2013广东高考题和2014模拟题数列大题汇编

13-14数列高考题汇编1（2013·新课标Ⅰ高考理科·Ｔ7）设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若21-=-m S ,0=m S ,31=+m S ，则=m （ C ）A.3B.4C.5D.2（2013·辽宁高考文科·Ｔ4）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ4）相同 下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题：1:p 数列{}n a 是递增数列；2:p 数列{}n na 是递增数列； 3:p 数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列；4:p 数列{}3n a nd +是递增数列；其中的真命题为（ D ）12342314.,.,.,.,A p p B p p C p p D p p3（2013·新课标Ⅰ高考文科·Ｔ6）设首项为1，公比为23的等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，则（ ）A.12-=n n a SB. 23-=n n a SC. n n a S 34-=D. n n a S 23-=4（2013·福建高考理科·Ｔ9）已知等比数列{}n a 的公比为q ，记m n m n m n m n a a a b +-+-+-+⋅⋅⋅++=)1(2)1(1)1(，c n =a m(n-1)+1·a m(n-1)+2·…·a m(n-1)+m ，()*,N n m ∈，则以下结论一定正确的是（ ）A. 数列{}n b 为等差数列，公差为m qB. 数列{}n b 为等比数列，公比为m q 2C. 数列{}n c 为等比数列，公比为2m q D. 数列{}n c 为等比数列，公比为mm q5【2014年重庆卷（理02）】对任意等比数列{}n a ,下列说法一定正确的是（ ）139.,,A a a a 成等比数列 236.,,B a a a 成等比数列 248.,,C a a a 成等比数列 369.,,D a a a 成等比数列6【2014年福建卷（理03）】等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=2，S 3=12，则a 6等于（ ）A ．8B ．10C ．12D ．147.【2014年全国大纲卷（10）】等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{lg }n a 的前8项和等于（ ）A ．6B ．5C ．4D ．3二、填空题8【2014年广东卷（理13）】若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则1220ln ln ln a a a +++= 。

2013年广东高考理科数学试题与答案解析2013年普通高等学校招生全国统一考试〔广东卷〕数学〔理科〕参考答案一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. DC CA BD BB二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分9. (-2,1) 10.k =-1 11. 7 12.20 13.614.sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭15.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.16．〔本小题满分12分〕[解析](Ⅰ)1661244f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；(Ⅱ) 222cos 2sin 233124f ππππθθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 因为3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以4sin 5θ=-, 所以24sin 22sin cos 25θθθ==-,227cos 2cos sin 25θθθ=-=- 所以23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos2sin 2θθ=-72417252525⎛⎫=---=⎪⎝⎭. 17．〔本小题满分12分〕[解析](Ⅰ) 样本均值为1719202125301322266+++++==；(Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为2163=,故推断该车间12名工人中有11243⨯=名优秀工人.向量法图(Ⅲ) 设事件A:从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人,则()P A=1148212C CC 1633=.18．〔本小题满分14分〕[解析](Ⅰ) 在图1中,易得3,OC AC AD===连结,OD OE,在OCD∆中,由余弦定理可得OD==由翻折不变性可知A D'=,所以222A O OD A D''+=,所以A O OD'⊥,理可证A O OE'⊥, 又OD OE O=,所以A O'⊥平面BCDE.(Ⅱ) 传统法:过O作OH CD⊥交CD的延长线于H,连结A H',因为A O'⊥平面BCDE,所以A H CD'⊥,所以A HO'∠为二面角A CD B'--的平面角.结合图1可知,H为AC中点,故2OH=,从而2A H'==所以cos5OHA HOA H'∠==',所以二面角A'的平面角的余弦值为.向量法:以O点为原点,建立空间直角坐标系O-则()0,0,3A',()0,3,0C-,()1,2,0D-所以(CA'=,(1,DA'=-设(),,n x y z=为平面A CD'的法向量,则n CAn DA⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩,即3020yx y⎧=⎪⎨-+=⎪⎩,解得yz=⎧⎪⎨=⎪⎩,令1x=,得(1,1,n=-由(Ⅰ) 知,()0,0,3OA'=为平面CDB的一个法向量,所以3cos,3n OAn OAn OA'⋅'==⋅'即二面角A CD B'--19．〔本小题满分14分〕[解析](Ⅰ) 依题意,12122133S a=---,又111S a==,所以24a=；(Ⅱ) 当2n≥时,32112233n nS na n n n+=---,()()()()321122111133n nS n a n n n-=-------两式相减得()()()2112213312133n n na na n a n n n+=----+---整理得()()111n nn a na n n++=-+,即111n na an n+-=+,又21121a a-=故数列nan⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为111a=,公差为1的等差数列,所以()111n a n n n=+-⨯=,所以2n a n =. (Ⅲ) 当1n =时,11714a =<；当2n =时,12111571444a a +=+=<；当3n ≥时,()21111111n a n n n n n=<=---,此时222121111111111111111434423341n a a a n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭11171714244n n =++-=-< 综上,对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<.20．〔本小题满分14分〕[解析](Ⅰ) 依题意,设抛物线C 的方程为24x cy =,2=0c >,解得1c =. 所以抛物线C 的方程为24x y =. (Ⅱ) 抛物线C 的方程为24x y =,即214y x =,求导得12y x '= 设A (x 1,y 1), B (x 2,y 2) (其中221212,44x x y y ==),则切线,PA PB 的斜率分别为112x ,212x , 所以切线PA 的方程为()1112x y y x x -=-,即211122x x y x y =-+,即11220x x y y --= 同理可得切线PB 的方程为22220x x y y --=因为切线,PA PB 均过点P (x 0,y 0),所以1001220x x y y --=,2002220x x y y --= 所以(x 1,y 1),(x 2,y 2)为方程00220x x y y --=的两组解. 所以直线AB 的方程为00220x x y y --=.(Ⅲ) 由抛物线定义可知11AF y =+,21BF y =+, 所以()()()121212111AF BF y y y y y y ⋅=++=+++联立方程0022204x x y y x y--=⎧⎨=⎩,消去x 整理得()22200020y y x y y +-+=由一元二次方程根与系数的关系可得212002y y x y +=-,2120y y y =所以()221212000121AF BF y y y y y x y ⋅=+++=+-+又点P (x 0,y 0)在直线l 上,所以002x y =+,所以22220000001921225222y x y y y y ⎛⎫+-+=++=++ ⎪⎝⎭ 所以当012y =-时, AF BF ⋅取得最小值,且最小值为92. 21．〔本小题满分14分〕 [解析](Ⅰ) 当1k =时,()()21x f x x e x =--,()()()1222x x x x f x e x e x xe x x e '=+--=-=-令f'(x )=0,得0x =,ln 2x = 当x 变化时, f'(x ), f (x )的变化如下表:f (x ) 极大值极小值右表可知,函数f (x )的递减区间为(0,ln2),递增区间为(-∞,0), (ln2,+∞). (Ⅱ)()()()1222x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-, 令f'(x )=0,得10x =,()2ln 2x k =,令()()ln 2g k k k =-,则()1110k g k k k -'=-=>,所以()g k 在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递增,所以()ln 21ln 2ln 0g k e ≤-=-<,从而()ln 2k k <,所以()[]ln 20,k k ∈所以当()()0,ln 2x k ∈时, f'(x )<0；当()()ln 2,x k ∈+∞时, f'(x )>0；所以()(){}(){}3max 0,max 1,1kM f f k k e k ==--- 令()()311kh k k e k =--+,则()()3kh k k e k '=-,令()3kk e k ϕ=-,则()330kk e e ϕ'=-<-<所以φ(k )在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减,而()()1313022e e ϕϕ⎛⎫⎛⎫⋅=--< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以存在01,12x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦使得()00x ϕ=,且当01,2k x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时, φ(k )>0, 当()0,1k x ∈时, φ(k )<0, 所以φ(k )在01,2x ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,在()0,1x 上单调递减. 因为1170228h e ⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭,()10h =, 所以()0h k ≥在1,12⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立,当且仅当1k =时取得“=〞.综上,函数f (x )在[0,k ]上的最大值()31kM k e k =--.。

近两年高考数学（广东卷）数列题巧解作者：刘品德来源：《广东教育·综合》2014年第09期数列是一类定义在正整数集或它的有限子集{1，2，3，…，n}上的特殊函数，可见，任何数列问题都蕴含着函数的本质及意义，具有函数的一些固有特征.新课程下高考（广东卷）更加突出数列是特殊函数的本质考查，在解答这类题时架起函数与数列之间的桥梁，揭示它们间的内在联系，就能轻松作答.本文以近两年高考（广东卷）的数列题为例，先对试题作出分析，再介绍其巧解方法.一、高考真题例1（2013广东，理19）设数列{an}的前n项和为Sn.已知a1=1，=an+1-n2-n-， n∈N？鄢.（1）求a2的值；（2）求数列{an}的通项公式；（3）证明：对一切正整数n，有++…+例2（2014广东，理19）设数列{an}的前项n和为Sn，满足Sn=2nan+1-3n2-4n，n∈N？鄢，且S3=15.（1）求a1，a2，a3的值；（2）求数列{an}的通项公式.二、试题分析近年广东高考数列解答题，常与不等式证明结合作为压轴题的形式出现，这类问题既需要证明不等式的基本思想和方法，又要结合数列本身的结构和特点，有着较强的技巧性，能综合考查考生的逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力.因此有关数列不等式的证明是一个常考不衰的题型，用“放缩法”证明数列不等式更是历年高考命题的热点，对“放缩法”的巧妙运用往往能体现出创造性，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果.但2014年就一改常态，不考不等式证明，考归纳推理、数学归纳法，这让很多考生不适应，完全在意料之外，整个题切入似乎比较难，导致广东今年数学高考成绩的平均分比去年低10多分.两道题的常见解法：例题1解答一：（1）解：∵ =an+1-n2-n-， n∈N？鄢.∴当n=1时，2a1=2S1=a2--1-=a2-2又∵ a1=1∴ a2=4（2）解：∵ =an+1-n2-n-， n∈N？鄢.∴ 2Sn=nan+1-n3-n2-n=nan+1- ①∴当n≥2时，2Sn-1=（n-1）an- ②由①-②，得2Sn-2Sn-1=nan+1-（n-1）an-n（n+1）∵ 2an=2Sn-2Sn-1∴ 2an=nan+1-（n-1）an-n（n+1）∴ -=1∴数列是首项为=1，公差为1的等差数列.∴ =1+1×（n-1）=n，∴ an=n2（n≥2）当n=1时，上式显然成立.∴ an=n2，n∈N？鄢.（3）证明：由（2）知，an=n2，n∈N？鄢①当n=1时，=1②当n=2时， +=1+③当n≥3时，∵ n2>（n-1）·（n+1），∴∴ ++…+=++…+=1+（-）+（-）+（-）+…+（-）+（-）=1+（-+-+-+…+-+-）=1+（+--）=+（--）当n≥3时，原不等式亦成立.综上所述，对一切正整数n，有++…+例题2解答一：解：⑴由题意得：S2=4a3-20，S3=S2+a3=5a3-20又S3=15∴ a3=7，S2=4a3-20=8又S2=S1+a2=（2a2-7）+a2=3a2-7∴ a2=5，a1=S1=2a2-7=3综上知a1=3，a2=5，a3=7.（2）由（1）猜想an=2n+1，下面用数学归纳法证明.①当n=1时，结论显然成立.②假设当n=k（k≥1）时，ak=2k+1则Sk=3+5+7+（2k+1）=×k=k（k+2）又Sk=2kak+1-3k2-4k∴ k（k+2）=2kak+1-3k2-4k，解得2ak+1=4k+6∴ ak+1=2（k+1）+1即当n=k+1时，结论成立.由①②知，？坌n∈N？鄢，an=2n+1.三、试题评价从试题的设计来看，第一道数列试题充分体现了考基础、考能力、考素质、考潜能和以考生发展为本的考试目标.试题的第（1）问比较常规，属于送分题，学生比较容易上手，以增加学生解决综合题和战胜困难的信心；第（2）问利用递推关系求数列通项公式，这应该是学生比较熟悉的，这样可以让他们能够心平气和地思考问题，但在思维的层次上和运算能力上作了一个适当的提升，对中等偏下的学生设置了障碍；第（3）问是为一些优秀学生提供了充分展示自己智力的平台，让这些学生能够脱颖而出.这样，逐步增加试题思维的难度，达到通过数列压轴题增加试卷区分度的目的，对今后中学数学教育改革有良好的推动与导向作用.第二道数列题，第（1）问求数列的前三项，通过解方程组可以求出；第（2）问不少考生还是试图通过公式an=Sn-Sn-1（n≥2）去求，也是平时备考复习做得比较多的题型，发现做不下去，很少考生能发现第（1）问的提示作用，利用归纳推理，先猜后证，再用数学归纳法证明，这也与平时教学有关. 从评卷情况来看，数列解答题虽然一看题目似乎是可以用“通性通法”求解，但很多考生的思维定势比较明显，不能做到灵活变通，导致对数列题的解答“会而不对”.四、试题巧解笔者深入分析这两道题发现：事实上都是考查数列是特殊函数的本质，也就说可以从函数的角度来分析作答，如果能够先求出函数Sn = f（n）（n∈N？鄢）的表达式，再由公式an=Sn-Sn-1（n≥2）去求an就是水到渠成的事了.下面根据题目条件的特点，用待定系数先求Sn再求an.例题1解答二：（1）解略.（2）解：由题意可设Sn=an3+bn2+cn+d（a≠0）则an+1=Sn+1-Sn=[a（n+1）3+b（n+1）2+c（n+1）+d]-（an3+bn2+cn+d）=3an2+（3a+2b）n+a+b+c由条件=an+1-n2-n-，即2Sn=nan+1-n3-n2-n可得：2an3+2bn2+2cn+2d=（3a-）n3+（3a+2b-1）n2+（a+b+c-）n对？坌n∈N？鄢成立.∴ 2a=3a-，2b=3a+2b-1，2c=a+b+c-，d=0.又a1=S1=a+b+c+d=1，解得a=，b=，c=，d=0.∴ Sn=n3+n2+n，n∈N？鄢当n≥2时an=Sn-Sn-1=（n3+n2+n）-[（n-1）3+（n-1）2+（n-1）]=n2∴ an=n2，n∈N？鄢.（3）解略.例题2解答二：（1）解略（2）解：由题意可设Sn=an2+bn+c（a≠0）则an+1=Sn+1-Sn=[a（n+1）2+b（n+1）+c]-（an2+bn+c）=2an+a+b由条件Sn=2nan+1-3n2-4n，可得an2+bn+c=（4a-3）n2+2（a+b-2）n对？坌n∈N？鄢成立∴ 4a-3=a，2a+2b-4=b，c=0，解得 a=1，b=2，c=0，∴ Sn=n2+2n，n∈N？鄢当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（n2+2n）-[（n-1）2-2（n-1）]=2n-1当n=1时，上式显然成立.∴ an=2n-1，n∈N？鄢.以上介绍的待定系数法求Sn，揭示数列是特殊函数的本质，思路清晰，真正体现“数学是自然的”，达到化繁为简、化难为易的效果.五、教学启示今年高考数学（广东卷），考生普遍反映后几道大题难度有些大.从阅卷反馈情况来看：无法动笔的空白卷很少，但得分却不够理想.也就是说，人人都能动笔解答，却很少考生全做对，大多是只做了第一问，第二问就空白了，不知道循着题意“抢分”，这也给我们的教学带来一些启示.（1）构建知识网络，基于知识形成过程理解知识这两道题涉及的知识点比较基础，考查函数方程、不等式、归纳推理、数学归纳法、待定系数法、放缩法等，涉及函数与方程思想，转化与化归思想，数形结合思想等，无论是知识点还是数学思想方法都是课标中要求的最基本和应该掌握的重要内容.但测试效果并不如意，这说明平时的教学光死记硬背是不行的，应该让学生构建知识网络，把握知识间的内在联系，讲清知识的来龙去脉，让学生基于知识形成过程去理解知识，这样学生才能学得“活”.（2）注重教材例习题的再创造，回归课本探源课程改革非常反对题海战术，而强调对教材资源的开发和利用.教材中的例习题都是经典题目，能反映本节重点知识及知识的运用过程，这也是高考题的主要素材来源.如果教师平时注重对教材的发掘和再创造，不仅对高考题目命制的出发点有所了解，自身的教学教研能力也会得到很大的提升.如前文例题2，应用待定系数法解答会显得比较容易，简直不敢相信高考题竟会如此常规，但几乎没有考生这样去解答.（3）注重数学本质的理解，培养灵活变通能力在高三数学复习备考中，教师注重方法、题型、规律的总结，让学生记题型、背套路，类似于英语作文中的“模版”，缺乏对数学本质的提示，题目稍作变式学生就不适应.因此，教师在总结解题方法时，不应该流于题目的形式，更应该针对题目的内涵，从考察的知识点、隐含的数学思想等方面加以拓展，才能让学生对问题的本质有所了解，从而对不同的题目采用切实高效的解答策略.如本文的两道数例题，只记公式an=Sn-Sn-1（n≥2）的惯性思维，而在平时不注意归纳、猜想思维的培养，学生就不会想到用数学归纳法去解答. 如果在学习等差数列前n和时理解待定系数法，学生就能够想到求出函数Sn = f（n）（n∈N？鄢）的表达式，再求an，就有助于对数列本质的认识，进而克服思维定势的负面影响.责任编辑罗峰。

2013年全国各地高考文科数学试题分类汇编5：数列一、选择题1 ．（2013年高考大纲卷（文））已知数列{}n a 满足{}12430,,103n n n a a a a ++==-则的前项和等于（ ）A ．()-10-61-3B ．()-1011-39C ．()-1031-3D ．()-1031+3【答案】C2 ．（2013年高考安徽（文））设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,8374,2S a a ==-,则9a =（ ）A ．6-B ．4-C ．2-D ．2【答案】A3 ．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））设首项为1,公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,则 （ ） A ．21n n S a =-B ．32n n S a =-C ．43n n S a =-D ．32n n S a =-【答案】D4 ．（2013年高考辽宁卷（文））下面是关于公差0d>的等差数列()n a 的四个命题:其中的真命题为 （ ）A ．12,p pB ．34,p pC ．23,p pD ．14,p p【答案】D 二、填空题5 ．（2013年高考重庆卷（文））若2、a 、b 、c 、9成等差数列,则c a -=____________.【答案】726 ．（2013年高考北京卷（文））若等比数列{}n a 满足243520,40a a a a +=+=,则公比q =__________;前n 项n S =_____.【答案】2,122n +-7 ．（2013年高考广东卷（文））设数列{}n a 是首项为1,公比为2-的等比数列,则1234||||a a a a +++=________【答案】158 ．（2013年高考江西卷（文））某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植2棵,以后每天植树的棵树是前一天的2倍,则需要的最少天数n(n∈N*)等于_____________.【答案】69 ．（2013年高考辽宁卷（文））已知等比数列{}n a 是递增数列,n S 是{}n a 的前n 项和,若13a a ，是方程2540x x -+=的两个根,则6S =____________.【答案】6310．（2013年高考陕西卷（文））观察下列等式:照此规律, 第n 个等式可为________.【答案】)12(5312)()3)(2)(1(-⋅⋅⋅⋅=++++n n n n n n n11．（2013年上海高考数学试题（文科））在等差数列{}n a 中,若123430a a a a +++=,则23a a +=_________.【答案】15 三、解答题12．（2013年高考福建卷（文））已知等差数列{}n a 的公差1d =,前n 项和为n S .(1)若131,,a a 成等比数列,求1a ; (2)若519S a a >,求1a 的取值范围.【答案】解:(1)因为数列{}n a 的公差1d=,且131,,a a 成等比数列,所以2111(2)a a =⨯+,即21120a a --=,解得11a =-或12a =. (2)因为数列{}n a 的公差1d =,且519S a a >, 所以21115108a a a +>+;即2113100a a +-<,解得152a -<<13．（2013年高考大纲卷（文））等差数列{}n a 中,71994,2,a a a ==(I)求{}n a 的通项公式; (II)设{}1,.n n n nb b n S na =求数列的前项和 【答案】(Ⅰ)设等差数列{}n a 的公差为d,则1(1)n a a n d =+-因为719942a a a =⎧⎨=⎩,所以11164182(8)a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩.解得,111,2a d ==. 所以{}n a 的通项公式为12n n a +=. (Ⅱ)1222(1)1n n b na n n n n ===-++, 所以2222222()()()122311n n S n n n =-+-++-=++. 14．（2013年高考湖北卷（文））已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和,4S ,2S ,3S 成等差数列,且23418a a a ++=-.(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)是否存在正整数n ,使得2013n S ≥?若存在,求出符合条件的所有n 的集合;若不存在,说明理由.【答案】(Ⅰ)设数列{}n a 的公比为q ,则10a ≠,0q ≠. 由题意得2432234,18,S S S S a a a -=-⎧⎨++=-⎩ 即 23211121,(1)18,a q a q a q a q q q ⎧--=⎪⎨++=-⎪⎩ 解得13,2.a q =⎧⎨=-⎩故数列{}n a 的通项公式为13(2)n n a -=-.(Ⅱ)由(Ⅰ)有 3[1(2)]1(2)1(2)n n n S ⋅--==----.若存在n ,使得2013n S ≥,则1(2)2013n --≥,即(2)2012.n -≤- 当n 为偶数时,(2)0n ->, 上式不成立;当n 为奇数时,(2)22012n n -=-≤-,即22012n ≥,则11n ≥.综上,存在符合条件的正整数n ,且所有这样的n 的集合为{21,,5}n n k k k =+∈≥N .15．（2013年高考湖南（文））设n S 为数列{n a }的前项和,已知01≠a ,2n n S S a a ∙=-11,∈n N *(Ⅰ)求1a ,2a ,并求数列{n a }的通项公式;(Ⅱ)求数列{n na }的前n 项和.【答案】解: (Ⅰ) 11111121.S S a a n a S ⋅=-=∴=时，当 .1,011=≠⇒a a11111111222221----=⇒-=---=-=>n n n n n n n n n a a a a S a a S a a s s a n 时，当- (Ⅱ)n n n n qa n qa qa qa qT a n a a a T ⋅++⋅+⋅+⋅=⇒⋅++⋅+⋅+⋅= 321321321321设 上式左右错位相减:*,12)1(N n n T n n ∈+⋅-=⇒.16．（2013年高考重庆卷（文））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问7分,(Ⅱ)小问6分)设数列{}n a 满足:11a =,13n n a a +=,n N +∈. (Ⅰ)求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ;(Ⅱ)已知{}n b 是等差数列,n T 为前n 项和,且12b a =,3123b a a a =++,求20T .【答案】17．（2013年高考天津卷（文））已知首项为32的等比数列{}n a 的前n 项和为(*)n S n ∈N , 且234,2,4S S S -成等差数列.(Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ) 证明13*)61(n n S n S +≤∈N . 【答案】18．（2013年高考北京卷（文））本小题共13分)给定数列12n a a a ，，，.对1,2,,1i n =-,该数列前i 项的最大值记为i A ,后n i -项12i i n a a a ++，，，的最小值记为i B ,i i i d A B =-. (Ⅰ)设数列{}n a 为3,4,7,1,写出1d ,2d ,3d 的值;(Ⅱ)设12n a a a ，，，(4n ≥)是公比大于1的等比数列,且10a >.证明:1d ,2d ,,1n d -是等比数列;(Ⅲ)设1d ,2d ,,1n d -是公差大于0的等差数列,且10d >,证明:1a ,2a ,,1n a -是等差数列【答案】解:(I)1232,3,6d d d ===.(II)因为10a >,公比1q >,所以12n a a a ，，，是递增数列. 因此,对1,2,,1i n =-,i i A a =,1i i B a +=.于是对1,2,,1i n =-,111(1)i i i i i i d A B a a a q q -+=-=-=-.因此0i d ≠且1i id q d +=(1,2,,2i n =-),即1d ,2d ,,1n d -是等比数列.(III)设d 为1d ,2d ,,1n d -的公差.对12i n ≤≤-,因为1i i B B +≤,0d >,所以111i i i A B d +++=+i i B d d ≥++i i B d >+=i A . 又因为{}11max ,i i i A A a ++=,所以11i i i i a A A a ++=>≥. 从而121n a a a -，，，是递增数列,因此i i A a =(1,2,,2i n =-). 又因为111111B A d a d a =-=-<,所以1121n B a a a -<<<<.因此1n a B =. 所以121n n B B B a -====.所以i i a A ==i i n i B d a d +=+. 因此对1,2,,2i n =-都有11i i i i a a d d d ++-=-=,即1a ,2a ,,1n a -是等差数列.19．（2013年高考山东卷（文））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且244S S =,122+=n n a a(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式 (Ⅱ)设数列{}n b 满足*121211,2n n n b b b n N a a a +++=-∈ ,求{}n b 的前n 项和n T 【答案】20．（2013年高考浙江卷（文））在公差为d 的等差数列{a n }中,已知a 1=10,且a 1,2a 2+2,5a 3成等比数列.(Ⅰ)求d,a n ; (Ⅱ) 若d<0,求|a 1|+|a 2|+|a 3|++|a n | .【答案】解:(Ⅰ)由已知得到:22221311(22)54(1)50(2)(11)25(5)a a a a d a d d d +=⇒++=+⇒+=+224112122125253404611n n d d d d d d d a n a n==-⎧⎧⇒++=+⇒--=⇒⎨⎨=+=-⎩⎩或; (Ⅱ)由(1)知,当0d<时,11n a n =-,①当111n ≤≤时, ②当12n ≤时,所以,综上所述:1232(21),(111)2||||||||21220,(12)2n n n n a a a a n n n -⎧≤≤⎪⎪++++=⎨-+⎪≥⎪⎩;21．（2013年高考四川卷（文））在等比数列{}n a 中,212a a -=,且22a 为13a 和3a 的等差中项,求数列{}n a 的首项、公比及前n 项和.【答案】解:设{}n a 的公比为q .由已知可得211=-a q a ,211134q a a q a +=,所以2)1(1=-q a ,0342=+-q q ,解得 3=q 或 1=q , 由于2)1(1=-q a .因此1=q 不合题意,应舍去, 故公比3=q ,首项11=a .所以,数列的前n 项和213-=n n S22．（2013年高考广东卷（文））设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ,满足21441,,n n S a n n N *+=--∈且2514,,a a a 构成等比数列.(1) 证明:2a =(2) 求数列{}n a 的通项公式; (3) 证明:对一切正整数n ,有1223111112n n a a a a a a ++++<. 【答案】(1)当1n =时,22122145,45a a a a =-=+,20n a a >∴(2)当2n ≥时,()214411n n S a n -=---,22114444n n n n n a S S a a -+=-=--()2221442n n n n a a a a +=++=+,102n n n a a a +>∴=+ ∴当2n ≥时,{}n a 是公差2d =的等差数列.2514,,a a a 构成等比数列,25214a a a ∴=⋅,()()2222824a a a +=⋅+,解得23a =,由(1)可知,212145=4,1a a a =-∴=21312a a -=-=∴ {}n a 是首项11a =,公差2d =的等差数列. ∴数列{}n a 的通项公式为21n a n =-.(3)()()1223111111111335572121n n a a a a a a n n ++++=++++⋅⋅⋅-+23．（2013年高考安徽（文））设数列{}n a 满足12a =,248a a +=,且对任意*n N ∈,函数1212()()cos -sin n n n n n f x a a a x a x a x ++++=-++⋅⋅ 满足'()02f π=(Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)若122nn n a b a =+（）,求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】解:由12a = 248a a +=所以,122n n n a a a ++=+{}n a ∴是等差数列.而12a = 34a = 1d = (2)111122121222n n n a n nb a n n +=+=++=++（）（）（） 24．（2013年高考课标Ⅱ卷（文））已知等差数列{}n a 的公差不为零,a 1=25,且a 1,a11,a 13成等比数列.(Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)求14732n a a a a -++++.【答案】25．（2013年高考江西卷（文））正项数列{a n }满足2(21)20n n a n a n ---=.(1)求数列{a n }的通项公式a n ; (2)令1(1)n nb n a =+,求数列{b n }的前n 项和T n .【答案】解:(21)20n n ---=2n n n n （1）由a a 得（a -2n)(a +1）=0 由于{a n }是正项数列,则2n =n a . (2)由(1)知2n =n a ,故11111()(1)(1)(2)2(1)n n b n a n n n n ===-+++26．（2013年高考陕西卷（文））设S n 表示数列{}n a 的前n 项和.(Ⅰ) 若{}n a 为等差数列, 推导S n 的计算公式;(Ⅱ) 若11,0a q =≠, 且对所有正整数n , 有11nn q S q-=-. 判断{}n a 是否为等比数列.【答案】解:(Ⅰ) 设公差为d,则d n a a n)1(1-+=)()()()(2111121121121a a a a a a a a S a a a a S a a a a S n n n n n n n n nn n ++++++++=⇒⎩⎨⎧++++=++++=---- )21(2)()(2111d n a n a a n S a a n S n n n n -+=+=⇒+=⇒. (Ⅱ) 1,011≠≠=q q a 由题知，. *21111N n q a n qn a n n n n ∈=⇒⎩⎨⎧≥==--，.所以,}{n a 数列是首项11=a ,公比1≠q 的等比数列.27．（2013年上海高考数学试题（文科））本题共有3个小题.第1小题满分3分,第2小题满分5分,第3小题满分8分.已知函数()2||f x x =-.无穷数列{}n a 满足1(),*n n a f a n N +=∈. (1)若10a =,求2a ,3a ,4a ;(2)若10a >,且1a ,2a ,3a 成等比数列,求1a 的值;(3)是否存在1a ,使得1a ,2a ,3a ,,n a 成等差数列?若存在,求出所有这样的1a ;若不存在,说明理由.【答案】28．（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知等差数列{}n a 的前n 项和n S 满足30S =,55S =-.(Ⅰ)求{}n a 的通项公式; (Ⅱ)求数列21211{}n n a a -+的前n 项和.【答案】(1)设{a n }的公差为d,则S n =1(1)2n n na d -+. 由已知可得111330,1, 1.5105,a d a d a d +=⎧==-⎨+=-⎩解得(2)由(I)知212111111(),(32)(12)22321n n a a n n n n -+==-----从而数列21211n n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前项和为1111111-+-++)2-1113232112nn n n-=---（.。

广东省11大市2013届高三数学（理）一模试题分类汇编数列一、选择、填空题1、（江门市2013届高三2月高考模拟）已知数列{}n a 的首项11=a ，若*∈∀N n ，21-=⋅+n n a a ，则=n a ．答案：⎩⎨⎧-=是正偶数是正奇数 ，2, 1n n a n ，或23)1(211±-+-=n n a 2、（揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟）已知等差数列{}n a 满足，18130,58a a a >=，则前n 项和n S 取最大值时，n 的值为A.20B.21C.22D.23 答案：由81358a a =得115(7)8(12)a d a d +=+1361d a ⇒=-，由1(1)n a a n d =+- 113(1)()061a n a =+--≥6412133n ⇒≤=,所以数列{}n a 前21项都是正数，以后各项都是负数，故n S 取最大值时，n 的值为21，选B.3、（汕头市2013届高三3月教学质量测评）在等差数列｛n a }中，首项a 1=0，公差d ≠0 若1210k a a a a =+++，则k ＝（ ）A ．45 B. 46 C. 47 D. 48答案：B4、（深圳市2013届高三2月第一次调研考试）等差数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的 任何两个数不在下表的同一列．则4a 的值为A ．18B ．15C ．12D ．20答案：A【解析】依题意可确定该数列为3,8,13,18,...5、（肇庆市2013届高三3月第一次模拟考试）公比为2的等比数列{n a } 的各项都是正数，且 41016a a =，则6a =A ．1B ．2C ．4D ．8 答案：B6、（湛江市2013届高三高考测试（一））在等比数列{n a }中，已知23a a +＝1，45a a +＝2，则89a a +等于A 、B 、4C 、8D 、16 答案：C7、（茂名市2013届高三第一次高考模拟考试）已知等比数列}{n a 的公比q 为正数，且23952a a a ⋅=，则q = .答案：2 二、解答题1、（广州市2013届高三3月毕业班综合测试试题（一））已知数列{}n a 的前n 项和为n S 学科网，且 12323(1)2(n n a a a na n S n n +++⋅⋅⋅+=-+∈N *).(1) 求数列{}n a 的通项公式；（2）若p q r ,,是三个互不相等的正整数，且p q r ,,成等差数列，试判断111p q r a a a ,,---是否成等比数列？并说明理由.(1) 解：12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+，∴ 当1n =时，有 11(11)2,a S =-+ 解得 12a =. ……………1分 由12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+, ①得1231123(1)2(1)n n n a a a na n a nS n ++++++++=++, ②……………2分② - ①得: 11(1)(1)2n n n n a nS n S +++=--+. ③ ……3分 以下提供两种方法：法1：由③式得：11(1)()(1)2n n n n n S S nS n S +++-=--+，即122n n S S +=+; ……………4分∴122(2)n n S S ++=+， ……………5分∵112240S a +=+=≠，∴数列{2}n S +是以4为首项,2为公比的等比数列. ∴1242n n S -+=⨯,即1142222n n n S -+=⨯-=-. ……………6分 当2n ≥时, 11(22)(22)2n n n n n n a S S +-=-=---=， …………7分 又12a =也满足上式,∴2n n a =. ……………8分法2：由③式得：()111(1)(1)22n n n n n n n a nS n S n S S S ++++=--+=-++， 得12n n a S +=+. ④ ……………4分当2n ≥时,12n n a S -=+, ⑤ …………5分 ⑤-④得：12n n a a +=. …………6分 由12224a a S +=+，得24a =，∴212a a =. ……………7分∴数列{}n a 是以12a =为首项，2为公比的等比数列. ∴2n n a =.………8分 （2）解：∵p q r ,,成等差数列，∴2p r q +=. ……………9分假设111p q r a a a ,,---成等比数列， 则()()()2111p r q a aa --=-， ……10分即()()()2212121prq--=-，化简得：2222p r q +=⨯. （*） ……………11分 ∵p r ≠，∴2222p r q +>=⨯，这与（*）式矛盾，故假设不成立.……13分∴111p q r a a a ,,---不是等比数列. ……………14分2、（江门市2013届高三2月高考模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，21=a ，2≥∀n ，43-n S 、n a 2、12--n S 总成等差数列．⑴求n S ；⑵对任意*N k ∈，将数列{}n a 的项落入区间) 3 , 3 (2kk内的个数记为k b ，求k b ．解：⑴2≥∀n ，43-n S 、n a 2、12--n S 总成等差数列，所以，22n a ⨯=（43-n S ）+（12--n S ）……1分因为1(2)n n n a S S n -=-≥，所以14()n n S S --=（43-n S ）+（12--n S ）， 即132n n S S -=-……3分 又因为21=a ，110n S --≠，1111321311n n n n S S S S ------==--，111S -=，所以数列{}1n S -是首项等于1，公比q =3的等比数列……6分1113n n S --=⨯，即113n n S -=+……7分⑵由⑴得2≥∀n ，1221(13)(13)23n n n n n n a S S ----=-=+-+=⨯……8分1n =时，2123212n a -⨯=⨯==，所以，任意*n N ∈，223n n a -=⨯……9分任意*N k ∈，由k n k a 233<<，即k n k 223323<⨯<-……11分， （k n k 2)2(2log 3<-+<，2log 222log 233-+<<-+k n k ……12分 因为12log 03<<，所以“若学生直接列举，省略括号内这一段解释亦可”）n 可取2+k 、3+k 、……、12+k ……13分，所以k b k =……14分3、（揭阳市2013届高三3月第一次高考模拟）已知函数()(0,1xf x x x ααα=>+为常数，数列{}n a 满足：112a =，1()n n a f a +=，*n N ∈． （1）当1α=时，求数列{}n a 的通项公式； （2）在（1）的条件下，证明对*n N ∀∈有：12323412(5)12(2)(3)n n n n n a a a a a a a a a n n ++++++=++；（3）若2α=，且对*n N ∀∈，有01n a <<，证明：1n n a a +-<．解：（1）当1α=时，1()1n n n n a a f a a +==+，两边取倒数，得1111n na a +-=，----2分 故数列1{}n a 是以112a =为首项，为公差的等差数列， 11nn a =+，11n a n =+，*n N ∈．------------------------------------------------------------4分（2）证法1：由（1）知11n a n =+，故对1,2,3...k =121(1)(2)(3)k k k a a a k k k ++=+++111[]2(1)(2)(2)(3)k k k k =-++++-------------6分∴12323412......n n n a a a a a a a a a +++++1111111[()()...]223343445(1)(2)(2)(3)n n n n =-+-++-⨯⨯⨯⨯+⨯+++ 111[]223(2)(3)n n =-⨯++(5)12(2)(3)n n n n +=++．----------------------------------------9分．[证法2：①当n=1时，等式左边1123424==⨯⨯，等式右边1(15)112(12)(13)24⨯+==⨯+⨯+，左边=右边，等式成立；-----------------------------------------------------------------5分 ②假设当(1)n k k =≥时等式成立，即12323412(5)......12(2)(3)k k k k k a a a a a a a a a k k ++++++=++，则当1n k =+时12323412123(5)1......12(2)(3)(2)(3)(4)k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a k k k k k ++++++++++=++++++32(5)(4)129201212(2)(3)(4)12(2)(3)(4)k k k k k k k k k k k k ++++++==++++++2(1)4(1)(23)(1)(2)(6)(1)[(1)5]12(2)(3)(4)12(2)(3)(4)12[(1)2][(1)3]k k k k k k k k k k k k k k k k k ++++++++++===++++++++++这就是说当1n k =+时，等式成立，-------------------------------------------------------8分 综①②知对于*n N ∀∈有：12323412(5)......12(2)(3)n n n n n a a a a a a a a a n n ++++++=++．-9分]（3）当2α=时，122()1nn n na a f a a +==+ 则12221(1)11n nn n n n n n na a a a a a a a a ++-=-=-++，---------------------------------------------10分 ∵01n a <<， ∴2122111(1)()121n n n nn n n n n na a a a a a a a a a +++-+-=-≤⋅++--------------------------------11分2114(1)2(1)2n n n a a a +=⋅+-++ 1124121nn a a =⋅++-+14≤=．--------------------13分∵1n n a a =-与211n n a a +=+不能同时成立，∴上式“=”不成立， 即对*n N ∀∈，1n n a a +-<．-----------------------------------------------------------14分【证法二：当2α=时，122()1nn n na a f a a +==+， 则3122211n n nn n n n na a a a a a a a +--=-=++----------------------------------------------------10分 又122(0,1),1,1n n n na a a a +∈∴=>+*11,[,1),2n n n a a a n N +∴>∴∈∈------------------------------------------------------------------11分令321(),[,1),12x x g x x x -=∈+则422241(),(1)x x g x x --+'=+------------------------------------12分 当1[,1),()0,2x g x '∈<所以函数()g x 在1[,1)2单调递减，故当3211()132122[,1),(),121081()2x g x -+∈≤=<+所以命题得证--------------------------------14分】4、（梅州市2013届高三3月总复习质检）已知函数22()(0)2x a f x a x+=>，数列{n a }满足13a a =，1()n n a f a +=，设,(*)n n n a ab n N a a-=∈+，数列{n b }的前n 项和为n T 。

2013年广东省高考数学理科试题(已编辑好)D绝密★启用前 试卷类型：A2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学（理科）台体的体积公式hS S S SV )(312121++=，其中S 1，S 2分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合M={x |x 2+2x =0,x ∈R}，N={x |x 2-2x =0,x ∈R}，则N M ⋃=（ ）A ．{0}B ．{0，2}C ．{-2,0}D ．{-2,0,2} 2．定义域为R 的四个函数y =x 3，y =2x ，y =x 2+1，y =2sin x 中，奇函数的个数是（ ）A ． 4B ．3C ．2D ．13．若复数z 满足i z =2+4i ，则在复平面内，z 对应的点的坐标是（ ）A ．（2,4）B ．（2,-4）C ． (4,-2)D ．(4,2)4．已知离散型随机变量X 的分布列如右表，则X 的数学期望E （X ）=（ ） A ．23错误!未找到引用源。

B ．2 C ．25错误!未找到引用源。

D ．35．某四棱台的三视图如图1所示，则该四棱台的体积是（ ）A ．4B ．314错误!未找到引用源。

X 1 2 3P 53 103 10116错误!未找到引用源。

D．6C．36．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，13．给定区域D ：⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥+0444x y x y x ，令点集T ={(x 0,y 0)∈D |x 0,y 0∈Z}是z =x +y在D 上取得最大值或最小值的点，则T 中的点共确定____条不同的直线．（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ty tx sin 2cos 2（t 为参数），C 在点（1,1）处的切线为L ，一座标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标，则L 的极坐标方程为_________________． 15．（几何证明选讲选做题）如图3，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O上，延长BC 到D 是BC =CD ，过C 作⊙O 的切线交AD 于E ．若AB =6，ED =2，则BC =______．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．16．（本小题满分12分）已知函数R x x x f ∈-=),12cos(2)(π．（1）求)6(π-f 的值；（2）若)2,23(,53cos ππθθ∈=，求)32(πθ+f ． 17．（本小题满分12分）某车间共有12名工人，随机抽取6名，他们某日加工零件个数的茎叶图如图4所示，其中茎为十位数，叶为个位数． （1）根据茎叶图计算样本均值；（2）日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人．根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人？（3）从该车间12名工人中，任取2人，求恰有1名优秀工人的概率．18．（本小题满分4分）如图5，在等腰直角三角形ABC 中，∠A =90°，BC =6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，2==BE CD 错误!未找到引用源。

2013广东高考卷(理科数学)模拟试卷一、选择题（每题1分，共5分）1. 设集合A={x|x²3x+2=0}，则A中元素的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 32. 若函数f(x)=x²2ax+a²+2在区间（∞，1）上单调递减，则实数a的取值范围是（）A. a≤1B. a≥1C. a≤0D. a≥03. 在等差数列{an}中，已知a1=1，a3+a5=14，则数列的公差d为（）A. 3B. 4C. 5D. 64. 若向量a=(2，1)，b=(1，2)，则2a+3b的模长为（）A. 5B. √5C. 10D. 2√55. 设函数f(x)=|x1|，则f(x)的图像在x=1处（）A. 连续B. 断开C. 可导D. 不可导二、判断题（每题1分，共5分）1. 若a，b为实数，且a≠b，则a²≠b²。

（）2. 两个平行线的斜率相等。

（）3. 在等差数列中，若m+n=2p，则am+an=2ap。

（）4. 若矩阵A的行列式为0，则A不可逆。

（）5. 任何两个实数的和都是实数。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 已知函数f(x)=3x²4x+1，则f(1)=______。

2. 若向量a=(1，2)，b=(2，1)，则a·b=______。

3. 在等比数列{an}中，已知a1=2，公比q=3，则a4=______。

4. 二项式展开式(1+x)⁶的常数项为______。

5. 设平面直角坐标系中，点A(2，3)，则点A关于原点的对称点坐标为______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述函数的单调性定义。

2. 请写出等差数列的通项公式。

3. 矩阵乘法的运算规律有哪些？4. 求解一元二次方程x²5x+6=0。

5. 简述平面向量的线性运算。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知函数f(x)=2x²4x+3，求f(x)的最小值。

珠海四中2014高三数学（理）专题复习--数列 一、选择题:1．（湛江2014高考一模）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11221,2,a b a b ====则55a b =A ．5B ．16C ．80D ．160 2．（2014茂名一模）设}{n a 是等差数列,若,13,372==a a 则数列}{n a 前8项和为（ ）A ．128 B.80 C.64 D.56 3．（中山一中等七校2014高三第二次联考）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且24S =,420S =,则该数列的公差d =( )A ．2B ．3C ．6D ．74．（珠海一中等六校2014高三第三次联考）若一个等差数列前3项和为3，最后3项和为30，且所有项的和为99，则这个数列有（ ） A.9项 B.12项 C.15项 D.18项 5．（惠州市2014届高三第三次调研考）．设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则=24a S （ ）A .2B .4C .152D . 1726．如图2所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”， 它们是由整数的倒数组成的，第n行有n 个数且两端的数均为1n()2n ≥，每个数是它下一行左右相邻两数的和，如111122=+，111236=+，1113412=+，…，则第10行第4个数（从左往右数）为（ ）A ．11260B ．1840C ．1504D ．1360二、填空题:7. （2013广东高考）在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____.8. （2012广东高考）已知递增的等差数列{}n a满足11a =，2324a a =-，则n a =______________.9．（2011广东高考）等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和．若11a =，40k a a +=，则k = ．10．（肇庆2014高三上期末）若等比数列{}n a 满足243520,40a a a a +=+=，则3a =三、解答题 11、（2013广东高考）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N .(Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式；(Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++< .12、（2012广东高考）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11221n n n S a ++=-+，n ∈*N ，且1a 、25a +、3a 成等差数列.（Ⅰ）求1a 的值； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅲ）证明：对一切正整数n ，有1211132n a a a +++< .13、（2014江门一模）已知数列{}n a 的首项11=a ，*∈∀N n ，n nn a a a +=+221．⑴求数列{}n a 的通项公式；⑵求证：*∈∀N n ，312<∑=ni ia．14、（广州市2014届高三1月调研测试）已知数列{an}满足135a =，1321nn n a a a +=+，*n ∈N ．（1）求证：数列1 1 na ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； （2）是否存在互不相等的正整数m ，s ，t ，使m ，s ，t 成等差数列，且1m a -，1s a -，1t a -成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m ，s ，t ；如果不存在，请说明理由．15. （2014湛江一模）已知正数数列{}n a 中，11a =，前n 项和为n S ，对任意*n N ∈，lg n S、lg n 、1lgn a 成等差数列。

试卷类型：A2012年全国各地高考数学试题汇编汇总(广东卷)数学(理科)本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟注意事项：1. 答卷前,考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔讲试卷类型(A)填涂在答题卡相应的位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4.作答选做题时,请先用2B铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点,再作答。

漏涂、错涂、多涂的,答案无效。

5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将试题与答题卡一并交回。

参考公式：台体的体积公式V ＝(S1+S2+)h,其中S1,S2分别表示台体的上、下底面积,h表示台体的高。

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,满分40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合M＝{x∣x2+2x＝0,x∈R},N＝{x∣x2－2x＝0,x∈R},则M∪N＝A{0} B{0,2} C{－2,0} D {－2,0,2}2.定义域为R的四个函数y＝x3,y＝2x,y＝x2+1,y＝2sinx中,奇函数的个数是A4 B.3 C2 D.13.若复数z满足iz＝2+4i,则在复平面内,z对应的点的坐标是A(2,4) B.(2,－4) C(4,－2) D(4,2)4.已知离散型随机变量X的分布列为则X的数学期望E(X)＝A B2 C D 35．某四棱太的三视图如图1所示,则该四棱台的体积是A．4 B．C．D．66．设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列命题中正确的是A．若α⊥β,m⊂α,n⊂β,则m⊥ n B．若α∥β,m⊂α,n⊂β,则m∥nC．若m⊥ n,m α,n ⊂β,则α⊥βD．若m α,m∥n,n∥β,则α⊥β7．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0),离心率等于,则C的方程是A．＝1B．＝1C．＝1D．＝18.设整数n≥4,集合X＝｛1,2,3……,n｝。

2013广东高考数学（理科）试题注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式:台体的体积公式()1213V S S h =+,其中12,S S 分别是台体的上、下底面积,h 表示台体的高. 一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则MN =（ ）A . {}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-2．定义域为R 的四个函数3y x =,2x y =,21y x =+,2sin y x =中,奇函数的个数是（ ） A . 4 B ．3 C ．2 D ．13．若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是（ ） A . ()2,4 B ．()2,4- C ．()4,2-D ．()4,24．已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望EX =（ ） A .32B ．2C ．52D ．35．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是（ ） A . 4B ．143C ．163D ．66．设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面,下列命题中正确的是（ ） A . 若αβ⊥,m α⊂,n β⊂,则m n ⊥ B ．若//αβ,m α⊂,n β⊂,则//m n C ．若m n ⊥,m α⊂,n β⊂,则αβ⊥ D ．若m α⊥,//m n ,//n β,则αβ⊥俯侧7．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()3,0F ,离心率等于32,在双曲线C 的方程是（ ）A . 2214x =B ．22145x y -=C ．22125x y -=D．2212x =8．设整数4n ≥,集合{}1,2,3,,X n =.令集合(){},,|,,,,,S x y z x y z X x y z y z x z x y =∈<<<<<<且三条件恰有一个成立若(),,x y z 和(),,z w x 都在S 中,则下列选项正确的是（ ）A . (),,y z w S ∈,(),,x y w S ∉B ．(),,y z w S ∈,(),,x y w S ∈C ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈D ．(),,y z w S ∉,(),,x y w S ∈二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分 (一)必做题(9～13题)9．不等式220x x +-<的解集为___________．10．若曲线ln y kx x =+在点()1,k 处的切线平行于x 轴,则k =______.11．执行如图所示的程序框图,若输入n 的值为4,则输出s 的值为______.12. 在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____.13. 给定区域D :4440x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩,令点集()()000000{,|,,,T x y D x y Z x y =∈∈是z x y =+在D 上取得最大值或最小值的点},则T 中的点共确定______条不同的直线.（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）14. (坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C的参数方程为x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩(t 为参数), C 在点()1,1处的切线为l ,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 则l 的极坐标方程为_____________.15. (几何证明选讲选做题)如图,AB 是圆O 的直径,点C 在圆O 上,延长BC 到D 使BC CD =,过C 作圆O 的切线交AD 于E .若6AB =,2ED =,则BC =______.三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分12分）已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R .(Ⅰ) 求6f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值； (Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭．17．（本小题满分12分）某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数. (Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人.根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人； (Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀工人的概率.18．（本小题满分14分）如图1,在等腰直角三角形ABC 中,90A ∠=︒,6BC =,,D E 分别是,AC AB 上的点,CD BE =O 为BC 的中点.将ADE ∆沿DE 折起,得到如图2所示的四棱锥A BCDE '-,其中A O '=(Ⅰ) 证明:A O '⊥平面BCDE ；(Ⅱ) 求二面角A CD B '--的平面角的余弦值.19．（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知11a =,2121233n n S a n n n +=---,*n ∈N . (Ⅰ) 求2a 的值；(Ⅱ) 求数列{}n a 的通项公式； (Ⅲ) 证明:对一切正整数n ,有1211174n a a a +++<.20．（本小题满分14分）已知抛物线C 的顶点为原点,其焦点()()0,0F c c >到直线l :20x y --=的距离.设P 为直线l 上的点,过点P 作抛物线C 的两条切线,PA PB ,其中,A B 为切点. (Ⅰ) 求抛物线C 的方程；(Ⅱ) 当点()00,P x y 为直线l 上的定点时,求直线AB 的方程；(Ⅲ) 当点P 在直线l 上移动时,求AF BF ⋅的最小值.21．（本小题满分14分）设函数()()21x f x x e kx =--(其中k ∈R ). (Ⅰ) 当1k =时,求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ) 当1,12k ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时,求函数()f x 在[]0,k 上的最大值M .。

2013年高考试题分类汇编（数列）考点1 等差数列1. （2013·广东卷·理科）在等差数列{}n a 中，已知3810a a +=，则573a a +=___.2.（2013·安徽卷·文科）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，834S a =，72a =-，则9a =A. 6-B. 4-C. 2-D. 23.（2013·辽宁卷·文理科）下面是关于公差0d >的等差数列{}n a 的四个命题：1:p 数列{}n a 是递增数列 2:p 数列{}n na 是递增数列 3:p 数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递增数列 4:p 数列{}3n a nd +是递增数列其中的真命题为A.12,p pB.34,p pC.23,p pD.14,p p4.（2013·全国卷Ⅰ·理科）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，12m S -=-，0m S =，13m S +=，则m = A.3 B.4C.5D.65.（2013·四川卷·理科）在等差数列{}n a 中，138a a +=，且4a 为2a 和9a 的等比中项，求数列{}n a 的首项、公差及前n 项和．6.（2013·全国大纲卷·文科）等差数列{}n a 中，74a =，1992a a =. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1n nb na =，求数列{}n b 的前n 项和.n S （裂项求和） 7.（2013·福建卷·文科）已知等差数列}{n a 的公差d =1，前n 项和为n S . （Ⅰ）若1，1a ，3a 成等比数列，求1a ； （Ⅱ）若519S a a >⋅，求1a 的取值范围.8.（2013·山东卷·文科）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且424S S =，221n n a a =+（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和n T ，且12n n na T λ++=（λ为常数），令2n n c b =（n N *∈）.求数列{}n c 的前n 项和n R .（错位相减法）9.（2013·全国卷Ⅰ·文科）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S 满足30S =，55S =-.（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列21211n n a a -+⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.（裂项求和）考点2 等比数列1.（2013·江西卷·理科）等比数列x ，33x +，66x +，…的第四项等于 A.-24B.0C.12D.242.（2013·辽宁卷·文理科）已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前项 的和，若13,a a 是2540x x -+=的两个根，则6S = .3.（2013·北京卷·文理科）若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则 公比q = ；前n 项和n S = .4.（2013·全国大纲卷·文理科）已知数列{}n a 满足130n n a a ++=，243a =-，则{}n a 的前10项和等于A.106(13)---B.101(13)9-- C.103(13)-- D.103(1+3)-5.（2013·广东卷·文科）设数列{}n a 是首项为1，公比为2-的等比数列，则1234a a a a +++= .6.（2013·全国卷Ⅱ·理科）等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，59a =，则1a =A.13B.13-C.19D.19-7.（2013·陕西卷·理科）设{}n a 是公比为q 的等比数列. (Ⅰ) 推导{}n a 的前n 项和公式；(Ⅱ) 设1q ≠, 证明数列{}1n a +不是等比数列.8.（2013·湖南卷·文科）设n S 为数列{}n a 的前项和，已知01≠a ，12n a a -1n S S =⋅，∈n N *（Ⅰ）求1a ，2a ，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和.（错位相减法） 考点3 等差数列与等比数列的综合应用1.（2013·重庆卷·理科）已知{}n a 是等差数列，11a =，公差0d ≠，n S 为其前n 项和，若1a ，2a ，5a 成等比数列，则8S = ．2.（2013·陕西卷·文科）设n S 表示数列{}n a 的前n 项和. (Ⅰ) 若{}n a 为等差数列, 推导n S 的计算公式;(Ⅱ) 若11,0a q =≠,且对所有正整数n , 有11n n q S q-=-. 判断{}n a 是否为等比数列.3.（2013·福建卷·文科）已知等差数列}{n a 的公差d =1，前n 项和为n S . （Ⅰ）若131,,a a 成等比数列，求1a ； （Ⅱ）若519S a a >，求1a 的取值范围.4.（2013·四川卷·文科）在等比数列}{n a 中，212a a -=，且22a 为13a 和3a 的等差中项，求数列}{n a 的首项、公比及前n 项和.5.（2013·全国卷Ⅱ·文科）已知等差数列{}n a 的公差不为零，125a =，且1a ，11a ，13a 成等比数列. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求14732n a a a a -++++L .6.（2013·浙江卷·文理科）在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知110a =，且1a ，222a +，35a 成等比数列. （Ⅰ）求d ，n a ；（Ⅱ) 若0d <，求123n a a a a ++++.7.（2013·全国大纲卷·理科）等差数列{}n a 的前n 项和为n S .已知232=S a ，且1S ，2S ，4S 成等比数列，求{}n a 的通项式.8.（2013·重庆卷·文科）设数列{}n a 满足：11a =，13n n a a +=，n N +∈． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（Ⅱ)已知{}n b 是等差数列，n T 为前n 项和，且12b a =，3123b a a a =++，求20T ． 考点4 其它1.（2013·全国卷Ⅰ·理科）若数列{}n a 的前n 项和为2133n n S a =+，则数列{}n a 的通项公式是n a =_____.2.（2013·广东卷·文科）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S 满足12441,n n S a n n N ++=--∈，且2514,,a a a 构成等比数列， （Ⅰ）证明：2a = （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式n a . （Ⅲ）证明：对一切正整数n ，有1223111112n n a a a a a a ++++<L . 3.（2013·江西卷·理科）正项数列{}n a 满足2(21)20n n a n a n ---=.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）令1(1)n nb n a =+，求数列{}n b 的前n 项和为n T .（裂项求和）4.（2013·江西卷·理科）正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足：22(1)n n S n n S -+-2()0n n -+=.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）令221(2)n nn b n a +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ．证明：对于任意n N +∈，都有564n T <.（裂项求和） 5.（2013·广东卷·理科）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11a =，21212,33n n S a n n n N n ++=---∈ （Ⅰ）求2a 的值（Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式n a .（Ⅲ）证明：对一切正整数n ，有1211174n a a a ++<L .。

数列D1 数列的概念与简单表示法15．D1，D5[2013.湖南卷] 对于E ＝{a 1，a 2，...，a 100}的子集X ＝{ai 1，ai 2，...，ai k }，定义X 的“特征数列”为x 1，x 2，...，x 100，其中xi 1＝xi 2＝...＝xi k ＝1，其余项均为0.例如：子集{a 2，a 3}的“特征数列”为0，1，1，0，0， 0(1)子集{a 1，a 3，a 5}的“特征数列”的前3项和等于________；(2)若E 的子集P 的“特征数列”p 1，p 2，…，p 100满足p 1＝1，p i ＋p i ＋1＝1，1≤i≤99；E 的子集Q 的“特征数列”q 1，q 2，…，q 100满足q 1＝1，q j ＋q j ＋1＋q j ＋2＝1，1≤j≤98，则P∩Q 的元素个数为________．15．2 17 [解析] (1)由特征数列的定义可知，子集{a 1，a 3，a 5}的“特征数列”为1，0，1，0，1，0…，0，故可知前三项和为2.(2)根据“E 的子集P 的“特征数列”p 1，p 2，…，p 100满足p 1＝1，p i ＋p i ＋1＝1，1≤i≤99”可知子集P 的“特征数列”为1，0，1，0，…，1，0.即奇数项为1，偶数项为0.根据“E 的子集Q 的“特征数列”q 1，q 2，…，q 100满足q 1＝1，q j ＋q j ＋1＋q j ＋2＝1，1≤j≤98”可知子集Q 的“特征数列为1，0，0，1，0，0，…，0，1.即项数除以3后的余数为1的项为1，其余项为0，则P∩Q 的元素为项数除以6余数为1的项，可知有a 1，a 7，a 13，…，a 97，共17项．4．D1[2013·辽宁卷] 下面是关于公差d>0的等差数列{a n }的四个命题：p 1：数列{a n }是递增数列； p 2：数列{na n }是递增数列；p 3：数列a nn是递增数列；p 4：数列{a n＋3nd}是递增数列．其中的真命题为( ) A ．p 1，p 2 B ．p 3，p 4 C ．p 2，p 3 D ．p 1，p 44．D [解析] 因为数列{a n }为d>0的数列，所以{a n }是递增数列，则p 1为真命题．而数列{a n＋3nd}也是递增数列，所以p 4为真命题，故选D.D2 等差数列及等有效期数列前n 项和19．D2，D4[2013·安徽卷] 设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＋a 4＝8，且对任意n∈N *，函数f(x)＝(a n －a n ＋1＋a n ＋2)x ＋a n ＋1cos x －a n ＋2sin x 满足f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝2⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋12a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 19．解：(1)由题设可得，f ′(x)＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1sin x －a n ＋2cos x.对任意n∈N *，f′π2＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1＝0，即a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，故{a n }为等差数列．由a 1＝2，a 2＋a 4＝8，解得{a n }的公差d ＝1， 所以a n ＝2＋1·(n－1)＝n ＋1.(2)由b n ＝2a n ＋12a n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1＋12n ＋1＝2n ＋12n ＋2知，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2n ＋2·n （n ＋1）2＋121－12n 1－12＝n 2＋3n ＋1－12n .7．D2[2013·安徽卷] 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( ) A ．－6 B ．－4 C ．－2 D ．27．A [解析] 设公差为d ，则8a 1＋28d ＝4a 1＋8d ，即a 1＝－5d ，a 7＝a 1＋6d ＝－5d ＋6d ＝d ＝－2，所以a 9＝a 7＋2d ＝－6.20．M2，D2，D3，D5[2013·北京卷] 给定数列a 1，a 2，…，a n ，对i ＝1，2，…，n －1，该数列前i 项的最大值记为A i ，后n －i 项a i ＋1，a i ＋2，…，a n 的最小值记为B i ，d i ＝A i －B i .(1)设数列{a n }为3，4，7，1，写出d 1，d 2，d 3的值；(2)设a 1，a 2，…，a n (n≥4)是公比大于1的等比数列，且a 1>0.证明：d 1，d 2，…，d n －1是等比数列；(3)设d 1，d 2，…，d n －1是公差大于0的等差数列，且d 1>0，证明：a 1，a 2，…，a n －1是等差数列． 20．解：(1)d 1＝2，d 2＝3，d 3＝6. (2)证明：因为a 1>0，公比q>1， 所以a 1，a 2，…，a n 是递增数列．因此，对i ＝1，2，…，n －1，A i ＝a i ，B i ＝a i ＋1. 于是对i ＝1，2，…，n －1，d i ＝A i －B i ＝a i －a i ＋1＝a 1(1－q)q i －1.因此d i ≠0且d i ＋1d i＝q(i ＝1，2，…，n －2)，即d 1，d 2，…，d n －1是等比数列．(3)证明：设d 为d 1，d 2，…，d n －1的公差．对1≤i≤n－2，因为B i ≤B i ＋1，d>0，所以A i ＋1＝B i ＋1＋d i ＋1≥B i ＋d i ＋d>B i ＋d i ＝A i . 又因为A i ＋1＝max{A i ，a i ＋1}，所以a i ＋1＝A i ＋1>A i ≥a i .从而a 1，a 2，…，a n －1是递增数列，因此A i ＝a i (i ＝1，2，…，n －1)． 又因为B 1＝A 1－d 1＝a 1－d 1<a 1，所以B 1<a 1<a 2<…<a n －1. 因此a n ＝B 1.所以B 1＝B 2＝…＝B n －1＝a n . 所以a i ＝A i ＝B i ＋d i ＝a n ＋d i .因此对i ＝1，2，…，n －2都有a i ＋1－a i ＝d i ＋1－d i ＝d ， 即a 1，a 2，…，a n －1是等差数列．17．D2、D4[2013·全国卷] 等差数列{a n }中，a 7＝4，a 19＝2a 9. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .17．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则a n ＝a 1＋(n －1)d.因为⎩⎪⎨⎪⎧a 7＝4，a 19＝2a 9，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋6d ＝4，a 1＋18d ＝2（a 1＋8d ），解得a 1＝1，d ＝12.所以{a n }的通项公式为a n ＝n ＋12.(2)因为b n ＝1na n ＝2n （n ＋1）＝2n －2n ＋1，所以S n ＝21－22＋22－23＋…＋2n －2n ＋1＝2n n ＋1. 17．D2，D3[2013·福建卷] 已知等差数列{a n }的公差d ＝1，前n 项和为S n . (1)若1，a 1，a 3成等比数列，求a 1； (2)若S 5>a 1a 9，求a 1的取值范围．17．解：(1)因为数列{a n }的公差d ＝1，且1，a 1，a 3成等比数列，所以a 21＝1×(a 1＋2)，即a 21－a 1－2＝0，解得a 1＝－1或a 1＝2. (2)因为数列{a n }的公差d ＝1，且S 5>a 1a 9，所以5a 1＋10>a 21＋8a 1，即a 21＋3a 1－10<0，解得－5<a 1<2.17．D2，D3[2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.17．解：(1)设{a n }的公差为d.由题意，a 211＝a 1a 13，即(a 1＋10d)2＝a 1(a 1＋12d)， 于是d(2a 1＋25d)＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而S n ＝n2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56) ＝－3n 2＋28n.20．D2[2013·山东卷] 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝1－12n ，n∈N *，求{b n }的前n 项和T n .20．解：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d.由S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝8a 1＋4d ，a 1＋（2n －1）d ＝2a 1＋2（n －1）d ＋1. 解得a 1＝1，d ＝2.因此a n ＝2n －1，n∈N *.(2)由已知b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝1－12n ，n∈N *，当n ＝1时，b 1a 1＝12；当n≥2时，b n a n ＝1－12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1＝12n .所以b n a n ＝12n ，n∈N *.由(1)知a n ＝2n －1，n∈N *，所以b n ＝2n －12n ，n∈N *.又T n ＝12＋322＋523＋…＋2n －12n ，12T n ＝122＋323＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1， 两式相减得12T n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋223＋…＋22n －2n －12n ＋1＝32－12n －1－2n －12n ＋1， 所以T n ＝3－2n ＋32n .17．D2[2013·陕西卷] 设S n 表示数列{}a n 的前n 项和． (1)若{}a n 是等差数列，推导S n 的计算公式；(2)若a 1＝1，q≠0，且对所有正整数n ，有S n ＝1－qn1－q .判断{}a n 是否为等比数列，并证明你的结论．17．解： (1)方法一：设{}a n 的公差为d ，则 S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝a 1＋(a 1＋d)＋…＋[a 1＋(n －1)d]， 又S n ＝a n ＋(a n －d)＋…＋[a n －(n －1)d]， ∴2S n ＝n(a 1＋a n )， ∴S n ＝n （a 1＋a n ）2.方法二：设{}a n 的公差为d ，则 S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n＝a 1＋(a 1＋d)＋…＋[a 1＋(n －1)d]， 又S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 1＝[a 1＋(n －1)d]＋[a 1＋(n －2)d]＋…＋a 1，∴2S n ＝[2a 1＋(n －1)d]＋[2a 1＋(n －1)d]＋…＋[2a 1＋(n －1)d] ＝2na 1＋n(n －1)d ， ∴S n ＝na 1＋n （n －1）2d.(2){}a n 是等比数列．证明如下：∵S n ＝1－q n1－q ，∴a n ＋1＝S n ＋1－S n＝1－q n ＋11－q －1－q n 1－q ＝q n（1－q ）1－q＝q n .∵a 1＝1，q≠0，∴当n≥1时，有 a n ＋1a n ＝q nqn －1＝q.因此，{a n }是首项为1且公比为q 的等比数列．16．D2，D3[2013·四川卷] 在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项、公比及前n 项和．16．解：设该数列的公比为q ，由已知，可得a 1q －a 1＝2，4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，所以，a 1(q －1)＝2，q 2－4q ＋3＝0，解得q ＝3或q ＝1. 由于a 1(q －1)＝2，因此q ＝1不合题意，应舍去． 故公比q ＝3，首项a 1＝1.所以，数列的前n 项和S n ＝3n－12.17．D2、D4[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5. (1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前n 项和． 17．解：(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n （n －1）2d.由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝0，5a 1＋10d ＝－5， 解得a 1＝1，d ＝－1.故{a n }的通项公式为a n ＝2－n.(2)由(1)知1a 2n －1a 2n ＋1＝1（3－2n ）（1－2n ）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n －1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前n 项和为12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－11＋11－13＋…＋12n －3－12n －1＝n1－2n . 19．D2[2013·浙江卷] 在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1，2a 2＋2，5a 3成等比数列．(1)求d ，a n ；(2)若d<0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.19．解：(1)由题意得5a 3·a 1＝(2a 2＋2)2，即d 2－3d －4＝0.故d ＝－1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11，n∈N *或 a n ＝4n ＋6，n∈N *.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n ，因为d<0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11，则 当n≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝S n ＝－12n 2＋212n.当n≥12时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝⎩⎪⎨⎪⎧－12n 2＋212n ，n≤11，12n 2－212n ＋110，n≥12.16．D2和D3[2013·重庆卷] 设数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝3a n ，n ∈N ＋. (1)求{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)已知{b n }是等差数列，T n 为其前n 项和，且b 1＝a 2，b 3＝a 1＋a 2＋a 3，求T 20.16．解：(1)由题设知{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n －1， S n ＝1－3n1－3＝12(3n－1)．(2)b 1＝a 2＝3，b 3＝1＋3＋9＝13，b 3－b 1＝10＝2d ，所以公差d ＝5，故T 20＝20×3＋20×192×5＝1 010.12．D2[2013·重庆卷] 若2，a ，b ，c ，9成等差数列，则c －a ＝________．12.72 [解析] 设公差为d ，则d ＝9－25－1＝74，所以c －a ＝2d ＝72.D3 等比数列及等比数列前n 项和20．M2，D2，D3，D5[2013·北京卷] 给定数列a 1，a 2，…，a n ，对i ＝1，2，…，n －1，该数列前i 项的最大值记为A i ，后n －i 项a i ＋1，a i ＋2，…，a n 的最小值记为B i ，d i ＝A i －B i .(1)设数列{a n }为3，4，7，1，写出d 1，d 2，d 3的值；(2)设a 1，a 2，…，a n (n≥4)是公比大于1的等比数列，且a 1>0.证明：d 1，d 2，…，d n －1是等比数列；(3)设d 1，d 2，…，d n －1是公差大于0的等差数列，且d 1>0，证明：a 1，a 2，…，a n －1是等差数列． 20．解：(1)d 1＝2，d 2＝3，d 3＝6. (2)证明：因为a 1>0，公比q>1， 所以a 1，a 2，…，a n 是递增数列．因此，对i ＝1，2，…，n －1，A i ＝a i ，B i ＝a i ＋1. 于是对i ＝1，2，…，n －1，d i ＝A i －B i ＝a i －a i ＋1＝a 1(1－q)q i －1.因此d i ≠0且d i ＋1d i＝q(i ＝1，2，…，n －2)，即d 1，d 2，…，d n －1是等比数列．(3)证明：设d 为d 1，d 2，…，d n －1的公差．对1≤i≤n－2，因为B i ≤B i ＋1，d>0，所以A i ＋1＝B i ＋1＋d i ＋1≥B i ＋d i ＋d>B i ＋d i ＝A i . 又因为A i ＋1＝max{A i ，a i ＋1}，所以a i ＋1＝A i ＋1>A i ≥a i .从而a 1，a 2，…，a n －1是递增数列，因此A i ＝a i (i ＝1，2，…，n －1)． 又因为B 1＝A 1－d 1＝a 1－d 1<a 1，所以B 1<a 1<a 2<…<a n －1. 因此a n ＝B 1.所以B 1＝B 2＝…＝B n －1＝a n . 所以a i ＝A i ＝B i ＋d i ＝a n ＋d i .因此对i ＝1，2，…，n －2都有a i ＋1－a i ＝d i ＋1－d i ＝d ， 即a 1，a 2，…，a n －1是等差数列．11．D3[2013·北京卷] 若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________．11．2 2n ＋1－2 [解析] ∵a 3＋a 5＝q(a 2＋a 4)，∴40＝20q ，∴q＝2，∴a 1(q ＋q 3)＝20，∴a 1＝2，∴S n ＝2（1－2n）1－2＝2n ＋1－2.22．H6、H8、D3[2013·全国卷] 已知双曲线C ：x 2a 2－y2b 2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，直线y ＝2与C 的两个交点间的距离为 6.(1)求a ，b ；(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，证明：|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等比数列．22．解：(1)由题设知c a ＝3，即a 2＋b 2a 2＝9，故b 2＝8a 2.所以C 的方程为8x 2－y 2＝8a 2. 将y ＝2代入上式，并求得x ＝±a 2＋12.由题设知，2a 2＋12＝6，解得a 2＝1.所以a ＝1，b ＝2 2.(2)证明：由(1)知，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，C 的方程为8x 2－y 2＝8.①由题意可设l 的方程为y ＝k(x －3)，|k|<22，代入①并化简得(k 2－8)x 2－6k 2x ＋9k 2＋8＝0.设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则x 1≤－1，x 2≥1，x 1＋x 2＝6k 2k 2－8，x 1x 2＝9k 2＋8k 2－8.于是|AF 1|＝（x 1＋3）2＋y 21＝（x 1＋3）2＋8x 21－8＝－(3x 1＋1)，|BF 1|＝（x 2＋3）2＋y 22＝（x 2＋3）2＋8x 22－8＝3x 2＋1.由|AF 1|＝|BF 1|得－(3x 1＋1)＝3x 2＋1，即x 1＋x 2＝－23.故6k 2k 2－8＝－23，解得k 2＝45，从而x 1x 2＝－199. 由于|AF 2|＝（x 1－3）2＋y 21＝（x 1－3）2＋8x 21－8＝1－3x 1，|BF 2|＝（x 2－3）2＋y 22＝（x 2－3）2＋8x 22－8＝3x 2－1， 故|AB|＝|AF 2|－|BF 2|＝2－3(x 1＋x 2)＝4， |AF 2|·|BF 2|＝3(x 1＋x 2)－9x 1x 2－1＝16.因而|AF 2|·|BF 2|＝|AB|2，所以|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等比数列．7．D3[2013·全国卷] 已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10) B.19(1－310)C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)7．C [解析] 由3a n ＋1＋a n ＝0，得a n ≠0(否则a 2＝0)且a n ＋1a n ＝－13，所以数列{a n }是公比为－13的等比数列，代入a 2可得a 1＝4，故S 10＝4×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13101＋13＝3×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1310＝3(1－3－10)． 17．D2，D3[2013·福建卷] 已知等差数列{a n }的公差d ＝1，前n 项和为S n . (1)若1，a 1，a 3成等比数列，求a 1； (2)若S 5>a 1a 9，求a 1的取值范围．17．解：(1)因为数列{a n }的公差d ＝1，且1，a 1，a 3成等比数列，所以a 21＝1×(a 1＋2)，即a 21－a 1－2＝0，解得a 1＝－1或a 1＝2. (2)因为数列{a n }的公差d ＝1，且S 5>a 1a 9，所以5a 1＋10>a 21＋8a 1，即a 21＋3a 1－10<0，解得－5<a 1<2.11．D3[2013·广东卷] 设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________．11．15 [解析] 方法一：易求得a 2＝－2，a 3＝4，a 4＝－8，∴a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝15.方法二：相当于求首项为1，公比为2的等比数列的前4项和，S 4＝1－241－2＝15.14．D3[2013·江苏卷] 在正项等比数列{a n }中，a 5＝12，a 6＋a 7＝3. 则满足a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为________．14．12 [解析] 设{a n }的公比为q.由a 5＝12及a 5(q ＋q 2)＝3得q ＝2，所以a 1＝132，所以a 6＝1，a 1a 2…a 11＝a 116＝1，此时a 1＋a 2＋…＋a 11>1.又a 1＋a 2＋…＋a 12＝27－132，a 1a 2…a 12＝26<27－132，所以a 1a 2…a 12>a 1a 2…a 12，但a 1＋a 2＋…＋a 13＝28－132，a 1a 2…a 13＝26·27＝25·28>28－132，所以a 1＋a 2＋…＋a 13<a 1a 2…a 13，故最大正整数n 的值为12.12．D3[2013·江西卷] 某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N *)等于________．12．6 [解析] S n ＝2（1－2n）1－2＝2n ＋1－2≥100，得n≥6.14．D3[2013·辽宁卷] 已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________.14．63 [解析] 由题意可知a 1＋a 3＝5，a 1·a 3＝4.又因为{a n }为递增的等比数列，所以a 1＝1，a 3＝4，则公比q ＝2，所以S 6＝1×（1－26）1－2＝63.17．D2，D3[2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.17．解：(1)设{a n }的公差为d.由题意，a 211＝a 1a 13，即(a 1＋10d)2＝a 1(a 1＋12d)， 于是d(2a 1＋25d)＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而 S n ＝n2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56) ＝－3n 2＋28n.16．D2，D3[2013·四川卷] 在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项、公比及前n 项和．16．解：设该数列的公比为q ，由已知，可得a 1q －a 1＝2，4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，所以，a 1(q －1)＝2，q 2－4q ＋3＝0，解得q ＝3或q ＝1. 由于a 1(q －1)＝2，因此q ＝1不合题意，应舍去． 故公比q ＝3，首项a 1＝1.所以，数列的前n 项和S n ＝3n－12.6．D3[2013·新课标全国卷Ⅰ] 设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a n6．D [解析] a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1，S n ＝1－23n 1－23＝31－23a n ＝3－2a n . 16．D2和D3[2013·重庆卷] 设数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝3a n ，n ∈N ＋. (1)求{a n }的通项公式及前n 项和S n ；(2)已知{b n }是等差数列，T n 为其前n 项和，且b 1＝a 2，b 3＝a 1＋a 2＋a 3，求T 20.16．解：(1)由题设知{a n }是首项为1，公比为3的等比数列，所以a n ＝3n －1， S n ＝1－3n1－3＝12(3n－1)．(2)b 1＝a 2＝3，b 3＝1＋3＋9＝13，b 3－b 1＝10＝2d ，所以公差d ＝5，故T 20＝20×3＋20×192×5＝1 010.D4 数列求和19．D2，D4[2013·安徽卷] 设数列{a n }满足a 1＝2，a 2＋a 4＝8，且对任意n∈N *，函数f(x)＝(a n －a n ＋1＋a n ＋2)x ＋a n ＋1cos x －a n ＋2sin x 满足f′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝2⎝⎛⎭⎪⎫a n ＋12a n ，求数列{b n }的前n 项和S n . 19．解：(1)由题设可得，f ′(x)＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1sin x －a n ＋2cos x.对任意n∈N *，f′π2＝a n －a n ＋1＋a n ＋2－a n ＋1＝0，即a n ＋1－a n ＝a n ＋2－a n ＋1，故{a n }为等差数列．由a 1＝2，a 2＋a 4＝8，解得{a n }的公差d ＝1， 所以a n ＝2＋1·(n－1)＝n ＋1.(2)由b n ＝2a n ＋12a n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1＋12n ＋1＝2n ＋12n ＋2知， S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2n ＋2·n （n ＋1）2＋121－12n1－12＝n 2＋3n ＋1－12n .17．D2、D4[2013·全国卷] 等差数列{a n }中，a 7＝4，a 19＝2a 9. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .17．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ， 则a n ＝a 1＋(n －1)d.因为⎩⎪⎨⎪⎧a 7＝4，a 19＝2a 9，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋6d ＝4，a 1＋18d ＝2（a 1＋8d ），解得a 1＝1，d ＝12.所以{a n }的通项公式为a n ＝n ＋12.(2)因为b n ＝1na n ＝2n （n ＋1）＝2n －2n ＋1，所以S n ＝21－22＋22－23＋…＋2n －2n ＋1＝2n n ＋1. 16．D4[2013·江西卷] 正项数列{a n }满足：a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝1（n ＋1）a n，求数列{b n }的前n 项和T n .16．解：(1)由a 2n －(2n －1)a n －2n ＝0，得(a n －2n)(a n ＋1)＝0. 由于{a n }是正项数列，所以a n ＝2n.(2)由a n ＝2n ，b n ＝1（n ＋1）a n ，则b n ＝12n （n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n ＋1n －1n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n2（n ＋1）. 17．D2、D4[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5. (1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前n 项和．17．解：(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n （n －1）2d.由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝0，5a 1＋10d ＝－5， 解得a 1＝1，d ＝－1.故{a n }的通项公式为a n ＝2－n.(2)由(1)知1a 2n －1a 2n ＋1＝1（3－2n ）（1－2n ）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n －1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前n 项和为12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－11＋11－13＋…＋12n －3－12n －1＝n1－2n .D5 单元综合20．M2，D2，D3，D5[2013·北京卷] 给定数列a 1，a 2，…，a n ，对i ＝1，2，…，n －1，该数列前i 项的最大值记为A i ，后n －i 项a i ＋1，a i ＋2，…，a n 的最小值记为B i ，d i ＝A i －B i .(1)设数列{a n }为3，4，7，1，写出d 1，d 2，d 3的值；(2)设a 1，a 2，…，a n (n≥4)是公比大于1的等比数列，且a 1>0.证明：d 1，d 2，…，d n －1是等比数列；(3)设d 1，d 2，…，d n －1是公差大于0的等差数列，且d 1>0，证明：a 1，a 2，…，a n －1是等差数列． 20．解：(1)d 1＝2，d 2＝3，d 3＝6. (2)证明：因为a 1>0，公比q>1， 所以a 1，a 2，…，a n 是递增数列．因此，对i ＝1，2，…，n －1，A i ＝a i ，B i ＝a i ＋1. 于是对i ＝1，2，…，n －1，d i ＝A i －B i ＝a i －a i ＋1＝a 1(1－q)q i －1.因此d i ≠0且d i ＋1d i＝q(i ＝1，2，…，n －2)，即d 1，d 2，…，d n －1是等比数列．(3)证明：设d 为d 1，d 2，…，d n －1的公差．对1≤i≤n－2，因为B i ≤B i ＋1，d>0，所以A i ＋1＝B i ＋1＋d i ＋1≥B i ＋d i ＋d>B i ＋d i ＝A i . 又因为A i ＋1＝max{A i ，a i ＋1}，所以a i ＋1＝A i ＋1>A i ≥a i .从而a 1，a 2，…，a n －1是递增数列，因此A i ＝a i (i ＝1，2，…，n －1)． 又因为B 1＝A 1－d 1＝a 1－d 1<a 1，所以B 1<a 1<a 2<…<a n －1. 因此a n ＝B 1.所以B 1＝B 2＝…＝B n －1＝a n . 所以a i ＝A i ＝B i ＋d i ＝a n ＋d i .因此对i ＝1，2，…，n －2都有a i ＋1－a i ＝d i ＋1－d i ＝d ， 即a 1，a 2，…，a n －1是等差数列．19．D5，E9[2013·广东卷] 设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足4S n ＝a 2n ＋1－4n－1，n∈N *，且a 2，a 5，a 14构成等比数列．(1)证明：a 2＝4a 1＋5； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a n a n ＋1<12.19．解：19．D5[2013·湖北卷] 已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．19．解：(1)设数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q≠0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18， 即⎩⎪⎨⎪⎧－a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q （1＋q ＋q 2）＝－18， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2，故数列{a n }的通项公式为a n ＝3(－2)n －1.(2)由(1)有S n ＝3[1－（－2）n]1－（－2）＝1－(－2)n.若存在n ，使得S n ≥2 013，则1－(－2)n≥2 013，即(－2)n≤－2 012.当n 为偶数时，(－2)n＞0，上式不成立；当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2 012，即2n≥2 012，则n≥11.综上，存在符合条件的正整数n ，且所有这样的n 的集合为{n|n ＝2k ＋1，k∈N ，k≥5}． 15．D1，D5[2013.湖南卷] 对于E ＝{a 1，a 2，...，a 100}的子集X ＝{ai 1，ai 2，...，ai k }，定义X 的“特征数列”为x 1，x 2，...，x 100，其中xi 1＝xi 2＝...＝xi k ＝1，其余项均为0.例如：子集{a 2，a 3}的“特征数列”为0，1，1，0，0， 0(1)子集{a 1，a 3，a 5}的“特征数列”的前3项和等于________；(2)若E 的子集P 的“特征数列”p 1，p 2，…，p 100满足p 1＝1，p i ＋p i ＋1＝1，1≤i≤99；E 的子集Q 的“特征数列”q 1，q 2，…，q 100满足q 1＝1，q j ＋q j ＋1＋q j ＋2＝1，1≤j≤98，则P∩Q 的元素个数为________．15．2 17 [解析] (1)由特征数列的定义可知，子集{a 1，a 3，a 5}的“特征数列”为1，0，1，0，1，0…，0，故可知前三项和为2.(2)根据“E 的子集P 的“特征数列”p 1，p 2，…，p 100满足p 1＝1，p i ＋p i ＋1＝1，1≤i≤99”可知子集P 的“特征数列”为1，0，1，0，…，1，0.即奇数项为1，偶数项为0.根据“E 的子集Q 的“特征数列”q 1，q 2，…，q 100满足q 1＝1，q j ＋q j ＋1＋q j ＋2＝1，1≤j≤98”可知子集Q 的“特征数列为1，0，0，1，0，0，…，0，1.即项数除以3后的余数为1的项为1，其余项为0，则P∩Q 的元素为项数除以6余数为1的项，可知有a 1，a 7，a 13，…，a 97，共17项．19．D5[2013·江苏卷] 设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d≠0)，S n 是其前n 项的和．记b n ＝nS n n 2＋c，n∈N *，其中c 为实数．(1)若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n∈N *)； (2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0. 19．解：由题设，S n ＝na ＋n （n －1）2d.(1)由c ＝0，得b n ＝S n n ＝a ＋n －12d.又因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋d 22＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋32d ，化简得d 2－2ad ＝0.因为d≠0，所以d ＝2a.因此，对于所有的m∈N *，有S m ＝m 2a.从而对于所有的k ，n∈N *，有S nk ＝(nk)2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k .(2)设数列{b n }的公差是d 1，则b n ＝b 1＋(n －1)d 1，即nS n n 2＋c ＝b 1＋(n －1)d 1，n∈N *，代入S n 的表达式，整理得，对于所有的n∈N *，有⎝ ⎛⎭⎪⎫d 1－12d n 3＋⎝⎛⎭⎪⎫b 1－d 1－a ＋12d n 2＋cd 1n ＝c(d 1－b 1)． 令A ＝d 1－12d ，B ＝b 1－d 1－a ＋12d ，D ＝c(d 1－b 1)，则对于所有的n∈N *，有An 3＋Bn 2＋cd 1n ＝D(*)．在(*)式中分别取n ＝1，2，3，4，得A ＋B ＋cd 1＝8A ＋4B ＋2cd 1＝27A ＋9B ＋3cd 1＝64A ＋16B ＋4cd 1， 从而有⎩⎪⎨⎪⎧7A ＋3B ＋cd 1＝0，①19A ＋5B ＋cd 1＝0，②21A ＋5B ＋cd 1＝0，③由②，③得A ＝0，cd 1＝－5B ，代入方程①，得B ＝0，从而cd 1＝0. 即d 1－12d ＝0，b 1－d 1－a ＋12d ＝0，cd 1＝0.若d 1＝0，则由d 1－12d ＝0得d ＝0，与题设矛盾，所以d 1≠0.又因为cd 1＝0，所以c ＝0.19．D5[2013·天津卷] 已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n∈N *)，且－2S 2，S 3，4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)证明S n ＋1S n ≤136(n∈N *)．19．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为－2S 2，S 3，4S 4成等差数列，所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3，即S 4－S 3＝S 2－S 4，可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×－12n －1＝(－1)n －1·32n .(2)证明：S n＝1－－12n，S n＋1S n＝1－－12n＋11－－12n＝⎩⎪⎨⎪⎧2＋12n（2n＋1），n 为奇数，2＋12n（2n－1），n 为偶数.当n 为奇数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝136.当n 为偶数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝2512.故对于n∈N *，有S n ＋1S n ≤136.1．[2013·新乡期末] 数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1a n －1＋1，则a 4等于( )A.53B.43C ．1 D.231．A [解析] 由a 1＝1，a n ＝1a n －1＋1得，a 2＝1a 1＋1＝2，a 3＝1a 2＋1＝12＋1＝32，a 4＝1a 3＋1＝23＋1＝53，选A.2．[2013·合肥联考] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3＋a 8＝13且S 7＝35，则a 7＝( ) A ．11 B ．10 C ．9 D ．82．D [解析] 由已知及等差数列的性质S 7＝7（a 1＋a 7）2＝7a 4＝35，所以a 4＝5，又a 4＋a 7＝a 3＋a 8＝13，所以a 7＝8，选D.3．[2013·天津新华中学月考] 设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 5＝3(a 2＋a 8)，则a 5a 3的值为( )A.16B.13C.35D.563．D [解析] 由S 5＝3(a 2＋a 8)及等差数列的性质得5（a 1＋a 5）2＝3×2a 5，即5a 3＝6a 5，所以a 5a 3＝56，选D. 4．[2013·岳阳模拟] 已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n ＋a ，n ∈N *，则实数a 的值是( ) A ．－3 B ．3 C ．－1 D ．14．C [解析] 当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －3n －1＝2·3n －1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋a ，因为{a n }是等比数列，所以有3＋a ＝2，解得a ＝－1，选C.5．[2013·成都检测] 已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n ＝( )A ．4·(32)nB ．4·(32)n －1C ．4·(23)nD ．4·(23)n －15．B [解析] 因为数列{a n }为等比数列，所以(a ＋1)2＝(a －1)(a ＋4)，解得a ＝5，即数列的前三项为4，6，9，公比为32，所以a n ＝a 1q n －1＝4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1.6．[2013·昆明调研] 公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且－3a 1，－a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4＝( )A ．－20B ．0C ．7D ．406．A [解析] 设数列的公比为q(q≠1)，因为－3a 1，－a 2，a 3成等差数列，所以－3a 1＋a 3＝－2a 2，由于a 1＝1，所以－3＋q 2＋2q ＝0，因为q≠1，所以q ＝－3.故S 4＝1－3＋9－27＝－20.。

专业课原理概述部分一、选择题（每题1分，共5分）1. 设集合A={x|x²3x+2=0}，则A中元素的个数为（）A. 0B. 1C. 2D. 32. 若函数f(x)=2x3在区间（a，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是（）A. a≥1B. a≤1C. a≥1D. a≤13. 执行右边的程序框图，若输入的x值为2，则输出y的值为（）A. 6B. 8C. 10D. 124. 若向量a=(3，4)，b=(1，2)，则2a+3b的模长是（）A. 7B. 9C. 11D. 135. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若sin2A+sin2B+sin2C=3，则△ABC是（）A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 不等边三角形二、判断题（每题1分，共5分）1. 若a>b，则ac²>bc²。

（）2. 两个平行线之间的距离处处相等。

（）3. 若函数f(x)在区间（a，b）上单调递增，则f'(x)>0。

（）4. 三角形的面积等于底乘以高的一半。

（）5. 任何两个实数的和都是实数。

（）三、填空题（每题1分，共5分）1. 已知函数f(x)=x²2x+1，则f(1)=______。

2. 若向量a=(2，3)，则向量a的模长|a|=______。

3. 在平面直角坐标系中，点P(2，3)关于x轴的对称点坐标为______。

4. 若等差数列{an}的公差为2，首项为1，则第10项a10=______。

5. 若sinθ=1/2，且θ为锐角，则cosθ=______。

四、简答题（每题2分，共10分）1. 简述函数的单调性定义。

2. 解释什么是平面向量的坐标表示。

3. 请写出三角形面积公式。

4. 请列举三种不同的数列。

5. 简述反函数的定义及其性质。

五、应用题（每题2分，共10分）1. 已知函数f(x)=3x²4x+1，求f(x)在区间（1，2）上的最大值。

广东省12大市2013届高三二模数学（理）试题分类汇编5：数列姓名____________班级___________学号____________分数______________一、选择题1 ．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）已知数列{}{},n n a b 都是公差为1的等差数列,其首项分别为1,a b 且*1111125,,,a b a b a b N +=>∈,则数列{}n b 的前10项和等于（ ）A ．55B ．70C ．85D ．1002 ．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））已知等差数列共有10项,其中奇数项之和为15,偶数项之和为30,则其公差是 （ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．23 ．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）设()f x 是定义在(0,1)上的函数,对任意的1y x >>都有11()()()1y x f f f xy x y -=--,记21()()55n a f n N n n *=∈++,则81ii a=∑=（ ）A ．1()2fB ．1()3fC ．1()4fD ．1()5f4 ．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）在等差数列{}n a 中,首项10,a =公差0d ≠,若129m a a a a =+++,则m 的值为（ ）A ．37B ．36C ．20D ．195 ．（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学理试题）已知数列}{n a 是等差数列,若3,244113==+a a a ,则数列}{n a 的公差等于 （ ）A ．1B ．3C ．5D ．6二、填空题6 ．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD 版））已知{a n }的前n 项之和为n S ,a1=1, S n = 2a n+1,则n S =______7 ．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））在n n ⨯ 的方格中进行跳棋游戏.规定每跳一步只能向左,或向右,或向上,不能向下,且一次连续行走的路径中不能重复经过同一小方格.设 ()f n 表示从左下角“○”位置开始,连续跳到右上角“☆”位置结束的所有不同路径的条数.如图 4,给出了3n = 时的一条路径.则(3)f =_________;()f n =____________.(二)选做题:第14、15题为选做题,考生只能从中选做一题.8 ．（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学理试题）将集合{22st +|0s t≤<且,s t Z ∈}中的元素按上小下大,左小右大的顺序排成如图的三角形数表,将数表中位于第行第j 列的数记为i j b (0i j ≥>),则65b =________.9 ．（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD 版））在等差数列{}n a 中,有67812a a a ++=,则此数列的前13项之和为__________ .10．（广东省广州市2013届高三4月综合测试（二）数学理试题（WORD 版））数列}{n a 的项是由1或2构成,且首项为1,在第k 个1和第1k +个1之间有21k -个2,即数列}{n a为:1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,,记数列}{n a 的前n 项和为n S ,则20S =___;2013S =___.11．（广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知等差数列{}n a 的首项11=a ,前三项之和93=S ,则{}n a 的通项____=n a .三、解答题12．（广东省肇庆市2013届高三4月第二次模拟数学（理）试题）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ,对一切正整数n ,点),(n n S n P 都在函数x x x f 2)(2+=的图像上,且过点),(n n S n P 的切线的斜率为n k . (1)求数列}{n a 的通项公式. (2)若n k na b n 2=,求数列}{n b 的前n 项和n T .(3)设},2{},,{**∈==∈==N n a x x R N n k x x Q n n ,等差数列}{n c 的任一项n c Q R ∈,其中1c 是QR 中的最小数,11511010<<c ,求}{n c 的通项公式.35691012第13题图13．（广东省湛江市2013届高三4月高考测试（二）数学理试题（WORD 版））已知x 轴上有一列点P 1,P 2 P 3,,P n ,,当2≥n 时,点P n 是把线段P n -1 P n +1 作n 等分的分点中最靠近P n +1的点,设线段P 1P 2 , P 2P 3 , P 3P 4,,P n P n +1的长度分别 为A 1,A 2,A 3,,A N,其中a 1=1.(1)求a n 关于n 的解析式;(2 )证明:a 1 + 2a + a 3 + + a n < 3(3) 设点P(n,n a ) {3≥n ),在这些点中是否存在两个点同时在函数)0()1(2>-=k x ky 的图象上?如果存在,求出点的坐标;如果不存在,说明理由.14．（广东省深圳市2013届高三第二次调研考试数学理试题（2013深圳二模））已知数列{}{},n n a b 满足:110,2013a b ==,且对任意1,,,n n n n a a b +和11,,n n n a b b ++均为等差数列. (1)求22,a b 的值;(2)证明:{}n n a b -和{}2n n a b +均成等比数列;(3)是否存在唯一的正整数c ,使得n n a c b <<恒成立?证明你的结论.15．（广东省韶关市2013届高三4月第二次调研测试数学理试题）如图,过点P(1,0)作曲线C:)),0((2+∞∈=x x y 的切线,切点为1Q ,设点1Q 在x 轴上的投影是点1P ;又过点1P 作曲线C 的切线,切点为2Q ,设2Q 在x 轴上的投影是2P ;;依此下去,得到一系列点12,3,Q Q Q ⋅⋅⋅n Q ,设点n Q 的横坐标为n a .(1)求直线1PQ 的方程; (2)求数列{}n a 的通项公式;(3)记n Q 到直线1n n P Q +的距离为n d ,求证:2n ≥时,12111 (3)n d d d +++>16．（广东省汕头市2013年普通高中高三教学质量测试试题(二)理科数学试卷）在数列{}n a 中,10a =,且对任意*21221,,,k k k k N a a a -+∈成等差数列,其公差为2k .(1)证明:456,,a a a 成等比数列; (2)求数列{}n a 的通项公式;(3)记2222323n nn T a a a =+++,证明:322(2)2n n T n <-<≥17．（广东省茂名市2013届高三4月第二次高考模拟数学理试题（WORD 版））已知曲线C:xy=1,过C 上一点A (,)n n n x y 作一斜率12n n k x =-+的直线交曲线C 于另一点111A (,)n n n x y +++,点列{n A }的横坐标构成数列{n x },其中1117x =. (1)求n x 与1n x +的关系式; (2)求证:数列是等比数列;(3)求证:18．（广东省揭阳市2013年高中毕业班第二次高考模拟考试理科数学试题）数列{}n a 中,13a =,1n n a a cn +=+(c 是常数,123n =，，，),且123a a a ，，成公比不为1的等比数列. (1)求c 的值;(2)求{}n a 的通项公式;(3)求最小的自然数n ,使2013n a ≥.19．（广东省江门佛山两市2013届高三4月教学质量检测（佛山二模）数学理试题）设函数1220()x f x x e-=⋅,记0()f x 的导函数01()()f x f x '=,1()f x 的导函数12()()f x f x '=,2()f x 的导函数23()()f x f x '=,,1()n f x -的导函数1()()n n f x f x -'=,1,2,n =.(1)求3(0)f ; (2)用n 表示(0)n f ; (3)设231(0)(0)(0)n n S f f f +=+++,是否存在*n N ∈使n S 最大?证明你的结论.20．（广东省惠州市2013届高三4月模拟考试数学理试题（WORD 版））已知函数()log m f x x =(m 为常数,01m <<),且数列{}()n f a 是首项为2,公差为2的等差数列.(1) 若()n n n b a f a =⋅,当m =,求数列{}n b 的前n 项和n S ;(2)设lg n n n c a a =⋅,如果{}n c 中的每一项恒小于它后面的项,求m 的取值范围.21．（广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）设0a >,函数21()f x x a=+. (Ⅰ)证明:存在唯一实数01(0,)x a∈,使00()f x x =; (Ⅱ)定义数列{}n x :10x =,1()n n x f x +=,*n N ∈. (i)求证:对任意正整数n 都有2102n n x x x -<<; (ii) 当2a =时, 若10(2,3,4,)2k x k <≤=,证明:对任意*m N ∈都有:1134m k k k x x +--<⋅.22．（广东省潮州市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知数列}{n a 满足:21,121==a a ,且=+2n a 121+++n n n a a a (*N ∈n ). (Ⅰ)求证:数列}{1+n na a 为等差数列; (Ⅱ)求数列}{n a 的通项公式; (Ⅲ)求下表中前n 行所有数的和n S .广东省12大市2013届高三二模数学（理）试题分类汇编5：数列参考答案一、选择题 1. C 2. C 3.因21(3)(2)()55(3)(2)1n n n a f f n n n n ⎛⎫+-+== ⎪++++-⎝⎭11()()23f f n n =-++,故81ii a =∑128111111()()()()()()34451011a a a f f f f f f =+++=-+-++-111131()()()()31111314f f f f -=-==⨯-,故选C.4. 由129m a a a a =+++得5(1)93637m d a d m -==⇒=,选A.5. B 二、填空题6. 13()2n -7. 9 1n n -8. 809. 【解析】等差数列{}n a 中,有67873a a a a ++=,71374,1352S a a ∴=∴== ,故此数列的前13项之和为52.10. 36;3981 11. 12-n . 三、解答题 12.解:(1)点),(n n S n P 都在函数x x x f 2)(2+=的图像上,∴2*2()n S n n n N =+∈,当n 2≥时,12 1.n n n a S S n -=-=+当1n =时,113a S ==满足上式,所以数列}{n a 的通项公式为2 1.n a n =+ (2)由x x x f 2)(2+=求导可得()22f x x '=+过点),(n n S n P 的切线的斜率为n k ,22n k n ∴=+.24(21)4n k n n n b a n ∴==⋅+⋅. 12343445447421)4n n T n ∴=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅⨯+⨯+4（ ①由①×4,得2341443445447421)4n n T n +=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅⨯+⨯+4（ ② ①-②得:()23134342444-21)4n n n T n +⎡⎤-=⨯+⨯++⋅⋅⋅++⨯⎣⎦（ 2114144342-21)414n n n -+⎡⎤-=⨯+⨯+⨯⎢⎥-⎣⎦（）（26116499n n n T ++∴=⋅- (3){22,},{42,}Q x x n n N R x x n n N **==+∈==+∈,QR R ∴=.又n c Q R ∈,其中1c 是Q R 中的最小数,16c ∴=.{}n c 是公差是4的倍数,*1046()c m m N ∴=+∈.又10110115c <<,*11046115m m N<+<⎧∴⎨∈⎩,解得27m =,所以10114c =, 设等差数列的公差为d ,则1011146121019c cd --===-，6(1)12126n c n n ∴=++⨯=-,所以{}n c 的通项公式为126n c n =-13.14.15.解:(1)令2111(,)Q a a ,由'2y x =得112PQ k x =即2111021a a a -=- 故12a = ∴14PQ k =,则切线1l 的方程为:440x y --=(2)令2(,)n n nQ a a ,则1221111110(,),(,0),2n nn n n n n n P Q n n n a Q a aP a k a a a --------∴==- 化简得12,(2)nn a n a -=≥, 故数列{}n a 是以2为首项2为公比的等比数列 所以2n n a =(3)由(2)知)0,2(n n P ,)2,2(2211+++n n n Q ,)2,2(2n n n Q 故112222221202,:22022n n n n n n n n P Q P Q n n k l x y +++++++-==∴--=-42424n nn n d ∴<=⋅142n n d ∴>12 故21211[1()]111111221.......4[()()]44[1()]42221212n n n n d d d -+++>+++=⋅=->-16.证明:(Ⅰ)因为01=a ,且*∈∀N k ,12-k a ,k a 2,12+k a 成等差数列,其公差为k 2.即121222+-+=k k k a a a ,k a a a a k k k k 2212122=-=-+-所以,分别取3,2,1=k 代入解得18,12,8654===a a a ,显然满足6425a a a =,即4a ,5a ,6a 成等比数列;(Ⅱ)由题意可知:,41212k a a k k =--+对*∈∀N k 恒成立所以)(.....)()()(1212573513112-++-++-+-+-+=k k k a a a a a a a a a ak 4......12840+++++==)1(22)40)(1(+=++=k k k k又k a a k k 2212=-+,所以k a a k k 2122-=+=222)1(2k k k k =-+所以数列{}n a 的通项公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-=)2(,2)12(,2122k n n k n n a n , *∈N k或写为*∈--+=N n n a n n ,41)1(22(注意:以上三种写法都给全分)(Ⅲ)先证右边:(1)当2=n 时,2=nT ,22222=-⨯=-n T n 显然满足结论.(2)当2>n 时,因为n 为奇数时,212-=n a n , 所以212222>-=n n a n n ,且⎪⎭⎫ ⎝⎛+---=--=-111112222n n n a n n 当n 为偶数时,22n a n =,22=n a n ,022=-n a n综上可知)1(2 (322)3222-≥+++=n a n a a T n n ,当2=n 时取等号所以2)1(222=--≤-n n T n n 对任意的*∈≥N n n ,2成立.再证左边:因为n T n n 22=-)........32(23222n a n a a +++-)2(...)32()22(223222n a n a a -++-+-+= 所以(1)当*∈+=N k k n ,12时2322123221212)22121(....)6141()4121(21)12(20....172015201320222222>++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-++-+--=-+-++--+--+--+=-k k k k k T n n(2)当*∈=N k k n ,2时23212321212)21221(....)6141()4121(201)12(20....172015201320222222>+=⎪⎭⎫⎝⎛--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧--++-+--=+---++--+--+--+=-k k k k k T n n综上可知对2,≥∈∀*n N n ,2223≤-<n T n 成立.17.18.解:(1)13a =,23a c =+,333a c =+,∵1a ,2a ,3a 成等比数列,∴2(3)3(33)c c +=+, 解得0c =或3c =当0c =时,123a a a ==,不符合题意舍去,故3c =(2)当2n ≥时,由21a a c -=,322a a c -=,1(1)n n a a n c --=-,得1(1)[12(1)]2n n n a a n c c --=+++-=又13a =,3c =,∴2333(1)(2)(23)22n a n n n n n =+-=-+=，，当1n =时,上式也成立,∴23(2)()2n a n n n N *=-+∈(3)由2013n a ≥得23(2)20132n n -+≥,即213400n n --≥ ∵n N ∈*,∴12n +≥141813622+⨯>= 令37n =,得3720012013a =<,令38n =得3821122013a => ∴使2013n a ≥成立的最小自然数38n =19. ⑴易得,()1221122xf x x x e -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,()12221224xf x x x e -⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭()122313382xf x x x e -⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭,所以3(0)3f =-⑵不失一般性,设函数()21111()x n n n n f x a x b x c e λ----=++⋅的导函数为()2()x n n n n f x a x b x c e λ=++⋅,其中1,2,n =,常数0λ≠,0001,0a b c ===.对1()n f x -求导得:2111111()[(2)()]x n n n n n n f x a x a b x b c e λλλλ------'=⋅++⋅++⋅⋅ 故由1()()n n f x f x -'=得:1n n a a λ-=⋅ ①, 112n n n b a b λ--=+⋅ ②, 11n n n c b c λ--=+⋅ ③由①得:,n n a n N λ=∈ , 代入②得:112n n n b b λλ--=⋅+⋅,即112nn nn b b λλλ--=+,其中1,2,n=故得:12,n n b n n N λ-=⋅∈ 代入③得:212n n n c n c λλ--=⋅+⋅,即1212nn nn c c nλλλ--=+,其中1,2,n =.故得:2(1),n n c n n n N λ-=-⋅∈, 因此(0)n f =2(1),n n c n n n N λ-=-⋅∈.将12λ=-代入得:21(0)(1)()2n n f n n -=--,其中n N ∈ (2)由(1)知111(0)(1)()2n n f n n -+=+-,⎧⎪⎨⎪⎩当2(1,2,)n k k ==时,21221211(0)2(21)()02k k k k S S f k k --+-==+⋅-<,2212210,k k k k S S S S --∴-<<,故当n S 最大时,n 为奇数当21(2)n k k =+≥时,21212221(0)(0)k k k k S S f f +-++-=+又2221(0)(21)(22)()2k k f k k +=++-,21211(0)2(21)()2k k f k k -+=+-221222111(0)(0)(21)(22)()2(21)()22k k k k f f k k k k -++∴+=++-++-211(21)(1)()02k k k -=+--<,2121k k S S +-∴<,因此数列{}21(1,2,)k S k +=是递减数列又12(0)2S f ==,3234(0)(0)(0)2S f f f =++=, 故当1n =或3n =时,n S 取最大值132S S ==20. (1) 证:由题意()2(1)22n f n n a =+-⨯=,即log 2m n n a =,2n n m a =∴2()2n n n n b a f a n m =⋅=⋅,当m =,11()()2n n n n b a f a n -=⋅=⋅∴012111111()2()3()()2222n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅, ①123111111()2()3()()22222n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅ ②①-②,得012311111111()()()()()()2222222n n n S n -=+++++-⋅ 11(1())12()121()2n n n ⨯-=-⋅- ∴11(2)()42n n S n -=-+⋅+(2) 解:由(1)知,2lg 2lg n n n n c a a n m m =⋅=⋅,要使1n n c c +<对一切n N *∈成立, 即2lg (1)lg n m n m m <+对一切n N *∈成立201,lg 0(1)m m n n m <<∴<∴>+,对一切n N *∈恒成立,只需2min ()1nm n <+,1111n n n =-++单调递增,∴当1n =时,min 1()12n n =+ ∴212m <,且01k <<, ∴0m << 综上所述,存在实数m ∈满足条件 21. (Ⅰ)证明: ①3()10f x x x ax =⇔+-=令3()1h x x ax =+-,则(0)10h =-<,311()0h a a =>, ∴1(0)()0h h a⋅<又/2()30h x x a =+>,∴3()1h x x ax =+-是R 上的增函数 故3()1h x x ax =+-在区间10,a ⎛⎫⎪⎝⎭上有唯一零点, 即存在唯一实数010,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使00()f x x = ②当1n =时, 10x =,211()(0)x f x f a ===,由①知010,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,即102x x x <<成立; 设当(2)n k k =≥时, 2102k k x x x -<<,注意到21()f x x a=+在()0,+∞上是减函数,且0k x >, 故有:2102()()()k k f x f x f x ->>,即2021k k x x x +>> ∴2021()()()k k f x f x f x +<<,即21022k k x x x ++<<.这就是说,1n k =+时,结论也成立. 故对任意正整数n 都有:2102n n x x x -<< (2)当2a =时,由10x =得:211()(0)2x f x f ===,2112x x -= 222132222221211122(2)(2)x x x x x x x x --=-=++++22121211114244x x x x x x -+⎛⎫<=⋅-= ⎪⎝⎭当2k ≥时,102k x <≤, ∴22112222111122(2)(2)k k k k k k k k x x x x x x x x -+----=-=++++114k k k k x x x x ---+<14k k x x --< 2212321144k k k x x x x ---⎛⎫⎛⎫<⋅-<<⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14k⎛⎫< ⎪⎝⎭对*m N ∀∈,1121()()()m k k m k m k m k m k k k x x x x x x x x +++-+-+-+-=-+-++-1121m k m k m k m k k k x x x x x x ++-+-+-+≤-+-++-1122111114444k k m m x x +--⎛⎫≤+++++- ⎪⎝⎭111114141141134343414m k k k k m k k x x x x ++--⎛⎫=-=⋅-⋅-<⋅= ⎪⋅⎝⎭- 22.解:(Ⅰ)由条件21,121==a a ,=+2n a 121+++n n n a a a ,得=++12n n a a 11+++n n n a a a ⇒-++21n n a a 11=+n n a a∴ 数列}{1+n na a 为等差数列. (Ⅱ)由(Ⅰ)得11)1(211+=⋅-+=+n n a aa a n n ∴⋅=211a a a a n ⋅32a a !321n n a a n n =⋅⋅⋅=⋅- ∴!1n a n =(Ⅲ)=++-11n k n k a a akn C k n k n 1)!1(!)!1(+=+-+ (n k ,,2,1 =)∴ 第n 行各数之和1111211++-++++n n n n n n a aa a a a a a a 22112111-=+++=++++n n n n n C C C ( ,2,1=n ) ∴ 表中前n 行所有数的和)22()22()22(132-++-+-=+n n S231(222)2n n +=+++-22(21)221n n -=--2224n n +=--.。