有理数的乘方

有理数乘方有理数乘方的概念是十九世纪末二十世纪初才确立的，在此之前都称为“开方”。

它的原理早在公元前六世纪古希腊的阿基米德那里就已经发现了，他根据三角形面积和与其边长成正比的定理求出了一个正三角形面积的公式。

这个公式虽然不很完善，但在当时也算得上是十分重要的成果。

古人所说的“开方”实际上指的是在未知数的系数中添加一个适当的“负号”，使乘法运算转化为加法运算，从而使问题得以简化。

但是，只要把这种简化的思想进一步发展下去，就可以发现这个思想同乘法运算本身是没有任何矛盾的。

例如， 1、 3、 5、 9这几个有理数按顺序加起来为2n，把它们写成乘法算式时，若只看到结果则认为得数是1n，可实际上却等于加法，即2n；而若看到结果为3n，则误认为得数是3，实际上应该得3n，即3n；…这样，乘方后就变成1、 3、 9n，得数是3、 9、27。

由此可见，在加法的后面添加一个“负号”，并不会引起得数的改变，因此，这种解决问题的办法叫做“开方”，也叫“增乘开方”。

这是因为“开方”的目的是为了求某些数，而不是为了求某些数的积。

当然，这种方法也并非全无优点，它最大的优点是可以通过试探性的运算，证明一些比较复杂的数学问题的答案。

例如， 2、 3、 5、 7、 9、 11、 13、 17、 19这几个有理数按顺序乘起来得2×3×5×7×9×11×13×17×19，将它们写成乘法算式时，若只看到结果则认为得数是35，可实际上却等于加法，即20，即35×20；而若看到结果为23，则误认为得数是23，实际上应该得23×20，即23×20×20；…这样，乘方后就变成1、 3、 5、7、 9、 11、 13、 17、 19×20，得数为35、 23、 23、 17、 20，而“开方”的结果仍然是这些数，这就充分显示了乘方的优越性。

有理数的乘方1．乘方的定义：（1）求相同因式积的运算，叫做乘方；（2）乘方中，相同的因式叫做底数，相同因式的个数叫做指数，乘方的结果叫做幂；（3）a 2是重要的非负数，即a 2≥0；若a 2+|b|=0 ⇔ a=0,b=0；（4）据规律 ⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅===100101101.01.0222底数的小数点移动一位，平方数的小数点移动二位. 2.乘方的性质（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数；注意：当n 为正奇数时: (-a)n =-a n 或(a-b)n =-(b-a)n , 当n 为正偶数时: (-a)n =a n 或 (a-b)n =(b-a)n. （2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。

3．科学记数法：把一个大于10的数记成a ×10n 的形式，其中a 是整数数位只有一位的数（其中101<≤a ， n 是正整数），这种记数法叫科学记数法.4.近似数的精确位：一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数的精确到那一位.5.有效数字：从左边第一个不为零的数字起，到精确的位数止，所有数字，都叫这个近似数的有效数字.6.做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：（1）.先乘方，再乘除，最后加减；（2）.同级运算，从左到右进行；（3）.如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。

注意：不省过程，不跳步骤。

7.特殊值法：是用符合题目要求的数代入，并验证题设成立而进行猜想的一种方法,但不能用于证明.常用于填空，选择。

一、填空题1.算式(－3)×(－3)×(－3)×(－3)用幂的形式可表示为 ，其值为 .2.在今年的“两会”上，温家宝总理在政府工作报告中提出，要在5年之内，在全国逐步取消农业税，减轻农民负担.目前我国农民每年交纳的农业税约为300亿远，用科学记数法表示为（结果保留3个有效数字） .3. 计算332)3()31()1(-⨯---的结果为 .4.圆周率=3.141592653…，如果取近似数3.142，它精确到 位，有效数字是 .5 .(1）542= （2）3216520.3-⨯-+=（） （3）－(－2)3(－0.5)4. . 6.若()2120070a b ++-=，则b a =__________。

有理数的乘方公式完全平方公式：(a+b)²=a²+2ab+b²平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)完全立方公式：(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³有理数的乘方：求相同因数的积叫做乘方，乘方运算的结果叫幂。

正数的任何次幂都是正数，负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。

由于乘方是乘法的特例，因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算完成。

有理数的乘方法则：同底数幂法则同底数幂相乘除，原来的底数作底数，指数的和或差作指数。

a^m×a^n=a^(m+n)或a^m÷a^n=a^(m-n)（m、n均为自然数）幂的乘方法则幂的乘方，底数不变，指数相乘。

(a^m)^n=a^(m×n)积的乘方积的乘方，先把积中的每一个因数分别乘方，再把所得的幂相乘。

(a×b)^n=a^n×b^n有理数的乘方运算：1、负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。

2、正数的任何次幂都是正数，零的任何正数次幂都是零。

3、零的零次幂无意义。

4、由于乘方是乘法的特例，因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算完成。

5、1的任何次幂都是1，-1的偶次幂是1，奇次幂是-1。

6、0的任何正整数次幂都得0.有理数的乘法运算1、同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

2、任何数与零相乘，都得零。

3、几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负，当负因数有偶数个时，积为正。

4、几个数相乘，有一个因数为零，积就为零。

5、几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后后把绝对值相乘。

有理数乘方的定义
有理数乘方是指一种由有理数和次幂组成的表示方式，例如4的3次方，表示为4，其中4是有理数，3是次幂，这样的组合叫做有
理数乘方。

有理数乘方的定义
有理数乘方的定义是有理数和次幂的组合，它可隐含在运算式中，形式如下：a，其中a是有理数，n是次幂。

有理数乘方可以用来表
示多项式，因为多项式中的每个变量都可以用有理数乘方的形式表示。

有理数乘方的概念
有理数乘方的最基本概念是，如果有一个数值a，把其乘以a本身n次，就可以得到a的n次幂。

即可以用下面的公式描述：
a=a×a×a×……×a (n个a)
有理数乘方的运算
有理数乘方的运算可以分为乘方少的方法和乘方多的方法，乘方少的方法是指乘方小于等于2的情况，一般可以直接算出，比如：a=a ×a，a=a×a×a，a=a×a×a×a等等。

乘方多的方法则有很多种，
如乘方展开式、乘方公式、积和减、型积分等，这些方法都可以用来求解有理数乘方的值。

有理数乘方的应用
有理数乘方可以用来表示多项式，可以用来解题，并求出多项式的根。

此外，有理数乘方也可以用来解决有关函数、微分方程、概率等问题。

另外，根据有理数乘方的定义，可以很容易地将变量代入相
应的公式中，从而轻松解决问题。

结论
有理数乘方是一种表示方式，由有理数和次幂组成，可以用来表示多项式，并用来解题、解决函数、微分方程和概率问题等。

有理数的乘方2.6有理数的乘方1.乘方的概念求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。

在 n a 中，a 叫做底数，n 叫做指数。

幂指数2.乘方的性质（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。

（2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。

注意：（－a ）n与－a n的区别和联系；a b n 与(ab)n 的区别2.7有理数的混合运算1.运算顺序：（1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行；（3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号，中括号，大括号依次进行。

2.科学计数法把一个大于10的数表示成 n a 10⨯的形式（其中101<≤a ， n 是正整数），这种记数法是科学记数法。

一、填空题1．对于(－2)6，6是______的指数，底数是______，(－2)6＝______.对－26，6是____的指数，底数是____，－26＝______．2．计算：(1)34＝______； (2)－34＝______； (3)(－3)4＝______；(4)－(－3)4＝______；=32)5(3______； =3)32)(6( ______； =-3)32)(7(______；=--3)2()8(3______；3．当n 为正奇数时，(－a )n ＝______；当n 为正偶数时，(－a )n ＝______4．－12的计算结果是( )． (A)1 (B)－11 (C)－1 (D)－2 5．－0.22的计算结果是( )． (A)－0.04 (B)0.04(C)0.4(D)－0.46．312-的计算结果是( )．(A)91 (B)31-(C)91-(D)317．下列各式中，计算结果得0的是( )． (A)22＋(－2)2 (B)－22－22 (C)2221)21(--(D)2221)21(+-8．下列各数互为相反数的是( )．(A)32与－23 (B)32与(－3)2(C)32与－32 (D)－32与－(－3)2 三、计算题 9．6×(－2)2÷(－23)10．222232)32(2)2(-+--11．(3×2)2＋(－2)3×5－(－0.28)÷(－2)212．)2131()1()3(3322-⨯---÷-13．|32|)2.0(1)1.0(1323--+--- 14．234)2(21])43()21[(1-+--+综合运用一、选择题15．下列说法中，正确的个数为( )．①对于任何有理数m ，都有m 2＞0；②对于任何有理数m ，都有m 2＝(－m )2；③对于任何有理数m 、n (m ≠n )，都有(m －n )2＞0； ④对于任何有理数m ，都有m 3＝(－m )3． (A)1 (B)2 (C)3 (D)0 16．下列说法中，正确的是( )．(A)一个数的平方一定大于这个数 (B)一个数的平方一定是正数 (C)一个数的平方一定小于这个数 (D)一个数的平方不可能是负数17．设n 为自然数，则：(1)(－1)2n －1＝______；(2)(－1)2n ＝______；(3)(－1)n ＋1＝______．18．当n 为正奇数时，(－a )n ＝______；当n 为正偶数时，(－a )n ＝______． 19．用“＞”或“＜”填空：(1)－32________(－2)3； (2)｜－3｜3________(－3)2；(3)(－0.2)2________(－0.2)4；(4)2)21(________2)31(20．如果－a ＞a ，则a 是________；如果｜a 3｜＝a 3，则a 是________．如果｜a 2｜＝－｜a 2｜，则a 是________；如果｜－a ｜＝－a ，则a 是________． 三、解答题21．某种细胞每过30分钟便由1个分裂成2个．请根据你所学知识，描述一下细胞的数量是呈什么方式增长的?并计算5小时后1个细胞可以分裂成多少个细胞．拓展探究22．已知22×83＝2n ，则n 的值为( )．(A)18 (B)11 (C)8 (D)7 23．根据数表1 1＋3 1＋3＋5 1＋3＋5＋7 ……可以归纳出一个含有自然数n 的等式，你所归纳出的等式是_____________． 24．实验、观察、找规律计算：31＝______；32＝______；33＝______；34＝______；35＝______；36＝______；37＝______；38＝______． 由此推测32004的个位数字是______科学记数法课堂学习检测一、填空题1．把下列各数用科学记数法表示出来： (1)10＝__________； (2)200＝__________； (3)8600＝__________；(4)600800＝__________． 2．把下列用科学记数法表示的数还原： (1)1.0×102＝__________； (2)1.1×103＝__________； (3)2.1×106＝__________；(4)3.008×105＝__________．3．你对地球和太阳的大小了解多少?请完成下列填空：(1)地球的半径大约是6370千米，用科学记数法表示为________米．(2)太阳的半径大约是6.96×105千米，精确到整数，大约是________万千米．(3)地球到太阳的距离大约是150000000千米，用科学记数法表示为________米．4．(1)用四舍五入法，求1.549的近似值(保留两个有效数字)是________；(2)用四舍五入法，求7531000的近似值(保留两个有效数字)是________．5．测得某同学的身高约是1.66米，那么意味着他的身高的精确值在________米与________米之间(保留四位有效数字)．6．3.05万是精确到________位的近似数．二、填空题7．下列是科学记数法的是()．(A)50×106(B)0.5×104(C)－1.560×107(D)1.5108．已知：a＝1.1×105，b＝1.2×103，c＝5.6×104，d＝5.61×102，将a，b，c，d按从小到大顺序排列正确的是()．(A)a＜b＜c＜d (B)d＜b＜c＜a (C)d＜c＜b＜a(D)a＜c＜b＜d 9．“全民行动，共同节约”，我国13亿人口如果都响应国家号召每人每年节约1度电，一年可节约电1300000000度，这个数用科学记数法表示，正确的是()．(A)1.30×109(B)1.3×109(C)0.13×1010(D)1.3×1010综合运用一、选择题10．下列说法正确的是()．(A)近似数1.60和近似数1.6的有效数字一样(B)近似数1.60和近似数1.6的精确度一样(C)近似数250百和25000的精确度一样(D)近似数8.4和0.8的精确度一样11．下列说法正确的是()．(A)2.46万精确到万位，有三个有效数字(B)近似数6百和600精确度是相同的(C)317500精确到千位可以表示为31.8万，也可表示为3.18×105(D)0.0502共有5个有效数字，它精确到万分位二、填空题(用乘方形式表示结果)12．求近似值：①3.14159(精确到0.001)_________________；②0.008003(保留2个有效数字)_________________；③528187(精确到万位)_________________；④101001000(保留3个有效数字)_________________．三、解答题13．我们经常会看到“光年”和“纳米”这两个名称．你知道它们的含义吗?(1)光年(1ight year)是天文学中使用的距离单位，符号是L. y．，主要用于度量天体间的距离．1光年是光在真空中一年所走的距离：真空中光速为299792.458千米/秒，1年≈60×60×24×365.25秒，请你计算一下1光年大约是多少千米(保留六位有效数字)．(2)光年是一个较大距离的单位，而纳米(nanometer)则是表示微小距离的单位，符号是nm ．，主要用于度量微粒的大小．1纳米9101=米，即1米＝109纳米．请你写出纳米和分米、厘米、毫米之间的换算关系．1厘米＝______纳米，1毫米＝______纳米．14．已知1 km 2的土地上，1年内从太阳那里能得到相当于燃烧1.3×108kg 煤所产生的能量．那么我国960万km 2的土地上1年内从太阳那里获得的能量相当于新开发1个年产煤多少吨的煤矿?拓展探宄15．你相信吗? 有人说：“将一张纸对折，再对折，重复下去，第43次后纸的厚度便相当于地球到月球的距离．”已知一张纸厚0.006cm ，地球到月球的距离约为3.85×108m ．用计算器算一下这种说法是否可信．作业布置1、你能求出1021018125.0⨯的结果吗?2、若a 是最大的负整数，求2003200220012000a a a a +++的值。

《有理数的乘方讲解》同学们，咱们今天来好好讲讲有理数的乘方。

先来说说什么是乘方。

比如说2×2×2，写起来是不是挺麻烦的？那咱们就可以简单地写成2³ ，这个2³ 就是 2 的三次方，这就是乘方。

咱们来举个例子，3 的四次方，就是3×3×3×3 ，结果是81 。

再说说乘方的一些特点。

一个正数的任何次幂都是正数。

负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

比如(-2)³ ，就是-8 ，而(-2)² 就是4 。

乘方在生活中也有用呢。

比如折纸，折一次是两层，折两次就是 4 层，折三次就是8 层，这其实就和乘方有关系。

怎么样，同学们，是不是对有理数的乘方有点感觉啦？《有理数的乘方讲解》同学们，咱们来一起学学有理数的乘方。

乘方啊，其实就是几个相同的数相乘的简便写法。

比如说 5 个 4 相乘，写成4×4×4×4×4 太麻烦啦，咱们就可以写成 4 的 5 次方。

那咱们算算 2 的 4 次方是多少？就是2×2×2×2 ，结果是16 。

再看看这个，(-3)² ，它等于9 ，因为负数的偶次幂是正数。

乘方在面积计算里也能用到。

一个正方形的边长是 2 厘米，那它的面积就是2×2 ，也就是2² ，等于 4 平方厘米。

同学们，是不是觉得乘方也没那么难呀？《有理数的乘方讲解》同学们，今天咱们来搞清楚有理数的乘方。

比如说10 个 5 相乘，写起来太啰嗦啦，咱们就写成 5 的10 次方。

像 4 的 3 次方，就是4×4×4 ，等于64 。

来想想，(-1)的 5 次方是多少？因为-1 乘-1 是 1 ，1 再乘-1 就是-1 ，所以(-1)的 5 次方等于-1 。

乘方在买东西的时候也有用哦。

假如一个苹果 2 元，买 5 个就是2×5 。

有理数的乘方的教案（优秀6篇）作为一名辛苦耕耘的教育工作者，常常要写一份优秀的教案，编写教案助于积累教学经验，不断提高教学质量。

那么应当如何写教案呢？下面是整理的6篇《有理数的乘方的教案》，在大家参考的同时，也可以分享一下给您的好友哦。

有理数的乘方教案篇一一、学习目标1.能确定有理数加、减、乘、除、乘方混合运算的顺序；2.掌握含乘方的有理数的混合运算顺序，并掌握简便运算技巧；3.偶次幂的非负性的应用。

二、知识回顾1.在2+ ×(-6)这个式子中，存在着3种运算。

2.上面这个式子应该先算乘方、再算2 、最后加法。

三、新知讲解1.偶次幂的非负性若a是任意有理数，则(n为正整数)，特别地，当n=1时，有。

2.有理数的混合运算顺序①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行；③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

四、典例探究1.有理数混合运算的顺序意识【例1】计算：-1-3×(-2)3+(-6)÷总结：做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；同级运算，从左到右进行；如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。

练1计算：-2×(-4)2+3-(-8)÷ +2.有理数混合运算的转化意识【例2】计算：(-2)3÷(-1 )2+3 ×(- )-0.25总结：将算式中的除法转化为乘法，减法转化成加法，乘方转化为乘法，有时还要将带分数转化为假分数，小数转化为分数等，再进行计算。

练2计算：3.有理数混合运算的符号意识【例3】计算：-42-5×(-2)× -(-2)3总结：在有理数运算中，最容易出错的就是符号。

符号“-”即可以表示运算符号，即减号；又可以表示性质符号，即负号；还可以表示相反数。

要结合具体情况，弄清式中每个“-”的具体含义，养成先定符号，再算绝对值的良好习惯。

有理数的乘方法则有理数的乘法是数学中的基本运算之一，它是指两个有理数相乘的操作。

在进行有理数的乘法时，我们需要考虑有理数的正负性以及绝对值大小的关系。

本文将详细介绍有理数的乘法规则及相关概念，帮助读者更好地理解和掌握有理数的乘法运算。

首先，让我们回顾一下有理数的基本概念。

有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括正整数、负整数和零。

有理数可以用分数形式表示，例如3/4、-5/6等。

在有理数中，我们需要特别关注正负号和绝对值的概念。

正数的绝对值就是这个数本身，负数的绝对值是它的相反数，即去掉负号。

例如，-5的绝对值是5，5的绝对值也是5。

有理数的乘法遵循以下规则：1. 正数乘以正数等于正数。

2. 负数乘以负数等于正数。

3. 正数乘以负数等于负数。

4. 0乘以任何数都等于0。

接下来，让我们通过一些具体的例子来演示有理数的乘法。

例1：计算2/3乘以4/5。

首先，我们将分数相乘的规则应用到这个例子中，即分子乘分子，分母乘分母。

计算过程如下：2/3 * 4/5 = (2*4)/(3*5) = 8/15因此，2/3乘以4/5等于8/15。

例2：计算-1/2乘以-3/4。

根据有理数乘法的规则，两个负数相乘等于正数，因此-1/2乘以-3/4的结果为正数。

计算过程如下：-1/2 * -3/4 = (1*3)/(2*4) = 3/8因此，-1/2乘以-3/4等于3/8。

例3：计算5乘以-2/7。

在这个例子中，一个整数和一个负分数相乘，根据有理数乘法的规则，结果为负数。

计算过程如下：5 * -2/7 = -10/7因此，5乘以-2/7等于-10/7。

通过以上例子，我们可以看到有理数的乘法运算并不复杂，只需要遵循规则并进行适当的计算即可得到结果。

在实际应用中，有理数的乘法运算常常涉及到分数化简、约分等操作，需要我们灵活运用数学知识进行计算。

除了基本的有理数乘法规则外，我们还可以通过实际问题来应用有理数的乘法。

例如，计算物品的价格和数量、计算时间和速度等。

有理数乘方的运算
有理数乘方的运算是数学中的一种技能，它可以帮助我们理解数学中关于证明表达式和解决方程的复杂概念。

它也可以用于复杂的函数和曲线分析，可以帮助我们快速高效地解决复杂的数学问题。

有理数乘方运算的基本概念是乘方。

乘方是实数的运算，它表示一个实数乘以自身多少次。

它一般形式为a^n，其中a表示底数，n 表示指数。

当n为正整数时，有理数乘方运算以如下递归表达式来实现：
a^n = a a^(n-1)
当n为负整数时，有理乘方运算也有一个类似的递归表达式：
a^n = 1 / a^(n+1)
有理乘方运算也可以用于复杂的函数分析，它能够帮助我们更好地理解曲线图，它可以帮助我们快速确定函数的极值、积分、导数等概念。

此外，有理乘方运算还可以用于解决方程。

有理乘方运算的方法，如双次方程、立方方程等，可以帮助我们快速准确地解决根据指定条件给定的方程，或者求出多个未知数的解。

除了以上常见的应用之外，有理乘方运算也可以用于综合应用：用于推导函数的高次导数；用于解决一阶微分方程；用于分析计算机编程中的复杂函数；用于快速准确解决球和椭圆曲线上某一点到另一点的距离等。

在有理数乘方运算的教学中，从理论学习到实际操练，都是建立
在初始知识和深入了解之后的，有理数乘方运算中不同概念之间相互关联的基础上，每一步都是以学生逐步提高解决问题的能力为目标，从而更好地理解和应用有理乘方的知识。

总之，有理数乘方的运算能够提高我们的数学技能，它可以帮助我们更好地理解数学概念，帮助我们快速准确地解决数学问题，使我们的数学知识更加深入。