【K12教育学习资料】【解析版】中考数学常考易错点：2.2《分式方程》(原创)

初中数学分式方程的中考知识点总结初中数学分式方程的中考知识点总结分式方程的知识是中考常见的要领。

接下来的内容是初中数学分式方程知识点。

分式方程分式方程的意义分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

分式方程的解法①去分母{方程两边同时乘以最简公分母(最简公分母：①系数取最小公倍数②出现的字母取最高次幂③出现的因式取最高次幂)，将分式方程化为整式方程;若遇到互为相反数时。

不要忘了改变符号};②按解整式方程的步骤(移项，若有括号应去括号，注意变号，合并同类项，系数化为1)求出未知数的值;③验根(求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根).一般地验根，只需把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根，否则这个根就是原分式方程的根。

若解出的根是增根，则原方程无解。

如果分式本身约分了，也要代进去检验温馨提示：上面的内容是初中数学的分式方程知识点，聪明的大家都已经掌握了吧。

初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。

平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。

水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。

③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。

相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。

初中数学知识点：平面直角坐标系的构成对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。

平面直角坐标系的构成在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。

知识回顾微专题分式方程--中考数学必考考点总结+题型专训考点一：分式方程之分式方程的解与解分式方程1.分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。

2.分式方程的解：使分式方程成立的未知数的值叫做分式方程的解。

3.解分式方程。

具体步骤：①去分母——分式方程的两边同时乘上分母的最简公分母。

把分式方程化成整式方程。

②解整式方程。

③检验——把解出来的未知数的值带入公分母中检验公分母是否为0。

若公分母不为0，则未知数的值即是原分式方程的解。

若公分母为0，则未知数的值是原分式方程的曾根，原分式方程无解。

1．（2022•营口）分式方程3=x 的解是（）A ．x ＝2B ．x ＝﹣6C ．x ＝6D ．x ＝﹣2【分析】方程两边都乘x （x ﹣2）得出3（x ﹣2）＝2x ，求出方程的解，再进行检验即可．【解答】解：＝，方程两边都乘x （x ﹣2），得3（x ﹣2）＝2x ，解得：x ＝6，检验：当x ＝6时，x （x ﹣2）≠0，所以x ＝6是原方程的解，即原方程的解是x ＝6，故选：C ．2．（2022•海南）分式方程12-x ﹣1＝0的解是（）A ．x ＝1B ．x ＝﹣2C ．x ＝3D ．x ＝﹣3【分析】方程两边同时乘以（x ﹣1），把分式方程化成整式方程，解整式方程检验后，即可得出分式方程的解．【解答】解：去分母得：2﹣（x ﹣1）＝0，解得：x ＝3，当x ＝3时，x ﹣1≠0，∴x ＝3是分式方程的根，故选：C ．3．（2022•毕节市）小明解分式方程33211+=+x xx ﹣1的过程如下．解：去分母，得3＝2x ﹣（3x +3）．①去括号，得3＝2x ﹣3x +3．②移项、合并同类项，得﹣x ＝6．③化系数为1，得x ＝﹣6．④以上步骤中，开始出错的一步是（）A ．①B ．②C ．③D ．④【分析】按照解分式方程的一般步骤进行检查，即可得出答案．【解答】解：去分母得：3＝2x ﹣（3x +3）①，去括号得：3＝2x ﹣3x ﹣3②，∴开始出错的一步是②，故选：B ．4．（2022•无锡）分式方程xx 132=-的解是（）A ．x ＝1B ．x ＝﹣1C ．x ＝3D ．x ＝﹣3【分析】将分式方程转化为整式方程，求出x 的值，检验即可得出答案．【解答】解：＝，方程两边都乘x （x ﹣3）得：2x ＝x ﹣3，解得：x ＝﹣3，检验：当x ＝﹣3时，x （x ﹣3）≠0，∴x ＝﹣3是原方程的解．故选：D ．5．（2022•济南）代数式23+x 与代数式12-x 的值相等，则x ＝．【分析】根据题意列方程，再根据解分式方程的步骤和方法进行计算即可．【解答】解：由题意得，＝，去分母得，3（x ﹣1）＝2（x +2），去括号得，3x ﹣3＝2x +4，移项得，3x ﹣2x ＝4+3，解得x ＝7，经检验x ＝7是原方程的解，所以原方程的解为x ＝7，故答案为：7．6．（2022•绵阳）方程113-+=-x x x x 的解是．【分析】先在方程两边乘最简公分母（x ﹣3）（x ﹣1）去分母，然后解整式方程即可．【解答】解：＝，方程两边同乘（x ﹣3）（x ﹣1），得x （x ﹣1）＝（x +1）（x ﹣3），解得x ＝﹣3，检验：当x ＝﹣3时，（x ﹣3）（x ﹣1）≠0，∴方程的解为x ＝﹣3．故答案为：x ＝﹣3．7．（2022•盐城）分式方程121-+x x ＝1的解为．【分析】先把分式方程转化为整式方程，再求解即可．【解答】解：方程的两边都乘以（2x ﹣1），得x +1＝2x ﹣1，解得x ＝2．经检验，x ＝2是原方程的解．故答案为：x ＝2．8．（2022•内江）对于非零实数a ，b ，规定a ⊕b ＝a 1﹣b1．若（2x ﹣1）⊕2＝1，则x 的值为．【分析】利用新规定对计算的式子变形，解分式方程即可求得结论．【解答】解：由题意得：＝1，解得：x ＝．经检验，x ＝是原方程的根，∴x ＝．故答案为：．9．（2022•永州）解分式方程112+-x x ＝0去分母时，方程两边同乘的最简公分母是．【分析】根据最简公分母的定义即可得出答案．【解答】解：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是x （x +1）．故答案为：x （x +1）．10．（2022•常德）方程()xx x x 25212=-+的解为．【分析】方程两边同乘2x （x ﹣2），得到整式方程，解整式方程求出x 的值，检验后得到答案．【解答】解：方程两边同乘2x （x ﹣2），得4x ﹣8+2＝5x ﹣10，解得：x ＝4，检验：当x ＝4时，2x （x ﹣2）＝16≠0，∴x ＝4是原方程的解，∴原方程的解为x ＝4．11．（2022•宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a ，b ，a ⊗b ＝a 1+b 1．若（x +1）⊗x ＝xx 12+，则x 的值为．【分析】根据新定义列出分式方程，解方程即可得出答案．【解答】解：根据题意得：+＝，化为整式方程得：x +x +1＝（2x +1）（x +1），解得：x ＝﹣，检验：当x ＝﹣时，x （x +1）≠0，∴原方程的解为：x ＝﹣．故答案为：﹣．12．（2022•成都）分式方程xx x -+--4143＝1的解为．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3﹣x ﹣1＝x ﹣4，解得：x ＝3，经检验x ＝3是分式方程的解，故答案为：x ＝3．13．（2022•牡丹江）若关于x 的方程11--x mx ＝3无解，则m 的值为（）A ．1B ．1或3C ．1或2D ．2或3【分析】先去分母，再根据条件求m ．【解答】解：两边同乘以（x ﹣1）得：mx ﹣1＝3x ﹣3，∴（m ﹣3）x ＝﹣2．当m ﹣3＝0时，即m ＝3时，原方程无解，符合题意．当m ﹣3≠0时，x ＝，∵方程无解，∴x ﹣1＝0，∴x ＝1，∴m ﹣3＝﹣2，∴m ＝1，综上：当m ＝1或3时，原方程无解．故选：B ．14．（2022•通辽）若关于x 的分式方程：2﹣221--x k ＝x-21的解为正数，则k 的取值范围为（）A ．k ＜2B ．k ＜2且k ≠0C ．k ＞﹣1D ．k ＞﹣1且k ≠0【分析】先解分式方程可得x ＝2﹣k ，再由题意可得2﹣k ＞0且2﹣k ≠2，从而求出k 的取值范围．【解答】解：2﹣＝，2（x ﹣2）﹣（1﹣2k ）＝﹣1，2x ﹣4﹣1+2k ＝﹣1，2x ＝4﹣2k ，x ＝2﹣k ，∵方程的解为正数，∴2﹣k ＞0，∴k ＜2，∵x ≠2，∴2﹣k ≠2，∴k ≠0，∴k ＜2且k ≠0，故选：B ．15．（2022•黑龙江）已知关于x 的分式方程xx m x ----1312＝1的解是正数，则m 的取值范围是（）A ．m ＞4B ．m ＜4C ．m ＞4且m ≠5D ．m ＜4且m ≠1【分析】先利用m 表示出x 的值，再由x 为正数求出m 的取值范围即可．【解答】解：方程两边同时乘以x ﹣1得，2x ﹣m +3＝x ﹣1，解得x ＝m ﹣4．∵x 为正数，∴m ﹣4＞0，解得m ＞4，∵x ≠1，∴m ﹣4≠1，即m ≠5，∴m 的取值范围是m ＞4且m ≠5．故选：C ．16．（2022•德阳）如果关于x 的方程12-+x mx ＝1的解是正数，那么m 的取值范围是（）A ．m ＞﹣1B ．m ＞﹣1且m ≠0C ．m ＜﹣1D ．m ＜﹣1且m ≠﹣2【分析】先去分母将分式方程化成整式方程，再求出方程的解x ＝﹣1﹣m ，利用x ＞0和x ≠1得出不等式组，解不等式组即可求出m 的范围．【解答】解：两边同时乘（x ﹣1）得，2x +m ＝x ﹣1，解得：x ＝﹣1﹣m ，又∵方程的解是正数，且x ≠1，∴，即，解得：，∴m 的取值范围为：m ＜﹣1且m ≠﹣2．故答案为：D ．17．（2022•重庆）关于x 的分式方程x x x a x -++--3133＝1的解为正数，且关于y 的不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧-+≤+132229a y y y 的解集为y ≥5，则所有满足条件的整数a 的值之和是（）A ．13B ．15C ．18D ．20【分析】解分式方程得得出x ＝a ﹣2，结合题意及分式方程的意义求出a ＞2且a ≠5，解不等式组得出，结合题意得出a ＜7，进而得出2＜a ＜7且a ≠5，继而得出所有满足条件的整数a 的值之和，即可得出答案．【解答】解：解分式方程得：x ＝a ﹣2，∵x ＞0且x ≠3，∴a ﹣2＞0且a ﹣2≠3，∴a ＞2且a ≠5，解不等式组得：，∵不等式组的解集为y ≥5，∴＜5，∴a ＜7，∴2＜a ＜7且a ≠5，∴所有满足条件的整数a 的值之和为3+4+6＝13，故选：A ．18．（2022•重庆）若关于x 的一元一次不等式组⎪⎩⎪⎨⎧--≥-a x x x ＜153141的解集为x ≤﹣2，且关于y 的分式方程111+=+-y ay y ﹣2的解是负整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（）A ．﹣26B ．﹣24C ．﹣15D ．﹣13【分析】解不等式组得出，结合题意得出a ＞﹣11，解分式方程得出y ＝，结合题意得出a ＝﹣8或﹣5，进而得出所有满足条件的整数a 的值之和是﹣8﹣5＝﹣13，即可得出答案．【解答】解：解不等式组得：，∵不等式组的解集为x ≤﹣2，∴＞﹣2，∴a ＞﹣11，解分式方程＝﹣2得：y＝，∵y 是负整数且y ≠﹣1，∴是负整数且≠﹣1，∴a ＝﹣8或﹣5，∴所有满足条件的整数a 的值之和是﹣8﹣5＝﹣13，故选：D ．19．（2022•遂宁）若关于x 的方程122+=x mx 无解，则m 的值为（）A ．0B ．4或6C ．6D ．0或4【分析】解分式方程可得（4﹣m ）x ＝﹣2，根据题意可知，4﹣m ＝0或2x +1＝0，求出m 的值即可．【解答】解：＝，2（2x +1）＝mx ，4x +2＝mx ，（4﹣m ）x ＝﹣2，∵方程无解，∴4﹣m ＝0或2x +1＝0，即4﹣m ＝0或x ＝﹣＝﹣，∴m ＝4或m ＝0，故选：D ．20．（2022•黄石）已知关于x 的方程()1111++=++x x ax x x 的解为负数，则a 的取值范围是．【分析】先求整式方程的解，然后再解不等式组即可，需要注意分式方程的分母不为0．【解答】解：去分母得：x +1+x ＝x +a ，解得：x ＝a ﹣1，∵分式方程的解为负数，∴a ﹣1＜0且a ﹣1≠0且a ﹣1≠﹣1，∴a ＜1且a ≠0，∴a 的取值范围是a ＜1且a ≠0，故答案为：a ＜1且a ≠0．21．（2022•齐齐哈尔）若关于x 的分式方程4222212-+=++-x mx x x 的解大于1，则m 的取值范围是．【解答】解：，给分式方程两边同时乘以最简公分母（x +2）（x ﹣2），得（x +2）+2（x ﹣2）＝x +2m ，去括号，得x +2+2x ﹣4＝x +2m ，解方程，得x ＝m +1，检验：当m +1≠2，m +1≠﹣2，即m ≠1且m ≠﹣3时，x ＝m +1是原分式方程的解，根据题意可得，m +1＞1，∴m ＞0且m ≠1．知识回顾故答案为：m ＞0且m ≠1．22．（2022•泸州）若方程xx x -=+--23123的解使关于x 的不等式（2﹣a ）x ﹣3＞0成立，则实数a 的取值范围是．【分析】先解分式方程，再将x 代入不等式中即可求解．【解答】解：+1＝，+＝，＝0，解得：x ＝1，∵x ﹣2≠0，2﹣x ≠0，∴x ＝1是分式方程的解，将x ＝1代入不等式（2﹣a ）x ﹣3＞0，得：2﹣a ﹣3＞0，解得：a ＜﹣1，∴实数a 的取值范围是a ＜﹣1，故答案为：a ＜﹣1．考点二：分式方程之分式方程的应用1.列分式方程解实际应用题的步骤：①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系。

分式、分式方程及一元二次方程复习考点攻略考点01 一元一次方程相关概念1．等式的性质：（1）等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式.所得的结果仍是等式． （2）等式两边都乘以（或除以）同一个不等于零的数.所得的结果仍是等式．2．一元一次方程：只含有一个未知数.并且未知数的次数为1.这样的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式为0(0)ax b a +=≠． 【注意】x 前面的系数不为0．3．一元一次方程的解:使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解． 4. 一元一次方程的求解步骤：步骤 解释去分母 在方程两边都乘以各分母的最小公倍数 去括号 先去小括号.再去中括号.最后去大括号移项 把含有未知数的项都移到方程的一边.其他项都移到方程的另一边 合并同类项 把方程化成ax b =-的形式系数化成1在方程两边都除以未知数的系数a .得到方程的解为bx a=-【注意】解方程时移项容易忘记改变符号而出错.要注意解方程的依据是等式的性质.在等式两边同时加上或减去一个代数式时.等式仍然成立.这也是“移项”的依据．移项本质上就是在方程两边同时减去这一项.此时该项在方程一边是0.而另一边是它改变符号后的项.所以移项必须变号． 【例 1】若()2316m m x --=是一元一次方程,则m 等于（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．任何数【答案】B【解析】根据一元一次方程最高次为一次项.得│2m −3│=1.解得m =2或m =1. 根据一元一次方程一次项的系数不为0,得m −1≠0,解得m ≠1.所以m =2. 故选B.【例 2】关于x 的方程211-20m mx m x +﹣（﹣）＝如果是一元一次方程.则其解为_____．【答案】2x ＝或2x =-或x =-3．【解析】解：关于x 的方程21120m mx m x +﹣（﹣）﹣＝如果是一元一次方程.211m ∴﹣＝.即1m ＝或0m ＝.方程为20x ﹣＝或20x --＝.解得：2x ＝或2x =-.当2m -1=0.即m =12时.方程为112022x --=解得：x =-3. 故答案为x =2或x =-2或x =-3． 【例 3】解方程：221123x x x ---=- 【答案】27x =【解析】解： 221123x x x ---=-()()6326221x x x --=-- 636642x x x -+=-+ 634662x x x -+=-+ 72x = 27x =考点02 二元一次方程组相关概念1．二元一次方程：含有2个未知数.并且含有未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程．2．二元一次方程的解：使二元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做二元一次方程的解． 3．二元一次方程组：由两个二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组．方程组中同一个字母代表同一个量.其一般形式为111222a xb yc a x b y c +=⎧⎨+=⎩．4．二元一次方程组的解法：（1）代入消元法：将方程中的一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来.并代入另一个方程中.消去一个未知数.化二元一次方程组为一元一次方程．（2）加减消元法：将方程组中两个方程通过适当变形后相加（或相减）消去其中一个未知数.化二元一次方程组为一元一次方程．5. 列方程（组）解应用题的一般步骤：（1）审题；（2）设出未知数；（3）列出含未知数的等式——方程；（4）解方程（组）；（5）检验结果；（6）作答（不要忽略未知数的单位名称）6. 一元一次方程（组）的应用：（1）销售打折问题：利润=售价-成本价；利润率=利润成本×100％；售价=标价×折扣；销售额=售价×数量．（2）储蓄利息问题：利息=本金×利率×期数；本息和=本金+利息=本金×(1+利率×期数)；贷款利息=贷款额×利率×期数．（3）工程问题：工作量=工作效率×工作时间． （4）行程问题：路程=速度×时间．（5）相遇问题：全路程=甲走的路程+乙走的路程．（6）追及问题一（同地不同时出发）：前者走的路程=追者走的路程．（7）追及问题二（同时不同地出发）：前者走的路程+两地间距离=追者走的路程． （8）水中航行问题：顺水速度=静水速度+水流速度；逆水速度=静水速度-水流速度． （9）飞机航行问题：顺风速度=静风速度+风速度；逆风速度=静风速度-风速度． 【例 4】已知－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项.那么(n －m )2 012＝______【答案】1【解析】由于－2x m －1y 3与12x n y m ＋n 是同类项.所以有由m －1＝n .得－1＝n －m .所以(n －m )2 012＝(－1)2 012＝1.【例5】如图X2－1－1.直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1.b )．(1)求b 的值．(2)不解关于x .y 的方程组请你直接写出它的解．(3)直线l 3：y ＝nx ＋m 是否也经过点P ？请说明理由．【答案】（1）2.（2）⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2.（3）见解析【解析】解：(1)当x ＝1时.y ＝1＋1＝2.∴b ＝2.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. (3)∵直线l 1：y ＝x ＋1与直线l 2：y ＝mx ＋n 相交于点P (1.b ).∴当x ＝1时.y ＝m＋n ＝b ＝2.∴ 当x ＝1时.y ＝n ＋m ＝2.∴直线l 3：y ＝nx ＋m 也经过点P .【例6】家电下乡是我国应对当前国际金融危机.惠农强农.带动工业生产.促进消费.拉动内需的一项重要举措。

解分式方程时易混易错点分析
易混易错点一、解分式方程忘记验根
例1（四川宜宾中考）：分式方程
31329122+=---x x x 的解为（）A.x=3 B.x=-3 C.无解 D.x=3或x=-3
解析：方程两边同乘(x+3)(x-3)，得12-2(x+3)=x-3，解得x=3.检验：把x=3代入
解得：1
,321-==x x 检验：当3=x 时，()03=-x x ；当1-=x 时，()0
3≠-x x ∴原分式方程的解是1
-=x 错因分析：在去分母化分式方程为整式方程时，容易出现“3-x=1”这种错误
易混易错点三、混淆分式方程无解和有增根
例3：若关于x 的方程011
1=--+x ax 无解，求a 的值.分析：先把分式方程化为整式方程，再分情况讨论
解：方程两边同乘（x-1），去分母得：()0
11=--+x ax 整理得：()0
21=+-x a 当a -1=0，即a=1时，分式方程无解
当a -1≠0时，∵方程有增根x =1，把x =1代入（a －1）x +2=0中，解得a =－1综上所述，a=1或a =－1
错因分析：本题容易出现只把增根代入求出a =－1，漏掉a=1整式方程无解的情况.。

考点06 分式方程1．分式方程的概念分母中含有未知数的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知数”是分式方程与整式方程的根本区别，也是判定一个方程为分式方程的依据．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是去分母，即方程两边同乘以各分式的最简公分母．学=科网（2）解分式方程的步骤：①找最简公分母，当分母是多项式时，先分解因式；②去分母，方程两边都乘最简公分母，约去分母，化为整式方程；③解整式方程；④验根．易错提醒：解分式方程过程中，易错点有：①去分母时要把方程两边的式子作为一个整体，记得不要漏乘整式项；②忘记验根，最后的结果还要代回方程的最简公分母中，只有最简公分母不是零的解才是原方程的解．3．增根在方程变形时，有时可能产生不适合原方程的根，这种根叫做方程的增根．由于可能产生增根，所以解分式方程要验根，其方法是将根代入最简公分母中，使最简公分母为零的根是增根，否则是原方程的根．温馨提示：增根虽然不是方程的根，但它是分式方程去分母后变形而成的整式方程的根．若这个整式方程本身无解，当然原分式方程就一定无解．4．分式方程的应用（1）分式方程的应用主要涉及工程问题，有工作量问题、行程问题等．每个问题中涉及到三个量的关系，如：工作时间＝工作量工作效率，时间＝路程速度等．（2）列分式方程解应用题的一般步骤：①设未知数；②找等量关系；③列分式方程； ④解分式方程；⑤检验（一验分式方程，二验实际问题）； ⑥答．考向一 解分式方程分式方程的解法：①能化简的应先化简；②方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程； ③解整式方程；④验根．典例1 57312x x+-=-去分母，得 A ．357()2x x -+=- B ．67()52x x x -+= C ．67()52x x x -+=-D ．6572x x x -+=-【答案】C【解析】方程两边同乘以2x 得，67()52x x x -+=-． 故选C ．【名师点睛】本题主要考查分式方程的解法，去分母时，方程两端同乘各分母的最小公倍数时，不要漏乘没有分母的项，同时要把分子（如果是一个多项式）作为一个整体加上括号． 典例2 方程33122x x x-+=--的解为_______________． 【答案】1x =【名师点睛】分式方程的解题步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1．同时应注意分式方程必须检验．1．解分式方程13211x x-=--，去分母得 A ．12(1)3x --=-B ．12(1)3x --=C ．1223x --=-D ．1223x -+=2．分式方程133(11)x x x =-++的根为A ．1-或3B ．1-C ．3D ．1或3-考向二 分式方程的解（1）求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根.（2）验根时把整式方程的根代入最简公分母，如果最简公分母等于0，这个根就是增根；否则这个根就是原分式方程的根，若解出的根都是增根，则原方程无解. （3）如果分式本身约分了，也要代入进去检验.（4）一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为零，因此要将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是方程的解.典例3 若关于x 的方程4355x ax x --=--有增根，则增根为 A ．6x = B ．5x = C ．4x =D ．3x =【答案】B 【解析】因为方程4355x a x x --=--有增根，所以50x -=，解得5x =． 故选B ．典例4 若关于x 的分式方程121k x -=+的解为负数，则k 的取值范围为_______________． 【答案】3k <且1k ≠【解析】分式方程去分母转化为整式方程，去分母得122k x -=+，解得32x k =-，由分式方程的解为负数，可得203k -<且10x +≠，即213k -≠-，解得3k <且1k ≠．3．若关于x 的方程21111a x x -=++有增根，则a 的值为 A ．－12B ．12C ．2D ．2-4．若关于x 的方程233x m x x -=--有正数解，则 A ．0m >且3m ≠ B ．6m <且3m ≠ C ．0m <D ．6m >考向三 分式方程的应用分式方程解实际问题的求解步骤：审题、设未知数、列方程、解方程、检验、写出答案，检验时要注意从方程本身和实际问题两个方面进行．典例5 某工厂生产一种零件，计划在20天内完成，若每天多生产4个，则15天完成且还多生产10个．设原计划每天生产x 个，根据题意可列分式方程为A ．2010154x x +=+B ．2010154x x -=+C ．201015x x+=D ．201015x x-=【答案】A典例6 元旦假期即将来临，某旅游景点超市用700元购进甲、乙两种商品260个，其中甲种商品比乙种商品少用100元，已知甲种商品单价比乙种商品单价高20%，那么乙种商品单价是A ．2元B ．2.5元C ．3元D ．5元【答案】B【解析】设乙种商品单价为x 元，则甲种商品单价为(1)20%x +元，由题易得，甲种商品花费300元，乙种商品花费400元，所以300400260120)%(x x+=+，解得 2.5x =元． 故选B ．5．某单位向一所希望小学赠送1080本课外书，现用A ，B 两种不同的包装箱进行包装，单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用6个；已知每个B 型包装箱比每个A 型包装箱可多装15本课外书．若设每个A 型包装箱可以装书x 本，则根据题意列得方程为A ．10801080615x x =+- B ．10801080615x x =-- C ．10801080615x x=-+D ．10801080615x x=++6．在某校举办的2018年秋季运动会结束之后，学校需要为参加运动会的同学们发纪念品．小王负责到某商场买某种纪念品，该商场规定：一次性购买该纪念品200个以上可以按折扣价出售；购买200个以下（包括200个）只能按原价出售．小王若按照原计划的数量购买纪念品，只能按原价付款，共需要1050元；若多买35个，则按折扣价付款，恰好共需1050元．设小王按原计划购买纪念品x 个． （1）求 x 的范围；（2）如果按原价购买5个纪念品与按打折价购买6个纪念品的钱数相同，那么小王原计划购买多少个纪念品？1．下列关于x 的方程： ①153x -=，②121x x =-，③()111x x x -+=，④31x a b =-中，是分式方程的有 A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个2．方程2131x x =+-的解为 A ．3x = B ．4x = C ．5x =D ．5x =-3．解分式方程22111x x x -=--，可知方程的解为 A ．1x = B ．3x = C ．12x =D ．无解4．已知3x =是分式方程2121kx k x x--=-的解，那么实数k 的值为 A ．1- B ．0 C ．1D ．25．关于x 的方程2334ax a x +=-的解为1x =，则a 的值为A ．1B ．3C ．1-D ．3-6．若关于x 的方程3111kx x=---有增根，则k 的值为 A ．3 B ．1 C ．0D ．1-7．若分式方程3211x m x x =+++无解，则m = A ．1- B ．3- C ．0D ．2-8．要使45x x --的值和424xx--的值互为倒数，则x 的值为 A ．0B ．1-C ．12D ．19．一艘船顺流航行90千米与逆流航行60千米所用的时间相等，若水流的速度是2千米/时，求船在静水中的速度．设船在静水中的速度为x 千米/时，则可列出的方程为A ．906022x x =+- B ．906022x x =-+ C ．90602x x+=D ．60902x x+=10．若关于x 的分式方程322x ax -=-的解为正数，那么字母a 的取值范围是 A ．6a <B ．4a >C ．6a <且4a ≠D ．4a >且6a ≠11．已知关于x 的分式方程212x ax +=--的解为非负数，则a 的取值范围是 A ．a ≤2B ．a ＜2C ．a ≤2且a ≠﹣4D ．a ＜2且a ≠﹣412．甲、乙二人做某种机械零件，甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60个所用的时间相等．设甲每小时做x 个零件，下面所列方程正确的是A ．90606x x =- B ．90606x x =+ C ．90606x x=-D ．90606x x=+ 13．西宁市创建全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作1.2小时清理完另一半垃圾．设乙车单独清理全部垃圾的时间为x 小时，根据题意可列出方程为A ．1.2 1.216x += B ．1.2 1.2162x += C ．1.2 1.2132x +=D ．1.2 1.213x+=14．如果关于x 的不等式组02443x mx x -⎧>⎪⎪⎨-⎪-<-⎪⎩的解集为x ＞4，且关于x 的分式方程1322mx x x -+--﹣1=0有整数解，则符合条件的所有整数m 的个数是 A ．5 B ．4 C ．3D ．215．某市为解决部分市民冬季集中取暖问题需铺设一条长3000米的管道，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时对“…”，设实际每天铺设管道x 米，则可得方程300030001510x x-=-．根据此情景，题中用“…”表示的缺失的条件应补为A ．每天比原计划多铺设10米，结果延期15天才完成B ．每天比原计划少铺设10米，结果延期15天才完成C ．每天比原计划多铺设10米，结果提前15天才完成D ．每天比原计划少铺设10米，结果提前15天才完成16．某学校食堂需采购部分餐桌，现有A ，B 两个商家，A 商家每张餐桌的售价比B 商家的优惠13元．若该校花费2万元采购款在B 商家购买餐桌的张数等于花费1.8万元采购款在A 商家购买餐桌的张数，则A 商家每张餐桌的售价为 A ．117元 B ．118元C ．119元D ．120元17．分式方程x x 412=+的解为_______________． 18．方程31144x x x-+=--的解是_______________．19．若关于x 的分式方程1322m xx x-=---有增根，则实数m 的值是_______________．20．分式72x -与2xx-的和为4，则x 的值为_______________．学=科网21．某物流仓储公司用A ，B 两种型号的机器人搬运物品，已知A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运20kg ，A 型机器人搬运1000 kg 所用时间与B 型机器人搬运800 kg 所用时间相等，设B 型机器人每小时搬运x kg 物品，列出关于x 的方程为_______________．22．若关于x 的方程112ax x +=--的解是正数，则a 的取值范围是_______________． 23．解下列方程：（1）1233x x x=+--； （2）2316111x x x +=+--； （3）10522112x x+=--； （4）241111x x x +=---．24．甲、乙两个工程队均参与某筑路工程，先由甲队筑路60公里，再由乙队完成剩下的筑路工程，已知乙队筑路总公里数是甲队筑路总公里数的43倍，甲队比乙队多筑路20天． （1）求乙队筑路的总公里数；（2）若甲、乙两队平均每天筑路公里数之比为5：8，求乙队平均每天筑路多少公里．25．某服装店购进一批甲、乙两种款型时尚T 恤衫，甲种款型共用了7800元，乙种款型共用了6400元．甲种款型的件数是乙种款型件数的1.5倍，甲种款型每件的进价比乙种款型每件的进价少30元． （1）甲、乙两种款型的T 恤衫各购进多少件？（2）商店进价提高60%标价销售，销售一段时间后，甲款型全部售完，乙款型剩余一半，商店决定对乙款型按标价的五折降价销售，很快全部售完，求售完这批T 恤衫商店共获利多少元？26．甲、乙两地相距72千米，李磊骑自行车往返两地一共用了7小时，已知他去时的平均速度比返回时的平均速度快13，求李磊去时的平均速度是多少？ 小芸同学解法如下：解：设李磊去时的平均速度是x 千米/时，则返回时的平均速度是（1﹣13）x 千米/时，由题意得：72727113x x +=⎛⎫- ⎪⎝⎭. 你认为小芸同学的解法正确吗？若正确，请写出该方程所依据的等量关系，并完成剩下的步骤；若不正确，请说明原因，并完整地求解问题．1．（2018湖北省荆州）解分式方程12x -﹣3=42x-时，去分母可得 A ．1﹣3（x ﹣2）=4B ．1﹣3（x ﹣2）=﹣4C ．﹣1﹣3（2﹣x ）=﹣4D ．1﹣3（2﹣x ）=42．（2018黑龙江省哈尔滨）方程1223x x =+的解为 A ．x =﹣1 B ．x =0 C ．x =35D ．x =13．（2018山东省德州）分式方程()()31112x x x x -=--+的解为 A ．1x = B ．2x = C ．1x =-D ．无解4．（2018四川省甘孜州）若4x =是分式方程213a x x -=-的根，则a 的值为 A ．6 B ．−6 C ．4D ．−45．（2018四川省巴中）若分式方程231222x a x x x x-+=--有增根，则实数a 的取值是 A ．0或2 B ．4 C ．8D ．4或86．（2018黑龙江省龙东地区）已知关于x 的分式方程21m x -+=1的解是负数，则m 的取值范围是 A ．m ≤3 B ．m ≤3且m ≠2 C ．m ＜3D ．m ＜3且m ≠27．（2018黑龙江省绥化）某工厂新引进一批电子产品，甲工人比乙工人每小时多搬运30件电子产品，已知甲工人搬运300件电子产品所用的时间与乙工人搬运200件电子产品所用的时间相同.若设乙工人每小时搬运x 件电子产品，可列方程为A ．30020030x x =+ B ．30020030x x =- C ．30020030x x=+D ．30020030x x =-8．（2018贵州省毕节）某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用10000元购进这种衬衫，面市后果然供不应求，商厦又用22000元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍．但单价贵了4元，求这两批衬衫的购进单价，若设第一批衬衫购进单价为x 元，则所列方程正确的是A ．10000220002+4x x ⨯=B ．10000220002+4x x =⨯C ．100002200024x x ⨯=-D ．100002200024x x =⨯- 9．（2018重庆）若数a 使关于x 的不等式组()()111132231x x x a x ⎧-≤-⎪⎨⎪-≤-⎩有且仅有三个整数解，且使关于y 的分式方程31222y a y y++--=1有整数解，则满足条件的所有a 的值之和是 A ．﹣10 B ．﹣12 C ．﹣16D ．﹣1810．（2018贵州省铜仁）分式方程312x x -+=4的解是x =_____． 11．（2018山东省潍坊）当m =____________时,解分式方程533x mx x-=--会出现增根． 12．（2018四川省达州）若关于x 的分式方程333x ax x +--=2a 无解，则a 的值为________. 13．（2018四川省眉山）已知关于x 的分式方程233x kx x -=--有一个正数解，则k 的取值范围为________. 14．（2018广西壮族自治区贺州）解分式方程：241x -+1=11x x -+.15．（2018黑龙江省大庆）解方程：3x x +﹣1x=1．16．（2018山西）2018年1月20日，山西迎来了“复兴号”列车，与“和谐号”相比，“复兴号”列车时速更快，安全性更好．已知“太原南﹣北京西”全程大约500千米，“复兴号”G92次列车平均每小时比某列“和谐号”列车多行驶40千米，其行驶时间是该列“和谐号”列车行驶时间的45（两列车中途停留时间均除外）．经查询，“复兴号”G92次列车从太原南到北京西，中途只有石家庄一站，停留10分钟．求乘坐“复兴号”G92次列车从太原南到北京西需要多长时间．17．（2018广东）某公司购买了一批A、B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知该公司用3120元购买A型芯片的条数与用4200元购买B型芯片的条数相等．（1）求该公司购买的A、B型芯片的单价各是多少元？（2）若两种芯片共购买了200条，且购买的总费用为6280元，求购买了多少条A型芯片？1．【答案】A【解析】方程两边同乘以1x-得到12(1)3x--=-.故选A．2．【答案】C【解析】去分母得233x x x=+-，解得1x=-或3x=，经检验1x=-是增根，所以分式方程的根为3x=.故选C．4．【答案】B【解析】将方程的两边同时乘以(3)x-，可得3)2(x x m--=，解得6x m=-，根据解为正数可得：0x>且3x≠，则60m->且63m-≠，解得6m<且3m≠．故选B．【名师点睛】本题主要考查解含有参数的分式方程以及分式的增根问题．在解决这个问题的时候很多同学容易忽视这个增根，从而导致答案错误．如果本题将正数解改为负数解，对于增根我们就没有必要再去考虑，所以同学们一定要注意增根是否在给出的解的范围之内，从而进行解答．5．【答案】C【解析】设每个A型包装箱可以装书x本，则每个B型包装箱可以装书(15)x+本，根据单独使用B型包装箱比单独使用A型包装箱可少用6个，列方程得10801080615x x=-+.变式拓展故选C ．6．【答案】（1）0＜x ≤200，且x 为整数；（2）175. 【解析】（1）根据题意得：0＜x ≤200，且x 为整数. （2）设小王原计划购买x 个纪念品， 根据题意得：105010505635x x ⨯=⨯+， 整理得：5x +175=6x ， 解得：x =175，经检验，x =175是分式方程的解，且满足题意， 答：小王原计划购买175个纪念品．【名师点睛】此题考查了分式方程的应用，弄清题中的等量关系“按原价购买5个纪念品与按打折价购买6个纪念品的钱数相同”是解本题的关键． （1）根据商场的规定确定出x 的范围即可；（2）设小王原计划购买x 个纪念品，根据按原价购买5个纪念品与按打折价购买6个纪念品的钱数相同列出分式方程，求出解即可得到结果．1．【答案】C【解析】关于x 的方程①153x -=，该方程分母中不含未知数，不是分式方程． 关于x 的方程②121x x =-，该方程分母中含有未知数，是分式方程． 关于x 的方程③()111x x x -+=，该方程分母中含有未知数，是分式方程．关于x 的方程④31x a b =-中，该方程分母中不含未知数，不是分式方程．综上，是分式方程的有②、③，共2个． 故选C ．【名师点睛】本题考查了分式方程的定义．判断一个方程是否为分式方程，主要是看分母中是否含有未知数（注意：仅仅是字母不行，必须是表示未知数的字母）．根据分式方程的定义：分母里含有未知量的方程叫做分式方程，据此进行判断. 2．【答案】C【解析】方程两边同乘()(31)x x +-，可得()213x x -=+，即223x x -=+，即5x =，检验：当5x =时，1)03()(x x -≠+，所以5x =是原方程的根. 故选C ． 3．【答案】D【解析】去分母可得221x x -=-，解得1x =，检验：当1x =时，10x -=，所以次方程无解. 故选D ． 4．【答案】D【解析】根据分式方程的根为3x =，可直接代入原方程可得3212313k k --=-，解得2k =．故选D ．5．【答案】D【解析】因为关于x 的方程2334ax a x +=-的解为1x =，所以23314a a +=-，解关于a 的分式方程23314a a +=-，可得3a =-，经检验，3a =-是此方程的解. 故选D ．8．【答案】B【解析】根据题意可得54244x xx x--=--，方程两边同时乘以(4)x -，可得524x x -=-，解得1x =-，经检验：1x =-是原方程的解． 故选B ． 9．【答案】A【解析】因为船在静水中的速度为x 千米/时，所以由题意可得906022x x =+-. 故选A ． 10．【答案】D【解析】解关于x 的方程322x ax -=-，可得4x a =-．因为原方程的解为正数，所以42040a a --≠⎧⎨->⎩，解得4a >且6a ≠． 故选D.【名师点睛】（1）把方程中的a 先看做常数，按解普通分式方程的方法解出x （用含“a ”的代数式表达）；（2）分式方程有正数解，包含两层含义：①分式方程有解（即第一步中求得的x 的值使最简公分母的值不等于0）；②方程的解为正数（即第一步中求得的x 的值大于0）． 11．【答案】C 【解析】212x ax +=--, 去分母可得:22x a x +=-+, 移项可得:22x x a +=-, 合并同类项可得:32,x a =- 系数化为1可得:23ax -=, 根据分式方程的解为非负数和分式有解可得:20,3a -≥且223a-≠,解得: a ≤2且a ≠﹣4. 故选C.学科=网【名师点睛】本题主要考查解分式方程,分式方程的解,解决本题的关键是要熟练掌握解分式方程的步骤和分式方程解的概念.先根据解分式方程的步骤求分式方程的解,再根据分式方程的解为非负数和分式方程有解可得分式方程的解不能等于2,列出不等式组进行解答即可. 12．【答案】A【解析】由甲每小时做x 个零件，可得乙每小时做(6)x -个零件，由题意可得90606x x =-． 故选A ． 13．【答案】B【解析】由题意可得1.2 1.2162x +=. 故选B ． 14．【答案】B【解析】不等式组整理得4x mx >⎧⎨>⎩， ∵不等式组的解集为x ＞4，∴m ≤4，分式方程去分母，得：1﹣mx ﹣3﹣（2﹣x ）=0，解得：x =41m-， ∵分式方程有整数解，∴1﹣m =±4或1﹣m =﹣2或1﹣m =±1，解得：m =﹣3或m =5或m =3或m =0或m =2， ∵m ≤4，∴符合条件的整数m 的值有﹣3、3、0、2，共4个. 故选B ．【名师点睛】此题考查了分式方程的解以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则，求得m 的取值范围以及解分式方程是解本题的关键．根据已知不等式的解集确定出m 的范围，再由分式方程有整数解，确定出m 的个数即可． 15．【答案】C【解析】题中方程表示原计划每天铺设管道(10)x -米，即实际每天比原计划多铺设10米，结果提前15天完成. 故选C ． 16．【答案】A【思路分析】设A 商家每张餐桌的售价为x 元，则B 商家每张餐桌的售价为(3)1x +，根据“花费2万采购款在B 商家购买餐桌的张数等于花费1.8万元购买款在A 商家购买餐桌的张数”列方程即可． 【解析】设A 商家每张餐桌的售价为x 元，则B 商家每张餐桌的售价为(3)1x +， 根据题意列方程，可得200001800013x x=+，解得117x =， 经检验：117x =是原方程的解． 故选A ． 17．【答案】2x =【解析】方程xx 412=+两边都乘以x ，可得24x +=，解得2x =，检验：当2x =时，0x ≠，即2x =是原方程的解，故答案为2x =． 18．【答案】3x =【解析】方程两边都乘最简公分母4x -，可以把分式方程转化为整式方程314x x --=-，化简为26x -=-，解得3x =，经检验3x =是原方程的解．19．【答案】1【解析】方程两边同乘以2x -，可得13(2)m x x =---，解得25m x =-+，因分式方程1322m x x x-=---有增根，可得2x =，所以1m =．20．【答案】3【解析】首先根据分式72x -与2x x -的和为4，可得7422xx x+=--，去分母，可得748x x -=-，解得3x =，经检验3x =是原方程的解，故x 的值为3．21．【答案】100080020x x=+ 【解析】设B 型机器人每小时搬运x kg 物品，则A 型机器人每小时搬运（x +20）kg 物品，根据题意可得100080020x x =+， 故答案为：100080020x x=+． 【名师点睛】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是根据数量关系列出关于x 的分式方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程是关键．设B 型机器人每小时搬运x kg 物品，则A 型机器人每小时搬运（x +20）kg 物品，根据“A 型机器人搬运1000kg 所用时间与B 型机器人搬运800kg 所用时间相等”可列方程．【名师点睛】本题考查了分式方程的解的相关知识．本题的难点在于准确且全面地理解分式方程的解为正数这一条件．既然分式方程所转化成的整式方程只有一个解，那么这个解就不应该是增根；且当分式方程的解为正数时该整式方程的解也应该为正数．另外，在去分母后，由于未知数x 的系数中含有未知参数a ，所以不能直接进行“系数化为1”的步骤，应该对参数a 的值进行讨论． 23．【答案】（1）7x =；（2）2x =；（3）74x =；（4）1x =是增根，原方程无解． 【解析】（1）去分母，可得126x x =--，解得7x =， 经检验7x =是分式方程的解，所以方程1233x x x=+--的解为7x =． （2）去分母，可得3316x x -++=，解得2x =， 经检验2x =是分式方程的解，所以方程2316+=的解为2x =．（3 即5（4）2111x x =---，去分母得2241(1)x x =-++，化简得321x =+，解得1x =， 经检验1x =为方程的增根， 所以方程无解．【名师点睛】分式方程解出x 以后一定要将x 的值代入分母验证x 是否为方程的增根．将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解． 24．【答案】（1）80公里；（2）乙队每天筑路45公里． 【解析】（1）乙队筑路的总公里数为608430⨯=（公里）；（2）设甲队每天筑路5x 公里，乙队每天筑路8x 公里．根据题意可得60802058x x -=，解得110x =， 经检验：110x =是方程的解且符合题意．则乙队每天筑路1488105x =⨯=公里， 答：乙队每天筑路45公里．25．【答案】（1）甲种款型的T 恤衫购进60件，乙种款型的T 恤衫购进40件；（2）售完这批T 恤衫商店共获利5960元．【解析】（1）设乙种款型T 恤衫购进x 件，则甲种款型的T 恤衫购进1.5x 件，根据题意：78006400301.5x x+=， 解得40x =，经检验，40x =是原方程的解，且符合题意，1.560x =．答：甲种款型的T 恤衫购进60件，乙种款型的T 恤衫购进40件． （2）6400160x=，16030130-=（元）， 13060%6016060%(402)160[1(160%)0.5](402)⨯⨯+⨯⨯÷-⨯-+⨯⨯÷468019206405960=+-=（元）答：售完这批T 恤衫商店共获利5960元． 26．【答案】小芸同学的解法不正确，理由见解析； 【解析】小芸同学的解法不正确．理由为：“去时的平均速度比返回时的平均速度快13”并不等于“返回时的平均速度比去时的平均速度慢13”． 正确的解法是：设返回时的平均速度为x 千米/时，则去时的平均速度为113x ⎛⎫+⎪⎝⎭千米/时， 根据题意得：72727,113x x +=⎛⎫+ ⎪⎝⎭解得：18.x =经检验，18x =是原分式方程的解，11111824.33x ⎛⎫⎛⎫∴+=+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭答：李磊去时的平均速度是24千米/时．【名师点睛】本题考查了分式方程的应用，根据时间=路程÷速度结合往返的时间，列出关于x 的分式方程是解题的关键，还要养成方程检验的习惯．要重点理解“已知他去时的平均速度比返回时的平均速度快13”，把返回时的平均速度作为“1”，则去时的平均速度为“1+13”，不等同于去时的平均速度是x 千米/时，则返回时的平均速度是113x ⎛⎫-⎪⎝⎭千米，可得出小芸同学的解法不正确．正确做法是设返回时的平均速度为x 千米/时，则去时的平均速度为113x ⎛⎫+⎪⎝⎭千米/时，根据时间=路程÷速度结合往返的时间，即可得出关于x 的分式方程，解之并检验后即可得出结论．1．【答案】B【解析】方程两边同时乘以（x−2），得1﹣3（x﹣2）=﹣4.故选B．【名师点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，熟练掌握解分式方程的一般步骤以及注意事项是解题的关键.方程两边同时乘以（x−2），转化为整式方程，由此即可作出判断．2．【答案】D【解析】去分母得：x+3=4x，解得：x=1，经检验x=1是分式方程的解，故选D．【名师点睛】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意要检验．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．3．【答案】D【解析】去分母得：x2+2x﹣x2﹣x+2=3，解得：x=1，经检验x=1是增根，故分式方程无解．故选D．【名师点睛】本题考查了分式方程的解，始终注意分母不为0这个条件，分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．4．【答案】A【解析】由题意得：21443a-=-，解得：a=6.故选A.【名师点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程解的意义是解题的关键.把x=4代入方程进行求解即可得.5．【答案】D【解析】方程两边同乘x（x﹣2），得3x﹣a+x=2（x﹣2），由题意得，分式方程的增根为0或2，当x =0时，﹣a =﹣4，解得a =4， 当x =2时，6﹣a +2=0，解得a =8， 故选D ．【名师点睛】本题考查的是分式方程的增根，增根的定义：在分式方程变形时，有可能产生不适合原方程的根，即代入分式方程后分母的值为0或是转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值的根，叫做原方程的增根．先把分式方程化为整式方程，确定分式方程的增根，代入计算即可．【名师点睛】本题考查了分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法以及分式方程的分母不为零是解题关键．解方程得到方程的解，再根据解为负数得到关于m 的不等式结合分式的分母不为零，即可求得m 的取值范围. 7．【答案】C【解析】乙工人每小时搬运x 件电子产品，则甲工人每小时搬运()30x +件电子产品， 依题意得：30020030x x=+， 故选C ．【名师点睛】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，根据关键描述语句找到合适的等量关系是解决问题的关键.乙工人每小时搬运x 件电子产品，则甲工人每小时搬运()30x +件电子产品，根据300÷甲的工效200=÷乙的工效，列出方程即可． 8．【答案】A【解析】设第一批衬衫购进单价为x 元，则购进第二批这种衬衫单价是（x +4）元， 依题意有：2×10000220004x x =+． 故选A ．【名师点睛】本题主要考查了分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．可设第一批衬衫购进单价为x 元，根据用22000元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2。

干货|初中数学分式运算7大类型的易错点，必须掌握！分式运算是初二下册考试难点之一，今天小志老师给大家分享分式运算的7大类型易错点，一定要好好掌握哦！01类型一：错用分式的基本性质●分式的分子、分母同时乘以或乘以同一个不为0的数（或整式），分式的值不变。

在化简时，不能分子乘以3，分母乘以2，这样不符合分式的基本性质，因此我们先找到两个分数分母的最小公倍数，2×3=6，然后分式的分子与分母同时乘以6，进行化简。

分式的基本性质是分式运算的基础，不要凭自己的想象做题。

02类型二：运算顺序出错●分式运算顺序与整式运算顺序类似，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的。

同级运算，按照从左往右的顺序依次计算，因此这道题目不能直接约去a-3和3-a，更加不能直接得到答案-1，不能看到能约分的直接全部约掉，要按照运算顺序进行计算，先将除法变为乘法，再进行计算。

搞清楚运算顺序，不能为了简便而简便。

03类型三：互为相反数的代数式约分出错●首先要注意，互为相反数的代数式能约分，不能放任不管；其次，约分时也要注意，若为奇次方约分时，变形时要多一个负号；若为偶次方约分时，直接变形即可。

本题的注意点较多，有括号的先算括号里面的，括号里面的为加减法，因此需要先通分。

通分时可以每一项分别通分，也可以加括号将a+2看作一个整体再通分。

除数中有3-a和4-2a 可将其转化为a-3和2a-4，然后再进一步化简。

这类题目一定要特别注意，一个符号出错会导致整道题目都出错。

04类型四：不该约分时约分导致出错●在求解分式有意义的条件时，不能约分，约分会导致出错。

分式有意义的条件为分母不等于0，本题的错解为：x≠-3，在计算时将a-3约分掉，这样会扩大未知数的取值范围。

应该直接令分母（a-3）（a+3）≠0，即x的取值范围：x≠3且x≠-3。

05类型五：分式加减法与分式方程混淆导致出错●分式加减法是进行通分处理，分式方程是方程左右两边同时乘以最简公分母，进行去分母处理，不要混淆。

分式方程易错清单1.解分式方程时为什么容易出错?【例1】(2014·新疆)解分式方程:+=1.【解析】先将分式方程转换为整式方程,再求出整式方程的解,最后检验后判定分式方程解的情况.【答案】方程两边都乘以(x+3)(x-3),得3+x(x+3)=x2-9,去括号,得3+x2+3x=x2-9,解得x=-4.检验:把x=-4代入(x+3)(x-3)≠0,∴x=-4是原分式方程的解.【误区纠错】最简公分母找错,加重计算负担,导致出错;在计算中,注意常数项要乘以最简公分母,不要漏乘.【例2】(2014·内蒙古呼和浩特)解方程:-=0.【解析】先去分母,化为整式方程求解即可.本题最简公分母是x(x+2)(x-2).【答案】去分母,得3x-6-x-2=0,解得x=4,经检验,x=4是原方程的根,故x=4是原方程的解.【误区纠错】解分式方程产生增根,忘记验根.【例3】(2014·贵州黔西南州)解方程:=.【解析】将分式方程转化为整式方程时易产生增根,所以要检验,检验时只要代入最简公分母中即可.【答案】方程两边都乘以(x+2)(x-2),得x+2=4,解得x=2,经检验,x=2不是分式方程的解,故原分式方程无解.【误区纠错】增根不是分式方程的根,本题学生常犯错误是,漏写最后一句话:“原分式方程无解”.2.运用分式方程解决实际问题时,关键是找出等量关系.【例4】(2014·云南)“母亲节”前夕,某商店根据市场调查,用3000元购进第一批盒装花,上市后很快售完,接着又用5000元购进第二批这种盒装花.已知第二批所购花的盒数是第一批所购花盒数的2倍,且每盒花的进价比第一批的进价少5元.求第一批盒装花每盒的进价是多少元?【解析】设第一批盒装花的进价是x元/盒,则第一批进的数量是,第二批进的数量是,再根据等量关系:第二批进的数量=第一批进的数量×2,可得方程.【答案】设第一批盒装花的进价是x元/盒,由题意,得2×=,解得x=30.经检验,x=30是原方程的根.故第一批盒装花每盒的进价是30元.【误区纠错】题目中的相等关系不明显,倍数关系易出错,学生找不到相等关系而无法得到对应的分式方程.运用分式方程解决实际问题的关键是确定问题中的相等关系.名师点拨1.会利用分式方程的定义判断分式方程.2.能利用最简公分母将分式方程化为整式方程,会利用换元思想解分式方程.3.会利用检验思想判断分式是否存在增根.4.会利用分式方程解决实际问题,并且注意求出的方程的解是否存在实际意义.提分策略1.分式方程的解法.解分式方程常见的误区:(1)忘记验根;(2)去分母时漏乘整式的项;(3)去分母时,没有注意符号的变化.【例1】解方程:+=1.【解析】根据解分式方程的一般步骤,将分式方程化为整式方程求解,最后再验根即可.【答案】方程两边都乘以(x+2)(x-2),得2+x(x+2)=x2-4,去括号,得2+x2+2x=x2-4,解得x=-3.检验:把x=-3代入(x+2)(x-2)≠0,∴x=-3是原分式方程的解.2.利用分式方程解决实际问题.列分式方程解决实际问题,是近几年中考的热点问题.在列方程之前,应先弄清问题中的已知数与未知数,以及它们之间的数量关系,用含未知数的式子表示相关量,然后再用题中的主要相等关系列出方程.求出解后,必须进行检验,既要检验是否为所列方程的解,又要检验是否符号题意.【例2】几个小伙伴打算去音乐厅观看演出,他们准备用360元购买门票.下面是两个小伙伴的对话:根据对话的内容,请你求出小伙伴们的人数.【解析】设票价为x元,根据图中所给的信息可得小伙伴的人数为,根据小伙伴的人数不变,列方程求解.【答案】设票价为x元,由题意,得=+2,解得x=60,经检验,x=60是原方程的根,则小伙伴的人数为=8.故小伙伴们的人数为8人.专项训练一、选择题1. (2014·四川简阳模拟)全民健身活动中,组委会组织了长跑队和自行车队进行宣传,全程共10千米,自行车队的速度是长跑队速度的2.5倍,自行车队出发半小时后,长跑队才出发,结果长跑队比自行车队晚到了2小时,如果设长跑队跑步的速度为x千米/时,那么根据题意可列方程为().A. +2=+0.5B. -=2-0.5C. -=2-0.5D. -=2+0.52. (2013·广西钦州四模)将分式方程1-=去分母,整理后得().A. 8x+1=0B. 8x-3=0C. x2-7x+2=0D. x2-7x-2=0二、填空题3. (2014·四川峨眉山二模)已知某项工程由甲、乙两队合做12天可以完成,乙队单独完成这项工程所需时间是甲队单独完成这项工程所需时间的2倍少10天.甲、乙两队单独完成这项工程分别需要多少天?设甲队单独完成需x天,根据题意列出的方程是.4. (2014·北京平谷区模拟)A,B两种机器人都被用来搬运化工原料,A型机器人比B型机器人每小时多搬运20千克,A型机器人搬运1000千克所用时间与B型机器人搬运800千克所用时间相等,则A型机器人每小时搬运千克化工原料.5. (2014·甘肃天水模拟)已知分式值为0,那么x的值为.6. (2013·广东珠海一模)方程=的解是.7. (2013·浙江锦绣·育才教育集团一模)已知关于x的方程=5的解是正数,则m的取值范围为.三、解答题8. (2014·宁夏银川外国语学校模拟)解方程:-1=.9.(2014·安徽安庆一模)甲、乙两个工程队都有能力承包一项筑路工程,乙队单独完成的时间比甲队单独完成多5天,若先由甲、乙两队合作4天后,余下的工程再由乙队单独完成,一共所用时间和甲队单独完成的时间恰好相等.则甲、乙两队单独完成此项任务各需要多少天?10. (2014·江苏南京二模)某学校准备组织部分学生到少年宫参加活动,刘老师从少年宫带回来两条信息:信息一:按原来报名参加的人数,共需要交费用320元,如果参加的人数能够增加到原来人数的2倍,就可以享受优惠,此时只需交费用480元;信息二:如果能享受优惠,那么参加活动的每位同学平均分摊的费用比原来少4元.根据以上信息,原来报名参加的学生有多少人?11. (2013·浙江湖州模拟)解方程:+=2.12. (2013·上海长宁区二模)解方程:-=.13.(2013·广东惠州惠城区模拟)小红家星期六到惠东巽寮湾游玩,从家到目的地全程80km,由于周末车流量较大,实际行驶速度是原计划的,结果实际比原计划多用了15分钟,求原计划的行驶速度是多少.14.(2013·安徽芜湖一模)2012年3月25日央视《每周质量播报》报道“毒胶囊”的事件后,全国各大药店的销售都受到不同程度的影响,4月初某种药品的价格大幅度下调,下调后每盒价格是原价格的,原来用60元买到的药品下调后可多买2盒.4月中旬,各部门加大了对胶囊生产监管力度,因此,药品价格4月底开始回升,经过两个月后,药品上调为每盒14.4元.(1)问该药品的原价格是多少,下调后的价格是多少?(2)问5,6月份药品价格的月平均增长率是多少?参考答案与解析1. C[解析]自行车队的时间减去长跑队的时间=(2-0.5)小时.2. D[解析]去分母,得x(x+1)-(5x+2)=3x,去括号,得x2+x-5x-2=3x,整理,得x2-7x-2=0.3.+= [解析]若甲队单独完成需x天,则乙队单独完成需(2x-10)天,根据两人合作的工作效率等于,可列出方程.4.100[解析]设A型机器人每小时搬运化工原料x千克,则B型机器人每小时搬运(x-20)千克.依题意,得=,解得x=100.经检验,x=100是方程的解且符合实际意义.5.-1[解析]根据题意,得x2+3x+2=0,解得x1=-1,x2=-2(使分母等于零,所以舍去).6.x= [解析]化为整式方程,得5(2-x)=3(x+2),解得x=.经检验,x=是原方程的根.7.m>-10且m≠-4[解析]原方程化为整式方程,得2x+m=5x-10,解得x=(10+m),因为解为正数,所以(10+m)>0,解得m>-10.同时要保证分母不为零,所以m≠-4.8.去分母,得x(x+2)-(x-1)(x+2)=2x(x-1),整理,得2x2-3x-2=0,解得x1=-,x2=2.检验:把x1=-,x2=2代入(x-1)(x+2)≠0,∴原方程的根是x1=-,x2=2.9. (1)设甲队单独完成此项任务需要x天,则乙队单独完成此项任务需要(x+5)天.根据题意,得4+=1,去分母,得4(x+5)+4x+x(x-4)=x(x+5).解得x=20.经检验,x=20是原方程的解,则x+5=25(天).所以甲队单独完成此项任务需要20天,乙队单独完成此项任务需要25天.10.设原来报名参加的学生有x人,依题意,得-=4.解得x=20.经检验,x=20是原方程的解且符合题意.故原来报名参加的学生有20人.11.去分母,得x-1=2(x-3),去括号,得x-1=2x-6,解得x=5.经检验,x=5是原方程的根.12.去分母,得3(x+1)-(x-1)=x(x+5),整理,得x2+3x-4=0,解得x1=1,x2=-4.经检验,x1=1是原方程的增根,x2=-4是原方程的根,∴x=-4是原方程的根.13.设原计划的行驶速度为x千米/小时.根据题意,得-=.解得x=80.经检验,x=80是原方程的解.故原计划的行驶速度为80千米/小时.14. (1)设该药品的原价格是x元/盒,则下调后每盒价格是x元/盒.根据题意,得=+2,解得x=15.经检验,x=15是原方程的解.∴x=15,x=10.故该药品的原价格是15元/盒,则下调后每盒价格是10元/盒. (2)设5,6月份药品价格的月平均增长率是a.根据题意,得10(1+a)2=14.4,解得a1=0.2=20%,a2=-2.2(不合题意,舍去).故5,6月份药品价格的月平均增长率是20%.。

方程组易错清单1.解方程组时,一定要先观察方程的特点,再选择适当的方法.【例1】(2014·宁夏模拟)如果关于x,y的二元一次方程组的解满足x+y>1,那么k的取值范围是.【解析】本题可以把k当成已知数,解关于x,y的二元一次方程组,再代入x+y>1,求出k 的取值范围.但更简便的方法是直接将两个方程相加,得3x+3y=3k-3,即x+y=k-1.所以k-1>1,解得k>2.【答案】k>2【误区纠错】一般地解二元一次方程组时,先观察两个二元一次方程同一未知数的系数,若同一未知数的系数相同或相反时,则用加减消元法解;若同一未知数的系数不同并且有一方程的未知数的系数为1时,则用代入法解.2.根据条件找不全反应题意的等量关系建立方程(组).【例2】(2014·内蒙古呼和浩特)为鼓励居民节约用电,我市自2012年以对家庭用电收费实行阶梯电价,即每月对每户居民的用电量分为三个档级收费,第一档为用电量在180千瓦时(含180千瓦时)以内的部分,执行基本价格;第二档为用电量在180千瓦时到450千瓦时(含450千瓦时)的部分,实行提高电价;第三档为用电量超出450千瓦时的部分,执行市场调节价格.我市一位同学家今年2月份用电330千瓦时,电费为213元,3月份用电240千瓦时,电费为150元.已知我市的一位居民今年4、5月份的家庭用电量分别为160和410千瓦时,请你依据该同学家的缴费情况,计算这位居民4、5月份的电费分别为多少元?【解析】设基本电价为x元/千瓦时,提高电价为y元/千瓦时,根据2月份用电330千瓦时,电费为213元,3月份用电240千瓦时,电费为150元,列方程组求解.【答案】设基本电价为x元/千瓦时,提高电价为y元/千瓦时,由题意,得解得则四月份电费为160×0.6=96(元),五月份电费为180×0.6+230×0.7=108+161=269(元).故这位居民四月份的电费为96元,五月份的电费为269元.【误区纠错】本题考查了二元一次方程组的应用,解答本题的关键是读懂题意,设出未知数,找出合适的等量关系,列方程组求解.名师点拨1.能判断二元一次方程(组).2.会利用代入法、加减法进行消元.3.能区分一次函数与二元一次方程组的联系与区别.4.会根据题中等量关系列二元一次方程组并解决实际问题.提分策略用二元一次方程组解决实际问题.(1)列二元一次方程组解决古代数学问题列方程组解应用题的关键是找出实际问题中的等量关系,解题时要仔细分析,找出其中蕴含的等量关系,设出未知数,列出方程.【例1】《一千零一夜》中有这样一段文字有一群鸽子,其中一部分在树上欢歌,另一部分在地上觅食,树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说“若从你们中飞上一只,则树下的鸽子就是整个鸽群的;若从树上飞下去一只,则树上、树下的鸽子有一样多了.”你知道树上、树下各有多少只鸽子吗?【答案】设树上有x只鸽子,树下有y只鸽子,由题意,得解得故树上有7只鸽子,树下有5只鸽子.(2)列二元一次方程组解几何图形的计算问题对于图形问题的求解,要会通过对图形的观察、比较、分析,发现隐含在图形中的数量关系,这是解决有关图形问题的关键.图形中隐含的数量关系有边长间的关系、面积间的关系等.【例2】小王购买了一套经济适用房,他准备将地面铺上地砖,地面结构如图所示.根据图中的数据(单位m),解答下列问题(1)写出用含x,y的代数式表示的地面总面积;(2)已知客厅面积比卫生间面积多21m2,且地面总面积是卫生间面积的15倍,铺1m2地砖的平均费用为80元,求铺地砖的总费用为多少元?【答案】(1)地面总面积为(6x+2y+18)m2.(2)由题意,得解得∴地面总面积为6x+2y+18=6×4+2×+18=45(m2).∵铺1m2地砖的平均费用为80元,∴铺地砖的总费用为45×80=3600(元).专项训练一、选择题1. (2014·广西百色模拟)已知是二元一次方程组的解,则a-b的值为().A. 1B. -1C. 2D. 32. (2014·北京顺义区模拟)陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场,气球的种类有笑脸和爱心两种,两种气球的价格不同,但同一种气球的价格相同.由于会场布置需要,购买时以一束(4个气球)为单位,已知第一、二束气球的价格如图所示,则第三束气球的价格(单位元)为().(第2题)A. 19B. 18C. 16D. 153. (2013·山东德州特长展示)已知(x+2)2+|3x+y+m|=0中,y为负数,则m的取值范围为().A. m>6B. m<6C. m>-6D. m<-6二、填空题4.(2014·安徽安庆外国语学校模拟)若方程组的解为则被遮盖的两个数分别为.5. (2013·广东珠海一模)如果实数x,y满足方程组那么x2-y2= .三、解答题6. (2014·江苏苏州高新区一模)食品安全是老百姓关注的话题,在食品中添加过量的添加剂对人体有害,但适量的添加剂对人体无害且有利于食品的储存和运输.某饮料加工厂生产的A,B两种饮料均需加入同种添加剂,A饮料每瓶需加该添加剂0.2克,B饮料每瓶需加该添加剂0.3克,已知54克该添加剂恰好生产了A,B两种饮料共200瓶,问A,B两种饮料各生产了多少瓶?7. (2013·江西饶鹰联考)根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求,江西省上饶市决定从2012年7月1日起对居民生活用电试行“阶梯电价”收费,具体收费标准见下表(1)若上饶市一户居民8月份用电300千瓦时,应缴电费186元,9月份用电400千瓦时,应缴电费263.5元.求a,b的值;(2)实行“阶梯电价”收费以后,该户居民用电多少千瓦时,其当月的平均电价每千瓦时不超过0.62元?参考答案与解析1. B[解析]将方程组转化为关于a,b的二元一次方程组,求出a,b即可.2. C[解析]设笑脸和爱心两种气球的价格分别为x,y元,由题意,得解得∴2x+2y=16.3. A[解析]由题意,得所以y=-m+6.因为y为负数,所以-m+6<0,解得m>6.4. 7,3[解析]将x=2代入3x-y=3,得y=3,所以2x+y=2×2+3=7.5. 2[解析]由题意,得x+y=4,x-y=,∴x2-y2=(x+y)(x-y)=×4=2.6.设A种饮料生产了x瓶,B种饮料生产了y瓶,由题意,得解得故A种饮料生产了60瓶,B种饮料生产了140瓶,7. (1)根据题意,得解得(2)设该户居民用电x千瓦时,月平均电价每千瓦时不超过0.62元.由题意,得180×0.6+0.65(x-180)≤0.62x,解得x≤300.所以该户居民用电量不超过300千瓦时,月平均电价每千瓦时不超过0.62元.。

初中数学常考的知识点：分式方程
初中数学常考的知识点：分式方程
导语：书到用时方恨少，事非经过不知难。

下面小编为大家整理了：初中数学技巧，希望对大家有所帮助,欢迎阅读，仅供参考，更多相关的知识，请关注CNFLA学习网!
分式方程：
含分式，并且分母中含未知数的方程叫做分式方程。

分式的混合运算:
分式的.混合运算关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，计算结果要化为整式或最简分式。

任何一个不等于零的数的零次幂等于1，即a^0=1(a不等于0);当n为正整数时，a^-n=1/(a^n)(a不等于0) 注意：当幂指数为负整数时，最后的计算结果要把幂指数化为正整数
分式的加减法则：
法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。

用式子表示为：b(a)± b(c)= b(a±c)
法则：异分母的分式相加减，先通分，转化为同分母分式，然后再加减。

用式子表示为：b(a)± d(c)=bd(ad)± bd(bc)=bd(ad±bc)
注意：(1)“把分子相加减”是把各个分子的整体相加减，即各个分子应先加上括号后再加减，分子是单项式时括号可以省略;
(2)异分母分式相加减，“先通分”是关键，最简公分母确定后再通分，计算时要注意分式中符号的处理，特别是分子相减，要注意分子的整体性;
(3)运算时顺序合理、步骤清晰;
(4)运算结果必须化成最简分式或整式。

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分式方程知识点归纳1. 分式的定义:如果A 、B 表示两个整式,并且B 中含有字母，那么式子BA 叫做分式。

1) 分式与整式最本质的区别：分式的字母必须含有字母，即未知数；分子可含字母可不含字母。

2) 分式有意义的条件：分母不为零,即分母中的代数式的值不能为零.3) 分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零2. 分式的基本性质:分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变. 用式子表示 其中A 、B 、C 为整式（0≠C ）注:(1）利用分式的基本性质进行分时变形是恒等变形，不改变分式值的大小，只改变形式。

（2）应用基本性质时,要注意C ≠0,以及隐含的B ≠0。

（3）注意“都”，分子分母要同时乘以或除以，避免只乘或只除以分子或分母的部分项，或避免出现分子、分母乘除的不是同一个整式的错误。

3。

分式的通分和约分：关键先是分解因式1) 分式的约分定义：利用分式的基本性质,约去分式的分子与分母的公因式，不改变分式的值。

2) 最简分式:分子与分母没有公因式的分式3) 分式的通分的定义：利用分式的基本性质,使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值,把几个异分母的分式化成分母相同的分式.4) 最简公分母：取“各个分母"的“所有因式”的最高次幂的积做公分母，它叫做最简公分母。