河北省青龙满族自治县逸夫中学高中数学必修1第3章函数的应用-1.示范教案（1.1 方程的根与函数的零点第1课时）本章教材分析函数的应用是学习函数的一个重要方面.学生学习函数的应用,目的就是利用已有的函数知识分析问题和解决问题.通过函数的应用,对完善函数的思想，激发应用数学的意识,培养分析问题、解决问题的能力，增强实践的能力等，都有很大的帮助.本章主要内容：函数与方程、函数模型及其应用、实习作业和小结.在函数与方程这一节中课本从学生最熟悉的二次函数入手，通过研究方程的根与函数的零点的关系，使函数的图象与性质得到充分的应用，同时也展现了函数和方程的密切关系.求函数零点的近似解不仅展示了数学方法的严谨性、科学性，也为计算机的应用提供了广阔的空间.让学生进一步受到数学思想方法的熏陶，激发学生的学习热情.在函数模型及其应用这一节中让学生近距离接近社会生活，从生活中学习数学，使数学在社会生活中得到应用和提高，让学生体会到数学是有用的，从而培养学生的学习兴趣.“数学建模”也是高考考查的重点.本章还是数学思想方法的载体，学生在学习中会经常用到“函数方程思想”“数形结合思想”“转化思想”,从而提高自己的数学能力.因此应从三个方面把握本章：(1)知识间的联系;(2)数学思想方法;(3)认知规律.本章教学时间约需9课时，具体分配如下(仅供参考)：3.1函数与方程约3课时3.2函数模型及其应用约4课时实习作业约1课时本章复习约1课时3.1 函数与方程3.1.1 方程的根与函数的零点整体设计教学分析函数作为高中的重点知识有着广泛应用，与其他数学内容有着有机联系.课本选取探究具体的一元二次方程的根与其对应的二次函数的图象与x轴的交点的横坐标之间的关系作为本节内容的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原有知识形成联系.本节设计特点是由特殊到一般，由易到难，这符合学生的认知规律；本节体现的数学思想是：“数形结合”思想和“转化”思想.本节充分体现了函数图象和性质的应用.因此，把握课本要从三个方面入手：新旧知识的联系，学生认知规律，数学思想方法.另外，本节也是传统数学方法与现代多媒体完美结合的产物.三维目标1.让学生明确“方程的根”与“函数的零点”的密切联系，学会结合函数图象性质判断方程根的个数，学会用多种方法求方程的根和函数的零点.2.通过本节学习让学生掌握“由特殊到一般”的认知规律，在今后学习中利用这一规律探索更多的未知世界.3.通过本节学习不仅让学生学会数学知识和认知规律，还要让学生充分体验“数学语言”的严谨性，“数学思想方法”的科学性,体会这些给他们带来的快乐.重点难点根据二次函数图象与x轴的交点的个数判断一元二次方程的根的个数;函数零点的概念. 课时安排2课时教学过程第1课时方程的根与函数的零点导入新课思路1.(情景导入)据新华社体育记者报道：昨晚足球比赛跌宕起伏，球迷经历了大喜到大悲,再到大喜的过程(领先则喜，落后即悲).请问：整场足球比赛出现几次“比分相同”的时段?学生思考或讨论回答：三次:(1)开场;(2)由领先到落后必经过“比分相同”时段;(3)由落后到领先必经过“平分”时段.教师点拨：足球比赛有“落后”“领先”“比分相同”,函数值有“负”“正”“零”,函数图象与足球比赛一样跌宕起伏.由此导入课题,为后面学习埋好伏笔.思路2.(事例导入)(多媒体动画演示)一枚炮弹从地面发射后，炮弹的高度随时间变化的函数关系式为h=20t-5t2,问炮弹经过多少秒回到地面？思路3.(直接导入)教师直接点出课题：上一章我们研究函数的图象性质，这一节我们讨论函数的应用，方程的根与函数的零点.推进新课新知探究提出问题①求方程x2-2x-3=0的根，画函数y=x2-2x-3的图象.②求方程x2-2x+1=0的根，画函数y=x2-2x+1的图象.③求方程x2-2x+3=0的根，画函数y=x2-2x+3的图象.④观察函数的图象发现：方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标有什么关系?⑤如何判断一元二次方程根的个数，如何判断二次函数图象与x轴交点的个数，它们之间有什么关系?⑥归纳函数零点的概念.⑦怎样判断函数是否有零点？⑧函数的图象不易画出，又不能求相应方程的根时，怎样判断函数是否有零点？活动：先让学生思考或讨论后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路:问题③:方程没有实数根，抛物线与x轴没有交点，找出抛物线的顶点是画二次函数图象的问题④:方程的根与函数的图象和x轴交点的横坐标都是实数.问题⑤:对于其他函数这个结论正确吗？问题⑥:函数的零点是一个实数.问题⑦:可以利用“转化思想”.问题⑧:足球比赛中从落后到领先是否一定经过“平分”？由此能否找出判断函数是否有零点的方法？函数图象穿过x轴则有零点，怎样用数学语言描述呢？讨论结果：①方程的两个实数根为-1，3.②方程的实数根为1.③方程没有实数根.④方程的根就是函数的图象与x 轴交点的横坐标.⑤一元二次方程根的个数，就是二次函数图象与x 轴交点的个数，可以用判别式来判定一元二次方程根的个数.a.当Δ>0时，一元二次方程有两个不等的实根x 1、x 2，相应的二次函数的图象与x 轴有两个交点(x 1,0)、(x 2,0);b.当Δ=0时，一元二次方程有两个相等的实根x 1=x 2，相应的二次函数的图象与x 轴有唯一的交点(x 1,0);c.当Δ<0时，一元二次方程没有实根，相应的二次函数的图象与x 轴没有交点.⑥一般地，对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x 叫做函数y=f(x)的零点. ⑦方程f(x)=0有实根⇔函数y=f(x)的图象与x 轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.⑧观察二次函数f(x)=x 2-2x-3的图象，我们发现函数f(x)=x 2-2x-3在区间［-2,1］上有零点.计算f(-2)与f(1)的乘积，发现这个乘积特点是小于零.在区间［2,4］同样如此.可以发现，f(-2)f(1)<0,函数y=x 2-2x-3在区间(-2，1)内有零点x=-1，它是方程x 2-2x-3=0的一个根.同样地，f(2)f(4)<0，函数y=x 2-2x-3在(2，4)内有零点x=3,它是方程x 2-2x-3=0的另一个根.应用示例思路1例1已知函数f(x)=|x 2-2x-3|-a 分别满足下列条件，求实数a 的取值范围.(1)函数有两个零点;(2)函数有三个零点;(3)函数有四个零点.活动：根据零点概念，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.因为函数f(x)=|x 2-2x-3|-a 的零点个数不易讨论，所以可转化为方程|x 2-2x-3|-a=0根的个数来讨论，即转化为方程|x 2-2x-3|=a 的根的个数问题,再转化为函数f(x)=|x 2-2x-3|与函数f(x)=a 交点个数问题.数，即函数f(x)=|x 2-2x-3|-a 的零点个数.(1)若函数有两个零点，则a=0或a>4.(2)若函数有三个零点，则a=4.(3)函数有四个零点,则0<a<4.变式训练1.判断函数y=|x-1|-2零点的个数.函数y=|x-1|-2的图象与x 轴有两个交点，所以函数y=|x-1|-2有两个零点.2.求证：函数f(x)=2x 2-3x-2有两个零点.证法一:因为一元二次方程2x 2-3x-2=0的判别式Δ=32+4×2×2=25>0,所以一元二次方程2x 2-3x-2=0有两个不相等的实根，所以函数f(x)=2x 2-3x-2有两个零点.证法二:因为一元二次方程2x 2-3x-2=0可化为(2x+1)(x-2)=0,所以一元二次方程2x 2-3x-2=0有两个不相等的实根x 1=2,x 2=21-. 所以函数f(x)=2x 2-3x-2有两个零点.证法三:因为函数f(x)=2x 2-3x-2的图象是一条开口向上的抛物线，且顶点在x 轴的下方,点评：判断函数零点个数可以结合函数的图象.方法：零点函数方程的根两图象交点.数学思想：转化思想和数形结合思想.例2若关于x 的方程3x 2-5x+a=0的一根在(-2，0)内，另一个根在(1，3)内，求a 的取值范围.活动：学生自己思考或讨论，再写出(最好用实物投影仪展示写的正确的答案).教师在学生中巡视其他学生的解答，发现问题及时纠正,并及时评价.如果用求根公式与判别式来做，运算量很大,能否将问题转化？借助二次函数的图象，从图象中抽出与方程的根有关的关系式，使得问题解答大大简化.引导学生画出函数的图象观察分析.因为f(x)=0的两根分别在区间(-2，0)、(1，3)内，所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><<>-,0)3(,0)1(,0)0(,0)2(f f f f 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>+<+-<>+.012,02,0,022a a a a 故所求a 的取值范围是-12<a<0. 变式训练关于x 的方程x 2-ax+a 2-7=0的两个根一个大于2，另一个小于2,求实数a 的取值范围.因为方程x 2-ax+a 2-7=0的两个根一个大于2，另一个小于2,所以函数f(x)=x 2-ax+a 2-7的零点一个大于2，另一个小于2.即函数f(x)=x 2-ax+a 2-7的图象与x 轴的两个交点在点(2，0)的两侧.只需f(2)<0,即4-2a+a 2-7<0,所以-1<a<3.思路2例1若方程2ax 2-x-1=0在(0，1)内有解，求实数a 的取值范围.活动：学生先思考或讨论，再回答.教师根据实际，可以提示引导：①有解包括有一解和有两解，要分类讨论.②用一般解法固然可以，若结合函数图象观察分析，可以找到捷径.③有两种情况：a.a=0;b.a≠0,Δ≥0.解：令f(x)=2ax 2-x-1，(1)当方程2ax 2-x-1=0在(0，1)内恰有一个解时，f(0)·f(1)<0或a≠0且Δ=0,由f(0)·f(1)<0,得(-1)(2a-2)<0,所以a>1.由Δ=0,得1+8a=0,a=81-∴方程为41-x 2-x-1=0,即x=-2∉(0,1)(舍去).综上可得a>1. (2)当方程2ax 2-x-1=0在(0，1)内有两个解时，则⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧<<<>>>0)41(,1410,0)1(,0)0(,0a f a f f a 或⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧><<<<<,0)41(,1410,0)1(,0)0(,0af a f f a容易解得实数a 不存在.综合(1)(2),知a>1.变式训练若方程ax 2+3x+4a=0的根都小于1，求实数a 的取值范围.解：(1)当a=0时，x=0满足题意.(2)当a≠0时，设f(x)=ax 2+3x+4a.方法一:若方程ax 2+3x+4a=0的根都小于1，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><-≥-=∆,0)1(,123,01692af a a ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-<>-<>≤≤-,6.00,5.10,4343a a a a a 或或∴0<a≤43. 综上(1)(2),得0≤a≤43. 方法二:若方程ax 2+3x+4a=0的根都小于1，则 ⎪⎩⎪⎨⎧>--<+≥-=∆,0)1)(1(,2,016921212x x x x a ∴⎪⎩⎪⎨⎧>++-<+≥-=∆,01)(,2,01692121212x x x x x x a ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>++<-≥-=∆,0134,23,01692a a a 解得0<a≤43. 综上(1)(2),得0≤a≤43. 点评：有两种方法:(1)结合函数图象利用函数符号列不等式组.(2)代数方法，利用根与系数关系结合判别式列不等式组.例2设二次函数f(x)=ax 2+bx+c(a>0),方程f(x)-x=0的两个根为x 1、x 2,满足0<x 1<x 2<a1. (1)当x∈(0,x 1)时，求证：x<f(x)<x 1；(2)设函数f(x)的图象关于直线x=x 0对称，求证：x 0<21x . 活动：根据方程与函数关系，学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生.因为方程f(x)-x=0的两个根为x 1、x 2，可考虑把f(x)-x 设为双根式，然后判断其符号，再考虑二次函数的双根与二次函数对称轴的关系.证明:(1)∵x 1、x 2是方程f(x)-x=0的两个根，且0<x 1<x 2<a1， ∴当x∈(0,x 1)时,有f(x)-x=a(x-x 1)(x-x 2)=a(x 1-x)(x 2-x)>0,即f(x)-x>0.又∵f(x)-x=a(x 1-x)(x 2-x)<a·a1(x 1-x)=x 1-x,即f(x)-x<x 1-x,故0<f(x)-x<x 1-x,即x<f(x)<x 1.(2)∵f(x)-x=ax 2+(b-1)x+c,且f(x)-x=0的两个根为x 1、x 2,∴二次函数f(x)-x 的对称轴为x=221x x +=a b 21--.∴21x =22122x a a b -+-. 又由已知，得x 0=a b 2-，∴21x =x 0+2212x a -. 又∵x 2<a 1,∴2212x a ->0.故21x =x 0+2212x a ->x 0,即x 0<21x . 变式训练1.已知二次函数f(x)满足f(3-x)=f(3+x),且其两零点分别为x 1、x 2,求x 1+x2.解：∵对任意x 都有f(3-x)=f(3+x)，∴函数f(x)的图象上有两点(3-x,y)、(3+x,y)关于x=3对称.∴二次函数f(x)的对称轴为x=3.∵x 1、x 2为二次函数f(x)的两个零点，∴x 1+x 2=6.2.若函数f(x)满足f(3-x)=f(3+x)，且函数f(x)有6个零点，求所有零点的和. 解：同理函数f(x)的对称轴为x=3，∴3(x 1+x 2)=18.点评：①二次函数的双根与二次函数解析式的关系是：若二次项系数为a,两个根为x 1、x 2,则二次函数解析式为f(x)=a(x-x 1)(x-x 2).②二次函数的双根与二次函数对称轴的关系是：二次函数f(x)的对称轴为x=221x x +. 总之：二次函数的双根是联系函数与方程的桥梁和纽带，应仔细体会、准确把握. 知能训练讨论函数y=e x +4x-4的零点的个数.活动：鼓励学生说出自己的见解，并说明理由.函数零点问题是函数的重要应用，离不开函数的图象和性质.(1)利用f(a)f(b)<0及函数的单调性.(2)作出y=e x 和y=4-4x 的图象，把函数y=e x +4x-4的零点的个数转化为方程e x =4-4x 根的个数，再转化为上述两函数图象交点的个数.解：(方法一)利用计算机作出x ，f(x)的对应值表： x0 1 f(x) -3 2.71828由表和图可知，f(0)<0,f(1)>0,则f(0)f(1)<0，这说明f(x)在区间(0,1)内有零点,由于函数在定义域(-∞,+∞)内是增函数，所以它仅有一个零点.总结点评：讨论函数零点个数问题是函数的重要应用，由于函数与方程的特殊关系，所以这个问题常用的方法是：(1)解方程;(2)画图象;(3)利用f(a)f(b)<0及函数的单调性;同时这些方法是有机联系的.拓展提升1.2007山东青岛高三教学质量检测,理19已知m∈R ,设P:x 1和x 2是方程x 2-ax-2=0的两个根,不等式|m-5|≤|x 1-x 2|对任意实数a∈［1，2］恒成立；Q ：函数f(x)=3x 2+2mx+m+34有两个不同的零点,求使P 和Q 同时成立的实数m 的取值范围.解：由题意知x 1+x 2=a,x 1x 2=-2,∴|x 1-x 2|=21221x 4x -)x (x +=8a 2+. 当a∈［1,2］时,8a 2+的最小值为3.要使|m-5|≤|x 1-x 2|对任意实数a∈［1，2］恒成立，只需|m －5|≤3,即2≤m≤8.由已知得Q 中:f(x)=3x 2+2mx+m+34的判别式Δ=4m 2-12(m+34)=4m 2-12m-16>0，得m<-1或m>4. 综上，要使P 和Q 同时成立，只需⎩⎨⎧>-<≤≤,41,82m m m 或解得实数m 的取值范围是(4,8］.2.如果函数y=f(x)在区间［a,b ］上的图象是连续不断的一条曲线，并且f(a)f(b)>0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内是否有零点？可能有几个零点？活动：学生先思考或讨论，再回答.利用函数图象进行探索分析:①有没有零点？②零点的个数是奇数还是偶数？解析:零点个数可以是任意自然数.下面讨论在区间［-3,3］上函数零点个数，(5)可能有n(n∈N *)个零点,图略.点评：在区间［-3,3］上函数零点个数可以是任意自然数.借助计算机可以验证同学们的判断，激发学生学习兴趣.课堂小结本节学习了:①零点的概念;②零点的判断方法;③利用函数的单调性证明零点的个数;④零点的应用.学习方法：由特殊到一般的方法.数学思想：转化思想、数形结合思想.作业课本P 88练习1.设计感想本节以事例导入,该事例是学生很感兴趣的话题,发人深思而紧贴本节主题,为后面讲解埋好了伏笔.因为二次函数、二次方程永远是高考的重点,所以本节结合二次函数的图象性质详实讨论了有关二次函数的零点和二次方程的根的问题.本节不仅选用了一些传统经典的题目进行方法总结,还搜集了一些最新的高三模拟题加以充实提高.另外,本节目的明确、层次分明、难度适中,对学生可能产生兴趣的问题进行了拓展,希望大家喜欢.。
