2－4AC ＝(―2m a)2－4m(b ＋c)(b －c)＝4m(a 2―b 2＋c 2)＝0∵ m ＞0∴ a 2―b 2＋c 2＝0∴ b 2＝a 2＋c 2∴ ΔABC 为直角三角形，且∠＝90°，∴∠A 与∠C 互余，∴ cosA ＝sinC ，cosC ＝sinA ．∵ sinC •cos A －cosC•sin A ＝0＝sin 2C=sin 2A∴∠C ＝∠A ，∴a ＝CABC 为等腰直角三角形例3．ΔABCD 中，∠A ＝60°，最大边与最小边的长分别是方程3x 2―27x ＋32＝0的两实根，求ΔABC 的内切圆的面积．解：∵三角形中最大角不小于60°，最小角不大于60°，而∠A ＝60°，∠A 必须是最大边与最小边的夹角，设大边为c ，小为b ，由韦达定理b ＋c ＝9，bc ＝332． ∵S ΔABC ＝21b ·h ＝21b ·csin A ＝21×332×33823= 过点C 作CD ⊥AB 交AB 于∵∠ACD ＝30°，∴AD ＝21AC ＝21b CD ＝2322=-AD AC b BD ＝AB －AD ＝C －21b, BC 2＝CD 2＋DB 2＝222123⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛b C b ＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c) 2－3bc ＝81－3×332＝49 ∴a ＝BC=7设ΔABC 的内切圆半径为r ，圆心为0,∴S ΔABC ＝S ΔO AB ＋S ΔO BC ＋S ΔO CA∴ r ＝339733822=+⨯=++∆c b a S ABC ∴三角形内切圆面积S ＝πr 2＝π31332=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛π 例4．在梯形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，CD ＝m ，AD ＝n ，AB ＝p ，以BC 为直径作圆分别交AB 和AD 于E 和H 、F ，（1）求tg ∠DCF ＋tg ∠DCH 的值．（2）求证：tg ∠DCF 和∠DCH 是方程mx 2－nx ＋p ＝0的两个根．解：（1）连接CE ，AE ＝DC ＝m ，连结CF ，EH ，则∠DFC ＝∠CEH ，而∠CEH ＝∠AHE ，∴∠DFC ＝∠AHE ，∴Rt ΔAEH ≌Rt ΔDCFDF ＝AH, AF ＝DH∵tg ∠DCF=m DF DC DF =, tg ∠DCH mDH DC DH = (1) ∵AH ·AF ＝AF ·AB∴tg ∠DCF ·tg ∠DCH ＝m p mmp m AB AE m AF AH m DH DF ==⋅=⋅=⋅2222 ∴mx 2－nx ＋p ＝0例5．已知矩形的长大于的2倍，周长为12，从它的一个顶点作一条射线，将矩形分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于21，设梯形的面积为S ，梯形中较短的底的长为x ，试写出梯形面积S 关于的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围．解：∵矩形ABCD 的长大于宽的2倍，矩形的周长为12，∴AD ＞4，AB ＜2，根据题意，可分为以下两种情况第一种情况如（一）图当tg ∠BAE ＝21时，设CE ＝x ，BE ＝m ， 则AB ＝DC ＝2m ，AD ＝m ＋x ，∵AB ＋AD ＝6，∴2m ＋m ＋x ＝6，m ＝36x - S 梯形＝21(AD ＋EC)·DC ＝21[(m ＋x)＋x] ·2m =m(m ＋2x)＝9535636-=+⋅-x x x 2＋38x ＋4 其中3＜x ＜6，第二种情况如图二当tg ∠DAE ＝21时，在矩形ABCD 中，AD//BC ，∴∠DAE ＝∠AEB ，∴tg ∠AEB ＝21，∴tg ∠AEB ＝21，设CE ＝x, AB ＝CD ＝n ，则BE ＝2n ，AD ＝2n ＋x ，∵矩形的周长为12，∴AB ＋AD ＝6 ∴n ＋2n ＋x ＝6，n ＝36x - S 梯形ABCD ＝21 (AD+EC)·DC ＝21[(2n+x)+x]·n ＝(n+x)·n ＝9236326-=-⋅+x x x 2＋32x ＋4 其中0＜x ＜6例6．已知A 是⊙o 上一点，以A 为圆心作圆交⊙o 于B ，C 两点，E 是弦BC 上一点，连结AE ，并延长交⊙o 于D ，连结BD, CD 设∠BDC ＝2α（1）求证：BD ·CD ＝AD ·ED（2）若ED ∶AD ＝43cos 2α，求作一个以AD BD 和ADCD 为根的一元二次方程， 并求出BD ∶CD 的值．证明：（1）连结AB ，AC ，则AB ＝AC∴AB ＝AC ，∴∠ADB ＝∠ADC ＝α又∴∠BAD ＝∠BCD ∴ΔABD ∽ΔCED∴BD ∶ED ＝AD ∶CD BD ·CD ＝AD ·ED（2）在等腰ΔABC 中，作AF ⊥BC 于F ，F 为BC 的中点，BC ＝BF ＋FG ＝2FC ， ∵∠ACB ＝∠ADB ＝α，∴FC ＝AC ·cos αCOS ，BC ＝2AC ·cos α在ΔABE 和ΔADB 中，∵∠ABE ＝∠ADB ，∠BAD ＝∠BAE ，∴ΔABE ∽ΔADB ∴BD ∶AD=BE ∶AB同理ΔAEC ∽ΔACD ，∴CD ∶AD ＝ED ∶AC由（1）BD ·CD ＝AD ·ED ∴432==⋅=⋅AD ED ADFD AD AD CD AD BD cos 2α ∴x 2―2cos ·x ＋43cos 2α=0 解得x 1＝21cos α, 当BD ＜CD 时， 31cos 23cos 21:21===ααx x AD CD AD BD 当BD ＞CD 时，321==x x CD BD练习：1、已知方程x 2＋mx ＋n ＝0的两个根是直角三角形的两个锐角的余弦值．（1）求证：m 2＝2n ＋1；（2）若P(m ，n)是一次函数y ＝―21x ―83图象上一点，求点P 的坐标．2、已知在ΔABC 中，若AC 和BC 边的长是关于x 的方程x 2―(AB ＋4)x ＋4AB ＋8＝0的两根，且25BC ·sinA ＝9AB ，DB 为半圆的直径，0为圆心，AC 切半圆于E ，BC 交半圆于F ，（1）求ΔABC 三边的长．（2）求AD 的长．3、已知ΔABC 内接于⊙o ，弦AE 交BC 于D（1）求证：DEAD BE AC CE AB =⋅ （2）如果AE 是直径，那么DE AD 与tgB 和tgC 具有什么关系？并简要说明理由。

解直角三形应用举例解直角三角形应用举例在我们的日常生活和实际工作中，解直角三角形的知识有着广泛的应用。

它不仅能帮助我们解决数学问题，还能在建筑、测量、导航等领域发挥重要作用。

接下来，让我们通过一些具体的例子来深入了解解直角三角形的实际应用。

想象一下，你站在一座高楼前，想要知道这座楼的高度。

这时，解直角三角形就能派上用场。

假设你在离楼一定距离的地方，测量出你与楼底部的水平距离，以及你仰望楼顶时视线与水平线的夹角。

通过这些测量数据，就可以利用解直角三角形来计算出楼的高度。

例如，你与楼底部的水平距离为 50 米，视线与水平线的夹角为 60°。

我们设楼的高度为 h 米。

在这个直角三角形中，水平距离是邻边，楼的高度是对边。

因为正切函数等于对边比邻边，所以 tan60°＝ h/50。

而 tan60°＝√3，所以 h ＝50√3 米。

通过这样简单的计算，我们就能知道楼的大致高度了。

再比如，在道路建设中，需要确定道路的坡度。

坡度就是坡面的垂直高度与水平距离的比值。

假设一段道路的垂直高度上升了 10 米，水平距离前进了 50 米，那么坡度就是 10/50 ＝ 02。

而这个坡度对应的角度可以通过解直角三角形来求得。

在测量领域，解直角三角形更是不可或缺的工具。

当测量人员需要测量不可直接到达的两点之间的距离时，他们会利用解直角三角形的原理。

比如，有一条河流，要测量河对岸两点 A 和 B 之间的距离。

测量人员可以在河的这一侧选取一点 C，然后测量出 AC 和 BC 与河岸的夹角，以及 AC 的长度。

通过这些数据，就能够计算出 AB 的长度。

假设测量得到∠ACB ＝ 60°，∠CAB ＝ 45°，AC ＝ 100 米。

首先，在三角形 ABC 中，因为∠CAB ＝ 45°，所以∠ABC ＝ 180° 60° 45°＝ 75°。

解直角三形应用举例解直角三角形应用举例在我们的日常生活中，数学知识无处不在，尤其是解直角三角形这一重要的数学工具，它在解决实际问题时发挥着巨大的作用。

接下来，让我们通过一些具体的例子，来看看解直角三角形是如何帮助我们解决实际难题的。

想象一下，你站在一座高楼前，想要知道这座楼的高度。

这时，解直角三角形就派上用场了。

假设你在距离大楼底部一定距离的地方，测量出你看楼顶的仰角，以及你与大楼底部的水平距离。

通过这些已知条件，就可以利用三角函数来计算出大楼的高度。

例如，你站在离大楼底部 50 米的地方，测量出仰角为 60°。

我们设大楼的高度为 h 米。

因为正切函数tanθ ＝对边÷邻边，所以 tan60°＝h÷50。

而 tan60°＝√3，所以√3 ＝ h÷50，通过计算可得 h ＝50√3 米。

再来看一个与航海有关的例子。

一艘轮船在大海中航行，想要知道它距离某个灯塔的距离。

假设船员在轮船上测量出灯塔的俯角，以及轮船与灯塔的水平夹角。

通过这些角度和已知的一些距离，就能够利用解直角三角形求出轮船与灯塔之间的距离。

比如说，轮船与灯塔的水平夹角为 30°，测量出的俯角为 45°，已知轮船到灯塔所在直线与海平面交点的距离为 100 米。

设轮船到灯塔的距离为 d 米。

因为正弦函数sinθ ＝对边÷斜边，所以 sin45°＝ 100÷d。

而 sin45°＝√2÷2，所以√2÷2 ＝ 100÷d，通过计算可得 d ＝100√2 米。

在测量山的高度时，解直角三角形也能大展身手。

假设我们在山脚下的一点，测量出山顶的仰角，然后沿着一定的方向前进一段距离，再次测量山顶的仰角。

通过这两个仰角和前进的距离，就可以计算出山的高度。

比如，我们在 A 点测量山顶的仰角为 30°，然后沿着水平方向前进200 米到达 B 点，此时测量山顶的仰角为 45°。

解直角三角形实用五例九年义务教材第三册第六章“解直角三角形”的“应用举例”一节，共举了五例：介绍了诸如飞机高空探测的俯角等问题．五道例题都是学生今后生产工作中可能遇到的实际问题，但与学生目前的生活相距太远，且名词概念太多，增加了学生学习的难度，不利于对学生学习兴趣的培养．本文试举五个与学生生活学习实际紧密相联的例子，供同行们教学时参考、选用．例1 如图1，从地面C看学校旗杆顶端A的仰角为α=35°16′，测得C点到旗杆底端B的距离为17米，求旗杆高AB的长(精确到0.1米)．解在Rt△ABC中，tgC=AB/BC，∴ AB=BC·tgC=17×0.7071≈12.0(米)．答略．例2 图2为张开的雨伞的截面图，它是等腰三角形，雨伞的张角∠CAD=124°6′，伞边圆直径CD为106厘米，AB为伞柄，求雨伞筋AC的长(精确到0.1厘米)．解在Rt△ABC中，BC=53厘米，∠BAC=62°3′，sin∠BAC=BC/AC，例3 图3为锥形瓶的截面图，它由一个矩形和一个等腰梯形组成，其中瓶口宽MN为2.8厘米，底宽BC为7.8厘米，瓶颈AM长为1.4厘米，瓶高9厘米．求瓶底与瓶面的夹角∠ABC．解略，B=71°47′．例4 如图4为扶梯靠在墙面上的截面图，扶梯AB有七级，每级扶梯间距为30厘米，扶梯着地点B与墙面的距离为1.13米，求扶梯靠墙的高度和扶梯与地面的倾斜角(精确到1厘米)．解略．AC=177厘米，∠B=57°27′．例5 如图5中ACB为教学楼的双跑楼梯的截面图，其中每级阶梯宽MN为30cm，高AM为15cm，正中的休息平台宽CD为2.6m，走廊AE与BG 宽为1.5m．问：(1)若每层楼高HF为3.6m，则每层楼应设多少级阶梯？楼宽EF是多少？楼梯ACB的直扶手有多长？(2)若每层楼有22级阶梯，则6层的平顶楼有多高、多宽？(3)楼梯的倾斜角是多少？解 (1)每层楼的阶梯数为：HF÷AM=360÷15=24(级)．楼宽EF=FK+12MN+AE=2.6+12×0.3+1.5=7.7(m)．∴直扶手的长为2AC≈8.0(m)．(2)每层楼高为：AM×22=0.15×22=3.3(m)，6层的平顶楼高为3.3×6=19.8(m)．6层的平顶楼宽为：2.6+0.30×11+1.5=7.4(m)(3)楼梯的倾斜角∠CAF=∠ANM．在Rt△AMN中，∴∠CAF=∠ANM=26°34′．答略．总之，与学生学习生活紧密相连的实例所在多有，仅以此五例奉献给同行．。

解直角三角形在实际生活中的应用山东 李浩明在现实生活中, 有许多和解直角三角形有关的实际问题，如航海航空、建桥修路、测量技术、图案设计等，解决这类问题其关键是把具体问题抽象成“直角三角形”模型，利用直角三角形的边角关系以及勾股定理来解决.下面举例说明，供大家参考．一、航空问题例1．（2008年桂林市）汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A 、B 两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P 点，测得A 村的俯角为30︒，B 村的俯角为60︒（如图1）．求A 、B1.414 1.732==）分析:要求A 、B 两个村庄间的距离,由题意知AB =PB ，在Rt △PBC 中,可求得60PBC ∠=︒，又因为PC =450，所以可通过解直角三角形求得PB.解：根据题意得：30A ∠=︒，60PBC ∠=︒，所以6030APB ∠=︒-︒，所以A P B A ∠=∠，所以AB =PB .在Rt BCP ∆中，90,60C PBC ∠=︒∠=︒，PC =450，所以PB=450sin 60==︒.所以520AB PB ==≈(米) 答：A 、B 两个村庄间的距离为520米． 二、测量问题例2.（2008年湛江市）如图2所示，课外活动中，小明在离旗杆AB 10米的C 处，QB CP A 45060︒30︒图1用测角仪测得旗杆顶部A 的仰角为40︒，已知测角仪器的高CD =1.5米，求旗杆AB 的高(精确到0.1米) ．分析:要求AB 的高,由题意知可知CD=BE ,先在Rt △ADE 中求出AE 的长,再利用AB=BE +AE 求出AB 的长.解：在Rt △ADE 中，tan ∠ADE =DEAE. ∵DE =10，∠ADE =40︒.∴AE =DE tan ∠ADE =10tan 40︒≈100.84⨯=8.4. ∴AB =AE +EB =AE +DC =8.4 1.59.9+=.答：旗杆AB 的高为9.9米． 三、建桥问题例4.（2008年河南）如图所示，A 、B 两地之间有一条河，原来从A 地到B 地需要经过DC ，沿折线A →D →C →B 到达，现在新建了桥EF ，可直接沿直线AB 从A 地到达B 地．一直BC =11km ，∠A =45°，∠B =37°．桥DC 和AB 平行，则现在从A 地到达B 地可比原来少走多少路程？（结果精确到0.1km ．参考数据： 1.412≈，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80）. 分析:要求现在比原来少走多少路程，就需要计算两条路线路程之差，如图构造平行四边形DCBG ，将两条路线路程之差转化为AD DG AG +-，作高线DH ,将△ADG 转化为两个直角三角形，先在在Rt DGH △中求DH 、GH ，再在Rt ADH △中求AD 、AH,此题即可得解.解：如图，过点D 作DH AB ⊥于H ，DG CB ∥交AB 于G ．DC AB ∥，∴四边形DCBG 为平行四边形．∴DC GB =，11GD BC ==．∴两条路线路程之差为AD DG AG +-． 在Rt DGH △中，sin37110.60 6.60DH DG =⋅≈⨯=， cos37110.808.80GH DG =⋅⨯≈≈．在Rt ADH △中，1.41 6.609.31AD =⨯≈≈．6.60AH DH =≈．∴(9.3111)(6.608.80)AD DG AG +-=+-+≈即现在从A 地到B 地可比原来少走约4.9km ． 四、图案设计问题例4.（2008年上海市）“创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图4所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O 的半径OC 所在的直线为对称轴的轴对称图形，A 是OD 与圆O 的交点．由于图纸中圆O 的半径r 的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中1:0.75i =是坡面CE 的坡度），求r 的值．分析:要求圆O 的半径r 的值，需在直角三角形ODH 中来解决,而已知的条件太少，需要先在直角三角形CEH 中，根据条件5CE =、坡面CE 的坡度1:0.75i =求出EH 、CH ，然后在直角三角形ODH 中利用勾股定理列出方程，从而求出r 的值．解：由已知OCDE ⊥，垂足为点H ，则90CHE ∠=．图41:0.75i =，43CH EH ∴=． 在Rt HEC △中，222EH CH EC +=．设4CH k =，3(0)EH k k =>，又5CE =，得222(3)(4)5k k +=，解得1k =．∴3EH =，4CH =．∴7DH DE EH =+=，7OD OA AD r =+=+，4OH OC CH r =+=+． 在Rt ODH △中，222OH DH OD +=，∴222(4)7(7)r r ++=+． 解得83r =．航海中的安全问题船只在海上航行，特别要注意安全问题，这就需要运用数学知识进行有关的计算，以确保船只航行的安全性.请看下面两例.例1 （深圳市）如图1，某货船以24海里／时的速度将一批重要物资从A 处运往正东方向的M 处，在点A 处测得某岛C 在北偏东60的方向上．该货船航行30分钟后到达B 处，此时再测得该岛在北偏东30的方向上，已知在C 岛周围9海里的区域内有暗礁．若继续向正东方向航行，该货船有无触礁危险？试说明理由．分析：问题的关键是弄清方位角的概念，过点C 作CD ⊥AB 于D ，然后通过解直角三角形求出CD 的长，通过列方程解决几何问题也是一种常用方法.解：由已知，得AB=24×21=12，∠CAB=90°-60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°，所以∠C=30°，所以∠C=∠CAB ，所以CB=AB=12.在Rt △CBD 中，sin ∠CBD=CB CD ，所以CD=CB ·sin ∠CBD=12×3623=.∵936> 所以货船继续向正东方向行驶无触礁危险．例2 如图2，一艘渔船在A 处观测到东北方向有一小岛C ，已知小岛C 周围4.8海里范围内是水产养殖场.渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B 处，在B 处测得小岛C 在北偏东60°方向上，这时渔船改变航线向正东（即BD ）方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？分析：先将实际问题转化为解直角三角形的问题.可有如下两种方法求解. 解法一：如图3，过点B 作BM ⊥AH 于M ，则BM//AF.所以∠ABM=∠BAF=30°. 在Rt △BAM 中，AM=21AB=5，BM=35. 过点C 作CN ⊥AH 于点N ，交BD 于K. 在Rt △BCK 中，∠CBK=90°-60°=30°. 设CK=x ，则BK=3x.在Rt △CAN 中，因为∠CAN=90°-45°=45°，所以AN=NC.所以AM+MN=CK+KN. 又NM=BK ，BM=KN ，所以x+35=5+3x.解得x=5. 因为5>4.8，所以渔船没有进入养殖场的危险.解法二：如图4，过点C 作CE ⊥BD 于E.所以CE//GB//FA. 所以∠BCE=∠GBC=60°，∠BCA=∠FAC=45°. 所以∠BCA=∠BCE-∠ACE=60°-45°=15°. 又∠BAC=∠FAC-∠FAB=45°-30°=15°，D图2图3图4所以∠BCA=∠BAC.所以BC=AB=10.在Rt △BCE 中，CE=BC ·cos ∠BCE=BC ·cos60°=10×21=5. 也5>4.8，所以渔船没有进入养殖场的危险.实际中的仰角和俯角问题在进行测量时，从下向上看,视线与水平线的夹角叫做仰角;从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角.计算原理:视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知仰角、俯角和另一边，利用解直角的知识就可以求出物体的高度.梳理总结：⑴仰角和俯角是指视线相对于水平线而言的，不同位置的仰角和俯角是不同的；可巧记为“上仰下俯”.在测量物体的高度时，要善于将实际问题抽象为数学问题.⑵在测量山的高度时，要用“化曲为直”的原则把曲的山坡“化整为零地分成一些小段，把每一小段山坡长近似地看作直的，测出仰角求出每一小段山坡对应的高，再把每部分高加起来，就得到这座山的高度.例1 (成都)如图2，甲、乙两栋高楼的水平距离BD 为90米，从甲楼顶部C 点测得乙楼顶部A 点的仰角α为30︒，测得乙楼底部B 点的俯角β为60︒，求甲乙两栋高楼各有多高？(计算过程和结果都不取近似值.分析:过点C 作CE ⊥AB 于点E, 在Rt △BCE 和Rt △ACE 中, BE 和AE 可用含CE(即为水平距离)的式子表示出来,从而求得两楼的高.解:作CE ⊥AB 于点E,∵CE ∥DB,CD ∥AB,且∠CDB=090,∴四边形BECD 是矩形. ∴CD=BE,CE=BD.图 1 E图2在Rt △BCE 中, ∠β=060,CE=BD=90米. ∵,tan CEBE=β∴BE=CE 39060tan 90tan 0=⨯=⋅β(米). ∴CD=BE=390(米).在Rt △ACE 中, ∠α=030,CE=90米. ∵ ,tan CEAE=α∴AE=CE 330339030tan 90tan 0=⨯=⨯=⋅α(米). ∴AB=AE+BE=3120390330=+(米). 答:甲楼高为390米,乙楼高为3120米.反思:仰角和俯角问题是解直角三角形中的常见题型,作辅助线构造直角三角形(一般同时得到两个直角三角形)并解之是解决这类问题的常用方法.例2 （乐山）如图3，小山上有一棵树．现有测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，在山脚水平地面上测出小树顶端A 到水平地面的距离AB ．要求：⑴画出测量示意图；⑵写出测量步骤（测量数据用字母表示）； ⑶根据（2）中的数据计算AB ．分析：要测量底步不能到达的物体的高度,要转化为双直角三角形问题,测量方案如图2,计算的关键是求 AE,可设AE=x,则在Rt △AGF 和 Rt △AEF 中, 利用三角函数可得αtan x HE =,βtan x EF = ,再根据HE-FE=CD=m 建立方程即可. 解：（1）测量图案（示意图）如图4所示（2）测量步骤：第一步：在地面上选择点C 安装测角仪，测得此时树尖A 的仰角AHE α=∠;第二步：沿CB 前进到点D ，用皮尺量出C D ，之间的距离CD m =;AB图3AE F HC DB图4第三步：在点D 安装测角仪，测得此时树尖A 的仰角AFE β=∠; 第四步：用皮尺测出测角仪的高h . （3）计算： 令AE=x,则,tan HE x =α得αtan x HE =,又,tan EF x =β得βtan xEF =, ∵HE-FE=HF=CD=m, ∴,tan tan m xx =-βα 解得αββαtan tan tan tan -⋅=m x ，∴AB=.tan tan tan tan h m +-⋅αββα反思：在多个直角三角形中一定要认真分析各条线段之间的关系(包括三角函数关系、相等关系),运用方程求解,有时可起到事半功倍之效.快乐套餐:1.(泰安)如图5，一游人由山脚A 沿坡角为30的山坡AB 行走600m ，到达一个景点B ，再由B 沿山坡BC 行走200m 到达山顶C ，若在山顶C 处观测到景点B 的俯角为45，则山高CD 等于 （结果用根号表示）2.(安徽)如图6，某幢大楼顶部有一块广告牌CD ，甲乙两人分别在相距8米的A 、B 两处测得D 点和C 点的仰角分别为45°°和60°，且A 、B 、E 三点在一条直线上，若BE=15米，求这块广告牌的高度．(1.73，计算结果保留整数)ABCD图5第19题图EDCB A450600图6参考答案:1. (300 .2. ∵AB＝8，BE＝15，∴AE＝23，在Rt△AED中，∠DAE＝45°,∴DE＝AE＝23.在Rt△BEC中，∠CBE＝60°,∴CE＝BE·tan60°＝CD＝CE－DE＝23≈2.95≈3.即这块广告牌的高度约为3米.。

解直角三角形应用举例
瓜沥一中龙志祥ABCDEABCDEA`B`D`EABCDAEA`BCD 影子法平面镜法标杆法例1.有个肯动脑筋的同学想了一个办法:他先在点C 处用测角仪测得塔顶A 的仰角是300,再向塔前进540 米到达D,在D 处测得塔顶A 的仰角是600.请问能否用这三个数据算出明珠塔的高度?CABD300600540⌒
仰角和俯角:指视线和水平线所成的角.
能够测仰角与俯角的仪器叫测角仪
⑴仰角:视线在水平线上方时
⑵俯角:视线在水平线下方时
解: 在Rt△ADB 中,
BD= ABcot∠ADB=ABcot60°.
在Rt△ACB 中,
BC= ABcot∠ACB=ABcot30°.
∵BC －BD=CD= 540m,
即ABcot30º－ABcot60º = 540,CDBA﹚﹚60°30°540m?
探索:在现实生活中往往由于场地的限制,使得C,D 两处测得的仰角不一定为特殊角,根据以上的解题方法,你能否用图中的两个角的三角函数值及CD 的长度m 来表示AB 的高度h,
求山高或建筑物的高;测量河的宽度或物体的长度;航行航海问题等.解决这类问题的关键是先画出测量示意图,把实际问题转化为数学问题,利用直角三角形中角、边之间的数量关系求出所要求的距离或角度.
应用解直角三角形知识解应用题时,可按以下思维过程进行:
(1)画出测量示意图;。