2003年全国高中数学联赛

2003年全国高中数学联赛吉 林 赛 区 预 选 赛 试 卷（8月31日上午8：30—11：00）一、选择题（本题满分30分，每小题6分） 本题共有6小题，每题均给出了代号为（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的．将正确答案的代表字母填在题后的括号内．每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分． 1．若函数2()122cos 2sin f x a a x x =---的最小值为12，则()f x 的最大值是（A ）12（B ）72（C ）5 （D ）6【答】（ ）2．在平行四边形A B C D 所在平面外有一点P ，且P A P B P C P D ===，则A B C D 一定是 （A ）正方形（B ）矩形 （C ）菱形 （D ）有一个角是60 的平行四边形【答】（ ）３．已知数列{}n a 的前n 项和241n S n n =-+，则1210a a a +++ 的值是（A ）67 （B ）65 （C ）61 （D ）56【答】（ ）4．n 是正整数，123123n nn n n n n C C C C nC -+++++ （n-1）的值是 （A ）2n（n-1） （B ）1(1)2n n -- （C ）12n n +⋅ （D ）12n n -⋅【答】（ ）5．空间n 个点≥（n 4）不共面，没有三点共线的，有(1)n -个点共面，每两点连一直线，则组成异面直线有（ ）对．（A ）31n C - （B ）313n C - （C ）32n C （D ）214n C -【答】（ ）二、填空题（本题满分40分，每小题8分）本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上1．m R +∈，方程2224224410x y m x my m m +-+-+++=（）是若干个不同的圆，则它们的一条公切线方程是___________．2．在直角三角形ABC 中，(2,3)A B = ,(1,)A C k =，则实数k 的集合是____________．3．某街道有10盏路灯，为节约用电，可将其中5盏关掉，但为不影响照明，相邻两盏不能同时关掉，熄灯的不同方法有_____________．4、已知212x y +=，24log log x y+的最大值是____________．5、椭圆中心为坐标原点，长轴在x 轴上，离心率2e，P 为椭圆上一点，与点3(0,)2QP 点的坐标是______________． 三、（本题满分20分）如图，圆的两弦A C 、B D 交于M 点，射线A D 、B C 交于Q 点，过A 、B 分别作圆的切线得交点P ．求证：P 、M 、Q 三点共线．2003年全国高中数学联赛吉 林 赛 区 预 选 赛 参 考 答 案一、1．答：C ． 略解：22()2(cos )2122a af x x a =----221(22)2()14(2)1(2)a a a g a aa a ⎧----≤≤⎪⎪=⎨->⎪⎪<-⎩ 当1()2g a =，有212122aa ---=，1a =-．当cos 1x =时，max ()5f x =．2．答：B ．略解：如图，A B C D 为圆内接四边形,P 在平面A B C D 的射影为圆心O ．3．答：A ．略解：112a S ==-，125(2)n n n a S S n n -=-=-≥∴式子8(115)21135153672+=++++++=+= ．4．答：D ． 略解：1231121012123(1)2(1)2n nn n n nnn n n nn nn n n n n nS C C C C nC nC n C C C nC n C C C ----=+++++=+-+++=+-+++ （n-1）012112()22n n nn n n n n n S n C C C C C n S n --∴=+++++=⋅∴=⋅５．答：B ．略解：从共面的1n -个点取3个点与不共面的点组成一三棱锥，三棱锥有3对异面直线所以，异面直线共有313n C -．二、1．答：0y =或4340x y --=．略解：由已知得222(21)()x m y m m --+-=．圆心(21,)m m +到y kx b =+m =，即 222(34)2()(21)()0k k m k b k m k b -++-++=， 211234002()(21)00()0k k k k b k b k b ⎧-==⎧⎪∴+-=⇒⎨⎨=⎩⎪+=⎩或224343k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩0y ∴=或4340x y --=．2．答：2113,,332⎧±⎪-⎨⎪⎪⎩⎭． 略解：若90A ∠=，0AB AC ⋅= ,230k +=，23k =-;若1190,0,(1,3),23(3)0,3B A B BC B C k k k ∠=⋅==---+-==；若90,0,1(3)0,2C AC BC k k k ∠=⋅=-+-==．3．答：6种．略解：插空问题，先令5盏灯是亮的，则余下的5盏灯放在亮着的5盏灯所构成的6个空中，共有566C =．4．答：72．略解：12223322x x x y y =+=++≥=，24,128x y ∴≤≤．当242x y ==时，即8,2x y ==时，2x y 有最大值128，222444447log log log log log ()log 1282x y x y x y ∴+=+=≤=．５．答：（12-）．略解：2c e a==，2a b ∴=，椭圆方程为22221(0)x y a b ab+=>>．设P （x,y ）到Q 的距离为d ，则22232d x =+（y-）． 又2222(1)y x a b=-，代入上式，22213()43,2d y b b y b =-+++-≤≤．当[]1,,2b b -∈-即12b ≥时，222m ax1()432d f b =-=+=，1,2b a ∴==．椭圆方程为221,4xy +=12y ∴=-时，1()2x P =∴=-．三、证明：连结A B ,设直线QM 交A B 于K 点．AC BD QK 、、三点共线，1AK BC QDKB CQ DA∴⋅⋅= (塞瓦定理)， AK AD QCKBBC QD∴=⋅． QC QB QD QA ⋅=⋅ ,Q C Q A Q DQ B∴=．代入上式得：AK AD QAKBBC QB=⋅① 再设直线PQ 交A B 于K ‘点，记(),,QAx QBy x PA y PB αβ∠=∠=∈∈．易证：,ABD BAC αβ∠=∠=． 令圆直径为d ，易知,sin sin A D B C d A B DB A C==∠∠即sin sin sin sin AD BC AD BCααββ=⇒=，此时，''1sin sin 21sin sin 2APQ BPQPA Q A PAQS AKQ A Q A ADS Q B Q B BCK BPB Q B PBQαβ∆∆⋅⋅⋅∠===⋅=⋅⋅⋅⋅∠ ② 比较①，②可得''AKAK K BKB=,从而可判断'K 与K 必重合，进而知Q K 、'QK 必重合．M 点在直线Q K 上，P 点在直线'QK 上，而Q K 与'QK 重合， P ∴、M 、Q 三点必共线.四、证明：由于0，1，2， ，1n -是模n 的一个完全剩余系．因为(,)1n k =，所以0,1,2,,(1)k k k n k - 是模n 的一个完全剩余系． 设(m od )(1,2,,1)j jk r n j n ≡=- ，则11j r n ≤≤-，于是{}121,,n r r r M a a a -= ，．下面只须证明j r a 与1j ra + 奇偶性相同．由于1(1)(m od )j j r j k jk k r k n +≡+=+≡+． ⑴ 当j r k n +<时，则1j j r r k +=+，即1j j r r k +=-． 由条件⑵知1j r a +与1j ra +－ｋ奇偶性相同，即jr a 与1j ra +奇偶性相同．⑵ 当j r k n +>时，1j j r r k n +=+-， 于是有1j j r k r n +-=-．即1j j n r r k +-=-． 由⑵知1j r a +与1j rka +-奇偶性相同，jr a 与jn r a -奇偶性相同，所以1j ra +与jr a 奇偶性相同，因此M 中所有正整数奇偶性相同．五、解：由对称性，不妨设0x y z ≥≥≥，先将u 放缩，考虑4434434()40y z y y z z y y z z +≥++≥++≥有4444344443334()()0u x u x y y z z y z x y z y z yz x -≤-++=-=-≤（y+z ），于是有 444()(1)u x y z x x ≤+=-． 再由均值不等式有88(1)1122256x x u +-⎡⎤≤==⎢⎥⎣⎦． 考虑等号成立的条件，易知当12x y ==，0z =时，有1256u =．综上，u 的最大值为1256．六、解：令160,80n m ==．若一个人参加k 个团体，从这k 个团体中任取两个配对，共有2k C 对，以i k 表示第i 个人参加团体的个数，则1216m k k k n +++= ．而他们参加的团体的对数之和为1222222121221()821()821(16)8280885m k k k m m C C C k k n k k n m n nn n+++=++-≥++-=-⨯=- 假设这n 个团体中任意两个团体至多有3名公共的成员，那么上述的团体的对数之和不超过23n C ，即有：2281683,163,6555n n n C n n -≤-≤≤（n-1）与160n =矛盾．故，一定存在这样的两个团体，它们至少有4名共同的成员．。

2003年全国高中数学联赛试题2003．10．12一、 选择题1． 删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列. 这个数列的第2003项是（A ）2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 20492． 设,,0,a b R ab ∈≠那么直线0ax y b -+=和曲线22bx ay ab +=的图形是(A)(B)(C ) (D)3． 过抛物线()282y x =+的焦点F 作倾斜角为60︒的直线. 若此直线与抛物线交于A ，B 两点，弦AB 的中垂线与x轴交于P 点，则线段PF 的长等于 （A ）163(B)83 (D) 4． 若5,,123x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦则2tan tan cos 366y x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最大值是（A (C) 127 (D) 125 5． 已知,x y 在区间()2,2-内，且1,xy =-则函数224949u x y =+--的最小值是 （A ）85(B)2411 (C) 127 (D) 1256． 在四面体ABCD 中设1,AB CD ==，直线AB 与CD 的距离为2，夹角为3π，则四面体ABCD 的体积等于（A）2 (B) 12 (C) 13(D) 3二、填空题7．不等式322430x x x --+<的解集是______________8．设12,F F 是椭圆22194x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且12:2:1PF PF =，则12PF F ∆的面积等于_____________. 9. 已知 {}2430,,A xx x x R =-+<∈ (){}1220,2750,.x B x a x a x x R -=+≤-++≤∈若A B ⊆，则实数a 的取值范围是_____________. 10. 已知,,,a b c d 均为正整数，且35log ,log ,24a cb d ==若9a c -=，则b d -=____________.11. 将八个半径都为１的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于________. 12．设()_____________120.011,2,,1),1,n n i n M n a a a a i n a ⎧⎫=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-=⎨⎬⎩⎭十进制位纯小数只取或（n T 是n M 中元素的个数，n S 是n M 中所有元素的和，则limnn nS T →∞=________. 三、解答题13． 设35,2x ≤≤ 证明不等式<14．设A,B,C 分别是复数0121,,12Z ai Z bi Z ci ==+=+（其中,,a b c 都是实数）对应的不共线的三点. 证明：曲线4224012cos 2cos sin sin ()Z Z t Z t t Z t t R =++∈与ABC ∆中平行于AC 的中位线只有一个公共点，并求出此点.15. 一张纸上画有半径为R 的圆O 和圆内一定点A, 且OA=a, 折叠纸片，使圆周上某一点'A 刚好与A 点重合. 这样的每一种折法，都留下一条直线折痕. 当'A 取遍圆周上所有的点时，求所有折痕所在直线上点的集合.。

2003年全国高中数学联赛试题第一试2003年10月12日一、选择题本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。

1. 删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列. 这个数列的第2003项是 【答】（ ） （A ）2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 204922 ）3. 过抛物线()282y x =+的焦点F 作倾斜角为60︒的直线. 若此直线与抛物线交于A ，B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点，则线段PF 的长等于 【答】（ ） （A ）163 (B)83 (D) 4. 若5,,123x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦则2tan tan cos 366y x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最大值是（A (C) 127 (D) 125 【答】（ ） 5. 已知,x y 在区间()2,2-内，且1,xy =-则函数224949u x y =+--的最小值是 （A ）85 (B)2411 (C) 127 (D) 125【答】（ ） 6. 在四面体ABCD 中设1,AB CD ==AB 与CD 的距离为2，夹角为3π，则四面体ABCD 的体积等于 【答】（ ） （A (B) 12 (C) 13 (D) 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。

7．不等式322430x x x --+<的解集是______________8．设12,F F 是椭圆22194x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且12:2:1PF PF =，则12PF F ∆的面积等于_____________.9. 已知 {}2430,,A xx x x R =-+<∈ (){}1220,2750,.x B x a x a x x R -=+≤-++≤∈若A B ⊆，则实数a 的取值范围是_____________.10. 已知,,,a b c d 均为正整数，且35log ,log ,24a cb d ==若9a c -=，则b d -=____________.11. 将八个半径都为１的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于________.12．设()_____________120.011,2,,1),1,n n i n M n a a a a i n a ⎧⎫=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-=⎨⎬⎩⎭十进制位纯小数只取或（n T 是n M 中元素的个数，n S 是n M 中所有元素的和，则limnn nS T →∞=________. 三、解答题 （本题满分60分，每小题20分） 13． 设35,2x ≤≤ 证明不等式319.14．设A,B,C 分别是复数0121,,12Z ai Z bi Z ci ==+=+（其中,,a b c 都是实数）对应的不共线的三点. 证明：曲线 4224012cos 2cos sin sin ()Z Z t Z t t Z t t R =++∈与ABC ∆中平行于AC 的中位线只有一个公共点，并求出此点.15. 一张纸上画有半径为R 的圆O 和圆内一定点A, 且OA=a, 折叠纸片，使圆周上某一点'A 刚好与A 点重合. 这样的每一种折法，都留下一条直线折痕. 当'A 取遍圆周上所有的点时，求所有折痕所在直线上点的集合.2003年全国高中数学联赛加试试题第二试一、（本题满分50分）过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A, B. 所作割线交圆于C, D 两点，C 在P, D 之间. 在弦CD 上取一点Q, 使.DAQ PBC ∠=∠ 求证：.DBQ PAC ∠=∠ 二、（本题满分50分）设三角形的三边长分别是整数,,,l m n 且.l m n >>已知444333,101010l m n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫==⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭其中{}[],x x x =-而[]x 表示不超过x 的最大整数. 求这种三角形周长的最小值.三、（本题满分50分）由n 个点和这些点之间的l 条连线段组成一个空间四边形，其中21,n q q =++()2111,2,.2l q q q q N ≥++≥∈已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有2q +条连线段. 证明：图中必存在一个空间四边形（即由四点A,B,C,D 和四条连线段AB,BC,CD,DA 组成的图形）2003年全国高中数学联赛第一试参考答案提示：1. 注意到2025452=,2116462=,故20484520032003=+=a ;2. 题设方程可化为b ax y +=和122=+by a x ,观察图形可知；3. 易知直线AB 的方程为x y 3=,因此A,B 两点的横坐标满足方程016832=--x x ,从而弦AB 中点的横坐标为340=x ,纵坐标340=y ,进而求得中垂线方程之后，令y=0，得点P 的横坐标即PF=316； 4. 原函数可化为⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6cos 342sin 2ππx x y ,可以证明函数在已知的区间上为增函数，故当3π-=x 时，y 取最大值3611; 5. 消去y 之后可得：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=224937351x x u ,用基本不等式可求得函数u 的最小值512; 6. 可用等积法求得，过程略。

2003年全国高中数学联合竞赛试卷一．选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每题均给出A 、B 、C 、D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分)。

1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个新数列的第2003项是A ．2046B ．2047C ．2048D ．2049 答（ ）2．设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么直线ax －y ＋b ＝0和曲线bx 2＋ay 2＝ab 的图形是A B 答（ ）3．过抛物线y 2＝8(x ＋2)的焦点F 作倾斜角为60o 的直线，若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点，则线段PF 的长等于A ．316 B ．38 C ．3316 D ．38答（ ）4．若)3,125(ππ--∈x ，则)6cos()6tan()32tan(πππ+++-+=x x x y 的最大值是 A ．5212 B ．6211 C ．6311 D ．5312答（ ）5.已知x ，y 都在区间(－2，2)内，且xy ＝－1，则函数229944y x u -+-=的最小值是 A ．58B ．1124C 712．D ．512 答（ ）6.在四面体ABCD 中，设AB ＝1，CD ＝3，直线AB 与CD 的距离为2，夹角为3π，则四面体ABCD 的体积等于 A ．23 B ．21 C ．31 D ．33 答（ ）二．填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。

7．不等式 | x | 3－2x 2－4| x | ＋3 < 0 的解集是____________________．8．设F 1，F 2是椭圆14922=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1| : |PF 2|＝2 : 1，则三角形∆PF 1F 2的面积等于______________．9．已知A ＝{x ｜x 2－4x ＋3＜0，x ∈R }，B ＝{x ｜21－x ＋a ≤0，x 2－2(a ＋7)＋5≤0，x ∈R }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是___________________．10．已知a ，b ，c ，d 均为正整数，且45log 23log ==d b c a ，，若a －c ＝9，则b －d ＝ ．11．将8个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于______________．12．设M n ＝{(十进制)n 位纯小数n a a a Λ21.0｜a i 只取0或1（i ＝1，2，…，n －1，a n ＝1}，T n 是M n 中元素的个数，S n 是M n 中所有元素的和，则nnn T S ∞→lim ＝_______． 三．解答题（本题满分60分，每小题20分）13．设23≤x ≤5，证明不等式1923153212<-+-++x x x ． 14．设A ，B ，C 分别是复数Z 0＝ai ，Z 1＝21＋bi ，Z 2＝1＋ci （其中a ，b ，c 都是实数）对应的不共线的三点，证明：曲线Z ＝Z 0cos 4t ＋2Z 1cos 2t sin 2t ＋Z 2sin 4t （t ∈R ） 与∆ABC 中平行于AC 的中位线只有一个公共点，并求出此点．15. 一张纸上画有半径为R 的圆O 和圆内一定点A ，且OA ＝a . 拆叠纸片，使圆周上某一点A / 刚好与A 点重合，这样的每一种拆法，都留下一条直线折痕，当A /取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．2003年全国高中数学联合竞赛试卷试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两；其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准当划分档次评分，5分为一个档次。

x - 1 DA3 22003 年全国高中数学联赛天津赛区初赛一、选择题(每小题5 分,共30 分)1. 已知函数f ( x) =则f ( x) 可化简为( ) .(A) cos 2 x (B) sin 2 x b cos B , A≠B ,则△ABC 的内切圆半径等于.9. 已知f ( x)=2 x + 3. 若y = g ( x) 的图像与y = f -1( x + 1) 的图像关于直线y = x 对称,则g (3) 的值等于.10. 若集合 A = { x| - 2 ≤x ≤5} , B = { x| m + 1 ≤(C) cos x - sin x (D) cos x2 - sinx2 x ≤2 m - 1} ,且 A ∩B = B ,则实数m 的取值范围是2.已知正数a1, a2, , a7构成等比数列. 若前5 项的和为7 2 + 6 ,后5 项的和为14 2 + 12 ,则a6等于( )(A) 4 (B) 4 2 (C) 8 (D) 8 23.已知正三棱柱ABC - A1B1C1中, E 是BC 的中点, D 是AA1上的一个动点,且AD = m . 若A E ∥1平面DB 1C ,则m 的值等于( ) ..11.已知点A ( m , n) 在直线x + 3 y = 41 上,其中0 < n < m . 若点A 关于直线y = x 的对称点为B ,点B 关于y 轴的对称点为C ,点C 关于x 轴的对称点为D ,点D 关于y 轴的对称点为E ,且五边形ABCDE 的面积为451 ,则点A 的坐标为.12.设{ a n}是各项均为正整数的等差数列,项数为奇数,公差不为零,且各项之和等于2 004. 则该数(A) 13 (B) 12(C) 23(D)1列的第2 项a2的值等于.三、解答题(每小题20 分,共60 分)4. 有20 张卡片分别写着数字1 ,2 , ,19 ,20. 将它们放入一个盒中,有4 个人从中各抽取一张卡片, 取到两个较小数字的二人在同一组,取得两个较大数字的二人在同一组. 若其中二人分别抽到 5 和14 , 则此二人在同一组的概率等于( ) .解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.13.关于x 的不等式a2+ 2 a - sin2 x - 2 a cos x > 2 的解集是全体实数. 求实数 a 的取值范围.x2 y214.已知A ( x1, y1) 、B ( x2, y2) 是椭圆a2+b2=(A) 12 (B) 251(C) 551(D) 7511 ( a > b > 0) 上的两个动点, O 为坐标原点,且OA ⊥OB . 求线段AB 长的最小值.5.设二次函数f ( x) = ax2+ bx + c (其中 a 、b 、c 为整数) ,有 4 个学生计算函数值, 甲得到: f ( 7) = - 1 ;乙得到: f (1)= 3 ; 丙得到: f (4)= - 4 ; 丁得到: f (2) = 4. 其中有且仅有1 个学生计算错误,则计算错误的学生是( ) .(A) 甲(B) 乙(C) 丙(D) 丁6.在4 到18 之间选择两个不同的质数,然后用它们的乘积减去它们的和,得到的数可以是( ) .(A) 21 (B) 60 (C) 119 (D) 231二、填空题(每小题5 分,共30 分)7.函数f ( x) = log1 ( x2- 5 x + 6) 的单调递增区间为.8.在△ABC 中, ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c. 若 a 、b 、c 成等差数列,且 c = 10 , a cos A =15. 已知函数 f ( x) = x2+ x - 2.(1)试求函数g ( x) = | f( x) | - f ( x)的解析式;(2)若a > 0 时,直线y = ax + b 与曲线y = g ( x) 交于三个不同的点,试确定 a 与b 的关系式,并画图表示以 a 、b 为坐标的点( a , b) 所在的区域.参考答案一、1. A.因为sin4 x + 4cos2 x = ( sin2 x - 2) 2 ,所以,sin4 x + 4cos2 x = 2 - sin2 x .同理, cos4 x + 4sin2 x = 2 - cos2 x .故 f ( x) = cos2 x - sin2 x = cos 2 x .2.C.sin4 x + 4cos2 x - cos4 x + 4sin2 x .3 x - 222 2x - 1 22004 年第 2 期 37因 为 a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5= a 1 (1 + q + q 2 + q 3 + q 4 ) = 7 a 3 + a 4 + a 5 + a 6 + a 7+ 6 ,T + 1 = 232 = 2 ×116 = 4 ×58不合题意 ,所以 ,T + 1 = 120 = (11 - 1) ×(13 - 1) , T = 119.= a 1 q 2 (1 + q + q 2 + q 3 + q 4 ) = 14 2+ 12 ,二 、7. ( - ∞,2) .因为函数 f ( x ) = log 1 ( x 2 - 5 x + 6) 的定义域为二式相除 ,得 q = 2. 3x 2- 5 x + 6 > 0 , 即 x < 2 或 x > 3. 又 x 2 - 5 x + 6 =又 a 1 , a 2 ,, a 7 是正数 ,则 q = 2 . 代入上式 ,可得 a 1 = 2 . 所以 , a 6 = a 1 q 5 = 8.3. D.5 21 5x - 2 - 4 , 其递减区间为 - ∞, 2, 所以 ,f x = log 1 ( x 2 - 5 x + 6) 的单调递增区间为 过 AA 1 、A E 作平面 A 1 A EF 与平面 BCC 1 B 1 交于EF . 设 EF 与 B 1 C 交于点 O ,连结 DO . 因为 AA 1 ∥平面 BCC 1 B 1 , A E ∥平面 DB 1 C ,所以 ,AA 1 ∥EF , A E ∥DO .故四边形 A EOD 是平行四边形 ,即 AD = EO . 又因为 E 是 BC 的中点 , 所以 , O 为 B 1 C 的中点 ,也是 EF 的中点 ,即 AD = EO = 1 EF = 1AA 1 ., AD = m = 1. DA 14. D.由于有二人分别抽到 5 和 14 两张卡片 另外二 人需从剩下的 18 张卡片中抽取 ,共有 18 ×17 种情况. 若抽取 5 和 14 的二人在一组 ,则有两种情况.(1) 5 和 14 为较小数 ,另二人需从 15～20 的 6张卡片当中抽取 ,有 5 ×6 种 ;(2) 5 和 14 为较大数 ,另二人需从 1～4 的 4 张卡片当中抽取 ,有 3 ×4 种 ;于是 ,抽到 5 和 14 两张卡片的二人在同一组的 5 ×6 + 3 ×4 = 7 .18 ×17 515. B.因 为 f ( m ) - f ( n ) = ( m - n ) ( am + an + b ) , 则( m - n ) | ( f ( m ) - f ( n ) ) .验 证 : (7 - 1) 8 ( - 1 - 3) , (7 - 4) | ( - 1 + 4) ,(7 - 2) | ( - 1 - 4) , (1 - 4) 8 (3 + 4) , (1 - 2) | (3 - 4) , (4 - 2) | ( - 4 - 4) .于是 ,乙计算错误.6. C.设选择的两个质数为 x 、y ,所得到的数为 T ,则T = xy - ( x + y ) . 于 是 ,T + 1 = xy - x - y + 1 = ( x - 1) ( y - 1) .因为 x 、y 均为大于 4 的质数 , 则 x 、y 均为奇数 , ( x - 1) 、( y - 1) 均为偶数. 所以 ,4| ( T + 1) . 然而 ,4822 ,4861 ,4| 120 ,4| 232 ,又 ( - ∞,2) .8. 2.设 △ABC 的内切圆半径为 r . 因为 a cos A =b cos B ,根据正弦定理 ,得 b sin A = a sin B . 所以 ,sin 2 A = sin 2 B .因为 A ≠B ,则 A + B = 90°. 所以 , △ABC 是直角三角形 , ∠C = 90°, a 2 + b 2 = c 2 .又因为 c = 10 ,且 a 、b 、c 成等差数列 ,所以 ,a = 6 ,b = 8 , (8 - r ) + (6 - r ) = 10.解得 r = 2.9. 7 .2由已知得 y = f ( x ) 的反函数为 f - 1 ( x ) = x + 3. 所以 ,f - 1 ( x + 1) =x + 4.x - 1又 g ( x ) 为 f - 1 ( x + 1) 的反函数 ,求 g (3) 的值 , 即解方程 3 =x + 4 ,于是 , g (3) = 7. 10. m ≤3.由 A ∩B = B ,可知 B 是 A 的子集. 当 B = Ø时 , m + 1 > 2 m - 1 ,得 m < 2 ; 当 B ≠Ø时 ,有- 2 ≤m + 1 , 2 m - 1 ≤5 , m + 1 ≤2 m - 1.解得 2 ≤m ≤3. 所以 m ≤3.11. (11 ,10) .由对称性可得 B ( n , m ) 、C ( - n , m ) 、D ( - n ,- m ) 、 E ( n , - m ) .五边形 ABCDE 的面积为S 五边形ABCDE = 2 m ×2 n +1×2 m ×( m - n ) = m ( m + 3 n ) = 41 m ,故 41 m = 451. 所以 , m = 11 , n = 10.2 2 因此概率等于π221 12 2 2 2 2θ 2 2 1 θ 因此 ,点 A 的坐标为(11 ,10) .12. 668.设等差数列的首项和公差分别为 a 和 d ,项数 为 n , 则 na + 1 n ( n - 1) d = 2 004 , 即a 2b 2 ( a 2 + b 2)= ( a 4 + b 4 ) sin 2θ·cos 2θ+ a 2 b 2 ( s in 4θ+ cos 4θ) a 2 b 2 ( a 2 + b 2 )= ( a 4 + b 4) sin 2θ·cos 2θ+ a 2 b 2 (1 - 2sin 2θ·cos 2θ) a 2 b 2 ( a 2 + b 2 )[ 2 a + ( n - 1) d ] n = 2 004 ×2 = 23×3 ×167.≠= ( a 2 - b 2 ) 2 sin 2θ·cos 2θ+ a 2 b 24 a 2 b 2 ( a 2 + b 2 )由于 n 为奇数 , d 0 ,= ( a 2- b 2 ) 2 sin 2 2θ+ 4 a 2 b 2当 n = 501 时 , a + 250 d = 4 ,不合题意 ; 当 n = 167 时 , a + 83 d = 12 ,不合题意 ; 当 n = 3 时 , a + d = 4 ×167 = 668. 4 a 2 b 2 ( a 2 + b 2 ) ( a 2 + b 2 ) 2.当且仅当θ= kππ( k ∈Z ) 时等号成立. 所以 , a 2 = 668.三、13. 设 t = cos x ,则原不等式化为 t 2 - 2 at + a 2 + 2 a - 3 > 0 , t ∈[ - 1 ,1 ] .±4因此 ,线段 AB 长的最小值为2 aba 2 +b 2a 2 +b 2.于是 ,所求问题转化为函数 f ( t ) = t 2 - 2 at + a 2 +2 a -3 在 t ∈[ - 1 ,1 ]上的最小值是正数.15. (1) g ( x ) =0 ,x ≤- 2 或 x ≥1 ,- x 2 - x + 2 , - 2 < x < 1.因为函数 f ( t ) = ( t - a ) 2+ 2 a - 3 ,所以 ,只须对该函数的图像(抛物线) 的对称轴 t = a 相对于区间[ - 1 ,1 ]的 3 种位置分别讨论.(1) 当 a ≤- 1 时 ,函数 f ( t ) 在 t ∈[ - 1 ,1 ]上是增函数 ,此时最小值为 f ( - 1) . 所以 ,a ≤- 1 ,f ( - 1) = a 2 + 4 a - 2 > 0.解 得 a < - 2 - 6 .(2) 当 - 1 < a < 1 时 ,函数 f ( t ) 在 t ∈[ - 1 ,1 ]上的最小值为 f ( a ) . 所以 ,- 1 < a < 1 , f ( a ) = 2 a - 3 > 0.此时 , a 的值不存在.(3) 当 a ≥1 时 ,函数 f ( t ) 在 t ∈[ - 1 ,1 ]上是减函数 ,此时最小值为 f (1) . 所以 ,a ≥1 ,f (1) = a 2 - 2 > 0.解得 a > 2 .因此 ,满足条件的 a 的取值范围为 a < - 2 - 或 a > 2 .14. 根 据 题 意 不 妨 设 A ( r 1 cos θ, r 1 sin θ) , π(2) 由题设条件 , a > 0 时 ,直线 y = ax + b 与曲线 y = g ( x ) 交于三个不同的点 ,只须直线与曲线在- 2 < x < 1 的范围内有两个交点. 由方程组y = ax + b ,y = - x 2 - x + 2 ( - 2 < x < 1) ,消去 y ,得x 2 + ( a + 1) x + b - 2 = 0.于是 ,只须二次函数 φ( x ) = x 2 + ( a + 1) x + b- 2 的图像在 - 2 < x < 1 的范围内与 x 轴有两个交点. 此时 , a 、b 应同时满足以下条件 :Δ = ( a + 1) 2 - 4 ( b - 2) > 0 ,- 2 < - a + 1 < 1 , 2φ( - 2) > 0 , φ(1) > 0 ,b <1( a + 1) 2 + 2 , 4即 - 3 < a < 3 , b > 2 a , b > - a .又已知 a > 0 , 所 以 , 2 a < b <1 ( a + 1)2 + 2 ,且 0B r 2 cos θ+2 , r 2 sin θ+,则4B ( - r sin θ, r cos θ) , A B 2 = r 2 + r 2 , < a < 3 即为所求. 2 r 2 cos 2θ a2 + r 2 sin 2θ a 2 + 2r 2 sin 2θ b 2 r 2 cos 2θ b 2= 1 , r 2 == 1 , r 2= 1 2a 2b 2b 2 cos 2θ+ a 2 sin 2θ, a 2 b 2 b sin + a cos . 以 a 、b 为坐标 的点 ( a , b ) 所在的区域为图 1 中阴影 图 1部分(不含边界) .2 2a 2b 2 ( a 2 + b 2) (李果民 提供)6 ≥故r1 + r2 =( b2cos2θ+ a2sin2θ) ( b2s in2θ+ a2cos2θ)。

2003年全国高中数学联合竞赛试卷一．选择题（本题满分36分，每小题6分）本题共有6小题，每题均给出A 、B 、C 、D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分)。

1．删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个新数列的第2003项是A ．2046B ．2047C ．2048D ．2049 答（ ）2．设a ，b ∈R ，ab ≠0，那么直线ax －y ＋b ＝0和曲线bx 2＋ay 2＝ab 的图形是A B 答（ ）3．过抛物线y 2＝8(x ＋2)的焦点F 作倾斜角为60o 的直线，若此直线与抛物线交于A 、B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点，则线段PF 的长等于A ．316 B ．38 C ．3316 D ．38答（ ）4．若)3,125(ππ--∈x ，则)6cos()6tan()32tan(πππ+++-+=x x x y 的最大值是A ．5212B ．6211C ．6311D ．5312答（ ）5.已知x ，y 都在区间(－2，2)内，且xy ＝－1，则函数229944y x u -+-=的最小值是 A ．58 B ．1124 C712． D ．512 答（ ）6.在四面体ABCD 中，设AB ＝1，CD ＝3，直线AB 与CD 的距离为2，夹角为3π，则四面体ABCD 的体积等于A ．23B ．21C ．31D ．33 答（ ）二．填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。

7．不等式 | x | 3－2x 2－4| x | ＋3 < 0 的解集是____________________．8．设F 1，F 2是椭圆14922=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的点，且|PF 1| : |PF 2|＝2 : 1，则三角形∆PF 1F 2的面积等于______________．9．已知A ＝{x ｜x 2－4x ＋3＜0，x ∈R }，B ＝{x ｜21－x ＋a ≢0，x 2－2(a ＋7)＋5≢0，x ∈R }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是___________________．10．已知a ，b ，c ，d 均为正整数，且45log 23log ==d b c a ，，若a －c ＝9，则b －d ＝ ．11．将8个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于______________．12．设M n ＝{(十进制)n 位纯小数n a a a 21.0｜a i 只取0或1（i ＝1，2，…，n －1，a n ＝1}，T n 是M n 中元素的个数，S n 是M n 中所有元素的和，则nnn T S ∞→lim ＝_______． 三．解答题（本题满分60分，每小题20分）13．设23≢x ≢5，证明不等式1923153212<-+-++x x x ． 14．设A ，B ，C 分别是复数Z 0＝ai ，Z 1＝21＋bi ，Z 2＝1＋ci （其中a ，b ，c 都是实数）对应的不共线的三点，证明：曲线Z ＝Z 0cos 4t ＋2Z 1cos 2t sin 2t ＋Z 2sin 4t （t ∈R ） 与∆ABC 中平行于AC 的中位线只有一个公共点，并求出此点．15. 一张纸上画有半径为R 的圆O 和圆内一定点A ，且OA ＝a . 拆叠纸片，使圆周上某一点A / 刚好与A 点重合，这样的每一种拆法，都留下一条直线折痕，当A /取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合．2003年全国高中数学联合竞赛加试试卷一．（本题满分50分）过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A ，B 所作割线交圆于C ，D 两点，C 在P ，D 之间，在弦CD 上取一点Q ，使∠DAQ ＝∠PBC．求证：∠DBQ ＝∠P AC ．二．（本题满分50分）设三角形的三边分别是整数l ，m ，n ，且l ＞m ＞n ，已知}103{}103{}103{444nm l ==，其中{x }＝x －[x ]，而[x ]表示不超过x 的最大整数．求这种三角形周长的最小值．三．（本题满分50分）由n 个点和这些点之间的t 条连线段组成一个空间图形，其中n ＝q 2＋q ＋1，t ≣1)1(212++q q ，q ≣2，q ∈N ，已知此图中任圆点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q ＋2条连线段，证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A ，B ，C ，D 和四条连线段AB ，BC ，CD ，DA 组成的图形）．PABC Q2003年全国高中数学联合竞赛试卷试题参考答案及评分标准说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分和0分两；其它各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次．2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时可参照本评分标准当划分档次评分，5分为一个档次。

03年第二试一、过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A、B，所作割线交圆于C、D两点，C在P、D之间．在弦CD上取一点Q，使∠ＤＡＱ＝∠ＰＢＣ．求证：∠ＤＢＱ＝∠ＰＡＣ． 标准答案：如图1，连结AB，在△ＡＤＱ和△ＡＢＣ中，∠ＡＤＱ＝∠ＡＢＣ，∠ＤＡＱ＝∠ＰＢＣ＝∠ＣＡＢ，故△ＡＤＱ∽△ＡＢＣ，有ＢＣ／ＡＢ＝ＤＱ／ＡＤ，即ＢＣ·ＡＤ＝ＡＢ·ＤＱ．图1又由割线关系知，△ＰＣＡ∽△ＰＡＤ，故ＰＣ／ＰＡ＝ＡＣ／ＡＤ．同理，由△ＰＣＢ∽△ＰＢＤ，得ＰＣ／ＰＢ＝ＢＣ／ＢＤ．又ＰＡ＝ＰＢ，故ＡＣ／ＡＤ＝ＢＣ／ＢＤ，即ＡＣ·ＢＤ＝ＢＣ·ＡＤ＝ＡＢ·ＤＱ．在圆内接四边形ＡＣＢＤ中，由托勒密定理，得ＡＣ·ＢＤ＋ＢＣ·ＡＤ＝ＡＢ·ＣＤ．∴ＡＢ·ＣＤ＝２ＡＢ·ＤＱ，故ＤＱ＝1／2ＣＤ，即ＣＱ＝ＤＱ．在△ＣＢＱ和△ＡＢＤ中，ＡＤ／ＡＢ＝ＤＱ／ＢＣ＝ＣＱ／ＢＣ，∠ＢＣＱ＝∠ＢＡＤ，于是，△ＣＢＱ∽△ＡＢＤ，故∠ＣＢＱ＝∠ＡＢＤ，即∠ＤＢＱ＝∠ＡＢＣ＝∠ＰＡＣ．别证1：(陕西杨天旭李少冰(学生) 江苏沈雪明)如图1，连结ＡＢ．∵∠ＰＱＡ＝∠ＱＤＡ＋∠ＱＡＤ＝∠ＡＢＣ＋∠ＰＢＣ＝∠ＰＢＡ，∴Ｐ、Ａ、Ｑ、Ｂ四点共圆．从而∠ＰＱＢ＝∠ＰＡＢ．又∠ＰＡＢ＝∠ＰＡＣ＋∠ＢＡＣ＝∠ＰＡＣ＋∠ＣＤＢ，∠ＰＱＢ＝∠ＣＤＢ＋∠ＤＢＱ，∴∠ＤＢＱ＝∠ＰＡＣ．说明：由以上证明过程不难发现，从点P向圆引的两条切线这一条件并未用上，这说明题设中的这一条件可以减弱，即A、B可以不是切点，只要在圆上 即可．别证2：(山东张洪杰李琳陕西刘天恩胡忠新王勇)如图1，连结ＡＢ．∵∠ＤＡＱ＝∠ＰＢＣ＝∠ＣＡＢ，∠ＡＤＣ＝∠ＡＢＣ，∴ △ＡＤＱ∽△ＡＢＣ．∴ ＡＤ／ＡＢ＝ＤＱ／ＢＣ，即ＡＤ·ＢＣ＝ＡＢ·ＤＱ， 又∠ＰＡＣ＝∠ＰＤＡ，∴ △ＰＡＣ∽△ＰＤＡ． ∴ ＡＣ／ＡＤ＝ＰＡ／ＰＤ， 同理，ＢＣ／ＢＤ＝ＰＢ／ＰＤ．∵ ＰＢ＝ＰＡ，∴ ＡＣ／ＡＤ＝ＢＣ／ＢＤ，即ＡＤ·ＢＣ＝ＡＣ·ＢＤ． ∴ ＡＣ·ＢＤ＝ＡＢ·ＤＱ，即ＡＣ／ＡＢ＝ＤＱ／ＤＢ． 又 ∠ＣＡＢ＝∠ＣＤＢ，∴ △ＱＤＢ∽△ＣＡＢ， ∴ ∠ＤＢＱ＝∠ＣＢＡ＝∠ＰＡＣ． 别证3：(江苏 沈雪明)如图1，连结ＡＢ，则Ｓ△ＰＡＣ／Ｓ△ＰＢＣ＝Ｓ△ＡＤＱ／Ｓ△ＢＤＱ，即(1／2ＰＡ·ＡＣｓｉｎ∠ＰＡＣ)／(1／2ＰＢ·ＢＣｓｉｎ∠ＰＢＣ)＝(1／2ＡＤ·ＤＱｓｉｎ∠ＡＤＱ)／(1／2ＢＤ·ＤＱｓｉｎ∠ＢＤＱ)， ∴ ＡＣ／ＢＣ＝ＡＤ／ＢＤ．∵ ∠ＤＡＱ＝∠ＰＢＣ＝∠ＣＡＢ，∠ＡＢＣ＝∠ＡＤＱ， ∴ △ＡＤＱ∽△ＡＢＣ，∴ ＡＣ／ＢＣ＝ＡＱ／ＤＱ． ∴ ＡＤ／ＢＤ＝ＡＱ／ＤＱ． 又 ∠ＤＡＱ＝∠ＰＡＣ＝∠ＢＤＱ， ∴ △ＤＡＱ∽△ＤＢＱ． ∴ ∠ＤＢＱ＝∠ＡＤＱ．∵ ∠ＡＤＱ＝∠ＰＡＣ，∴ ∠ＤＢＱ＝∠ＰＡＣ．二、设三角形的三边长分别是整数ｌ、ｍ、ｎ，且ｌ＞ｍ＞ｎ，已知｛３l／１04｝＝｛３ｍ／１04｝＝｛３n ／１04｝，其中｛ｘ｝＝ｘ－［ｘ］，而［ｘ］表示不超过ｘ的最大整数．求这种三角形到周长的最小值．标准答案：由题设可知３l／１04－［３l／１04］＝３ｍ／１04－［３ｍ／１04］＝３n／１04－［３n／１04］，于是 ３l≡３ｍ≡３n（ｍｏｄ１04）３l ≡３ｍ≡３n （ｍｏｄ２4），① ３l ≡３ｍ≡３n （ｍｏｄ５4）， ②由于（３，２）＝（３，５）＝１， ∴ 由①可知３ｌ－ｎ≡３ｍ－ｎ≡１（ｍｏｄ２4）．现在设ｕ是满足３ｕ≡１（ｍｏｄ２4）的最小正整数，则对任意满足３ ｖ≡１（ｍｏｄ２4）的正整数ｖ，我们有ｕ｜ｖ，即ｕ整除ｖ．事实上，若ｕｖ，则由带余除法可知，存在非负整数ａ及ｂ，使得ｖ＝ａｕ＋ｂ，其中0＜ｂ≢ｕ－１，从而可推出３ｂ≡３ｂ＋ａｕ≡３ｖ≡１（ｍｏｄ２4），而这显然与ｕ的定义矛盾，所以ｕ｜ｖ．注意到３≡３（ｍｏｄ２4），３2≡９（ｍｏｄ２4），３3≡２７≡１１（ｍｏｄ２4），３4≡１（ｍｏｄ２4）从而可设ｍ－ｎ＝４ｋ，其中ｋ为正整数． 同理可由②推出 ３ｍ－ｎ≡１（ｍｏｄ５4）．故３４ｋ≡１（ｍｏｄ５4）．现在我们求满足３４ｋ≡１（ｍｏｄ５4）的正整数ｋ．因为３4＝１＋５×２4，所以３４ｋ－１＝（１＋５×２4）ｋ－１≡0（ｍｏｄ５4），即５ｋ×２4＋ｋ（ｋ－１）／２×５2×２8＋ｋ（ｋ－１）（ｋ－２）／６×５3×２12≡５ｋ＋５2ｋ［３＋（ｋ－１）×２7］＋ｋ（ｋ－１）（ｋ－２）／３×５3×２11≡0（ｍｏｄ５4），或 ｋ＋５ｋ［３＋（ｋ－１）×２7］＋ｋ（ｋ－１）（ｋ－２）／３×５2×２11≡0（ｍｏｄ５3），即有 ｋ＝５ｔ，并代入该式得ｔ＋５ｔ［３＋（５ｔ－１）×２7］≡0（ｍｏｄ５2）， 即有 ｔ≡0（ｍｏｄ５2），即 ｋ＝５ｔ＝５3ｓ，其中ｓ为正整数， 故 ｍ－ｎ＝５00ｓ，ｓ为正整数， 同理可证 ｌ－ｎ＝５00ｒ，ｒ为正整数． 由于 ｌ＞ｍ＞ｎ，所以有ｒ＞ｓ．这样一来，三角形的三个边为５00ｒ＋ｎ、５00ｓ＋ｎ和ｎ．由于两边之差小于第三边，故ｎ＞５00（ｒ－ｓ），因此，当ｓ＝１，ｒ＝２，ｎ＝５0１时三角形的周长最小，其值为（１000＋５0１）＋（５00＋５0１）＋５0１＝３00３． 别解1：（陕西 党效文）解1 由题设可知３l≡３ｍ≡３n（ｍｏｄ１04）３l ≡３m ≡３n （ｍｏｄ２4），① ３l ≡３m ≡３n （ｍｏｄ５4）． ②由于（３，２）＝（３，５）＝１， 所以由①可得３ｌ－n≡３m －n≡１（ｍｏｄ２4）．由同余的性质可知：３ｕ≡１（ｍｏｄ２4），３ｖ≡１（ｍｏｄ２4），且ｕ，ｖ∈Ｎ＋，ｕ＜ｖｕ｜ｖ． 易知３４ｋ1≡１（ｍｏｄ２4），（ｋ1∈Ｎ＋），３４ｋ2≡１（ｍｏｄ５4）（ｋ2∈Ｎ＋）．因为φ（５4）＝５4（１－１／５）＝５00，所以由欧拉定理知３500≡１（ｍｏｄ５4）． 而即３125１（ｍｏｄ１04）同时１04＝２4×５4，（２4，３125）＝１．所以３125１（ｍｏｄ５4）．即３４ｋ2≡１（ｍｏｄ５4）中最小的正整数４ｋ2＝５00．设ｍ－ｎ＝５00ｓ，ｌ－ｎ＝５00ｒ（ｒ、ｓ∈Ｎ＋）．由ｌ＞ｍ＞ｎ，所以ｒ＞ｓ．因而三角形三边为５00ｒ＋ｎ，５00ｓ＋ｎ和ｎ，同时５00ｓ＋ｎ＋ｎ＞５00ｒ＋ｎｎ＞５00ｃｒ－ｓ．所以，当ｓ＝１，ｒ＝２，ｎ＝５0时，三角形的周长最小，其值为１000＋５0１＋５00＋５0１＋５0１＝３00３．别解2：(陕西刘天恩胡忠新王勇 党效文)∵｛３l／１04｝＝｛３ｍ／１04｝＝｛３n／１04｝，（ｌ，ｍ，ｎ∈Ｎ*，且ｌ＞ｍ＞ｎ），∴３l／１04－３m／１04＝ｐ∈Ｎ*，３m／１04－３n／１04＝ｑ∈Ｎ*．即３m（３l-m－１）＝ｐ·１04，３n（３m-n－１）＝ｑ·１04．∵（３，１0）＝１，∴（３m，１04）＝１．即１04３m．故必有１04｜３l-m－１．同理，１04｜３m-n－１．∵１04｜３l-m－１３l-m≡１（ｍｏｄ１04）３l-m＝１04ｕ＋１，（ｕ∈Ｎ*），∴３l-m的末位数必是１ｌ－ｍ＝４ｒ（ｒ∈Ｎ*）．∴３４ｒ≡１（ｍｏｄ１04）（１0－１）２ｒ≡１（ｍｏｄ１04）．由二项式定理及组合数的性质，得（１0－１）2r＝１04（１02r-4－Ｃ1２ｒ·１02ｒ－5＋…＋Ｃ2ｒ－4２ｒ）－１000Ｃ32ｒ＋１00Ｃ22r －１0Ｃ12ｒ＋１．∴（１0－１）2r≡１（ｍｏｄ１04）－１000Ｃ32r＋１00Ｃ22r－１0Ｃ12r＋１≡１（ｍｏｄ１04）１00Ｃ32r－１0Ｃ22r＋Ｃ12r≡0（ｍｏｄ１03）１00ｒ3－１６５ｒ2＋５９ｒ≡0（ｍｏｄ７５0）．由整除的性质，可知５｜ｒ．令ｒ＝５ｓ，ｓ∈Ｎ*，代入上式并根据同余的性质化简， 得１00ｓ3－７５ｓ2＋５９ｓ≡0（ｍｏｄ１５0）．同理，令ｓ＝５ｔ，ｔ∈Ｎ*，代入化简，得１0ｔ3－１５ｔ2－ｔ≡0（ｍｏｄ３0）．令ｔ＝５ｔ1，ｔ1∈Ｎ*，代入化简，有４ｔ13－３ｔ12－ｔ1≡0（ｍｏｄ６）．代入以6为模的简化剩余系0，１，２，３，４，５检验知，此同余式恒成立．故ｒ＝１２５ｔ1，ｔ1∈Ｎ*，得ｌ－ｍ＝４ｒ＝５00ｔ1．同理，ｍ－ｎ＝５00ｔ2，ｔ2∈Ｎ*．∴ｍ＝ｎ＋５00ｔ2，ｌ＝ｎ＋５00（ｔ1＋ｔ2）． 又ｍ＋ｎ＞ｌ，∴ｎ＞５00ｔ1．即ｎ≣５00ｔ1＋１，（ｔ1∈Ｎ*）．∴ｌ＋ｍ＋ｎ＝３ｎ＋５00ｔ1＋１000ｔ2≣３（５00ｔ1＋１）＋５00ｔ1＋１000ｔ2＝２000ｔ1＋１000ｔ2＋３，（ｔ1，ｔ2∈Ｎ*）．故当ｔ1＝ｔ2＝１，即ｌ＝１５0１，ｍ＝１00１，ｎ＝５0１时，这种三角形的周长最小，且（ｌ＋ｍ＋ｎ）ｍｉｎ＝３00３．三、由ｎ个点和这些点之间的ｌ条连线段组成一个空间图形，其中ｎ＝ｑ2＋ｑ＋１，ｌ≣1／2ｑ（ｑ＋１）2＋１，ｑ≣２，ｑ∈Ｎ．已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有ｑ＋２条连线段．证明：图中必存在一个空间四边形(即由四点A、B、C、D和四条连线段ＡＢ、ＢＣ、ＣＤ、ＤＡ组成的图形)．标准答案：设这ｎ个点的集合Ｖ＝｛Ａ0，Ａ1，Ａ2，…，Ａｎ－１｝为全集，记Ａi的所有邻点（与Ａi有连线段的点）的集合为Ｂi，Ｂi中点的个数记为｜Ｂi｜＝ｂi，显然且ｂi≢（ｎ－１）（ｉ＝0，１，２，…，ｎ－１）．若存在ｂi＝ｎ－１时，只需取ｌ＝（ｎ－１）＋［(ｎ－1)／2］＋１≢1／2（ｑ＋１）（ｎ－１）＋１ ＝1／2ｑ（ｑ＋１）2＋１．则图中必存在四边形，因此下面只讨论ｂi＜ｎ－１（ｉ＝0，１，２，…，ｎ－１）的情况．不妨设ｑ＋２≢ｂ0＜ｎ－１．用反证法，若图中不存在四边形，则当ｉ≠ｊ时，Ｂi与Ｂ ｊ无公共点对，即｜Ｂi∩Ｂｊ｜≢１（0≢ｉ＜ｊ≢ｎ－１）．因此，｜Ｂi∩Ｂ0｜≣ｂi－１（ｉ＝１，２，…，ｎ－１）．故Ｖ∩Ｂ0中点对的个数＝中点对的个数＝（当ｂi＝１或2时，令Ｃ2ｂi－１＝0）故（ｎ－１）（ｎ－ｂ0）（ｎ－ｂ0－１）≣（ｎｑ－ｑ＋２－ｂ0）（ｎｑ－ｑ－ｎ＋３－ｂ0），ｑ（ｑ＋１）（ｎ－ｂ0）（ｎ－ｂ0－１）≣（ｎｑ－ｑ＋２－ｂ0）·（ｎｑ－ｑ－ｎ＋３－ｂ0）． ①但（ｎｑ－ｑ－ｎ＋３－ｂ0）－ｑ（ｎ－ｂ0－１）＝（ｑ－１）ｂ0－ｎ＋３≣（ｑ－１）（ｑ＋２）－ｎ＋３＝0， ②及（ｎｑ－ｑ＋２－ｂ0）－（ｑ＋１）（ｎ－ｂ0）＝ｑｂ0－ｑ－ｎ＋２≣ｑ（ｑ＋２）－ｑ－ｎ＋２＝１＞0． ③由②，③及（ｎ－ｂ0）（ｑ＋１），（ｎ－ｂ0－１）ｑ皆是正整数，得（ｎｑ－ｑ＋２－ｂ0）（ｎｑ－ｑ－ｎ＋３－ｂ0）＞ｑ（ｑ＋１）（ｎ－ｂ0）（ｎ－ｂ0－１）．而这与所得的①式相矛盾，故原命题成立．。