14.3.1因式分解(1)-提公因式法
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14.3.1因式分解(提公因式法)八年级数学上册课件(人教版)
拓展训练
人教版数学八年级上册
3.△ABC的三边长分别为a、b、c，且a＋2ab＝c＋2bc，请 判断△ABC是等边三角形、等腰三角形还是直角三角形？并 说明理由． 解：整理a＋2ab＝c＋2bc得，a＋2ab-c-2bc＝0，
(a-c)＋2b(a-c)＝0，(a-c)(1＋2b)＝0，
∴a-c＝0或1＋2b＝0，
解：原式=-（a2-ab+ac）=-2a（a-2b+3c） （6）-2x3+4x2-2x
解：原式=-（2x3-4x2+2x）=-2x（x2-2x+1）
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拓展训练
人教版数学八年级上册
1.已知m-4n=-2，mn=5，求-m3n+8m2n2-16mn3的值. 解：-m3n+8m2n2-16mn3=-mn(m2-8mn+16n2)=-mn(m-4n)2 .
典例精析
例1 把8a3b2+12ab3c分解因式.
分析：找公因式
1.系数的最大公约数 4
2.找相同字母
ab
3.相同字母的最低指数 a1b2
公因式为：4ab2
解：8a3b2+12ab3c =4ab2•2a2+4ab2•3bc =4ab2(2a2+3bc)
人教版数学八年级上册
典例精析
人教版数学八年级上册
复习引入
人教版数学八年级上册
单项式与多项式相乘的法则：单项式与多项式相乘，就是 用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
p(a+b+c)=pa+pb+pc
多项式与多项式相乘的法则: 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另一个 多项式的每一项,再把所得的积相加.
第十四章 14.3 14.3.1 提公因式法
解：∵7x(x－3y)2－2(3y－x)3＝7x(x－3y)2＋2(x－3y)3 ＝(x－3y)2[7x＋2(x－3y)]＝(x－3y)2(7x＋2x－6y)＝
(x－3y)2(9x－6y)＝3(x－3y)2(3x－2y)． 又3x－x－32y＝y＝1，6， ∴7x(x－3y)2－2(3y－x)3＝3×12×6＝18.
第十四章 整式的乘法与因式分解 14.3 因式分解
14.3.1 提公因式法
1. 把一个多项式化为几个 整式的积的形式 ，叫 做因式分解．
2. 运用提公因式法因式分解的关键是确定多项式各 项的公因式，公因式是指各项系数的 最大公约数 ， 各项公有字母的 最低次幂 ．
知识点 因式分解的定义 1. (2017·常德)下列各式由左到右的变形中，属于分解 因式的是( C ) A．a(m＋n)＝am＋an B．a2－b2－c2＝(a－b)(a＋b)－c2 C．10x2－5x＝5x(2x－1) D．x2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6x
(2)若因式分解 1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋ 1)2017，则需应用上述方法 2017 次，结果是 (1＋x)2018 ；
(3)分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋ 1)n(n 为正整数)．
解：原式＝(1＋x)n＋1.
1．确定公因式的方法：①系数：取各项系数的最大 公约数；②字母：取各项都含有的相同字母；③指数： 取相同字母的最低次幂．
【解析】∵2x2＋bx＋c＝2(x－3)(x＋1)＝2(x2－2x－3) ＝2x2－4x－6，∴b＝－4，c＝－6.
2. 阅读下面因式分解的过程，再回答问题： 1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)]＝ (1＋x)2(1＋x)＝(1＋x)3. (1)上述因式分解的方法是 提公因式法 ，共应用了 2 次；
(x－3y)2(9x－6y)＝3(x－3y)2(3x－2y)． 又3x－x－32y＝y＝1，6， ∴7x(x－3y)2－2(3y－x)3＝3×12×6＝18.
第十四章 整式的乘法与因式分解 14.3 因式分解
14.3.1 提公因式法
1. 把一个多项式化为几个 整式的积的形式 ，叫 做因式分解．
2. 运用提公因式法因式分解的关键是确定多项式各 项的公因式，公因式是指各项系数的 最大公约数 ， 各项公有字母的 最低次幂 ．
知识点 因式分解的定义 1. (2017·常德)下列各式由左到右的变形中，属于分解 因式的是( C ) A．a(m＋n)＝am＋an B．a2－b2－c2＝(a－b)(a＋b)－c2 C．10x2－5x＝5x(2x－1) D．x2－16＋6x＝(x＋4)(x－4)＋6x
(2)若因式分解 1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋ 1)2017，则需应用上述方法 2017 次，结果是 (1＋x)2018 ；
(3)分解因式：1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＋…＋x(x＋ 1)n(n 为正整数)．
解：原式＝(1＋x)n＋1.
1．确定公因式的方法：①系数：取各项系数的最大 公约数；②字母：取各项都含有的相同字母；③指数： 取相同字母的最低次幂．
【解析】∵2x2＋bx＋c＝2(x－3)(x＋1)＝2(x2－2x－3) ＝2x2－4x－6，∴b＝－4，c＝－6.
2. 阅读下面因式分解的过程，再回答问题： 1＋x＋x(x＋1)＋x(x＋1)2＝(1＋x)[1＋x＋x(x＋1)]＝ (1＋x)2(1＋x)＝(1＋x)3. (1)上述因式分解的方法是 提公因式法 ，共应用了 2 次；
14.3因式分解(1)——提公因式法+课件+2023-2024学年人教版数学八年级上册
知识点 2 提公因式法分解因式 (1)公因式：多项式中每项都有的__因__式__； (2)一般地，如果多项式的各项有_公__因__式___，可以把这个公因式提取出 来，将多项式写成公因式与另一个因式的__乘__积__的形式，这种分解因 式的方法叫做提公因式法.
多项式2a2b3＋4ab2c的公因式是_2_a_b_2__. 多项式m(a－x)－mn(a－x)的公因式是_m__(_a_－__x_) _.
计算： 3×24＋6×24＋4×22. 解：原式＝3×24＋6×24＋24
＝(3＋6＋1)×24 ＝160.
计算： 42×20.23＋72×20.23－20.23×14. 解：原式＝(42＋72－14)×20.23
＝100×20.23 ＝2 023.
如图，长方形的长、宽分别为a，b，周长为10，面积为6， 则a2b＋ab2的值为( B ) A．60 B．30 C．15 D．16
5．确定下列多项式的公因式，并分解因式． (1)ax＋ay； 解：ax，ay的公因式为a， 原式＝a(x＋y)． (2)3mx－6nx2； 解：3mx，－6nx2的公因式为3x， 原式＝3x(m－2nx)．
(3)4a2b＋10ab－2ab2. 解：4a2b，10ab，－2ab2的公因式为2ab， 原式＝2ab(2a＋5－b)．
八年级上册 人教版数学
第十四章 整式的乘法与因式分解 因式分解(1)——提公因式法
复习导入
计算： (1)2(x＋y)＝__2_x_＋__2_y_； (2)(x＋1)(x－1)＝__x_2_－__1_； (3)(a＋b)2＝__a_2_＋__2_a_b_＋__b_2_.
新知探究
知识点 1 因式分解的概念 把一个多项式化成了几个整式的_积___的形式，像这样的式子变形叫做 这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
14.3.1提公因式法 四环节
=3a(a-3b)
温馨提示
3a 3a a
2
9ab 3a 3b
分两步 第一步，找出公因式； 第二步，提取公因式 ， (即将多项式化为两个因式的 乘积)
小颖解的有误吗？
把 8 a 3 b2 –12ab 3 c + ab分解因式.
解： 8 a 3 b2 –12ab 3 c + ab
=ab•8a2 b-ab • 12 b2 c+ab • 1
☞
把下列各式分解因式
(1) x(x+y)-y(x+y) (2) am+an+bm+bn
把下列各式分解因式： 1．2a－4b; 2．ax2+ax－4a; 3．3ab2－3a2b; 4．2x3+2x2－6x; 5．7x2+7x+14; 6．－12a2b+24ab2; 7．xy－x2y2－x3y3; 8．27x3+9x2y．
2)3 x +9xy
3) a2 b – 2a b2 + ab
4) 4xy2-6xy+8x3y
ab
2xy
（2）多项式中的公因式是如何确定的？ (交流探索）
过关秘密武器：
正确找出多项式各项公因式的关键是：
公因式的系数是多项式各项系数的 定系数： 最大公约数。 定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同 的字母。
3
2
当多项式第一项系 数是负数，通常先 提出“-”号，使 括号内第一项系数 变为正数，注意括 号内各项都要变号。
练一练
把下列各多项式因式分解
1)
-4a3b3+6a2b-2ab 2） -9a2b3-12ab4+15ab5 3) -4x3y+2x2y2+xy3 4 ) -x4y2-2x2y-xy
八年级数学上册14.3因式分解14.3.1提公因式法说课稿(新版)新人教版
八年级数学上册 14.3 因式分解 14.3.1 提公因式法说课稿（新版）新人教版一. 教材分析《八年级数学上册》第14.3节是关于因式分解的内容，其中14.3.1节是提公因式法。
这一节内容是在学生已经掌握了多项式乘法、完全平方公式和平方差公式的基础上进行教学的。
教材通过引入提公因式法，使学生能够更好地理解和掌握因式分解的方法，为后续学习更复杂的因式分解方法打下基础。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于多项式乘法和完全平方公式等概念有一定的了解。
但是，学生在学习过程中可能会对因式分解的方法和思路感到困惑，特别是对于提公因式法的应用可能会存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，针对学生的困惑进行解答和指导。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握提公因式法的概念和步骤，能够灵活运用提公因式法进行因式分解。
2.过程与方法目标：通过学生的自主探究和合作交流，培养学生的解决问题的能力和合作意识。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的耐心和自信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：使学生掌握提公因式法的概念和步骤，能够灵活运用提公因式法进行因式分解。
2.教学难点：如何引导学生理解和掌握提公因式法的应用，以及如何解决因式分解过程中的关键步骤。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法进行教学。
2.教学手段：利用多媒体课件、黑板和教学卡片等辅助教学。
六. 说教学过程1.引入新课：通过一个具体的例子，让学生观察和分析，引导学生思考如何将一个多项式进行因式分解。
2.讲解提公因式法：讲解提公因式法的概念和步骤，通过示例进行讲解，让学生理解和掌握提公因式法的应用。
3.练习与讨论：给出一些练习题，让学生独立进行因式分解，然后进行小组讨论，共同解决问题。
4.总结与拓展：对提公因式法进行总结，引导学生思考如何解决更复杂的因式分解问题。
14.3.1提公因式法
解：原式=
= =
3 2 24 x ( 12x 28 x )
4 x (24x3÷4x+12x2÷4x-28x÷4x)
4 x (6x2+3x-7)
当多项式第一项系数是 负数，通常先提出“-” 号，使括号内第一项系 数变为正数，注意括号 内各项都要变号。
利用因式分解简化运算
14.3.1
提供因式法
14.3 因式分解 14.3.1 提公因式法
(1) x 2 x x( x 1) ( 2) x 1 ( x 1)(x 1)
2
(3)ma+mb+mc= m(a+b+c) (4) x2-6x+9= (x-3)2
因式分解定义
把一个多项式化成几个整式的积 的形式,这种变形叫做把这个多项 式因式分解（也叫分解因式）.
14.3.1
提供因式法
分解因式： (1)ax－ay； (2)－3ax ＋12ax －15ax； (3)2m(m－n) ＋6(n－m) ； (4)4x
n＋ 1 3 2 3 2
－12x ＋32x
n
n－ 1
.
1、什么叫因式分解？ 2、确定公因式的方法： 一看系数 二看字母 三看指数
3、提公因式法分解因式步骤(分两步)：
说出下列各多项式的公因式： m (1)ma + mb ； 4k (2)4kx - 8ky ； 5y2 (3)5y3+20y2 ； (4)a2b-2ab2+ab . ab
最大公约数 一看系数
相同字母 二看字母
最低指数
三看指数
例1 把8a3b2 + 12ab3c 分解因式.
最大公约数
4
人教版八年级数学上册14.3.1_因式分解提公因式法1ppt精品课件
2019/7/8
最新中小学教学课件
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2019/7/8
最新中小学教学课件
3(a+b)2
m(a+b) 4k(x-2y) 5y2(y+4) ab(a-2b+1) 2x(2x-4a+1)
3(a+b)2(1-2a-2b
归纳总结
提公因式法：
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出 将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式。这 分解因式的方法叫做提公因式法。
提公因式法的一般步骤 ：
例3 把-4m3+16m2-26m分解因式；
注意：首项为负，应提出负号。
随堂练习
5.分解因式：
(1 )9x2y21x 2yz (2 )9 a 2 1a 8 b 6 a ( 3 ) 1m 4 3 2 m 1 2 n 7 m 2
例题精讲
例4 指出下列各多项式中各项的公因式：
( 1 ) x (x y ) 2 y (x y ) ( 2 ) 5 a 3 b ( x y ) 2 1 a 4 b 3 0 ( y x
经离开教室，也可以向同学请教，及时消除疑难问题。做到当堂知识，当堂解决。 • 二、补笔记 • 上课时，如果有些东西没有记下来，不要因为惦记着漏了的笔记而影响记下面的内容，可以在笔记本上留下一定的空间。下课后，再从头到尾阅读一
遍自己写的笔记，既可以起到复习的作用，又可以检查笔记中的遗漏和错误。遗漏之处要补全，错别字要纠正，过于潦草的字要写清楚。同时，将自己 对讲课内容的理解、自己的收获和感想，用自己的话写在笔记本的空白处。这样，可以使笔记变的更加完整、充实。 • 三、课后“静思2分钟”大有学问 • 我们还要注意课后的及时思考。利用课间休息时间，在心中快速把刚才上课时刚讲过的一些关键思路理一遍，把老师讲解的题目从题意到解答整个过 程详细审视一遍，这样，不仅可以加深知识的理解和记忆，还可以轻而易举地掌握一些关键的解题技巧。所以，2分钟的课后静思等于同一学科知识的 课后复习30分钟。
14.3.1因式分解---提公因式法
公因式：多项式各项都含有的相同因 式(或公共因式) ．
填一填 多项式 8x+12y 8ax+12ayFra bibliotek公因式
思考：多项式中的公因式是如何确定的？
归纳总结
正确找出多项式各项公因式的关键： ①定系数：公因式的系数是各项整数系数的最大 公约数 . ②定字母：取各项的相同的字母 .
③定指数：相同字母的指数取次数最低的，即相 同字母最低次幂 .
定系数 定字母
定字母的指数
练习
提公因式法
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以 把这个公因式提取出来，将多项式写成公因 式与另一个因式的乘积的形式．这种分解因 式的方法叫做提公因式法．
练一练
多项式 8x+12y 8ax+12ay
公因式
因式分解结果
归纳:
公因式：各项系数的最大公约数与各项都含有的 相同字母的最低次数幂的积.
⑵提取公因式要彻底，注意易犯的错误： ①提取不尽 ②漏项 ③疏忽变号 ④只提取部分公因式，整个式子未成乘积形式.
练习：先分解因式，再求值：
课堂小结：
说能出你这节课的收获和体验让大家与 你分享吗？
当堂达标
5 、小明在计算中发现一个三位数的百位数字与个
位数字交换位置后，所得的新三位数与原三位数 的差一定能被 99 整除，可是他却无法说明理由， 你能帮助他解决 这个问题吗？
注意事项
①当多项式第一项系数是负数，通常先提出“-”号， 使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都 要变号 .
②公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是 一个多项式的形式 .
整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法
练习：下列的分解因式对吗？如不对请指出原因
人教版八年级数学上册 14.3.1因式分解 (提公因式法)
因式分解（ 提公因式法）1. 因式分解的概念因式分解：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这就叫做把这个多项式因式分解，也可称为将这个多项式分解因式。
2. 提取公因式确定公因式的方法是：先取各项数字系数的最大公约数，再取各项相同字母的最低次幂，合起来就是这个多项式的公因式。
如果多项式的首项系数是负的，提公因式时要将负号提出，使括号内第一项的系数是正的，并且注意括号内其它各项要变号。
如果公因式是多项式时，只要把这个多项式整体看成一个字母，按照提字母公因式的办法提出。
总结 ①公因式的系数：②字母：③相同字母的指数：例1 下列从左到右的变形,属于分解因式的是( )A. (x+3)(x －2)=x 2+x －6B. ax －ay+1=a(x －y)+1C. x 2－21y=(x+y 1)(x －y 1) D. 3x 2+3x=3x(x+1) 例2 写出下列多项式中的公因式：（1）3525x x + （2）121m n m n ab a b -+-（3）253243143521x y x y x y +- （4）()()23a a b a b a --- （5）()()2222n m n m m nm n + （6）3223232125a b c ab c a b c +-例3利用提公因式法分解因式：（1）33xy y x - （2）32318x x -例4 把a 2﹣4a 多项式分解因式，结果正确的是（ ）A ．a （a ﹣4） B ． （a+2）（a ﹣2） C ． a （a+2）（a ﹣2） D ． （a ﹣2）2﹣4例5把多项式（m+1）（m ﹣1）+（m ﹣1）提取公因式（m ﹣1）后，余下的部分是（ ）A ． m+1B ． 2mC ． 2D ． m+2例6已知（19x ﹣31）（13x ﹣17）﹣（13x ﹣17）（11x ﹣23）可因式分解成（ax+b ）（8x+c ），其中a ，b ，c 均为整数，则a+b+c=（ ）A ． ﹣12B ． ﹣32C ． 38D ． 721．下列变形中,属于因式分解的是 （ ）A ．(a +b )(a －b )=a 2－b 2B ．x 2－y 2+4y －4=(x +y )(x －y )+4(y －1)C ．a 3－b 3=(a －b )(a +ab +b )D ．a 2－10a +10=a (a －10)+102． 49x 3y z 3+14x 2y 2z 2－21xy 2z 2在分解因式时应提取的公因式是 （ ）A ．7x 3y z 3B ．7x 2y 2z 2C ．7xy 2z 2D ．7xy z 23． 多项式0.5x(a －b)－0.25y(b －a)中,可提取公因式 （ ）A ．0.5x+0.25yB ．0.5x+0.25yC ．a+bD ．0.25(a －b)4． (－a )m +a (－a )m －1的值是 （ ）A ．1B ．－1C ．0D ．(－1)x+15． 下列各恒等变形中,是因式分解的是 （ ）A ．a 2－2ab +b 2=(a －b )2B ．(a +b )2=a 2+2ab +b 2C ．a 2b +ab 2+c=ab (a +b )+cD ．a 2－2ab +b 2－c=(a －b )2－c。
人教版数学八年级上册14.3.1因式分解-提取公因式 课件
针对训练：
（1）-x2y+yx-xy2 (2)-4x2+8ax+2x （3）-3ab+6abx-9aby
例2 、因式分解 2(a-b)2 -a+b =2(a-b)2-(a-b) =(a-b)[2(a-b)-1] =(a-b)(2a-2b-1)
点拨：提公因式时，将因式改变符号后，才能看出公因式。 针对训练:
提公因式法： 其中一个因式是各项的公因式m另一个因式 (a+b+c)是m(a+b+c)除以m所得的商．像这 种分解因式的方法叫做提公因式。 归纳：如果多项式各项都有公因式，可以把 这个公因式提出来，将多项式写成积的形式， 这就叫做提公因式分解因式。
指出下列各多项式中各项的公因式
⑴5xy-10x ⑵9y2+12y ⑶7x3y2-42x2y3 ⑷7(a-3)-b(a-3) 注意：1.公因式系数为各项系数的最 大公约数。 2.取各项相同的字母。 3.找出相同字母的最低次幂。
14.3 因式分解 14.3.1 提公因式
• 1.了解公因式的概念和因式分解的意义，培 养逆向思维的能力；
• 2.通过独立思考、小组交流，探究整式乘法 与因式分解的区别和联系；
• 3.掌握如何用提公因式来分解因式。
运用已学过的知识填空:
⑴ x(x-2)= X2-2x ;
⑵ (x+2)(x-2)= x2-4 ;
(1) a(x-y)-x+y (2) 7(x-3)-x(3-x) (3) (a-2)2-2a(2-a) (4)(x+y-z)(x-y+z)-(y+z-x)(z-x-y)
归纳总结: 分解因式的一般步骤：
1. 找出，找出应提取的公因式。 2. 除以，用多项式去除以公因式。 3. 整理，把多项式写成因式积的
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武汉市板桥中学 八上 数学 31 编写人：梁志慧 审核人：饶利斌 上课时间：2014—12-11
小组组长检查评分： 时间：
第 1 页 共 1 页 14.3.3 因式分解—公式法 （2） 课型：新课
班级 姓名_____________
学习目标 1、理解完全平方公式的形式和特点；2、正确运用完全平方公式把多项式分解因式；3、
灵活运用各种因式分解的方法对多项式进行因式分解。
学 习 过 程
学习
流程 学习内容
学习 笔记 学 【板块一】理解因式分解与整式乘法的关系
【学法指导1】自研教材P114的【探究】后完成下列问题
1、探究一：因式分解的定义
（1）计算下列各式：
①(x+1)（x －1）=____________； ②m (a ＋b ＋c )＝______________
（2）根据上面的算式把下列多项式写成积的形式：
①1x 2-＝( )( )； ②ma ＋mb ＋mc ＝( )( )；
2、上述（1）中由整式乘积的形式得到多项式的运算是_____________.上述（2）中由多
项式得到整式乘积形式。
把一个 化成几个 的 的形式，这种变形叫做
这个多项式的___________,也叫做把这个多项式____________。
【板块二】正确找出多项式的公因式
【学法指导2】自研教材P114的提公因式内容后完成下列问题
3、公因式的概念：
对于ma mb mc ++各项都含有一个公共的因式 ，我们把这个因式 叫做这个
多项式各项的 。
4、找公因式的方法：
思考：238b a 与c ab 3
12的公因式是
归纳找公因式的步骤：
系数： 公因式的系数是多项式各项系数的
字母： 公因式的字母取多项式各项中都含有的 字母。
指数： 相同字母的指数取各项中最 的一个，即字母最 次幂.
【板块三】运用提公因式法进行因式分解 【学法指导3】自研教材P115的【例1】和例2后完成下列各题
励志语：多数人的失败不是因为他们的无能，而是他的心志不专
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日清 练习 1.下列各式从左到右的变形为因式分解的有（ ）（填序号）
①4a (a ＋2b )＝4a 2＋8ab ； ②6ax －3ax 2＝3ax (2－x )； ③a 2－4＝(a ＋2)(a －2)；
④x 2－3x ＋2＝x (x －3)＋2； ⑤36ab a b a 1232∙= ⑥⎪⎭
⎫ ⎝⎛
+=+x a b x a bx 2.多项式ab c ab b a 161283
23+-的公因式是 。
3.多项式3
2x x +提取公因式x 后的另一个因式是（ ）
3.2A x 2.2B x
3.21C x + 2.21D x +
4.分解因式242x x -+的结果是( )． ().42A x x -+ .22B x x -
().221C x x -+ ().221D x x --
5.把下列各式分解因式：
（1）ab c ab b a 16128323+- （2）22912;x
y xyz -+
（3）()()222264.p
a b q a b +-+ (4)()()23;a y z b z y ---
(5)282;m
n mn + (6)-6a 2bc 3+4ac 2-12abc
6.如果多项式2x
mx n ++可因式分解为()()12x x +-，则,m n 的值为_____________
7.已知3,4,a b ab +==求2233a b ab +的值。
学教 反思。